文档内容
专题 12 预备知识十二：函数的奇偶性
1、了解函数奇偶性的定义
2、掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
3、会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题
知识点一：函数的奇偶性
1、定义：
1.1偶函数：一般地，设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且 ，那么
函数 就叫做偶函数.
1.2奇函数：一般地，设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且 ，那么
函数 就叫做奇函数.
2、函数奇偶性的判断
2.1定义法：
（1）先求函数 的定义域 ，判断定义域是否关于原点对称.
（2）求 ，根据 与 的关系，判断 的奇偶性：
①若 是奇函数
②若 是偶函数
③若 既是奇函数又是偶函数
④若 既不是奇函数也不是偶函数
2.2图象法：
（1）先求函数 的定义域 ，判断定义域是否关于原点对称.
（2）若 的图象关于 轴对称 是偶函数
（3）若 的图象关于原点对称 是奇函数
2.3性质法：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司， 在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
知识点二：奇函数，偶函数的性质
1、奇函数，偶函数的图象特征
设函数 的定义域为
（1） 是偶函数 的图象关于 轴对称；
（2） 是奇函数 的图象关于原点对称；
（3）若 是奇函数且 ，则
2、函数的奇偶性与单调性的关系
（1） 是偶函数 在关于原点对称区间上具有相反的单调性；
（2） 是奇函数 在关于原点对称区间上具有相同的单调性；
3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系
设函数 的定义域为 （其中 ）
（1） 是偶函数，且 在 上单调，则 在 上有相反的单调性，
此时函数的最大（小）值相同；
（2） 是奇函数，且 在 上单调，则 在 上有相同的单调性，
此时函数的最值互为相反数；
知识点三：对称性
1、轴对称：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司设函数 的定义域为 ，且 是 的对称轴，则有：
① ；
②
③
2、点对称
设函数 的定义域为 ，且 是 的对称中心，则有：
① ；
②
③
3、拓展：
①若 ，则 关于 对称；
②若 ，则 关于 对称；
对点特训一：判断函数的奇偶性
典型例题
例题1．（23-24高一·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)偶函数
(2)奇函数
(3)非奇非偶函数
【分析】通过奇函数和偶函数的定义域关于原点对称，以及奇函数定义 ，偶函数定义
，判断各个小问的奇偶性.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】（1） 的定义域为 ，且 ，所以 为偶函数.
（2） 的定义域为 ，且 ，所以 为奇函数.
（3） 的定义域为 ，所以定义域不关于原点对称，所以 为非奇非偶函数.
例题2．（23-24高一·全国·课堂例题）判定下列函数是否为偶函数或奇函数：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
【答案】(1)偶函数.
(2)奇函数
(3)偶函数.
(4)既不是奇函数，也不是偶函数.
【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义，即可判断；
（2）根据题意，由函数奇偶性的定义，即可判断；
（3）根据题意，由函数奇偶性的定义，即可判断；
（4）根据题意，由函数奇偶性的定义，即可判断；
【详解】（1）函数 的定义域是 .
因为对于任意的 ，都有 ，且
，
所以函数 是偶函数.
（2）函数 的定义域是 .
因为对于任意的 ，都有 ，且
，
所以函数 是奇函数.
（3）函数 的定义域是 .
因为对于任意的 ，都有 ，且
，
所以函数 是偶函数.
（4）函数 的定义域是 .
因为 ， ，所以
， .
因此，根据函数奇偶性定义可以知道，函数 既不是奇函数，也不是偶函数.
精练
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）判断下列函数的奇偶性：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
【答案】(1)偶函数
(2)奇函数
(3)奇函数.
【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断.
【详解】（1） 的定义域为 ，它关于原点对称.
，故 为偶函数.
（2） 的定义域为 ，它关于原点对称.
，故 为奇函数.
（3） 的定义域为 ，它关于原点对称.
，故 为奇函数.
