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热点 2-5 导数的应用-单调性与极值
导数与函数是高中数学的核心内容，高考中经常在函数、导数与不等式等模块的知识交汇处命题，形成层
次丰富的各类题型，常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值；与不等式、数列、方程的
根（或函数的零点），三角函数等问题。此类问题体现了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想，
重点考查学生的数形结合能力，处理综合性问题的能力和运算求解能力。本题考试难度大，除了方法与技
巧的训练，考生在复习中要注意强化基础题型的解题步骤，提高解题熟练度。
【题型1 求函数的单调区间或单调性】
满分技巧
1、求函数单调区间的步骤
（1）确定函数 的定义域；
（2）求 （通分合并、因式分解）；
（3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
2、含参函数单调性讨论依据：
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
【例1】（2023·广西·模拟预测）函数 的单调递增区间为 ．
【变式1-1】（2023·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）函数 在 上的
单调递减区间为 .【变式1-2】（2023·山东淄博·高三统考期中）已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的单调增区间．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，当 时，求函数
的单调区间.
【变式1-4】（2023·山西大同·高三统考期末）已知函数 ， .
（1）求曲线 的平行于直线 的切线方程；
（2）讨论 的单调性.
【题型2 根据函数的单调性求参数】
满分技巧
已知函数的单调性求参数
（1）函数 在区间D上单调增（单减） 在区间D上恒成立；
（2）函数 在区间D上存在单调增（单减）区间 在区间D上能成立；
（3）已知函数 在区间D内单调 不存在变号零点
（4）已知函数 在区间D内不单调 存在变号零点
【例2】（2024·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）已知函数 在 上为减函
数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·福建泉州·高三泉州第一中学校考阶段练习）若函数 在 上存
在单调递增区间，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·广东汕头·高三统考期中）设 ，若函数 在 递增，则
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·福建三明·高三校联考期中）已知函数 ，则 在 上不单
调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2023·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考阶段练习）若函数 在其定义域
内的一个子区间 内不是单调函数，则实数k的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【题型3 导函数与函数的图象关系】
满分技巧
（1）对于原函数，要注意图象在哪个区间内单调递增，在哪个内单调递减；
（2）对于导函数，则要注意函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，同时还要注意这些区间
与原函数的单调性的一致。
【例3】（2023·广东湛江·高三校考阶段练习） 的图象如图所示，则 的图象最有可能是
（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024上·江西景德镇·高三景德镇一中校考阶段练习）（多选）已知函数 的定义域为R
且导函数为 ，如图是函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）A．函数 的减区间是 ， B．函数 的减区间是 ，
C． 是函数 的极小值点 D． 是函数 的极小值点
【变式3-2】（2023·新疆喀什·高三统考期中）（多选）已知函数 ，其导函数 的图象如
图所示，则 （ ）
A．在 上为减函数 B．在 处取极大值
C．在 上为减函数 D．在 处取极小值
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则
的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-4】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知函数 的图象如图所示（其中 是函数
的导函数），下面四个图象中可能是 图象的是（ ）A． B．
C． D．
【题型4 求函数的极值或极值点】
满分技巧
利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数 ；
（2）求方程 的所有实数根；
（3）观察在每个根x 附近，从左到右导函数 的符号如何变化．
0
①如果 的符号由正变负，则 是极大值；
②如果由负变正，则 是极小值．
③如果在 的根x＝x 的左右侧 的符号不变，则不是极值点．
0
【例4】（2023·湖南·高三邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知函数 （ 为自然对数
的底数），则函数 的极小值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）函数 在区间 的极大值、极小值分别为（
）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式4-2】（2023·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）函数 的极大值是
．【变式4-3】（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）若函数 ，则函数
的极小值为 .
