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人教A版数学--概率专题十二
知识点一 求回归直线方程,相关系数的意义及辨析,相关系数的计算,计算样本的中心点
典例1、某加工工厂加工产品A，现根据市场调研收集到需加工量X（单位：千件）与加
工单价Y（单位：元/件）的四组数据如下表所示：
X 6 8 10 12
Y 12 m 6 4
根据表中数据，得到Y关于X的线性回归方程为 ，其中 ．
（1）若某公司产品A需加工量为1.1万件，估计该公司需要给该加工工厂多少加工费；
（2）通过计算线性相关系数，判断Y与X是否高度线性相关．
参考公式： ， 时，两个相关变量之间高度线性相关．
随堂练习：党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月
23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一.据统计该
市2017年至2021年农村居民人均可支配收入的数据如下表：
年份 2017 2018 2019 2020 2021
年份代码 1 2 3 4 5
人均可支配收入 （单位：万元）
1、根据上表统计数据，计算 与 的相关系数 ，并判断 与 是否具有较高的线性相关
程度（若 ，则线性相关程度一般，若 则线性相关程度较高， 精确
到 ）；
2、市五届人大二次会议政府工作报告提出，2022年农村居民人均可支配收入力争不低于 万元，求该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值（用百
分比表示）.
参考公式和数据：相关系数 ，
.
典例2、随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具以其
轻巧便携､工作效率高､环保､可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用.在消费
者便携无绳化需求与技术发展的双重驱动下，锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有
望持续扩大.某公司为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人员，使得整体研发
创新能力持续提升，现对2017~2021年的研发人数作了相关统计，如下图：
2017~2021年公司的研发人数情况（年份代码1~5分别对应2017~2021年）
（1）根据条形统计图中数据，计算该公司研发人数 与年份代码 的相关系数 ，并由
此判断其相关性的强弱；
（2）试求出 关于 的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数.（结果取整
数）
参考数据： ， .参考公式：相关系数.
线性回归方程的斜率 ，截距 .
附：
相关性 弱 一般 强
随堂练习：近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，某机构随
机调查了某市2016-2022年的家庭教育支出（单位：万元），得到如下折线图.（附：
年份代码1-7分别对应2016-2022年）.经计算得 ， ， ，
， .（1）用线性回归模型拟合 与 的关系，求出相关系数r，并说明 与 相关性的强弱；
（参考：若 ，则线性相关程度一般，若 ，则线性相关程度较高，
计算r时精确度为0.01）
（2）求出 与 的回归直线方程；
（3）若2024年该市某家庭总支出为10万元，预测2024年该家庭的教育支出.
附：①相关系数 ；
②在回归直线方程 ， ， .典例3、2021年4月20日我校高三学生参加了高考体检，为了解我校高三学生中男生
的体重 （单位： ）与身高 （单位： ）是否存在较好的线性关系，体检机构搜集
了7位我校男生的数据，得到如下表格：
序号 1 2 3 4 5 6 7
身高 166 173 185 183 178 180 174
体重 57 62 78 75 71 67 59
根据表中数据计算得到 关于 的线性回归方程为 ．
（1）求 ；
（2）已知 ，且当 时，回归方程的拟合效果非常好；当
时，
回归方程的拟合效果良好．试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说
明你的理由．（ 的结果保留到小数点后两位）
参考数据： ．
随堂练习：某公司为了做好产品生产计划，准确地把握市场，对过去四年的产品数据进
行整理得到了第 年与年销售量 （单位：万件）之间的关系如下表：
第 年
销售量 （万件）
（1）在图中画出表中数据的散点图；（2）根据（1）中的散点图选择用于拟合 与 的回归模型，并用相关系数加以说明；
（2）建立 关于 的回归方程，预测第 年的销售量．
（参考数据： ， ）
知识点二 卡方的计算,独立重复试验的概率问题
典例4、某种疾病可分为Ⅰ､II两种类型.为了解该疾病类型与性别是否有关，在某地区
随机抽取了男女患者各200名，每位患者患Ⅰ型或II型病中的一种，得到下面的列联
表：
Ⅰ型病 II型病
男 150 50
女 125 75
（1）根据列联表，判断是否有99%的把握认为所患疾病类型与性别有关.
