文档文本内容
专题3-3 函数的奇偶性与对称性
重难点题型
【题型1】判断函数的奇偶性
【题型2】 利用奇偶性求值
【题型3】利用奇偶性求参数
【题型4】利用奇偶性求解析式
【题型5】利用函数奇偶性识别图像
【题型6】利用奇偶性与单调性比大小
【题型7】利用单调性解奇函数不等式
中档题型
【题型8】利用单调性解偶函数不等式
【题型9】已知f(x)=奇函数+M
【题型10】函数中心对称的抽象表达式及应用
【题型11】函数轴对称的抽象表达式及应用
【题型12】构造新函数解不等式
【课后作业】
重难点题型
【题型1】判断函数的奇偶性
一、函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
，那么函数
就叫做偶函数
关于
轴对称
奇函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
，那么函数
就叫做奇函数
关于原点对称
二、判断奇偶性技巧
热点题型解读（目录）
模块一
【核心题型突破】·举一反三
模块二
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数
是偶函数
函数
的图象关于
轴对称；
函数
是奇函数
函数
的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数
在
处有意义，则有
；
偶函数
必满足
.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称
的两个区间上单调性相同.
(5)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得
的函数，如
.
偶
偶
偶
偶
偶
偶
奇
不确定
奇
偶
奇
偶
不确定
奇
偶
奇
奇
奇
偶
奇
【注意】在
中，
的值域是
定义域的子集．
1．（23-24 高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·高一·山东·期中）（多选）已知
有相同的定义域，
是偶函数，
是
奇函数，且
，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
是偶函数
D．
是奇函数
【巩固练习1】判断下列函数的奇偶性
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【巩固练习2】设函数
的定义域为
，且
是奇函数，
是偶函数，则下列结论
中正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
是奇函数
D．
是奇函数
【题型2】 利用奇偶性求值
由函数的奇偶性求函数值
由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用
或
求解
3．已知函数
在R 上是奇函数，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．0
D．
【巩固练习1】已知
是偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．7
D．5
【巩固练习2】如果函数
是奇函数，则
（ ）
A．
B．2
C．3
D．
【巩固练习3】已知奇函数
的定义域为
，且当
时，
；当
时，
，则
（ ）
A．7
B．9
C．-7
D．-9
【题型3】利用奇偶性求参数
利用函数的奇偶性求参数函数的奇偶性，题目难度不大，属于基础题。根据偶函数的定义，即可求
参数考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力
常见方法：
（1）定义法
奇函数：
；偶函数：
（2）特殊值法
可以取0，±1 这类比较好计算的特殊值
（3）函数性质法
①
为偶函数，
②奇
奇=奇；偶
偶=偶；奇
奇=偶；奇
偶=奇；偶
偶=偶，结合常见函数模型
③复合函数
的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
（4）定义域对称法
若解析式中含有2 个参数时，可以考虑通过定义域对称这个限制来得出参数的值
4．已知
为R 上的偶函数，则
.
5．已知定义在
上的函数
是奇函数，则实数
的值为 ．
6．已知函数
为R 上的奇函数，则
的值是（ ）
A．0
B．
C．12
D．10
7．若
为奇函数，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【巩固练习1】（2024·高一·贵州安顺·期末）已知函数
是偶函数，则
.
【巩固练习2】（2024·高一·江西上饶·期末）若函数
是
上的偶函数，则
的值为 .
【巩固练习3】若函数
是定义在
上的偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【题型4】利用奇偶性求解析式
由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤
（1）在哪个区间上求解析是，
就设在哪个区间上；
（2）把
对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得
；
（3）利用函数的奇偶性把
改写成
或
，从而求出
．
8．所函数
是
上的偶函数， 且当
时，函数的解析式为
，则
；
当
时，函数的解析式为 .
9．函数
是一个偶函数，
是一个奇函数，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】设
为奇函数，且当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】
是定义在R 上的偶函数，当
时，
，求当
时，
的解析式．
【巩固练习3】（23-24 高一上·广东韶关·期中）如果函数
是奇函数，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】已知函数
为奇函数，函数
为偶函数，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【巩固练习5】（2024·高一·河南·期中）已知
分别是定义在
上的偶函数和奇函数，且
，则
（ ）
A．1
B．3
C．
D．
【题型5】利用函数奇偶性识别图像
判断函数图像常用的办法是排除法
一:判断奇偶性(依选项而判断)
二:代入特殊点看正负
10．函数
的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．函数
的图象大致为（ ）
A
B
C
D
【巩固练习1】函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】（2024·高一·江苏南京·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，
形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数
解析式来分析函数的图像特征，函数
在[
2
﹣，2]上的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】（2024·高一·重庆·期中）函数
的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型6】利用奇偶性与单调性比大小
利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而 利
用其单调性比较大小
12．已知奇函数
的定义域为
，且不等式
对任意两个不相等的
正实数
，
都成立，在下列不等式中，正确的是
A．
B．
C．
D．
13．设偶函数
的定义域为
，当
时，
是增函数，则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】已知函数
是定义在
上的偶函数，又
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】已知函数
在
上单调递减，且
的图象关于直线
对称，则
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】（23-24 高一下·湖南长沙·月考）已知函数
是定义在
上的偶函数，函数
是定义在
上的奇函数，且
，
在
上单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型7】利用单调性解奇函数不等式
先移项，再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到 具体的不等式(组)，并注意是否有定
义域的限制
14．已知奇函数
在
上单调递增，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．若定义在
上的奇函数
在
单调递减，且
，则满足
的
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m 的取值
范围．
【巩固练习2】函数
是定义在
上的单调递增的奇函数，且
.
