文档内容
2025版新教材高考数学第二轮复习
专题九 计数原理、概率与统计
9.1 计数原理
五年高考
高考新风向
1.(2024全国甲理,13,5分,中)(1 ) 10的展开式中,各项系数中的最大值为 .
+x
3
2.(创新考法)(2024新课标Ⅰ,14,5分,难)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数
字,甲的卡片上分别标有数字 1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字 2,4,6,8,两人进行四轮比赛,
在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,
数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后
的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为 .
3.(创新考法)(2024新课标Ⅱ,14,5分,难)在右图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和
每列均恰有一个方格被选中,则共有 种选法.在所有符合上述要求的选法中,选中
方格中的4个数之和的最大值是 .
考点1 计数原理、排列与组合
1.(2023新课标Ⅱ,3,5分,易)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随
机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取 60名学生,已知该校初中部和高
中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有 ( )
A. · 种 B. · 种
C45 C15 C20 C40
400 200 400 200
C. · 种 D. · 种
C30 C30 C40 C20
400 200 400 200
2.(2020新高考Ⅰ,3,5分,易)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个
场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有 ( )
A.120种 B.90种 C.60种 D.30种
3.(2022新高考Ⅱ,5,5分,易)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不
站 在 两 端 , 丙 和 丁 相 邻 , 则 不 同 的 排 列 方 式 共 有
( )A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
4.(2023全国乙理,7,5分,中)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读 2种,则这两人选
读 的 课 外 读 物 中 恰 有 1 种 相 同 的 选 法 共 有
( )
A.30种 B.60种 C.120种 D.240种
5. (2023新课标Ⅰ,13,5分,易)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生
需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有
种(用数字作答).
考点2 二项式定理
1.(2022北京,8,4分,易)若(2x-1)4=a x4+a x3+a x2+a x+a ,则a +a +a = ( )
4 3 2 1 0 0 2 4
A.40 B.41 C.-40 D.-41
2.(2023天津,11,5分,易)在 ( 2x3− 1) 6的展开式中,x2的系数为 .
x
3.(2020课标Ⅲ理,14,5分,易)(
x2+
2) 6的展开式中常数项是 (用数字作答).
x
4.(2022新高考Ⅰ,13,5分,易)( y)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为 (用数字作
1−
x
答).
5.(2021 浙 江 ,13,6 分 , 中 ) 已 知 多 项 式 (x-1)3+(x+1)4=x4+a x3+a x2+a x+a , 则 a =
1 2 3 4 1
;a +a +a = .
2 3 4三年模拟
练速度
1.(2024东北三省三校第二次联考,3)按分层抽样的方法,从15个相同的红球和10个相同
的黑球中抽出10个球排成一排,则不同的排列方法为( )
