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人教A版数学--概率专题十二
知识点一 求回归直线方程,相关系数的意义及辨析,相关系数的计算,计算样本的中心点
典例1、某加工工厂加工产品A，现根据市场调研收集到需加工量X（单位：千件）与加
工单价Y（单位：元/件）的四组数据如下表所示：
X 6 8 10 12
Y 12 m 6 4
根据表中数据，得到Y关于X的线性回归方程为 ，其中 ．
（1）若某公司产品A需加工量为1.1万件，估计该公司需要给该加工工厂多少加工费；
（2）通过计算线性相关系数，判断Y与X是否高度线性相关．
参考公式： ， 时，两个相关变量之间高度线性相关．
随堂练习：党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月
23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一.据统计该
市2017年至2021年农村居民人均可支配收入的数据如下表：
年份 2017 2018 2019 2020 2021
年份代码 1 2 3 4 5
人均可支配收入 （单位：万元）
1、根据上表统计数据，计算 与 的相关系数 ，并判断 与 是否具有较高的线性相关
程度（若 ，则线性相关程度一般，若 则线性相关程度较高， 精确
到 ）；
2、市五届人大二次会议政府工作报告提出，2022年农村居民人均可支配收入力争不低于 万元，求该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值（用百
分比表示）.
参考公式和数据：相关系数 ，
.
典例2、随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具以其
轻巧便携､工作效率高､环保､可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用.在消费
者便携无绳化需求与技术发展的双重驱动下，锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有
望持续扩大.某公司为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人员，使得整体研发
创新能力持续提升，现对2017~2021年的研发人数作了相关统计，如下图：
2017~2021年公司的研发人数情况（年份代码1~5分别对应2017~2021年）
（1）根据条形统计图中数据，计算该公司研发人数 与年份代码 的相关系数 ，并由
此判断其相关性的强弱；
（2）试求出 关于 的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数.（结果取整
数）
参考数据： ， .参考公式：相关系数.
线性回归方程的斜率 ，截距 .
附：
相关性 弱 一般 强
随堂练习：近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，某机构随
机调查了某市2016-2022年的家庭教育支出（单位：万元），得到如下折线图.（附：
年份代码1-7分别对应2016-2022年）.经计算得 ， ， ，
， .（1）用线性回归模型拟合 与 的关系，求出相关系数r，并说明 与 相关性的强弱；
（参考：若 ，则线性相关程度一般，若 ，则线性相关程度较高，
计算r时精确度为0.01）
（2）求出 与 的回归直线方程；
（3）若2024年该市某家庭总支出为10万元，预测2024年该家庭的教育支出.
附：①相关系数 ；
②在回归直线方程 ， ， .典例3、2021年4月20日我校高三学生参加了高考体检，为了解我校高三学生中男生
的体重 （单位： ）与身高 （单位： ）是否存在较好的线性关系，体检机构搜集
了7位我校男生的数据，得到如下表格：
序号 1 2 3 4 5 6 7
身高 166 173 185 183 178 180 174
体重 57 62 78 75 71 67 59
根据表中数据计算得到 关于 的线性回归方程为 ．
（1）求 ；
（2）已知 ，且当 时，回归方程的拟合效果非常好；当
时，
回归方程的拟合效果良好．试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说
明你的理由．（ 的结果保留到小数点后两位）
参考数据： ．
随堂练习：某公司为了做好产品生产计划，准确地把握市场，对过去四年的产品数据进
行整理得到了第 年与年销售量 （单位：万件）之间的关系如下表：
第 年
销售量 （万件）
（1）在图中画出表中数据的散点图；（2）根据（1）中的散点图选择用于拟合 与 的回归模型，并用相关系数加以说明；
（2）建立 关于 的回归方程，预测第 年的销售量．
（参考数据： ， ）
知识点二 卡方的计算,独立重复试验的概率问题
典例4、某种疾病可分为Ⅰ､II两种类型.为了解该疾病类型与性别是否有关，在某地区
随机抽取了男女患者各200名，每位患者患Ⅰ型或II型病中的一种，得到下面的列联
表：
Ⅰ型病 II型病
男 150 50
女 125 75
（1）根据列联表，判断是否有99%的把握认为所患疾病类型与性别有关.
（2）某药品公司欲研发此疾病的治疗药物，现有两种试验方案，每种方案至多安排2
个接种周期，且该药物每次接种后出现抗体的概率为p（0