2．（2024高一·全国·专题练习）判断下列函数是否具有奇偶性：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)
【答案】(1)奇函数
(2)偶函数
(3)非奇非偶函数
(4)非奇非偶函数
【分析】根据函数奇偶性的定义分别判断即可.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
因为 ，
所以函数 为奇函数；
（2）函数 的定义域为 ，
因为 ，
所以函数 为偶函数；
（3）函数 的定义域为 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以 ，
所以函数 是非奇非偶函数；
（4）因为函数 的定义域为 ，不关于原点对称，
所以函数 是非奇非偶函数.
对点特训二：根据函数的奇偶性求值
典型例题
例题1．（2024·山东泰安·三模）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由奇函数性质可求得 的值，结合 计算即可.
【详解】由题意得，函数 为奇函数，且定义域为 ，
由奇函数的性质得， ，解得 ，经过检验符合题意，
所以当 时， ，
所以 .
故选：D.
例题2．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，则
等于 .
【答案】
【分析】利用分段函数的性质与偶函数的性质即可得解.
【详解】因为 是定义在 上的偶函数，
所以 .
故答案为： .
精练
1．（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）已知 是偶函数，当 时， ，则
（ ）
A． B． C．7 D．5
【答案】B
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【分析】函数为偶函数，有 ，代入解析式求解即可.
【详解】 是偶函数，当 时， ，
则 .
故选：B
2．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知 是奇函数，当 时， ，则
.
【答案】
【分析】根据奇函数的性质， ，则 可求得答案.
【详解】因为 是奇函数，所以 ，
当 时， ，所以 .
故答案为：
对点特训三：根据函数的奇偶性求解析式
典型例题
例题1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则 时 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质求解即可.
【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数，
当 时， ， ，所以 .
故选：C
例题2．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时，
，则当 时， 的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用偶函数的定义，直接求函数解析式.
【详解】由函数 为偶函数，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司得当 时， ， ，
故选：D.
精练
1．（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数 在 上为偶函数，且当 时， ，则当
时， 的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.
【详解】当 时， ，
由于 是偶函数，
所以 .
故选：C
2．（2024高一·全国·专题练习）已知 为偶函数,当 时， ，当 时，求
解析式.
【答案】
【分析】利用函数的寄偶性即可求出.
【详解】设 ，则 ，所以
又因 是定义域上的偶函数，所以 ，
所以 .
对点特训四：根据函数的奇偶性求参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，
则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．0
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性的性质列出方程组求解即可得到答案.
【详解】因为函数 是定义在 上的偶函数
所以函数定义域关于原点对称，且 .
则 ，解得 .
所以 .
故选：B
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题2．（2024·四川内江·三模）若函数 是奇函数，则 .
【答案】
【分析】利用奇函数定义，结合分段函数分段探讨求解即得.
【详解】函数 是奇函数， ，
当 时， ， ，
而当 时， ，则 ，
当 时， ， ，
而当 时， ，则 ，
所以 ， .
故答案为：
例题3．（23-24高一上·陕西商洛·期末）已知函数 是偶函数，则 ．
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义即可求解.
【详解】因为函数 是偶函数，
所以 ，即 ，即 ，
于是有 ，解得 .
故答案为： .
精练
1．（23-24高一上·上海嘉定·期末）函数 为偶函数，则实数
.
【答案】
【分析】根据偶函数的概念可知 恒成立，即可得解.
【详解】由已知 定义域为 ，
又函数 为偶函数，
则 恒成立，
即 ，
化简可得 恒成立，
又 时， 不恒成立，
所以 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
2．（23-24高一上·云南保山·期中）已知函数 是偶函数，其定义域为
，则
【答案】
【分析】根据定义域关于原点对称可得 ，根据 可求 ，从而可求 与 .
【详解】因为函数 是定义域为 的偶函数，
所以 ①，
且 ，即 ，解得 ,
代入①，可得 ，
所以 .
