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2024年高考导数复习专题六
知识点一 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究不等式恒成立问题
典例1、已知函数
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．
随堂练习：已知 ， ，
（1）若 与 在 处的切线重合，分别求 ， 的值.
（2）若 ， 恒成立，求 的取值范围.典例2、已知函数 .
（1）求 的图象在 处的切线方程；
（2）已知 ，对 ， ，求a的取值范围.
随堂练习：已知函数 在点 处的切线方程2x－2y－3=0．
（1）求实数a，b的值；
（2）设函数 的两个极值点为 ， 且 ，若
恒成立，求满足条件的 的最大值．典例3、已知函数 .
（1）若 在 处的切线与 轴垂直，求 的极值；
（2）若 有两个不同的极值点 ，且 恒成立，求
的取值范围.
随堂练习：已知函数 的图象在点 处的切线与直线 平行．
（1）求实数m的值，并求函数 的单调区间；
（2）若不等式 对任意 恒成立，求实数a的取值范围．知识点二 利用导数研究方程的根,由导数求函数的最值（含参）
典例4、已知函数 .
（1）求函数 的单调区间和极值；
（2）若方程 有两个不同的解，求实数a的取值范围.
随堂练习：已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若方程 在 上有实根，求实数a的取值范围．典例5、已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若函数 与 的图像有两个不同的公共点，求 的取
值范围.
随堂练习：已知函数 .
（1）求 在 （ 为自然对数的底数）上的最大值；
（2）对任意给定的正实数 ，曲线 上是否存在两点P，Q，使得 是以
О为直角顶点的直角三角形，且此直角三角形斜边的中点在y轴上?典例6、已知函数 ，其中 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 有且仅有两个不相等实根，求实数a的取值范围．
随堂练习：已知函数f(x)＝lnx－ ax2－2x.
（1）若函数f(x)在x＝2处取得极值，求实数a的值；
（2）若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；
（3）当 时，关于x的方程 在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.
2024年高考导数复习专题六答案
典例1、答案:（1） （2）
解：（1）当 时， , 所以 .
所以 , ，
所以曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即
．
（2）由题易得 ，由 ，得:
，令 ， 则 ，所以 在 上单调递增，
式等价于 ，即 ．
所以 ， ，
令 ，则有 ， 令 ，即 ，解
得 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以
；
所以只需 ，即 ． 综上，实数m的取值范围是 ．
随堂练习：答案：（1） ， （2）
解：（1）因为 ， ， 所以. ，
，
因为 且 ， 即 且 ， 解得
， .
（2）因为 对 恒成立，
. 对 恒成立，
即 对 恒成立，
令 ，因为 ， 所以 是 的最小值点，且 是 的极值点，即
，
因为 在 上单调递增，且 ，所以 ，
下面检验：当 时， 对 恒成立，
因为 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 所以 ，符合题
意， 所以 .
典例2、答案：（1） （2）
解：（1） ，
， 的图象在 处的切线方程为：
， ， ，在 上恒
成立，
令 ， ，
令 ， ，
令 ， ，
， ，则 在 上单调递减，， 在 上单调递减，
，
①当 ，即 时， ， ， 在 上单调递减，
， 解得 ，
②当 时， ， 所以存在 使得
，
当 时， ， ， 在 单调增，
，
因为 ，所以 ， 所以 ，
所以当 ， 与 矛盾，所以当 时，不符合题意，
综上所述，a的取值范围 .
随堂练习：答案：（1） ，b=1 （2）
解：（1）由 ，得 ，
因为点 在切线方程2x－2y－3=0上，所以2－2y－3=0， 解得 ，即，
又∵ ，所以 解得 ，b=1．
（2）由（1）知， ，则 ，
则 ，
由 ，得 ，因为 ， 是函数g（x）的两个极值点，
所以方程 有两个不相等的正实根 ， ，
所以 ， ，所以 ．因为 ，所以 ，解得
或 ．
因为 ，所以 ，
所以
，
令 ，则 ，
所以F（x）在 当上单调递减，所以当 时，F（x）取得最小值，即 ，所以 ， 即实数 的最大值为
．
典例3、答案：（1） 极大值为 ，极小值为 （2）
解：（1） ， 的定义域为 ，
，
若 在 处的切线与 轴垂直， 则 ，
所以 ， ，
所以 在区间 递增； 在区间 递
减.
所以 的极大值为 ，极小值为 .
（2）若 有两个不同的极值点 ，则 有两个不
同的正根 ，
即 有两个不同的正根 ， 所以 ，解得 .
