高一数学
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等
生
突破重难点
高一黄金阶段，专题突破与焦虑浮躁说再见
⊚考点难点直击
⊚命题规律揭迷
⊚答案精练解析
⊚提分思路指导
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O
x
y
目录
专题1 - 1 集合与常用逻辑用语重难点题型专练1
【题型1】结合元素的互异性求参数(分类讨论) 1
【题型2】集合关系的辨析2
【题型3】利用集合相等求参数3
【题型4】利用集合中元素的个数求参数5
【题型5】由集合间包含的关系求参数的范围6
热考题型1 求参数的值(互异性分类讨论)7
热考题型2 方程型(判别式与根的讨论)7
热考题型3 不等式型(注意讨论空集)9
【题型6】容斥原理10
【题型7】集合中的新定义问题15
【题型8】根据集合的交并补运算结果求参数17
热考题型1 分类讨论求参数的值(互异性)17
热考题型2 求参数范围(讨论空集)19
【题型9】根据集合混合运算的结果确定参数的范围20
【题型10】逆否条件的性质22
【题型11】根据充要条件求参数值23
【题型12】根据充分条件求参数取值范围23
【题型13】根据必要条件求参数取值范围24
【题型14】根据全称量词命题求参数范围(恒成立) 25
【题型15】根据特称量词命题求参数范围(能成立) 26
【题型16】命题与集合27
专题2 - 1 等式性质与不等式性质30
模块一重难点题型突破30
【题型1】用不等式(组) 表示不等式关系30
【题型2】利用不等式的性质判断命题真假31
【题型3】作差法比较两数(式) 的大小33
【题型4】作商法比较两数(式) 的大小35
【题型5】其它方法比大小36
【题型6】不等式性质的实际应用(设计方案) 37
模块二中档题突破40
【题型7】糖水不等式的证明及应用40
【题型8】不等式的证明及不等式判断综合44
【题型9】利用不等式性质求代数式取值范围(待定系数法) 48
模块三【课后作业】50
专题2 - 2 基本不等式(1) 57
模块一知识点与重点题型梳理57
【题型1】直接使用基本不等式和常用不等式57
【题型2】凑配法求最值58
【题型3】分离常数法求最值60
【题型4】“1”的妙用：乘“1”法61
模块二解题技巧突破64
【题型5】“1”的妙用(2)：“1”的代换64
【题型6】二次比一次型换元法求最值65
【题型7】分母换元法(1)：单换元66
【题型8】分母换元法(2)：双换元+ 配凑68
【题型9】和，积，平方和之间的转化70
模块三【课后作业】73
专题2 - 3 基本不等式(2)：中档题梳理与进阶训练80
模块一中档题梳理80
【题型1】判断不等式是否能成立80
【题型2】基本不等式与几何图形结合83
【题型3】基本不等式的实际应用问题87
【题型4】基本不等式恒成立问题91
【题型5】基本不等式能成立问题93
【题型6】消元法求最值94
【题型7】因式分解型97
【题型8】含有根式的配凑(根式平方和为定值型) 100
【题型9】同除型(构造齐次式) 100
【题型10】运用基本不等式证明不等式101
模块二技巧进阶102
【题型11】权方和不等式102
【题型12】二维柯西不等式104
【题型13】万能“k”法107
模块三【课后作业】108
专题2 - 4 二次函数与一元二次方程，不等式综合117
模块一重点题型梳理117
【题型1】三个“二次”关系的应用117
【题型2】一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式119
【题型3】由一元二次不等式的解集求参数122
【题型4】简单的含参一元二次不等式的解集125
【题型5】实数集上的含参一元二次不等式恒成立问题：判别式法127
【题型6】一元二次不等式的实际问题129
模块二中档题突破131
【题型7】有范围限制的含参一元二次不等式恒成立问题(2)：参变分离法131
【题型8】一元二次不等式与基本不等式结合135
【题型9】一元二次不等式与集合、逻辑用语综合135
【题型10】解含参一元二次不等式140
【题型11】含参一元二次不等式恒成立问题(3)：变更主元法解144
【题型12】一元二次不等式的整数解问题145
【题型13】一元二次方程根的分布147
模块三【课后训练】152
专题3 - 1 函数的概念及其表示160
模块一重点题型梳理160
【题型1】函数的概念160
【题型2】给出解析式求函数的定义域162
【题型3】函数图像的判断163
【题型4】相同函数的判断165
【题型5】已知定义域求参数167
【题型6】求函数值或由函数值求参168
【题型7】已知函数类型求函数的解析式(待定系数法求解析式) 169
模块二中档题突破170
【题型8】抽象函数求定义域170
【题型9】建立方程组求解析式(方程思想) 171
【题型10】求嵌套函数的解析式(换元或配凑) 172
【题型11】分离常数法求值域173
【题型12】换元法求函数的值域174
【题型13】分段函数的求值求参175
【题型14】函数的实际应用177
模块三【课后训练】179
专题3 - 2 函数的单调性与最值186
【题型1】单调性的概念与判断186
【题型2】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间188
【题型3】定义法讨论函数的单调性189
【题型4】利用单调性比较大小191
【题型5】求函数的最值或值域193
【题型6】利用单调性解不等式194
【题型7】在某区间上单调求参数范围196
【题型8】分段函数单调性问题198
【题型9】根据函数的最值或值域求参数199
【题型10】分段函数值域问题200
【题型11】复合函数单调性201
【题型12】不等式恒成立问题204
【课后作业】206
专题3 - 3 函数的奇偶性与对称性210
模块一重难点题型210
【题型1】判断函数的奇偶性210
【题型2】利用奇偶性求值212
【题型3】利用奇偶性求参数213
【题型4】利用奇偶性求解析式215
【题型5】利用函数奇偶性识别图像216
【题型6】利用奇偶性与单调性比大小219
【题型7】利用单调性解奇函数不等式220
模块二中档题型223
【题型8】利用单调性解偶函数不等式223
【题型9】已知f(x) = 奇函数+M 225
【题型10】函数中心对称的抽象表达式及应用227
【题型11】函数轴对称的抽象表达式及应用229
【题型12】构造新函数解不等式230
模块三【课后作业】234
专题4 - 1 幂函数与指数函数13 类题型总结239
【题型1】分数型指数幂的取值范围问题239
【题型2】二重根式的化简240
【题型3】求函数解析式240
【题型4】分数型指数幂的化简与计算求值242
【题型5】大致图象的判断及利用图形性质求参数范围245
【题型6】指数幂比大小251
【题型7】指数幂结合基本不等式求最值254
【题型8】指数函数的实际应用255
【题型9】指数型函数的奇偶函数模型259
【题型10】指数型函数的值域问题262
【题型11】解指数型函数不等式与恒成立问题264
【题型12】指数型复合函数单调性267
【题型13】指数型复合函数的奇偶性问题与函数不等式综合271
专题4 - 2 对数与对数函数15 类题型汇总278
【题型1】对数运算278
【题型2】指数式与对数式的相互转化280
【题型3】换底公式的应用281
热考题型1 用已知对数表示其他对数281
热考题型2 利用换底公式证明等式恒等283
【题型4】对数函数函数的概念与图象283
热考题型1 对数函数的概念284
热考题型2 对数函数过定点问题285
热考题型3 对数函数的图象性质286
【题型5】解对数方程289
热考题型1 常规对数方程290
热考题型2 对数型嵌套函数方程290
【题型6】对数型复合函数的奇偶性问题292
【题型7】对数相关函数图像的识别297
【题型8】对数型复合函数的值域问题300
热考题型1 已知对数型复合函数的解析式求值域300
热考题型2 已知对数型复合函数的值域求参数范围301
【题型9】比较大小304
热考题型1 找中间数比较大小304
热考题型2 结合单调性比大小305
热考题型3 去“1”法比大小306
热考题型4 指对互化，换底公式比大小307
热考题型5 结合函数图形比大小310
热考题型6 结合函数单调性与奇偶性比大小312
【题型10】对数型复合函数的单调性314
热考题型1 已知对数型复合函数的解析式求单调区间314
热考题型2 根据对数型复合函数的单调性求参数范围315
【题型11】解对数不等式317
热考题型1 解对数型不等式317
热考题型2 结合函数性质解不等式318
【题型12】对数函数模型的实际应用323
【题型13】反函数对称性质的运用329
【题型14】等高线问题333
【题型15】对数函数的综合问题340
专题4 - 3 函数与方程零点问题综合347
【题型1】零点存在定理347
【题型2】二分法350
【题型3】零点个数问题351
【题型4】比较零点的大小353
【题型5】由零点个数求参数范围358
【题型6】求零点的和363
【题型7】由二次函数零点分布求参数范围368
【题型8】等值线问题372
【题型9】函数零点和指数式与对数式的互化377
【题型10】嵌套函数零点问题379
【题型11】关于f(x) 的方程af(x)2+ bf(x) + c = 0 解的个数问题384
专题5 - 1 任意角与弧度制389
【题型1】任意角的概念389
【题型2】弧度制与角度制的互化390
【题型3】终边相同的角391
【题型4】象限角与轴线角393
【题型5】区域角的表示395
【题型6】关于某条线对称的2 个角的表示399
【题型7】n 等分角的象限问题401
【题型8】扇形的弧长及面积公式403
【题型9】扇形中的最值问题405
专题5 - 2 三角函数的概念410
【题型1】利用三角函数的定义求值(3 种类型) 411
【题型2】三角函数的符号与所在象限判断413
【题型3】求任意角的三角函数值415
【题型4】单位圆上的动点与旋转点415
【题型5】对sinα，cosα，tanα 的知一求二问题417
【题型6】正、余弦齐次式的计算419
【题型7】sinα ± cosα、sinαcosα 关系应用421
【题型8】利用同角关系化简求值426
【题型9】证明三角恒等式428
专题5 - 3 诱导公式430
【题型1】利用诱导公式求解给角求值430
【题型2】利用诱导公式求解给值求值问题432
【题型3】利用诱导公式化简与求值433
【题型4】利用诱导公式证明恒等式434
【题型5】诱导公式在三角形中的应用436
【题型6】利用隐藏的互余互补关系整体带入或换元求值(重点题型) 437
【题型7】诱导公式与同角三角函数的综合运用440
专题5 - 4 三角函数的图像与性质443
【题型1】五点作图法443
【题型2】含绝对值的三角函数问题448
【题型3】解三角函数不等式450
【题型4】三角函数相关图像的识别453
【题型5】三角函数图像与其他函数交点个数问题456
【题型6】求单调区间(3 种类型) 459
热考题型1 整体法求单调区间459
热考题型2 括号内有符号的情况459
热考题型3 复合函数且有定义域限制460
【题型7】求值域与最值462
热考题型1 y = Asin(ωx + φ) + B 462
热考题型2 二次函数型y = asin2x + bsinx + c 462
热考题型3 已知值域求参数462
热考题型4 嵌套函数值域问题463
【题型8】周期性，奇偶性与对称性问题465
【题型9】利用三角函数性质比大小469
【题型10】与零点有关的问题471
热考题型1 由交点个数求参数范围471
热考题型2 关于零点的运算求值471
【题型11】三角函数对称性的综合应用473
热考题型1 由解析式得出对称中心473
热考题型2 由称性求交点横(纵) 坐标值的和474
热考题型3 称性的综合运算474
【题型12】求ω 范围问题初步477
热考题型1 由零点个数求ω 的范围478
热考题型2 由值域求ω 的范围478
热考题型3 由对称轴(中心) 个数求ω 的范围478
热考题型4 在某区间上单调增(减) 求ω 的范围478
【题型13】三角函数性质综合482
专题5 - 5 三角恒等变换及其应用487
【题型1】和差公式及其逆用487
【题型2】二倍角公式的简单应用490
【题型3】二倍角公式与诱导公式结合(换元与凑角) 491
【题型4】二倍角与齐次式化简493
【题型5】给值求值(角) 问题(不拆括号) 495
【题型6】辅助角公式及其应用498
【题型7】和差公式与二倍角公式结合501
【题型8】三角形中的恒等变换504
【题型9】给式子求角(值) 问题507
【题型10】扩角降幂与缩角升幂512
【题型11】利用三角恒等变换化简求值514
【题型12】化为同名函数517
【题型13】积化和差、和差化积公式519
【题型14】恒等变形的综合应用523
专题5 - 6 三角函数：y = Asin(ωx +φ) 的图像及性质528
【题型1】五点法作y = Asin(ωx + φ) 图像及其应用528
【题型2】三角函数图像的平移与伸缩变换531
热考题型1 函数名不改变532
热考题型2 函数名改变(结合诱导公式)533
热考题型3 由平移前后函数性质求参数533
热考题型4 利用函数图像求交点个数534
【题型3】由图像识别函数解析式539
【题型4】单调性问题544
热考题型1 求单调区间544
热考题型2 复合函数型544
热考题型3 由单调性求参数范围545
【题型5】最值与值域问题(4 种类型) 547
热考题型1 求指定区间上的值域547
热考题型2 化为二次函数型547
热考题型3 设t = sinx ± cosx 548
热考题型4 已知值域求参数范围548
【题型6】对称性与周期554
【题型7】三角函数性质辨析558
【题型8】由三角函数性质求参数的值564
【题型9】三角函数新定义问题568
【题型10】三角图像性质综合571
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
1
专题1 - 1 集合与常用逻辑用语重难点题型专练
【题型
【题型1】结合元素的互异性求参数
】结合元素的互异性求参数(分类讨论
分类讨论)
解题|技巧
互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现
的．简记为“互异性”．
注意：通过互异性求参数要检验看集合中的所有元素是否有重复的情况
1
已知集合P 有三个元素-1，2a + 1，a2- 1．若0 ∈P，则实数a 的值为
(
)
A. - 1
2
B. 1
C. - 1
2 或1
D. 0 或1
答案C
解析
因为0 ∈P，所以2a + 1 = 0 或a2- 1 = 0．
当2a + 1 = 0 即a =- 1
2 时，P = -1,0,- 3
4
，满足题意；
当a2- 1 = 0 即a =±1 时，
若a = 1，则P = -1,3,0
，满足题意；若a =-1，则P = -1,0
，不满足题意；
综上，实数a 的值为- 1
2 或1．故选：C
2
(高一上·四川德阳·期末) 若1 ∈0,m,m2-2m+1
，则m =
．
答案2
解析
【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案．
【详解】因为1 ∈0,m,m2-2m+1
，
所以m = 1 或m2- 2m + 1 = 1，
若m = 1，m2- 2m + 1 = 0，不满足互异性；
若m2- 2m + 1 = 1 ⇒m = 0 或2，又m ≠0，所以m = 2
1
已知集合M = 1,m,m2+3
，且4 ∈M，则m 取值构成的集合为
(
)
A.
1,4
B.
-1,4
C.
-1,1,4
D. ∅
答案B
解
因为集合M = 1,m,m2+3
，且4 ∈M，
所以m = 4 或m2+ 3 = 4．
当m2+ 3 = 4 时，解得：m = 1 或m =-1．
而m = 1，不符合元素的互异性，故m = 4 或m =-1．故选：B
2
已知集合A = {12，a2+ 4a，a - 2}，且-3 ∈A，则a =
(
)
A. - 1
B. - 3 或-1
C. 3
D. - 3
答案D
解【详解】由集合A = {12，a2+ 4a，a - 2}，得a2+ 4a ≠a - 2，解得a ≠-2 且a ≠-1，
显然a - 2 ≠-3，由-3 ∈A，得a2+ 4a =-3，而a ≠-1，解得a =-3，
当a =-3 时，A = {12 ,-3 ,-5}，符合题意，
所以a =-3．
１
2
【题型
【题型2】集合关系的辨析
】集合关系的辨析
1
(24 - 25·云南·月考) 设集合M = x
x=k+ 1
3 ,k∈Z
，N = x
x= k
3 +1,k∈Z
，则
(
)
A. N ⊆M
B. M ⊆N
C. M ∩N = ∅
D. N ∩∁RM
= ∅
答案B
解析
【分析】将集合M，N 中表达式化为3k+1
3
，k+3
3
，再由此判断表达式中分子所表示集合的
关系，即可确定M，N 的包含关系．
【详解】根据已知得M = x
x= 3k+1
3
,k∈Z
，N = x
x= k+3
3
,k∈Z
，所以M ⊆N
2
若A、B、C 为三个集合，A ∪B = B ∩C，则一定有
(
)
A. A ⊆C
B. C ⊆A
C. A ≠C
D. A = ⌀
答案A
解析
【分析】由已知等式可推导得到A ⊆B ⊆C，由此可依次判断各个选项得到结果．
【详解】因为A ∪B = B ∩C，
所以A ∪B ⊆B，A ⊆B ∩C，B ⊆B ∩C，
所以A ⊆B，A ⊆C，B ⊆C，
所以A ⊆B ⊆C，
对于A，因为A ⊆B ⊆C，所以A ⊆C，故A 正确；
对于B，当且仅当A = B = C 时，C ⊆A，故B 错误；
对于C，当A = B = C 时，满足A ⊆B ⊆C，故C 错误；
对于D，当A ≠⌀时，满足A ⊆B ⊆C，故D 错误．
1
(24 - 25 高一上·四川自贡·月考) 已知集合A = x x=3t+1,t∈Z
，B = x x=3t-2,t∈Z
则“x
∈A”是“x ∈B”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案C
解【分析】通过t ∈Z，得A = B，再根据充要条件的判断方法判断即可．
【详解】因为3t + 1 = 3 t+1
- 2，t ∈Z，t + 1 ∈Z，所以A 中的元素都是B 中的元素，
又因为3t - 2 = 3 t-1
+ 1，t ∈Z，t - 1 ∈Z，所以B 中的元素都是A 中的元素，
所以A = B，所以“x ∈A”是“x ∈B”的充要条件．
2
( 24 - 25 高一上· 河北石家庄· 月考) 已知集合M =
x x=m+ 1
6 ,m∈Z
，N =
x x= n
2 - 1
3 ,n∈Z
，P = x x= p
2 + 1
6 ,p∈Z
，则M，N，P 的关系为
(
)
A. M = N ⊆P
B. M ⊆N = P
C. M = P ⊆N
D. N ⊆P ⊆M
答案B
解【分析】先将集合M，N，P 中元素化为统一形式，然后进行判断即可．
【详解】M = x x=m+ 1
6 = 6m+1
6
= 3⋅2m+1
6
,m∈Z
，
２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
3
N = x x= n
2 - 1
3 = 3(n-1)+1
6
,n∈Z
= x x= 3k+1
6
,k∈Z
，
P = x x= p
2 + 1
6 = 3p+1
6
,p∈Z
，
故M ⊆N = P
3
( 24 - 25 高一上· 重庆· 月考) ( 多选) 设a ，b ∈A =
x∣x=3m+1,m∈Z
，c ∈B =
x∣x=3k-1,k∈Z
，则
(
)
A. a + b ∈A
B. ab ∈A
C. a + b ∈B
D. ac ∈B
答案BCD
解【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可．
【详解】设a = 3u + 1，b = 3v + 1，c = 3w - 1 u、v、w∈Z
，
而a + b = 3 u+v
+ 2 = 3 u+v+1
- 1 ∈B，即A 错误，C 正确；
ab = 9uv + 3 u+v
+ 1 = 3 3uv+u+v
+ 1 ∈A，即B 正确；
ac = 9uw + 3 w-u
- 1 = 3 3uw-u+w
- 1 ∈B，即D 正确．
4
(24 - 25 高一上·四川达州·期中) (多选) 若集合M，N 满足M ⊆N ⊆U，则下列结论正确的是
(
)
A. M ∪N = N
B. N ⊆(M ∩N)
C.
∁UM
⊆∁UN
D. ∁U(M ∪N) ⊆∁UM
答案AD
解【分析】通过分析每个选项中集合之间的关系，利用已知的M ⊆N ⊆U 来判断其正确性．
【详解】对于A 选项，因为M ⊆N，所以M ∪N = N，A 正确；
对于B 选项，由于M ⊆N，所以M ∩N = M，即M∩N
⊆N，而不是N ⊆(M ∩N)，B 错误；
对于C 选项，因为M ⊆N，所以(∁UM) ⊇(∁UN)，C 错误．
对于D 选项，由C 可得，(∁UN) ⊆(∁UM)，注意到M ∪N = N，于是∁U M∪N
⊆∁UM，D 正确．
【题型
【题型3】利用集合相等求参数
】利用集合相等求参数
集合相等：两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。
集合A 与集合B 相等记作A = B．
【注意】(1) 两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；(2) 两个集合是否相等，不能只从集合的形
式上看，比如0 < x < 5，x ∈N 构成的集合与1，2，3，4，构成的集合相等．
1
设a，b ∈R，若集合{1 , a + b , a} = 0, b
a ,b
，则a2- b =
．
答案0
解析
【分析】利用集合相等以及a ≠0，可得a + b = 0，即b
a =-1，代入原式可得a，b 的值，进而
求出答案．
【详解】由题意可知：a ≠0，
因为{1 , a + b , a} = 0, b
a ,b
，则a + b = 0，可得b
a =-1，
则{1 , 0 , a} = 0,-1,b
，可得a=-1
b=1
，且满足a + b = 0，
３
4
所以a2- b = -1
2- 1 = 0．
2
含有三个实数的集合可表示为a, b
a ,1
，也可以示为a2,a+b,0
，则a2023+ b2024的值为
．
答案-1
解析
【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解．
【详解】解：由题意，若a = a2，则a = 0 或1，
检验可知不满足集合中元素的互异性，
所以a = a + b，则b = 0，
所以a2= 1，则a =-1，
故a2023+ b2024=-1．
1
(24 - 25 高一上·安徽·期中) 若1,a, b-1
a
= 0, 1
a ,b
，则b - a =
．
答案2
解【分析】由a 为分母可得a ≠0，再利用集合相等的性质计算即可得解．
【详解】由题意可得a ≠0，则b-1
a
= 0，即b = 1，
则a = 1
a ，解得a = 1 或a =-1，
若a = 1，则违背集合元素的互异性，舍去；
若a =-1，则有1,-1,0
= 0,-1,1
，符合要求；
综上所述，a =-1，则b - a = 1 - -1
= 2．
2
(24 - 25 高一下·湖北黄石·月考) 设集合A = 1,a,b
，B = a,a2,ab
，若A = B，则a2023 - b2023
的值为
(
)
A. - 2
B. 2
C. - 1
D. 1
答案C
解【详解】令a2= 1 或ab = 1 分类讨论即可．
【分析】因为集合A = 1,a,b
，B = a,a2,ab
，
若A = B，由集合的互异性知a ≠1，则a2= 1 或ab = 1．
当a =-1 时，A = 1,a,b
= 1,-1,b
，
B = a,a2,ab
= -1,1,-b
，有b =-b，得b = 0，
所以a2023- b2023= -1
2023- 02023=-1；
当ab = 1 时，集合A = 1,a,b
，B = a,a2,ab
= a,a2,1
，有b = a2，
又b = 1
a ，所以a2= 1
a ，得a = 1，不满足题意．
综上a2023- b2023=-1．
3
含有三个实数的集合可表示为a, b
a ,1
，也可表示为a2,a+b,0
，求a2025+ b2026的值．
答案-1
解【详解】由a, b
a ,1
可得a ≠0 且a ≠1(否则不满足集合中元素的互异性)．
所以
a=a+b
1=a2
b
a =0
，或
a=a2
1=a+b
b
a =0
４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
5
得a=-1
b=0
，或a=1
b=0
．
经检验a =-1，b = 0 满足题意．
所以a2025+ b2026= -1
2025=-1．
4
已知M = a-3,2a-1,a2+1
，N = -2,4a-3,3a-1
，若M = N，则实数a 的值为
．
答案1
解
由题意知集合M = N，
所以当a - 3 =-2 时，得a = 1，所以M = -2,1,2
，N = -2,1,2
，故满足M = N；
当2a - 1 =-2 时，得a =- 1
2 ，所以M = - 7
2 ,-2
，5
4
，N = -2,-5,- 5
2
，故不满足M = N；
当a2+ 1 =-2 时，无解，故不满足M = N；
综上，可得实数a 的值为1．
【题型
【题型4】利用集合中元素的个数求参数
】利用集合中元素的个数求参数
利用集合中元素的个数求参数的问题往往以含参不等式的整数解个数或一元二次方程解的个数问题为背
景，注意平方项的系数是否可以去取0，以及验证是否能取等
1
若集合A = {x ∈Z ∣m < x < 4} 中有5 个元素，则实数m 的取值范围为
(
)
A. [-1 , 0)
B. (-1 , 0]
C. (-1 , 0)
D. [-2 ,-1)
答案D
解析
【详解】若集合A = {x ∈Z ∣m < x < 4} 中有5 个元素，则这五个元素只能是：3，2，1，0，
-1，
这表明m <-1，m ≥-2，即实数m 的取值范围为[-2 ,-1)．
故选：D．
2
已知集合A = x ax2-3x+2=0,x∈R,a∈R
．
(1) 若A 中没有元素，求a 的取值范围；
(2) 若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A；
(3) 若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．
答案(1) 9
8 ,+∞
；(2) 当a = 0 时，集合A =
2
3
，当a = 9
8 时，集合A =
4
3
；(3) -∞, 9
8
解析
(1) ∵A 中没有元素，∴a ≠0 且Δ < 0，
∴9-8a<0
a≠0
，解得a > 9
8 ，
所以a 的取值范围为：
9
8 ,+∞
；
(2) ①当a = 0 时，集合A = x|-3x+2=0}=
2
3
，
②当a ≠0 时，Δ = 0，
∴9 - 8a = 0，解得a = 9
8 ，此时集合A =
4
3
，
综上所述，当a = 0 时，集合A =
2
3
，当a = 9
8 时，集合A =
4
3
；
(3)A 中至少有一个元素，则当A 中只有一个元素时，a = 0 或a = 9
8 ；
５
6
当A 中有2 个元素时，则a ≠0 且Δ > 0，即9-8a>0
a≠0
，解得a < 9
8 且a ≠0；
综上可得，a ≤9
8 时A 中至少有一个元素，即a ∈-∞, 9
8
．
1
(高一·浙江·期末) 已知集合A = {x ∈N ∣1 < x < k}，集合A 中至少有3 个元素，则
(
)
A. k > 3
B. k ≥3
C. k > 4
D. k ≥4
答案C
解
∵A = {x ∈N ∣1 < x < k} 且集合A 中至少有3 个元素，∴k > 4．故选：C
2
若集合x mx2+2x-1=0
有且仅有2 个子集，则满足条件的实数m 组成的集合是
(
)
A.
-1
B.
-1,0
C. {m|m ≤-1 或m = 0}
D.
m m≤-1
答案B
解【详解】由题设集合有2 个子集，则集合中仅含一个元素，
所以mx2+ 2x - 1 = 0 有且仅有一个解，
当m = 0，则2x - 1 = 0 ⇒x = 1
2 ，满足要求；
当m ≠0，则Δ = 4 + 4m = 0 ⇒m =-1，满足要求；
综上，满足条件的实数m 组成的集合是-1,0
．
3
设集合A = x ax2+3x+1=0
．
(1) 若A 中只有一个元素，求实数a 的值；
(2) 若A 中至多只有一个元素，求实数a 的取值范围．
答案(1)0 或9
4
(2)a = 0 或a ≥9
4 ．
解【详解】(1) 集合A = x ax2+3x+1=0
表示关于x 的方程ax2+ 3x + 1 = 0 的解集，
当a = 0 时，由3x + 1 = 0，解得x =- 1
3 ，则A = - 1
3
，符合题意；
当a ≠0 时，因为A 中只有一个元素，则Δ = 32- 4a = 0，解得a = 9
4 ，此时A = - 2
3
，符合题意
综上可得a = 0 或a = 9
4 ；
(2) 因为A 中至多只有一个元素，由(1) 可知a = 0 时符合题意；
当a ≠0，则Δ = 32- 4a ≤0，解得a ≥9
4 ；
综上可得，实数a 的取值范围为a = 0 或a ≥9
4 ．
【题型
【题型5】由集合间包含的关系求参数的范围
】由集合间包含的关系求参数的范围
解题|技巧
由集合间关系求解参数的三部曲
第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
第二步：看集合中是否含有参数，若A ⊆B，且A 中含参数时应考虑参数使该集合为空集的情形；
６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
7
第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组) 或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围常采用数
形结合的思想，借助数轴解答．
【注意】(1) 确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；
(2) 千万不要忘记考虑空集．
热考题型1 求参数的值(互异性分类讨论)
1
已知集合A = {1，3，
a}，B = {1 , a}，若B ⊆A，则a =
(
)
A. 1
B. 0 或1 或3
C. 0 或3
D. 3
答案C
解析
因为B ⊆A，所以a = 3 或a =
a．
若a = 3，则A = 1,3,
3
，B = 1,3
，满足B ⊆A；
若a =
a，则a = 0 或a = 1，
当a = 0 时，A = 1,3,0
，B = 1,0
，满足B ⊆A；
当a = 1 时，
a = 1，集合A，B 不满足元素的互异性，不符合题意；
综上所述：a = 0 或a = 3，故选：C．
1
(2025 高一·全国·专题练习) 若集合A = 1,x,4
，B = 1,x2
，且B ⊆A，则实数x 的值可以是()．
A. 2
B. 2，-2
C. 2，-2，0
D. 2，-2，0，1
答案C
解【分析】因为B ⊆A，所以x2 ∈1,x,4
．逐一令x2 = x，x2 = 1，x2 = 4 解方程，注意检验元素的
互异性即可．
【详解】因为B ⊆A，所以x2∈1,x,4
．
当x2= 1 时，集合B = 1,x2
不满足集合元素的互异性；
当x2= x 时，x = 0 或x = 1(舍去)，即x = 0，
此时A = 1,0,4
，B = 1,0
，满足B ⊆A；
当x2= 4 时，x = 2 或x =-2，
当x = 2 时，A = 1,2,4
，B = 1,4
，满足B ⊆A，
当x =-2 时，A = 1,-2,4
，B = 1,4
，满足B ⊆A．
所以x = 0 或x = 2 或x =-2．
热考题型2 方程型(判别式与根的讨论)
1
已知M =
x x2-2x-3=0
，N =
x x2+ax+1=0,a∈R
，且N ⊊M ，则a 的取值范围为
．
答案{a| -2 < a ≤2}
解析
由题意，集合M = x∣x2-2x-3=0
= -1,3
，
当N = ∅时，即Δ = a2- 4 < 0，解得-2 < a < 2，此时满足N ⊊M，
当N ≠∅时，要使得N ⊊M，则-1 ∈N 或3 ∈N，
当-1 ∈N 时，可得(-1)2- a + 1 = 0，即a = 2，此时N = {-1}，满足N ⊊M；
当3 ∈N 时，可得32+ 3a + 1 = 0，即a =- 10
3 ，此时N = 3, 1
3
，不满足N ⊊M，
综上可知，实数a 的取值范围为{a| -2 < a ≤2}．
７
8
故答案为：{a| -2 < a ≤2}．
1
设集合A = x∣x2+5x+6=0
，B = x∣mx+1=0
，若B 是A 的真子集，则m 的取值集合为
(
)
A.
- 1
2 ,- 1
3
B.
0, 1
2 , 1
3
C.
0,- 1
2 ,- 1
3
D.
1
2 , 1
3
答案B
解【详解】因为集合A = x∣x2+5x+6=0
= -2,-3
，
B = x∣mx+1=0
，
当m = 0 时，B = ∅，B 是A 的真子集，
当m ≠0 时，B = - 1
m
，因为B 是A 的真子集，所以- 1
m =-2 或- 1
m =-3，解得m = 1
2 或m
= 1
3 ，
故选：B
2
已知集合P = x|x2+x-6=0
，Q = {x|ax + 1 = 0}，且满足Q ⊆P，求实数a 可能取的一切值．
解
∵P = x|x2+x-6=0
= {-3 , 2}，Q ⊆P，
∴Q 可能为∅，{-3}，{2}．
当a = 0 时，ax + 1 = 0 无解，故Q = ∅，满足Q ⊆P，
当Q = {-3} 时，则-3a + 1 = 0，解得a = 1
3 ，
当Q = {2} 时，则2a + 1 = 0，解得a =- 1
2 ．
综上，实数a 的取值为0，- 1
2 ，1
3 ．
3
已知A = x
(m-1)x+1=0
，B = x
x2-2x-3=0
，若A ⊆B，求m 的值．
解
B = x
x2-2x-3=0
= -1,3
，若A = ∅，则m = 1，满足A ⊆B，
若A ≠∅，则A = x
(m-1)x+1=0
=
-1
m-1
，则
-1
m-1 =-1 或
-1
m-1 = 3，
得m = 2 或m = 2
3 ，
所以m = 2 或m = 2
3 或m = 1．
4
(多选) 已知集合A = x∣x2-6x+5=0
，B = x∣ax2-2ax-1=0
，且B ⊆A，则实数a 可能的
取值是
(
)
A. - 1
5
B. 0
C. - 1
D.
1
15
答案ABC
解
A = x|x2-6x+5=0
= 1,5
，且B ⊆A，则：
①当B = ∅时，a = 0 或a≠0
Δ=4a2+4a<0
，解得a = 0 或-1 < a < 0，A 适合题意；
②若B = 1
，则
a≠0
Δ=4a2+4a=0
a-2a-1=0
，解得a =-1，
８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
9
③若B = 5
，则
a≠0
Δ=4a2+4a=0
25a-10a-1=0
，此时无解，
④若B = 1,5
，则
a≠0
Δ>0
1+5≠-2a
-2a
，此时无解，不合题意；
综上：a 的值为0 和-1 ≤a < 0．
热考题型3 不等式型(注意讨论空集)
1
已知集合A =
x
-2≤x≤5
，若B ⊆A，B = {x m+1≤x≤2m-1,m
为常数}，求实数m 的取
值范围．
解析
①若B = ∅，满足B ⊆A，则m + 1 > 2m - 1，解得m < 2．
②若B ≠∅，满足B ⊆A，则
2m-1≥m+1,
m+1≥-2,
2m-1≤5,
解得2 ≤m ≤3．
由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m|m≤3
．
2
已知集合A = x 1≤x<7
，B = x a<x≤2a+3
，若B ⊆A，求满足条件的a 的取值范围．
答案
-∞,-3
∪1,2
解析
【分析】对B 分类讨论，利用集合的包含关系列不等式组，即可求解．
【详解】当B = ∅时，满足B ⊆A，此时，有a ≥2a + 3，解得：a ≤-3；
当B ≠∅时，要使B ⊆A，只需
a<2a+3
a≥1
2a+3<7
，解得：1 ≤a < 2．
综上，实数a 的取值范围为-∞,-3
∪1,2
．
1
已知集合A = x|1<x<2024
，B = x|x<a
，若A ⊆B，则实数a 的取值范围是
(
)
A. (2024 ,+∞)
B. [2024 ,+∞)
C. (-∞, 2024]
D. (-∞, 2024)
答案B
解
集合A = x|1<x<2024
，B = x|x<a
，又A ⊆B，则a ≥2024，
所以实数a 的取值范围是[2024 ,+∞)．故选：B
2
若A = {x|2a + 1 ≤x < 3a - 2}，B = {x|x2 - 11x + 10 < 0}，且A ⊆B，则实数a 的取值范围是
．
答案(-∞, 4]
解【分析】先求出集合B 中不等式的解集，再由A ⊆B 列不等式组求解即可．
【详解】解：由已知B = {x|1 < x < 10}，
∵A ⊆B，
当A = ∅时，2a + 1 ≥3a - 2，解得a ≤3
当A ≠∅时，
2a+1>1
3a-2≤10
2a+1<3a-2
，解得3 < a ≤4，
综合得a ≤4．
故答案为：(-∞, 4]
3
集合A = x 2a-1≤x<1-a
，B = x x2-4x-5<0
，若A ⊆B，则实数a 的取值范围是
９
10
．
答案
0,+∞
解【分析】先化简集合B，再根据集合间的基本关系，与集合A 进行集合包含关系运算即可，注意讨
论子集中的空集的情况．
【详解】B = x x2-4x-5<0
= -1,5
，若A ⊆B，则A 是B 的子集，
当A = ∅时，2a - 1 ≥1 - a，所以a ≥2
3 ，
当A ≠∅时，
2a-1>-1
1-a≤5
2a-1<1-a
，所以0 < a < 2
3 ，
综上，实数a 的取值范围是0,+∞
．
4
已知集合A = x
-1<x≤2
，B = x
2m-5<x<-m+3
．
(1) 若A ⊆B，求m 的取值范围．
(2) 若B ⊆A，求m 的取值范围．
答案(1) m
m<1
(2) m
m≥2
解【详解】(1) 若A ⊆B，如图所示，
则2m-5≤-1
-m+3>2
，解得m < 1，
所以m 的取值范围为m
m<1
；
(2) 若B ⊆A，有B = ∅和B ≠∅两种情况，
当B = ∅时，2m - 5 ≥-m + 3，解得m ≥8
3 ，
当B ≠∅时，如图所示，
则
2m-5<-m+3
2m-5≥-1
-m+3≤2
，解得2 ≤m < 8
3 ，
综上，m 的取值范围为m
m≥2
．
【题型
【题型6】容斥原理
】容斥原理
1
(24 - 25 高一上·云南昆明·期中) (多选) 某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国
庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12 名同学参加拔河、4 人足球、羽毛球三个项目，其中有
8 人参加“拔河”，有7 人参加“4 人足球”，有5 人参加“羽毛球”，“拔河和4 人足球”都参
加的有4 人，“拔河和羽毛球”都参加的有3 人，“4 人足球和羽毛球”都参加的有3 人，则
(
)
A. 三项都参加的有1 人
B. 只参加拔河的有3 人
C. 只参加4 人足球的有2 人
D. 只参加羽毛球的有4 人
１０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
11
答案BC
解析
【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案．
【详解】根据题意，设A = {x|x 是参加拔河的同学}，B = {x|x 是参加4 人足球的同学}，C = {x|x 是
参加羽毛球的同学}，
则card A
= 8，card B
= 7，card C
= 5，
又card A∩B
= 4，card A∩C
= card B∩C
= 3，
所以card A∩B∩C
= 12 -
8+7+5
- 4+3+3
= 2，
所以三项比赛都参加的有2 人，只参加拔河的有3 人，只参加4 人足球的有2 人，只参加羽毛球的有
1 人．
2
某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63 人，参加唱歌
课外活动的有89 人，参加体育课外活动的有47 人，三种课外活动都参加的有24 人，选择两种课
外活动参加的有46 人，不参加其中任何一种课外活动的有15 人．则接受调查的小学生共有
(
)
A. 120 人
B. 144 人
C. 177 人
D. 192 人
答案A
解析
【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合A、B、C 表示，
不妨设总人数为n，选择舞蹈和唱歌的人数为x，选择舞蹈和体育的人数为y，选择唱歌和体育的人
数为z，利用容斥原理可求得n 的值，即为所求．
【详解】如图所示，用Venn 图表示题设中的集合关系，
不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合A、B、C 表示，
则card A
= 63，card B
= 89，card C
= 47，card A∩B∩C
= 24．
不妨设总人数为n，选择舞蹈和唱歌的人数为x，选择舞蹈和体育的人数为y，选择唱歌和体育的人
数为z，
则card A∩B
= 24 + x，card A∩C
= 24 + y，card B∩C
= 24 + z，x + y + z = 46．
由三个集合的容斥关系公式得n - 15 = card A
+ card B
+ card C
- card A∩B
- card A∩C
- card B∩C
+ card A∩B∩C
= 63 + 89 + 47 -
24+x
-
24+y
-
24+z
+ 24 = 151 -
x+y+z
= 105，
得n = 120，故接受调查的小学生共有120 人．
１１
12
1
(24 - 25 高一上·重庆·月考) 为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪
崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方．调查发现该班共有55 名同学，其中31 个同学去了洪崖
洞，21 个同学去了南山一棵树，30 个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10 人，
同时去了南山一棵树和磁器口的有7 人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则
只去了一个地方的有() 人
A. 24
B. 26
C. 28
D. 30
答案C
解【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得．
【详解】设去了洪崖洞的同学组成集合A，去了南山一棵树的同学组成集合B，去了磁器口的同学组
成集合C，
依题意，n(A ∪B ∪C) = 55，n(A) = 31，n(B) = 21，n(C) = 30，n(A ∩B) = 10，n(B ∩C) = 7，
而n(A ∩B ∩C) = 0，由容斥原理得55 = 31 + 21 + 30 - 10 - 7 - n(A ∩C)，
得n(A ∩C) = 10，所以只去了一个地方的有55 - 10 - 7 - 10 = 28(人)．
2
(24 - 25 高一上·天津滨海新·期末)1 学校举办运动会时，高一(1) 班共有28 名同学参加比赛，有
15 人参加趣味益智类比赛．有8 人参加田径比赛，有14 人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比
赛和田径比赛的有3 人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3 人，没有人同时参加三项比
赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为
；同时参加田径和球类比赛的人数为
答案9 3
解【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同
时参加趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加
趣味益智类一项比赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为x，列出方程计算即可．
【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15，
且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3 人；
同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3 人．
又因为没有人同时参加三项比赛，
所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：15 - 3 - 3 = 9 人．
设同时参加田径和球类比赛的人数为x，由题意得：16 + 5-x
+ 11-x
+ x = 28，
解得：x = 3，故同时参加田径和球类比赛的人数为3
3
(24 - 25 高一上·重庆·期中) 国庆节期间，重庆复旦中学全体学生进行了选修课报名，据统计，高
一某班共45 名同学在语文类、数学类和物理类三类选修课具有报名意向，其中有21 人想报名语
文类选修课，有29 人想报名数学类选修课，有28 人想报名物理类选修课，同时想报名语文和数
学选修课的有10 人，同时想报名数学和物理选修课的有15 人，没有三类选修课都想报名的同学，
则只想报名物理选修课的同学有
人．
答案5
解【分析】设只想报名物理选修课的同学有x 人，求得同时想报名语文和物理选修课的有13 - x 人，
只想报名语文选修课的同学有x - 2 人，只想报名数学选修课的同学有4 人，由题意画出Venn 图，
再由该班共有人数，列出方程，即可求解．
【详解】设只想报名物理选修课的同学有x 人，
１２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
13
因为有28 人想报名物理类选修课，
所以同时想报名语文和物理选修课的有28 - 15 - x = 13 - x 人，
因为有21 人想报名语文类选修课，
则只想报名语文选修课的同学有21 - 10 - 13-x
= x - 2 人，
因为有29 人想报名数学类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10 人，
同时想报名数学和物理选修课的有15 人，则只想报名数学选修课的同学有29 - 10 - 15 = 4 人，
又没有三类选修课都想报名的同学，
由题意画出Venn 图，如图所示：
因为该班共45 名同学，
所以x - 2 + 13 - x + x + 15 + 4 + 10 = 45，解得x = 5，
所以只想报名物理选修课的同学有5 人．
4
(24 - 25 高一上·湖北·期中) 学校举办运动会时，高一(1) 班共有36 名同学参加比赛，有26 人参加
游泳比赛，有15 人参加田径比赛，有13 人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有6
人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4 人，没有人同时参加三项比赛．同时参加游泳和球类比
赛的有
人．
答案8
解【分析】设高一(1) 班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合A、B、C，设同时参加游泳
和球类比赛的学生人数为x 人，作出韦恩图，根据题意可得出关于x 的方程，解出x 的值即可．
【详解】设高一(1) 班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合A、B、C，
设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为x 人，由题意作出如下韦恩图，
由题意可得26 + 5 + 4 + 9 - x = 44 - x = 36，解得x = 8．
因此，同时参加游泳和球类比赛的有8 人．
5
(24 - 25 高一上·重庆·月考) 高一某班共有54 人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、
政治这六门课程中选择3 门进行学习．已知选择物理的有36 人，选择化学的有24 人，选择生物的
有20 人，其中选择了物理和化学的有18 人，选择了化学和生物的有10 人，选择了物理和生物的
有16 人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有
人．
答案46
解【分析】根据题意，把学生54 人看成集合U，选择物理的人组成集合A，选择化学的人组成集合
１３
14
B，选择生物的人组成集合C ，结合Venn 图和容斥原理可知，当card A∩B∩C
取最大值时
card A∪B∪C
最大，验证可得最终结果．
【详解】把学生54 人看成集合U，选择物理的人组成集合A，
选择化学的人组成集合B，选择生物的人组成集合C．
由题意知card U
= 54，card A
= 36，card B
= 24，card C
= 20，
且card A∩B
= 18，card B∩C
= 10，card C∩A
= 16，
则card A∩B∩C
≤10，
由card A∪B∪C
=
card A
+ card B
+ card C
- card A∩B
- card B∩C
- card C∩A
+ card A∩B∩C
，
可得card A∪B∪C
= 36 + 24 + 20 - 18 - 10 - 16 + card A∩B∩C
≤36 + 10 = 46，
当且仅当card A∩B∩C
= 10 时，card A∪B∪C
最大，此时card A∪B∪C
= 46．
验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件．
故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有46 人．
6
(24 - 25 高一上·湖北荆州·月考) 高一某班共有54 人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地
理、政治这六门课程中选择3 门进行学习．已知选择物理的有32 人，选择化学的有24 人，选择生
物的有22 人，其中选择了物理和化学的有18 人，选择了化学和生物的有10 人，选择了物理和生
物的有16 人．那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有
人．
答案44
解【分析】根据题意，设学生54 人看成集合U，选择物理的人组成集合A，选择化学的人组成集合
B，选择生物的人组成集合C ，结合Venn 图与容斥原理可知，当card A∩B∩C
取最大值时
card A∪B∪C
最大，验证即可得．
【详解】把学生54 人看成集合U，选择物理的人组成集合A，选择化学的人组成集合B，选择生物的
人组成集合C．
由题意知card U
= 54，card A
= 32，card B
= 24，card C
= 22，
且card A∩B
= 18，card B∩C
= 10，card C∩A
= 16，
则card A∩B∩C
≤10，
１４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
15
由card A∪B∪C
=
card A
+ card B
+ card C
- card A∩B
- card B∩C
- card C∩A
+ card A∩B∩C
，
可得card A∪B∪C
= 32 + 24 + 22 - 18 - 10 - 16 + card A∩B∩C
≤34 + 10 = 44，
当且仅当card A∩B∩C
= 10 时，即card A∪B∪C
= 44．
验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件．
故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有44 人．
【题型
【题型7】集合中的新定义问题
】集合中的新定义问题
1
若x ∈A 且1
x ∈A 就称A 是伙伴关系集合，集合M = -1,0, 1
3 , 1
2 ,1,2,3,4
的所有非空子集
中，具有伙伴关系的集合个数为
(
)
A. 15
B. 16
C. 64
D. 128
答案A
解析
【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有1，-1，“3 和1
3 ” ，“2 和1
2 ”四种可能，它们组
成的非空子集的个数为即为所求．
【详解】因为1 ∈A，1
1 = 1 ∈A；-1 ∈A，1
-1 =-1 ∈A；
2 ∈A，1
2 ∈A；3 ∈A，1
3 ∈A；
这样所求集合即由1，-1，“3 和1
3 ” ，“2 和1
2 ”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．
所以满足条件的集合的个数为24- 1 = 15
2
(24 - 25 高一上·重庆·月考) 含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从
小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如4,6,9
的“交替和”是9 - 6 +
4 = 7；而5
的交替和是5，则集合M = x∈Z∣-5≤x≤4
的所有非空子集的“交替和”的总和
为
(
)
A. 2048
B. 2024
C. 1024
D. 512
答案A
解析
【分析】将集合M 的子集两两配对A,B
：使4 ∈A，4 ∉B 且B ∪4
= A，从而有集合A 与
集合B 的交替和之和为4，再利用符合条件的集合对有29个，即可求解．
【详解】由题知M = -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4
，
将集合M 的子集两两配对A,B
：使4 ∈A，4 ∉B 且B ∪4
= A，则符合条件的集合对有29个，
１５
16
又由题设定义有集合A 与集合B 的交替和之和为4，
所以交替和的总和为4 × 29= 211= 2048．
1
(多选) 对任意A，B ⊆R，记A ⊕B = {x|x ∈A ∪B，x ∉A ∩B}，则称A ⊕B 为集合A，B 的对
称差．例如，若A = 1，2，3
，B = 2，3，4
，则A ⊕B = 1，4
，下列命题中，为真命题的
是
(
)
A. 若A，B ⊆R 且A ⊕B = B，则A = ⌀
B. 若A，B ⊆R 且A ⊕B = ∅，则A = B
C. 若A，B ⊆R 且A ⊕B ⊆A，则A ⊆B
D. 存在A，B ⊆R，使得A ⊕B = ∁RA ⊕∁RB
答案ABD
解【分析】根据新定义及交、并、补集运算，逐一判断即可．
【详解】解：对于A 选项，因为A ⊕B = B，所以B = {x|x ∈A ∪B，x ∉A ∩B}，所以A ⊆B，且B
中的元素不能出现在A ∩B 中，因此A = ⌀，即选项A 正确；
对于B 选项，因为A ⊕B = ∅，所以∅= {x|x ∈A ∪B，x ∉A ∩B}，即A ∪B 与A ∩B 是相同的，
所以A = B，即选项B 正确；
对于C 选项，因为A ⊕B ⊆A，所以{x|x ∈A ∪B，x ∉A ∩B} ⊆A，所以B ⊆A，即选项C 错误；
对于D 选项，A = B 时，A ⊕B = ∅，∁RA
⊕∁RB
= ∅= A ⊕B，D 正确；
故选：ABD．
2
( 高一上· 江苏盐城· 月考) 设集合A =
1,2,3
，B =
0,1,2,4
，定义集合S =
(a,b)|a∈A,b∈B,a+b>ab
，则集合S 中元素的个数是
(
)
A. 5
B. 6
C. 8
D. 9
答案C
解【分析】先根据条件a ∈A，b ∈B，对a，b 进行取值，再验证a + b > ab 是否成立，满足条件的数
对a,b
即为集合S 的元素，从而即可求解．
【详解】∵集合A = 1,2,3
，B = 0,1,2,4
，a ∈A，b ∈B，
∴a 可取1，2，3，b 可取0，1，2，4．
(1) 当a = 1 时，
b = 0，由a + b = 1，ab = 0，a + b > ab 成立，数对1,0
为S 的一个元素；
b = 1，由a + b = 2，ab = 1，a + b > ab 成立，数对1,1
为S 的一个元素；
b = 2，由a + b = 3，ab = 2，a + b > ab 成立，数对1,2
为S 的一个元素；
b = 4，由a + b = 5，ab = 4，a + b > ab 成立，数对1,4
为S 的一个元素；
(2) 当a = 2 时，
b = 0，由a + b = 2，ab = 0，a + b > ab 成立，数对2,0
为S 的一个元素；
b = 1，由a + b = 3，ab = 2，a + b > ab 成立，数对2,1
为S 的一个元素；
b = 2，由a + b = 4，ab = 4，a + b > ab 不成立，数对2,2
不是S 的元素；
b = 4，由a + b = 6，ab = 8，a + b > ab 不成立，数对2,4
不是S 的元素；
(3) 当a = 3 时，
b = 0，由a + b = 3，ab = 0，a + b > ab 成立，数对3,0
为S 的一个元素；
b = 1，由a + b = 4，ab = 3，a + b > ab 成立，数对3,1
为S 的一个元素；
b = 2，由a + b = 5，ab = 6，a + b > ab 不成立，数对3,2
不是S 的元素；
b = 4，由a + b = 7，ab = 12，a + b > ab 不成立，数对3,4
不是S 的元素．
综上，S 的元素有八个，分别为：1,0
，1,1
，1,2
，1,4
，2,0
，2,1
，3,0
，3,1
．
１６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
17
【题型
【题型8】根据集合的交并补运算结果求参数
】根据集合的交并补运算结果求参数
1、基本方法
方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围方法
二：(1) 化简所给集合；
(2) 用数轴表示所给集合；
(3) 根据集合端点间关系列出不等式(组)；
(4) 解不等式(组)；
(5) 检验
2、易错点
(1) 确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；
(2) 千万不要忘记考虑空集，
3、集合基本运算的一些结论
若A ∩B = A，则A ⊆B，反之也成立
若A ∪B = B，则A ⊆B，反之也成立
若x ∈(A ∩B)，则x ∈A 且x ∈B
若x ∈(A ∪B)，则x ∈A，或x ∈B
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与
“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn
图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．
热考题型1 分类讨论求参数的值(互异性)
1
已知集合A = 2a2,1-2a,-2
，B = {1 - a , 2 - a ,-5}，且A ∩B = {-2}，则
(
)
A. A = {-5 ,-2 , 18}
B. B = {-5 ,-2 ,-1}
C. a = 4 或a = 3
D. A ∪B = {-7 ,-5 ,-3 ,-2 , 32}
答案D
解析
【分析】由题意可知-2 ∈B，分1 - a =-2 和2 - a =-2 两种情况，解得a = 4，进而可得集合
A，B，A ∪B．
【详解】因为A ∩B = {-2}，可知-2 ∈B，
若1 - a =-2，则a = 3，
此时A = 18,-5,-2
，B = {-2 ,-1 ,-5}，A ∩B = {-2 ,-5}，不合题意；
若2 - a =-2，则a = 4，
此时A = 32,-7,-2
，B = {-3 ,-2 ,-5}，A ∩B = {-2}，符合题意；
综上所述：a = 4，A = 32,-7,-2
，B = {-3 ,-2 ,-5}，则A ∪B = {-7 ,-5 ,-3 ,-2 , 32}．
故ABC 错误，D 正确．
１７
18
2
(24 - 25 高一上·浙江·期中) 已知集合A = 1,3,m2
，B = 1,m+2
，若A ∪B = A，则实数m 的
值为
．
答案2
解析
【分析】根据集合间的基本关系得出m = 2，再代入验证．
【详解】由A ∪B = A，知B 是A 的子集，所以m + 2 = 1 或m + 2 = 3 或m + 2 = m2．
由集合中元素的互异性，知1 ≠m2，所以m ≠±1，故m + 2 ≠1，m + 2 ≠3．
从而m + 2 = m20 = m2- m - 2 = m+1
m-2
，而m ≠-1，故m = 2．
经验证m = 2 满足条件．
1
(24 - 25 高一上·江苏南京·月考) 已知集合A = 2a-1,a2,0
，B = 1-a,a-5,9
，若A ∩B =
9
，则实数a 的值为
(
)
A. 5 或-3
B. ± 3
C. 5
D. - 3
答案D
解【分析】根据9 ∈A 求得a 值，再验证每个取值是否满足条件．
【详解】因为A ∩B = 9
，所以9 ∈A，所以2a - 1 = 9 或a2= 9．
若2a - 1 = 9，则a = 5，此时A = 9,25,0
，B = -4,0,9
，此时A ∩B = 0,9
不成立；
若a2= 9，则a = 3 或a =-3，
当a = 3 时，1 - a =-2，a - 5 =-2，B 中有两元素相等，故不成立；
当a =-3 时，此时A = -7,9,0
，B = 4,-8,9
，此时A ∩B = 9
成立；
综上：a =-3．
2
(24 - 25 高二上·云南曲靖·期末) 已知集合P = 1,x
，Q = 1,-x2,2x-1
，若P ∪Q = Q，则x
的取值集合是
．
答案
-1,0
解【分析】由题意可知P ⊆Q，根据包含关系列式求解，并结合集合的互异性运算求解．
【详解】因为P ∪Q = Q，则P ⊆Q，
若x =-x2，可得x = 0 或x =-1，
当x = 0，则集合P = 1,0
，Q = 1,0,-1
，符合题意；
当x =-1，则集合P = 1,-1
，Q = 1,-1,-3
，符合题意；
若x = 2x - 1，可得x = 1，不满足互异性，不符合题意；
综上所述：x 的取值集合是-1,0
．
3
(24 - 25 高一上·湖北襄阳·期中) 已知集合A = {1，3，a2}，B = {1 , |a + 2|}，若A ∪B = A，则
实数a =
．
答案2 或-5
解【分析】根据条件先判断出B ⊆A，然后再对a 进行分类讨论，结合集合中元素的互异性求解出结
果．
【详解】因为A ∪B = A，所以B ⊆A，所以a+2
= 3 或a2，
当a+2
= 3 时，a =-5 或1，若a =-5，A = 1,3,25
，B = 1,3
，满足要求；
若a = 1，a2= 1，不满足集合元素的互异性；
当a+2
= a2时，a =-1 或2，若a =-1，a2= 1，不满足集合元素的互异性；
若a = 2，A = 1,3,4
，B = 1,4
，满足要求；
１８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
19
综上，a 的取值为2 或-5
4
( 24 - 25 高三上· 江西南昌· 开学考试) 已知集合A =
x,y
∣y=x2-1
，B =
x,y
∣x=my+1,m∈R
，A ∩B = C 若C 为单元素集合时，则
(
)
A. m = 1
2
B. m = 2
C. m = 0 或m = 1
2
D. m = 0 或m = 2
答案C
解【分析】由题意可得两集合组成的方程组只有唯一解，再结合方程的性质以及判别式求解即可；
【详解】因为集合A =
x,y
∣y=x2-1
，B =
x,y
∣x=my+1,m∈R
，A ∩B = C，若C 为单元
素集合，
则方程组y=x2-1
x=my+1
只有唯一解，
所以y = my+1
2- 1，整理可得m2y2+ 2m-1
y = 0，
当m = 0 时，方程变为-y = 0 ⇒y = 0，此时x = 1，符合题意；
当m ≠0 时，Δ = 2m-1
2- 4m2× 0 = 0 ⇒m = 1
2 ，所以m = 0 或m = 1
2
热考题型2 求参数范围(讨论空集)
1
已知集合A = x 4≤x<8
，B = x 2≤x≤10
，C = x x<2a
，若A ∩C ≠∅，求a 的取值范
围．
解析
由于C = x x<2a
，若A ∩C ≠∅，则2a > 4，∴a > 2．
2
已知集合A = {x|2a - 1 < x < a + 2}，B = {x|0 < x ≤2}，U = R，若A ∩B = ∅，求实数a 的取
值范围．
解析
【分析】分A = Æ 和A ≠Æ 两种情况进行分类讨论，即可求解．
当A = Æ 时，则2a - 1 ≥a + 2，解得a ≥3，此时满足A ∩B = ¥；
当A ≠¥时，要使A ∩B = ∅，只需2a-1<a+2
a+2≤0
或2a-1<a+2
2a-1≥2
，
得a ≤-2 或3
2 ≤a < 3，综上所述，实数a 的取值范围为x|x≤-2
或x ≥3
2
．
1
已知集合A = x -2<x≤1
，集合B = x 2a-1≤x≤a+1
，若A ∩B = ∅，则实数a 的取值范
围为
．
答案
-∞,-3
∪1,+∞
解【分析】由题意分集合B 是否为空集进行讨论，结合A ∩B = ∅，列出相应的不等式(组)，从而即
可得解．
【详解】集合A = x -2<x≤1
，集合B = x 2a-1≤x≤a+1
，且A ∩B = ∅，
若B = ∅，则2a - 1 > a + 1，即a > 2，此时满足A ∩B = ∅，即a > 2 满足题意；
若B ≠∅，则2a - 1 ≤a + 1，即a ≤2，此时若要使得A ∩B = ∅，
则还需2a - 1 > 1 或a + 1 ≤-2，解得a ≤-3 或a > 1，
注意到此时a ≤2，从而此时满足题意的a 的范围为a ≤-3 或1 < a ≤2；
综上所述，实数a 的取值范围为-∞,-3
∪1,+∞
．
2
已知集合A = x x2+8x+15≤0
，B = x 3m-2<x<2m+2
．
(1) 若A ∪B = B，求实数m 的取值范围；
１９
20
(2) 若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围；
答案(1) - 5
2 < m <-1，(2) - 7
2 < m <- 1
3
解【分析】(1) 先得到A ⊆B，再根据包含关系列不等式求解；
(2) 直接根据A ∩B ≠∅列不等式求解；
【详解】(1) 若A ∪B = B，则A ⊆B，
又A = x x2+8x+15≤0
= x -5≤x≤-3
，B = x 3m-2<x<2m+2
所以3m-2<-5
2m+2>-3
，
得- 5
2 < m <-1；
(2) 因为A ∩B ≠∅，
所以-5≤3m-2<-3
3m-2<2m+2
或-5<2m+2≤-3
3m-2<2m+2
或
2m+2>-3
3m-2<-5
3m-2<2m+2
，
得-1 ≤m <- 1
3 或- 7
2 < m ≤- 5
2 或- 5
2 < m <-1，所以- 7
2 < m <- 1
3
【题型
【题型9】根据集合混合运算的结果确定参数的范围
】根据集合混合运算的结果确定参数的范围
1
已知集合A = {x| -2 ≤x ≤7}，B = {x|m + 1 ≤x ≤m + 3，m ∈R}，若A ∩∁RB = A，求m 的取
值范围．
解析
因为B = {x|m + 1 ≤x ≤m + 3，m ∈R}，
所以∁RB = x x<m+1
或x>m+3
，
因为A ∩∁RB = A，所以A ⊆∁RB，
因为A = {x| -2 ≤x ≤7}，
所以m + 1 > 7 或m + 3 <-2，
得m > 6 或m <-5，
所以m 的取值范围为m m<-5
或m>6
．
2
(高一上·山东青岛·期中) 设集合A = x|x+m≥0
，B = x|-1<x<5
，全集U = R，且∁UA
∩
B ≠∅，则实数m 的取值范围为
；
答案(-∞, 1)
解析
由已知的：A = {x|x ≥-m}，则∁UA = {x|x <-m}，
因为B = x|-1<x<5
，且∁UA
∩B ≠∅，
如图：
则-m >-1，即m < 1，则实数m 的取值范围为(-∞, 1)．
3
设集合A = x x+m≥0
，B = x -2<x<4
，全集U = R，且∁UA
∩B = ∅，求实数m 的取
值范围．
解析
法一：(直接法)：由A = x x+m≥0
= x x≥-m
，得∁UA = x x<-m
．
因为B = x -2<x<4
，∁UA
∩B = ∅，
２０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
21
所以-m ≤-2，即m ≥2，
所以m 的取值范围是m m≥2
．
法二(集合间的关系)：由∁UA
∩B = ∅可知B ⊆A，
又B = x -2<x<4
，A = x x+m≥0
= x x≥-m
，
结合数轴：
得-m ≤-2，即m ≥2．
1
(高一·广东珠海·期中) 已知集合A = x -2<x<7
，B = x a≤x≤3a-2
，若A ∪∁RB = R，求
实数a 的取值范围．
解
当a > 3a - 2，即a < 1 时，B = ∅，∁RB = R，符合题意；
当a = 3a - 2，即a = 1 时，B = 1
，∁RB = x|x≠1
，符合题意；
当a < 3a - 2，即a > 1 时，∁RB = {x|x < a 或x > 3a - 2}，
若A ∪∁RB = R，则
a>1
a>-2
3a-2<7
，解得1 < a < 3，
综上，实数a 的取值范围是a < 3．
2
(高一·浙江·期中) 已知全集U = R，集合A = x 2a≤x≤a+3
，B = x -1≤x≤1
，若A ∪∁UB
= R，求实数a 的取值范围．
解
由A ∪∁UB = R 得B ⊆A，得2a≤-1
a+3≥1
解得a≤- 1
2
a≥-2
，
所以-2 ≤a ≤- 1
2 ，故实数a 的取值范围为a -2≤a≤- 1
2
3
已知全集U = R，集合A =
x
-2≤x≤5
，B =
x
a≤x≤2-a
，若A ∪∁UB
= R，求实数a
的取值范围．
解
∵A ∪∁UB
= R，∴B ⊆A，
若a > 2 - a，则a > 1，则B = ∅，满足题意；
若a ≤1，则a≥-2
2-a≤5
，解得a ≥-2，∴-2 ≤a ≤1，
综上，a 的取值范围是{a|a ≥-2}．
4
(高一上·浙江金华·月考) 已知集合A = x|-2≤x≤5
，B = x|m+1≤x≤2m-1
．．U = R．
(1) 若A ∩B = ∅，求实数m 的取值范围：
(2) 若A ∪∁UB = U，求实数m 的取值范围．
答案(1) (-∞, 2) ∪(4 ,+∞)；(2) -∞,3
解【分析】(1) 由A ∩B = ∅分类讨论B = ∅、B ≠∅，分别列不等式求m 的范围，取并集即可．
(2) 由条件知B ⊆A，讨论B = ∅、B ≠∅，分别列不等式求m 的范围，取并集即可．
【详解】(1)x ∈R 时，A ∩B = ∅知：
当B = ∅时，m + 1 > 2m - 1 得m < 2；
当B ≠∅时，m+1>5
m+1≤2m-1
或2m-1<-2
m+1≤2m-1
，
得m > 4；
２１
22
综上，∴m 的取值范围为(-∞, 2) ∪(4 ,+∞)；
(2) 因为A ∪∁UB = U，所以A ∪B = A，所以B ⊆A，
当B = ∅时，m + 1 > 2m - 1 得m < 2；
当B ≠∅时，
m+1≥-2
2m-1≤5
m+1≤2m-1
解得2 ≤m ≤3；
综上可得m ≤3，即m 的取值范围是-∞,3
【题型
【题型10
10】逆否条件的性质
】逆否条件的性质
1 “其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语• 子路》．意思是：领导者自身品行端正
时，即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会听从．
根据上述材料，“身正”是“令行”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案C
解析
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合题意即可得到答案．
【详解】由题意，“其身正，不令而行”，即身正⇒令行，故“身正”是“令行”的充分条件；“其
身不正，虽令不从”，即令行⇒身正，所以“身正”是“令行”的必要条件．综上可知，“身正”
是“令行”的充要条件．
1 《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，
必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”
是“天将降大任于斯人也”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案B
解【分析】根据充分性和必要性的概念，结合文中含义判断即可．
【详解】由文中意思可知，若“天将降大任于斯人也”，则必须“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，
反之未必，
所以“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的必要不充分条件
2
(24 - 25 高一上·江苏南通·月考) 有网友将王之涣的《凉州词》中的名句“羌笛何须怨杨柳，春风
不度玉门关”调侃改写成“奈何羌笛怨杨柳，春风不度玉门关”，意思是“羌笛怨杨柳，导致春
风不度玉门关(羌笛不怨杨柳，春风度不度玉门关就不知道了)”，照此网友的说法推断，“春风
度玉门关”是“羌笛不怨杨柳”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
答案A
解【详解】通过充分性及必要性判断捋清逻辑关系，即得答案
【分析】羌笛怨杨柳，导致春风不度玉门关，即羌笛怨杨柳是春风不度玉门关的充分条件，
所以春风度玉门关是羌笛不怨杨柳的充分条件，
２２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
23
又因为羌笛不怨杨柳，春风度不度玉门关就不知道了，所以春风度玉门关是羌笛不怨杨柳的不必要条
件．
【题型
【题型11
11】根据充要条件求参数值
】根据充要条件求参数值
解题|技巧
若A = B，则p 是q 的充要条件
1
已知集合A = x x-3
>x-3
，集合B = {x ∣x < a}，若命题“x ∈A”是命题“x ∈B”的充要
条件，则实数a 的值是
．
答案3
解析
由x-3
> x - 3，可得x - 3 < 0，解得x < 3，
所以A = x x-3
>x-3
= x|x<3
，
又命题“x ∈A”是命题“x ∈B”的充要条件且B = {x ∣x < a}，则A = B，所以a = 3．
1
(2024·高一·广东佛山·期中) 若命题p：x < 1 为命题q：x < 2m - 1，m ∈R 的充要条件，则m 的
值是
．
答案1
解
∵命题p 是命题q 的充要条件，∴2m - 1 = 1，解得：m = 1．
故答案为：1．
2
若“-1 < x < 1”是“1 <-2x + m < 5”的充要条件，则实数m 的取值是
．
答案3
解
由1 <-2x + m < 5 得1 - m <-2x < 5 - m，故1
2
m-5
< x < 1
2
m-1
，
因为“-1 < x < 1”是“1 <-2x + m < 5”的充要条件，
所以
1
2 m-5
=-1
1
2 m-1
=1
，解得m = 3，所以实数m 的取值是3．
【题型
【题型12
12】根据充分条件求参数取值范围
】根据充分条件求参数取值范围
解题|技巧
若元素x ∈A 是x ∈B 的充分条件，则A ⊆B；
1
已知集合A = x|a-2<x<2a+1
，B = x|0<x<7
．若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求实数a
的取值范围．
答案
-∞,-3
∪2,3
解析
【分析】根据x ∈A 是x ∈B 的充分条件，则A ⊆B，建立关系式，解之即可．
【详解】解：若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，则A ⊆B，
①当时A = ∅，即a - 2 ≥2a + 1，即a ≤-3，
②当A ≠∅时，即a >-3，
若A ⊆B，则0≤a-2
2a+1≤7
⇒2 ≤a ≤3，
综上，若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，则实数a 的取值范围为-∞,-3
∪2,3
．
1
集合M = x -2<x<4
，N = x -3<x<a
，若x ∈N 的充分条件是x ∈M ，则实数a 的取值
范围是
(
)
A.
-2,4
B.
4,+∞
C.
-3,4
D.
-∞,4
２３
24
答案B
解
由题意，因为“x ∈N”的充分条件是“x ∈M”，
所以M ⊆N，即(-2 , 4) ⊆(-3 , a)，解得a ≥4，即实数a 的取值范围为[4 ,+∞)．故选：B
2
集合A = x|1≤x≤5
，集合B = x|2-a≤x≤1+2a
，其中a ∈R．若“x ∈A”是“x ∈B”的
充分条件，求a 的取值范围．
答案{a|a ≥2}
解【分析】因为“x ∈A”是“x ∈B”的充分条件，故A ⊆B，
故2-a≤1
5≤1+2a
，解得a ≥2
故“x ∈A”是“x ∈B”的充分条件，a 的取值范围为{a ∣a ≥2}
【题型
【题型13
13】根据必要条件求参数取值范围
】根据必要条件求参数取值范围
解题|技巧
若元素x ∈A 是x ∈B 的必要条件，则B ⊆A．
1
(高一上·广东韶关·月考) (多选) 设A = {x|x2 - 8x + 15 = 0}，B = {x|ax - 1 = 0}，B 是A 的充分
不必要条件，则实数a 的值可以为
(
)
A. 1
5
B. 0
C. 3
D. 1
3
答案ABD
解析
因为x2- 8x + 15 = 0 的两个根为3 和5，所以A = 3,5
，
B 是A 的充分不必要条件，所以B 是A 的真子集，
所以B = ∅或B = 3
或B = 5
，
当B = ∅时，满足a = 0 即可，
当B = 3
时，满足3a - 1 = 0，所以a = 1
3 ，
当B = 5
，满足5a - 1 = 0，所以a = 1
5 ，
所以a 的值可以是0，1
3 ，1
5 ．故选：ABD．
1
已知p : x <-2 或x > 0，q : x > a，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是
(
)
A. a ≤-2
B. a ≤0
C. a > 0
D. a ≥0
答案D
解
因为p : x <-2 或x > 0，q : x > a，
令A = -∞,-2
∪0,+∞
，B = a,+∞
，
因为q 是p 的充分不必要条件，所以BàA，所以a ≥0．故选：D
2
已知命题p : 2 ≤x ≤10，命题q : x < a 或x > 2a + 1，其中a > 0．若p 是q 成立的充分不必要条
件，求a 的取值范围．
解
令A = x|2≤x≤10
，B = {x|x < a 或x > 2a + 1 a>0
}，
因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 真包含于B，
所以a > 10 或2a+1<2
a>0
，解得a > 10 或0 < a < 1
2 ，
故a 的取值范围为a > 10 或0 < a < 1
2 ．
２４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
25
法二：由A 真包含于B，可得如下两种情况，
结合数轴得a > 10 或2a+1<2
a>0
，
得a > 10 或0 < a < 1
2 ，故a 的取值范围为a > 10 或0 < a < 1
2 ．
【题型
【题型14
14】根据全称量词命题求参数范围
】根据全称量词命题求参数范围(恒成立
恒成立)
解题|技巧
若对于某区间内任意x，使得a < f(x)，则a < f(x) 的最小值；若对于某区间内任意x，
使得a > f(x) 的，则a > f(x) 的最大值．
1
已知命题“∃x ∈R，使4x2+ (a - 2)x + 1
4 = 0”是假命题，则实数a 的取值范围是
(
)
A. {a|a < 0}
B.
a|0≤a≤4
C.
a|a≥4
D. {a|0 < a < 4}
答案D
解析
命题∃x ∈R，使4x2+ (a - 2)x + 1
4 = 0 为真命题，则Δ = (a - 2)2- 4 × 4 × 1
4 = a2- 4a ≥0，
得a ≤0 或a ≥4，
而命题“∃x ∈R，使4x2+ (a - 2)x + 1
4 = 0”是假命题，则0 < a < 4，
所以实数a 的取值范围是{a|0 < a < 4}．
故选：D
2
已知命题P :∀x ∈x∣1
2 ≤x≤1
，1
x - a ≥0 是真命题，则a 的取值范围是
．
答案a ≤1
解析
因为命题P :∀x ∈x∣1
2 ≤x≤1
，1
x - a ≥0 是真命题，
所以不等式1
x - a ≥0 在x ∈x∣1
2 ≤x≤1
上恒成立，
等价于a ≤
1
x
min，x ∈x∣1
2 ≤x≤1
即可，
因为1
2 ≤x ≤1，所以1 ≤1
x ≤2，即a ≤1，
所以实数a 的取值范围是a ≤1．
故答案为：a ≤1．
1
已知命题p：“∃x ∈R，2kx2+ kx - 3
8 ≥0”是假命题，则实数k 的取值范围是
．
答案
-3,0
解【分析】由题意可知命题的否定为真命题，再由不等式恒成立讨论k 的取值即可求解．
【详解】由题可得“∀x ∈R，2kx2+ kx - 3
8 < 0 恒成立”是真命题
当k = 0 时，则有- 3
8 < 0 恒成立，符合题意；
２５
26
当k ≠0 时，则有2k<0
Δ=k2+3k<0
，解得-3 < k < 0．
综上所述，实数k 的取值范围是-3,0
．
2
若命题“∃x < 2024，x > a”是假命题，则实数a 的取值范围是
．
答案a ≥2024
解
命题“∃x < 2021，x > a”的否定为“∀x < 2021，x ≤a”，且其否定为真命题，所以a ≥2021，
故答案为：a ≥2024
3
命题“∃x ∈[1 , 3]，x2- a > 0”为假命题的一个充分不必要条件是
(
)
A. a ≥9
B. a ≤9
C. a ≥10
D. a ≤10
答案C
解【分析】依题意命题“∀x ∈[1 , 3]，x2 - a ≤0”为真命题，则a ≥x2 对∀x ∈[1 , 3] 恒成立，即可
求出a 的取范围，再根据集合的包含关系判断即可．
【详解】因为命题“∃x ∈[1 , 3]，x2 - a > 0”为假命题，所以命题“∀x ∈[1 , 3]，x2 - a ≤0”为真
命题，
即a ≥x2对∀x ∈[1 , 3] 恒成立，
所以a ≥x2
max = 9，
因为10,+∞
Ü 9,+∞
，
所以命题“∃x ∈[1 , 3]，x2- a > 0”为假命题的一个充分不必要条件是a ≥10．
4
若命题“∀x ∈R，ax2- 2ax + 12 > 0”是真命题，则a 的取值范围为
(
)
A.
-∞,0
∪12,+∞
B.
-∞,0
∪12,+∞
C.
0,12
D.
0,12
答案D
解
若命题“∀x ∈R，ax2- 2ax + 12 > 0”是真命题，
则当a = 0 时，不等式为12 > 0 对∀x ∈R 恒成立；
当a ≠0 时，要使得不等式恒成立，则a>0
Δ=4a2-48a<0
，解得0 < a < 12
综上，a 的取值范围为0,12
．故选：D．
【题型
【题型15
15】根据特称量词命题求参数范围
】根据特称量词命题求参数范围(能成立
能成立)
解题|技巧
若某区间内存在x，使得a < f(x)，则a < f(x) 的最大值；若某区间内存在x，使得a >
f(x)，则a > f(x) 的最小值
1
已知“∃x ∈R，a > x2- 1”为真命题，则实数a 的取值范围为
(
)
A. a >-1
B. a > 1
C. a <-1
D. a < 1
解析
【法一：参变分离】由题意得a > x2-1
min，又x2-1
min =-1，此时x = 0，故a >-1．
【法二：判别式法】由题意得：∃x ∈R，0 > x2- 1 - a，则△= 0 + 4(1 + a) > 0，故a >-1
故选：A．
2
(多选) 已知命题p :∀x ∈R，x2+ 2x - a > 0．若p 为假命题，则实数a 的值可以是
(
)
A. - 2
B. - 1
C. 0
D. - 3
２６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
27
答案BC
解析
若命题p 为真命题，则Δ = 4 + 4a < 0，解得a <-1，
则当命题p 为假命题时，a ≥-1．故选：BC
1
已知“∃x ∈R，a > x2+ 1”为真命题，则实数a 的取值范围为
答案a > 1
解【分析】由题意知a 需要大于x2- 1 的最小值，求出其最小值即可得．
【详解】由题意得a > x2+1
min，又x2+1
min = 1，此时x = 0，故a > 1．
2
命题“∃x ∈R，x2- 2x + m = 0”为真命题，则m 取值范围为
．
答案m ≤1
解
因为命题“∃x ∈R，x2- 2x + m = 0”为真命题，
所以Δ = -2
2- 4m ≥0，
所以m ≤1，即m 取值范围为m ≤1．
故答案为：m ≤1．
3
(多选) 命题“∃x ∈-1,2
，使x2- m ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是
(
)
A. m < 0
B. m = 4
C. m ≥0
D. m > 4
答案BD
解【分析】计算出m 的范围后，再找其真子集即可得到．
【详解】因为命题“∃x ∈-1,2
，使x2- m ≤0”是真命题，
所以m 大于等于x2在x ∈-1,2
上的最小值，即m ≥0，
选项中m = 4 及m > 4 都是m ≥0 的充分不必要条件，故BD 正确．
【题型
【题型16
16】命题与集合
】命题与集合
命题
集合
∀x ∈A，x ∈B 是真命题，则
A ⊆B(即集合A 是集合B 的子集)
∃x ∈A，x ∈B 是真命题，则
A ∩B ≠∅
1
已知集合A = x -2≤x≤5
，B = x m+1≤x≤2m-
1
，且B ≠∅．
(1) 若命题p：“∀x ∈B，x ∈A”是真命题，求实数m 的取值范围；
(2) 若命题q：“q :∃x ∈A，x ∈B”是真命题，求实数m 的取值范围。
答案(1)2 ≤m ≤3
(2)2 ≤m ≤4
解析
【分析】(1) 命题p 可转化为B ⊆A，又B ≠∅，列出不等式控制范围，即得解；
(2) 命题q 可转化为A ∩B ≠∅，先求解A ∩B = ∅，且B ≠∅时，实数m 的范围，再求解对应范围的
补集，即得解
【详解】(1) 因为命题p：“∀x ∈B，x ∈A”是真命题，所以B ⊆A，又B ≠∅，
所以
m+1≤2m-1
m+1≥-2
2m-1≤5
，解得2 ≤m ≤3
２７
28
(2) 因为B ≠∅，所以m + 1 ≤2m - 1，得m ≥2．
又命题q：“q :∃x ∈A，x ∈B”是真命题，所以A ∩B ≠∅，
若A ∩B = ∅，且B ≠∅时，则2m - 1 <-2 或m + 1 > 5，且m ≥2
即m > 4
故若A ∩B ≠∅，且B ≠∅时，有2 ≤m ≤4
故实数m 的取值范围为2 ≤m ≤4
2
已知集合A = x -3≤x<4
，B = x 2m-1≤x≤m+1
(1) 若A ∪B ≠A，求实数m 的取值范围．
(2) 命题q：“q :∃x ∈A，使得x ∈B”是真命题，求实数m 的取值范围．
答案(1) m m<-1
(2) m -4
≤m≤2
解析
【分析】(1) 考虑A ∪B = A 的情况，然后求解出m 的范围，最后根据对应范围在实数集下的
补集求解出结果；
(2) 根据条件先分析出A ∩B ≠∅，然后考虑A ∩B = ∅的情况，由此求解出符合条件的m 的取值范
围．
【详解】(1) 当A ∪B = A 时，B ⊆A，
若B = ∅，满足B ⊆A，则m + 1 < 2m - 1，解得m > 2；
若B ≠∅，因为B ⊆A，所以
2m-1≥-3
m+1<4
2m-1≤m+1
，所以-1 ≤m ≤2，
所以A ∪B = A 时，m 的取值范围是m m≥-1
，
所以A ∪B ≠A 时，m 的取值范围是m m<-1
．
(2) 因为“q :∃x ∈A，使得x ∈B”是真命题，所以A ∩B ≠∅，
当A ∩B = ∅时，
若B = ∅，A ∩B = ∅成立，此时m + 1 < 2m - 1，解得m > 2；
若B ≠∅，则有m+1<-3
m+1≥2m-1
或2m-1≥4
m+1≥2m-1
，解得m <-4，
所以A ∩B = ∅时，m 的取值范围是m m<-4
或m>2
，
所以命题q 为真命题时m 的取值范围是m -4
≤m≤2
．
1
(24 - 25 高一上·湖南衡阳·月考) 已知集合A = x|1≤x≤7
，B = x|-3m+1≤x≤m-1
，且B
≠∅．
(1) 若命题p :∀x ∈A，x ∈B 是真命题，求实数m 的取值范围；
(2) 若命题q :∀x ∈B，x ∉A 是假命题，求实数m 的取值范围．
答案(1) 8,+∞
；(2) 2,+∞
解【分析】(1) 由命题p 为真命题可得A ⊆B，且B ≠∅，再根据子集列不等式求解范围即可；
(2) 由q :∀x ∈B，x ∉A 是假命题，则q :∃x ∈B，x ∈A 是真命题，即A ∩B ≠∅，再列不等式求解
即可．
【详解】(1) 由命题p 为真命题可得A ⊆B，且B ≠∅
则
-3m+1≤m-1
-3m+1≤1
m-1≥7
，解得m ≥8．
即实数m 的取值范围为8,+∞
．
(2) ∵q :∀x ∈B，x ∉A 是假命题
２８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
29
∴q :∃x ∈B，x ∈A 是真命题，即A ∩B ≠∅
∴
-3m+1≤m-1
-3m+1≤7
m-1≥1
，解得m ≥2，即实数m 的取值范围为2,+∞
．
2
已知集合A = x -3≤x≤10
，B = x 2m+1≤x≤3m-2
，且B ≠∅．
(1) 若命题p：“∀x ∈B，x ∈A”是真命题，求实数m 的取值范围；
(2) 若命题q：“q :∃x ∈A，x ∈B”是真命题，求实数m 的取值范围．
答案(1)3 ≤m ≤4
(2)3 ≤m ≤9
2
解【分析】(1) 由命题p：“∀x ∈B，x ∈A”是真命题，可知B ⊆A，根据子集的含义解决问题；
(2) 命题q：“q :∃x ∈A，x ∈B”是真命题，所以A ∩B ≠∅，通过关系解决．
【详解】(1) 由命题p：“∀x ∈B，x ∈A”是真命题，可知B ⊆A，
又B ≠∅，所以
2m+1≤3m-2
2m+1≥-3
3m-2≤10
，解得3 ≤m ≤4．
(2) 因为B ≠∅，所以2m + 1 ≤3m - 2，得m ≥3．
因为命题q：“q :∃x ∈A，x ∈B”是真命题，所以A ∩B ≠∅，
所以-3 ≤2m + 1 ≤10，或-3 ≤3m - 2 ≤10，得-2 ≤m ≤9
2 ．
综上，3 ≤m ≤9
2 ．
3
已知集合A = x
-3≤x<1
，B = x
2m-1≤x≤m+1
，且B ≠∅
(1) 命题p：x ∈A，命题q：x ∈B，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
(2) 命题“r：q :∃x ∈A，使得x ∈B”是真命题，求实数m 的取值范围．
答案(1) - 1 ≤m < 0；(2) [-4 , 1)．
解【详解】(1) 解：∵B 是A 的真子集，且B 不是空集，所以
2m-1≥-3
m+1<1
m≤2
，解得-1 ≤m < 0；
(2) 解：q :∃x ∈A，使得x ∈B，∴B 为非空集合且A ∩B ≠∅，
所以m + 1 ≥2m - 1，即m ≤2，
当A ∩B = ∅时2m-1≥1
m≤2
或m+1<-3
m≤2
，所以1 ≤m ≤2 或m <-4，∴m 的取值范围为[-4 , 1)．
２９
30
专题2 - 1 等式性质与不等式性质
模块一
重难点题型突破
【题型
【题型1】用不等式
】用不等式(组) 表示不等式关系
表示不等式关系
知识点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意x ∈R，则x > 0(x 为正数)、x = 0 或x < 0(x 为负数) 三种情况有且只有一种成立．
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：a > 0，b > 0 ⇒a + b > 0；
a < 0，b < 0 ⇒a + b < 0
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：a > 0，b > 0 ⇒ab > 0；
a < 0，b < 0 ⇒ab > 0
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：a > 0，b < 0 ⇒ab < 0
④任何实数的平方为非负数，0 的平方为0
符号语言：x ∈R ⇒x2≥0，x = 0 ⇔x2= 0．
1
(高一·广东深圳·月考) 公司运输一批木材，总重600 吨，车队有两种货车，A 型货车载重量30 吨，
B 型货车载重量24 吨，设派出A 型货车x 辆，B 型货车y 辆，则运输方案应满足的关系式是
(
)
A. 5x + 4y < 100
B. 5x + 4y ≥100
C. 5x + 4y > 100
D. 5x + 4y ≤100
答案B
解析
由已知可得，30x + 24y ≥600，
所以有5x + 4y ≥100．
1
下列说法正确的是
(
)
A. 某人的月收入x 元不高于2000 元可表示为“x < 2000”
B. 小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x > y”
C. 变量x 不小于a 可表示为“x ≥a”
D. 变量y 不超过a 可表示为“y ≥a”
答案C
３０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
31
解
对于A，某人的月收入x 元不高于2000 元可表示为“x ≤2000”，A 错；
对于B，小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x < y”，B 错；
对于C，变量x 不小于a 可表示为“x ≥a”，C 正确；
对于D，变量y 不超过a 可表示为“y ≤a”，D 错．
2
持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-
共40km，其中靠近灭火前线5km 的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在
可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60km h，设需摩托车运送的路段平均速度为xkm h，为
使物资能在1 小时内到达灭火前线，则x 应该满足的不等式为()．
A.
40
60+x > 1
B.
40
60+x < 1
C. 35
60 + 5
x > 1
D. 35
60 + 5
x < 1
答案D
解
由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1 小时，即35
60 + 5
x < 1，
故选：D．
【题型
【题型2】利用不等式的性质判断命题真假
】利用不等式的性质判断命题真假
不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
(1) 对称性：a > b ⇔b < a
(2) 传递性：a > b，b > c ⇒a > c
(3) 可加性：a > b ⇔a + c > b + c(c ∈R)
(4) 可乘性：a > b，
c>0⇒ac>bc
c=0⇒ac=bc
c<0⇒ac<bc
运算性质有：
(1) 可加法则：a > b，c > d ⇒a + c > b + d．
(2) 可乘法则：a > b > 0，c > d > 0 ⇒a ⋅c > b ⋅d > 0
(3) 可乘方性：a > b > 0，n ∈N *⇒an> bn> 0
知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．
1
(24 - 25 高一上·广东清远·期中) (多选) 下列“若p，则q”形式的命题中，p 是q 的充分不必要条
件的是
(
)
A. 若a > b，则ac2> bc2
B. 若ac2> bc2，则a > b
C. 若a < b < 0，则1
a > 1
b
D. 若1
a > 1
b ，则a < b < 0
答案BC
３１
32
解析
【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法和不等式的性质，对各个选项逐一分析判断，即
可求解．
【详解】对于选项A，若a > b，c = 0 时，推不出ac2> bc2，所以选项A 错误，
对于选项B，由ac2> bc2，得到(a - b)c2> 0，又c2> 0，所以a - b > 0，即a > b，
所以ac2 > bc2 可以推出a > b，由选项A 知a > b 推不出ac2 > bc2，所以p 是q 的充分不必要条件，故
选项B 正确，
对于选项C，易知a < b < 0 可以推出1
a > 1
b ，取a = 2，b = 3，显然满足1
a > 1
b ，
但不满足a < b < 0，即1
a > 1
b 推不出a < b < 0，所以p 是q 的充分不必要条件，故选项C 正确，对
于选项D，由选项C 知，1
a > 1
b 推不出a < b < 0，所以选项D 错误
2
(高一·广东深圳·期末) 已知a，b，c ∈R，a > b，则下列一定成立的是
(
)
A. 1
a < 1
b
B. ab > b2
C. b+c
a+c > b
a
D. a c2+1
> b c2+1
答案D
解析
对于A，当a = 1，b =-2，则1
a > 1
b ，故A 不正确；
对于B，当b = 0 时，由a > b 可得ab = b2= 0，故B 不正确；
对于C，当a = 2，b = 1，c = 0 时，b+c
a+c = b
a ，故C 不正确；
对于D，因为c2+ 1 > 0 恒成立，所以由a > b 可得a c2+1
> b c2+1
，故D 正确．
1
(24 - 25 高一上·广西南宁·月考) 若a，b，c，d ∈R，则下列说法正确的是
(
)
A. 若a + c > b + d，c > d，则a > b
B. 若a > b > 0 > c > d，则c
a - d
b > 0
C. 若a < b，c < d，则ac < bd
D. 若a < b，则ac2< bc2
答案B
解【分析】对于ACD，举例判断，对于B，根据不等式的性质以及作差法分析判断．
【详解】对于A，若a = 1，b = 1，c =-1，d =-2，满足a + c > b + d，c > d，则a = b，所以A 错
误，
对于B，因为a > b > 0，-d >-c > 0，所以-ad >-bc > 0，即得bc > ad，又因为ab > 0，
则c
a - d
b = bc-ad
ab
> 0，所以B 正确，
对于C，若a = 1，b = 2，c =-2，d =-1，满足a < b，c < d，则ac = bd =-2，所以C 错误，
对于D，若c = 0，则ac2= bc2= 0，所以D 错误
2
下列说法中，错误的是
(
)
A．若a > b > 0，c < d < 0，则一定有a
c
> b
d
B．若a
c2 > b
c2 ，则a > b
C．若b > a > 0，m > 0，则a+m
b+m > a
b
D．若a > b，c < d，则a - c > b - d
答案A
解【分析】对A 举反例即可判断；对B 和D，利用不等式基本性质即可判断；对C，利用作差法即可
３２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
33
判断．
【详解】对于A，若a = 2，b = 1，c =-2，d =-1，则a
c = b
d ，故A 错误．
对于B，由a
c2 > b
c2 ，可知c2≠0，所以c2> 0，所以a > b．故B 正确．
对于C，a+m
b+m - a
b = ab+bm-ab-am
b⋅(b+m)
= m(b-a)
b⋅(b+m) ，因为b > a > 0，m > 0，
所以m(b-a)
b⋅(b+m) > 0，所以a+m
b+m > a
b ．故C 正确．
对于D，因为c < d，所以-c >-d．又a > b，所以a - c > b - d．故D 正确．
3
(24 - 25 高二下·江西·期末) 已知a > b > c，则下列式子一定成立的是
(
)
A. ac2> bc2
B. a2> b2
C.
1
a-c <
1
b-c
D. a + c > b - c
答案C
解【分析】通过特殊值排除ABD 选项，利用不等式的性质证明C 选项．
【详解】对于A，当c = 0 时，不等式不成立，所以A 错误．
对于B，当a = 1，b =-2 时，满足a > b，但a2< b2，所以B 错误．
对于C，因为a > b > c，所以a - c > b - c > 0，则
1
a-c <
1
b-c ，所以C 正确．
对于D，当a = 1，b = 0，c =-1 时，a + c = 0，b - c = 1，不符合a + c > b - c，所以D 错误．
4
(多选) 若实数a，b，c 满足a > b b≠0
且a > 0，c > 0，则下列不等式正确的是
(
)
A. 1
a < 1
b
B. - ac <-bc
C. b+c
a+c > b
a
D. b2
a2 + a2
b2 > 2
答案BC
解
对于A，若a = 1，b =-1，则1
a = 1 > 1
b =-1，所以A 错误，
对于B，因为a > b，所以-a <-b，因为c > 0，所以-ac <-bc，所以B 正确，
对于C，因为a > b，a > 0，c > 0，所以c(a - b) > 0，a(a + c) > 0，
所以b+c
a+c - b
a = a(b+c)-b(a+c)
a(a+c)
= c(a-b)
a(a+c) > 0，
所以b+c
a+c > b
a ，所以C 正确，
对于D，若a = 1，b =-1，则b2
a2 + a2
b2 = 1 + 1 = 2，所以D 错误，故选：BC
【题型
【题型3】作差法比较两数
】作差法比较两数(式) 的大小
的大小
作差比较两个实数大小的法则：作差、变形、判断差的符号、得出结论．
对任意两个实数a、b
①a - b > 0 ⇔a > b；②a - b < 0 ⇔a < b；③a - b = 0 ⇔a = b．
对于任意实数a、b，a > b，a = b，a < b 三种关系有且只有一种成立．
知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明
不等式与解不等式的主要依据．
1
已知x ∈R，则x2+ 3
2x．(填“<”，“>”，或“=”)
３３
34
答案>
解析
x2+ 3 - 2x = x-1
2+ 2 > 0，故x2+ 3 > 2x．
故答案为：>．
2
(24 - 25 高一上·四川达州·月考) (1) 设x > y > 0，试比较x2+y2
x-y
与x2-y2
x+y
的大
小．
(2) 已知a、b、x、y ∈0,+∞
且1
a > 1
b ，x > y，求证：
x
x+a >
y
y+b ．
答案(1) 答案见解析；(2) 证明见解析．
解析
【分析】(1) 利用作差法，即可比较两式的大小；
(2) 利用作差法，即可证明
x
x+a >
y
y+b ．
【详解】(1) x2+y2
x-y
- x2-y2
x+y
= x-y
x2+y2
- x+y
2
=-2xy x-y
；
因为x > y > 0，所以xy > 0，x - y > 0，
所以-2xy x-y
< 0，
所以x2+y2
x-y
< x2-y2
x+y
；
(2) 证明：
x
x+a -
y
y+b =
bx-ay
(x+a)(y+b) ，
因为1
a > 1
b 且a，b ∈0,+∞
，
所以b > a > 0；
又因为x > y > 0，所以bx > ay > 0，则bx - ay > 0，
又x + a > 0，y + b > 0
所以
x
x+a -
y
y+b > 0，即
x
x+a >
y
y+b ．
1
比较下列两式大小：
(1) x+5
x+7
与x+6
2
(2)x2+ y2+ 1 与2 x+y-1
解
(1) 由x+5
x+7
- x+6
2= x2+ 12x + 35 - x2+12x+36
=-1 < 0，
所以x+5
x+7
< x+6
2．
(2) 由x2+ y2+ 1 - 2 x+y-1
= x2- 2x + 1 + y2- 2y + 2 = x-1
2+ y-1
2+ 1 > 0，
所以x2+ y2+ 1 > 2 x+y-1
．
2
已知a + b > 0，试比较a
b2 + b
a2 与1
a + 1
b 的大小．
解
由a
b2 + b
a2 -
1
a + 1
b
= a-b
b2
+ b-a
a2
= (a - b)
1
b2 - 1
a2
= (a+b)(a-b)2
a2b2
，
因为a + b > 0，(a - b)2≥0，可得(a+b)(a-b)2
a2b2
≥0，
所以a
b2 + b
a2 ≥1
a + 1
b ．
3
比较下列各题中两个代数式值的大小．
(1) x2+1
2与x4+ x2+ 1；
３４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
35
(2) a2-b2
a2+b2 与a-b
a+b a>b>0
．
解
(1) x2+1
2- x4+x2+1
= x4+ 2x2+ 1 - x4+x2+1
= x2≥0，
∴x2+1
2≥x4+ x2+ 1．
(2) a2-b2
a2+b2 - a-b
a+b =
a2-b2
a+b
a2+b2
a+b
-
a-b
a2+b2
a+b
a2+b2
=
2ab a-b
a+b
a2+b2
，
∵a > b > 0，
∴2ab > 0，a - b > 0，a + b > 0，a2+ b2> 0，则
2ab a-b
a+b
a2+b2
> 0，
∴a2-b2
a2+b2 > a-b
a+b ．
【题型
【题型4】作商法比较两数
】作商法比较两数(式) 的大小
的大小
作商法：作商法的步骤：作商、变形、判断商与1 的大小、得出结论
任意两个值为正的代数式a、b，可以作商a ÷ b 后比较a
b 与1 的关系，进一步比较a 与b 的大小．
①a
b > 1 ⇔a > b；②a
b < 1 ⇔a < b；③a
b = 1 ⇔a = b．
1
设a =
7，b = 3 -
3，则a
b(填入“>”或“<”)．
答案>
解析
∵a
b =
7
3-
3 =
7 3+
3
3-
3
3+
3
=
7 3+
3
6
> 2×3
6
= 1，即a
b > 1．
又∵b > 0，
∴a > b．
故答案为：>．
2
已知a > 0，b > 0，试比较
a +
b 与a
b +
b
a 的大小；
答案
a +
b ≤a
b +
b
a (当且仅当a = b 时取等号)
解析
由题意
a
b + b
a
a+
b =
a a+b b
ab
a+
b
，由立方和公式x3+ y3= x+y
x2-xy+y2
，
可得分子a a + b b =
a
3+
b
3=
a+
b
a-
ab+b
，
将其代入原式得
a a+b b
ab
a+
b
=
a+
b
a+b-
ab
ab
a+
b
= a+b-
ab
ab
，
进一步对其分子利用基本不等式可得a + b -
ab ≥2 ab -
ab =
ab，且等号成立当且仅当a = b，
将其代入原式得a+b-
ab
ab
≥1，
综上所述
a +
b ≤a
b +
b
a (当且仅当a = b 时取等号)．
1
设a > b > 0，比较a2-b2
a2+b2 与a-b
a+b 的大小
答案a2-b2
a2+b2 > a-b
a+b
解
∵a > b > 0 ⇒a + b > 0，a - b > 0，
３５
36
∴a2-b2
a2+b2 =
a+b
a-b
a2+b2
> 0，a-b
a+b > 0，
∴
a2-b2
a2+b2
a-b
a+b
= (a+b)2
a2+b2 = 1 +
2ab
a2+b2 > 1，
∴a2-b2
a2+b2 > a-b
a+b ．
2
P = a2+ a + 1，Q =
1
a2-a+1 ，(a ∈R)，则P，Q 的大小关系为
．
答案≥
解
因为P = a2+ a + 1 = a+ 1
2
2
+ 3
4 > 0，a2- a + 1 = a- 1
2
2
+ 3
4 > 0 则Q > 0
由P
Q = a2+a+1
a2-a+1
= a2+1
2- a2= a4+ a2+ 1 ≥1
所以P ≥Q
3
已知a ≥1，试比较M =
a+1 -
a 和N =
a -
a-1 的大小．
解
(方法1) 因为a ≥1，所以M =
a+1 -
a > 0，N =
a -
a-1 > 0．
所以M
N =
a+1-
a
a-
a-1 =
a+
a-1
a+1+
a ．
因为
a+1 +
a >
a +
a-1 > 0，所以M
N < 1，即M < N；
(方法2) 所以M =
a+1 -
a > 0，N =
a -
a-1 > 0，
又1
M =
1
a+1-
a =
a+1 +
a，1
N =
1
a-
a-1 =
a +
a-1，
所以1
M > 1
N > 0，所以M < N．
【题型
【题型5】其它方法比大小
】其它方法比大小
1、中间量法：也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：
若a > b，b > c，则a > c；若a < b，b < c，那么a < c．其中b 是介于a 与c 之间的值，
此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．
2、平方法：对两式先平方，再比较大小．
1
比大小：2 -
3
5 - 2．
答案>
解析
【分析】对2 -
3，
5 - 2 两边平方，再做差比较大小可得答案．
【详解】因为2 -
3 > 0，
5 - 2 > 0，
所以2-
3
2= 7 - 4 3，
5-2
2= 7 - 4 5，
因为7 - 4 3 - 7-4 5
= 4 5 - 4 3 > 0，
所以2-
3
2>
5-2
2，
所以2 -
3 >
5 - 2．
2
若a =
3 -
2，b =
6 -
5，则a、b 的大小关系是
．
答案a > b
解析
a =
3 -
2 =
1
3+
2 ，b =
6 -
5 =
1
6+
5 ，
３６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
37
因为
6 +
5 >
3 +
2 > 0，所以
1
3+
2 >
1
6+
5 ，
∴a > b．
故答案为：a > b．
1
比较大小：
7 +
5
2 6．(用>，< 或= 填空)
答案<
解【详解】此类题是方法是，若a + b = c + d，则两个数越接近，其根式和越大．
2
已知a > 0，b > 0，M =
a+b，N =
a +
b，则M 与N 的大小关系为
(
)
A．M > N
B．M < N
C．M ≤N
D．M，N 大小关系不确定
答案B
解【分析】平方后作差比较大小即可．
【详解】M 2- N 2= a+b
- a+b+2 ab
=-2 ab < 0，
∴M < N．
3
设m =
6 -
5，n =
7 -
6，则m
n(填入“<”或“>”)
答案>
解
依题意，m =
1
6+
5 ，n =
1
7+
6 ，而
6 +
5 <
7 +
6，因此
1
6+
5 >
1
7+
6 ，
所以m > n．
故答案为：>
【题型
【题型6】不等式性质的实际应用
】不等式性质的实际应用(设计方案
设计方案)
常见文字语言与符号语言之间的对应关系
文字语言
大于、高于、超过
小于、低于、少于
大于或等于、
至少、不低于
小于或等于、至多、
不多于、不超过
符号语言
>
<
≥
≤
1
体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实
现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500 元的资
金购买单价分别为120 元的篮球和140 元的足球．已知该校至少要购买8 个篮球，且至少购买2 个
足球，则不同的选购方式有
(
)
A. 6 种
B. 7 种
C. 8 种
D. 5 种
答案D
解析
设购买的篮球个数为x，足球个数为y，且x，y ∈N *，
根据题意可得
x≥8
y≥2
120x+140y≤1500
，
得符合题意的有序实数对x,y
可以是8,2
，8,3
，9,2
，9,3
，10,2
，
３７
38
共5 种不同的购买方式．
2
(24 - 25 高一上·江苏连云港·期中) 火车站有某公司待运的甲种货物1530t，乙种货物1150t．现计
划用A，B 两种型号的货厢共50 节运送这批货物．已知35t 甲种货物和15t 乙种货物可装满一节
A 型货厢，25t 甲种货物和35t 乙种货物可装满一节B 型货厢．
(1) 据此安排A，B 两种货厢的节数，共有几种方案？
(2) 若每节A 型货厢的运费是0.5 万元，每节B 型货厢的运费是0.8 万元，哪种方案的运费较少？
答案(1) 答案见详解
(2) 安排A 型货厢30 节，B 型货厢20 节时运费最少
解析
【分析】(1) 根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出A，B 型货厢的节数，可分为三种方
案；
(2) 根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少．
【详解】(1) 设安排A，B 两种货厢分别为x 节，y 节，
则可列不等式组
35x+25y≥1530
15x+35y≥1150
x+y=50
x≥0
y≥0
，
利用不等式即可解得28≤x≤30
20≤y≤22
，
∵x ∈N *，∴x=28
y=22
，或x=29
y=21
，或x=30
y=20
．
∴共有三种方案：
方案一，安排A 型货厢28 节，B 型货厢22 节；
方案二，安排A 型货厢29 节，B 型货厢21 节；
方案三，安排A 型货厢30 节，B 型货厢20 节．
(2) 共有三种方案，运费分别为：
安排A，B 两种货厢分别为28 节，22 节，运费为28 × 0.5 + 22 × 0.8 = 31.6 万元
安排A，B 两种货厢分别为29 节，21 节，运费为29 × 0.5 + 21 × 0.8 = 31.3 万元．
安排A，B 两种货厢分别为30 节，20 节，运费为30 × 0.5 + 20 × 0.8 = 31 万元．
易知安排A 型货厢30 节，B 型货厢20 节时，运费最少，为31 万元．
1
火车站有某公司待运的甲种货物1530 吨，乙种货物1150 吨．现计划用A，B 两种型号的货箱共
50 节运送这批货物．已知35 吨甲种货物和15 吨乙种货物可装满一节A 型货箱，25 吨甲种货物和
35 吨乙种货物可装满一节B 型货箱，据此安排A，B 两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：
(
)
A. A 货箱28 节，B 货箱22 节
B. A 货箱29 节，B 货箱21 节
C. A 货箱31 节，B 货箱19 节
D. A 货箱30 节，B 货箱20 节
答案C
解
设A、B 货箱分别有x，y 节，则
x+y=50
35x+25y≥1530
15x+35y≥1150
，
A：共50 节且35 × 28 + 25 × 22 = 1530，15 × 28 + 35 × 22 = 1190 > 1150，满足；
３８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
39
B：共50 节且35 × 29 + 25 × 21 = 1540 > 1530，15 × 29 + 35 × 21 = 1170 > 1150，满足；
C：共50 节且35 × 31 + 25 × 19 = 1560 > 1530，15 × 31 + 35 × 19 = 1130 < 1150，不满足；
D：共50 节且35 × 30 + 25 × 20 = 1550 > 1530，15 × 30 + 35 × 20 = 1150，满足；
2
火车站有某公司待运的甲种货物1530 吨，乙种货物1150 吨．现计划用A，B 两种型号的货箱共
50 节运送这批货物．已知35 吨甲种货物和15 吨乙种货物可装满一节A 型货箱，25 吨甲种货物和
35 吨乙种货物可装满一节B 型货箱，据此安排A，B 两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：
(
)
A. A 货箱28 节，B 货箱22 节
B. A 货箱29 节，B 货箱21 节
C. A 货箱31 节，B 货箱19 节
D. A 货箱30 节，B 货箱20 节
答案C
解
设A、B 货箱分别有x，y 节，则
x+y=50
35x+25y≥1530
15x+35y≥1150
，
A：共50 节且35 × 28 + 25 × 22 = 1530，15 × 28 + 35 × 22 = 1190 > 1150，满足；
B：共50 节且35 × 29 + 25 × 21 = 1540 > 1530，15 × 29 + 35 × 21 = 1170 > 1150，满足；
C：共50 节且35 × 31 + 25 × 19 = 1560 > 1530，15 × 31 + 35 × 19 = 1130 < 1150，不满足；
D：共50 节且35 × 30 + 25 × 20 = 1550 > 1530，15 × 30 + 35 × 20 = 1150，满足；故选：C．
3
(24 - 25 高一上·福建福州·月考) 甲、乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在A、B、C、
D 四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜，甲先取两个容器，余下的两个容器给乙，
已知容器A、B 的底面积均为x2，高分别为x，y，容器C，D 底面积均为y2，高分别为x，y(其
中x ≠y)．
(1) 写出A，B，C，D 四个长方体容器的体积VA、VB、VC、VD；
(2) 列举出甲同学从四个容器中取出两个不同容器的所有可能结果(先取A 再取B 与先取B 再取A 视
为相同的取法)；
(3) 在未能确定x 与y 大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案(即指出甲取哪两个容器一定可以获
胜)，并说明此方案必胜的理由．
答案(1)VA= x3，VB = x2y，VC = xy2，VD = y3
(2)AB，AC，AD，BC，BD，CD
(3) 甲必胜的方案：甲选AD，理由见解析
解【分析】(1) 直接利用长方体体积公式求解即可；
(2) 直接写出各种可能情况即可；
(3) 按照x，y 的大小关系，分情况结合不等式的性质以及作差法分析判断，比较大小即可．
【详解】(1)A，B，C，D 的体积分别为VA，VB，VC，VD，
因为容器A、B 的底面积均为x2，高分别为x，y，容器C，D 底面积均为y2，
则VA= x3，VB = x2y，VC = xy2，VD = y3．
(2) 甲从A，B，C，D 中任选2 个，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6 种可能．
(3) 当x > y 时，则x3> x2y > xy2> y3，即VA> VB > VC > VD．
则VA+ VB > VC + VD，VA+ VC > VB + VD，即甲取BD，CD 均不能够稳操胜券；
当x < y 时，则y3> y2x > yx2> x3，
３９
40
即VD > VC > VB > VA，
则VD + VC > VB + VA，VD + VB > VC + VA，
即甲取AC，AB 均不能稳操胜券；
若甲先取AD，则：VA+VD
- VB+VC
= x3+ y3- xy2+x2y
= x-y
2 x+y
> 0，
即VA+ VD > VB + VC，
即甲先取AD 能够稳操胜券，选BC 不能够稳操胜券，
综上所述：甲必胜的方案：甲选AD．
模块二
中档题突破
【题型
【题型7】糖水不等式的证明及应用
】糖水不等式的证明及应用
糖水不等式是一个基于生活常识的数学不等式，常用于分式放缩。
其核心表述为：若b > a > 0(代表原有糖水浓度a
b < 1，且m > 0) (代表加入的糖量)，则必有：
a
b < a+m
b+m < 1
含义解释：
(1) 左边不等号a
b < a+m
b+m ：在糖水(溶质a，溶液b) 中加入纯糖(m) 后，新糖水的浓度a+m
b+m 一定比原
来的浓度a
b 更甜(更大)．
(2) 右边不等号a+m
b+m < 1：加入糖后，浓度依然小于1(即仍是糖水，不可能变成纯糖)．
关键点：
前提：原分数是真分数
a
b <1
，且加入的量m 是正数．
结论：分子分母加上同一个正数后，分数值变大(更接近1)，但仍小于1．
应用：该不等式简洁有力，在证明涉及分式的不等式、比较大小或进行放缩时非常有用，体现了“加糖
变甜”的直观思想在数学中的精确表达。
1
(高一上·浙江嘉兴·月考) 下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
(1) 如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2) 把原来的糖水(淡) 与加糖后的糖水(浓) 混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．
答案(1) a+m
b+m > a
b (其中a，b，m 为正实数，且b > a) (答案形式不唯一)
(2) a
b < a+c
b+d < c
d (其中b > a > 0，d > c > 0) (答案形式不唯一)
４０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
41
解析
【分析】将问题转化为证明不等式成立，然后利用差比较法证得不等式成立．
【详解】(1) 设糖水b 克，含糖a 克，糖水浓度为a
b ，加入m 克糖，
即证明不等式a+m
b+m > a
b (其中a，b，m 为正实数，且b > a) 成立．
不妨用作差比较法，证明如下：
a+m
b+m - a
b = b a+m
-a b+m
b b+m
= m b-a
b b+m
．
∵a，b，m 为正实数，且a < b，∴b + m > 0，b - a > 0，
∴m b-a
b b+m
> 0，即a+m
b+m > a
b ．
(2) 设原糖水b 克，含糖a 克，糖水浓度为a
b ；另一份糖水d 克，含糖c 克，
糖水浓度为c
d ，且a
b < c
d ，求证：a
b < a+c
b+d < c
d (其中b > a > 0，d > c > 0)．
：∵a
b < c
d ，且b > a > 0，d > c > 0，
∴ad < bc，即bc - ad > 0，
a
b - a+c
b+d = ab+ad-ab-bc
b b+d
= ad-bc
b b+d
< 0，
即a
b < a+c
b+d ，
c
d - a+c
b+d = cb+cd-ad-cd
d b+d
= cb-ad
d b+d
> 0，
即a+c
b+d < c
d ，∴a
b < a+c
b+d < c
d ．
2
(24 - 25 高一上·黑龙江黑河·月考) 已知b 克糖水中有a 克糖(b > a > 0)，往糖水中加入m 克糖
m>0
，(假设全部溶解) 糖水更甜了．
(1) 请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
(2) 利用(1) 的结论比较M = 20192020
20232024 ，N = 20192017
20232021 的大小；
(3) 证明命题：设x > 0，y > 0，z > 0，证明：1 <
x
x+y +
y
y+z +
z
z+x < 2．
答案(1) a
b < a+m
b+m ，(m > 0)，证明见解析
(2)M > N
(3) 证明见解析
解析
【分析】(1) 根据题意，得到不等式a
b < a+m
b+m ，(m > 0)，结合作差比较法，即可得证；
(2) 根据题意，化简M = 20192020
20232024 = 20192017+3
20232021+3 ，利用上述结论，即可求解；
(3) 由(1) 中的结论，得到
x
x+y <
x+z
x+y+z ，
y
y+z <
y+x
y+z+x ，
z
z+x <
z+y
z+x+y ，证得
x
x+y +
y
y+z +
z
z+x < 2，再由
x
x+y +
y
y+z +
z
z+x = 3 -
y
x+y +
z
y+z +
x
z+x
，进而证得
x
x+y +
y
y+z +
z
z+x > 1，即可得证．
４１
42
【详解】(1) 由题意，可得不等式a
b < a+m
b+m ，(m > 0)．
：由a
b - a+m
b+m = ab+am-ab-bm
b(b+m)
= (a-b)m
b(b+m) ，
因为b > a > 0，m > 0，可得a - b < 0，b + m > 0，
所以a
b - a+m
b+m < 0，即a
b < a+m
b+m ．
(2) 由M = 20192020
20232024 = 20192017+3
20232021+3 ，N = 20192017
20232021 ，
由(1) 中的结论，可得20192017+3
20232021+3 > 20192017
20232021 ，即M > N．
(3) 证明：因为x > 0，y > 0，z > 0，
由(1) 中的结论，可得
x
x+y <
x+z
x+y+z ，
y
y+z <
y+x
y+z+x ，
z
z+x <
z+y
z+x+y ，
所以
x
x+y +
y
y+z +
z
z+x <
x+z
x+y+z +
y+x
y+z+x +
z+y
z+x+y = 2 ①，
又由
x
x+y = x+y-y
x+y
= 1 -
y
x+y ，同理可得
y
y+z = 1 -
z
y+z ，
z
z+x = 1 -
x
z+x ，
则
x
x+y +
y
y+z +
z
z+x = 3 -
y
x+y +
z
y+z +
x
z+x
，
由上述结论，可得
y
x+y +
z
y+z +
x
z+x < 2，所以
x
x+y +
y
y+z +
z
z+x > 1 ②，
综合①②，得1 <
x
x+y +
y
y+z +
z
z+x < 2．
1
(24 - 25 高二下·浙江宁波·期中) 已知a > b > 0，则“ a
b > a+m
b+m ”是“m > 0”的
(
)
A. 充要条件
B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件
D. 必要不充分条件
答案D
解【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解．
【详解】若m > 0，a > b > 0，则a+m
b+m - a
b = ab+bm-ab-am
b(b+m)
= m(b-a)
b(b+m) < 0，则a
b > a+m
b+m ，
反之，若a
b > a+m
b+m ，则a+m
b+m - a
b = ab+bm-ab-am
b(b+m)
= m(b-a)
b(b+m) < 0，
又a > b > 0，所以
m
b+m > 0，即m b+m
> 0，此时m > 0 不一定成立，
比如m =-3 < 0，b = 2 > 0，此时m b+m
= 3 > 0，所以“ a
b > a+m
b+m ”是“m > 0”的必要不充
分条件．
2
(24 - 25 高一上·四川成都·月考) 如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水
４２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
43
不等式：y
x < y+m
x+m (x > y > 0 , m > 0)．
(1) 证明糖水不等式；
(2) 已知a，b，c 是三角形的三边，求证：1 <
a
b+c +
b
a+c +
c
a+b < 2．
答案(1) 证明见解析
(2) 证明见解析
解【分析】(1) 由作差法证明；
(2) 由糖水不等式变形证明．
【详解】(1) y+m
x+m - y
x = x y+m
-y x+m
x x+m
= m x-y
x x+m
，
因为x > y > 0，m > 0，所以x + m > 0，x - y > 0，
所以m x-y
x x+m
> 0，即y
x < y+m
x+m ．
(2) 因为a，b，c 是三角形的三边，所以b + c > a > 0，
由(1) 知
a
b+c <
a+a
b+c+a =
2a
a+b+c ，
同理
b
a+c <
2b
a+b+c ，
c
a+b <
2c
a+b+c ，
所以
a
b+c +
b
a+c +
c
a+b <
2a
a+b+c +
2b
a+b+c +
2c
a+b+c = 2 a+b+c
a+b+c
= 2，
又
a
b+c >
a
b+c+a ，
b
a+c >
b
a+b+c ，
c
a+b >
c
a+b+c
所以
a
b+c +
b
a+c +
c
a+b > a+b+c
a+b+c = 1
所以原不等式成立．
3
下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式子并证明．
(1) 如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2) 把原来的糖水(淡) 与加糖后的糖水(浓) 混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
(3) 如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了．
答案(1) 答案见解析
(2) 答案见解析
(3) 答案见解析
解【分析】(1) 首先根据浓度关系，建立不等式，再作差比较大小；
(2) 首先由浓糖水喝淡糖水表示不等关系a
b < c
d ，再证明混合后的糖水的浓度关系，即可证明a
b <
a+c
b+d < c
d ；
(3) 根据条件建立不等式，再作差证明．
４３
44
【详解】(1) 设糖水b 克，含糖a 克，糖水浓度为a
b ，加入m 克糖，
求证：不等式a+m
b+m > a
b (其中a，b，m 为正实数，且b > a) 成立．
不妨用作差比较法，证明如下：
a+m
b+m - a
b = b a+m
-a b+m
b b+m
= m b-a
b b+m
．
∵a，b，m 为正实数，且a < b，∴b + m > 0，b - a > 0，
∴m b-a
b b+m
> 0，即a+m
b+m > a
b ．
(2) 设原糖水b 克，含糖a 克，糖水浓度为a
b ；另一份糖水d 克，含糖c 克，糖水浓度为c
d ，且a
b <
c
d ，
求证：a
b < a+c
b+d < c
d (其中b > a > 0，d > c > 0)．
：∵a
b < c
d ，且b > a > 0，d > c > 0，
∴ad < bc，即bc - ad > 0，
a
b - a+c
b+d = ab+ad-ab-bc
b b+d
= ad-bc
b b+d
< 0，
即a
b < a+c
b+d ，
c
d - a+c
b+d = cb+cd-ad-cd
d b+d
= cb-ad
d b+d
> 0，
即a+c
b+d < c
d ∴a
b < a+c
b+d < c
d ．
(3) 设原糖水b 克，含糖a 克，糖水浓度为a
b ，加入m 克水，
求证：a
b >
a
b+m (其中b > a > 0，m > 0)．
：a
b -
a
b+m = ab+am-ab
b b+m
=
am
b b+m
> 0，∴a
b >
a
b+m
【题型
【题型8】不等式的证明及不等式判断综合
】不等式的证明及不等式判断综合
常用不等式的证明方法
1、作差法：任意两个代数式a、b，可以作差a - b 后比较a - b 与0 的关系，进一步比较a 与b 的大小．
2、作商法：任意两个值为正的代数式a、b，可以作商a ÷ b 后比较a
b 与1 的关系，进一步比较a 与b 的
大小．
3、中间量法：若a > b 且b > c，则a > c(实质是不等式的传递性)．一般选择0 或1 为中间量．
4、平方法：对两式先平方，再比较大小．
5、利用平方公式的非负性
４４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
45
1
(高一上·河北保定·月考) 设a，b，c ∈R，a + b + c = 0，abc = 1．
(1) 证明：ab + bc + ca < 0；
(2) 若a > b，证明a3> b3．
答案(1) 证明见解析；(2) 证明见解析
解析
(1) 证明：∵a+b+c
2= a2+ b2+ c2+ 2ab + 2ac + 2bc = 0，
∴ab + bc + ca =- 1
2
a2+b2+c2
．
a，b，c 不同时为0，则a2+ b2+ c2> 0，∴ab + bc + ca =- 1
2
a2+b2+c2
< 0；
(2)a3- b3= a-b
a2+ab+b2
．
∵a2+ ab + b2= a+ 1
2 b
2
+ 3
4 b2≥0，取等号的条件为a = b = 0，
而a > b，∴等号无法取得，即a2+ ab + b2= a+ 1
2 b
2
+ 3
4 b2> 0，
又a > b，∴a3- b3= a-b
a2+ab+b2
> 0，∴a3> b3．
2
今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/ 斤、b 元
/ 斤a≠b
，王大妈每周购买10 元的白菜，李阿姨每周购买8 斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白
菜的平均价格分别记为m1，m2，则m1与m2的大小关系为
(
)
A. m1= m2
B. m1> m2
C. m1< m2
D. 无法确定
答案C
解析
由题意可得，a > 0，b > 0，a ≠b，
m1=
20
10
a + 10
b
= 2ab
a+b ，m2= 8a+8b
16
= a+b
2
，
∵m1- m2= 2ab
a+b - a+b
2
= 4ab-(a+b)2
2 a+b
= -(a-b)2
2 a+b
< 0，∴m1< m2．故选：C．
3
(24 - 25 高二下·湖北武汉·期末) 已知正实数a，b 满足b-1
a-1 > 1，则下列不等式一定成立的是
(
)
A. b > a > 0
B. a + b > 2
C. a + b > ab + 1
D. b2+ 2a > a2+ 2b
答案D
解析
【分析】对b-1
a-1 > 1 分a > 1 和a < 1 两种情况讨论，当a > 1 时，b > a > 1，当a < 1 时，b <
a < 1；由此可以直接判断AB 选项，取特殊值排除C 选项，对D 选项，由b2 + 2a > a2 + 2b 得
b-a
a+b-2
> 0，再分a > 1 和a < 1 两种情况证明．
【详解】A 选项，当a > 1 时，a - 1 > 0，此时b - 1 > a - 1 即b > a > 1，
当a < 1 时，a - 1 < 0，此时b - 1 < a - 1 即b < a < 1，所以A 错误；
B 选项，当a > 1 时，b > a > 1，a + b > 2 成立，
当a < 1 时，b < a < 1，a + b < 2，所以B 错误；
C 选项，当a > 1 时，取a = 2，b = 3，此时a + b = 5，ab + 1 = 7，不满足a + b > ab + 1，
当a < 1 时，取a = 0.5，b = 0.4，此时a + b = 0.9，ab + 1 = 1.2，不满足a + b > ab + 1，故C 错误；
D 选项，b2+ 2a > a2+ 2b 等价于b-a
a+b-2
> 0，
当a > 1 时，b > a > 1，a + b > 2，此时b - a > 0，a + b - 2 > 0，b-a
a+b-2
> 0，
当a < 1 时，b < a < 1，a + b < 2，此时b - a < 0，a + b - 2 < 0，b-a
a+b-2
> 0，D 正确
４５
46
1
证明：已知a > b > c，且a + b + c = 0，求证：
c
a-c >
c
b-c ．
解
因为a > b > c，且a + b + c = 0，则a > 0，c < 0，
则a - c > b - c > 0，则(a - c) (b - c) > 0，则
1
(a-c)(b-c) > 0，
则
1
(a-c)(b-c) ⋅(a - c) >
1
(a-c)(b-c) ⋅(b - c) > 0，
则
1
b-c >
1
a-c > 0，又c < 0
则
c
a-c >
c
b-c ．
命题得证．
2
(24 - 25 高一上·山西·期末) (多选) 已知a > b > 0，则下列不等式中正确的是
(
)
A. |a - 1| > |b - 1|
B. a + 2
b > b + 2
a
C. a - 2
b > b - 2
a
D. a2(a - 3b) > b2(b - 3a)
答案BD
解【分析】举反例可说明选项A、C 错误；不等式等价变形，利用不等式的性质可得选项B 正确；利
用作差法可得选项D 正确．
【详解】对于A，当a = 1
2 ，b = 1
4 时满足a > b > 0，但|a - 1| > |b - 1| 不成立，故A 不正确；
对于B，a + 2
b > b + 2
a 等价于a - 2
a > b - 2
b ，
∵a > b > 0，∴2
a < 2
b ，故a - 2
a > b - 2
b ，故B 正确；
对于C，当a = 2，b = 1 时满足a > b > 0，但a - 2
b = b - 2
a ，故C 不正确；
对于D，a2(a - 3b) - b2(b - 3a) = a3- 3a2b - b3+ 3ab2= a3- b3- 3ab(a - b)
= (a - b) a2+ab+b2
- 3ab(a - b) = (a - b) a2-2ab+b2
= (a - b)3> 0，故D 正确．
故选：BD．
3
两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为p1，p2，甲策略是每次购
买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则
种购物策略比较
经济．(填“甲”或“乙”)
答案乙
解【分析】由题意依次将两种策略两次购买物品的平均价格表示出来，用作差法比较大小即可．
【详解】设甲策略每次买x 件物品，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数为y 元，
则甲策略两次购买物品的平均价格为p3 = p1x+p2x
2x
= p1+p2
2
，乙策略两次购买物品的平均价格为p4
=
2y
y
p1 + y
p2
= 2p1p2
p1+p2
，
所以p3- p4= p1+p2
2
- 2p1p2
p1+p2
=
p1+p2
2-4p1p2
2 p1+p2
=
p1-p2
2
2 p1+p2
≥0，即p4≤p3，
所以乙种购物策略比较经济．
4
(24 - 25 高一上·浙江杭州·期中) (多选) 已知实数a，b，c 满足a < b < c，则下列说法正确的是
(
)
４６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
47
A.
