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2024年高考导数复习专题九
知识点一 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,用导数判断或证明已知函数的单调
性,
利用导数证明不等式
典例1、设函数 ，其中 为自然对数的底数.
（1）当 时，判断函数 的单调性（2）若直线 是函数 的切线，求实数
的值；
（3）当 时，证明： .
随堂练习：已知函数 ，且曲线 在 处的切线平行于直线
．
（1）求a的值； （2）求函数 的单调区间；
（3）已知函数 图象上不同的两点 ，试比较 与的大小．
典例2、已知函数
（1）若曲线 在点 处的切线与 轴平行.（i）求 的值；（ii）求函数
的单调区间；
（2）若 ，求证： .随堂练习：已知函数 ，g .
（1）求 在点 处的切线方程； （2）讨论 的单调性；
（3）当 时，求证： .
典例3、形如 的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：
在函数解析式两边取对数得 ，两边对 求导数，得
，于是 .已知
， .
（1）求曲线 在 处的切线方程； （2）若 ，求 的单调区间；
（3）求证： 恒成立.随堂练习：已知函数 ， ．
（1）求曲线 在 处的切线方程； （2）求函数 在 上的单调区
间；
（3）证明：对任意的实数 ， ， ，都有
恒成立．
知识点二 函数单调性、极值与最值的综合应用,利用导数证明不等式
典例4、已知函数 在 处的切线过点 ，a为常数．
（1）求a的值； （2）证明： ．随堂练习：已知函数 ( 为自然对数的底数， 为常数)的图像在(0，1)处的
切线斜率为 .
（1）求 的值及函数 的极值； （2）证明：当 时， .
典例5、已知函数 .（1）当 时， 恒成立，求 的取值范围；
（2）若曲线 的一条切线为 ，证明：当 时，
恒成立.
随堂练习：：已知函数 （ ），曲线 在点 处的切线在
轴上的截距为 .
（1）求 的最小值； （2）证明：当 时， .典例6、已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间；（2）若 恒成立，求a的值；
（3）求证：对任意正整数 ，都有 （其中e为自
然对数的底数）.
随堂练习：已知曲线 在 处的切线方程为 ．其中a、b
均为实数．
（1）求 的值； （2）若 是函数 的极小值点，证明：．
2024年高考导数复习专题九答案
典例1、答案：（1） 在区间 上单调递增.（2） （3）见证明
解：（1）函数 的定义域为 .
因为 ，所以 ， 所以 在区间 上单调递增.
（2）设切点为 ，则 ，
因为 ，所以 ，得 ， 所以 .
设 ，则 ， 所以当 时， ， 单
调递增，
当 时， ， 单调递减， 所以 .
因为方程 仅有一解 ， 所以 .（3）因为 ，
设 ，则 ，所以 在 单调递增.
因为 ， ， 所以存在 ，使得
.
当 时， ， ， 单调递减，当 时， ， ，
单调递增，
所以 . 因为 ，所以 ， ，
所以 .
随堂练习：答案： （1） ；（2）函数 的单调增区间是 ，单调减区间是
；
（3）
解: （1） 的定义域为 ．
曲线 在 处的切线平行于直线 ， ， ．
（2） ， ．
当 时， 是增函数；当 时， 是减函数．
函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 ．（3） ， ， ．
又 ，
．
设 ，则 ， 在 上是增函数．
令 ，不妨设 ， ， ，
即 ．又 ， ， ．
典例 2、答案：（1）（i） ，（ii） 单增区间为 ，单递减区间为
（2）证明见解析.
解:（1）（i） 定义域为 ，由 可得
，
因为曲线 在点 处的切线与 轴平行， 所以 ，可得：，
（ii）当 时， ， ， 令 ，则
，
所以 在 上单调递减，且 ，
所以当 时， ， ；当 时， ， ；
所以 单增区间为 ，单递减区间为 ；
（2）要证明 ，即证 ， 等价于
令 ，只需证明 ， ，
，
由 得 有异号的两根， 令其正根为 ，则 ，
当 时 ， ；当 时 ， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，可得 ，
所以 ，即 .随堂练习：答案：（1） （2）当 时， 在R上单调递增；当
时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（3）证明见解析
解：（1） 定义域为 ， ，则 ，
所以 在点 处的切线方程为： ，即
（2） 定义域为R， ，当 时， 恒成立， 在
R上单调递增，
当 时，令 ，解得： ，令 ，
解得： ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上：当 时， 在R上单调递增；当 时， 在 上单调
递减，
在 上单调递增.
（3）令 ， ， ，当 时， ，
单调递减，故 ，即 ，故 ，
令 ， ，其中 ，
则 ，
令 ，则 ，令 ，解得： ，当 时， ， 单调递减，当 时， ，
单调递增， ，由于 ，故
，
所以 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
，
所以 ，证毕.
