文档内容
2025版新教材高考数学第二轮复习
8.2 椭圆
五年高考
高考新风向
1.(多想少算、回归教材)(2024新课标Ⅱ,5,5分,易)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意
一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 ( )
x2 y2 x2 y2
A. + =1(y>0) B. + =1(y>0)
16 4 16 8
y2 x2 y2 x2
C. + =1(y>0) D. + =1(y>0)
16 4 16 8
x2 y2 ( 3)
2.(2024全国甲理,20,12分,中)设椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F,点M 1, 在C上,
a2 b2 2
且MF⊥x轴.
(1)求C的方程;
(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证
明:AQ⊥y轴.
( 3) x2 y2
3.(2024新课标Ⅰ,16,15分,中)已知A(0,3)和P 3, 为椭圆C: + =1(a>b>0)上两点.
2 a2 b2
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.考点1 椭圆的定义和标准方程
x2 y2
1.(2021新高考Ⅰ,5,5分,中)已知F ,F 是椭圆C: + =1的两个焦点,点M在C上,则|MF |
1 2 9 4 1
·|MF |的最大值为 ( )
2
A.13 B.12 C.9 D.6
x2
2.(2023 全国甲文,7,5 分,中)设 F ,F 为椭圆 C: +y2=1 的两个焦点,点 P 在 C 上,若⃗PF ·
1 2 5 1
⃗PF =0,则|PF |·|PF |= ( )
2 1 2
A.1 B.2 C.4 D.5
x2
3.(2021全国乙文,11,5分,中)设B是椭圆C: +y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值
5
为 ( )
5
A. B.√6 C.√5 D.2
2
x2 y2 1
4.(2022全国甲文,11,5分,中)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,A ,A 分别为C的
a2 b2 3 1 2
左、右顶点,B为C的上顶点.若⃗BA ·⃗BA =-1,则C的方程为 ( )
1 2
x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1
18 16 9 8x2 y2 x2
C. + =1 D. +y2=1
3 2 2
x2 y2
5.(2023全国甲理,12,5分,中)设O为坐标原点,F ,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,点P在
1 2 9 6
3
C上,cos∠F PF = ,则|OP|= ( )
1 2 5
13 √30 14 √35
A. B. C. D.
5 2 5 2
x2 y2
6.(2022北京,19,15分,中)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),焦距为2√3.
a2 b2
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交
于点M,N.当|MN|=2时,求k的值.
x2 y2
7.(2020课标Ⅱ理,19,12分,中)已知椭圆C : + =1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦
1 a2 b2 2
点重合,C 的中心与C 的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C 于A,B两点,交C 于C,D
1 2 1 2
4
两点,且|CD|= |AB|.
3
(1)求C 的离心率;
1
(2)设M是C 与C 的公共点.若|MF|=5,求C 与C 的标准方程.
1 2 1 2考点2 椭圆的几何性质
x2 x2
1.(2023 新课标Ⅰ,5,5 分,易)设椭圆 C : +y2=1(a>1),C : +y2=1 的离心率分别为 e ,e .若
1 a2 2 4 1 2
e =√3e ,则a= ( )
2 1
2√3
A. B.√2
3
C.√3 D.√6
x2
2.(2023新课标Ⅱ,5,5分,中)已知椭圆C: +y2=1的左、右焦点分别为F ,F ,直线y=x+m与
3 1 2
C交于A,B两点,若△F AB面积是△F AB面积的2倍,则m= ( )
1 2
2 √2
A. B.
3 3
√2 2
C.- D.-
3 3
x2 y2
3.(2022全国甲理,10,5分,中)椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关
a2 b2
1
于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为 ,则C的离心率为 ( )
4
√3 √2
A. B.
2 2
1 1
C. D.
2 3
x2 y2
4.(2021全国乙理,11,5分,难)设B是椭圆C: + =1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点
a2 b2
P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是 ( )
[√2 ) [1 )
A. ,1 B. ,1
2 2( √2] ( 1]
C. 0, D. 0,
2 2
x2 y2
5.(2022新高考Ⅱ,16,5分,中)已知直线l与椭圆 + =1在第一象限交于A,B两点,l与x
6 3
轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2√3,则l的方程为 .
x2 y2
6.(2021全国甲,文16,理15,5分,中)已知F ,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,P,Q为C上
1 2 16 4
关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F F |,则四边形PF QF 的面积为 .