（2）某药品公司欲研发此疾病的治疗药物，现有两种试验方案，每种方案至多安排2
个接种周期，且该药物每次接种后出现抗体的概率为p（0<p<1），每人每次接种的
费用为m元（m为大于零的常数）.方案一：每个周期必须接种3次，若在第一个周
期内3次出现抗体，则终止试验；否则进入第二个接种周期.方案二：每个周期至多
接种3次，若第一个周期前两次接种后均出现抗体，则终止本周期的接种，进入第
二个接种周期，否则需依次接种完3次，再进入第二个接种周期；若第二个接种周
期第1次接种后出现抗体，且连同第一个接种周期共3次出现抗体，则终止试验，
否则需依次接种完3次.假设每次接种后出现抗体与否相互独立.用随机变量X和Y
分别表示按方案一和方案二进行一次试验的费用.
①求 和 ；
②从平均费用的角度考虑，哪种方案较好？参考公式： ，其中n=a+b+c+d.
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0
随堂练习：电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的
服务．通过网络的电子邮件系统，用户可以以非常低廉的价格（不管发送到哪里，都只
需负担网费）、非常快速的方式（几秒钟之内可以发送到世界上任何指定的目的地），
与世界上任何一个角落的网络用户联系．我们在用电子邮件时发现了一个有趣的现象，
中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少．为了
研究邮箱名称里含有数字是否与国籍有关，随机调取40个邮箱名称，其中中国人的20
个，外国人的20个，在20个中国人的邮箱名称中有15个含数字，在20个外国人的邮
箱名称中有5个含数字．
（1）根据以上数据填写 列联表：
中国人 外国人 总计
邮箱名称里有数字
邮箱名称里无数字
总计
（2）能否有99％的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”？
（3）用样本估计总体，将频率视为概率．在中国人邮箱名称里和外国人邮箱名称里各随机调取6个邮箱名称，记“6个中国人邮箱名称里恰有3个含数字”的概率为 ，
“6个外国人邮箱名称里恰有3个含数字”的概率为 ，试比较 与 的大小．
附：临界值参考表与参考公式
（ ，其中 ）
典例5、习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民美好生活的向往作为
奋斗目标．在这一号召下，全国人民积极工作，健康生活．当前，“日行万步”正式成
为健康生活的代名词．某地一研究团队统计了该地区1000位居民的日行步数，得到如
下表格：
日行步数（单位：千步）
人数 10 40 150 200 350 200 50
（1）为研究日行步数与居民年龄的关系，以日行步数是否超过8千步为标准进行分层
抽样，从上述1000位居民中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，
并根据列联表判断是否有 的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关；
日行步数 千步 日行步数 千步 总计
40岁以上 12040岁以下（含40岁） 40
总计 200
（2）以这1000位居民日行步数超过8千步的频率代替该地区1位居民日行步数超过8
千的概率，每位居民日行步数是否超过8千相互独立．为了深入研究，该研究团队
随机调查了20位居民，其中日行步数超过8千的最有可能（即概率最大）是多少位
居民？
附： ，其中 ．
0.05 0.025 0.010
3.841 5.024 6.635
随堂练习：随着我国人民生活条件持续改善，国民身体素质明显增强，人均预期寿命不
断延长，2019年我国人均预期寿命达到77岁.居民人均寿命提升､健康状况改善，使得
群众生产生活中驾车出行需求持续增长，呼吁进一步放宽学驾年龄，进一步方便就近体
检.2020年10月22日，公安部新闻发布会上宣布，取消申请小型汽车､小型自动挡汽
车､轻便摩托车驾驶证70周岁的年龄上限.为了了解70岁以上人群对考取小型汽车驾照
新规的态度，某研究单位对某市的一个大型社区中70岁以上人员进行了随机走访调研，
在48名男性人员中有36人持“积极响应”态度､12人持“不积极响应”态度，在24名
女性人员中持“积极响应”态度和“持不积极响应态度”的各有12人.
（1）完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为对考小型汽车驾照的态度与性别
有关？积极响应 不积极响应 合计
男
女
合计
（2）在被走访的持“不积极响应”的样本中任取2人，记男性人数为X，求X的分布列
和数学期望E(X)；
（3）不计性别，以样本的频率估计概率，在该市的70岁以上人群中任取4人，求至少
有2人持“积极响应”态度的概率.