1
c-a <
1
b-a
B. b
a > b+c
a+c
C.
1
a b-a
>
1
b c-a
D. ab + c2> ac + bc
答案AD
解【分析】应用作差法判断A、B、D，根据不等式的性质判断C．
【详解】A：
1
c-a -
1
b-a = b-a-c+a
(c-a)(b-a) =
b-c
(c-a)(b-a) ，又a < b < c，
所以b - c < 0，c - a > 0，b - a > 0，则
1
c-a -
1
b-a < 0，即
1
c-a <
1
b-a ，对；
B：b
a - b+c
a+c = ab+bc-ab-ac
a(a+c)
= c(b-a)
a(a+c) ，且b - a > 0，而a，c，a + c 符号不定，
所以c(b-a)
a(a+c) 符号不定，错；
C：由题设c - a > 0，b - a > 0，若a < 0 < b，则
1
a b-a
< 0 <
1
b c-a
，错；
D：ab + c2- ac - bc = a(b - c) + c(c - b) = (a - c) (b - c) > 0，则ab + c2> ac + bc，对．
5
(1) 已知b > a > 0，证明：a
b <
2a
b+a ；
(2) 若a，b，c 为三角形的三边长，则
a
b+c +
b
a+c +
c
a+b < 2．
解
(1) a
b -
2a
b+a = a b+a
-2ab
b b+a
= a a-b
b b+a
，
由b > a > 0，得a - b < 0，而b > 0，b + a > 0，a > 0，
则a a-b
b b+a
< 0，所以a
b <
2a
b+a ．
(2)a，b，c 为△ABC 的三边长，则有a + b > c > 0，a + c > b > 0，b + c > a > 0，
由(1) 知：
c
a+b <
c+c
a+b+c ，
a
b+c <
a+a
a+b+c ，
b
a+c <
b+b
a+b+c ，
将以上不等式左右两边分别相加得：
c
a+b +
a
b+c +
b
a+c <
c+c
a+b+c +
a+a
a+b+c +
b+b
a+b+c = 2，
所以
c
a+b +
a
b+c +
b
c+a < 2．
6
(24 - 25 高一上·湖北武汉·月考) (1) 已知-3 < a < 4，2 < b < 5，求2a + b，a - b 及a
b 的取值范
围．
(2) 设x、y 均为正实数，试比较
x
1+x 和
y
1+y 的大小．
答案(1) 答案见解析；(2) 答案见解析．
解【分析】(1) 结合不等式的基本性质即可求解．
(2) 利用作差法进行比较，先对代数式作差得出
x
1+x -
y
1+y =
x-y
1+x
1+y
；再分类讨论即可得出
结果．
【详解】(1) 因为-3 < a < 4，所以-6 < 2a < 8，
又2 < b < 5，两个不等式相加可得-6 + 2 < 2a + b < 8 + 5，即-4 < 2a + b < 13．
因为2 < b < 5，所以-5 <-b <-2，
又-3 < a < 4，两个不等式相加可得-3 - 5 < a - b < 4 - 2，即-8 < a - b < 2．
因为2 < b < 5，所以1
5 < 1
b < 1
2 ，
４７
48
当0 ≤a < 4 时，两个不等式相加乘可得：0 × 1
5 ≤a
b < 4 × 1
2 ，即0 ≤a
b < 2；
当-3 < a < 0 时，两个不等式相加乘可得：-3 × 1
2 < a
b < 0 × 1
5 ，即- 3
2 < a
b < 0，
所以- 3
2 < a
b < 2．
2a + b 的取值范围为-4,13
；
a - b 的取值范围为-8,2
；
a
b 的取值范围为- 3
2 ,2
．
(2)
x
1+x -
y
1+y = x 1+y
-y 1+x
1+x
1+y
= x+xy-y-xy
1+x
1+y
=
x-y
1+x
1+y
．
因为x，y 均为正实数，所以1+x
1+y
> 0．
当x - y > 0，即x > y 时，
x-y
1+x
1+y
> 0，此时
x
1+x >
y
1+y ；
当x - y = 0，即x = y 时，
x-y
1+x
1+y
= 0，此时
x
1+x =
y
1+y ；
当x - y < 0，即x < y 时，
x-y
1+x
1+y
< 0，此时
x
1+x <
y
1+y ．
综上可得：当x > y 时，
x
1+x >
y
1+y ；
当x = y 时，
x
1+x =
y
1+y ；
当x < y 时，
x
1+x <
y
1+y ．
【题型
【题型9】利用不等式性质求代数式取值范围
】利用不等式性质求代数式取值范围(待定系数法
待定系数法)
例题：已知-1 < x + y < 4，且2 < x - y < 3，求2x - 3y 和xy 的取值范围．
第一步：令2x - 3y = m(x + y) + n(x - y)，并化简该式
第二步：列方程组，求出m，n 的值．
第三步：分别求出m(x + y)，n(x - y) 的取值范围．
第四步：合并第三步的结果，即得2x - 3y 的取值范围
第五步：将-1 < x + y < 4 和2 < x - y < 3 平方作差即可得出xy 的取值范围
解析：(1) 设2x - 3y = m(x + y) + n(x - y) = (m + n)x + (m - n)y，则m+n=2,
m-n=-3,
解得
m=- 1
2 ,
n= 5
2 ,
由已知得-2 <- 1
2 (x + y) < 1
2 ，5 < 5
2 (x - y) < 15
2 ，则3 <- 1
2 (x + y) + 5
2 (x - y) < 8，
即3 < 2x - 3y < 8．
(2) 因为-1<x+y<4
2<x-y<3
，所以1< x+y
2<16
4< x-y
2<9
，即1<x2+2xy+y2<16
4<x2-2xy+y2<9
，
所以1<x2+2xy+y2<16
-9<-x2+2xy-y2<-4
，则-8 < 4xy < 12，所以-2 < xy < 3．
４８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
49
1
已知2 < a < 3，-2 < b <-1，则2a - b 的取值范围是
(
)
A.
6,7
B.
2,5
C.
4,7
D.
5,8
答案D
解析
由题意可知4 < 2a < 6，1 <-b < 2，所以5 < 2a - b < 8，故选：D
2
(高一上·河北石家庄·期中) 已知1 ≤a + b ≤4，-1 ≤a - b ≤2，则4a - 2b 的取值范围是
(
)
A.
x
-4<x<10
B.
x
-3<x<6
C.
x
-2<x<14
D.
x
-2≤x≤10
答案D
解析
由-1 ≤a - b ≤2，1 ≤a + b ≤4，得0 ≤a-b
+ a+b
≤6，即0 ≤2a ≤6，
-2 ≤2 a-b
≤4，所以-2 ≤2 a-b
+ 2a ≤10，即-2 ≤4a - 2b ≤10，故选：D
3
(24 - 25 高一上·广东汕尾·期末) 已知3 < a + b < 4，1 < a - b < 2，则2ab 的取值范围是
(
)
A.
4,18
B.
2,9
C.
5,15
D.
5
2 , 15
2
答案D
解析
【分析】先由题意得9< a+b
2<16
1< a-b
2<4
，进而求得5 < 4ab < 15 即可求解．
【详解】因为3<a+b<4
1<a-b<2
，所以9< a+b
2<16
1< a-b
2<4
，即9<a2+2ab+b2<16
1<a2-2ab+b2<4
，
所以9<a2+2ab+b2<16
-4<-a2+2ab-b2<-1
，则5 < 4ab < 15，
所以5
2 < 2ab < 15
2 ．
1
已知2 < x < 3，2 < y < 3，则下列代数式的范围错误的是
(
)
A. 6 < 2x + y < 9
B. - 1 ≤x - y < 1
C. 2 < 2x - y < 3
D. 4 < xy < 9
答案C
解
对于A，2 < x < 3，则4 < 2x < 6，则有6 < 2x + y < 9，A 正确；
对于B，2 < y < 3，则-3 <-y <-2，则有-1 < x - y < 1，B 正确；
对于C，4 < 2x < 6，-3 <-y <-2，则有1 < 2x - y < 4，C 错误；
对于D，2 < x < 3，2 < y < 3，则有4 < xy < 9，D 正确；
2
(24 - 25 高一上·江苏苏州·月考) 已知1 ≤a - b ≤2，3 ≤a + b ≤4 则9a + 3b 的取值范围为
．
答案
21,30
解【分析】把a - b，a + b 看成一个整体变量来表示9a + 3b，再利用同向不等式的可加性求解．
【详解】假设9a + 3b = λ a-b
+ μ a+b
，则λ+μ=9
-λ+μ=3
，解得λ=3
μ=6
，
因为1 ≤a - b ≤2，所以3 ≤3 a-b
≤6；
又因为3 ≤a + b ≤4，所以18 ≤6 a+b
≤24；
由上两同向不等式相加得：21 ≤3 a-b
+ 6 a+b
≤30，
整理得：21 ≤9a + 3b ≤30
４９
50
3
(高一上·河北张家口·期末) 已知1 ≤a - b ≤2，3 ≤a + b ≤4，则ab 的最大值为
(
)
A. 15
4
B. 9
2
C. 3
D. 4
答案A
解【分析】用a - b，a + b 表示ab，利用不等式的性质求ab 的范围．
【详解】由不等式的性质得，1 ≤a-b
2≤4，9 ≤a+b
2≤16，
∴-4 ≤- a-b
2≤-1，∴5 ≤a+b
2- a-b
2≤15，
∵a+b
2- a-b
2= 4ab，∴5 ≤4ab ≤15，∴5
4 ≤ab ≤15
4 ，
当且仅当a+b=4
a-b=1
即a = 5
2 ，b = 3
2 时，ab 取到最大值15
4 ．
4
(多选) 若实数a、b 满足：1≤a+b≤5
-1≤a-b≤3
，则下列叙述正确的是
(
)
A. a 的取值范围是0 ≤a ≤4
B. b 的取值范围是-1 ≤b ≤3
C. 3a - 2b 的范围是-2 ≤3a - 2b ≤10
D. 3a - 2b 的范围是-6 ≤3a - 2b ≤14
答案ABC
解
因为实数a、b 满足：1≤a+b≤5
-1≤a-b≤3
，由不等式的可加性可得0 ≤2a ≤8，解得0 ≤a ≤4，A 对；
由题意可得1≤a+b≤5
-3≤b-a≤1
，由不等式的可加性可得-2 ≤2b ≤6，解得-1 ≤b ≤3，B 对；
设3a - 2b = x a+b
+ y a-b
= x+y
a + x-y
b，则x+y=3
x-y=-2
，解得
x= 1
2
y= 5
2
，
所以，3a - 2b = 1
2
a+b
+ 5
2
a-b
，
因为
1
2 ≤1
2 a+b
≤5
2
- 5
2 ≤5
2 a-b
≤15
2
，由不等式的可加性可得-2 ≤3a - 2b ≤10，C 对D 错．
故选：ABC．
模块三
【课后作业】
1
(24 - 25 高一上·浙江嘉兴·月考) 已知a，b ∈R，且-5 < a < 2，1 < b < 4，则a - b 的取
值范围是
．
答案-9 < a - b < 1
【详解】1 < b < 4，则-4 <-b <-1，-5 < a < 2，则-9 < a - b < 1．
2 将一根长为5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为xm，若两段绳子长度之差不小
于1m，则x 所满足的不等关系为
(
)
A.
2x-5>0
0<x<5
B. 2x - 5 ≥1 或5 - 2x ≥1
C.
5-2x≥1
0<x<5
D.
2x-5
≥1
0<x<5
答案D
由题意，可知另一段绳子的长度为5-x
m．
因为两段绳子长度之差不小于1m，所以
x- 5-x
≥1
0<x<5
，化简得：
2x-5
≥1
0<x<5
．故选：D
５０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
51
3 (24 - 25 高一上·贵州贵阳·期末) (多选) 下列命题正确的是
(
)
A. 若a > b，则1
a < 1
b
B. 若a > b > 0，则ac2≥bc2
C. 若a > b > 0，则b+1
a+1 > b
a
D. 若1 < a < 3，2 < b < 5，则1 < b - a < 2
答案BC
【分析】由已知结合不等式性质检验各选项即可判断．
【详解】解：当a = 1，b =-1 时，A 显然错误；
当a < b < 0 时，c2≥0，则ac2≥bc2，B 正确；
若a > b > 0，则a b+1
- b a+1
= a - b > 0，
所以a b+1
> b a+1
> 0，
所以b+1
a+1 > b
a ，C 正确；
若1 < a < 3，2 < b < 5，则-3 <-a <-1，
所以-1 < b - a < 4，D 错误．
4 (24 - 25 高一上·广东惠州·期中) 已知-1 < a < 4，1 < b < 2，则2a - b 的取值范围是
．
答案
-4,7
【分析】根据不等式的性质，可得结果．
【详解】因为-1 < a < 4，1 < b < 2，
所以-2 < 2a < 8，-2 <-b <-1，所以-2 - 2 < 2a - b < 8 - 1，即-4 < 2a - b < 7，即-4,7
．
5 下列说法正确的是
(
)
A. 若a > b，则ac2> bc2
B. 若a
c2 > b
c2 ，则a > b
C. 若a > b，c > d，则ac > bd
D. 若b > a > 0，则a+c
b+c > a
b
答案B
对于A：当c = 0 时，c2= 0，若a > b，则ac2= bc2= 0，故A 错误；
对于B：因为a
c2 > b
c2 ，所以c2≠0，即c2> 0，所以a > b，故B 正确；
对于C：当a = 1，b = 0，c =-1，d =-2 时，满足a > b，c > d，但是ac < bd，故C 错误；
对于D：当c = 0 时，a+c
b+c = a
b ，故D 错误．
6 已知实数a，b，则下列选项中正确的是
(
)
A. 若a > b，则a2> b2
B. 若a
> b，则a2> b2
C. 若a > b
，则a2> b2
D. 若a > b，则1
a < 1
b
答案C
对于A 选项，a = 1，b =-1，满足a > b，此时a2= 1，b2= 1，不满足a2> b2，故A 错误；
对于B 选项，a = 1，b =-1，满足a
> b，此时a2= 1，b2= 1，不满足a2> b2，故B 错误；
对于C 选项，a > b
≥0，所以a2> b
2= b2，故C 正确；
对于D 选项，a = 1，b =-1，满足a > b，此时1
a = 1，1
b =-1，不满足1
a < 1
b ，故D 错误，故
选：
7 设M = 2a2+ 5a + 4，N = (a + 1) (a + 3)，则M 与N 的大小关系为
(
)
A. M > N
B. M = N
C. M < N
D. 无法确定
５１
52
答案A
因为M - N = 2a2+5a+4
- a+1
a+3
= a2+ a + 1 = a+ 1
2
2
+ 3
4 > 0，所以M > N．
8 已知-1 < a < 5，-3 < b < 1，则以下错误的是
(
)
A. -15<ab<5
B. - 4 < a + b < 6
C. - 2 < a - b < 8
D. - 5
3 < a
b < 5
答案D
因为-1 < a < 5，-3 < b < 1，所以-1 <-b < 3，
对于A，-1<a<5
-3<b<0
⇒-15 < ab < 3，-1<a<5
b=0
⇒ab = 0，-1<a<5
0<b<1
⇒-1 < ab < 5，
综上可得-15<ab<5，故A 正确；
对于B，-3 - 1 =-4 < a + b < 1 + 5 = 6，故B 正确；
对于C，-1 - 1 =-2 < a - b < 3 + 5 = 8，故C 正确；
对于D，当a = 4，b = 1
2 时，a
b = 8，故D 错误；故选：D．
9 已知-1 ≤x + y ≤1，1 ≤x - y ≤3，则3x - 2y 的取值范围是
(
)
A. 2 ≤3x - 2y ≤8
B. 3 ≤3x - 2y ≤8
C. 2 ≤3x - 2y ≤7
D. 5 ≤3x - 2y ≤10
答案A
设3x - 2y = m x+y
- n x-y
= m-n
x + m+n
y，
所以m-n=3
m+n=-2
，解得
m= 1
2
n=- 5
2
，即可得3x - 2y = 1
2
x+y
+ 5
2
x-y
，
因为-1 ≤x + y ≤1，1 ≤x - y ≤3，
所以2 ≤3x - 2y = 1
2
x+y
+ 5
2
x-y
≤8，故选：A．
10 (24 - 25 高一上·江苏徐州·月考) 已知实数x，y 满足0 ≤2x + y ≤3，-2 ≤x - y ≤1，则
x 的取值范围是
，4x + 5y 的取值范围是
．
答案
- 2
3 , 4
3
-2,13
【分析】利用不等式的性质可求x 的范围，利用待定系数法可求4x + 5y 的范围．
【详解】因为0 ≤2x + y ≤3，-2 ≤x - y ≤1，故-2 ≤3x ≤4 即- 2
3 ≤x ≤4
3 ，
设4x + 5y = m 2x+y
+ n x-y
= 2m+n
x + m-n
y，
故2m+n=4
m-n=5
，所以m=3
n=-2
，故4x + 5y = 3 2x+y
- 2 x-y
，
又0 ≤3 2x+y
≤9，-2 ≤-2 x-y
≤4，
所以-2 ≤4x + 5y ≤13，故答案为：- 2
3 , 4
3
，-2,13
．
11 已知-1 ≤a + b ≤1，1 ≤a - 2b ≤3，则a + 3b 的范围是
．
答案- 11
3 ≤a + 3b ≤1
设a + 3b = m a+b
+ n a-2b
= m+n
a + m-2n
b，其中m、n ∈R，
则m+n=1
m-2n=3
，解得
m= 5
3
n=- 2
3
，所以，a + 3b = 5
3
a+b
- 2
3
a-2b
，
因为-1 ≤a + b ≤1，1 ≤a - 2b ≤3，则- 5
3 ≤5
3
a+b
≤5
3 ，-2 ≤- 2
3
a-2b
≤- 2
3 ，
由不等式的基本性质可得- 11
3 ≤5
3
a+b
- 2
3
a-2b
≤1，即- 11
3 ≤a + 3b ≤1．
５２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
53
12 (高一上·山东菏泽·期中) “双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户
面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180 平方米的民宿需要同时增加窗户和
地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2 倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，
则改造前的窗户面积最大为
平方米．
答案90
设改造前的窗户面积为x，窗户增加的面积为y，x > 0，y > 0，
依题意
x
180 ≤
x+y
180+2y ，即180x + 2xy ≤180x + 180y，2xy ≤180y，x ≤90，
所以改造前的窗户面积最大为90 平方米．
13 (24 - 25 高一上·宁夏银川·月考) (1)bc - ad ≥0，bd > 0，求证：a+b
b
≤c+d
d
；
(2) 已知-1 < 2a + b < 2，3 < a - b < 4，求5a + b 的取值范围．
答案(1) 证明见解析；(2)1 < 5a + b < 8．
【分析】(1) 利用作差法结合已知条件证明即可；
(2) 令5a + b = λ 2a+b
+ μ a-b
，整理后求出λ，μ，然后利用不等式的性质可求得结果．
【详解】(1) a+b
b
- c+d
d
=
a+b
d-b c+d
bd
= ad-bc
bd
，
因为bc - ad ≥0，所以ad - bc ≤0，
又bd > 0，所以ad-bc
bd
≤0，
即a+b
b
≤c+d
d
．
(2) 令5a + b = λ 2a+b
+ μ a-b
= 2λ+μ
a + λ-μ
b，
所以2λ+μ=5
λ-μ=1
，解得λ=2
μ=1
，
所以5a + b = 2 2a+b
+ a-b
，
因为-1 < 2a + b < 2，所以-2 < 2 2a+b
< 4，
又3 < a - b < 4，所以1 < 2 2a+b
+ a-b
< 8，
故5a + b 的取值范围为1 < 5a + b < 8．
14 (25 - 26 高一上·全国·课后作业) 已知a > b > c，且a + b + c = 0．
(1) 求证：
c
a-c >
c
b-c ；
(2) 求证：-2 < c
a < 0．
答案(1) 证明见解析
(2) 证明见解析
【详解】(1) 解法1 因为a > b > c 且a + b + c = 0，所以c < 0，且a - c > b - c > 0，两边取倒数得
1
a-c <
1
b-c ，又c < 0，则
c
a-c >
c
b-c ，从而得证．
法2 因为a > b > c 且a + b + c = 0，所以c < 0，且a - c > b - c > 0，所以
c
a-c -
c
b-c =
c b-c
-c a-c
a-c
b-c
=
c b-a
a-c
b-c
> 0，即
c
a-c >
c
b-c ．
(2) 因为a > b > c 且a + b + c = 0，所以a > 0，c < 0，则c
a < 0，b
a < 1，由a + b + c = 0，可得1
+ b
a + c
a = 0，即b
a =- c
a - 1，所以- c
a - 1 < 1，即c
a >-2．综上，-2 < c
a < 0．
15 (24 - 25 高一上·广西来宾·月考) 从下列三组式子中选择一组比较大小：
(1) 设x > 1，M =
x -
x-1，N =
x+1 -
x，比较M，N 的大小；
５３
54
(2) 设a，b 均为正实数，M = a3+ b3，N = a2b + ab2，比较M，N 的大小；
(3) 设a > b > 0，M = a2-b2
a2+b2 ，N = a-b
a+b ，比较M，N 的大小．
答案(1)M > N
(2)M ≥N
(3)M > N
【分析】(1) 化简可得M =
1
x+
x-1 ，N =
1
x+1+
x ，再通过比较分母的大小即可得解；
(2) 借助作差法作差后因式分解即可得；
(3) 借助作差法比较即可得．
【详解】(1)M =
x -
x-1 =
x-
x-1
x+
x-1
x+
x-1
=
1
x+
x-1 ，
N =
x+1 -
x =
x+1-
x
x+1+
x
x+1+
x
=
1
x+1+
x ，
由x > 1，
x+1+
x
-
x+
x-1
=
x+1 -
x-1 > 0，
故
x+1 >
x-1，即有M > N；
(2)M - N = a3+ b3- a2b - ab2= a3-a2b
+ b3-ab2
= a2 a-b
+ b2 b-a
= a2-b2
a-b
= a+b
a-b
2，
由a，b 均为正实数，故a+b
a-b
2≥0，即M ≥N；
(3)M - N = a2-b2
a2+b2 - a-b
a+b =
a2-b2
a+b
a2+b2
a+b
-
a-b
a2+b2
a2+b2
a+b
=
a-b
a+b
2- a-b
a2+b2
a2+b2
a+b
=
a-b
a2+2ab+b2-a2-b2
a2+b2
a+b
=
2ab a-b
a2+b2
a+b
，
由a > b > 0，故a - b > 0，a + b > 0，ab > 0，a2+ b2> 0，
即M - N > 0，故M > N．
16 不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见．例如．已知b 克糖水中含有a
克糖(b > a > 0)，再添加m 克糖(m > 0) (假设全部溶解)，糖水变甜了．
(1) 请将这一事实表示为一个不等式．并证明这个不等式成立：
(2) 利用(1) 中的结论证明：若a，b，c 为三角形的三边长，则
a
b+c +
b
a+c +
c
a+b < 2．
答案(1) a
b < a+m
b+m ，(b > a > 0 , m > 0)，证明见解析；(2) 证明见解析；
(1) 糖水变甜了得出不等式a
b < a+m
b+m ，(b > a > 0 , m > 0)．
：a
b - a+m
b+m = a(b+m)-b(a+m)
b(b+m)
= ab+am-ba-bm
b(b+m)
= m(a-b)
b(b+m) ．
∵b > a > 0，∴a - b < 0，b > 0．∵m > 0，∴b + m > 0，
∴m(a-b)
b(b+m) < 0，∴a
b < a+m
b+m ．
(2) 设△ABC 的三边长分别为a，b，c，则有a + b > c，a + c > b，b + c > a，
由(1) 已证不等式可得：
c
a+b <
c+c
a+b+c ，
a
b+c <
a+a
a+b+c ，
b
a+c <
b+b
a+b+c ，
５４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
55
将以上不等式左右两边分别相加得：
c
a+b +
a
b+c +
b
a+c <
c+c
a+b+c +
a+a
a+b+c +
b+b
a+b+c = 2，
所以，
c
a+b +
a
b+c +
b
c+a < 2
17 (高一上·贵州六盘水·期中) 从下列三组式子中选择一组比较大小：
①设x > 1，M =
x -
x-1，N =
x+1 -
x，比较M，N 的大小；
②设M = x+3
x+4
，N = x+2
x+5
，比较M，N 的大小；
③设a > b > 0，M = a2-b2
a2+b2 ，N = a-b
a+b ，比较M，N 的大小．
注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分．
答案①M > N；②M > N；③M > N；
【分析】①利用有理根式可得M =
1
x+
x-1 > 0，N =
1
x+1+
x > 0，再由
x+1 +
x >
x
+
x-1 即可得M，N 的大小关系；
②用作差法比较即可；
③用作差法或作商法比较即可．
【详解】解：
①M > N
M =
x -
x-1 =
1
x+
x-1 ，N =
x+1 -
x =
1
x+1+
x ，
因为
x+1 +
x >
x +
x-1 > 0，
所以
1
x+1+
x <
1
x+
x-1 ，
即
x+1 -
x <
x -
x-1；
∴M > N．
②M > N
M - N = x+3
x+4
- x+2
x+5
= x2+7x+12
- x2+7x+10
= 2 > 0，
∴M > N．
③M > N
方法一(作差法)M - N = a2-b2
a2+b2 - a-b
a+b =
a+b
a2-b2
- a2+b2
a-b
a2+b2
a+b
=
a-b
(a+b)2- a2+b2
a2+b2
a+b
=
2ab a-b
a2+b2
a+b
，
因为a > b > 0，所以a + b > 0，a - b > 0，2ab > 0，a2+ b2> 0，
所以
2ab a-b
a2+b2
a+b
> 0，
所以a2-b2
a2+b2 > a-b
a+b ．
∴M > N．．
方法二(作商法) 因为a > b > 0，所以a2-b2
a2+b2 > 0，a-b
a+b > 0，2ab > 0，
所以M
N =
a2-b2
a2+b2
a-b
a+b
= (a+b)2
a2+b2 = a2+b2+2ab
a2+b2
= 1 +
2ab
a2+b2 > 1，
所以a2-b2
a2+b2 > a-b
a+b ．
∴M > N．
５５
56
专题2 - 2 基本不等式(1)
基本不等式是开学后第一次月考的重难点题型
高一学生初见它，笑容就渐渐消失，直呼：“这是基本不懂式”；
高二学生再见它，小小眼睛装大大的疑惑：“啊？这道题还得用它啊。”
高三学生刷到它相关的题，人生若只如初见：“我们高一高二的时候学过这个？”
模块一
知识点与重点题型梳理
【题型
【题型1】直接使用基本不等式和常用不等式
】直接使用基本不等式和常用不等式
如果a > 0，b > 0，那么
ab ≤a+b
2
，当且仅当a = b 时，等号成立．其中，a+b
2
叫作a，b 的算术平
均数，
ab 叫作a，b 的几何平均数．即正数a，b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式：若a，b ∈R+，则a+b
2
≥
ab(或a + b ≥2 ab)，当且仅当a = b 时取等号
常用不等式：若a，b ∈R，则ab ≤
a+b
2
4
≤a2+b2
2
，当且仅当a = b 时取等号；
方法技巧总结：和与积的最值问题，直接使用基本不等式即可；和与平方和的问题需要用常用不等式来
求最值
1
已知x > 0，y > 0，且x + 2y = 2，则xy
(
)
A. 有最大值为1
B. 有最小值为1
C. 有最大值为1
2
D. 有最小值为1
2
答案C
解析
∵x > 0，y > 0，且x + 2y = 2，∴xy = 1
2 x ⋅2y ≤1
2 ×
x+2y
2
2
= 1
2 × (1)2= 1
2 ，
当且仅当x = 2y = 1，即x = 1，y = 1
2 时，取等号，故xy 的最大值是：1
2 ，故选：C．
2
已知a > 0，b > 0，a + b = 3，则ab 的最大值为
．
答案9
4
解析
a > 0，b > 0，a + b = 3，由不等式可知ab ≤
a+b
2
2
= 9
4 ，
当且仅当a = b = 3
2 时等号成立，即ab 的最大值为9
4 ．
3
已知正数a，b 满足a2+ 4b2= 16，则ab 的最大值为
．
答案4
解析
因为a2+ 4b2= 16 ≥2 4a2b2 = 4ab，所以ab ≤4，
当且仅当a = 2b = 2 2 时，等号成立．故ab 的最大值为4．
4
若
，1
x + 4
y = 10，则xy 的最小值为
．
答案
4
25
５６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
57
【简析】1
x + 4
y = 10 ≥2
4
xy ⇒5 ≥
4
xy ⇒25 ≥4
xy ⇒xy ≥4
25 ，当且仅当1
x = 4
y ，即x = 0.2，
y = 0.8，等号成立．
1
(24 - 25 高一上·江苏连云港·期末) 若x > 0，y > 0，且xy = 4，则1
x + 4
y 的最小值为
．
答案2
解【分析】利用基本不等式，可得答案．
【详解】由x > 0，y > 0，则1
x + 4
y ≥2
4
xy = 2，当且仅当1
x = 4
y ，即x = 1，y = 4，等号成立．
所以1
x + 4
y 的最小值为2．
2
若a > 0，b > 0，且a + 4b = 1，则a2+ 16b2的最小值是
答案1
2
解【详解】a2+ 16b2≥2 × 4ab，则2 a2+16b2
≥a2+ 16b2+ 2 × 4ab = a+4b
2，
所以a2+ 16b2≥
a+4b
2
2
= 1
2 ，当且仅当a = 4b = 1
2 时，等号成立，
所以a2+ 16b2有最小值1
2
3
若x > 0，则2 + x + 1
x 的最小值是
；此时x 的值为
．
答案4；1
解
因为x > 0，所以2 + x + 1
x ≥2 + 2
x⋅1
x = 4，当且仅当x = 1
x ，即x = 1 时等号成立．
故2 + x + 1
x 的最小值是4，此时x 的值为1．
4
已知x > 0，y > 0，且x + 2y = 1，则2x+ 4y 的最小值是
答案2 2
解【详解】由于2x > 0，4y > 0，所以2x + 4y ≥2 2x⋅4y = 2 2x+2y = 2 2 ，当且仅当x = 2y = 1
2 时等
号成立
【题型
【题型2】凑配法求最值
】凑配法求最值
配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积) 为定值，然后利用基本不等式求解．
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
常见的配凑法求最值模型
(1) 模型一：mx + n
x ≥2 mn(m > 0 , n > 0)，当且仅当x =
n
m 时等号成立；
(2) 模型二：mx +
n
x-a = m(x - a) +
n
x-a + ma ≥2 mn + ma(m > 0 , n > 0)，当且仅当x - a =
n
m 时等号成立
1
若x >-2，则x +
1
x+2 的最小值为
．
５７
58
答案0
解析
由x >-2，得x + 2 > 0，
1
x+2 > 0，
所以x +
1
x+2 = x + 2 +
1
x+2 - 2 ≥2
(x+2)×
1
x+1 - 2 = 0，
当且仅当x + 2 =
1
x+2 即x =-1 时等号成立．
2
已知a > 2，则2a +
8
a-2 的最小值是
(
)
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
解析
【分析】利用基本不等式性质求解即可．
【详解】因为a > 2，所以a - 2 > 0
所以2a +
8
a-2 = 2 a-2
+
8
a-2 + 4 ≥2 16 + 4 = 12，
当且仅当2 a-2
=
8
a-2 ，即a = 4 时，等号成立．
所以2a +
8
a-2 的最小值为12．
3
(24 - 25 高一上·湖南湘潭·期末) 已知x ∈(0 , 5)，则
16
5-x - x 的最小值为
(
)
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
答案C
解析
【分析】运用基本不等式计算即可．
【详解】由题意得5 - x > 0，则
16
5-x - x =
16
5-x + 5 - x - 5 ≥2
16
5-x ⋅5-x
- 5 = 3，
当且仅当
16
5-x = 5 - x，即x = 1 时，等号成立．
故
16
5-x - x 的最小值为3．
1
(24 - 25 高一上·广东茂名·期末) 当x2+
1
x2+1 取得最小值时，x =
(
)
A. 0
B. 1
C. - 1
D. ± 1
答案A
解【分析】先对式子进行变形转化，再利用完全平方的非负性，结合基本不等式等知识来找到取得最
小值时的情况．
【详解】将x2+
1
x2+1 变形为x2+ 1 +
1
x2+1 - 1．
设t = x2+ 1(t ≥1)，那么式子就变为t + 1
t - 1．
根据均值不等式则t + 1
t ≥2
t× 1
t = 2，当且仅当t = 1
t 时等号成立．
由t = 1
t (t ≥1)，即t2= 1，解得t = 1(t =-1 舍去，因为t = x2+ 1 ≥1)．
当t = 1 时，也就是x2+ 1 = 1，那么x2= 0，所以x = 0．
当x2+
1
x2+1 取得最小值时，x = 0．
2
已知实数x > 3，则4x +
9
x-3 的最小值是
(
)
５８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
59
A．24
B．12
C．6
D．3
解【分析】4x +
9
x-3 = 4(x - 3) +
9
x-3 + 12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值．
【详解】解：∵x > 3，∴x - 3 > 0，
4x +
9
x-3 = 4(x - 3) +
9
x-3 + 12 ≥12 + 2
4(x-3)×
9
x-3 = 24，
当且仅当4x - 12 =
9
x-3 时，取得最小值24．
3
3x + 2 +
4
x+1 (x > 0) 的最小值为
．
答案4 3 - 1
解
因为x > 0，所以x + 1 > 1，
所以3x + 2 +
4
x+1 = 3x + 3 +
4
x+1 - 1 ≥2
3 x+1
×
4
x+1 - 1 = 4 3 - 1，
当且仅当3 x+1
=
4
x+1 时，即x = 2 2
3
- 1 时，等号成立，
【题型
【题型3】分离常数法求最值
】分离常数法求最值
方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数
例1：y = x + 2x+1
x
= x + 2x
x + 1
x = x + 1
x + 2 ≥4(x > 0)
例2：y = 2x +
2x
x-1 = 2 x-1
+ 2x-2
x-1 +
2
x-1 = 2 x+1
+ 2 +
2
x-1
1
若x > 1，则函数y = x + 2x+2
x-1 的最小值为
(
)
A. 4
B. 5
C. 7
D. 9
答案C
解析
因为x > 1，所以x - 1 > 0，
所以y = x + 2x+2
x-1 = x + 2 x-1
+4
x-1
= x + 2 +
4
x-1 = x-1
+
4
x-1 + 3 ≥2
x-1
⋅
4
x-1 + 3
= 7，
当且仅当x-1
=
4
x-1 ，即x = 3 时取等号，
所以函数y = x + 2x+2
x-1 的最小值为7；故选：C
2
x2+4
x2+1
的最小值是
．
答案2 3
解析
【详解】
x2+4
x2+1
=
x2+1
x2+1
+
3
x2+1
=
x2+1 +
3
x2+1
≥2 3 ，当且仅当
x2+1 =
3
x2+1
时，即x =± 2 时取等号
1
已知x >-2，y > 0，2x + y = 3，则x+2y+2
x+2
+ 7
y 的最小值为
(
)
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
５９
60
答案B
解【分析】将已知条件等式化为2 x+2
+ y = 7，整体代入结合基本不等式即可得解．
【详解】因为x >-2，y > 0，2x + y = 3，所以2 x+2
+ y = 7，x + 2 > 0，
所以x+2y+2
x+2
+ 7
y = x+2y+2
x+2
+ 2 x+2
+y
y
= 2 +
2y
x+2 + 2 x+2
y
≥2 + 2
2y
x+2 ⋅2 x+2
y
=
6，
当且仅当x + 2 = y，即x = 1
3 ，y = 7
3 时等号成立，即x+2y+2
x+2
+ 7
y 的最小值为6，故选：B．
2
已知t > 0，则3t+3
2t+1 + t 的最小值为
．
答案
3 + 1
解
因为t > 0，
所以3t+3
2t+1 + t =
3
2 2t+1
+ 3
2
2t+1
+ t = 1 +
3
2 2t+1
+
2t+1
2
≥1 + 2
3
2 2t+1
⋅2t+1
2
= 1 +
3，
当且仅当
3
2 2t+1
=
2t+1
2
，即t =
3-1
2
时，等号成立．
所以3t+3
2t+1 + t 的最小值为
3 + 1．
3
已知a ∈R，则a2+2
a2+1
的最小值是
，此时a =
．
答案2；0
解【分析】化简a2+2
a2+1
=
a2+1 +
1
a2+1
，根据基本不等式求解即可．
【详解】显然，
a2+1 > 0，
则，a2+2
a2+1
=
a2+1 +
1
a2+1
≥2
a2+1⋅
1
a2+1
= 2，
当且仅当
a2+1 =
1
a2+1
，即a = 0 时，等号成立．
所以，a2+2
a2+1
的最小值是2，此时a = 0．
【题型
【题型4】“1”的妙用：乘
的妙用：乘“1”法
方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用
基本不等式的条件，即积为定值．
主要解决形如“ 已知x + y = t ( t 为常数) ，求
的最值” 的问题，先将
转化为
，再用基本不等式求最值
注意：验证取得条件．
1
(广东广雅中学校考) 若正实数a，b 满足a + 2b = 1，则1
a + 2
b 的最小值是
答案9
６０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
61
解析
【详解】1
a + 2
b =
1
a + 2
b
(a + 2b) = 5 + 2b
a + 2a
b
≥5 + 2
2b
a ⋅2a
b
= 9，当且仅当2b
a =
2a
b ⇒a = b = 1
3 时等号成立
2
已知x > 0，y > 0 且x + 2y = xy，则x + 2y 的最小值是
．
答案8
解析
【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果．
【详解】因为x + 2y = xy，所以2
x + 1
y = 1，
所以x + 2y = x+2y
2
x + 1
y
= 2 + x
y + 4y
x + 2 ≥4 + 2
x
y ⋅4y
x = 8，当且仅当x
y = 4y
x ，即x =
4，y = 2 时取等号．所以
的最小值为8
3
(24 - 25 广东东莞·月考) 已知x > 0，y > 0，且1
x + 2y = 1，则2x + 1
y 的最小值为
(
)
A. 4
B. 4 2 - 1
C. 6
D. 8
答案D
解析
【分析】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当x = 2，y = 1
4 时，2x + 1
y 的最小值为8．
【详解】由1
x + 2y = 1 可得：
2x + 1
y =
1
x +2y
2x+ 1
y
= 2 + 1
xy + 4xy + 2 = 4 + 1
xy + 4xy ≥4 + 2
1
xy ⋅4xy = 8；
当且仅当1
xy = 4xy，即当x = 2，y = 1
4 时，等号成立．
即2x + 1
y 的最小值为8．
4
已知a > 0，b > 0，且a + b = ab，则2ab - a + 7b 的最小值是
(
)
A. 6
B. 9
C. 16
D. 19
答案C
解析
因为a + b = ab 且a > 0，b > 0，所以1
a + 1
b = 1，
则2ab - a + 7b = 2a - a + 2b + 7b = a + 9b =
1
a + 1
b
a+9b
= 9b
a + a
b + 10 ≥2
9b
a ⋅a
b + 10 =
16，
当且仅当
9b
a = a
b
1
a + 1
b =1
时，即当a = 4，b = 4
3 时，等号成立．
因此，2ab - a + 7b 的最小值是16．故选：C．
1
已知x > 0，y > 0，且x + 2y = 1
2 ，则2
x + 1
y 的最小值为
．
答案16
解
2
x + 1
y = 2 2
x + 1
y
x+2y
= 8 + 8y
x + 2x
y ≥8 + 2
8y
x ⋅2x
y = 16，
当且仅当8y
x = 2x
y 时等号成立．即当x = 1
4 ，y = 1
8 时，2
x + 1
y 取得最小值为16．
６１
62
2
(24 - 25 高一下·湖南娄底·期中) 已知x，y ∈0,+∞
，且x + 2y = 2，则x+4y
xy
的最小值是
．
答案2 2 + 3
解【分析】依题意可得x+4y
xy
= 1
y + 4
x ，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得．
【详解】因为x，y ∈0,+∞
，且x + 2y = 2，所以x+4y
xy
= 1
y + 4
x
= 1
2
1
y + 4
x
x+2y
= 1
2
x
y + 8y
x
+ 3 ≥
x
y ⋅8y
x + 3 = 2 2 + 3，
当且仅当x
y = 8y
x ，即x = 4 - 2 2，y =
2 - 1 时取等号．
3
(24 - 25 高一下·辽宁朝阳·月考) 已知正数x，y 满足3
x + 2y = 1，则2x + 3
y 的最小值为
(
)
A. 36
B. 24
C. 18
D. 12
答案B
解【分析】利用“1”的代换，根据基本不等式求解即得．
【详解】因x > 0，y > 0，3
x + 2y = 1，
则2x + 3
y = 2x+ 3
y
3
x +2y
= 12 + 9
xy + 4xy ≥12 + 2
9
xy ⋅4xy = 24，
当且仅当9
xy = 4xy，即x = 6，y = 1
4 时，等号成立．
4
(24 - 25 高一上·安徽合肥·期末) 已知x + y = 3，且x > 0，y > 0，则1
x +
1
y+1 的最小值是
(
)
A. 1
B. 2
C. 1
2
D. 2 2
答案A
解【分析】由x + y = 3，可得1
4 x+ y+1
= 1，利用1 的代换结合基本不等式求出最小值．
【详解】∵x + y = 3，∴x + y + 1 = 4，1
4 x+ y+1
= 1
1
x +
1
y+1 = 1
4 x+ y+1
1
x +
1
y+1
= 1
4
2+ y+1
x
+
x
y+1
≥1
4
2+2
y+1
x
⋅
x
y+1
= 1
当且仅当
x+y=3
y+1
x
=
x
y+1
，即x=2
y=1
时取等号．
5
(24 - 25 高一上·贵州毕节·期末) 已知a > 0，b > 0，且3
a + 2b = 2，则2a + 3
b 的最小值是
．
答案12
解【分析】利用基本不等式中“1”的应用计算即可求得结果．
【详解】根据题意可知：
2a + 3
b = 1
2
3
a +2b
2a+ 3
b
= 1
2
6+ 9
ab +4ab+6
≥1
2
12+2
9
ab ×4ab
= 12；
当且仅当9
ab = 4ab，即a = 3，b = 1
2 时，等号成立；
６２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
63
因此2a + 3
b 的最小值是12．
模块二
解题技巧突破
【题型
【题型5】“1”的妙用
的妙用(2)：“1”的代换
的代换
方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目
的．
1
已知a > 0，b > 0，a + b = 1，则1
a + a
b 的最小值为
．
答案3
解析
【分析】利用基本不等式求得1
a + a
b 的最小值．
【详解】依题意1
a + a
b = a+b
a
+ a
b = 1 + b
a + a
b ≥1 + 2
b
a ⋅a
b = 3．
当且仅当a = b = 1
2 时等号成立．
2
已知实数x，
满足x + y = 1，则
的最小值为
(
)
A. 6
B.
C.
D. 8
答案C
解析
【分析】根据“1”的变形技巧化简，再运用均值不等式求解即可．
【详解】由条件x + y = 1 可得
．
当且仅当
，即
时等号成立
1
若a > 0，b > 0，且a + 4b = 1，则1
a + a
b 有最小是
答案5
解【详解】1
a + a
b = a+4b
a
+ a
b = 1 + 4b
a + a
b ≥1 + 2
4b
a ⋅a
b = 5，
当且仅当4b
a = a
b ，即a = 2b = 1
3 时，等号成立，
所以1
a + a
b 有最小值5
2
正实数x，y 满足x + y = 1，则1+y
x
+ 1
y 的最小值是
(
)
A. 3 + 2 2
B. 2 + 2 2
C. 5
D. 11
2
答案B
解【分析】1+y
x
+ 1
y 中的“1”用“x + y”代替，分离常数后利用基本不等式即可求解．
【详解】因为正实数x，y 满足x + y = 1，
６３
64
所以1+y
x
+ 1
y = x+y+y
x
+ x+y
y
= 2 + 2y
x + x
y ≥2 + 2
2y
x ⋅x
y = 2 + 2 2，
当且仅当x+y=1
x=
2y
，即x = 2 -
2，y =
2 - 1 时等号成立．故1+y
x
+ 1
y 的最小值是2 + 2 2．
3
(2024·安徽·三模) 已知x > 0，y > 0，且2x + y = 1，则y2+x
xy
的最小值为
(
)
A. 4
B. 4 2
C. 4 2 + 1
D. 2 2 + 1
答案D
解【分析】由2x + y = 1，可得y2+x
xy
= 1 + y
x + 2x
y ，再利用基本不等式计算即可得．
【详解】y2+x
xy
= y
x + 1
y = y
x + 2x+y
y
= 1 + y
x + 2x
y ≥1 + 2
y
x ⋅2x
y = 2 2 + 1，
当且仅当y
x = 2x
y ，即y =
2 - 1，x = 1 -
2
2
时，等号成立．
【题型
【题型6】二次比一次型换元法求最值
】二次比一次型换元法求最值
基本模型：
x
ax2+bx+c =
1
ax+b+ c
x
≤
1
2 ac+b (a > 0 , c > 0)，当且仅当x =
c
a 时等号成立
1
已知x > 0，则x2-x+4
x
的最小值为
(
)
A. 5
B. 3
C. - 5
D. - 5 或3
解析
【分析】由已知可得x2-x+4
x
= x + 4
x - 1，利用基本不等式计算可得结果．
【详解】由x > 0，得x2-x+4
x
= x + 4
x - 1 ≥2
x⋅4
x - 1 = 3，
当且仅当x = 4
x ，即x = 2 时等号成立，所以x2-x+4
x
的最小值为3．
2
函数y = x2+x+3
x-2
x>2
的最小值为
．
答案11
解析
由y = (x-2)2+5(x-2)+9
x-2
= x - 2 +
9
x-2 + 5，又x - 2 > 0，
所以y ≥2
(x-2)⋅
9
x-2 + 5 = 11，当且仅当x - 2 =
9
x-2 ，即x = 5 时等号成立，
所以原函数的最小值为11．
3
已知a > 1，则a2-3a+11
a-1
的最小值为
．
答案5
解析
令t = a - 1(t > 0)，则a = t + 1，
所以a2-3a+11
a-1
= (t+1)2-3(t+1)+11
t
= t2-t+9
t
= t + 9
t - 1 ≥2
t⋅9
t - 1 = 5，当且仅当t =
9
t ，即t = 3 时取等号，所以a2-3a+11
a-1
的在最小值为5．
1
(2024·高一·江西南昌·期末) 当x >-2 时，函数y = x2+4x+6
x+2
的最小值为
．
６４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
65
答案2 2
解
因为x >-2，则x + 2 > 0，则y = x2+4x+6
x+2
=
x+2
2+2
x+2
= x+2
+
2
x+2 ≥2
x+2
⋅
2
x+2
= 2 2，
当且仅当x =
2 - 2 时，等号成立，
所以，当x >-2 时，函数y = x2+4x+6
x+2
的最小值为2 2．
故答案为：2 2．
2
若x > 1，则函数y = x2-x+1
x-1
的最小值为
．
答案3
解
由题意，y = x2-x+1
x-1
=
x2-2x+1
+ x-1
+1
x-1
=
x-1
2+ x-1
+1
x-1
= x - 1 +
1
x-1 + 1，
因为x > 1，所以y = x - 1 +
1
x-1 + 1 ≥2
x-1
⋅
1
x-1 + 1 = 3，当且仅当x - 1 =
1
x-1 ，即x = 2
时等号成立．
所以函数y = x2-x+1
x-1
的最小值为3．
3
求y = x2+7x+10
x+1
x>-1
的最小值
．
答案9
解
将分子配方凑出含有x+1
的项，再将其分离，利用基本不等式即可求解．y = x2+7x+10
x+1
=
x+1
2+5 x+1
+4
x+1
= x+1
+
4
x+1 + 5，
∵x >-1，∴x + 1 > 0，
∴y ≥2
x+1
×
4
x+1 + 5 = 9，
当且仅当x + 1 =
4
x+1 即x = 1 时，等号成立．
【题型
【题型7】分母换元法
】分母换元法(1)：单换元
：单换元
对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑
整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值．
单分母换元：把其中一个分母进行换元
1
已知0 < a < 1
2 ，则1
2a +
4
1-2a 的最小值是
A．6
B．8
C．4
D．9
解析
【分析】可以设b = 1 - 2a，则有2a + b = 1，求1
2a + 4
b 的最小值，用乘“1”法即可
答案9
解析
【详解】解：设b = 1 - 2a，则有2a + b = 1，
1
2a +
4
1-2a =
1
2a + 4
b
2a+b
≥5 +
2
b
2a + 8a
b
= 9
６５
66
当且仅当1-2a
2a
=
8a
1-2a ，即a = 1
6 时取等号，所以1
2a +
4
1-2a 的最小值是9．
2
(24 - 25 高一上·湖南衡阳·期末) 已知m > 2n > 0，则
m
m-2n + m
n 的最小值为
(
)
A. 3 - 2 2
B. 3 + 2 2
C. 2 + 3 2
D. 3 2 - 2
答案B
解析
【分析】根据题意，m = (m - 2n) + 2n，将所求式子变形，利用基本不等式求解．
【详解】由m > 2n > 0，
令x = m - 2n > 0，m = (m - 2n) + 2n = x + 2n，
∴
m
m-2n + m
n = x+2n
x
+ x+2n
n
= 3 + 2n
x + x
n ≥3 + 2
2n
x ⋅x
n = 3 + 2 2，
当且仅当
2n
m-2n = m-2n
n
即m = 2+
2
n 时等号成立．
3
已知a + b + c = 1，其中a，b，c > 0，则1
a +
9
b+c 的最小值为
．
答案16
解析
因为a + b + c = 1，a，b，c > 0，
则1
a +
9
b+c = [a + (b + c)] 1
a +
9
b+c
= 10 + b+c
a
+
9a
b+c ≥10 + 2
b+c
a
⋅9a
b+c = 16，
当且仅当b+c
a
=
9a
b+c ，即a = 1
4 ，b + c = 3
4 时取等号，
所以1
a +
9
b+c 的最小值为16
1
若0 < a < 4，则2
a +
8
4-a 的最小值是
．
答案9
2
解
因为a + 4-a
= 4，所以2
a +
8
4-a = 1
4 a+ 4-a
2
a +
8
4-a
= 1
4
2 4-a
a
+ 8a
4-a +10
．
因为0 < a < 4，所以2 4-a
a
> 0，
8a
4-a > 0，
所以2 4-a
a
+
8a
4-a ≥2
2 4-a
a
× 8a
4-a = 8，当且仅当2 4-a
a
=
8a
4-a ，即a = 4
3 时，等号
成立，
则2
a +
8
4-a ≥1
4 × 8+10
= 9
2 ．故答案为：9
2
2
若a > 0，b > 0，c > 0，a + b + c = 2，则
4
a+b + a+b
c
的最小值为
．
答案2 + 2 2
解【分析】令2 - c = m，c = n，(m > 0 , n > 0) ，则m + n = 2，由此可将
4
a+b + a+b
c
变形为4
m
+ 2
n - 1，结合基本不等式，即可求得答案。
【详解】由题意，a > 0，b > 0，c > 0，a + b + c = 2 得：a + b = 2 - c，
设2 - c = m，c = n，(m > 0 , n > 0) ，则m + n = 2 ，
故
4
a+b + a+b
c
=
4
2-c + 2-c
c
=
4
2-c + 2
c - 1 = 4
m + 2
n - 1
= m+n
2
×
4
m + 2
n
- 1 = 3 + 2n
m + m
n - 1 ≥2 + 2
2n
m ⋅m
n = 2 + 2 2 ，
当且仅当m2= 2n2 ，即m = 4 - 2 2，n = c = 2 2 - 2 时取得等号，
６６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
67
故
4
a+b + a+b
c
的最小值为2 + 2 2
3
已知x ∈0，1
3
，则1
x +
1
1-3x 的最小值是
．
答案4 + 2 3
【简析】记1 - 3x = y，则3x + y = 1，则有1
x +
1
1-3x = 1
x + 1
y =
1
x + 1
y
3x+y
= 4 + y
x + 3x
y
≥4 + 2 3
4
(24 - 25 高一下·河北保定·期中) 已知x，y 都是正数．若
1
x-y + 1
2y = 2，且x > y，则x + y 的
最小值为
．
答案2
解【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值．
【详解】由x > y > 0，得x - y > 0，2y > 0，而
1
x-y + 1
2y = 2，
则x + y = (x - y) + 2y = 1
2 [(x - y) + 2y]
1
x-y + 1
2y
= 1
2
2+ 2y
x-y + x-y
2y
≥1
2
2+2
2y
x-y ⋅x-y
2y
= 2，当且仅当
2y
x-y = x-y
2y
，即x = 3
2 ，y = 1
2 时取等号，
所以x + y 的最小值为2．
5
(24 - 25 高一下·浙江衢州·期末) 已知实数x > 0，x > y，则
2y
x-y - y
x 的最小值为
(
)
A.
3 - 2
B. 2 2 - 3
C. 0
D. 2 - 2 2
答案B
解【分析】将原式变形为
2y
x-y - y
x =
2x
x-y + x-y
x
- 3，利用基本不等式求解．
【详解】∵x > 0，x > y，则x - y > 0，
∴
2y
x-y - y
x = 2x-2 x-y
x-y
- x- x-y
x
=
2x
x-y + x-y
x
- 3 ≥2 2 - 3，
当且仅当
2x
x-y = x-y
x
时，等号成立，所以
2y
x-y - y
x 的最小值为2 2 - 3．
【题型
【题型8】分母换元法
】分母换元法(2)：双换元
：双换元+ 配凑
配凑
双分母换元：可以把2 个分母都换元
1
若正实数a，b 满足a + b = 1，则
1
a+2b +
1
2a+b 最小值为
答案4
3
解析
【详解】由
1
a+2b +
1
2a+b = 1
3 (3a + 3b)
1
a+2b +
1
2a+b
= 1
3 [(a+2b)+(2a+b)]
1
a+2b +
1
2a+b
= 1
3 2+ 2a+b
a+2b + a+2b
2a+b
≥1
3
2+2
a+2b
2a+b ⋅2a+b
a+2b
= 4
3 ，当且仅当a = b = 1
2 时，等号成立，所以
1
a+2b +
1
2a+b 有最小
值4
3
６７
68
2
(24 - 25 高一上·湖北荆州·月考) 设正数a，b 满足2a + b = 1，则
a
2-2a +
b
2-b 的最小值为
(
)
A. 2 2 - 2
B. - 1
2 + 2
3
2
C. 2 2 + 2
D. - 1
2 - 2
3
2
答案B
解析
【分析】设2 - 2a = m，2 - b = n，则m + n = 3，m > 0，n > 0，代入所求式子，利用基本
不等式中1 的妙用求最小值．
【详解】∵正数a，b 满足2a + b = 1，
∴b = 1 - 2a > 0，且a = 1-b
2
> 0，则0 < a < 1
2 ，0 < b < 1，
设2 - 2a = m，2 - b = n，则a = 2-m
2
，b = 2 - n，m + n = 3，m > 0，n > 0，
∴
a
2-2a +
b
2-b =
2-m
2
m
+ 2-n
n
= 1
m + 2
n - 3
2 = 1
3 (m + n)
1
m + 2
n
- 3
2
= 1
3
n
m + 2m
m
- 1
2 ≥1
3 × 2
n
m ⋅2m
n
- 1
2 =- 1
2 + 2 2
3
，
当且仅当n
m = 2m
n ，即m = 3 2 - 3，n = 6 - 3 2 时，等号成立，则
a
2-2a +
b
2-b 的最小值为
- 1
2 + 2 2
3
．
1
已知a，b > 0 且a + b = 3，则
9
a+1 +
1
b+1 的最小值为
．
答案16
5
解
因为a，b > 0 且a + b = 3，所以a+1
+ b+1
= 5，
所以
9
a+1 +
1
b+1 = 1
5
9
a+1 +
1
b+1
a+1
+ b+1
= 1
5
9+1+ 9 b+1
a+1
+ a+1
b+1
≥1
5
9+1+2
9 b+1
a+1
⋅a+1
b+1
= 16
5 ，
当且仅当9 b+1
a+1
= a+1
b+1 ，即b = 1
4 ，a = 11
4 时取等号，
所以
9
a+1 +
1
b+1 的最小值为16
5 ．
2
已知实数a > 0，b > 2，且
1
a+1 +
2
b-2 = 1
3 ，则2a + b 的最小值是
．
答案24
解
因为a > 0，b > 2，且
1
a+1 +
2
b-2 = 1
3 ，
所以
3
a+1 +
6
b-2 = 1，
所以2a + b = 2 a+1
+ b-2
3
a+1 +
6
b-2
= 6 + 6 + 3 b-2
a+1
+ 12 a+1
b-2
≥12 + 2
3 b-2
a+1
⋅12 a+1
b-2
= 24，
当且仅当3 b-2
a+1
= 12 a+1
b-2
，即b - 2 = 2(a + 1)，a = 5，b = 14 时等号成立
3
设x，y 是正实数，且x + y = 1，则
x
x+2 +
y
y+1 的最大值是
．
答案5-2 2
4
６８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
69
解
令x + 2 = m > 2，y + 1 = n > 1，则x = m - 2，y = n - 1，
可得x + y = m-2
+ n-1
= 1，即m + n = 4，
且
x
x+2 +
y
y+1 = m-2
m
+ n-1
n
= 2 -
2
m + 1
n
，
∵4
2
m + 1
n
= m+n
2
m + 1
n
= 2n
m + m
n + 3 ≥2
2n
m × m
n + 3 = 2 2 + 3，
当且仅当2n
m = m
n ，即m =
2n = 4 2
2+1
时，等号成立，
可得2
m + 1
n ≥2 2+3
4
，
∴
x
x+2 +
y
y+1 = 2 -
2
m + 1
n
≤2 - 2 2+3
4
= 5-2 2
4
，
即
x
x+2 +
y
y+1 的最大值是5-2 2
4
．
4
(24 - 25·江苏南京·月考) 已知x ≥0，y ≥0，且x + y = 1，则
2
x+3 +
1
2y+1 的最小值为
．
答案1
解【分析】由条件得到2 x+3
+ 2y + 1 = 9，再结合基本不等式即可求解．
【详解】因为x ≥0，y ≥0 且x + y = 1，
所以2 x+3
+ 2y + 1 = 9，
所以
2
x+3 +
1
2y+1 = 1
9
2
x+3 +
1
2y+1
2 x+3
+2y+1
= 1
9
5+ 2 2y+1
x+3
+ 2 x+3
2y+1
≥1
9
5+2
2 2y+1
x+3
⋅2 x+3
2y+1
= 1，
当且仅当2 2y+1
x+3
= 2 x+3
2y+1 ，
即x = 0，y = 1 时，等号成立，所以
2
x+3 +
1
2y+1 的最小值为1．
【题型
【题型9】和，积，平方和之间的转化
】和，积，平方和之间的转化
涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解
常用不等式链：ab ≤
a+b
2
4
≤a2+b2
2
(主要用于和积转换)
1
已知a2+ b2= ab + 4，则a + b 的最大值为
(
)
A. 2
B. 4
C. 8
D. 2 2
答案B
解析
a2+ b2= ab + 4，则有(a + b)2= 3ab + 4 ≤3(a+b)2
4
+ 4，
可得(a + b)2≤16，即a + b ≤4，当且仅当a = b = 2 时，等号成立．
所以a + b 的最大值为4．
2
(湖南长沙·高一长郡中学校考) 已知a，b > 0 且ab = a + b + 3，则a + b 的取值范围为
．
答案
6,+∞
解析
【详解】由题意a，b > 0，且ab = a + b + 3 ≤
a+b
2
2
，当且仅当a=b
ab=a+b+3
时，即a = b
６９
70
= 3 时等号成立，令t = a + b > 0，则上式为：t + 3 ≤
t
2
2
，即t2- 4t - 12 ≥0，
得t ≥6 或t ≤-2(舍)，所以a + b 的取值范围为6,+∞
．
3
(24 - 25 高一上·贵州·期中) 已知a，b > 0，且ab = a + b + 5
4 ，则下列关系正确的是
(
)
A. a + b ≥5
B. a + b ≤1
C. ab ≥10
D. ab ≤1
2
答案A
解析
【分析】利用基本不等式得到a + b + 5
4 ≤(a+b)2
4
、ab ≥2 ab + 5
4 ，进而求a + b，ab 的范
围，注意等号成立条件．
【详解】由a > 0，b > 0，ab = a + b + 5
4 ≤
a+b
2
4
，即(a + b)2- 4(a + b) - 5 ≥0，又a，b > 0，
所以[(a + b) - 5] [(a + b) + 1] ≥0，可得a + b ≥5，当且仅当a = b = 5
2 时等号成立，A 对，B 错；
由ab = a + b + 5
4 ≥2 ab + 5
4 ，即4ab - 8 ab - 5 = (2 ab - 5) (2 ab + 1) ≥0，
所以
ab ≥5
2 ⇒ab ≥25
4 ，当且仅当a = b = 5
2 时等号成立，C、D 错．
1
(高一上·天津河北·期中) 若a > 0，b > 0，且ab = a + b + 3，则ab 的取值范围是
(
)
A.
9,+∞
B.
3,+∞
C.
0,3
D.
3,9
答案A
解【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可．
【详解】因为a > 0，b > 0，且ab = a + b + 3，
所以ab - 3 = a + b ≥2 ab，当且仅当a = b，即a = b = 3 时取等号，
所以( ab)2- 2 ab - 3 ≥0，解得
ab ≤-1(舍去)，或
ab ≥3，
所以ab ≥9，当且仅当a = b，即a = b = 3 时取等号，
即ab 的取值范围是9,+∞
2
若a > 0，b > 0，2ab + a + 2b = 3，则a + 2b 的最小值是
(
)
A.
2
2
B. 1
C. 2
D. 3 2
2
答案C
解
a > 0，b > 0，3 = 2ab + a + 2b ≤
a+2b
2
2
+ (a + 2b)，当且仅当a = 2b 时取等号，
因此(a + 2b)2+ 4(a + 2b) - 12 ≥0，即(a + 2b + 6) (a + 2b - 2) ≥0，解得a + 2b ≥2，
所以当a = 2b = 1 时，a + 2b 取得最小值2．
3
已知实数a，b 满足a2+ 4b2- ab = 1，则a2+ 4b2的最大值为
答案4
3
对于选项AB，1 = a2+ 4b2- ab = a2+ 4b2- 1
2 a ⋅(2b) ≥a2+ 4b2- 1
2 ⋅a2+(2b)2
2
= 3
4 (a2+ 4b2)，
则a2+ 4b2≤4
3 ，当且仅当a = 2b =±
6
3
时等号成立，故a2+ 4b2的最大值为4
3
4
(多选题) 已知正数x，y 满足x2+ xy + y2= 9，则
(
)
７０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
71
A. xy ≤2
B. x2+ y2≥6
C. x + y ≤2 3
D. x + y ≥6
答案BC
解
对于A：因为9 - xy = x2 + y2 ≥2xy，所以xy ≤3，当且仅当x = y =
3 时取等号，所以xy ≤2 不
恒成立，故错误；
对于B：因为xy = 9 - x2+y2
且x2+ y2≥2xy，所以9 - x2+y2
≤1
2
x2+y2
，
所以x2+ y2≥6，当且仅当x = y =
3 时取等号，故正确；
对于C：因为x2+ 2xy + y2= 9 + xy，所以x+y
2- 9 = xy ≤
x+y
2
2
，
所以3
4
x+y
2≤9，所以x + y ≤2 3，当且仅当x = y =
3 时取等号，故正确；
对于D：由C 可知错误
5
(24 - 25 高一上·四川宜宾·期末) (多选) 若a，b > 0，且3ab = a + b + 1，则
(
)
A. ab ≥1
B. ab < 1
C. a + b ≥2
D. a2+ b2≥2
答案ACD
解【分析】通过对已知条件进行变形，利用均值不等式来分析ab，a + b，a2+ b2的取值范围，进而判
断各个选项的正确性．
【详解】已知3ab = a + b + 1，因为a，b > 0，那么3ab = a + b + 1 ≥2 ab + 1．
设
ab = t(t > 0)，则3t2≥2t + 1，移项得到3t2- 2t - 1 ≥0．
因为t > 0，即t ≥1，也就是
ab ≥1，两边平方可得ab ≥1，所以A 选项正确、B 选项错误．
由3ab = a + b + 1 可得a + b = 3ab - 1，因为ab ≥1，所以a + b = 3ab - 1 ≥3 × 1 - 1 = 2，当且仅当
a = b = 1 时取等号，所以C 选项正确．
根据完全平方公式a2+ b2= (a + b)2- 2ab，由前面可知a + b ≥2，ab ≥1．
那么a2+ b2= (a + b)2- 2ab ≥22- 2 × 1 = 2，当且仅当a = b = 1 时取等号，所以D 选项正确．
故选：ACD．
6
(24 - 25 高一上·湖南长沙·月考) (1) 已知0 < x < 1，求x 4-3x
的最大值；
(2) 若x > 1，求4x +
1
x-1 的最小值；
(3) 已知a，b 为正实数，2a + 8b - ab = 0，求a + b 的最小值．
答案(1) 4
3 ；(2)8；(3)18．
解【分析】利用基本不等式结合常数代换求最值．
【详解】(1) 因为0 < x < 1，所以4 - 3x > 0，
所以x 4-3x
= 1
3 × 3x
× 4-3x
≤1
3 ×
3x+4-3x
2
2
= 4
3 ，
当且仅当3x = 4 - 3x，即x = 2
3 时取等号；
所以，x 4-3x
的最大值为4
3 ．
(2) 因为x > 1，所以x - 1 > 0，
所以4x +
1
x-1 = 4 x-1
+
1
x-1 + 4 ≥8，当且仅当x = 3
2 时取等号，
故4x +
1
x-1 的最小值为8．
(3) ∵2a + 8b - ab = 0，∴8
a + 2
b = 1．
７１
72
又∵a > 0，b > 0，
∴a + b = a+b
8
a + 2
b
= 10 + 8b
a + 2a
b ≥10 + 2
8b
a ⋅2a
b
= 18，
当且仅当8b
a = 2a
b ，即a = 2b 时，等号成立．
由
a=2b，
8
a + 2
b =1，
得a=12，
b=6，
∴当a = 12，b = 6 时，a + b 取得最小值18．
模块三
【课后作业】
1
已知a > 0，b > 0，4a + b = ab，则ab 的最小值是
．
答案16
由题意得a > 0，b > 0，4a + b = ab ≥2 4ab = 4 ab，解得ab ≥16，
等号成立当且仅当a = 2，b = 8，所以ab 的最小值是16．
故答案为：16．
2 (24 - 25 高一上·湖南长沙·月考) (1) 已知0 < x < 1，求x 4-3x
的最大值；
(2) 若x > 1，求4x +
1
x-1 的最小值；
(3) 已知a，b 为正实数，2a + 8b - ab = 0，求a + b 的最小值．
答案(1) 4
3 ；(2)8；(3)18．
【分析】利用基本不等式结合常数代换求最值．
【详解】(1) 因为0 < x < 1，所以4 - 3x > 0，
所以x 4-3x
= 1
3 × 3x
× 4-3x
≤1
3 ×
3x+4-3x
2
2
= 4
3 ，
当且仅当3x = 4 - 3x，即x = 2
3 时取等号；
所以，x 4-3x
的最大值为4
3 ．
(2) 因为x > 1，所以x - 1 > 0，
所以4x +
1
x-1 = 4 x-1
+
1
x-1 + 4 ≥8，当且仅当x = 3
2 时取等号，
故4x +
1
x-1 的最小值为8．
(3) ∵2a + 8b - ab = 0，∴8
a + 2
b = 1．
又∵a > 0，b > 0，
∴a + b = a+b
8
a + 2
b
= 10 + 8b
a + 2a
b ≥10 + 2
8b
a ⋅2a
b
= 18，
当且仅当8b
a = 2a
b ，即a = 2b 时，等号成立．
由
a=2b，
8
a + 2
b =1，
得a=12，
b=6，
∴当a = 12，b = 6 时，a + b 取得最小值18．
3 已知a > 0，b > 0，且a + b = 1，证明：
(1)2a2+ 2b2≥1；(2) 1
a + 9
b ≥16．
答案(1) 证明见解析；(2) 证明见解析
(1) 因为a + b = 1，所以a2+ b2= a+b
2- 2ab = 1 - 2ab，
因为a > 0，b > 0，所以ab ≤
a+b
2
2
= 1
4 ，当且仅当a = b = 1
2 时，等号成立，
７２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
73
所以1 - 2ab ≥1 - 2 × 1
4 = 1
2 ，即a2+ b2≥1
2 ，故2a2+ 2b2≥1；
(2) 因为a + b = 1，所以1
a + 9
b = a+b
1
a + 9
b
= b
a + 9a
b + 10，
因为a > 0，b > 0，所以b
a > 0，9a
b > 0，
所以b
a + 9a
b ≥6，当且仅当b
a = 9a
b ，即b = 3a = 3
4 时，等号成立，
则b
a + 9a
b + 10 ≥16，即1
a + 9
b ≥16．
4 (24 - 25 高一上·江苏南京·月考) (多选) 若a > 0，b > 0，且1
a + 2
b = 1，则下列说法正确
的有
(
)
A. ab 的最小值是8
B. a + b 的最大值是3 + 2 2
C.
1
a2 + 4
b2 的最小值是1
2
D. a(b - 1) 的最小值是3 + 2 2
答案ACD
【分析】利用基本不等式求最值，逐项判断即可．
【详解】对A：因为1 = 1
a + 2
b ≥2
2
ab = 2 2
ab ⇒
ab ≥2 2 ，即ab ≥8(当且仅当
1
a + 2
b =1
1
a = 2
b
即
a=2
b=4
时取“=”)，故A 项正确；
对B：因为a + b = a+b
1
a + 2
b
= 3 + b
a + 2a
b ≥3 + 2 2 (当且仅当
1
a + 2
b =1
b
a = 2a
b
即a=
2+1
b=2+
2
时
取“=”)，故B 项错误；
对C：因为1
a2 + 4
b2 ≥2 × 1
a ⋅4
b ⇒2
1
a2 + 4
b2
≥1
a2 + 2 × 1
a ⋅2
b + 4
b2 =
1
a + 2
b
2
= 1，
所以1
a2 + 4
b2 ≥1
2 (当且仅当
1
a + 2
b =1
1
a = 2
b
即a=2
b=4
时取“=”)，故C 项正确；
对D：由1
a + 2
b = 1 ⇒ab = 2a + b，
所以a b-1
= ab - a = 2a + b - a = a + b，由B 知：a b-1
= a + b ≥3 + 2 2 成立，故D 项正确．
5 若x > 0，y > 0，且x + y = 6，则4
x + 1
y 的最小值为
．
答案3
2
由于x > 0，y > 0，所以4
x + 1
y = 1
6
4
x + 1
y
x+y
= 1
6
5+ 4y
x + x
y
≥1
6
5+2
4y
x ⋅x
y
=
3
2 ，
当且仅当4y
x = x
y ，即x = 4，y = 2 时等号成立，
故答案为：3
2
6 设a，b 为正实数，且a + b = 10ab，则a + 9b 的最小值为
答案8
5
由a + b = 10ab，得1
a + 1
b = 10，
７３
74
则a + 9b = 1
10 a+9b
1
a + 1
b
= 1
10 10+ 9b
a + a
b
≥1
10 10+2
9b
a ⋅a
b
= 8
5 ，
当且仅当9b
a = a
b ，即a = 3b = 2
5 时等号成立，
所以a + 9b 的最小值为8
5 ．
7 (2025·上海·高考真题) 设a，b > 0，a + 1
b = 1，则b + 1
a 的最小值为
．
答案4
【分析】灵活利用“1”将b + 1
a = b+ 1
a
a+ 1
b
展开利用基本不等式计算即可．
【详解】易知b + 1
a = b+ 1
a
a+ 1
b
= ab + 1
ab + 2 ≥2
ab⋅1
ab + 2 = 4，
当且仅当ab = 1，即a = 1
2 ，b = 2 时取得最小值．
8 (江苏南通·二模) 设x > 0，y > 0，1
x + 2y = 2，则x + 1
y 的最小值为
(
)
A. 3
2
B. 2 2
C. 3
2 +
2
D. 3
答案C
【分析】由不等式“1”的代换求解即可．
【详解】因为1
x + 2y = 2，所以1
2x + y = 1，
因为x > 0，y > 0，所以x + 1
y = x+ 1
y
1
2x +y
= 1
2 + xy +
1
2xy + 1
= 3
2 + xy +
1
2xy ≥3
2 + 2
xy⋅
1
2xy = 3
2 + 2 ×
2
2
= 3
2 +
2．
当且仅当
xy=
1
2xy
1
2x +y=1
，即x= 1+
2
2
y=2-
2
时取等．
9 y = x + 2x+2
x-1 的最小值为
(
)
A. 4
B. 5
C. 7
D. 9
答案C
因为x > 1，所以x - 1 > 0，
所以y = x + 2x+2
x-1 = x + 2 x-1
+4
x-1
= x + 2 +
4
x-1 = x-1
+
4
x-1 + 3 ≥2
x-1
⋅
4
x-1 + 3
= 7，
当且仅当x-1
=
4
x-1 ，即x = 3 时取等号，
所以函数y = x + 2x+2
x-1 的最小值为7；故选：C
10 (24 - 25 高一上·江苏扬州·期末) (多选) 已知实数a，b 满足a > 0，b > 0 且a + 2b = 1，则
下列说法正确的有
(
)
A. 若a > b，则对任意实数c，ac2> bc2
B. 若a > b，则b+1
a+1 > b
a
C. 1
a + 1
b 的最小值是3 + 2 2
D. a2+ 4b2的最小值是1
2
答案BCD
【分析】应用特殊值c = 0 判断A；作差法判断B；应用基本不等式“1”的代换求最小值判断C；由
７４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
75
a2+ 4b2= 8 b- 1
4
2
+ 1
2 且0 < b < 1
2 求最小值判断D．
【详解】A：当c = 0，此时ac2= bc2，错；
B：由a > b，则b+1
a+1 - b
a = ab+a-ab-b
a(a+1)
=
a-b
a(a+1) > 0，即b+1
a+1 > b
a ，对；
C：1
a + 1
b =
1
a + 1
b
(a + 2b) = 3 + 2b
a + a
b ≥3 + 2
2b
a ⋅a
b = 3 + 2 2，
当且仅当a =
2 - 1，b = 2-
2
2
时取等号，对；
D：由a = 1 - 2b > 0，则0 < b < 1
2 ，故a2+ 4b2= 8b2- 4b + 1 = 8 b- 1
4
2
+ 1
2 ，
当b = 1
4 时，a2+ 4b2取得最小值1
2 ，对；
故选：BCD
11 (24 - 25 高一下·河北保定·月考) 已知a > 2，b > 1，且
1
a-2 +
2
b-1 = 1，则a + 2b 的最
小值为
．
答案13
【分析】将a + 2b 变形为(a - 2) + 2(b - 1) + 4，再利用“1”的代换，利用基本不等式即可求解．
【详解】因为a > 2，b > 1，所以a - 2 > 0，b - 1 > 0，
又因为
1
a-2 +
2
b-1 = 1，
所以a + 2b = (a - 2) + 2(b - 1) + 4
=
a-2
+2 b-1
⋅
1
a-2 +
2
b-1
+ 4
= 5 + 2(a-2)
(b-1) + 2(b-1)
(a-2) + 4
≥9 + 2
2(a-2)
b-1
⋅2(b-1)
a-2
= 13，
当且仅当
1
a-2 +
2
b-1 =1
2(a-2)
(b-1) = 2(b-1)
(a-2)
，即a=5
b=4
时等号成立，
所以a + 2b 的最小值为13．
12 已知正数a，b 满足a + b = 2，则
a
a+1 +
4b
b+1 的最大值是
(
)
A．9
2
B．11
4
C．1
D．7
3
【分析】设x = a + 1，y = b + 1，则有x + y = 4，求x-1
x
+ 4y-4
y
= 5 -
1
x + 4
y
最小值，结合乘
1 法即可
【详解】解：
a
a+1 +
4b
b+1 = 1 -
1
a+1 + 4 -
4
b+1 = 5 -
1
a+1 +
4
b+1
，
∵a + b = 2，∴a + 1 + b + 1 = 4，
1
a+1 +
4
b+1 = 1
4
1
a+1 +
4
b+1
(a + 1 + b + 1) = 1
4
1+4+ b+1
a+1 + 4(a+1)
b+1
，
b+1
a+1 + 4(a+1)
b+1
≥2 4 = 4(当且仅当b+1
a+1 = 4(a+1)
b+1
，即a = 1
3 ，b = 5
3 时，等号成立)，
故1
4
1+4+ b+1
a+1 + 4(a+1)
b+1
≥1
4 × 9，即
1
a+1 +
4
b+1 ≥9
4 ，
故
a
a+1 +
4b
b+1 = 5 -
1
a+1 +
4
b+1
≤11
4
７５
76
13 已知x >-1，则函数y = x2+x+4
x+1
的最小值是
．
答案3
【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果．
【详解】因为x >-1，
y = x2+x+4
x+1
=
x+1
2-(x+1)+4
x+1
= x+1
+
4
x+1 - 1
≥2
x+1
4
x+1 - 1 = 3
当且仅当x+1
=
4
x+1 ，即x = 1 时，等号成立．
所以函数y = x2+x+4
x+1
的最小值是3
14 若0 < a < 4，则2
a +
8
4-a 的最小值为
．
答案9
2
【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可．
【详解】因为a + 4-a
= 4，
所以2
a +
8
4-a = 1
4 a+ 4-a
2
a +
8
4-a
= 1
4
2 4-a
a
+ 8a
4-a +10
．
因为0 < a < 4，所以2 4-a
a
> 0，
8a
4-a > 0，
所以2 4-a
a
+
8a
4-a ≥8，当且仅当2 4-a
a
=
8a
4-a ，即a = 4
3 时，等号成立，
则2
a +
8
4-a ≥1
4 × 8+10
= 9
2 ．
15 正实数x，y 满足x + y = 1，则1+y
x
+ 1
y 的最小值是
答案2 + 2 2
因为正实数x，y 满足x + y = 1，
所以1+y
x
+ 1
y = x+y+y
x
+ x+y
y
= 2 + 2y
x + x
y ≥2 + 2
2y
x ⋅x
y = 2 + 2 2，
当且仅当x+y=1
x=
2y
，即x = 2 -
2，y =
2 - 1 时等号成立．
故1+y
x
+ 1
y 的最小值是2 + 2 2
16 正实数a，b 满足a + 3b - 6 = 0，则
1
a+1 +
4
3b+2 的最小值为
．
答案1
【分析】将a + 3b - 6 = 0 变为a + 1 + 3b + 2 = 9，即可将
1
a+1 +
4
3b+2 化为1
9
1
a+1 +
4
3b+2
(a +
1 + 3b + 2)，展开后利用基本不等式即可求得答案．
【详解】因为正实数a，b 满足a + 3b - 6 = 0，所以a + 1 + 3b + 2 = 9，
则
1
a+1 +
4
3b+2 = 1
9
1
a+1 +
4
3b+2
(a + 1 + 3b + 2)
= 1
9
5+ 3b+2
a+1 + 4(a+1)
3b+2
≥1
9
5+2
3b+2
a+1 ⋅4(a+1)
3b+2
= 1，
当且仅当
3b+2
a+1 = 4 a+1
3b+2
a+1+3b+2=9
，即
a=2
b= 4
3
时取等号，
７６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
77
所以
1
a+1 +
4
3b+2 的最小值为1，
17 已知a ∈R，则a2+5
a2+1
的最小值是
，此时a =
．
答案4 ，± 3
【分析】化简a2+5
a2+1
=
a2+1 +
4
a2+1
，根据基本不等式求解即可．
【详解】显然，
a2+1 > 0，
则，a2+5
a2+1
=
a2+1 +
4
a2+1
≥2
a2+1⋅
4
a2+1
= 4，
当且仅当
a2+1 =
4
a2+1
，即a =± 3 时，等号成立．
所以，a2+5
a2+1
的最小值是4 此时a =± 3．
18 (2024·高一·江苏苏州·期末) 已知正数a，b 满足4
a + b = 1，则a + 1
b 的最小值为
．
答案9
由正数a，b 满足4
a + b = 1，则a + 1
b = a+ 1
b
4
a +b
= 5 + ab + 4
ab ≥5 + 2
ab× 4
ab = 9，
当且仅当ab = 4
ab 时，即a = 6，b = 1
3 时，等号成立，
所以a + 1
b 的最小值为9．
19 (1) 已知正数x、y 满足x + y = 1，求1
x +
4
1+y 的最小值；
(2) 求函数y = x2+7x+10
x+1
(x >-1) 的最小值．
答案(1) 9
2 ，(2)9
【分析】(1) 利用凑项法与基本不等式中“1”的妙用即可求得1
x +
4
1+y 的最小值；
(2) 将x + 1 看作一个整体，对函数分子进行凑配化简，再利用基本不等式即可求得函数的最小值．
【详解】(1) 因为x + y = 1，x > 0，y > 0，
所以x + 1+y
= 2，x > 0，1 + y > 1，
所以1
x +
4
1+y = 1
2 x+ 1+y
1
x +
4
1+y
= 1
2
5+ 1+y
x
+ 4x
1+y
≥1
2 × 5+2
1+y
x
⋅4x
1+y
= 9
2 ，
当且仅当1+y
x
=
4x
1+y ，且x + y = 1，即x = 2
3 ，y = 1
3 时，等号成立，
故1
x +
4
1+y 的最小值为9
2 ；
(2) 因为x >-1，所以x + 1 > 0
所以y = x2+7x+10
x+1
=
x+1
2+5 x+1
+4
x+1
= x+1
+
4
x+1 + 5 ≥2
x+1
⋅
4
x+1 + 5 = 9，
当且仅当x + 1 =
4
x+1 ，即x = 1 时，等号成立，
故函数y = x2+7x+10
x+1
(x >-1) 的最小值9．
20 利用不等式求最值
(1) 已知x，y ∈R+，且4x + y - xy = 0，求x + y 的最小值．
７７
78
(2) 已知x，y ∈R+，且4x + y - xy = 0，求xy 的最小值．
答案(1)9；(2)16
【分析】由条件可得1
x + 4
y = 1，结合基本不等式分别求x + y 和xy 的最小值．
【详解】(1) 因为4x + y - xy = 0，x，y ∈R+，
所以1
x + 4
y = 1，
所以x + y = x+y
1
x + 4
y
= 1 + 4x
y + y
x + 4 ≥5 + 2
4x
y ⋅y
x = 9，
当且仅当4x
y = y
x ，1
x + 4
y = 1 时等号成立，即x = 3，y = 6 时等号成立，
所以x + y 的最小值为9．
(2) 因为1
x + 4
y = 1，x，y ∈R+，
由基本不等式可得1 = 1
x + 4
y ≥2
1
x ⋅4
y ，当且仅当x = 2，y = 8 时等号成立，
所以xy ≥16，当且仅当x = 2，y = 8 时等号成立，
所以xy 的最小值为16．
７８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
79
专题2 - 3 基本不等式(2)：中档题梳理与进阶训练
模块一
中档题梳理
【题型
【题型1】判断不等式是否能成立
】判断不等式是否能成立
(1) 基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或
积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．
(2) 连续使用不等式要注意取得一致．
1
(多选) 下列函数中，最小值为2 的是
(
)
A.
B.
C.
D.
答案CD
解析
【分析】根据基本不等式求解最值判断ABC，根据复合函数最值求法求解判断D．
【详解】对于A，
，当
时，y =- 1
4 < 0，不符合要求，错误；
对于B，
，当且仅当
时取等号，
由
得x2+ 4 = 1 显然不成立，所以等号取不到，
即
的最小值不是2，错误；
对于C，因为0 < x < 1，所以
，
，
当且仅当x = 1
2 时取等号，最小值是2，正确；
对于D，
，易知
，
，
则
，
当4 - x2= 0 即x = 2 或
时，
有最小值4，即
有最小值2，故D 正确．
2
(多选) 已知x > 0，y > 0，且x + 2y = 1，下列结论中正确的是
(
)
A. xy 的最大值是1
8
B. 2x+ 4y 的最小值是2 2
C. 1
x + 2
y 的最小值是8
D. x2+ 4y2的最小值是1
2
答案ABD
解析
【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解．
【详解】x > 0，y > 0，且x + 2y = 1，
对于A，由1 = x + 2y ≥2 2xy，解得xy ≤1
8 ，当且仅当x = 1
2 ，y = 1
4 时等号成立，
７９
80
则xy 的最大值为1
8 ，所以A 正确；
对于B，由2x+ 4y = 2x+ 22y ≥2 2x⋅22y = 2 2x+2y = 2 2，
当且仅当x = 1
2 ，y = 1
4 时等号成立，所以2x+ 4y 的最小值为2 2，所以B 正确；
对于C，1
x + 2
y =
1
x + 2
y
(x + 2y) = 5 + 2y
x + 2x
y ≥5 + 2
2y
x ⋅2x
y = 9，
当且仅当2y
x = 2x
y ，即x = y = 1
3 时等号成立，所以1
x + 2
y 的最小值是9，所以C 错误；
对于D，由2 x2+4y2
≥x2+4y2
+ 2x ⋅2y
= x+2y
2= 1，
得x2+ 4y2≥1
2 ，当且仅当x = 1
2 ，y = 1
4 时等号成立，
则x2+ 4y2的最小值是1
2 ，所以D 正确．
1
(多选) 下列命题中，真命题的是
(
)
A.
，都有x2- x ≥x - 1
B.
，使得x +
4
x-1 = 6
C. 任意非零实数
，都有b
a + a
b ≥2
D. 若x ∈2,+∞
，则
x2+1 +
4
x2+1
的最小值为4
答案AB
解【分析】利用不等式的性质和均值不等式，以及对勾函数的单调性求最值，并根据全称命题与特称
命题的真假判断，即可选出真命题．
【详解】解：对于A，
恒成立，
则
，都有x2- x ≥x - 1，A 选项正确；
对于B，当x ∈(1 ,+∞) 时，
，
(当且仅当
时取等号)，
，
，使得x +
4
x-1 = 6，B 选项正确；
对于
，当
时，
，C 选项错误；
对于D，
x2+1 +
4
x2+1
≥2 4 = 4，当且仅当
x2+1 =
4
x2+1
⇒x2+ 1 = 4 ⇒x2= 3
时取等号，故当
时，
的最小值不是4，D 选项错误
2
(多选) 若实数m，n > 0，满足2m + n = 1，以下选项中正确的有
(
)
A. mn 的最大值为1
8
B.
1
m + 1
n 的最小值为4 2
C.
2
m+1 +
9
n+2 的最小值为5
D. 4m2+ n2最小值为1
2
答案AD
解【分析】利用基本不等式解决条件的最值问题求解和为定值或乘积为定值．
８０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
81
【详解】解：对于A，由m，n > 0，得2m + n ≥2 2mn，又2m + n = 1，
所以1 ≥2 2mn，解得mn ≤1
8 ，当且仅当2m = n，
即m = 1
4 ，n = 1
2 时等号成立，
所以mn 最大值为1
8 ，选项A 正确；
对于B，1
m + 1
n = 2m+n
1
m + 1
n
= 3 + n
m + 2m
n
≥3 + 2
n
m ⋅2m
n
= 3 + 2 2，
当且仅当n
m = 2m
n ，即m= 2-
2
2
n=
2-1
时等号成立，
所以1
m + 1
n 的最小值为3 + 2 2，选项B 错误；
对于C，由2m + n = 1，得2 m+1
+ n+2
= 5，
所以
2
m+1 +
9
n+2 = 1
5 2 m+1
+ n+2
2
m+1 +
9
n+2
= 1
5
13+ 2 n+2
m+1
+ 18 m+1
n+2
≥1
5
13+2 36
= 5，
当且仅当2 n+2
m+1
= 18 m+1
n+2
，即m=0
n=1
时等号成立，又m，n > 0，
所以
2
m+1 +
9
n+2 > 5，选项C 错误；
对于D，由m，n > 0，2m + n = 1，得2m+n
2 = 4m2 + n2 + 4mn = 4m2 + n2 + 2 4m2 ⋅
n2 ≤
2 4m2+n2
，
则4m2+ n2≥1
2 ，当且仅当4m2= n2，即
m= 1
4
n= 1
2
时等号成立，
所以4m2+ n2的最小值为1
2 ，选项D 正确．
3
(多选) 下列说法正确的是
(
)
A. x + 1
x (x > 0) 的最小值是2
B.
x2+5
x2+4
的最小值是2
C.
x
x2+x+1 (x < 0) 的最小值是-1
D. 若x > 0，则2 - 3x - 4
x 的最大值是2 - 4 3
答案ACD
解【分析】利用基本不等式判断A、C、D，利用对勾函数的性质判断B．
【详解】对于A，∵x > 0，∴x + 1
x ≥2
x⋅1
x = 2，当且仅当x = 1 时取等号，故A 正确；
对于B，
x2+5
x2+4
= x2+4+1
x2+4
=
x2+4 +
1
x2+4
，
令t =
x2+4，则t ≥2 且
x2+4 +
1
x2+4
= t + 1
t ，因为y = x + 1
x 在1,+∞
上单调递增，
所以t + 1
t ≥2 + 1
2 = 5
2 ，即
x2+4 +
1
x2+4
≥5
2 ，当且仅当x = 0 时取等号，故B 错误；
对于C，因为x < 0，所以x + 1
x =-
-x
+ 1
-x
≤-2
-x
⋅1
-x =-2，
当且仅当x =-1 时取等号，
所以
x
x2+x+1 =
1
x+ 1
x +1
≥-1，当且仅当x =-1 时取等号，故C 正确；
对于D，∵x > 0，∴2 - 3x - 4
x = 2 - 3x+ 4
x
≤2 - 2
3x⋅4
x = 2 - 4 3，
８１
82
当且仅当x = 2 3
3
时取等号，故D 正确
4
(多选) 已知a > 0，b > 0，且a + b = 1，则
(
)
A. ab 的最小值是1
4
B. 2a2+ b2最小值为2
3
C.
a +
b 的最大值是
2
D. 1
a + 2a
b 的最小值是1 +
2
答案BC
解【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，b = 1 - a 代入2a2 + b2，利用二次函数求出最
值，得出B 选项；利用
a+
b
2
4
≤a+b
2
即可得到C 选项；利用“1”的妙用得出D．
【详解】对于A，∵a > 0，b > 0，且a + b = 1，∴ab ≤
a+b
2
2
= 1
4 ，即a = b = 1
2 时，等号成立，
即ab 的最大值是1
4 ，故A 不正确；
对于B，∵a + b = 1，∴b = 1 - a，2a2+ b2= 2a2+ 1-a
2= 3 a- 1
3
2
+ 2
3 ，
所以2
3 ，故B 正确；
对于C，∵a > 0，b > 0，且a + b = 1，∴
a+
b
2
4
≤a+b
2
= 1
2 ，即
a +
b ≤
2
当且仅当a = b = 1
2 时，等号成立，故C 正确；
对于D，∵1
a + 2a
b = a+b
a
+ 2a
b = 1 + b
a + 2a
b ≥1 + 2 2，
即a =
2 - 1，b = 2 -
2 时，等号成立，
所以1
a + 2a
b 的最小值是1 + 2 2，故D 错误．
【题型
【题型2】基本不等式与几何图形结合
】基本不等式与几何图形结合
基本不等式链的无字证明：
2
1
a + 1
b
≤
ab ≤a+b
2
≤
a2+b2
2
如图，在C 是以AB 为直径的半圆上一点，CD ⊥AB，DE ⊥CO，记AD = a，BD = b，则有CE <
CD < CO
(1) 证明：a+b
2
≥
ab
由射影定理可得：CD =
ab(几何平均数)，OC = a+b
2
(算术平均数)，显然OC ≥CD，即a+b
2
≥
ab
(2) 证明：
2
1
a + 1
b
≤a+b
2
８２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
83
由三角函数可得：cos∠OCD = CD
CO = CE
CD ⇒CE = CD2
CO =
ab
a+b
2
=
2
1
a + 1
b
，显然CE ≤CD
(3) 对于a+b
2
≤
a2+b2
2
，若通过以上图形来解会有些复杂，可以结合完全平方公式来证明会更方便
1
设a > 0，b > 0，称2ab
a+b 为a、b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC = a，CB
= b，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D，连接OD、AD、
BD．过点C 作OD 的垂线，垂足为E．则图中线段OD 的长度是a、b 的算术平均数，线段
的长度是a、b 的几何平均数．
答案DC
解析
【分析】根据三角形相似，即可得相似比，根据几何平均数的定义即可求解．
【详解】由于∠ADB = ∠ADC + ∠BDC = π
2 ，∠BDC + ∠B = π
2 ，∴∠DBC = ∠ADC，
又∠ACD = ∠DCB = π
2 ，故△∠ADC ∼△∠DBC，
因此DC
BC = AC
DC ⇒DC2= AC ⋅BC ⇒DC =
ab，
故DC 的长度是a、b 的几何平均数
2
数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三
角形△ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD = a，
BD = b，用该图形能证明的不等式为()．
A. a+b
2
≥
ab a>0,b>0
B.
2ab
a+b ≤
ab a>0,b>0
C. a+b
2
≤
a2+b2
2
a>0,b>0
D. a2+ b2≥2 ab a>0,b>0
答案C
解析
由图知：OC = 1
2 AB = a+b
2
，OD = OB-BD
= a+b
2
-b
= a-b
2
，
在Rt△OCD 中，CD =
OC2+OD2 =
a2+b2
2
，
所以OC ≤OD，即a+b
2
≤
a2+b2
2
a>0,b>0
1 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题) 成了后世西方数学家处理问题的重要依
８３
84
据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称之为
“无字证明”．如图所示，AB 是半圆O 的直径，点C 是AB 上一点(不同于A，B，O)，点D
在半圆O 上，且CD ⊥AB，CE ⊥OD 于点E，设AC = a，BC = b，则该图形可以完成的“无
字证明”为
(
)
A.
ab ≤a+b
2
(a > 0，b > 0)
B. a+b
2
< 2ab
a+b (a > 0，b > 0，a ≠b)
C.
2ab
a+b ≤
ab(a > 0，b > 0)
D.
2ab
a+b <
ab < a+b
2
(a > 0，b > 0，a ≠b)
答案D 由AC = a，BC = b，可得半圆O 的半径DO = a+b
2
，
易得DC =
AC·BC =
ab，DE = DC2
DO = 2ab
a+b ．
∵DE < DC < DO，∴2ab
a+b <
ab < a+b
2
(a > 0，b > 0，a ≠b)．
2
如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在
AN 上，且对角线MN 过点C，已知AB = 4，AD = 3，那么当BM =
时，矩形花坛的
AMPN 面积最小，最小面积为
．
答案4 48
解【分析】利用平行线分线段成比例得到DN
AN = CD
AM ，进而得到ab = 12，再利用矩形面积公式与基
本不等式即可得到答案．
【详解】依题意不妨设BM = a，DN = b，易知DC ⎳AM，CD = AB = 4，AD = 3，
故DN
AN = CD
AM ，即
b
3+b =
4
a+4 ，即ab = 12，
故矩形AMPN 的面积为3+b
4+a
= 3a + 4b + 12 + ab ≥2 12ab + 24 = 48，
当且仅当3a = 4b，即a = 4，b = 3 时，等号成立，
故当BM = a = 4 时，矩形AMPN 的面积取得最小值为48．
3
(24 - 25 高一上·湖北·期中) 用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为300 3m2 的等腰梯形菜园，如
图所示，用墙的一部分做下底AD，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60°，当等腰梯形的腰长为
多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．
８４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
85
答案等腰三角形腰长为20m，所用篱笆长度的最小值为60m．
解【分析】建立函数模型，利用基本不等式求解．
【详解】设AB = a m
a>0
，上底BC = b m
b>0
，
分别过点B，C 作下底的垂线，垂足分别为E，F，
则BE =
3
2 a，AE = DF = a
2 ，则下底AD = a
2 + b + a
2 = a + b，
该等腰梯形的面积S =
b+a+b
2
⋅
3
2 a =
3
4
a+2b
a = 300 3，
所以a+2b
a = 1200，则b = 600
a
- a
2 ，
所用篱笆长为l = 2a + b = 2a + 600
a
- a
2 = 600
a
+ 3a
2 ≥2
600
a
⋅3a
2
= 60，
当且仅当600
a
= 3a
2 ，即a = 20 m
，b = 20 m
时取等号．
所以，当等腰梯形的腰长为20m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为60m．
4
(多选) 《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题) 成为了后世数学家处理问题的重
要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．如图，在AB 上取一
点C，使得AC = a，BC = b，过点C 作CD ⊥AB 交半圆周于点D，连接OD．作CE ⊥OD 交
OD 于点E．下面不能由CD ≥DE 直接证明的不等式为
(
)
A.
ab ≤a+b
2
(a > 0 , b > 0)
B.
ab ≥2ab
a+b (a > 0 , b > 0)
C. a2+ b2≥2ab(a > 0 , b > 0)
D. a+b
2
≤a2+b2
2
(a > 0 , b > 0)
答案ACD
解【分析】利用射影定理可得CD2= DE ⋅OD 即可证明
【详解】由射影定理可知CD2= DE ⋅OD
即DE = DC2
OD =
ab
a+b
2
= 2ab
a+b
由CD ≥DE 得
ab ≥2ab
a+b (a > 0 , b > 0)
故由由CD ≥DE 直接证明的不等式为选项B
８５
86
5
(高一上·江西南昌·期中) 图1 的弦图是由我国三国时期的数学家赵爽提出的，故称赵爽弦图，利用
这个弦图，我们可以给基本不等式一个非常形象的几何解释．数学探究课上，同学们对赵爽弦图
从边长、周长、面积、角度等方面进行了探究，得出了很多优美的结论．如图2，某探究小组将
赵爽弦图中的直角△ABC 的直角边AC 延长交另一个直角三角形的斜边为点D，记△ABC 的周长
为l，面积为S，则
l S
AC⋅AD 的最大值为
(
)
A. 2 2
3
B.
2
C. 2 3
3
D.
2+1
2
答案D
解【分析】设BC = a，AC = b，根据Rt△ABD ∼Rt△ACB 可得AC ⋅AD = AB2 = a2 + b2，进而得到
l S
AC⋅AD =
(a+b+
a2+b2)
1
2 ab
a2+b2
，结合基本不等式计算化简，即可求解．
【详解】设BC = a，AC = b，则AB =
a2+b2，
由∠ABD = 90°，AC ⊥BC，得Rt△ABD ∼Rt△ACB，
有AB
AD = AC
AB ，即AC ⋅AD = AB2= a2+ b2，
由(a - b)2≥0，得1
2 ab ≤a2+b2
4
，
由(a - b)2= 2(a2+ b2) - (a + b)2≥0，得(a + b)2≤2(a2+ b2)，即a + b ≤
2(a2+b2)，
所以
l S
AC⋅AD =
(a+b+
a2+b2)
1
2 ab
a2+b2
≤
( 2(a2+b2)+
a2+b2)
a2+b2
4
a2+b2
=
2+1
2
，
当且仅当a = b 时，等号成立，
所以
l S
AC⋅AD 的最大值为
2+1
2
．
【题型
【题型3】基本不等式的实际应用问题
】基本不等式的实际应用问题
不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的
解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养．
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数：
若a，b ∈R+，则
2
1
a + 1
b
≤
ab ≤a+b
2
≤
a2+b2
2
(当且仅当a = b 时取“=”)
其中，
2
1
a + 1
b
= 2ab
a+b 为a，b 的调和平均值反应了平均速度
1
(24 - 25 高一上·广东广州·期末) 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为
８６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
87
3m．如果池底每平方米的造价为100 元，池壁每平方米的造价为80 元，那么贮水池的最低总造价
是
(
)
A. 160000 元
B. 179200 元
C. 198400 元
D. 297600 元
答案C
解析
【分析】设池底的长为x，宽为y，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4 个面，池底一个
面，计算出建造这个水池的总造价是100xy + 2(x + y) × 3 × 80，结合基本不等关系求得最小值．
【详解】设池底的长为x，宽为y，则3xy = 4800，即y = 1600
x
因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4 个面，池底一个面，
建造这个水池的总造价是100xy + 2(x + y) × 3 × 80 = 160000 + 480 x+ 1600
x
≥160000 + 480 × 2
x⋅1600
x
= 198400，当且仅当x = 1600
x
，即x = 40 时，等号成立
2
两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降(假设第一次价格为x1，第二次价格为x2，x1 ≠x2)
可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定；第二种是每次购买这种物品所花
的钱数一定，哪种购物方式比较经济
(
)
A. 第一种
B. 第二种
C. 都一样
D. 不确定
答案B
解析
依题意，x1，x2为正数，且x1≠x2，
第一种方式购买的平均价格为x1+x2
2
，
第二种方式，设每次购买的花费为s，
则购买的平均价格为
2s
s
x1 + s
x2
=
2
1
x1 + 1
x2
= 2x1x2
x1+x2
，
由基本不等式得2x1x2
x1+x2
<
2×
x1+x2
2
2
x1+x2
= x1+x2
2
，
所以选第二种方式比较经济．
3
(24 - 25 高一上·浙江宁波·期末) 设矩形ABCD(AB > AD) 的周长为12，把△ABC 沿AC 向
△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P，则△ADP 的最大面积是
．
答案27 - 18 2
解析
【分析】根据题意设AB = x，用x 表示PD，AD，以及△ADP 面积，结合基本不等式即可求
得结果
【详解】由题意可知，矩形ABCD(AB > CD) 的周长为12，
８７
88
设AB = x，则AD = 6 - x，3 < x < 6，
设PC = a，则DP = x - a，∠PAC = ∠BAC = ∠PCA，故AP = PC = a，
而△ADP 为直角三角形，
∴6-x
2+ x-a
2= a2，
∴a = x + 18
x - 6，∴DP = 6 - 18
x ，
∴S△ADP = 1
2 × AD × DP = 1
2 × (6 - x) × 6- 18
x
= 27 - 54
x - 3x ≤27 - 2
54
x ⋅3x = 27 - 18 2．
当且仅当54
x = 3x，即x = 3 2 时，此时AD = 6 - 3 2，满足AB > AD，
即x = 3 2 时，△ADP 的面积取最大值，最大值为27 - 18 2．
4
(2024·高一·广东深圳·期末) 某公司为了提高生产效率，决定投入160 万元买一套生产设备，预计使
用该设备后，前n n∈N *
年的支出成本为10n2-2n
万元，每年的销售收入98 万元．使用若干
年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20 万元的价格处
理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30 万元的价格处理．哪种方案较为合理？
并说明理由．(注：年平均盈利额= 总盈利额
年度
)
解析
方案二更合理，理由如下：
设f n
为前n 年的总盈利额，单位：万元；
由题意可得f n
= 98n - 10n2-2n
- 160 =-10n2+ 100n - 160，
方案一：总盈利额f n
=-10n2+ 100n - 160 =-10 n-5
2+ 90，
当n = 5 时，f n
取得最大值90；此时处理掉设备，则总利润为90 + 20 = 110 万元；
方案二：平均盈利额为f n
n
= -10n2+100n-160
n
=-10 n+ 16
n
+ 100 ≤100 - 20
n⋅16
n = 20，
当且仅当n = 16
n ，即n = 4 时，等号成立；即n = 4 时，平均盈利额最大，此时f n
= 80，
此时处理掉设备，总利润为80 + 30 = 110 万元；
综上，两种方案获利都是110 万元，但方案二仅需要4 年即可，故方案二更合适．
1
小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b(a > b > 0)，他往返甲乙两地的
平均速度为v，则
(
)
A. v = a+b
2
B. v =
ab
C.
ab < v < a+b
2
D. b < v <
ab
答案D
解【详解】设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则
８８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
89
t1= s
a ，t2= s
b ，v =
2s
t1+t2
=
2s
s
a + s
b
=
2
1
a + 1
b
，
∴v =
2
1
a + 1
b
>
2
1
b + 1
b
= b，v =
2
1
a + 1
b
= 2ab
a+b < 2ab
2 ab =
ab
2
如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形ABCD(AB > AD) 的周长为4，沿AC 折
叠使点B 到点B位置，AB交DC 于点P．研究发现当△ADP 的面积最大时用电最少，则用电最
少时，AB 的长度为
(
)
A. 5
4
B.
2
C. 3
2
D.
3
答案B
解
如图，设AB = x，由矩形ABCD(AB > AD) 的周长为4，可知AD = (2 - x)．
设PC = a，则DP = (x - a)．∵∠APD = ∠CPB，∠ADP = ∠CBP = 90°，AD = CB，
∴Rt△ADP ≌Rt△CBP，∴AP = PC = a．
在Rt△ADP 中，由勾股定理得AD2+ DP2= AP2，
即(2 - x)2+ (x - a)2= a2，解得a = x2-2x+2
x
，
所以DP = x - a = 2x-2
x
．
所以△ADP 的面积S = 1
2 AD ⋅DP = 1
2 (2 - x) ⋅2x-2
x
= 3 - x+ 2
x
．
所以S ≤3 - 2
x⋅2
x = 3 - 2 2，当且仅当x = 2
x 时，
即当x =
2 时，△ADP 的面积最大，面积的最大值为3 - 2 2，故选：B．
3
(高一上·江苏连云港·月考) 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m3，深度为3m．
如果池底每平方米的造价为100 元，池壁每平方米的造价为80 元，怎样设计水池能使总造价最
低？最低总造价为多少元？
答案当水池设计成底面边长为40m 的正方形时，总造价最低，为198400 元．
解
设池底的一边长为xm x>0
，则另一边长为4800
3x m = 1600
x
m，总造价为y 元，
则y = 1600 × 100 + x+ 1600
x
× 3 × 2 × 80 = 160000 + 480 × x+ 1600
x
≥160000 + 480 × 2
x⋅1600
x
= 198400，
当且仅当x = 1600
x
，即x = 40 时，等号成立，
所以当水池设计成底面边长为40m 的正方形时，总造价最低，最低为198400 元．
4
某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3 米，底面为24 平方米，且背面靠墙的
８９
90
长方体形状的校园警务室，由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，工程队给出的报价为：屋
子前面新建墙体的报价为每平方米400 元，左、右两面新建墙体报价为每平方米300 元，屋顶和
地面以及其他报价共计14400 元，设屋子的左，右两面墙的长度均为x 米2≤x≤6
，房屋的造价
为y．
(1) 写出y 关于x 的表达式．
(2) 当左、右两面墙的长度x 为多少时，工程队报价最低？并求出最低报价．
答案(1)y = 1800 x+ 16
x
+ 14400 2≤x≤6
(2)x = 4 时工程队报价最低，最低报价为28800 元
解【分析】(1) 由题意可得屋子前面新建墙体的长为24
x 米，进而根据题意求解即可；
(2) 根据基本不等式求解即可．
【详解】(1) 因为屋子的左，右两面墙的长度均为x 米2≤x≤6
，底面为24 平方米，
则屋子前面新建墙体的长为24
x 米，
所以房屋的造价为y = 2x × 3 × 300 + 24
x × 3 × 400 + 14400 = 1800 x+ 16
x
+ 14400 2≤x≤6
．
(2) 由y = 1800 x+ 16
x
+ 14400 ≥1800 × 2
x⋅16
x + 14400 = 28800，
当且仅当x = 16
x ，即x = 4 时等号成立，
所以当左、右两面墙的长度为4 米时，工程队报价最低，最低报价为28800 元．
【题型
【题型4】基本不等式恒成立问题
】基本不等式恒成立问题
∀x ∈M，使得f(x) ≥a ，等价于f(x)min ≥a ，∀x ∈M，使得f(x) ≤a ，等价于f(x)max ≤a
参变分离法：如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x 的关系，
那么a > y 恒成立⇔a > ymax；a < y 恒成立⇔a < ymin
1
(24 - 25 高一上·河南漯河·期末) 已知x > 0，不等式x2 + mx + 1 > 0 恒成立，则实数m 的取值范
围是
．
答案m >-2
解析
【分析】由题意可得m >-x - 1
x 对x > 0 恒成立，由基本不等式求得y =-x - 1
x 的最大值即
可．
【详解】由x > 0，不等式x2+ mx + 1 > 0 恒成立，可得m >-x - 1
x 对x > 0 恒成立，
令y =-x - 1
x =- x+ 1
x
≤-2
x⋅1
x =-2，当且仅当x = 1
x ，即x = 1 时取等号．
所以m >-2，所以m >-2．
2
(24 - 25 高一上·四川达州·期中) 已知a > 0，b > 0，若不等式
m
a+b ≤4a+9b
ab
恒成立，则实数m
的最大值为
(
)
A. 64
B. 25
C. 13
D. 12
答案B
９０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
91
解析
【分析】将不等式变形为m ≤
4a+9b
ab
a+b
，利用基本不等式即可得出答案．
【详解】a > 0，b > 0，则a + b > 0，
不等式
m
a+b ≤4a+9b
ab
恒成立，即m ≤
4a+9b
ab
a+b
恒成立，
4a+9b
ab
a+b
=
4
b + 9
a
a+b
= 13 + 4a
b + 9b
a ≥13 + 2
4a
b ⋅9b
a = 25，
当且仅当4a
b = 9b
a ，即b = 2
3 a 时等号成立，
所以m ≤25，即实数m 的最大值为25．
3
(24 - 25 高一上·湖南湘潭·期中) 已知a > 0，b > 0，且a + 2b = 2，若3t2 - t ≤b
a + 2
b 恒成立，
则实数t 的取值范围是
．
答案
-1, 4
3
解析
【分析】由题可得3t2- t ≤
b
a + 2
b
min，然后由基本不等式可得答案．
【详解】因为3t2- t ≤b
a + 2
b 恒成立，所以3t2- t ≤
b
a + 2
b
min．
因a > 0，b > 0，则a
b > 0，b
a > 0，
则b
a + 2
b = b
a + a+2b
b
= b
a + a
b + 2 ≥2
b
a ⋅a
b + 2 = 4，
当且仅当a
b = b
a 时等号成立，由a+2b=2
a=b>0
，解得a = b = 2
3 ．
故b
a + 2
b 的最小值为4，则3t2- t ≤4 ⇔3t-4
t+1
≤0，
得-1 ≤t ≤4
3 ，即t ∈-1, 4
3
．
1
若对于任意x ∈1,+∞
，关于x 的不等式x +
4
x-1 - a > 0 恒成立，则实数a 的取值范围是
．
答案
-∞,5
解【分析】由题意结合基本不等式求出即可．
【详解】由题意可得当x ∈1,+∞
时，x-1
+
4
x-1 > a - 1 恒成立，
因为x-1
+
4
x-1 ≥2
x-1
4
x-1 = 4，当且仅当x-1
=
4
x-1 ，x > 1 即x = 3 时取等号，
所以4 > a - 1 ⇒a < 5，即实数a 的取值范围是-∞,5
2
若不等式1
x +
1
1-4x - m ≥0 对x ∈0, 1
4
恒成立，则实数m 的最大值为
(
)
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
答案C
解
分离参数使不等式化为1
x +
1
1-4x ≥m，使1
x +
1
1-4x 乘以4x + 1 - 4x 利用基本不等式求出1
x
+
1
1-4x 的最小值即可求解．
【详解】将不等式化为1
x +
1
1-4x ≥m，只需当x ∈0, 1
4
时，
1
x +
1
1-4x
min ≥m 即可，
由1
x +
1
1-4x =
1
x +
1
1-4x
4x+1-4x
９１
92
= 4 + 1-4x
x
+
4x
1-4x + 1 ≥5 + 2
1-4x
x
⋅
4x
1-4x = 5 + 4 = 9，
当且仅当x = 1
5 时取等号，故m ≤9，故m 的最大值为9．
3
已知x > 0，y > 0，且
1
x+2 + 1
y = 2
7 ，若x + 2 + y > m2+ 5m 恒成立，则实数m 的取值范围是
(
)
A.
-4,7
B.
-2,7
C.
-4,2
D.