1 2 1 2
x2 y2
7.(2021浙江,16,6分,中)已知椭圆 + =1(a>b>0),焦点F (-c,0),F (c,0)(c>0).若过F 的直
a2 b2 1 2 1
( 1 ) 2
线和圆 x− c +y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF ⊥x轴,则该直线的斜率是
2 2
,椭圆的离心率是 .
x2 y2
8.(2022 新高考Ⅰ,16,5 分,难)已知椭圆 C: + =1(a>b>0),C 的上顶点为 A,两个焦点为
a2 b2
1
F ,F ,离心率为 .过F 且垂直于AF 的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是
1 2 2 1 2
.三年模拟
练速度
x2 y2
1.(2024辽宁辽阳一模,1)若P为椭圆C: + =1上一点,F ,F 为C的两个焦点,且|PF |
121 96 1 2 2
=8,则|PF |= ( )
1
A.10 B.12 C.14 D.16
x2 √2
2.(2024湖北七市州3月调研,4)已知椭圆C: +y2=1,则“m=2”是“椭圆C的离心率为
m 2
”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
x2 y2
3.(2024东北三省三校一模,4)已知平面直角坐标系xOy中,椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶
a2 b2
点和上顶点分别为A,B,过椭圆C左焦点F且平行于直线AB的直线交y轴于点D.若⃗OD
=2⃗DB,则椭圆C的离心率为 ( )
1 √3 1 2
A. B. C. D.
2 2 3 3
x2 y2
4.(2024广东一模,6)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F 、F ,P为椭圆C
a2 b2 1 2
上一点,且|PF |=4|PF |,则椭圆C的离心率的取值范围是 ( )
1 2
[1 2) [2 3) [2 ) [3 )
A. , B. , C. ,1 D. ,1
5 5 5 5 5 5
x2 y2
5.(2024贵州六校联盟联考(三),8)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,
a2 b2 1 2
过点F 的直线l与椭圆C交于P,Q两点,若|F Q|∶|F P|∶|F Q|=1∶3∶5,则该椭圆的离心率为 (
2 2 1 1
)
√2 √2 √3 √3
A. B. C. D.
2 3 2 3
x2 y2
6.(2024湖南长沙雅礼中学月考八,7)已知点O为坐标原点,椭圆 + =1的左、右焦点分
9 5别为F ,F ,点P在椭圆上,设线段PF 的中点为M,且|OF |=|OM|,则△PF F 的面积为 (
1 2 1 2 1 2
)
√15
A.√15 B. C.3√7 D.4√15
2
7.(多选)(2024湖南长沙长郡中学、浙江杭州二中、江苏南京师大附中联考,9)设椭圆C:
x2 y2
+ =1的左、右焦点分别为F 、F ,P是C上的动点,则下列结论正确的是 ( )
1 2
25 16
3
A.椭圆C的离心率e=
5
B.|PF |+|PF |=5
1 2
C.△PF F 面积的最大值为12
1 2
16
D.|PF |的最小值为
1 5
x2 y2
8.(多选)(2024黑龙江双鸭山二模,9)已知椭圆C: + =1的左、右焦点分别为F ,F ,上顶
4 3 1 2
点为P,若过F 且倾斜角为30°的直线l交椭圆C于A,B两点,则 ( )
1
1
A.C的离心率为
2
B.⃗PF ·⃗PF =2
1 2
C.点F 到直线l的距离为√3
2
D.△PAB的周长为8
9.(多选)(2024湖南长沙联考,10)某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道
的近日点(距离太阳最近的点)与太阳中心的距离为d ,远日点(距离太阳最远的点)与太阳
1
中心的距离为d ,并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上,则 ( )
2
A.轨道的焦距为d +d
2 1
d −d
B.轨道的离心率为 2 1
d +d
2 1
C.轨道的短轴长为2√d d
1 2
d
D.当 1越大时,轨道越扁
d
2x2 y2
10.(2024山东青岛一模,13)已知O为坐标原点,点F为椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点,
a2 b2
点A,B在C上,AB的中点为F,OA⊥OB,则C的离心率为 .
x2 y2
11.(2024山东潍坊、滨州一模,16)已知椭圆E: + =1(a>b>0),点A,C分别是E的左、上
a2 b2
顶点,|AC|=√5,且E的焦距为2√3.
(1)求E的方程和离心率;
(2)过点(1,0)且斜率不为零的直线交椭圆于 R,S 两点,设直线 RS,CR,CS 的斜率分别为
k,k ,k ,若k +k =-3.求k的值.