故答案为: .
3．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数 是偶函数，则实数 .
【答案】
【分析】利用二次函数的对称性与偶函数的性质，列式即可得解.
【详解】因为 是二次函数，开口向上，对称轴为 ，
又 是偶函数，则对称轴为 轴，所以 ，解得 .
故答案为： .
对点特训五：根据函数的奇偶性解不等式
典型例题
例题1．（23-24高一上·河南周口·阶段练习）设 是定义在 上的偶函数，且在
内是增函数，又 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通过分析函数的单调性结合 ，即可得出不等式 的解集.
【详解】由题意，
在 中，函数是定义在 上的偶函数，且在 内是增函数，
∴ ，函数在 单调递减，
∵ ，
∴当 和 时， ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故选：B.
例题2．（23-24高一上·陕西商洛·阶段练习）已知 是定义在 上的奇函数，在 上单调递增，
，那么 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据奇函数的性质和函数单调性相关知识直接求解即可.
【详解】因为 是定义在 上的奇函数，在 上单调递增， ，
所以 在 上单调递增， ，
所以当 和 时， ，
当 和 时， ，
若 ，则 或 ，
所以 或 ，
所以原不等式的解集为 .
故选：B
例题3．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知定义域为 的偶函数 在区间 上严格减，且
，则不等式 的解集为 .
【答案】
【分析】由偶函数和函数的单调性可得出 ，可得出 ，解之即可.
【详解】因为定义域为 的偶函数 在区间 上严格减，
则 ，
所以 ，即 或 ，解得 或 ，
即所求解集为 .
故答案为： .
精练
1．（23-24高一上·河北张家口·期中）已知偶函数 在区间 上单调递增，则不等式
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，转化不等式，解出即可.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】因为偶函数 在区间 上单调递增，
故由 得：
，
解得 ，
故选：C
2．（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）函数 是R上的偶函数，且在 上是增函数，若
，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】C
【分析】根据函数的单调性求解.
【详解】解： 是R上的偶函数，且在 上是增函数
在 是减函数， ， ， ；
故选：C．
3．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性求出不等式的解集.
【详解】解：由题意，
在 中，
∴ 为奇函数，
设对于任意的 ，且 ，
∵
∴ ，
∴ ，函数单调递增
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司∵
∴ ，
∴
解得：
∴不等式 的解集为
故选：A.
对点特训六：通过构造奇函数求值
典型例题
例题1．（2024高一·全国·专题练习）已知函数 ，且 ，则
【答案】
【分析】设 ，易判断 为奇函数， ，则 ，两式
相加结合奇函数可求得结果.
【详解】设 ， ，
且
则 为奇函数，则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 .
故答案为：1.
例题 2．（23-24 高一上·北京·期中）已知函数 ，且 ，则
．
【答案】
【分析】
令 ， ，即可判断 、 的奇偶性，再根据奇偶性求出 .
【详解】令 ， ， ，
则 ， ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以 为奇函数， 为偶函数，
又 ，且 ， ，
所以 ， ，
又 ，
所以 .
故答案为：
精练
1．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知函数 ，若 ，则 .
【答案】
【分析】通过构造奇函数的方法来求得正确答案.
【详解】令 为奇函数， ，
.
故答案为：
2．（23-24高一上·广东·期末）已知函数 ，若 ，则 .
【答案】
【分析】由题可得 ，即可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，则
.
故答案为： .
1．（2024·北京朝阳·二模）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据已知的各个函数的性质，可以直接作出判断.
【详解】 是奇函数，它在区间 上单调递增，在定义域内不是增函数，
所以选项A是错误的；
是偶函数，所以选项B是错误的；
既不是奇函数又不是偶函数，所以选项C是错误的；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司满足既是奇函数又在其定义域上是增函数，所以选项D是正确的；
故选：D.