附： ， .
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
典例6、世卫组织近日表示，Delta毒株已扩散至92个国家和地区．这让某国某州的医
疗一度濒临崩遗．某国卫生与公共服务部数据显示，在6月23日至7月7日的两周里，
该州新冠肺炎确诊病例数新增 ，平均每周增长1111个病例数，每周人均感染病例
人数高居全国首位．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过新冠疫苗者感染病
毒的比例较大．对该国家120个接种与未接种新冠疫苗的密切接触者样本医学观察结束
后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：接种新冠疫苗与否/人数 感染Delta病毒 未感染Delta病毒
未接种新冠疫苗 20 30
接种新冠疫苗 10 60
（1）是否有 的把握认为密切接触者感染Delta病毒与未接种新冠疫苗有关；
（2）以样本中结束医学现察的密切接触者感染Delta病毒的频率估计概率．现从该地
区结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染Delta病毒人数统计，求其
中至少有2人感染Delta病毒的概率；
（3）该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期
间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭
成员逐一进行Delta病毒检测．每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳
性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率
均为 且相互独立．记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高
危家庭”的概率为 ．求当p为何值时， 最大？
附： ．
0.1 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
随堂练习：携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就
能转换运营商，并享受其提供的各种服务．2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务
水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为 ，服务水平的满意率为 ，
对业务水平和服务水平都满意的客户有180人．
（1）完成下面 列联表，并分析是否有 的把握认为业务水平与服务水平有关；
对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计
对业务水平满意人数
对业务水平不满意人数
合计
（2）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改
进意见，用 表示对业务水平不满意的人数，求 的分布列与期望；
（3）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都
满意的客户流失率为 ，只对其中一项不满意的客户流失率为 ，对两项都不满
意的客户流失率为 ，从该运营系统中任选4名客户，则在业务服务协议终止时
至少有2名客户流失的概率为多少？
附： ， ．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828人教A版数学--概率专题十二答案
典例1、答案：（1）该公司需要给该加工工厂57200元加工费. （2）Y与X高度线
性相关.
解：（1）∵ ， ， 则
，
又∵ ∴ ， ， ∴ ，
∵1.1万=11千， ∴当 时， （元）， ∴
（元），
答：估计该公司需要给该加工工厂57200元加工费.
（2）由（1）知， ， ， ，
∴∴ ， ∴两个相关变量之间高度线性相关.
随堂练习：答案： （1） ，具有较高的线性相关程度； （2） .
解：（1）由题可知 的平均数为 ，
，
所以 ，
（2） ， 所以 与 具有较高的线性相关程度；
设增长率为 ，则 ， 解得 ， ，
该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值为 .
典例2、答案： （1） ， 与 具有很强的线性相关关系
（2） ，预测2023年该公司的研发人数约为613人
解：（1）由条形统计图，得 ，
， 所以
，所以 .
（2）因为相关系数 ，所以 与 具有很强的线性相关关系，且为正相关.
， 所以 ，
所以 . 由题意知，2023年对应的年份代码 ，
当 时， ，
故预测2023年该公司的研发人数约为613人.
随堂练习：答案： （1） ，线性相关程度较高 （2） （3）
万元.
解：（1）由题意得， ，
则 ，
故 ， 故 ，
∵ ， ∴ 与 高度相关，即 与 的相关性很强．
（2）根据题意，得 ， ，
∴ 关于 的回归直线方程为 ．（3）由题知，2024年对应的年份代码 ， 所以，当 时，
，
所以，预测2024年该家庭的教育支出为 （万元）．
典例3、答案： （1） ； （2）该线性回归方程的拟合效果是良好的.
解：（1）由题意可得， ，
，
又 关于 的线性回归方程为 ，所以
（2）由题意，
所以 ， 所以该线性回归方程的拟合效果是良
好的.