1 2 1 2
练思维
1.(2024山东淄博一模,8)已知F ,F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P,Q是它们的两个公共点,
1 2
2π
e2
且 P,Q 关于原点对称,∠PF Q= ,若椭圆的离心率为 e ,双曲线的离心率为 e ,则 1 +
2 3 1 2 e2+1
1
3e2
2 的最小值是 ( )
e2+3
2
2+√3 1+√3 2√3 4√3
A. B. C. D.
3 3 3 3
x2 y2
2.(多选)(2024安徽阜阳一模,10)已知O为坐标原点,椭圆C: + =1的左、右焦点分别为
6 2F ,F .A,B两点都在C上,A,O,B三点共线,P(不与A,B重合)为上顶点,则( )
1 2
A.|AB|的最小值为4
B.|AF |+|BF |为定值
1 1
C.存在点A,使得AF ⊥AF
1 2
1
D.k ·k =-
PA PB 3
x2 y2
3.(多选)(2024安徽合肥第一次质检,11)已知椭圆C: + =1的左、右顶点分别为 A,B,左
4 2
焦点为F,M为C上异于A,B的一点,过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N,
交x轴于点T,则( )
A.存在点M,使∠AMB=120°
B.⃗TA·⃗TB=2⃗TM·⃗TN
4
C.⃗FM·⃗FN的最小值为-
3
D.△FMN周长的最大值为8
x2 y2
4.(2024山西晋城二模,14)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,过F 的
a2 b2 1 2 2
√3
直线与 C 交于 A,B 两点,且|AF |=|AB|,若△OAF 的面积为 b2,其中 O 为坐标原点,则
1 1 6
|AB|
的值为 .
|F F |
1 2
x2 y2
5.(2024河北唐山一模,14)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,过F 的
a2 b2 1 2 2
x2 y2
直线交E于A,B两点,C(0,-1)是线段BF 的中点,且⃗AB·⃗AC=⃗AC2,则E的方程为 +
1 9 6
=1 .
x2 y2
6.(2024湖南师大附中二模,17)在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆 + =1(a>b>0)的右
a2 b2
√3
顶点为(2,0),离心率为 ,P是直线x=4上任一点,过点M(1,0)且与PM垂直的直线交椭圆
2
于A,B两点.
(1)求椭圆的方程;(2)设直线PA,PM,PB的斜率分别为k ,k ,k ,问:是否存在常数λ,使得k +k =λk ?若存在,求出
1 2 3 1 3 2
λ的值;若不存在,说明理由.
x2 y2
7.(2024安徽皖江名校联盟联考,18)已知点P在椭圆C: + =1的外部,过点P作C的两
4 2
条切线,切点分别为A,B.
x x y y
(1)①若点A坐标为(x ,y ),求证:直线PA的方程为 1 + 1 =1;
1 1 4 2
x x y y
②若点P的坐标为(x ,y ),求证:直线AB的方程为 0 + 0 =1.
0 0 4 2
(2)若点P在圆x2+y2=4上,求△PAB面积的最大值.练风向
1.(创新知识交汇)(2024福建泉州质量检测三,3)已知圆锥SO的轴截面是边长为2的正三
角形,过其底面圆周上一点A作平面α,若α截圆锥SO得到的截口曲线为椭圆,则该椭圆的
长轴长的最小值为 ( )
√3
A. B.1 C.√3 D.2
2
2.(创新考法)(2024浙江杭州二模,14)机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示,该纸杯母线
长为12 cm,开口直径为8 cm.旅客使用纸杯喝水时,当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过
母线中点时,椭圆的离心率等于 .
8.2 椭圆
五年高考
高考新风向
1.(多想少算、回归教材)(2024新课标Ⅱ,5,5分,易)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意
一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 ( A )
x2 y2 x2 y2
A. + =1(y>0) B. + =1(y>0)
16 4 16 8y2 x2 y2 x2
C. + =1(y>0) D. + =1(y>0)
16 4 16 8
x2 y2 ( 3)
2.(2024全国甲理,20,12分,中)设椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F,点M 1, 在C上,
a2 b2 2
且MF⊥x轴.
(1)求C的方程;
(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证
明:AQ⊥y轴.
解析 (1)∵MF⊥x轴,且M在C上,
b2 3
∴c=1, = ,结合c2=a2-b2,解得a=2,b=√3,
a 2
x2 y2
∴C的方程为 + =1.
4 3
(2)证明:当直线AB与x轴重合时显然符合题意.