A. B.
C10A10 C6 C4 A10
25 10 15 10 10
C. D.
C4 A6A4
10 6 4
2.(2024河北邯郸第三次调研,4)在 ( x3− 2) 6的展开式中, 1 的系数为 ( )
x x2
A.-192 B.-6 C.6 D.192
3.(2024江西4月教学质量检测,3)已知 ( 2) n的展开式中只有第3项的二项式系数最大,
x+
x
则展开式的常数项为 ( )
A.24 B.18 C.12 D.6
4.(2024浙江杭州二模,6)将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动,每个社区至少1名,
则不同的分配方法数是 ( )
A.300 B.240 C.150 D.50
5.(2024福建厦门毕业班第四次质检,6)某校5名同学到A、B、C三家公司实习,每名同学
只能去1家公司,每家公司至多接收2名同学.若同学甲去A公司,则不同的安排方法共有(
)
A.18种 B.30种 C.42种 D.60种
6.(2024重庆二诊,6)有男、女教师各1人,男、女学生各2人,从中选派3人参加一项活动,
要求其中至少有1名女性,并且至少有1名教师,则不同的选派方案有 ( )
A.10种 B.12种 C.15种 D.20种
7.(2024安徽江淮十校联考,3)学校食堂的一个窗口共卖5种菜,甲、乙2名同学每人从中
选一种或两种,且两人之间不会互相影响,则不同的选法种数为 ( )
A.20 B.25 C.225 D.450
8.(2024山东淄博一模,5)小明设置六位数字的手机密码时,计划将自然对数的底数e=2.718
28…的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻,且相
同数字之间有一个数字,则小明可以设置的不同密码种数为 ( )
A.24 B.16 C.12 D.109.(2024山东菏泽一模,4)p:m=2,q:(mx+y)5的展开式中x2y3项的系数等于40,则p是q的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
10.(2024江苏苏锡常镇调研(一),2)设(1+2x)5=a +a x+a x2+…+a x5,则a +a +…+a =( )
0 1 2 5 1 2 5
A.-2 B.-1 C.242 D.243
11.(2024福建龙岩3月质量检测,5)(2x )(x+y)7的展开式中x5y2的系数为 ( )
−1
y
A.-91 B.-21 C.14 D.49
12.(2024辽宁沈阳教学质量监测(三),6)已知 ( 2x2− a) 7的展开式中x2的系数是280,则实数
x
a的值为 ( )
A.1 B.2 C.±1 D.±2
13.(2024湖北八市3月联考,5)已知今天是星期三,则67-1天后是 ( )
A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期五
14.(多选)(2024浙江Z20名校联盟联考,9)已知(
x−
1 ) n (n∈N*)的展开式中含有常数项,则
√3 x
n的可能取值为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
15.(2024江西重点中学盟校联考,12)(2x2+x-y)5的展开式中x5y2的系数为 .
16.(2024浙江温州一模,14) + = .
(1+√2) 5 (1−√2) 5
17.(2024福建漳州第二次质量检测,14)在 ( 2) n的展开式中,第三项为常数项,展开式中
√x−
x
二项式系数和为a,所有项的系数和为b,则a-b= .
练思维
1.(2024浙江金华十校模拟,7)金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教,
把这6个老师分配到3个学校,要求每个学校安排2名教师,且管理型教师不安排在同一
个学校,则不同的分配方案有 ( )A.72种 B.48种 C.36种 D.24种
2.(2024广东深圳二模,6)已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名(无并列情况),其中甲
或乙是第一名,丙不是前三名,则这六名同学获得的名次情况可能有 ( )
A.72种 B.96种 C.144种 D.288种
3.(2024山东临沂一模,6)将1到30这30个正整数分成甲、乙两组,每组各15个数,使得甲
组的中位数比乙组的中位数小2,则不同的分组方法数是 ( )
A.2 B.2 C.2 D.2
(C7
)
2 C7 C7 C6 C7 (C7
)
2
13 13 14 14 14 14
4.(2024福建厦门第二次质量检测,8)设集合A={-1,0,1},B={(x ,x ,x ,x ,x )|x∈A,i=1,2,3,4,5},
1 2 3 4 5 i
那么集合B中满足1≤|x |+|x |+|x |+|x |+|x |≤3的元素的个数为( )
1 2 3 4 5
A.60 B.100 C.120 D.130
5.(2024 湖 南 常 德 一 模 ,7) 已 知 (2x-3)9=a +a (x-1)+a (x-1)2+…+a (x-1)8+ , 则
0 1 2 8 a (x−1) 9
9
a +2a +3a +…+9a +10a = ( )
0 1 2 8 9
A.9 B.10 C.18 D.19
6.(2024 江苏南通第二次适应性调研,3)若(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)10=a +a x+a x2+…+a x10,
0 1 2 10
则a 等于 ( )
2
A.49 B.55 C.120 D.165
7.(2024湖南九校联盟第二次联考,6)某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为 3%,
某人存入大额存款a 元,按照复利计算10年后得到的本利和为a ,下列各数中与a 最接
0 10 10
