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2024年高考导数复习专题五
知识点一 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究不等式恒成立问题，
利用导数研究函数的零点
典例1、已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，若 恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若 有两个零点，求实数a的取值范围.
随堂练习：已知函数 ， .
（1）若曲线 在点 处的切线方程为y=0，求m的值；
（2）若对任意 ，都有 ，求m的取值范围；
（3）讨论 在区间 上的零点个数.典例2、已知 ，设函数 ，
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的值；
（3）若函数 与 的图象没有交点，求实数 的取值范围．
(注：题中 为自然对数的底数，即 )
随堂练习：已知函数 ．（注： 是自然对数的底数）
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 只有一个极值点，求实数a的取值范围；
（3）若存在 ，对与任意的 ，使得 恒成立，求 的最小值．典例3、设函数 ．
（1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围；
（3）求证：当 时，函数 不存在零点．
随堂练习：已知函数 ．
（1）求函数 在 处的切线方程；
（2）若关于x的不等式 恒成立，求实数a的值；
（3）设函数 ，在（2）的条件下，证明： 存在唯一的极小值点 ，且 ．
知识点二 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究函数的零点
典例4、已知函数
求曲线 在点 处的切线方程
若函数 ， 恰有2个零点，求实数a的取值范围随堂练习：已知函数 ， .
（1）求 在点 处的切线方程；
（2）求证：当 时， 有且仅有 个零点.
典例5、已知函数 （ ）．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的单调区间；
（3）若 恰有两个零点，求实数 的取值范围．典例6、已知函数 ．
（1）求曲线 在点 ， 处的切线方程；
（2）当 时，求 的单调区间；
（3）当 时， 在区间 有一个零点，求 的取值范围．2024年高考导数复习专题五答案
典例1、答案：（1） ；（2） ；（3） .
解:（1）当 时， ， ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）因为 ，
若 恒成立，则 恒成立，所以 恒成立，令 ， ，
所以当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
所以 ，所以 ，故a的取值范围为 .
（3）若 有两个零点，则 有两个零点，
所以 在 上有两个解，所以 在 上有两个解，
令 ， ， ，
令 ， ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以 ，且 ，
所以在 上， 单调递增，在 上， 单调递减，
所以 ，又在 上， ；在 上， ，
所以a的取值范围为 .
随堂练习：答案： （1）1 （2） （3）3、答案见解析
解：（1）因为曲线 在点 处的切线方程为y=0，所以 ，即
，解得m=1.
（2） ， ， 由于 在 单调递增，所以 .
①当 时， ，所以 在 单调递增，即 .
②当 时，令 ，解得 ，
， 的情况如下：x
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
函数 在 单调递减，即 ，不合题意.
综上，使 在 都成立的m的范围是 .
（3）根据第（2）的结论，
①当 时， 在 单调递增，且 有唯一零点x=0，所以 在区间 上
没有零点；
②当 时，
若 ，即 时， 在区间 上有1个零点；
若 ，即 时， 在区间 上没有零点；
综上， 时， 在区间 上没有零点：
当 时， 在区间 上有1个零点.
典例2、答案： （1） ；（2） ；（3） ．
解:（1） 时， ，所以 ， 所以 ，
所以切线方程为： ，即
（2） 设 ， ，
又不等式： 恒成立，即 恒成立，
故 是 的极大值点，所以 ，得 ；
另一方面，当 时， ， ，
在区间 单调递减，又 ，故 在 单调递增， 单调递减，
所以 ，即 恒成立 综合上述：
（3）由题意，即方程 没有实根，
我们先把方程 有实根时， 的取值范围求出，再关于 取补集，
不妨设： ( )，
则方程变为
，
设函数 ，
∵ ， 在 上递增，
（ ）
设 ，则 ， 所以 在 上增，在 上减 ，(
的图象如图)
有实数解，结合 ， 则 ，有
即 ，所以方程 有实根时， 的取值范围为
所以方程 没有实根时， 的取值范围为 ．
随堂练习：答案： （1） （2） （3）
解：（1）当 时， ，故 ，
故在点 处的切线方程为 ，化简得 ．（2）由题意知 有且只有一个根且 有正有负．
构建 ，则
①当 时， 当 时恒成立， 在 上单调递增，
因为 ， 所以 有一个零点，即为 的一个极值
点；
②当 时， 当 时恒成立，即 无极值点；
③当 时，当 ；当 ，
所以 在 单调递减，在 上单调递增，
故 ， 若 ，则 即 .