当直线不与x轴重合时,设直线AB的方程为x=ty+4,A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
{
x=ty+4,
联立 x2 y2 消去x得(4+3t2)y2+24ty+36=0,
+ =1,
4 3
由Δ=(24t)2-4×(4+3t2)×36=144(t2-4)>0,得t2>4,
−24t 36
由根与系数的关系得y +y = ,y y = ,
1 2 4+3t2 1 2 4+3t2
(5 )
∵N为FP的中点,∴N ,0 ,
2
y 2 ( x− 5)
∴直线NB的方程为y= 5 2 ,
x −
2 2
3 y
2
令x=1,解得y Q =- 2 ( x − 5),
2 2
3 y 2x y −5 y +3 y 2t y y +3(y + y )
2 2 1 1 2 1 2 1 2
∴y 1 -y Q =y 1 + 2 ( x − 5) = 2 ( x − 5) = 2 ( x − 5) ,
2 2 2 2 2 2
36 −24t
∵2ty y +3(y +y )=2t· +3· =0,
1 2 1 2 4+3t2 4+3t2∴y =y ,即AQ⊥y轴.
1 Q
综上,AQ⊥y轴.
( 3) x2 y2
3.(2024新课标Ⅰ,16,15分,中)已知A(0,3)和P 3, 为椭圆C: + =1(a>b>0)上两点.
2 a2 b2
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.
9
{ =1,
( 3) x2 y2 b2 {a2=12,
解析 (1)将A(0,3),P 3, 代入椭圆方程 + =1得 解得
2 a2 b2 9 9 b2=9,
+ =1,
a2 4b2
√ b2 1
所以椭圆的离心率e= 1− = .
a2 2
(2)当直线l的斜率不存在时,l:x=3,
1 9
此时S = ×3×3= ,不符合题意.
△ABP 2 2
3
当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-3)+ ,
2
3
{y=k(x−3)+ ,
2
联立
x2 y2
+ =1,
12 9
消去y整理得(3+4k2)x2+(12k-24k2)x+36k2-36k-27=0,
设P(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
24k2−12k 36k2−36k−27
则x +x = ,x x = ,
1 2 3+4k2 1 2 3+4k2
6|2k+3|
∴|BP|=√1+k2·√(x +x ) 2−4x x =√1+k2· ,
1 2 1 2 3+4k2
|3 |
+3k
又点A到直线l的距离d= 2 ,
√1+k2
|3 |
1 1 6|2k+3| +3k 1 3
∴S = |BP|·d= ×√1+k2· · 2 =9,解得k= 或k= ,
△ABP 2 2 3+4k2 2 2
√1+k21 3
∴直线l的方程为y= x或y= x-3.
2 2
考点1 椭圆的定义和标准方程
x2 y2
1.(2021新高考Ⅰ,5,5分,中)已知F ,F 是椭圆C: + =1的两个焦点,点M在C上,则|MF |
1 2 9 4 1
·|MF |的最大值为 ( C )
2
A.13 B.12 C.9 D.6
x2
2.(2023 全国甲文,7,5 分,中)设 F ,F 为椭圆 C: +y2=1 的两个焦点,点 P 在 C 上,若⃗PF ·
1 2 5 1
⃗PF =0,则|PF |·|PF |= ( B )
2 1 2
A.1 B.2 C.4 D.5
x2
3.(2021全国乙文,11,5分,中)设B是椭圆C: +y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值
5
为 ( A )
5
A. B.√6 C.√5 D.2
2
x2 y2 1
4.(2022全国甲文,11,5分,中)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,A ,A 分别为C的
a2 b2 3 1 2
左、右顶点,B为C的上顶点.若⃗BA ·⃗BA =-1,则C的方程为 ( B )
1 2
x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1
18 16 9 8
x2 y2 x2
C. + =1 D. +y2=1
3 2 2
x2 y2
5.(2023全国甲理,12,5分,中)设O为坐标原点,F ,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,点P在
1 2 9 6
3
C上,cos∠F PF = ,则|OP|= ( B )
1 2 5
13 √30 14 √35
A. B. C. D.
5 2 5 2
x2 y2
6.(2022北京,19,15分,中)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),焦距为2√3.
a2 b2
(1)求椭圆E的方程;(2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交
于点M,N.当|MN|=2时,求k的值.
x2
解析 (1)由题意得b=1,c=√3,则a=√12+(√3) 2=2,所以椭圆E的方程为 +y2=1.
4
(2)过点P且斜率为k的直线方程为y-1=k(x+2),设B(x ,y ),C(x ,y ),
1 1 2 2
{y−1=k(x+2),
联立直线和椭圆 E 的方程得 x2 可得(1+4k2)·x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0,由
+ y2=1,
4
Δ>0可得(16k2+8k)2-4(1+4k2)·(16k2+16k)>0,解得k<0,
−16k2−8k 16k2+16k
根据根与系数的关系可得x +x = ,x x = .