a
0
近的是 ( )
A.1.31 B.1.32 C.1.33 D.1.34
8.(2024浙江台州第二次教学质量评估,7)房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角
度的切割,以契合实际需要.已知长方体的规格为24 cm×11 cm×5 cm,现从长方体的某一棱
11
的中点处作垂直于该棱的截面,截取 1 次后共可以得到 12 cm×11 cm×5 cm,24 cm×
2
5
cm×5 cm,24 cm×11 cm× cm三种不同规格的长方体.按照上述方式对第1次所截得的长
2
方体进行第2次截取,再对第2次所截得的长方体进行第3次截取,则共可得到体积为165
cm3的不同规格长方体的个数为 ( )A.8 B.10 C.12 D.16
9.(2024安徽蚌埠第四次教学质量检查,13)2024年3月5日,李强总理在政府工作报告中强
调“大力推进现代化产业体系建设,加快发展新质生产力”.新质生产力代表一种生产力
的跃迁,它是科技创新在其中发挥主导作用的生产力,具有高效能、高效率、高质量的特
征,为了让同学们对新质生产力有更多的了解,某中学利用周五下午课外活动时间同时开
设了四场公益讲座,主题分别是“新能源与新材料的广泛应用”“AI+医疗的发展趋势”
“低空经济的前景展望”“从人工智能、工业互联网到大数据”.已知甲、乙、丙、丁
四人从中一共选择两场去学习,则甲、乙两人不参加同一个讲座的选择共有 48
种(用数字作答).
练风向
(概念深度理解)(多选)(2024山东济南一模,11)下列等式中正确的是 ( )
8 8
A.∑❑Ck =28 B.∑❑C2 =C3
8 k 9
k=1 k=2
8 k−1 1 8
C.∑❑ =1- D.∑❑(Ck ) 2 =C8
k! 8! 8 16
k=2 k=0
专题九 计数原理、概率与统计
9.1 计数原理
五年高考
高考新风向
1.(2024全国甲理,13,5分,中)(1 ) 10的展开式中,各项系数中的最大值为 5 .
+x
3
2.(创新考法)(2024新课标Ⅰ,14,5分,难)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字 1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字 2,4,6,8,两人进行四轮比赛,
在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,
数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后
1
的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为 .
2
3.(创新考法)(2024新课标Ⅱ,14,5分,难)在右图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和
每列均恰有一个方格被选中,则共有 2 4 种选法.在所有符合上述要求的选法中,选
中方格中的4个数之和的最大值是 11 2 .
考点1 计数原理、排列与组合
1.(2023新课标Ⅱ,3,5分,易)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随
机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取 60名学生,已知该校初中部和高
中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有 ( D )
A. · 种 B. · 种
C45 C15 C20 C40
400 200 400 200
C. · 种 D. · 种
C30 C30 C40 C20
400 200 400 200
2.(2020新高考Ⅰ,3,5分,易)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个
场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有 ( C
)
A.120种 B.90种 C.60种 D.30种
3.(2022新高考Ⅱ,5,5分,易)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不
站 在 两 端 , 丙 和 丁 相 邻 , 则 不 同 的 排 列 方 式 共 有
( B )
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
4.(2023全国乙理,7,5分,中)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读 2种,则这两人选
读 的 课 外 读 物 中 恰 有 1 种 相 同 的 选 法 共 有
( C )
A.30种 B.60种 C.120种 D.240种
6. (2023新课标Ⅰ,13,5分,易)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生
需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有64 种(用数字作答).
考点2 二项式定理
1.(2022北京,8,4分,易)若(2x-1)4=a x4+a x3+a x2+a x+a ,则a +a +a = ( B )
4 3 2 1 0 0 2 4
A.40 B.41 C.-40 D.-41
2.(2023天津,11,5分,易)在 ( 2x3− 1) 6的展开式中,x2的系数为 6 0 .
x
3.(2020课标Ⅲ理,14,5分,易)(
x2+
2) 6的展开式中常数项是 24 0 (用数字作答).
x
4.(2022新高考Ⅰ,13,5分,易)( y)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为 -28 (用数字
1−
x
作答).