-7,2
答案D
解
因为x > 0，y > 0，且
1
x+2 + 1
y = 2
7 ，
所以x + 2 + y = 7
2 × x+2+y
1
x+2 + 1
y
= 7
2 × 1+1+
y
x+2 + x+2
y
≥7
2 × 2+2
y
x+2 ⋅x+2
y
= 14，当且仅当y = x + 2 = 7 时取等号，
又因为x + 2 + y > m2+ 5m 恒成立，
所以14 > m2+ 5m，解得-7 < m < 2．
所以实数m 的取值范围是-7,2
．
4
(24 - 25 高一上·安徽亳州·月考) 对一切x，y > 0，都有5x + 12 xy ≤a x+y
，则实数a 的最小
值是
(
)
A. 8
B. 9
C. 10
D. 前3 个答案都不对
答案B
解【分析】由题意可得5x+12 xy
x+y
≤a，求得
5x+12 xy
x+y
max 即可．
【详解】因为x，y > 0，所以5x+12 xy
x+y
≤a，所以a ≥
5x+12 xy
x+y
max，
又5x+12 xy
x+y
=
5x+12
2
3 x⋅3
2 y
x+y
≤
5x+6
2
3 x+ 3
2 y
x+y
= 9x+9y
x+y
= 9，
当且仅当2
3 x = 3
2 y 时，取等号，所以a ≥9，
所以实数a 的最小值是9．
【题型
【题型5】基本不等式能成立问题
】基本不等式能成立问题
能成立问题又称有解问题
∃x ∈M，使得f(x) ≥a ，等价于f(x)max ≥a ，∃x ∈M，使得f(x) ≤a ，等价于f(x)min ≤a
1
若正实数x，y 满足x + y = 1，且不等式
4
x+1 + 1
y < m2 + 3
2 m 有解，则实数m 的取值范围
．
答案m <-3 或m > 3
2
解析
【分析】要使
4
x+1 + 1
y < m2 + 3
2 m 有解，则m2 + 3
2 m 大于
4
x+1 + 1
y 最小值即可；求出
4
x+1 + 1
y 最小值，建立不等式，求出m 的取值范围．
９２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
93
【详解】因为x + y = 1，所以x+1
2
+ y
2 = 1，所以
4
x+1 + 1
y =
4
x+1 + 1
y
x+1
2
+ y
2
= 2 + 1
2
+
2y
x+1 + x+1
2y
≥5
2 + 2
2y
x+1 ∙x+1
2y
= 9
2 ，当
2y
x+1 = x+1
2y
时，等号成立，因为x + y = 1，所
以此时x = 1
3 ，y = 2
3 ，所以
4
x+1 + 1
y 的最小值为9
2 ，由题可得m2 + 3
2 m > 9
2 ，解得m <-3 或
m > 3
2 ．
1
若两个正实数
满足x + 2y = xy，且存在这样的
使不等式2x + y < m2 + 8m 有解，则实数
的取值范围是
(
)
A.
-1,9
B.
-9,1
C.
D.
答案C
解【分析】根据题意可得
满足
，再利用基本不等式中“1”的妙用求得2x + y 的最小值，
最后解不等式即可．
【详解】由x + 2y = xy 得
，
，
当且仅当
时，等号成立，
则使不等式2x + y < m2+ 8m 有解，只需满足m2+ 8m > 9 即可，
得
．
2
若存在x ∈1,3
，使不等式x2- 2ax + a + 2 ≤0 成立，则a 的取值范围为
．
答案[2 ,+∞)
解【详解】由x2- 2ax + a + 2 ≤0 ⇒x2+ 2 ≤a(2x - 1)，
因为x ∈1,3
，所以2x - 1 ∈1,5
，令t = 2x - 1 ∈1,5
，x = t+1
2
，
由x2+ 2 ≤a(2x - 1) ⇒a ≥x2+2
2x-1 =
1
4 t2+2t+9
t
，则有g(t) = 1
4
t+ 9
t +2
，
且a ≥g(t)min = 2
【题型
【题型6】消元法求最值
】消元法求最值
消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为
常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．
1
(24 - 25 高一下·浙江·开学考试) 已知x > 0，y > 0，x + 2
y = 1，则2
x + xy - 2
xy 的最小值为
(
)
A. 17
3
B. 5
C. 2 + 2 2
D. 2 +
2
答案C
９３
94
解析
【分析】由x = 1 - 2
y ，得2
x + xy - 2
xy = 2 + 2-y
+
2
y-2 ，利用基本不等式即可求解．
【详解】解：由题意得x = 1 - 2
y ，且x > 0，y > 0，所以y > 2，
所以2
x + xy - 2
xy =
2y
y-2 + y y-2
y
-
2y
y y-2
= 2 y-2
+4
y-2
+ y - 2 -
2
y-2
= 2 + y-2
+
4
y-2 -
2
y-2 = 2 + y-2
+
2
y-2 ≥2 + 2
y-2
⋅
2
y-2 = 2 + 2 2，
当且仅当y - 2 =
2
y-2 ，即y = 2 +
2 时取等号，
所以2
x + xy - 2
xy 的最小值为2 + 2 2．
2
已知x > 0，y > 0，xy + 2x - y = 10，则x + y 的最小值为
．
解析
【解题思路】依题意可得x = y+10
y+2 ，再由基本不等式计算可得．
【解答过程】因为x > 0，y > 0 且xy + 2x - y = 10，
所以x = y+10
y+2 ，
所以x + y = y+10
y+2 + y =
8
y+2 + y + 2 - 1 ≥2
8
y+2 ⋅(y+2) - 1 = 4 2 - 1，
当且仅当
8
y+2 = y + 2，即y = 2 2 - 2，x = 1 + 2 2 时，等号成立，
故x + y 的最小值为4 2 - 1．
3
(24 - 25 高一上·广东深圳·期末) (多选) 已知a > 0，b > 0，且b = 1 - 1
a ，则
(
)
A. b
a 的最大值为1
4
B.
1
a2 + b2的最小值为1
4
C. a
2 - b 的最小值为
2 - 1
D. a + 1
b 的最小值为4
答案ACD
解析
【分析】将条件b = 1 - 1
a 代入选项，利用基本不等式和二次函数的性质，即可判断选项．
【详解】对于A 选项，b
a = 1
a
1- 1
a
≤
1
a +1- 1
a
2
2
= 1
4 ，当a = 2 时等号成立，故A 选项正确；
对于B 选项，1
a2 + b2 = 1
a2 + 1- 1
a
2
= 2 1
a
2
- 2 1
a
+ 1 = 2 1
a - 1
2
2
+ 1
2 ，故当a = 2 时，1
a2
+ b2有最小值1
2 ，故B 选项错误；
对于C 选项，a
2 - b = a
2 - 1 + 1
a ≥2
1
2 - 1 =
2 - 1，当a =
2 时等号成立，故C 选项正确；
对于D 选项，a + 1
b = a +
1
1- 1
a
= a +
a
a-1 = a-1
+
1
a-1 + 2 ≥4，当且仅当a - 1 =
1
a-1 ，即
a = 2 时，等号成立，故D 选项正确．
1
若正数x，y 满足x2- 2xy + 2 = 0，则x + y 的最小值是
(
)
A.
6
B.
6
2
C. 2 2
D. 2
解【解题思路】根据题意可得y = x
2 + 1
x ，利用基本不等式求解．
９４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
95
【解答过程】由x2- 2xy + 2 = 0 可得y = x
2 + 1
x ，
∴x + y = x + x
2 + 1
x = 3x
2 + 1
x ≥2
3x
2 ⋅1
x =
6，
当且仅当3x
2 = 1
x ，即x =
6
3
时，等号成立，此时y = 2 6
3
> 0 符合题意．
所以x + y 的最小值为
6．
2
若a > 0，b > 0，ab = 2，则a+4b+2b3
b2+1
的最小值为
4
．
解【解题思路】根据基本不等式即可求解．
【解答过程】由a > 0，b > 0，ab = 2 ⇒a = 2
b ，
故a+4b+2b3
b2+1
=
2
b +4b+2b3
b2+1
= 2+4b2+2b4
b b2+1
= 2 b2+1
2
b b2+1
= 2 b2+1
b
= 2 b+ 1
b
≥2 × 2
b× 1
b = 4，当且仅当b = 1 时等号成立，
故最小值为4
3
(多选) 已知x > 0，y > 0，且x + y + xy - 3 = 0，则
(
)
A. xy 的取值范围是1,9
B. x + y 的取值范围是2,3
C. x + 4y 的最小值是3
D. x + 2y 的最小值是4 2 - 3
E. x + 4y > 3
答案BDE
解【分析】对于A 项，运用基本不等式将其转化成关于
xy 的不等式求解即得；对于B 项，直接运用
基本不等式将其转化成关于x + y 的不等式，再结合不等式性质求解即得；对于CDE 项，通过题设求
出x，代入所求式消元，凑项运用基本不等式即得．
【详解】对于A 项，x > 0，y > 0，由xy = 3 - x+y
≤3 - 2 xy 可得( xy + 3) ( xy - 1) ≤0，
因
xy > 0，故得0 <
xy ≤1，则0 < xy ≤1，当且仅当x = y = 1 时等号成立，错误；
对于B 项，由x + y = 3 - xy ≥3 -
x+y
2
2
可得(x + y + 6) (x + y - 2) ≥0，
因x + y > 0，故得：x + y ≥2，当且仅当x = y = 1 时等号成立，又x + y = 3 - xy < 3，
所以x + y 的取值范围是2,3
，正确；
对于C 和E 项，由x + y + xy - 3 = 0 得x = 3-y
1+y ，
所以x + 4y = 3-y
1+y + 4y =
4
1+y + 4 1+y
- 5 ≥2
4
1+y ×4 1+y
- 5 = 3，
当且仅当
4
1+y = 4 1+y
即y = 0 时，等号成立，所以x + 4y > 3，故C 项错误，E 正确；
对于D 项，由x + y + xy - 3 = 0 得x = 3-y
1+y ，
所以x + 2y = 3-y
1+y + 2y =
4
1+y + 2 1+y
- 3 ≥2
4
1+y ×2 1+y
- 3 = 4 2 - 3，
当且仅当
4
1+y = 2 1+y
即y =
2 - 1 时，等号成立，正确．
4
(24 - 25 高一下·湖南岳阳·期末) 已知x > 1，y > 2 且xy - 2x - y = 0，则x + y 的最小值为(
)
A. 4 2
B. 2 2 + 3
C. 4
D. 6
９５
96
答案B
解【分析】法一：由xy - 2x - y = 0 得y =
2x
x-1 ，可得x + y = (x - 1) +
2
x-1 + 3，进而结合基本不
等式求解即可；
法二：由xy - 2x - y = 0 得(x - 1) (y - 2) = 2，由x + y = (x - 1) + (y - 2) + 3，进而结合基本不等式
求解即可．
【详解】已知x > 1，y > 2，且xy - 2x - y = 0，
法一：由xy - 2x - y = 0 得y =
2x
x-1 ，
则x + y = x +
2x
x-1 = (x - 1) + 2(x-1)+2
x-1
+ 1
= (x - 1) +
2
x-1 + 3 ≥2
(x-1)⋅
2
x-1 + 3 = 2 2 + 3，
当且仅当x - 1 =
2
x-1 ，x =
2 + 1 时取等号，则x + y 的最小值为2 2 + 3；
法二：由xy - 2x - y = 0 得(x - 1) (y - 2) = 2，
则x + y = (x - 1) + (y - 2) + 3 ≥2 (x-1)⋅(y-2) + 3 = 2 2 + 3，
当且仅当x - 1 = y - 2，即x =
2 + 1，y =
2 + 2 时取等号，
则x + y 的最小值为2 2 + 3．
【题型
【题型7】因式分解型
】因式分解型
含有ax + by + abxy 这类结构的式子，可以考虑因式分解配凑成ax+1
by+1
的结构，再结合整体思
想来求最值
1
(2025·广东·二模) 若x > 0，y > 0，且x + y = xy，则
1
x-1 +
2
y-1 的最小值为
(
)
A. 2
B. 2 2
C. 3
D. 9
2
答案B
解析
【分析】由条件可得x-1
y-1
= 1，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果．
【详解】因为x + y = xy，即xy - x - y + 1 = 1，即x-1
y-1
= 1，
且x > 0，y > 0，则x > 1，y > 1，
则
1
x-1 +
2
y-1 ≥2
1
x-1 ⋅
2
y-1 = 2
2
x-1
y-1
= 2 2，
当且仅当
1
x-1 =
2
y-1 时，即x = 1 +
2
2 ，y = 1 +
2 时，等号成立，
所以
1
x-1 +
2
y-1 的最小值为2 2．
2
(24 - 25 高一下·湖南常德·月考) (多选) 已知x，y 均为正数，且x + 4y = xy，则下列选项正确的有
(
)
A. xy ≥16
B. 4x + y ≥25
C.
1
x-4 +
1
y-1 ≥1
D. x + y ≥10
答案ABC
解析
【分析】利用基本不等式逐项判断可得答案．
【详解】对于A，x + 4y ≥2 4xy = 4 xy，于是4 xy ≤xy，解得xy ≥16，
当且仅当x = 4y 即x = 8，y = 2 时等号成立，故A 正确；
对于B，由x + 4y = xy 得y =
x
x-4 > 0，得x > 4，即y =
4
x-4 + 1，
９６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
97
所以4x + y = 4x +
4
x-4 + 1 = 4 x-4
+
4
x-4 + 17 ≥2
4 x-4
4
x-4 + 17 = 25，
当且仅当4 x-4
=
4
x-4 即x = 5 时等号成立，故B 正确；
对于C，由x + 4y = xy 得xy - x - 4y + 4 = 4，即x-4
y-1
= 4，
由于x > 4，所以x - 4 > 0，y - 1 > 0，
所以
1
x-4 +
1
y-1 = 1
4
1
x-4 +
1
y-1
x-4
y-1
= 1
4
2+ y-1
x-4 + x-4
y-1
≥1
2
2+2
y-1
x-4
x-4
y-1
= 1，
当且仅当y-1
x-4 = x-4
y-1 即x = 6，y = 3 等号成立，故C 正确；
对于D，x + y = x +
4
x-4 + 1 = x - 4 +
4
x-4 + 5 ≥2
x-4
×
4
x-4 + 5 = 9，
当且仅当x - 4 =
4
x-4 即x = 6 等号成立，故D 错误
3
(2025·深圳中学阶段测) 若a、b、c > 0 且a(a + b + c) + bc = 4 - 2 3，则2a + b + c 的最小值为
(
)
A.
3 - 1
B.
3 + 1
C. 2 3 + 2
D. 2 3 - 2
答案D
解析
【详解】由a(a + b + c) + bc = 4 - 2 3，
得(a + c)·(a + b) = 4 - 2 3．
∵a、b、c > 0．
∴(a + c)·(a + b) ≤
2a+b+c
2
2
(当且仅当a + c = b + a，即b = c 时取“=”)，
∴2a + b + c ≥2 4-2 3 = 2( 3 - 1) = 2 3 - 2．
1
(重庆巴蜀中学校考) 已知x > 0，y > 0，且xy + x - 2y = 4，则2x + y 的最小值是
(
)
A. 4
B. 5
C. 7
D. 9
答案C
解【分析】将式子变形为x = 2 +
2
y+1 ，即可利用不等式求解，或者将式子变形为x-2
y+1
= 2，
结合不等式即可求解．
【详解】方法一：因为xy + x - 2y = 4，故y+1
x = 4 + 2y，解得x = 2y+2+2
y+1
= 2 +
2
y+1 ，
故2x + y = 4 +
4
y+1 + (y + 1) - 1 ≥3 + 2
4
y+1
⋅(y+1) = 7，当且仅当
4
y+1 = y + 1 ，即y = 1，
x = 3 时等号成立．
方法二：因为xy + x - 2y = 4，则x-2
y+1
= 2，且y + 1 > 0，故x - 2 > 0，
故2x + y = 2(x - 2) + (y + 1) + 3 ≥2 2(x-2)(y+1) + 3 = 7，当且仅当2 x-2
= y + 1 ，
即y = 1，x = 3 时等号成立．故选：C．
2
(24 - 25 高一下·浙江湖州·月考) 已知正实数x，y 满足1
x - 1
y = 1，则
x
x-1 +
4y
y+1 的最大值为
．
答案1
９７
98
解【分析】根据条件变形，待求式转化为一元变量后，利用基本不等式求解．
【详解】因为1
x - 1
y = 1，
所以1
y = 1
x - 1 = 1-x
x
⇒y =
x
1-x ，则0 < x < 1，
所以
x
x-1 +
4y
y+1 =-y + 4y+4-4
y+1
= 5 - y+1+
4
y+1
≤5 - 2
y+1
⋅
4
y+1 = 1，
当且仅当y + 1 =
4
y+1 ，即y = 1，x = 1
2 时等号成立，
3
已知a，b 为正实数，且a + b + ab = 3，则2a + b 的最小值为
(
)
A. 4 2 - 3
B. 3
C. 2 2
D. 4
答案A
解【分析】将等式a + b + ab = 3 变形得(a + 1) (b + 1) = 4，所求式子2a + b 变形为2(a + 1) + b + 1 -
3，再由基本不等式求解最值即可．
【详解】由已知a，b 为正实数，且a + b + ab = 3，
得(a + 1) (b + 1) = 4，且a + 1 > 0，b + 1 > 0，
则2a + b = 2(a + 1) + b + 1 - 3 ≥2 2(a+1)(b+1) - 3
= 2 2×4 - 3 = 4 2 - 3，
当且仅当2(a + 1) = b + 1 = 2 2，即a=
2-1
b=2 2-1
时，等号成立，
故2a + b 的最小值为4 2 - 3．
4
(高一上·福建莆田·期中) 已知x > 2，y > 1，xy = x + 2y + 2，则x + y 的最小值是
(
)
A. 1
B. 4
C. 7
D. 3 +
17
答案C
解【分析】利用基本不等式求和的最小值．
【详解】由xy = x + 2y + 2，
得x-2
y-1
= 4，
又x > 2，y > 1，即x - 2 > 0，y - 1 > 0，
则x-2
y-1
≤
x-2+y-1
2
2
，
即
x+y-3
2
2
≥4，解得x + y ≥7，
当且仅当x - 2 = y - 1 = 2，即x = 4，y = 3 时，等号成立，
所以x + y ≥7
5
(高一上·辽宁·期中) 若x > 0，y > 0 且满足x + y = xy，则
2x
x-1 +
4y
y-1 的最小值为
(
)
A. 6 + 2 6
B. 4 + 6 2
C. 2 + 4 6
D. 6 + 4 2
答案D
解【分析】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值．
【详解】若x > 0，y > 0 且满足x + y = xy，则有1
x + 1
y = 1，所以x > 1，y > 1，
2x
x-1 +
4y
y-1 = 2 x-1
+2
x-1
+ 4 y-1
+4
y-1
= 6 +
2
x-1 +
4
y-1
９８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
99
≥6 + 2
2
x-1 ⋅
4
y-1 = 6 + 2
8
xy- x+y
+1 = 6 + 4 2，
当且仅当
2
x-1 =
4
y-1 ，即x = 1 +
2
2 ，y = 1 +
2 时等号成立．
所以
2x
x-1 +
4y
y-1 的最小值为6 + 4 2．
【题型
【题型8】含有根式的配凑
】含有根式的配凑(根式平方和为定值型
根式平方和为定值型)
对于ax2+ by2= n，求kx 1+y2 最大值
可以设c =
1+y2，配好系数后的c2与x2可以凑出定值
1
已知a，b 是正实数，且2a2+ 3b2= 10，求a 2+b2 的最大值．
解析
【简析】记c =
2+b2，则2a2+ 3b2= 10 ⇒2a2+ 3c2= 16，求a 2+b2 = ac 最大值
2a ⋅
3c ≤2a2+3c2
2
= 8 ⇒ac ≤8
6 = 4 6
3
1
已知x，y 为正实数，且x2+ y2
2 = 1，求x 1+y2 的最大值
解
注意构造平方项的比值⇒x 1+y2 =
2⋅x2⋅1+y2
2
≤
2
2
x2+ 1+y2
2
= 3
4
2
若x > 0，y > 0，且2x2+ y2
3 = 8，则x 6+2y2 的最大值为
．
解
(x 6+2y2)2= x2(6 + 2y2) = 3·2x2 1+ y2
3
≤3·
2x2+1+ y2
3
2
2
= 3 ×
9
2
2
．
当且仅当2x2= 1 + y2
3 ，即x = 3
2 ，y =
42
2
时，等号成立．故x 6+2y2 的最大值为9
2
3．
【题型
【题型9】同除型
】同除型(构造齐次式
构造齐次式)
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行
求解．
1
设正实数x、y、z 满足4x2- 3xy + y2- z = 0，则xy
z 的最大值为
(
)
A. 0
B. 2
C. 1
D. 3
答案C
解析
因为正实数x、y、z 满足4x2- 3xy + y2- z = 0，则z = 4x2- 3xy + y2，
则xy
z =
xy
4x2-3xy+y2 =
1
4x
y + y
x -3
≤
1
2
4x
y ⋅y
x -3
= 1，当且仅当y = 2x > 0 时取等号．
故xy
z 的最大值为1．故选：C．
1
已知正实数x，y 满足5x2+ 4xy - y2= 1，12x2+ 8xy - y2的最小值为
．
答案7
3
解
12x2+8xy-y2
5x2+4xy-y2 = 12+8t-t2
5+4t-t2 = t2-8t-12
t2-4t-5 = 1 -
4t+7
t2-4t-5 ，t= y
x ,t>0
９９
100
令4t + 7 = k，(k > 7) ⇒t = k-7
4
，则原式等价于1 -
k
k-7
4
2-4 k-7
4
-5
= 1 -
16
k+ 81
k -30
≥7
3
【题型
【题型10
10】运用基本不等式证明不等式
】运用基本不等式证明不等式
三元基本不等式：a+b+c
3
≥3 abc(a，b，c 均为正实数)，当且仅当a = b = c 时等号成立．
柯西不等式：若a，b，c，d ∈R，则(a2 + b2) (c2 + d2) ≥(ac + bd)2(当且仅当a
c = b
d ，即ad = bc 时取
等号)
1
已知a > 0，b > 0，a + b = 1，求证：
(1) 1
a + 1
b ≥4；
(2) 1+ 1
a
1+ 2
b
≥8 + 4 3．
答案(1) 证明见解析；(2) 证明见解析
解析
(1) ∵a > 0，b > 0，a + b = 1，
∴1
a + 1
b =
1
a + 1
b
a+b
= 2 + b
a + a
b ≥2 + 2
b
a ⋅a
b = 4，
当且仅当b
a = a
b ，即a = b = 1
2 时等号成立．
(2) ∵a > 0，b > 0，a + b = 1，
∴1+ 1
a
1+ 2
b
= 1 + 2
b + 1
a + 2
ab = 1 + 2
b + 1
a + 2(a+b)
ab
= 1 +
3
a + 4
b
(a + b) = 1 + 3 + 4 + 3b
a + 4a
b = 8 + 3b
a + 4a
b ≥8 + 2
3b
a ⋅4a
b
= 8 + 4 3
= 1 + 3 + 4 + 3b
a + 4a
b = 8 + 3b
a + 4a
b ≥8 + 2
3b
a ⋅4a
b
= 8 + 4 3．
当且仅当3b
a = 4a
b 时，即a = 2 3 - 3，b = 4 - 2 3 时等号成立．
2
(24 - 25 高一上·四川德阳·月考) 已知a > 0，b > 0，c > 0，且a + b + c = 1，证明：
(1) a2
c + b2
a + c2
b ≥1；
(2) (1 + a) (1 + b) (1 + c) ≥8(1 - a) (1 - b) (1 - c)．
答案(1) 证明见解析
(2) 证明见解析
解析
【分析】(1) 利用基本不等式可证不等式成立；
(2) 利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立．
【详解】(1) 因为a2
c + c + b2
a + a + c2
b + b ≥2 a2 + 2 b2 +
c2 = 2 a+b+c
，
当且仅当a = b = c 时等号成立，
故a2
c + b2
a + c2
b ≥a + b + c = 1，当且仅当a = b = c = 1
3 时等号成立，
故a2
c + b2
a + c2
b ≥1 成立．
(2) (1 + a) (1 + b) (1 + c) = 2a+b+c
2b+a+c
2c+a+b
，
由基本不等式有2a + b + c = a + c + a + b ≥2
a+c
a+b
，
2b + a + c = b + c + b + a ≥2
b+c
a+b
，
2c + a + b = c + a + c + b ≥2
a+c
c+b
，
故(1 + a) (1 + b) (1 + c) ≥8 a+b
b+c
c+a
= 8 1-a
1-b
1-c
，
１００
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
101
当且仅当a = b = c = 1
3 时等号成立．
1
设a，b，c 均为正数，求证：a+b+c
1
a+b +
1
b+c +
1
a+c
≥9
2 ．
答案证明见解析
解
∵a，b，c 均为正数，
∴a+b
+ b+c
+ c+a
≥3
3 a+b
b+c
c+a
> 0，
当且仅当a + b = b + c = a + c，即a = b = c 时，等号成立．
1
a+b +
1
b+c +
1
a+c ≥3
3
1
a+b ⋅
1
b+c ⋅
1
a+c > 0，
当且仅当
1
a+b =
1
b+c =
1
a+c ，即a = b = c 时，等号成立．
∴2 a+b+c
1
a+b +
1
b+c +
1
a+c
≥3
3 a+b
b+c
c+a
⋅3
3
1
a+b ⋅
1
b+c ⋅
1
a+c = 9，
故a+b+c
1
a+b +
1
b+c +
1
a+c
≥9
2 ，
当且仅当a = b = c 时，等号成立．
2
(高一上·安徽淮南·期中) 已知a，b，c 是正实数．
(1) 证明：a + b + c ≥
ab +
bc +
ac；
(2) 若a + b + c = 2，证明：1
a + 1
b + 1
c ≥9
2 ．
(3) 已知a，b 是正数，且a + b = 1，求证：(ax + by) (bx + ay) ≥xy．
答案(1) 证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析．
解
(1) 由2a + 2b + 2c = (a + b) + (b + c) + (a + c) ≥2 ab + 2 bc + 2 ac，
当且仅当a = b = c 时等号成立，即a + b + c ≥
ab +
bc +
ac，得证．
(2) 由1
a + 1
b + 1
c = 1
2 ⋅
a+b+c
a
+ a+b+c
b
+ a+b+c
c
= 1
2 ⋅3+ b
a + c
a + a
b + c
b + a
c + b
c
≥1
2
3+2
b
a ⋅a
b +2
c
a ⋅a
c +2
c
b ⋅b
c
= 1
2 ⋅(3 + 2 + 2 + 2) = 9
2 ，
当且仅当a = b = c = 2
3 时等号成立，则1
a + 1
b + 1
c ≥9
2 ，得证．
(3) 由(ax + by) (bx + ay) = ab(x2+ y2) + xy(a2+ b2) ≥ab(2xy) + xy(a2+ b2) = xy(a + b)2= xy，
当且仅当x = y 时等号成立，不等式得证．
模块二
技巧进阶
【题型
【题型11
11】权方和不等式
】权方和不等式
什么是权方和不等式？
对任意的a，b，x，y ∈R+，恒有am+1
xm
+ bm+1
ym
≥
a+b
m+1
x+y
m ，当且仅当a
x = b
y 取等号
1
(24 - 25 高一上·浙江杭州·期末) 若正实数x，y 满足：x + y = 1 则8
x2 + 1
y2 最小值是
．
答案27
解析
【分析】根据三元均值不等式求最值．
【详解】法一：由权方和不等式可得8
x2 + 1
y2 ≥
2+1
3
x+y
2 = 27
１０１
102
法二：因为
3
1
a + 1
b + 1
c
≤3 abc ≤a+b+c
3
≤
a2+b2+c2
3
，(a > 0 , b > 0 , c > 0)
所以
4
x2 + 4
x2 + 1
y2
3
≥
3
x
2 + x
2 +y
=
3
x+y = 3，(当且仅当
2
x = 1
y
x+y=1
，即x = 2
3 ，y = 1
3 时取等号)
因此4
x2 + 4
x2 + 1
y2 ≥27，即8
x2 + 1
y2 ≥27
即当x = 2
3 ，y = 1
3 时，8
x2 + 1
y2 取最小值，为27
2
已知a，b，c 为正实数，且满足a + 4b + 9c = 4，则
1
a+1 +
1
b+1 +
1
c+1 的最小值为
．
答案2
解析
由权方和不等式，可知
1
a+1 +
1
b+1 +
1
c+1 =
1
a+1 +
4
4b+4 +
9
9c+9 ≥
1+2+3
2
a+1
+ 4+4b
+ 9c+9
= 36
18 = 2，
当且仅当a = 2，b = 1
2 ，c = 0 时等号成立，所以
1
a+1 +
1
b+1 +
1
c+1 的最小值为2．
1
已知正数x，y 满足x + y = 6，若不等式a ≤
x2
x+1 +
y2
y+2 恒成立，则实数a 的取值范围是
．
答案
-∞,4
．
解【分析】利用权方和不等式求解即可
x2
x+1 +
y2
y+2 ≥
x+y
2
x+1+y+2
1 = 36
9 = 4，所以实数a 的取值范围是-∞,4
．
2
已知a，b，c 为正实数，且满足a + 4b + 9c = 4，则
1
a+1 +
1
b+1 +
1
c+1 的最小值为
．
答案2
解
由权方和不等式，可知
1
a+1 +
1
b+1 +
1
c+1 =
1
a+1 +
4
4b+4 +
9
9c+9 ≥
1+2+3
2
a+1
+ 4+4b
+ 9c+9
= 36
18 = 2，
当且仅当a = 2，b = 1
2 ，c = 0 时等号成立，所以
1
a+1 +
1
b+1 +
1
c+1 的最小值为2．
3
已知a > b > 0，且满足EF =
3，AF ⊥BF，则a + b 的最小值为
．
答案1
2 +
2
解【分析】由权方不等式，结合已知等式进行求解即可．
由权方和不等式，可知
2
a+2 +
1
a+2b ≥
( 2+
1)2
(a+2)+(a+2b) ，
⇒1 ≥
( 2+
1)2
(a+2)+(a+2b) ⇒a + b ≥1
2 +
2，当且仅当
2
a+2 =
1
a+2b 时取等号，
即当a =
2，b = 1
2 时取等号，
所以a + b 的最小值为1
2 +
2．
4
y =
x2-3x+2 +
2+3x-x2 的最大值为
答案2 2
１０２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
103
解
y =
x2-3x+2 +
2+3x-x2 =
x2-3x+2
1
2
1
- 1
2
+
2+3x-x2
1
2
1
- 1
2
≤
x2-3x+2+2+3x-x2
1
2
1+1
- 1
2
= 2 2
当且仅当x2- 3x + 2 = 2 + 3x - x2，即x = 0 或x = 3 时取等号，故答案为：．
【题型
【题型12
12】二维柯西不等式
】二维柯西不等式
高中阶段主要应用二元柯西不等式解决相应的问题，
二元柯西不等式如下：对于任意的a，b，c，d ∈R，都有(ac + bd)2≤(a2+ b2) (c2+ d2)，
对于上述形式左边或右边的代数式为定值时，往往能利用基本不等式求得另一边代数式的最值，但利用
柯西不等式求解，可以直接一步到位，快速求得最值．
而不少于三元的柯西不等式的应用往往以新定义题的形式出现．
1
已知正实数a，b 满足：2a + b = 1，求a2+ 2b2+ 8
a + 1
4b 的最小值．
解析
【分析】利用柯西不等式求得a2 + 2b2 的最小值，再利用常值代换法求得8
a + 1
4b 的最小值，且
两式都在a = 4b 时取等，故得所求式的最小值．
由柯西不等式(下面提供证明) 可知：4+ 1
2
a2+2b2
≥2a+b
2= 1，
即a2+ 2b2≥2
9 ，当且仅当2 2b =
2
2 a 时，即a = 4b 时，等号成立．
又8
a + 1
4b =
8
a + 1
4b
(2a + b) = 16 + 1
4 + 8b
a + a
2b ≥65
4 + 2
8b
a ⋅a
2b = 81
4 ，
当且仅当8b
a = a
2b 时，即a = 4b 时，等号成立．
故a2+ 2b2+ 8
a + 1
4b ≥2
9 + 81
4 = 737
36 ，
即a = 4
9 ，b = 1
9 时，a2+ 2b2+ 8
a + 1
4b 的最小值是737
36 ．
2
柯西不等式的三元形式如下：对实数a1，a2，a3 和b1，b2，b3，有a2
1+a2
2+a2
3
b2
1+b2
2+b2
3
≥
a1b1+a2b2+a3b3
2，当且仅当a1
b1
= a2
b2
= a3
b3
等号成立，已知x2 + y2 + z2 = 14，请你用柯西不等
式，求出x + 2y + 3z 的最大值是
(
)
A. 14
B. 12
C. 10
D. 8
答案A
解析
因为x2+ y2+ z2= 14，
根据题目中柯西不等式的三元形式可知x2+y2+z2
12+22+32
≥x+2y+3z
2，
所以x+2y+3z
2≤14 × 14，x + 2y + 3z ≤14
当且仅当x
1 = y
2 = z
3 ，即
x=1
y=2
z=3
时等号成立，所以x + 2y + 3z 的最大值是14
1
(2025 江苏南通高一上联考) 已知正实数x、y、z 的和为1，则
x2
x+y +
y2
y+z +
z2
z+x 的最小值为
．
答案1
2
１０３
104
解【分析】利用不等式构造定值求解即可．
解法一：(柯西不等式) ∵x，y，z > 0，x + y + z = 1，
∴8
x2
x+y +
y2
y+z +
z2
z+x
=
4x2
x+y + 4y2
y+z + 4z2
z+x
x+y
+ y+z
+ z+x
≥
2x
x+y ×
x+y+
2y
y+z ×
y+z+
2z
z+x ×
z+x
2
= 4，
则
x2
x+y +
y2
y+z +
z2
z+x ≥1
2 ．当且仅当x = y = z = 1
3 时取等号．
：(均值不等式) 4x2
x+y + x + y ≥4x，4y2
y+z + y + z ≥4y，4z2
z+x + z + x ≥4z，
所以4x2
x+y + 4y2
y+z + 4z2
z+x ≥2x + 2y + 2z = 2 ⇒
x2
x+y +
y2
y+z +
z2
z+x ≥1
2 ．
当且仅当x = y = z = 1
3 时取等号．
：(权方和不等式) x2
x+y +
y2
y+z +
z2
z+x ≥
x+y+z
2
x+y+y+z+z+x = 1
2 ．
当且仅当x = y = z = 1
3 时取等号．
2
(2022·全国甲卷·高考真题) 已知a，b，c 均为正数，且a2+ b2+ 4c2= 3，证明：
(1)a + b + 2c ≤3；
(2) 若b = 2c，则1
a + 1
c ≥3．
答案(1) 见解析
(2) 见解析
解【分析】(1) 方法一：根据a2+ b2+ 4c2= a2+ b2+ 2c
2，利用柯西不等式即可得证；
(2) 由(1) 结合已知可得0 < a + 4c ≤3，即可得到
1
a+4c ≥1
3 ，再根据权方和不等式即可得证．
【详解】(1) [方法一]：【最优解】柯西不等式
由柯西不等式有a2+b2+ 2c
2
12+12+12
≥a+b+2c
2，
所以a + b + 2c ≤3，当且仅当a = b = 2c = 1 时，取等号，所以a + b + 2c ≤3．
[方法二]：基本不等式
由a2 + b2 ≥2ab，b2 + 4c2 ≥4bc，a2 + 4c2 ≥4ac，
a+b+2c
2 = a2 + b2 + 4c2 + 2ab + 4bc + 4ac ≤
3 a2+b2+4c2
= 9，
当且仅当a = b = 2c = 1 时，取等号，所以a + b + 2c ≤3．
(2) 证明：因为b = 2c，a > 0，b > 0，c > 0，由(1) 得a + b + 2c = a + 4c ≤3，
即0 < a + 4c ≤3，所以
1
a+4c ≥1
3 ，
由权方和不等式知1
a + 1
c = 12
a + 22
4c ≥
1+2
2
a+4c =
9
a+4c ≥3，
当且仅当1
a = 2
4c ，即a = 1，c = 1
2 时取等号，
所以1
a + 1
c ≥3．
3
(24 - 25 高一上·陕西西安·月考) 存在正数x，y，z，使得不等式
x +
3y +
5z ≥m x+y+z
成立，则m 的最大值是
．
答案3
解【分析】运用柯西不等式计算即可．
１０４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
105
解：由柯西不等式可知(1 + 3 + 5) (x + y + z) ≥( x +
3y +
5z)2⇒
x+
3y+
5z
x+y+z
≤3
由m ≤
x+
3y+
5z
x+y+z
能成立⇒m ≤3 ⇒mmax = 3．
4
(多选) (24 - 25 高一上·新疆·期中) 已知x > 0，y > 0，且不等式x x+1
2 + y y+1
2 -
m2-2m
xy ≥0 恒成立，则m 的取值可能是
(
)
A. - 4
B. - 2
C. 2
D. 4
答案BCD
解【分析】将不等式变为m2 - 2m ≤
x+1
2
y
+
y+1
2
x
，利用柯西不等式和基本不等式可求得
x+1
2
y
+
y+1
2
x
的最小值，进而构造不等式求得m 的取值范围，从而得到结果．
由x x+1
2 + y y+1
2 - m2-2m
xy ≥0 得：m 2 - 2 m ≤x x+1
2
xy
+ y y+1
2
xy
=
x+1
2
y
+
y+1
2
x
，
∵
x+1
y
2
+ y+1
x
2
y
2+
x
2
≥
x+1
+ y+1
2(当且仅当x+1
y
= y+1
x
，即x = y 时取
等号)，
∴
x+1
2
y
+
y+1
2
x
≥
x+y+2
2
x+y
=
x+y
2+4 x+y
+4
x+y
=
x+y
+
4
x+y
+ 4 ≥
2
x+y
⋅
4
x+y + 4 = 8(当且仅当x = y = 1 时取等号)，
即当x = y = 1 时，
x x+1
2
xy
+ y y+1
2
xy
min
= 8，
∴m2- 2m ≤8，解得：-2 ≤m ≤4，∴m 可能的取值为-2，2，4．
5
我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：∀a，b ∈R，a2 + b2 ≥2ab，当且仅当a = b 时，
等号成立．我们从不等式a2 + b2 ≥2ab 出发，可以得到一个非常优美的不等式- - 柯西不等式，
柯西不等式的一般形式为：∀a1，a2，⋯，an，b1，b2，⋯，bn ∈R，且b1b2 ⋯bn ≠0，(a2
1 + a2
2
+⋯+a2
n) (b2
1 + b2
2+⋯+b2
n) ≥(a1b1+ a2b2+⋯+anbn)2，当且仅当a1
b1
= a2
b2
=⋯= an
bn
时，等号成立．
(1) 若x + 2y + 2z = 3 3，求x2+ y2+ z2的最小值；
(2) 求
x +
3x-32 +
17-x 的最大值；
(3) 若a > 3，b > 3，不等式a3+ b3- 3a2- 3b2≥m(a - 3) (b - 3) 恒成立，求m 的取值范围．
解【分析】(1) 构造应用柯西不等式计算即可；
(2) 构造应用柯西不等式计算即可；
(3) 先化简得出
a2
b-3 +
b2
a-3 ≥m，再构造应用柯西不等式结合基本不等式计算
a2
b-3 +
b2
a-3
min =
24 即可求解；
(1) 因为柯西不等式可得x2+y2+z2
12+22+22
≥x+2y+2z
2，
又因为x + 2y + 2z = 3 3，
所以x2+y2+z2
12+22+22
≥3 3
2，即得x2+ y2+ z2≥3．
１０５
106
当且仅当x =
3
3 ，y = z = 2 3
3
取最小值3；
(2) 因为柯西不等式可得x+3x-32+4 17-x
12+12+
1
2
2
≥
x+
3x-32+
17-x
2，
又因为x + 3x - 32 + 4 17-x
= 36，
所以36 12+12+
1
2
2
≥
x+
3x-32+
17-x
2，
即得
x+
3x-32+
17-x
2≤81，化简得
x +
3x-32 +
17-x ≤9，
当且仅当x = 16 取最大值9；
(3) 因为a3+ b3- 3a2- 3b2≥m(a - 3) (b - 3)，
所以a2(a - 3) + b2(b - 3) ≥m(a - 3) (b - 3)，所以
a2
b-3 +
b2
a-3 ≥m，
所以m ≤
a2
b-3 +
b2
a-3
min，
因为柯西不等式可得
a2
b-3 +
b2
a-3
b-3+a-3
≥a+b
2，
又因为a > 3，b > 3，所以a + b > 6，令t = a + b - 6，
所以
a2
b-3 +
b2
a-3
≥
a+b
2
a+b-6 =
t+6
2
t
= t + 36
t + 12 ≥2
t× 36
t
+ 12 = 24，
即得
a2
b-3 +
b2
a-3
min = 24，当且仅当a = b = 6 取最小值24；
所以m 的取值范围是m ≤24．
【题型
【题型13
13】万能
】万能“k”法
设k 法的三个步骤：
⑴问谁设谁：求谁，谁就是k；
⑵代入整理：整理成某个变量的一元二次方程(或不等式)；
⑶确认最值：方程有解(或不等式用均值放缩)，≥0 确定最值
1
已知实数x，y，满足x2+ xy + 3y2= 3，则x + y 的最大值为
(
)
A. 3 11
11
B. 6 11
11
C.
3+1
3
D.
3+3
3
答案B
解析
令t = x + y，则x = t - y，
方程x2+ xy + 3y2= 3 可化为(t - y)2+ t-y
y + 3y2- 3 = 0，
整理得3y2- ty + t2- 3 = 0，则满足Δ = (-t)2- 12 t2-3
≥0，
得t2≤36
11 ，所以- 6 11
11
≤t ≤6 11
11
，即x + y ≤6 11
11
，
所以x + y 的最大值为6 11
11
．
1
(重庆巴蜀中学校考) 已知实数a，b 满足a2+ 4b2- ab = 1，则a + b 的最小值为
答案- 2 10
5
解【详解】令t = a + b，代入a2+ 4b2- ab = 1，得6a2- 9ta + 4t2- 1 = 0，
Δ = (-9t)2- 4 × 6 × (4t2- 1) = 24 - 15t2≥0 ⇒- 2 10
5
≤t ≤2 10
5
，
１０６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
107
当且仅当a =- 3 10
10
，b =-
10
10
时，t =- 2 10
5
成立，即a + b 的最小值为- 2 10
5
2
已知正实数x、y 满足x + 2
x + 3y + 4
y = 10 则xy 的取值范围是
答案1 ≤xy ≤8
3 ．
解
设xy = m，x = m
y
∵x + 2
x + 3y + 4
y = 10
∴m
y + 2y
m + 3y + 4
y = 10，
整理得(2 + 3m)y2- 10my + m2+ 4m = 0，
∵x，y 是正实数，∴△≥0，
即100m2- 4(2 + 3m) (m2+ 4m) ≥0，
整理得m(3m - 8) (m - 1) ≤0，
得1 ≤m ≤8
3 ，或m ≤0(舍去)
模块三
【课后作业】
1
(24 - 25 高一上·安徽池州·期中) 已知x > 0，y > 0，且x + y = 5，若
4
x+1 +
1
y+2 ≥2m
+ 1 恒成立，则实数m 的取值范围是
(
)
A.
-∞, 1
16
B.
-∞, 2
5
C.
-∞, 1
2
D.
-∞,4
答案A
【分析】由已知条件得出x+1
+ y+2
= 8，将代数式
4
x+1 +
1
y+2 与1
8
x+1
+ y+2
相乘，
展开后利用基本不等式求出
4
x+1 +
1
y+2 的最小值，根据题意可得出关于m 的不等式，解之即可．
【详解】因为x > 0，y > 0，且x + y = 5，则x + 1 + y + 2 = 8，
则
y+2
x+1
> 0，x+1
y+2 > 0，
所以
4
x+1 +
1
y+2 = 1
8
4
x+1 +
1
y+2
x+1
+ y+2
= 1
8
5+ 4 y+2
x+1
+ x+1
y+2
≥1
8
5+2
4 y+2
x+1
⋅x+1
y+2
= 9
8 ，
当且仅当
4 y+2
x+1
= x+1
y+2
x+1
+ y+2
=8
x>0,y>0
时，
即当x = 13
3 ，y = 2
3 时，所以
4
x+1 +
1
y+2 的最小值为9
8 ，
因为
4
x+1 +
1
y+2 ≥2m + 1 恒成立，所以2m + 1 ≤9
8 ，解得m ≤1
16 ，
所以实数m 的取值范围是-∞, 1
16
．
2 (24 - 25 高一下·湖北恩施·期末) 记一个长方形的长为a，宽为b，a > b 且a，b ∈N ∗．若a
+ b = ab
4 - 1，则该长方形周长的最小值为
．
答案34
【分析】方法1：根据等式可用含b 的式子将a 表示出来，然后根据a，b 的范围确定a，b 的可能取
１０７
108
值，从而确定长方形周长的最小值；方法2：将等式变换成因式分解的形式，然后根据a，b 的范围
确定a，b 的可能取值，从而确定长方形周长的最小值；方法3：将等式变换成基本不等式的形式，
然后利用基本不等式的性质求出长方形周长的最小值．
【详解】法1：由a + b = ab
4 - 1 得，a = 4(b+1)
b-4
，所以b > 4．
又因为a > b，即4(b+1)
b-4
> b，b2- 8b < 4，(b - 4)2< 20，从而4 < b ≤8，a，b ∈N *，
所以a = 24，b = 5；a = 14，b = 6；a = 9，b = 8，从而该长方形的周长最小值为2a + 2b = 34．
法2：a + b = ab
4 - 1 得，ab - 4a - 4b - 4 = 0，(a - 4) (b - 4) = 20，因为a，b ∈N *，a > b，所以
a - 4 = 5，b - 4 = 4；a - 4 = 10，b - 4 = 2；a - 4 = 20，b - 4 = 1，后面方法同上．
法3：a + b = ab
4 - 1，a + b = 4(b-4)+20
b-4
+ b(b > 4)，a + b = 8 +
20
b-4 + b - 4 ≥8 + 4 5，
当且仅当b - 4 = 4 取得“=”号，此时b = 8，a = 9，故该长方形周长2a + 2b 的最小值为34．
3 (24 - 25 高一上·广东深圳·期末) 已知a > 0，b > 0，且2a + b = 2，若t2 - 3t ≤a
b + 2
a 恒
成立，则实数t 的取值范围是
．
答案
-1,4
【分析】由题意得到t2- 3t ≤
a
b + 2
a
min，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解；
【详解】t2- 3t ≤a
b + 2
a 恒成立，即t2- 3t ≤
a
b + 2
a
min，
a
b + 2
a = a
b + 2a+b
a
= a
b + b
a + 2 ≥2
a
b × b
a + 2 = 4，当且仅当a = b = 2
3 时取等号，
所以t2- 3t ≤4，
即t-4
t+1
≤0，
得：-1 ≤t ≤4，所以实数t 的取值范围是-1,4
4 (24 - 25 高一上·山东聊城·期末) 已知0 < a < 1，若b
a +
b
1-a ≥1 恒成立，则实数b 的取
值范围为
(
)
A.
1
4 ,+∞
B.
1
2 ,+∞
C.
0, 1
2
D.
0,4
答案A
【分析】利用恒成立等价条件转化，再利用不等式即可求得结果
【详解】因为0 < a < 1，所以b
a +
b
1-a ≥1 恒成立等价于b ≥a 1-a
恒成立，
又a 1-a
≤
a+1-a
2
2
= 1
4 ，当且仅当a = 1
2 时取等号，故b ≥1
4 ．
5 (高一上·四川广安·期中) (多选) 在下列函数中，最小值是2 的是()．
A. y = x + 1
x
B. y =
x2+1 +
1
x2+1
C. y = x2+2
x2+1
D. y = x2- 2x + 3
答案BD
【分析】对于AB，均可由基本不等式判断，但注意使用条件、取等条件是否成立；对于C，直接由
复合函数的值域即可判断；对于D，直接由二次函数的性质即可判断．
【详解】对于A 选项，当x > 0 时，y = x + 1
x ≥2
x· 1
x = 2，当且仅当x = 1 时等号成立；
１０８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
109
但当x < 0 时，y = x + 1
x ≤-2
-x
·
1
-x
=-2，当且仅当x =-1 时等号成立；
对于B 选项，y =
x2+1 +
1
x2+1
≥2
x2+1·
1
x2+1
= 2，当且仅当x = 0 时等号成立；
对于C 选项，y = x2+2
x2+1 = 1 +
1
x2+1 ≤2，当且仅当x = 0 时等号成立；
对于D 选项，y = x2- 2x + 3 = (x - 1)2+ 2 ≥2，当且仅当x = 1 时等号成立．
6 (多选) 已知a > 0，b > 0，且a + b = 1，则下列不等式成立的是
(
)
A. ab ≥1
4
B. 4
a + 9
b ≥25
C.
a +
b ≤
2
D. a2< a + 3b
答案BCD
【分析】借助基本不等式可求积的最大值，即可得A；借助基本不等式“1”的妙用可得B；结合A 中
所得可得C；借助作差法，结合所给条件可得D．
【详解】对A：ab ≤
a+b
2
2
= 1
4 ，当且仅当a = b = 1
2 时，等号成立，故A 错误；
对B：4
a + 9
b =
4
a + 9
b
a+b
= 4 + 9 + 4b
a + 9a
b ≥13 + 2
4b
a ⋅9a
b
= 25，
当且仅当4b
a = 9a
b ，即a = 2
5 ，b = 3
5 时，等号成立，故B 正确；
对C：由A 知，ab ≤1
4 ，故
a+
b
2= a + b + 2 ab = 1 + 2 ab ≤1 + 2 × 1
2 = 2，
即
a +
b ≤
2，当且仅当a = b = 1
2 时，等号成立，故C 正确；
对D：由a + b = 1，故b = 1 - a，
则a2- a - 3b = a2- a - 3 1-a
= a2+ 2a - 3 = a+1
2- 4，
由a > 0，b > 0，故0 < a < 1，则a+1
2∈1,4
，
即a2- a - 3b = a+1
2- 4 < 0，故a2< a + 3b，故D 正确．
7 (24 - 25 高一下·湖南·开学考试) 已知a > b > c，n ∈N *，且
1
a-b +
1
b-c ≥
n
a-c 恒成
立，则n 的最大值为
(
)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
答案B
【分析】根据条件，得到n ≤a-c
a-b + a-c
b-c ，又a-c
a-b + a-c
b-c = 2 + b-c
a-b + a-b
b-c ，利用基本不等
式，即可求解．
【详解】因为a > b > c，n ∈N *，则a - c > 0，a - b > 0，b - c > 0，又
1
a-b +
1
b-c ≥
n
a-c 恒成
立，
即n ≤a-c
a-b + a-c
b-c 恒成立，
又a-c
a-b + a-c
b-c = a-b+b-c
a-b
+ a-b+b-c
b-c
= 2 + b-c
a-b + a-b
b-c ≥2 + 2
b-c
a-b × a-b
b-c = 4，
当且仅当b-c
a-b = a-b
b-c ，即2b = a + c 时取等号，所以n ≤4
8 (多选) 已知实数x，y 满足x2+ 4y2- 2xy = 1，则
(
)
A. x + 2y ≤1
B. x + 2y ≥-2
C. x2+ 4y2≤2
D. x2+ 4y2≥1
答案BC
【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据(x - 2y)2 ≥0，结合基本不等式计算即
可判断C；根据(x + 2y)2≥0，基本不等式计算即可判断D．
１０９
110
【详解】A：由x2+ 4y2- 2xy = 1，得x2+ 4y2+ 4xy = 6xy + 1，
即(x + 2y)2= 6xy + 1 ≤3 ⋅
x+2y
2
2
+ 1，得(x + 2y)2≤4，
得-2 ≤x + 2y ≤2，当且仅当x = 2y 时等号成立，故A 错误；
B：由选项A 的分析知-2 ≤x + 2y，故B 正确；
C：由(x - 2y)2≥0，得x2+ 4y2≥4xy，即2xy + 1 ≤x2+4y2
2
+ 1，
所以x2+ 4y2= 2xy + 1 ≤x2+4y2
2
+ 1，
得x2+ 4y2≤2，当且仅当x = 2y 时等号成立，故C 正确；
D：由(x + 2y)2≥0，得x2+ 4y2≥-4xy，即2xy + 1 ≥1 - x2+4y2
2
，
所以x2+ 4y2= 2xy + 1 ≥1 - x2+4y2
2
，得x2+ 4y2≥2
3 ，
当且仅当x = 2y 时等号成立，故D 错误．
9 两个正实数x，y 满足2x + y = 1，若不等式1
x + 2
y ≥a2 - 2a 恒成立，则实数a 的取值范
围是
．
答案
-2,4
【分析】将问题化为
1
x + 2
y
min ≥a2 - 2a，利用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，然后解一元
二次不等式求参数范围．
【详解】由不等式1
x + 2
y ≥a2- 2a 恒成立，只需
1
x + 2
y
min ≥a2- 2a，
又x，y > 0，则1
x + 2
y =
1
x + 2
y
(2x + y) = 4 + y
x + 4x
y ≥4 + 2
y
x ⋅4x
y = 8，
当且仅当x = 1
4 ，y = 1
2 时等号成立，故a2- 2a ≤8 ⇒a2- 2a - 8 = (a + 2) (a - 4) ≤0，
所以-2 ≤a ≤4，故实数a 的取值范围是-2,4
．
10 若两个正实数x，y 满足4x + y = xy，且存在这样的x，y 使不等式x + y
4 < m2 + 3m 有
解，则实数m 的取值范围是
．
答案(-∞,-4) ∪(1 ,+∞)
【分析】根据题意，将4x + y = xy，变形可得1
x + 4
y = 1，利用“1”的代换，应用基本不等式可求
得x + y
4 的最小值为4，根据不等式有解可得m2+ 3m > 4，解得m 的取值范围即可．
【详解】因为两个正实数x，y 满足4x + y = xy，
两边同除以xy 得1
x + 4
y = 1，
故x + y
4 = x+ y
4
1
x + 4
y
= 1 + 1 + y
4x + 4x
y ≥2 + 2
y
4x ⋅4x
y = 4，
当且仅当y
4x = 4x
y ，即x = 2，y = 8 时，等号成立，
则x + y
4 的最小值为4．
若不等式m2+ 3m > x + y
4 有解，则m2+ 3m > 4，
得m <-4 或m > 1，
所以实数m 的取值范围是(-∞,-4) ∪(1 ,+∞)．
１１０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
111
11 设x，y 为正实数，若2x + y + 2xy = 5
4 ，则2x + y 的最小值是
(
)
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
答案D
【分析】由2x + y + 2xy = (2x + 1) (y + 1) - 1，令m = 2x + 1，n = y + 1，即可得到mn = 9
4 ，
则2x + y = m + n - 2，利用基本不等式计算可得．
【详解】解：因为x，y 为正实数，且5
4 = 2x + y + 2xy = (2x + 1) (y + 1) - 1，
令m = 2x + 1，n = y + 1，则mn = 9
4 ，则2x + y = m + n - 2 ≥2 mn - 2 = 1，
当且仅当m = n，即y = 1
2 ，x = 1
4 时取等号．故选：D．
12 (多选) 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处
理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证
明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC = a，BC = b，O 为AB 的中点，以AB 为直径作
半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D，连接OD、AD、BD，过点C 作OD 的垂线，垂足为E．则该
图形可以完成的所有的无字证明为
(
)
A. a+b
2
≥
ab a>0,b>0
B. a2+ b2> 3ab a>0,b>0
C.
ab ≥
2
1
a + 1
b
a>0,b>0
D. a2+b2
2
≥a+b
2
a>0,b>0
答案AC
【分析】先明确a+b
2
、
ab 的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应
的比例式，结合不等关系，即可证明AC 选项；由于a2 + b2 在该图中没有相应的线段与之对应，可判
断BD 选项．
【详解】由题意可知AB = AC + BC = a + b，OA = OB = OD = a+b
2
，
因为∠CBD = 90° -∠CAD = ∠ADC，∠ACD = ∠DCB = 90°，
则Rt△ACD ∽Rt△DCB，所以，CD
BC = AC
CD ，即CD2= AC ⋅BC = ab，
所以CD =
ab；
在Rt△OCD 中，OD > CD，即a+b
2
>
ab a>0,b>0
当OD ⊥AB 时，O、C 点重合，a = b ，此时a+b
2
=
ab a>0,b>0
，
则a+b
2
≥
ab a>0,b>0
，所以A 正确；
对于C 选项，在Rt△OCD 中，CE ⊥OD，则∠DCE = 90° -∠CDE = ∠DOC，
又因为∠DEC = ∠DCO = 90°，所以，Rt△DEC ∽Rt△DCO，
可得CD
DO = DE
CD ，即CD2= DE ⋅OD，所以DE = CD2
OD =
ab
a+b
2
= 2ab
a+b =
2
1
a + 1
b
，
１１１
112
由于CD > DE，所以
ab >
1
1
a + 1
b
，
当a = b 时，CD = DE，此时
ab =
1
1
a + 1
b
，
综上，
ab ≥
2
1
a + 1
b
a>0,b>0
，所以C 正确；
由于a2+ b2在该图中没有相应的线段与之对应，故BD 中的不等式无法通过这种几何方法来证明，
故选：AC．
13 原油作为“工业血液”、“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经
济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案
是每次加油40 升，第二种方案是每次加油200 元，则下列说法正确的是
(
)
A. 第一种方案更划算
B. 第二种方案更划算
C. 两种方案一样
D. 无法确定
答案B
分别求出两种方案的平均油价，结合基本不等式作出比较即可得出结论．
【详解】设小李这两次加油的油价分别为x 元/ 升、y 元/ 升，则：
方案一：两次加油平均价格为40x+40y
80
= x+y
2
≥
xy，
方案二：两次加油平均价格为
400
200
x + 200
y
= 2xy
x+y ≤
xy，
故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算．
14 (24 - 25 高一上·江苏镇江·期末) 如图，互相垂直的两条小路AM，AN 旁有一长方形花坛
ABCD，其中AB = 30m，AD = 20m．现欲经过点C 修一条直路l，l 交小路AM ，AN 分别为点P，
Q．计划准备将长方形花坛ABCD 扩建成一个更大的三角形花坛APQ．要求AP 的长不小于40m 且不大
于90m．记三角形花园APQ 的面积为Sm2
(1) 设DQ = xm，试用x 表示AP，并求x 的取值范围；
(2) 当DQ 的长度是多少时，S 取最小值？最小值是多少？
答案(1)AP = 30 + 600
x ，10 ≤x ≤60
(2)DQ = 20m 时，S 取得最小值1200m2．
【分析】(1) 利用三角形相似表示出AP，再由不等关系即可解得x 的取值范围；
(2) 求得面积S 的表达式，再利用基本不等式可求得当DQ = 20m 时，S 取得最小值1200m2．
【详解】(1) 依题意可得△CDQ ∼△PBC，
所以DQ
DC = BC
BP ，即x
30 = 20
BP ，可得BP = 600
x ；
１１２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
113
因此AP = AB + BP = 30 + 600
x ，
又要求AP 的长不小于40m 且不大于90m，即40 ≤30 + 600
x
≤90，
得10 ≤x ≤60，
即AP = 30 + 600
x ，10 ≤x ≤60；
(2) 易知AQ = AD + DQ = 20 + x，
所以S = 1
2 AP ⋅AQ = 1
2
30+ 600
x
20+x
= 1
2
600+30x+ 12000
x
+600
由基本不等式可得1
2
600+30x+ 12000
x
+600
≥1
2
1200+2
30x⋅12000
x
= 1
2
1200+2×600
=
1200；
当且仅当30x = 12000
x
时，即x = 20 时，等号成立，
此时S 取得最小值1200；
因此DQ = 20m 时，S 取得最小值，最小值为1200m2．
15 (24 - 25 高一上·江苏苏州·期末) 已知a、b 均为正实数，ab = a + 2b + t t∈R
．
(1) 若t = 0，求a + b 的最小值：(2) 若t = 6，求
1
a-2 +
4
b-1 的最小值．
答案(1)3 + 2 2
(2) 2
【分析】(1) 当t = 0 时，由已知等式变形得出2
a + 1
b = 1，将代数式a + b 与2
a + 1
b 相乘，展开后利
用基本不等式可求得a + b 的最小值；
(2) 当t = 6 时，由已知等式变形得出a-2
b-1
= 8，再利用基本不等式
1
a-2 +
4
b-1 的最小值．
【详解】(1) 当t = 0 时，ab = a + 2b，则2
a + 1
b = 1．
因为a、b 均为正实数，
所以a + b = a+b
2
a + 1
b
= 3 + a
b + 2b
a ≥3 + 2
a
b ⋅2b
a = 3 + 2 2，
当且仅当
a
b = 2b
a
2
a + 1
b =1
a>0,b>0
时，即当a = 2 +
2，b =
2 + 1 时取等号，
所以a + b 的最小值为3 + 2 2．
(2) 当t = 6 时，ab = a + 2b + 6，可得ab - a - 2b + 2 = 8，则a-2
b-1
= 8，
所以b = a+6
a-2 ，因为b > 0，a > 0，所以a > 2，进而得b > 1，
所以
1
a-2 > 0，
4
b-1 > 0．
所以
1
a-2 +
4
b-1 ≥2
1
a-2 ⋅
4
b-1 = 2
4
8 =
2，
当且仅当
1
a-2 =
4
b-1
a-2
b-1
=8
a>2,b>1
时，即当a = 2 +
2，b = 4 2 + 1 时取等号，
所以
1
a-2 +
4
b-1 的最小值为
2．
16 (高一上·江苏盐城·期中) 天气转冷，某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动．根据前
期调研，获得该产品的销售量a 万件与投入的促销费用x 万元x≥0
满足关系式a = 8 -
k
x+1 (k 为常
１１３
114
数)，而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4 万件．已知该产品每一万件需要投入成本18 万元，厂家
将每件产品的销售价格定为34+ 12
a
元，设该产品的利润为y 万元．(注：利润= 销售收入- 投入成
本- 促销费用)
(1) 求出k 的值，并将y 表示为x 的函数；
(2) 促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
答案(1)4；y = 140 -
64
x+1 +x
，x≥0
(2)7 万元，125 万元
【分析】(1) 根据x = 0 时，a = 4，即可求得k 的值；根据利润= 销售收入- 投入成本- 促销费用即
可求得y 表示为x 的函数关系式；
(2) 结合(1) 的结果，化简变形，利用基本不等式，即可求得答案．
【详解】(1) 由题意知x = 0 时，a = 4，故4 = 8 -
k
0+1 ，∴k = 4，
则a = 8 -
4
x+1 ，
故y = a 34+ 12
a
- 18a - x，
即y = 16a + 12 - x = 16 8-
4
x+1
+ 12 - x = 140 -
64
x+1 +x
，x≥0
；
(2)y=140-
64
x+1 +x
=141-
64
x+1 +x+1
≤141-2
64
x+1 ⋅(x+1
= 125，
当且仅当
64
x+1 = x + 1，即x = 7 时等号成立，
故促销费用为7 万元时，该产品的利润最大，此时最大利润为125 万元．
17 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表
述如下：设正数a，b，x，y，满足a2
x + b2
y ≥
a+b
2
x+y
，当且仅当a
x = b
y 时，等号成立．则函数f x
= 3
x +
16
1-3x 0<x< 1
3
的最小值为
(
)
A. 16
B. 25
C. 36
D. 49
答案D
【分析】根据权方和不等式，直接计算即可．
【详解】因为a，b，x，y，则a2
x + b2
y ≥
a+b
2
x+y
，当且仅当a
x = b
y 时等号成立，
又0 < x < 1
3 ，即1 - 3x > 0，于是得f x
= 32
3x +
42
1-3x ≥
3+4
2
3x+ 1-3x
= 49，
当且仅当1
x =
4
1-3x ，即x = 1
7 时取“=”，
所以函数的f x
= 3
x +
16
1-3x 0<x< 1
3
最小值为49．
18 柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy) 在研究数学分析中的“流数”问题时得到
的．而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式
应用到近乎完善的地步．该不等式的三元形式如下：对实数a 1，a 2，a 3 和b 1，b 2，b 3，有
a2
1+a2
2+a2
3
b2
1+b2
2+b2
3
≥a1b1+a2b2+a3b3
2 等号成立当且仅当a1
b1
= a2
b2
= a3
b3
已知x2 + y2 + z2 = 14，请
你用柯西不等式，求出x + 2y + 3z 的最大值是
(
)
A. 14
B. 12
C. 10
D. 8
答案A
１１４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
115
【分析】利用柯西不等式求出即可．
【详解】由题干中柯西不等式可得x+2y+3z
2≤x2+y2+z2
12+22+32
= 14 × 14 = 196，
所以x + 2y + 3z 的最大值为14，当且仅当x = 1，y = 2，z = 3 时取等号．
１１５
116
专题2 - 4 二次函数与一元二次方程，不等式综合
模块一
重点题型梳理
【题型
【题型1】三个
】三个“二次
二次”关系的应用
关系的应用
二次函数y = ax2 + bx + c 的图象、一元二次方程ax2 + bx + c = 0 的根与一元二次不等式ax2 + bx + c > 0
与ax2+ bx + c < 0 的解集的关系，可归纳为：
若a < 0 时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．
通过以上论述，可对“三个二次”的关系有一个较为全面的了解，在解题中，我们要不失时机的渗透
“三个二次”三位一体的思维意识，实现“三个二次”之间的相互转换，能自然规范的运用函数方程思
想、数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想，提高数学解题思维水平。
知识点诠释：
(1) 一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠0) 的两根x1、x2 是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线
y = ax2+ bx + c 与x 轴的交点的横坐标；
(2) 表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项
系数为正的形式，然后讨论解决；
(3) 解集分Δ > 0，Δ = 0，Δ < 0 三种情况，得到一元二次不等式ax2 + bx + c > 0 与ax2 + bx + c < 0 的
解集．
1
(24 - 25 高一上·重庆·期中) 已知函数f x
= ax2 + bx + c，若a > b > c，a + b + c = 0，则f x
的
图象可能是
(
)
A.
B.
C.
D.
解析
【分析】判断出a，c 的符号后可得正确的选项．
因为a > b > c，a + b + c = 0，故a + a + a > a + b + c = 0 即a > 0，
而c + c + c < a + b + c = 0，故c < 0，
BC 中图象开口向下，不符合a > 0，而A 中图象过原点，与c < 0 矛盾
1
(24 - 25 高一上·福建福州·月考) 不等式cx2 + ax + b > 0 的解集为x -1<x< 1
2
，则函数y =
ax2+ bx - c 的图象大致为
(
)
１１６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
117
A.
B.
C.
D.
解【分析】根据不等式的解集得到c < 0，-1，1
2 为cx2 + ax + b = 0 的两个根，由韦达定理得到a =
1
2 c < 0，b =- 1
2 c > 0，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与y 轴交点纵坐标的正负得到答
案．
由题意得c < 0，-1，1
2 为cx2+ ax + b = 0 的两个根，
故-1 + 1
2 =- a
c ，-1 × 1
2 = b
c ，即a = 1
2 c < 0，b =- 1
2 c > 0，
y = ax2+ bx - c 开口向下，对称轴为x =- b
2a > 0，与y 轴交点纵坐标为-c > 0
2
(24 - 25 高一上·河北保定·期末) 关于二次函数y = x2- kx + k - 1(k ≠0)，则下列正确的是(
)
A. 函数图象与x 轴总有两个不同的交点
B. 若函数图象与x 轴正半轴交于不同的两点，则k > 0
C. 不论k 为何值，若将函数图象向左平移1 个单位，则图象经过原点
D. 当x ≥1 时，y 随x 的增大而增大，则k < 2
解【分析】根据二次函数对应二次方程的判别式判断A，由根与系数的关系判断B，由图象的平移判
断C，根据对称轴判断D．
∵Δ = (-k)2 - 4(k - 1) = k2 - 4k + 4 = (k - 2)2 ≥0，∴函数图象与x 轴总有两个不同的交点或相同的
交点，故A 错误；
若函数图象与x 轴正半轴交于不同的两点，则由根与系数的关系知
k>0
k-1>0
Δ>0
，解得k > 1 且k ≠2，
故B 错误；
若将函数图象向左平移1 个单位，可得到y = (x + 1)2 - k(x + 1) + k - 1，令x = 0，则y = 0，即图象
经过原点，故C 错误；
当x ≥1 时，y 随x 的增大而增大，即函数图象的对称轴x = k
2 ≤1，解得k ≤2，故D 错误．
3
(24 - 25 高一上·陕西渭南·月考) 已知m < n，函数y = (x - m) (x - n) + 1 与x 轴的交点横坐标为
a、b，且a < b，则
(
)
A. a < m < n < b
B. m < a < b < n
C. a < b < m < n
D. m < n < a < b
解【分析】先画出函数y = (x - m) (x - n) 的大致图象，再将其图象往上平移1 个单位，并画出其大致
图象，数形结合即可求解．
１１７
118
二次函数y = (x - m) (x - n) 与x 轴的交点横坐标为m 、n ，
将其图象往上平移1 个单位长度可得出二次函数y = (x - m) (x - n) + 1 的图象，
如图所示观察图象，可知：m < a < b < n．
故选：B．
【题型
【题型2】一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式
】一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式
1、一元二次不等式的解与解集
使某一个一元二次不等式成立的x 的值，叫做这个一元二次不等式的解；
一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集；
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形
总结：一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、元二次方程求解，步骤如下：
(1) 化二次项系数为正；
(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则可得到两根x1，x2，那么“y > 0”型的解为x < x1 或
x > x2(俗称“大于取两边”)，“y < 0”型的解为x1< x < x2(俗称“小于取中间”)；
2、解绝对值不等式的常见方法
法一：等式两边同时平方
法二：分类讨论去绝对值
法三：利用绝对值的几何意义
3、简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”
１１８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
119
例：
1
x+2 ≤3
策略一：同乘分母的平方
1
x+2 ≤3 ⇒x + 2 ≤3 x+2
2⇒3x2+ 11x + 10 ≥0 ⇒x ≥- 5
3 或x <-2(也可以提公因式)
策略二：也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：
同乘x + 2：
1
x+2 ≤3 ⇒x+2>0
3(x+2)≥1
或x+2<0
3(x+2)≤1
⇒
x>-2
x≥- 5
3
或
x<-2
x≤- 5
3
⇒x ≥- 5
3 或x <-2
策略三：先将一端变为0，再讨论分子分母是否同号，注意分母不能为0
1
x+2 ≤3x+6
x+2 ⇒0 ≤3x+5
x+2 ⇒3x+5
x+2
≥0 ⇒x ≥- 5
3 或x <-2
1
(24 - 25 高一上·天津南开·开学考试) 求下列不等式的解集．
(1)0 <-2x2- 7x - 3 < 5；
(2) x+1
2x-3 ≤1
答案(1) -3,- 1
2
(2) -∞, 3
2
∪4,+∞
解析
【分析】(1) 将不等式组转化为0<-2x2-7x-3
-2x2-7x-3<5
，再分别解出各个一元二次不等式，即可得
解；
(2) 移项、通分，再将分式不等式等价转化为一元二次不等式(组)，解得即可．
【详解】(1) 因为0 <-2x2- 7x - 3 < 5，即0<-2x2-7x-3
-2x2-7x-3<5
，
不等式0 <-2x2- 7x - 3，即2x+1
x+3
< 0，解得-3 < x <- 1
2 ；
不等式-2x2- 7x - 3 < 5，即2x2+ 7x + 8 > 0，又2x2+ 7x + 8 = 2 x+ 7
4
2
+ 15
8 > 0 恒成立，
所以不等式2x2+ 7x + 8 > 0 的解集为R，
综上，不等式组的解集为-3,- 1
2
．
(2) 由x+1
2x-3 ≤1，即x+1- 2x-3
2x-3
≤0，即x-4
2x-3 ≥0，
等价于
x-4
2x-3
≥0
2x-3≠0
，解得x ≥4 或x < 3
2 ，
所以不等式x+1
2x-3 ≤1 的解集为-∞, 3
2
∪4,+∞
．
2
(24 - 25 高一上·安徽·月考) “1 ≤x ≤5”是“x2- 7x + 10 ≤0”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析
由x2- 7x + 10 ≤0 ⇒x-2
x-5
≤0 ⇒2 ≤x ≤5
若1 ≤x ≤5 成立，则2 ≤x ≤5 不一定成立，即充分性不成立；
若2 ≤x ≤5 成立，则1 ≤x ≤5 一定成立，即必要性成立；
所以“1 ≤x ≤5”是“x2- 7x + 10 ≤0”的必要不充分条件
１１９
120
3
解不等式：(1) 4x-3
> 2x + 1；(2) 4x-3
> 2x+1
；(3) x+2
2x+1 > 1 的解集为
答案(1)x < 1
3 或x > 2；(2)x < 1
3 或x > 2；(3) x - 1
2 <x<1
解析
(1) 方法一：(分类讨论)
①当x ≤3
4 时，原不等式变为：- (4x - 3) > 2x + 1，
得x < 1
3 ，所以x < 1
3 ；
②当x > 3
4 时，原不等式变为：4x - 3 > 2x + 1，
得x > 2，所以x > 2；
综上所述，原不等式的解集为{x|x < 1
3 或x > 2}．
方法二：4x-3
> 2x + 1 ⇔4x - 3 > 2x + 1 或4x - 3 <- (2x + 1)，解得x < 1
3 或x > 2，
所以原不等式的解集为{x|x < 1
3 或x > 2}．
(2) 4x-3
> 2x+1
⇒4x-3
2> 2x+1
2⇒4x-3
2- 2x+1
2> 0
则有4x-3+2x+1
4x-3-2x-1
> 0，即6x-2
2x-4
> 0，解得x < 1
3 或x > 2
(3) 由x+2
2x+1 > 1，可得x+2
2x+1 - 1 > 0，即x-1
2x+1 < 0，
所以(x - 1) (2x + 1) < 0，
得- 1
2 < x < 1，
所以原不等式的解集为{x - 1
2 <x<1
．
故答案为：{x - 1
2 <x<1
．
1
解下列一元二次不等式：
(1)3x2- 7x ≤10；
(2)x2- x + 1
4 < 0．
解
(1) 由3x2- 7x ≤10，得3x2- 7x - 10 ≤0，
即3x-10
x+1
≤0，所以-1 ≤x ≤10
3 ，
所以不等式得解集为x -1≤x≤10
3
；
(2) 由x2- x + 1
4 < 0，得x- 1
2
2
< 0，无解，
所以不等式的解集为∅．
2
不等式x+3
2-x ≥0 的解集为
．
答案{x| -3 ≤x < 2}
解
∵x+3
2-x ≥0，即x+3
x-2 ≤0，则(x + 3) (x - 2) ≤0 且x - 2 ≠0．解得-3 ≤x < 2，
∴不等式的解集为{x| -3 ≤x < 2}．
故答案为：{x| -3 ≤x < 2}．
3
(24 - 25 高一上·上海·随堂练习) 不等式
1
|1-2x| ≥3 的解集为
．
答案
1
3 , 1
2
∪
1
2 , 2
3
１２０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
121
解【分析】将
1
|1-2x| ≥3，转化为不等式组
1-2x
≤1
3 ,
1-2x≠0,
求解即可．
【详解】因为
1
|1-2x| ≥3，所以
1-2x
≤1
3 ,
1-2x≠0,
所以
- 1
3 ≤2x-1≤1
3 ,
x≠1
2 .
即
1
3 ≤x≤2
3 ,
x≠1
2 ,
所以不等式的解集为
1
3 , 1
2
∪
1
2 , 2
3
．
4
(24 - 25 高一上·天津·月考) 设x ∈R，则“ x-3
x+1 < 0”是“|x - 1| < 1”的
(
)
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案B
解【分析】化简不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得．
【详解】不等式x-3
x+1 < 0 ⇔-1 < x < 3，不等式|x - 1| < 1 ⇔-1 < x - 1 < 1 ⇔0 < x < 2，
而集合{x|0 < x < 2} 是集合{x| -1 < x < 3} 的真子集，
所以“ x-3
x+1 < 0”是“|x - 1| < 1”的必要而不充分条件．
【题型
【题型3】由一元二次不等式的解集求参数
】由一元二次不等式的解集求参数
先判断开口方向，再结合图像，通过韦达定理列出参数相关的方程组
1
(高一上·江苏盐城·期中) 已知不等式ax2 - 3x + 2 > 0 的解集为(-∞, 1) ∪(b ,+∞)，则a，b 的取值
分别为
(
)
A. 3，-1
B. 2，1
C. - 1，3
D. 1，2
答案D
解析
【分析】根据一元二次不等式的解集，结合一元二次方程根与系数的关系即可解题．
【详解】由不等式ax2- 3x + 2 > 0 的解集为(-∞, 1) ∪(b ,+∞)，
则1 和b 为方程ax2- 3x + 2 = 0 的两根，且a > 0，
所以
1+b= 3
a
1×b= 2
a
，解得a = 1，b = 2．
2
(多选题) (2025·高一·江苏·专题练习) 已知关于x 的不等式ax2 + bx + c ≥0 的解集为
x
x ≤-3 或
x≥4
，则下列说法正确的是
(
)
A. a > 0
B. 不等式bx + c > 0 的解集为x x<-4
C. 不等式cx2- bx + a < 0 的解集为x x<- 1
4 或x> 1
3
D. a + b + c > 0
答案AC
解析
关于x 的不等式ax2+ bx + c ≥0 的解集为-∞,-3
∪4,+∞
，
１２１
122
所以二次函数y = ax2+ bx + c 的开口方向向上，即a > 0，故A 正确；
且方程ax2+ bx + c = 0 的两根为-3、4，
由韦达定理得
- b
a =-3+4
c
a =-3×4
，解得b=-a
c=-12a
．
对于B，bx + c > 0 ⇔-ax - 12a > 0，由于a > 0，所以x <-12，
所以不等式bx + c > 0 的解集为x x<-12
，故B 不正确；
对于C，因为b=-a
c=-12a
，所以cx2- bx + a < 0，即-12ax2+ ax + a < 0，
所以12x2- x - 1 > 0，解得x <- 1
4 或x > 1
3 ，
所以不等式cx2- bx + a < 0 的解集为x x - 1
4 或x
1
3
，故C 正确；
对于D，a + b + c = a - a - 12a =-12a < 0，故D 不正确．
3
(24 - 25 高一上·江苏常州·月考) 若关于x 的不等式0 ≤ax2 + bx + c ≤2 a>0
的解集为-1,3
，
则a - b - c 的取值范围是
．
答案
-2,1
解析
【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，
求出a 的取值范围，最后将a - b - c 都表示成a 的形式即可得解．
【详解】因为不等式0 ≤ax2+ bx + c ≤2 a>0
的解集为-1,3
，
所以二次函数f x
= ax2+ bx + c 的对称轴为直线x = 1，
且需满足
f -1
=2
f 3
=2
f 1
≥0
，即
a-b+c=2
9a+3b+c=2
a+b+c≥0
，解得b=-2a
c=-3a+2
，
所以a + b + c = a - 2a - 3a + 2 ≥0 ⇒a ≤1
2 ，所以a ∈0, 1
2
，
所以a - b - c = a + 2a + 3a - 2 = 6a - 2 ∈-2,1
．
1
(24 - 25 高一上·吉林通化·月考) (多选) 已知关于x 的不等式ax2 + bx + c < 0 的解集为
x
x<-2
或x>3
，则下列说法正确的是
(
)
A. a < 0
B. ax + c > 0 的解集为{x|x > 6}
C. 8a + 4b + 3c < 0
D. cx2+ bx + a < 0 的解集为x - 1
2 <x< 1
3
答案AD
解【分析】-2，3 是方程ax2 + bx + c = 0 的两根，且a < 0，A 正确；由韦达定理得到b =-a，c =
-6a，从而解不等式得到B 错误，D 正确，8a + 4b + 3c =-14a > 0，C 错误．
【详解】由题意得-2，3 是方程ax2+ bx + c = 0 的两根，且a < 0，A 正确；
故-2 + 3 =- b
a ，-2 × 3 = c
a ，即b =-a，c =-6a，
所以ax + c > 0 ⇒ax - 6a > 0 ⇒ax > 6a ⇒x < 6，B 错误；
8a + 4b + 3c = 8a - 4a - 18a =-14a > 0，C 错误；
cx2+ bx + a < 0 ⇒-6ax2- ax + a < 0 ⇒6x2+ x - 1 < 0，
得- 1
2 < x < 1
3 ，D 正确．
2
(多选题) (2024·高一·山东聊城·期末) 不等式ax2 + bx + c ≥0 的解集是
x
-1≤x≤2
，则下列结
论正确的是
(
)
１２２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
123
A. a + b = 0
B. a + b + c > 0
C. c > 0
D. b < 0
答案ABC
解
因为不等式ax2+ bx + c ≥0 的解集是x
-1≤x≤2
，
可得a < 0，且
- b
a =-1+2=1>0
c
a =-2<0
，所以
b>0
b=-a
c>0
，所以a + b = 0，c > 0，b > 0，
所以A、C 正确，D 错误．
因为二次函数y = ax2+ bx + c 的两个零点为-1，2，且图像开口向下，
所以当x = 1 时，y = a + b + c > 0，所以B 正确．
3
(多选题) 若不等式ax2- bx + c > 0 的解集是(-1 , 2)，则下列选项正确的是
(
)
A. b < 0 且c > 0
B. a - b + c > 0
C. a + b + c > 0
D. 不等式ax2+ bx + c > 0 的解集是{x| -2 < x < 1}
答案ABD
解【详解】因为ax2 - bx + c > 0 的解集为-1,2
，解集属于两根之内的情况，所以a < 0，又因为
a+b+c=0
4a-2b+c=0
，所以b=a
c=-2a
；A．b = a < 0，c =-2a > 0，故正确；B．因为1 ∈-1,2
，所以
a - b + c > 0，故正确；C．因为解集为-1,2
，所以a + b + c = 0，故错误；D．因为ax2 + bx + c
> 0 即为ax2+ ax - 2a2> 0，即x2+ x - 2 < 0，解得x ∈-2,1
，故正确
4
(24 - 25 高一上·江苏苏州·月考) (多选) 若关于x 的不等式0 ≤ax2 + bx + c ≤2 a>0
的解集为
x|-1≤x≤3
，则3a + b + 2c 的值可以是
(
)
A. 1
2
B. 3
2
C. 2
D. 4
答案BC
解【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求
出的取值范围，最后3a + b + 2c 都表示成a 的形式即可．
【详解】因为0 ≤ax2+ bx + c ≤2 a>0
不等式的解集为x|-1≤x≤3
，
所以二次函数f x
= ax2+ bx + c 的对称轴为直线x = 1，
且需满足
f -1
=2
f 3
=2
f 1
≥0
，即
a-b+c=2
9a+3b+c=2
a+b+c≥0
，解得b=-2a
c=-3a+2
，
所以a + b + c = a - 2a - 3a + 2 ≥0 ⇒a ≤1
2 ，所以a ∈0, 1
2
，
所以3a + b + 2c = 3a - 2a - 6a + 4 = 4 - 5a ∈
3
2 ,4
，故3a + b + 2c 的值可以是3
2 和2，
故选：BC．
5
(25 - 26 高一上·全国·单元测试) (多选) 已知关于x 的不等式ax 2 + bx + c > 0 的解集为
x -1<x<3
，则
(
)
A. y = ax2+ bx + c 有最大值
B. b =-2a
１２３
124
C. 6b =-5c
D. bx2+ a x
- c > 0 的解集为-∞,- 3
2
∪
3
2 ,+∞
答案ABD
解【分析】根据不等式的解集可得a < 0，且b =-2a，c =-3a，据此可逐项判断求解．
【详解】对于A，因为不等式ax2 + bx + c > 0 的解集为x -1<x<3
，所以y = ax2 + bx + c =
a x+1
x-3
，a < 0，
二次函数y = ax2+ bx + c 的图象开口向下，因此有最大值，故A 正确；
对于BC，-1，3 是关于x 的一元二次方程ax2+ bx + c = 0 的两根，
则
-1+3=- b
a
-1×3= c
a
，所以b =-2a，c =-3a，则3b = 2c，故B 正确，C 错误；
对于D，不等式bx2+ a x
- c > 0 即为-2ax2+ a x
+ 3a > 0，
即2x2- x
- 3 > 0，即2 x
2- x
- 3 > 0，
得x
<-1(舍去) 或x
> 3
2 ，
所以x ∈-∞,- 3
2
∪
3
2 ,+∞
，故D 正确；
故选：ABD．
【题型
【题型4】简单的含参一元二次不等式的解集
】简单的含参一元二次不等式的解集
1
(24 - 25 高一上·陕西渭南·月考) 关于x 的不等式ax2 + 2a-1
x - 2 > 0，其中a ≤0，则该不等式
的解集不可能是
(
)
A.
-∞,-2
B.
-2, 1
a
C.
-∞,-2
∪
1
a ,+∞
D.
1
a ,-2
解析
【分析】考虑a = 0 和a < 0 两种情况，当a < 0 时将不等式变形为x+2
x- 1
a
< 0，根据根
的大小关系得到a ∈- 1
2 ,0
，a =- 1
2 ，a ∈-∞,- 1
2
三种情况，解不等式对比选项即可．
当a = 0 时，不等式ax2+ 2a-1
x - 2 > 0，即-x - 2 > 0，x <-2，
故不等式的解集为-∞,-2
，故A 可能；
当a < 0 时，ax2+ 2a-1
x - 2 = a x+2
x- 1
a
> 0，即x+2
x- 1
a
< 0，
当a ∈- 1
2 ,0
时，x+2
x- 1
a
< 0 的解集为
1
a ,-2
，故D 可能；
当a =- 1
2 时，不等式x+2
x- 1
a
< 0 无解；
当a ∈-∞,- 1
2
时，x+2
x- 1
a
< 0 的解集为-2, 1
a
，故B 可能．
2
(高一上·山西朔州·月考) 关于x 的一元二次不等式x-2
a-1
x+ 2-a
> 0，当0 < a < 1 时，
该不等式的解集为
(
)
A.
x x>2或x< a-2
a-1
B.
x 2<x< a-2
a-1
C.
x x<2或x> a-2
a-1
D.
x a-2
a-1 <x<2
答案B
１２４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
125
解析
【分析】由0 < a < 1，知a - 1 < 0，原不等式等价于x-2
x- a-2
a-1
< 0，再确定相应二次
方程的根的大小得不等式的解集．
【详解】由0 < a < 1，则a - 1 < 0，原不等式等价于不等式x-2
x- a-2
a-1
< 0 的解集，
又由0 < a < 1，则方程x-2
x- a-2
a-1
= 0 的两根分别为x1= 2，x2= a-2
a-1 ，
当0 < a < 1 时，2 < a-2
a-1 ，故原不等式的解集为x 2<x< a-2
a-1
．
1
(24 - 25 高一上·重庆·月考) 若t > 1，则关于x 的不等式t-x
x- 1
t
> 0 的解集为
(
)
A.
t，1
t
B.
-∞，1
t
∪t，+∞
C.
1
t ，t
D.
-∞，t
∪
1
t ，+∞
解【分析】根据t 的范围可得t > 1
t ，从而即可求得不等式x-t
x- 1
t
< 0 的解集．
∵t > 1
∴0 < 1
t < 1，
∴t > 1
t ，
不等式t-x
x- 1
t
> 0，
即不等式x-t
x- 1
t
< 0 的解集为
1
t ，t
．
(24 - 25 高一上·浙江·期中) 当0 < a < 1 时，关于x 的不等式x-3
a-1
x+ 3-a
> 0 的解集为()
A．x∣x>3,或x< a-3
a-1
B．x 3<x< a-3
a-1
C．x∣x<3,或x> a-3
a-1
D．x a-3
a-1 <x<3
【分析】确定二次项的系数符号和两根的大小关系，直接写出解集即可．
因为a-3
a-1 - 3 = a-3-3a+3
a-1
= -2a
a-1 ，又因为0 < a < 1，
所以-2a
a-1 > 0，所以a-3
a-1 > 3，
又因为a - 1 < 0，于是x-3
a-1
x+ 3-a
> 0 等价于x-3
x- a-3
a-1
< 0，
可得3 < x < a-3
a-1 ，
所以x-3
a-1
x+ 3-a
> 0 的解集为x 3<x< a-3
a-1
．
2
(24 - 25 高一上·上海金山·期末) 当0 < a < 1 时，关于x 的不等式x-3
1-a
x+ a-3
< 0 的
解集为
(
)
A.
-∞, a-3
a-1
∪3,+∞
B.
-∞,3
∪
a-3
a-1 ,+∞
C.
3, a-3
a-1
D.
a-3
a-1 ,3
答案C
解【分析】将原不等式转换为x-3
x- a-3
a-1
< 0，在0 < a < 1 的前提下，比较3，a-3
a-1 的大小
即可得解．
１２５
126
【详解】0 < a < 1 时，1 - a > 0，不等式x-3
1-a
x+ a-3
< 0 可化为x-3
x- a-3
a-1
<
0，
因为a-3
a-1 - 3 = a-3-3a+3
a-1
= -2a
a-1 ，且0 < a < 1，
所以-2a
a-1 > 0，a-3
a-1 > 3，
原不等式，得3 < x < a-3
a-1 ，
所以原不等式的解集为x 3<x< a-3
a-1
．
【题型
【题型5】实数集上的含参一元二次不等式恒成立问题：判别式法
】实数集上的含参一元二次不等式恒成立问题：判别式法
一元二次不等式在R 上的恒成立问题
与恒成立问题有关的词有：“任意”、“全体实数”、“都”、“一切实数”等．
方法是通过二次函数的图像来理解．
1
若ax2+ bx + c > 0 恒成立，则a>0，Δ<0 ；
2
若ax2+ bx + c < 0 恒成立，则a<0，Δ<0 ；
3
若ax2+ bx + c ≠0 恒成立，则Δ<0 ．
【例题1】(24 - 25 高一上·山东淄博·月考) 若不等式a-1
x2- a-1
x - 1 < 0 的解集为R，则实数a
的取值范围为
(
)
A.
a|-3<a<1
B.
a|-3<a≤1
C.
a|a<-3或a≥1
D.
a|a<-3或a>1
答案B
解【分析】分a = 1 和a ≠1，结合二次不等式解集的形式求参数a 的取值范围．
【详解】若a = 1，则原不等式可化为-1 < 0，在R 上恒成立；
若a ≠1，因为不等式a-1
x2- a-1
x - 1 < 0 的解集为R，
１２６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
127
所以a-1<0
Δ= a-1
2+4 a-1
<0
⇒a<1
-3<a<1
．
综上可得：-3 < a ≤1．
【例题2】(多选) ∀x ∈R，关于
的不等式x2- ax + a > 0 恒成立的一个必要不充分条件是()
A．a ≤10
B．0 < a < 4
C．
D．0 < a < 1
2
答案AC
解【分析】由∀x ∈R，关于
的不等式x2 - ax + a > 0 恒成立得
，求得
的取值范围，然后根
据充分条件与必要条件的概念判断即可得出答案．
【详解】∀x ∈R，关于
的不等式x2- ax + a > 0 恒成立，则Δ = a2- 4a < 0，解得0 < a < 4．
对于A，因为a|0<a<4
¬ a|a≤10
，符合题意，故A 正确；
对于B，是充要条件，故B 错误；
对于C，因为a|0<a<4
¬ a|a>-2
，符合题意，故C 正确；
对于D，因为当0 < a < 4 时，0 < a < 1
2 不一定成立，不符合题意，故D 错误
4
(24 - 25·山东临沂·期末) 若关于x 的不等式mx2 - 5x + m ≤0 的解集为R，则实数m 的取值范围
是
(
)
A.
-∞,- 5
2
B.
-∞,- 5
2
C.
- 5
2 ,0
D.
- 5
2 ,0
答案A
解【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可．
【详解】当m = 0 时，不等式-5x ≤0，解得x ≥0，显然解集不是R，不符合题意；
当m ≠0，由不等式的解集为R，
则m < 0，Δ = -5
2- 4m2≤0，解得m ≤- 5
2 ，
即m 的取值范围为-∞,- 5
2
．
5
已知函数y = (a - 2)x2 + 2(a - 2)x - 4，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a 的取值范围是
答案-2 < a < 2
解【分析】根据给定条件，分段讨论，再结合二次函数的图象性质列式求解作答．
【详解】当a = 2 时，y =-4 < 0 恒成立，则a = 2；
当a ≠2 时，依题意，二次函数y = (a - 2)x2+ 2(a - 2)x - 4 的图象总在x 轴下方，
于是a-2<0
Δ=4(a-2)2+16(a-2)<0
，解得-2 < a < 2，则-2 < a < 2
6
(高一下·湖南·月考) (多选) 下列条件中，为“关于x 的不等式mx2 - mx + 1 > 0 对∀x ∈R 恒成
立”的充分不必要条件的有
(
)
A. 0 ≤m < 4
B. 0 < m < 2
C. 1 < m < 4
D. - 1 < m < 6
答案BC
解【分析】对m 讨论：m = 0；m > 0，Δ < 0；m < 0，结合二次函数的图象，解不等式可得m 的取
值范围，再由充要条件的定义判断即可．
１２７
128
【详解】因为关于x 的不等式mx2- mx + 1 > 0 对∀x ∈R 恒成立，
当m = 0 时，原不等式即为1 > 0 恒成立；
当m > 0 时，不等式mx2- mx + 1 > 0 对∀x ∈R 恒成立，
可得Δ < 0，即m2- 4m < 0，解得：0 < m < 4．
当m < 0 时，y = mx2- mx + 1 的图象开口向下，原不等式不恒成立，
综上：m 的取值范围为：0,4
．
所以“关于x 的不等式mx2- mx + 1 > 0 对∀x ∈R 恒成立”的充分不必要条件的有
0 < m < 2 或1 < m < 4．
【题型
【题型6】一元二次不等式的实际问题
】一元二次不等式的实际问题
一元二次不等式有解问题一般可以结合函数图像通过分析开口方向以及判别式正负来确定参数范围
1
(24 - 25 高一上·广东揭阳·期中) 某种衬衫进货价为每件30 元，若以40 元一件出售，则每天能卖
出40 件；若每件提价1 元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525
元，则每件衬衫的售价的取值范围是
．
答案
45,65
解析
【分析】设每件衬衫提价x 元，则每件衬衫的售价为40+x
元，表示出每天出售衬衫的净收
入，由不等关系列出不等式，解出x 的范围，即可得件衬衫的售价的取值范围．
【详解】设每件衬衫提价x 元，则每件衬衫的售价为40+x
元，
则每天出售衬衫的净收入为：40+x-30
40-x
=- x-15
2+ 625(元)，
由题可知，- x-15
2+ 625 ≥525，
整理得，x-25
x-5
≤0，解得5 ≤x ≤25，
∴45 ≤40 + x ≤65，
∴每件衬衫的售价的取值范围是45,65
．
2
(24 - 25 高一上·江苏盐城·期中) 某主播在直播平台上销售一款成本为每件24 元的商品．经调查发
现，该商品每天的销售量y(件) 与销售单价x(元) 之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1) 求该商品每天的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；
(2) 若该主播按单价不低于成本价，且不高于50 元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利
润是多少？
(3) 若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280 元，则每天的销售量最少应为多少件？
答案(1)y =-2x + 160 0<x<80
(2) 单价定为50 元时利润最大，最大利润为1560 元
(3)32
解析
【分析】(1) 设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案．
１２８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
129
(2) 求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价．
(3) 根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值．
【详解】(1) 设y = kx + b，由图可知，函数图象过点30,100
，45,70
，
所以30k+b=100
45k+b=70
，解得k=-2
b=100
，所以y =-2x + 160，
由x>0
-2x+160>0
解得0 < x < 80．
所以每天的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式是y =-2x + 160 0<x<80
．
(2) 若单价不低于成本价24 元，且不高于50 元销售，
则y =-2x + 160 24≤x≤50
，
则利润y = -2x+160
× x-24
=-2x2+ 208x - 3840 24≤x≤50
，
其开口向下，对称轴为x =-
208
2× -2
= 52，
所以当x = 50 时，利润取得最大值为-2 × 502+ 208 × 50 - 3840 = 1560，
所以当单价为50 元时，取得最大利润为1560 元．
(3) 由(2) 得利润y =-2x2+ 208x - 3840，
又该商品每天获得的利润不低于1280 元，
则-2x2+ 208x - 3840 ≥1280，整理得x2- 104x + 2560 ≤0，
即x-40
x-64
≤0，解得40 ≤x ≤64，
销售量y =-2x + 160 是减函数，所以当x = 64 时，销售量最小，
且最小值为-2 × 64 + 160 = 32 件．
1
某礼服租赁公司共有300 套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200 元，则所有礼服均被租出；
若将每套礼服每天的租价在200 元的基础上提高10x 元(1 ≤x ≤20，x ∈Z)，则被租出的礼服会
减少10x 套．若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24 万元，则该礼服租赁公司每套
礼服每天的租价应定为
(
)
A. 220 元
B. 240 元
C. 250 元
D. 280 元
答案C
解
依题意，每天有300 - 10x 套礼服被租出，
该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为
300-10x
⋅200+10x
=-100x2+ 1000x + 60000 元．
因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24 万元，
所以-100x2+ 1000x + 60000 > 62400，
即x2- 10x + 24 < 0，解得4 < x < 6．因为1 ≤x ≤20 且x ∈Z，所以x = 5，
即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250 元．故选：C．
2
某市有块三角形荒地，如图△ABC 所示，∠A = 90°，AB = AC = 200(单位：米)，现市政府要在
荒地中开辟一块矩形绿地ADEF，其中D，E，F 点分别在线段AB，BC，CA 上，若要求绿地
的面积不少于7500 平方米，则AD 的长度(单位：米) 范围是
(
)
１２９
130
A.
40,160
B.
50,150
C.
55,145
D.
60,140
答案B
解
△ABC 中，∠A = 90°，AB = AC，△ABC 为等腰直角三角形，
设AD = x 米，则EF = FC = AD = x 米，FA = 200 - x 米，
依题意有x 200-x
≥7500，解得50 ≤x ≤150．
即AD 的长度(单位：米) 范围是50,150
．故选：B．
3
如图，在长为8m，宽为6m 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周
的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？
答案花卉的宽度至少为1m
解
设花卉带的宽度为xm，则0<2x<8
0<2x<6
，可得0 < x < 3，
所以，草坪的长为8-2x
m，宽为6-2x
m，
则草坪的面积为8-2x
6-2x
= 4 4-x
3-x
，
因为草坪的面积不超过总面积的一半，则4 4-x
3-x
≤1
2 × 6 × 8，
整理可得x2- 7x + 6 ≤0，解得1 ≤x ≤6，又因为0 < x < 3，可得1 ≤x < 3．
所以，花卉的宽度至少为1m．
模块二
中档题突破
【题型
【题型7】有范围限制的含参一元二次不等式恒成立问题
】有范围限制的含参一元二次不等式恒成立问题(2)：参变分离法
：参变分离法
含参一元二次不等式在区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问
题
参变分离法：如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x 的关系，
∀x ∈M，使得f(x) ≥a ，等价于f(x)min ≥a ，∀x ∈M，使得f(x) ≤a ，等价于f(x)max ≤a
1
(24 - 25 高一上·辽宁朝阳·月考) 若对任意的x ∈1,+∞
，关于x 的不等式x2 + 4-a
x + 9 ≥0 恒
成立，则a 的最大值为
(
)
A. 13
B. 12
C. 10
D. 9
解析
【分析】将不等式的未知数移到同一侧，得到a 小于等于关于x 的函数的最小值，利用基本不
１３０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
131
等式求解即可．
由x2+ 4-a
x + 9 ≥0，得a ≤x + 9
x + 4 对任意的x ∈1,+∞
恒成立．
因为x + 9
x + 4 ≥2
x⋅9
x + 4 = 10，当且仅当x = 9
x ，即x = 3 时，等号成立，
所以a ≤10，即a 的最大值为10．
2
(广东深圳·高一深圳外国语学校校考) 当-4 ≤x ≤0 时，关于x 的不等式x2 + ax + 15 - a ≥0 恒成
立，则a 的取值范围是
．
答案a ≤6
解析
【分析】参变分离得a ≤-x2-15
x-1
，再利用基本不等式求-x2-15
x-1
的最小值即可得答案．
【详解】关于x 的不等式x2+ ax + 15 - a ≥0 恒成立
即a ≤-x2-15
x-1
，-4 ≤x ≤0 时恒成立，
∴a ≤
-x2-15
x-1
min，
又-x2-15
x-1
= - x-1
2-2 x-1
-16
x-1
= 1 - x +
16
1-x - 2 ≥2
1-x
⋅16
1-x - 2 = 6，
当且仅当1 - x =
16
1-x ，即x =-3 时等号成立，∴a ≤6．
1
(24 - 25 高一下·贵州·月考) 对任意x ∈-1,1
，不等式2x2 - 2x + 1 - 2m ≥0 恒成立，则实数m
的取值范围是
(
)
A.
-∞, 1
4
B.
-∞, 1
2
C.
-∞, 5
2
D.
1
2 ,+∞
答案A
解【分析】由已知可得x2-x+ 1
2
min ≥m，再求函数y = x2 - x + 1
2 ，x ∈-1,1
的最小值即可得
m 取值范围．
【详解】因为对任意x ∈-1,1
，不等式2x2- 2x + 1 - 2m ≥0 恒成立．
所以x2-x+ 1
2
min ≥m，其中x ∈-1,1
，
设y = x2- x + 1
2 ，x ∈-1,1
，因为y = x2- x + 1
2 = x- 1
2
2
+ 1
4 ，
所以当x = 1
2 时，函数y = x2- x + 1
2 ，x ∈-1,1
取最小值，最小值为1
4 ，
所以m ≤1
4
2
若不等式x2 - tx + 1 > 0 在x ∈0,2
时不等式恒成立，则实数t 的取值范围为
；若不等式
x2- tx + 1 < 0 在x ∈1,2
上恒成立，则实数t 的取值范围为
．
答案：t < 2，t ≥5
2
解
首先分离参数可得t > x + 1
x ，然后结合对勾函数的性质求得x + 1
x < 5
2 ，从而可确定t 的取值范
围．
【详解】(1) 因为不等式x2 - tx + 1 > 0，所以t < x2+1
x
= x + 1
x 在区间0,2
上恒成立，x + 1
x ≥
2，当x = 1 时取等号，故t < 2
１３１
132
(2) 不等式x2- tx + 1 < 0 对一切x ∈1,2
恒成立，t > x2+1
x
= x + 1
x
由对勾函数的性质可知函数y = x + 1
x 在区间(1 , 2) 上单调递增，
且当x = 2 时，y = 2 + 1
2 = 5
2 ，所以x + 1
x < 5
2
故实数t 的取值范围是t ≥5
2 ．
3
(24 - 25 高一上·广东深圳·月考) 设f x
= a-1
x2 + 2-a
x + 1．若函数f x
在区间3,6
上的
图象恒位于x 轴的上方，则实数a 的取值范围是
．
答案
23
30 ,+∞
解【分析】由题意可得f x
> 0 对任意x ∈3,6
恒成立，分离参数得a > x2-2x-1
x2-x
对任意x ∈
3,6
恒成立，利用分离常数法以及换元法求出x2-2x-1
x2-x
的最大值，即可得答案．
【详解】由题意函数f x
在区间3,6
上的图象恒位于x 轴的上方，
即f x
> 0 对任意x ∈3,6
恒成立，
当x ∈3,6
时，x2- x ∈[6 , 30]，
则a-1
x2+ 2-a
x + 1 > 0，即a > x2-2x-1
x2-x
对任意x ∈3,6
恒成立，
而x2-2x-1
x2-x
= 1 - x+1
x2-x ，令x + 1 = t，t ∈[4 , 7]，
则令g(t) = 1 -
t
(t-1)2-t+1
= 1 -
t
t2-3t+2 = 1 -
1
t+ 2
t -3
，
由于y = t + 2
t 在[4 , 7] 上单调递增，故t + 2
t ∈
9
2 , 51
7
，
则g(t) = 1 -
1
t+ 2
t -3
的最大值为g(7) = 1 -
1
51
7 -3
= 23
30 ，
故a > 23
30 ，即实数a 的取值范围是
23
30 ,+∞
．
【题型8】含参一元二次不等式能成立问题(有解问题)
一元二次不等式有解问题一般可以结合函数图像通过分析开口方向以及判别式正负来确定参数范围
【例题1】若不等式x2- 2x - m < 0 在x ∈
1
2 ,2
上有解，则实数m 的取值范围是()
A．-1,+∞
B．-1,+∞
C．- 3
4 +∞
D．0,+∞
答案：B
将不等式x2 - 2x - m < 0 在x ∈
1
2 ,2
上有解，转化为不等式m > x2 - 2x 在x ∈
1
2 ,2
上有解求
解．
【详解】因为不等式x2- 2x - m < 0 在x ∈
1
2 ,2
上有解，
所以不等式m > x2- 2x 在x ∈
1
2 ,2
上有解，
令t = x2- 2x = x-1
2- 1，则tmin =-1，
所以m >-1，
所以实数m 的取值范围是-1,+∞
【例题2】(24 - 25 高一下·广东揭阳·期末) 已知命题p :∃x ∈R，ax2+ 2ax + 3 ≥0 为真命题，则实数
a 的取值范围是()
１３２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
133
A．R
B．a a≥0
C．a a<0
或a>3
D．a a>3
答案A
解【分析】对实数a 的取值进行分类讨论，当a = 0 或a > 0 时，直接验证即可；当a < 0 时，结合二
次不等式能成立可得出关于实数a 的不等式，解之即可．
【详解】当a = 0 时，3 > 0 成立；
当a > 0 时，抛物线y = ax2+ 2ax + 3 开口向上，成立；
当a < 0 时，由Δ = 4a2- 12a > 0，得a < 0 或a > 3，所以a < 0．
综上所述，a ∈R．
4
(高一上·北京·期中) 已知存在x ∈0,1
，使得x2- 4x ≥m2- 4m 成立，则m 的取值范围是(
)
A.
0,1
B.
1,3
C.
0,4
D.
0,+∞
答案C
解【分析】将问题转化为f(x)max ≥m2- 4m，结合二次函数的最值性质即可得解．
【详解】依题意，令f(x) = x2- 4x，x ∈[0 , 1]，
则f(x) = x2- 4x = (x - 2)2- 4，其图象开口向上，对称轴为x = 2，
所以函数f(x) 在区间[0 , 1] 上单调递减，则f x
max = f(0) = 02- 4 × 0 = 0，
因为存在x ∈[0 , 1]，使得x2- 4x ≥m2- 4m 成立，
所以f(x)max ≥m2- 4m，即0 ≥m2- 4m，
即m(m - 4) ≤0，解得0 ≤m ≤4，
所以m 的取值范围是0,4
5
已知命题p：“∃x ∈1,2
，使得2kx2 + kx - 3
8 ≤0 成立”是真命题，则实数k 的取值范围是
．
答案
-∞, 1
8
解【分析】利用分离参数法得k ≤
3
8
2x2+x ，只需求出不等式右边的最大值即可．
【详解】2kx2+ kx - 3
8 ≤0，2x2+x
k ≤3
8 ，
设y = 2x2+ x = 2 x+ 1
4
2
- 1
8 ，∴对称轴为x =- 1
4 ，∴y 在1,2
上单调递增，
故2 × 12+ 1 ≤y ≤2 × 22+ 2，即3 ≤y ≤10，
∴k ≤
3
8
2x2+x ，∵∃x ∈[1 , 2]，使得2kx2+ kx - 3
8 ≤0 成立，
∴k ≤
3
8
2x2+x
max
，∵3 ≤y ≤10，∴
3
8
y ∈
3
80 , 1
8
，故k ≤1
8
6
若关于x 的不等式ax2- (a + 2)x + 9
4 < 0 有解，则实数a 的取值范围是
．
答案(-∞, 1) ∪(4 ,+∞)
解
当a = 0 时，不等式为-2x + 9
4 < 0 有解，故a = 0，满足题意；
当a > 0 时，若不等式ax2- (a + 2)x + 9
4 < 0 有解，
则满足Δ = (a + 2)2- 4a ⋅9
4 > 0，解得a < 1 或a > 4；
当a < 0 时，此时对应的函数的图象开口向下，
１３３
134
此时不等式ax2- (a + 2)x + 9
4 < 0 总是有解，所以a < 0，
综上可得，实数a 的取值范围是(-∞, 1) ∪(4 ,+∞)．
【题型
【题型8】一元二次不等式与基本不等式结合
】一元二次不等式与基本不等式结合
1
已知实数x，y > 0，且2
x + 1
y = 1，若2x + y > m2- 8m 恒成立，则实数m 的取值范围为(
)
A.
-9,1
B.
-1,9
C.
-1,9
D.
-∞,-1
∪9,+∞
答案B
解析
【分析】应用基本不等式“1”的代换求2x + y 的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等
式恒成立有m2- 8m < 9，解一元二次不等式求解即可．
【详解】解：由题设，2x + y = (2x + y) 2
x + 1
y
= 5 + 2y
x + 2x
y ≥5 + 2
2y
x ⋅2x
y = 9，
当且仅当x = y = 3 时等号成立，
∴要使2x + y > m2- 8m 恒成立，只需m2- 8m < 9，
∴m2- 8m - 9 = (m - 9) (m + 1) < 0，
∴-1 < m < 9．
1
(24 - 25 高一上·广东深圳·月考) (多选) 已知关于x 的不等式x2 - 4ax + 2a2 < 0(a < 0) 的解集为
{x|x1< x < x2}，则
(
)
A. x1< a < x2
B. x1+ x2+
a
x1x2
的最小值为2 2
C. x1x2+ x1+ x2< 0 的解集为a -2<a<0
D. x1x2+ x1+ x2的最小值为-2
答案ACD
解【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合基本不等式逐项判断即
可．
【详解】对于A，当x = a 时，不等式a2- 4a2+ 2a2=-a2< 0 成立，
即x = a 是不等式x2- 4ax + 2a2< 0(a < 0) 的一个解，于是x1< a < x2，A 正确；
对于B，由不等式x2- 4ax + 2a2< 0(a < 0) 的解集为{x|x1< x < x2}，
得x1x2= 2a2，x1+ x2= 4a 且a < 0，x1+ x2+
a
x1x2
= 4a + 1
2a ，
而-4a - 1
2a ≥2
(-4a)⋅- 1
2a
= 2 2，当且仅当-4a =- 1
2a ，即a =-
2
4
时取等号，
因此4a + 1
2a ≤-2 2，即x1+ x2+
a
x1x2
的最大值为-2 2，B 错误；
对于C，由选项B 知，x1x2+ x1+ x2< 0，即2a2+ 4a < 0，解得-2 < a < 0，C 正确；
对于D，x1x2+ x1+ x2= 2a2+ 4a = 2(a + 1)2- 2 ≥-2，当且仅当a =-1 时取等号，D 正确．
故选：ACD
【题型
【题型9】一元二次不等式与集合、逻辑用语综合
】一元二次不等式与集合、逻辑用语综合
1
已知集合A = {x|x2 - 3x + 2 < 0}，B = {x|x(x - m) > 0}，若A ∩B = ∅，则实数m 的取值范围
是
(
)
１３４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
135
A. (-∞, 0]
B. [0 , 2]
C. [2 ,+∞)
D. [0 , 1]
答案C
解析
【分析】先解不等式，求解出集合A，再讨论m 的范围，解出集合B，结合A ∩B = ∅，最后
得出m 的范围．
【详解】由x2- 3x + 2 < 0，得到1 < x < 2，则A = {x|1 < x < 2}；
当m = 0 时，则B = {x|x ≠0}，此时A ∩B ≠∅，
当m < 0 时，由x(x - m) > 0，解得x < m 或x > 0，此时A ∩B ≠∅，
当m > 0 时，由x(x - m) > 0，解得x < 0 或x > m，
因为A ∩B = ∅，则m ≥2；
综上所述，m ≥2．
2
(24 - 25·河南商丘·期末) 已知集合A = x
2x-1
x-3 ≥1
，B = x∣ax2+(1-ab)x-b<0
．
(1) 用区间表示集合A；
(2) 若b < 0，A ∩B = A，求a，b 的取值范围．
答案(1)A = (-∞,-2] ∪(3 ,+∞)
(2)a ∈-∞,- 1
3
，b ∈(-2 , 0)．
解析
【分析】(1) 解分式不等式确定集合A；
(2) 分a = 0，a > 0 和a < 0 确定集合B，再由A ∩B = A，所以A ⊆B，确定a，b 的取值范围．
【详解】(1) 由2x-1
x-3 ≥1，有x+2
x-3 ≥0，解得x ≤-2 或x > 3，
所以A = (-∞,-2] ∪(3 ,+∞)．
(2) 因为A ∩B = A，所以A ⊆B，
不等式ax2+ (1 - ab)x - b < 0 可化为(ax + 1) (x - b) < 0．
a = 0 时，则x - b < 0，解得x < b 但不满足A ⊆B，舍去，
a > 0 时，因为4 ∈A 但4 ∉B，不满足A ⊆B，舍去，
a < 0 时，解得x < b 或x >- 1
a ，
因为A ⊆B，所以
-2<b<0,
0<- 1
a ≤3,
解得a ≤- 1
3 ，-2 < b < 0，
所以a ∈-∞,- 1
3
，b ∈(-2 , 0)．
1
( 24 - 25 高二下· 江苏常州· 月考) 设全集U = R ，集合A =
x x-4
x+1 <0
，集合B =
x x2-2ax+a2-1<0
，其中a ∈R．
(1) 当a = 4 时，求A ∩B；
(2) 若“x ∈A”是“x ∈B”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
答案(1) (3 , 4)
(2) 0,3
解【分析】(1) 解不等式，得到A = (-1 , 4)，B = 3,5
，利用交集概念求出答案；
(2) 求出B = a-1,a+1
，得到B 为A 的真子集，从而得到不等式，求出答案．
【详解】(1) 由x-4
x+1 < 0 得：(x - 4) (x + 1) < 0，解得：-1 < x < 4，即A = (-1 , 4)，
当a = 4 时，x2- 2ax + a2- 1 = x2- 8x + 15 = x-3
x-5
< 0，
得：3 < x < 5，即B = 3,5
；
１３５
136
故A ∩B = (3 , 4)；
(2) 由(1) 知：A = -1,4
；
由x2- 2ax + a2- 1 = x- a-1
x- a+1
< 0 得：a - 1 < x < a + 1，
即B = a-1,a+1
，
因为“x ∈A”是“x ∈B”的必要不充分条件，所以B 为A 的真子集．
∴a-1>-1
a+1≤4
或a-1≥-1
a+1<4
，解得0 ≤a ≤3，
即实数a 的取值范围为0,3
．
2
(24 - 25 高一上·湖南·月考) 已知集合A = 1,2
和非空集合B =
x
x2-2ax+a=0
，C =
x
x2-mx+3≥0
．
(1) 若命题P：“∀x ∈B，都有x ∈A”为真命题，求实数a 的取值；
(2) 若“x ∈C”是“x ∈A”的必要条件，求实数m 的取值范围．
答案(1)1
(2) m m≤7
2
．
解【分析】(1) 由题意得到B ⊆A，分B = 1
或2
或1,2
三种情况，得到方程，求出a = 1；
(2) 由题意得到A ⊆C，从而得到不等式，求出m 的取值范围．
【详解】(1) 由命题P：“∀x ∈B，都有x ∈A，”为真命题知B ⊆A，
因为集合B 非空，所以B = 1
或2
或1,2
．
当B = 1
时，1-2a+a=0,
-2a
2-4a=0,
，解得a = 1；
当B = 2
时，4-4a+a=0,
-2a
2-4a=0,
，无解；
当B = 1,2
时，
1-2a+a=0,
4-4a+a=0,
-2a
2-4a>0,
，无解．
综上，实数a 的取值是1．
(2) 因为“x ∈C”是“x ∈A”的必要条件，所以A ⊆C，
所以1-m+3≥0,
4-2m+3≥0,
，
得m ≤7
2 ．
故实数m 的取值范围是m m≤7
2
．
3
(高一上·广东深圳·月考) 已知p：x2+ 2x - 8 ≤0，q：x2- 2m+1
x + m2+ m ≤0．
(1) 若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；
(2) 若q 是p 的既不充分也不必要条件，求实数m 的取值范围．
答案(1) - 4 ≤m ≤1
(2)m > 1 或m <-4
解【分析】(1) 解不等式化简命题p，q，由充分不必要条件列出不等式求解；
(2) 根据命题p，q 的关系，可得对应集合互不包含，列出不等式求解．
【详解】(1) 由x2+ 2x - 8 ≤0，可得-4 ≤x ≤2，则p：-4 ≤x ≤2，
又由x2- 2m+1
x + m2+ m ≤0，可得m ≤x ≤m + 1，则q：m ≤x ≤m + 1，
１３６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
137
若q 是p 的充分不必要条件，可得m,m+1
是-4,2
的真子集，
有m≥-4
m+1≤2
，解可得-4 ≤m ≤1；
(2) 若q 是p 的既不充分也不必要条件，则m,m+1
和-4,2
互不包含，
可得m + 1 > 2 或m <-4，解得m > 1 或m <-4．
4
(24 - 25 高一上·广东深圳·月考) 已知集合A = x x-3
<1
，B = x x-2a
x-5a
<0
，a ∈
R．
(1) 当a > 0 时，x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求实数a 的取值范围；
(2) 若B ⊆∁RA，求实数α 的取值范围．
答案(1) 4
5 ,1
(2) -∞, 2
5 ∪
2,+∞
解【分析】(1) 由题意可得A = x 2<x<4
，B = x 2a<x<5a
，再根据A ⊆B，列出不等式组求
解即可；
(2) 由(1) 得∁RA = {x x≤2
或x ≥4}，分B = ∅、B ≠∅分别求解后再取并集即可．
【详解】(1) 因为A = x x-3
<1
= x 2<x<4
，B = x (x-2a)(x-5a)<0
，
又因为a > 0，所以B = x 2a<x<5a
，
因为x ∈A 是x ∈B 的充分条件，所以A ⊆B，
所以
a>0
2a≤2
5a≥4
，解得4
5 ≤a ≤1，所以实数的取值范围为：
4
5 ,1
；
(2) 由(1) 得∁RA = {x x≤2
或x ≥4}，B = x (x-2a)(x-5a)<0
= x x2-7ax+10a2<0
，
又因为B ⊆∁RA，
所以当B = ∅时，有Δ = 49a2- 4 × 1 × 10a2≤0，解得a = 0；
当B ≠∅时，a>0
5a≤2
或a>0
2a≥4
，或a<0
2a≤2
或a<0
5a≥4
，
得0 < a ≤2
5 或a ≥2 或a < 0 或a ∈∅，
综上所述，实数a 的取值范围为-∞, 2
5
∪[2 ,+∞)．
5
(江苏省南京市第一中学2024 - 2025 学年高一上学期9 月阶段性检测数学试卷) 已知命题p :∃x ∈
0,3
，a =-x2 + 2x：命题q :∀x ∈-1,2
，x2 + ax - 8 ≤0．若p 为假命题，q 为真命题，则实
数a 的取值范围为
(
)
A.
-3,1
B.
-∞,2
C.
-7,-3
∪1,2
D.