1 2 1+4k2 1 2 1+4k2
y −1 (y −1)x
直线AB的斜率k = 1 ,则直线AB的方程为y= 1 +1,令y=0,可得点M的横坐标
AB x x
1 1
x
x = 1 ,
M 1−y
1
x
同理可得点N的横坐标x = 2 ,
N 1−y
2
| x x | | x x |
则|MN|= 1 − 2 = 1 − 2
1−y 1−y −k(x +2) −k(x +2)
1 2 1 2
|1( x x ) | |1 x (x +2)−x (x +2)|
= 2 − 1 = · 2 1 1 2
k x +2 x +2 k x x +2(x +x )+4
2 1 1 2 1 2
| 1 2√(x +x ) 2−4x x |
= · 1 2 1 2 =2.
k x x +2(x +x )+4
1 2 1 2
| √ (−16k2−8k) 2 16k2+16k|
2 −4·
1
1+4k2 1+4k2
所以 · =2,
k 16k2+16k −16k2−8k
+2· +4
1+4k2 1+4k2
|√−k| 1
化简可得 = ,解得k=-4,
k 2故k的值为-4.
x2 y2
7.(2020课标Ⅱ理,19,12分,中)已知椭圆C : + =1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦
1 a2 b2 2
点重合,C 的中心与C 的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C 于A,B两点,交C 于C,D
1 2 1 2
4
两点,且|CD|= |AB|.
3
(1)求C 的离心率;
1
(2)设M是C 与C 的公共点.若|MF|=5,求C 与C 的标准方程.
1 2 1 2
解析 (1)由已知可设C 的方程为y2=4cx,其中c=√a2−b2.
2
b2 b2
不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为 ,- ;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,
a a
2b2
故|AB|= ,|CD|=4c.
a
4 8b2 c (c) 2 c c 1
由|CD|= |AB|得4c= ,即3× =2-2 .解得 =-2(舍去)或 = .
3 3a a a a a 2
1
所以C 的离心率为 .
1 2
x2 y2
(2)由(1)知a=2c,b=√3c,故C : + =1.
1 4c2 3c2
x2 y2 x2 4x
设M(x ,y ),则 0 + 0 =1,y2=4cx ,故 0 + 0=1.①
0 0 4c2 3c2 0 0 4c2 3c
(5−c) 2 4(5−c)
由于C 的准线为x=-c,所以|MF|=x +c,而|MF|=5,故x =5-c,代入①得 + =1,即
2 0 0 4c2 3c
c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.
x2 y2
所以C 的标准方程为 + =1,C 的标准方程为y2=12x.
1 36 27 2
考点2 椭圆的几何性质
x2 x2
1.(2023 新课标Ⅰ,5,5 分,易)设椭圆 C : +y2=1(a>1),C : +y2=1 的离心率分别为 e ,e .若
1 a2 2 4 1 2
e =√3e ,则a= ( A )
2 12√3
A. B.√2
3
C.√3 D.√6
x2
2.(2023新课标Ⅱ,5,5分,中)已知椭圆C: +y2=1的左、右焦点分别为F ,F ,直线y=x+m与
3 1 2
C交于A,B两点,若△F AB面积是△F AB面积的2倍,则m= ( C )
1 2
2 √2
A. B.
3 3
√2 2
C.- D.-
3 3
x2 y2
3.(2022全国甲理,10,5分,中)椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关
a2 b2
1
于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为 ,则C的离心率为 ( A )
4
√3 √2
A. B.
2 2
1 1
C. D.
2 3
x2 y2
4.(2021全国乙理,11,5分,难)设B是椭圆C: + =1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点
a2 b2
P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是 ( C )
[√2 ) [1 )
A. ,1 B. ,1
2 2
( √2] ( 1]
C. 0, D. 0,
2 2
x2 y2
5.(2022新高考Ⅱ,16,5分,中)已知直线l与椭圆 + =1在第一象限交于A,B两点,l与x
6 3
轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2√3,则l的方程为 x + √2 y -2 √2 =0 .
x2 y2
6.(2021全国甲,文16,理15,5分,中)已知F ,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,P,Q为C上
1 2 16 4
关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F F |,则四边形PF QF 的面积为 8 .
1 2 1 2
7.(2021浙江,16,6分,中)已知椭圆x2+y2=1(a>b>0),焦点F (-c,0),F (c,0)(c>0).若过F 的直
1 2 1
a2 b2( 1 ) 2
线和圆 x− c +y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF ⊥x轴,则该直线的斜率是
2 2
2√5 √5
,椭圆的离心率是 .