5.(2021 浙江,13,6 分,中)已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a x3+a x2+a x+a ,则 a = 5
1 2 3 4 1
;a +a +a = 1 0 .
2 3 4三年模拟
练速度
1.(2024东北三省三校第二次联考,3)按分层抽样的方法,从15个相同的红球和10个相同
的黑球中抽出10个球排成一排,则不同的排列方法为( C )
A. B.
C10A10 C6 C4 A10
25 10 15 10 10
C. D.
C4 A6A4
10 6 4
2.(2024河北邯郸第三次调研,4)在 ( x3− 2) 6的展开式中, 1 的系数为 ( A )
x x2
A.-192 B.-6 C.6 D.192
3.(2024江西4月教学质量检测,3)已知 ( 2) n的展开式中只有第3项的二项式系数最大,
x+
x
则展开式的常数项为 ( A )
A.24 B.18 C.12 D.6
4.(2024浙江杭州二模,6)将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动,每个社区至少1名,
则不同的分配方法数是 ( C )
A.300 B.240 C.150 D.50
5.(2024福建厦门毕业班第四次质检,6)某校5名同学到A、B、C三家公司实习,每名同学
只能去1家公司,每家公司至多接收2名同学.若同学甲去A公司,则不同的安排方法共有
( B )
A.18种 B.30种 C.42种 D.60种
6.(2024重庆二诊,6)有男、女教师各1人,男、女学生各2人,从中选派3人参加一项活动,
要求其中至少有1名女性,并且至少有1名教师,则不同的选派方案有 ( C )
A.10种 B.12种 C.15种 D.20种
7.(2024安徽江淮十校联考,3)学校食堂的一个窗口共卖5种菜,甲、乙2名同学每人从中
选一种或两种,且两人之间不会互相影响,则不同的选法种数为 ( C )
A.20 B.25 C.225 D.450
8.(2024山东淄博一模,5)小明设置六位数字的手机密码时,计划将自然对数的底数e=2.718
28…的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻,且相
同数字之间有一个数字,则小明可以设置的不同密码种数为 ( B )
A.24 B.16 C.12 D.109.(2024 山东菏泽一模,4)p:m=2,q:(mx+y)5的展开式中 x2y3项的系数等于 40,则 p 是 q 的(
A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
10.(2024江苏苏锡常镇调研(一),2)设(1+2x)5=a +a x+a x2+…+a x5,则a +a +…+a =( C )
0 1 2 5 1 2 5
A.-2 B.-1 C.242 D.243
11.(2024福建龙岩3月质量检测,5)(2x )(x+y)7的展开式中x5y2的系数为 ( D )
−1
y
A.-91 B.-21 C.14 D.49
12.(2024辽宁沈阳教学质量监测(三),6)已知 ( 2x2− a) 7的展开式中x2的系数是280,则实数
x
a的值为 ( C )
A.1 B.2 C.±1 D.±2
13.(2024湖北八市3月联考,5)已知今天是星期三,则67-1天后是 ( A )
A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期五
14.(多选)(2024浙江Z20名校联盟联考,9)已知(
x−
1 ) n (n∈N*)的展开式中含有常数项,则
√3 x
n的可能取值为 ( AC )
A.4 B.6 C.8 D.10
15.(2024江西重点中学盟校联考,12)(2x2+x-y)5的展开式中x5y2的系数为 12 0 .
16.(2024浙江温州一模,14) + = 8 2 .
(1+√2) 5 (1−√2) 5
17.(2024福建漳州第二次质量检测,14)在 ( 2) n的展开式中,第三项为常数项,展开式中
√x−
x
二项式系数和为a,所有项的系数和为b,则a-b= 6 3 .