【变式4-4】（2024·河南·统考模拟预测）已知函数 在点 处的切线与直线
垂直．
（1）求 ；
（2）求 的单调区间和极值．
【题型5 根据函数的极值求参数范围】
满分技巧
（1）列式：根据极值点处导数值为0和极值这两个条件列方程；
（2）验证：求解后验证根的合理性，做好取舍。
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知三次函数 的极小值点为 ，极大值点为 ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024上·广东潮州·高三统考期末）若函数 在 上有极值，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024上·河南南阳·高三统考期末）若函数 有两个不同的极值点，则实数
a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·广东广州·统考模拟预测）若函数 在区间 上存在极小值
点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2023·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中）若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（ ）
A． B． C． D．
【题型6 利用导数求函数的最值】
满分技巧
函数 在区间 上连续，在 内可导，则求函数 最值的步骤为：
（1）求函数 在区间 上的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一
个是最小值；
（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。
【例6】（2023·四川南充·高三南部中学校考阶段练习）已知函数 在区间
上的最小值为 ．
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，求 的最小值.
【变式6-2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．讨论函数 的最
值；
【变式6-3】（2024上·北京顺义·高三统考期末）已知函数 ．
（1）求 的最小正周期和单调递增区间；
（2）设函数 ，求 在区间 上的最大值．
【变式6-4】（2023·山东青岛·高三统考期中）已知函数 ．
（1）若 是函数 的极值点，求 在 处的切线方程．
（2）若 ，求 在区间 上最大值．
【题型7 根据函数的最值求参数范围】
【例7】（2022·广西桂林·高三校考阶段练习）已知函数 在 处取最大值，则实数
（ ）
A． B．1 C． D．2【变式7-1】（2023·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数 在区间 上的最小值
为 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2023·陕西汉中·高三校联考阶段练习）已知函数 在区间 上存
在最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数 ，若 在
内存在最小值，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】（2023·上海·高三上海中学校考期中）已知 ，函数 ， ．
（1）当 时，若斜率为0的直线l是 的一条切线，求切点的坐标；
（2）若 与 有相同的最小值，求实数a．
【题型8 函数的单调性、极值、最值综合】
【例8】（2024·河南·模拟预测）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， .
【变式8-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
（1）若 ，求 在 上的最大值和最小值；
（2）讨论函数 的零点个数．
【变式8-2】（2024上·山东淄博·高三统考期末）已知函数 ．
（1）若 时，恒有 ，求a的取值范围；（2）证明：当 时， ．
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 有两个极值点 ，且 ．
（1）求 的取值范围；
（2）求关于 的不等式 的解集．
（建议用时：60分钟）
1．（2024·北京昌平·高三统考期末）下列函数中，在区间 上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）设函数 ，则（ ）
A． 在 单调递增 B． 在 上存在最大值
C． 在定义域内存在最值 D． 在 上存在最小值
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， 为 的导函数， ，则（
）
A． 的极大值为 ，无极小值 B． 的极小值为 ，无极大值
C． 的极大值为 ，无极小值 D． 的极小值为 ，无极大值
4．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）等差数列 中的 ， 是函数 的极值
点，则 （ ）
A． B． C．3 D．
5．（2024·陕西榆林·统考一模）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）若 为函数 的极值点，则函数
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下
列说法正确的是（ ）A．函数 有最小值 B．函数 有最大值
C．函数 有且仅有三个零点 D．函数 有且仅有两个极值点
8．（2023·天津西青·高三校考开学考试）已知函数 的图象是下列四个图象之一，且其导函数
的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考期末）（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有两个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．过点 可作曲线 的两条切线
10．（2023·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）（多选）对于函数 ，则下列结论
正确的是（ ）
A． 是 的一个周期 B． 在 上有3个零点
C． 的最大值为 D． 在 上是增函数
11．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数 的值域为 .
12．（2023·上海·高三校考期中）函数 的极小值是 .
13．（2023·广东·统考二模）已知函数 的最小值为0，则a的值为 .
14．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知奇函数 在 处取得极大值2.
（1）求 的解析式；
（2）求 在 上的最值.15．（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）对 ， 恒成立，求a的取值范围.
16．（2024上·北京房山·高三统考期末）已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的单调递增区间；
（3）若函数 在区间 上只有一个极值点，求 的取值范围.