5 5
x2 y2
8.(2022 新高考Ⅰ,16,5 分,难)已知椭圆 C: + =1(a>b>0),C 的上顶点为 A,两个焦点为
a2 b2
1
F ,F ,离心率为 .过F 且垂直于AF 的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是
1 2 2 1 2
13 .三年模拟
练速度
x2 y2
1.(2024辽宁辽阳一模,1)若P为椭圆C: + =1上一点,F ,F 为C的两个焦点,且|PF |
121 96 1 2 2
=8,则|PF |= ( C )
1
A.10 B.12 C.14 D.16
x2 √2
2.(2024湖北七市州3月调研,4)已知椭圆C: +y2=1,则“m=2”是“椭圆C的离心率为
m 2
”的 ( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
x2 y2
3.(2024东北三省三校一模,4)已知平面直角坐标系xOy中,椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶
a2 b2
点和上顶点分别为A,B,过椭圆C左焦点F且平行于直线AB的直线交y轴于点D.若⃗OD
=2⃗DB,则椭圆C的离心率为 ( D )
1 √3 1 2
A. B. C. D.
2 2 3 3
x2 y2
4.(2024广东一模,6)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F 、F ,P为椭圆C
a2 b2 1 2
上一点,且|PF |=4|PF |,则椭圆C的离心率的取值范围是 ( D )
1 2
[1 2) [2 3) [2 ) [3 )
A. , B. , C. ,1 D. ,1
5 5 5 5 5 5
x2 y2
5.(2024贵州六校联盟联考(三),8)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,
a2 b2 1 2
过点F 的直线l与椭圆C交于P,Q两点,若|F Q|∶|F P|∶|F Q|=1∶3∶5,则该椭圆的离心率为 (
2 2 1 1
A )
√2 √2 √3 √3
A. B. C. D.
2 3 2 3
x2 y2
6.(2024湖南长沙雅礼中学月考八,7)已知点O为坐标原点,椭圆 + =1的左、右焦点分
9 5别为F ,F ,点P在椭圆上,设线段PF 的中点为M,且|OF |=|OM|,则△PF F 的面积为 (
1 2 1 2 1 2
A )
√15
A.√15 B. C.3√7 D.4√15
2
7.(多选)(2024湖南长沙长郡中学、浙江杭州二中、江苏南京师大附中联考,9)设椭圆C:
x2 y2
+ =1的左、右焦点分别为F 、F ,P是C上的动点,则下列结论正确的是 ( AC )
1 2
25 16
3
A.椭圆C的离心率e=
5
B.|PF |+|PF |=5
1 2
C.△PF F 面积的最大值为12
1 2
16
D.|PF |的最小值为
1 5
x2 y2
8.(多选)(2024黑龙江双鸭山二模,9)已知椭圆C: + =1的左、右焦点分别为F ,F ,上顶
4 3 1 2
点为P,若过F 且倾斜角为30°的直线l交椭圆C于A,B两点,则 ( ABD )
1
1
A.C的离心率为
2
B.⃗PF ·⃗PF =2
1 2
C.点F 到直线l的距离为√3
2
D.△PAB的周长为8
9.(多选)(2024湖南长沙联考,10)某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道
的近日点(距离太阳最近的点)与太阳中心的距离为d ,远日点(距离太阳最远的点)与太阳
1
中心的距离为d ,并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上,则 ( BC )
2
A.轨道的焦距为d +d
2 1
d −d
B.轨道的离心率为 2 1
d +d
2 1
C.轨道的短轴长为2√d d
1 2
d
D.当 1越大时,轨道越扁
d
2x2 y2
10.(2024山东青岛一模,13)已知O为坐标原点,点F为椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点,
a2 b2
√5−1
点A,B在C上,AB的中点为F,OA⊥OB,则C的离心率为 .
2
x2 y2
11.(2024山东潍坊、滨州一模,16)已知椭圆E: + =1(a>b>0),点A,C分别是E的左、上
a2 b2
顶点,|AC|=√5,且E的焦距为2√3.
(1)求E的方程和离心率;
(2)过点(1,0)且斜率不为零的直线交椭圆于 R,S 两点,设直线 RS,CR,CS 的斜率分别为
k,k ,k ,若k +k =-3.求k的值.