， ， 依题意，恒成立，
恒成立，
恒成立，即 恒成立，所以 ，
解得 . 故 的取值范围为
随堂练习：答案：（1） ，增区间是 ，减区间是 （2）
解：（1）函数 的定义域为 ， ，
因为函数 的图象在点 处的切线与直线 平行，
所以 ，故 ，解得 ，所以 ，所以
．
当 时， ，又 ，则 ， 故 ，所以 在 上
单调递减．
（2）设 ，则 ，
当 时， ， ， 是增函数，即 在 上单调递增，
所以 ，因此 在 上单调递增，
所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
不等式 可化为 ，设 ，由已知可得 在 上恒成立， 满足
题意．
因为 ，令 ，
则 ，令 ，
则 ，所以 即 在 上是增函数，
，当 时， ，
函数 即 在 上单调递增， 所以 ， 在 上单调
递增，
所以 恒成立，原不等式恒成立；
当 时，则 ，又 ，
所以存在 ，使得 ，
时， ， 即 在 上单调递减，
时， ， 即 在 上单调递增，
又 ，所以 时， ，从而 在 上单调递减，
于是当 时， ，不合题意．
综上，实数a的取值范围是 ．
典例 4、答案：（1）单增区间是 ，单减区间是 ，极小值 ，无极大
值；（2） .解:（1） 的定义域是 ， ， 可得 ，
x -2
0
减函数 极小值 增函数
所以 的单增区间是 ，单减区间是
当 时， 取得极小值 ，无极大值.
（2）由（1）以及当 ， ， ， ， ，
因为方程 有两个不同的解， 所以a的取值范围为 .
随堂练习：答案：（1） 见解析； （2） .
解：（1） ， 时， ， 在R上单调递减；
时， ， ， 单调递增， ， ， 单调递减；
综上， 时， 在R上单调递减；
a＞0时，f(x)在 单调递增，在 单调递减.
（2） ，
令 ， 则 ，
∴g(x)在(1，e)上单调递增， ∴ ∴
.
典例5、答案：（1） 答案见解析 （2）
解：（1） ， ， .
①当 ， ，函数 在 上单调递增；②当 ，令 ，得 ， 时， ； 时，
，
在 上单调递减，在 上单调递增.
综上所述：当 ， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
（2）当 ， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 .
根据题意可知：方程 ，即 有两个不同的实
根.
由 可得： . 令 ，当 时，
，
时， ， ，所以 在 上单调递增，
要使 有两个不同的实根，则需 有两个不同的实根.
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
.
①若 ，则 ， 没有零点；
②若 ，则 ，当且仅当 时取等号， 只有一个零点；
③若 ，则 ， ， .
令 ，则当 时， ，即 在 上单调递
增，
所以 ，即 .
故此时 在 上有一个零点，在 上有一个零点，符合条件.
综上可知，实数 的取值范围是 .随堂练习：答案：（1）1答案见解析 （2）存在，理由见解析.
解：（1）当 时， ， ，
令 ，解得 ，此时 在 和 上单调递减，在 上单调递
增，
由于 ，故当 时， ；
当 时， ， ，
故当 时， 在区间 上单调递减， ；
当 时， 在区间 上单调递增， ，
当 时， .
综上，当 时， 在 上的最大值为 ，
当 时， 在 上的最大值为 .
（2）假设曲线 上存在两点 ， ，使得 是以 为直角顶点的直角三角
形，
且此直角三角形斜边的中点在y轴上，则 ， 只能在 轴的两侧，
不妨设 （ ），则 ，且 ．
因为△ 是以 为直角顶点的直角三角形，所以 ，即：
①
是否存在点 ， 等价于方程①是否有解．
若 ，则 ，代入方程①得： ，此方程无实数解；
若 ，则 ，代入方程①得： ，
设 （ ），则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，从而 ，所以当 时，方程 有解，即方程①有解．
所以，对任意给定的正实数 ，曲线 上存在两点 ， ，
使得△ 是以 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 轴上．
典例6、答案： （1）答案详见解析 （2）
解：（1） 的定义域为 ， ，
当 时， 恒成立，所以 在 上递增；
当 时， 在区间 递增；在区间
递减.
（2）依题意 有且仅有两个不相等实根，即 有两个不相
等的实根，
，构造函数 ，
，所以 在区间 递增；在区间
递减.
所以 . ，当 时， ，
，
， 所以 的取值范围是 .
随堂练习：答案：（1）－ ；（2）(－∞，－1]；（3） .
解:（1）由题意，得 (x>0)，
因为x＝2时，函数f(x)取得极值，所以 ，即 ，解得 ，则 ，则 ，令 ，则
或 ，所以 和 时， ， 单调递减，
时， ，则 单调递增，故函数 在x＝2处取得极大值，故 符
合题意，因为 ；
（2）函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，依题意 在 时恒成立，
即 在 时恒成立，则 在 时恒成立，即
，
当 时， 取最小值 ，所以a的取值范围是 .
（3）当 时， ， 即 .
设 ， 则 ，令 ， 或
，
当 变化时， 的变化情况如下表：
x (0，1) 1 (1，2) 2 (2，4)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增
所以g(x) ＝g（2）＝ln2－b－2， g(x) ＝g（1）＝－b－ ，
极小值 极大值
又g（4）＝2ln2－b－2，因为方程g(x)＝0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根， 则 ，解得ln2－
2