练思维
1.(2024浙江金华十校模拟,7)金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教,
把这6个老师分配到3个学校,要求每个学校安排2名教师,且管理型教师不安排在同一
个学校,则不同的分配方案有 ( A )A.72种 B.48种 C.36种 D.24种
2.(2024广东深圳二模,6)已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名(无并列情况),其中甲
或乙是第一名,丙不是前三名,则这六名同学获得的名次情况可能有 ( C )
A.72种 B.96种 C.144种 D.288种
3.(2024山东临沂一模,6)将1到30这30个正整数分成甲、乙两组,每组各15个数,使得甲
组的中位数比乙组的中位数小2,则不同的分组方法数是 ( B )
A.2 B.2 C.2 D.2
(C7
)
2 C7 C7 C6 C7 (C7
)
2
13 13 14 14 14 14
4.(2024福建厦门第二次质量检测,8)设集合A={-1,0,1},B={(x ,x ,x ,x ,x )|x∈A,i=1,2,3,4,5},
1 2 3 4 5 i
那么集合B中满足1≤|x |+|x |+|x |+|x |+|x |≤3的元素的个数为( D )
1 2 3 4 5
A.60 B.100 C.120 D.130
5.(2024 湖 南 常 德 一 模 ,7) 已 知 (2x-3)9=a +a (x-1)+a (x-1)2+…+a (x-1)8+ , 则
0 1 2 8 a (x−1) 9
9
a +2a +3a +…+9a +10a = ( D )
0 1 2 8 9
A.9 B.10 C.18 D.19
6.(2024 江苏南通第二次适应性调研,3)若(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)10=a +a x+a x2+…+a x10,
0 1 2 10
则a 等于 ( D )
2
A.49 B.55 C.120 D.165
7.(2024湖南九校联盟第二次联考,6)某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为 3%,
某人存入大额存款a 元,按照复利计算10年后得到的本利和为a ,下列各数中与a 最接
0 10 10
a
0
近的是 ( D )
A.1.31 B.1.32 C.1.33 D.1.34
8.(2024浙江台州第二次教学质量评估,7)房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角
度的切割,以契合实际需要.已知长方体的规格为24 cm×11 cm×5 cm,现从长方体的某一棱
11
的中点处作垂直于该棱的截面,截取 1 次后共可以得到 12 cm×11 cm×5 cm,24 cm×
2
5
cm×5 cm,24 cm×11 cm× cm三种不同规格的长方体.按照上述方式对第1次所截得的长
2
方体进行第2次截取,再对第2次所截得的长方体进行第3次截取,则共可得到体积为165
cm3的不同规格长方体的个数为 ( B )A.8 B.10 C.12 D.16
9.(2024安徽蚌埠第四次教学质量检查,13)2024年3月5日,李强总理在政府工作报告中强
调“大力推进现代化产业体系建设,加快发展新质生产力”.新质生产力代表一种生产力
的跃迁,它是科技创新在其中发挥主导作用的生产力,具有高效能、高效率、高质量的特
征,为了让同学们对新质生产力有更多的了解,某中学利用周五下午课外活动时间同时开
设了四场公益讲座,主题分别是“新能源与新材料的广泛应用”“AI+医疗的发展趋势”
“低空经济的前景展望”“从人工智能、工业互联网到大数据”.已知甲、乙、丙、丁
四人从中一共选择两场去学习,则甲、乙两人不参加同一个讲座的选择共有 48
种(用数字作答).
练风向
(概念深度理解)(多选)(2024山东济南一模,11)下列等式中正确的是 ( BCD )
8 8
A.∑❑Ck =28 B.∑❑C2 =C3
8 k 9
k=1 k=2
8 k−1 1 8
C.∑❑ =1- D.∑❑(Ck ) 2 =C8
k! 8! 8 16
k=2 k=0