1 2 1 2
解析 (1)因为|AC|=√5,所以a2+b2=5, (2分)
又因为焦距为2√3,所以a2-b2=3, (4分)
解得a2=4,b2=1. (5分)
x2 √3
所以椭圆E的方程为 +y2=1,离心率e= . (7分)
4 2
(2)由(1)知C(0,1),设R(x ,y ),S(x ,y ),x ≠x ,y y ≠0,
1 1 2 2 1 2 1 2
y −1 y −1
所以k = 1 ,k = 2 ,(8分)
1 x 2 x
1 2
由题意知直线RS:y=k(x-1)(k≠±1),
x2
代入 +y2=1得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,
4
8k2 4k2−4
则有x +x = ,x x = . (10分)
1 2 4k2+1 1 2 4k2+1
因为k +k =-3,
1 2
y −1 y −1 x y −x +x y −x 2kx x −(k+1)(x +x )
所以k +k = 1 + 2 = 2 1 2 1 2 1 = 1 2 1 2 =-3,
1 2 x x x x x x
1 2 1 2 1 2
即(2k+3)x x -(k+1)(x +x )=0,
1 2 1 2
4k2−4 8k2
所以(2k+3) -(k+1) =0,
4k2+1 4k2+1
整理得k2-2k-3=0. (14分)
又k≠±1,所以k=3.故k的值为3. (15分)
练思维
1.(2024山东淄博一模,8)已知F ,F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P,Q是它们的两个公共点,
1 2
2π
e2
且 P,Q 关于原点对称,∠PF Q= ,若椭圆的离心率为 e ,双曲线的离心率为 e ,则 1 +
2 3 1 2 e2+1
1
3e2
2 的最小值是 ( A )
e2+3
2
2+√3 1+√3 2√3 4√3
A. B. C. D.
3 3 3 3
x2 y2
2.(多选)(2024安徽阜阳一模,10)已知O为坐标原点,椭圆C: + =1的左、右焦点分别为
6 2
F ,F .A,B两点都在C上,A,O,B三点共线,P(不与A,B重合)为上顶点,则( BCD )
1 2
A.|AB|的最小值为4
B.|AF |+|BF |为定值
1 1
C.存在点A,使得AF ⊥AF
1 2
1
D.k ·k =-
PA PB 3
x2 y2
3.(多选)(2024安徽合肥第一次质检,11)已知椭圆C: + =1的左、右顶点分别为 A,B,左
4 2
焦点为F,M为C上异于A,B的一点,过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N,
交x轴于点T,则( BCD )
A.存在点M,使∠AMB=120°
B.⃗TA·⃗TB=2⃗TM·⃗TN
4
C.⃗FM·⃗FN的最小值为-
3
D.△FMN周长的最大值为8
4.(2024山西晋城二模,14)已知椭圆C:x2+y2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,过F 的
1 2 2
a2 b2
√3
直线与 C 交于 A,B 两点,且|AF |=|AB|,若△OAF 的面积为 b2,其中 O 为坐标原点,则
1 1
6|AB| 2√3
的值为 .
|F F | 3
1 2
x2 y2
5.(2024河北唐山一模,14)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,过F 的
a2 b2 1 2 2
x2 y2
直线交E于A,B两点,C(0,-1)是线段BF 的中点,且⃗AB·⃗AC=⃗AC2,则E的方程为 +
1 9 6
=1 .
x2 y2
6.(2024湖南师大附中二模,17)在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆 + =1(a>b>0)的右
a2 b2
√3
顶点为(2,0),离心率为 ,P是直线x=4上任一点,过点M(1,0)且与PM垂直的直线交椭圆
2
于A,B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线PA,PM,PB的斜率分别为k ,k ,k ,问:是否存在常数λ,使得k +k =λk ?若存在,求出
1 2 3 1 3 2
λ的值;若不存在,说明理由.
c √3
解析 (1)由题意知a=2,e= = ,∴c=√3,
a 2
∴b2=a2-c2=1,
x2
∴椭圆的方程为 +y2=1. (5分)
4
(2)设存在常数λ,使得k +k =λk .
1 3 2
当直线AB的斜率不存在时,其方程为x=1, (7分)
( √3) ( √3)
代入椭圆方程得A 1, ,B 1,− ,此时P(4,0),可得k +k =0=k ;
2 2 1 3 2
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),k≠0,A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
将直线方程代入椭圆方程得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0, (9分)
8k2 4k2−4
∴x +x = ,x x = . (10分)
1 2 1+4k2 1 2 1+4k2
∵P是直线x=4上任一点,过点M(1,0)且与PM垂直的直线交椭圆于A,B两点,
1 ( 3)
∴直线PM的方程为y=- (x-1),∴P 4,− , (11分)
k k3 3 3 3
1 y + y + y + y +
k =- ,k = 1 k ,k = 2 k ,∵k +k =λk ,∴ 1 k + 2 k =
2 k 1 3 1 3 2
x −4 x −4 x −4 x −4
1 2 1 2
3
k[2x 1 x 2 −5(x 1 +x 2 )+8]+ k (x 1 +x 2 −8) =λ ( − 1) ,
k
x x −4(x +x )+16
1 2 1 2
8k2 4k2−4 2 λ
将x +x = ,x x = 代入上式,并化简得- =- ,解得λ=2.