随堂练习：答案： （1）散点图见解析 （2）可以用线性回归模型拟合 与 的关系，
说明见解析
（3）回归方程为 ；第 年销售量的预测值为 万件
解：（1）作出散点图，如图所示，（2）由（1）中的散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，
根据题中所给表格及参考数据可得： ， ， ，
， ， ，
，
；
与 的相关系数近似为 ，说明 与 的线性相关程度相当强，
可以用线性回归模型拟合 与 的关系．
设 关于 的回归直线方程为： ，
， ，
关于 的回归直线方程为： ，
（3）当 时， ， 预测第 年的销售量约为 万件.
典例4、答案： （1）有99%的把握认为所患疾病类型与性别有关；（2）① ； ；② 方案二较好.
解：（1）由题中数据，可知 ，
所以有99%的把握认为所患疾病类型与性别有关；
（2）① 方案一： 的可能取值为 ， ，
则 ， 所以 ；
方案二：由题意， 的可能取值为 ，
则 ，
，
所以 .
② 因为 ，
所以 ， 所以方案二较好.
随堂练习：答案：（1） 联表见解析；（2）有 的把握认为“邮箱名称里含有数
字与国籍有关”；（3） ．
解:（1）由已知数据可填写 列联表如下：
中国人 外国人 总计
邮箱名称里有数字
邮箱名称里无数字
总计
（2）
．有 的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”．
（3）用样本估计总体，将频率视为概率，根据（1）中 列联表可得：
中国人邮箱名称里含数字的概率为 ，外国人邮箱名称里含数字的概率为
．
设“ 个中国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量 ， 个外国人邮箱名称里含
数字”的人数为随机变量 ”，
根据题意得： ， ，
则 ， ， ．
典例5、答案：（1）答案见解析；（2）12位居民．
解：（1）1000人中，步数不超过8千步的有400人，超过8千步有600人，
则抽取的人数中不超过8千步的有80人，超过8千步的有120人，列联表如下：
日行步数 千步 日行步数 千步 总计
40岁以上 40 80 120
40岁以下（含40岁） 40 40 80
总计 80 120 200
∴ ，
∴有 的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关．
（2）每位居民步数超过8千米的概率为 ，设步数超过8千米的最有可能是 位居民，
则 ，解得： ，
∵ ，∴ ，即最有可能是12为居民．
随堂练习：答案： （1）列联表答案见解析，有95%的把握认为对考小型汽车驾照的态
度与性别有关；（2）分布列答案见解析，数学期望： ；（3） .
解：（1）完成列联表，得：
积极响应 不积极响应 合计
男 36 12 48
女 12 12 24
合计 48 24 72
∴ . ∴有95%的把握认为对考小型汽车驾照的态度
与性别有关.
（2）在被走访的持“不积极响应”的样本中任取2人，记男性人数为 ，
则 的可能取值为0，1，2， ，
， ，
∴ 的分布列为：
0 1 2数学期望 .
（3）以样本的频率估计概率，积极响应的概率为 ，
至少有2人持“积极响应态度”为事件 ， 在该市的70岁以上人群中任取4
人，
至少有2人持“积极响应”态度的概率为： .
典例6、答案： （1）有 的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗
有关
（2） （3）
解：（1）∵ ，
∴有 的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；
（2）由题意得，该地区每名密切接触者感染病毒的概率为 ，
设在随机抽取的4人中感染病毒的人数为X． 至少有2人感染病毒的为事件
A，
， ，
， ，
，， 则 ，令
，
则 （舍去），随着p的变化， ， 的变化如下表：
p
+ 0 -
极大值
综上，当 时， 最大．
随堂练习：答案：（1）列联表详见解析，有 的把握认为业务水平满意与服务水平
满意有关；
（2）分布列详见解析，期望为 ；（3） ．
解:（1）由题意知对业务满意的有260人，对服务不满意的有100人，得 列联表
对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计
对业务水平满意人数 180 80 260
对业务水平不满意人数 20 20 40
合计 200 100 300
经计算得 ，
所以有 的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关．
（2） 的可能值为0，1，2．
则 ， ， ，0 1 2
．
（3）在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平都满意的客户流失的概率为
，
只有一项满意的客户流失的概率为： ，
对二者都不满意的客户流失的概率为： ．
所以从运营系统中任选一名客户流失的概率为： ，
故在业务服务协议终止时，从运营系统中任选4名客户，
至少有2名客户流失的概率为： ．