-∞,-3
∪1,2
答案C
解【分析】由命题p :∃x ∈0,3
，a =-x2 + 2x 为假命题，则a =-x2 + 2x 在x ∈0,3
上无解，即y
= a 与y =-x2 + 2x，x ∈0,3
函数图象没有交点，画出图象求出参数，命题q :∀x ∈-1,2
，x2 +
ax - 8 ≤0 为真命题，则1-a-8≤0
4+2a-8≤0
，求出参数求交集即可．
【详解】命题p :∃x ∈0,3
，a =-x2+ 2x 为假命题，
a =-x2+ 2x 在x ∈0,3
上无解，
即y = a 与y =-x2+ 2x，x ∈0,3
函数图象没有交点，
１３７
138
由图可知：a > 1 或a <-3，
命题q :∀x ∈-1,2
，x2+ ax - 8 ≤0 为真命题，则1-a-8≤0
4+2a-8≤0
，解得-7 ≤a ≤2，
综上所述：实数a 的取值范围为-7,-3
∪1,2
．
6
(湖北武汉·期末) 设命题p :∀x ∈-1,1
，使得不等式x2 - 2x - 3 + m < 0 恒成立；命题q :∃x ∈
0,1
，不等式2x - 2 ≥m2- 3m 成立．
(1) 若p 为真命题，求实数m 的取值范围；
(2) 若命题p、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．
答案(1) (-∞, 0)
(2) (-∞, 3]
解【分析】(1) 若p 为真命题，即对于x ∈-1,1
，m < -x2+2x+3
min 即可．
(2) 若q 为真命题，即转化为对于x ∈0,1
，(2x - 2)max ≥m2 - 3m 即可求出m 的范围，再分类讨论
p，q 的真假即可解出．
【详解】(1) 若p 为真命题，即∀x ∈-1，1
，使得不等式x2- 2x - 3 + m < 0 成立，
则对于x ∈-1,1
，m < -x2+2x+3
min 即可．
由于x ∈-1,1
，-x2+2x+3
min = 0，则m ∈(-∞, 0)．
(2) 若q 为真命题，即∃x ∈0,1
，不等式2x - 2 ≥m2- 3m 成立，
则对于x ∈0,1
，(2x - 2)max ≥m2- 3m 即可．
由于x ∈0,1
，2x - 2 ∈-2,0
，∴m2- 3m ≤0，解得m ∈0,3
p、q 有且只有一个是真命题，则m<0
m 0或m
3
或m≥0
0≤m≤3
，
得m ∈-∞,3
．
7
( 24 - 25 高一上· 广东深圳· 月考) 已知集合A =
x x2-4x+3≤0
，集合B =
x x2-3x+2m2+m-1≤0
．
(1) 存在x0∈R，使x2
0- 2x0+ 2m - 1 = 0 m∈N *
成立，求集合B；
(2) 若x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；
(3) 命题p :∀x ∈A，有x2+ 2ax + 1 ≥0，命题q :∃x ∈R，使得x2- 2x - 2a + 1 ≤a2成立．若命题p
为假命题，¬q 为真命题，求实数a 的取值范围．
答案(1)B = x 1≤x≤2
；
(2) -1, 1
2
；
(3) -2,-1
．
解【分析】(1) 根据一元二次函数的系数与根的个数的关系，可求得m ≤1，又m ∈N *，∴m = 1，代
１３８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
139
入集合B，化简即可；
(2) 由x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件，得A ⊆B 且A ≠B，所以x2 - 3x + 2m2 + m - 1 ≤0 对于∀
x ∈A 恒成立，再解含参的恒成立问题即可；
(3) 由命题p 为真命题，得x2+1
x
≥-2a，根据均值不等式求得
x2+1
x
min = 2，从而求得a 的范围，
又p 为假命题，所以求其补集即为a 的范围；根据命题的否定，得¬q :∀x ∈R，使得x2 - 2x - 2a +
1 > a2，再根据一元二次系数与根的关系进行运算求解即可．
【详解】(1) ∵存在x0∈R，使x2
0- 2x0+ 2m - 1 = 0 m∈N *
成立，
∴Δ = -2
2- 4 2m-1
≥0，解得m ≤1，
又∵m ∈N *，∴m = 1，
当m = 1 时，集合B = x x2-3x+2≤0
= x 1≤x≤2
，
此时B = x 1≤x≤2
．
(2) 由题A = x x2-4x+3≤0
= x 1≤x≤3
．
∵x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件，∴A ⊆B 且A ≠B，
即x2- 3x + 2m2+ m - 1 ≤0 对于∀x ∈A 恒成立，
∴2m2+ m - 1 ≤3x-x2
min，
由一元二次函数性质可知y = 3x - x2在1, 3
2
上单调递增，在
3
2 ,3
上单调递减，
因为3- 3
2
> 1- 3
2
，
所以当x = 3 时，3x-x2
min = 0，即2m2+ m - 1 ≤0，解得-1 ≤m ≤1
2 ，
∴m 的取值范围是-1, 1
2
．
(3) 由(2) 知A = x 1≤x≤3
，
命题p :∀x ∈A，都有x2+ 2ax + 1 ≥0，则-2a ≤x2+1
x
．
∵x2+1
x
= x + 1
x ≥2
x⋅1
x = 2，当且仅当x = 1
x 即x = 1 时取等号，
∴
x2+1
x
min = 2，∴-2a ≤2，即a ≥-1，
若命题p 为真命题，则a ≥-1，∵命题p 为假命题，∴a <-1
命题q :∃x ∈R 使得x2- 2x - 2a + 1 ≤a2成立，
所以¬q :∀x ∈R，使得x2- 2x - 2a + 1 > a2为真命题，
则x2- 2x - a2- 2a + 1 > 0 恒成立，
所以Δ = -2
2- 4 -a2-2a+1
< 0 恒成立，解得-2 < a < 0．
综上所述，实数a 的取值范围为-2,-1
．
【题型
【题型10
10】解含参一元二次不等式
】解含参一元二次不等式
对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不
易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏
1
解关于x 的不等式：x2- m-3
x - 3m > 0．
解析
不等式x2- m-3
x - 3m > 0，即x+3
x-m
> 0，
当m =-3 时，原不等式即x+3
2> 0，解得x ≠-3，即不等式的解集为x|x≠-3
；
当m >-3 时，解得x > m 或x <-3，即不等式的解集为{x|x > m 或x <-3}；
当m <-3 时，解得x >-3 或x < m，即不等式的解集为{x|x >-3 或x < m}；
综上可得：当m =-3 时不等式的解集为x|x≠-3
，
１３９
140
当m >-3 时不等式的解集为{x|x > m 或x <-3}，
当m <-3 时不等式的解集为{x|x >-3 或x < m}．
2
(24 - 25 高一下·湖北黄石·月考) 解关于x 的不等式ax2+ 2a+3
x + 6 > 0(a ∈R)．
答案答案见解析
解析
【分析】先讨论a = 0 时不等式的解，在a ≠0 时，求得相应方程的两根，通过比较两根的大小
可得不等式的解．
【详解】原不等式可化为ax2+ 2a+3
x + 6 > 0，即ax+3
x+2
> 0，
①当a = 0 时，原不等式化为3x + 6 > 0，解得x >-2
②当a > 0 时，原不等式化为x+ 3
a
x+2
> 0，
当3
a = 2 即a = 3
2 时原不等式解集-∞,-2
∪-2,+∞
，
当3
a > 2 即a < 3
2 时原不等式解集为-∞,- 3
a
∪-2,+∞
，
当3
a
2即a
3
2 时原不等式解集为-∞,-2
∪- 3
a ,+∞
，
③当a < 0 时，原不等式化为x+ 3
a
x+2
< 0．
原不等式解集为-2,- 3
a
．
综上，当a = 0 时，不等式的解集为-2,+∞
；
当a < 0 时，不等式解集为-2,- 3
a
；
当0 < a < 3
2 时，不等式解集为-∞,- 3
a
∪-2,+∞
；
当a = 3
2 时，不等式解集-∞,-2
∪-2,+∞
；
当a > 3
2 时，不等式解集为-∞,-2
∪- 3
a ,+∞
．
1
解不等式x2- (m + 2)x + 2m < 0
解
即(x - m) (x - 2) < 0，
当m > 2 时，不等式的解集为x
2<x<m
；
当m = 2 时，不等式的解集为∅；
当m < 2 时，不等式的解集为x
m<x<2
．
2
当a < 1 时，解关于x 的不等式(ax - 1) (x - 1) < 0．
解
当a = 0 时，代入不等式可得-x + 1 < 0，解得x > 1；
当0 < a < 1 时，化简不等式可得a x- 1
a
(x - 1) < 0 即x- 1
a
(x - 1) < 0，
由1
a > 1 得不等式的解为1 < x < 1
a ，
当a < 0 时，化简不等式可得a x- 1
a
(x - 1) < 0 即x- 1
a
(x - 1) > 0，
由1
a < 1 得不等式的解为x > 1 或x < 1
a ，
综上可知，当a = 0 时，不等式(ax - 1) (x - 1) < 0 的解集为{x|x > 1}；
当0 < a < 1 时，不等式(ax - 1) (x - 1) < 0 的解集为x 1<x< 1
a
；
当a < 0 时，不等式(ax - 1) (x - 1) < 0 的解集为x x< 1
a
或x>1
．
１４０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
141
3
解关于x 的不等式：x2- 3a-1
x + 2a2- 2a > 0．
解【分析】根据条件得x- a-1
x-2a
> 0，讨论a - 1 与2a 的大小，求解即可．
【详解】原不等式可化为x- a-1
x-2a
> 0，
讨论a - 1 与2a 的大小．
(1) 当a - 1 > 2a，即a <-1 时，不等式的解为{x x
a - 1 或x < 2a}；
(2) 当a - 1 = 2a，即a =-1 时，不等式的解为{x ∈R|x ≠-2}；
(3) 当a - 1 < 2a，即a >-1 时，不等式的解为{x x
2a 或x < a - 1}．
综上：当a <-1 时，不等式的解为{x|x > a - 1 或x < 2a}；当a =-1 时，不等式的解为{x ∈R|x ≠
-2}；当a >-1 时，不等式的解为{x|x > 2a 或x < a - 1}．
4
(24 - 25 高一上·江苏常州·月考) 已知a，b，c ∈R，关于x 的一元二次不等式bx2 - 4x + 3 > 0 的
解集为{x ∣x < 1 或x > c}．
(1) 求b，c 的值；
(2) 解关于x 的不等式ax2- (ac + b)x + bc < 0．
答案(1)b = 1，c = 3
(2) 答案见解析
解【分析】(1) 由题中条件，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解出即可；
(2) 依题意可得ax-1
x-3
< 0，再分a = 0、a < 0、a = 1
3 、0 < a < 1
3 、a > 1
3 五种情况讨论，
分别求出不等式的解集．
【详解】(1) 因为关于x 的一元二次不等式bx2- 4x + 3 > 0 的解集为{x ∣x < 1 或x > c}，
所以关于x 的一元二次方程bx2- 4x + 3 = 0 的两解为x = 1 和x = c，
所以
4
b =1+c
3
b =1×c
，解得b=1
c=3
；
(2) 由(1) 得关于x 的不等式ax2- (ac + b)x + bc < 0
即ax2- (3a + 1)x + 3 < 0，因式分解得ax-1
x-3
< 0，
①当a = 0 时，原不等式为-x + 3 < 0，解得x > 3，即不等式的解集为3,+∞
；
②当a < 0 时，原不等式为x- 1
a
x-3
> 0，解得x > 3 或x < 1
a ，
所以不等式的解集为-∞, 1
a
∪3,+∞
；
③当a = 1
3 时，原不等式为1
3
x-3
2< 0，解得x ∈∅，即不等式的解集为∅；
④当0 < a < 1
3 时，原不等式解得3 < x < 1
a ，即不等式的解集为3, 1
a
；
⑤当a > 1
3 时，原不等式解得1
a < x < 3，即不等式的解集为
1
a ,3
；
综上可得：当a = 0 时不等式的解集为3,+∞
；
当a < 0 时不等式的解集为-∞, 1
a
∪3,+∞
；
当a = 1
3 时不等式的解集为∅；
当0 < a < 1
3 时不等式的解集为3, 1
a
；
当a > 1
3 时不等式的解集为
1
a ,3
．
5
(24 - 25 高一上·江西) 解关于x 的不等式：a-1
x2+ 2a-1
x + 2 > 0
１４１
142
答案答案见解析
解【分析】分a = 1，a > 1，a < 1 三种情况求解即可．
【详解】当a = 1 时，不等式为x + 2 > 0，解得x >-2，
当a > 1 时，由不等式(a - 1)x2+ (2a - 1)x + 2 > 0，可得(a-1)x+1
(x + 2) > 0，
所以x+
1
a-1
(x + 2) > 0，
若-
1
a-1 >-2，则a > 3
2 ，解不等式得x <-2 或x >-
1
a-1 =
1
1-a ，
若-
1
a-1 =-2，则a = 3
2 ，不等式的解集为若x|x≠-2
，
若-
1
a-1 <-2，解得1 < a < 3
2 时，解不等式得x <-
1
a-1 =
1
1-a 或x >-2，
当a < 1 时，由不等式(a - 1)x2+ (2a - 1)x + 2 > 0，可得(a-1)x+1
(x + 2) > 0，
所以x+
1
a-1
(x + 2) < 0，
得-2 < x <-
1
a-1 =
1
1-a ，
综上所述：当a < 1 时，不等式的解集为-2,
1
1-a
，
当a = 1 时，不等式的解集为-2,+∞
，
当1 < a < 3
2 ，不等式的解集为-∞,
1
1-a
∪-2,+∞
，
当a = 3
2 时，不等式的解集为x|x≠-2
，
当a > 3
2 时，不等式的解集为-∞,-2
∪
1
1-a ,+∞
．
6
(24 - 25 高一上·江苏南京·月考) 已知函数y = kx2- 4x + k + 2．
(1) 已知关于x 的不等式kx2- 4x + k + 2 ≤0 的解集为k,k+2
，若存在x ∈k,k+2
，使关于x 的不
等式mx + m + 2 > 0 有解，求实数m 的取值范围；
(2) 解关于x 的不等式kx2- 4x + k + 2 < 5 + k - k+1
x．
答案(1)m >-1
(2) 答案见解析
解【分析】(1) 根据不等式的解可求k 的值，从而可得关于m 的不等式，故可求m 的范围；
(2) 就> 0，k < 0 分类讨论后可得不等式的解集．
【详解】(1) 因为kx2- 4x + k + 2 ≤0 的解集为k,k+2
，
所以k > 0 且kx2- 4x + k + 2 = 0 的两个根为k，k + 2，
所以
k>0
k+k+2= 4
k
k× k+2
= k+2
k
，故k = 1，
因为不等式mx + m + 2 > 0 在1,3
上有解，故m + m + 2 > 0 或3m + m + 2 > 0，
故m >-1．
(2)kx2- 4x + k + 2 < 5 + k - k+1
x 即为kx2+ k-3
x - 3 < 0，
故kx-3
x+1
< 0，
若k = 0，则x >-1，此时不等式的解为-1,+∞
；
若k > 0，则-1 < x < 3
k ，此时不等式的解为-1, 3
k
；
若k < 0，
１４２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
143
若-3 < k < 0，则x < 3
k 或x >-1，此时不等式的解为-∞, 3
k
∪-1,+∞
；
若k =-3，则不等式的解为-∞,-1
∪-1,+∞
；
若k <-3，则x <-1 或x > 3
k ，此时不等式的解为-∞,-1
∪
3
k ,+∞
；
综上：当k = 0 时，不等式的解为-1,+∞
；
当k > 0 时，不等式的解为-1, 3
k
；
当-3 < k < 0 时，不等式的解为-∞, 3
k
∪-1,+∞
；
当k =-3 时，不等式的解为-∞,-1
∪-1,+∞
；
当k <-3 时，不等式的解为-∞,-1
∪
3
k ,+∞
；
【题型
【题型11
11】含参一元二次不等式恒成立问题
】含参一元二次不等式恒成立问题(3)：变更主元法解
：变更主元法解
变更主元：在有几个变量的问题中，常常有一个变量处于主要地位，我们称之为主元。在解含有参数的
不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，则可以得到意想不到的效果。
1
已知∀a ∈0,2
时，不等式ax2+ a+1
x + 1 - 3
2 a < 0 恒成立，则x 的取值范围为
．
答案
-2,-1
解析
【分析】由题意构造函数关于a 的函数f a
= x2+x- 3
2
a + x + 1，则可得
f(0)<0
f(2)<0
，从而可
求出x 的取值范围．
【详解】由题意，因为当a ∈0,2
，不等式ax2+ a+1
x + 1 - 3
2 a < 0 恒成立，
可转化为关于a 的函数f a
= x2+x- 3
2
a + x + 1，
则f a
< 0 对任意a ∈0,2
恒成立，
则满足
f(0)=x+1<0
f(2)=2x2+2x-3+x+1<0
，
得-2 < x <-1，
即x 的取值范围为-2,-1
1
若不等式2x - 1 > m x2-1
对任意m ∈-1,1
恒成立，实数x 的取值范围是
．
答案
3-1,2
解【分析】把题意转化为m x2-1
- 2x + 1 < 0，设f m
= m x2-1
- 2x + 1，由一次函数的单调性
列不等式组，即可求解．
【详解】2x - 1 > m x2-1
可转化为m x2-1
- 2x + 1 < 0．
设f m
= m x2-1
- 2x + 1，则f m
是关于m 的一次型函数．
要使f m
< 0 恒成立，只需
f 1
=x2-2x<0
f -1
=-x2-2x+2<0
，解得
3 - 1 < x < 2．
2
函数f(x) = x2+ ax + 3，若a ∈4,6
，f(x) ≥0 恒成立，则实数x 的取值范围是
．
答案(-∞，-3 -
6] ∪[-3 +
6，+∞)
解【分析】采用变换主元的策略，看作关于a 的一次函数，利用端点函数值不小于0 建立不等式组求
解即可．
【详解】令h(a) = xa + x2+ 3，当a ∈4,6
时，h(a) ≥0 恒成立，
１４３
144
只需h(4)≥0,
h(6)≥0,
即x2+4x+3≥0,
x2+6x+3≥0,
解得x ≤-3 -
6 或x ≥-3 +
6．
所以实数x 的取值范围是(-∞，-3 -
6] ∪[-3 +
6，+∞)．
故答案为：(-∞，-3 -
6] ∪[-3 +
6，+∞)
3
已知函数y = mx2- mx - 6 + m，若对于1 ≤m ≤3，y < 0 恒成立，求实数x 的取值范围．
答案
x 1-
5
2
<x< 1+
5
2
解【详解】解y < 0 ⇔mx2- mx - 6 + m < 0 ⇔(x2- x + 1)m - 6 < 0．
∵1 ≤m ≤3，
∴x2- x + 1 < 6
m 恒成立，
∴x2- x + 1 < 6
3 ⇔x2- x - 1 < 0 ⇔1-
5
2
< x < 1+
5
2
．
∴x 的取值范围为x 1-
5
2
<x< 1+
5
2
．
【题型
【题型12
12】一元二次不等式的整数解问题
】一元二次不等式的整数解问题
1
(24 - 25 高一上·江苏南通·月考) 设集合A = x∣x-2
x-a
≤0
，B = {x ∣3 < x < 7}，若A ∩
B 中恰含有3 个整数，则实数a 的取值范围是
(
)
A.
5,6
B.
6,+∞
C.
6,7
D.
6,7
答案B
解析
【分析】由交集的运算和一元二次不等式的求解即可得到答案；
【详解】若A ∩B 中恰含有3 个整数且B = x 3<x<7
可得4,5,6
⊂A ∩B，
若a ≤2，由集合A 可得a ≤x ≤2，不符合题意；
若a > 2，由集合A 可得2 ≤x ≤a，
此时，因为4,5,6
⊂A ∩B，所以a ≥6，
所以实数a 的取值范围是6,+∞
2
(24 - 25 高一上·广东深圳·月考) 已知关于x 的不等式a-1
x-1 > 1 恰有四个整数解，则实数a 的取值
范围是
(
)
A.
5,6
B.
-4,-3
C.
-4,-3
∪5,6
D.
-4,-3
∪5,6
答案D
解析
【分析】由题意可得x-a
x-1
< 0，分类讨论a = 1，a > 1 和a < 1，解含参的一元二次不
等式，再结合不等式恰有四个整数解，即可得出答案．
【详解】不等式a-1
x-1 > 1，即a-1
x-1 - 1 > 0 可化为x-a
x-1
< 0，
当a = 1 时，不等式x2- a+1
x + a < 0 的解集为空集，不合题意；
当a > 1 时，不等式x2- a+1
x + a < 0 的解集为1,a
，
要使不等式x2- a+1
x + a < 0 恰有四个整数解，则5 < a ≤6，
当a < 1 时，不等式x2- a+1
x + a < 0 的解集为a,1
，
要使不等式a-1
x-1 > 1 恰有四个整数解，则-4 ≤a <-3，
综上可得，实数a 的取值范围是-4,-3
∪5,6
．
1
(24 - 25 高一上·福建·期中) 已知关于x 的不等式x2 - 1+2a
x + 2a < 0 的解集中不含有整数，则
１４４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
145
实数a 的取值范围为
(
)
A. (0 , 1)
B.
0, 1
2
∪
1
2 ,1
C.
0, 1
2
∪
1
2 ,1
D.
0,1
答案D
解【分析】对实数a 的取值进行分类讨论，再由解集中不含有整数限定出不等式可得结果．
【详解】不等式x2- 1+2a
x + 2a < 0 可分解为x-1
x-2a
< 0，
当2a < 1 时，不等式解集为2a,1
，依题意可得2a ≥0，解得a ≥0，
所以0 ≤a < 1
2 ；
当2a = 1，不等式为x-1
2< 0，此时解集为空集，符合题意；
当2a > 1 时，不等式解集为1,2a
，依题意可得2a ≤2，解得a ≤1，
所以1
2 < a ≤1；
综上可得，实数a 的取值范围为0,1
．
2
关于x 的不等式x2- 1+2a
x + 2a < 0 的解集中恰有2 个整数，则实数a 的取值范围是
．
答案
-1,- 1
2
∪
3
2 ,2
解【分析】不等式化为x-1
x-2a
< 0，讨论2a 与1 的大小解出不等式，依题意判断2a 的取值范
围即可得出．
【详解】关于x 的不等式x2- 1+2a
x + 2a < 0 可化为x-1
x-2a
< 0，
当2a > 1 时，解得1 < x < 2a，要使解集中恰有两个整数，则3 < 2a ≤4，得3
2 < a ≤2；
当2a = 1 时，不等式化为x-1
2< 0，此时无解；
当2a < 1 时，解得2a < x < 1，要使解集中恰有两个整数，则-2 ≤2a <-1，得-1 ≤a <- 1
2 ．
综上，实数a 的取值范围是-1,- 1
2
∪
3
2 ,2
．
3
(24 - 25 高一上·福建泉州·期中) 已知关于x 的不等式x2 - a+2
x + 2a < 0 的解集中恰有两个整
数，则正整数a 的值为
．
答案5
解【分析】根据给定条件，按a < 2，a > 2 分类求出解集，进而求出a 的值．
【详解】不等式x2- a+2
x + 2a < 0 ⇔(x - a) (x - 2) < 0，
显然a ≠2，否则原不等式解集为空集，
当a < 2 时，解得a < x < 2，要原不等式的解集中恰有两个整数，a 必小于0，与a 为正整数矛盾，
因此a > 2，解得2 < x < a，要原不等式的解集中恰有两个整数，则4 < a ≤5，
所以正整数a 的值为5．
4
(24 - 25 高一上·江苏常州·期中) 已知集合A = {x x+2
x-2 <0
，B = {x|(3x + 7) (x + k) ≤0}，若A
∩B 中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为
．
答案
-1,0
解【分析】求得集合A，分类讨论解出集合B，并根据A ∩B 中恰有两个整数，求出参数k 的取值范
围即可．
【详解】由x+2
x-2 < 0，可得(x + 2) (x - 2) < 0，解得-2 < x < 2，所以A = {x| -2 < x < 2}，
１４５
146
当k ≤7
3 时，由(3x + 7) (x + k) ≤0，可得- 7
3 ≤x ≤-k，B = x - 7
3 ≤x≤-k
，
因为A ∩B == {x| -2 < x ≤-k} 中恰有两个整数，所以0 ≤-k < 1，解得-1 < k ≤0，
当k > 7
3 ，由(3x + 7) (x + k) ≤0，可得-k ≤x ≤- 7
3 ，B = x -k≤x≤- 7
3
，
此时A ∩B = ∅，不符合题意，
综上所述：若A ∩B 中恰有两个整数，实数k 的取值范围为(-1 , 0]．
5
(24 - 25 高一下·江西南昌·期末) 已知函数f x
= x2 - ax - 2a2 a>0
，不等式f x
< 0 的解集中
有且仅有2 个整数，且这两个整数均为非负数，求实数a 的取值范围．
答案
1
2 ,1
解【分析】解出不等式的解集，再分析非负整数解即可求解．
【详解】∵f x
= x2- ax - 2a2= x-2a
x+a
，
∴f x
< 0，即x-2a
x+a
< 0，
∵a > 0，
∴-a < x < 2a，
∴不等式的解集为x -a<x<2a
，
∵不等式f x
< 0 的解集中有且仅有2 个整数，且这两个整数均为非负数，
∴2a>1
2a≤2
，解得1
2 < a ≤1，∴实数a 的取值范围为
1
2 ,1
．
【题型
【题型13
13】一元二次方程根的分布
】一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想．一般考虑以
下几方面：
1
开口(若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况)．
2
判定给定点处函数值的正负．(开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△> 0 恒成立)
3
判定△符号．
4
判定对称轴的位置．
总之，耐心去分类讨论(分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解)，借助图象去分析就可以
得到结论，无需记忆．
(1) 二元二次方程在R 上根的分布情况
①方程有两个不等的实数根⇔Δ = b2- 4ac > 0；
②方程有两个相等的实数根⇔Δ = b2- 4ac = 0；
③方程没有实数根⇔Δ = b2- 4ac < 0
(2) 一元二次方程的根的“0”分布
①方程有两个不等正根x1，x2⇔
Δ=b2-4ac>0
x1+x2=- b
a >0
x1x2= c
a >0
；
１４６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
147
②方程有两个不等负根x1，x2⇔
Δ=b2-4ac>0
x1+x2=- b
a <0
x1x2= c
a >0
③方程有一正根和一负根，设两根为x1，x2⇔x1x2= c
a < 0
(3) 一元二次方程(a > 0) 的根的“k”分布
①两根都小于k ⇔
Δ>0
- b
2a <k
f(k)>0
；
②两根都大于k ⇔
Δ>0
- b
2a >k
f(k)>0
③一根小于k，一根大于f(k) < 0
(4) 一元二次方程根(a > 0) 在区间的分布
①两根都在(m , n) 内⇔
Δ(m)>0
f(n)>0
m<- b
2a <n
②两根都在(m , n) 外⇔
f(m)<0
f(n)<0
③两根仅有一根在(m , n) 内⇔f(m) ⋅f(n) < 0
１４７
148
④一根在(m , n) 内，另一根在(p , q) 内⇔
f(m)f(n)<0
f(p)f(q)<0
1
已知二次方程2m+1
x2- 2mx + m-1
= 0 有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
解
方法一：
当2m + 1 > 0 时，若要满足题意，必须f 0
< 0；
当2m + 1 < 0 时，若要满足题意，必须f 0
> 0；
即2m+1
f 0
< 0 ⇔2m+1
(m - 1) < 0，解得- 1
2 < m < 1。
方法二：(韦达定理)
设x1，x2是2m+1
x2- 2mx + m-1
= 0 的两个根，若要满足题意等价于
∆=4m2-4 2m+1
m-1
>0
x1x2= m-1
2m+1 <0
，解得- 1
2 < m < 1。
2
(2024·高一·山东潍坊·月考) 关于x 的方程ax2+ x + 1 = 0 至少有一个负实根，求a 的取值范围．
解
①当a = 0 时，解得x =-1，满足条件；
②当a ≠0 时，显然方程没有零根，
由Δ = 1 - 4a ≥0，得a ≤1
4
设方程的两个实数根为x1，x2
若方程有两异号实根，则
Δ=1-4a>0
x1x2= 1
a <0
，解得a < 0；
若方程有两个负的实根，则
Δ=1-4a≥0
x1x2= 1
a >0
x1+x2=- 1
a <0
，解得0 < a ≤1
4 ．
综上，若方程ax2+ x + 1 = 0 至少有一个负的实根，则a ≤1
4 ．
3
已知方程x2 - 2ax + a2 - 4 = 0 的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数a 的取值范围
．
答案0 < a < 4
解
设y = x2- 2ax + a2- 4，
因为方程x2- 2ax + a2- 4 = 0 的一个实根小于2，另一个实根大于2，
则满足a2- 4a < 0，解得0 < a < 4，即实数a 的取值范围为0 < a < 4．
故答案为：0 < a < 4．
4
(24 - 25 高一上·天津·月考) 方程x2 + k-2
x + 5 - k = 0 的两根都大于2，则实数k 的取值范围为
答案-5 < k ≤-4
解【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解．
１４８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
149
【详解】令f(x) = x2+ (k - 2)x + 5 - k，由方程x2+ (k - 2)x + 5 - k = 0 的两根都大于2，
得
Δ=(k-2)2-4(5-k)≥0
f(2)=k+5>0
- k-2
2
>2
，即
k2≥16
k+5>0
2-k>4
，解得-5 < k ≤-4．
故答案为：-5 < k ≤-4
5
(24 - 25 高一上·浙江·期中) 关于x 的方程x2 + a-2
x + 5 - a = 0 有两根，其中一根小于2，另一
根大于3，则实数a 的取值范围是
(
)
A. {a|a <-5 或a >-4}
B.
a -5<a<-4
C.
a a<-5
D.
a a>-4
答案C
解【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a 的不等式组，即可求解．
【详解】设f(x) = x2+ (a - 2)x + 5 - a，
则由题意可知
f(2)<0
f(3)<0
Δ=(a-2)2-4(5-a)>0
，即
4+2(a-2)+5-a<0
9+3(a-2)+5-a<0
Δ=(a-2)2-4(5-a)>0
，解得a <-5，
故实数a 的取值范围是{a|a <-5}．
6
若方程7x2 - (m + 13)x - m - 2 = 0 的一个根在区间(0 , 1) 上，另一根在区间(1 , 2) 上，则实数m
的取值范围为
．
答案(-4 ,-2)
解
设函数f(x) = 7x2- (m + 13)x - m - 2，
∵方程7x2- (m + 13)x - m - 2 = 0 的一个根在区间(0 , 1) 上，另一根在区间(1 , 2)，
∴
f(0)>0
f(1)<0
f(2)>0
，∴
f(0)=-m-2>0
f(1)=-2m-8<0
f(2)=-3m>0
，即
m<-2
m>-4
m<0
，
则-4 < m <-2，
即实数m 的取值范围是(-4 ,-2)；
故答案为：(-4，-2)．
7
已知方程x2- a2x - a + 1 = 0 的两根分别在区间(0 , 1)，(1 ,+∞) 之内，则实数a 的取值范
围为
．
答案(-∞,-2)
解
设f(x) = x2- a2x - a + 1，
方程x2- a2x - a + 1 = 0 的两根分别在区间(0 , 1)，(1 ,+∞) 之内，
可得f(0) > 0，f(1) < 0，
即有-a + 1 > 0，且2 - a2- a < 0，
１４９
150
即为a<1
a>1或a<-2
，解得a <-2．
故答案为：(-∞,-2)．
8
若关于x 的一元二次方程x2+ ax - 2 = 0 有两个不相等的实根x1，x2，且x1<-1，x2> 1，
则实数a 的取值范围是
(
)
A. a <-1
B. a > 1
C. - 1 < a < 1
D. a > 2 2 或a <-2 2
答案C
解
由题意设f(x) = x2+ ax - 2，
∵方程x2+ ax - 2 = 0 有两个不相等的实根x1，x2，且x1<-1，x2> 1，
∴
f(-1)<0
f(1)<0
，则1-a-2<0
1+a-2<0
，解得-1 < a < 1
9
若关于x 的一元二次方程x2 + 3a-1
x + a + 8 = 0 有两个不相等的实根x1，x2，且x1 < 1，x2 >
1．则实数a 的取值范围为
．
答案a <-2
解
令函数y = x2+ (3a - 1)x + a + 8，依题意，y = 0 的两个不等实根x1，x2满足x1< 1，x2> 1，
而函数y = x2+ (3a - 1)x + a + 8 图象开口向上，因此12+ (3a - 1) × 1 + a + 8 < 0，解得a <-2，
所以实数a 的取值范围为a <-2．
10
已知关于x 的方程ax2 + x + 2 = 0 的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a 的取值范围是
．
答案
-3,0
解【分析】根据已知条件及方程的根与函数零点的等价关系，再结合二次函数的性质即可求解．
【详解】显然a ≠0，关于x 的方程ax2+ x + 2 = 0 对应的二次函数f x
= ax2+ x + 2
当a > 0 时，二次函数f x
= ax2+ x + 2 的图象开口向上，
因为ax2 + x + 2 = 0 的两个实根一个小于0，另一个大于1 等价于二次函f x
= ax2 + x + 2 的图象与
x 轴的两个零点一个小于0，另一个大于1，
所以
f 0
<0
f 1
<0
，即2<0
a+3<0
，解得a ∈∅；
②当a < 0 时，二次函数f x
= ax2+ x + 2 的图象开口向下，
因为ax2 + x + 2 = 0 的两个实根一个小于0，另一个大于1 等价于二次函f x
= ax2 + x + 2 的图象与
x 轴的两个零点一个小于0，另一个大于1，
所以
f 0
>0
f 1
>0
，即2>0
a+3>0
，解得-3 < a < 0．；
综上所述，实数a 的范围是-3,0
．
11
方程x2- 2ax + 1 = 0 的两根分别在(0 , 1) 与(1 , 3) 内，则实数a 的取值范围为
(
)
A. 1 < a < 5
3
B. a < 1 或a > 5
3
C. - 1 < a < 5
3
D. - 5
3 < a <-1
答案A
解
令f(x) = x2- 2ax + 1
∵方程x2- 2ax + 1 = 0 的两根分别在(0 , 1) 与(1 , 3) 内，
１５０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
151
∴
f(0)>0
f(1)<0
f(3)>0
，∴
1>0
2-2a<0
10-6a>0
，
∴1 < a < 5
3 ，
∴a 的取值范围为1, 5
3
．
12
已知关于x 的方程ax2 + x + 2 = 0 的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a 的取值范围是
．
解
关于x 的方程ax2+ x + 2 = 0 对应的二次函数f(x) = ax2+ x + 2
若a > 0，即图象开口向上，
ax2+ x + 2 = 0 的两个实根一个小于0，另一个大于1，
只需f(0) < 0，且f(1) < 0，
即2 < 0 且a + 3 < 0，则a ∈∅；
若a < 0，即图象开口向下，
ax2+ x + 2 = 0 的两个实根一个小于0，另一个大于1，
只需f(0) > 0，且f(1) > 0，
即2 > 0 且a + 3 > 0，则-3 < a < 0．
综上可得a 的范围是(-3 , 0)．
故答案为：(-3 , 0)．
13
已知方程x2 + (1 + a)x + 4 + a = 0 的两根为x1，x2，且0 < x1 < 1 < x2，则a 的取值范围是
．
答案(-4 ,-3)
解
由程x2+ (1 + a)x + 4 + a = 0，
知对应的函数f(x) = x2+ (1 + a)x + 4 + a 图象开口方向朝上
又∵方程x2+ (1 + a)x + 4 + a = 0 的两根满足0 < x1< 1 < x2，
则
f(0)>0
f(1)<0
，即4+a>0
1+1+a+4+a<0
，即a>-4
a<-3
，
∴-4 < a <-3
故答案为(-4 ,-3)
模块三
【课后训练】
1
(24 - 25 高一上·上海·月考) 求下列不等式的解集：
(1) x-1
≥4；(2) x-3
2x+1 < 0．
【分析】(1) 根据绝对值不等式的解法求解即可；
(2) 根据分式不等式的解法求解即可．
(1) 由x-1
≥4，得x - 1 ≥4 或x - 1 ≤-4，
所以x ≥5 或x ≤-3，
所以不等式的解集为x x≥5
或x≤-3
；
(2) 由x-3
2x+1 < 0，得x-3
2x+1
< 0，
得- 1
2 < x < 3，
１５１
152
所以不等式的解集为x - 1
2 <x<3
．
2 (多选题) (2024·高一·山东泰安·期中) 已知关于x 的不等式ax2 + bx + c > 0 的解集为
x -3
<x<2
，则
(
)
A. a < 0
B. a + b + c > 0
C. 不等式bx + c > 0 的解集为x x
>6
D. 不等式cx2+ bx + a < 0 的解集为x - 1
3
<x< 1
2
答案ABD
由于不等式ax2+ bx + c > 0 的解集为x -3
<x<2
，
所以x =-3 和x = 2 是ax2+ bx + c = 0 的两个实数根，
所以
-3+2=- b
a
-3×2= c
a
a<0
，故b = a，c =-6a，
a + b + c = a + a - 6a =-4a > 0，故AB 正确，
对于C，不等式bx + c > 0 为ax - 6a > 0，故x - 6 < 0 ⇒x < 6，故C 错误，
对于D，不等式cx2+ bx + a < 0 可变形为-6ax2+ ax + a < 0 ⇔6x2- x - 1 < 0，
得- 1
3 < x < 1
2 ，故D 正确
3 (24 - 25 高一上·江苏南京·月考) 已知关于x 的不等式a-2
x2 + 2 a-2
x + 1 ≤0 的解集
是∅，则实数a 的取值范围是
(
)
A.
2,3
B.
-∞,2
∪3,+∞
C.
2,3
D.
-∞,2
∪3,+∞
答案A
【分析】对二次项系数是否为0 分类讨论可得正确的选项．
【详解】若a = 2，则1 ≤0，此不等式恒不成立，故原不等式无解，符合题设；
若a ≠2，因为不等式的解为空集，故a>2
Δ=4 a-2
2-4(a-2)<0
，
故2 < a < 3，综上，a ∈2,3
，
4 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2 的内接矩形花园(阴影部
分)，则图中矩形花园的其中一边的边长x(单位：m) 的取值范围是
(
)
A.
x
15≤x≤20
B.
x
12≤x≤25
C.
x
10≤x≤30
D.
x
20≤x≤30
答案C
１５２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
153
如图，过A 作AH ⊥BC 于H，交DE 于F，易知DE
BC = AF
AH ，即x
40 = AF
40 ，
则AF = x，FH = 40 - x．所以矩形花园的面积S = x 40-x
≥300，
得10 ≤x ≤30．
5 (24 - 25 高一上·湖北黄冈·月考) 已知命题p：a-4
a
≤0，命题q：不等式ax2 + ax + 1 ≤0
的解集为∅，则p 成立是q 成立的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案D
【分析】根据分式不等式以及一元二次解求解p，q 为真命题时的范围，即可结合逻辑关系求解．
【详解】由a-4
a
≤0 得0 < a ≤4，
由不等式ax2+ ax + 1 ≤0 的解集为∅，所以a = 0 或者a>0
Δ=a2-4a<0
，解得0 < a < 4，
综上q 为真时，0 ≤a < 4，
故p 成立是q 既不充分也不必要条件
6 (24 - 25 高一上·广东广州·期中) 若∀x ∈
1
2 ,2
，不等式x2 - ax + 1 < 0 恒成立，则a 的
取值范围为
．
答案
5
2 ,+∞
【分析】问题化为x ∈
1
2 ,2
上a > x + 1
x 恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，
即可得．
【详解】由x ∈
1
2 ,2
时，x2- ax + 1 < 0 恒成立，即a > x + 1
x 恒成立，
对于g(x) = x + 1
x
x∈
1
2 ,2
，有x + 1
x ≥2
x⋅1
x = 2，当且仅当x = 1 时取等号，
又g(x) 在
1
2 ,1
上单调递减，在(1 , 2] 上单调递增，且g 1
2
= 1
2 + 2 = 5
2 ，g(2) = 2 + 1
2 = 5
2 ，
∴g(x)max = 5
2 ，故a 的取值范围是
5
2 ,+∞
．
7 (24 - 25 高一上·江苏常州·期中) 已知方程x2 + (2k - 1)x + k2 = 0，且方程有两个大于1 的
实数根，则实数k 的取值范围为
．
答案
k|k<-2
【分析】根据一元二次方程有两个大于1 个实数根列不等式，结合韦达定理求得正确答案．
【详解】方程x2+ 2k-1
x + k2= 0 有两个大于1 的实数根x1，x2，
则x1+ x2=- 2k-1
，x1x2= k2，
１５３
154
由题意可得
Δ≥0
x1-1
x-1
>0
x1-1
+ x2-1
>0
，可得
2k-1
2-4k2≤0
x1x2- x1+x2
+1>0
x1+x2-2>0
，
代入可得
2k-1
2-4k2≤0
k2+ 2k-1
+1>0
- 2k-1
-2>0
，解得k <-2，
所以实数k 的取值范围为k|k<-2
．
8 (24 - 25 高一上·四川绵阳·开学考试) 已知关于x 的一元二次不等式x2 - a+1
x + a ≤0 的
解中有且仅有3 个正整数解，则实数a 的取值范围是
．
答案3 ≤a < 4
【分析】将x2 - a+1
x + a ≤0 化为x-1
x-a
≤0，分a = 1，a < 1，a > 1 三种情况讨论即可
求．
【详解】由x2- a+1
x + a ≤0 可得x-1
x-a
≤0，
当a = 1 时，不等式的解集为1
，不符合题意，舍，
当a < 1 时，不等式的解集为x|a≤x≤1
，其正整数解至多有1 个，不符合题意，舍，
当a > 1 时，不等式的解集为x|1≤x≤a
，
因为有且仅有3 个正整数解，故整数解为1，2，3，
所以，3 ≤a < 4．
综上，实数a 的取值范围是3 ≤a < 4．
9 若不等式x2- 2x - m < 0 在x ∈
1
2 ,2
上有解，则实数m 的取值范围是
(
)
A.
-1,+∞
B.
-1,+∞
C.
- 3
4 +∞
D.
0,+∞
答案：B
将不等式x2 - 2x - m < 0 在x ∈
1
2 ,2
上有解，转化为不等式m > x2 - 2x 在x ∈
1
2 ,2
上有解求
解．
【详解】因为不等式x2- 2x - m < 0 在x ∈
1
2 ,2
上有解，
所以不等式m > x2- 2x 在x ∈
1
2 ,2
上有解，
令t = x2- 2x = x-1
2- 1，则tmin =-1，
所以m >-1，所以实数m 的取值范围是-1,+∞
10 已知关于x 的方程x2- ax + 3 = 0 有一根大于1，另一根小于1，则实数a 的取值范围是
(
)
A. (4 ,+∞)
B. (-∞, 4)
C. (-∞, 2)
D. (2 ,+∞)
答案A
设f(x) = x2- ax + 3，
若方程x2- ax + 3 = 0 有一根大于1，另一根小于1，则只需要f(1) < 0，
即f(1) = 1 - a + 3 < 0，得a > 4，
即实数a 的取值范围是(4 ,+∞)
11 关于x 的一元二次方程x2 + a2-1
x + a - 2 = 0 有一个根小于-1，另一个根大于1，则
a 的取值范围是
．
答案-2 < a < 0
设y = x2+ a2-1
x + a - 2，开口向上，
１５４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
155
由题意知1+ a2-1
+a-2<0
1- a2-1
+a-2<0
，
即a2+a-2<0
-a2+a<0
，解得-2<a<1
a 0或a
1
，
所以-2 < a < 0．
故答案为：-2 < a < 0．
12 已知不等式ax3+ bx2+ cx < 0 的解集是-∞,-1
∪0,2
，则b+c
a
的值为
．
答案-3
因为函数f x
= ax3 + bx2 + cx = x ax2+bx+c
，∵关于x 的不等式f x
< 0 的解集是-∞,-1
∪
0,2
，∴ax2+ bx + c = 0 的两根为：-1 和2；所以有：-1
+ 2 =- b
a 且-1
× 2 = c
a ；
∴b =-a 且c =-2a；∴b+c
a
= -a-2a
a
=-3
13 解下列关于x 的不等式：x+a
x-2a+1
< 0．
答案答案见解析．
【分析】对a 分三种情况讨论得解．
【详解】由x+a
x-2a+1
= 0 得x =-a 或x = 2a - 1．
当2a - 1 =-a，即a = 1
3 时，不等式解集为∅；
当2a - 1 >-a，即a > 1
3 时，解集为x -a<x<2a-1
；
当2a - 1 <-a，即a < 1
3 时，解集为x 2a-1<x<-a
．
综上：a = 1
3 时，不等式解集为∅；a > 1
3 时，解集为x -a<x<2a-1
；a < 1
3 时，解集为
x 2a-1<x<-a
．
14 (高一上·江苏镇江·期中) (1) 解关于x 的不等式x2- m+1
x + m < 0．
(2) 若对任意的x ∈1,2
，x2- m+1
x + m ≤0 恒成立，求实数m 的取值范围．
答案(1) 分类讨论，答案见解析；(2)m ≥2．
(1) 不等式x2- m+1
x + m < 0 化为：(x - m) (x - 1) < 0，
当m < 1 时，解得m < x < 1；当m = 0 时，不等式无解；当m > 1 时，解得1 < x < m，
所以当m < 1 时，原不等式的解集为(m , 1)；当m = 0 时，原不等式的解集为∅；
当m > 1 时，原不等式的解集为(1 , m)．
(2) 当x = 1 时，x2- (m + 1)x + m ≤0 恒成立，则m ∈R，
当x ∈(1 , 2] 时，不等式x2- (m + 1)x + m ≤0 ⇔m(x - 1) ≥x(x - 1) ⇔m ≥x，
依题意，∀x ∈(1 , 2]，m ≥x，而x 最大值为2，因此m ≥2，
所以实数m 的取值范围是m ≥2．
15 (24 - 25 高一上·福建福州·月考) 已知不等式mx2- mx + 2 ≥0．
(1) 当x ∈R 时不等式恒成立，求实数m 的取值范围；
(2) 当3 ≤x ≤5 时不等式恒成立，求实数m 的取值范围．
【分析】(1) 根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分m = 0 与m ≠0 两类进行
讨论求解即可；
(2) 根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分m = 0、m > 0 和m < 0 三类进
行讨论求解即可；
(1) ①若m = 0，则原不等式可化为2 > 0，显然恒成立，
②若m ≠0，则不等式mx2- mx + 2 ≥0 恒成立，
１５５
156
等价于m>0
Δ=m2-8m≤0
，解得0 < m ≤8，
综上，实数m 的取值范围是{m|0 ≤m ≤8}．
(2) ①当m = 0 时，则原不等式可化为2 > 0，显然恒成立，
②当m > 0 时，函数y = mx2- mx + 2 的图象开口向上，对称轴为直线x = 1
2 ，
若x ∈[3 , 5] 时不等式恒成立，
则m>0
9m-3m+2≥0
，解得m > 0，
③当m < 0 时，函数y = mx2- mx + 2 的图象开口向下，
若x ∈[3 , 5] 时不等式恒成立，
则
m<0
9m-3m+2≥0
25m-5m+2≥0
，解得- 1
10 ≤m < 0，
综上，实数m 的取值范围是{m m≥- 1
10
．
16 已知1
2 ≤m ≤3，不等式x2+ mx + 4 > 2m + 4x 恒成立，求x 的取值范围
答案{x <-1 或x > 2}
【详解】解因为1
2 ≤m ≤3 时，不等式x2 + mx + 4 > 2m + 4x 恒成立，即m(x - 2) + (x - 2)2 > 0 恒
成立。当x = 2 时，不等式不成立，所以x ≠2。令y = m(x - 2) + (x - 2)2(其中m 为自变量)，1
2 ≤
m ≤3，问题转化为y 在m ∈
1
2 ，3
时恒大于0，则
1
2 (x-2)+(x-2)2>0，
3(x-2)+(x-2)2>0，
解得x > 2 或x <-1。
所以x 的取值范围为{x <-1 或x > 2}
17 (24 - 25 高一下·江西南昌·期末) 已知函数f x
= x2 - ax - 2a2 a>0
，不等式f x
< 0 的
解集中有且仅有2 个整数，且这两个整数均为非负数，求实数a 的取值范围．
答案
1
2 ,1
【分析】解出不等式的解集，再分析非负整数解即可求解．
【详解】∵f x
= x2- ax - 2a2= x-2a
x+a
，
∴f x
< 0，即x-2a
x+a
< 0，
∵a > 0，
∴-a < x < 2a，
∴不等式的解集为x -a<x<2a
，
∵不等式f x
< 0 的解集中有且仅有2 个整数，且这两个整数均为非负数，
∴2a>1
2a≤2
，解得1
2 < a ≤1，
∴实数a 的取值范围为
1
2 ,1
．
18 解关于x 的不等式ax2- (4a + 1)x + 4 > 0．
答案答案见解析
由题意可知，ax2- (4a + 1)x + 4 > 0 可化为(ax - 1) (x - 4) > 0
(1) 当a = 0 时，不等式化为x - 4 < 0，解得x < 4，
(2) 当1
a < 0 时，不等式化为x- 1
a
x-4
< 0，解得1
a < x < 4，
１５６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
157
(3) 当0 < 1
a < 4 时，不等式化为x- 1
a
(x - 4) > 0，解得x < 1
a 或x > 4，
(4) 当1
a = 4 时，不等式化为(x - 4)2> 0，解得x ≠4，
(5) 当1
a > 4 时，不等式化为x- 1
a
(x - 4) > 0，解得x < 4 或x > 1
a ，
综上所述，a = 0 时，不等式的解集为(-∞, 4)
a < 0 时，不等式的解集为
1
a ,4
；
a > 1
4 时，不等式的解集为-∞, 1
a
∪(4 ,+∞)；
a = 1
4 时，不等式的解集为(-∞, 4) ∪(4 ,+∞)；
0 < a < 1
4 时，不等式的解集为(-∞, 4) ∪
1
a ,+∞
；
19 ( 24 - 25 高一下· 湖南长沙· 开学考试) 已知集合A =
x∣x2-3x+2<0
，B =
x|x2-4mx-5m2<0
．
(1) 若集合B = {x ∣-1 < x < 5}，求此时实数m 的值；
(2) 已知命题p : x ∈A，命题q : x ∈B，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．
答案(1)1
(2) -∞,-2
∪
2
5 ,+∞
【分析】(1) 依题意-1、5 为关于x 的方程x2- 4mx - 5m2= 0 的两根，利用韦达定理计算可得；
(2) 由p 是q 的充分条件，知A ⊆B，分m > 0，m = 0、m < 0 三种情况求出B，利用集合的包含关
系求实数m 的取值范围．
【详解】(1) 因为B = x∣x2-4mx-5m2<0
= {x ∣-1 < x < 5}，
所以-1、5 为关于x 的方程x2- 4mx - 5m2= 0 的两根，
所以-1+5=4m
-1×5=-5m2
，解得m = 1；
(2) 由x2- 3x + 2 < 0，即x-2
x-1
< 0，解得1 < x < 2，
所以A = x|x2-3x+2<0
= x|1<x<2
，
由命题p : x ∈A，命题q : x ∈B 且p 是q 的充分条件，
所以A ⊆B，
由x2- 4mx - 5m2< 0，可得x-5m
x+m
< 0，
当m > 0 时，解得-m < x < 5m，即B = x|-m<x<5m
，所以
m>0
5m≥2
-m≤1
(等号不同时取到)，解得
m ≥2
5 ；
当m = 0 时，解得x ∈∅，即B = ∅，显然不符合题意；
当m < 0 时，解得5m < x <-m，即B = x|5m<x<-m
，所以
m<0
-m≥2
5m≤1
(等号不同时取到)，解得
m ≤-2；
综上可得实数m 的取值范围为-∞,-2
∪
2
5 ,+∞
．
20 (高一上·江苏宿迁·月考) 已知二次函数y = x2+ 2ax + 2．
(1) 若x ∈[1 , 5] 时，不等式y > 3ax 恒成立，求实数a 的取值范围；
(2) 解关于x 的不等式(a + 1)x2+ x > y(其中a < 0)．
１５７
158
答案(1) (-∞，2 2)．
(2) 答案见解析．
【分析】(1) 分离参数a，转化为函数最值问题求解；
(2) 分类讨论求解即可．
【详解】(1) 不等式y > 3ax 即为：x2- ax + 2 > 0，
当x ∈[1 , 5] 时，可变形为：a < x2+2
x
= x + 2
x ，
即a < x+ 2
x
min，
又x + 2
x ≥2
x⋅2
x = 2 2，当且仅当x = 2
x ，即x =
2 ∈[1 , 5] 时，等号成立，
∴x+ 2
x
min = 2 2，即a < 2 2，
∴实数a 的取值范围是：(-∞，2 2)．
(2) 不等式(a + 1)x2+ x > y，
即(a + 1)x2+ x > x2+ 2ax + 2，
等价于ax2+ (1 - 2a)x - 2 > 0，
即(x - 2) (ax + 1) > 0，
当a < 0 时，
(i) 当- 1
2 < a < 0 时，因为- 1
a > 2，解不等式(x - 2) (ax + 1) > 0 得：2 < x <- 1
a ；
(ii) 当a =- 1
2 时，因为- 1
a = 2，不等式(x - 2) (ax + 1) > 0 的解集为∅；
(iii) 当a <- 1
2 时，因为- 1
a < 2，解不等式(x - 2) (ax + 1) > 0 得：- 1
a < x < 2；
综上所述，不等式的解集为：
当- 1
2 < a < 0 时，不等式解集为2,- 1
a
；
当a =- 1
2 时，不等式解集为∅；
当a <- 1
2 时，不等式解集为- 1
a ,2
．
１５８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
159
专题3 - 1 函数的概念及其表示
模块一
重点题型梳理
【题型
【题型1】函数的概念
】函数的概念
一般地，设A、B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在
集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y
= f(x)．
1
下列关系中是函数关系的是
(
)
A. 等边三角形的边长和周长关系
B. 电脑的销售额和利润的关系
C. 玉米的产量和施肥量的关系
D. 日光灯的产量和单位生产成本关系
答案A
解析
根据函数关系的定义可得，
选项A 中，当等边三角形的边长取一定的值时，周长有唯一且确定的值与其对应，
所以等边三角形的边长和周长符合函数关系；
其他选项中，两个量之间没有明确的对应关系，所以不是函数关系故选：A
2
(24 - 25 高一上·陕西渭南·月考) (多选) 下列四个曲线中，可以作为函数图象的有
(
)
A.
B.
C.
D.
答案ACD
解析
【分析】由函数的定义，对于任何一个x ，都有唯一的y 与之对应，即可判断．
【详解】根据函数的定义，在选项A、C、D 中的图象中，
对于任何一个x ，都有唯一的y 与之对应，所以可以作为函数图象，
选项B 中，当x > 0 时，有2 个y 与之对应，不能作为函数图象．
3
如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为
(
)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
答案A
１５９
160
解析
①②③这三个图所示的对应法则都符合函数的定义，
即A 中每一个元素在对应法则下，在B 中都有唯一的元素与之对应，
对于④⑤，A 的每一个元素在B 中有2 个元素与之对应，∴不是A 到B 的函数，
对于⑥，A 中的元素a3、a4在B 中没有元素与之对应，∴不是A 到B 的函数，
综上可知，是函数的个数为3．故选：A．
4
(24 - 25 高一上·广东东莞·期中) 已知A = {x ∣0 ≤x ≤2}，B = {y ∣1 ≤y ≤2}，下列图象能表示
以A 为定义域，B 为值域的函数的是
(
)
A.
B.
C.
D.
解析
【分析】观察选项ACD 中函数的值域即可排除，观察分析选项B 中函数的定义域与值域，从而
得解．
【详解】A 是函数的图象，值域为[0 , 2]，与题干函数的值域为B = {y ∣1 ≤y ≤2} 不符，故A 错误；
B 是函数的图象，定义域为[0 , 2]，值域为[1 , 2]，故B 正确；
C 是函数的图象，值域为{1 , 2}，与题干函数的值域为B = {y ∣1 ≤y ≤2} 不符，故C 错误；
D 是函数的图象，值域为{1 , 2}，与题干函数的值域为B = {y ∣1 ≤y ≤2} 不符，故D 错误．
1
(24 - 25 高一上·山西大同·期中) 下列关于x，y 的关系中，y 是x 的函数的是
(
)
A. y =
x-3 +
2-x
B. y2= 9x
C. y =
2x
x≥1
1-2x
x≤1
D.
答案D
解【分析】利用函数的定义逐项分析判断．
【详解】对于A，不等式x-3≥0
2-x≥0
的解集为∅，y 不是x 的函数，A 不是；
对于B，当x > 0 时，有两个y 与x 对应，y 不是x 的函数，B 不是；
对于C，当x = 1 时，有两个y 与x 对应，y 不是x 的函数，C 不是；
对于D，对于x 的每一个值，y 都有唯一值与之对应，y 是x 的函数，D 是．
2
中国清朝数学家李善兰在1859 年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至
今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．已知集合M = 1,2,3
，N =
1,2,3
，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是
(
)
１６０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
161
A.
B.
C.
D.
答案D
解【分析】根据函数的概念判断即可．
【详解】根据函数的定义，在集合M 中任意一个数在N 中有且只有一个与之对应，
选项A 中集合M 中2 对应的数有两个，故错误；
选项B 中集合M 中3 没有对应的数，故错误；
选项C 中对应法则为从M 到N 的函数，箭头应从M 指向N，故错误；
选项D 中集合M 中任意一个数在集合N 中都有唯一数与之对应，故D 正确
3
已知A = {x|0 ≤x ≤2}，B = {1 , 2}，下列图形能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是
(
)
A.
B.
C.
D.
答案C
解【分析】根据定义域以及值域概念，由函数概念即可判断结论．
【详解】对于A，函数的值域为[0 , 2]，不符合题意；
对于B，函数的值域为[1 , 2]，不符合题意；
对于C，函数的定义域为{x|0 ≤x ≤2}，值域为{1 , 2}，符合题意；
对于D，一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义，不符合题意．
【题型
【题型2】给出解析式求函数的定义域
】给出解析式求函数的定义域
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算) 有意义为准则，列出不等式
或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义．
１６１
162
1
(24 - 25 高一上·吉林长春·月考) 函数f(x) =
x+3 - 1
x 的定义域是
(
)
A. R
B. [-3 ,+∞)
C. (-∞, 0) ∪(0 ,+∞)
D.
-3,0
∪(0 ,+∞)
解析
【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可．
【详解】根据题意，得到x+3≥0
x≠0
，解得x ≥-3 且x ≠0．
故定义域是[-3 , 0) ∪(0 ,+∞)．
2
f x
=
4-x2 +
x
2-x 的定义域为
(
)
A.
-2,+∞
B.
-2,2
C.
-2,2
D.
-∞,2
答案B
解析
要使函数f x
=
4-x2 +
x
2-x 有意义，
必须满足4-x2≥0
2-x≠0
，解得-2 ≤x < 2，
函数f x
=
4-x2 +
x
2-x 的定义域为-2,2
．
1
函数f x
=
3-x
x-1 的定义域为
(
)
A.
-∞,3
B.
1,+∞
C.
1,3
D.
-∞,1
∪3,+∞
解【解题思路】由函数形式得到不等式组，解出即可．
【解答过程】由题意得
3-x
x-1
≥0
x-1≠0
，解得1 < x ≤3，则定义域为1,3
2
函数f(x) =
2x2
1-x + (2x - 1)0的定义域为
(
)
A.
-∞, 1
2
B.
1
2 ,1
C.
- 1
2 , 1
2
D.
-∞, 1
2
∪
1
2 ,1
答案D
解
由题意得1-x>0，
2x-1≠0，
解得x < 1 且x ≠1
2 ．
【题型
【题型3】函数图像的判断
】函数图像的判断
1
(24 - 25 高一上·全国·课后作业) 如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相
同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关
系，其中不正确的为()
１６２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
163
A.
B.
C.
D.
答案A
解析
对于A，水面的高度h 的增加是均匀的，为一条直线，因此不正确，其他均正确．
1
(高一上·北京西城·期中) 匀速地向下部是球形、上部是圆柱形的容器(如图所示) 内注水，那么注
水时间t 与容器内水的高度h 之间的函数关系h = f t
的图象大致是图中的()
A.
B.
C.
D.
答案B
解【分析】结合已知条件和容器中水在球体中的水平面面积的变化情况即可求解．
【详解】首先，由于容器下部是球体，且注水速度为匀速，故开始时容器内水的高度h 随注水时间t
变化较快，但随着容器的横截面越来越大，则变化的速度逐渐变慢，但当注水量超过球体体积一半
时，球体横截面逐渐变小，则水的高度h 随注水时间t 变化逐渐变快，由四个选项中可知，ACD 错
误，B 正确．
2
(高一上·江苏镇江·期中) 如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯
注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之
间的函数关系，大致是()
１６３
164
A.
B.
C.
D.
答案D
解【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度，可得问题答案．
【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变；
烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快；
当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢．
【题型
【题型4】相同函数的判断
】相同函数的判断
两个函数相同需要满足的条件是：1．定义域相同；2．解析式相同．
1
(24 - 25 高一上·河北保定·期中) (多选) 下列各项中，f(x) 与g(x) 表示同一函数的是
(
)
A. f(x) = ( x)2，g(x) =
x2
B. f(x) =
1-x2，f(x) =
1-x2，g(x) =
1+x ⋅
1-x
C. f(x) = x2，g(t) = t2
D. f(x) = x-3
，g x
= x-3,
x≥3
3-x,
x<3
答案BCD
解析
【分析】根据函数的定义，一一判断各选项函数的定义域和对应法则是否相同，即可得到答案．
【详解】对于A，因为f(x) 的定义域为0,+∞
，g(x) 的定义域为R，
两者定义域不同，故两函数不相等，故A 错误；
对于B，由1 - x2≥0 得-1 ≤x ≤1，故f x
=
1-x2 的定义域为-1,1
，
由1+x≥0
1-x≥0
得-1 ≤x ≤1，故g x
=
1+x ⋅
1-x =
1-x2 的定义域为-1,1
，
又两者对应法则相同，故两函数相等，故B 正确；
对于C，因为f x
= x2，g t
= t2的定义域均为R，且对应关系相同，故两函数相等，故C 正确；
１６４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
165
对于D，f(x) = x-3
= x-3,
x≥3
3-x,
x<3
，g x
= x-3,
x≥3
3-x,
x<3
，
两个函数的定义域均为R，对应关系相同，所以两函数相等，故D 正确．
故选：BCD．
1
(24 - 25 高一上·河南洛阳·期中) (多选) 下列各组函数中，不是相同函数的是
(
)
A. f x
= x x
与g x
= x2，x≥0，
-x2，x<0
B. f x
= x 与g x
=
x2
C. f x
=
x
x
与g x
= x
x
D. f x
= x + 2 与g x
= x2-4
x-2
答案BCD
解【分析】判断两个函数是否相同，需要从函数的定义域和对应关系两方面进行分析．
【详解】对于A 选项，对于f(x) = x|x|，当x ≥0 时，f(x) = x ⋅x = x2；
当x < 0 时，f(x) = x ⋅(-x) =-x2．g(x) = x2,
x≥0
-x2,
x<0
，
f(x) 与g(x) 的定义域都是R，且对应关系相同，所以f(x) 与g(x) 是同一个函数．
对于B 选项，f(x) = x，g(x) =
x2 = x,
x≥0
-x,
x<0
．虽然定义域都是R，
但是当x < 0 时，f(x) = x，g(x) =-x，对应关系不同，所以f(x) 与g(x) 不是同一个函数．
对于C 选项，f(x) =
x
x ，定义域为{x|x > 0}；g(x) = x
x ，定义域为{x|x > 0}．
对f(x) =
x
x
=
1
x ，g(x) =
x，对应关系不同，所以f(x) 与g(x) 不是同一个函数．
对于D 选项，f(x) = x + 2，定义域为R；g(x) = x2-4
x-2 = (x+2)(x-2)
x-2
，定义域为{x|x ≠2}．
定义域不同，所以f(x) 与g(x) 不是同一个函数．
2
(多选) (高一上·重庆沙坪坝·期中) 下列各组函数是同一个函数的是
(
)
A. f(x) = x2- 2x - 1 与g(t) = t2- 2t - 1
B. f(x) = x0与g(x) = 1
C. f(x) = 1
x 与g(x) = x
x2
D. f(x) =
x+1 ⋅
x-1 与g(x) =
x2-1
答案AC
解【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数．
【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A 正确；
对B：因为函数f(x) 的定义域为-∞,0
∪0,+∞
，函数g(x) 的定义域为R，所以f(x) 与g(x) 不是
同一个函数，故B 错误；
对C：函数f(x) 与g(x) 的定义域都是-∞,0
∪0,+∞
，对应关系一样，故它们是同一个函数，故
C 正确；
对D：函数f (x) =
x+1 ⋅
x-1 的定义域是：1,+∞
，函数g(x) 的定义域是：-∞,-1
∪
1,+∞
，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D 错误．
3
(24 - 25 高一上·江苏盐城·月考) 下列各组函数中，表示同一函数的为
(
)
A. f x
= 2x2，g x
= 2x3
x
B. f x
=
2x+2025，g x
= 2x+2025
C. f x
= x - 1
x ，g x
= x2-1
x
D. f x
= 5x，g x
=
5x2
１６５
166
解【分析】由定义域和对应关系逐项判断即可；
【详解】对于A，f x
的定义域为R，g x
的定义域为x|x≠0
，定义域不同，故A 错误；
对于B，f(x) 定义域为- 2025
2
,+∞
，g(x) 的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；故B 错
误；
对于C：f(x)，g(x) 的定义域均为x|x≠0
，且g x
= x2-1
x
⇔g x
= x - 1
x = f x
，定义域和对
应关系均相同，是同一函数，故C 正确；
对于D：f(x)，g(x) 的定义域均为R，且g x
=
5|x|，对应关系不同，不是同一函数，故D 错误；
故选：C．
【题型
【题型5】已知定义域求参数
】已知定义域求参数
函数定义域是研究函数的起点，常涉及到两大问题：一是求函数定义域，二是已知函数的定义域求参数．
一个带参数的函数，已知函数值域求参数的问题，这类问题就是按照求值域的思路并与已知的值域建立
联系求参数的值，本质上是已知不等式的解集求参数值，解题时从不等式的角度入手比较容易．
1
(2024·高一·天津西青·期末) 若函数f x
=
ax2-2ax+4 的定义域为R，则实数a 的取值范围是
．
答案
0,4
解析
由题意可知：ax2- 2ax + 4 ≥0 在R 上恒成立，
若a = 0，则4 ≥0，符合题意；
若a ≠0，则a>0
Δ=4a2-16a≤0
，解得0 < a ≤4；
综上所述：实数a 的取值范围是0,4
．
2
(24 - 25 高一下·广东梅州·期中) 已知函数f x
= 1
2 x2 - x + 5 在m,n
上的值域为4m,4n
，则
m + n =
(
)
A. 4
B. 5
C. 8
D. 10
解析
【分析】首先利用二次函数最值求出m ≥9
8 ，则得到其单调性，则
f m
=4m
f n
=4n
，代入计算即
可．
【详解】f x
= 1
2 x2- x + 5 的对称轴为x = 1，则f 1
= 1
2 × 12- 1 + 5 = 9
2 ≤4m，解得m ≥9
8 ，
则f x
在m,n
上单调递增，
所以
f m
=4m
f n
=4n
，即
1
2 m2-m+5=4m
1
2 n2-n+5=4n
，
所以m，n 为方程1
2 x2- x + 5 = 4x 的两个根，
即m，n 为方程x2- 10x + 10 = 0 的两个根，所以m + n = 10．
1
若函数f(x) =
x
mx2-x+2
的定义域为R，则实数m 的取值范围是
答案m > 1
8
解
若函数f(x) =
x
mx2-x+2
的定义域为R，则mx2- x + 2 > 0 的解集为R
当m = 0 时，不等式变为-x + 2 > 0，得x < 2 不符合题意；
１６６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
167
当m ≠0 时，要使得解集为R，则m>0
Δ= -1
2-8m<0
，解得m > 1
8
综上可得实数m 的取值范围是m > 1
8 ．
2
(2024·高一·浙江杭州·期中) 已知函数f(x) =
kx2-4x+3 的定义域为R，求实数k 的取值范围
．
答案
4
3 ,+∞
解
由题可得，kx2- 4x + 3 ≥0 对∀x ∈R 恒成立，
当k = 0 时，不满足题意；
当k ≠0 时，要使kx2- 4x + 3 ≥0 对∀x ∈R 恒成立，
则有k>0
Δ=16-12k≤0
，解得k ≥4
3 ，所以实数k 的取值范围是
4
3 ,+∞
．
3
已知函数f(x) =
a2-1
x2+(a+1)x+1 的定义域为R，则实数a 的取值范围为
(
)
A.
-1, 5
3
B. (-∞,-1) ∪
5
3 ,+∞
C.
5
3 ,+∞
D. (-∞,-1] ∪
5
3 ,+∞
解【解题思路】分a = 1、a =-1、a ≠±1 三种情况，结合二次函数的性质即可求解．
【解答过程】当a = 1 时，f(x) =
2x+1，则2x + 1 ≥0，得x ≥- 1
2 ，即定义域为- 1
2 ,+∞
，不符
合题意；
当a =-1 时，f(x) = 1，定义域为R，符合题意；
当a ≠±1 时，由题意得关于x 的不等式a2-1
x2+ (a + 1)x + 1 ≥0 恒成立，
故a2-1>0
Δ=(a+1)2-4 a2-1
≤0
，解得a <-1 或a ≥5
3 ．
综上，实数a 的取值范围是(-∞,-1] ∪
5
3 ,+∞
．
【题型
【题型6】求函数值或由函数值求参
】求函数值或由函数值求参
1
(24 - 25 高一上·江西宜春·月考) 已知函数f 2x+3
= x2- x + a，且f 5
= 3，则a =
(
)
A. 3
B. - 3
C. 17
D. - 17
解析
【分析】赋值计算即可．
【详解】在f 2x+3
= x2- x + a 中取x = 1 可得f 5
= 1 - 1 + a = 3，所以a = 3
1
(24 - 25 高一上·陕西西安·期中) 已知函数f x+1
= x2- 3x + 5，则f 3
=
(
)
A. 9
B. 7
C. 5
D. 3
解【分析】根据解析式求函数值即可．
【详解】由f x+1
= x2- 3x + 5，
所以f 3
= f(2 + 1) = 22- 3 × 2 + 5 = 3．
故选：D．
(24 - 25 高一上·全国·课后作业) 已知函数f x-1
= 2 x
x
，f m
= 1，则m = ()
A．-1 或3
B．1 或3
C．-1
D．3
１６７
168
【分析】根据题意x - 1 = m，再用2 x
x
= 1 计算即可．
【详解】令2 x
x
= 1，解得x = 4，则x - 1 = 3，则m = 3．
2
(24 - 25 高一上·湖北黄冈·月考) 若函数y = f(x) 的值域是1,3
，则函数F(x) = 1 - f(x + 3) 的值
域是
(
)
A.
-8,3
B. [-5 ,-1]
C. [-2 , 0]
D.
1,3
答案C
解【分析】由条件，结合不等式性质求F(x) = 1 - f(x + 3) 的范围即可．
【详解】因为函数y = f(x) 的值域是1,3
，
所以1 ≤f x
≤3，
所以1 ≤f x+3
≤3，
所以-3 ≤-f x+3
≤-1，
所以-2 ≤1 - f x+3
≤0，
故函数F(x) = 1 - f(x + 3) 的值域是[-2 , 0]．
【题型
【题型7】已知函数类型求函数的解析式
】已知函数类型求函数的解析式(待定系数法求解析式
待定系数法求解析式)
待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) 可用待定系数法来求解．
1
(24 - 25 高一上·福建福州·期中) 若函数f x
是二次函数，满足f 0
= 2，f x+2
- f x
= 4x，
则f x
=
(
)
A. x2+ x + 2
B. x2- 2x + 2
C. x2- x + 2
D. x2+ 2x + 2
解析
【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案．
【详解】设f x
= ax2+ bx + c(a ≠0)，由f 0
= 2，则c = 2，
由f x+2
- f x
= 4x，则a x+2
2+ b x+2
+ 2 - ax2+bx+2
= 4x，
整理可得4ax + 4a + 2b = 4x，则4a=4
4a+2b=0
，解得a=1
b=-2
，
所以f x
= x2- 2x + 2．
1
已知二次函数f x
满足f x+1
= f x
- 2x + 2，且f 0
= 2．求f x
的解析式
答案f x
=-x2+ 3x + 2
【思路点拨】设f x
= ax2+ bx + c a≠0
，利用f x+1
= f x
- 2x + 2 建立恒等式求解即可；
解【详解】设二次函数f x
= ax2+ bx + c(a ≠0)，
因为f 0
= c = 2，所以f x
= ax2+ bx + 2．
由f x+1
= f x
- 2x + 2，得a x+1
2+ b x+1
+ 2 = ax2+ bx + 2 - 2x + 2，
得ax2+ 2a+b
x + a + b + 2 = ax2+ b-2
x + 4，
所以2a+b=b-2
a+b+2=4
，得a=-1
b=3
，故f x
=-x2+ 3x + 2．
2
已知函数f(x) =-x2- 2x + 3，则f(x + 1) =
．
解【解题思路】代入函数解析式计算即可．
【解答过程】解：因为f(x) =-x2- 2x + 3，所以f(x + 1) =- x+1
2- 2 x+1
+ 3 =-x2- 4x，
f(x + 1) = -x2- 4x．
１６８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
169
故答案为：-x2- 4x．
3
已知函数f(x) = ax - b(a > 0)，f(f(x)) = 4x - 3，则f(2) =
．
解【解题思路】利用直接代入法结合对应系数相等可得a，b 的值，将2 代入可得结果．
【解答过程】由题意，得f(f(x)) = f(ax - b) = a ⋅(ax - b) - b = a2x - (ab + b) = 4x - 3，
即
a2=4
ab+b=3
a>0
，解得a=2
b=1
，∴f(x) = 2x - 1，因此f(2) = 3
模块二
中档题突破
【题型
【题型8】抽象函数求定义域
】抽象函数求定义域
求抽象函数定义域的方法
(1) 若已知函数f(x) 的定义域为[a , b]，则复合函数f[g(x)] 的定义域可由不等式a ≤g(x) ≤b 求出．
(2) 若已知函数f[g(x)] 的定义域为[a , b]，则f(x) 的定义域为g(x) 在x ∈[a , b] 上的值域．
总结：抽象函数的定义域的方法是：整体代换法(括号内取值范围相同)．
1
函数y = f(2x - 1) 的定义域为区间0,1
，则函数y = f(1 - x) 的定义域为
．
答案
0,2
解析
因为函数y = f(2x - 1) 的定义域为区间0,1
，所以2x - 1 ∈-1,1
，
令1 - x ∈-1,1
，解得0 < x < 2，所以函数y = f(1 - x) 的定义域为0,2
．
2
函数f x
的定义域是-2,3
，则函数y = f x+1
1-x
的定义域是
．
答案(-3 , 1)
解析
由题意可得-2<x+1<3
1-x>0
，解得-3 < x < 1．
所以函数的定义域为-3,1
．
3
(24 - 25 高一上·云南红河·月考) 若函数f x
的定义域为1,3
，则函数g x
= f 2x-1
x-1
的定义域
是
．
解析
【分析】由1≤2x-1≤3
x-1>0
求解即可．
【详解】由题意可得：1≤2x-1≤3
x-1>0
，
得：1 < x ≤2，所以定义域是1,2
1
(24 - 25 高一上·广东深圳·月考) 已知函数f x
的定义域为1,4
，则函数y = f x+2
x
的定义域
为
．
答案
-1,0
∪0,2
解【分析】根据抽象函数定义域的求法即可求解．
【详解】依题意函数f x
的定义域为1,4
，
则要使函数y = f x+2
x
有意义有1<x+2<4
x≠0
，
得-1 < x < 2 且x ≠0，
１６９
170
所以函数y = f x+2
x
的定义域为-1,0
∪0,2
．
2
若函数f x
的定义域是[0，4]，则函数g x
= f 2x
x
的定义域是
A. [ 0，2]
B. (0，2)
C. [0，2)
D. (0，2]
解【解题思路】根据分式与f x
的定义域求解即可
【解答过程】要使函数有意义，依题意需有x≠0
0≤2x≤4
解得，0 < x ≤2．
3
若函数y = f x
的定义域为-2,2
，F x
= f x+ 1
3
f x- 1
3
，则F x
的定义域为
．
答案
- 5
3 , 5
3
解
因为y = f x
的定义域为-2,2
，F x
= f x+ 1
3
f x- 1
3
由题意可得：
-2≤x+ 1
3 ≤2,
-2≤x- 1
3 ≤2.
，解得：- 5
3 ≤x ≤5
3 ，即F x
的定义域为- 5
3 , 5
3
．
【题型
【题型9】建立方程组求解析式
】建立方程组求解析式(方程思想
方程思想)
已知关于f(x) 与
或f(-x) 等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过
解方程组求出f(x)．
1
(广东深圳实验校考) 已知函数y = f x
满足2f x
+ f
1
x
= 2x，x ∈R 且x ≠0，则f x
=
．
答案f x
= 4x
3 - 2
3x
【思路点拨】用1
x 替换x，再解方程组可得答案．
解析
【详解】由2f x
+ f
1
x
= 2x ①，
用1
x 替换x，得2f
1
x
+ f x
= 2
x ②，
①× 2 - ②，得3f x
= 4x - 2
x ，得f x
= 4x
3 - 2
3x ．
2
定义在区间-1,1
上的函数f x
满足2f x
- f -x
= x2，求f x
的解析式．
解析
对任意的x ∈-1,1
有-x ∈-1,1
，
由2f x
- f -x
= x2，①
得2f -x
- f x
= -x
2，②
联立①②解得，f x
= x2 -1<x<1
．
1
(广东广雅中学校考) 已知f
1
x
=
x
1-x2 ，则f x
=
．
答案
x
x2-1 (x ≠0)
【思路点拨】令1
x = t，得到f t
=
t
t2-1 ，进而求得函数f x
的解析式．
１７０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
171
解【详解】令1
x = t，则x = 1
t 且t ≠0，所以f t
=
1
t
1- 1
t2
=
1
t
t2-1
t2
=
t
t2-1 ，
所以函数f x
的解析式为f x
=
x
x2-1 (x ≠0)
2
若对任意实数x，均有f(x) - 2f(-x) = 9x + 2，求f(x)．
答案3x - 2．
解
利用方程组法求解即可；
∵f(x) - 2f(-x) = 9x + 2(1)
∴f -x
- 2f x
= 9 -x
+ 2(2)
由(1) + 2 × (2) 得-3f(x) =-9x + 6，
∴f(x) = 3x - 2(x ∈R)．
故答案为：3x - 2 ．
3
已知定义在R 上的函数f x
满足f x
+ xf -x
= x2+ x，则函数f x
的解析式f x
=
．
答案2x2+x-x3
1+x2
【思路点拨】根据已知把x 换成-x，建立方程组求解．
解【详解】因为f x
+ xf -x
= x2+ x，把x 换成-x 有：f -x
- xf x
= x2- x，
联立
f x
+xf -x
=x2+x
f -x
-xf x
=x2-x
，解得f(x) = 2x2+x-x3
1+x2
．
【题型
【题型10
10】求嵌套函数的解析式
】求嵌套函数的解析式(换元或配凑
换元或配凑)
换元法：已知复合函数f(g(x)) 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
配凑法：由已知条件f(g(x)) = F(x)，可将F(x) 改写成关于g(x) 的表达式，然后以x 替代g(x)，便得
f(x) 的表达式．
1
函数f x
满足若f g x
= 9x + 3，g x
= 3x + 1，则f x
=
(
)
A. f x
= 3x
B. f x
= 3
C. f x
= 27x + 10
D. f x
= 27x + 12
解析
【解题思路】对f g x
的式子适当变形，即可直接求出f x
．
【解答过程】因为f g x
= 9x + 3，g x
= 3x + 1，
所以f 3x+1
= 9x + 3 = 3 3x+1
，则f x
= 3x
2
若函数f g x
= 6x + 3，且g x
= 2x + 1，则f x
等于
(
)
A. 12x + 9
B. 6x + 1
C. 3
D. 3x
答案D
解析
令g x
= 2x + 1 = t，则x = t-1
2
，∴f t
= 6 × t-1
2
+ 3 = 3t，即f x
= 3x 故选：D．
1
已知函数f 1-x
= 1-x2
x2
x≠0
，则f x
=
(
)
A.
1
x-1
2 - 1 x≠0
B.
1
x-1
2 - 1 x≠1
C.
4
x-1
2 - 1 x≠0
D.
4
x-1
2 - 1 x≠1
１７１
172
解【解题思路】利用换元法令t = 1 - x，运算求解即可．
【解答过程】令t = 1 - x，则x = 1 - t，且x ≠0，则t ≠1，
可得f t
= 1- 1-t
2
1-t
2
=
1
t-1
2 - 1，t≠1
，
所以f x
=
1
x-1
2 - 1 x≠1
．
2
已知函数f x
满足：f x- 1
x
= x2+ 1
x2 ，则f x
的解析式为
(
)
A. f x
= x2+ 2
B. f x
= x2
C. f x
= x2+ 2 x≠0
D. f x
= x2- 2 x≠0
解【解题思路】通过化简即可得出函数的解析式．
【解答过程】因为f x- 1
x
= x2+ 1
x2 = x- 1
x
2
+ 2，∴f x
= x2+ 2，
3
(24 - 25 高一上·云南文山·期中) 已知函数f x+1
x
= 1
x2 - 2，则f x
的解析式为
(
)
A. f x
= x2- 2x - 1
B. f x
= x2- 2 x≠0
C. f x
= x2- 2x - 3 x≠1
D. f x
= x2- 2x - 1 x≠1
解【分析】利用换元法求解即可．
【详解】令t = x+1
x
= 1 + 1
x ，t ≠1，则1
x = t - 1，
所以f t
= t-1
2- 2 = t2- 2t - 1，
所以f x
= x2- 2x - 1 x≠1
．
【题型
【题型11
11】分离常数法求值域
】分离常数法求值域
一次分式函数：分离常数法+ 图像法，形如f(x) = ax+b
cx+d (ac ≠0) 的函数
第一步：分离常数，将分子变为常数
f(x) = ax+b
cx+d =
a
c (cx+d)+b- ad
c
cx+d
= a
c +
b- ad
c
cx+d ，分离出常数a
c 和分子为常数的分式
b- ad
c
cx+d
第二步：结合反比例函数y = 1
cx 的值域求函数f(x) 的值域．
1
函数y = 2x+1
x
的值域为
答案
-∞,2
∪2,+∞
解析
【详解】因为y = 2x+1
x
= 2x+2-1
x
= 2 - 1
x ，又因为1
x ≠0，所以2 - 1
x ≠2，
所以函数y = 2x+1
x
的值域为-∞,2
∪2,+∞
．
2
(24 - 25 高一上·黑龙江哈尔滨·期中) 函数f x
= 2x-3
3x+1 的值域
(
)
A.
-∞, 1
3
∪
1
3 ,+∞
B.
-∞, 3
2
∪
3
2 ,+∞
C.
-∞,- 1
3
∪- 1
3 ,+∞
D.
-∞, 2
3
∪
2
3 ,+∞
１７２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
173
解析
【分析】利用分离常数法求解．
【详解】因为函数f x
的定义域为x x≠- 1
3
，
f x
= 2x-3
3x+1 =
2
3 3x+1
- 11
3
3x+1
= 2
3 -
11
3
3x+1 ≠2
3 ，
所以函数f x
的值域为-∞, 2
3
∪
2
3 ,+∞
．
1
(广西南宁三中校考) 若x ∈0,2
，则函数y = x-2
x+1 的值域为
(
)
A.
-2,0
B.
-∞,-2
∪0,+∞
C.
0,1
D.
-2,1
答案A
【思路点拨】将函数变现为y = 1 -
3
x+1 ，结合反比例函数的性质计算可得．
解【详解】因为y = x-2
x+1 = x+1-3
x+1
= 1 -
3
x+1 ，又因为x ∈0,2
，所以x + 1 ∈1,3
，
所以
3
x+1 ∈1,3
，所以1 -
3
x+1 ∈-2,0
，所以函数y = x-2
x+1 ，x ∈0,2
的值域为-2,0
．
2
函数y = 3x+2
x-1 ．的值域为
答案
-∞,2
∪2,+∞
解【详解】因为y = 3x+2
x-1 = 3x-3+5
x-1
= 3 +
5
x-1 ，又因为
5
x-1 ≠0，所以3 +
5
x-1 ≠3，
所以函数y = 3x+2
x-1 ．的值域为-∞,3
∪3,+∞
．
【题型
【题型12
12】换元法求函数的值域
】换元法求函数的值域
求根式型函数值域：换元法
形如y = ax + b +
cx+d(ac ≠0) 的函数
第一步：把函数中的根式
cx+d 设为一个变量t，并用t 表示x，求出t 的取值范围．
第二步：将所求关于x 的函数变换为关于t 的函数．
第三步：求出y 的取值范围，即所求函数的值域．
1
函数f x
=-x + 2 x 的值域是
．
答案
-∞,1
解析
【思路点拨】通过变量代换t =
x 将函数f x
转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质分
析运算即可得解．
【详解】解：由题意，函数f x
=-x + 2 x 的定义域为0,+∞
，
令t =
x，则t ≥0，x = t2，函数f x
转化为g t
=-t2+ 2t，t ≥0，
∵g t
=-t2+ 2t =- t-1
2+ 1，对称轴为t = 1，最大值为g 1
= 1，
∴当t ≥0 时，g t
≤1，即g t
值域为-∞,1
，
∴函数f x
=-x + 2 x 的值域是-∞,1
．
2
(高一上·江苏苏州·期中) 函数y = 1 - x +
1-2x 的值域为
(
)
１７３
174
A.
-∞, 1
2
B.
0，+∞
C.
1
2 ,+∞
D.
1
2 ,+∞
答案C
解析
【分析】令
1-2x = t，t≥0
，可得y =
t+1
2
2
，利用函数单调性求值域．
【详解】令
1-2x = t，t≥0
，则x = 1-t2
2
，
所以函数y = 1 + t2-1
2
+ t = t2
2 + t + 1
2 =
t+1
2
2
，函数在0,+∞
上单调递增，
t = 0 时，y 有最小值1
2 ，
所以函数y = 1 - x +
1-2x 的值域为
1
2 ,+∞
．
1
(湖南长沙·高一长郡中学校考) 函数y = 2x + 4 3-x 的值域为
(
)
A. (-∞, 8]
B. (-∞,-8]
C. [2 ,+∞)
D. [4 ,+∞)
答案A
【思路点拨】设
3-x = t，化简函数为y =-2t2+ 4t + 6，结合二次函数的性质，即可求解．
解【详解】设
3-x = t，则t ≥0，且x = 3 - t2，
则函数可化为y = 2 ⋅(3 - t2) + 4t =-2t2+ 4t + 6 =-2(t - 1)2+ 8 ≤8，
所以函数的值域为(-∞, 8]
2
函数f x
= x3+ 2 8-x3 的值域为
(
)
A.
-∞,4 2
B.
-40,9
C.
-∞,9
D.
-∞,8
答案C
【思路点拨】根据换元法以及二次函数的性质求解结果．
解【详解】令t =
8-x3，则t ≥0，x3= 8 - t2．
设函数g t
= 8 - t2+ 2t =- t-1
2+ 9，当t = 1 时，g t
取最大值9．
因为t ≥0，所以g t
≤9．
函数f x
的值域为-∞,9
．
3
(24 - 25 高一上·湖北·月考) 已知f 2x+1
x
= x+2
x
，则f x
=
(
)
A. 2x - 3 x≠0
B. 2x - 3 x≠2
C. 2x + 3 x≠0
D. 2x + 3 x≠2
解【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数解析式．
【详解】依题意，f 2x+1
x
= 4x+2-3x
x
= 2 ⋅2x+1
x
- 3，显然2x+1
x
= 2 + 1
x ≠2，
所以f(x) = 2x - 3(x ≠2)．
【题型
【题型13
13】分段函数的求值求参
】分段函数的求值求参
1、分段求解时解决分段函数问题的基本原则；当f(x0) 的值时，要先判断x0．属于定义域中的“哪段然
后再代入相应的解析式求解．
2、已知分段函数，求参数值，往往要对含参数的自变量属于" 哪段" 进行分类讨论，然后再代入相应的
解析式，列出方程求解，当出现f f a
的形式时，应从内往外依次求值．
１７４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
175
1
已知函数f x
=
x2-1,
x<0
2,
x=0
x-2,
x>0
，则f f f 1
=
(
)
A. 2
B. 1
C. 0
D. - 1
答案A
解析
因为f x
=
x2-1,
x<0
2,
x=0
x-2,
x>0
，所以f 1
= 1 - 2 =-1，
f f 1
= f -1
= -1
2- 1 = 0，所以f f f 1
= f 0
= 2．故选：A
2
(24 - 25 高一上·山西太原·月考) 函数f x
= x2-1,x∈-1,1
x,x∈0,2
的定义域为
(
)
A. ∅
B.
x -1≤x≤2
C.
-1,0,1,2
D.
-1,0,1
解析
【分析】由对分段函数的定义域的理解可得．
【详解】由-1,1
∪0,2
= -1,0,1,2
，
得函数f(x) 的定义域为-1,0,1,2
．
1
(24 - 25 高一上·江苏南通·月考) 设f x
=
f f x+5
,
x<10
2x-15,
x≥10
，则f 9
的值为
(
)
A. 9
B. 11
C. 28
D. 14
解【分析】由9 < 10，结合函数解析式可得f 9
= f f 14
，再由解析式求f 14
，f 13
求结论．
【详解】因为f x
=
f f x+5
,
x<10
2x-15,
x≥10
，9 < 10，
所以f 9
= f f 14
，
又14 > 10，故f 14
= 2 × 14 - 15 = 13，13 > 10，
所以f 9
= f 13
= 2 × 13 - 15 = 11．
2
已知函数f x
= 3x+1,
x<2
x2+ax,
x≥2
．若f f
2
3
= 12．则实数a =
(
)
A. - 1
B. 1
C. - 2
D. 2
答案B
解
结合题意可得：∵2
3 < 2，∴f
2
3
= 3 × 2
3 + 1 = 3 ，
∵3 ≥2，∴f f
2
3
= f 3
= 32+ 3a = 12，解得：a = 1．故选：B．
3
(2024·高一·山东济南·期中) 已知函数f x
= 2x+1,
x<1
x2,
x≥1
，则f f
1
2
=
；若f a
>
a，则a 的取值范围是
．
答案4
-1,1
∪1,+∞
解
因为f
1
2
= 2 × 1
2 + 1 = 2，所以f f
1
2
= f 2
= 22= 4；
当a ≥1 时，f a
> a ⇔a2> a，解得a > 1，
当a < 1 时，f a
> a ⇔2a + 1 > a，解得-1 < a < 1，
１７５
176
所以不等式的解集为-1,1
∪1,+∞
【题型
【题型14
14】函数的实际应用
】函数的实际应用
1
如图，某小区要在一个直角边长为30m 的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为
△ABC，花园为矩形DEFG．根据规划需要，花园的顶点F 在三角形的斜边BC 上，边DG 在三
角形的直角边AC 上，顶点G 到点C 的距离是顶点D 到点A 的距离的2 倍．
(1) 设花园的面积为S(单位：m2)，AD 的长为x(单位：m)，写出S 关于x 的函数解析式；
(2) 当AD 的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积．
答案(1)S = 2x 30-3x
，0<x<10
(2) 当AD 的长为5m 时，花园的面积最大，最大面积为150m2．
解析
【分析】(1) 根据矩形面积即可求解，
(2) 根据基本不等式即可求解．
【详解】(1)AD = x，则CG = GF = 2x，GD = 30 - x - 2x = 30 - 3x，
所以S = GD ⋅GF = 2x 30-3x
，0<x<10
(2)S = 2x 30-3x
= 2
3 ⋅3x 30-3x
≤2
3
3x+ 30-3x
2
2
= 150，
当且仅当3x = 30 - 3x，即x = 5 时等号成立，
故当AD 的长为5m 时，花园的面积最大，最大面积为150m2．
2
(高一上·重庆·期中) 某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生
态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W(单位：千克) 与施用肥料x(单位：千
克) 满足如下关系：W(x) =
2x2+34,
0≤x≤2
50-
8
x-1 ,
2<x≤5
，且单株施用肥料及其它成本总投入为20x 元．
已知这种水果的市场售价大约为10 元/ 千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为
f x
(单位：元)．
(1) 求函数f x
的解析式；
(2) 当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
答案(1)f x
=
20x2-20x+340,
0≤x≤2
500- 80
x-1 -20x,
2<x≤5
(2) 当施用肥料为3 千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400 元
解析
【分析】(1) 利用f(x) = 10 × W(x) - 20x，即可求解；
１７６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
177
(2) 对f(x) 进行化简，得到f x
=
20 x- 1
2
2+335,
0≤x≤2
480-20
4
x-1 +x-1
,
2<x≤5
，然后分0 ≤x ≤2、2 < x ≤5
讨论f(x)max 的取值，进而得到答案．
【详解】(1) 根据题意，f(x) = 10 × W(x) - 20x，化简得，
f x
= 10W x
- 20x =
20x2-20x+340,
0≤x≤2
500- 80
x-1 -20x,
2<x≤5
；
(2) 由(1) 得f x
=
20x2-20x+340,
0≤x≤2
500- 80
x-1 -20x,
2<x≤5
=
20 x- 1
2
2+335,
0≤x≤2
480-20
4
x-1 +x-1
,
2<x≤5
，
当0 ≤x ≤2 时，f x
max = f 2
= 380，
当2 < x ≤5 时，1 < x - 1 ≤4，所以
f x
= 480 - 20
4
x-1 +x-1
≤480 - 20 × 2
4
x-1 ⋅x-1
= 400，
当且仅当
4
x-1 = x - 1 时，即x = 3 时等号成立，
因为380 < 400，所以当x = 3 时，f x
max = 400，
故当施用肥料为3 千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400 元．
1
(24 - 25 高一上·浙江宁波·月考) 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的研究调查
中，发现其在40 分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x(单位：分钟) 之间的关系满足如图
所示的图象，当x ∈0,12
时，图象是二次函数的一部分，顶点为A，听课时间为12 分钟与听课
时间为8 分钟的注意力指数都为78，听课时间为4 分钟的注意力指数为62；当x ∈12,40
时，图
象是线段BC，其中C 40,50
．
(1) 求y 关于x 的函数解析式；
(2) 根据专家研究，当注意力指数大于62 时，学习效果最佳，要使学生学习效果最佳，教师安排核心
内容应在什么时间段？
答案(1)y = - 1
2 x-10
2+80,x∈0,12
-x+90,x∈12,40
(2) 4,28
解【分析】(1) 根据已知条件以及图象求得y 关于x 的函数解析式；
(2) 根据函数的解析式列不等式，由此求得正确答案．
【详解】(1) 由于听课时间为12 分钟与听课时间为8 分钟的注意力指数都为78，
12+8
2
= 10，所以顶点的横坐标为10，
１７７
178
当x ∈0,12
时，设y = a x-10
2+ m，
将8,78
，4,62
代入上式得4a+m=78
36a+m=62
，
得a =- 1
2 ，m = 80，所以y =- 1
2
x-10
2+ 80，
当x ∈12,40
时，设y = kx + b，将12,78
，40,50
代入上式得：
12k+b=78
40k+b=50
，解得k =-1，b = 90，所以y =-x + 90．
所以y = - 1
2 x-10
2+80,x∈0,12
-x+90,x∈12,40
．
(2) 当x ∈0,12
时，- 1
2
x-10
2+ 80 > 62 ⇒4 < x ≤12，
当x ∈12,40
时，-x + 90 > 62 ⇒12 < x < 28，
综上所述，老师在x ∈4,28
时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．
2
(24 - 25 高一上·广东广州·期末) 某地区上年度电价为0.8 元/(kW ⋅h)，年用电量为akW ⋅h，本年
度计划将电价下降到0.55 元/(kW ⋅h) 至0.7 元/(kW ⋅h) 之间，而用户期望电价为0.4 元/(kW ⋅
h)．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为k)．该
地区的电力成本价为0.3 元/(kW ⋅h)．
(1) 写出本年度电价下调后电力部门的收益y(单价：元) 关于实际电价x(单位：元/(kW ⋅h)) 的函数解
析式；(收益= 实际电量× (实际电价- 成本价))
(2) 设k = 0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
答案(1)y =
k
x-0.4 +a
x-0.3
，0.55 ≤x ≤0.7
(2) 当电价最低定为0.55 元/(kW ⋅h) 时，可保证电力部门的收益比上年至少增长20%
解【分析】(1) 设下调电价后新增用电量为ukW ⋅h，可得出u =
k
x-0.35 ，进而得出收益y 关于实际
电价x 的函数解析式；
(2) 根据题意列不等式组，解一元二次不等式即可得出结论．
【详解】(1) 设下调电价后新增用电量为ukW ⋅h，
因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比(比例系数为k)，
则u =
k
x-0.4 ，所以本年度的用电量为
k
x-0.4 + a，
所以本年度电力部门的收益y 关于实际电价x 的函数解析式为：y =
k
x-0.4 +a
x-0.3
，0.55 ≤
x ≤0.7．
(2) 依题意有：
0.2a
x-0.4 +a
x-0.3
≥a 0.8-0.3
1+20%
0.55≤x≤0.7
，
整理得：x2-1.1x+0.3≥0
0.55≤x≤0.7
，解得：0.55 ≤x ≤0.6，
所以当电价最低定为0.55 元/(kW ⋅h) 时，可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．
模块三
【课后训练】
1
(24 - 25 高一上·四川达州·月考) (多选) 给出以下四个判断，其中正确的是
(
)
A. f x
=
x+1
x-2
的定义域为-1,2
∪2,+∞
B. 函数y = x 与y = x2
x 是同一函数
１７８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
179
C. 若f x
的定义域为-2,2
，则f 2x-1
的定义域为- 1
2 , 3
2
D. 若不等式ax2+ 2x + c < 0 的解集为{x ∣x <-1 或x > 2}，则a + c = 2
答案ACD
【分析】根据分母不为0 且偶次方根的被开方数非负求函数的定义域，即可判断A；由定义域即可判
断B；由题意可得-2 ≤2x - 1 ≤2，进而求定义域，即可判断C；利用韦达定理求出a、c，即可判
断D．
【详解】对于A，对于f x
=
x+1
x-2 ，令x+1≥0
x-2≠0
，解得x ≥-1 且x ≠2，
所以f x
=
x+1
x-2
的定义域为-1,2
∪2,+∞
，故A 正确；
对于B，y = x 的定义域为R，y = x2
x 的定义域为x|x≠0
，
两函数定义域不同，不是同一函数，故B 错误；
对于C，由于f x
的定义域为-2,2
，
所以f 2x-1
中令-2 ≤2x - 1 ≤2，解得- 1
2 ≤x ≤3
2 ，
所以f 2x-1
的定义域为- 1
2 , 3
2
，故C 正确；
对于D，依题意，关于x 的方程ax2+ 2x + c = 0 的两个解是x =-1 或x = 2，并且a < 0，
由韦达定理：
- 2
a =-1+2=1
c
a =-1×2=-2
，解得a=-2
c=4
，所以a + c = 2，故D 正确
2 (24 - 25 高一上·江苏无锡·月考) (多选) 已知函数y = x2 - 2x + 2 的值域是1,2
，则其定义
域可能是
(
)
A.
0,1
B.
1,2
C.
1
4 ,2
D.
-1,1
答案ABC
【分析】根据二次函数的性质确定函数定义域形式，再结合给定值域求解作答．
【详解】由y = x2- 2x + 2 = 1，得x2- 2x + 1 = 0，即x-1
2= 0，得x1= x2= 1．
由y = x2- 2x + 2 = 2，得x2- 2x = 0，即x = 0 或x = 2．
故定义域内必须含有1，0 与2 至少含有一个，且定义域一定是0,2
的子集．
设定义域为a,b
，若a = 0，则1 ≤b ≤2，则A 成立；
若b = 2，则0 ≤a ≤1，则B，C 成立；
D 不可能为定义域．
3 (24 - 25 高一上·吉林通化·月考) (多选) 下列说法正确的是
(
)
A. 函数f x+1
的定义域为-2,2
，则函数f x
的定义域为-1,3
B. f x
= x2
x 和g x
= x 表示同一个函数
C. 函数y =
1
x2+3 的值域为0, 1
3
D. 定义在R 上的函数f x
满足2f x
- f -x
= x + 1，则f x
= x
3 + 1
答案ACD
【分析】对于A 求抽象函数的定义域，由-2 ≤x ≤2 得-1 ≤x + 1 ≤3 即可判断，对于B 判断是否是
同一个函数只需判断定义域和对应关系即可，对于C 由x2 ≥0 得x2 + 3 ≥3，即0 <
1
x2+3 ≤1
3 即可
判断，对于D 消元法求函数解析式可判断．
１７９
180
【详解】对于A：由f x+1
的定义域为-2,2
，则-2 ≤x ≤2 ⇒-1 ≤x + 1 ≤3，所以函数f x
的定
义域为-1,3
，故A 正确；
对于B：函数f x
= x2
x 的定义域为x x≠0
，函数g x
= x 的定义域为R，故B 错误；
对于C：由x2≥0 ⇒x2+ 3 ≥3，所以0 <
1
x2+3 ≤1
3 ，函数y =
1
x2+3 的值域为0, 1
3
，故C 正确；
对于D：由2f x
- f -x
= x + 1，所以2f -x
- f x
=-x + 1，所以f x
= x
3 + 1，故D 正确．
4 (24 - 25 高一上·福建莆田·期中) (多选) 已知f 2x+1
= 4x2定义域为1,3
，则错误的是
(
)
A. f 1
= 4
B. f -1
= 4
C. f x
= x-1
2，x ∈3,7
D. 函数f x-1
的定义域为1,2
答案ABD
【分析】首先需要根据已知条件求出f(x) 的表达式，再据此计算各选项中的函数值并判断定义域是否
正确．
【详解】已知f(2x + 1) = 4x2，设t = 2x + 1，则x = t-1
2
．
因为x ∈[1 , 3]，所以t = 2x + 1 ∈[3 , 7]．
那么f(t) = 4 t-1
2
2
，化简可得f(t) = (t - 1)2，t ∈[3 , 7]，即f(x) = (x - 1)2，x ∈[3 , 7]．
当x = 1 时，1 ∉[3 , 7]，所以f(1) 无定义，A 选项错误．
当x =-1 时，-1 ∉[3 , 7]，所以f(-1) 无定义，B 选项错误．
由前面的计算可知f(x) = (x - 1)2，x ∈[3 , 7]，C 选项正确．
对于函数f(x - 1)，因为f(x) 的定义域为3,7
，所以3 ≤x - 1 ≤7．
不等式得4 ≤x ≤8，所以函数f(x - 1) 的定义域为4,8
，D 选项错误．
5 (24 - 25 高一上·浙江宁波·期中) (多选) 下列说法中正确的有
(
)
A. 若函数f x
的定义域为-2,2
，则函数f 2x-1
的定义域为- 1
2 , 3
2
B. 函数f x
= x2
x 和函数g x
= x 表示同一个函数
C. 函数y = 2x +
x-1 的值域为2,+∞
D. 函数f x
满足f x
- 2f -x
= 2x - 1，则f x
= 2
3 x + 1
答案ACD
【分析】A 选项，由抽象函数求定义域方法得到-2 ≤2x - 1 ≤2，求出- 1
2 ≤x ≤3
2 ，得到定义域；
B 选项，两函数定义域不同；C 选项，换元法得到y = 2t2 + t + 2 = 2 t+ 1
4
2
+ 15
8 ，t ≥0，由单调
性求出值域；D 选项，方程思想求解函数解析式，得到f -x
- 2f x
=-2x - 1，与题目条件联立求
出答案．
【详解】A 选项，令-2 ≤2x - 1 ≤2，解得- 1
2 ≤x ≤3
2 ，
故函数f 2x-1
的定义域为- 1
2 , 3
2
，A 正确；
B 选项，f x
= x2
x 的定义域为-∞,0
∪0,+∞
，
g x
= x 的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，B 错误；
C 选项，令
x-1 = t ≥0，故x = t2+ 1，
１８０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
181
故y = 2t2+ t + 2 = 2 t+ 1
4
2
+ 15
8 ，t ≥0，
因为t ≥0，所以y = 2 t+ 1
4
2
+ 15
8 在0,+∞
上单调递增，
故y = 2 t+ 1
4
2
+ 15
8 ∈2,+∞
，
函数y = 2x +
x-1 的值域为2,+∞
，C 正确；
D 选项，f x
满足f x
- 2f -x
= 2x - 1 ①，
故f -x
- 2f x
=-2x - 1 ②，
联立①②得f x
= 2
3 x + 1，D 正确．
6 (24 - 25 高一上·广东梅州·开学考试) 已知函数f(x) =
mx2+mx+1 的定义域是R，则m
的取值范围是
(
)
A. 0 < m ≤4
B. 0 ≤m < 4
C. m ≥4
D. 0 ≤m ≤4
答案D
【分析】函数f(x) =
mx2+mx+1 的定义域是R，等价于不等式mx2 + mx + 1 ≥0 对任意x ∈R 恒成
立，分m = 0 和m>0
Δ≤0
两种情况求出实数m 的取值范围即可．
【详解】因为函数f(x) =
mx2+mx+1 的定义域是R，
所以不等式mx2+ mx + 1 ≥0 对任意x ∈R 恒成立，
当m = 0 时，1 > 0，对任意x ∈R 恒成立，符合题意；
当m ≠0 时，m>0
Δ≤0
，即m>0
m2-4m≤0
，解得：0 < m ≤4，
综上，实数m 的取值范围是0 ≤m ≤4
7 已知函数y = f(x) 的定义域为[-2 , 3]，则函数y = f(2x+1)
x+1
的定义域为
(
)
A.
- 3
2 ,1
B.
- 3
2 ,-1
∪(-1 , 1]
C. [-3 , 7]
D. [-3 ,-1) ∪(-1 , 7]
答案B
由题意得：-2 ≤2x + 1 ≤3，解得：- 3
2 ≤x ≤1，
由x + 1 ≠0，解得：x ≠-1，故函数的定义域是- 3
2 ,-1
∪-1,1
，故选：B．
8 (24 - 25 高一上·福建莆田·期中) (多选) 下列说法正确的有
(
)
A. 若函数f(2x - 3) 的定义域是[-3 , 3]，则函数f(x + 2) 的定义域是0,5
B. 函数y = x+1
2-x ，x ∈[3 , 5] 的值域为-4,-2
C. 已知函数f x- 1
x
= x2+ 1
x2 ，则f(1) = 3
D. 若关于x 的不等式x2- kx + 1 > 0 对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是(-2 , 2)
答案BCD
【分析】根据负荷函数定义域的求法求函数定义域，判断A 的真假；分离常数，分析函数的单调性，
求值域判断B 的真假；换元法求函数解析式，再求函数值，判断C 的真假；根据Δ < 0 求k 的取值范
围，判断D 的真假．
【详解】对A：对f(2x - 3)，由x ∈[-3 , 3] ⇒2x - 3 ∈-9,3
；
对f(x + 2)，由x + 2 ∈-9,3
⇒x ∈-11,1
，
１８１
182
所以函数f(x + 2) 的定义域为-11,1
，故A 错误；
对B：因为y = x+1
2-x =-1 -
3
x-2 ，x ∈[3 , 5] 为增函数，且y 3
=-1 - 3 =-4，
y 5
=-1 - 1 =-2，所以函数y = x+1
2-x ，x ∈[3 , 5] 的值域为-4,-2
，故B 正确；
对C：设t = x - 1
x ，则t2= x- 1
x
2
= x2+ 1
x2 - 2，所以x2+ 1
x2 = t2+ 2，
所以f t
= t2+ 2，t ∈R，所以f 1
= 3，故C 正确；
对D：因为关于x 的不等式x2 - kx + 1 > 0 对任意实数x 都成立，所以Δ = k2 - 4 < 0，解得：-2 < k
< 2，故D 正确．
故选：BCD
9 已知函数f x
=
x+1,
x≤0
f x-6
,
x>0
，则f 1
=
．
答案-4
由题意知当x > 0，f x
= f x-6
，则f 1
= f 1-6
= f -5
，
所以f -5
=-5 + 1 =-4．
10 已知：函数f x
= x + 4，g x
=-x2+ 2x，则f g x
=
．
答案-x2+ 2x + 4
函数f x
= x + 4，g x
=-x2+ 2x，则f g x
= f -x2+2x
=-x2+ 2x + 4．
故答案为：-x2+ 2x + 4
11 设函数f 1+ 1
x
= 2x + 1，则f x
的表达式为
(
)
A. 1+x
1-x x≠1
B. 1+x
x-1 x≠1
C. 1-x
1+x x≠-1
D.
2x
x+1 x≠-1
答案B
令t = 1 + 1
x t≠1
，则可得x =
1
t-1 t≠1
所以f t
=
2
t-1 + 1 = 1+t
t-1 t≠1
，所以f x
= 1+x
x-1 x≠1
，故选：B
12 若函数f(x) =
2x-3
ax2+ax+1
的定义域为R，则实数a 的取值范围是
．
答案[0 , 4)
f(x) 的定义域是R，则ax2+ ax + 1 > 0 恒成立，
a = 0 时，ax2+ ax + 1 = 1 > 0 恒成立，
a ≠0 时，则a>0
Δ=a2-4a<0
，解得0 < a < 4，
综上，0 ≤a < 4．
故答案为：[0 , 4)．
13 (24 - 25 高一上·江苏·期中) 已知实数a ≠0，函数f x
= 2x+a，x<1，
-x-2a，x≥1
．若f 1-a
=
f 1+2a
，则a 的值为
(
)
A. 1
B. - 1
2
C. - 1
D. - 1
2 或-1
【分析】对a 分类讨论判断出1 - a，1 + 2a 在分段函数的区间段，代入求出函数值，解方程求出a．
【详解】解：①当a > 0 时，1 - a < 1，1 + 2a > 1，
由f 1-a
= f 1+2a
，
１８２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
183
得2 1-a
+ a =- 1+2a
- 2a，
得a =-1，不满足a > 0，故舍去；
②当a < 0 时，1 - a > 1，1 + 2a < 1，
由f 1-a
= f 1+2a
，
得- 1-a
- 2a = 2 1+2a
+ a，
得a =- 1
2 满足a < 0，故a =- 1
2 ．
14 已知函数f x
=
x
2x-4x ，则函数f x-1
x+1
的定义域为
(
)
A.
-∞,1
B.
-∞,-1
C.
-∞,-1
∪-1,0
D.
-∞,-1
∪-1,1
【解题思路】先求得函数f x
的定义域，再运用复合函数的定义域求解方法可得选项．
【解答过程】因为f x
=
x
2x-4x ，所以2x - 4x > 0 解得x < 0，所以函数f x
的定义域为
-∞，0
，所以函数f x-1
x+1
需满足x - 1 < 0 且x + 1 ≠0，解得x < 1 且x ≠-1
15 求下列函数的解析式：
(1) 已知f x+2
= 2x + 3，求f x
；(2) 已知f
x+1
= x + 2 x，求f x
；
(1) 因为f x+2
= 2x + 3 = 2 x+2
- 1，
所以f x
= 2x - 1．
(2) 解法一(换元法)：令t =
x + 1，t ≥1，则x = t-1
2，
所以f t
= t-1
2+ 2 t-1
= t2- 1 t≥1
，
所以f x
= x2- 1 x≥1
．
(配凑法)：f
x+1
= x + 2 x =
x+1
2- 1，
因为
x + 1 ≥1，所以f x
= x2- 1 x≥1
．
16 (1) 已知f
x+2
= x + 4 x，求函数f x
的解析式；
(2) 已知f x
是二次函数，且满足f 0
= 1，f x+1
= f x
+ 2x，求函数f x
的解析式；
(3) 已知f x
+ 2f -x
= x2- x，求函数f x
的解析式；
(1) 设t =
x + 2，则t ≥2，
x = t - 2，即x = t-2
2，
所以f t
= t-2
2+ 4 t-2
= t2- 4，
所以f x
= x2- 4 x≥2
．
(2) 因为f x
是二次函数，所以设f x
= ax2+ bx + c a≠0
．
由f 0
= 1，得c = 1．
由f x+1
= f x
+ 2x，得a x+1
2+ b x+1
+ 1 = ax2+ bx + 1 + 2x，
整理得2a-2
x + a+b
= 0，
所以2a-2=0
a+b=0
，所以a=1
b=-1
，所以f x
= x2- x + 1．
(3) 因为f x
+ 2f -x
= x2- x，①
所以f -x
+ 2f x
= x2+ x，②
②× 2 - ①，得3f x
= x2+ 3x，所以f x
= x2
3 + x．
17 求下列函数的定义域：
(1) 已知函数f(x) 的定义域为[1，2]，求函数y = f(2x + 1) 的定义域；
(2) 已知函数y = f(2x + 1) 的定义域[1，2]，求函数f(x) 的定义域；
１８３
184
(3) 已知函数y = f(2x + 1) 的定义域[1，2]，求函数y = f(2x - 1) 的定义域．
(1) 设2x + 1 = t，由于函数y = f(t) 定义域为[1，2]，
故1 ≤t ≤2，即1 ≤2x + 1 ≤2，解得0 ≤x ≤1
2 ，
所以函数y = f(2x + 1) 的定义域为0，1
2
；
(2) 设2x + 1 = t，因为1 ≤x ≤2，
所以3 ≤2x + 1 ≤5，即3 ≤t ≤5，函数y = f(t) 的定义域为[3，5]，
由此得函数y = f(x) 的定义域为[3，5]；
(3) 因为函数y = f(2x + 1) 的定义域为[1，2]，即1 ≤x ≤2，
所以3 ≤2x + 1 ≤5，所以函数y = f(x) 的定义域为[3，5]，
由3 ≤2x - 1 ≤5，得2 ≤x ≤3，
所以函数y = f(2x - 1) 的定义域为[2，3]．
18 求下列函数的值域：
(1)y =
x - 1；
(2)y = 2x+1
x-3 ；
(3)y = x2+8
x-1 (x > 1)；
(4)y = 2x -
x-1．
(1) ∵
x ≥0，∴
x - 1 ≥-1，
∴y =
x - 1 的值域为[-1 ,+∞)．
(2)y = 2x+1
x-3 = 2 x-3
+7
x-3
= 2 +
7
x-3 ，显然
7
x-3 ≠0，所以y ≠2，
故函数的值域为-∞,2
∪2,+∞
．
(3) 由x > 1，知x - 1 > 0．
则y = x2+8
x-1 =
x-1
2+2 x-1
+9
x-1
= x-1
+
9
x-1 + 2 ≥2
x-1
⋅
9
x-1 +2=8，
当且仅当x - 1 =
9
x-1 ，即x = 4 时，上式取“=”．
∴y = x2+8
x-1 (x > 1) 的最小值为8．
故函数y = x2+8
x-1 (x > 1) 的值域为[8 ,+∞)．
(4) 设t =
x-1，则t ≥0，且x = t2+ 1，
所以y = 2 t2+1
- t = 2 t- 1
4
2
+ 15
8 ，
由t ≥0，结合函数的图象得原函数的值域为
15
8 ,+∞
．
１８４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
185
专题3 - 2 函数的单调性与最值
【题型
【题型1】单调性的概念与判断
】单调性的概念与判断
一、增函数、减函数的概念
一般地，设函数f x
的定义域为A，区间D ⊆A：
如果对于D 内的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 < x2 时，都有f(x1) < f(x2)，那么就说f x
在区间D
上是增函数．
如果对于D 内的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 < x2 时，都有f(x1) > f(x2)，那么就说f x
在区间D
上是减函数．
知识点诠释：
(1) 属于定义域A 内某个区间上；
(2) 任意两个自变量x1，x2且x1< x2；
(3) 都有f(x1) < f(x2) (或f(x1) > f(x2))；
(4) 图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
上升趋势
下降趋势
二、函数单调性的判断方法
(1) 定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值- 变形- 判断符号- 下结论”进行判断．
(2) 图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
(3) 直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区
间．
三、单调函数的运算性质
若函数f(x) 与g(x) 在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质：
(1)f(x) 与f(x) + C(C 为常数) 具有相同的单调性．
(2)f(x) 与-f(x) 的单调性相反．
(3) 当a > 0 时，af(x) 与f(x) 单调性相同；当a < 0 时，af(x) 与f(x) 单调性相反．
(4) 若f(x) ≥0，则f(x) 与
f(x) 具有相同的单调性．
１８５
186
(5) 若f(x) 恒为正值或恒为负值，则当a > 0 时，f(x) 与
a
f(x) 具有相反的单调性；
当a < 0 时，f(x) 与
a
f(x) 具有相同的单调性．
(6)f(x) 与g(x) 的和与差的单调性(相同区间上)：
简记为：↗+ ↗=↗；(2) ↘+ ↘=↘；(3) ↗- ↘=↗；(4) ↘- ↗=↘．
1
已知函数f x
是R 上的增函数，函数g x
是R 上的减函数，则下列函数一定是增函数的是
A. f x
+ g x
B. f x
- g x
C. g x
- f x
D. f x
g x
答案B
解析
因为函数f x
是R 上的增函数，函数g x
是R 上的减函数，
所以函数f x
- g x
是R 上的增函数，
函数g x
- f x
是R 上的减函数，
函数f x
+ g x
，f x
g x
的单调性无法判断．
2
(多选) 当x < a 时，函数值y 随x 的增大而增大，称函数为增函数．下列函数中，当x <-1 时是
增函数的有
(
)
A. y =-2x + 1
B. y = 2x
C. y =-
2
x+1
D. y = 2
x
答案BC
解析
【详解】y =-2x + 1，一次函数，k < 0，函数值y 随x 的增大而减小，故A 错误；
y = 2x，一次函数，k > 0，函数值y 随x 的增大而增大，故B 正确；
y = -2
x ，反比例函数，k < 0，在二四象限内，函数值y 随x 的增大而增大，
将y = -2
x
函数图像向左平移1 个单位长度可得y =-
2
x+1 ，
则当x <-1，y =-
2
x+1 的函数值y 随x 的增大而增大，故C 正确；
y = 2
x ，反比例函数，k > 0，在一三象限内，函数值y 随x 的增大而减小，故D 错误；
故选：BC
1
已知函数f x
在0,+∞
上单调递增，则对实数a > 0，b > 0，“a > b”是“f a
> f b
”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案C
解
因为函数f x
在0,+∞
上单调递增，且a > 0，b > 0，
由增函数的定义可知，当a > b 时，有f a
> f b
，
充分性成立；当f a
> f b
时，若a = b，由函数定义可知矛盾，
若a < b，由函数单调性的定义可知矛盾，则a > b，必要性成立．
即对实数a > 0，b > 0，“a > b”是“f a
> f b
”的充要条件．
2
下列四个函数中，在x ∈0,+∞
上为增函数的是
(
)
１８６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
187
A. f x
=-
1
x+1
B. f x
= x2- 3x
C. f x
= 3 - x
D. f x
=- x
答案A
解
根据函数f x
=-
1
x+1 的图像可知，其单调递增区间是-∞,-1
，-1,+∞
，所以A 对．
因为抛物线f x
= x2- 3x 的单调递增区间为
3
2 ,+∞
，单调递减区间为-∞, 3
2
，
所以该抛物线在x ∈0,+∞
上不单调，所以B 错；
因为直线f x
= 3 - x 的斜率为-1，所以在上x ∈0,+∞
为减函数，所以C 错；
根据函数f x
=- x
的图像可知其在x ∈0,+∞
上为减函数，所以D 错；故选：A．
3
已知函数f(x) 在R 上是增函数，则下列说法正确的是
(
)
A. y =-f(x) 在R 上是减函数
B. y =
1
f(x) 在R 上是减函数
C. y = [f(x)]2在R 上是增函数
D. y = af(x) (a 为实数) 在R 上是增函数
答案A
解【分析】y =-f(x) 在R 上是减函数，故选项A 正确；举例说明选项B，C，D 错误，即得解．
【详解】选项A，∵函数f(x) 在R 上是增函数，∴y =-f(x) 在R 上是减函数，故选项A 正确；
选项B，函数f(x) 在R 上是增函数，但y =
1
f(x) 在R 上不一定是减函数，
如f(x) = x 在R 上是增函数，但y =
1
f(x) = 1
x 在R 上不是减函数，故排除选项B．
选项C，函数f(x) 在R 上是增函数，但y = [f(x)]2在R 上不一定是减函数，
如f(x) = x 在R 上是增函数，但y = [f(x)]2= x2在R 上不是减函数，故排除选项C．
选项D，函数f(x) 在R 上是增函数，但y = af(x) (a 为实数) 在R 上不一定是增函数，
例如f(x) = x 在R 上是增函数，但f(x) =-2x 在R 上不是增函数，故排除选项D．
故选：A
【题型
【题型2】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间
】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间
单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数f(x) 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x) 在区间D 上具有单
调性，D 称为函数f(x) 的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
【注意】
(1) 函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，
故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2) 单调区间D ⊆定义域I．
(3) 遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
(4) 单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
1
函数f x
=
x
1+x 的单调递增区间为
１８７
188
答案
-∞，-1
和-1，+∞
解析
【详解】f x
= 1+x-1
1+x
= 1 + -1
x+1 x≠-1
，
所以f x
=
x
1+x 的单调递增区间为-∞，-1
和-1，+∞
故答案为：-∞，-1
和-1，+∞
1
函数y = x2+ 2x - 3，x ∈-2,2
的单调递减区间为
．
答案
-2,-1
解
由二次函数的性质可知y = x2+ 2x - 3 的对称轴为x =-1，开口向上，
所以其单调区间为-2,-1
．
2
函数f x
= 4x-3
2x+3 的单调递增区间为
．
答案
-∞,- 3
2
，- 3
2 ,+∞
解
f(x) = 4x-3
2x+3 = 4x+6-9
2x+3
= 2 -
9
2x+3 ，
由2x + 3 ≠0，得x ≠- 3
2 ，
当x ∈-∞,- 3
2
时，y =
9
2x+3 单调递减，f(x) 单调递增；
当x ∈- 3
2 ,+∞
时，y =
9
2x+3 单调递减，f(x) 单调递增，
所以f(x) 的单调增区间为-∞,- 3
2
，- 3
2 ,+∞
．
3
已知函数f x
= x2-5x+6
，则函数f x
的单调递增区间是
(
)
A.