典例3、答案：（1） ；（2） 的单调增区间为 ，无单调减区间；（3）
证明见解析.
解: （1）由幂指函数导数公式得 ， 所以 ，又 ，
所以，曲线 在 处的切线方程为 .
（2） ，
则
，
所以 的单调增区间为 ，无单调减区间.
（3）构造 ， ， 则 ，
令 ， 所以，
因为 与 同号，所以 ，所以 ，又 ，
所以 ，
所以 即 为 上增函数，又因为 ， 所以，当 时，
；
当 时， . 所以， 为 上减函数，为 上增函
数，
所以， ， 即 ，
因此， 恒成立，即证.
随堂练习：答案：（1） ；（2）单调递增区间是 ，单调递减区间是
；
（3）证明见解析.
解:（1）由题意可知， ， ， 所以 ，
所以 在 处的切线方程为 ，即 ．
（2） ，
当 时， ； 当 时， ；
所以函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．（3）证明：不等式 可化为
．
设 ， 即证函数 在 上是增函数，
即证 在 上恒成立，
即证 在 上恒成立． 令 ，则
，
在 上单调递减，在 上单调递增， ， 所以 ，
即 ．
因为 ，所以 ， 所以要证 成立，只需证
．
令 ， ， 则 ，
当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调
递增，
所以 ， 所以 ，
即 在 上恒成立，即证．典例4、答案：（1） （2）证明见解析.
解：（1）由 ，得 ， 所以 ，
，
因为 在 处的切线过点 ， 所以 ，
所以 ，解得 ，
（2）证明：要证 ，即证 ， 即证
，
即证 ， 因为 ， 所以即证 ，
令 ，则 ， 当 时， ，当
时， ，
所以 在 上递减，在 上递增， 所以 ， 所以 恒
成立，
令 ，则 ， 所以 在 递增，
所以当 时， 取得最小值0， 所以原不等式成立.
随堂练习：答案：（1） ， 极小值 ， 无极大值 （2）证明见解
析
解：（1）由 ，得 . 由题意得， ，即 ，
所以 ， . 令 ，得 ，当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增．
所以当 时， 取得极小值，且极小值为 ，
无极大值．
（2）证明：令 ，则 . 由(1)知，
，
故 在 上单调递增． 所以当 时， ， 即 .
典例5、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由 ，得 ，
当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
，此时 恒成立，
当 时，令 则 ，解得 ， 当 时，
，
当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上
单调递减.
当 时， 取得最小值为 ，
不满题意，
综上所述， 的取值范围为 .（2）由题意可知， ， 所以
，
设切线为 的切点为 ， 则 ，解得 ，
所以 ， 所以 ，
要证 ，只需证 即可，
所以 表示点 与点 连线的斜率，
因为 ，所以当 距 的距离越远，斜率越小，当b趋近a时，
，
所以 成立，即证 .
随堂练习：答案：（1） 的最小值为0. （2）详见解析.
解：（1） ， ，
故曲线 在点 处的切线方程为：
将 代入求得 ，所以 .
当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单
调递减；
所以 ， 故 的最小值为0.（2）由（1）知当 时， ，从而
所以有 ， ，（当 时等号成立）， 所以有 ，
要证 成立，只要证 成立，
令 ，且 ，
，
故 在 上为增函数，所以
即 恒成立，故 成立，
所以 成立.
典例 6、答案：（1） 单调增区间是 ，单调减区间是 和 （2）
（3）证明见解析
解：（1） 的定义域为 ， ，
令 得 或 ，当 时， ；当 时， ；当
时， ，
∴ 的单调增区间是 ，单调减区间是 和 .
（2）由 ，得 对 恒成立. 记 ，
，1°若 ，则 恒成立， 在 上单调递减，
当 时， ，不符合题意.
2°若 ，令 ，得 ， 当 时， ；当 时，
，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减， ∴
.
记 ， . 令 得 ，
当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增.
∴ ，即 （当且仅当 时取等号），
∴ .又因为 ，故 .
（3）由（2）可知： ，（当且仅当 时等号成立）.
令 ，则 ，（ ，3，4…，n）.
∴
，
即 ，也即 ，
所以 ，
故对任意正整数 ，都有 .
随堂练习：答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）定义域为 ， ， 由题意知， ,
解得 , ∴ ;
（2）由（1）知 ， 令 ，则
，
从而 ，即 单调递增，
，故存在唯一的 使得 ，
故可得下表：
x
- 0 +
递减 极小值 递增从而 是 仅有的一个极小值点，∴ ，∴
，
令 ， 则 ，
从而 在 上单调递减， ， 故
；
下证 ，即证 ； 一方面令 ，则
，
则 在 上单调递增，从而 ，
另一方面，令 ， 令 有 ，
x
+ 0 -
递增 极大值 递减
从而 ， 从而 即 成立，故 ，
故 .