当 时， ， 当 时， ,
设 ，故 ，
故 在 上为增函数，故 ， 故
，
故当 时， 有两个零点，此时 有两个极值点．
当 时， 当 时恒成立，即 无极值点；综上所述： ．
由题意知，对与任意的 ，使得 恒成立，则 ，
又要使 取到最小值，则 ．
当 时， ，故 ，所以 的最小值为e；
当 时，当 时， ， 所以 无最小值，即 无最
小值；
当 时，由（2）得 只有一个零点 ，即 且
当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
此时 ，因 ，
所以 代入得 ： ，
令 ，当 时， ，当
时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
，此时 ，所以 的最小值为 ．
典例3、答案： （1） ； （2） ； （3）证明见解析.
解：（1）因为 ，则 ，
因为点 在直线 上，则 ， 所以， ，解得
.
（2）因为 成立，则 ，
当 时， ，下面证明 ，
设 ，其中 ，则 ，
令 ，则 且 不恒为零，
所以，函数 在 上为增函数，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，所以， ，即 成立，所以 ，故实数 的取值范围为 .
（3）因为 ，所以 ， 且两个等号不同时成
立，即 ，
令 ，其中 ，则 且 不恒为零，
所以函数 在 上单调递增，且 ，当 时， ，
即 ，
所以当 时， ，即 ，此时函数 不存在零点；
当 时， ，而 ，此时 ，
即 ，所以此时函数 不存在零点；
当 时， ，而 ，所以 ，
即 ，所以此时函数 不存在零点． 综上可得， 时，函数 不存
在零点．
随堂练习： 答案：（1） ；（2） ；（3）证明见解析.
解：（1） ，而 ，所以 在 处的切线方程
为：
（2）由题意得： ，因为 ，所以问题等价于 在 上恒
成立，
令 ，则 ，
当 时， 恒成立，则 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，不满足题意，舍去；
当 时，因为 时， ； 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得极大值且为最大值，即最大值为 ，
所以 ，整理得： 令 ，
则 ，易得 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得极大值，即最大值为 ，所以 的解为 ．
（3） ， 设 ，则
，
当 时， ；当 时， ，所以 在 上单调递增，在
上单调递减，
又 ，所以 在 上有唯一零点 ， 在 上有唯一零点
1；
且当 时， ；当 时， ；当 时， ．因为
，
所以 时 的唯一极小值点．由 得 故 ，由
得， ．
因为当 时， 在 取得最小值，由 得，
．
所以 ．
典例4、答案： (1) x+y-1=0. (2) .解:（1）因为 ，所以 .所以 又
所以曲线 在点 处的切线方程为 即 .
（2）由题意得， ， 所以 . 由 ，解得
，
故当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增. 所以
.
又 ， ，
若函数恰有两个零点， 则 解得 .
所以实数 的取值范围为 .
随堂练习：答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由 知 ，则 ， ，
所以， ， ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .
（2）证明：记 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，， ，则 ，使得 ；
当 时， ， 在 上单调递减，
， ，则 ，使得 ，
当 时， ；当 时， . 故 在 上递增，在
上递减，
， ，故当 时， ；
当 时， . 综上， 有且仅有 个零点.
典例5、答案： （1） ；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）
．
解：（1）当 时， ， ，所以 ， ．
所以曲线在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）因为 ，定义域为 ，
所以 ．
①当 时， 与 在 上的变化情况如下：最大值
所以 在 内单调递增，在 内单调递减．
②当 时， 与 在 上的变化情况如下：
极大值 极小值
所以 在 ， 内单调递增，在 内单调递减．
③当 时， ，所以 在 上单调递增．
④当 时， 与 在 上的变化情况如下：
极大值 极小值
所以 在 ， 内单调递增，在 内单调递减．
（3）由（2）可知：
①当 时， 在 内单调递增，在 内单调递减，当 时， 取得最大值 ．
（i）当 时， ， 所以 在 上至多有一个零点，不符合题意．
（ii）当 时， ．
因为 ， ， 在 内单调递减， 所以 在 内有唯一零
点．
因为 ， 所以 且 ．
因为 ， ，
且 在 内单调递增，所以 在 内有唯一零点．
所以当 时， 恰有两个零点．
②当 时， 在 ， 内单调递增，在 内单调递减，
因为当 时， 取得极大值 ，
所以 在 上至多有一个零点，不符合题意．
③当 时， 在 上单调递增，
所以 在 上至多有一个零点，不符合题意．
④当 时， 在 ， 内单调递增，在 内单调递减．因为当 时， 取得极大值 ，
所以 在 上至多有一个零点，不符合题意．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
典例6、答案：（1） （2）单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ，
， ， ．
（3）
解：（1） ，所以 ， 又 ，
所以 在 ， 处的切线方程： ，即 ．
（2）当 时， ， ，
所以在 ， 上， ， 单调递增，
在 ， ， ， 上， ， 单调递减，
所以 单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ， ， ， ．
（3）当 时，令 ，得 ， 所以 ，
令 ， ， ，当 ， 时， ， ，即 ， 所以 在 ， 上单调递增，
又 ， ， 若 在区间 有一个零点，则 ，
故 的取值范围 ， ．