-∞, 5
2
B.
5
2 ,+∞
C.
2, 5
2
和3,+∞
D.
-∞,2
和
5
2 ,3
答案C
解
因为函数y = x2- 5x + 6 的对称轴为直线x = 5
2 ，
由x2- 5x + 6 = 0 可得x = 2 或x = 3，作出函数f x
= x2-5x+6
的图象如下图所示：
由图可知，函数f x
的单调递增区间为2, 5
2
和3,+∞
．故选：C．
【题型
【题型3】定义法讨论函数的单调性
】定义法讨论函数的单调性
证明函数单调性的步骤
(1) 取值．设x1，x2是f(x) 定义域内一个区间上的任意两个量，且x1< x2；
１８８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
189
(2) 变形．作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等) 或作商变形；
(3) 定号．判断差的正负或商与1 的大小关系；
(4) 得出结论．
1
已知函数f x
= 2x2+ 1
x (x ≠0，a ∈R)，用单调性的定义证明f x
在2,+∞
上是增函数．
答案证明见解析
解析
当a = 1 时，f x
= 2x2+ 1
x ，
任取x1，x2∈2,+∞
，且x1< x2，
则
f
x2
-
f
x1
=
2x2
2+ 1
x2
-
2x2
1+ 1
x1
=
2 x2-x1
x2+x1
+
x1-x2
x1x2
=
x2-x1
2x1x2 x1+x2
-1
x1x2
．
因为2 ≤x1< x2，所以x2- x1> 0，x1x2> 4，2x1x2 x1+x2
- 1 > 0，
所以f x2
- f x1
> 0，即f x2
> f x1
．
所以f x
在2,+∞
上是增函数．
2
已知函数f x
= x2+ a
x (x ≠0 , a ∈R)，若f x
在2,+∞
是增函数，求实数a 的范围．
答案(-∞，16]．
解析
【详解】设2 ≤x1< x2，
f x1
- f x2
= x2
1 + a
x1
- x2
2- a
x2
=
x1-x2
x1x2
x1x2 x1+x2
-a
，
要使函数f(x) 在x ∈[2，+∞) 上为增函数，必须f(x1) - f(x2) < 0 恒成立．
∵
x1- x2< 0，
x1x2> 4，即a < x1x2 x1+x2
恒成立．
又∵x1+ x2> 4，∴x1x2 x1+x2
> 16．
的取值范围是(-∞，16]．
1
已知函数f x
= x2+a
x
，且f 1
= 2．
(1) 求函数f x
的解析式；
(2) 用定义证明函数f x
在1，+∞
上是增函数．
解
(1) ∵f(1) = 1+a
1
= 2，∴a = 1 ∴f(x) = x2+1
x
；
(2) 设1 < x1< x2，
f x1
- f x2
= x2
1+1
x1
- x2
2+1
x2
=
x1x2-1
x1-x2
x1x2
，
∵1 < x1< x2，x1x2> 1 ∴x1- x2< 0，x1x2- 1 > 0
∴f x1
- f x2
< 0，即f x1
< f x2
则函数f(x) 在(1 ,+∞) 上是增函数
2
已知函数f x
= ax -
b
x+1 a,b∈R
，图象经过点2, 5
3
，且f 1
= 1
2 ．
(1) 求a，b 的值；
(2) 判断并用定义证明函数y = f x
在区间-1,+∞
上的单调性．
答案(1)a = b = 1
(2)y = f x
在区间-1,+∞
上单调递增，理由见解析
１８９
190
解【分析】(1) 待定系数法得到方程组，求出答案；
(2) 定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，判号，下结论．
【详解】(1) 由题意得
2a-
b
2+1 = 5
3
a-
b
1+1 = 1
2
，解得a=1
b=1
，
(2)f x
= x -
1
x+1 在区间-1,+∞
上单调递增，理由如下：
任取x1，x2∈-1,+∞
，且x1< x2，
故f x1
- f x2
= x1-
1
x1+1 - x2+
1
x2+1 = x1- x2+
1
x2+1 -
1
x1+1
= x1- x2+
x1-x2
x2+1
x1+1
= x1-x2
1+
1
x2+1
x1+1
，
因为x1< x2，所以x1- x2< 0，
又x1，x2∈-1,+∞
，所以1 +
1
x2+1
x1+1
> 0，
故f x1
- f x2
= x1-x2
1+
1
x2+1
x1+1
< 0，
故f x1
< f x2
，y = f x
在区间-1,+∞
上单调递增．
3
已知f(x) =
x
x-a (x ≠a) ．
(1) 若a =-2，试证明f(x) 在-∞,-2
内单调递增；
(2) 若a > 0 且f(x) 在1,+∞
内单调递减，求a 的取值范围．
答案(1) 证明见解析
(2) (0 , 1]
解【分析】(1) 根据定义法证明函数单调性的基本步骤，逐步进行证明即可；
(2) 作差通分，根据已知可将问题转化为x1-a
x2-a
> 0 恒成立问题，分析即可得a 取值范围．
【详解】(1) 证明：设x1< x2<-2，
则f x1
- f x2
=
x1
x1+2 -
x2
x2+2 =
2 x1-x2
x1+2
x2+2
．
∵x1< x2<-2，∴x1- x2< 0，x1+ 2 < 0，x2+ 2 < 0，
∴f x1
- f x2
< 0，即f x1
< f x2
，
∴f(x) 在-∞,-2
内单调递增．
(2) 设1 < x1< x2，则
f x1
- f x2
=
x1
x1-a -
x2
x2-a =
a x2-x1
x1-a
x2-a
．
∵a > 0，1 < x1< x2，
∴a x2-x1
> 0，
∴要使f x1
- f x2
> 0，只需x1-a
x2-a
> 0 恒成立，
若a > 1，则当1 < x1< a < x2时，x1-a
x2-a
< 0，
当0 < a ≤1 时，x1-a
x2-a
> 0，
∴0 < a ≤1．
综上所述，a 的取值范围为(0 , 1]．
【题型
【题型4】利用单调性比较大小
】利用单调性比较大小
解题|技巧
单调性定义的等价形式
(1) 函数f x
在区间a,b
上是增函数：
１９０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
191
⇔任取x1，x2∈a,b
，且x1< x2，f x1
- f x2
< 0；
⇔任取x1，x2∈a,b
，且x1≠x2，f x1
- f x2
x1-x2
> 0；
⇔任取x1，x2∈a,b
，且x1≠x2，x1-x2
f x1
- f x2
> 0；
⇔任取x1，x2∈a,b
，且x1≠x2，
x1-x2
f x1
- f x2
> 0．
(2) 函数f x
在区间a,b
上是减函数：
⇔任取x1，x2∈a,b
，且x1< x2，f x1
- f x2
> 0；
⇔任取x1，x2∈a,b
，且x1≠x2，f x1
- f x2
x1-x2
< 0；
⇔任取x1，x2∈a,b
，且x1≠x2，x1-x2
f x1
- f x2
< 0；
⇔任取x1，x2∈a,b
，且x1≠x2，
x1-x2
f x1
- f x2
< 0．
1
已知f(x) 在(0 ,+∞) 上单调递减，且x0> 0，则下列结论中一定成立的是
(
)
A. f x0+1
> f x0
B. f x0+1
< f x0
C. f x0-1
> f x0
D. f x0-1
< f x0
答案B
解析
由x0> 0 得，x0+ 1 > x0，结合f(x) 在(0 ,+∞) 上单调递减，
则必有f x0+1
< f x0
，显然B 正确，A 错误，
而当x0∈(0 , 1) 时x0- 1 < 0，不在定义域内，故无法比较，C，D 错误．
2
函数y = f x
为定义在R 上的减函数，若a ≠0，则
(
)
A. f a
> f 2a
B. f a2
> f a
C. f a2+a
< f a
D. f a2+a
> f a+1
答案C
解析
【详解】∵y = f(x) 是定义在R 上的减函数，a ≠0
a 与2a 的大小关系不能确定，从而f a
，f 2a
关系不确定，故A 错误；
a2 - a = a(a - 1)，a > 1 时，a2 > a；0 < a < 1 时，a2 < a，故f a2
，f a
的关系不确定，故B 错
误；
a2+ a - a = a2> 0，∴a2+ a > a，∴f(a2+ a) < f a
，故C 正确．
a2 + a - a - 1 = a2 - 1 = a+1
a-1
，a > 1 时，a2 + a > a + 1；0 < a < 1 时，a2 + a < a + 1，故
f a2+a
，f a+1
关系不确定，D 错误
1
函数y = f x
为定义在R 上的单调增函数，若t ≠0，则
(
)
A. f(t) > f(2t)
B. f(t2) > f(t)
C. f(t2+ t) > f(t)
D. f(t2+ t) > f(t + 1)
答案C
解
∵函数y = f x
为定义在R 上的单调增函数，
当t < 0 时，t < 2t，f(t) < f(2t)，故A 错误；
当t = 1 时，t2= t，f(t2) = f(t)，故B 错误；
１９１
192
当t ≠0 时，t2+ t > t，f(t2+ t) > f(t)，故C 正确；
当0 < t < 1 时，t2+ t < t + 1，f(t2+ t) < f(t + 1)，故D 错误
2
已知函数f x
= x2+1
4x
．
(1) 利用函数的单调性定义证明f x
在1,+∞
上单调递增；
(2) 若t > 1，试比较f t
，f 2- 1
t
的大小．
答案(1) 证明见解析
(2)f t
> f 2- 1
t
解【详解】(1) 证明：由题目条件得：f(x) = x2+1
4x
= x
4 + 1
4x ，
任取1 < x1< x2，
则f x1
- f x2
= x1
4 +
1
4x1
-
x2
4 + 1
4x2
= x1-x2
4
+
1
4x1
- 1
4x2
= 1
4
x1-x2
⋅x1x2-1
x1x2
．
因为1 < x1< x2，
所以x1x2> 1，x1- x2< 0，
则f x1
- f x2
< 0，即f x1
< f x2
．
故f x
在1,+∞
上单调递增．
(2) 解：因为t > 1，
所以2 - 1
t > 1．
又因为t - 2- 1
t
= t + 1
t - 2 ≥2
t⋅1
t - 2 = 0，当且仅当t = 1 时，等号成立，而t > 1．
所以t > 2 - 1
t > 1．
因为f x
在1,+∞
上单调递增，
所以f t
> f 2- 1
t
．
【题型
【题型5】求函数的最值或值域
】求函数的最值或值域
解题|技巧
利用函数的单调性求最值的常用结论
(1) 如果函数y = f x
在区间[a , b] 上单调递增，在区间[b , c] 上单调递减，那么函数y = f x
，x ∈[a ,
c] 在x = b 处有最大值f b
；
(2) 如果函数y = f x
在区间[a , b] 上单调递递减，在区间[b , c] 上单调递增，那么函数y = f x
，x ∈
[a , c] 在x = b 处有最小值f b
．
【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进
行比较，值最大(小) 者即为函数的最大(小) 值。
1
当x ∈0, 8
5
∪
8
5 ,+∞
时，则函数y =
2
8-5x 的值域为
(
)
A.
-∞,0
B.
1
4 ,+∞
C.
-∞,0
∪
1
4 ,+∞
D.
0, 1
4
答案C
解析
【分析】利用换元法，结合反比例函数的单调性进行求解即可．
１９２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
193
【详解】令8 - 5x = t，因为x ∈0, 8
5
∪
8
5 ,+∞
，所以t ∈0,8
∪-∞,0
，
当t ∈0,8
时，函数f t
= 2
t 单调递减，故f t
≥f 8
= 1
4 ，
当t ∈-∞,0
时，即t < 0，所以f t
= 2
t < 0，
所以函数的值域为：-∞,0
∪
1
4 ,+∞
．
1
函数f(x) =-x + 1
x 在-2,- 1
3
上的最大值是
(
)
A. 3
2
B. - 8
3
C. - 2
D. 2
解
解：因为函数y =-x 和y = 1
x 在-2,- 1
3
上均为减函数，
所以f(x) 在-2,- 1
3
上是减函数，
∴f(x)max = f(-2) = 2 - 1
2 = 3
2 ．
2
函数y = x+1
x-3 在区间2,4
上的值域为
(
)
A.
-3,5
B.
-5,3
C.
-∞,-3
∪5,+∞
D.
-∞,-3 ∪
5,+∞
答案D
解
函数y = x+1
x-3 = 1 +
4
x-3 ，易得函数在2,3
上单调递减，在3,4
上单调递减，
当x = 2 时，y =-3；当x = 4 时，y = 5；
所以函数的值域为-∞,-3 ∪
5,+∞
．故选：D．
【题型
【题型6】利用单调性解不等式
】利用单调性解不等式
解题|技巧
基本方法：先把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)，并注意是否有定义
域的限制
(1) 若f(x) 为增函数，则f(m) > f(n) ⇒m > n
(2) 若f(x) 为减函数，则f(m) > f(n) ⇒m < n
【简记】增函数脱“f”不变号，减函数脱“f”要变号，主要定义域限制
1
(2024·高一·青海西宁·期末) 若函数y = f x
在R 上是减函数，且f m-2
> f -m
，则实数m 的
取值范围是
．
答案
-∞,1
解析
由函数y = f x
在R 上是减函数，因为f m-2
> f -m
，可得m - 2 <-m，解得m < 1，
所以实数m 的取值范围是-∞,1
．
2
已知函数f(x) 是定义在区间[0 ,+∞) 上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x - 1) <
f
1
3
的x 的取值范围是
答案1
2 ≤x < 2
3
１９３
194
解析
【分析】由已知有0 ≤2x - 1 < 1
3 ，即可求取值范围．
【详解】因为函数f(x) 是定义在区间[0 ,+∞) 上的增函数，满足f(2x - 1) < f
1
3
，
所以0 ≤2x - 1 < 1
3 ，解得1
2 ≤x < 2
3 ．
3
(多选) 已知函数f x
满足：任意给定x ∈R，都有f x+3
= f 1-x
，且任意x1，x2 ∈2,+∞
，
f x1
- f x2
x1-x2
< 0 x1≠x2
，则下列结论正确的题号是
(
)
A. f -a2+a+1
≤f
5
4
B. 任意给定x ∈R，f x
≤f 2
C. f 0
> f 3
D. 若f m
> f -1
，则-1 < m < 5
答案ABD
解析
【详解】任意给定x ∈R，都有f x+3
= f 1-x
，则函数f x
关于x = 2 对称，
又任意x1，x2∈2,+∞
，f x1
- f x2
x1-x2
< 0 x1≠x2
，
所以函数f x
在2,+∞
上单调递减，在-∞,2
上单调递增，
故函数f x
在x = 2 处取最大值，B 正确；
f 0
= f 4
< f 3
，C 错误；
-a2+ a + 1 =- a- 1
2
2
+ 5
4 ≤5
4 ，所以f -a2+a+1
≤f
5
4
，A 正确；
若f m
> f -1
，则m-2
< 2- -1
，解得-1 < m < 5，D 正确，
故选：ABD．
1
已知f(x) 是定义在R 上的增函数，且f(x2- 2) < f(-x)，则x 的取值范围是
．
答案(-2 , 1)
解
因f(x) 是定义在R 上的增函数，故由f(x2- 2) < f(-x) 可得
x2- 2 <-x，即x2+ x - 2 < 0，解得-2 < x < 1．
2
(多选) 已知函数f(x) 在R 上是减函数，且a + b > 0，则下列说法正确的是
(
)
A. f(a) + f(b) > 0
B. f(a) - f(-b) > 0
C. f(-a) - f(b) > 0
D. f(a) + f(b) < f(-a) + f(-b)
答案CD
解【分析】根据不等式的性质，整理不等式，利用减函数的性质，可得答案．
【详解】由a + b > 0，则a >-b，b >-a，
因为函数f x
在R 上是减函数，所以f a
< f -b
，f b
< f -a
，
则f -a
- f b
> 0，f a
+ f b
< f -a
+ f -b
．
3
已知f x
是定义在-1,1
上的增函数，且f x-1
> f 1-3x
，则x 的取值范围是
．
答案
1
2 , 2
3
解【分析】根据单调性的概念和函数的定义域得到x 满足的条件，从而得到结果．
【详解】由题意可得，
-1≤x-1≤1
-1≤1-3x≤1
x-1>1-3x
，解得1
2 < x ≤2
3 ．
１９４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
195
所以x 的取值范围是
1
2 , 2
3
．
4
已知函数f x
在R 上有定义，且f 0
= 0．若对任意给定的实数x 1，x 2 x1≠x2
，均有
x1-x2
f x1
- f x2
< 0 恒成立，则不等式x+1
f 1-2x
< 0 的解集是
．
答案
-1, 1
2
解
因为对任意给定的实数x1，x2 x1≠x2
，均有x1-x2
f x1
- f x2
< 0 恒成立，
所以函数f x
在R 上单调递减，又f 0
= 0，
又不等式x+1
f 1-2x
< 0，
所以当x + 1 < 0，即x <-1 时，f 1-2x
> 0 = f(0)，
则1 - 2x < 0，解得x > 1
2 ，故x ∈∅；
当x + 1 > 0，即x >-1 时，f 1-2x
< 0 = f(0)，
则1 - 2x > 0，解得x < 1
2 ，故-1 < x < 1
2 ；
综上，不等式x+1
f 1-2x
< 0 的解集为-1, 1
2
．
【题型
【题型7】在某区间上单调求参数范围
】在某区间上单调求参数范围
解题|技巧
已知函数的单调性求参数范围的题，是高中数学的重点及难点，这种题型主要有以下几
个主要类型及对应方法：
(1) 直接法
(2) 数形结合
(3) 结合单调性定义的等价形式
(4) 分段函数单调性问题注意比较端点位置
(5) 注意定义域的限制
1
如果函数y = x2+ 1-a
x + 2 在区间4,+∞
上单调递增．那么实数a 的取值范围是
(
)
A.
-∞,9
B.
-∞,-3
C.
5,+∞
D.
-∞,-7
答案A
解析
【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴得到不等式，求出答案．
【详解】y = x2+ 1-a
x + 2 开口向上，对称轴为x =- 1-a
2
，
要想函数在区间4,+∞
上单调递增，则需- 1-a
2
≤4，解得a ≤9，
故实数a 的取值范围是-∞,9
2
已知函数f(x) = x2+ ax + 1 在区间[1 , 2] 上是单调函数，则实数a 的取值范围是
答案
-∞,-4
∪-2,+∞
解析
【详解】依题意，函数f(x) = x2+ ax + 1 的对称轴为x =- a
2 ，
又在区间[1 , 2] 上是单调函数，故- a
2 ≤1 或- a
2 ≥2，解得a ≥-2 或a ≤-4．
故答案为：-∞,-4
∪-2,+∞
１９５
196
3
已知函数f x
=-x2+ ax + 1 在2,6
上不单调，则a 的取值范围为
(
)
A.
2,6
B.
-∞,2
∪6,+∞
C.
4,12
D.
-∞,4
∪12,+∞
解析
【解题思路】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得．
【解答过程】函数f x
=-x2 + ax + 1 的图象对称轴为x = a
2 ，依题意，2 < a
2 < 6，得4 < a < 12，
所以a 的取值范围为4,12
．
1
已知函数f x
=
-x2-ax+2 在1,2
上单调递减，则a 的取值范围是
(
)
A.
-2,-1
B.
-2,-1
C.
-2,-1
D.
-2,-1
答案C
解【分析】根据函数定义可得-x2 - ax + 2 ≥0 在1,2
上恒成立，利用参变分离结合恒成立问题可得
a ≤-1，再根据复合函数单调性结合二次函数性质可得a ≥-2．
【详解】由题意可知：-x2- ax + 2 ≥0 在1,2
上恒成立，
整理得a ≤-x + 2
x 在1,2
上恒成立，
因为y =-x，y = 2
x 在1,2
上单调递减，则y =-x + 2
x 在1,2
上单调递减，
且y|x=2=-1，可得a ≤-1，
又因为y =
u 在定义域内单调递增，且函数f x
=
-x2-ax+2 在1,2
上单调递减，
可得u =-x2- ax + 2 在1,2
上单调递减，则- a
2 ≤1，可得a ≥-2，
综上所述：a 的取值范围是-2,-1
．
2
若函数f(x) =-x2- 2(a + 1)x + 3 的单调递增区间是(-∞, 3] ，则实数a 的值为
．
答案-4
解
由已知f(x) =- (x + a + 1)2+ 3 + (a + 1)2，对称轴为直线x =-a - 1，
又f(x) 单调递增区间是(-∞, 3]，所以-a - 1 = 3，a =-4．
3
函数f x
=
7+2ax-x2 在区间-1,1
上单调递减，则a 的取值范围为
．
答案
-3,-1
解【分析】根据复合函数单调性同增异减求得a 的取值范围．
【详解】依题意，f x
=
-x2+2ax+7 在区间-1,1
上单调递减，
所以
2a
2 ≤-1
-12+2a×1+7≥0
，即a≤-1
2a+6≥0
，解得-3 ≤a ≤-1，
所以a 的取值范围是-3,-1
．
4
(2024·高一·浙江杭州·期末) 如果函数f x
= ax2 + 2x - 3 在区间(-∞, 4) 上是单调递增的，则实
数a 的取值范围
(
)
A. a >- 1
4
B. a ≥- 1
4
C. - 1
4 ≤a < 0
D. - 1
4 ≤a ≤0
答案D
解
由函数f x
= ax2+ 2x - 3 在区间(-∞, 4) 上为单调递增函数，
当a = 0 时，f x
= 2x - 3 在(-∞, 4) 上为单调递增函数，符合题意；
１９６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
197
当a ≠0 时，则满足
a<0
- 1
a ≥4
，解得- 1
4 ≤a < 0，
综上可得，实数a 的取值范围为- 1
4 ,0
．
【题型
【题型8】分段函数单调性问题
】分段函数单调性问题
解题|技巧
分段函数单调性问题的解题方法主要归纳为以下步骤：
1、明确分段点：首先确定分段函数的分段点。
2、分别判断：在每个分段内，利用单调性定义判断函数的单调性。
3、比较分段点：检查分段点处的函数值或左右极限，确定分段连接处是否影响整体单调性。
4、综合结论：综合各分段内的单调性，得出整个分段函数的单调性结论
1
已知函数f(x) =
ax+5,
x≤1
1
x ,
x>1
是R 上的减函数，则a 的范围是
(
)
A. [-4 , 0)
B. [-4 ,+∞)
C. (-∞,-4)
D. (-∞, 0)
答案A
解析
【分析】分段函数是R 上的减函数，不仅需要每一段是单调递减的，还需要左边一段的最低不
高于右边一段的最高，据此列不等式求解即可．
【详解】函数f(x) =
ax+5,
x≤1
1
x ,
x>1
是R 上的减函数，
则a<0
a+5≥1
，解得-4 ≤a < 0
1
已知函数f(x) =
-x2-ax-5,
x≤1
a
x ,
x>1
满足对任意x1≠x2，都有f x1
- f x2
x1-x2
> 0 成立，则a 的范
围是
(
)
A.
-3,0
B.
-3,-2
C. (-∞,-2]
D. (-∞, 0]
答案B
解【分析】由题得函数在定义域上单调递增，列出不等式组得解．
【详解】因为对任意x1≠x2都有f x1
- f x2
x1-x2
> 0，
所以函数在定义域R 上单调递增，
所以
a<0
- a
2 ≥1
a≥-1-a-5
，解得-3 ≤a ≤-2，
所以a 的范围是-3,-2
2
已知函数f x
=
3a-1
x,
x<1
x2-2ax+a,
x≥1
是增函数，则实数a 的取值范围为
．
答案
1
3 , 1
2
１９７
198
解
因为f x
=
3a-1
x,
x<1
x2-2ax+a,
x≥1
为增函数，
所以
3a-1>0
- -2a
2
≤1
3a-1≤1-a
，解得1
3 < a ≤1
2 ，
即实数a 的取值范围为
1
3 , 1
2
．
3
若函数f x
=
ax+ 5
2 ,x∈-∞,2
x+ a
x +2a,x∈2,+∞
在R 上单调递增，则a 的取值范围为
(
)
A.
0,4
B.
1,2
C.
1,4
D.
2,+∞
答案C
解
要使f(x) 在R 上单调递增，
故y = ax + 5
2 在(-∞, 2) 上递增，y = x + a
x + 2a 在[2 ,+∞) 上递增，且2a + 5
2 ≤2 + a
2 + 2a，
所以
a>0
a≤2
2a+ 5
2 ≤2+ 5a
2
⇒1 ≤a ≤4．
【题型
【题型9】根据函数的最值或值域求参数
】根据函数的最值或值域求参数
1、函数的最大值
(1) 定义：对于函数y = f(x) 其定义域为D，如果存在x0 ∈D，f(x) = M，使得对于任意的x ∈D，都有
f(x) ≤M，那么，我们称M 是函数y = f(x) 的最大值，即当x = x0 时，f(x0) 是函数y = f(x) 的最大值，
记作ymax = f(x0)．
(2) 几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标。
2、函数的最小值
(1) 定义：对于函数y = f(x)，其定义域为D，如果存在x0 ∈D，f(x) = M，使得对于任意的x ∈D，都
有f(x) ≥M，那么，我们称M 是函数y = f(x) 的最小值，即当x = x0 时，f(x0) 是函数y = f(x) 的最小
值，记作ymin = f(x0)．
(2) 几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标。
1
若函数f x
= ax + b a,b∈R
的定义域是1,2
，值域是2,3
，则ab =
．
答案1 或-4
解析
由题设a ≠0，则f x
在定义域上单调，
所以
a+b=2
2a+b=3
a>0
或
a+b=3
2a+b=2
a<0
，可得a=1
b=1
或a=-1
b=4
，
所以ab = 1 或-4．
故答案为：1 或-4
1
已知函数y = 3x+2
x-1 ，x ∈(1 , m] 的最小值为8．则实数m 的值是
(
)
A. - 1
B. 1
C. 2
D. 3
１９８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
199
答案C
解
由y = 3x+2
x-1 = 3(x-1)+5
x-1
= 3 +
5
x-1 ，
而函数y = 5
x 在(0 ,+∞) 上单调递减，所以函数y = 3 +
5
x-1 在(0 ,+∞) 上单调递减，
又其在(1 , m] 上的最小值为8，
所以ymin=y
x=m = 3 +
5
m-1 = 8，解得m = 2．故选：C．
2
已知函数f x
=-x2+ 4x，x ∈m,4
的值域是0,4
，则实数m 的取值范围是
(
)
A.
-∞,2
B.
0,2
C.
0,2
D.
2,4
答案C
解
画出函数f x
=-x2+ 4x 的图象，如下图所示：
易知f 0
= f 4
= 0，f 2
= 4；
若x ∈m,4
时的值域是0,4
，由图可知m ∈0,2
．故选：C
【题型
【题型10
10】分段函数值域问题
】分段函数值域问题
处理分段函数问题，重点是画图分析
1
(高一上·山东聊城·期中) 设函数f x
=
x+ 1
x +t,
x>0
x2+2tx+t2,
x≤0
，若f 0
是f x
的最小值，则实数t
的取值范围是
(
)
A.
-1,2
B.
-1,0
C.
1,2
D.
0,2
答案B
解析
【分析】根据二次函数的性质结合基本不等式求解即可．
【详解】f x
=
x+ 1
x +t,
x>0
x2+2tx+t2,
x≤0
，当x > 0 时，f x
= x + 1
x + t ≥2
x· 1
x + t = 2 + t，
当且仅当x = 1
x 即x = 1 时，等号成立；
当x ≤0 时，f x
= x2+ 2tx + t2= x+t
2，要使f 0
是f x
的最小值，
只需f x
= x2+ 2tx + t2在-∞,0
上递减，且2 + t ≥f 0
= t2，
即-t≥0
t2-t-2≤0
，解得-1 ≤t ≤0．
2
已知函数f x
=
-x2+4x,
x≤4
a
x ,
x>4
有最大值，则实数a 的取值范围为
(
)
A. [0 , 16]
B. (-∞, 16]
C. [16 ,+∞)
D. (-∞, 0] ∪[16 ,+∞)
１９９
200
答案A
解析
【分析】根据二次函数以及反比例函数的性质即可求解．
【详解】当x ≤4 时，函数y =-x2+ 4x =- x-2
2+ 4 ≤4，
若函数当x > 4 时，f x
= a
x ，
当a ≤0 时，f x
= a
x ≤0，此时函数f x
=
-x2+4x,
x≤4
a
x ,
x>4
的最大值为4，符合要求，
当a > 0 时，f x
= a
x 在x > 4 上单调递减，故f x
< a
4 ，
若f x
=
-x2+4x,
x≤4
a
x ,
x>4
有最大值，则a
4 ≤4，则0 < a ≤16，
综上可知a ≤16
1
设函数f x
=
-ax+1,
x<a
x-2
2,
x≥a
，若f x
存在最小值，则a 的最大值为
(
)
A. 1
B. - 1
C.
2
2
D. -
2
2
答案A
解【分析】当a < 0 时，由一次函数单调性可知f x
无最小值，不合题意；当a = 0 时，结合二次函数
性质可知f x
min = f 2
= 0，满足题意；当0 < a < 2 和a ≥2 时，根据函数存在最小值可确定分段处
的函数值的大小关系，由此解得a 的范围；综合所有情况即可得到a 的最大值．
【详解】当a < 0 时，f x
在-∞,a
上单调递增，此时f x
无最小值，不合题意；
当a = 0 时，f x
=
1,
x<0
x-2
2,
x≥0
，
当x ≥0 时，f x
min = f 2
= 0，又x < 0 时，f x
= 1，
∴f x
存在最小值0，满足题意；
当0 < a < 2 时，f x
在-∞,a
，a,2
上单调递减，在2,+∞
上单调递增，
若f x
存在最小值，则-a2+ 1 ≥f 2
= 0，解得：-1 ≤a ≤1，∴0 < a ≤1；
当a ≥2 时，f x
在-∞,a
上单调递减，在a,+∞
上单调递增，
若f x
存在最小值，则-a2+ 1 ≥f a
= a-2
2，不等式无解；
综上所述：实数a 的取值范围为0,1
，则a 的最大值为1．
2
已知k ≥0，函数f(x) =
x+1,
x≤k
2
x ,
x>k
有最大值，则实数k 的取值范围是
．
答案k ≥1
解【分析】注意到反比例函数的定义域不包括0，因此对k 分类讨论即可．
【详解】当k = 0 时，f x
=
x+1,
x≤0
2
x ,
x>0
无最大值，
要使函数存在最大值，则k > 0 且k + 1 ≥2
k ，
即k2+k-2= k-1
k+2
≥0
k>0
，
得k ≥1．
【题型
【题型11
11】复合函数单调性
】复合函数单调性
２００
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
201
解题|技巧
复合函数的单调性：“同增异减”
判断复合函数y = f g x
的单调性的步骤，
第一步：定义域优先，拆分前必须确定函数的定义域。
第二步：将复合函数分解成y = f(u) 与u = g(x)。
第三步：分别确定这两个函数的单调性。
第四步：用" 同增异减" 判断函数y = f g x
的单调性
“同增异减”的意思如下图：
u = g x
y = f u
y = f g x
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
1
函数y =
1
6-5x-x2 的单调增区间为
(
)
A.
- 5
2 ,+∞
B.
-6,- 5
2
C.
- 5
2 ,1
和1,+∞
D. (-∞,-6) ∪-6,- 5
2
答案C
解析
【分析】令t =-x2 - 5x + 6，根据二次函数的性质求出t 的单调区间，再由复合函数的单调性
即可得函数的单调增区间．
【详解】设t =-x2- 5x + 6，则有x ≠-6 且x ≠1，
t =-x2- 5x + 6 =- x+ 5
2
2
+ 49
4 ，则t ∈-∞,0
∪0, 49
4
，
所以函数y =
1
6-5x-x2 的定义域为：{x|x ≠-6 且x ≠1}，
由二次函数的性质可知t 的单调递增区间为：-∞,-6
，-6,- 5
2
；单调递减区间为：- 5
2 ,1
和1,+∞
；
又因为y = 1
t 在区间-∞,0
和0,+∞
上单调递减，
由复合函数的单调性可知：函数y =
1
6-5x-x2 的单调增区间为：- 5
2 ,1
和1,+∞
．
2
函数f x
=
3+2x-x2 的单调递增区间是
．
答案
-1,1
(区间开闭都行)
解析
【分析】先求函数的定义域，再结合复合函数单调性分析判断．
【详解】令3 + 2x - x2≥0，解得-1 ≤x ≤3，即函数f x
的定义域为-1,3
，
令u = 3 + 2x - x2，其图象开口向下，对称轴为x = 1，
２０１
202
则u = 3 + 2x - x2在-1,1
上单调递增，在1,3
上单调递减，
且y =
u 在定义域内单调递增，
可得f x
在-1,1
上单调递增，在1,3
上单调递减，
所以f x
的单调递增区间为-1,1
．
1
已知f(x) = 8 + 2x - x2，若g(x) = f 2-x2
，则g(x)
(
)
A. 在区间(-1 , 0) 内是减函数
B. 在区间(0 , 1) 内是减函数
C. 在区间(-2 , 0) 内是增函数
D. 在区间(0 , 2) 内是增函数
答案A
解【分析】直接利用复合函数单调性得到答案．
【详解】f(x) = 8 + 2x - x2在-∞,1
上单调递增，在1,+∞
上单调递减，
t = 2 - x2在-∞,0
上单调递增，在0,+∞
上单调递减，根据复合函数的单调性：
当x ∈-∞,-1
时，t ∈-∞,1
，函数单调递增；
当x ∈-1,0
时，t ∈1,2
，函数单调递减；
当x ∈0,1
时，t ∈1,2
，函数单调递增；
当x ∈1,+∞
时，t ∈-∞,1
，函数单调递减
2
函数f x
=
1
-x2+4x+5
的单调增区间是
．
答案
2,5
解【分析】求出函数f x
的定义域，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得其单调增区间．
【详解】由题意可知-x2+ 4x + 5 > 0，解得-1 < x < 5，即函数定义域为-1,5
，
易知函数由y = 1
t ，t x
=-x2+ 4x + 5 复合而成，
且y = 1
t 在0,+∞
单调递减，t x
=-x2+ 4x + 5 在-1,2
单调递增，在2,5
上单调递减；
利用复合函数单调性可得f x
=
1
-x2+4x+5
的单调增区间是2,5
3
已知f x
= x2，若g x
= f 1-x2
，则g x
(
)
A. 在区间0,1
内递减
B. 在区间-1,0
内递减
C. 在区间-∞,0
内递增
D. 在区间0,+∞
内递增
答案A
解【分析】通过令u = 1 - x2，则y = f(u)，根据条件，利用判断复合函数单调性的方法“同增异
减”，求出g x
的单调区间，再结合各个选项，即可得出结果．
【详解】令u = 1 - x2，则y = f(u)，因为f x
= x2，故y = f(u) = u2，
易知，y = f(u) = u2在u ∈(-∞, 0) 上单调递减，在u ∈(0 ,+∞) 上单调递增，
又易知，u = 1 - x2在x ∈(-∞, 0) 上单调递增，在x ∈(0 ,+∞) 上单调递减，
由u = 1 - x2< 0，得到x <-1 或x > 1，由u = 1 - x2> 0，得到-1 < x < 1，
因为u = 1 - x2 在区间-∞,-1
上单调递增，此时u ∈(-∞, 0)，且y = f(u) = u2 在区间-∞,0
上
单调递减，
故由复合函数的单调性知，g x
在区间-∞,-1
上单调递减，
因为u = 1 - x2 在区间1,+∞
上单调递减，此时u ∈(-∞, 0)，且y = f(u) = u2 在区间-∞,0
上单
调递减，
２０２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
203
故由复合函数的单调性知，g x
在区间1,+∞
上单调递增，
又因为u = 1 - x2在区间-1,0
上单调递增，此时u ∈(0 , 1)，且y = f(u) = u2在区间0,1
上单调递
增，
故由复合函数的单调性知，g x
在区间-1,0
上单调递增，
因为u = 1 - x2在区间0,1
上单调递减，此时u ∈(0 , 1)，且y = f(u) = u2在区间0,1
上单调递增，
故由复合函数的单调性知，g x
在区间0,1
上单调递减
4
(多选) 已知函数f(x) 在R 上单调递增，函数g(x) 在(-∞, 0) 上单调递增，在[0 ,+∞) 上单调递
减，则
(
)
A. 函数f(f(x)) 在R 上单调递增
B. 函数f(g(x)) 在(-∞, 0) 上单调递增
C. 函数g(-g(x)) 在(-∞, 0) 上单调递减
D. 函数g(-f(x)) 在[0 ,+∞) 上单调递减
答案AB
解【分析】由复合函数的单调性判断方法逐一判断即可．
【详解】因为f(x) 在R 上单调递增，所以f(f(x)) 在R 上单调递增，故A 正确；
因为f(x) 在R 上单调递增，g(x) 在(-∞, 0) 上单调递增，所以f(g(x)) 在(-∞, 0) 上单调递增，故B
正确；
因为g(x) 在(-∞, 0) 上单调递增，所以-g(x) 在(-∞, 0) 上单调递减，因为-g(x) 的值域是否在(
-∞, 0) 上无法判断，
所以g(-g(x)) 在(-∞, 0) 上的单调性无法判断，故C 错误；
因为-f(x) 在R 上单调递减，g(x) 在[0 ,+∞) 上单调递减，因-f(x) 的值域是否在[0 ,+∞) 上无法判
断，所以g(-f(x)) 在[0 ,+∞) 上的单调性无法判断，故D 错误．
【题型
【题型12
12】不等式恒成立问题
】不等式恒成立问题
1
对于0 ≤m ≤4 中的任意m，不等式x2+ mx > 4x + m - 3 恒成立，则x 的取值范围是
(
)
A. - 1 ≤x ≤3
B. x ≤-1
C. x ≥3
D. x <-1 或x > 3
答案D
解析
【详解】法一：由题意，x2+ mx > 4x + m - 3 恒成立，
等价于x2- 4x + 3 > m(1 - x) ⇔(x - 3) (x - 1) >-m(x - 1)，
当x - 1 > 0 时，即x > 1，x - 3 >-m，则m > 3 - x 恒成立，
∵0 ≤m ≤4，∴3 - x < 0，解得：x > 3，
当x - 1 = 0 时，即x = 1 时，不等式不成立，
当x - 1 < 0 时，即x < 1，x - 3 <-m，则m < 3 - x，
∵0 ≤m ≤4，∴3 - x > 4，解得：x <-1，
综上所述：x 的取值范围是x <-1 或x > 3；
法二：由x2+ mx > 4x + m - 3，即x2+ mx - 4x - m + 3 > 0，
令函数g(m) = (x - 1)m + x2- 4x + 3，
∵x2+ mx - 4x - m + 3 > 0，即g(m) > 0，对于0 ≤m ≤4 中的任意m 恒成立，
则有g 0
> 0 且g 4
> 0，即x2-4x+3>0
x2+4x-4x-4+3>0
，解得x > 3 或x <-1，
所以x 的取值范围是x <-1 或x > 3．
故选：D．
2
函数f x
=-x2 + x + 1，g x
= x + a，若∃x1 ∈
1
2 ,1
，∀x2 ∈2,3
，使得f x1
≤g x2
，求
２０３
204
实数a 的取值范围．
答案
-1,+∞
解析
【详解】因为f x
=-x2+ x + 1 =- x- 1
2
2
+ 5
4 ，对称轴为x = 1
2 ，
当x ∈
1
2 ,1
时，f x
max = f
1
2
= 5
4 ，f x
min = f 1
= 1，函数f x
的值域为1, 5
4
，
一次函数g x
= x + a 是实数集上的增函数，
当x ∈2,3
时，函数g x
= x + a 的值域为a+2,a+3
，
若∃x1∈
1
2 ,1
，∀x2∈2,3
，使得f x1
≤g x2
，
所以f x
min ≤g x
min，即1 ≤a + 2，
所以a 的取值范围是-1,+∞
．
1
已如函数f(x) = x2+ mx - 1，若对任意x ∈[m , m + 1] 都有f(x) < 0 成立，求m 的取值范围．
答案-
2
2
< m < 0
解【详解】函数f(x) = x2+ mx - 1 开口向上，
故对任意x ∈[m , m + 1] 都有f(x) < 0 成立，
只需满足
f m
=2m2-1<0
f m+1
=2m2+3m<0
，
得-
2
2
< m < 0．
2
已知f x
=
-x2+4x,
2≤x≤3
x2+2
x
,
3<x≤4
，g x
= ax + 1，若任给x1 ∈2,4
，存在x2 ∈-2,1
．使得
f x1
= g x2
，则实数a 的取值范围是
．
答案
-∞,- 7
4
∪
7
2 ,+∞
解【分析】根据已知可推得f x
在2,4
上的值域为g x
在-2,1
上的值域的子集．根据分段函数
各段的单调性，得出3 ≤f x
≤9
2 ．进而分a > 0，a = 0，a < 0 三种情况，得出g x
的范围，列出
不等式组，求解即可得出答案．
【详解】由任给x1∈2,4
，存在x2∈-2,1
．使得f x1
= g x2
，
可知，f x
在2,4
上的值域为g x
在-2,1
上的值域的子集．
根据二次函数的性质可知，当2 ≤x ≤3 时，f x
=-x2+ 4x 单调递减，
且f 2
=-22+ 4 × 2 = 4，f 3
=-32+ 4 × 3 = 3，
所以，3 ≤f x
≤4；
当3 < x ≤4 时，f x
= x2+2
x
= x + 2
x ．
∀x3，x4∈3,4
，且x3< x4，
则f x3
- f x4
= x3+ 2
x3
- x4+ 2
x4
=
x3-x4
x3x4-2
x3x4
．
因为x3，x4∈3,4
，且x3< x4，
所以x3x4> 9，x3- x4< 0，x3x4- 2 > 0，
所以，f x3
- f x4
< 0，f x3
< f x4
，
所以，f x
在3,4
上单调递增．
又f 4
= 4 + 2
4 = 9
2 ，
２０４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
205
所以，11
3 < f x
≤9
2 ．
综上所述，当2 ≤x ≤4 时，3 ≤f x
≤9
2 ．
当a > 0 时，g x
= ax + 1 单调递增，所以-2a + 1 ≤g a
≤a + 1．
所以有
-2a+1≤3
a+1≥9
2
，解得a ≥7
2 ；
当a = 0 时，g x
= 1 不满足；
当a < 0 时，g x
= ax + 1 单调递减，所以a + 1 ≤g a
≤-2a + 1．
所以有
a+1≤3
-2a+1≥9
2
，解得a ≤- 7
4 ．
综上所述，a ≤- 7
4 或a ≥7
2 ．
故答案为：-∞,- 7
4
∪
7
2 ,+∞
．
【课后作业】
【课后作业】
1
已知函数y =
-x2+2x+3 的单调递增区间为
．
答案
-1,1
【分析】先求出定义域，再根据复合函数单调性求出答案．
【详解】令-x2+ 2x + 3 ≥0，解得-1 ≤x ≤3，故函数定义域为-1,3
，
其中u =-x2+ 2x + 3 =- x-1
2+ 4，
故u =-x2+ 2x + 3 =- x-1
2+ 4 在-1,1
上单调递增，在1,3
上单调递减，
其中y =
u 在0,+∞
上单调递增，
由复合函数单调性可知，y =
-x2+2x+3 的单调递增区间为-1,1
．
2 已知f x
关于x = 2 对称，且f x
在0,2
上单调递减，则f 1
，f
5
2
，f
7
2
的大小
顺序是
(
)
A. f
5
2
< f 1
< f
7
2
B. f 1
< f
5
2
< f
7
2
C. f
7
2
< f 1
< f
5
2
D. f
7
2
< f
5
2
< f 1
答案A
因为f 2-x
= f x+2
，所以f
5
2
= f
3
2
，f
7
2
= f
1
2
，
因为f x
在0,2
上单调递减，所以f
3
2
= f
5
2
< f 1
< f
1
2
= f
7
2
．故选：A．
3 函数f x
=-x2+ 2 a-1
x + 2 在-∞,4
上是增函数，则实数a 的范围是
(
)
A. a ≥5
B. a ≥3
C. a ≤3
D. a ≤5
答案A
【分析】根据二次函数的性质即可由对称轴求解．
【详解】由于f x
=-x2+ 2 a-1
x + 2 为开口向下的二次函数，对称轴为x = a - 1，
所以a - 1 ≥4 ⇒a ≥5
4 已知二次函数f(x) = x2- 2ax + 1 在区间(2，3) 内是单调函数，则实数a 的取值范围是
(
)
A. a ≤2 或a ≥3
B. 2 ≤a ≤3
C. a ≤-3 或a ≥2
D. - 3 ≤a ≤-2
２０５
206
答案A
【分析】先确定二次函数f(x) = x2 - 2ax + 1 的单调区间，然后根据题目中提供的单调区间，分析参数
的取值范围
【详解】根据题意：二次函数f(x) = x2- 2ax + 1，单调递增区间：(a ,+∞)；单调减区间(-∞, a)
因此：(1) 二次函数f(x) = x2- 2ax + 1 在区间(2，3) 内为单调增函数，则a ≤2
(2) 二次函数f(x) = x2- 2ax + 1 在区间(2，3) 内为单调减函数，则a ≥3
故选：A
5 函数f x
在[0 ,+∞) 上是单调递减函数，则f(1 - x2) 的单调递增区间是
答案
0,1
【分析】先确定f(1 - x2) 的定义域，然后利用1 - x2 的单调性和f x
的单调性即可确定f(1 - x2) 的单
调性．
【详解】函数f x
的定义域为[0 ,+∞)，故函数f 1-x2
的定义域为x 1-x2≥0
，即f 1-x2
的定
义域为-1,1
．
由于1 - x2在0,1
上单调递减，在-1,0
上单调递增，而f x
在[0 ,+∞) 上单调递减，
所以函数f(1 - x2) 在0,1
上单调递增，在-1,0
上单调递减，故单调递增区间是0,1
．
6 已知函数f x
=
2a-3
x+2,
x≤1
a
x ,
x>1
是R 上的减函数，则a 的取值范围是
(
)
A. 0 < a < 3
2
B. 1 ≤a < 3
2
C. 0 < a ≤3
2
D. 1 < a < 3
2
答案B
由于函数f x
=
2a-3
x+2,
x≤1
a
x ,
x>1
是定义在R 上的减函数，
所以，函数y = 2a-3
x + 2 在区间-∞,1
上为减函数，
函数y = a
x 在区间1,+∞
上为减函数，且有1 ⋅2a-3
+ 2 ≥a，
即
2a-3<0
a>0
2a-1≥a
，解得1 ≤a < 3
2 ．
因此，实数a 的取值范围是1, 3
2
．故选：B．
7 已知函数y = f x
在其定义域-1,1
上是减函数，且f 1-a
< f a2-1
，则a 的取值范
围为
．
答案
0,1
【分析】利用函数单调性可得答案．
【详解】因为函数y = f x
在定义域-1,1
上是减函数，
需满足
-1<1-a<1
-1<a2-1<1
1-a>a2-1
，解得0 < a < 1，
即a 的取值范围为0,1
．
8 若函数f x
=
(2-3a)x+1,
x≤1
a
x ,
x>1
满足对任意的实数x1 ≠x2，都有f x1
- f x2
x1-x2
< 0 成
立，则实数a 的取值范围为
(
)
A.
2
3 ,+∞
B.
2
3 , 3
4
C.
2
3 ,1
D.
3
4 ,1
２０６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
207
答案B
【分析】根据对任意x1 ≠x2，都有f x1
- f x2
x1-x2
< 0 成立可判断f(x) 是R 上的减函数，通过各段上的
单调性分析及区间端点函数值的比较，列出不等式组求解即可．
【详解】由题意可知：
对任意的实数x1≠x2，都有f x1
- f x2
x1-x2
< 0 成立，
∴f(x) 是R 上的减函数，
∴
2-3a<0
a>0
2-3a+1≥a
，解得a ∈
2
3 , 3
4
9 已知函数f(x) =
ax+5,
x≤1
1
x ,
x>1
(1) 若a =-4，函数f x
的值域为
(2) 若f x
是R 上的减函数，则a 的范围是
答案
0,+∞
-4,0
【分析】(1) 利用一次函数与反比例函数的单调性即可求得f x
的值域；
(2) 分段讨论f x
的单调性，且在间断点处有a + 5 ≥1，由此可得a 的范围．
【详解】(1) 因为a =-4，
当x ≤1 时，f x
=-4x + 5，显然f x
在-∞,1
上单调递减，故f x
≥f 1
= 1；
当x > 1 时，f x
= 1
x ，显然f x
在1,+∞
上单调递减，且f x
> 0，故f x
< f 1
= 1；
综上：f x
> 0，即f x
的值域为0,+∞
；
(2) 因为f x
是R 上的减函数，
所以当x ≤1 时，f x
= ax + 5 在-∞,1
上为减函数，故a < 0，且f x
≥f 1
= a + 5，
当x > 1 时，f x
= 1
x ，显然f x
在1,+∞
上单调递减，且f x
< f 1
= 1，
所以a + 5 ≥1，解得a ≥-4，
故-4 ≤a < 0，即a 的范围为-4,0
．
10 已知：函数f (x) =
x+4,
x<a
x2-2x,
x≥a
，若函数f (x) 的值域是R，则a 的一个取值为
；a 的最小值是
．
答案0(答案不唯一，-5 ≤a ≤4) -5
【分析】函数y = x + 4 的值域为(-∞, a + 4)，根据a ≤1，a > 1 分类讨论y = x2 - 2x，x ≥a 的值域
得到答案．
【详解】函数y = x + 4 在(-∞, a) 上单调递增，值域为(-∞, a + 4)，
若a ≤1，函数y = x2- 2x，x ≥a 的值域为[-1 ,+∞)，
要使函数f(x) 的值域为R，则a + 4 ≥-1，解得a ≥-5，于是-5 ≤a ≤1；
若a > 1，函数y = x2- 2x，x ≥a 的值域为[a2- 2a，+∞)，
要使函数f(x) 的值域为R，则a + 4 ≥a2- 2a，解得-1 ≤a ≤4，于是1 < a ≤4．
所以实数a 的取值范围是[-5 , 4]，a 的一个取值可以为0，最小值为-5．
故答案为：0(答案不唯一，-5 ≤a ≤4)；-5
11 证明：函数y = x - 1
x ，x ∈-∞,0
是增函数．
答案证明见解析
２０７
208
【详解】任取x1< x2< 0，
则f x2
- f x1
= x2- 1
x2
- x1- 1
x1
= x2-x1
-
1
x2
- 1
x1
= x2-x1
- x1-x2
x2x1
= x2-x1
1+
1
x1x2
．
∵x1< x2< 0，
∴x2- x1> 0，1 +
1
x1x2
> 0，
∴f x2
- f x1
> 0，
∴f x1
< f x2
，
∴函数f x
在-∞,0
上是严格增函数．
12 已知函数f x
= 2x+1
x+1 ．
(1) 判断f x
在区间-1,+∞
上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2) 求f x
在区间2,4
上的最大值和最小值．
(1) 因为f x
= 2x+1
x+1 = 2x+2-1
x+1
= 2 -
1
x+1 ，
因为y =
1
x+1 在-1,+∞
单调递减，
所以f x
= 2 -
1
x+1 在-1,+∞
单调递增．
定义法证明如下：
任取x1，x2∈(-1 ,+∞)，x1< x2，则x1- x2< 0，
f x1
- f x2
= 2-
1
x1+1
- 2-
1
x2+1
=
x1-x2
x1+1
x2+1
< 0，
所以f(x1) < f(x2)，故f x
在-1,+∞
单调递增．
(2) 由(1) 得f(x) 在区间2,4
上单调递增，
所以f x
max = f(4) = 2 -
1
4+1 = 9
5 ，f x
min = f(2) = 2 -
1
2+1 = 5
3 ，
所以f(x) 在区间2,4
上的最大值为9
5 ，最小值为5
3 ．
２０８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
209
专题3 - 3
函数的奇偶性与对称性
模块一
重难点题型
【题型
【题型1】判断函数的奇偶性
】判断函数的奇偶性
一、函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x) 的定义域内任意一个x，都有f(-x) = f(x)，
那么函数f(x) 就叫做偶函数
关于y 轴对称
奇函数
如果对于函数f(x) 的定义域内任意一个x，都有f(-x) =-f(x)，
那么函数f(x) 就叫做奇函数
关于原点对称
二、判断奇偶性技巧
(1) 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2) 奇偶函数的图象特征.
函数f(x) 是偶函数⇔函数f(x) 的图象关于y 轴对称；
函数f(x) 是奇函数⇔函数f(x) 的图象关于原点中心对称.
(3) 若奇函数y = f(x) 在x = 0 处有意义，则有f(0) = 0；
偶函数y = f(x) 必满足f(x) = f(|x|).
(4) 偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两
个区间上单调性相同.
(5) 运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个) 函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函
数，如f(x) + g(x) , f(x) - g(x) , f(x) × g(x) , f(x) ÷ g(x).
f(x)
g(x)
f(x) ± g(x)
f(x) ⋅g(x)
f(g(x))
偶
偶
偶
偶
偶
偶
奇
不确定
奇
偶
奇
偶
不确定
奇
偶
奇
奇
奇
偶
奇
２０９
210
【注意】在f(g(x)) 中，g(x) 的值域是f(x) 定义域的子集．
1
(高一上·广东·期末) 下列函数是奇函数的是
(
)
A. f x
= x2+ 1
B. f x
= x3- 1
C. f x
= x3+ 1
x
D. f x
= x4+ 2x2
答案C
解析
【解析】对于A，因为f x
= x2+ 1 的定义域为R，且f -x
= (-x)2+ 1 = x2+ 1 = f x
，
所以f x
= x2+ 1 为偶函数；
对于B，因为f x
= x3- 1 的定义域为R，且f -x
= (-x)3+ 1 =-x3+ 1 ≠-f x
，
所以f x
= x3- 1 不是奇函数；
对于C，因为f x
= x3+ 1
x 的定义域为-∞,0
∪0,+∞
，
且f -x
= (-x)3+
1
-x =-x3- 1
x =- x3+ 1
x
=-f x
，所以f x
= x3+ 1
x 为奇函数；
对于D，因为f x
= x4+ 2x2的定义域为R，且f -x
= (-x)4+ 2(-x)2= x4+ 2x2= f x
，
所以f x
= x4+ 2x2为偶函数；故选：C.
2
(高一·山东·期中) (多选) 已知f x
, g x
有相同的定义域，f x
是偶函数，g x
是奇函数，且
g x
≠0，则
(
)
A. f x
+ g x
为奇函数
B. f g x
为偶函数
C. f x
⋅g x
是偶函数
D.
f x
g x
是奇函数
答案BD
解析
【解析】f x
, g x
有相同的定义域，f x
是偶函数，g x
是奇函数，且g x
≠0，
所以f -x
= f x
, g -x
=-g x
，
因为f -x
+ g -x
= f x
- g x
≠- f x
+g x
，故A 错.
f g -x
= f -g x
= f g x
，故B 正确.
f -x
⋅g -x
=-f x
⋅g x
≠f x
⋅g x
，故C 错.
f -x
g -x
=
f x
-g x
=- f x
g x
，故D 对.
故选：BD.
1
判断下列函数的奇偶性
(1)f x
= x3+ x；
(2)f x
=
1-x2 +
x2-1；
(3)f x
= 2x2+2x
x+1
.
解【解析】(1) 定义域为R，关于原点对称，
f -x
= -x
3+ -x
=-x3- x =- (x3+ x) =-f(x)，
所以f(x) 为奇函数.
(2) 1-x2≥0
x2-1≥0
⇒x =±1，所以定义域为{-1 , 1}，关于原点对称，
此时f(x) = 0，所以f(x) 既是奇函数又是偶函数.
(3)x + 1 ≠0 ⇒x ≠-1，所以定义域为(-∞,-1) ∪(-1 ,+∞)，
２１０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
211
不关于原点对称，所以f(x) 为非奇非偶函数.
2
设函数f x
, g x
的定义域为R，且f x
是奇函数，g x
是偶函数，则下列结论中正确的是
(
)
A. f x
g x
是偶函数
B.
f x
g x
是奇函数
C. f x
g x
是奇函数
D.
f x
g x
是奇函数
答案C
解【解析】易知选项ABCD 中的函数定义域即为R；
因为f x
是奇函数，g x
是偶函数，所以f -x
=-f x
, g -x
= g x
，
对于A，f -x
g -x
=-f x
g x
，故f x
g x
是奇函数，即A 错误；
对于B，f -x
g -x
= -f x
g x
= f x
g x
，故f x
g x
是偶函数，即B 错误；
对于C，f -x
g -x
=-f x
g x
，故f x
g x
是奇函数，即C 正确；
对于D，f -x
g -x
= -f x
g x
= f x
g x
，故f x
g x
是偶函数，即D 错误
【题型
【题型2】利用奇偶性求值
利用奇偶性求值
由函数的奇偶性求函数值
由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用f(-x) =-f x
或f(-x) = f x
求解
1
已知函数y = f(x) 在R 上是奇函数，且当x > 0 时，f(x) = x2- 2x，则f(-1) =
(
)
A. - 1
B. 1
C. 0
D. ± 1
答案B
解析
【解析】f 1
= 12- 2 =-1，又f x
在R 上是奇函数，故f -1
=-f 1
= 1. 故选：B
1
已知f x
是偶函数，当x > 0 时，f x
= 3x - 2
x ，则f - 1
3
=
(
)
A. - 7
B. - 5
C. 7
D. 5
答案B
解【解析】f x
是偶函数，当x > 0 时，f x
= 3x - 2
x ，
则f - 1
3
= f
1
3
= 3 × 1
3 - 2
1
3
= 1 - 6 =-5. 故选：B
2
如果函数y =
2x-3,
x>0
f x
,
x<0
是奇函数，则f(-3) =
(
)
A. - 2
B. 2
C. 3
D. - 3
答案D
解【解析】记g x
=
2x-3,
x>0
f x
,
x<0
，
因为g x
为奇函数，所以g -3
=-g 3
，
又g -3
= f -3
，g 3
= 2 × 3 - 3 = 3，
所以f -3
= g -3
=-g 3
=-3. 故选：D
２１１
212
3
已知奇函数f x
的定义域为R，且当x <-2 时，f x
=
8
x+2 ；当0 < x ≤2 时，f x
= x2 - 2，
则f 3
+ f 0
+ f -1
=
(
)
A. 7
B. 9
C. - 7
D. - 9
答案B
解【解析】因为f x
是定义域为R 的奇函数，
所以f 0
= 0，f 3
=-f -3
=-
8
-3+2 = 8，f -1
=-f 1
=- 12-2
= 1，
所以f 3
+ f 0
+ f -1
= 9．
【题型
【题型3】利用奇偶性求参数
】利用奇偶性求参数
利用函数的奇偶性求参数函数的奇偶性，题目难度不大，属于基础题。根据偶函数的定义，即可求参数
考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力
常见方法：
(1) 定义法
奇函数：f(-x) =-f(x)；偶函数：f(-x) = f(x)
(2) 特殊值法
可以取0，±1 这类比较好计算的特殊值
(3) 函数性质法
①f(|x|) 为偶函数，
②奇± 奇= 奇；偶± 偶= 偶；奇× (÷) 奇= 偶；奇× (÷) 偶= 奇；偶× (÷) 偶= 偶，结合常见函数模型
③复合函数y = f[g(x)] 的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇.
(4) 定义域对称法
若解析式中含有2 个参数时，可以考虑通过定义域对称这个限制来得出参数的值
1
已知f(x) =
x2+1
(3x+2)(x-a) 为R 上的偶函数，则a =
.
答案2
3
解析
【解析】法一：特殊值法：因为f x
为偶函数，所以f -1
= f 1
，
所以
1+1
3× -1
+2
-1-a
=
1+1
3+2
1-a
，解得a = 2
3 ，
经检验，当a = 2
3 时，f(x) = 3x2+3
9x2-4 为偶函数，符合题意.
法二：定义法：因为f x
为偶函数，所以f -x
= f x
，
所以
-x
2+1
-3x+2
-x-a
=
x2+1
3x+2
x-a
，化简得3a-2
x = 0，
所以3a - 2 = 0，解得a = 2
3 .
2
已知定义在a-2,a2
上的函数y = f x
是奇函数，则实数a 的值为
．
２１２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
213
答案-2 或1
解析
【详解】因为y = f x
，x ∈a-2,a2
为奇函数，
又奇函数的定义域关于原点对称，
所以a2+ a - 2 = 0，a - 2 ≤0，
得a =-2 或a = 1
3
已知函数f x
= x+a-2
x2+a-1
为R 上的奇函数，则f a
的值是
(
)
A. 0
B. - 12
C. 12
D. 10
答案D
解析
【分析】由奇函数的性质可知f 0
= 0，由此可以求出a 的值，进而可以求出f a
.
【详解】因为函数f x
= x+a-2
x2+a-1
为奇函数，
所以f 0
= 0，即a-2
a-1
= 0，即a = 2 或a = 1，
显然函数f x
= x+a-2
x2+a-1
的定义域为R 关于原点对称，
且当a = 2 时，有f x
= x x2+1
，从而有f -x
=-x x2+1
=-f x
，
当a = 1 时，有f x
= x2 x-1
，但f -1
=-2 ≠-f 1
= 0，
所以a = 2，即f x
= x x2+1
，所以f a
= f 2
= 2 × 22+1
= 10. 故选：D.
4
若f x
= x x+2
x-a
为奇函数，则a 的值为
(
)
A. - 1
B. 0
C. 1
D. 2
答案D
解析
【解析】由函数f x
= x x+2
x-a
为奇函数，可得f -2
+ f 2
= 0，
可得8 2-a
= 0，解得a = 2，
经检验，当a = 2 时，f x
= x x+2
x-2
= x(x2- 4)，
满足f -x
=-f x
，符合题意，所以a = 2. 故选：D.
1
(高一·贵州安顺·期末) 已知函数f x
= 1+x
a-x
是偶函数，则a =
.
答案1
解【解析】f x
= 1+x
a-x
=-x2 + a-1
x + a，由f x
是偶函数可得- -x
2 - a-1
x + a =
-x2+ a-1
x + a，即a-1
x = 0 恒成立.
2
(2024·高一·江西上饶·期末) 若函数f x
= ax2 + bx + 1 是2a,1-a
上的偶函数，则a + b 的值为
.
答案-1
解【解析】由题意首先2a + 1 - a = 0，解得a =-1，
即函数f x
=-x2+ bx + 1 是-2,2
上的偶函数，
由f 1
= b = f -1
=-b，解得b = 0，此时f x
=-x2+ 1，经检验符合题意，
所以a + b =-1.
3
若函数f x
= x2+ ax + 1 是定义在(-b , 2b - 2) 上的偶函数，则f
b
2
=
(
)
A. 1
4
B. 5
4
C. 7
4
D. 2
答案D
２１３
214
解【解析】因为函数f(x) = x2+ ax + 1 是定义在(-b , 2b - 2) 上的偶函数，
所以-b + 2b - 2 = 0 且f -x
= x2- ax + 1 = x2+ ax + 1 = f x
，则a=0
b=2
，
所以f(x) = x2+ 1，则f
b
2
= f(1) = 12+ 1 = 2. 故选：D．
【题型
【题型4】利用奇偶性求解析式
】利用奇偶性求解析式
由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤
(1) 在哪个区间上求解析是，x 就设在哪个区间上；
(2) 把-x 对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得f(-x)；
（3）利用函数的奇偶性把f(-x) 改写成-f(x) 或f(x)，从而求出f(x)．
1
所函数f(x) 是R 上的偶函数，且当x > 0 时，函数的解析式为f(x) = 2
x - 1，则f(-1) =
；
当x < 0 时，函数的解析式为
.
答案
1
f x
=- 2
x - 1
解析
【解析】因为函数f(x) 是R 上的偶函数，且当x > 0 时，函数的解析式为f(x) = 2
x - 1，
所以f -1
= f 1
= 2 - 1 = 1，
设x < 0，则-x > 0，所以f -x
=- 2
x - 1，又f -x
= f x
，
所以f x
=- 2
x - 1，
即当x < 0 时，函数的解析式为f x
=- 2
x - 1.
故答案为：1；f x
=- 2
x - 1
以F x
= g f x
为偶函数，正确
2
函数f x
是一个偶函数，g x
是一个奇函数，且f x
+ g x
=
1
x-1 ，则f x
等于
(
)
A.
1
x2-1
B.
2x2
x2-1
C.
2
x2-1
D.
2x
x2-1
答案A
解析
【解析】因为函数f x
是偶函数，函数g x
为奇函数，则f -x
= f x
，g -x
=-g x
，
由f x
+ g x
=
1
x-1 可得f -x
+ g -x
=
1
-x-1 ，即f x
- g x
=-
1
x+1 ，
所以，
f x
+g x
=
1
x-1
f x
-g x
=-
1
x+1
，解得f x
=
1
x2-1 ，其中x ≠±1
1
设f x
为奇函数，且当x ≥0 时，f x
= x3+ x，则当x < 0 时，f x
=
(
)
A. - x3+ x
B. - x3- x
C. x3- x
D. x3+ x
答案D
解【解析】f x
为奇函数，当x ≥0 时，f x
= x3+ x，
则当x < 0 时，-x > 0，f x
=-f -x
=-
-x
3+ -x
= x3+ x. 故选：D
２１４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
215
2
f x
是定义在R 上的偶函数，当x > 0 时，f x
= x2- 2x + 3，求当x < 0 时，f x
的解析式．
答案f x
= x2+ 2x + 3 x<0
解【详解】当x < 0 时，-x > 0，f -x
= -x
2- 2 -x
+ 3 = x2+ 2x + 3，
由于f x
是偶函数，故f x
= f -x
，
所以f x
= x2+ 2x + 3．
即当x < 0 时，f x
= x2+ 2x + 3．
3
(高一上·广东韶关·期中) 如果函数f(x) = x(x-1),
x>0
g(x),
x<0
是奇函数，那么g(x) =
(
)
A. - x(x + 1)
B. x(x + 1)
C. x(x - 1)
D. - x(x - 1)
答案A
解【解析】当x < 0 时，-x > 0，所以f(-x) =-x(-x - 1) = x(x + 1)，
又因为f(x) 为奇函数，所以f(-x) =-f(x)，
所以-f(x) = x(x + 1)，即f(x) =-x(x + 1)，
所以当x < 0 时，g(x) =-x(x + 1). 故选：A.
4
已知函数f(x) 为奇函数，函数g(x) 为偶函数，f(x) + g(x) = x2- x + 1，则f(2) =
(
)
A. - 2
B. - 1
C. 1
D. 2
答案A
解【解析】根据题意，由f(x) + g(x) = x2- x + 1 ①得f(-x) + g(-x) = x2+ x + 1，
因为f(x) 为奇函数，g(x) 为偶函数，所以f(-x) =-f(x)，g(-x) = g(x)，
所以-f(x) + g(x) = x2+ x + 1 ②，
由①②得2f(x) =-2x，所以f(x) =-x，则f(2) =-2. 故选：A.
5
(2024·高一·河南·期中) 已知f x
, g x
分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f x
- g x
= x3
+ x2+ x，则f 1
+ g 1
=
(
)
A. 1
B. 3
C. - 3
D. - 1
答案D
解【解析】因f x
, g x
分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，则有：f(-x) = f(x) , g(-x) =-g(x)，
由f x
- g x
= x3 + x2 + x ①，将其中的x 取为-x，则可化简得：f -x
- g -x
= f(x) + g(x) =
-x3+ x2- x ②，
由①②联立可求得：f(x) = x2, g(x) =-x3- x，于是f(1) + g(1) = 1 - 1 - 1 =-1.
【题型
【题型5】利用函数奇偶性识别图像
】利用函数奇偶性识别图像
判断函数图像常用的办法是排除法
一: 判断奇偶性(依选项而判断)
二: 代入特殊点看正负
２１５
216
1
函数f x
= 2x2-1
x3
的部分图象大致是
(
)
A.
B.
C.
D.
答案C
解析
【分析】根据函数奇偶性和特殊区间的正负即可判断求解.
【详解】因为f x
= 2x2-1
x3
定义域-∞,0
∪0,+∞
，
且f -x
= 2 -x
2-1
-x
3
=- 2x2-1
x3
=-f x
，
所以f x
是奇函数，则f x
的图象关于原点对称，排除A，D；
当0 < x <
2
2
时，f x
< 0，排除B.
2
函数f x
=
x
1+x2 - 1
2 x 的图象大致为
(
)
A.
B.
C.
D.
答案A
解析
【详解】f x
=
x
1+x2 - 1
2 x，函数定义域为R，
f -x
=
-x
1+x2 + 1
2 x =-f x
，函数为奇函数，排除CD，
f 1
= 0，排除B
1
函数f x
= x2-1
x
的图象大致是
(
)
２１６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
217
A.
B.
C.
D.
答案D
解【分析】求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.
【详解】函数的定义域为x x≠0
，
因为f -x
= (-x)2-1
-x
=- x2-1
x
=-f x
，
所以f(x) 为奇函数，所以f(x) 的图象关于原点对称，
所以排除A，
当x > 0 时，f x
= x2-1
x
≥0，所以排除C，
当x > 1 时，f(x) = x2-1
x
= x - 1
x ，
因为y = x 和y =- 1
x 在(1 ,+∞) 上递增，所以f(x) 在(1 ,+∞) 上递增，所以排除B
2
(高一·江苏南京·期中) 我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．
在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数
的图像特征，函数y = x2-1
x2+1 在[-2，2] 上的图像大致是
(
)
A.
B.
C.
D.
答案B
解【解析】f x
= x2-1
x2+1 定义域为R，
f -x
=
-x
2-1
-x
2+1 = x2-1
x2+1 = f x
，
则f x
是偶函数，其图象关于y 轴轴对称，排除选项CD；
又因为f 0
= 02-1
02+1 =-1，则排除选项A，选B.
２１７
218
3
(2024·高一·重庆·期中) 函数f(x) =
2x
x2+1 的图像大致是
(
)
A.
B.
C.
D.
答案A
解【解析】由f(-x) = -2x
x2+1 =-f(x)，得函数f(x) 为奇函数，排除B 项，
由f(2) = 2×2
22+1 = 4
5 ，得0 < f(2) < 1，则排除C、D 两项.
【题型
【题型6】利用奇偶性与单调性比大小
】利用奇偶性与单调性比大小
利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单
调性比较大小
1
已知奇函数f(x) 的定义域为-∞,0
∪0,+∞
，且不等式f(x1)- f(x2)
x1-x2
> 0 对任意两个不相等的
正实数x1，x2都成立，在下列不等式中，正确的是
(
)
A. f -5
> f 3
B. f -5
< f 3
C. f(-3) > f(-5)
D. f(-3) < f(-5)
答案C
解析
【解析】根据不等式f(x1)- f(x2)
x1-x2
> 0 对任意两个不相等的正实数x1，x2 都成立，得到f(x) 在
区间(-∞, 0)、(0 ,+∞) 单调递增，从而求出答案．
【详解】解；∵对任意正实数x1、x2(x1≠x2)，
恒有不等式f(x1)- f(x2)
x1-x2
> 0，
f(x) 的定义域为-∞,0
∪0,+∞
，
∴f(x) 在区间(-∞, 0)、(0 ,+∞) 单调递增，
∴f(-3) > f(-5)
2
设偶函数f x
的定义域为R，当x ∈0,+∞
时，f x
是增函数，则f - 7
，f π
，f -3
的
大小关系是
(
)
A. f(π) > f(-3) > f(- 7)
B. f π
> f - 7
> f -3
C. f π
< f -3
< f - 7
D. f π
< f - 7
< f -3
答案A
解析
【解析】由f x
是R 上的偶函数，得f(- 7) = f( 7) , f(-3) = f(3)，
又f x
在0,+∞
上单调递增，则f( 7) < f(3) < f(π)，
２１８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
219
所以f(π) > f(-3) > f(- 7). 故选：A
1
已知函数f(x) = ax2 + b 是定义在[a , a + 2] 上的偶函数，又g(x) = f(x - 2)，则g(-2) , g(3) , g(2)
的大小关系为
(
)
A. g(-2) > g(3) > g(2)
B. g(3) > g(2) > g(-2)
C. g(2) > g(-2) > g(3)
D. g(2) > g(3) > g(-2)
答案D
解【详解】根据题意，数f(x) = ax2+ b 是定义在[a , a + 2] 上的偶函数，
则有a + a + 2 = 0，解可得a =-1，
则函数f(x) 是开口向下的二次函数，在区间[0 ,+∞) 上为减函数，
又g(x) = f(x - 2)，函数g(x) 的对称轴为x = 2，且在(2 ,+∞) 上为减函数，
则有g(2) > g(3) > g(6) = g(-2)，
即g(2) > g(3) > g(-2).
2
已知函数f x
在3,+∞
上单调递减，且f x
的图象关于直线x = 3 对称，则a = f 0.2
，b =
f 2
, c = f 0
的大小关系是
(
)
A. a > b > c
B. b > c > a
C. c > b > a
D. b > a > c
答案D
解【分析】结合函数的对称性及单调性即可比较大小
【详解】因为函数f x
在3,+∞
上单调递减，且f x
的图象关于直线x = 3 对称，
所以函数f x
在-∞,3
上单调递增，
因为0 < 0.2 < 2，所以f(0) < f(0.2) < f(2)，
即c < a < b
3
(高一下·湖南长沙·月考) 已知函数f x
是定义在R 上的偶函数，函数g x
是定义在R 上的奇函
数，且f x
，g x
在0,+∞
上单调递减，则
(
)
A. f f 2
> f f 3
B. f g 2
< f g 3
C. g g 2
> g g 3
D. g f 2
< g f 3
答案D
解【解析】因为f x
，g x
在0,+∞
上单调递减，f x
是偶函数，g x
是奇函数，
所以g x
在R 上单调递减，f x
在-∞,0
上单调递增，
对于A 中，由f 2
> f 3
，但无法判断f 2
, f 3
的正负，所以A 不正确；
对于B 中，因为g x
是定义在R 上的奇函数，可得g 0
= 0，
又因为g x
在0,+∞
上单调递减，可得0 > g 2
> g 3
，
因为f x
在0,+∞
上单调递减，且f x
为偶函数，所以f x
在(-∞, 0) 上为增函数，
所以f g 2
> f g 3
，所以B 不正确；
对于C 中，由g 2
> g 3
，g x
在R 上单调递减，所以g g 2
< g g 3
，所以C 不正确；
对于D 中，由f 2
> f 3
，g x
在R 上单调递减，g f 2
< g f 3
，所以D 正确. 故选：D.
【题型
【题型7】利用单调性解奇函数不等式
】利用单调性解奇函数不等式
２１９
220
先移项，再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)，并注意是否有定义域
的限制
1
已知奇函数f x
在R 上单调递增，且f 2
= 1，则不等式f x
+ 1 < 0 的解集为
(
)
A.
-1,1
B.
-2,2
C.
-2,+∞
D.
-∞,-2
答案D
解析
【解析】由f x
+ 1 < 0，可得f x
<-1，
因为f x
是奇函数，且f 2
= 1，所以f x
< f -2
，
因为f x
在R 上单调递增，所以x <-2，
故不等式f x
+ 1 < 0 的解集为-∞,-2
．故选：D
2
若定义在R 上的奇函数f x
在(-∞, 0) 单调递减，且f 2
= 0，则满足xf x
≥0 的x 的取值范围
是
(
)
A.
-2,0
∪[2 ,+∞)
B.
-2,2
C. [-∞,-2] ∪0,2
D. [-∞,-2] ∪[2 ,+∞]
答案B
解析
【解析】f x
为R 上的奇函数，且在(-∞, 0) 单调递减，f(2) = 0，
∴f(-2) = 0，f(0) = 0，且在0,+∞
上单调递减，
所以f x
≥0 ⇒x ≤-2 或0 ≤x ≤2，f x
≤0 ⇒-2 ≤x ≤0 或x ≥2，
∴xf(x) ≥0 可得x>0
x≤-2或0≤x≤2
，或x≤0
-2≤x≤0或x≥2
，
即0 < x ≤2 或-2 ≤x ≤0，即-2 ≤x ≤2，故选：B.
1
奇函数f(x) 是定义在(-1 , 1) 上的减函数，若f(m - 1) + f(3 - 2m) < 0，求实数m 的取值范围．
答案(1，2)
解【详解】 原不等式化为f(m - 1) <-f(3 - 2m)．
因为f(x) 是奇函数，所以f(m - 1) < f(2m - 3)．
因为f(x) 是减函数，
所以m - 1 > 2m - 3，所以m < 2．
又f(x) 的定义域为(-1，1)，
所以-1 < m - 1 < 1 且-1 < 3 - 2m < 1，
所以0 < m < 2 且1 < m < 2，所以1 < m < 2．
综上得1 < m < 2．
故实数m 的取值范围是(1，2)．
2
函数f(x) = ax+b
1+x2 是定义在(-1 , 1) 上的单调递增的奇函数，且f
1
2
= 2
5 .
(1) 求函数f(x) 的解析式；
(2) 求满足f(t - 1) + f(t) < 0 的t 的范围；
答案(1)f(x) =
x
1+x2 (-1 < x < 1)
(2)0 < t < 1
2
解【分析】(1) 依据奇函数性质以及f
1
2
= 2
5 先求出a、b 的值即可求得函数f(x) 的解析式，再进行
验证即可.
２２０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
221
(2) 依据奇函数性质将不等式变形为f(t - 1) < f(-t)，再结合单调性和定义域即可求解.
【详解】(1) 由已知可知f(0) = 0，解得b = 0，
又f
1
2
= 2
5 ，解得a = 1，
所以f(x) =
x
1+x2 (-1 < x < 1)，
因为f(-x) =
-x
1+ -x
2 =
-x
1+x2 =-f x
(-1 < x < 1)，
所以f x
为奇函数，任取-1 < x1< x2< 1，
则f x1
- f x2
=
x1
1+x2
1
-
x2
1+x2
2
= x1 1+x2
2
-x2 1+x2
1
1+x2
1
1+x2
2
=
x1-x2
1-x1x2
1+x2
1
1+x2
2
，
因为-1 < x1< x2< 1，故x1- x2< 0 ,-1 < x1x2< 1 , 1+x2
1
1+x2
2
> 0，
所以1 - x1x2> 0，故f x1
- f x2
< 0，即f x1
< f x2
，
所以函数f x
在(-1 , 1) 上单调递增，
所以函数f(x) 的解析式为f(x) =
x
1+x2 (-1 < x < 1).
(2) 因为f x
为奇函数，由已知可变形为f(t - 1) < f(-t)，
又f x
在(-1 , 1) 上是增函数，
所以-1 < t - 1 <-t < 1，⇒0 < t < 1
2 .
3
设函数f(x) 为奇函数，且在(-∞，0) 上是减函数，若f(-2) = 0，则xf(x) < 0 的解集为
(
)
A. (-1 , 0) ∪(2，+∞)
B. (-∞，-2) ∪(0 , 2)
C. (-∞，-2) ∪(2，+∞)
D. (-2 , 0) ∪(0 , 2)
答案 C
解【解析】 利用函数的性质画出函数f(x) 的简图如图，
4
设奇函数f(x) 在(0，+∞) 上为增函数，且f(1) = 0，则不等式x ⋅f(x) < 0 的解集为
A. (-1，0) ∪(1，+∞)
B. (-∞，-1) ∪(0，1)
C. (-∞，-1) ∪(1，+∞)
D. (-1，0) ∪(0，1)
答案D
解【详解】因为奇函数f(x) 在(0，+∞) 上为增函数,
所以f(x) 在(-∞，0) 上也是增函数, 且f(-1) =-f(1) = 0,
从而f(x) 在定义域上的大致图象为：
２２１
222
所以xf(x) < 0 的解为:-1 < x < 0 , 或0 < x < 1
模块二
中档题型
【题型
【题型8】利用单调性解偶函数不等式
】利用单调性解偶函数不等式
利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，再加上绝对值，得到绝对值不等式(组)，注意是否有定义域
的限制
1
已知函数f (x) 是定义域为R 的偶函数，且对任意x 1，x 2 ∈(-∞, 0]，当x 1 ≠x 2 时总有
f(x1)- f(x2)
x1-x2
> 0，则满足f(1 - 2x) - f - 1
3
> 0 的x 的范围是
(
)
A.
1
3 , 2
3
B.
1
3 , 2
3
C.
1
2 , 2
3
D.
1
2 , 2
3
答案A
解析
【详解】∵任意x1，x2∈(-∞, 0]，当x1≠x2时总有f(x1)- f(x2)
x1-x2
> 0，
∴f(x) 在(-∞, 0] 上是增函数，
又f(x) 是定义域为R 的偶函数，
故f(x) 在[0 ,+∞) 上是减函数．
由f(1 - 2x) - f - 1
3
> 0 可得f(1 - 2x) > f - 1
3
= f
1
3
．
所以- 1
3 < 1 - 2x < 1
3 ，解得1
3 < x < 2
3 ，
即不等式的解集为
1
3 , 2
3
2
已知f x
是定义在- 1
2 , 1
2
上的偶函数，且在- 1
2 ,0
上递减，则不等式f x
- f 1-2x
≥0
的解集是
．
答案
x 1
3 ≤x≤1
2
解析
【分析】根据f x
是定义在- 1
2 , 1
2
上的偶函数，将不等式f x
- f 1-2x
≥0 转化为
f x
≥f 1-2x
，再利用其单调性求解.
【详解】解：因为f x
是定义在- 1
2 , 1
2
上的偶函数，且在- 1
2 ,0
上递减，
所以f x
在0, 1
2
上递增，
不等式f x
- f 1-2x
≥0 等价于f x
≥f 1-2x
，
２２２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
223
所以
x
≤1
2
1-2x
≤1
2
x
≥1-2x
，解得1
3 ≤x ≤1
2 ，
所以不等式f x
- f 1-2x
≥0 的解集是x 1
3 ≤x≤1
2
.
1
已知f x
是定义在R 上的偶函数，且在区间0,+∞
单调递减，则不等式f x-1
> f 2x+1
的
解集为
(
)
A.
-∞,-2
∪0,+∞
B.
-2,0
C.
0,2
D.
-∞,0
∪2,+∞
答案A
解【解析】因为f x
是定义在R 上的偶函数，所以f x-1
> f 2x+1
，
又因为f x
是在区间0,+∞
单调递减，
所以x-1
< 2x+1
，即x-1
2< 2x+1
2，于是有3x2+ 6x > 0，解得x <-2 或x > 0，
故不等式f x-1
> f 2x+1
的解集为-∞,-2
∪0,+∞
. 故选：A.
2
已知定义在[-4 , 4] 上的偶函数f(x) 在[0 , 4] 上为减函数，且f(x + 1) > f(-2)，则实数x 的取值
范围是
(
)
A.
-3,+∞
B.
-3,3
C.
-3,1
D.
-1,3
答案C
解【解析】因为f(x) 为定义在[-4 , 4] 上的偶函数，且f(x + 1) > f(-2)，可得f x+1
> f(2)，
且f(x) 在[0 , 4] 上为减函数，则0 ≤x+1
< 2，解得-3 < x < 1，
所以实数x 的取值范围是-3,1
. 故选：C.
3
已知定义在[-2 , 2] 上的偶函数f(x) = 2ax+b
x2+1 ，且f - 1
3
= 9
10 ．
(1) 求函数f(x) 的解析式；
(2) 解关于m 的不等式f 1-3m
- f m-1
< 0．
解【解析】(1) ∵f(x) = 2ax+b
x2+1
是定义在[-2 , 2] 上的偶函数，
∴f(-2) = f(2)，-4a+b
5
= 4a+b
5
，即a = 0，
又f - 1
3
= 9
10 ，即
b
1
9 +1
= 9
10 ，解得b = 1，
所以f(x) =
1
x2+1 ，经检验符合题意．
(2) 由(1) 知：f(x) =
1
x2+1 ，∴f(x) 在[0 , 2] 上为单调递减函数，
因为f 1-3m
- f m-1
< 0，即f 1-3m
< f m-1
，
又∵f(x) 为偶函数，可得f 1-3m
< f m-1
，
２２３
224
综上可得：
-2≤1-3m≤2
-2≤m-1≤2
1-3m
> m-1
，解得- 1
3 ≤m < 0 或1
2 < m ≤1，
所以不等式的解集为- 1
3 ,0
∪
1
2 ,1
．
【题型
【题型9】已知
】已知f(x) =
) = 奇函数
奇函数+M
已知f(x) = 奇函数+M，x ∈[-a , a]，则
(1)f(-x) + f(x) = 2M
(2)f(x)max + f(x)min = 2M
1
(22 - 23 高一上·浙江台州·期中) 已知f(x) = ax3+ b
x + 3，f(4) = 5，则f -4
=
(
)
A. 3
B. 1
C. - 1
D. - 5
答案B
解析
【解析】设g x
= f x
- 3 = ax3+ b
x ，定义域为-∞,0
∪0,+∞
，
则g -x
= a -x
3+
b
-x =-ax3- b
x =-g x
，故g x
为奇函数，
又g 4
= f 4
- 3 = 5 - 3 = 2，则g -4
=-2，
所以f -4
= g -4
+ 3 =-2 + 3 = 1. 故选：B
2
已知函数f x
=
x3
x2+2 + 3 在区间-2024,2024
上的最大值为M ，最小值为m，则M + m =
．
答案6
解析
【解析】设g x
=
x3
x2+2 ，
则g x
的定义域为R，且连续不断，
由g x
+ g -x
=
x3
x2+2 +
-x
3
-x
2+2
= 0，可知g x
为奇函数，
设g x
在-2023,2023
上的最大值为g x0
，
由奇函数的对称性可知g x
在-2023,2023
上的最小值为g -x0
=-g x0
，
则函数f x
= g x
+ 3 在区间-2023,2023
上的最大值为M = g x0
+ 3，最小值为m =-g x0
+ 3，
所以M + m = g x0
+ 3 - g x0
+ 3 = 6.
3
定义在R 上的奇函数g(x)，设函数f(x) = (x+1)2+g(x)
x2+1
的最大值为M，最小值为m，则M + m
=
．
答案2
解析
【分析】由题意可得h(x) = 2x+g(x)
x2+1
的最大最小值分别为M - 1，m - 1，由奇函数的性质可
得(M - 1) + (m - 1) = 0，变形可得答案．
【详解】∵函数y = g(x) 为奇函数，∴g(-x) =-g(x)，
又f(x) = (x+1)2+g(x)
x2+1
= 1 + 2x+g(x)
x2+1
的最大值为M，最小值为m，
２２４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
225
又h(-x) =- 2x+g(x)
x2+1
=-h(x)，即y = h(x) 为奇函数，
且h(x) = 2x+g(x)
x2+1
的最大最小值分别为M - 1，m - 1，
由奇函数的性质可得(M - 1) + (m - 1) = 0，得M + m = 2．
1
(2024·高一·浙江·期中) 已知函数f x
= ax3+ bx + 4，若f -2024
= 2，则f 2024
=
．
答案6
解【解析】令g x
= ax3+ bx，g -x
= a -x
3+ b -x
=- ax3+bx
=-g x
，
所以g x
为奇函数，
所以f -2024
= g -2024
+ 4 = 2，所以g -2024
=-2，
所以g 2024
= 2，所以f 2024
= g 2024
+ 4 = 6．
2
若函数f x
= 2 x+1
2
x2+1
在区间-2024,2024
上的最大值为M ，最小值为m，则M + m =
．
答案4
解【解析】因为f x
= 2 x+1
2
x2+1
= 2x2+4x+2
x2+1
=
4x
x2+1 + 2，
令g x
=
4x
x2+1 , x ∈-2023,2023
，则f x
= g x
+ 2，
又因为g -x
=
4 -x
-x
2+1
= -4x
x2+1 =-g x
，所以函数g x
为奇函数，
因为奇函数的图象关于原点对称，
所以g x
在-2023,2023
上的最大值和最小值之和为0，即g(x)max + g(x)min = 0，
所以M + m = g(x)max + 2 + g(x)min + 2 = 4．
3
已知f(x) 与g(x) 均为奇函数，F(x) = af(x) + bg(x) + 3(a、b 为非零常数)，若F(4) =-4，则F(
-4) =
.
答案10
解【解析】由题设，F(x) - 3 = af(x) + bg(x) 且f(-x) =-f(x)，g(-x) =-g(x)，
∴af(x) + bg(x) 也为奇函数，即F(-x) - 3 = 3 - F(x)，
∴F(-x) + F(x) = 6，而F(4) =-4，∴F(-4) = 10.
4
(高一上·重庆·期中) 已知函数f x
= x3+ x + 1，且f a2
+ f 3a-4
< 2，则实数a 的取值范围是
(
)
A.
-4,1
B.
-∞,-4
∪1,+∞
C.
-∞,-1
∪4,+∞
D.
-1,4
答案A
解【解析】函数f x
= x3+ x + 1 的定义域为R，令函数g(x) = x3+ x，则f(x) = g(x) + 1
显然g(-x) = (-x)3+ (-x) =- (x3+ x) =-g(x)，
函数y = x3, y = x 在R 上都单调递增，因此g(x) = x3+ x 在R 上单调递增，
不等式f a2
+ f 3a-4
< 2 化为g(a2) + 1 + g(3a - 4) + 1 < 2，
即g(a2) <-g(3a - 4) = g(-3a + 4)，于是a2<-3a + 4，即a2+ 3a - 4 < 0，解得-4 < a < 1，
２２５
226
所以实数a 的取值范围是-4,1
. 故选：A
【题型
【题型10
10】函数中心对称的抽象表达式及应用
】函数中心对称的抽象表达式及应用
奇函数、偶函数图象对称性的推广
y = f(x) 在定义域内恒满足
y = f(x) 的图象的对称轴(中心)
f(a + x) = f(a - x)
直线x = a
f(x) = f(a - x)
直线x = a
2
f(a + x) = f(b - x)
直线x = a+b
2
f(a + x) + f(a - x) = 0
点(a , 0)
f(a + x) + f(b - x) = 0
点a+b
2
,0
f(a + x) + f(b - x) = c
点a+b
2
, c
2
1
(多选) 我们知道，函数y = f x
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y = f x
为奇函数. 有同学发现可以将其推广为函数y = f x
的图象关于点P a,b
成中心对称图形的充要
条件是函数y = f x+a
- b 为奇函数. 现已知函数f x
= ax +
1
x-1 ，g x
= x3 - 3x2 + 3，则下
列说法正确的是
(
)
A. 函数f x
对称中心为1,a
B. 函数g x
对称中心为1,1
C. 当a > 0 时，f x
在1,+∞
上单调递增
D. 若a = 1，f x
与g x
的图象共有2022 个交点，记为Ai xi,yi
, i = 1 , 2 , 3 ,⋅⋅⋅, 2022，则x1+y1
+ x2+y2
+⋅⋅⋅x2022+y2022
的值为4044
答案ABD
解析
【解析】对于A：由f x
= ax +
1
x-1 得f x+1
- a = a x+1
+
1
x+1
-1 - a = ax + 1
x ，
则f -x+1
- a =-ax - 1
x =- f x+1
-a
，
所以函数f x
对称中心为1,a
，A 正确；
对于B：由g x
= x3- 3x2+ 3 得g x+1
- 1 = x+1
3- 3 x+1
2+ 3 - 1 = x3- 6x，
则g -x+1
- 1 =-x3+ 6x =- g x+1
-1
，
所以函数g x
对称中心为1,1
，B 正确；
对于C：f 2
= 2a +
1
2-1 = 2a + 1 , f
3
2
= 3
2 a + 2，
当2a + 1 < 3
2 a + 2，即0 < a < 2 时，f 2
< f
3
2
，f x
在1,+∞
上不单调递增，C 错误；
对于D：若a = 1，f x
= x +
1
x-1 关于1,1
中心对称，与g x
= x3 - 3x2 + 3 的对称中心相同，
即f x
与g x
的图象的2022 个交点也关于1,1
中心对称，
∴x1+y1
+ x2+y2
+⋅⋅⋅x2022+y2022
= x1+x2+⋯+x2022
+ y1+y2+⋯+y2022
= 2 × 1011 + 2 × 1011 = 4044，D 正确.
２２６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
227
1
我们知道函数y = f x
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y = f x
为奇函数，
有同学发现可以将其推广为: 函数y = f x
的图像关于点H a,b
成中心对称图形的充要条件是函
数y = f x+a
- b 为奇函数，则函数f x
= x +
1
x+1 的对称中心是
(
)
A.
-1,-1
B.
1,1
C.
0,0
D.
-1,1
答案A
解【解析】f(x) = x +
1
x+1 ，g x
= f(x + a) - b = x + a +
1
x+a+1 - b 为奇函数，
定义域为x x≠-a-1
关于原点对称，故a =-1，g x
= x - 1 + 1
x - b = x2- b+1
x+1
x
，
g x
=-g -x
，即x2- b+1
x+1
x
=- -x
2+ b+1
x+1
-x
，
即x2- b+1
x+1
x
= x2+ b+1
x+1
x
，故- b+1
= b + 1，
故b =-1，即对称中心为-1,-1
.
2
已知函数f x
x∈R
满足f x
+ f -x
= 2，若y = x + 1 与y = f x
的图像有交点x1,y1
，
x2,y2
，x3,y3
，则x1+ x2+ x3+ y1+ y2+ y3=
(
)
A. - 3
B. 0
C. 3
D. 6
答案C
解【解析】由f x
+ f -x
= 2 可得2 - f x
= f -x
，
函数f x
的图像上任意一点x, f x
关于点0,1
的对称点为-x,2- f x
，即点-x, f -x
，
由-x, f -x
也满足函数解析式，可得函数f x
的图像关于点0,1
对称，
函数y = x + 1 的图像可以由奇函数y = x 的图像向上平移1 个单位得到，所以函数y = x + 1 的图像也
关于点0,1
对称，
若y = x + 1 与y = f x
的图像有交点x1,y1
，x2,y2
，x3,y3
，不妨设x1< x2< x3，
由对称性可得x1+x3
2
= 0，x2= 0，y1+y3
2
= 1，y2= 1，
所以x1+ x2+ x3+ y1+ y2+ y3= 3.
3
已知函数f(x) (x ∈R) 满足f(-x) = 2 - f(x)，若函数y = x+1
x
与y = f(x) 图象的交点为x1,y1
，
x2,y2
，⋯，x2020,y2020
，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为
(
)
A. 2020
B. - 2020
C. 1010
D. - 1010
答案A
解【分析】根据已知条件得出函数y = f(x) 及y = x+1
x
的图象都关于(0 , 1) 对称，这样它们的交点也
关于(0 , 1) 对称，2000 个交点两两配对，坐标之和易求．
【详解】函数f x
x∈R
满足f -x
= 2 - f x
，即为f x
+ f -x
= 2，可得f x
的图像关于点
0,1
对称
函数y = x+1
x
，即y = 1 + 1
x 的图象关于点0,1
对称
２２７
228
所以若点x1,y1
为交点，则点-x1,2-y1
也为交点；同理若点x2,y2
为交点，则点-x2,2-y2
也为交点
则交点的所有横坐标和纵坐标之和为
x1+y1
+ x2+y2
+⋯+ x2020+y2020
= 1
2
x1+y1
+ -x1+2
-y1
+ x2+y2
+ -x2+2-y2
+⋯+ x2020+y2020
+ -x2000+2-y20000
= 2020.
【题型
【题型11
11】函数轴对称的抽象表达式及应用
】函数轴对称的抽象表达式及应用
1
设函数f x
的定义域为0,4
，若f x
在0,2
上单调递减，且关于x = 2 对称，则下列结论正确
的是
(
)
A. f 1
< f
5
2
< f
7
2
B. f
7
2
< f
5
2
< f 1
C. f
5
2
< f 1
< f
7
2
D. f 1
< f
7
2
< f
5
2
答案C
解析
【解析】因为函数f x
的图像关于直线x = 2 对称，则f 1
= f 3
，
又f x
在0,2
上单调递减，故f x
在2,4
上单调递增，
∵2 < 5
2 < 3 < 7
2 < 4，∴f
5
2
< f 3
< f
7
2
，
即f
5
2
< f 1
< f
7
2
故选：C
1
已知函数f x
在2,+∞
上单调递减且对任意x ∈R 满足f 1+x
= f 3-x
，则不等式f 2x-3
> f 5
的解集是
(
)
A.
-∞,1
∪4,+∞
B.
-∞,4
C.
1,+∞
D.
1,4
答案D
解【分析】先根据已知得出对称轴, 再根据单调性解不等式即可.
【详解】因为f 1+x
= f 3-x
, 所以f x
的对称轴为x = 2,
f x
在2,+∞
单调递减，则f x
在-∞,2
单调递增，
又因为f 2x-3
> f 5
，由对称性可得2x-3-2
< 5-2
,
所以2x-5
< 3 ,-3 < 2x - 5 < 3 , 1 < x < 4,
2
已知函数f x
满足f -2-x
= f -2+x
，对任意x 1 , x 2 ∈-∞,-2
，且x 1 ≠x 2，都有
f x1
- f x2
x1-x2
> 0 成立，且f 0
= 0，则f x
> 0 的解集是
(
)
A.
-∞,-2
∪2,+∞
B.
-2,2
C.
-∞,-4
∪0,+∞
D.
-4,0
答案D
解【分析】由已知条件得到f x
的图象关于x =-2 对称，从而可知f x
在-∞,-2
上为增函数，在
-2,+∞
上为减函数，且f -4
= 0，再画出折线图表示出函数f x
的单调性，即可得到答案.
【详解】因为数f x
满足f -2-x
= f -2+x
.
２２８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
229
所以f x
的图象关于x =-2 对称.
因为函数f x
对任意x1, x2∈-∞,-2
，且x1≠x2，都有f x1
- f x2
x1-x2
> 0 成立，
所以f x
在-∞,-2
上为增函数.
又因为f x
的图象关于x =-2 对称，f 0
= 0，
所以f x
在-2,+∞
为减函数，且f -4
= 0.
用折线图表示函数f x
的单调性，如图所示：
由图知：f x
> 0 ⇒-4 < x < 0.
【题型
【题型12
12】构造新函数解不等式
】构造新函数解不等式
常见的构造函数模型
(1) x1f x1
-x2f x2
x1-x2
⇒g(x) = xf(x)
(2) f x2
- f x1
x2-x1
> a ⇒g(x) = f(x) - ax
1
若函数f x
是定义域为R，且对∀x1 , x2 ∈R，且x1 < x2，有f x1
- f x2
< x2 - x1，不等式
f x
- f 2-x
+ 2x > 2 的解集为
(
)
A.
-1,+∞
B.
0,+∞
C.
1,+∞
D.
2,+∞
答案C
解析
【分析】读懂题意，能把f x1
- f x2
< x2 - x1 变形为f x1
+ x1 < f x2
+ x2，得出h(x) =
f(x) + x 为单调递增函数，再利用函数的单调性求解．
【详解】函数f x
是定义域为R，且对∀x1, x2∈R，且x1< x2，有f x1
- f x2
< x2- x1，
即f x1
+ x1< f x2
+ x2，
∴h(x) = f(x) + x 为单调递增函数，
∵f x
- f 2-x
+ 2x > 2，
整理得到：f x
+ x > f 2-x
+ 2 - x，
∵h(x) = f(x) + x 为单调递增函数，
∴x > 2 - x
得：x > 1
2
定义在0,+∞
上的函数f x
满足：对∀x1 , x2 ∈0,+∞
，且x1 ≠x2，都有x2f x1
-x1f x2
x1-x2
>
0 成立，且f 3
= 6，则不等式f x
x
> 2 的解集为
(
)
A.
3,+∞
B.
0,3
C.
0,2
D.
2,+∞
答案A
２２９
230
解析
【分析】构造函数g x
= f x
x
，运用单调性，结合所给特殊值，得到不等式计算即可.
【详解】令g x
= f x
x
，
因为对∀x1、x2∈0,+∞
，且x1≠x2，都有x2f x1
-x1f x2
x1-x2
> 0 成立，
不妨设0 < x1< x2，则x1- x2< 0，故x2f x1
- x1f x2
< 0，则f x1
x1
< f x2
x2
，即g x1
< g x2
，
所以g x
在0,+∞
上单调递增，
又因为f 3
= 6，所以g 3
= f 3
3
= 2，故f x
x
> 2 可化为g x
> g 3
，
所以由g x
的单调性可得x > 3，即不等式f x
x
> 2 的解集为x > 3.
1
已知f x
为R 上的奇函数，f 2
= 2，若∀x1 , x2 ∈0,+∞
且x1 > x2，都有x1f x1
-x2f x2
x1-x2
>
0，则不等式x-1
f x-1
< 4 的解集为
(
)
A.
-∞,-1
∪3,+∞
B.
-∞,3
C.
-1,3
D.
-1,+∞
答案C
解【详解】由题意，令函数g x
= xf x
，
因为若∀x1, x2∈0,+∞
且x1> x2，都有x1f x1
-x2f x2
x1-x2
> 0，
即g x1
-g x2
x1-x2
> 0，所以函数g x
在区间(0 ,+∞) 上为单调递增函数，
又因为f x
为R 上的奇函数，即f -x
=-f x
，
所以g -x
=-xf -x
= xf x
= g x
，所以函数g x
为R 上的偶函数，
又由f 2
= 2，可得g 2
= 2f 2
= 4，则g -2
= 4，
所以不等式x-1
f x-1
< 4，即为g x-1
< g 2
，
则满足x-1
< 2，解得-1 < x < 3，
所以不等式x-1
f x-1
< 4 的解集为-1,3
.
2
设f x
是定义在-∞,0
∪0,+∞
上的奇函数，对任意的x1 , x2 ∈0,+∞
, x1 ≠x2，满足：
x2f x2
-x1f x1
x2-x1
> 0，且f 3
= 3，则不等式f x
- 9
x > 0 的解集为
.
答案
-3,0
∪3,+∞
解【分析】构造新函数F x
= xf x
，根据题意分析判断F x
的奇偶性和单调性，分类讨论结合
F x
的奇偶性和单调性解不等式.
【详解】令F x
= xf x
，
由题意可得：F x
在0,+∞
上单调递增，
∵F -x
= -x
f -x
= xf x
= F x
，则F x
在定义域内为偶函数，
∴F x
在-∞,0
上单调递减，
当x > 0 时，由f x
- 9
x > 0 可得xf x
- 9 > 0，即F x
> 9，
∵F x
在0,+∞
上单调递增，且F 3
= 3f 3
= 9，
２３０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
231
∴F x
> 9 的解集为3,+∞
；
当x < 0 时，由f x
- 9
x > 0 可得xf x
- 9 < 0，即F x
< 9，
∵F x
在-∞,0
上单调递减，且F -3
= F 3
= 9，
∴F x
< 9 的解集为-3,0
；
综上所述：不等式f x
- 9
x > 0 的解集为-3,0
∪3,+∞
.
故答案为：-3,0
∪3,+∞
.
3
已知f x
是定义在R 上的奇函数，f -1
= 0 ，若x 1 , x 2 ∈
-∞,0
，且x 1 ≠x 2 时，
x1f x1
-x2f x2
x1-x2
< 0 恒成立，则不等式xf 2x
> 0 的解集是
.
答案
-∞,- 1
2
∪
1
2 ,+∞
解【分析】先根据x1f x1
-x2f x2
x1-x2
< 0 可得xf x
的单调性，然后结合单调性可解不等式.
【详解】设g x
= xf x
，因为f x
是定义在R 上的奇函数，所以g -x
=-xf -x
= xf x
= g x
，
所以g x
为偶函数，
又x1, x2∈-∞,0
，且x1≠x2时，x1f x1
-x2f x2
x1-x2
< 0 恒成立，
所以g x
在-∞,0
上为减函数，
又f -1
= 0，可得g -1
= 0，所以g x
> 0 = g -1
，得x <-1，
g x
在0,+∞
为增函数，由g x
> 0 = g 1
，得x > 1，
又xf 2x
> 0，可化为2x
⋅f 2x
> 0，即g 2x
> 0，所以2x > 1，或2x <-1，
即x > 1
2 ，或x <- 1
2 .
4
定义在R 上的函数f x
满足：f x
- f -x
= 2x，且对于0,+∞
上的x1 , x2 x1≠x2
有：
f x2
- f x1
x2-x1
> 1. 则关于f x
- f 1-2x2
> 2x2+ x - 1 的不等式解集为
.
答案
-1,- 1
2
∪
1
2 ,1
解【分析】构建函数F x
= f x
- x，根据题意分析可得函数F x
为偶函数，在0,+∞
上单调递
增，则函数F x
在-∞,0
上单调递减，将不等式f x
- f 1-2x2
> 2x2 + x - 1 整理可得F x
>
F 1-2x2
，结合函数的单调性和奇偶性运算求解.
【详解】∵f x
- f -x
= 2x，则f x
- x = f -x
- -x
，
故函数F x
= f x
- x 为偶函数，
对于0,+∞
上的x1, x2 x1≠x2
，不妨设x1< x2，则x2- x1> 0，
由f x2
- f x1
x2-x1
> 1 可得f x2
- f x1
> x2- x1，即f x2
- x2> f x1
- x1，
故函数F x
在0,+∞
上单调递增，则函数F x
在-∞,0
上单调递减，
对f x
- f 1-2x2
> 2x2+ x - 1，则f x
- x > f 1-2x2
- 1-2x2
，即F x
> F 1-2x2
，
则x
> 1-2x2
，即x2> 1-2x2
2，解得1
4 < x2< 1，可得1
2 < x < 1 或-1 < x <- 1
2 ，
故不等式的解集为-1,- 1
2
∪
1
2 ,1
.
故答案为：-1,- 1
2
∪
1
2 ,1
.
5
已知定义在R 上的函数f x
满足f 2-x
= f x
，且当x2 > x1 ≥1 时，恒有f x2
- f x1
x2-x1
< 0，
２３１
232
则不等式f x-1
> f 2x+1
的解集为
(
)
A.
-2,0
B.
-2, 2
3
C.
-∞,-2
∪
2
3 ,+∞
D.
-∞,-2
∪0,+∞
答案C
解【分析】先根据f 2-x
= f x
得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解.
【详解】由f 2-x
= f x
得，f x
的图象关于直线x = 1 对称，
令g x
= f x+1
，则g x
是偶函数，又当x2> x1≥1 时，恒有f x2
- f x1
x2-x1
< 0，
故f x
在1,+∞
上单调递减，所以g x
在0,+∞
上单调递减，
则f x-1
> f 2x+1
⇒g x-2
> g 2x
⇒x-2
< 2x
，
即得x-2
2 4x2,3x2+4x-4
0 , 3x-2
x+2
> 0
得x <-2 或x > 2
3 .
6
已知偶函数f x
的定义域为
x∈R
x≠0
，且有f 2x
= 8f x
，f 1
= 1，若对∀x1，x2 ∈
0,+∞
，都有x1-x2
x2
2f x1
-x2
1 f x2
> 0，则不等式f x
2x
≥x 的解集为
.
答案
-2,0
∪2,+∞
解【分析】通过构造函数法结合已知条件得出函数的单调性，再根据函数的奇偶性，求得不等式
f x
2x
≥x 的解集.
【详解】构造函数F x
= f x
x2
x≠0
，
依题意，f x
的定义域是x∈R
x≠0
，f x
是偶函数，
所以F -x
= f -x
-x
2 = f x
x2
= F x
，所以F x
是偶函数，
由于对∀x1，x2∈0,+∞
，x1-x2
x2
2f x1
-x2
1 f x2
> 0，则x1-x2
f x1
x2
1
- f x2
x2
2
> 0，
所以F x
在0,+∞
上单调递增，则F x
在-∞,0
上单调递减.
对于f x
2x
≥x，且f 2
= f 2×1
= 8f 1
= 8，
若x > 0，可得f x
x2
≥2 = f 2
22
，即F x
≥F 2
，可得x ≥2；
若x < 0 , 可得f x
x2
≤2 = f -2
-2
2 ，即F x
≤F -2
，可得-2 ≤x < 0；
所以不等式f x
2x
≥x 的解集为-2,0
∪2,+∞
.
模块三
【课后作业】
1
我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，
隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来
琢磨函数的图象特征，如函数y =
ax
x2+1 (a > 0) 的图象大致为
(
)
２３２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
233
A.
B.
C.
D.
答案A
【详解】记f(x) =
ax
x2+1 ，函数定义域为R，则f(-x) =- ax
x2+1 =-f(x)，
所以函数为奇函数，排除BC，又当x > 0 时，f(x) > 0，排除D
2 已知偶函数f x
，当x > 0 时，f x
= x2+ x，则当x < 0 时，f x
=
(
)
A. - x2+ x
B. - x2- x
C. x2+ x
D. x2- x
答案D
【解析】当x < 0，则-x > 0，f -x
= -x
2+ -x
= x2- x，
又f x
为偶函数，所以，当x < 0 时，f x
= f -x
= x2- x．故选：D.
3 (多选)f x
是定义在R 上的奇函数，下列结论中，正确的是
(
)
A. f -x
+ f x
= 0
B. f -x
- f x
= 2f x
C. f -x
⋅f x
≤0
D.
f x
f -x
=-1
答案AC
【解析】由f x
是定义在R 上的奇函数，得f -x
=-f x
，且f 0
= 0，
因此f -x
+ f x
= 0，A 正确；f -x
- f x
=-2f x
，B 错误；
又f -x
⋅f x
=- f x
2≤0，C 正确；而当x = 0 时，f 0
= 0，
此时式子
f x
f -x
无意义，D 错误. 故选：AC
4 (多选题) (2024·高一·山东滨州·竞赛) 已知f x
是奇函数，g x
是偶函数，下列说法正确
的是
(
)
A. F x
= f x
+ g x
是偶函数
B. F x
= f x
g x
为奇函数
C. F x
= f g x
为偶函数
D. F x
= g f x
为偶函数
答案BCD
【解析】f x
是奇函数，g x
是偶函数，
对于A，若f x
= x，g x
= x2，满足f x
是奇函数，g x
是偶函数，
但是F x
= f x
+ g x
= x + x2，该二次函数图象关于直线x =- 1
2 对称，
此时函数F x
= f x
+ g x
不是偶函数，错误；
对于B，F x
= f x
g x
，因为F(-x) = f(-x)g(-x) =-f x
g x
=-F x
，
２３３
234
所以F x
= f x
g x
为奇函数，正确；
对于C，F x
= f g x
，因为F -x
= f g -x
= f g x
= F x
，
所以F x
= f g x
为偶函数，正确；
对于D，F x
= g f x
，因为F x
= g f -x
= g -f x
= g f x
= F x
，
5 函数f x
= 2x2-1
x3
的部分图象大致是
(
)
A.
B.
C.
D.
答案C
【分析】根据函数奇偶性和特殊区间的正负即可判断求解.
【详解】因为f x
= 2x2-1
x3
定义域-∞,0
∪0,+∞
，
且f -x
= 2 -x
2-1
-x
3
=- 2x2-1
x3
=-f x
，
所以f x
是奇函数，则f x
的图象关于原点对称，排除A，D；
当0 < x <
2
2
时，f x
< 0，排除B.
6 已知f x
是R 上的奇函数，且图像关于x = 4 对称．若f -3
=-3，则f 5
+ f 16
=
(
)
A. 4
B. - 4
C. 3
D. - 3
答案C
【解析】由函数f x
是R 上的奇函数，可得f(0) = 0，
又由f(4 - x) = f(4 + x) 及f(-x) =-f(x)，
可得f(5) = f(4 + 1) = f(4 - 1) = f(3) =-f(-3) = 3，f(16) = f(4 + 12) = f(4 - 12) = f(-8) =-f(8) =
-f(4 + 4) =-f(4 - 4) =-f(0) = 0，则f(5) + f(16) = 3 + 0 = 3．
7 已知函数f(x) 为奇函数，函数g(x) 为偶函数，f(x) + g(x) = x2- x + 1，则f(2) =
(
)
A. - 2
B. - 1
C. 1
D. 2
答案A
【解析】根据题意，由f(x) + g(x) = x2- x + 1 ①得f(-x) + g(-x) = x2+ x + 1，
因为f(x) 为奇函数，g(x) 为偶函数，所以f(-x) =-f(x)，g(-x) = g(x)，
所以-f(x) + g(x) = x2+ x + 1 ②，
由①②得2f(x) =-2x，所以f(x) =-x，
则f(2) =-2.
２３４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
235
8 若函数f x
= ax2+ 2b+a
x - a + b 是定义在2a,2-a
上的偶函数，则a - b =
(
)
A. - 3
B. - 4
C. 3
D. 2
答案A
【解析】因为函数f x
是定义在2a,2-a
上的偶函数，所以定义域关于原点对称，
可得2 - a =-2a，所以a =-2，
由f -x
= f x
，可得2b + a = 0，解得b = 1，所以a - b =-3
9 已知函数f x
为定义在R 上的奇函数，且在0,1
为减函数，在1,+∞
为增函数，f 2
= 0，则不等式xf -x
≥0 的解集为
(
)
A.
-∞,-2
∪0,2
B.
-2,0 ∪
2,+∞
C.
-∞,-2
∪0
∪2,+∞
D.
-2,2
答案D
【详解】因为f x
为定义在R 上的奇函数，所以f -x
=-f x
，且f 0
= 0
又因f 2
= 0，所以f -2
= 0，
又因f x
在1,+∞
为增函数，在x ∈1,2
上f x
≤0，
在x ∈2,+∞
上f x
≥0，
又因f x
在0,1
为减函数，所以x ∈0,1
上f x
≤0，
综上，当x ∈0,2
时，f x
≤0，当x ∈2,+∞
时f x
≥0，
当x ∈-2,0
时，则-x ∈0,2
，所以f -x
=-f x
≤0，则f x
≥0，
当x ∈-∞,-2
时，则-x ∈2,+∞
，所以f -x
=-f x
≥0，则f x
≤0，
不等式xf -x
≥0 可化简变形为xf x
≤0，
综上所述可知当x ∈-2,2
时，xf x
≤0.
故选：D
10 已知偶函数f x
的定义域为R，且在-∞,0
上为增函数，则
(
)
①f -x
- f x
= 0；②f -x
+ f x
= 0；③f 3
> f -2
> f 1
；④f x
在0,+∞
上为减函数．
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
答案B
【解析】因为偶函数f x
的定义域为R，
所以f -x
= f x
，即f -x
- f x
= 0，则①正确，②错误；
因为偶函数f x
的定义域为R，且在-∞,0
上为增函数，
所以f x
在0,+∞
上为减函数，
继而f 3
< f -2
= f 2
< f 1
，则③错误，④正确.
11 已知函数f x
为R 上的奇函数，g x
= f x
+ 3 , g -2
= 4，则f 2
=
.
答案-1
【解析】由题意知函数f x
为R 上的奇函数，g x
= f x
+ 3 , g -2
= 4，
故g -2
= f -2
+ 3 = 4，即-f 2
+ 3 = 4 ,∴f 2
=-1
12 知函数f x
= ax3+ bx - 3，若f -3
= 6，则f 3
=
.
答案-12
【解析】令g x
= ax3+ bx , g x
为奇函数，f x
= g x
- 3，
f -3
= g -3
- 3 = 6 ⇒g -3
= 9 ⇒g 3
=-9 ⇒f 3
= g 3
- 3 =-12.
13 已知y = f x
是定义域为-3,3
上的偶函数，且f x
在0,3
上为减函数，若f a-2
２３５
236
< f 3a-2
成立，则实数a 的范围是
答案
0,1
【解析】因为y = f x
是定义域为-3,3
上的偶函数，f a-2
< f 3a-2
成立，
所以-3<a-2<3
-3<3a-2<3
，f a-2
< f 3a-2
，
则- 1
3 < a < 5
3 ，
又因为f x
在0,3
上严格减函数，
所以a-2
> 3a-2
，平方得a-2
2> 3a-2
2，解得0 < a < 1，
所以0 < a < 1.