(1)求函数
的解析式；(2)求满足
的的范围；
【巩固练习3】设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)<0 的解集为(
)
A．(－1,0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,0)∪(0,2)
【巩固练习4】设奇函数
在
上为增函数，且
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
中档题型
【题型8】利用单调性解偶函数不等式
利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，再加上绝对值，得到绝对值不等式(组)，注意是否有定
义域的限制
16．已知函数
是定义域为R 的偶函数，且对任意
，
,
，当
时总有
，则满足
的
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．已知
是定义在
上的偶函数，且在
上递减，则不等式
的解集是 ．
【巩固练习1】已知
是定义在
上的偶函数，且在区间
单调递减，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】已知定义在
上的偶函数
在
上为减函数，且
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】已知定义在
上的偶函数
，且
．
(1)求函数
的解析式；(2)解关于
的不等式
．
【题型9】已知f(x)=奇函数+M
已知
( )
f x 奇函数M
，
[
, ]
x
a a
，则
（1）
(
)
( )
2
f
x
f x
M
（2）
max
min
( )
( )
2
f x
f x
M
18．（22-23 高一上·浙江台州·期中）已知
，
，则
（ ）
A．3
B．1
C．-1
D．-5
19．已知函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
，则
．
20．定义在
上的奇函数
，设函数
的最大值为
，最小值为
，则
．
【巩固练习1】（2024·高一·浙江·期中）已知函数
，若
，则
．
【巩固练习2】若函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
，则
．
【巩固练习3】已知
与
均为奇函数，
（a､b 为非零常数），若
，则
.
【巩固练习4】（23-24 高一上·重庆·期中）已知函数
，且
，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型10】函数中心对称的抽象表达式及应用
奇函数、偶函数图象对称性的推广
在定义域内恒满足
的图象的对称轴（中心）
直线
直线
直线
点
点
点
21．（多选）函数
的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.现已知函数
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
对称中心为
B．函数
对称中心为
C．当
时，
在
上单调递增
D．若
，
与
的图象共有2022 个交点，记为
，则
的值为4044
【巩固练习1】我们知道函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数
的图像关于点
成中心对称图
形的充要条件是函数
为奇函数，则函数
的对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】已知函数
满足
，若
与
的图像有交点
，
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．3
D．6
【巩固练习3】已知函数
满足
，若函数
与
图象的交点
为
，
，…，
，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）
A．2020
B．
C．1010
D．
【题型11】函数轴对称的抽象表达式及应用
奇函数、偶函数图象对称性的推广
在定义域内恒满足
的图象的对称轴（中心）
直线
直线
直线
22．设函数
的定义域为
，若
在
上单调递减，且关于
对称，则下列结论正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】已知函数
在
上单调递减且对任意x∈R满足
，则不
等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．(1,+∞)
D．(1,4)
【巩固练习2】已知函数
满足
，对任意
，且
，都
有
成立，且
，则
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型12】构造新函数解不等式
常见的构造函数模型
（1）
（2）
23．若函数
是定义域为
，且对
，且
，有
，不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．定义在(0,+ ∞)上的函数
满足：对
，且
，都有
成立，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】已知
为
上的奇函数，
，若
且
，都有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】设
是定义在
上的奇函数，对任意的
，满
足：
，且
，则不等式
的解集为 .
【巩固练习3】已知
是定义在
上的奇函数，
，若
，且
时，
恒成立，则不等式
的解集是 .
【巩固练习4 】定义在
上的函数
满足：
，且对于
上的
有：
.则关于
的不等式解集为 .
【巩固练习5 】已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，恒有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习6】已知偶函数
的定义域为
，且有
，
，若对
，
，都有
，则不等式
的解集为 .
【课后作业】
1．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂
分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析
式来琢磨函数的图象特征，如函数
的图象大致为（ ）
【课后作业】
模块三
A．
B．
C．
D．
2．已知偶函数
，当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）
是定义在
上的奇函数，下列结论中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选题）（2024·高一·山东滨州·竞赛）已知
是奇函数，
是偶函数，下列说法正确
的是（ ）
A．
是偶函数
B．
为奇函数
C．
为偶函数
D．
为偶函数
5．函数
的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
是
上的奇函数，且图像关于
对称．若
，则
（ ）
A．4
B．
C．3
D．
7．已知函数
为奇函数，函数
为偶函数，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
8．若函数
是定义在
上的偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．2
9．已知函数
为定义在
上的奇函数，且在
为减函数，在
为增函数，
，则
不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知偶函数
的定义域为
，且在
上为增函数，则（ ）
①
；②
；③
；④
在
上为减函数．
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
11．已知函数
为
上的奇函数，
，则
.
12．知函数
，若
，则
.
13．已知
是定义域为
上的偶函数，且
在
上为减函数，若
成立，则实数a 的范围是
14．已知函数
为奇函数，
与
的图像有8 个交点，分别为
，则
.
15．已知函数
，
.
(1)判断函数
的奇偶性；
(2)用定义法证明：函数
在
上单调递增；
(3)求不等式
的解集
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