2．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数 在 上是减函数且最小值是4，那么 在 上
是（ ）
A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4
C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4
【答案】B
【分析】根据奇函数的对称性，在区间 上的性质，可得到函数在区间 上的性质，即可求解.
【详解】由题意，奇函数 在区间 上是减函数，根据奇函数的对称性，可得函数 在
区间 上也是减函数，又由奇函数 在区间 上的最小值是4，
即 ，所以 ，所以函数 在区间 上的
最大值为 ，
故选：B.
3．（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据奇函数的定义判断即可.
【详解】对于A，因为 的定义域为 ，且 ，所以
为偶函数；
对于B，因为 的定义域为 ，且 ，所以 不是奇
函数；
对于C，因为 的定义域为 ，且
，所以 为奇函数；
对于D，因为 的定义域为 ，且 ，所以
为偶函数；
故选： .
4．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，
则 （ ）
A． B．2 C．3 D．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【分析】由函数为奇函数，有 ，代入函数解析式求值即可．
【详解】 是定义在 上的奇函数，当 时， ，
则 ．
故选：B．
5．（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数 是奇函数，那么 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】运用奇函数定义求解即可.
【详解】当 时， ，
所以 ，
又因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，即 ，
所以当 时， .
故选：A.
6．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，则条件即为 ，利用 的性质将条件转化为 ，推出A
正确，最后构造其它选项的反例即可.
【详解】设 ，则 ，从而 是单调递增的奇函数.
从而条件 等价于 ，即 ，这又等价于 ，即
，即 ，故A正确；
条件等价于 ，取 ， ，此时B，C，D均不成立，故B，C，D错误.
故选：A.
7．（23-24高一上·北京·期中）已知奇函数 的定义域为 ，且 在 上单调递减．若
，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用奇函数的性质结合单调性计算即可.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】根据奇函数的性质可知 在 和 上单调递减，
且 ，
所以 的解集为 .
故选：B
8．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）若函数 是定义在 上的偶函
数，则 （ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，列出方程，即可求解.
【详解】因为函数 是定义在 上的偶函数，所以定义域关于原点对称，
可得 ，所以 ，
由 ，可得 ，解得 ，所以 ．
故选：A
二、多选题
9．（2024·广东茂名·二模）已知函数 为 上的奇函数，且在R上单调递增.若 ，
则实数 的取值可以是 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】CD
【分析】先利用函数 是奇函数，将不等式 转变为 ，再利用函数
在 上单调递增，将不等式 转变为 ，求解即可.
【详解】因为函数 是奇函数，
则不等式 ，可变形为 ，
因为函数 在 上单调递增，
则不等式 成立，则 ，
解得 ，1，2符合题意，
故选：CD.
三、填空题
10．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则 的值为 .
【答案】4
【分析】由奇函数性质可求得 的值，结合 计算即可.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】由题得 ，解得 ，
所以当 时， ，
所以 .
故答案为：4.
四、解答题
11．（23-24高一上·北京·期中）已知函数 ．
(1)求 的值；
(2)判断函数 的奇偶性，并加以证明．
【答案】(1)
(2)奇函数，证明见解析
【分析】（1）代值计算可得出 的值；
（2）判断出函数 为奇函数，再利用函数奇偶性的定义证明可得结论.
【详解】（1）因为 ，则 ，所以， .
（2）函数 为奇函数，证明如下：
对于函数 ，有 ，可得 ，即函数 的定义域为 ，
因为 ，所以，函数 为奇函数.
12．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，
.
(1)求 时，函数 的解析式；
(2)若函数 的最小值为2，求实数 的取值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，得到 ，再利用函数 是定义在 上的奇函数求解；
（2）易得 ，再利用二次函数的性质求解.
【详解】（1）解：设 ，则 ，
因为当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以 ，
又函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ；
（2）函数 ，
其对称轴方程为 ，
当 时， ，解得 ，成立；
当 时， ，解得 ，不成立；
当 时， ，解得 ，不成立；
故a的值为 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司