14 已知函数y = f x+1
- 3 为奇函数，g x
= 3x-2
x-1 , f x
与g x
的图像有8 个交点，分
别为x1,y1
, x2,y2
⋯x8,y8
，则y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8
- x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8
=
.
答案16
【解析】∵y = f x+1
- 3 为奇函数
∴函数f x
关于点1，3
对称
∵g x
= 3x-2
x-1 = 3 x-1
+1
x-1
= 3 +
1
x-1
∴函数g x
关于点1，3
对称
∴f x
与g x
图像的8 个交点关于点1，3
对称
∴x1+x8
2
= 1 , x2+x7
2
= 1 , x3+x6
2
= 1 , x4+x5
2
= 1
可得x1+ x2+ x3+ x4+ x5+ x6+ x7+ x8= 4 × 2 × 1 = 8
同理可知y1+ y2+ y3+ y4+ y5+ y6+ y7+ y8= 4 × 2 × 3 = 24
y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8
- x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8
= 16
15 已知函数f x
=
x
4-x2 ，x ∈-2,2
.
(1) 判断函数f x
的奇偶性；
(2) 用定义法证明：函数f x
在-2,2
上单调递增；
(3) 求不等式f t
+ f 1-2t
> 0 的解集.
【解析】(1) 由f -x
+ f x
=
-x
4-x2 +
x
4-x2 = 0，且定义域x ∈-2,2
关于原点对称，故f x
为
奇函数.
(2) 任取x1, x2∈(-2 , 2)，且x1< x2，
f
x1
- f
x2
=
x1
4-x1
2
-
x2
4-x2
2
=
x1 4-x2
2
-x2 4-x1
2
4-x1
2
4-x2
2
=
4 x1-x2
+x1x2 x1-x2
4-x1
2
4-x2
2
=
x1-x2
4+x1x2
4-x1
2
4-x2
2
，
因为x1, x2∈(-2 , 2)，且x1< x2，
故x1- x2< 0，x1x2∈-4,4
，x1x2+ 4 > 0，4 - x1
2> 0，4 - x2
2> 0，
所以
x1-x2
4+x1x2
4-x1
2
4-x2
2
< 0，f x1
- f x2
< 0，
故函数f(x) 在(-2 , 2) 上单调递增；
(3) 由(1) (2)f(x) =
x
4-x2 为奇函数，且在(-2 , 2) 上单调递增，
２３６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
237
f(t) + f(1 - 2t) > 0 变形为f(t) >-f(1 - 2t) = f 2t-1
，
则要满足
-2<2t-1<2
-2<t<2
t>2t-1
，解得：- 1
2 < t < 1，
故不等式的解集为
t
- 1
2 <t<1
２３７
238
专题4 - 1 幂函数与指数函数13 类题型总结
【题型
【题型1】分数型指数幂的取值范围问题
】分数型指数幂的取值范围问题
一、分数指数幂的注意事项：
(1) 分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂a
m
n 不可理解为m
n 个a 相乘，它是根式的一种新的写
法．
在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．
(2) 把根式
n am 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对m
n 进行约分．
(3) 在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，
如-5
2
3 =
3 -5
2 有意义，但-5
3
4 =
4 -5
3 就没有意义．
二、分数指数幂的意义
(1) 分数指数幂的意义
正分数指数幂：规定：a
m
n =
n am a>0,m,n∈N ∗,n>1
负分数指数幂：规定：a
- m
n = 1
a
m
n =
1
n am
a>0,m,n∈N ∗,n>1
(3) 性质：0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义
1
函数y = (x+2)
1
2
(1-x)
3
4 的定义域为
．
答案
-2,1
解析
x+2≥0
1-x>0
，解得x ∈-2,1
1
函数f x
= 1-x
- 1
2 + 2x-1
0的定义域是
(
)
A.
-∞,1
B.
-∞, 1
2
∪
1
2 ,1
C.
-∞,-1
D.
1
2 ,1
答案B
解
因为f x
= 1-x
- 1
2 + 2x-1
0=
1
1-x + 2x-1
0，
则有1-x>0
2x-1≠0
，解得x < 1 且x ≠1
2 ，因此f x
的定义域是-∞, 1
2
∪
1
2 ,1
．故选：B．
2
函数y = x
- 2
3 的定义域为
．
答案
-∞,0
∪0,+∞
解
由y = x
- 2
3 =
1
3 x2 可知其定义域为-∞,0
∪0,+∞
．
２３８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
239
【题型
【题型2】二重根式的化简
】二重根式的化简
二重根式化简，在高中的三角函数、解三角形中却频频出现！
a+
b
2= a + b + 2 ab = a + b +
4ab，要化简
A+
B ，则a+b=A
ab=4B
1
求值
7+4 3 +
7-4 3 =
．
答案4
解析
7+4 3 +
7-4 3 =
2+
3
2 +
2-
3
2 = 2 +
3 + 2 -
3 = 4．
1
化简
11+6 2 +
11-6 2 =
．
答案6
解
11+6 2 +
11-6 2 =
(3+
2)2 +
(3-
2)2 = 3 +
2 + 3 -
2 = 6．
2
化简
4-2 3 -
4+2 3 =
(
)
A. 2 3
B. - 2 3
C. 2
D. - 2
答案D
解
4-2 3 -
4+2 3 =
( 3-1)2 -
( 3+1)2 =
3 - 1 -
3+1
=-2，故选：D．
3
化简下列根式：
(1) 8+4 3
(2) 7-
40
(3) 6+2 5
答案(1) 2 +
6，(2) 5 -
2，(3) 5 - 2 -
2 -
3
解【详解】(1) 8+4 3 =
8+2 12 =
2+
6
2 =
2 +
6
(2) 7-
40 =
7-2 10 =
5-
2
2 =
5 -
2
(3) 9-4 5 -
8-2 15 =
5-
4
2 -
3-
5
2 =
3 - 2
4
化简
b-(2 b-1)(1 < b < 2) =
．
答案
b - 1
解
b-(2 b-1) =
b-2 b+1 =
b-1
2 =
b-1
因为1 < b < 2，所以1 <
b <
2．所以原式=
b-1
=
b - 1
【题型
【题型3】求函数解析式
】求函数解析式
一、指数函数图象都经过点(0，1)，指数型函数y = ax+m + n 恒过定点(-m , n + 1)．
二、所有的幂函数图象都过点(1 , 1)
三、若函数f(x) 的定义域关于原点对称，则函数f(x) 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记
g(x) = 1
2 [f(x) + f(-x)]，h(x) = 1
2 [f(x) - f(-x)]，则f(x) = g(x) + h(x)．
1
已知y = f x
是指数函数，若f - 2
3
= 3 4，则f - 1
2
=
．
答案
2
解析
设y = f x
= ax a>0,a≠1
，
２３９
240
因为f - 2
3
= 3 4，即a
- 2
3 = 4
1
3 ，解得a = 4
- 1
2 = 1
2 ，
所以f x
=
1
2
x
，即f - 1
2
= 2
1
2 =
2
2
已知函数f x
= x
3
2 +k- 1
2 k2 k∈Z
，若f x
为偶函数，且在0,+∞
是增函数，求f(x) 的解析式
答案f(x) = x2
解析
∵f(x) 在0,+∞
上增函数，∴3
2 + k - 1
2 k2> 0，解得-1 < k < 3．
又∵k ∈Z，∴k = 0，1，2，
由f(x) 为偶函数知k = 1，∴f(x) = x2；
1
知幂函数f(x) = m2-2m-2
xm2-2在(0 ,+∞) 为减函数，则f(2) =
．
答案1
2
解
f(x) = m2-2m-2
xm2-2为幂函数，
所以m2- 2m - 2 = 1，解得：m = 3 或m =-1．
当m = 3 时，f(x) = x7为R 上的增函数；
当m =-1 时，f(x) = x-1为R 上的减函数．
所以f(x) = x-1，所以f(2) = 1
2 ．
2
若奇函数f x
和偶函数g x
满足f x
+ g x
= 3x+ x3+ 2，则f 1
+ g 0
=
(
)
A. 7
3
B. 8
3
C. 19
3
D. 16
3
答案D
解【分析】根据题意，用-x 代替x，得到-f x
+ g x
= 3-x - x3 + 2，联立方程组，求得f x
，
g x
的解析式，进而求得f 1
+ g 0
的值．
【详解】由f x
+ g x
= 3x+ x3+ 2，用-x 代替x，可得f -x
+ g -x
= 3-x- x3+ 2，
因为f x
是奇函数，g x
是偶函数，所以-f x
+ g x
= 3-x- x3+ 2，
联立
f x
+g x
=3x+x3+2
-f x
+g x
=3-x-x3+2
，解得f x
= 3x-3-x
2
+ x3，g x
= 3x+3-x
2
+ 2，
所以f 1
= 7
3 ，g 0
= 3，则f 1
+ g 0
= 16
3 ．
3
已知指数函数f(x) = 2a2-5a+3
ax在R 上单调递增，则a 的值为
(
)
A. 3
B. 2
C. 1
2
D. 3
2
答案B
解【分析】令系数为1，解出a 的值，又函数在R 上单调递增，可得答案．
【详解】2a2- 5a + 3 = 1 解得a = 2，
a = 1
2 ，
又函数在R 上单调递增，则a = 2，f(x) = 2x
4
如果函数f x
= 2a ⋅3x和g x
= 2x- b+3
都是指数函数，则ab=
(
)
A. 1
8
B. 1
C. 9
D. 8
答案D
２４０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
241
解【分析】利用指数函数解析式的特点求解即可．
【详解】根据题意可得2a = 1 ⇒a = 1
2 ，- (b + 3) = 0 ⇒b =-3，则ab=
1
2
-3
= 8．
5
已知函数f x
是奇函数，且当x > 0 时，f x
= 10x+ x + 1，那么当x < 0 时，f x
的解析式是
(
)
A.
1
10x + x - 1
B. - 1
10x + x - 1
C.
1
10x - x + 1
D. - 1
10x - x + 1
答案B
解
当x < 0 时，则-x > 0，所以f -x
= 10-x- x + 1，
又因为函数f x
是奇函数，所以-f -x
= f x
，
所以当x < 0 时f x
=-10-x+ x - 1 =- 1
10x + x - 1．
【题型
【题型4】分数型指数幂的化简与计算求值
】分数型指数幂的化简与计算求值
(1) 灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数幂形式去求解．
(2) 运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母．
实数指数幂的运算性质
①aman= am+n(a > 0 , r , s ∈R)．
②am
n= amn(a > 0 , r , s ∈R)．
③(ab)m = ambm(a > 0 , b > 0 , r ∈R)．
1
已知a + 1
a = 7，则a
1
2 + a
- 1
2 =
．
答案3
解析
由a + 1
a = 7，可得a > 0，a
1
2 + a
- 1
2 > 0，
∴a
1
2 + a
- 1
2 =
a
1
2 +a
- 1
2
2 =
7+2 = 3．
2
(1) 化简：4a
2
3 b
1
3 ÷ - 2
3 a
- 1
3 b
- 1
3
(2) 已知a + a-1= 7，分别求a
1
2 + a
- 1
2 ，a2+ a-2的值．
答案(1) - 6ab
1
3 ；(2)3，47
解析
【分析】(1) 根据分数指数幂的运算法则计算可得；
(2) 由完全平方公式，结合指数幂性质计算即可．
【详解】(1)4a
2
3 b
1
3 ÷ - 2
3 a
- 1
3 b
- 1
3
= 4 × - 3
2
a
2
3 - - 1
3
b
1
3 - - 1
3
=-6ab
1
3 ；
(2) 因为a + a-1= 7，
所以a
1
2 +a
- 1
2
2= a + 2 + a-1= 9，由a
1
2 + a
- 1
2 > 0，可得a
1
2 + a
- 1
2 = 3；
将a + a-1= 7 两边平方，即(a + a-1)2= 49，即a2+ a-2+ 2 = 49，则a2+ a-2= 47．
1
化简或求值：
(1) 1
8
- 1
3 ×
7
6
0
+ 80.25 × 4 2 +
3 2×
3
6；
２４１
242
(2) 0.25
- 1
2 - -2
2× 23
- 3
2 + 10 2-
3
-1- 10 × 30.5；
(3) 7+4 3
1
2 - 81
1
8 + 32
3
5 - 2 ×
1
8
- 2
3 + 3 2 × 4
- 1
3
-1；
(4) 2a
2
3 b
1
2
-6a
1
2 b
1
3
÷ -3a
1
6 b
5
6
(a > 0 且b > 0)．
答案(1)112；(2)21；(3)4；(4)4a
解
(1) 原式= 2
-3
× - 1
3
× 1 + 23
1
4 × 2
1
4 + 2
1
3
6× 3
1
2
6= 2 + 2
3
4 + 1
4 + 22× 33= 112．
(2) 0.25
- 1
2 - -2
2 × 23
- 2
3 + 10(2 -
3)-1 - 10 × 30.5 =
1
2
2
- 1
2 - -2
2 × 2-2 + 10 ×
1
2-
3 - 10 ×
3
1
2
= 2 - 4 × 1
4 + 10 2+
3
- 10 3 = 21．
(3) 7+4 3
1
2 - 81
1
8 + 32
3
5 - 2 ×
1
8
- 2
3 + 3 2 × 4
- 1
3
-1
=
2+
3
2
1
2 - 34
1
8 + 25
3
5 - 2 × 2-3
- 2
3 + 2
1
3 × 22
1
3 = 2 +
3 -
3 + 8 - 8 + 2 = 4．
(4) 2a
2
3 b
1
2
-6a
1
2 b
1
3
÷ -3a
1
6 b
5
6
= 2× -6
-3
⋅a
2
3 + 1
2 - 1
6 b
1
2 + 1
3 - 5
6 = 4a．
2
已知x + y = 6，xy = 4，且x > y，则
x-
y
x+
y =
．
答案
5
5
解
由题意，x - y =
x+y
2-4xy =
62-4×4 = 2 5，
所以
x-
y
x+
y =
x-
y
2
x+
y
x-
y
= x-2 xy+y
x-y
= 6-4
2 5 =
5
5 ，
故答案为：
5
5 ．
3
已知x + 1
x = 5，则x2+ 1
x2 的值为
．
答案23
解
因为x + 1
x = 5，
所以x2+ 1
x2 = x+ 1
x
2
- 2x ⋅1
x = 25 - 2 = 23．
4
已知a
1
2 + a
- 1
2 = 3，求下列各式的值．
(1)a + a-1；(2)a2+ a-2；(3) a
3
2 +a
- 3
2 +2
a2+a-2+3 ．
答案(1)7；(2)47；(3) 2
5
解
(1) 将a
1
2 + a
- 1
2 = 3 两边平方，得a + a-1+ 2 = 9，
所以a + a-1= 7．
(2) 将a + a-1= 7 两边平方，得a2+ a-2+ 2 = 49，
所以a2+ a2= 47．
(3) ∵a
1
2 + a
- 1
2 = 3，a + a-1= 7，a2+ a2= 47，
∴a
3
2 + a
- 3
2 = a
1
2
3+ a
- 1
2
3= a
1
2 +a
- 1
2
a-1+a-1
= 3 × 7-1
= 18，
∴a
3
2 +a
- 3
2 +2
a2+a-2+3 = 18+2
47+3 = 2
5 ．
２４２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
243
5
若0 < a < 1，b > 0，且ab- a-b=-2，则ab+ a-b的值为
(
)
A. 2 2
B. ± 2 2
C. - 2 2
D.
6
答案A
解
由题设，(ab- a-b)2= a2b- 2 + a-2b= 4，即a2b+ a-2b= 6，
又(ab+ a-b)2= a2b+ 2 + a-2b= 8，且ab+ a-b> 0，
所以ab+ a-b= 2 2，故选：A．
6
(1) 计算：
3 (-4)3 -
1
2
0
+ 0.25
1
2 ；
(2) 计算：4a
2
3 b
1
3 ÷ - 2
3 a
- 1
3 b
- 2
3
(a , b > 0)；
(3) 已知x
1
2 - x
- 1
2 = 2，求x+x-1
x2+x-2 的值．
答案(1) - 9
2 ；(2) - 6ab；(3) 3
17 ．
解【分析】(1) 利用根式及指数运算计算即得．
(2) 利用指数运算法则化简即得．
(3) 利用分数指数幂的运算计算即得．
【详解】(1)
3 (-4)3 -
1
2
0
+ 0.25
1
2 =-4 - 1 + 1
2 =- 9
2 ．
(2)4a
2
3 b
1
3 ÷ - 2
3 a
- 1
3 b
- 2
3
=-6a
2
3 - - 1
3
b
1
3 - - 2
3
=-6ab．
(3) 由x
1
2 - x
- 1
2 = 2，得x + x-1= x
1
2 -x
- 1
2
2+ 2 = 6，x2+ x-2= (x + x-1)2- 2 = 34，
所以x+x-1
x2+x-2 = 6
34 = 3
17 ．
7
已知10m + 10n= 5，10m+n= 6，求：
(1) 102m+102n
10-m+10-n
(2)10
3m-2n
2
．
答案(1) 78
5
(2) 2 2
3
或3 3
2
解【分析】(1) 根据平方关系可得102m + 102n = 13，由负数指数幂的性质可得10-m + 10-n =
1
10m +
1
10n = 10n+10m
10n+m
= 5
6 ，即可代入求解，
(2) 根据10m + 10n= 5 和10m10n= 6 可得10m，10n的值，即可分情况代入求解．
【详解】(1) 由10m + 10n= 5 平方可得102m + 102n+ 2 × 10m+n= 25，
由于10m+n= 6，故102m + 102n= 13，
10-m + 10-n=
1
10m +
1
10n = 10n+10m
10n+m
= 5
6 ，
因此102m+102n
10-m+10-n = 13
5
6
= 78
5
(2)10
3m-2n
2
= 103m-2n
1
2 =
10m
3
10n
2
1
2
，
２４３
244
由10m + 10n= 5 和10m10n= 6 可得10m = 2，10n= 3 或10m = 3，10n= 2，
当10m = 2，10n= 3 时，则10
3m-2n
2
= 103m-2n
1
2 =
10m
3
10n
2
1
2
=
8
9 = 2 2
3
，
当10m = 3，10n= 2 时，则10
3m-2n
2
= 103m-2n
1
2 =
10m
3
10n
2
1
2
=
27
4 = 3 3
2
【题型
【题型5】大致图象的判断及利用图形性质求参数范围
】大致图象的判断及利用图形性质求参数范围
一、幂函数
(1) 幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y = x，y = x2，y = x3，y = x-1，y = x
1
2 的图象(如图)．
幂函数的性质
1、所有的幂函数在(0，+∞) 上都有定义，并且图象都过点(1 , 1)；
2、如果α > 0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，+∞) 上单调递增(重要)；
3、如果α < 0，那么幂函数的图象在区间(0，+∞) 上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点
时，图象在y 轴右方无限接近y 轴，当x 从原点趋向于+∞时，图象在x 轴上方无限接近x 轴；
4、在(1，+∞) 上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y 轴．
二、指数函数的图象与性质
a > 1
0 < a < 1
图象
第1 象限底大图
高
性质
定义域
R
２４４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
245
值域
(0 ,+∞)
过定点
(0 , 1)
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
1
函数①y = ax；②y = bx；③y = cx；④y = dx的图象如图所示，a，b，c，d 分别是下列四个数：
5
4 ，
3，1
3 ，1
2 中的一个，则a，b，c，d 的值分别是
(
)
A. 5
4 ，
3，1
3 ，1
2
B.
3，5
4 ，1
2 ，1
3
C. 1
2 ，1
3 ，
3，5
4
D. 1
3 ，1
2 ，5
4 ，
3
答案C
解析
直线x = 1 与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而
3 > 5
4 > 1
2 > 1
3 ，
所以a，b，c，d 的值分别是1
2 ，1
3 ，
3，5
4 ，故选：C．
1
幂函数y = xa，y = xb，y = xc，y = xd 在第一象限的图像如图所示，则a，b，c，d 的大小关系
是
(
)
A. a > b > c > d
B. d > b > c > a
C. d > c > b > a
D. b > c > d > a
答案D
解
根据幂函数的性质，
在第一象限内，x = 1 的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
２４５
246
所以由图像得：b > c > d > a，故选：D
2
若函数y = 2-x+1+ m 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是
(
)
A. m ≤-2
B. m ≥-2
C. m ≤-1
D. m ≥-1
答案A
解【分析】由指数幂的运算化简后再结合指数函数的单调性及题意解析即可；
【详解】y = 2-x+1+ m =
1
2
x-1
+ m，
由指数函数的单调性可得函数为递减函数，因为图象不经过第一象限，
所以当x = 0 时，
1
2
-1
+ m ≤0，解得m ≤-2
3
若函数f x
= ax+ b 的图象如图所示，且f -1
= 0，则实数a，b 的值可能为
(
)
A. a = 3，b =-3
B. a = 1
3 ，b =- 1
3
C. a = 2，b =- 1
2
D. a = 1
2 ，b =-2
答案C
解
由函数f x
= ax+ b 的图像，可得函数f x
为单调递增函数，所以a > 1，
又由f(-1) = 0，可得a-1+ b = 0，可得ab =-1，
结合选项，只有C 项适合．故选：C．
4
在同一坐标系内，函数y = xa(a ≠0) 和y = ax - 1
a 的图象可能是
(
)
A.
B.
C.
D.
答案C
解【分析】利用一次函数与幂函数的性质进行判断．
２４６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
247
【详解】对于A，由函数y = xa(a ≠0) 的图象可知a < 0，
由y = ax - 1
a 的图象可知a > 0，互相矛盾，错误；
对于B，由函数y = xa(a ≠0) 的图象可知a > 1，
由y = ax - 1
a 的图象可知a < 0，互相矛盾，错误；
对于C，由函数y = xa(a ≠0) 的图象可知a > 1，
由y = ax - 1
a 的图象可知a > 0 且- 1
a < 0，符合题意，正确；
对于D，由函数y = xa(a ≠0) 的图象可知a < 0，
由y = ax - 1
a 的图象可知a < 0 且- 1
a < 0，互相矛盾，错误．
5
(多选) 已知函数y = ax- b(a > 0 且a ≠1) 的图象如图所示，则下列结论正确的是
(
)
A. ab> 1
B. a + b > 1
C. ba> 1
D. 2b-a< 1
答案ABD
解【分析】根据函数图象可得出a、b 的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD 选项，利用
不等式的基本性质可判断B 选项．
【详解】由图象可知，函数y = ax- b(a > 0 且a ≠1) 在R 上单调递增，则a > 1，
且当x = 0 时，y = 1 - b ∈0,1
，可得0 < b < 1．
对于A 选项，ab> a0= 1，A 对；
对于B 选项，a + b > a > 1，B 对；
对于C 选项，ba< b0= 1，C 错；
对于D 选项，由题意可知，0 < b < 1 < a，则b - a < 0，所以，2b-a< 20= 1，D 对．
故选：ABD．
6
如图，曲线①②③④分别是指数函数y = ax，y = bx，y = cx，y = dx 的图像，则实数a、b、c、
d 的大小关系满足
(
)
A. a < b < c < d
B. b < a < d < c
C. d < c < b < a；
D. c < d < a < b．
答案B
２４７
248
解
作出直线x = 1，此时与各函数的交点的纵坐标即为对应的底数，如图，
所以b < a < d < c，故选：B
7
图中C1、C2、C3为三个幂函数y = xα在第一象限内的图象，则解析式中指数α 的值依次可以是
(
)
A. 1
2 、3、-1
B. - 1、3、1
2
C. 1
2 、-1、3
D. - 1、1
2 、3
答案D
解
由幂函数y = xα在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，
可得：图中C1对应的α < 0，C2对应的0 < α < 1，C3对应的α > 1，
结合选项知，指数α 的值依次可以是-1，1
2 ，3．故选：D．
8
函数f(x) = ax-b的图像如图所示，其中a，b 为常数，则下列结论正确的是
(
)
A. a > 1，b < 0
B. a > 1，b > 0
C. 0 < a < 1，b > 0
D. 0 < a < 1，b < 0
答案D
解
由函数f(x) = ax-b的图像可知，
２４８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
249
函数f(x) = ax-b在定义域上单调递减，
∴0 < a < 1，排除AB 选项；
函数f(x) = ax-b图像是由y = ax向左平移所得，
∴-b > 0，∴b < 0．故D 选项正确．
9
(多选) 若函数y = ax- 2b - 1 a>0且a≠1
的图象过第一，三，四象限，则
(
)
A. 0 < a < 1
B. a > 1
C. b > 0
D. b < 0
答案BC
解【分析】作出函数大致图象，结合指数函数性质可构造不等式求得结果．
【详解】由题意可知：函数大致图象如下图所示，
若0 < a < 1，则y = ax- 2b - 1 的图象必过第二象限，不符合题意，所以a > 1．
当a > 1 时，要使y = ax- 2b - 1 的图象过第一、三、四象限，2b + 1 > 1，解得b > 0．
故选：BC．
10
(多选) 在同一直角坐标系中，函数f x
= ax-1
a>0,且a≠1
，g x
= a - x 的图象可能是
(
)
A.
B.
C.
D.
答案AC
解【分析】根据给定条件对a 值进行分类讨论函数f x
的单调性及0 一侧的函数值，再结合g x
= a
- x 图象与y 轴交点位置即可判断作答．
【详解】依题意，当a > 1 时，函数g x
= a - x 图象与y 轴交点在点(0 , 1) 上方，排除B，C，
而f x
= ax-1
= ax-1,
x≥0
1-ax,
x<0
，因此，f x
在(-∞, 0) 上递减，且x < 0 时，0 < f(x) < 1，D 不
满足，A 满足；
当0 < a < 1 时，函数g x
= a - x 图象与y 轴交点在原点上方，点(0 , 1) 下方，排除A，D，
２４９
250
而f x
= ax-1
= ax-1,
x<0
1-ax,
x≥0
，因此，f(x) 在(0 ,+∞) 上递增，且x > 0 时，0 < f(x) < 1，B 不
满足，C 满足，所以给定函数的图象可能是AC．
【题型
【题型6】指数幂比大小
】指数幂比大小
比较指数幂的大小
常用方法有：
(1) 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
(2) 对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
(3) 对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
1
若a =
1
2
2
3 ，b =
1
5
2
3 ，c =
1
2
1
3 ，则a、b、c 的大小关系是
(
)
A. b < a < c
B. b < c < a
C. c < a < b
D. c < b < a
答案A
解析
因为y = x
2
3 在(0 ,+∞) 上单调递增，且1
2 > 1
5 ，
所以
1
2
2
3 >
1
5
2
3 ，即a > b，
因为y =
1
2
x
在R 上单调递减，且2
3 > 1
3 ，
所以
1
2
2
3 <
1
2
1
3 ，即c > a，
所以c > a > b，即b < a < c，故选：A
1
设a =
3
5
2
5 ，b =
2
5
2
，c =
3
5
- 2
5 ，d =
2
5
2
5 ，则a，b，c，d 的大小关系是
(
)
A. c > a > b > d
B. a > c > b > d
C. c > a > d > b
D. c > d > a > b
答案C
解【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可依次判断a，c，d，b 的大小即得．
【详解】因函数y =
3
5
x
为减函数，故c =
3
5
- 2
5 >
3
5
2
5 = a，
又函数y = x
2
5 在第一象限内为增函数，故a =
3
5
2
5 >
2
5
2
5 = d，
又y =
2
5
x
为减函数，故d =
2
5
2
5 >
2
5
2
= b，
综上可得c > a > d > b．
2
已知a =
4
5
2
3 ，b =
2
3
3
4 ，c =
4
9
3
3 ，b =
2
3
3
4 ，c =
4
9
3
5 ，则a，b，c 的大小关系是
(
)
A. a > b > c
B. b > a > c
C. a > c > b
D. c > a > b
答案A
解【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可．
２５０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
251
【详解】易知c =
4
9
3
5 =
2
3
2
3
5 =
2
3
6
5 ，
又y =
2
3
x
定义域上单调递减，3
4 < 1 < 6
5 ，所以b > 2
3 > c，
易知y = x
2
3 x>0
单调递增，4
5 > 3
4 > 2
3 ，
则a =
4
5
2
3 >
2
3
2
3 >
2
3
3
4 = b，综上a > b > c．
3
已知函数g x
是定义域为R 的偶函数，且在-∞,0
上单调递减，若a = g 2π
，b = g 2 3
，c
= g -1
，则a，b，c 的大小关系为()．
A. c < b < a
B. a < b < c
C. b < a < c
D. b < c < a
答案A
解【分析】结合函数奇偶性、单调性，以及指数函数单调性来比较大小；
【详解】由题意知函数g x
为定义域为R 的偶函数，且在-∞,0
上单调递减，则g -x
= g x
，且
在0,+∞
上单调递增，所以c = g -1
= g 1
，
因为1 < 2 3 < 2π，
所以g 1
< g 2 3
< g 2π
，即c < b < a
4
已知函数f(x) = ex- e-x，则a = f(0.40.6)，b = f(0.60.6)，c = f(0.40.4) 的大小关系为
(
)
A. b < a < c
B. a < b < c
C. c < a < b
D. a < c < b
答案D
解
由0.60.6 = (0.63)0.2 = 0.2160.2，0.40.4 = (0.42)0.2 = 0.160.2，即0.160.2 < 0.2160.2，
所以0.40.4 < 0.60.6，又0.40.6 < 0.40.4，
所以0.40.6 < 0.40.4 < 0.60.6，而f(x) = ex- e-x递增，
故a = f(0.40.6) < c = f(0.40.4) < b = f(0.60.6)，故选：D
5
设a = 0.1e0.2，b = 1
10 ，c = 0.2e0.1，则下列选项正确的是
(
)
A. c < b < a
B. b < a < c
C. b < c < a
D. a < c < b
答案B
解【分析】先由指数函数的单调性比较a，c 与b 的大小，再作商比较a，c 的大小即可得解．
【详解】a = 0.1e0.2 = 1
10 e0.2 > 1
10 e0= 1
10 = b，
c = 0.2e0.1= 1
5 e0.1> 1
5 e0= 1
5 > 1
10 = b，而
而a
c = 1
2 e0.1，因为e < 210，所以e0.1< 2，
所以a
c = 1
2 e0.1< 1
2 × 2 = 1，故a < c，所以b < a < c．
6
已知a = 20.1，b = 0.33，c = 0.30.1，则a，b，c 的大小关系为
(
)
A. a < b < c
B. c < b < a
C. b < c < a
D. a < c < b
答案C
解
∵y = 0.3x是减函数，3 > 0.1 > 0，所以0.33< 0.30.1< 1，
２５１
252
又20.1> 1，∴b < c < a．故选：C．
7
若a = 1.010.5，b = 1.010.6，c = 0.60.5，则
(
)
A. c > a > b
B. c > b > a
C. a > b > c
D. b > a > c
答案D
解【分析】根据已知条件，结合指数函数、幂函数的单调性，即可求解．
【详解】y = 1.01x，在R 上单调递增，0. 6 > 0.5，
故1.010.6 > 1.010.5，所以b > a，
y = x0.5，在[0 ,+∞) 上单调递增，
01 > 0.6，故1.010.5 > 0.60.5，即a > c，所以b > a > c．
8
定义在R 上的偶函数f x
对∀x1，x2 ∈(-∞, 0) (x1 ≠x2) 都有f x1
- f x2
x1-x2
> 0，若a = 20.3，b
=
1
2
-0.5
，c = 3-0.5，则
(
)
A. f -a
> f b
> f c
B. f c
> f -b
> f a
C. f b
> f a
> f -c
D. f c
> f -a
> f -b
答案D
解【分析】首先判断函数的单调性，并比较a，b，c 的大小，再结合函数是偶函数，即可判断选项．
【详解】由题意可知，任意x1< x2< 0，f x1
< f x2
，
所以函数f x
在区间-∞,0
单调递增，
因为函数为偶函数，所以在区间0,+∞
上单调递减，
b =
1
2
-0.5
= 20.5 > 20.3 = a > 1，c = 3-0.5 ∈0,1
，
所以b > a > c > 0，
所以f b
< f a
< f c
，再根据函数是偶函数，
可得f c
> f -a
> f -b
．
9
已知偶函数f x
在-∞,0
上单调递增，若a = f 2
1
2
，b = f -3
1
3
，c = f 5
1
5
，则
(
)
A. a < b < c
B. b < a < c
C. a < c < b
D. b < c < a
答案B
解【分析】根据函数奇偶性及单调性得到f x
在0,+∞
上单调递减，比较出3
1
3 > 2
1
2 > 5
1
5 ，结合b
= f -3
1
3
= f 3
1
3
，比较出b < a < c．
【详解】因为偶函数f x
在-∞,0
上单调递增，所以f x
在0,+∞
上单调递减．
b = f -3
1
3
= f 3
1
3
，所以只需比较2
1
2 ，3
1
3 ，5
1
5 的大小即可．
因为23< 32，所以23
1
6 < 32
1
6 ，即2
1
2 < 3
1
3 ．
又因为25> 52，所以25
1
10 > 52
1
10，即2
1
2 > 5
1
5 ，故3
1
3 > 2
1
2 > 5
1
5 ．
而f x
在0,+∞
上单调递减，所以f 3
1
3
< f 2
1
2
< f 5
1
5
，即b < a < c．
10
已知奇函数f x
在R 上是增函数，g x
= xf x
．若a = g - 5
，b = g 20.8
，c = g 3
，则a，
b，c 的大小关系为
(
)
２５２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
253
A. a < b < c
B. c < b < a
C. b < a < c
D. b < c < a
答案C
解【分析】先根据条件确定函数g(x) 的奇偶性及单调性，然后比较大小．
【详解】因为f(x) 是R 上的奇函数，所以g(-x) =-xf(-x) = xf x
= g x
，即g(x) 是R 上的偶函数，
又f(x) 在R 上是增函数，而f 0
= 0，所以x > 0 时，f(x) > 0，
于是x > 0 时，g x
= xf x
单调递增，
则偶函数g(x) 在0,+∞
上是增函数，在-∞,0
上是减函数．
因为3 >
5 > 21> 20.8，而a = g - 5
=
5
，
所以g(3) > g - 5
> g 20.8
，即b < a < c．
【题型
【题型7】指数幂结合基本不等式求最值
】指数幂结合基本不等式求最值
指数幂结合基本不等式求最值是一类常见的数学问题，通常涉及到指数函数、幂函数以及基本不等式的
应用，通过变形和转换，将指数幂表达式转化为可应用不等式的形式，从而求得表达式的最大值或最小
值。
1
已知a，b ∈R，若a + 2b = 2，则2a+ 4b的最小值为
答案4
解析
【分析】利用2a+ 4b≥2 2a∙22b，可求最小值．
【详解】2a+ 4b= 2a+ 22b≥2 2a∙22b = 2 2a+2b = 2 22 = 4，
当且仅当2a= 22b，即a = 1，b = 1
2 时取等号．
2a+ 4b的最小值为4．
2
(高一上·浙江温州·期中) 若正数x，y 满足xy = 2，则3x⋅9y 的最小值为
(
)
A. 27
B. 81
C. 6
D. 9
答案B
解析
【分析】利用基本不等式结合指数函数的单调性求解最小值．
【详解】因为x > 0，y > 0，可得x + 2y ≥2 x⋅2y = 4，当且仅当x = 2y = 2 时，等号成立，
所以x + 2y 的最小值为4，所以3x⋅9y = 3x⋅32y = 3x+2y ≥34= 81．
1
已知正数m，n 满足2m × 4n= 2，则1
m + 2
n 的最小值为
(
)
A. 3
B. 5
C. 8
D. 9
答案D
解【分析】由指数幂的运算律得m + 2n = 1，再由基本不等式求最值．
【详解】由正数m，n 满足2m × 4n= 2，即2m × 22n= 2m+2n= 2，所以m + 2n = 1，
所以1
m + 2
n = m+2n
1
m + 2
n
= 5 + 2n
m + 2m
n
≥5 + 2
2n
m × 2m
n
= 9，
当且仅当n
m = m
n ，即m = n = 1
3 时，取得等号．
2
(高一上·广东深圳·期中) 若正数x，y 满足e3x⋅ey = (ex)y，则x + 3y 的最小值为
(
)
A. 10 + 2 6
B. 10 + 2 3
C. 12
D. 16
２５３
254
答案D
解【分析】利用乘“1”法即可得到答案．
【详解】由已知可得xy = 3x + y，x > 0，y > 0，两边同除xy 得1
x + 3
y = 1，
所以x + 3y = x+3y
1
x + 3
y
= 10 + 3 y
x + x
y
≥10 + 6
y
x ⋅x
y = 16．
当且仅当x = y = 4 时等号成立
3
已知a > 0，b > 0，a + 2b = 2，求3a+ 9b的最小值为
(
)
A.
6
B. 6
C. 6 3
D. 12
答案B
解【分析】由a > 0，b > 0，a + 2b = 2，将3a+ 9b变形，利用基本不等式即可．
【详解】因为a > 0，b > 0，a + 2b = 2，
所以3a+ 9b= 3a+ 32b≥2 3a⋅32b
= 2 3a+2b = 2 32 = 6，
当且仅当a = 2b = 1 即a = 1，b = 1
2 时，取等号，
所以3a+ 9b的最小值为6
4
已知正数x，y 满足2x-3= 8y，则x + 3
y 的最小值为
．
答案9
解【分析】先根据指数运算求出x = 3y + 3，代入x + 3
y 中，再利用基本不等式可得最小值．
【详解】2x-3 = 8y = 23y，可得x = 3y + 3，又x > 0，y > 0，所以x + 3
y = 3y + 3
y + 3 ≥2 × 3
y⋅1
y
+ 3 = 9，
当且仅当y = 1
y ，即y = 1 时取得最小值．
【题型
【题型8】指数函数的实际应用
】指数函数的实际应用
1、在自然科学中，指数函数常常用于描述增长或衰减的过程，比如生物群落的增长、放射性物质的衰变
等。
2、在经济学中，指数函数也可以用来描述复利增长，即资金按比例增长的情况。
指数函数在数学和现实生活中都有重要的应用，对于描述增长和衰减过程有着很好的表现能力。
1
人工放射性核素碘-131 可发射β 射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8 天，设质量为a 的碘
-131 经过x 天后剩留的质量为y，则y 关于x 的函数解析式是
(
)
A. y = a 1
2
x
8 ，x ∈N *
B. y = a 1
2
8x
，x ∈N *
C. y = a 0.5
8
x
，x ∈N *
D. y = a 0.5
x
4 ，x ∈N *
答案A
解析
【分析】直接根据指数函数定义求解即可．
２５４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
255
【详解】由题意，经过一个半衰期(8 天) 后，剩留的质量y = a × 1
2 ，
经过两个半衰期(16 天) 后，剩留的质量y = a ×
1
2
2
，
经过三个半衰期(24 天) 后，剩留的质量y = a ×
1
2
3
，
⋯，
经过x 天后，剩留的质量y = a ×
1
2
x
8 ，x ∈N *．
2
当生物死亡后，它机体内原有的碳14 含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约经过N 年衰减
为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14 原有初始质量为
Q，该生物体内碳14 所剩质量y 与死亡年数x 的函数关系为
(
)
A. y = Q ⋅x
N
B. y = Q 1- x
N
C. y = Q 1- 1
N
x
2
D. y = Q 1
2
x
N
答案D
解析
【分析】根据题意，结合半衰期的定义，建立指数函数模型，从而得到函数关系式．
【详解】设死亡生物体内碳14 含量的年衰减率为p，将刚死亡生物体内碳14 含量看成1 个单位，
根据经过N 年衰减为原来的一半，则1-p
N = 1
2 ，即1 - p =
1
2
1
N ，
且生物体内碳14 原有初始质量为Q
所以生物体内碳14 所剩质量y 与死亡年数x 的函数关系为y = Q 1-p
x
即y = Q 1
2
x
N
1
在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25% 的增长率呈指数增长，已知经过30 天以后，该湖泊的
蓝藻数大约为原来的6 倍，那么经过60 天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的
(
)
A. 18 倍
B. 24 倍
C. 36 倍
D. 48 倍
答案C
解【分析】构造指数函数模型，计算即可．
【详解】某湖泊中的蓝藻每天以6.25% 的增长率呈指数增长，经过30 天以后，该湖泊的蓝藻数大约为
原来的6 倍，
设湖泊中原来蓝藻数量为a，则a(1 + 6.25%)30= 6a，
∴经过60 天后该湖泊的蓝藻数量为：y = a(1 + 6.25%)60= a (1+6.25%)30
2= 36a．
∴经过60 天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36 倍．
2
某种放射性元素，每年在前一年的基础上按相同比例衰减，100 年后只剩原来的一半，现有这种
元素1 克，3 年后剩下
(
)
A. 0.015 克
B.
1-0.5%
3克
C. 0.925 克
D.
100 0.125 克
答案D
解【分析】设每年减少的比例为x，由题意得出指数关系1-x
100 = 0.5，求出x，再计算三年后剩余
量即可．
【详解】设每年减少的比例为x，因此1 克这种放射性元素，经过100 年后剩余1 × 1-x
100 克，
依题意得1-x
100 = 0.5，所以x = 1 - 100 0.5，
２５５
256
3 年后剩余为1-x
3，将x 的值代入，得结果为100 0.125
3
核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR
法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增过程中的靶标DNA 进行实时检测．已知被
标靶的DNA 在PCR 扩增期间，每扩增一次，DNA 的数量就增加p%．若被测标本DNA 扩增5
次后，数量变为原来的10 倍，则p 的值约为()．(参考数据：100.2 ≈1.585，10-0.2 ≈0.631)
A. 36.9
B. 41.5
C. 58.5
D. 63.1
答案C
解【分析】设DNA 数量没有扩增前数量为a，由题意可得，a(1 + p%)5 = 10a，化简得(1 + p%)5 =
10，再根据指数函数的运算，即可求解．
【详解】设DNA 数量没有扩增前数量为a，
由题意可得，a(1 + p%)5= 10a，即(1 + p%)5= 10，
所以1 + p% = 100.2，即p% = 100.2 - 1 ≈1.585 - 1 = 0.585，
故p = 58.5．
4
友谊中学学校每周对会议室进行消毒，设在药物释放过程中，会议室空气中的含药量y(毫克/ 每
立方米) 与时间x(小时) 成正比0<x< 1
3
；药物释放完毕后(此时药物含量y = 1)，y 与x 满足
关系y = 4b-x(b 为常数，x ≥1
3 )．据测定，空气中每立方米的含药量降低到1
4 毫克以下时．会议
室才能进入使用．则工作人员至少在会议开始时提前() 分钟进行消毒工作．
A. 50
B. 60
C. 70
D. 80
答案D
解【分析】由已知得出x ≥1
3 时的函数解析式，然后解不等式4
1
3 -x≤1
4 ，即可求解．
【详解】由题意可知，当x ≥1
3 时，y = 4b-x过点
1
3 ,1
，
则1 = 4
b- 1
3 ，解得b = 1
3 ，所以y = 4
1
3 -x，
当0 < x < 1
3 时，空气中每立方米的含药量逐渐升高至1 毫克，
当x ≥1
3 时，空气中每立方米的含药量逐渐降低，
由4
1
3 -x≤1
4 ，解得x ≥4
3 ，
又4
3 × 60 = 80，所以工作人员至少在会议开始时提前80 分钟进行消毒工作．
5
放射性核素锶89 的质量M 会按某个衰减率衰减，设初始质量为M0，质量M 与时间t(单位：天)
２５６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
257
的函数关系为M = M0 ⋅
1
2
t
h (其中h 为常数)，若锶89 的半衰期(质量衰减一半所用的时间) 约为
50 天，那么质量为M0的锶89 经过30 天衰减后质量大约变为() (参考数据20.6 ≈1.516)
A. 0.72M0
B. 0.70M0
C. 0.68M0
D. 0.66M0
答案D
解【分析】根据t = 50 时M = 1
2 M0，代入函数关系式中，可得h 的值，进而代入t = 30 求解即可．
【详解】由题意，锶89 半衰期(质量衰减一半所用的时间) 所用时间为50 天，
即1
2 M0= M0⋅
1
2
50
h ，则h = 50，
所以质量为M0的锶89 经过30 天衰减后，
质量大约为M0⋅
1
2
30
50 = M0⋅
1
2
0.6
= M0⋅1
20.6 ≈M0×
1
1.516 = 0.66M0．
6
据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50 年内减少了5%，如果按此速度，设2022
年的冬季冰雪覆盖面积为a，从2022 年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数
关系式是
(
)
A. y = 0.950-x⋅a
B. y = 1-0.05
x
50
⋅a
C. y = 0.95
x
50 ⋅a
D. y = 1-0.0550-x
⋅a
答案C
解【分析】确定北冰洋冬季冰盖面积的年平均变化率，然后建立函数关系．
【详解】设北冰洋冬季冰盖面积为上一年的P 倍，
则P50= 1 - 5% = 0.95，
∴P = 0.95
1
50，
所以设2022 年的冬季冰雪覆盖面积为a，从2022 年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与
x 的函数关系式是y = 0.95
x
50 ⋅a
7
心理学家有时用函数L t
= 250 1-e-kt
来测定人们在时间t min
内能够记忆的单词量L，其中
k 表示记忆率．心理学家测定某学生在10min 内能够记忆50 个单词，则该学生在30min 从能记忆
的单词个数为
(
)
A. 150
B. 128
C. 122
D. 61
答案C
解【分析】根据已知可求出e-10k= 4
5 ，再代入t = 30 即可求出．
【详解】由题可得L 10
= 250 1-e-10k
= 50，则e-10k= 4
5 ，
所以L 30
= 250 1-e-30k
= 250 1- e-10k
3
= 250 × 1-
4
5
3
= 122，
即该学生在30min 从能记忆的单词个数为122．
8
(高一上·浙江宁波·期末) 某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，
在相同条件下，这种植物每周以a% 的增长率生长．若经过4 周后，该植物的长度是原来的3
2 倍，
２５７
258
则再经过6 周，该植物的长度大约是原来的
(
)
A. 9 6
2
倍
B. 9 6
4
倍
C. 9 6
8
倍
D. 9 6
16
倍
答案C
解【分析】设植物原来的长度为m，由已知可得出1+a%
4 = 3
2 ，求出1 + a% 的值，利用指数运算
可求得结果．
【详解】设植物原来的长度为m，经过4 周后，该植物的长度为原来的3
2 倍，
即m 1+a%
4= 3
2 m，即1+a%
4= 3
2 ，即1 + a% =
3
2
1
4 ，
再过6 周后该植物的长度为m 1+a%
10 = m ⋅
3
2
1
4
10
= m ⋅
3
2
5
2 = m ⋅9
4 ⋅
6
2
= 9 6
8
m．
因此，再经过6 周，该植物的长度大约是原来的9 6
8
倍．
9
(重庆·高一重庆巴蜀中学校考) 已知某种果蔬的有效保鲜时间y(单位：小时) 与储藏温度x(单
位：°C) 近似满足函数关系y = eax+b(a，b 为常数，e 为自然对数底数)，若该果蔬在4°C 的保鲜时
间为216 小时，在16°C 的有效保鲜时间为8 小时，那么在8°C 时，该果蔬的有效保鲜时间大约为
小时．
答案72
解【分析】根据已知条件求得e4a，eb，进而求得正确答案．
【详解】依题意216=e4a+b
8=e16a+b
，两式相除得27 = e-12a= e-4a
3，e-4a= 3，e4a= 1
3 ，
则216 = e4a+b= e4a⋅eb= 1
3 ⋅eb，eb= 648，
所以当x = 8°C 时，y = e8a+b= e8a⋅eb= e4a
2⋅eb= 1
9 × 648 = 72 小时．
10
(高二下·浙江·期末) 常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称
做半衰期，记为T(单位：天)．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T1，T2．
开始记录时，这两种物质的质量相等，512 天后测量发现乙的质量为甲的质量的1
8 ，则T1，T2 满
足的关系式为
答案3 + 512
T1
= 512
T2
解【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512 天后甲，乙的质量，根据题意列出等
式即可得答案．
【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，
则512 天后甲的质量为：
1
2
512
T1 ，
乙的质量为：
1
2
512
T2 ，
由题意可知，
1
2
512
T2 = 1
8 ⋅
1
2
512
T1 =
1
2
512
T1 +3
，
所以512
T2
= 512
T1
+ 3．
【题型
【题型9】指数型函数的奇偶函数模型
】指数型函数的奇偶函数模型
２５８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
259
一、常见奇偶性函数模型
奇函数：函数①：f(x) = m ax+1
ax-1
(x ≠0) 或函数f(x) = m ax-1
ax+1
．
函数②：f(x) =± (ax- a-x)．
注意：关于①式，可以写成函数f(x) = m +
2m
ax-1 (x ≠0) 或函数f(x) = m -
2m
ax+1 (m ∈R)．
偶函数：函数①f(x) =± (ax+ a-x)．
函数②：f(|x|) 类型的一切函数．
③若f(x) 为奇函数，则f(x)
为偶函数
二、运算函数的奇偶性规律：
对于运算函数有如下结论：奇± 奇= 奇；偶± 偶= 偶；奇± 偶= 非奇非偶；(加减要同性)
奇× (÷) 奇= 偶；奇× (÷) 偶= 奇；偶× (÷) 偶= 偶．(同性为偶，异性为奇)
三、复合函数奇偶性
y = f[g(x)] 的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
1
已知函数f(x) = 2x+m
2x+n 为定义在R 上的奇函数，求实数m，n 的值．
答案m =-1，n = 1
解析
由于f x
是定义在R 上的奇函数，
所以f 0
= 1+m
1+n = 0，m =-1，
所以f x
= 2x-1
2x+n ，
由于f x
是奇函数，所以f -x
=-f x
，
所以f -x
= 2-x-1
2-x+n =
1-2x
1+n⋅2x =- 2x-1
2x+n ，
即
1-2x
1+n⋅2x = 1-2x
2x+n ⇒n = 1，
所以f x
= 2x-1
2x+1 = 2x+1-2
2x+1
= 1 -
2
2x+1 ．
2
函数f(x) = x
1
2x-1 +n
为偶函数，则实数n 的值为
．
答案1
2
解析
【分析】由函数f(x) = x
1
2x-1 +n
为偶函数可得f(-x) = f(x) 恒成立，由此求n 的值
【详解】解：根据偶函数的定义可得，f(-x) = f(x) 对定义域的任意x 都成立，
即x
1
2x-1 +n
= (-x)
1
2-x-1 +n
对定义域内的任意的x 都成立，
整理可得，
1
2x-1 + n =-n +
2x
2x-1 ，
２５９
260
∴n = 1
2
1
函数f x
= 2x-2-x
2x+2-x 的图象大致为
(
)
A.
B.
C.
D.
答案C
解【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据特殊值及函数值的取值情况判断
即可．
【详解】函数f x
= 2x-2-x
2x+2-x 的定义域为R，且f -x
= 2-x-2x
2-x+2x =- 2x-2-x
2x+2-x =-f x
，
所以f x
为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D；
又f 0
= 20-20
20+20 = 0，当x > 0 时2x> 2-x> 0，
所以2x- 2-x> 0，2x+ 2-x> 0，
又2x- 2-x- 2x+2-x
=-2 × 2-x< 0，所以0 < 2x- 2-x< 2x+ 2-x，
所以f x
< 1，故排除B．
2
已知函数f(x) = ex-a
ex+a 是奇函数，若f(2023) > f(2024)，则实数a 的值为
(
)
A. 1
B. - 1
C. ± 1
D. 0
答案B
解【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可．
【详解】因为函数f(x) = ex-a
ex+a 是奇函数，
所以f(-x) = e-x-a
e-x+a = 1-aex
1+aex =-f(x) =- ex-a
ex+a = a-ex
ex+a ，
得a =±1，
又f(x) = ex-a
ex+a = ex+a-2a
ex+a
= 1 -
2a
ex+a ，
所以当a > 0 时，函数为增函数，当a < 0 时，函数为减函数，
因为f(2023) > f(2024)，
所以a < 0，故a =-1．
3
已知函数f x
= 2x-a⋅2-x
2x+2-x
是定义在R 上的奇函数，求实数a 的值．
２６０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
261
答案a = 1
解
因为函数f x
= 2x-a⋅2-x
2x+2-x
是定义在R 上的奇函数，
所以f 0
= 0，即20-a⋅20
20+20
= 0，解得a = 1．
4
函数f x
=
2+cosx
ex
e2x+1
的部分图像大致为
(
)
A.
B.
C.
D.
答案D
解【分析】根据奇偶性排除A，B，再根据f x
=
2+cosx
ex
e2x+1
> 0 得到D．
【详解】因为f x
=
2+cosx
ex
e2x+1
定义域为R，
f -x
=
2+cos -x
e-x
e-2x+1
=
2+cosx
ex
e2x+1
e2x
=
2+cosx
ex
e2x+1
= f x
，
所以f x
为偶函数，关于y 轴对称，排除A，B；
因为2 + cosx > 0，ex> 0，e2x> 0，所以f x
=
2+cosx
ex
e2x+1
> 0，故C 错误，D 正确
5
若f x
= 3a -
2
3x+1 为奇函数，则a =
(
)
A. 1
B. 0
C. 1
2
D. 1
3
答案D
解【分析】由奇函数性质f 0
= 0 求参数，再由奇偶性定义验证即可．
【详解】由解析式知：函数定义域为R，又为奇函数，
所以f 0
= 3a -
2
30+1 = 3a - 1 = 0 ⇒a = 1
3 ，
故f x
= 1 -
2
3x+1 = 3x-1
3x+1 ，
由f -x
= 3-x-1
3-x+1 = 1-3x
1+3x =-f(x)，为奇函数，满足题设．
所以a = 1
3 ．
【题型
【题型10
10】指数型函数的值域问题
】指数型函数的值域问题
解决步骤
第一步：求函数的定义域，然后将复合函数分解成两个函数．
２６１
262
第二步：由自变量的范围求内层函数的值域．
第三步：由内层函数的值域求外层函数的值域．
1
函数f(x) = 2x2-2x，x ∈[0 , 3] 的值域是
(
)
A.
1
2 ,8
B. (-∞, 8]
C.
1
2 ,+∞
D. (0 , 8]
答案A
解析
令g t
= x2- 2x，x ∈0,3
，
则g t
∈g 1
,g 3
=
-1,3
，
则f x
∈2-1,23
=
1
2 ,8
，故选：A．
2
已知函数f x
= 4x- 2x+1+ 4，x ∈-1,1
，则函数y = f x
的值域为( )．
A.
3,+∞
B.
3,4
C.
3, 13
4
D.
13
4 ,4
答案B
解析
依题意，函数f x
= (2x)2- 2 × 2x+ 4，x ∈-1,1
，
令2x= t，则t = 2x在x ∈-1,1
上单调递增，即1
2 ≤t ≤2，
于是有y = t2- 2t + 4 = (t - 1)2+ 3，当t = 1 时，ymin = 3，此时x = 0，f(x)min = 3，
当t = 2 时，ymax = 4，此时x = 1，f(x)max = 4，
所以函数y = f x
的值域为3,4
．故选：B
1
若不等式m-m2
4x+ 2x+ 1 > 0 在x ∈-∞,-1
上恒成立，则实数m 的取值范围是()．
A. R
B.
-∞,-2
∪3,+∞
C.
-3,2
D.
-2,3
答案D
解【分析】将不等式整理为m2 - m <
1
4
x
+
1
2
x
，令t =
1
2
x
≥2，根据二次函数性质可求得
1
4
x
+
1
2
x
的最小值为6，由此可得m2- m < 6，解不等式可求得结果．
【详解】由m-m2
4x+ 2x+ 1 > 0 得：m2- m < 2x+1
4x
=
1
4
x
+
1
2
x
，
令t =
1
2
x
，则当x ∈-∞,-1
时，t ∈2,+∞
，∴
1
4
x
+
1
2
x
= t2+ t ≤4 + 2 = 6，
∴m2- m < 6，解得：-2 < m < 3，即实数m 的取值范围为-2,3
．
2
函数f(x) = 9-x+
1
3
x-1
+ 3
4 在[-1 ,+∞) 上的值域为
．
答案
3
4 , 75
4
解
f(x) = 9-x+
1
3
x-1
+ 3
4 =
1
3
x
2
+ 3 1
3
x
+ 3
4
∵x ∈[-1 ,+∞) 则令t =
1
3
x
∈0,3
y = t2+ 3t + 3
4 在0,3
递增
２６２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
263
∴y ∈
3
4 , 75
4
3
若对任意的x ∈-3,-2
，都有2m-1
2x≤1 恒成立，则m 的取值范围为
(
)
A.
-∞,2
B.
-∞, 5
2
C.
-∞,4
D.
-∞, 9
2
答案B
解【分析】不等式变形为2m - 1 ≤
1
2
x
，求出
1
2
x
的最小值后可得m 范围．
【详解】由2m-1
2x≤1 得2m - 1 ≤1
2x =
1
2
x
，
x ∈[-3 ,-2]，所以
1
2
x
的最小值为
1
2
-2
= 4，
所以2m - 1 ≤4，m ≤5
2 ．
4
若x ∈-∞,-1
，不等式m-m2
4x+ 2x+ 1 > 0 恒成立，则实数m 的取值范围是
(
)
A. m <-2 或m > 3
B. m ≤0 或m ≥1
C. - 2 < m < 3
D. 0 ≤m ≤1
答案C
解【分析】分离参数得m - m2 >-
1
2
x
+ 1
2
2
+ 1
4 恒成立，由复合型指数函数的最值得m - m2 >
-6，解一元二次不等式即可得解．
【详解】不等式可化为m - m2>- 2x+1
4x
=-
1
2
2x
+
1
2
x
=-
1
2
x
+ 1
2
2
+ 1
4 ．
因为x ≤-1，所以
1
2
x
≥2，所以-
1
2
x
+ 1
2
2
+ 1
4 的最大值为-6．
所以m - m2>-6，所以-2 < m < 3．
【题型
【题型11
11】解指数型函数不等式与恒成立问题
】解指数型函数不等式与恒成立问题
简单指数不等式的解法
1、形如af x
> ag x
的不等式，可借助y = ax的单调性求解
2、形如af x
> b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y = ax的单调性求解
3、形如ax> bx的不等式，可借助两函数y = ax，y = bx的图象求解
1
若x 满足不等式2x2+1≤
1
4
x-2
，则函数y = 2x的值域是
(
)
A.
1
8 ，2
B.
1
8 ，2
C.
-∞，1
8
D. [2，+∞)
答案B
【解析由2x2+1≤
1
4
x-2
可得2x2+1≤
1
4
x-2
= 2-2 x-2
，
因为y = 2x在R 上单调递增，所以x2+ 1 ≤-2x + 4 即x2+ 2x - 3 ≤0，解得：-3 ≤x ≤1，
所以2-3≤y = 2x≤21，即函数y = 2x的值域是
1
8 ,2
，故选：B．
2
已知不等式4x- k ⋅2x+ 1 > 0 对任意实数x 恒成立，则k 的取值范围是
．
答案
-∞,2
２６３
264
解析
【分析】变换k < 2x+ 1
2x ，再利用均值不等式计算最值得到答案．
【详解】4x- k ⋅2x+ 1 > 0 恒成立，即k < 2x+ 1
2x ，2x+ 1
2x ≥2
2x⋅1
2x = 2，
当且仅当2x= 1
2x ，即x = 0 时等号成立，故k < 2，即k ∈-∞,2
．
1
已知函数f(x) = ex- e-x，则不等式f(x - 2) + f x2-4
< 0 的解集为
．
答案
-3,2
解
因为f(x) = ex- e-x，定义域为R，且f -x
= e-x- ex=-f x
，故f x
为奇函数；
又y = ex，y =-e-x均为单调增函数，故f x
是R 上的单调增函数；
则f(x - 2) + f x2-4
< 0，即f x-2
< f 4-x2
，也即x - 2 < 4 - x2，
故x2+ x - 6 < 0，x+3
x-2
< 0，解得-3 < x < 2．
故不等式f(x - 2) + f x2-4
< 0 的解集为-3,2
．
故答案为：-3,2
．
2
若a+1
1
2 ≥3-2a
1
2 ，则实数a 的取值范围是
(
)
A.
2
3 ，+∞
B.
-∞，2
3
C.
2
3 ，3
2
D.
2
3 ，3
2
答案D
解【分析】利用幂函数的单调性解不等式即可．
【详解】不等式a+1
1
2 ≥3-2a
1
2 可化为：
a+1≥0
3-2a≥0
a+1≥3-2a
，解得：2
3 ≤a ≤3
2 ．
3
若a+1
-1
2 < 3-2a
- 1
2 ，求a 的取值范围．
答案2
3 < a < 3
2
解
∵f x
= x
- 1
2 的定义域为0,+∞
，且在0,+∞
上是减函数，
∴原不等式等价于
a+1>0
3-2a>0
a+1>3-2a
，即
a>-1
a< 3
2
a> 2
3
，
∴2
3 < a < 3
2 ，∴a 的取值范围是2
3 < a < 3
2 ．
4
已知函数f x
= 3 x + x + 1，若f 1-m
+ f 2m
> 2，则m 的取值范围是
(
)
A.
-1,+∞
B.
1,+∞
C.
-∞,-1
D.
-∞,1
答案A
解【分析】由题意构造函数g x
= f x
- 1 = 3 x + x，首先得出g x
的单调性与奇偶性，然后将条件
表达式等价转换即可得解．
【详解】令g x
= f x
- 1 = 3 x + x，因为g x
的定义域为R 关于原点对称，且g -x
= 3 -x +
-x
=- 3 x - x =-g x
，
所以g x
是R 上的奇函数，
注意到幂函数y = 3 x，y = x 都是R 上的增函数，
２６４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
265
所以g x
是R 上的增函数，
而f 1-m
+ f 2m
> 2 ⇔f 1-m
- 1 >- f 2m
-1
⇔g 1-m
>-g 2m
= g -2m
，
所以1 - m >-2m，解得m >-1，
综上所述，m 的取值范围是-1,+∞
．
5
已知函数f(x) =
1
2
x
，则不等式f a2-4
> f(3a) 的解集为
(
)
A. (-4 , 1)
B. (-1 , 4)
C. (1 , 4)
D. (0 , 4)
答案B
解
可知函数f(x) 为减函数，由f(a2- 4) > f(3a)，可得a2- 4 < 3a，
整理得a2- 3a - 4 < 0，解得-1 < a < 4，
所以不等式的解集为(-1 , 4)．故选B．
6
不等式
1
2
x2-2x-3
> 1 的解集是
．
答案
-1,3
解
1
2
x2-2x-3
> 1 ⇔x2- 2x - 3 < 0 ⇔-1 < x < 3．
7
若函数f(x) 的定义域为
1
3 ,1
，则函数f(3x) 的定义域为
(
)
A.
0,1
B.
0,1
C.
-1,0
D.
-1,0
答案C
解【分析】运用定义域和值域的关系，结合复合函数定义域的知识分析即可．
【详解】解：函数f(x) 的定义域为
1
3 ,1
，
令1
3 < 3x≤1，解得-1 < x ≤0，
故函数f(3x) 的定义域为(-1 , 0]
8
已知函数f(x) = 22x- a ⋅2x+ 4，若f(x) ≥0 恒成立，则实数a 的取值范围为
(
)
A. (-∞, 4]
B. (-∞, 2]
C. [4 ,+∞)
D. [2 ,+∞)
答案A
解【分析】参变分离可得a ≤2x + 4
2x 恒成立，结合基本不等式求出2x + 4
2x 的最小值，即可求出参数
的取值范围．
【详解】因为f(x) ≥0 恒成立，即22x- a ⋅2x+ 4 ≥0 恒成立，
所以a ≤2x+ 4
2x 恒成立，又由2x+ 4
2x ≥2
2x× 4
2x = 4(当且仅当x = 1 时取等号)，
所以a ≤4．
9
若对任意的x ∈[0 , 1]，使得不等式(λ - 1)4x + λ2x + λ ≤0 恒成立，则实数λ 的取值范围为
．
答案λ ≤1
3
解【分析】依题意化为λ ≤
1
t2+t+1 对任意t ∈
1
2 ,1
恒成立，求出不等式右边的最小值后，代入不
２６５
266
等式可得结果．
【详解】由(λ - 1)4x+ λ2x+ λ ≤0，得λ ≤
4x
4x+2x+1 =
1
1+
1
2
x+
1
2
x
2 ，
令t =
1
2
x
，因为x ∈[0 , 1]，所以t ∈
1
2 ,1
，
所以λ ≤
1
t2+t+1 对任意t ∈
1
2 ,1
恒成立，
因为t2+ t + 1 = t+ 1
2
2
+ 3
4 在
1
2 ,1
上单调递增，
所以当t = 1
2 时，t2+ t + 1 取得最小值7
4 ，当t = 1 时，t2+ t + 1 取得最大值3，
所以
1
t2+t+1 ∈
1
3 , 4
7
，所以λ ≤1
3 ．
10
不等式x+1
- 1
3 < 3-2x
- 1
3 的解为
(
)
A.
0,+∞
B.
- 2
3 ,+∞
C.
0, 3
2
D.
-∞,-1
∪
2
3 , 3
2
答案D
解【分析】先求出函数y = x
- 1
3 的定义域，单调性，且当x ∈-∞,0
上，y = x
- 1
3 < 0 恒成立，当x ∈
0,+∞
上，y = x
- 1
3 > 0 恒成立，从而分三种情况，列出不等式组，求出解集．
【详解】y = x
- 1
3 定义域为-∞,0
∪0,+∞
，且在-∞,0
与0,+∞
上均为减函数，
且当x ∈-∞,0
上，y = x
- 1
3 < 0 恒成立，当x ∈0,+∞
上，y = x
- 1
3 > 0 恒成立，
故x+1<0
3-2x>0
①或
x+1<0
3-2x<0
3-2x<x+1
②或
x+1>0
3-2x>0
3-2x<x+1
③，
①得：x <-1，
②得：∅，
③得：2
3 < x < 3
2 ，
综上：不等式的解为-∞,-1
∪
2
3 , 3
2
．
【题型
【题型12
12】指数型复合函数单调性
】指数型复合函数单调性
判断复合函数单调性的原则是“同增异减”．
解决步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
1
函数y = 5-x2+4x-3的单调递减区间是
(
)
A. [2 ,+∞)
B. (-∞, 2]
C. (-∞, 1]
D. [1 ,+∞)
答案A
２６６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
267
解析
设μ =-x2+ 4x - 3，在(-∞, 2] 单调递增，在[2 ,+∞) 单调递减，
y = 5μ在(-∞,+∞) 单调递增，
根据“同增异减”可得，函数y = 5-x2+4x-3的单调递减区间是[2 ,+∞)．故选：A．
2
函数y =
3-1
x+1
3-x
的单调递增区间为
答案
1,+∞
解析
设u = x+1
3-x
=-x2+ 2x + 3，函数u 的单调减区间是1,+∞
由于y =
3-1
x在R 上单调递减，
所以函数y =
3-1
x+1
3-x
的单调递增区间为1,+∞
1
函数f x
= 4x- 2x+1- 1 的单调递增区间是
．
答案
0,+∞
解
f x
= 4x- 2x+1- 1 = 2x
2- 2 ⋅2x- 1
令2x= t > 0，
f t
= t2- 2t - 1 = t-1
2- 2，
当t ≥1 时，即x ≥0，f t
单调递增；
当0 < t < 1 时，即x < 0，f t
单调递减；
因为t = 2x单调递增，
所以函数f x
= 4x- 2x+1- 1 的单调递增区间为0,+∞
．
2
已知函数f(x) =
1
2
x2-2x+5
在a,+∞
上单调递减，则实数a 的取值范围是
．
答案[1 + ∞)
解
令g x
= x2- 2x + 5，可得抛物线的开口向上，且对称轴为x = 1，
所以函数g x
在(-∞, 1] 上单调递减，在区间[1 ,+∞) 上单调递增，
又由函数f(x) =
1
2
x2-2x+5
，
根据复合函数的单调性的判定方法，
可得函数f x
在(-∞, 1] 上单调递增，在区间[1 ,+∞) 上单调递减，
因为函数f(x) 在a,+∞
上单调递减，则a ≥1，
可得实数a 的取值范围是[1 + ∞)．
3
设函数f x
=
1
2
x x-a
在区间0,1
单增，则a 的取值范围是
(
)
A.
-∞,-2
B.
-2,0
C.
0,2
D.
2,+∞
答案D
解【分析】由复合函数单调性得到t = x x-a
在0,1
上单调递减，由对称轴得到不等式，求出答
案．
【详解】y =
1
2
t
在R 上单调递减，由复合函数单调性可知，
t = x x-a
= x2- ax = x- a
2
2
- a2
4 在0,1
上单调递减，
a
2 ≥1，解得a ≥2．
4
设函数f x
= a 2x-a
(a > 0 且a ≠1) 在区间1,+∞
上单调递增，则a 的取值范围是
(
)
２６７
268
A.
1,2
B.
2,+∞
C.
1
2 ,1
D.
1
2 ,1
∪2,+∞
答案A
解【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可．
【详解】易知y = 2x-a
=
2x-a,x≥a
2
a-2x,x< a
2
，显然y = 2x-a
在
a
2 ,+∞
上单调递增，
在-∞, a
2
上单调递减，
因为f x
在区间1,+∞
上单调递增，结合复合函数的单调性可知a > 1，且a
2 ≤1，
所以a ∈1,2
．
5
函数y =
1
2
2x2-3x+1
的单调递减区间为
(
)
A. (1 ,+∞)
B.
-∞, 3
4
C.
-∞,1
D.
3
4 ,+∞
答案D
解
因为函数y = 2x2- 3x + 1 在区间-∞, 3
4
上单调递减，在
3
4 ,+∞
上单调递增，
函数y =
1
2
x
在定义域内是单调递减函数，
所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得：
y =
1
2
2x2-3x+1
的单调递减区间为
3
4 ,+∞
．故选：D
6
函数f(x) =
1
2
-x2+x+1
的单调递增区间为
(
)
A.
-∞, 1
2
B.
1-
5
2
, 1
2
C.
1
2 , 1+
5
2
D.
1
2 ,+∞
答案C
解
依题意，-x2+ x + 1 ≥0，解得：1-
5
2
≤x ≤1+
5
2
，
即f(x) 定义域为
1-
5
2
, 1+
5
2
，
令u =
-x2+x+1，
则函数u =
-x2+x+1 在
1-
5
2
, 1
2
上单调递增，在
1
2 , 1+
5
2
上单调递减，
而函数y =
1
2
u
在R 上单调递减，
因此，f(x) 在
1-
5
2
, 1
2
上单调递减，在
1
2 , 1+
5
2
上单调递增，
所以函数f(x) =
1
2
-x2+x+1
的单调递增区间为
1
2 , 1+
5
2
．故选：C
7
函数f x
= 4x+1- 2x+1+ 2024 的单调递增区间是
．
答案
-2,+∞
解
f x
= 4 ⋅4x- 2x+1+ 2024 = 4 ⋅2x
2- 2 ⋅2x+ 2024
令2x= t > 0，
f t
= 4 ⋅t2- 2t + 2024，对称轴为t = 1
4
２６８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
269
当t ≥1
4 时，即x ≥-2，f t
单调递增；
当0 < t < 1
4 时，即x <-2，f t
单调递减；
因为t = 2x单调递增，
所以函数f x
= 4x+1- 2x+1+ 2024 的单调递增区间为-2,+∞
．
8
设函数f x
=
1
3
x a-x
在区间-2,0
上单调递增，则a 的取值范围是
(
)
A.
-∞,-4
B.
-∞,0
C.
0,+∞
D.
-4,+∞
答案A
解【分析】结合指数函数和二次函数的单调性，由复合函数单调性可得答案．
【详解】函数f x
=
1
3
x a-x
分为外函数：f t
= 3t，内函数：t = x a-x
；
根据复合函数同增异减法则，f x
=
1
3
x a-x
在区间-2,0
上单调递增，
且外函数单调递减，则内函数t = x a-x
在-2,0
也单调递减；
t = x a-x
为二次函数，开口向下，对称轴为x = a
2 ，所以a
2 ≤-2，所以a ≤-4．
9
(重庆巴蜀中学高一校考) 已知函数f(x) = a ⋅4x - (a - 2)2x + 1 在(-2 ,+∞) 上单调递增，则a 的取
值范围为
(
)
A. [0 , 4]
B. (0 , 4]
C. [2 ,+∞)
D. {0} ∪[2 ,+∞)
答案A
解【分析】令t = 2x，利用复合函数的单调性，结合指数函数与二次函数的单调性求解即可．
【详解】令t = 2x，则y = at2- (a - 2)t + 1，
当x ∈(-2 ,+∞) 时，t = 2x单调递增，且t > 1
4 ，
当a = 0 时，y = at2- (a - 2)t + 1 = 2t + 1，当t > 1
4 时单调递增，
则函数f(x) 在(-2 ,+∞) 上单调递增，符合题意；
当a > 0 时，y = at2- (a - 2)t + 1 的对称轴为t = a-2
2a ，
由题意a-2
2a
≤1
4 ⇒0 < a ≤4，
当a < 0 时，y = at2- (a - 2)t + 1 表示开口向下的抛物线，对称轴为t = a-2
2a ，
在
a-2
2a
,+∞
上单调递减，不符合题意，综上，0 ≤a ≤4．
10
设函数f x
= ax2-ax+1(a > 0 且a ≠1) 在区间0,2
上单调递减，则a 的取值范围是()．
A.
1,+∞
B.
4,+∞
C.
0,1
D.
1,4
答案B
解【分析】利用复合函数的单调性及指数函数的单调性分类讨论底数计算即可．
【详解】若a > 1，y = ax在0,+∞
上单调递增，
要满足题意，则y = x2- ax + 1 要在0,2
上单调递减，故a
2 ≥2，即a ≥4；
若0 < a < 1，y = ax在0,+∞
上单调递减，
２６９
270
要满足题意，则y = x2- ax + 1 要在0,2
上单调递增，故a
2 ≤0，
即a ≤0，不满足0 < a < 1
综上所述：a 的取值范围是4,+∞
．
11
(高一上·福建福州·期末) 设函数f x
= a 2x-a
(a > 0 且a ≠1) 在区间1,+∞
上单调递增，则a 的
取值范围是
(
)
A.
1,2
B.
2,+∞
C.
1
2 ,1
D.
1
2 ,1
∪2,+∞
答案A
解【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可．
【详解】易知y = 2x-a
=
2x-a,x≥a
2
a-2x,x< a
2
，显然y = 2x-a
在
a
2 ,+∞
上单调递增，
在-∞, a
2
上单调递减，
因为f x
在区间1,+∞
上单调递增，结合复合函数的单调性可知a > 1，且a
2 ≤1，
所以a ∈1,2
．
【题型
【题型13
13】指数型复合函数的奇偶性问题与函数不等式综合
】指数型复合函数的奇偶性问题与函数不等式综合
1、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围) 问题常用的方法：
(1) 函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；
(2) 分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；
(3) 数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
再利用数形结合的方法来解决．
2、指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指
数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解．
1
已知函数f x
= m -
2
3x+1 是R 上的奇函数．
(1) 求m 的值；
(2) 比较f(3x2- x + 2) + f(3 - x - 2x2) 与0 的大小，并说明理由．
答案(1)m = 1
(2)f(3x2- x + 2) + f(3 - x - 2x2) > 0
解【分析】(1) 由奇函数的性质列式求解；
(2) 先判断函数的单调性，利用单调性与奇偶性即可解题．
【详解】(1) 因为f(x) = m -
2
3x+1 是R 上的奇函数，
所以f(0) = m -
2
30+1 = m - 1 = 0，得m = 1，
m = 1 时，f -x
= 1 -
2
3-x+1 = 1 - 2·3x
3x+1 =- 1-
2
3x+1
=-f x
，
满足f(x) 为奇函数，所以m = 1．
２７０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
271
(2) 设x1< x2< 0，则f(x1) - f x2
= 1 -
2
3x1+1 - 1 +
2
3x2+1 =
2 3x1-3x2
3x1+1
3x2+1
，
因为x1< x2< 0，所以3x1- 3x2< 0，3x1+ 1 > 0，3x2+ 1 > 0，
所以f(x1) - f x2
< 0，即f(x1) < f x2
，
所以函数f(x) 在-∞,0
上为增函数，又因为f(x) 为R 上的奇函数，
所以函数f(x) 在R 上为增函数．
(3x2- x + 2) - -3+x+2x2
= x2- 2x + 5 = x-1
2+ 4 > 0，
即3x2- x + 2 >-3 + x + 2x2，即f(3x2- x + 2) > f(-3 + x + 2x2)，
因为f(x) 是R 上的奇函数，则f(3x2- x + 2) >-f(3 - x - 2x2)，
即f(3x2- x + 2) + f(3 - x - 2x2) > 0．
2
已知函数f x
=
a
ex+1 + 1 为奇函数．
(1) 求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数f x
在R 上是增函数；
(2) 求不等式f 4-x
+ f 4-5×2-x
≤0 的解集．
答案(1)a =-2；函数f x
在R 上是增函数证明见解析，(2) x -2≤x≤0
解【详解】(1) ∵f x
=
a
ex+1 + 1 是奇函数，定义域为R，
∴f 0
= a
2 + 1 = 0，则a =-2，f x
=
-2
ex+1 + 1，
所以f -x
=
-2
e-x+1 + 1 = -2ex
1+ex + 1 = -2 1+ex
+2
1+ex
+ 1 =
2
1+ex - 1 =-f x
，符合f x
为奇函
数，
任取x1，x2∈R，且x1< x2，
则f x1
- f x2
=
-2
ex1+1 + 1 +
2
ex2+1 - 1 =
2 ex1-ex2
ex1+1
ex2+1
，
由x1< x2，可得ex1< ex2，则ex1- ex2< 0，ex1+ 1 > 0，ex2+ 1 > 0
∴f x1
- f x2
< 0，即f x1
< f x2
，
∴函数f x
在R 上是增函数．
(2) ∵函数f x
在R 上是奇函数
∴f 4-x
≤-f 4-5×2-x
= f 5×2-x-4
又函数f x
在R 上是增函数
∴4-x≤5 × 2-x- 4
令2-x为t，则t2- 5t + 4 ≤0 解得1 ≤t ≤4 即-2 ≤x ≤0 ∴不等式的解集为x -2≤x≤0
3
已知定义域为R 的函数f(x) =
2x
2x+a - 1
2 是奇函数．
(1) 求实数a 的值；
(2) 判断函数f(x) 的单调性，并用定义加以证明；
(3) 若对任意的x ∈1,2
，不等式f(x2- mx) + f(x2+ 4) > 0 成立，求实数m 的取值范围．
答案(1)a = 1；
(2)f(x) 在定义域内单调递增，证明见解析；
(3)m < 4 2．
解【分析】(1) 利用奇函数性质求出a，再利用定义验证即得．
(2) 利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得．
(3) 利用奇函数性质及单调性质脱去法则。分离参数，借助基本不等式求解即得．
２７１
272
【详解】(1) 定义在R 上的函数f(x) 为奇函数，得f(0) =
1
a+1 - 1
2 = 0，解得a = 1，
此时f(x) =
2x
2x+1 - 1
2 ，则f(-x) =
2-x
2-x+1 - 1
2 =
1
2x+1 - 1 + 1
2 =-
2x
2x+1 + 1
2 =-f(x)，
即函数f(x) 是奇函数，所以a = 1．
(2) 由(1) 知f(x) = 2x+1-1
2x+1
- 1
2 = 1 -
1
2x+1 - 1
2 = 1
2 -
1
2x+1 ，
函数在定义域内单调递增，证明如下：
设x1> x2，则f(x1) - f(x2) =
1
2x2+1 -
1
2x1+1 =
2x1-2x2
(2x2+1)(2x1+1) ，
由x1> x2，得2x1> 2x2> 0，则f(x1) > f(x2)，所以函数在R 上单调递增．
(3) 依题意，对任意的x ∈1,2
，f(x2- mx) >-f(x2+ 4) ⇔f(x2- mx) > f(-x2- 4) 成立，
则x2- mx >-x2- 4，即m < 2x + 4
x 在x ∈1,2
上恒成立，而2x + 4
x ≥2
2x⋅4
x = 4 2，
当且仅当x =
2 时取等号，因此m < 4 2，
所以实数m 的取值范围是m < 4 2．
4
已知f x
，g x
分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足f x
+ g x
= 2x．若g f x
-a
≥0 恒成立，则实数a 的取值范围为
(
)
A.
-∞,1
B.
-∞,1
C.
1,+∞
D.
1,+∞
答案B
解【分析】首先利用方程组法求出f x
、g x
的解析式，再判断g(x) 的单调性，则问题转化为f x
- a ≥0 恒成立，参变分离求出f x
min，即可得解．
【详解】因为f(x)，g(x) 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，
所以f(-x) = f(x)，g(-x) =-g(x)，
因为f(x) + g(x) = 2x，①
所以f(-x) + g(-x) = 2-x，
所以f(x) - g(x) = 2-x，②
①+ ②得f(x) = 2x+2-x
2
，g(x) = 2x-2-x
2
，
因为y = 2x在定义域R 上单调递增，y = 2-x在定义域R 上单调递减，
所以g(x) = 2x-2-x
2
在R 上单调递增，又g(0) = 0，
若g f x
-a
≥0 恒成立，则g f x
-a
≥g 0
恒成立，
所以f x
- a ≥0 恒成立，
所以f x
≥a 恒成立，
所以只需a ≤f x
min，
因为2x> 0，2-x> 0，所以2x+ 2-x≥2 2x⋅2-x = 2(当且仅当2x= 2-x，即x = 0 时取等号)，
所以f x
= 2x+2-x
2
≥1(当且仅当x = 0 时，取等号)，
所以a ≤1，
所以a 的取值范围为-∞,1
．
5
已知函数f x
= ex-2+ e-x+2，则f x-1
> f 2x
的解集为
．
答案
-1, 5
3
解【分析】由解析式得f(4 - x) = f(x)，即f(x) 关于x = 2 对称，再应用定义求证x ∈(2 ,+∞) 上f(x)
２７２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
273
单调性，结合对称性及不等式有x-1-2
> 2x-2
，即可求解集．
【详解】由f(x) =
1
ex-2 + ex-2，则f(4 - x) =
1
e2-x + e2-x= ex-2+
1
ex-2 = f(x)，
所以f(x) 关于x = 2 对称，
当x ∈2,+∞
，令x1> x2≥2，则f(x1) - f(x2) =
1
ex1-2 +ex1-2
-
1
ex2-2 +ex2-2
= (ex1-2- ex2-2) 1-
1
ex1+x2-4
，而ex1-2> ex2-2，1 -
1
ex1+x2-4 > 0，
所以f(x1) > f(x2)，即f(x) 在x ∈2,+∞
上递增，
根据对称性知：f(x) 在x ∈-∞,2
上递减，
由f x-1
> f 2x
，则x-1-2
> 2x-2
，即x-3
2> 4 x-1
2，
所以3x2- 2x - 5 < 0，即(3x - 5) (x + 1) < 0，可得-1 < x < 5
3 ，
故不等式解集为-1, 5
3
．
6
已知定义在R 上的函数f x
= ex-1 - e1-x + (x - 1)3 + x，满足不等式f 2x-4
+ f 2-3x
≥2，
则x 的取值范围是
．
答案
-∞,-4
解【分析】由函数解析式可令h x
= f x
- 1，且h x
是R 上的增函数并关于点1,0
成中心对称，
将不等式变形即可求得h 2x-4
≥h 3x
，解得x ≤-4．
【详解】易知函数y = ex-1，y =-e1-x，y = (x - 1)3，y = x 在R 上为单调性递增，
即可得f x
= ex-1- e1-x+ (x - 1)3+ x 是R 上的增函数，
令h x
= f x
- 1 = ex-1- e1-x+ (x - 1)3+ x - 1，则h x
是R 上的增函数，
易知h 2-x
= e1-x- ex-1+ (1 - x)3+ 1 - x =-h x
，可得h 2-x
+ h x
= 0，
即h x
的图象关于点1,0
成中心对称，
由f 2x-4
+ f 2-3x
≥2 可得f 2x-4
- 1 ≥- f 2-3x
-1
，
即h 2x-4
≥-h 2-3x
，由h 2-x
+ h x
= 0 可得h 3x
=-h 2-3x
；
所以h 2x-4
≥h 3x
，利用h x
是R 上的增函数可得2x - 4 ≥3x，
得x ≤-4．
即x 的取值范围是-∞,-4
．
7
函数f x
= a -
2
2x+1 为奇函数．
(1) 求a 的值；(2) 判断f x
的增减性，并证明．
答案(1)1 ; (2) 增函数，证明见解析
解【分析】(1) 根据奇函数性质f 0
= 0 解得a = 1，并代入检验即可；
(2) 根据函数单调性的定义结合指数函数性质分析证明即可．
【详解】(1) 因为函数f x
= a -
2
2x+1 的定义域为R，且为奇函数，
则f 0
= a - 1 = 0，解得a = 1；
若a = 1，则f x
= 1 -
2
2x+1 ，
可得f x
+ f -x
= 1-
2
2x+1
+ 1-
2
2-x+1
= 2 -
2
2x+1 + 2×2x
2x+1
= 0，
即f x
=-f -x
，可知f x
为奇函数；
综上所述：a = 1．
２７３
274
(2)f x
是增函数，理由如下：
任取x1，x2∈R，令x1< x2，
则f x1
- f x2
=
2
2x2+1 -
2
2x1+1 =
2x1-2x2
2x1+1
2x2+1
，
因为x1< x2，则0 < 2x1< 2x2，可得2x1- 2x2< 0，2x1+ 1 > 0，2x2+ 1 > 0，
则f x1
- f x2
< 0，即f x1
< f x2
，
所以f x
为定义在R 上的增函数．
8
已知函数f(x) = a-3x+1
3x+b
是定义在R 上的奇函数(a > 0 , b > 0)．
(1) 求f(x) 的解析式；(2) 求当x ∈0,1
时，函数g(x) = f(x) ⋅(3x+ 1) + 9x- 1 的值域．
答案(1)f(x) = 3(1-3x)
1+3x
；
(2) - 1
4 ,2
解【分析】(1) 利用奇函数定义及性质，列式计算求出a，b 作答．
(2) 由(1) 的结论，求出函数g(x) 的解析式，结合二次函数求出值域．．
【详解】(1) 由函数f(x) = a-3x+1
3x+b
是R 上的奇函数，则有f(0) = a-3
b+1 = 0，解得a = 3，即f(x) =
3-3x+1
3x+b ，
∀x ∈R，f(-x) = 3-3-x+1
3-x+b
= 3x+1-3
b⋅3x+1 =- 3-3x+1
3x+b
=-f(x)，
即∀x ∈R，b ⋅3x+ 1 = 3x+ b，解得b = 1，经验证得a = 3，b = 1 时，f(x) 是奇函数，
所以f(x) = 3(1-3x)
1+3x
．
(2) 由(1) 知，g(x) = f(x) ⋅(3x+ 1) + 9x- 1 = 3 - 3x+1+ 9x- 1 = (3x)2- 3 × 3x+ 2 = 3x- 3
2
2
- 1
4 ，
当x ∈0,1
时，1 ≤3x≤3，因此当3x= 3
2 时，g(x)min =- 1
4 ，当x = 1 时，g(x)max = 2，
所以所求值域为- 1
4 ,2
．
9
已知定义域为R 的函数f(x) = m-3x
n+3x 是奇函数．
(1) 求m，n 的值；
(2) 若存在t ∈0,4
，使f k-2t2
+ f 4t-2t2
< 0 成立，求k 的取值范围．
答案(1)m = 1，n = 1；(2) (-1 ,+∞)．
解【分析】(1) 由f 0
= 0 及f(-1) =-f 1
即可求解；
(2) 求出函数f x
的单调性，不等式可转化为k > 4t2- 4t，根据二次函数的最值即可求解．
【详解】(1) 因为函数f x
是定义在R 上的奇函数，所以f 0
= 0，
即m-1
n+1 = 0，所以m = 1，又因为f(-1) =-f(1)，
所以
m- 1
3
n+ 1
3
=- m-3
n+3 将m = 1 代入，解得n = 1，
经检验符合题意，所以，m = 1，n = 1．
(2) 由(1) 知：函数f(x) = 1-3x
1+3x = - 1+3x
+2
1+3x
=-1 +
2
1+3x ，
所以函数f x
在R 上是减函数．
２７４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
275
因为存在t ∈0,4
，使f k-2t2
+ f 4t-2t2
< 0 成立，
又因为函数f x
是定义在R 上的奇函数，
所以不等式可转化为f k-2t2
< f 2t2-4t
，
又因为函数f x
在R 上是减函数，所以k - 2t2> 2t2- 4t，
所以k > 4t2- 4t，令g t
= 4t2- 4t，
题意可知：问题等价转化为k > g t
min，
又因为g(t)min = g 1
2
=-1，所以k >-1，故k 的取值范围为(-1 ,+∞)．
10
已知函数f(x) = e-x- ex- 3x3- 5x + 5．若f(a) + f(a - 4) < 10，则实数a 的取值范围是(
)
A. a < 1
B. a < 2
C. a > 1
D. a > 2
答案D
解
令g(x) = f(x) - 5 = e-x- ex- 3x3- 5x，
∴g(-x) = ex- e-x+ 3x3+ 5x =-f(x)，即g(x) 为奇函数，
又y = e-x- ex，y =-3x3- 5x 在R 上均为减函数，
∴g(x) 为减函数，
由f(a) + f(a - 4) < 10 得：g(a) + 5 + g(a - 4) + 5 < 10，
∴g(a) <-g(a - 4) = g(4 - a)，即a > 4 - a，解得a > 2．故选：D．
11
(多选) 已知函数f(x) = 2x-1
，当a < b < c 时，有f(a) > f(c) > f(b)．给出以下命题，则正确
命题的有
(
)
A. a + c < 0
B. b + c < 0
C. 2a+ 2c > 2
D. 2b+ 2c > 2
答案AD
解【分析】作出函数f(x) 的图象，由数形结合判断四个选项的正误．
【详解】f(x) 的图象如下图所示，由图可知f(x) 在(-∞, 0) 单调递减，在[0 ,+∞) 上单调递增
因为a < b < c，
若c < 0，因为f(x) 在(-∞, 0) 单调递减，此时不满足f(a) > f(c) > f(b)
所以c > 0，同理可得a < 0，∴a < 0 < c
因为f(a) > f(c)，所以∴x > 0
所以-a > c，即a + c < 0，A 对．
f(a) = |2a- 1| = 1 - 2a> f(c) = 2c - 1
即2a+ 2c < 2，C 错．
若b > 0，因为f(a) > f(c) > f(b)
所以|a| > c > b > 0 > a
此时b + c > 0，C 错，2b+ 2c > 20+ 20= 2，D 对．
若b < 0，因为f(a) > f(c) > f(b)
所以|a| > |b| > c > 0 > b > a
f(c) = 2c - 1 > f(b) = |2b- 1| = 1 - 2b
即2b+ 2c > 2
综上所述，D 对．
故选：AD
２７５
276
２７６
高一秋季讲义
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277
专题4 - 2 对数与对数函数15 类题型汇总
【题型
【题型1】对数运算
】对数运算
1、对数计算公式
(1) 同底对数加减运算：logaM + logaN = loga(MN)；logaM - logaN = loga M
N
(2) 底数和真数是乘方数时：logambn= n
m logab
(3) 对数恒等式：alogax= x
(4) 倒数式：logab =
1
logba
1
计算：
(1)eln3 +
8
27
- 1
3 - 3 0.125：
(2) log43+log23
log32+log94
．
答案(1)4，(2)3
解析
【详解】(1) 原式= 3 +
2
3
3⋅- 1
3
-
1
2
3⋅1
3 = 3 + 3
2 - 1
2 = 4；
(2) 原式=
1
2 log23+log23
log32+log32
= 3
2 ⋅2 ⋅log23 ⋅log32 = 3．
2
计算：
(1)eln3 + log 525 + (0.125)
- 2
3 ，
(2)lg25 + lg2lg50 + (lg2)2．
答案(1)11；(2)2
解析
【详解】(1) 原式= 3 + 2log552+
1
2
3
- 2
3 = 3 + 4 + 22= 11．
(2) 原式= 2lg5 + lg2 ⋅1+lg5
+ lg2
2 = 2lg5 + lg2 + lg2 ⋅lg5 + lg2
2 = 2lg5 + lg2 + lg2 lg5+lg2
= 2 lg5+lg2
= 2．
1
化简1og62
2+ log62 ⋅log63 + 2log63 - 6log62的值为
(
)
A. - log62
B. - log63
C. log63
D. - 1
答案A
解
log62
2+ log62 ⋅log63 + 2log63 - 6log62= log62 log62+log63
+ 2log63 - 2
=log62+2log63-2=2 log62+log63
-log62-2
=2-log62-2=-log62
2
(2log43 + log83) (log32 + log92) =
答案2
解
原式= 2× 1
2 log23+ 1
3 log23
log32+ 1
2 log32
= 4
3 log23 × 3
2 log32 = 2．
3
已知函数f x
是定义在R 上的奇函数，且满足f x
+ f 2-x
= 0．若当x ∈0,1
时，f x
= 2x
- 1，则f log 1
2 6
的值为
．
２７７
278
答案- 1
2
解【分析】
根据题意，由奇函数的性质可得f log 1
2 6
= f -log26
=-f(log26)，进而由对数的运算性质可得
f(log26) =-f(2 - log26) =-f log2 2
3
= f -log2 2
3
= f log2 3
2
，结合函数的解析式分析可得答案．
【详解】解：根据题意，函数f(x) 是定义在R 上的奇函数，则f(-x) =-f(x)，则f log 1
2 6
= f(
-log26) =-f(log26)
又由f(x) 满足f(x) + f(2 - x) = 0，即f(x) =-f(2 - x)
f(log26) =-f(2 - log26) =-f log2 2
3
= f -log2 2
3
= f log2 3
2
，
又由当x ∈0,1
时，f(x) = 2x- 1，则f log2 3
2
= 2
log2
3
2 - 1 = 3
2 - 1 = 1
2 ，
则f log 1
2 6
=-f(log26) =-f log2 3
2
=- 1
2 ；故答案为：- 1
2 ．
4
计算：
(1) 1 9
16
0.5
+ 0.01-1+ 2 10
27
- 2
3 - 2π0+ 3
16 ；
(2)log2 4×82
+ log318 - log32 + log43 × log316．
答案(1)100 ；
(2)12
解【详解】(1) 原式=
25
16
1
2 +
1
0.01 +
64
27
- 2
3 - 2 + 3
16 = 5
4 + 100 + 9
16 - 2 + 3
16 = 100；
(2) 原式= log2 22× 23
2
+ log3 18
2 + log43 × log342
= log2 28
+ log39 + log43 × 2log34
= 8 + 2 + 2 = 12．
5
求值( 3 2 ×
3)6+ 9
1
2 × 8
2
3 + lg500 - lg0.5；
解
( 3 2 ×
3)6+ 9
1
2 × 8
2
3 + lg500 - lg0.5
= 22× 33+ 3 × 4 + lg 500
0.5
= 108 + 12 + 3 = 123
6
求值
(1)log6432 ⋅log2 1
25 ⋅log3 1
8 ⋅log5 1
9
(2)lg14 - 2lg 7
3 + lg7 - lg18
(3)log2 log232+log 1
2
3
4 +log436
(4) log2125+log425+log85
log1258+log254+log52
答案(1) - 10；；(2)0；；(3)3；；(4)13
解
(1) 原式= log2625log25-2log32-3log53-2
= 5
6 × (-2)log25 × (-3)log32 × (-2)log53 =-10 × lg5
lg2 × lg2
lg3 × lg3
lg5 =-10；
(2) 原式= lg(2 × 7) - 2(lg7 - lg3) + lg7 - lg(32× 2) = lg2 + lg7 - 2lg7 + 2lg3 + lg7 - 2lg3 - lg2 = 0；
(3) 原式= log2 5+log2-1 3
4 +log2262
= log2 5-log2 3
4 +log26
= log2(5 + log28) = log28 = 3；
２７８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
279
(4) 原式= 3log25+log25+ 1
3 log25
3log52
= 13
3 ⋅3log52log25 = 13．
【题型
【题型2】指数式与对数式的相互转化
】指数式与对数式的相互转化
对数运算的常用技巧
(1) 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，
然后用对数运算法则化简合并．
(2) 先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的
积、商、幂再运算．
(3) 指对互化：
(a > 0，且a ≠1) 是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算
中应注意互化．
1
已知2a= 5，log83 = b，则2a-3b=
．
答案5
3
解析
【详解】由log83 = b，得8b= 3，而2a= 5，所以2a-3b= 2a
23b =
2a
23
b = 2a
8b = 5
3 ．
2
已知2x= 3y = 4z = 6，则1
x + 3
y + 1
z =
．
答案3
解析
依题意，x = log26，y = log36，z = log46，
则1
x + 3
y + 1
z =
1
log26 +
3
log36 +
1
log46 = log62 + 3log63 + log64 = log6216 = 3．
1
若4a= 3b= 24，则3
a + 2
b =
(
)
A. 2
B.
24
log 486
C. 3
2
D.
24
log 566
答案A
解【分析】根据指对互化的运算可得a = log424，b = log324，利用对数的换底公式和对数的运算性质
的应用即可求解．
【详解】由4a= 3b= 24，得a = log424，b = log324，
所以3
a + 2
b =
3
log424 +
2
log324 = 3log244 + 2log243 = log2443+ log2432= log24242= 2．
2
设2a= 5b= m，且1
a + 1
b = 1
2 ，则m =
(
)
A.
10
B. 10
C. 100
D. 1000
答案C
解【详解】根据题意由2a= 5b= m 可得a = log2m =
1
logm2 ，b = log5m =
1
logm5 ，
所以1
a + 1
b = logm2 + logm5 = logm 2×5
= logm10 = 1
2 ，
即可得m
1
2 = 10，即m = 100．
3
若a = log32，则3a+ 3-a的值为
(
)
２７９
280
A. 5
2
B. 3
2
C. 1
2
D. - 5
2
答案A
解【详解】由题意得：a = log32，得：3a= 2，
所以：3a+ 3-a= 3a+ 3a
-1= 2 + 1
2 = 5
2 ．故A 项正确．
故选：A．
4
设2x= 3y = 72，求3
x + 2
y 的值．
解
依题意有x =
2
log 72，y =
3
log 72，1
x =
72
log 2，1
y =
72
log 3，
3
x + 2
y = 3
72
log 2 + 2
7
log 23 =
72
log 8 × 9 = 1
5
已知2m = 3n= 6，则m+n
mn
=
．
答案1
解【详解】由2m = 3n= 6 得：m = log26，n = log36，∴1
m = log62，1
n = log63，
∴m+n
mn
= 1
n + 1
m = log63 + log62 = log66 = 1．
6
2-x+ 1
x = 0，则log2x2- 2x- 3x + 2 的值
(
)
A. 小于0
B. 等于1
C. 大于1 且小于2
D. 等于2
解
①对2x进行转换，由题可得2-x+ 1
x = 0 ⇒1
2x =
1
-x ⇒2x=-x，
②对log2x2进行转换2-x=- 1
x ⇒log2 - 1
x
=-x，log2x2= log2 - 1
x
-2
=-2log2 - 1
x
= 2x
则log2x2- 2x- 3x + 2 = 2x - -x
- 3x + 2 = 2
【题型
【题型3】换底公式的应用
】换底公式的应用
换底公式：logab = logcb
logca (a > 0，且a ≠1；c > 0，且c ≠1；b > 0)．
热考题型1 用已知对数表示其他对数
1
已知3a= 2，3b= 5，则lg2 =
．(用a，b 表示)
解析
【解答】解：因为3a= 2，3b= 5，
所以a =
3
log 2，b =
3
log 5，a + b =
3
log 10，
所以lg2 =
3
log 2
3
log 10 =
a
a+b ．
故答案为：
a
a+b ．
2
已知7a= 3，log72 = b，则log4948 =
．(用a，b 表示)
答案a+4b
2
解析
因为7a= 3，所以log73 = a，
又log72 = b，所以log4948 = log72 3×24
= 1
2 log7 3×24
２８０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
281
= 1
2
log73+log724
= 1
2
log73+4log72
= 1
2
a+4b
．
1
已知lg2 = a，lg3 = b，则log475 =
(
)
A. a-b+2
2a
B. b-a+2
2a
C. b-2a+2
2a
D. 2a-b+2
2a
答案C
解
log475 = lg75
lg4 = lg3+2lg5
2lg2
= b+2(1-a)
2a
= b-2a+2
2a
．
2
若ln2 = a，ln3 = b，则log818 =
(
)
A. a+3b
a3
B. a+2b
3a
C. a+2b
a3
D. a+3b
3a
答案B
解
log818 = ln18
ln8 = ln(32×2)
ln23
= 2ln3+ln2
3ln2
= 2b+a
3a
．故选：B
3
设lg2 = a，lg3 = b，
(1) 用含a，b 的式子表示log518，形式为
．
(2) 用含a，b 的式子表示log630，形式为
．
答案(1) a+2b
1-a ，(2) b+1
a+b
解
(1)log518 = lg18
lg5 = lg(2×32)
lg(10÷2) = lg2+lg32
lg10-lg2 = lg2+2lg3
lg10-lg2 = a+2b
1-a ；
(2)log630 = log518 = lg30
lg6 = lg10+lg3
lg2+lg3 = b+1
a+b
4
已知log23 = m，log37 = n，则log4256 =
(
)
A. mn+3
mn+1
B.
m+n+3
2m+n+1
C.
mn+3
mn+m+1
D.
mn+3
mn-m+1
答案C
解
由换底公式得：log27 = log23 ⋅log37 = mn，
log72 =
1
mn log4256 = log427 × 8 = log427 + log428，
其中log427 =
1
log742 =
1
1+log76 =
1
1+log72+log73 =
1
1+
1
mn + 1
n
=
mn
mn+m+1 ，
log428 = 3log422 =
3
log242 =
3
log26+log27 =
3
1+m+mn ，
故log4256 =
mn
mn+m+1 +
3
1+m+mn =
mn+3
mn+m+1
5
(1) 已知log23 = a，3b= 7，试用a，b 表示log1256；
(2) 已知log32 = a，log37 = b，试用a，b 表示
28
log
49
8 ．
２８１
282
答案( 1 )
12
log 56 =
3
log 56
3
log 12 = 3
3
log 2+
3
log 7
1+2
3
log 2
=
3
a +b
1+ 2
a
= 3+ab
a+2 ；( 2 ) ∴
28
log
49
8
=
3
log 49
8
3
log 28
=
3
log 49-
3
log 8
3
log 4+
3
log 7 = 2
3
log 7-3
3
log 2
2
3
log 2+
3
log 7 = 2b-3a
2a+b ．
解
(1) ∵3b= 7，∴b = log37，
∵log23 = a，∴log32 = 1
a ，
12
log 56 =
3
log 56
3
log 12 = 3
3
log 2+
3
log 7
1+2
3
log 2
=
3
a +b
1+ 2
a
= 3+ab
a+2 ；
(2) ∵log23 = a，log37 = b，
∴
28
log
49
8 =
3
log 49
8
3
log 28 =
3
log 49-
3
log 8
3
log 4+
3
log 7 = 2
3
log 7-3
3
log 2
2
3
log 2+
3
log 7 = 2b-3a
2a+b ．
热考题型2 利用换底公式证明等式恒等
1
已知2x= 3y = 6z ≠1，求证：1
x + 1
y = 1
z ．
答案证明见解析．
解析
设2x= 3y = 6z = k(k ≠1)，
则x = log2k = lgk
lg2 ，y = log3k = lgk
lg3 ，z = log6k = lgk
lg6 ，
故1
x + 1
y = lg2+lg3
lgk
= lg6
lgk = 1
z ．
1
已知a，b，c 均为正数，且3a= 4b= 6c，求证：2
a + 1
b = 2
c ；
答案证明见解析
解
设3a= 4b= 6c = k，则k > 1．
∴a = log3k，b = log4k，c = log6k，
∴2
a + 1
b =
2
log3k +
1
log4k = 2logk3 + logk4 = logk9 + logk4 = logk36 = 2logk6，
而2
c =
2
log6k = 2logk6，
∴2
a + 1
b = 2
c ，得证．
2
设xa= yb= zc，且1
a + 1
b = 1
c ，求证：z = xy
答案证明见解析．
解
设xa= yb= zc = k，k > 0，则a = logxk，b = logyk，c = logzk．
因为1
a + 1
b = 1
c ，所以
1
logxk +
1
logyk =
1
logzk ，
即logkx + logky = logkz．
所以logk xy
= logkz，即z = xy．
【题型
【题型4】对数函数函数的概念与图象
】对数函数函数的概念与图象
一、对数函数过定点(1，0)，即x = 1 时，y = 0；
函数f(x) = loga x-b
+ c 过定点b+1,c
二、对数函数的图象(底大图低)
２８２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
283
a > 1
0 < a < 1
图象
性质
定义域
(0，+∞)
值域
R
过定点
过定点(1，0)，即x = 1 时，y = 0
函数值的变化
当0 < x < 1 时，y < 0；
当x > 1 时，y > 0
当0 < x < 1 时，y > 0；
当x > 1 时，y < 0
单调性
是(0，+∞) 上的增函数
是(0，+∞) 上的减函数
方法技巧：对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、
对称等变换得到，当a > 1 时，对数函数的图像呈上升趋势；当0 < a < 1 时，对数函数的图像呈下降趋
势．
热考题型1 对数函数的概念
1
(多选) 下列说法正确的有
(
)
A. 零和负数没有对数
B. 任何指数式都可以化成对数式
C. 任何对数式都可以化成指数式
D. log2(MN) = log2M + log2N
答案AC
解析
由对数的定义可知A，C 正确；
对于Ba > 0 且a ≠1 时，ax= N 才能化为对数式
对于D，M，N 均为正数时才成立
故选：AC．
2
代数式log(5-x) x2-5x+6
有意义时，求x 的取值范围．
答案
-∞,2
∪3,4
∪4,5
解析
由题意可得
x2-5x+6>0,
5-x>0,
5-x≠1,
得x ∈-∞,2
∪3,4
∪4,5
．
1
已知函数f(x) = 2m2-m
logax + m - 1 是对数函数，则m =
．
答案1
解【详解】因为函数f(x) 是对数函数，则2m2-m=1
m-1=0
，解得m = 1．
2
使式子log 2x-1
1
2-x 有意义的x 的取值范围是
(
)
A.
2,+∞
B.
1
2 ,2
C.
-∞,2
D.
1
2 ,1
∪1,2
答案D
２８３
284
解
要使式子log 2x-1
1
2-x 有意义，
则
2x-1>0
2x-1≠1
2-x>0
，即
x> 1
2
x≠1
x<2
，解得1
2 < x < 1 或1 < x < 2，
所以x 的取值范围是
1
2 ,1
∪1,2
．故选：D
热考题型2 对数函数过定点问题
1
函数y = logax + 1(a > 0 且a ≠1) 的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是
(
)
A. (0 , 1)
B. (1 , 2)
C.
1,1
D.
1,0
答案C
解析
因为对数函数y = logax(a > 0 且a ≠1) 恒过定点(1 , 0)，
所以函数y = logax + 1(a > 0 且a ≠1) 的图象必过定点(1 , 1)．
1
已知函数f x
= log2 ax+b
a>0,b>0
恒过定点2,0
，则b
a + 1
b 的最小值为(
)．
A. 2 2 + 1
B. 2 2
C. 3
D.
2 + 2
答案A
解
由题意可知2a + b = 1，
则b
a + 1
b = b
a + 2a+b
b
= b
a + 2a
b + 1 ≥2
b
a ⋅2a
b
+ 1 = 2 2 + 1，
当且仅当a = 2-
2
2
，b =
2 - 1 时，
b
a + 1
b 的最小值为2 2 + 1
2
已知函数f(x) = 1 + loga(2x - 3) (a > 0 , a ≠1) 恒过定点(m , n)，则m + n =
(
)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
解【解题思路】令2x - 3 = 1，即可求解f(x) 恒过定点(2 , 1)，进而求解．
【解答过程】令2x - 3 = 1，解得x = 2，此时f(2) = 1 + loga1 = 1，
所以f(x) 恒过定点(2 , 1)，则m = 2，n = 1，
所以m + n = 3．
3
已知直线y = mx + 2n 经过函数f x
= loga x-1
+ 2 图象过的定点(其中m，n 均大于0)，则
1
m + 1
n 的最小值为
(
)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
答案C
解【详解】因为f 2
= loga 2-1
+ 2 = loga1 + 2 = 0 + 2 = 2，所以函数f x
= loga x-1
+ 2 图象过
的定点为2,2
，
将其代入直线方程y = mx + 2n 得2 = 2m + 2n，即m + n = 1，
又m，n > 0，
所以1
m + 1
n = m+n
1
m + 1
n
= 2 + m
n + n
m ≥2 + 2
m
n ⋅n
m = 4，
２８４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
285
当且仅当m
n = n
m 即m = n = 1
2 时，等号成立，故1
m + 1
n 有最小值4．
4
函数y = logax + ax-1 + 2(a > 0 且a ≠1) 的图象恒过定点k,b
，若m + n = b - k 且m > 0，n >
0，则9
m + 1
n 的最小值为
(
)
A. 9
B. 8
C. 9
2
D. 5
2
答案B
解【详解】函数y = logax + ax-1+ 2(a > 0 且a ≠1) 的图象恒过定点1,3
，所以m + n = 3 - 1 = 2，
2
9
m + 1
n
= (m + n)
9
m + 1
n
= 10 + 9n
m + m
n ≥10 + 2 9 = 16，
∴2
9
m + 1
n
≥16，∴9
m + 1
n ≥8，当且仅当9n
m = m
n ，即n = 1
2 ，m = 3
2 等号成立
热考题型3 对数函数的图象性质
1
已知函数①y = logax；②y = logbx；③y = logcx；④y = logdx 的大致图象如图所示，则下列
不等关系正确的是
(
)
A. a + c < b + a
B. a + d < b + c
C. b + c < a + d
D. b + d < a + c
答案A
解析
解析：由已知可得b > a > 1 > d > c，则a + b > a + c，b + d > a + c，故A 正确，D 错误；
又a + d 与b + c 的大小不确定，故B，C 错误．故选A．
1
已知函数f(x) = ln(x + a) 的图象不经过第四象限，则a 的取值范围是
(
)
A. (0，1)
B. (0，+∞)
C. (0，1]
D. [1，+∞)
答案D
解
f(x) 的图象是由y = lnx 的图象向左平移a 个单位所得．
y = lnx 的图象过(1 , 0) 点，函数为增函数，因此a ≥1．故选：D．
2
当a > 1 时，在同一平面直角坐标系中，函数y = a-x与y = logax 的图象是()．
A.
B.
２８５
286
C.
D.
答案A
解【详解】依题意可将指数函数y = a-x化为y =
1
a
x
，由a > 1 可知0 < 1
a < 1；
由指数函数图象性质可得y =
1
a
x
为单调递减，且过定点0,1
，即可排除BC，
由对数函数图象性质可得y = logax 为单调递增，且过定点1,0
，排除D
3
在同一平面直角坐标系中，函数y =
1
a
x
，y = log 1
2 x+a
(a > 0 且a ≠1) 的图象可能是
(
)
A.
B.
C.
D.
答案A
解【分析】根据每个选项中函数y =
1
a
x
的单调性求出实数a 的取值范围，再由函数y = log 1
2 x+a
(a > 0 且a ≠1) 的图象与x 轴的交点，求出a 的取值范围，观察a 的范围能否一致，由此可得出合适
的选项．
【详解】对于A 选项，函数y =
1
a
x
为增函数，则1
a > 1，可得0 < a < 1，
对于函数y = log 1
2 x+a
，令y = log 1
2 x+a
= 0，可得x + a = 1，
可得x = 1 - a ∈0,1
，解得0 < a < 1，合乎题意；
对于B 选项，函数y =
1
a
x
为减函数，则0 < 1
a < 1，可得a > 1，
对于函数y = log 1
2 x+a
，令y = log 1
2 x+a
= 0，可得x + a = 1，
可得x = 1 - a ∈0,1
，解得0 < a < 1，不合乎题意；
对于C 选项，函数y =
1
a
x
为减函数，则0 < 1
a < 1，可得a > 1，
对于函数y = log 1
2 x+a
，令y = log 1
2 x+a
= 0，可得x + a = 1，
可得x = 1 - a > 1，可得a < 0，不合乎题意；
对于D 选项，函数y =
1
a
x
为增函数，则1
a > 1，可得0 < a < 1，
对于函数y = log 1
2 x+a
，令y = log 1
2 x+a
= 0，可得x + a = 1，
可得x = 1 - a > 1，可得a < 0，不合乎题意．
２８６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
287
4
如图是对数函数y = logax 的图象，已知a 值取
5 ，5
3 ，4
5 ，1
8 ，则相应的C1，C2，C3，C4
的a 值依次是
(
)
A. 1
8 ，4
5 ，5
3 ，
5
B.
5，5
3 ，4
5 ，1
8
C. 5
3 ，
5，4
5 ，1
8
D.
5，5
3 ，1
8 ，4
5
答案B
解
∵当a > 1 时，图象呈上升趋势；
当0 < a < 1 时，图象呈下降趋势，
又当a > 1 时，a 越大，图象向右越靠近x 轴；
0 < a < 1 时，a 越小，图象向右越靠近x 轴，
故C1，C2，C3，C4对应的a 值依次是
5，5
3 ，4
5 ，1
8 ．故选：B
5
已知函数f x
= loga x-b
(a > 0 且a ≠1，a，b 为常数) 的图象如图，则下列结论正确的是
(
)
A. a > 0，b <-1
B. a > 0，-1 < b < 0
C. 0 < a < 1，b <-1
D. 0 < a < 1，-1 < b < 0
答案D
解
因为函数f x
= loga x-b
为减函数，所以0 < a < 1
又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以x = 1 + b > 0，即b >-1
又因为函数图象与y 轴有交点，所以b < 0，所以-1 < b < 0，故选：D
6
在同一平面直角坐标系中，函数y = ax，y = logax - a(a > 0 且a ≠1) 的图象可能是
(
)
２８７
288
A.
B.
C.
D.
答案D
解【分析】分a > 1 和0 < a < 1 进行分类讨论判断即可．
【详解】当a > 1 时，y = ax与y = logax - a a>0
单调递增，A，B 均不符合题意；
当0 < a < 1 时，y = ax与y = logax - a 单调递减，
对于y = logax - a，当x = 1 时y < 0，C 不正确．
7
已知函数f x
= loga x-b
(a > 0 且a ≠1) 的图像如图所示，则以下说法正确的是
(
)
A. a + b < 0
B. ab <-1
C. 0 < ab< 1
D. loga b
> 0
答案C
解
由图象可知f x
在定义域内单调递增，所以a > 1，
令f x
= loga x-b
= 0，即x = b + 1，
所以函数f x
的零点为b + 1，结合函数图象可知0 < b + 1 < 1，所以-1 < b < 0，
因此a + b > 0，故A 错误；
-a < ab < 0，又因为a > 1，所以-a <-1，因此ab <-1 不一定成立，故B 错误；
因为a-1< ab< a0，即1
a < ab< 1，且0 < 1
a < 1，所以0 < ab< 1，故C 正确；
因为0 < b
< 1，所以loga b
< loga1，即loga b
< 0，故D 错误，故选：C．
【题型
【题型5】解对数方程
】解对数方程
解题|技巧
(1) 对于形如
a
log f(x) = b 的形式，利用b =
a
log ab转化；
对于形如
a
log x + C = 0 的形式，可借助换元法转化为二次方程求解．
(2) 解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个不等式
即可．
２８８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
289
热考题型1 常规对数方程
1
方程log2x = 1
2 的解为
答案
2
解析
方程log2x = 1
2 ，化为：x = 2
1
2 =
2．
1
已知方程ln2x + (ln4 + ln3)lnx + 2ln2 ﹒ln3 = 0 的两根为x1，x2，则x1 ﹒x2 =
(
)
A. - ln12
B. 2ln2 ﹒ln3
C.