1 2 1+4k2 1 2 1+4k2 k k
综上,存在常数λ=2,使得k +k =λk . (15分)
1 3 2
x2 y2
7.(2024安徽皖江名校联盟联考,18)已知点P在椭圆C: + =1的外部,过点P作C的两
4 2
条切线,切点分别为A,B.
x x y y
(1)①若点A坐标为(x ,y ),求证:直线PA的方程为 1 + 1 =1;
1 1 4 2
x x y y
②若点P的坐标为(x ,y ),求证:直线AB的方程为 0 + 0 =1.
0 0 4 2
(2)若点P在圆x2+y2=4上,求△PAB面积的最大值.
解析 (1)证明:① 当 PA 的斜率存在时,y ≠0,设直线 PA 的方程为 y-y =k(x-x ),联立
1 1 1
{y−y =k(x−x ),
1 1
x2 y2
+ =1,
4 2
消去y整理得(1+2k2)x2+4k(y -kx )x+2(y -kx )2-4=0,
1 1 1 1
由已知得Δ=16k2(y -kx )2-4(1+2k2)[2(y -kx )2-4]=0,
1 1 1 1
化简得(4-x2)k2+2x y k+2-y2=0.
1 1 1 1
因为x2 +2y2 =4,所以4y2 k2+4x y k+x2 =0,
1 1 1 1 1 1
x
即(2y k+x )2=0,所以k=- 1 ,
1 1 2y
1
则直线PA的方程为y-y =- x (x-x ),即x x+2y y= +2 ,则x x+2y y=4,故直线PA的方程为
1 1 1 1 1 x2 y2 1 1
2y 1 1
1x x y y
1 + 1 =1,
4 2
当PA的斜率不存在时,y =0,直线PA的方程为x=2或x=-2,满足上式.
1
x x y y
综上,直线PA的方程为 1 + 1 =1.
4 2
x x y y
②设B(x ,y ),由①知,直线PB的方程为 2 + 2 =1.
2 2 4 2
x x y y x x y y
1 0+ 1 0=1, 2 0+ 2 0=1,
4 2 4 2
x x y y
则A(x ,y ),B(x ,y )两点都在直线 0 + 0 =1上,
1 1 2 2 4 2
x x y y
由于两点确定一条直线,所以直线AB的方程为 0 + 0 =1.
4 2
x x y y
{ 0 + 0 =1,
x x y y 4 2
(2)由(1)②知直线AB的方程为 0 + 0 =1,由题意知y ≠0,联立
4 2 0 x2 y2
+ =1,
4 2
消去y整理得(x2+2y2)x2-8x x+16-8y2=0,
0 0 0 0
因为x2 +y2 =4,所以Δ=64x2 -4(x2 +2y2 )(16-8y2 )=32y4
>0.
0 0 0 0 0 0 0
因为A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
8x 8x 16−8 y2
所以x +x = 0 = 0 ,x x = 0 ,
1 2 x2+2y2 y2+4 1 2 y2+4
0 0 0 0
√ ( x2 ) √4+3 y2 32y4 2|y |√2(4+3 y2 )
所以|AB|= 1+ 0 [(x +x ) 2−4x x ]= 0· 0 = 0 0 ,
4 y2 1 2 1 2 4 y2 (y2+4) 2 y2+4
0 0 0 0
|x2+2y2−4| y2
0 0 0
又点P到直线AB的距离d= = ,
√x2+4 y2 √4+3 y2
0 0 0
1 √2|y |3
所以△PAB的面积S= |AB|d= 0 (y ≠0),
2 y2+4 0
0
√2y3 √2(y4+12y2
)
当00,
0 0 y2+4 0 (y2+4) 2
0 0
故f(y )在(0,2]上单调递增,所以f(y )的最大值为f(2)=√2,
0 0由对称性可知当-2≤y <0时, f(y )的最大值也为√2.
0 0
故△PAB面积的最大值为√2.
练风向
1.(创新知识交汇)(2024福建泉州质量检测三,3)已知圆锥SO的轴截面是边长为2的正三
角形,过其底面圆周上一点A作平面α,若α截圆锥SO得到的截口曲线为椭圆,则该椭圆的
长轴长的最小值为 ( C )
√3
A. B.1 C.√3 D.2
2
2.(创新考法)(2024浙江杭州二模,14)机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示,该纸杯母线
长为12 cm,开口直径为8 cm.旅客使用纸杯喝水时,当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过
3√17
母线中点时,椭圆的离心率等于 .
17