1
12
D. 12
答案C
解
：由ln2x + (ln4 + ln3)lnx + 2ln2 ﹒ln3 = 0，
得(lnx + ln3) (lnx + ln4) = 0，
∴lnx =-ln3 或lnx =-ln4，
即x1 = 1
3 或x2 = 1
4 ，
则x1 ﹒x2 = 1
3 × 1
4 = 1
12 ．故选：C．
2
求下列各式中的x 值：
(1)log5x = 3；(2)log2 2x+1
= 3；(3)logx
1
8 = 3；(4)log28x=-3．
答案(1)125；(2) 7
2 ；(3) 1
2 ；(4) - 1
解
(1) 因为log5x = 3，所以x = 53= 125；
(2) 因为log2 2x+1
= 3，所以2x + 1 = 23= 8，解得x = 7
2
(3) 因为logx
1
8 = 3，所以1
8 = x3=
1
2
3
，所以x = 1
2 ；
(4) 因为log28x=-3，所以8x= 2-3= 8-1，所以x =-1．
热考题型2 对数型嵌套函数方程
1
方程ln log3x
= 0 的解是
(
)
A. 1
B. 2
C. e
D. 3
答案D
解析
∵ln log3x
= 0，∴log3x = e0= 1，∴x = 3．
1
(杭州学军中学2024 - 2025 高一上期中) 已知函数f x
在定义域0,+∞
上单调，若对任意的x ∈
0,+∞
，都有f f x
-lnx
= 1 + e，则方程xf x
- 2x - 1 = 0 的解的个数为
(
)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案B
解【分析】先求得f x
的表达式，然后根据零点存在性定理等知识求得正确答案．
【详解】设t = f x
- lnx ①，则f t
= 1 + e，
由①令x = t 得f t
= lnt + t，f t
在0,+∞
上单调递增，
f e
= 1 + e，题意t = e，所以f x
= lnx + e．
对于方程xf x
- 2x - 1 = 0，即x lnx+e
- 2x - 1 = 0，
２８９
290
两边除以x 得lnx - 1
x + e - 2 = 0，
函数g x
= lnx - 1
x + e - 2 x>0
，g x
在0,+∞
上单调递增，
g 1
= e - 3 < 0，g e
= e - 1
e - 1 > 0，所以g x
有唯一零点在区间1,e
，
所以方程xf x
- 2x - 1 = 0 有唯一解．
2
已知f x
是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x，都有f f x
+
2
2x+1
= 1
3 ，则f log23
的值为
．
答案1
2
解
令f x
+
2
2x+1 = t，则f t
= 1
3
再令x = t，则f t
+
2
2t+1 = t ⇒1
3 +
2
2t+1 = t ⇒t = 1，则f x
+
2
2x+1 =-
2
2x+1 + 1
f log23
= 1
2
3
已知函数f(x) 是定义域内的单调函数，且满足f f x
-ln(x+1)
= ln3 + 2，则函数f x
的解析
式f x
=
，若不等式f x
> m - ex 对任意x ∈[0，+∞) 恒成立，则实数m 的取值范围是
．
答案f x
= ln(x + 1) + 2；-∞，3
解
(1) 令f x
- ln(x + 1) = t，则f t
= ln3 + 2 = t + ln(t + 1) ⇒t = 2，则f x
= ln(x + 1) + 2
(2)f x
> m - ex⇒ln(x + 1) + 2 + ex> m，由单调性可知ln(0 + 1) + 2 + e0> m ⇒3 > m
4
已知log5 log2 4lgx
= 0，则x 的值为
．
答案
10
解
由log5 log2 4lgx
= 0，得log2 4lgx
= 50= 1，所以4lgx= 21= 2，
即22lgx= 2，所以2lgx = 1，lgx = 1
2 ，所以x = 10
1
2 =
10．
5
已知log5 log2 4lgx
= 0，则x 的值为
．
答案
10
解
由log5 log2 4lgx
= 0，得log2 4lgx
= 50= 1，所以4lgx= 21= 2，
即22lgx= 2，所以2lgx = 1，lgx = 1
2 ，所以x = 10
1
2 =
10．
6
已知函数f x
= log2x，则方程f x
2= 2 + log4 x
2
的解为
(
)
A. 1
2
B. 1
2 或3 4
C. 1
2 或2 2
D. 2 或
2
4
答案C
解【分析】换底公式化简可得出关于log2x 的等式，求出log2x 的值，再利用对数式与指数式的互化可
得出x 的值．
【详解】因为log4 x
2
= log22 x
2
= 1
2 log2 x
2
= 1
2
log2x-1
，
由f x
2= 2 + log4 x
2
可得log2x
2- 1
2 log2x - 3
2 = 0，
２９０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
291
得log2x =-1 或log2x = 3
2 ，当log2x =-1 时，x = 2-1= 1
2 ；当log2x = 3
2 时，x = 2
3
2 = 2 2．
综上所述，原方程的解为x = 1
2 或x = 2 2．
【题型
【题型6】对数型复合函数的奇偶性问题
】对数型复合函数的奇偶性问题
常见对数型函数奇偶模型
(1)y = loga x-m
x+m 或loga x+m
x-m ⇒奇，
(2)y = loga
b2x2+1±bx
⇒奇
(3)f(x) =
a
log (am + 1) + - 1
2 mx
是偶函数，如f(x) = ln(ex+ 1) - 1
2 x，g(x) = log3(9x+ 1) - x
1
(2023 年新课标全国Ⅱ卷) 若f x
= x+a
ln 2x-1
2x+1 为偶函数，则a = (
)．
A. - 1
B. 0
C. 1
2
D. 1
答案B
解析
【解法1】特殊值法：因为f(x) 为偶函数，则f(1) = f(-1)，∴(1 + a)ln 1
3 = (-1 + a)ln3，解
得a = 0，
验证：当a = 0 时，f x
= xln 2x-1
2x+1 ，2x-1
2x+1
> 0，解得x > 1
2 或x <- 1
2 ，
则其定义域为x x
1
2
或x<- 1
2
，关于原点对称．
f -x
= -x
ln 2 -x
-1
2 -x
+1 = -x
ln 2x+1
2x-1 = -x
ln 2x-1
2x+1
-1
= xln 2x-1
2x+1 = f x
，
故此时f x
为偶函数．
【解法2】函数性质法：因为g(x) = ln 2x-1
2x+1 是奇函数，而f x
= x+a
g x
为偶函数，故y = x +
a 为奇函数．
过程：f -x
= -x+a
g -x
=- -x+a
g x
= x+a
g x
= f x
，故x - a = x + a，则a = 0，
这一方法要求学生能够发现函数g(x) = ln 2x-1
2x+1 的奇偶性，解题的起点相对高，对一些数学基础弱
的学生有一点难度。
【解法3】定义法：f(-x) = f(x)
则有(-x + a)ln -2x-1
-2x+1 = (x + a)ln 2x-1
2x+1
即(-x + a)ln 2x+1
2x-1 = (x + a)ln 2x-1
2x+1
(x - a)ln 2x-1
2x+1 = (x + a)ln 2x-1
2x+1
x - a = x + a，则a = 0
2
函数f x
= log2 4x+1
- x 的部分图像大致为
(
)
２９１
292
A.
B.
C.
D.
答案A
解析
【分析】分析函数f x
的奇偶性及其最小值，结合排除法可得出合适的选项．
【详解】对任意的x ∈R，4x+ 1 > 0，则函数f x
的定义域为R，
因为f x
= log2 4x+1
- x = log2 4x+1
- log22x= log2 4x+1
2x
= log2 2x+2-x
，
f -x
= log2 2-x+2x
= f x
，则函数f x
为偶函数，排除CD 选项，
又因为f x
= log2 2x+2-x
≥log2 2 2x⋅2-x
= 1，当且仅当x = 0 时，等号成立，排除B 选项．
1
若函数f x
= x-a
ln x-1
x+1 为偶函数，则a =
(
)
A. - 1
B. 0
C. 1
2
D. 1
答案B
解【分析】根据函数是偶函数，则f(-3) = f(3)，解出后验证即可．
【详解】因为f x
= x-a
ln x-1
x+1 为偶函数，
f(-3) = (-3 - a)ln2，f(3) = (3 - a)ln 1
2 ，
则有(-3 - a)ln2 = (3 - a)ln 1
2 ，
得a = 0，
经验证a = 0 时，符合条件
2
已知函数f x
= log3 x-1
x+1 ，求函数f x
的定义域，并判断其奇偶性．
答案
-∞,-1
∪1,+∞
；奇函数
解
由x-1
x+1 > 0 解得x <-1 或x > 1，所以f x
的定义域为-∞,-1
∪1,+∞
，
定义域关于原点对称，且f -x
= log3 -x-1
-x+1 = log3 x+1
x-1 =-log3 x-1
x+1 =-f x
，
所以f x
为奇函数．
3
已知函数f(x) = log2
x2+a-x
是奇函数，则a =
．
答案1
解
由f(x) = log2
x2+a-x
，得
x2+a - x > 0，
则a > 0，所以函数f x
的定义域为R，所以f 0
= log2 a = 0，解得a = 1
２９２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
293
4
已知函数f(x) =
3
log (9x+ 1) + kx(k ∈R) 是偶函数，求实数k 的值．
解【解答】解：(1) ∵f(x) 是偶函数，∴f(-x) = f(x)，
即
3
log (9-x+ 1) - kx =
3
log (9x+ 1) + kx 对任意x ∈R 恒成立，
∴2kx =
3
log (9-x+ 1) -
3
log (9x+ 1) =
3
log 9-x+1
9x+1 = log33-2x=-2x，
∴k =-1．
5
已知函数f x
= ax - ln ex+1
a∈R
为偶函数，则a =
．
答案1
2
解【分析】利用偶函数定义f -x
= f x
即可求出a 的值．
【详解】根据题意，函数f x
= ax - ln ex+1
a∈R
为偶函数，
则有f -x
= f x
，即ax - ln ex+1
=-ax - ln e-x+1
，
变形可得2ax = ln ex+1
- ln e-x+1
= lnex= x，必有a = 1
2
6
(重庆巴蜀中学校考月考) 函数f(x) = ax - log2(8x+ 1) 为偶函数，则实数a 的值为
．
答案3
2
解【分析】利用特殊值f(-1) = f(1) 先求解a 值，再根据偶函数的定义进行验证．
【详解】函数f(x) 为偶函数，则f(-1) = f(1)，
即-a - log2 9
8 = a - log29，解得a = 3
2 ．
当a = 3
2 时，f(x) = 3
2 x - log2 8x+1
= log28
x
2 - log2 8x+1
= log2
8
x
2
8x+1
f(-x) = log2
8
- x
2
8-x+1 = log2
8
x
2
8x+1 = f(x)，f(x) 为偶函数．
7
若函数f x
= log2 16x+1
- ax 是偶函数，则a =
答案2
解【详解】因为函数f x
= log2 16x+1
- ax 是偶函数，
所以由偶函数的性质有f 1
= f -1
，
即log217 - a = log2 17
16 + a，解得a = 2，
此时f x
= log2 16x+1
- 2x，
又因为16x+ 1 > 0，
所以f x
的定义域为R 关于原点对称，
且f -x
= log2 16-x+1
+ 2x = log2 16x+1
16x
+ 2x = log2 16x+1
- 2x = f x
，
即函数f x
= log2 16x+1
- 2x 是偶函数满足题意．
8
设函数
为偶函数，求k 的值
答案1
解【分析】根据
得到方程，求出
；
【详解】∵f x
为定义在R 上的偶函数，
∴
，即
，
２９３
294
故
，即
，解得
；
9
设a 是实数，若函数y = lg x+1
x+a 为奇函数，则a =
答案-1
解【分析】利用奇函数的性质f(-x) + f(x) = 0 求得a =±1，再分别进行检验即可得解．
【详解】由题意，y = f x
= lg x+1
x+a 为奇函数，
所以f(-x) =-f(x) 对定义域内任意x 恒成立，即f(-x) + f(x) = 0，
所以lg -x+1
-x+a + lg x+1
x+a = 0，即lg x-1
x-a + lg x+1
x+a = 0，
所以lg x-1
x-a ⋅x+1
x+a
= 0，即lg x2-1
x2-a2 = 0，
所以x2-1
x2-a2 = 1 对定义域内任意x 恒成立，则a2= 1，故a = 1 或a =-1；
当a = 1 时，f(x) = lg x+1
x+1 ，其定义域为(-∞,-1) ∪(-1 ,+∞)，不关于原点对称，
故f(x) = lg x+1
x+1 不为奇函数，不满足题意；
当a =-1 时，f(x) = lg x+1
x-1 ，
由x+1
x-1 > 0，解得函数f(x) 的定义域为(-∞,-1) ∪(1 ,+∞)，关于原点对称，
又f(-x) = lg -x+1
-x-1 = lg x-1
x+1 =-lg x+1
x-1 =-f x
，故f x
为奇函数，符合题意；
综上：a =-1．
10
已知函数f x
= ln eax+1
ex+1
是奇函数，则实数a 的值为
．
答案1 或-1
解【分析】由题意可得f -ln2
=-f ln2
，求出a，检验即可．
【详解】由题意知，定义域为R，
函数f x
是奇函数，则f -ln2
=-f ln2
，
即ln
1
2
a+1
1
2 +1
=-ln 2a+1
2+1
，化解得2a+
1
2
a
= 5
2 ，解得a = 1 或-1，
经检验，a = 1 或-1 都符合要求．
故答案为：1 或-1．
11
函数f x
= ln
2x
1+x +a
为奇函数，则实数a =
．
答案-1
解
由f x
为奇函数，根据定义有ln
2x
x-1 +a
=-ln
2x
1+x +a
，结合y = lnx 是单调函数即可求a．
【详解】函数f x
为奇函数知：f(-x) =-f(x)，而f(-x) = ln
2x
x-1 +a
，
∴ln
2x
x-1 +a
=-ln
2x
1+x +a
，即ln (2+a)x-a
x-1
= ln
x+1
(2+a)x+a
，
又y = lnx 是单调函数，
∴(2+a)x-a
x-1
=
x+1
(2+a)x+a ，即有a2=1
a+2
2=1
，解得a =-1．
２９４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
295
12
函数g x
=
k-2x
1+k⋅2x k<0
为奇函数，则实数k 的取值为
．
答案-1
解
因为g x
=
k-2x
1+k⋅2x 为定义域上的奇函数，所以g x
+ g -x
= 0，
即
k-2x
1+k⋅2x +
k-2-x
1+k⋅2-x = 0，整理化简有：(k2- 1) (22x+ 1) = 0 恒成立，
所以k2- 1 = 0，得k =±1，又因为k < 0，所以k =-1，
且当k =-1 时，g x
=
k-2x
1+k⋅2x = 2x+1
2x-1 ，其定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称，故k =-1 满足题
意．
13
若函数f x
= ln x+a
2-x + b 是奇函数，则a + b = ．
答案2
解【分析】根据奇函数的定义域关于关于原点对称，即可求出a，求出函数的定义域，再由奇函数得
f 0
= 0，即可求出b，即可得解．
【详解】由f x
= ln x+a
2-x + b，可得2 - x ≠0，即x ≠2，
且x+a
2-x ≠0，即x ≠-a，-
又因为奇函数的定义域关于原点对称，
所以-a =-2，所以a = 2，
故f x
= ln x+2
2-x + b，定义域为-2,2
，
因为函数f x
= ln x+a
2-x + b 是奇函数，
所以f 0
= 0，所以b = 0，
经检验，符合题意，所以a = 2，b = 0，所以a + b = 2．
14
已知函数f(x) = ln( 1+x2 - x) + 1，f(a) = 4，则f(-a) =
．
解
：函数g(x) = ln
1+x2-x
满足g(-x) = ln
1+x2+x
= ln
1
1+x2-x
=-ln
1+x2-x
=-g(x)，
所以g(x) 是奇函数．
函数f(x) = ln
1+x2-x
+ 1，f(a) = 4，
可得f(a) = 4 = ln
1+a2-a
+ 1，可得ln
1+a2-a
= 3，
则f(-a) =-ln
1+a2-a
+ 1 =-3 + 1 =-2．
15
若函数f x
= ln ax+1
1-x
+ b 是R 上的奇函数，则a =
，b =
．
答案1；0
解
因为函数f x
= ln ax+1
1-x
+ b 是奇函数，
故f 0
= 0，即ln1 + b = 0，即b = 0．又f x
+ f -x
= 0，
故ln ax+1
1-x
+ ln -ax+1
1+x
= 0，
即
ax+1
1-x
⋅
-ax+1
1+x
= 1，1-a2x2
1-x2
= 1 恒成立，
故a2= 1，所以a = 1 或a =-1，当a =-1 时f x
= ln -x+1
1-x
= ln -1
无意义．
２９５
296
当a = 1 时f x
= ln x+1
1-x
满足奇函数．故a = 1
综上，a = 1，b = 0
16
(2022·全国·高考真题) 若f x
= ln a+
1
1-x
+ b 是奇函数，则a =
，b =
．
答案- 1
2 ；ln2．
解【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若a = 0，则f(x) 的定义域为{x|x ≠1}，不关于原点对称
∴a ≠0
若奇函数的f(x) = ln a+
1
1-x
+ b 有意义，则x ≠1 且a +
1
1-x ≠0
∴x ≠1 且x ≠1 + 1
a ，
∵函数f(x) 为奇函数，定义域关于原点对称，
∴1 + 1
a =-1，解得a =- 1
2 ，
由f(0) = 0 得，ln 1
2 + b = 0，
∴b = ln2，
故答案为：- 1
2 ；ln2．
[方法二]：函数的奇偶性求参
f(x) = ln a+
1
1-x +b=ln
a-ax+1
1-x
+b=ln
ax-a-1
1-x
+ b
f(-x) = ln ax+a+1
1+x
+ b
∵函数f(x) 为奇函数
∴f(x) + f(-x) = ln ax-a-1
1-x
+ln
ax+a+1
1+x
+ 2b = 0
∴ln a2x2-(a+1)2
x2-1
+ 2b = 0
∴a2
1 = (a+1)2
1
⇒2a + 1 = 0 ⇒a =- 1
2
-2b=ln 1
4 =-2ln2⇒b=ln2
∴a=- 1
2 ,b=ln2
[方法三]：
因为函数f x
= ln a+
1
1-x
+ b 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由a +
1
1-x ≠0 可得，1-x
a+1-ax
≠0，所以x = a+1
a
=-1，解得：a =- 1
2 ，即函数的定义
域为-∞,-1
∪-1,1
∪1,+∞
，再由f 0
= 0 可得，b = ln2．即f x
= ln - 1
2 +
1
1-x
+ ln2 =
ln 1+x
1-x
，在定义域内满足f -x
=-f x
，符合题意．
故答案为：- 1
2 ；ln2．
【题型
【题型7】对数相关函数图像的识别
】对数相关函数图像的识别
1、判断函数图像常用的办法是排除法
一：判断奇偶性(依选项而判断)；二：代入特殊点看正负；三：极限思想
２９６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
297
2、判断奇偶性技巧
(1) 运算函数的奇偶性规律：
运算函数是指两个(或多个) 函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如f(x) + g(x)，f(x) -
g(x)，f(x) × g(x)，f(x) ÷ g(x)．
对于运算函数有如下结论：奇± 奇= 奇；偶± 偶= 偶；奇± 偶= 非奇非偶；
奇× (÷) 奇= 偶；奇× (÷) 偶= 奇；偶× (÷) 偶= 偶．
(2) 复合函数y = f[g(x)] 的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．
(3) 常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数f(x) = m ax+1
ax-1
(x ≠0) 或函数f(x) = m ax-1
ax+1
．
②函数f(x) =± (ax- a-x)．
③函数f(x) = loga x+m
x-m = loga 1+ 2m
x-m
或函数f(x) = loga x-m
x+m = loga 1- 2m
x+m
④函数f(x) = loga( x2+1 + x) 或函数f(x) = loga( x2+1 - x)．
注意：关于①式，可以写成函数f(x) = m +
2m
ax-1 (x ≠0) 或函数f(x) = m -
2m
ax+1 (m ∈R)．
偶函数：①函数f(x) =± (ax+ a-x)．
②函数f(x) = loga(amx+ 1) - mx
2 ．
③函数f(|x|) 类型的一切函数．
④常数函数
⑤若f(x) 为奇函数，则f(x)
为偶函数
1
函数f(x) = (4 - x2)ln| -x| 的图象是
(
)
A.
B.
C.
D.
答案B
解析
【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据函数值的正负确定．
２９７
298
【详解】解：f(x) = (4 - x2)ln -x
=
(4-x2)lnx,
x>0
(4-x2)ln -x
,
x<0
，
因为f(-x) = f(x)，
所以f(x) 是偶函数，故排除AD，
当x > 0 时，令f(x) = 0，得x = 1 或x = 2，
当0 < x < 1 或x > 2 时，f(x) < 0，当1 < x < 2 时，f(x) > 0
1
(多选题) 函数f x
= loga x
+ 1 0<a<1
的大致图象不可能为
(
)
A.
B.
C.
D.
答案BCD
解
函数f x
= loga x
+ 1 0<a<1
的定义域为x x≠0
，
因为f -x
= loga x
+ 1 = f x
，所以函数f x
为偶函数，
当x ∈0,+∞
时，f x
= logax + 1 0<a<1
为减函数，且过定点1,1
，
故函数f x
= loga x
+ 1 0<a<1
的大致图象不可能为BCD 选项．
2
函数f x
= x2log4 2+x
2-x 的大致图象是
(
)
A.
B.
C.
D.
答案D
解【详解】方法一：因为2+x
2-x > 0，即x+2
⋅x-2
< 0，所以-2 < x < 2，
所以函数f x
= x2log4 2+x
2-x 的定义域为-2,2
，关于原点对称，
又f -x
= (-x)2log4 2-x
2+x =-f x
，所以函数f x
是奇函数，其图象关于原点对称，
２９８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
299
故排除B，C；
当x ∈0,2
时，2+x
2-x > 1，即log4 2+x
2-x > 0，因此f x
> 0，故排除A．
故选：D．
方法二：由方法一，知函数f x
是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，C；
又f 1
= 1
2 log23 > 0，所以排除A．
3
函数f(x) = ln 1-x
的大致图象是
(
)
A.
B.
C.
D.
答案A
解【分析】利用f x
的性质与函数值排除BCD，再利用函数的平移与对称变换判断A，从而得解．
【详解】对于f(x) = ln 1-x
，必有f x
≥0，故CD 错误；
又f(2) = ln 1-2
= ln1
= 0，故B 错误；
将函数y = lnx 在x 轴下方图象翻折到上方可得函数y = lnx
的图象，
再将其在y 轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数y = ln x
= ln -x
的图象，
进而将得到的函数图象向右平移1 个单位，
可得函数y = ln -(x-1)
= ln 1-x
的图象，故A 正确．
【题型
【题型8】对数型复合函数的值域问题
】对数型复合函数的值域问题
对数(型) 函数的值域和单调性问题的解题策略
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：
一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1 的大小关系；三是复合函数的构成，即它
是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
热考题型1 已知对数型复合函数的解析式求值域
1
函数f x
= lg 4x-2x+1+11
的最小值是( )．
A. 10
B. 1
C. 11
D. lg11
答案B
解析
设t = 4x- 2x+1+ 11，则y = lgt，
因为t = 4x- 2x+1+ 11 = 2x
2- 2 ⋅2x+ 11 = 2x-1
2+ 10 ≥10，
所以y = lgt ≥lg10 = 1，所以f x
= lg 4x-2x+1+11
的最小值为1，故选：B
２９９
300
1
已知函数f x
= log3 -x2+4x+a-1
的最大值为2，则a =
．
答案6
解
因为函数f x
= log3 -x2+4x+a-1
由y = log3t，t > 0 与t =-x2+ 4x + a - 1 复合而成，
而y = log3t 在定义域上单调递增，所以当t =-x2 + 4x + a - 1 取最大值时，函数y = log3t 取得最大
值，
由二次函数的性质易知当x = 2 时，tmax = a + 3，此时f(x)max = log3 a+3
，所以log3 a+3
= 2，解
得a = 6．
2
已知函数f x
= lg x2+1
，x ∈-1,3
，则f x
的值域为
(
)
A.
0,+∞
B.
0,1
C.
lg2,1
D.
0,1
答案D
解
因为x ∈-1,3
，所以x2+ 1 ∈1,10
，
所以f x
= lg x2+1
∈0,1
，故选：D
3
若函数f x
= log 1
2 ax2+x+2
的最大值为0，则实数a 的值为
．
答案1
4
解
因为f x
的最大值为0，所以h x
= ax2+ x + 2 应有最小值1，
因此应有
a>0
8a-1
4a
=1,
解得a = 1
4 ．
热考题型2 已知对数型复合函数的值域求参数范围
1
函数y = lg[x2+ (m - 2)x + 1] 的值域为R．则实数m 的取值范围是
(
)
A. (0 , 4)
B. [0 , 4)
C. (-∞, 0) ∪(4 ,+∞)
D. (-∞, 0] ∪[4 ,+∞)
答案D
解析
【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质，结合一元二次不等式求解即得．
【详解】由函数y = lg[x2+ (m - 2)x + 1] 的值域为R，得x2+ (m - 2)x + 1 的取值包含所有正实数，
因此(m - 2)2- 4 ≥0，解得m ≤0 或m ≥4，
所以实数m 的取值范围是(-∞, 0] ∪[4 ,+∞)．
1
若函数y = lg x2+2x+m
的值域是R，则m 的取值范围是
(
)
A. (1 ,+∞)
B. [1 ,+∞)
C. (-∞, 1]
D. R
答案C
解【分析】由对数函数值域，则内层函数值域包含[0 ,+∞)，结合二次函数性质列不等式求参数范围．
【详解】函数y = lg x2+2x+m
的值域是R，
则y = x2+ 2x + m = (x + 1)2+ m - 1 的值域包含[0 ,+∞)，故m - 1 ≤0 即可，
所以m ≤1．
2
设a > 0 且a ≠1，若函数f x
= -x+7,
x≤2
3+logax,
x>2
的值域是5,+∞
，则a 的取值范围是(
)
３００
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
301
A.
2,+∞
B.
1,
2
C.
1,
2
D.
2,+∞
答案C
解【分析】当x ≤2 时，检验满足f(x) ≥5．当x > 2 时，分类讨论a 的范围，依据对数函数的单调性，
求得a 的范围，综合可得结论．
【详解】由于函数f(x) = -x+7,x≤2
3+logax,x>2(a>0
且a ≠1) 的值域是[5 ,+∞)，
故当x ≤2 时，满足f(x) = 7 - x ≥5．
若a > 1，f(x) = 3 +
a
log x 在它的定义域上单调递增，
当x > 2 时，由f(x) = 3 + logax ≥5，∴logax ≥2，∴loga2 ≥2，∴1 < a ≤
2．
若0 < a < 1，f(x) = 3 +
a
log x 在它的定义域上单调递减，f(x) = 3 +
a
log x < 3 +
a
log 2 < 3，不满足
f(x) 的值域是[5 ,+∞)．
综上可得，1 < a ≤
2．
3
若函数f x
=
log 1
2 x2+2a
,
x<1
1-31-x,
x≥1
存在最大值，则实数a 的取值范围为
(
)
A.
-∞, 1
4
B.
0, 1
4
C.
- 1
2 , 1
2
D.
0, 1
2
答案B
解【分析】判断x ≥1 时，f(x) ∈[0 , 1)，无最大值，由判断y = x2 + 2a 在x < 1 时的单调性，可得
f x
=
1
2
log
x2+2a
单调性，确定最大值，结合题意列出不等式，即可求得答案．
【详解】当x ≥1 时，f(x) = 1 - 31-x在[1 ,+∞) 上单调递增，此时f(x) ∈[0 , 1)，无最大值；
又因为y = x2+ 2a 在(-∞, 0] 上单调递减，在[0 , 1) 上单调递增，
故f x
=
1
2
log
x2+2a
在(-∞, 0] 上单调递增，在[0 , 1) 上单调递减，
所以当x < 1 时，f x
max = f 0
= log 1
2 2a
，
结合题意可得
1
2
log
2a
≥1，解得0 < 2a ≤1
2 ，∴0 < a ≤1
4 ，
即实数a 的取值范围为0, 1
4
4
已知函数f x
= loga x2-ax+1
在区间
1
4 ,2
上有最大值或最小值，则实数a 的取值范围为
(
)
A.
1
4 ,2
B.
1
2 ,1
∪1,2
C.
1
4 ,1
∪1,4
D.
1
4 ,1
∪1,2
答案B
解
要使函数f x
在区间
1
4 ,2
上有最大值或最小值，
由于y = x2- ax + 1 开口向上，
故需函数y = x2- ax + 1 在区间
1
4 ,2
上有最小值，且y > 0．
该函数图像的对称轴为直线x = a
2 ，所以
a>0
a≠1
1
4 < a
2 <2
a
2
2-a⋅a
2 +1>0
，解得
a>0
a≠1
1
2 <a<4
-2<a<2
，
所以1
2 < a < 2，且a ≠1，即实数a 的取值范围为
1
2 ,1
∪1,2
．
３０１
302
5
已知函数f x
= loga x+ a
x -4
在(0 ,+∞) 上的值域为R，则实数a 的取值范围是
(
)
A.
4,+∞
B.
-∞,4
C.
0,4
D.
0,1
∪1,4
答案D
解【分析】设g x
= x + a
x - 4，则函数f x
在(0 ,+∞) 上的值域为R 等价于在(0 ,+∞) 上g x
min ≤
0，结合基本不等式求解即可．
【详解】设g x
= x + a
x - 4，
因为f x
= loga x+ a
x -4
的值域为R，所以g x
min ≤0，
又a > 0，a ≠1，x ∈(0 ,+∞)，所以x + a
x - 4 ≥2
x⋅a
x - 4 = 2 a - 4，
即g x
min = 2 a - 4 ≤0，解得：0 < a ≤4 且a ≠1，
所以实数a 的取值范围是0,1
∪1,4
．
6
(1) 若f x
= log 1
2 ax2+2ax+1
的定义域为R，则实数a 的取值范围为
；
(2) 若函数f x
= log2 ax2+2x+1
的值域为R，则实数a 的取值范围为
．
答案
0,1
0,1
解【分析】(1) 定义域为R，说明真数恒大于0，列式求解；
(2) 值域为R，说明真数能取遍0,+∞
，列式求解．
【详解】定义域为R 即真数恒大于0，则a = 0 或a>0
Δ=4a2-4a<0
，得0 ≤a < 1
所以a 的取值范围是0,1
．
(2) 值域为R 即真数能取遍0,+∞
当a = 0 时，f x
= log2 2x+1
成立，
当a>0
Δ=4-4a≥0
，解得0 < a ≤1，
所以a 的取值范围是0,1
7
已知函数f x
= log2 2-x
的值域为-∞,1
，则函数f 2x
的定义域为
(
)
A.
0,+∞
B.
0,2
C.
0,1
D.
-∞,1
答案C
解【分析】首先求出函数的定义域，再利用抽象函数的定义域求解
【详解】由f x
= log2 2-x
值域为-∞,1
，得0 < 2 - x ≤2，
故0 ≤x < 2，即f x
的定义域为0,2
，令0 ≤2x < 2 得0 ≤x < 1，故f 2x
的定义域为0,1
8
若函数f x
= log3ax(a > 0 且a ≠1) 在-1,2
上的值域为m,2
，则m 的值为
(
)
A. - 4 或-1
B. 0 或-2
C. - 2 或-1
D. - 4 或-2
答案A
解【分析】先根据对数函数的单调性求出函数y = ax 的值域，再分0 < a < 1 和a > 1 两种情况讨论，
结合指数函数的单调性即可得解．
【详解】因为函数y = log3x 在0,+∞
上单调递增，
所以函数y = ax在-1,2
上的值域为3m,9
，
３０２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
303
当0 < a < 1 时，y = ax在-1,2
上单调递减，则a-1= 9，解得a = 1
9 ，
则3m = a2= 1
81 ，得m =-4，
当a > 1 时，y = ax在-1,2
上单调递增，则a2= 9，解得a = 3 或-3(舍去)，
则3m = a-1= 1
3 ，得m =-1，
综上，m =-4 或-1．
【题型
【题型9】比较大小
】比较大小
1、常规法：比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．
2、当底数和真数的差或倍数一样时，可以考虑拆出一个1
例1：log36 和log48(倍数一致)
简析：log36 = 1 + log32；log48 = 1 + log42，由图像可知log32 > log42
例2：log35 和log46(差一致)
简析：log35 = 1 + log3 5
3 ；log46 = 1 + log4 6
4 ，由图像可知log3 5
3 > log4 6
4
热考题型1 找中间数比较大小
1
设a =
0.3
log
0.2，b = ln0.2，C = 0.30.2，则
(
)
A. a > b > c
B. c > a > b
C. a > c > b
D. c > b > a
解析
【解答】解：∵
0.3
log
0.2 >
0.3
log
0.3 = 1，ln0.2 < ln1 = 0，0 < 0.30.2 < 0.30= 1，
∴a > c > b．
故选：C．
1
已知a =
2
3
3
2 ，b =
3
2
2
3 ，c =
2
3
log
3
2 ，则a，b，c 的大小关系是
(
)
A. a < b < c
B. b < a < c
C. c < b < a
D. c < a < b
解【解答】解：a =
2
3
3
2 <
2
3
1
= 2
3 ，
b =
3
2
2
3 >
3
2
0
= 1，
c =
2
3
log
3
2 < log 2
3 1 = 0，
则a，b，c 的大小关系为c < a < b
2
设a = log23，b = log0.32，c = 0.50.5，则三者大小关系为
(
)
A. a < b < c
B. c < a < b
C. b < c < a
D. b < a < c
答案C
解
因为log23 > log22 = 1，所以a > 1，
因为log0.32 < log0.31 = 0，所以b < 0，
因为0 < 0.50.5 < 0.50= 1，所以0 < c < 1，
故b < c < a．故选：C
３０３
304
3
已知a =
2
3
3
2 ，b =
3
2
2
3 ，c =
2
3
log
3
2 ，则a，b，c 的大小关系是
(
)
A. a < b < c
B. b < a < c
C. c < b < a
D. c < a < b
解【解答】解：a =
2
3
3
2 <
2
3
1
= 2
3 ，b =
3
2
2
3 >
3
2
0
= 1，c =
2
3
log
3
2 < log 2
3 1 = 0，
则a，b，c 的大小关系为c < a < b
4
已知x = lnπ，y =
5
log 2，z = e
- 1
2 ，则( )。
A. x < y < z
B. z < x < y
C. z < y < x
D. y < z < x
答案D
解【分析】利用x = lnπ > 1，0 < y = log52 < 1
2 ，1 > z = e
- 1
2 > 1
2 ，即可得到答案．
：∵x = lnπ > lne = 1，0 < log52 < log5 5 = 1
2 ，即y ∈0, 1
2
；
1 = e0> e
- 1
2 =
1
e >
1
4 = 1
2 ，即z ∈
1
2 ,1
，∴y < z < x．故选：D．
热考题型2 结合单调性比大小
1
已知a = 21.2，b =
1
2
-0.8
，c = 2log52，则a，b，c 的大小关系为( ) ．
A. c < b < a
B. c < a < b
C. b < a < c
D. b < c < a
答案A．
变形：b =
1
2
-0.8
= 20.8 < 21.2 ⇒1 < b < a，c = 2log52 = log54 < 1
故c < 1 < b < a，选A
1
已知x、y、z ∈R+，且xln2 = yln3 = zln5，则
(
)
A. 2x < 3y < 5z
B. 5z < 2x < 3y
C. 3y < 5z < 2x
D. 3y < 2x < 5z
答案D
解
利用对数的作商法结合对数函数的单调性可得出2x、3y、5z 的大小关系．
【详解】2x
3y = 2ln3
3ln2 = ln9
ln8 > 1，得2x > 3y；由2x
5z = 2ln5
5ln2 = ln25
ln32 < 1，得5z > 2x．
从而可得3y < 2x < 5z．
2
设a = log32，b = ln3，c = log23，则
(
)
A. c > a > b
B. b > c > a
C. a > b > c
D. c > b > a
答案D
解
因为a = log32 < log33 = 1，b = ln3 > lne = 1，c = log23 > log22 = 1，
又由对数函数的性质：当x > 1 时，底数越大，图像越低，可得log23 > ln3，
所以c > b > a，故选：D．
3
已知f(x) 是定义在(1 ,+∞) 上的单调函数，g(x) 是(0 ,+∞) 上的单调减函数，且f 2x
= f 3y
=
f 5z
，则
(
)
３０４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
305
A. g(2x) < g(3y) < g(5z)
B. g(5z) < g(2x) < g(3y)
C. g(3y) < g(5z) < g(2x)
D. g(3y) < g(2x) < g(5z)
答案B
解
f(x) 是定义在(1 ,+∞) 上的单调函数可推知2x = 3y = 5z = k > 1，表示出x，y，z，再作商法，运用
换底公式变形，比较出2x，3y，5z 的大小即可求解．
【详解】由已知得2x= 3y = 5z = k > 1，则x，y，z ∈(0 ,+∞)，所以x = log2k，y = log3k，z = log5k，
所以2x
3y = 2lgk
lg2 ⋅lg3
3lgk = lg9
lg8 > 1，则2x > 3y，2x
5z = 2lgk
lg2 ⋅lg5
5lgk = lg25
lg32 < 1，则2x < 5z，
所以0 < 3y < 2x < 5z．又因为g(x) 是(0 ,+∞) 上的单调减函数，所以g(3y) > g(2x) > g(5z)
热考题型3 去“1”法比大小
1
(重庆南开中学高一期末) 设a = 0.20.3，b = log34，c = log45，则
(
)
A. a < b < c
B. b < a < c
C. c < a < b
D. a < c < b
答案D
解析
【分析】先根据函数单调性得到a < 1，b > 1，c > 1，对b，c 利用换底公式变形后作差，结合
基本不等式，得到b > c，从而得到答案．
【详解】因为y = 0.2x单调递减，所以a = 0.20.3 < 0.20= 1，
又y = log3x 与y = log4x 均单调递增，故b = log34 > log33 = 1，c = log45 > log44 = 1，
法一：去“1”法比大小
b - 1 = log3 4
3 ，c - 1 = log4 5
4 ，结合图形可以得出b > c
法二：利用换底公式比大小
其中b = log34 = ln4
ln3 ，c = log45 = ln5
ln4 ，
ln4
ln3 - ln5
ln4 = ln24-ln3⋅ln5
ln3⋅ln4
，其中ln3 > 0，ln4 > 0，故ln3 ⋅ln4 > 0，
其中ln3 ⋅ln5 <
ln3+ln5
2
2
=
ln15
2
2
<
ln16
2
2
= ln24，
故ln4
ln3 - ln5
ln4 = ln24-ln3⋅ln5
ln3⋅ln4
> 0，所以ln4
ln3 > ln5
ln4 ，即b > c，故a < c < b．
1
已知a =
6
log 2，b =
12
log 4，c =
18
log 6，则
(
)
A. c > b > a
B. a > b > c
C. c > a > b
D. a > c > b
解【解答】解：由对数运算公式得，1
a =
2
log 6 = 1 +
2
log 3，1
b =
4
log 12 = 1 +
4
log 3，1
c =
6
log 18 =
1 +
6
log 3，易知
2
log 3 >
4
log 3 >
6
log 3，∴c > b > a．
故选：A．
2
已知a = log43，b = log53，c = log45，则
(
)
A. b < a < c
B. a < b < c
C. a < c < b
D. c < a < b
答案A
解【分析】根据对数函数单调性得到a，b ∈0,1
，c > 1，再利用换底公式和作差法得到0 < b < a <
1，比较出大小关系．
【详解】a = log43 < log44 = 1，b = log53 < log55 = 1，c = log45 > log44 = 1，
３０５
306
其中a = lg3
lg4 ，b = lg3
lg5 ，所以a - b = lg3
lg4 - lg3
lg5 = lg3× lg5-lg4
lg4×lg5
> 0，
故0 < b < a < 1，所以b < a < c．
3
已知a = log45，b = log56，c = log67，则
(
)
A. c > b > a
B. b > a > c
C. a > c > b
D. a > b > c
答案D
解【分析】由于都为正数，可用作除法，结合基本不等式和对数性质比较大小．
【详解】b
a = log56
log45 = log56 ⋅log54 <
log56+log54
2
2
=
log524
2
2
<
log525
2
2
= 1，即b < a．
c
b = log67
log56 = log67 ⋅log65 <
log67+log65
2
2
=
log635
2
2
<
log636
2
2
= 1，即c < b．
综上知道a > b > c．
热考题型4 指对互化，换底公式比大小
1
若2x= 3y = 5z > 1，则2x，3y，5z 从小到大的顺序是
A. 3y < 2x < 5z
B. 5z < 2x < 3y
C. 2x < 3y < 5z
D. 5z < 3y < 2x
答案A
解析
【详解】令2x= 3y = 5z = k，则k > 1，且2x = 2
lg2 lgk，3y = 3
lg3 lgk，5z = 5
lg5 lgk．
由于23< 32，52< 25，故3
lg3 < 2
lg2 < 5
lg5 ．
而k > 1，lgk > 0，所以，3y < 2x < 5z．
1
设a =
3
log 8，b =
0.5
log
0.2，c =
4
log 24，则
(
)
A. a < b < c
B. a < c < b
C. b < a < c
D. b < c < a
答案B
解【解答】解：a =
3
log 8 ∈(1 , 2)，
∵b =
0.5
log
0.2 =
lg 2
10
lg 5
10
= 1-lg2
1-lg5 = lg5
lg2 =
2
log 5 = log2 25，c =
4
log 24 = log2 24，
∴b > c > 2．∴a < c < b．
2
设a > 1，且实数x，y，z 满足a2x
2
= a3y
3
= a5z
5 = 1，则
(
)
A. x < y < z
B. z < x < y
C. y < z < x
D. y < x < z
答案B
解【分析】由a2x
2
= 1 整理可得x = loga2
2
，同理y = loga3
3
，z = loga5
5
，再根据a > 1 可得x，y，z
均为正数，进而利用作商法比较大小即可．
【详解】由a2x
2
= 1，可得a2x= 2，则2x = loga2，即x = loga2
2
；
同理y = loga3
3
，z = loga5
5
３０６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
307
因为a > 1，所以x，y，z 均为正数，则x
y =
loga2
2
loga3
3
= 3loga2
2loga3 = loga23
loga32 = loga8
loga9 = log98 < 1，同理
可得x
z = loga32
loga25 = log2532 > 1，y
z = loga243
loga125 = log125243 > 1，
所以z < x < y
3
设a = logo.20.3，b = log20．3，则( )。
A. a + b < ab < 0
B. ab < a + b < 0
C. a + b < 0 < ab
D. ab < 0 < a + b
答案B
解
：∵a = log0.20.3 = lg0.3
-lg5 ，b = log20.3 = lg0.3
lg2 ，
∴a + b = lg0.3
lg2
- lg0.3
lg5
= lg0.3(lg5-lg2)
lg2lg5
=
lg0.3lg 5
2
lg2lg5
，
ab =- lg0.3
lg2
﹒lg0.3
lg5
=
lg0.3﹒lg 10
3
lg2lg5
，
∵lg 10
3 > lg 5
2 ，lg0.3
lg2lg5 < 0，∴ab < a + b < 0．故选：B．
4
若t = log2x = log3y = log5z，且t <-2 则
(
)
A. 5z < 2x < 3y
B. 5z < 3y < 2x
C. 3y < 2x < 5z
D. 2x < 3y < 5z
答案B
解
根据t = log2x = log3y = log5z 即可得出2x = 2t+1，3y = 3t+1，5z = 5t+1，根据t <-2 得出t + 1 < 0，
从而根据幂函数y = xt+1的单调性即可判断2x，3y 和5z 的大小关系．
【详解】∵t =
2
log x =
3
log y =
5
log z，
∴x = 2t，2x = 2t+1，y = 3t，3y = 3t+1，z = 5t，5z = 5t+1，
∵t <-2，
∴t + 1 < 0，∴y = xt+1单调递减，
∴5t+1< 3t+1< 2t+1，
∴5z < 3y < 2x．
5
若4x= 5y = 20，z = logxy，则x，y，z 的大小关系为
(
)
A. x < y < z
B. z < x < y
C. y < x < z
D. z < y < x
答案D
解【分析】由4x = 5y = 20，可得x = log420 和y = log520，根据y = logax(a > 1) 为增函数，即可比较
三者大小．
【详解】∵4x= 5y = 20
根据指数与对数的关系和y = logax(a > 1) 为增函数：
x = log420 > log416 = 2
y = log520，由log55 < log520 < log525，即1 < log520 < 2
故1 < y < 2
∴1 < y < x
可得logxy < logxx < 1，即z < 1
３０７
308
综上：z < y < x
6
若log2x = log3y = log5z <-1，则
A. 2x < 3y < 5z
B. 5z < 3y < 2x
C. 3y < 2x < 5z
D. 5z < 2x < 3y
答案B
解【分析】利用k = log2x = log3y = log5z <-1，把x，y，z 用k 表示，并得到2x，3y，5z，构造幂
函数，利用幂函数的单调性，得到结果．
【详解】∵log2x = log3y = log5z <-1
∴设k = log2x = log3y = log5z，则k <-1，
则x = 2k，y = 3k，z = 5k
则2x = 2k+1，3y = 3k+1，5z = 5k+1
设函数f t
= tk+1，∵k <-1，∴k + 1 < 0
∴f t
在t ∈0,+∞
单调递减
f 5
< f 3
< f 2
即5k+1< 3k+1< 2k+1，因此5z < 3y < 2x
7
已知20a= 22，22b= 23，ac = b，则a，b，c 的大小关系为
(
)
A. c > a > b
B. b > a > c
C. a > c > b
D. a > b > c
答案D
解【分析】对已知等式两边分别取对数求出a，b，c，然后通过换底公式并结合基本不等式比较a，
b 的大小，从而得到a，b，c 的大小关系．
【详解】分别对20a= 22，22b= 23，ac = b 两边取对数，得a = log2022，b = log2223，c = logab．
a - b = log2022 - log2223 = lg22
lg20 - lg23
lg22 =
lg22
2-lg20⋅lg23
lg20⋅lg22
．
由基本不等式，得：
lg20 ⋅lg23 <
lg20+lg23
2
2
=
lg460
2
2
<
lg484
2
2
=
lg222
2
2
= lg22
2，
所以lg22
2- lg20 ⋅lg23 > 0，即a - b > 0，所以a > b > 1．
又c = logab < logaa = 1，所以a > b > c
8
设x、y、z 为正数，且2x= 3y = 5z，则
(
)
A. 2x < 3y < 5z
B. 5z < 2x < 3y
C. 3y < 5z < 2x
D. 3y < 2x < 5z
答案D
解【分析】x、y、z 为正数，令2x = 3y = 5z = k > 1．lgk > 0．可得x = lgk
lg2 ，y = lgk
lg3 ，z = lgk
lg5 ．
可得3y =
lgk
lg 3 3
，2x = lgk
lg 2 ，5z =
lgk
lg 5 5
．根据3 3 = 6 9 > 6 8 =
2 ，
2 = 10 32 > 10 25 = 5 5 ．
即可得出大小关系．
另解：x、y、z 为正数，令2x = 3y = 5z = k > 1．lgk > 0．可得x = lgk
lg2 ，y = lgk
lg3 ，z = lgk
lg5 ．2x
3y
= 2
3 × lg3
lg2 = lg9
lg8 > 1，可得2x > 3y，同理可得5z > 2x．
答：x、y、z 为正数，
３０８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
309
令2x= 3y = 5z = k > 1．lgk > 0．
则x = lgk
lg2 ，y = lgk
lg3 ，z = lgk
lg5 ．
∴3y = lgk
lg 3 3
，2x = lgk
lg 2 ，5z = lgk
lg 5 5
．
∵3 3 = 6 9 > 6 8 =
2，
2 = 10 32 > 10 25 = 5 5．
∴lg 3 3 > lg 2 > lg 5 5 > 0．
∴3y < 2x < 5z．
另解：x、y、z 为正数，
令2x= 3y = 5z = k > 1．lgk > 0．
则x = lgk
lg2 ，y = lgk
lg3 ，z = lgk
lg5 ．
∴2x
3y = 2
3 × lg3
lg2 = lg9
lg8 > 1，可得2x > 3y，
5z
2x = 5
2 × lg2
lg5 = lg25
lg52 > 1．可得5z > 2x．
综上可得：5z > 2x > 3y．
：对k 取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．
热考题型5 结合函数图形比大小
1
已知正实数a，b，c，满足：
1
2
a
= log2a，
1
3
b
= log2b，c = log 1
2 c，则
(
)
A. a < b < c
B. c < b < a．
C. b < c < a
D. c < a < b
答案B．图像法- - y =
1
2
x
与y = log2x 的交点横坐标即为a，y =
1
3
x
与y = log2x 的交点横坐标
即为b，y = x 与y = log 1
2 x 交点横坐标即为c，比较交点位置即可得到大小关系
1
已知实数a、b 满足等式2015a = 2016b，下列五个关系式：①0 < b < a；②a < b < 0；③0 < a <
b；④b < a < 0；⑤a = b，其中不可能成立的关系式有
(
)
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
答案B
解【分析】在同一坐标系中做出y = 2015x和y = 2016x两个函数的图象，
结合图象求解即可．
：实数a，b 满足等式2015a= 2016b，
即y = 2015x在x = a 处的函数值和y = 2016x在x = b 处的函数值相等，
由下图可知：①②⑤均有可能成立故选：B．
３０９
310
2
(多选) 已知实数a，b 满足等式3a= 6b，则下列可能成立的关系式为
(
)
A. a = b
B. 0 < b < a
C. a < b < 0
D. 0 < a < b
答案ABC
解【分析】在同一坐标系内分别画出函数y = 3x和y = 6x的图像，结合图像即可判断．
【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数y = 3x和y = 6x的图像，如图所示，
由图像知，当a = b = 0 时，3a= 6b= 1，故选项A 正确；
做出直线y = k，当k > 1 时，若3a= 6b= k，则0 < b < a，故选项B 正确；
当0 < m < 1 时，若3a= 6b= m，则a < b < 0，故选项C 正确；
当0 < a < b 时，易得2b> 1，则3a< 3b< 2b⋅3b= 6b，故选项D 错误．
故选：ABC．
3
(多选) 已知实数a，b 满足等式2a= 3b，下列五个关系式：
①0 < b < a；②a < b < 0；③0 < a < b；④b < a < 0；⑤a = b = 0
其中有可能成立的关系式有
(
)
A. ①
B. ②⑤
C. ②③
D. ④
答案AB
解【分析】画出指数函数y = 2x，y = 3x的图象，利用单调生即可得出答案．
【详解】如图所示，数y = 2x，y = 3x的图象，
由图象可知：
( 1 ) 当时x > 0，若2a= 3b，则a > b；
( 2 ) 当x = 0 时，若2a= 3b，则a = b = 0；
( 3 ) 当x < 0 时，若2a= 3b，则a < b．
综上可知，有可能成立的关系式是①②⑤．
故选：AB
３１０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
311
热考题型6 结合函数单调性与奇偶性比大小
1
(深圳高级中学高一校考期末) 已知函数f (x) = 2|x|，记a = f
1
4
1
3
，b = f log3 7
2
，c =
f log 1
3 5
，则a，b，c 的大小关系为
(
)
A. c > b > a
B. b > a > c
C. a > b > c
D. c > a > b
答案A
解析
首先判断函数f x
的性质，再比较
1
4
1
3 ，log3 7
2 ，log35 的大小关系，从而利用单调性比较
a，b，c 的大小关系．
【详解】f x
= 2 x
是偶函数，并且当x > 0 时，y = 2x是增函数，
c = f log 1
3 5
= f log35
，
因为0 <
1
4
1
3 < 1，1 < log3 7
2 < log35，即0 <
1
4
1
3 < log3 7
2 < log35
又因为y = f x
在0,+∞
是增函数，所以a < b < c
1
已知定义在R 上的函数f x
为偶函数，且f x
在区间(-∞, 0] 上是增函数，记a = f log5 1
2
，
b = f log 1
2
1
5
，c = f
1
2
1
5
，则a，b，c 的大小关系是
(
)
A. a < c < b
B. b < a < c
C. b < c < a
D. c < a < b
答案C
解【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数函数、指数函数等知识来确定a，b，c 的大小关系．
【详解】由函数y = f x
为R 上的偶函数，且在-∞,0
上是增函数，
则该函数在[0 ,+∞) 上为减函数，且有f x
= f x
，
则a = f
log5 1
2
= f log52
，b = f log 1
2
1
5
= f log25
，c = f
1
2
1
5
，
因为log52 < log5 5 = 1
2 ，log25 > log22 = 1，1
2 =
1
2
1
<
1
2
1
5 <
1
2
0
= 1，
即log52 <
1
2
1
5 < log25，由于函数y = f x
在0,+∞
上为减函数，
所以f log52
> f
1
2
1
5
> f log25
，可得b < c < a．
2
(深圳科高月考) 若偶函数f(x) 在-∞，0
上单调递减，a = f 4
2
3
，b = f log4 1
5
，c = f 2
3
2
，
３１１
312
则a、b、c 满足
(
)
A. a < b < c
B. b < a < c
C. c < a < b
D. c < b < a
答案C．可以参考开口向上，关于y 轴对称的抛物线，显然f(x) 在0，+∞
上单调递增
变形，找中间数：a = f 4
2
3
= f 2
4
3
< f 2
3
2
⇒a < c，b = f log4 1
5
= f(log45) < f(2)
3
函数f(x) 定义在实数集上，有f(-1 + x) = f(3 - x)，且当x ≥1 时，f(x) = lnx，则有
(
)
(A) f
1
3
< f(2) < f
1
2
(B) f
1
2
< f(2) < f
1
3
(C) f
1
2
< f
1
3
< f(2) (D) f(2) < f
1
2
< f
1
3
答案C
解
：根据题意，函数f(x) 定义在实数集上，有f(-1 + x) = f(3 - x)，则函数f(x) 的图象关于直线x =
1 对称，则f
1
2
= f
3
2
，f
1
3
= f
5
3
，
又由当x ≥1 时，f(x) = lnx，f(x) 在区间[1，+∞) 上为增函数，则有f
3
2
< f
5
3
< f(2)，故有
f
1
2
< f
1
3
< f(2)；
4
已知奇函数f(x) 在R 上是增函数，g (x) = xf(x)。若a = g(-log25.1)，b = g(20.8)，c = g(3)，则
a，b，c 的大小关系为( )。
A. a < b < c
B. c < b < a
C. b < a < c
D. b < c < a
解
：奇函数f(x) 在R 上是增函数，当x > 0，f(x) > f(0) = 0，
g(x) = xf(x) 偶函数，且g(x) 在(0 ,+∞) 单调递增，
∴a = g -log25.1
= g log25.1
，则2 < log25.1 < 3，1 < 20.8 < 2，
由g(x) 在(0 ,+∞) 单调递增，则g 20.8
< g log25.1
< g(3)，∴b < a < c
5
已知奇函数f x
在R 上是增函数，g x
= x
f x
，a = g -log25.1
，
b = g 20.8
，
c = g 3
，则a，
b，
c 的大小关系为
(
)
A. b < a < c
B. c < b < a
C. a < b < c
D. b < c < a
答案A
解【分析】根据已知判断g x
= x
f x
的奇偶性和单调性，进而判断函数值的大小．
【详解】奇函数f x
在R 上是增函数，则当x > 0 时，f x
> f 0
= 0，且f(x) > 0，
∴g x
= x
f x
，则g(x) = f(x) + xf(x) > 0，
∴g x
在0,+∞
单调递增，
又g -x
=-xf -x
=-x· -f x
= xf x
= g x
，则g x
为偶函数．
∴a = g -log25.1
= g
log25.1
，则1 <
20.8 < 2 <
log2
5.1 < 3，
则g
20.8
< g log25.1
< g 3
，所以b < a < c ．
故选：A
6
已知f(x) = xh(x)，其中h(x) 是奇函数且在R 上为增函数，则
(
)
A. f log2 1
3
> f 2
- 3
2
> f 2
- 2
3
B. f 2
- 3
2
> f 2
- 2
3
> f log2 1
3
３１２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
313
C. f log2 1
3
> f 2
- 2
3
> f 2
- 3
2
D. f 2
- 2
3
> f 2
- 3
2
> f log2 1
3
答案C
解【分析】判断函数f(x) = xh(x) 的奇偶性和单调性，继而判断log2 1
3 ，2
- 3
2 ，2
- 2
3 的取值范围和大小
关系，结合函数的奇偶性和单调性，即可比较大小，即得答案．
【详解】由于h(x) 是奇函数且在R 上为增函数，故h(0) = 0，
当x > 0 时，h(x) > h(0) = 0，且f(x) = xh(x) 为偶函数，
且f(x) = xh(x) 在(0 ,+∞) 上单调递增，在(-∞, 0) 上单调递减，
又log2 1
3 < 0 < 2
- 3
2 < 2
- 2
3 < 1 < log23，
故f log2 1
3
= f -log23
= f log23
> f 2
- 2
3
> f 2
- 3
2
【题型
【题型10
10】对数型复合函数的单调性
】对数型复合函数的单调性
对数型复合函数的单调问题
1、模板解决思路：判断复合函数单调性的原则是“同增异减”．
2、模板解决步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
热考题型1 已知对数型复合函数的解析式求单调区间
1
函数f x
= ln x2-2x-8
的单调递增区间是
(
)
A.
-∞，-2
B.
-∞，-1
C.
1，+∞
D.
4，+∞
答案D
解析
由题知f x
的定义域为-∞,-2
∪4,+∞
，
令t = x2- 2x - 8，则y = lnt，函数单调递增，
当x ∈-∞,-2
时，t 关于x 单调递减，f x
关于x 单调递减，
当x ∈4,+∞
时，t 关于x 单调递增，f x
关于x 单调递增，
故f x
的递增区间为4,+∞
．故选：D．
1
函数f(x) = log 1
2 (-x2+ 3x + 4) 的单调增区间为
(
)
A.
-1, 3
2
B.
-∞,- 3
2
C.
3
2 ,4
D.
3
2 ,+∞
答案C
解
由-x2+ 3x + 4 > 0 ⇒-1 < x < 4，
二次函数y =-x2+ 3x + 4 的对称轴为：x = 3
2 ，
所以二次函数的单调递增区间为-1, 3
2
，递减区间为
3
2 ,4
，
３１３
314
而函数y = log 1
2 x 是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知：
函数f(x) = log 1
2 (-x2+ 3x + 4) 的单调增区间为
3
2 ,4
，故选：C
2
函数f x
= log 2
3 -x2+4x-3
的单调递增的区间是
(
)
A.
1,2
B.
-∞,2
C.
2,3
D.
3,+∞
答案C
解【详解】由题意得-x2+ 4x - 3 > 0，解得1 < x < 3，
设t =-x2+ 4x - 3，即求函数t =-x2+ 4x - 3 在1,3
中的减区间，即2,3
．
3
已知函数f(x) = loga(x2+ 2x - 3)，若f(2) > 0，则此函数的单调递增区间是
．
答案(1 ,+∞)
解【详解】由题意，令x2 + 2x - 3 > 0，解得x <-3 或x > 1，故函数f(x) 的定义域为(-∞,-3) ∪(1 ,
+∞)，
f(2) =
a
log
22+2×2-3
=
a
log 5 > 0，得a > 1，
令t = x2+ 2x - 3 = (x + 1)2- 4，则f(x) =
a
log t(a > 1)，
根据复合函数的单调性，即求t = (x + 1)2- 4 在定义域内的增区间，
由二次函数的性质，t = (x + 1)2- 4 的增区间为(1 ,+∞)，
所以函数f(x) 的单调递增区间为(1 ,+∞)．
4
函数f(x) = log 1
3 (3x2- 2x - 1) 的减区间为
(
)
A. (1 ,+∞)
B.
1
3 ,+∞
C.
-∞, 1
3
D.
-∞,- 1
3
答案A
解【详解】令3x2- 2x - 1 > 0，解得x > 1 或x <- 1
3 ，则f x
的定义域为-∞,- 1
3
∪1,+∞
，
令u = 3x2- 2x - 1，y = log 1
3 u 在u ∈(0 ,+∞) 上单调递减，
又u = 3x2- 2x - 1 在-∞,- 1
3
上单调递减，所以f x
在-∞,- 1
3
上单调递增，
u = 3x2- 2x - 1 在1,+∞
上单调递增，所以f x
在1,+∞
上单调递减
热考题型2 根据对数型复合函数的单调性求参数范围
1
若函数f x
= ln x2-ax-1
在区间1,+∞
上是单调增函数，则实数a 的取值范围是
．
答案
-∞,0
解析
由函数f x
= ln x2-ax-1
在区间1,+∞
上是单调增函数，
只需函数y = x2- ax - 1 在1,+∞
上是单调增函数，且当x > 1 时x2- ax - 1 > 0 恒成立，
所以满足
a
2 ≤1,
1-a-1≥0,
解得a ≤0．
1
若函数f x
= log 1
2 xlog2(ax) 在
1
4 ,+∞
上单调递减，则实数a 的取值范围是
．
答案
16,+∞
解【分析】换元法转化为二次函数的给定区间的单调性求解．
【详解】f x
=-log2xlog2(ax) =-log2x log2x+log2a
=- log2x
2- log2a ⋅log2x，
令t = log2x ∈-2,+∞
，为增函数，
３１４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
315
所以g t
=-t2- log2a
t，所以g t
=-t2- log2a
t 在t ∈-2,+∞
单调递减，
所以t0=- log2a
2
≤-2，即log2a ≥4，解得a ≥16
2
已知f(x) = log 1
2 x2-ax+3a
在区间[2，+∞) 上为减函数，则实数a 的取值范围是
．
答案(-4，4]
解
二次函数y = x2- ax + 3a 的对称轴为x = a
2 ，
由已知，应有a
2 ≤2，且满足当x ≥2 时y = x2- ax + 3a > 0，
即
a
2 ≤2,
4-2a+3a>0,
解得-4 < a ≤4．
故答案为：(-4，4]
3
已知f(x) 是定义在R 上的偶函数，且在0,+∞
上为增函数，f
1
3
= 0，则不等式f log 1
8 x
> 0
的解集为
．
答案
0, 1
2
∪(2 ,+∞)
解【分析】根据偶函数的性质及函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再结合对数函
数的性质计算可得．
【详解】因为f(x) 是定义在R 上的偶函数，且在0,+∞
上为增函数，
所以f x
在-∞,0
上单调递减，又f
1
3
= 0，则f - 1
3
= f
1
3
= 0，
所以x > 1
3 时f x
> 0，x <- 1
3 时f x
> 0，- 1
3 < x < 1
3 时f x
< 0，
所以不等式f log 1
8 x
> 0 等价于log 1
8 x > 1
3 或log 1
8 x <- 1
3 ，
即- 1
3 log2x > 1
3 或- 1
3 log2x <- 1
3 ，
即log2x <-1 或log2x > 1，
得0 < x < 1
2 或x > 2，即不等式f log 1
8 x
> 0 的解集为0, 1
2
∪(2 ,+∞)．
4 “a ≤1”是“函数f x
= lg x2-ax+ 1
2
在1,+∞
上单调递增”的() 条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
答案A
解【详解】因为函数f x
= lg x2-ax+ 1
2
在1,+∞
上单调递增，
所以x ∈1,+∞
时x2- ax + 1
2 > 0 恒成立且y = x2- ax + 1
2 在1,+∞
上单调递增，
所以
a
2 ≤1
1-a+ 1
2 ≥0
⇒a ≤3
2 ，则a ≤1 是“函数f x
= lg x2-ax+ 1
2
在1,+∞
上单调递增”的充
分不必要条件．
5
若函数f x
= log2 2x-ax2
(a > 0) 在区间1, 3
2
上为减函数，则a 的取值范围是
．
答案
1, 4
3
解【详解】由复合函数单调性可得，
３１５
316
函数u(x) = 2x - ax2(a > 0) 在区间1, 3
2
上为严格减函数，且u(x) > 0，
则
1
a ≤1
a>0
2× 3
2 -
3
2
2a≥0
，解之得1 ≤a ≤4
3 ．
6
设函数f x
= log 1
2 x+ a
x
在区间1,+∞
上单调递减，则a 的取值范围是
(
)
A.
-∞,1
B.
0,1
C.
-1,1
D.
1,+∞
答案C
解【详解】f x
= log 1
2 x+ a
x
在1,+∞
单调递减上单调递减，
根据复合函数的单调性可得x + a
x 在区间1,+∞
上单调递增，
当a > 0 时，x + a
x 在
a,+∞
单调递增，需满足
a ≤1，
当a = 0 满足题意，
当a < 0 时，x + a
x 在0,+∞
单调递增，则在区间1,+∞
上单调递增
又需满足真数x + a
x > 0，则最小值1 + a
1 > 0，即a >-1，
综上-1 < a ≤1．
故选：C．
7
已知函数y = log2 ax2-x
在区间1,2
上单调递增，则a 的取值范围为
(
)
A.
0, 1
2
B.
1
2 ,1
C.
1
2 ,+∞
D.
1,+∞
答案D
解【详解】因为函数y = log2 ax2-x
在区间1,2
上单调递增，y = log2x 为增函数，
所以函数y = log2 ax2-x
在区间1,2
上有意义，且y = ax2- x 在1,2
上单调递增，
所以a ≠0，则
a>0
1
2a ≤1
a-1≥0
或
a<0
1
2a ≥2
a-1≥0
，解得a ≥1，所以a 的取值范围为1,+∞
．
【题型
【题型11
11】解对数不等式
】解对数不等式
解对数不等式时，首先确定对数的定义域，然后利用对数函数的单调性去掉对数，转化为代数不等式求
解。注意验证解是否符合原不等式定义域，最后写出解集。
热考题型1 解对数型不等式
1
设
a
log 2
3 < 1(0 < a < 1)，则a 的取值范围是
(
)
A.
2
3 ,1
B. (0 , 1)
C.
0, 2
3
D.
0，2
3
答案C
解析
由loga 2
3 < 1，得：loga 2
3 < logaa，因为0 < a < 1，所以a < 2
3 ，取交集得：0 < a < 2
3 ．
所以a 的取值范围是0, 2
3
，故选：C．
３１６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
317
2
若实数x 满足不等式log2 x2-2x
> log2 x+4
，则实数x 的取值范围是
．
答案
-4,-1
∪4,+∞
解析
∵log2 x2-2x
> log2 x+4
，∴
x2-2x>x+4
x2-2x>0
x+4>0
，解得x > 4 或-4 < x <-1．
1
已知实数a > 0，且满足不等式33a+2 > 34a+1，则不等式loga(3x + 2) < loga(8 - 5x) 的解集为
．
答案
3
4 , 8
5
解
因为33a+2 > 34a+1，所以3a + 2 > 4a + 1 ⇒a < 1，而a > 0，则0 < a < 1，于是
3x+2>0
8-5x>0
3x+2>8-5x
⇒x
∈
3
4 , 8
5
．
2
不等式log 1
2 2x+3
< log 1
8 5x-6
3的解集是
．
答案
6
5 ,3
解【详解】易知log 1
8 5x-6
3= log
1
2
3 5x-6
3= log 1
2 5x-6
，
由log 1
2 2x+3
< log 1
8 5x-6
3可得log 1
2 2x+3
< log 1
2 5x-6
；
又函数log 1
2 x 在0,+∞
为单调递减，
所以可得
2x+3>0
5x-6>0
2x+3>5x-6
，解得6
5 < x < 3．
3
若函数f 2x-1
的定义域为-1,1
，则函数f log2x-1
的定义域为
答案
2,4
解【分析】由x 的取值范围求出2x- 1 的取值范围，再令- 1
2 ≤log2x - 1 ≤1，求出x 的范围即可．
【详解】当x ∈-1,1
时2x∈
1
2 ,2
，所以2x- 1 ∈- 1
2 ,1
，
所以log2x - 1 ∈- 1
2 ,1
，即- 1
2 ≤log2x - 1 ≤1，则1
2 ≤log2x ≤2，
即log2 2 ≤log2x ≤log24，解得
2 ≤x ≤4，
所以函数f log2x-1
的定义域为
2,4
．
热考题型2 结合函数性质解不等式
1
已知函数f x
= log3 -x2+4x+a-1
的最大值为2，则a =
．
答案6
解析
【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得．
【详解】因为函数f x
= log3 -x2+4x+a-1
由y = log3t，t > 0 与t =-x2+ 4x + a - 1 复合而成，
而y = log3t 在定义域上单调递增，所以当t =-x2 + 4x + a - 1 取最大值时，函数y = log3t 取得最大
值，
由二次函数的性质易知当x = 2 时，tmax = a + 3，此时f(x)max = log3 a+3
，所以log3 a+3
= 2，解
得a = 6．
３１７
318
2
设函数f x
= lg x2+1
，则使得f 3x-2
> f x-4
成立的x 的取值范围为
(
)
A.
1
3 ,1
B.
-1, 3
2
C.
-∞, 3
2
D.
-∞,-1
∪
3
2 ,+∞
答案D
解析
方法一：∵f x
= lg x2+1
∴由f 3x-2
> f x-4
得lg
3x-2
2+1
> lg
x-4
2+1
，
则3x-2
2+ 1 > x-4
2+ 1，解得x <-1 或x > 3
2 ．
方法二：根据题意，函数f x
= lg x2+1
，其定义域为R，
有f -x
= lg x2+1
= f x
，即函数f x
为偶函数，
设t = x2+ 1，则y = lgt，
在区间0,+∞
上，t = x2+ 1 为增函数且t ≥1，y = lgt 在区间1,+∞
上为增函数，
则f x
= lg x2+1
在0,+∞
上为增函数，
f 3x-2
> f x-4
⇒f 3x-2
> f x-4
⇒3x-2
> x-4
，
得x <-1 或x > 3
2 ，故选：D．
1
设函数
为偶函数．
(1) 求k 的值；
(2) 写出函数
的单调性(不需证明)，并解不等式f(2x - 1) > f(x + 1)．
答案(1)1
(2) 单调性见解析，不等式解集为
解【分析】(1) 根据
得到方程，求出
；
(2) 根据定义法得到函数的单调性，并根据单调性解不等式．
【详解】(1) ∵f x
为定义在R 上的偶函数，
∴
，即
，
故
，即
，
得
；
(2)f x
在-∞,0
上单调递减，在0,+∞
上单调递增，
理由如下：
，
设
任取
，且x1> x2，
则g x1
- g x2
= 2x1+ 2-x1- 2x2+2-x2
= 2x1- 2x2+
1
2x1 - 1
2x2
= 2x1- 2x2+ 2x2-2x1
2x1+x2
= 2x1-2x2
2x1+x2-1
2x1+x2
，
因为
，且x1> x2，
所以
，
，
３１８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
319
故
，
所以
在0,+∞
单调递增，
由复合函数同增异减可得，f(x) 在0,+∞
单调递增，
又f(x) 在R 上为偶函数，故f(x) 在-∞,0
上单调递减，
，
∴
，
得
或
，
∴不等式解集为
．
2
已知函数是定义在R 上的偶函数，且在区间0,+∞
上单调递减，若a ∈R+，且满足f log3a
+
f log 1
3 a
≤2f 2
，则a 的取值范围是
(
)
A.
1
9 ,9
B.
-∞, 1
9
C.
1
2 ,2
D.
0, 1
9
∪9,+∞
答案D
解【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数运算等知识列不等式，由此求得a 的取值范围．
【详解】依题意，f x
是偶函数，且在区间0,+∞
上单调递减，
由f log3a
+ f log 1
3 a
≤2f 2
得f log3a
+ f -log3a
= 2f log3a
≤2f 2
，
所以f log3a
≤f 2
，所以log3a ≤-2 或log3a ≥2，
所以0 < a ≤1
9 或a ≥9，
所以a 的取值范围是0, 1
9
∪9,+∞
．
3
已知函数f x
= x3 - ln
x2+1-x
+ 3，x ∈[-2023 , 2023] 的最大值为M，最小值为m，则M
+ m =
．
答案6
解【分析】构造g(x) = f(x) - 3，定义判断奇偶性，利用对称性有g(x)max + g(x)min = 0，即可求结果．
【详解】令g(x) = f(x) - 3 = x3- ln
x2+1-x
，且x ∈R，
g(x) = (-x)3- ln[ (-x)2+1 - (-x)] =-x3- ln( x2+1 + x) =-x3+ ln( x2+1 - x) =-g(x)，
所以g(x) 为奇函数，且在x ∈[-2023 , 2023] 上连续，
根据奇函数的对称性：g(x) 在x ∈[-2023 , 2023] 上的最大、最小值关于原点对称，
则g(x)max + g(x)min = M - 3 + m - 3 = 0，故M + m = 6．
4
已知函数y = log2 4x-a⋅2x+a
的值域为R，则实数a 的取值范围是
．
答案(-∞, 0] ∪[4 ,+∞)
解【分析】根据题意，令t = 2x > 0，转化为g t
= t2 - a ⋅t + a，t > 0 的值域取遍一切正实数，结合
二次函数的性质，分类讨论，即可求解．
【详解】由函数y = log2 4x-a⋅2x+a
，令f x
= 4x- a ⋅2x+ a，
令t = 2x> 0，可得g t
= t2- a ⋅t + a，
要使得函数y = log2 4x-a⋅2x+a
的值域为R，
则g t
= t2- a ⋅t + a，t > 0 的值域能取遍一切正实数，
当a > 0 时，则满足Δ = (-a)2- 4a ≥0，解得a ≥4；
３１９
320
当a = 0 时，可得g t
= t2≥0，符合题意；
当a < 0 时，则满足g 0
= a < 0，此时函数g t
的值域能取遍一切正实数，符合题意，
综上可得，实数a 的取值范围为(-∞, 0] ∪[4 ,+∞)．
5
已知函数f x
= ex+e-x
2
+ ln x
，x ∈-2,0)∪(0,2
，则满足不等式f a-2
≥f 2a+1
的实数
a 的取值范围是
．
答案
0, 1
3
解【分析】根据奇偶函数的定义证明f(x) 为偶函数，易知当x ∈(0 , 2] 时函数y = ln x
单调递增，利
用定义法证明函数y = ex+e-x
2
在(0 , 2] 上单调递增，则函数f(x) 在(0 , 2] 上单调递增，利用函数的
单调性和奇偶性解不等式即可求解．
【详解】f(x) = ex+e-x
2
+ ln x
，x ∈[-2 , 0) ∪(0 , 2]，定义域关于原点对称，
则f(-x) = ex+e-x
2
+ ln x
= f(x)，所以函数f(x) 为偶函数；
当x ∈(0 , 2] 时，函数y = ln x
= lnx 单调递增，
设0 < x1< x2≤2，则ex1< ex2，ex1+x2> e0= 1，
所以ex1+e-x1
2
- ex2+e-x2
2
= 1
2 (ex2- ex1)
1
ex1+x2 -1
，
又ex2- ex1> 0，
1
ex1+x2 - 1 < 0，所以ex1+e-x1
2
- ex2+e-x2
2
< 0，
则函数y = ex+e-x
2
在(0 , 2] 上单调递增，所以函数f(x) 在(0 , 2] 上单调递增，
由f(a - 2) ≥f(2a + 1) ⇔f(|a - 2|) ≥f(|2a + 1|)，得0 < 2a+1
≤a-2
≤2，解得0 ≤a ≤1
3 ，
所以实数a 的取值范围为0, 1
3
．
6
已知函数f(x) = ex-e-x
2
+ ln( 1+x2 + x)，若不等式f(2x - 4x) + f(m ⋅2x - 2) < 0 对∀x ∈R 恒
成立，则实数m 的取值范围为
(
)
A. (-∞，2 2 + 1)
B. (-2 2 + 1，+∞)
C. (-2 2 + 1，2 2 - 1)
D. (-∞，2 2 - 1)
答案D
解【分析】先求出函数f(x) 的奇偶性和单调性，再根据得到的函数性质化简不等式，m < 2x + 2
2x -
1，最后结合基本不等式计算求解即可
【详解】∵f(x) = ex-e-x
2
+ ln( 1+x2 + x)，∴f(-x) = e-x-ex
2
+ ln( 1+x2 - x)，
∴f(-x) + f(x) = e-x-ex
2
+ ln( 1+x2 - x) + ex-e-x
2
+ ln( 1+x2 + x) = 0 + ln1 = 0，
所以f(x) = ex-e-x
2
+ ln( 1+x2 + x) 为奇函数，
f(x) = ex-e-x
2
+ ln( 1+x2 + x) 为单调增函数，
∵f(2x- 4x) + f(m ⋅2x- 2) < 0，∴f(2x- 4x) <-f(m ⋅2x- 2) = f(2 - m ⋅2x)，
∴2x- 4x< 2 - m ⋅2x，∴m ⋅2x< 2 - 2x+ 4x，∴m < 2-2x+4x
2x
= 2x+ 2
2x - 1 ∀x ∈R 恒成立，
３２０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
321
∵2x> 0，∴2x+ 2
2x - 1 ≥2
2x× 2
2x - 1 = 2 2 - 1，
∴m < 2 2 - 1．
7
已知函数f x
是定义在R 上的偶函数，当x ≤0 时，f x
单调递减，则不等式f log 1
3 2x-5
>
f log38
的解集为
．
答案
x 5
2 <x< 41
16
或x> 13
2
．
解【详解】因为函数f x
是定义在R 上的偶函数，当x ≤0 时，f x
单调递减，
所以f x
在(0 ,+∞) 上递增，
因为f x
是定义在R 上的偶函数，
所以由f log 1
3 2x-5
> f log38
，得f
log 1
3 2x-5
> f log38
，
所以log3 2x-5
> log38，
所以log3 2x-5
<-log38 或log3 2x-5
> log38，
所以0 < 2x - 5 < 1
8 或2x - 5 > 8，
得5
2 < x < 41
16 或x > 13
2 ，
所以不等式的解集为x 5
2 <x< 41
16
或x> 13
2
．
故答案为：x 5
2 <x< 41
16
或x> 13
2
．
8
已知函数f x
= ex-2+ e-x+2，则f x-1
> f 2x
的解集为
．
答案
-1, 5
3
解【分析】由解析式得f(4 - x) = f(x)，即f(x) 关于x = 2 对称，再应用定义求证x ∈(2 ,+∞) 上f(x)
单调性，结合对称性及不等式有x-1-2
> 2x-2
，即可求解集．
【详解】由f(x) =
1
ex-2 + ex-2，则f(4 - x) =
1
e2-x + e2-x= ex-2+
1
ex-2 = f(x)，
所以f(x) 关于x = 2 对称，
当x ∈2,+∞
，令x1> x2≥2，则f(x1) - f(x2) =
1
ex1-2 +ex1-2
-
1
ex2-2 +ex2-2
= (ex1-2- ex2-2) 1-
1
ex1+x2-4
，而ex1-2> ex2-2，1 -
1
ex1+x2-4 > 0，
所以f(x1) > f(x2)，即f(x) 在x ∈2,+∞
上递增，
根据对称性知：f(x) 在x ∈-∞,2
上递减，
由f x-1
> f 2x
，则x-1-2
> 2x-2
，即x-3
2> 4 x-1
2，
所以3x2- 2x - 5 < 0，即(3x - 5) (x + 1) < 0，可得-1 < x < 5
3 ，
故不等式解集为-1, 5
3
．
9
函数f x
是定义在R 上的偶函数，f 0
= 1，当x > 0 时，f x
= lnx + 2x．
(1) 函数f x
的解析式；
(2) 解不等式f log2 2x-5
> 2．
３２１
322
答案(1)f x
=
ln -x
+
1
2
x,
x<0
1,
x=0
lnx+2x,
x>0
(2) x
x> 7
2
或5
2 <x< 11
4
解【详解】(1) 当x < 0 时，-x > 0，则f x
= f -x
= ln -x
+ 2 -x
，
所以当x < 0 时，f x
= ln -x
+
1
2
x
，
所以f x
的解析式为f x
=
ln -x
+
1
2
x,
x<0
1,
x=0
lnx+2x,
x>0
．
(2) 因为函数f x
是定义在R 上的偶函数，所以f x
= f x
，因为f 1
= ln1 + 21= 2．
所以可将f log2 2x-5
> 2 等价于f log2 2x-5
> f 1
，
因为x > 0 时，f x
= lnx + 2x．
此函数在0,+∞
上是单调递增，
所以log2 2x-5
> 1，log2 2x-5
> 1 或log2 2x-5
<-1，
即2x - 5 > 2 或0 < 2x - 5 < 1
2 ，解得x > 7
2 或5
2 < x < 11
4 ，
综上所述，不等式f log2 2x-5
> 2 的解集为x
x> 7
2
或5
2 <x< 11
4
．
【题型
【题型12
12】对数函数模型的实际应用
】对数函数模型的实际应用
对数函数应用题的基本类型和求解策略
(1) 基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析
式，然后根据实际问题求解．
(2) 求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解
析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
1
某工厂产生的废气经过过滤后排放．已知过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L) 与时间
t(单位：h) 的关系为P = kat(k ∈R 且k ≠0，a > 0 且a ≠1)，其图象如下，则污染物减少60% 至
少需要的时间约为() (参考数据：lg2 ≈0.3010，lg3 ≈0.4771)
A. 23 小时
B. 25 小时
C. 42 小时
D. 44 小时
答案D
解析
【分析】由图象首先得k = P0，a = 0.81
1
10 = 0.9
1
5 ，进一步由指对互换、换底公式以及对数运算
性质即可得解．
【详解】由题意t = 0 时，P = P0= k，t = 10 时，P = 0.81P0= ka10，解得k = P0，a = 0.81
1
10 = 0.9
1
5 ，
３２２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
323
令1-60%
P0= P0at= P0 0.9
t
5 ，
得t = 5log0.90.4 = 5 lg0.4
lg0.9 = 5 × 2lg2-1
2lg3-1 ≈5 × 2×0.3010-1
2×0.4771-1 ≈43.45，
对比选项可知污染物减少60% 至少需要的时间约为44 小时．
2
一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21 个月(假设没有捕杀与其他
损耗)．那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要(
) 年lg2≈0.3
A. 23
B. 22
C. 21
D. 20
答案A
解析
【分析】设经过x 年后的一万只兔子有y 只，依题可得y = 104⋅2
12x
21 ，令y = 108，求解即可．
【详解】设经过x 年后的一万只兔子有y 只，
根据倍增期为21 个月，可得y = 104⋅2
12x
21 ，
令y = 108，则2
4x
7 = 104，两边取以10 为底的对数得，
4x
7 = 4
lg2 ，则x = 7
lg2 ≈23，故大约需要23 年，
故选：A．
1
把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是θ°C，空气的温度是θ0°C ，则tmin 后该物体的
温度θ°C 满足θ = θ0 + θ-θ0
e
- t
4 ．将温度分别为20°C 和40°C 的两块物体放入温度为30 °C 的
空气中，要使两块物体的温度之差不超过10 °C，至少要经过() (取：ln2 = 0.69 )
A. 1.38min
B. 2.76min
C. 4.14min
D. 5.52min
答案B
解【分析】根据题中定义的公式，代入相关数值，再列出不等式求解即可．
【详解】20 °C 的物体经过tmin 后的温度为θ1= 30 + 20-30
e
- t
4 < 30，
40°C 的物体经过tmin 后的温度为θ2= 30 + 40-30
e
- t
4 > 30，
由题可得，θ2- θ1= 30 + 40-30
e
- t
4 - 30+ 20-30
e
- t
4
≤10，
即e
- t
4 ≤1
2 ，解得t ≥4ln2 = 2.76，所以要使两块物体的温度之差不超过10 °C，至少要经过
2.76min
2
酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒
精含量达到20 ~ 79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车．
假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果停止喝酒以后，
他血液中的酒精含量会以每小时25% 的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(其中
取lg2 = 0.30，lg3 = 0.48)
(
)
A. 7 小时
B. 6 小时
C. 5 小时
D. 4 小时
答案B
解【分析】根据已知条件列不等式，由此求得正确答案．
【详解】设需要休息x 小时，依题意，100 × 1-25%
x= 100 ×
3
4
x
< 20，
３２３
324
3
4
x
< 2
10 ，两边取以10 为底的对数得xlg 3
4 < lg 2
10 ，
所以x > lg2-lg10
lg3-lg4 =
lg2-1
lg3-2lg2 =
0.3-1
0.48-2×0.3 = 0.7
0.12 ≈5.8，
所以至少需要6 小时．
3
由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技
公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”，实现
芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入．若该公司计划在2024 年全年投入芯片制造研发资金
60 亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开
始超过100 亿元的年份是
．
(参考数据：lg1.09 ≈0.037，lg2 ≈0.3010，lg3 ≈0.4771)
答案2030
解【分析】根据题意列不等式，即可根据对数的性质求解．
【详解】依题意，设还需要n 年，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过100 亿元，
则60 1+9%
n> 100，故nlg1.09 > lg 5
3 ，
所以n > lg5-lg3
lg1.09
= 1-lg2-lg3
lg1.09
≈1-0.3010-0.4771
0.037
≈5.998，又n ∈N *，
所以还需要6 年，即2030 年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过100 亿元，
故答案为：2030．
4
中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用90℃的
水泡制，再等到茶水温度降至50℃时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想
到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是T0，经过tmin 后的温度
是T，则T - Tα = T0-Tα
e
- t
h e≈2.71828⋯
，其中Tα 表示环境温度，h 为常数．该研究小组经
过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是90℃，放在10℃的室温中，10min 以后茶水的温度是70℃，
在上述条件下，大约需要再放置
min 能达到最佳饮用口感．(结果精确到0.1，参考数据：
ln2 ≈0.7，ln3 ≈1.1)
答案13.3
解【分析】根据题意列出等式，可得10
h = 2ln2 - ln3，根据条件列出方程，解出即可．
【详解】由题意得，70 - 10 = 90-10
e
- 10
h ，
即e
- 10
h = 3
4 ，则10
h = 2ln2 - ln3．
设大约需要再放置tmin 能达到最佳饮用口感，
则50 - 10 = 90-10
e
- t+10
h ，即e
- t+10
h = 1
2 ，
则t+10
h
= ln2，所以
10
t+10 = 2ln2-ln3
ln2
，
得t = 10ln3-10ln2
2ln2-ln3
= 10×1.1-10×0.7
2×0.7-1.1
= 40
3 ≈13.3．
5 “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保
意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染
３２４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
325
物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm3，若要使
该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为(参考数据：lg2 ≈0.3，lg3 ≈
0.477)
(
)
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
答案A
解【分析】根据题意可知过滤次数与污染物的含量关系为y = 1.2(1 - 0.2)n，在根据题意列出不等式解
出即可．
【详解】过滤第一次污染物的含量减少20%，则为1.2(1 - 0.2)；
过滤第两次污染物的含量减少20%，则为1.2(1 - 0.2)2；
过滤第三次污染物的含量减少20%，则为1.2(1 - 0.2)3；
过滤第n 次污染物的含量减少20%，则为1.2(1 - 0.2)n；
要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm3，则1.2(1 - 0.2)n≤0.2，即
5
4
n
≥6，
两边取以10 为底的对数可得lg
5
4
n
≥lg6，即nlg 5×2
8
≥lg2 + lg3，
所以n ≥lg2+lg3
1-3lg2 ，因为lg2 ≈0.3，lg3 ≈0.477，所以lg2+lg3
1-3lg2 ≈0.3+0.477
1-3×0.3 = 7.77，
所以n ≥7.77，又n ∈N *，所以nmin = 8，故排放前需要过滤的次数至少为8 次．
6
(华南师大附中高一期末) 如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将
块
这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5 倍．(参考数据：lg2 ≈0.3010，
lg3 ≈0.4771．)
答案7
解【分析】构造不等式1-10%
n< 1
2 ，利用对数运算法则解不等式可求得结果．
【详解】假设需要n 块这样的玻璃，则1-10%
n< 1
2 ，∴n > log0.9 1
2 =-log0.92，
∴n >
-lg2
lg9-lg10 =
lg2
1-2lg3 ≈6.6，
∴至少需要7 块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的1
2 ．
7
把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ°
1C，空气的温度是θ°
0C，经过t 分钟后物体的
温度θ°C 可由公式：θ = θ0 + (θ1 - θ0)e-kt 求得．其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的
大于0 的常数．现有100°C 的物体，放在10°C 的空气中冷却，5 分钟以后物体的温度是40°C，则
k 约等于() (参考数据：ln3 ≈1.099)
A. 0.22
B. 0.27
C. 0.36
D. 0.55
解【解答】解：由题意可得，40 = 10 + (100 - 10)e-5k，
∴e-5k= 1
3 ，
∴lne-5k= ln 1
3 ，即-5k =-1.099，
∴k = 1.099
5
≈0.22．
３２５
326
故选：A．
8
2008 年我国人口总数为14 亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则
年我国人口将
超过20 亿．(lg2 ≈0.3010，lg3 ≈0.4771，lg7 ≈0.8451)
答案2037
解【分析】根据条件，列出不等式，再利用对数运算解不等式即可．
【详解】
由题意，列方程得：
14 1+1.25%
x-2008> 20
．∴1+1.25%
x-2008> 20
14 = 10
7 ，
∴x - 2008 > log 1+1.25%
10
7 =
lg 10
7
lg 81
80
=
1-lg7
4lg3-3lg2-1 ≈28.7
9
根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N
约为1080．已知0.4771 < lg3 < 0.4772，则下列各数中与M
N 最接近的是
(
)
A. 1033
B. 1053
C. 1073
D. 1093
解【解答】解：∵围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，
可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．
∴M ≈3361，N ≈1080，
根据对数性质有3 = 10lg3 ≈100.477，
∴M ≈3361≈(100.477)361≈10172.2，
∴M
N ≈10172.2
1080
= 1092.2 ≈1093，
10
当生物体死亡后，它机体内的碳14 含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730 年衰减为原来的
一半，这个时间称为“半衰期” ．2021 年3 月23 日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星
堆新发现K4 坑的部分炭屑样品使用碳14 年代检测方法进行了分析，发现碳14 含量衰减为原来的
67.90%，则该遗址距今约() 年．(参考数据：
2
log 0.6790 =-0.5585)
A. 3000
B. 3100
C. 3200
D. 3300
解【解答】解：设生物体死亡后，碳14 每年衰减为原来的p，
依题意，有(1 - p)5730= 1
2 ，1 - p = 2
-
1
5730，
设距今约t 年，碳14 衰减为原来的(1 - p)t= 2
-
1
5730
t= 67.90%，
结合参考数据：-
t
5730 =
2
log 0.6790 =-0.5585，可得t ≈3200．
故选：C．
11
当生物体死亡后，它机体内的碳14 含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730 年衰减为原来的
一半，这个时间称为“半衰期”．2021 年3 月23 日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆
新发现K 4 坑的炭屑样品使用碳14 年代检测方法进行了分析，发现碳14 含量衰减为原来的
３２６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
327
68.73%，则该遗址距今约() 年．(参考数据：
2
log 0.6873 =-0.541)
A. 3300
B. 3200
C. 3100
D. 3000
解【解答】解：设该遗址距今约x 年，衰减率为p，
则有(1 - p)5730= 1
2 ，则1 - p =
1
2
1
5730，
故p = 1 -
1
2
1
5730，
由题意可得，(1 - p)x= 0.6873，
则
1
2
x
5730 = 0.6873，
故
x
5730 = log 1
2 0.6873 = 0.541，
所以x = 5730 × 0.541 = 3099.93 ≈3100，
则该遗址距今约3100 年．
故选：C．
12
为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超
过0.09mg/mL．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到
0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%．那么此人在
开车前至少要休息() (参考数据：lg2 ≈0.301，lg3 ≈0.477)
A. 4.1 小时
B. 4.2 小时
C. 4.3 小时
D. 4.4 小时
解【解答】解：设经过x 小时，血液中的酒精含量为y，
则y = 0.3 × (1 - 25%)x= 0.3 × 0.75x，
由0.3 × 0.75x≤0.09，得0.75x≤0.3，
则xlg0.75 ≤lg0.3，
因为lg0.75 < 0，所以x ≥lg0.3
lg0.75 =
lg3-1
lg3-lg4 ≈
0.477-1
0.477-0.602 = 523
125 = 4.184 ≈4.2，
所以开车前至少要休息4.2 小时，
故选：B．
13
基本再生数R0 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平
均人数，世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指
数模型：I(t) = ert 描述累计感染病例数I(t) 随时间t(单位：天) 的规律，指数增长率与R0，T 近
似满足R0 = 1 + rT，有学者基于已有数据估计出R0 = 3.28，T = 6，据此，在新冠肺炎疫情初始
阶段累计感染病例数增加1 倍需要的时间为() (参考数据：ln2 ≈0.69)
A. 约1.8 天
B. 约2.6 天
C. 约3.5 天
D. 约6.9 天
解【解答】解：把R0= 3.28，T = 6 代入R0= 1 + rT，
可得3.28 = 1 + 6r，解得r = 3.28-1
6
= 0.38，
所以I(t) = e0.38t，
设感染病例数增加1 倍需要的时间为t1，
因为感染病例增加1 倍，感染病例数变为原来的2 倍，
３２７
328
所以e0.38(t+t1)= 2e0.38t，则e0.38t1= 2，
两边取对数可得0.38t1= ln2，解得t1= ln2
0.38 ≈0.69
0.38 ≈1.8，
所以在新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加1 倍需要的时间约为1.8 天，则判断错误的有
BCD．故选：A．
【题型
【题型13
13】反函数对称性质的运用
】反函数对称性质的运用
指数函数
(a > 0 且a ≠1) 与对数函数
(a > 0 且a ≠1) 互为反函数
反函数是高中数学中并不太重视的一个知识点，从大的角度讲，反函数是对称这个大家族中的一员。对
称是高考考察的热点及难点之一，线的对称本质上是点的对称，利用点与点之间的对称关系去理解线与
线之间的对称关系，是学好这一块内容的最佳途径，参考题中的信息，先要找到互为反函数，且互为反
函数关于y = x 对称。可以求唯一公共点坐标、定值问题、参数问题。
1
若实数a 满足ex+ x - 2 = 0，实数b 满足lnx + x - 2 = 0，则a + b =
解析
[解析] 同底数的指数函数和对数函数互为反函数，图像关于y = x 对称，可知x = a 是函数y =
ex 和y =-x + 2 交点的橫坐标，同理x = b 是函数y = lnx 与y =-x + 2 交点的横坐标，且y =-x + 2
与y = x 垂直，作出图像
y=x
y=-x+2
⇒x = 1，所以x = a，x = b 关于x = 1 对称，所以a + b = 2
2
若x1 满足2x + 2x= 5，x2 满足2x + 2log2(x - 1) = 5，x1 + x2 =
(
)
A. 5
2
B. 3
C. 7
2
D. 4
答案C
解析
法1：反函数对称性
将2x + 2x= 5，2x2+ 2
2
log (x2- 1) = 5 分别变为2x-1=-x + 5
2 ，log2(x - 1) =-x + 5
2
令f1(x) = 2x-1，f2(x) = log2(x - 1)，f3(x) =-x + 5
2 ，
３２８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
329
因为2x与log2x 关于y = x 对称，
所以f1(x)，f2(x) 关于y = x - 1 对称，
从而它们与f3(x) 的交点也关于y = x - 1 对称，
易求出f3(x) 与y = x - 1 的交点为
7
4 , 3
4
，
所以x1+ x2= 2 × 7
4 = 7
2 ．
法2：同构式
第一步对式子变形：
2x1+ 2x1= 5 ⇒x1-1
+ 2x1-1= 3
2 ①
2x2+ 2log2(x2- 1) = 5 ⇒x2-1
+ log2(x2- 1) = 3
2 ②
第二步：继续变形得到同结构t + 2t
x2- 1 = 2log2 x2-1
代入②式可得2log2 x2-1
+ log2(x2- 1) = 3
2
第三步：构造方程、函数模型
令t + 2t= 3
2 ，可知x1- 1 和log2(x2- 1) 是方程的2 个根；
令h(x) = t + 2t，显然h(x) 为增函数，所以x1- 1 = log2(x2- 1)
把②式代入可得x1- 1 = 3
2 - x2-1
，得x1+ x2= 7
2 故选：C．
1
设方程2x+ x + 3 = 0 和方程log2x + x + 3 = 0 的根分别为p，q，设函数f x
= x+p
x+q
，则
(
)
A. f 2
= f 0
< f 3
B. f 0
= f 3
> f 2
C. f 3
< f 2
= f 0
D. f 0
< f 3
< f 2
答案B
解
由2x+ x + 3 = 0 得2x=-x - 3，由log2x + x + 3 = 0 得log2x =-x - 3，
所以令y = 2x，y = log2x，y =-x - 3，这3 个函数图象情况如下图所示：
设y = 2x，y =-x - 3 交于点B，y = log2x，y =-x - 3 交于点C，
由于y = 2x，y = log2x 的图象关于直线y = x 对称，
而y =-x - 3，y = x 的交点为A - 3
2 ,- 3
2
，所以p+q
2
=- 3
2 ，
注意到函数f x
= x+p
x+q
= x2+ p+q
x + pq 的对称轴为直线x =- p+q
2
，即x = 3
2 ，
且二次函数f x
的图象是开口向上的抛物线方程，
从而f 0
= f 3
> f 2
．
2
设a、b 分别是方程log2x + x + 2 = 0 与2x+ x + 2 = 0 的根，则a + b =
．
３２９
330
答案-2
解【分析】根据函数y2 = 2x 与y1 = log2x 互为反函数，图象关于y = x 对称，联立y = x 与y =-x - 2，
即可根据对称求解．
【详解】由log2x + x + 2 = 0 可得log2x =-x - 2，由2x+ x + 2 = 0 可得2x=-x - 2，
所以a 是y1= log2x 与y =-x - 2 的交点横坐标，
b 是y2= 2x与y =-x - 2 的交点横坐标，
由于函数y2= 2x与y1= log2x 互为反函数，图象关于y = x 对称，
联立y = x 与y =-x - 2 可得x =-1，
故a + b =-2，
故答案为：-2
3
已知x1是函数f x
= ex+ x - 2 的零点，x2是函数g x
= e4-x- x + 2 的零点，则x1+ x2的值为
(
)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
答案B
解【分析】由题意可得f(x) 的零点为函数y = ex 与y = 2 - x 交点的横坐标，g(x) 的零点为函数y =
e4-x与y = x - 2 交点的横坐标，再由函数图象的对称性可求得结果．
【详解】由题意可得f(x) 的零点为函数y = ex与y = 2 - x 交点的横坐标，
因为y = ex和y = x - 2 在R 上递增，所以f x
= ex+ x - 2 在R 上递增，
所以x1为f(x) 唯一的零点，设函数y = ex与y = 2 - x 交点为A，
g(x) 的零点为函数y = e4-x与y = x - 2 交点的横坐标，
因为y = e4-x和y = 2 - x 在R 上递减，所以g x
= e4-x- x + 2 在R 上递减，
所以x2为g(x) 唯一的零点，设函数y = e4-x与y = x - 2 交点为B，
因为y = ex与y = e4-x的图象关于直线x = 2 对称，y = 2 - x 与y = x - 2 的图象关于直线x = 2 对称，
所以A，B 关于直线x = 2 对称，所以x1+ x2= 4．
故选：B
３３０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
331
4
已知函数y = ex和y = lnx 的图象与直线y = 2 - x 交点的横坐标分别为a，b，则
(
)
A. a > b
B. a + b < 2
C. ab > 1
D. a2+ b2> 2
答案D
解
作出函数y = ex和y = lnx 的图象以及直线y = 2 - x 的图象，如图，
由函数y = ex和y = lnx 的图象与直线y = 2 - x 交点的横坐标分别为a，b，
结合图象可知0 < a < b，A 错误；
由题意知A(a，ea)，B(b , lnb)，也即A(a , 2 - a)，B(b , 2 - b)，
由于函数y = ex和y = lnx 互为反函数，
二者图象关于直线y = x 对称，而A，B 为y = ex和y = lnx 的图象与直线y = 2 - x 的交点，
故A，B 关于y = x 对称，故a = 2 - b，∴a + b = 2，B 错误；
由0 < a < b，a + b = 2，故ab <
a+b
2
2
= 1，C 错误；
因为0 < a < b，故a2+ b2> 2ab，∴2(a2+ b2) > (a + b)2，
结合a + b = 2，即得a2+ b2> 2，D 正确
5
已知函数f(x) = 2x + x + 1，g(x) = log2x + x + 1，h(x) = x3 + x + 1 的零点分别是a，b，c，则
a，b，c 的大小顺序为
(
)
A. b > c > a
B. c > a > b
C. b > a > c
D. a > b > c
答案A
解【详解】令f(x) = 0，g(x) = 0，h(x) = 0，
得2x=-x - 1，log2x =-x - 1，x3=-x - 1，
则a 为函数y = 2x与y =-x - 1 交点横坐标，
b 为函数y = log2x 与y =-x - 1 交点横坐标，
c 为函数y = x3与y =-x - 1 交点横坐标，
在同一直角坐标系中，分别做出y = 2x，y = log2x，y = x3和y =-x - 1 的图像，如图所示，
３３１
332
由图可知，b > c > a
6
已知x1，x2分别是关于x 的方程xlnx = 2023，xex= 2023 的根，则下面为定值2023 的是(
)
A. x1+ x2
B. x1- x2
C. x1x2
D. x1
x2
E. 均不是
答案C
解
由已知条件可知，lnx = 2023
x
，ex= 2023
x
，
令y1= lnx，y2= ex，y3= 2023
x
，
如图所示，
曲线y1与曲线y2关于直线y = x 对称，曲线y3关于直线y = x 对称，
设曲线y3分别与曲线y2，y1交于点A x1, 2023
x1
，B x2, 2023
x2
，
则点A，B 关于直线y = x 对称，
而点A x1, 2023
x1
关于直线y = x 对称的点为
2023
x1
,x1
，即为点B x2, 2023
x2
，
则x2= 2023
x1
，即x1x2= 2023．
【题型
【题型14
14】等高线问题
】等高线问题
等值线问题
等值线本是地理学中的名词，借用到数学中来便有其特殊的含义．对于函数f(x)，若存在互不相等的实
数a，b，c，使f(a) = f(b) = f(c) = t，则称直线为函数的等高线．解决等高线问题时，要注意函数本身
的整体性，遵循分段处理的原则，首先画出分段函数的图象，充分利用形的直观性与数的精确性，挖掘
函数的性质，如对称性、不变性(如定和、定积) 等，从而有效地、快速地解决问题．这类问题由四种常
见题型．
1、求等高线对应的交点横坐标之和：利用函数的对称性
2、求等高线对应的交点横坐标之积：结合对数运算
3、求以等高线对应的交点横坐标为自变量的函数值域：注意极端位置、特殊位置
4、利用等高线的性质巧求参数的值或取值范围
1
已知函数|x2+ 5x + 4| -kx 有三个零点x1，x2，x3，则x1+ x2+ x3=
(
)
A. 7
B. 8
C. 15
D. 16
３３２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
333
答案B
解析
g(x) = |x2- 5x + 4|，h(x) = kx，由题可知g(x) 与h(x) 有3 个交点，如图
则-x2+ 5x - 4 = kx 仅有一个根，解得k = 1 或k = 9(舍)，
设x1< x2< x3，则x2= 2，x1+ x3= 6，故选B
2
已知函数f x
=
log2x
,
0<x<2
2 x-3
-1,
2≤x<5
若存在实数x1 < x2 < x3 < x4，且f x1
= f x2
= f x3
=
f x4
，则
x3-2
x4-2
x1x2
的取值范围是
．
答案
0,1
解析
画出f x
的图象如图所示，
一方面，由f x1
= f x2
及x1< x2，log2x1
= log2x2
⇒log2x1=-log2x2，可得x1x2= 1；
另一方面，f x3
= f x4
及x3 < x4，2 x3-3
- 1 = 2 x4-3
- 1，所以x3-3
= x4-3
，有x3 + x4 = 6，且
2 < x3< 3，故
x3-2
x4-2
x1x2
= x3-2
x4-2
= x3-2
4-x3
∈0,1
．故答案为0,1
．
1
已知函数f x
=
x+2
,
x≤0
lgx
,
x>0
，若存在互不相等的实数a，b，c，d 满足a < b < c < d，f a
= f b
= f c
= f d
，则a + b + c + d
2 的最小值是
(
)
A. - 4 +
2
B. - 3
C. 4 +
2
D. 3
答案A
解【分析】画出函数图象，数形结合，得到a + b =-4，cd = 1，结合基本不等式求出最小值．
【详解】画出f x
=
x+2
,
x≤0
lgx
,
x>0
的图象如下：
３３３
334
由对称性可得到a + b =-4，且-lgc = lgd，即cd = 1，
故c + d
2 ≥2
cd
2 =
2，当且仅当c = d
2 ，即c =
2
2 ，d =
2 时，等号成立，
故a + b + c + d
2 的最小值为-4 +
2．
2
已知函数f x
= lnx
，若f x
= 1，则x =
；若0 < a < b，且f a
= f b
，则a + b 的取
值范围是
．
答案e 或1
e
2,+∞
解【分析】根据对数运算求解方程；根据对数函数的图象，即可去绝对值，再结合基本不等式，即可
求解a + b 的取值范围．
【详解】f x
= lnx
= 1，得x = e 或x = 1
e ；
由题意可知，lna
= lnb
，
由函数图象可知，0 < a < 1 < b，则-lna = lnb，
即lna + lnb = lnab = 0，则ab = 1，
a + b > 2 ab = 2 0<a<b
，
所以a + b 的取值范围是2,+∞
．
3
(多选) 设函数f x
=
log2x
,
0<x≤2
22-x,
x>2
，若实数a，b，c 满足0 < a < b < c，且f a
= f b
=
f c
．则下列结论恒成立的是
(
)
A. abc > 2
B. a + 2b > 3
C. f a
< f
b
2
D. f a+b
> f c+ 1
2
答案ABD
解【分析】根据函数图象找出实数a，b，c 的范围，求出ab = 1，对不成立的结论可举反例，对恒成
立的结论结合对勾函数的性质进行论证．
【详解】画出函数图象，如图，
３３４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
335
因为0 < a < b < c，且f a
= f b
= f c
，f
1
2
= f 2
= 1．
所以1
2 < a < 1 < b < 2 < c．且-log2a = log2b 即ab = 1．
对A，因为ab = 1，所以abc = c > 2，故A 正确；
对B，因为ab = 1，所以a + 2b = a + 2
a ，由对勾函数的性质知函数f a
= a + 2
a 在a ∈
1
2 ,1
上为
单调减函数，则f a
> f 1
= 3，故B 正确；
对C，因为1 < b < 2，所以1
2 < b
2 < 1，又ab = 1，则a - b
2 = a - 1
2a ，令a - 1
2a = 0 解得a =
2
2 ，即a =
2
2
时，a = b
2 ，
因为函数f x
在
1
2 ,1
上单调递减，则当a =
2
2
时，有f a
= f
b
2
，故C 不正确；
对D，因为ab = 1，所以a + b = a + 1
a ，由对勾函数的性质知y = a + 1
a 在a ∈
1
2 ,1
上递减，则2
< a + 1
a < 2 + 1
2 < c + 1
2 ．
因为函数f x
在2,+∞
上单调递减，所以f a+b
> f c+ 1
2
，故D 正确．
故选：ABD
4
(多选) 已知函数f x
=
log2 x-1
,
1<x≤3
x2-8x+16,
x>3
，若方程y = f x
- m 有4 个不同的零点x1，
x2，x3，x4，且x1< x2< x3< x4，则
(
)
A. 0 < m < 2
B. x1+ x2= x1x2
C. x3+ x4= 6
D.
1
x1
+ 1
x2
x3+x4
= 8
答案BD
解【分析】画出函数草图，数形结合，分析各选项的准确性．
【详解】如图：
由图象可知，若方程f x
= m 有4 个不同的解，须有0 < m < 1，故A 错误；
当0 < m < 1 时，方程f x
= m 有4 个不同的解，且x1< x2< x3< x4．
所以1 < x1 < 2 < x2 < 3，且-log2 x1-1
= log2 x2-1
⇒
1
x1-1 = x2 - 1 ⇒x1-1
x2-1
= 1 ⇒x1 +
x2= x1x2，故B 正确；
３３５
336
又3 < x3< 4 < x4< 5，且x3，x4关于直线x = 4 对称，所以x3+ x4= 8，故C 错误；
由x1+ x2= x1x2⇒1
x1
+ 1
x2
= 1，又x3+ x4= 8．所以
1
x1
+ 1
x2
x3+x4
= 8，故D 正确．
故选：BD
5
(多选) 已知函数f(x) =
x+1
,
x≤2
x2-4x+1,
x>2
，若存在x1 < x2 < x3，使得f x1
= f x2
= f x3
，则
x1+ x2+ x3的取值可以是
(
)
A.
3
B. 3
C.
5
D.
6
答案CD
解【分析】设f x1
= f x2
= f x3
= t，则直线y = t 与函数f x
的图象有三个交点，结合函数的对称
性求出x1+ x2+ x3的取值范围即可．
【详解】设f x1
= f x2
= f x3
= t，作出函数y = f(x) 与y = t 的图象，如图：
观察图形知，当0 < t ≤3 时，直线y = t 与函数f x
的图象有三个交点，
点x1,t
、x2,t
关于直线x =-1 对称，则x1+ x2=-2，且函数f x
在2,+∞
上为增函数，
由f x3
= x2
3 - 4x3 + 1 ∈0,3
，x3 > 2，得2 +
3 < x3 ≤2 +
6，因此x1 + x2 + x3 = x3 - 2 ∈( 3，
6]，
所以x1+ x2+ x3的取值可以是
5，
6．
6
已知函数f x
=
lgx
,
x>0
x+1,
x≤0
，存在实数a < b < c 满足f a
= f b
= f c
，则abc 的取值范围
是
．
答案
-1,0
解【分析】利用数形结合思想，结合对数的运算性质进行求解即可．
【详解】∵存在a < b < c，满足f a
= f b
= f c
，由图像可知，0 < a + 1 ≤1，∴-1 < a ≤0，
1
10 ≤b < 1 < c ≤10，∵f b
= f c
，∴lgb
= lgc
∴-lgb = lgc，即lgbc = 0，∴bc = 1 ∴abc 的取值范围是-1,0
，
7
已知函数f x
= lgx
，若0 < a < b 且f a
= f b
，则a + 2b 的取值范围为
．
３３６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
337
答案
3,+∞
解【分析】作出函数f x
的图象，可得出b = 1
a 0<a<1
，利用双勾函数的单调性可求得a + 2b 的
取值范围．
【详解】画出f x
= lgx
的图象如图：
∵0 < a < b，且f a
= f b
，
∴lga
= lgb
且0 < a < 1，b > 1，
∴-lga = lgb，即ab = 1，∴y = a + 2b = a + 2
a ，a ∈0,1
，
由图象得y = a + 2
a 在0,1
上为减函数，
∴y > 1 + 2 = 3，
∴a + 2b 的取值范围是3,+∞
．
故答案为：3,+∞
．
8
已知函数f(x) = x2+4x+4,
x≤0
log3x,
x>0
，若互不相等的实数x1，x2，x3 满足f x1
= f x2
= f x3
，
则x1+ x2+ x3的取值范围是
．
答案
-3,77
解【分析】利用数形结合的思想，将问题转化为直线y = t 与函数y = f x
图象的三个交点，结合函数
图象分析求解．
【详解】设x1< x2< x3，f x1
= f x2
= f x3
= t
由图象可知，当0 < t ≤4 时，
直线y = t 与函数y = f x
图象的三个交点
的横坐标分别为x1，x2，x3，
二次函数y = x2+ 4x + 4 的图象关于直线x =-2 对称，则x1+ x2=-4，
由于0 < f x3
≤4，即0 < log3x3≤4，得1 < x3≤81，
得-3 < x1+ x2+ x3≤77．
３３７
338
因此x1+ x2+ x3的取值范围是-3,77
．
9
已知函数f x
=
lgx
,
0<x≤10
- 1
2 x+6
,
x>10
，若a，b，c，d 互不相等，且f a
= f b
= f c
=
f d
，则a + b + c + d 的取值范围为
(
)
A.
26,+∞
B.
14,+∞
C.
26, 341
10
D.
26, 221
10
答案C
解【分析】由分段函数的性质画出函数图象，若f a
= f b
= f c
= f d
= ma < b < c < d，将问题
转化为曲线f(x) 与直线y = m 的交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合绝对值函数、对数函
数的性质可得1
10 < a < 1 < b < 10 < c < 12 < d < 14，c + d = 10，ab = 1，结合对勾函数的性质求范
围即可．
【详解】令lgx
= 1，则x = 1
10 或x = 10，令- 1
2 x+6
= 1，则x = 10 或x = 14，
由解析式知：f(x) 在0,1
上递减且值域为(0 ,+∞)，在1,10
上递增且值域为0,1
，在10,12
上
递减且值域为0,1
，在12,+∞
上递增且值域为(0 ,+∞)．
作出f x
的草图如下，
令f a
= f b
= f c
= f d
= m，不妨设a < b < c < d，则a，b，c，d 为曲线f(x) 与直线y = m 的
交点横坐标，
由图知：c + d = 24，ab = 1 且1
10 < a < 1 < b < 10 < c < 12 < d < 14，
则a + b + c + d = 24 + a + 1
a ，
由对勾函数可知y = a + 1
a 在
1
10 ,1
上递减，故y = a + 1
a ∈2, 101
10
，
故a + b + c + d = 24 + a + 1
a ∈26, 341
10
．
10
已知函数f x
=
lg x-1
,
1<x≤11
x2-24x+144,
x>11
，若方程f x
= n 有4 个解，分别记为x1，x2，x3，
x4，且x1< x2< x3< x4，则
1
x1
+ 1
x2
x3+x4
=
．
答案24
解【分析】画出f x
的大致图象，根据对称性以及对数运算等知识求得正确答案．
【详解】画出f x
的大致图象如下图所示，
当x > 11 时，f x
= x2- 24x + 144，对称轴为x = 12，
所以x3+ x4= 12 × 2 = 24．
当1 < x ≤11 时，f x
= lg x-1
，
由x1< x2，f x1
= f x2
得-lg x1-1
= lg x2-1
，lg x1-1
+ lg x2-1
= lg
x1-1
x2-1
= 0，
x1-1
x2-1
= 1，x1x2- x1+x2
= 0，x1x2= x1+ x2，
1
x1
+ 1
x2
x3+x4
= x1+x2
x1x2
× x3+x4
= 1 × 24 = 24．
３３８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
339
故答案为：24
11
(多选) 已知函数f(x) = (x+1)2,
x≤0
log4x
,
x>0
，若f(x) = a 有四个不同的解x1，x2，x3，x4 且x1 < x2
< x3< x4，则有
(
)
A. x1+ x2=-2
B. x3x4= 1
C. a ∈(0 , 1)
D. x4(x1+ x2) +
1
x3x2
4
的最小值为- 31
4
答案ABD
解【分析】先画出图像，结合图像即可判断AC 选项，再通过-log4x3= log4x4判断B 选项，
最后结合单调性判断D 选项．
【详解】由题意，当x ≤0 时，f x
= x+1
2：当0 < x < 1 时，f x
=-log4x：当x ≥1 时，f x
=
log4x，
作出函数f(x) 的图象，如图所示，
易知f(x) 与直线y = 1 有四个交点，分别为(-2，1)，(0，1)，
1
4 ，1
，(4，1)，因为f x
= a 有
四个不同的解x1，x2，x3，x4 且x1 < x2 < x3 < x4，所以0 < a ≤1，故C 错误；-2 ≤x1 <-1 < x2 ≤
0
且x1+ x2=-2，A 正确；1
4 ≤x3< 1 < x4≤4，又f x3
=-log4x3= a，f x4
= log4x4= a，
所以-log4x3= log4x4，即x3x4= 1，B 正确；
所以x4(x1+ x2) +
1
x3x2
4
=-2x4+ 1
x4
，且1 < x4≤4，
构造函数g x
=-2x + 1
x ，且1 < x ≤4，
可知g(x) 在(1，4] 上单调递减，且g 4
=- 31
4 ，
所以x4 x1+x2
+
1
x3x2
4
的最小值为- 31
4 ．D 正确．
【题型
【题型15
15】对数函数的综合问题
】对数函数的综合问题
３３９
340
1
已知函数f(x) = loga a2x+1
+ kx(a > 0 , a ≠1) 为偶函数．
(1) 求k 的值；
(2) 设函数g(x) = 2af(x)+x- 5ax，若∀x ∈[-1 , 2]，g(x) ≤0 恒成立，求a 的取值范围．
答案(1)k =-1
(2)
2
2 ,1
∪1,
2
解析
【分析】(1) 由函数f x
为R 上的偶函数可得f -1
= f 1
，即可得解；
(2) 由(1) 得g(x) = 2a2x - 5ax + 2，令t = ax，则y = 2t2 - 5t + 2，则要使∀x ∈[-1 , 2]，g(x) ≤0 恒
成立，只需要函数t = ax 的值域是不等式2t2 - 5t + 2 ≤0 的解集的子集即可，再分0 < a < 1 和a > 1
两种情况讨论即可．
【详解】(1) 函数f x
的定义域为R，
因为函数f(x) = loga a2x+1
+ kx(a > 0 , a ≠1) 为偶函数，
所以f -1
= f 1
，
即loga
1
a2 +1
- k = loga a2+1
+ k，
所以2k = loga
1
a2 +1
- loga a2+1
= loga a2+1
a2
⋅
1
a2+1
=-2，解得k =-1，
经检验，符合题意，
所以k =-1；
(2) 由(1) 得f(x) = loga a2x+1
- k，
则g(x) = 2aloga a2x+1
- 5ax= 2a2x- 5ax+ 2，
令t = ax，则y = 2t2- 5t + 2，
令y = 2t2- 5t + 2 ≤0，解得1
2 ≤t ≤2，
要使∀x ∈[-1 , 2]，g(x) ≤0 恒成立，
只需要函数t = ax的值域是
1
2 ,2
的子集即可，
当0 < a < 1 时，因为x ∈[-1 , 2]，所以t = ax∈a2, 1
a
，
则
a2≥1
2
1
a ≤2
0<a<1
，解得
2
2
≤a < 1，
当a > 1 时，则t = ax∈
1
a ,a2
，
则
1
a ≥1
2
a2≤2
a>1
，解得1 < a ≤
2，
综上所述，a 的取值范围为
2
2 ,1
∪1,
2
．
2
已知函数f x
，g x
分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f x
+ g x
= 2x．
(1) 求函数f x
，g x
的解析式；
(2) 设h x
= 2g 2x
- 4mf x
- 4，p x
= 2x-1
2x+1 ，对∀x1∈R，∃x2∈1,+∞
，使得p x1
=
h x2
，求实数m 的取值范围．
答案(1)f x
= 2x-2-x
2
，g(x) = 2x+2-x
2
３４０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
341
(2)m ≥5
12
解析
【分析】(1) 方程组法去求解f x
与g x
的解析式即可解决；
(2) 对∀x1 ∈R，∃x2 ∈1,+∞
，使得p x1
= h x2
，即为函数p x
的值域为-1,1
为函数h x
的
值域的子集，讨论解之．
【详解】(1) 由题意f x
+ g x
= 2x①，
所以f -x
+ g -x
= 2-x，
函数f x
，g x
分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，
所以f x
=-f -x
，g -x
= g x
所以-f x
+ g x
= 2-x②，
由①②解得f x
= 2x-2-x
2
，g(x) = 2x+2-x
2
；
(2)p x
= 2x-1
2x+1 = 1 -
2
2x+1 ，
由2x∈0,+∞
，则
2
2x+1 ∈0,2
，
所以p x
的值域为-1,1
，
h x
= 2g 2x
- 4mf x
- 4 = 22x+ 2-2x- 2m 2x-2-x
- 4，
= 2x-2-x
2- 2m 2x-2-x
- 2 = 2x-2-x-m
2- 2 - m2，
设t = 2x- 2-x，根据y = 2x，y =-2-x知t x
为增函数，若x ∈1,+∞
，则t ∈
3
2 ,+∞
，
则y = t-m
2- 2 - m2，t ∈
3
2 ,+∞
，
若m < 3
2 ，则y = t-m
2- 2 - m2在
3
2 ,+∞
上单调递增，
则h x
min =
3
2 -m
2
- 2 - m2= 1
4 - 3m，即h x
∈
1
4 -3m,+∞
，
因为对∀x1∈R，∃x2∈1,+∞
，使得p x1
= h x2
，
则-1,1
∈
1
4 -3m,+∞
，所以1
4 - 3m ≤-1，解得m ≥5
12 ，
所以5
12 ≤m < 3
2 ；
若m ≥3
2 ，则h x
min =-2 - m2，即h x
∈-2-m2,+∞
，
则-2 - m2≤-1，解得m ∈R，所以m ≥3
2 ，
综上所述，若对∀x1∈R，∃x2∈1,+∞
，使得p x1
= h x2
，则m ≥5
12 ．
1
已知函数f(x) = log2 2x+1
+ kx(k 为常数，k ∈R)，且f(x) 是偶函数．
(1) 求k 的值；
(2) 设函数h(x) = log2 a⋅2x- 1
2 a
+ 1
2 x(a ∈R)，若方程h(x) 只有一个解，求a 的取值范围．
答案(1)k =- 1
2 ；(2)a > 0 或a =-10 - 4 6．
解【分析】(1) 由偶函数的性质f -x
= f x
即可求出；
(2) 令2x = t，题目等价于a ⋅t2 -
1
2 a+1
⋅t - 1 = 0 只有一解，讨论a > 0，a < 0 两种情况讨论求
解．
【详解】(1) 因为f(x) = log2 2x+1
+ kx，x ∈R 是偶函数，
因为f(-x) = log2 2-x+1
+ k ⋅(-x) = log2 2x+1
- k+1
⋅x = f(x)，
即log2 2x+1
- k+1
⋅x = log2 2x+1
+ kx，
３４１
342
∴k =- 1
2 ；
(2) 若方程h(x) 只有一个解，
即log2 2x+1
- 1
2 x = log2 a⋅2x- 1
2 a
+ 1
2 x 只有一个解，
整理得：a ⋅2x
2-
1
2 a+1
⋅2x- 1 = 0，
令t = 2x得a ⋅t2-
1
2 a+1
⋅t - 1 = 0，
令m(t) = a ⋅t2-
1
2 a+1
⋅t - 1，
因为a ⋅2x- 1
2 a = a × 2x- 1
2
> 0，所以a 与2x- 1
2 同号，
①当a > 0 时，2x- 1
2 > 0，则t = 2x> 1
2 ，
方程a ⋅t2-
1
2 a+1
⋅t - 1 = 0 在区间
1
2 ,+∞
上只有一个解，
因为m(t) = a ⋅t2-
1
2 a+1
⋅t - 1 图像是开口向上的，
且m(0) =-1 < 0，m 1
2
=- 3
2 < 0，m 1
2 + 3
a
= 6
a > 0，
所以当a > 0 时方程a ⋅t2-
1
2 a+1
⋅t - 1 = 0 在区间
1
2 ,+∞
上只有一个解；
②当a < 0 时，2x- 1
2 < 0，则t = 2x∈0, 1
2
，
方程a ⋅t2-
1
2 a+1
⋅t - 1 = 0 在区间0, 1
2
上只有一个解，
因为方程对应的二次函数m(t) = a ⋅t2-
1
2 a+1
⋅t - 1 图像是开口向下的，
且m(0) =-1 < 0，m 1
2
=- 3
2 < 0，
则
Δ=
1
2 a+1
2+4a=0
0<
1
2 a+1
2a
< 1
2
解得a=-10±4 6
a<-2
，
所以当a =-10 - 4 6 时，方程a ⋅t2-
1
2 a+1
⋅t - 1 = 0 在区间0, 1
2
上只有一个解；
综上：当a > 0 或a =-10 - 4 6 时，方程h(x) 只有一个实根．
2
设函数f(x) = log2 1
x +a
(a ∈R)．
(1) 当a = 2 时，求不等式f(x) < 2 的解集；
(2) 当a > 0 时，若对任意t ∈
1
2 ,1
，函数f x
在区间t,t+1
上的最大值与最小值的差不超过1，
求a 的取值范围．
答案(1) -∞,- 1
2
∪
1
2 ,+∞
(2)a ≥2
3
解【详解】(1) 当a = 2 时，不等式f(x) < 2 即log2 1
x +2
< 2，所以
1
x +2>0
1
x +2<4
，
得x > 1
2 或x <- 1
2 ，所以不等式f(x) < 2 的解集为-∞,- 1
2
∪
1
2 ,+∞
．
(2) 由复合函数的单调性知f x
在t,t+1
上单调递减，
则f(x)max - f(x)min = f(t) - f(t + 1) = log2 1
t +a
- log2
1
t+1 +a
≤1 在t,t+1
上恒成立，
３４２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
343
所以
1
t +a
1
t+1 +a
≤2 在t,t+1
上恒成立，所以a ≥
1
t -
2
t+1
max，
而1
t -
2
t+1 =
1
t -
2
t+1
[(t + 1) - t] = t+1
t
+
2t
t+1 - 3，
令t+1
t
= 1 + 1
t = m，因为t ∈
1
2 ,1
，所以m ∈[2 , 3]，所以1
t -
2
t+1 = m + 2
m - 3，
由对勾函数单调性知y = m + 2
m - 3 在m ∈[2 , 3] 上单调递增，
所以m + 2
m - 3 ≤3 + 2
3 - 3 = 2
3 ，所以a ≥2
3 ．
3
已知函数f(x) = log2 2x+1
+ ax 是偶函数．
(1) 求a 的值；
(2) 设g(x) = f(x) + x ，h(x) = x2- 2x + m，若对任意的x1∈0,4
，存在x2∈0,5
，使得g x1
≥
h x2
，求m 的取值范围．
答案(1)a =- 1
2
(2) (-∞, 2]
解【详解】(1) 因为f(x) = log2 2x+1
+ ax 是偶函数，
所以f(-x) = f(x)，
即log2 2-x+1
- ax = log2 2x+1
+ ax，
log2 2x+1
- log2 2-x+1
+ 2ax = 0，
log2 2x+1
- log2
1
2x +1
+ 2ax = 0，
log2 2x+1
- log2 1+2x
2x
+ 2ax = 0，
log2
2x+1
1+2x
2x
+ 2ax = 0，
log22x+ 2ax = 0，
x + 2ax = 0，
1+2a
x = 0，
所以1 + 2a = 0，即a =- 1
2 ．
(2)g(x) = log2 2x+1
+ 1
2 x，
因为对任意的x1∈0,4
，存在x2∈0,5
，使得g x1
≥h x2
，
所以g x
在0,4
上的最小值不小于h x
在0,5
上的最小值，
因为g(x) = log2 2x+1
+ 1
2 x 在0,4
上单调递增，
所以g x
min = g 0
= 1，
因为h(x) = x2- 2x + m = x-1
2+ m - 1，
所以h x
在0,1
上单调递减，在1,5
上单调递增，
所以h x
min = h 1
= m - 1，
所以1 ≥m - 1，解得m ≤2，
所以m 的取值范围为(-∞, 2]．
4
已知函数f x
= kx + log2 4x+1
k∈R
是偶函数．
(1) 求k 的值；
３４３
344
(2) 设函数g x
= log2 a⋅2x-4a
，其中a > 0．若函数f x
与g x
的图象有且只有一个交点，求a 的
取值范围．
答案(1)k =-1
(2) 1,+∞
解【分析】(1) 利用偶函数的定义求解即可；
(2) 设t = 2x，转化为方程a-1
t2- 4at - 1 = 0 在4,+∞
上只有一个解，分类讨论即可．
【详解】(1) 函数f x
= kx + log2 4x+1
k∈R
是偶函数，
故f -x
=-kx + log2 4-x+1
= f x
，
即2kx + log2
4x+1
4-x+1
= 0，2kx + 2x = 0，故k =-1．
(2)g x
= log2 a⋅2x-4a
，故a ⋅2x- 4a > 0，x > 2，
若函数f x
与g x
的图象有且只有一个交点，
即f x
= g x
在2,+∞
上只有一个解，故-x + log2 4x+1
= log2 a⋅2x-4a
，
即log2 2-x
+ log2 4x+1
= log2 a⋅2x-4a
，即2x+ 2-x= a ⋅2x- 4a，
设t = 2x，∵x > 2，∴t > 4，
故t + 1
t = at - 4a 只有一个解，即a-1
t2- 4at - 1 = 0，
当a = 1 时，a-1
t2- 4at - 1 = 0，则t =- 1
4 ，不符合t > 4，故舍去；
当0 < a < 1 时，函数h t
= a-1
t2- 4at - 1 的对称轴为t =
4a
2 a-1
< 0，
故h t
在0,+∞
单调递减，且h 0
=-1 < 0，故方程h t
= a-1
t2- 4at - 1 = 0 在4,+∞
无解；
当a > 1 时，函数h t
= a-1
t2 - 4at - 1 的对称轴为t =
4a
2 a-1
> 0，且h 0
=-1 < 0，h 4
=
16 a-1
- 16a - 1 =-17 < 0，
故方程h t
= a-1
t2- 4at - 1 = 0 在4,+∞
上有唯一解，符合题意，
综上所述，a 的取值范围是1,+∞
．
5
已知函数f x
= 2x+a
2x+b ．
(1) 当a = 4，b =-2 时，解关于x 的方程f x
= 2x
(2) 若函数f x
是定义在R 上的奇函数，求函数f x
的解析式；
(3) 在(2) 的前提下，函数g x
满足f x
⋅g x
+2
= 2x- 2-x，若对任意x ∈R 且x ≠0，不等式
g 2x
≥mg x
- 18 恒成立，求实数m 的最大值．
答案(1)x = 2
(2)f x
= 2x-1
2x+1
(3)8
解【详解】(1) 当a = 4，b =-2 时，f x
= 2x+4
2x-2 ，
即2x+4
2x-2 = 2x，整理得2x
2- 3 ⋅2x- 4 = 0，
即2x-4
2x+1
= 0，得2x= 4 或2x=-1(舍去)
∴x = 2；
(2) 因为函数f x
是定义在R 上的奇函数，
则f 0
= 0 且f -1
=-f 1
，
３４４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
345
∴
1+a
1+b =0
2+a
2+b =-
1
2 +a
1
2 +b
，解得a =-1，b = 1，
即f x
= 2x-1
2x+1 ，
：f -x
= 2-x-1
2-x+1 = 1-2x
1+2x =- 2x-1
2x+1 =-f x
，
故f x
= 2x-1
2x+1 是定义在R 上的奇函数，
∴f x
= 2x-1
2x+1
(3) 在(2) 的前提下，2x-1
2x+1 ⋅g x
+2
= 2x- 2-x，
整理得g x
=
2x-2-x
2x+1
2x-1
- 2 = 2x+ 1
2x ，x ≠0，
代入g 2x
≥mg x
- 18 得22x+ 1
22x ≥m 2x+ 1
2x
- 18，
即m ≤
22x+ 1
22x +18
2x+ 1
2x
恒成立，∴m ≤
22x+ 1
22x +18
2x+ 1
2x
min
，
又
22x+ 1
22x +18
2x+ 1
2x
=
2x+ 1
2x
2+16
2x+ 1
2x
= 2x+ 1
2x +
16
2x+ 1
2x
≥2
2x+ 1
2x
×
16
2x+ 1
2x
= 8，
当且仅当2x+ 1
2x =
16
2x+ 1
2x
，即x = log2 2±
3
时等号成立，∴m ≤8
即实数m 的最大值为8．
３４５
346
专题4 - 3 函数与方程零点问题综合
图像的变换
(1) 平移变换
①函数y = f(x + a) (a > 0) 的图像是把函数y = f(x) 的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的；
②函数y = f(x - a) (a > 0) 的图像是把函数y = f(x) 的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的；
③函数y = f(x) + a(a > 0) 的图像是把函数y = f(x) 的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的；
④函数y = f(x) + a(a > 0) 的图像是把函数y = f(x) 的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的；
(2) 对称变换
①函数y = f(x) 与函数y = f(-x) 的图像关于y 轴对称；
函数y = f(x) 与函数的图像关于x 轴对称；
函数y = f(x) 与函数y =-f(-x) 的图像关于坐标原点(0 , 0) 对称；
②若函数f(x) 的图像关于直线x = a 对称，则对定义域内的任意x 都有
f(a - x) = f(a + x) 或f(x) = f(2a - x) (实质上是图像上关于直线x = a 对称的两点连线的中点横坐标为
a，即(a-x)+(a+x)
2
= a 为常数)；
若函数f(x) 的图像关于点(a , b) 对称，则对定义域内的任意x 都有f(x) = 2b - f(2a - x) 或f(a - x) = 2b
- f(a + x)
③y = f(x)
的图像是将函数f(x) 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折
上来得到的(如图(a) 和图(b)) 所示
④y = f
x
的图像是将函数f(x) 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到
函数y = f x
左边的图像即函数y = f x
是一个偶函数(如图(c) 所示)．
注：f(x)
的图像先保留f(x) 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦
去x 轴下方的图像得到；而f
x
的图像是先保留f(x) 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后
做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．
⑤函数y = f-1(x) 与y = f(x) 的图像关于y = x 对称．
【题型
【题型1】零点存在定理
】零点存在定理
３４６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
347
零点存在定理及其推论
1、定理：如果函数f x
在区间a,b
上的图象是一条连续不断的曲线，且f a
⋅f b
< 0，
那么，函数y = f x
在区间a.b
内至少有一个零点，
即存在c ∈a.b
，使得f c
= 0，这个c 也就是方程f x
= 0 的解。
【注意】(1) 定义不能确定零点的个数；
(2) 不满足定理条件时依然可能有零点；
(3) 定理中的“连续不断”是必不可少的条件；
(4) 定理反之是不成立的．
2、重要推论：
(1) 推论1：函数f x
在区间a,b
上的图象是一条连续不断的曲线，f a
⋅f b
< 0，
且f x
具有单调性，则函数f x
在区间a.b
内只有一个零点．
(2) 推论2：函数f x
在区间a,b
上的图象是一条连续不断的曲线，
函数f x
在区间a.b
内有零点，且函数f x
具有单调性，则f a
⋅f b
< 0
1
函数f x
=
x + x - 3 的零点所在区间是
(
)
A. (0 , 1)
B. (1 , 2)
C. (2 , 3)
D. (3 , 4)
答案B
解析
f x
在0,+∞
上单调递增，
f 1
=-1 < 0，f 2
=
2 - 1 > 0，
所以f x
的零点在区间1,2
．
1
已知x0是函数f(x) = 2x+
1
1-x 的一个零点，若x1∈1,x0
，x2∈x0+∞
，则
(
)
A. f(x1) < 0，f x2
< 0
B. f(x1) < 0，f x2
> 0
C. f x1
> 0，f x2
< 0
D. f x1
> 0，f x2
> 0
答案B
解
因为x0 是函数f(x) = 2x +
1
1-x 的一个零点，则x0 是函数y = 2x 与y =
1
x-1 的交点的横坐标，画
出函数图像，如图所示，
３４７
348
则当x1∈1,x0
时，y = 2x在y =
1
x-1 下方，即f x1
< 0；
当x2∈x0,+∞
时，y = 2x在y =
1
x-1 上方，即f x2
> 0，
2
(高一下·河南漯河·期末) 函数f x
= lnx + x2 + a，则“a <-1”是“函数f x
在1,e
上存在零
点”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
答案C
解【分析】首先得出“函数f x
在1,e
上存在零点”的充要条件是a 的取值范围是-e2-1,-1
，
进一步结合必要不充分条件的定义即可得解．
【详解】设方程f x
= lnx + x2+ a = 0 即方程a =-x2- lnx 在1,e
上存在零点，
令g x
=-x2- lnx，x ∈1,e
，显然g x
在1,e
上单调递减，
而g 1
=-1，g e
=-e2- 1，所以g x
=-x2- lnx，x ∈1,e
的值域为-e2-1,-1
，
所以函数f x
在1,e
上存在零点当且仅当a 的取值范围是-e2-1,-1
，
所以“a <-1”是“函数f x
在1,e
上存在零点”的必要不充分条件．
3
方程2x + lnx - 5 = 0 的解所在区间为
(
)
A.
4,5
B.
3,4
C.
2,3
D.
1,2
答案C
解【分析】利用零点存在性定理分析判断即可．
【详解】令f(x) = 2x + lnx - 5，f(x) 在(0 ,+∞) 上连续，且单调递增，
对于A，因为f(4) = 8 + ln4 - 5 = 3 + ln4 > 0，f(5) = 10 + ln5 - 5 = 5 + ln5 > 0，
所以f(x) 的零点不在4,5
内，所以A 错误，
对于B，因为f(4) > 0，f(3) = 6 + ln3 - 5 = 1 + ln3 > 0，
所以f(x) 的零点不在3,4
内，所以B 错误，
对于C，因为f(3) > 0，f(2) = 4 + ln2 - 5 = ln2 - 1 < 0，
所以f(x) 的零点在2,3
内，所以方程2x + lnx - 5 = 0 的解所在区间为2,3
，所以C 正确，
对于D，因为f(2) < 0，f(1) = 2 + ln1 - 5 =-3 < 0，
所以f(x) 的零点不在1,2
内，所以D 错误
4
已知x0是函数f x
=
1
3
x
- x + 4 的一个零点，若x1∈2,x0
，x2∈x0,+∞
，则
(
)
A. x0∈2,4
B. f x1
> f x2
C. f x1
< 0，f x2
< 0
D. f x1
> 0，f x2
> 0
３４８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
349
答案B
解
函数y =
1
3
x
在区间2,+∞
上单调递减，函数y =-x + 4 在区间2,+∞
上单调递减，
故函数f x
=
1
3
x
- x + 4 在区间2,+∞
上单调递减，
又f 2
> 0，f 3
> 0，f 4
> 0，f 5
< 0，
所以x0∈4,5
，
因为f x0
= 0，x1∈2,x0
，x2∈x0,+∞
，
由单调性知f x1
> 0，f x2
< 0，即f x1
> f x2
．
【题型
【题型2】二分法
】二分法
对于在区间[a，b] 上连续不断且f(a)f(b) < 0 的函数y = f(x)，通过不断把函数f(x) 的零点所在的区间
一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
1
用二分法求方程log4x - 1
2x = 0 近似解时，所取的第一个区间可以是
(
)
A.
0,1
B.
1,2
C.
2,3
D.
3,4
答案B
解析
令f x
= log4x - 1
2x ，
因为函数y = log4x，y =- 1
2x 在0,+∞
上都是增函数，
所以函数f x
= log4x - 1
2x 在0,+∞
上是增函数，
f 1
=- 1
2 < 0，f 2
= log42 - 1
4 = 1
2 - 1
4 = 1
4 > 0，
所以函数f x
= log4x - 1
2x 在区间(1 , 2) 上有唯一零点，
所以用二分法求方程log8x - 1
3x = 0 近似解时，所取的第一个区间可以是(1 , 2)．
1
用二分法研究函数f x
= x3 + 2x - 1 的零点时，第一次计算，得f 0
< 0，f 0.5
> 0，第二次应
计算f x1
，则x1等于
(
)
A. 1
B. - 1
C. 0.25
D. 0.75
答案C
解
因为f 0
< 0，f 0.5
> 0，所以f x
在0,0.5
内存在零点，
根据二分法第二次应该计算f x1
，其中x1= 0+0.5
2
= 0.25
2
已知函数f(x) = ln(x + 2) + 2x - m(m ∈R) 的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
f(x)
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.512
1.099
由二分法，方程ln(x + 1) + 2x - m = 0 的近似解(精确度0.05) 可能是
(
)
A. 0.625
B. - 0.009
C. 0.5625
D. 0.066
３４９
350
答案C
解
f(x) = ln(x + 2) + 2x - m 在(0 ,+∞) 上单调递增．
设近似值为x0，
由表格有f(0.53125) ⋅f(0.5625) < 0，
所以x0∈(0.53125 , 0.5625)
3
已知函数f(x) = log2x - 1
x ，在区间(1 , 2) 内存在一个零点，在利用二分法求函数f(x) 近似解的
过程中，第二次求得的区间中点值为
．
答案7
4
解【分析】根据题意，利用对数的运算法则，结合零点二分法，准确计算，即可求解．
【详解】由函数f(x) = log2x - 1
x 为单调递增函数，且在(1 , 2) 内存在一个零点，
又由f(1) =-1，f(2) = 1
2 ，则f(1)f(2) < 0，
第一次用二分法，由f
3
2
= log2 3
2 - 2
3 = log2 3
2 - log22
2
3 ，
因为27
8 < 4，可得
27
8
1
3 < 4
1
3 ，即3
2 < 2
2
3 ，可得log2 3
2 < log22
2
3 ，所以f
3
2
< 0，
所以确定函数的零点所在区间为
3
2 ,2
；
第二次用二分法，由f
7
4
= log2 7
4 - 4
7 = log27 - 18
7 = log27 - log22
18
7 ，
因为7 > 2
18
7 ，可得log27 - log22
18
7 > 0，即f
7
4
> 0
所以f
7
4
f
3
2
< 0，所以确定函数的零点所在区间为
7
4 , 3
2
，
所以第二次求得的区间的中点值为7
4 ．
4
一块电路板的AB 线段之间有60 个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想
用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测
(
)
A. 4 次
B. 6 次
C. 8 次
D. 30 次
答案B
解
利用二分法检测，每次取中点，焊接点数减半，不妨设需要n 次检测，则60
2n ≤1，
即2n≥60，因为25< 60 < 26，故n 的最小值为6，即至少需要检测6 次．
【题型
【题型3】零点个数问题
】零点个数问题
零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令f x
= 0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点．
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间a,b
上是连续不断的曲线，且f a
⋅f b
< 0，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性) 才能确定函数有多少个零点．
3、图象法：
(1) 单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数f x
的图象，函数f x
的图象与x 轴交点的个数就
３５０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
351
是函数f x
的零点个数；
(2) 两个函数图象：将函数f x
拆成两个函数h x
和g x
的差，根据f x
= 0 ⇔h x
= g x
，则函数
f x
的零点个数就是函数y = h x
和y = g x
的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
1
函数f(x) = xlgx - 1 的零点个数为
(
)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案B
解析
令f(x) = xlgx - 1 = 0，得lgx = 1
x ，画出函数y = lgx 与y = 1
x 的图象，
可得这两个函数在(0 ,+∞) 上的图象有唯一公共点，
故f(x) 的零点个数为1．故选：B
1
函数f(x) = x2- 2x的零点个数为
(
)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案D
解
通过图形可以得出f(x) = x2- 2x有3 个零点
2
函数f(x) =
1
2
x
- x3- 2 在定义域内的零点个数是
(
)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案B
解
函数y =
1
2
x
，y = x3- 2 分别是R 上的减函数和增函数，则函数f(x) =
1
2
x
- x3- 2 是减函数，
而f -1
=
1
2
-1
- -1
3- 2 = 1 > 0，f(0) =-1 < 0，
所以函数f(x) 在R 上的零点个数是1．故选：B
3
方程
1
2
x
- log 1
2 x
= 0 的解的个数为
(
)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 2 或3 或4
答案A
解【分析】将方程根的个数转化为函数交点的个数问题，数形结合作出函数图象计算即可．
３５１
352
【详解】方程
1
2
x
- log 1
2 x
= 0 的解的个数，
等价于函数y =
1
2
x
和函数y = log 1
2 x
的图象的交点个数，
作出两函数的图象，如图所示．
数形结合可得，函数y =
1
2
x
和函数y = log 1
2 x
的图象的交点个数为2，
故方程
1
2
x
- log 1
2 x
= 0 的解的个数为2．
4
已知函数f x
= x2+2x,x≤0,
lgx
,x>0,
则函数g x
= f x
- 3 的零点个数为
(
)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案C
解
由题意可知，g x
= f x
- 3 的零点个数可以转化为f x
和函数y = 3 的图象交点个数，
它们的函数图象如图所示．故选：C．
【题型
【题型4】比较零点的大小
】比较零点的大小
利用数形结合、等价转化等数学思想，将函数零点问题转化成图象交点，作出函数的图象，再根据图象
求结果．
1
(高一上·河北唐山·期末) 若函数f(x) =
1
2
x
- x，g(x) = log 1
3 x - x，h(x) =
x + 0.1 - x 的零点
分别为a，b，c，则
(
)
A. a > b > c
B. c > a > b
C. a > c > b
D. c > b > a
答案B
解析
【分析】根据条件，将零点问题转化成函数图象交点，再根据图象即可求出结果．
【详解】由f(x) =
1
2
x
- x = 0，得到
1
2
x
= x，由g(x) = log 1
3 x - x = 0，得到log 1
3 x = x，
由h(x) =
x + 0.1 - x = 0，得到
x + 0.1 = x，
在同一直角坐标系中，作出函数y1=
1
2
x
，y2= log 1
3 x，y3=
x + 0.1，y4= x 的图象，如图所示，
由图知，b < a < c
３５２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
353
故选：B．
2
(24 - 25 高一上·全国·课后作业) 设x1，x2，x3 均为实数，且
1
3
x1 =
2
log
x1+1
，
1
3
x2 =
3
log x2，
1
3
x3=
2
log x3，
1
3
x3= log2x3，则
(
)
A. x1< x3< x2
B. x3< x2< x1
C. x1< x2< x3
D. x3< x1< x2
答案A
解析
【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象，即可得出结论．
【详解】由题意得x1，x2，x3，分别是函数y =
1
3
x
与y = log2 x+1
，y = log3x，y = log2x 图象的
交点横坐标．
在同一坐标系内作出函数y =
1
3
x
，y = log2 x+1
，y = log3x，y = log2x 的图象，
如图所示，由图可得x1< x3< x2．
1
(高一上·山东日照·期末) 若aea= blnb = clgc = 1，则a，b，c 的大小关系为
(
)
A. a < b < c
B. c < b < a
C. b < c < a
D. a < c < b
答案A
解【分析】先由aea= blnb = clgc = 1 可得0 < a < 1，b > 1，c > 1，由blnb = clgc = 1，得lnb = 1
b ，
lgc = 1
c ，在同一个平面直角坐标系作出y = lnx，y = lgx 和y = 1
x 的图象，结合图象可得结果．
【详解】因为aea= 1，而当a ≥1 时，aea> 1，当a ≤0 时，aea≤0，
所以0 < a < 1，
因为blnb = 1，而当0 < b ≤1 时，blnb ≤0，所以b > 1，
因为clgc = 1，而当0 < c ≤1 时，clgc ≤0，所以c > 1，
由blnb = clgc = 1，得lnb = 1
b ，lgc = 1
c ，
３５３
354
所以b 为y = lnx 和y = 1
x 图象交点的横坐标，c 为y = lgx 和y = 1
x 图象交点的横坐标，
在同一个平面直角坐标系作出y = lnx，y = lgx 和y = 1
x 的图象，如图所示，
由图可得c > b > 1
综上c > b > a，
2
(高一上·北京丰台·期末) 函数f x
= 2x + x，g x
= log2x + x，h x
=
x + x 的零点分别为a，
b，c，则a，b，c，的大小顺序为
(
)
A. a > b > c
B. b > a > c
C. b > c > a
D. c > a > b
答案C
解【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可．
【详解】令f x
= 0，即2x=-x，
令g x
= 0，即log2x =-x，
令h x
= 0，即
x =-x，分别作出y = 2x，y = log2x，y =
x 和y =-x 的图象，
如图所示：
由图象可知：c = 0，所以b > c > a．
故选：C．
3
(贵州贵阳·模拟预测) 设方程3x⋅log3x
= 1 的两根为x1，x2 x1<x2
，则
(
)
A. 0 < x1< 1，x2> 3
B. x1> 1
x2
C. 0 < x1x2< 1
D. x1+ x2> 4
答案C
解【分析】由数形结合及零点的判定方法可确定出0 < x1 < 1 < x2 < 2，即可判断AD，计算出
log3 x1x2
< 0，可判断BC．
【详解】由3x⋅log3x
= 1 可得log3x
= 1
3x =
1
3
x
，
在同一直角坐标系中同时画出函数y = log3x
和y =
1
3
x
的图象，如图所示：
３５４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
355
因为log31
<
1
3
1
= 1
3 ，log32
= log32 >
1
3
2
= 1
9 ，
由图象可知，0 < x1< 1 < x2< 2，
所以1 < x1+ x2< 3 故A，D 错误；
log3 x1x2
= log3x1+ log3x2=- 1
3
x1+
1
3
x2，
因为x1< x2，所以
1
3
x1>
1
3
x2，所以log3 x1x2
< 0，
所以0 < x1x2< 1，即x1< 1
x2
，故B 错误，C 正确．
4
(高一下·广东揭阳·期末) 已知m + em = e，n + 3n= e，则
(
)
A. 1 < n < m < e
B. 1 < m < n < e
C. 0 < n < m < 1
D. 0 < m < n < 1
答案C
解【分析】构造函数f(x) = x + ex，g(x) = x + 3x，由其单调性结合图象得出大小关系．
【详解】构造函数f(x) = x + ex，g(x) = x + 3x，
所以f(m) = m + em = e，g(n) = n + 3n= e，
因为y = x，y = ex，y = 3x均为R 上增函数，则函数f(x)，g(x) 为增函数．
函数f(x)，g(x) 与函数y = e 的图象，如下图所示：
由图可知，0 < n < m．
又f(1) = 1 + e > f(m)，g 1
= 1 + 3 > g n
，
所以m < 1，n < 1．
综上，0 < n < m < 1．
5
三个函数f x
= x3 + x - 3，g x
= lnx + x - 3，h x
= ex + x - 3 的零点分别为a，b，c，则
a，b，c 之间的大小关系为
(
)
A. a < b < c
B. c < a < b
C. a < c < b
D. b < c < a
答案B
解【分析】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案．
３５５
356
【详解】因为函数y = x3，y = ex，y = lnx，y = x - 3 都是增函数，
所以函数f(x) = x3+ x - 3，g x
= lnx + x - 3，h x
= ex+ x - 3 均为增函数，
因为f 1
=-1 0, f 2
=7
0，
所以函数f x
的零点在1,2
上，即a ∈1,2
，
因为g 2
= ln2 - 1 0,g(3)=ln3
0，
所以函数g x
的零点在2,3
上，即b ∈2,3
，
因为h 0
=-2 0,h(1)=e-2
0，
所以函数h x
的零点在0,1
上，即c ∈0,1
，
综上，c < a < b．
6
(高一下·河南·开学考试) 已知函数f x
= 2x + 3x + 1，g x
= log2x + 3x + 1，h x
= x3 + 3x + 1
的零点分别是a，b，c，则a，b，c 的大小关系为
(
)
A. a > c > b
B. b > c > a
C. b > a > c
D. a > b > c
答案B
解【分析】令f x
= 0，g x
= 0，h x
= 0，从而将问题转化为y = 2x、y = log2x、y = x3 与y =
-3x - 1 交点的横坐标，画出函数图象，数形结合即可判断．
【详解】令f x
= 0，g x
= 0，h x
= 0，得2x=-3x - 1，log2x =-3x - 1，x3=-3x - 1，
则a 为函数y = 2x与y =-3x - 1 交点的横坐标，
b 为函数y = log2x 与y =-3x - 1 交点的横坐标，
c 为函数y = x3与y =-3x - 1 交点的横坐标，
在同一直角坐标系中，分别作出y = 2x，y = log2x，y = x3和y =-3x - 1 的图象，如图所示，
由图可知，b > c > a．
7
(高一上·湖南株洲·期末)．已知函数f(x) = 2x + x，g(x) = log2x + x，h(x) = x3 + x 的零点分别为
a，b，c，则a，b，c 的大小关系为
(
)
A. c < a < b
B. a < c < b
C. b < a < c
D. c < a < b
答案B
解【分析】将函数的零点转化为两个图象的交点的横坐标，结合函数的图象，即可求解．
【详解】因为函数f(x) = 2x+ x，g(x) = log2x + x，h(x) = x3+ x 的零点分别为a，b，c，
可转化为y =-x 与三个函数y = 2x，y = log2x，y = x3的交点的横坐标为a，b，c，
在同一坐标系下，画出函数y =-x 与函数y = 2x，y = log2x，y = x3的图象，
如图所示，
３５６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
357
结合图象可得：a < c < b．
【题型
【题型5】由零点个数求参数范围
】由零点个数求参数范围
已知函数零点个数(方程根的个数) 求参数值(取值范围) 常用的方法：
(1) 数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解；
(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3) 直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围．
1
设函数f x
=
2x+3
-1-m,
x≤0
lnx-m,
x>0
，若函数f x
恰有3 个零点，则实数m 的取值范围为
(
)
A.
-∞,-1
B.
-1,2
C.
2,+∞
D.
-1,2
答案B
解析
由题意，设函数g x
=
2x+3
-1,
x≤0
lnx,
x>0
，令f x
= 0，即g x
= m，
所以问题转化为y = g x
，y = m 有3 个交点；
在坐标系内，作出函数g x
的图像如下所示，
结合图象可知，-1 < m ≤2，故实数m 的取值范围为-1,2
．
故选：B
2
(2018·全国·高考真题) 已知函数f(x) = ex，x≤0，
lnx，x>0，
g(x) = f(x) + x + a．若g(x) 存在2 个零点，
则a 的取值范围是
A. [-1，0)
B. [0，+∞)
C. [-1，+∞)
D. [1，+∞)
答案C
解析
【详解】分析：首先根据g(x) 存在2 个零点，得到方程f(x) + x + a = 0 有两个解，将其转化为
f(x) =-x - a 有两个解，即直线y =-x - a 与曲线y = f(x) 有两个交点，根据题中所给的函数解析式，
３５７
358
画出函数f(x) 的图像(将ex(x > 0) 去掉)，再画出直线y =-x，并将其上下移动，从图中可以发现，
当-a ≤1 时，满足y =-x - a 与曲线y = f(x) 有两个交点，从而求得结果．
详解：画出函数f(x) 的图像，y = ex在y 轴右侧的去掉，
再画出直线y =-x，之后上下移动，
可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程f(x) =-x - a 有两个解，
也就是函数g(x) 有两个零点，
此时满足-a ≤1，即a ≥-1，故选C．
1
已知函数f x
= (x+1)2,x≤0,
lgx
,
x>0,
若函数g x
= f x
- b 有四个不同的零点，则实数b 的取
值范围为
(
)
A.
0,1
B.
0,1
C.
0,1
D.
1,+∞
答案A
解【分析】将函数g x
= f x
- b 有四个不同的零点，转化为函数y = f x
与y = b 图象由四个交点，
再数形结合即可解答．
【详解】
依题意，函数g x
= f x
- b 有四个不同的零点，即f x
= b 有四个解，
转化为函数y = f x
与y = b 图象由四个交点，
由函数函数y = f x
可知，
当x ∈-∞,-1
时，函数为单调递减函数，y ∈0,+∞
；
当x ∈-1,0
时，函数为单调递增函数，y ∈0,1
；
当x ∈0,1
时，函数为单调递减函数，y ∈0,+∞
；
当x ∈1,+∞
时，函数为单调递增函数，y ∈0,+∞
；
结合图象，可知实数b 的取值范围为0,1
．
2
已知函数f x
= 2e x-2
- 1
2 a 2x-2+22-x
- a2有唯一零点，则负实数a =
A. - 2
B. - 1
2
C. - 1
D. - 1
2 或-1
答案A
３５８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
359
解
函数f x
= 2e x-2
- 1
2 a 2x-2+22-x
- a2有唯一零点，
设x - 2 = t，
则函数y = 2e t
- 1
2 a 2t+2-t
- a2有唯一零点，
则2e t
- 1
2 a 2t+2-t
= a2
设g t
= 2e t
- 1
2 a 2t+2-t
，∵g -t
= 2e -t
- 1
2 a 2-t+2t
= g t
，∴g t
为偶函数，
∵函数f t
有唯一零点，
∴y = g t
与y = a2有唯一的交点，
∴此交点的横坐标为0，∴2 - a = a2，解得a =-2 或a = 1(舍去)
3
已知函数f x
= x+2
+ ex+2+ e-2-x+ a 有唯一零点，则实数a =
(
)
A. 1
B. - 1
C. 2
D. - 2
答案D
解
设g(x) = f(x - 2) = x
+ ex+ e-x+ a，定义域为R，
∴g(-x) = -x
+ e-x+ ex+ a = x
+ ex+ e-x+ a = g(x)，
故函数g(x) 为偶函数，则函数f(x - 2) 的图象关于y 轴对称，
故函数f(x) 的图象关于直线x =-2 对称，
∵f(x) 有唯一零点，
∴f(-2) = 0，即a =-2．
4
(24 - 25 高一上·福建厦门·期中) 已知f(x) 是定义在R 上的偶函数，且对∀x ∈R，都有f(2 - x) =
f (2 + x)，且当x ∈-2,0
时，f x
=
1
2
x
- 1．若在区间-2,6
内关于x 的方程f x
-
loga x+2
= 0 a>1
至少有2 个不同的实数根，至多有3 个不同的实数根，则实数a 的取值范围
是
．
答案
3 4 ≤a < 2
解【分析】先根据题意分析函数f(x) 的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数f x
在-2,6
上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可．
【详解】由f(2 - x) = f(2 + x)，可得：f -x
= f x+4
，
又因为f(x) 是定义在R 上的偶函数，
则f -x
= f x
，且函数f(x) 图象关于y 轴对称，
所以f x+4
= f x
，即f x
的周期为4，
作出函数f(x) =
1
2
x
- 1 在x ∈-2,0
上的图象，
根据f(x) 对称性及周期为4，可得出f x
在-2,6
上的图象：
３５９
360
令g x
= loga x+2
a>1
，
若在区间(-2 , 6] 内关于x 的方程f(x) - loga(x + 2) = 0(a > 1) 至少有2 个不同的实数根，
至多有3 个不同的实数根，
则函数f x
与函数g(x) = loga(x + 2) (a > 1) 在(-2 , 6] 上至少有2 个不同的交点，
至多有3 个不同的交点，
所以g 2
≤f 2
g 6
> f 6
，即loga 2+2
≤3
loga 6+2
>3
，解得3 4 ≤a < 2．
5
(高一下·云南昆明·期中) 已知函数f x
=
-x2-4x+2,
x≤0
log2x
,
x>0
，若方程f(x) = a 有四个不同的解
x1，x2，x3，x4，则a 的取值范围是
．
答案
2,6
解【分析】画出分段函数图象，数形结合，再用图象交点问题解题即可．
【详解】画出f x
=
-x2-4x+2,
x≤0
log2x
,
x>0
的图象如图所示．
因为方程f x
= a 有四个不同的解x1，x2，x3，x4，
故f x
的图象与y = a 的图象有四个不同的交点，又由图，求得f 0
= 2，f -2
= 6，
故a 的取值范围是2,6
．
6
(高一上·天津·期末) 已知函数f x
=
ln x-1
,
x≤0
x2-2x+2,
x>0
若函数g x
= f x
- m2
2
有三个零点，
则实数m 的取值范围
．
答案
-2,- 2
∪
2,2
解【分析】转化为y = f x
与y = m2
2
的图象有3 个交点，做出y = f x
的图象，结合图象可得答案．
【详解】若函数g x
= f x
- m2
2
有三个零点，
则y = f x
与y = m2
2
的图象有3 个交点，
３６０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
361
f x
=
ln x-1
,
x≤0
x2-2x+2,
x>0
，
当x ≤0 时，y = ln x-1
≥0，
当x > 0 时，y = x2- 2x + 2 = x-1
2+ 1 ≥1，
与y 轴的交点为0,2
，
f x
的大致图象如下，
要使y = f x
与y = m2
2
的图象有3 个交点，
则1 < m2
2
< 2，解得
2 < m < 2，或-2 < m <- 2．
故答案为：-2,- 2
∪
2,2
．
7
已知关于x 的函数f x
= bx2- 2bx + x-1
+ b2+ b - 4 有唯一零点x = a，则a + b =
(
)
A. - 1
B. 3
C. - 1 或3
D. 4
答案B
解
f(x) = b(x - 1)2+ x-1
+ b2- 4，令t = x - 1，
则有g(t) = bt2+ t
+ b2- 4 是偶函数，
若只有唯一零点，则必过原点，即g(0) = 0，从而b =±2．
当b =-2 时，有3 个零点，舍去．
故b = 2，此时t = a - 1 = 0，则a = 1，故a + b = 3．
8
设c ∈R，函数f(x) = x-c,x≥0,
2x-2c,x<0.
若f(x) 恰有一个零点，则c 的取值范围是
(
)
A. (0，1)
B. {0} ∪[1，+∞)
C. (0，1
2 )
D. {0} ∪[ 1
2 ，+∞)
答案D
解
画出函数g x
= x,
x≥0
2x,
x<0
的图象如下图所示：
函数f(x) = x-c,x≥0,
2x-2c,x<0.
可由g(x) = x,x≥0,
2x,x<0.
分段平移得到，
易知当c = 0 时，函数f(x) 恰有一个零点，满足题意；
当c < 0 时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当c > 0 时，图象往下平移，当0 < 2c < 1 时，函数有两个零点；
３６１
362
当2c ≥1 时，f(x) 恰有一个零点，满足题意，即c ≥1
2 ；
综上可得c 的取值范围是0
∪[ 1
2 ，+∞)．
【题型
【题型6】求零点的和
】求零点的和
零点的和一般通过函数图像对称性来求
1
(高一上·湖南益阳·期末) 已知函数f x
= 2x + x - 2，g x
= log2x + x - 2，h x
= x3 + x - 2 的零
点分别为a，b，c，则a + b + c =
．
答案3
解析
【分析】先把a，b，c 转化为函数y = 2x，y = log2x，y = x3 与y =-x + 2 的交点的横坐标，
再利用y = 2x与y = log2x 互为反函数，可得a + b = 2，又c = 1，所以a + b + c = 3．
【详解】如图，在平面直角坐标系中，作函数y = 2x，y = log2x，y = x3 的图象，它们的图象与函数y
=-x + 2 的交点的横坐标就是a，b，c．
因为y = 2x，y = log2x 互为反函数，其图象关于直线y = x 对称，y =-x + 2 与y = x 垂直，所以a +
b = 2．
又h 1
= 1 + 1 - 2 = 0，所以c = 1．
所以a + b + c = 3．
2
函数f x
= ex x-1
- x - 1 的所有零点之和为
(
)
A. 0
B. - 1
C.
3
D. 2
答案A
解析
【分析】令f x
= 0，即ex x-1
- x - 1 = 0，构造函数y = ex 与函数y = x+1
x-1 ，画出函数图
象，可知两个函数图象相交于两点，设为x1，x2，得f x1
= f -x1
= 0，进而得到x2 =-x1，即x1 +
x2= 0
【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程f x
= 0 的实数根，令f x
= 0，
则ex x-1
- x - 1 = 0，显然x ≠1，所以ex= x+1
x-1 ，
构造函数y = ex与函数y = x+1
x-1 ，则方程ex= x+1
x-1 的根，
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
所以此方程有两个实数根，即函数f x
= ex x-1
- x - 1 有两个零点，
设为x1，x2，所以ex1= x1+1
x1-1 ，ex2= x2+1
x2-1 ，
即f x1
= ex1 x1-1
- x1- 1 = 0，f x2
= ex2 x2-1
- x2- 1 = 0，
另外发现，将-x1 代入，可得f -x1
= e-x1 -x1-1
- -x1
- 1 = - x1+1
ex1
+ x1 - 1 = - x1+1
ex1
+
３６２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
363
x1+1
ex1
= 0，
所以-x1也是函数f x
的零点，说明x2=-x1，即x1+ x2= 0．
故选：A．
1
(高一上·辽宁沈阳·期末) 已知函数f x
的定义域为R，且f x+1
是奇函数，当x > 1 时，f x
=
2-x,
1<x≤2
x2-4x+4,
x>2
，函数g x
= x-1
1
3 ，则方程f x
= g x
的所有的根之和为
(
)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
答案C
解【分析】先判断函数的对称中心，再结合图象及交点个数，最后结合对称性得出所有根的和．
【详解】由题知f x+1
是奇函数，则有：f x+1
+ f -x+1
= 0 ，f x
关于1,0
对称，
且f 1
= 0，x > 1 时，f x
= 2-x,
1<x≤2
x2-4x+4,
x>2
，
g x
恒过1,0
，且g x
关于1,0
对称，
方程f x
= g x
的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和，
根据f x
，g x
对称性及解析式画出图象如下：
y = g x
由图像可知f x
，g x
有5 个交点，其中一个交点横坐标为1，
另外四个，两两分别关于1,0
对称，故五个交点横坐标和为2 × 2 + 1 = 5，即所有根之和5．
2
(贵州省毕节市2023 - 2024 学年高一下学期期末联考数学试题) 已知x1 是函数f x
= ex + x - 2 的
零点，x2是函数g x
= e4-x- x + 2 的零点，则x1+ x2的值为
(
)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
答案B
解【分析】由题意可得f(x) 的零点为函数y = ex 与y = 2 - x 交点的横坐标，g(x) 的零点为函数y =
e4-x与y = x - 2 交点的横坐标，再由函数图象的对称性可求得结果．
【详解】由题意可得f(x) 的零点为函数y = ex与y = 2 - x 交点的横坐标，
因为y = ex和y = x - 2 在R 上递增，所以f x
= ex+ x - 2 在R 上递增，
３６３
364
所以x1为f(x) 唯一的零点，设函数y = ex与y = 2 - x 交点为A，
g(x) 的零点为函数y = e4-x与y = x - 2 交点的横坐标，
因为y = e4-x和y = 2 - x 在R 上递减，所以g x
= e4-x- x + 2 在R 上递减，
所以x2为g(x) 唯一的零点，设函数y = e4-x与y = x - 2 交点为B，
因为y = ex与y = e4-x的图象关于直线x = 2 对称，y = 2 - x 与y = x - 2 的图象关于直线x = 2 对称，
所以A，B 关于直线x = 2 对称，所以x1+ x2= 4．
故选：B
3
(高一上·江苏·月考) 设x1满足ex+ x - 3 = 0，x2满足e1-x- x - 2 = 0，则ex1+x2=
．
答案e
解【分析】根据给定条件，构造函数并探讨其单调性，借助函数零点确定x1与x2得解．
【详解】令函数f(x) = ex + x - 3，而函数y = ex，y = x - 3 在R 上都是增函数，因此函数f(x) 是增函
数，
由x2满足e1-x- x - 2 = 0，得e1-x2- x2- 2 = 0，即e1-x2+ (1 - x2) - 3 = 0，于是f(1 - x2) = 0，
由x1满足ex+ x - 3 = 0，得f(x1) = 0，因此f(x1) = 0 = f(1 - x2)，而函数f(x) 在R 上递增，
于是x1= 1 - x2，即x1+ x2= 1，所以ex1+x2= e．
4
已知定义在R 上的偶函数f x
满足f 2+x
= f 2-x
，当x ∈0,2
时，f x
=-x + 4．设h x
= log 1
2 x+2
+ 4，则f x
与h x
图象的所有交点的横坐标之和为
．
答案-8
解【分析】由f 2+x
= f 2-x
可得f x
关于x =-2 对称，结合f x
为偶函数可得f x
周期，由
h x
解析式可得该函数也关于x =-2 对称，即可由对数函数及幂函数图象将f x
与h x
图象画在同
一直角坐标系中，结合图象与函数对称性即可得到f x
与h x
图象的所有交点的横坐标之和．
【详解】由f x
为偶函数，故f x
= f -x
，即f x+2
= f -x-2
，
由f 2+x
= f 2-x
，故f x
关于x = 2 对称，且f 2-x
= f -x-2
，
即有f 2+x
= f x-2
，故f x
周期为4，则f x
也关于x =-2 对称；
由h x
= log 1
2 x+2
+ 4，故x ≠-2，
由h -x-4
= log 1
2 -x-4+2
+ 4 = log 1
2 x+2
+ 4 = h x
，
即h x
关于x =-2 对称，
由x ∈0,2
时，f x
=-x + 4，作出f x
及h x
图象如图所示：
３６４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
365
当x > 2 时，2 ≤f x
≤4，h x
= log 1
2 x+2
+ 4 <-log24 + 4 = 2，
故当x > 2 时，f x
与h x
图象无交点，
由图象可知，当x = 2 时，f 2
= h 2
，有一个交点2,0
，
当x ∈-2,0
时，f x
与h x
图象存在一个交点，设该点横坐标为m，
则结合函数对称性可知，当x <-2，
f x
与h x
图象必有两交点，且两交点横坐标分别为-6，-m - 4，
故f x
与h x
图象的所有交点的横坐标之和为-6 + 2 + m + -m-4
=-8．
5
(高一上·河北石家庄·期末) 设函数f x
= 10x + x - 6 的零点为m，函数g x
= lgx + x - 6 的零点
为n，则m + n =
．
答案6
解【分析】根据f x
的零点即为y = 10x 与y = 6 - x 的交点之横坐标，g x
的零点即为y = lgx 与y =
6 - x 的交点之横坐标，且y = 10x 与y = lgx 互为反函数，即图象关于y = x 对称，且y = 6 - x 与y =
x 垂直，所以y = 10x和y = lgx 与y = 6 - x 的交点也关于y = x 对称，据此求解
【详解】解：令f x
= 10x + x - 6 = 0 得10x = 6 - x，则f x
的零点m 即为y = 10x 与y = 6 - x 的交点
之横坐标，
同理函数g x
= lgx + x - 6 的零点n 为y = lgx 与y = 6 - x 的交点之横坐标，
又y = 10x与y = lgx 互为反函数，即它们的图象关于y = x 对称，且y = 6 - x 与y = x 垂直，
所以y = 10x和y = lgx 与y = 6 - x 的交点也关于y = x 对称，
由y=x
y=6-x
解得两直线交点为3,3
，所以m + n = 6．
6
(湖北省鄂东南2024 - 2025 高一上期中联考) 设函数f(x) = x2-2x,
x≤2
-2x+6,
x>2
关于x 的方程f(x) =
a 有三个不等实根x1，x2，x3，且x1< x2< x3，则2x1+ 2x2+ 3x3的取值范围是
．
答案
13, 29
2
解【分析】画出函数图象，数形结合得到x1+ x2= 2，x3∈3, 7
2
，求出答案．
【详解】画出函数f(x) 的图象，观察图形知，仅当-1 < a ≤0 时，方程f(x) = a 有三个不等实根，
分别对应直线y = a 与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，
不妨设x1< x2< x3，显然x1，x2关于x = 1 对称，则x1+ x2= 2，
３６５
366
另一个交点位于直线y =-2x + 6 上，在y =-2x + 6 中，当-1 < y ≤0 时，3 ≤x < 7
2 ，即x3 ∈
3, 7
2
，
因此2x1+ 2x2= 4，3x3∈9, 21
2
，所以2x1+ 2x2+ 3x3∈13, 29
2
．
7
(山东省泰安市肥城市2023 - 2024 学年高一上学期11 月期中考试数学试题) 已知函数f x
= 2x -
x，方程f x
= f -x
有三个解x1，x2，x3，则f x1+x2+x3
=
(
)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案B
解【分析】变换得到2x- 2-x- 2x = 0，设g x
= 2x- 2-x- 2x，确定函数为奇函数，得到x1+ x3= 0，
x2= 0，计算得到答案．
【详解】f x
= 2x- x，f x
= f -x
，即2x- x = 2-x+ x，即2x- 2-x- 2x = 0，
设g x
= 2x- 2-x- 2x，函数定义域为R，g -x
= 2-x- 2x+ 2x =-g x
，
函数g x
为奇函数，g 0
= 0，
不妨取x1< x2< x3，则x1+ x3= 0，x2= 0，f x1+x2+x3
= f 0
= 1．
8
(广东省珠海市高一上学期11 月联考) 若x1，x2 分别是方程ex + x - 2023 = 0，lnx + x - 2023 = 0
的根，则x1+x2
2
=
(
)
A. 2023
2
B. 2023
C. 2023
4
D. 4046
答案A
解【分析】由于y = ex 的图像与y = lnx 图像关于直线y = x 对称，而直线y =-x + 2023 也关于直线y
= x 对称，利用对称性，结合数形结合，再利用中点坐标公式可求出x1+ x2的值．
【详解】
由题意可得x1 是函数y = ex 的图像与直线y =-x + 2023 交点A 的横坐标，x2 是函数y = lnx 图像与
直线y =-x + 2023 交点B 的横坐标，
因为y = ex的图像与y = lnx 图像关于直线y = x 对称，而直线y =-x + 2023 也关于直线y = x 对称，
所以线段AB 的中点就是直线y =-x + 2023 与y = x 的交点，
３６６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
367
由y=x
y=-x+2023
，得
x= 2023
2
y= 2023
2
，即线段AB 的中点为
2023
2
, 2023
2
，
所以x1+x2
2
= 2023
2
．
【题型
【题型7】由二次函数零点分布求参数范围
】由二次函数零点分布求参数范围
一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想．一般考虑以
下几方面：
1、开口(若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况)．
2、判定给定点处函数值的正负．(开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△> 0 恒成立)
判定△符号．
3、判定对称轴的位置．
4、总之，耐心去分类讨论(分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解)，借助图象去分析就可以
得到结论，无需记忆．
(1) 二元二次方程在R 上根的分布情况
①方程有两个不等的实数根⇔Δ = b2- 4ac > 0；
②方程有两个相等的实数根⇔Δ = b2- 4ac = 0；
③方程没有实数根⇔Δ = b2- 4ac < 0
(2) 一元二次方程的根的“0”分布
①方程有两个不等正根x1，x2⇔
Δ=b2-4ac>0
x1+x2=- b
a >0
x1x2= c
a >0
；
②方程有两个不等负根x1，x2⇔
Δ=b2-4ac>0
x1+x2=- b
a <0
x1x2= c
a >0
③方程有一正根和一负根，设两根为x1，x2⇔x1x2= c
a < 0
(3) 一元二次方程(a > 0) 的根的“k”分布
①两根都小于k ⇔
Δ>0
- b
2a <k
f(k)>0
；
３６７
368
②两根都大于k ⇔
Δ>0
- b
2a >k
f(k)>0
③一根小于k，一根大于f(k) < 0
(4) 一元二次方程根(a > 0) 在区间的分布
①两根都在(m , n) 内⇔
Δ(m)>0
f(n)>0
m<- b
2a <n
②两根都在(m , n) 外⇔
f(m)<0
f(n)<0
③两根仅有一根在(m , n) 内⇔f(m) ⋅f(n) < 0
④一根在(m , n) 内，另一根在(p , q) 内⇔
f(m)f(n)<0
f(p)f(q)<0
1
(24 - 25 高一上·全国·期中) 如果函数f x
= x2- mx + 1 的两零点分别落在区间0,1
和1,2
上，
则实数m 的取值范围是
(
)
A. 1 < m < 3
B. 2 < m < 3
C. 2 < m < 5
2
D. 1 < m < 5
2
３６８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
369
答案C
解析
【分析】由一元二次方程根的分布列出不等式求解即可．
【详解】f x
= x2- mx + 1 为开口向上的抛物线，
由题意可得：
f 1
<0
f 0
>0
f 2
>0
，即
1-m+1<0
1>0
4-2m+1>0
得：2 < m < 5
2 ．
2
(高一上·江苏徐州·月考) 方程x2 - 2mx + 6 - m = 0 的两个根均大于1，则实数m 的取值范围是
．
答案
2, 7
3
解析
【分析】结合二次函数的图像和性质，根据一元二次方程根的分布，求参数的范围．
【详解】设f(x) = x2- 2mx + 6 - m，因为f(x) = 0 的两个实数根均大于1，
所以
Δ=4m2-4(6-m)≥0
- -2m
2
>1
f(1)=1-2m+6-m>0
，解得2 ≤m < 7
3 ，所以m 的取值范围为2, 7
3
．
故答案为：2, 7
3
．
3
(24 - 25 高一上·浙江宁波·月考) 若函数f x
= ax2 + 4x - 1 在-1,1
内恰有一个零点，则实数a
的取值范围是
．
答案
-3,5
∪-4
解析
【分析】根据判别式结合零点存在原理分类讨论即可．
【详解】当a = 0 时，f(x) = 4x - 1 = 0，解得x = 1
4 ∈(-1 , 1)，符合题意，则a = 0；
当a ≠0 时，二次函数f(x) = ax2+ 4x - 1 的判别式为：Δ = 16 + 4a，
若Δ = 0，即a =-4 时，函数f(x) = ax2+ 4x - 1 的零点为x = 1
2 ，符合题意，则a =-4；
当Δ > 0，即a >-4 时，由f(1) ⋅f(-1) = (a + 3) (a - 5) < 0，解得-3 < a < 5 且a ≠0，
则-3 < a < 5 且a ≠0；
当f(1) = 0 时，a =-3，方程另一根1
3 ∈(-1 , 1)，当f(-1) = 0 时，
a = 5，方程中一根1
5 ∈(-1 , 1)，则a =-3 或a = 5，
所以实数a 的取值范围为-3,5
∪-4
．
1
(24 - 25 高一上·辽宁盘锦·期中) 已知函数f x
= x2 + 2mx + 2m + 3 有一个零点在区间0,2
内，
求实数m 的取值范围是
(
)
A. m =-1
B. m =-1 或m = 3
C. m =-1 或- 3
2 < m ≤- 7
6
D. m =-1 或- 3
2 < m <- 7
6
答案D
解【分析】分函数只有一个零点且在区间0,2
内和函数有两个零点，且一个零点在0,2
上两种情
况讨论，分别求出参数的取值范围．
３６９
370
【详解】当函数只有一个零点，则0<-m<2
f -m
=m2-2m2+2m+3=0
，解得m =-1；
当函数有两个零点，且一个零点在0,2
上时，则f 0
f 2
< 0，
即2m+3
4+4m+2m+3
< 0，解得- 3
2 < m <- 7
6 ，
综上所述，实数m 的取值范围是m =-1 或- 3
2 < m <- 7
6 ．
2
(24 - 25 高一上·江苏无锡·期中) 若二次函数f x
= x2 - 2mx - 5 在区间3,4
上存在一个零点，
则m 的取值范围是
(
)
A. 2
3 < m < 11
8
B. m < 11
8
C. m > 2
3
D. m < 2
3 或m > 11
8
答案A
解【分析】根据一元二次方程的根的判别，结合二次函数以及零点存在性定理，可得答案．
【详解】由题意可得方程x2- 2mx - 5 = 0 在3,4
上存在一个根，Δ = 4m2+ 20 > 0，
由函数f x
= x2- 2mx - 5，则其对称轴为直线x =- -2m
2×1 = m，
当m ≤7
2 时，
f 3
<0
f 4
>0
，可得6m-4<0
8m-11>0
，解得2
3 < m < 11
8 ；
当m > 7
2 时，
f 3
>0
f 4
>0
，可得6m-4>0
8m-11<0
，显然无解．
综上所述，2
3 < m < 11
8 ．
3
(24 - 25 高一上·辽宁·期中) 已知函数f x
= x2 + 2mx + 2m + 3 至少有一个零点在区间(0 , 2) 内，
求实数m 的取值范围是
(
)
A. m =-1
B. m =-1 或m = 3
C. - 3
2 < m ≤-1
D. m =-1 或- 3
2 < m <- 7
6
答案C
解【分析】根据判别式、零点存在性定理、二次函数的性质等知识确定正确答案．
【详解】对于函数f x
= x2+ 2mx + 2m + 3，
Δ = 4m2- 4 2m+3
= 4 m2-2m-3
= 4 m+1
m-3
，
当Δ < 0，即-1 < m < 3 时，f x
没有零点，不符合题意．
当Δ = 0，即m =-1 或m = 3 时，
当m =-1 时，f x
= x2- 2x + 1 = x-1
2，零点为1，
1 ∈0,2
，符合题意．
当m = 3 时，f x
= x2+ 6x + 9 = x+3
2，零点为-3，
-3 ∉0,2
，不符合题意．
当Δ > 0，即m <-1 或m > 3 时，f x
有两个不相等的零点x1，x2，
至少有一个零点在区间(0 , 2) 内，
则需f 0
f 2
= 2m+3
6m+7
< 0 或
f 0
=2m+3>0
f 2
=6m+7>0
0<-m<2
，
得- 3
2 < m <- 7
6 ，- 7
6 < m <-1，
３７０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
371
另外若f 0
= 2m + 3 = 0，m =- 3
2 ，
则f x
= x2- 3x = x x-3
，零点为0 或3，不符合题意．
若f 2
= 4 + 4m + 2m + 3 = 6m + 7 = 0，m =- 7
6 ，
则f x
= x2- 7
3 x + 2
3 = x-2
x- 1
3
，零点为2 或1
3 ，
1
3 ∈0,2
，符合题意．
综上所述，m 的取值范围是：- 3
2 < m ≤-1．
【题型
【题型8】等值线问题
】等值线问题
数形结合思想
1
(高一上·广东潮州·期末) 已知函数f x
= lnx
- m 有两个零点分别为a 和b，则a + b 的取值范围
是
．
答案
2,+∞
解析
【分析】不妨设0 < a < b，根据对数的运算性质可得出b = 1
a ，则a + b = a + 1
a ，且0 < a <
1，利用对勾函数的单调性可求得a + b 的取值范围．
【详解】不妨设0 < a < b，因为函数f x
= lnx
- m 有两个零点分别为a、b，
所以lna
- m = lnb
- m = 0，所以lna
= lnb
，即-lna = lnb，即lnb = ln 1
a ，
所以，b = 1
a ，其中0 < a < 1，所以，a + b = a + 1
a ，
因为函数g x
= x + 1
x 在0,1
上为减函数，当0 < x < 1 时，g x
= x + 1
x > g 1
= 2，
所以，a + b = a + 1
a > 2，故a + b 的取值范围是2,+∞
．
故答案为：2,+∞
．
2
(高一上·江苏苏州·期中) 已知f x
=
x2+4x+3,
x≤0
3- 2
x
,
x>0
若x1 < x2 < x3 < x4，且f x1
= f x2
=
f x3
= f x4
，则1
x1
+ 1
x2
+ 1
x3
+ 1
x4
的取值范围是
(
)
A.
-∞, 5
3
B.
-∞,2
C.
-∞, 13
3
D.
5
3 , 13
3
答案A
解析
【分析】画出函数图象，结合对称性，数形结合得到x1 + x2 =-4，x1 ∈-4,-3
，x2 ∈
-1,0
，2
x3
- 3 = 3 - 2
x4
，求出1
x1
+ 1
x2
=
4
x2+2
2-4
∈-∞,- 4
3
，得到答案．
【详解】画出f x
=
x2+4x+3,
x≤0
3- 2
x
,
x>0
的图象，如下，
３７１
372
设f x1
= f x2
= f x3
= f x4
= a，则a ∈0,3
，
令x2+ 4x + 3 = 3，解得x =-4 或0，
因为y = x2+ 4x + 3 的对称轴为x =-2，由对称性可得x1+ x2=-4，
且x1∈-4,-3
，x2∈-1,0
，
其中1
x1
+ 1
x2
= x1+x2
x1x2
= -4
x1x2
=
-4
-4-x2
x2
=
4
x2+2
2-4
，
因为x2∈-1,0
，所以x2+2
2- 4 ∈-3,0
，
故1
x1
+ 1
x2
=
4
x2+2
2-4
∈-∞,- 4
3
，
又2
x3
- 3 = 3 - 2
x4
，故1
x3
+ 1
x4
= 3，
1
x1
+ 1
x2
+ 1
x3
+ 1
x4
∈-∞, 5
3
．
1
(高一上·宁夏石嘴山·期中) (多选) 已知函数f(x) =
x+1
,
x≤2
x2-4x+1,
x>2
，若存在x1 < x2 < x3，使得
f x1
= f x2
= f x3
，则x1+ x2+ x3的取值可以是
(
)
A.
3
B. 3
C.
5
D.
6
答案CD
解【分析】设f x1
= f x2
= f x3
= t，则直线y = t 与函数f x
的图象有三个交点，结合函数的对称
性求出x1+ x2+ x3的取值范围即可．
【详解】设f x1
= f x2
= f x3
= t，作出函数y = f(x) 与y = t 的图象，如图：
观察图形知，当0 < t ≤3 时，直线y = t 与函数f x
的图象有三个交点，
点x1,t
、x2,t
关于直线x =-1 对称，则x1+ x2=-2，且函数f x
在2,+∞
上为增函数，
由f x3
= x2
3 - 4x3 + 1 ∈0,3
，x3 > 2，得2 +
3 < x3 ≤2 +
6，因此x1 + x2 + x3 = x3 - 2 ∈( 3，
6]，
所以x1+ x2+ x3的取值可以是
5，
6．
2
(24 - 25 高一上·云南昆明·期中) 已知f x
=
x+3
,
x≤0
1
3
x-1,
x>0
，若x1 < x2 < x3，且f x1
= f x2
=
３７２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
373
f x3
，则f x3
x1+x2
的取值范围是
．
答案
- 1
2 ,0
解【分析】作出图形，设f x1
= f x2
= f x3
= t，数形结合可得出t 的取值范围，由对称性可得出
x1+ x2的值，由此可得出f x3
x1+x2
的取值范围．
【详解】作出函数f x
的图象如下图所示：
设f x1
= f x2
= f x3
= t，
由图可知，当0 < t < 3 时，直线y = t 与函数f x
的图象有三个公共点，
且点x1,t
、x2,t
关于直线x =-3 对称，则x1+ x2=-6，且0 < f x3
< 3，
故f x3
x1+x2
=- 1
6 f x3
∈- 1
2 ,0
．
3
(高一下·广东广州·月考) 已知函数f x
= log5x-1
- k k∈R
．若k = 0，则f x
的零点为
；若函数f x
有两个零点x1，x2 x1<x2
，则25x1+ x2的最小值为
．
答案5 50
解【分析】空1：求解f x
= 0 即可；空2：作出y = log5x-1
的图象，结合题意可得x1x2= 25，再根
据基本不等式求解最小值即可．
【详解】log5x-1
= 0，解得x = 5，故f x
的零点为5；
由题意log5x-1
= k 有两个零点x1，x2 x1<x2
，
作出y = log5x-1
的图象可得log5x1- 1 =-k = 1 - log5x2，
且0 < x1< 5 < x2，故log5x1+ log5x2= 2，即x1x2= 25．
故25x1+ x2= 25x1+ 25
x1
≥2
25x1× 25
x1 = 50，
当且仅当25x1= 25
x1
，即x1= 1 时取等号．
故答案为：5；50
３７３
374
4
(高一上·山西阳泉·期末) 已知函数f x
=
x+2
,
x≤0
log3x
,
x>0
，若方程f(x) = a 有四个不同的解x1 <
x2< 1
x3
< 1
x4
，则x1+ x2+ 1
x3
+ 1
x4
的取值范围是
．
答案
-2, 46
9
解【分析】画出函数大致图象，数形结合得-4 ≤x1 <-2 < x2 ≤0 < 1
9 ≤1
x3
< 1 < 1
x4
≤9，利用对称
性及对数函数的性质有x1+ x2=-4、x3x4= 1，进而求目标式的范围．
【详解】由解析式可得函数大致图象如下，
由图知：0 < a ≤2，则-4 ≤x1<-2 < x2≤0 < 1
9 ≤1
x3
< 1 < 1
x4
≤9，
且x1+ x2=-4，log3 1
x3
= log3 1
x4
⇒-log3 1
x3
= log3 1
x4
⇒log3
1
x3x4
= 0 ⇒x3x4= 1，
所以x1+ x2+ 1
x3
+ 1
x4
= x4+ 1
x4
- 4，又y = x4+ 1
x4
- 4 在x4∈
1
9 ,1
上递减，则y ∈-2, 46
9
．
5
(高一上·湖南长沙·月考) 已知函数f(x) =
x+2
,
x≤0
log2x
,
x>0
，若方程f(x) = a 有四个不同的解x1，
x2，x3，x4，且x1< x2< x3< x4，则x3 x1+x2
+
1
x2
3x4
的取值范围是
．
答案(-3 , 3]
解【分析】画出函数图像，根据图像结合函数性质确定x1 + x2 =-4，x3x4 = 1，1 < x4 ≤4，变换
x3 x1+x2
+
1
x2
3x4
= x4- 4
x4
，根据函数的单调性计算最值即可．
【详解】画出函数f(x) =
x+2
,
x≤0
log2x
,
x>0
=
-x-2,
x<-2
x+2,
-2≤x≤0
-log2x,
0<x<1
log2x,
x≥1
的图象，如图所示：
方程f(x) = a 有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1< x2< x3< x4，
由x ≤0 时，f(x) = x+2
，则x1与x2的中点横坐标为x =-2，即：x1+ x2=-4，
当x > 0 时，由于y = log2x
在(0 , 1) 上是减函数，在(1 ,+∞) 上是增函数，
又因为x3< x4，log2x3
= log2x4
，则0 < x3< 1 < x4，有-log2x3= log2x4，
x3x4= 1，又log2x4≤2，1 < x4≤4，
x3 x1+x2
+
1
x2
3x4
=-4x3+ 1
x3
= x4- 4
x4
在x4∈(1 , 4] 上递增，故取值范围是(-3 , 3]．
３７４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
375
6
(24 - 25 高一上·浙江宁波·期中) 已知函数f(x) =
x2-2x
,x≤3,
6-x,
x>3
，若a，b，c(a < b < c)
满足f a
= f b
= f c
> 1，记M = af a
+ bf b
+ cf c
，则M 的取值范围为
．
答案
7,15
解【分析】画出函数图像，结合二次函数和一次函数的性质，找出满足题意得图像段，缩小变量范围，
后将M 转化为求二次函数的值域问题．
【详解】因为y = |x2- 2x| 的图象是将y = x2- 2x 在x 轴下方部分沿x 轴翻折得到的．
满足f a
= f b
= f c
> 1，则直线在如图所示两条虚线间上下平移．
令|x2- 2x| = 1，即x2- 2x =±1，解得x = 1 ±
2 或x = 1．
令6 - x = 1 时，解得x = 5．
令|x2- 2x| = 3，即x2- 2x =±3，解得x =-1 或x = 3．
令6 - x = 3 时，解得x = 3．
画出草图如下：
由a < b < c，f(a) = f(b) = f(c) > 1，知a ∈(-1，1 -
2)，b ∈(1 +
2，3)，c ∈(3 , 5)
又因为f(a) = f(b)，由函数的对称性，此两点关于x = 1 对称，则a + b = 2．
令f(a) = f(b) = f(c) = t，
则M = at + bt + ct = (a + b + c)t = (2 + c)t，f(c) = t = 6 - c，
则M = M(c) = (2 + c) (6 - c) =-c2+ 4c + 12，c ∈(3 , 5)，
M(c) =-c2+ 4c + 12，对称轴为x = 2，则M(c) =-c2+ 4c + 12 在c ∈(3 , 5) 单调递减．
7 = M(5) < M(c) < M(3) = 15．则M 的取值范围为7,15
．
7
(2024 高一上·江苏·专题练习) 已知f(x) =
lnx
,
0<x≤e
2-lnx,
x>e
，若a，b，c 互不相等且a < b < c，
且f(a) = f(b) = f(c)，则a + b + e2
c 的范围是
．
答案
3,2e+ 1
e
解【分析】画出函数f(x) 的大致图象，根据图象知1
e < a < 1，1 < b < e，且|lna| = |lnb|，lnb = 2
- lnc，再建立b 的函数并结合对勾函数求出范围．
【详解】函数f(x) =
-lnx,0<x≤1
lnx,1<x≤e
2-lnx,x>e
在(0 , 1]，(e ,+∞) 上单调递减，在(1 , e] 上单调递增，f(e2) =
0，
画出f(x) =
lnx
,
0<x≤e
2-lnx,
x>e
的图象，如图，
３７５
376
因为a < b < c，由f(a) = f(b) = f(c)，得1
e < a < 1，1 < b < e，e < c < e2，
由|lna| = |lnb|，得lna + lnb = 0，即ab = 1，由lnb = 2 - lnc，得bc = e2，
于是a + b + e2
c = 1
b + b + bc
c = 1
b + 2b，由对勾函数性质知，a + b + e2
c = a + b + bc
c = a + 2b =
1
b + 2b 在(1 , e) 上递增，则3 < 1
b + 2b < 2e + 1
e ，
所以a + b + e2
c 的范围是3,2e+ 1
e
．
【题型
【题型9】函数零点和指数式与对数式的互化
】函数零点和指数式与对数式的互化
函数零点题型常涉及求解方程根、判断函数图像与x 轴交点等。指数式与对数式互化题型则注重转换技
巧，如给定指数式求对数式表达，或利用对数定义解指数方程。两类题型均考验数学基础与逻辑转换能
力。
1
(24 - 25 高一上·湖南邵阳·开学考试) 已知函数f x
= lnx + x - 3，g x
= ex + x - 3(其中e 为自然
对数的底数)．设m，n 分别为f x
，g x
的零点，则en+ lnm =
．
答案3
解析
【分析】利用g n
= 0 = f en
，结合f x
的单调性求解即可．
【详解】m，n 分别为f x
，g x
的零点，
故f m
= lnm + m - 3 = 0，g n
= en+ n - 3 = 0，
因为en+ n - 3 = 0，所以f en
= lnen+ en- 3 = en+ n - 3 = 0，且en+ n = 3，
因为函数f x
= lnx + x - 3 为增函数，且f m
= f en
= 0，
故m = en，所以en+ lnm = en+ lnen= en+ n = 3．
2
已知x0是函数f x
= x2ex+ lnx 的零点，则ex0⋅lnx0=
．
答案-1
解析
【分析】根据题意列出方程，进而得到x0= ln 1
x0
进行求解即可．
【详解】由题可知，f x0
= x2
0ex0+ lnx0= 0，
所以x2
0ex0=-lnx0⇒x0ex0=- lnx0
x0
= 1
x0
ln 1
x0
> 0，
令f x
= xex，x>0
，则f x
单调递增，且f x0
= f ln 1
x0
，
所以x0= ln 1
x0
，所以ex0= 1
x0
，lnx0=-x0，
所以ex0⋅lnx0= 1
x0
⋅(-x0) =-1．
1
(高一上·四川南充·月考) 已知x0是函数f x
= e
1
x - x2lnx 的零点，则e
1
x0lnx0=
．
答案1
解【分析】首先由f x0
= 0 可得1
x0
e
1
x0 = lnx0elnx0，然后构造函数g(x) = xex，由g(x) = xex 的单调性
以及g
1
x0
= g lnx0
得1
x0
= lnx0，则e
1
x0lnx0的值可求．
【详解】令f x0
= e
1
x0 - x0
2lnx0= 0，1
x0
e
1
x0 = x0lnx0= lnx0elnx0，
由于1
x0
e
1
x0 > 0，所以x0lnx0> 0，即x0> 1，
３７６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
377
令g(x) = xex，则g
1
x0
= g lnx0
，因为y = x，y = ex在1,+∞
上均大于0，且单调递增，
所以g(x) 在(0 ,+∞) 上单调递增，所以1
x0
= lnx0，e
1
x0 = x0，所以e
1
x0lnx0= 1．
2
(高一上·湖南长沙·期末) 已知a > 1，x1，x2 分别是函数f x
= ex + x - a 与g x
= lnx + x - a 的
零点，若m = ex1+ x2，则m 的取值范围为
．
答案
2,+∞
解【分析】x1，x2 分别为y = ex、y = lnx 与y = a - x 图象交点的横坐标，而y = ex 与y = lnx 的图象
关于直线y = x 对称，直线y = a - x 与直线y = x 垂直，从而可得ex1 = x2，再得出x2 的范围后即可得
结论．
【详解】由题意，x1，x2分别为y = ex、y = lnx 与y = a - x 图象交点的横坐标，
而y = ex与y = lnx 的图象关于直线y = x 对称，直线y = a - x 与直线y = x 垂直，
因此这两个交点关于直线y = x 对称，如图所示：
∴ex1= x2，
∵a > 1，∴x2> 1，
∴m = ex1+ x2= 2x2∈2,+∞
．
故答案为：(2 ,+∞)．
3
(高二下·山东菏泽·月考) 设x0是函数f x
= x2ex-3+ lnx - 3 的零点，则e3-x0+ lnx0=
．
答案3
解【分析】根据零点的定义，结合对数与指数互化公式，通过构造新函数，利用新函数的单调性进行
求解即可．
【详解】由题意，f x0
= x2
0ex0-3+ lnx0- 3 = 0．
注意到x2
0ex0-3= elnx2
0ex0-3= e2lnx0ex0-3= ex0+2lnx0-3，
所以x2
0ex0-3+ lnx0- 3 = ex0+2lnx0-3+ lnx0- 3 = 0，
在ex0+2lnx0-3+ lnx0- 3 = 0 两边同时加上x0+ lnx0，
即ex0+2lnx0-3+ x0+ 2lnx0- 3 = x0+ lnx0，
即ex0+2lnx0-3+ x0+2lnx0-3
= elnx0+ lnx0，
设函数g x
= ex+ x，显然该函数是实数集上的增函数，
由ex0+2lnx0-3+ x0+ 2lnx0- 3 = elnx0+ lnx0⇒g x0+2lnx0-3
= g lnx0
，
即x0+ 2lnx0- 3 = lnx0即x0+ lnx0- 3 = 0，
所以e3-x0+ lnx0= elnx0+ lnx0= x0+ lnx0= 3
4
(高一下·辽宁朝阳·月考) 已知x0是函数f x
= ex+ x - 2 的零点，则
(
)
A. x0> 1
B. ln 2-x0
= x0
C. x0- e-x0> 0
D. e2-x0- e < 0
答案B
３７７
378
解【分析】对A：根据零点存在定理，即可判断零点范围；对B：ex0 = 2 - x0，两边取对数，即可判
断；对C：x0ex0 = x0 2-x0
，结合x0 的范围，即可得到x0ex0 < 1，从而进行判断；对D：根据x0 的
范围，再结合指数函数单调性，即可判断．
【详解】y = ex，y = x - 2 均为单调增函数，故f x
为单调增函数；
对A：因为f 0
=-1，f 1
= e - 1 > 0，故x0∈0,1
，故A 错误；
对B：因为ex0+ x0- 2 = 0，故ex0= 2 - x0> 0，两边取对数可得x0= ln 2-x0
，故B 正确；
对C：ex0 = 2 - x0，故x0ex0 = x0 2-x0
=- x0-1
2 + 1 < 1，则x0 < e-x0，则x0 - e-x0 < 0，故C 错
误；
对D：因为x0∈0,1
，2 - x0∈1,2
，故e2-x0∈e,e2
，则e2-x0> e，e2-x0- e > 0，故D 错误．
5
(高一上·江西宜春·月考) 已知f x
= ex - 1
x 的零点为x0，若ex0 + x0lnx0 > 2m，则整数m 的最大
值是
．
答案0
解【分析】根据题意分析f x
= ex - 1
x 的零点x0 ∈
1
2 ,1
，f x0
= ex0 - 1
x0
= 0，得到ex0 + x0lnx0
= 1
x0
+ x0⋅-x0
= 1
x0
- x0
2，通过判断h x
= 1
2
1
x -x2
，1
2 < x < 1 的范围即可得到答案．
【详解】函数f x
= ex- 1
x 的定义域为-∞,0
∪0,+∞
，
当x < 0 时，f x
> 0 恒成立，不存在零点；
当x > 0 时，f x
单调递增，且f
1
2
=
e - 2 < 0，f 1
= e - 1 > 0，
所以f x
= ex- 1
x 的零点x0∈
1
2 ,1
，f x0
= ex0- 1
x0
= 0，
即ex0= 1
x0
，两边同时取对数，即x0=-lnx0，即lnx0=-x0，
所以ex0+ x0lnx0= 1
x0
+ x0⋅-x0
= 1
x0
- x0
2，所以m < 1
2
1
x0
-x0
2
，
记h x
= 1
2
1
x -x2
，1
2 < x < 1，
显然，h x
单调递减，所以h 1
< h x
< h 1
2
，
所以0 < h x
< 7
8 ，所以整数m 的最大值是0．
【题型
【题型10
10】嵌套函数零点问题
】嵌套函数零点问题
数形结合与换元法
对于嵌套型复合函数y = f[g(x)] 的零点个数问题，求解思路如下：
(1) 确定内层函数u = g(x) 和外层函数y = f(u)；
(2) 确定外层函数y = f(u) 的零点u = ui(i = 1，2，3，.
.
.
.n)；
(3) 确定直线u = ui(i = 1，2，3，.
.
.
.n) 与内层函数u = g(x) 图象的交点个数分别为，a1，a2，
a3．．．．．．．，an则函数y = f[g(x)] 的零点个数为a1+ a2+ a3．．．．．．．+an．
注意：抓住两点：(1) 转化换元；(2) 充分利用函数的图象与性质．
1
(高一上·陕西西安·月考) 定义域和值域均为-a,a
(常数a > 0) 的函数y = f x
和y = g x
图象如
３７８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
379
图所示，则方程f g x
= 0 有
个解．
答案3
解析
【分析】先利用换元法将方程f g x
= 0 根的问题转化方程f t
= 0 及t = g x
根的问题，由
图象可得方程f t
= 0 在-a,a
上有三个实数解，结合函数y = g x
的单调性及值域即可求解．
【详解】令t = g x
则t ∈-a,a
，
由函数y = f x
的图象可得：方程f t
= 0 有3 个解t1，t2，t3，其中-a < t1< t2< 0，t3= a
由函数y = g x
的图象可知：函数y = g x
在-a,a
上单调递减
又因为y = g x
值域为-a,a
所以对于每一个t1，t2，t3，都存在唯一的x 与之对应．
所以方程f g x
= 0 有3 个解．
2
已知函数f x
= a⋅2x，x≤0，
log2x，x>0，
若关于x 的方程f f x
= 0 有且仅有两个实数根，则实数a 的
取值范围是
(
)
A.
0,1
B.
-∞,0
∪0,1
C.
1,+∞
D.
0,1
∪1,+∞
答案C
解析
【分析】利用换元法设u = f x
，则方程等价为f u
= 0，根据指数函数和对数函数图象和性质
求出u = 1，利用数形结合进行求解即可．
【详解】令u = f x
，则f u
= 0．
①当a = 0 时，若u ≤0，f u
= 0；若u > 0，由f u
= log2u = 0，得u = 1．
所以由f f x
= 0 可得f x
≤0 或f x
= 1．
如图所示，满足f x
≤0 的x 有无数个，方程f x
= 1 只有一个解，不满足题意；
②当a ≠0 时，若u ≤0，则f u
= a ⋅2u≠0；若u > 0，由f u
= log2u = 0，得u = 1．
所以由f f x
= 0 可得f x
= 1，当x > 0 时，由f x
= log2x = 1，可得x = 2，
因为关于x 的方程f f x
= 0 有且仅有两个实数根，则方程f x
= 1 在(-∞, 0] 上有且仅有一个实
数根，
若a > 0 且x ≤0，f x
= a ⋅2x∈0,a
，故a ≥1；
３７９
380
若a < 0 且x ≤0，f x
= a ⋅2x< 0，不满足题意．
综上所述，实数a 的取值范围是1,+∞
3
已知函数f x
= x-a
ex，则f f x
= a 至多有
个实数解．
答案7
解析
由f x
= x-a
ex可得f x
≥0，由f f x
= a 知a ≥0，f 0
= a，
当x ≤a 时，f x
= (a - x)ex，fx
= (a - x - 1)ex，
当x ≤a - 1 时，fx
≥0，f x
在(-∞, a - 1] 单调递增，
当a - 1 < x ≤a 时，fx
< 0，f x
在(a - 1 , a] 单调递减，
当x > a 时，f x
= (x - a)ex，fx
= (x - a + 1)ex> 0，f x
在(a ,+∞) 单调递增，
则可作出函数f x
= x-a
ex的大致图像如图：
三个图分别对应a = 1，a < 1，a > 1 时的情况，
设t = f(x)，则f f x
= a 即f t
= a，
则f t
= a 的解的个数问题即为y = f(t)，y = a 的交点个数问题，
结合f x
= x-a
ex的图象可知y = f(t)，y = a 的交点个数最多是3 个，
即为图2 个和图3 所示情况，
不妨设交点横坐标为t1，t2，t3，t1< t2< t3，当如图2 所示时，t1< 0，t2= 0，t3> 0，
此时t1= f(x) 无解，t2= f(x) 有1 个解，t3= f(x) 最多有3 个解，
故此时最多有4 个解；
当如第3 个图所示时，t1= 0，0 < t2< a，t3> a，
此时t1= f(x) 有一个解，t2= f(x) 最多有3 个解，t3= f(x) 最多有3 个解，
故此时最多有7 个解
1
已知f x
=
lnx
+2,
x>0
3-x2,
x≤0
，若f f x
= a 只有5 个不同的实根，则实数a 的取值范围是
．
答案
ln2+2,3
解【分析】令f x
= t，本题转化为
f x
=t
f t
=a
中x 的解的个数为5，作出函数图象，根据嵌套函数的
性质一一分析即可．
【详解】令f x
= t，本题转化为
f x
=t
f t
=a
中x 的解的个数为5．
f 0
= 3，当x > 0 时，令lnx
+ 2 = 3，解得x = e-1或e，
f 1
= 2，当x ≤0 时，令3 - x2= 2，解得x =-1，
则作出f x
的图象，如下图所示，
３８０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
381
当a > 3 时，f t
= a 有两个根，0 < t1< e-1，t2> e，则f x
= t1有1 个实数根，
当e < t2≤3 时，f x
= t2有3 个根，t2> 3 时有两个根，
故共有3 个或4 个根，故舍去；
当2 < a ≤3 时，此时f t
= a 有3 个根，-1 < t1< 0，e-1≤t2< 1，1 < t3≤e，
f x
= t1有1 个根，f x
= t2有1 个根，
1 < t3< 2 时，f x
= t3有1 个根，不合题意；
t3= 2 时，f x
= t3有2 个根，不合题意；
2 < t3≤e 时，f x
= t3有3 个根，
此时满足题意共5 个根的情况，而f 2
= ln2 + 2，f e
= 3，则ln2 + 2 < a ≤3；
当a = 2 时，f t
= a 有两个根，t1=-1，t2= 1，
f x
= t1有1 个根，f x
= t2有1 个根，共有两个根，不合题意舍去；
当a < 2 时，f t
= a 有1 个根，t <-1，此时共1 个根，舍去．
综上所述：实数a 的取值范围是ln2+2,3
．
2
(高一上·浙江金华·期末) 已知函数f x
= -x2-2x,x≤0,
log2x
,x>0,
则方程f f x
= 2 的所有根之积为
．
答案1
4
解【分析】解方程f f x
= 2，可得出该方程的根，再将所有根全部相乘，即可得解．
【详解】令t = f x
，由f f x
= 2 可得f t
= 2，
当t ≤0 时，由f t
=-t2 - 2t = 2，即t2 + 2t + 2 = 0，则Δ = 4 - 4 × 2 < 0，即方程t2 + 2t + 2 = 0 无
解；
当t > 0 时，由f t
= log2t
= 2，可得t = 1
4 或t = 4．
(1) 当t = 1
4 时，当x ≤0 时，由f x
=-x2- 2x = 1
4 可得x2+ 2x + 1
4 = 0，
得x1= -2+
3
2
，x2= -2-
3
2
，
当x > 0 时，由f x
= log2x
= 1
4 可得x3= 2
1
4 ，x4= 2
- 1
4 ；
(2) 当t = 4 时，当x ≤0 时，由f x
=-x2- 2x = 4 可得x2+ 2x + 4 = 0，
Δ = 4 - 4 × 4 < 0，方程x2+ 2x + 4 = 0 无解，
当x > 0 时，由f x
= log2x
= 4 可得x5= 24，x6= 2-4，
因此，方程f f x
= 2 的所有根之积为x1x2x3x4x5x6= 1
4 ．
3
(24 - 25 高一上·浙江宁波·期中) 已知函数f(x) 为R 上的奇函数，当x ≥0 时，f(x) = x2 - 2x，若
函数g(x) 满足g(x) = f(x),
x≥0
-f(x),
x<0
，且g(f(x)) - a = 0 有8 个不同的解，则实数a 的取值范围为
(
)
３８１
382
A. a <-1
B. - 1 < a < 0
C. 0 < a < 1
D. a > 1
答案B
解【分析】先利用函数的奇偶性与题设条件得到f x
与g x
的解析式，设t = f(x)，作出函数g(t) 的
图象，数形结合，分类讨论函数a <-1、-1 < a < 0 与a > 0 三种情况，得到对应情况下g(f(x)) - a
= 0 的解的个数，从而得解．
【详解】因为函数f x
为R 上的奇函数，当x ≥0 时f x
= x2- 2x，
令x < 0，则-x > 0，则f -x
= x2+ 2x，
又f x
=-f -x
=-x2- 2x
所以f x
= x2-2x,
x≥0
-x2-2x,
x<0
，则g x
= x2-2x,
x≥0
x2+2x,
x<0
，
设t = f(x)，作出函数g(t) 的图象，
对于A，当a <-1 时，函数g(t) = a 没有实数根，不满足题意；
对于B，当-1 < a < 0 时，函数g(t) = a 有四个根t1，t2，t3，t4，
其中t1∈(-2 ,-1)，t2∈(-1 , 0)，t3∈(0 , 1)，t4∈(1 , 2)；
作出f x
与y = t1、y = t2、y = t3与y = t4的图象，如图，
显然几个函数恰有8 个交点，则g(f(x)) - a = 0 有8 个不同的解，故B 正确；
对于CD，当a > 0 时，函数g(t) = a 有两个根t1，t2，其中t1∈(-∞,-2)，t2∈(2 ,+∞)，
与选项B 同理可知f x
与y = t1、y = t2各有一个交点，
则g(f(x)) - a = 0 只有2 个不同的解，不满足题意，故CD 错误．
4
( 24 - 25 高一上· 江苏连云港· 期中) 已知函数f
x
=
3x-1
9x2-6x+4+1
+
2x-3
4x2-12x+12+1
，则函数f x
的零点为
．
答案4
5
解【分析】由题意可将方程f x
= 0 转化成3x-1
3x-1
2+3+1
+ 2x-3
2x-3
2+3+1
= 0，再利用函数单调性即可求得其零点．
【详解】易知将f x
化简可得：
f x
= 3x-1
3x-1
2+3+1
+ 2x-3
2x-3
2+3+1
；
令函数g t
= t
t2+3+1
，显然g t
的定义域为R，
且满足g t
+ g -t
= 0，因此即可得函数g t
为奇函数，且g t
为单调递增，
３８２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
383
若g t
= t
t2+3+1
= 0，解得t = 0；
令f x
= g 3x-1
+ g 2x-3
= 0，可得3x - 1 + 2x - 3 = 0，解得x = 4
5 ；
即可得函数f x
的零点为4
5 ．
5
(24 - 25 高一上·江苏泰州·月考) 若f x
和g x
都是R 上的函数，且f g x
= x 有实数解，则
g f x
可能是
(
)
A. x2+ x - 1
5
B. x2+ x + 1
5
C. x2- 1
5
D. x2+ 1
5
答案ACD
解【分析】这是一个抽象函数与方程的问题，如何化抽象为具体，则需要根据题意转换变量，即可得
到g f t
= t 方程至少有一解，从而检验四种可能，通过是否有解来作出判断．
【详解】设f g x
= x 有实数解x0，则f g x0
= x0，
因为f x
和g x
都是R 上的函数，
所以有g f g x0
= g x0
，再令t = g x0
，
则有g f t
= t，从而可知g f x
= x 至少有一个解是t，
对于A，由g f x
= x2+ x - 1
5 = x，此方程有解，故A 正确；
对于B，由g f x
= x2+ x + 1
5 = x，此方程无解，故B 错误；
对于C，由g f x
= x2- 1
5 = x，此方程有解，故C 正确；
对于D，由g f x
= x2+ 1
5 = x，此方程有解，故D 正确
【题型
【题型11
11】关于
】关于f(x) 的方程
的方程af
af(x)
2 + bfbf(x) +
) + c = 0 解的个数问题
解的个数问题
先换元再因式分解，最后数形结合
1
已知f x
=
lgx
,x>0,
-x2-2x+1,x≤0,
则函数y = 4 f x
2- 8f x
+ 3 的零点个数是
．
答案7
解析
函数y = 4 f x
2 - 8f x
+ 3 的零点即为方程4 f x
2 - 8f x
+ 3 = 0 的根，解方程4 f x
2
- 8f x
+ 3 = 0 得f x
= 3
2 或f x
= 1
2 ．
作出函数y = f x
的图像，如图所示．
由图像知直线y = 3
2 与y = f x
的图像有4 个交点，直线y = 1
2 与y = f x
的图像有3 个交点．
因此函数y = 4 f x
2- 8f x
+ 3 的零点有7 个．
故答案为：7
３８３
384
2
(24 - 25 高一上·浙江·期中) 已知f(x) = x2+2 3x+2,
x≤0
lnx,
x>0
，若函数g(x) = [f(x)]2 - af(x) - 1
有5 个不同的零点，则实数a 的取值范围是
．
答案
0
∪
3
2 ,+∞
解析
【分析】令t = f x
，画出f x
的图象，要使函数g(x) = [f(x)]2- af(x) - 1 有5 个不同的零点，
即函数h t
= t2 - at - 1 有两个零点即-1 < t1 ≤2，t2 > 2 或-1 < t1 ≤2，t2 =-1，再结合二次函数
根的分布即可求解．
【详解】令t = f x
，画出f x
的图象，如下图，
要使函数g(x) = [f(x)]2- af(x) - 1 有5 个不同的零点，
即函数h t
= t2- at - 1 有两个零点-1 < t1≤2，t2> 2 或-1 < t1≤2，t2=-1，
当-1 < t1≤2，t2=-1 时，即h -1
= a = 0，所以h t
= t2- 1 = 0 有两根-1 和1，符合题意；
当-1 < t1≤2，t2> 2 时，又因为h 0
=-1，
所以
h -1
=a>0
h 2
=3-2a<0
Δ=a2+4>0
，解得a > 3
2 ．
综上所述：a 的取值范围为0
∪
3
2 ,+∞
．
1
(高一上·河南南阳·期末) 已知函数f x
=
log2 -x
,
x<0，
2x-2,
x≥0，
g x
= f x
2 - 2a+2
f x
+ a2
+ 2a 有3 个不同的零点x1，x2，x3 则实数a 的取值范围是
；若x3 = 1
2 ，则x1 + x2 + x3 =
．
答案[-4 ,-2) - 1
8 / - 0.125
解【分析】令g(x) = 0，得到f(x) = a 或f(x) = a + 2，结合f(x) 的图象求解计算即可．
【详解】令g(x) = f(x)
2- (2a + 2)f(x) + a2+ 2a = f x
-a
f x
-a-2
= 0，
得f(x) = a 或f(x) = a + 2．
作出f(x) 的图象如图．
要使g(x) 有3 个不同的零点，
则f(x) 的图象与直线y = a 和y = a + 2 一共有3 个交点，
由图可知当a<-2,
a+2≥-2,
即-4 ≤a <-2 时，f(x) 的图象与直线y = a 有1 个交点，与直线y = a + 2
有2 个交点，符合条件．
易得f
1
2
=-1，所以a + 2 =-1，即a =-3，
不妨设x1< x2，由
2
log (-x) =-1，得x1=- 1
2 ，
由
2
log (-x) =-3，得x2=- 1
8 ，
３８４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
385
所以x1+ x2+ x3=- 1
8 ．
故答案为：-4,-2
；- 1
8
2
已知f x
=
lgx
,
x>0
2 x
,
x≤0
，则函数y = f2 x
- 3f x
+ 2 的零点个数是
．
答案6
解【分析】先由函数的零点转化为方程f x
= 1 和2 的根，再利用数形结合求出零点个数即可；
【详解】令y = f2 x
- 3f x
+ 2 = 0，即f x
-1
f x
-2
= 0，
得f x
= 1 或2，
画出f x
图象，如下：
由图可知，实线和虚线共有6 个交点，所以函数y = f2 x
- 3f x
+ 2 的零点个数是6．
3
(高一下·贵州六盘水·期中) 已知函数f x
= ex-3
，关于x 的方程f x
2 + 2mf x
+ m2 - 1 = 0
恰有3 个不同的实数解，则实数m 的取值范围是
．
答案
m m=-1
或-4<m≤-2
解【分析】作出f
x
=
ex-3
的图象，由
f x
2 + 2 mf
x
+ m 2 - 1 = 0 ，得
f x
+ m+1
f x
+ m-1
= 0，所以f x
=-m + 1 或f x
=-m - 1，所以f x
与y =-m + 1
和y =-m - 1 的图象共3 个公共点，结合图象分析求解即可．
【详解】作出f x
= ex-3
的图象：
因为f x
2+ 2mf x
+ m2- 1 = 0，故f x
+ m+1
f x
+ m-1
= 0，
得：f x
=-m + 1 或f x
=-m - 1，
由题意，f x
与y =-m + 1 和y =-m - 1 的图象共3 个公共点，
由图象可得-m - 1 = 0 或-m+1≥3
0<-m+1<3
，
故m =-1 或-4 < m ≤-2，
３８５
386
所以m 的取值范围为m m=-1
或-4<m≤-2
．
故答案为：m m=-1
或-4<m≤-2
．
4
(24 - 25 高一上·吉林长春·期中) 设函数f x
= 3x-1
，若关于x 的方程4 f x
2 - 4mf x
+ 3m
- 2 = 0 恰有三个不相等的实根，则实数m 的取值范围是
．
答案
m m>2或m= 2
3
解【分析】先画出函数f x
= 3x-1
的图象，再结合题意，令f x
= t t≥0
，可得关于t 的方程4t2
- 4mt + 3m - 2 = 0 有两个不相等的实数根，一个根在0,1
上，一个根为0 或一个根在0,1
上，一
个根为1 或一个根在0,1
上，一个根在1,+∞
上，分类求解即可．
【详解】如图，画出函数f x
= 3x-1
的图象：
关于x 的方程4 f x
2- 4mf x
+ 3m - 2 = 0 恰有三个不相等的实根，
令f x
= t t≥0
，则关于t 的方程4t2- 4mt + 3m - 2 = 0 有两个不相等的实数根，
一个根在0,1
上，一个根为0 或一个根在0,1
上，一个根为1 或一个根在0,1
上，一个根在
1,+∞
上．
当一个根在0,1
上，一个根为0 时，
则3m - 2 = 0，即m = 2
3 ，此时方程为4t2- 8
3 t = 0，解得t = 0 或t = 2
3 ，符合题意；
当一个根在0,1
上，一个根为1 时，
则4 - 4m + 3m - 2 = 0，即m = 2，此时方程为4t2- 8t + 4 = 0，解得t = 1，不符合题意；
当一个根在0,1
上，一个根在1,+∞
上时，
设g t
= 4t2- 4mt + 3m - 2，
则
Δ= -4m
2-4×4× 3m-2
>0
g 0
=3m-2>0
g 1
=4-4m+3m-2<0
，解得m > 2．
综上所述，实数m 的取值范围是m m>2或m= 2
3
．
故答案为：m m>2或m= 2
3
．
关键点点睛：本题关键在于画出函数f x
的图象，令f x
= t t≥0
，转化问题为关于t 的方程4t2 -
4mt + 3m - 2 = 0 有两个不相等的实数根，进而分类求解即可．
5
(高一上·广东湛江·期中) 设f(x) = 1-2x
，若关于x 的方程f2(x) - 3tf(x) + 2t2= 0 有三个不同的实
数根，则实数t 的取值范围为
(
)
A. (0 , 1)
B.
0, 1
2
C.
1
2 ,1
D. (0 , 1]
答案C
解【分析】作出函数f(x) 的图象，由题意可得f(x) = t 或f(x) = 2t，f(x) 的图象与直线y = t，y = 2t
共有三个不同的交点，从而可求出实数t 的取值范围．
３８６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
387
【详解】由f2(x) - 3tf(x) + 2t2= 0 得f(x) = t 或f(x) = 2t，作出函数f(x) 的图象，
易知当t ≤0 时，不符合题意；
当t > 0 时，2t > t，结合函数f(x) 的图象知，要使方程f 2(x) - 3tf(x) + 2t2 = 0 有三个不同的解，需
满足方程f(x) = t 有两个解，方程f(x) = 2t 有且只有一个解，
由图象知0<t<1
2t≥1
，所以1
2 ≤t < 1．
故选：C．
6
(24 - 25 高一上·浙江杭州·期中) 已知函数f(x) =
-x2-6x-5,
x<0
1
2
x-1
,
x≥0
，若关于x 的方程[f(x)]2 +
(2a - 3)f(x) + a2- 3a = 0 有5 个不同的实数根，则a 的取值范围为
․
答案(-1 , 0] ∪(2 , 3]
解【分析】由方程可得f(x) =-a 或f(x) = 3 - a，将方程有5 个不等的实数根等价于y = f(x) 与的图象
与直线y =-a 和y = 3 - a 共有五个交点，再作出y = f(x) 的图象，数形结合求出a 的范围．
【详解】当x < 0 时，f(x) =-x2- 6x - 5 在(-∞,-3] 上单调递增，函数值集合为(-∞, 4]，
在[-3 , 0) 上单调递减，函数值集合为(-5 , 4]，
当x ≥0 时，f(x) = 1 -
1
2
x
在[0 ,+∞) 上单调递增，函数值集合为[0 , 1)，
函数y = f(x) 的图象如下：
方程[f(x)]2 + (2a - 3)f(x) + a2 - 3a = 0 化为[f(x) + a] [f(x) + a - 3] = 0，解得f(x) =-a 或f(x) =
3 - a，
方程[f(x)]2+ (2a - 3)f(x) + a2- 3a = 0 有5 个不等的实数根，
等价于y = f(x) 与的图象与直线y =-a 和y = 3 - a 共有五个交点，而-a < 3 - a，
因此0≤3-a<1
-5<-a<0
或1≤3-a<4
0≤-a<1
，解得2 < a ≤3 或-1 < a ≤0，
所以a 的取值范围为(-1 , 0] ∪(2 , 3]．
３８７
388
专题5 - 1 任意角与弧度制
【题型
【题型1】任意角的概念
】任意角的概念
任意角的概念
①角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
②角的分类
名称
定义
图示
正角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角
一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有做任何旋转形成的角
③任意角的概念：任意角指的是不仅包括通常的0° 到360° 之间的角，还包括了正角、零角和负角。在实
际生活中，经常会遇到角的旋转量不在[0° , 360°] 这个区间的情况，为了描述这种现实状况，角的概念被
推广到了任意角
1
时钟走了3 小时20 分，则时针所转过的角的度数为
，分针转过的角的度数为
答案
-100° -1200°
解析
【分析】根据时针每小时转30°，分针每小时转360°，时针、分针都按顺时针方向旋转，结合角
的定义即可求解．
【详解】因为时针每小时转30°，分针每小时转360°，
又因为时针、分针都按顺时针方向旋转，
故时针转过的角度数为-3 1
3 × 30° =-100°，
分针转过的角度数为-3 1
3 × 360° =-1200°．
1
如图，射线OA 绕顶点O 逆时针旋转45° 到OB 位置，并在此基础上顺时针旋转120° 到达OC 位
置，则∠AOC =
．
答案-75°．
解【分析】由角的定义即可求解．
【详解】由角的定义可得∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 45° + (-120°) =-75°．
３８８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
389
2
时针走了1h 20min，则分针转过的角是
．
答案-480°
解【分析】由时针走过得时间换算为以分钟为单位的时间，根据每60 分钟转-360° (因为分针是顺时
针旋转，所以对应的是负角)，由此即可求解．
【详解】因为时针走了1h 20min，所以分针也走了60 + 20 = 80min，
注意到分针每分钟转的角度为-360°
60
=-6° (因为分针是顺时针旋转，所以对应的是负角)，
所以时针走了1h 20min，则分针转过的角是-6° × 80 =-480°．
【题型
【题型2】弧度制与角度制的互化
】弧度制与角度制的互化
(1) 弧度制的概念
①弧度制定义：以弧度为单位来度量角的单位制；
②1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．(1 弧度记作1 rad)
③规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，θ = l
r ，l 是以角θ 作为圆心
角时所对圆弧的长，r 为半径．
(2) 角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360° = 2πrad
2π rad = 360°
180° = πrad
π rad = 180°
1° =
π
180 rad ≈0.017 45 rad
1 rad =
π
180
° ≈57.30°
度数×
π
180 = 弧度数
弧度数×
π
180
° = 度数
1
(多选题) 将下列角度与弧度进行互化正确的是
(
)
A. 511
6 π = 1530°
B. - 7π
12 =-105°
C. 10° = π
18
D. - 855° =- 19π
4
答案BCD
解析
对于A，因511
6 π = 511
6
× 180° = 15330°，故A 错误；
对于B，- 7π
12 =- 7
12 × 180° =-105°，故B 正确；
对于C，10° = 10 ×
π
180 = π
18 ，故C 正确；
对于D，-855° =-855 ×
π
180 =- 19π
4 ，故D 正确．
2
(高一上·浙江·月考) 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则此圆弧所对的圆心角α 的
弧度数为
(
)
A. π
3
B. π
2
C.
3
D. 2
答案C
３８９
390
解析
【分析】画图设外接圆半径r = 2，利用正三角形性质可得圆弧长l = 2 3 ，再由弧度制定义可
得α =
3．
【详解】不妨设正△ABC 的外接圆半径r = 2，圆心为O，
取BC 的中点为D，连接AD，OC，易知O 在AD 上，且∠OCB = 30°，AD ⊥BC；如下图所示：
在Rt△OCD 中，OD = 1
2 OC = 1，所以CD =
3，BC = 2 3；
依题意可知该圆弧长l = BC = 2 3，
所以圆心角α = l
r = 2 3
2
=
3．
1
225° 的角化成弧度制为
．
答案5π
4
解
因为S = 4πR2= 12π，所以225° = 225 ×
π
180 = 5π
4 ．
2
经过2 小时，钟表上时针转过的弧度数为
．
答案- π
3
解
根据题意，表盘平分为12 等份，每等份对应的弧度数大小为π
6 ，
经过2 小时，钟表上时针转过的弧度数大小为π
3 ，
因为时针按顺时针转动，钟表上时针转过的弧度数为- π
3
3
已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是
．
答案2
解
依题意，设扇形的圆心角为α α>0
，
因为扇形的半径是r = 3，弧长为l = 6，
所以由l = αr，得6 = 3α，则α = 6
3 = 2．
故答案为：2．
4
要在半径OA = 6cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB 的长为2πcm，则圆心角
∠AOB 的弧度数是
．
答案π
3
解
圆心角∠AOB 的弧度数为2π
6 = π
3 ．
【题型
【题型3】终边相同的角
】终边相同的角
终边相同的角：所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合S =
β∣β=α+k⋅360°,k∈Z
，即任一与角α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和
３９０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
391
1
下列各角中，与1850° 角终边相同的角是
(
)
A. 40°
B. 50°
C. 320°
D. - 400°
答案B
解析
【分析】根据1850° = 50° +5 × 360° 即可得到答案．
【详解】对选项A，1850° -40° = 1810° = 5 × 360° +10°，故A 错误．
对选项B，因为1850° -50° = 1800° = 5 × 360°，故B 正确．
对选项C，1850° -320° = 1530° = 4 × 360° +90°，故C 错误．
对选项D，1850° - -400°
= 2250° = 6 × 360° +90°，故D 错误．
2
设集合M = x x=45°+ k
2 ×180°,k∈Z
，N = x x=45°+ k
4 ×180°,k∈Z
那么
(
)
A. M = N
B. N ⊆M
C. M ⊆N
D. M ∩N = ∅
答案C
解析
【分析】变形表达式为相同的形式，利用集合间的关系，比较可得．
【详解】由题意得M = x x=45°+ k
2 ×180°,k∈Z
= x x= 2k+1
×45°,k∈Z
，
即M 是由45° 的奇数倍构成的集合，
又N = x x=45°+ k
4 ×180°,k∈Z
= x x= k+1
×45°,k∈Z
，
即N 是由45° 的整数倍构成的集合，
则M ⊆N
1
将-885° 化为k ⋅360° +α(0° ≤α < 360° , k ∈Z) 的形式是
．
答案(-3) × 360° +195°
解【分析】根据条件直接计算即可．
【详解】因为-885° =-1080° +195° = (-3) × 360° +195°，
故答案为：(-3) × 360° +195°
2
与-457° 角终边相同的角的集合是
．
答案{α|α = 263° +k ⋅360° , k ∈Z}
解【分析】终边相同的角相差360° 的整数倍．
【详解】由于-457° =-1 × 360° -97° =-2 × 360° +263°，故与-457° 角终边相同的角的集合是{α|α =
263° +k ⋅360° , k ∈Z}．
故答案为：{α|α = 263° +k ⋅360° , k ∈Z}
3
已知集合A = {θ| θ 为锐角}，B = {θ|θ 为小于90° 的角}，C = {θ|θ 为第一象限角}，D = {θ|θ 为
小于90° 的正角}，则下列等式中成立的是
(
)
A. A = B
B. B = C
C. A = C
D. A = D
答案D
解【分析】根据题意，将各个集合化简，即可得到结果．
【详解】因为A = {θ| θ 为锐角} = θ 0°<θ<90°
，
３９１
392
D = {θ|θ 为小于90° 的正角} = θ 0°<θ<90°
，
对于集合B，小于90° 的角包括零角与负角，
对于集合C，C = {θ|θ 为第一象限角} = θ 360°k<θ<90°+360°k,k∈Z
【题型
【题型4】象限角与轴线角
】象限角与轴线角
象限角：把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，
角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何
一个象限
(1) 象限角的集合表示
象限角
象限角α 的集合表示
第一象限角
{α|k·360° < α < k·360° +90°，k ∈Z}
第二象限角
{α|k·360° +90° < α < k·360° +180°，k ∈Z}
第三象限角
{α|k·360° +180° < α < k·360° +270°，k ∈Z}
第四象限角
{α|k·360° +270° < α < k·360° +360°，k ∈Z}
(2) 轴线角的集合表示
角α 终边的位置
角α 的集合表示
在x 轴的非负半轴上
{α|α = k·360°，k ∈Z}
在x 轴的非正半轴上
{α|α = k·360° +180°，k ∈Z}
在y 轴的非负半轴上
{α|α = k·360° +90°，k ∈Z}
在y 轴的非正半轴上
{α|α = k·360° +270°，k ∈Z}
在x 轴上
{α|α = k·180°，k ∈Z}
在y 轴上
{α|α = k·180° +90°，k ∈Z}
在坐标轴上
{α|α = k·90°，k ∈Z}
1
(多选) 下列命题中错误的是
(
)
A. 三角形的内角必是第一、二象限角
B. 始边相同而终边不同的角一定不相等
C. 第四象限角不一定是负角
D. 钝角比第三象限角小
答案AD
解析
【分析】根据任意角、象限角的定义判断各项的正误．
【详解】A：由于三角形内角范围为(0 , π)，内角为π
2 不是第一、二象限角，错；
B：由任意角定义，始边相同而终边不同的角一定不相等，对；
C：如7π
4 为正角且在第四象限角，故第四象限角不一定是负角，对；
D：钝角范围为
π
2 ,π
，而- 2π
3 是第三象限角，此时钝角大，错．
2
(2024·湖北黄冈·期中) 若角α 满足α = 2kπ
3
+ π
6 (k ∈Z)，则α 的终边一定在
(
)
３９２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
393
A. 第一象限或第二象限或第三象限
B. 第一象限或第二象限或第四象限
C. 第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上
D. 第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上
答案D
解析
当k = 0 时，α = π
6 ，终边位于第一象限
当k = 1 时，α = 5π
6 ，终边位于第二象限
当k = 2 时，α = 3π
2 ，终边位于y 轴的非正半轴上
当k = 3 时，α = 2π + π
6 ，终边位于第一象限
综上可知，则α 的终边一定在第一象限或第二象限或y 轴的非正半轴上
3
若α 是第二象限角，则
(
)
A. - α 是第一象限角
B. α
2 是第一或第三象限角
C. 3π
2 + α 是第二象限角
D. 2α 是第三象限角或2α 是第四象限角或2α 的终边在y 轴负半轴上
答案BD
解析
【分析】由已知可得π
2 + 2kπ < α < π + 2kπ，k ∈Z，然后逐个分析判断即可
【详解】因为α 是第二象限角，所以可得π
2 + 2kπ < α < π + 2kπ，k ∈Z．
对于A，-π - 2kπ <-α <- π
2 - 2kπ，k ∈Z，则-α 是第三象限角，所以A 错误；
对于B，可得π
4 + kπ < α
2 < π
2 + kπ，k ∈Z，当k 为偶数时，α
2 是第一象限角；当k 为奇数时，
α
2 是第三象限角．所以B 正确；
对于C，2π + 2kπ < 3π
2 + α < 5π
2 + 2kπ，k ∈Z，即2 k+1
π < 3π
2 + α < π
2 + 2 k+1
π，k ∈Z，
所以3π
2 + α 是第一象限角，所以C 错误；
对于D，π + 4kπ < 2α < 2π + 4kπ，k ∈Z，所以2α 的终边位于第三象限或第四象限或y 轴负半轴上，
所以D 正确．
1
在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于π
2 的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；
③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角．其中假命题的个数是
(
)
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
答案B
解【分析】结合任意角的概念分析即可．
【详解】因为锐角α ∈0, π
2
，所以小于π
2 的角不一定是锐角，故①不成立；
因为钝角β ∈
π
2 ,π
，第二象限角θ ∈
π
2 +2kπ,π+2kπ
，k ∈Z，所以钝角一定是第二象限角，故
②成立；
若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立；
３９３
394
例如α = 120°，β = 390°，但α < β，故④不成立．
2
25π
3
是
(
)
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
答案A
解
∵25π
3
= 8π + π
3 ，
∴25π
3
与π
3 终边相同，所以25π
3
是第一象限角．
3
已知α 是锐角，那么2α 是()．
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 小于180° 的正角
D. 第一或第二象限角
答案C
解【分析】由题知α ∈0, π
2
，故2α ∈0,π
，进而得答案．
【详解】因为α 是锐角，所以α ∈0, π
2
，所以2α ∈0,π
，满足小于180° 的正角．
其中D 选项不包括90°，故错误．
4
已知α 是锐角，则
(
)
A. 180° + α 是第三象限角
B. 2α 是小于180° 的正角
C. 2α 是第一或第二象限角
D. α
2 是锐角
答案ABD
解【分析】根据锐角的范围，直接利用不等式的运算法则即可求解．
【详解】由题知，
因为α 是锐角，所以0° < α < 90°，
对于A：所以180° < 180° +α < 270°，故A 选项正确；
对于BC：0° < 2α < 180°，故B 选项正确，C 选项错误；
对于D：0° < α
2 < 45°，故D 选项正确
【题型
【题型5】区域角的表示
】区域角的表示
解答此类题目应先在0°~360° 上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果
集合能化简的还要化成最简．本题还要注意实线边界与虚线边界的差异．
1
已知集合α|k⋅360°+45°≤α≤k⋅360°+90°,k∈Z
，则图中表示角α 的终边所在区域正确的是
(
)
A.
B.
３９４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
395
C.
D.
答案B
解析
当α = k ⋅360° +45°，k ∈Z 时，角α 的终边落在第一象限的角平分线上，
当α = k ⋅360° +90°，k ∈Z 时，角α 的终边落在y 轴的非负半轴上，
按照逆时针旋转的方向确定范围可得角α 的终边所在区域如选项B 所示．
2
若角α 的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α 的取值范围是
(
)
A.
π
6 , π
3
B.
2π
3 , 7π
6
C.
2π
3 +kπ, 7π
6 +kπ
(k ∈Z)
D.
2kπ+ 2π
3 ,2kπ+ 7π
6
(k ∈Z)
答案D
解析
依题意，在[0 , 2π) 内阴影部分的边界射线对应的角分别为2π
3 ，7π
6 ，
在[0 , 2π) 内阴影部分对应角的范围是
2π
3 , 7π
6
，
所以角α 的取值范围是2kπ+ 2π
3 ,2kπ+ 7π
6
(k ∈Z)．
1
集合α kπ+ π
4 ≤α≤kπ+ π
2 ,k∈Z
中的角所表示的范围(阴影部分) 是
(
)
A.
B.
C.
D.
答案C
解
当k = 2n(n ∈Z) 时，2nπ + π
4 ≤α ≤2nπ + π
2 ，n ∈Z，此时α 表示的范围与π
4 ≤α ≤π
2 表示的
范围一样；
当k = 2n + 1(n ∈Z) 时，2nπ + π + π
4 ≤α ≤2nπ + π + π
2 ，n ∈Z，此时α 表示的范围与π
4 + π ≤α
≤π
2 + π 表示的范围一样，
故选：C．
３９５
396
2
(2024·高一·山西朔州·期末) 集合α∣k⋅180°≤α≤k⋅180°+60°,k∈Z
中的角所表示的范围(阴影部
分) 是
(
)
A.
B.
C.
D.
答案C
解
当k = 2n，n ∈Z 时，α∣n⋅360°≤α≤n⋅360°+60°,k∈Z
，
当k = 2n + 1，n ∈Z 时，{α|n ⋅360° +180° ≤α ≤n ⋅360° +240° , k ∈Z}，所以选项C 满足题意．
3
(2024·高一·广西钦州·月考) 集合{α|k·180° ≤α ≤k·180° +45° , k ∈Z} 中角表示的范围(用阴影表示)
是图中的
(
)
A.
B.
C.
D.
答案B
解
集合{α|k ⋅180° ≤α ≤k ⋅180° +45° , k ∈Z} 中，
当k 为偶数时，此集合与α|0°≤α≤45°
表示终边相同的角，位于第一象限；
当k 为奇数时，此集合与α|180°≤α≤225°
表示终边相同的角，位于第三象限．
所以集合{α|k ⋅180° ≤α ≤k ⋅180° +45° , k ∈Z} 中角表示的范围为选项B 中阴影所示．
4
(高一上·河北承德·期末) 已知角θ 的终边落在阴影区域内(不含边界)，角α 的终边和θ 相同，则角
α 的集合为
(
)
３９６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
397
A.
α π
6 +2kπ<α< π
3 +2kπ,k∈Z
B.
α π
6 + kπ
2 <α< π
3 + kπ
2 ,k∈Z
C.
α π
6 +kπ<α< π
3 +kπ,k∈Z
D.
α π
6 + 3kπ
2
≤α≤π
3 + 3kπ
2
,k∈Z
答案C
解【分析】首先求阴影的边界表示的角的集合，再用不等式表示集合．
【详解】终边落在y =
3
3 x 上的角为π
6 + kπ k∈Z
，终边落在y =
3x 上的角为π
3 + kπ k∈Z
，
故角α 的集合为α π
6 +kπ<α< π
3 +kπ,k∈Z
．
5
如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合
(不包括边界)．
(1)
；
(2)
答案(1) α - 2π
3 +2kπ<α< π
6 +2kπ,k∈Z
；
(2) α 2kπ<α< π
3 +2kπ
或2π
3 +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z
．
解【分析】由图①可知，以OA 为终边的角为π
6 + 2kπ(k ∈Z)；以OB 为终边的角为- 2π
3 + 2kπ(k ∈
Z)，由此可求出阴影部分内的角的集合；
由图②可知，以OA 为终边的角为π
3 + 2kπ(k ∈Z)；以OB 为终边的角为2π
3 + 2kπ(k ∈Z)．
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，由阴影部分内的角的集
合为M1∪M2．
３９７
398
【详解】如题图①，以OA 为终边的角为π
6 + 2kπ(k ∈Z)；以OB 为终边的角为- 2π
3 + 2kπ(k ∈Z)，
所以阴影部分内的角的集合为
α - 2π
3 +2kπ<α< π
6 +2kπ,k∈Z
；
如题图②，以OA 为终边的角为π
3 + 2kπ(k ∈Z)；以OB 为终边的角为2π
3 + 2kπ(k ∈Z)．
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，
则M1= α 2kπ<a< π
3 +2kπ,k∈Z
，M2= α 2π
3 +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z
．
所以阴影部分内的角的集合为
M1∪M2= α 2kπ<α< π
3 +2kπ
或2π
3 +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z
．
【题型
【题型6】关于某条线对称的
】关于某条线对称的2 个角的表示
个角的表示
①若角α 与角β 的终边关于x 轴对称，则α 与β 的数量关系为：α + β = 2kπ，k ∈Z；
②若角α 与角β 的终边关于y 轴对称，则α 与β 的数量关系为：α + β = (2k + 1)π，k ∈Z；
③若角α 与角β 的终边在一条直线上，则α 与β 的数量关系为：α = β + kπ，k ∈Z；
④若角α 与角β 的终边关于y = x 轴对称，则α 与β 的数量关系为：α + β = 2kπ + π
2
⑤若角α 与角β 的终边关于y = x 轴对称，则α 与β 的数量关系为：α + β = 2kπ - π
2
1
在平面直角坐标系中，若角α 与β 的终边关于y 轴对称，则角α 与β 之间的关系满足()．
A. α + β = π
B. α + β = 2kπ(k ∈Z)
C. α + β = kπ(k ∈Z)
D. α + β = 2k+1
π(k ∈Z)
答案D
解析
【分析】根据题意得到α + β = π，即可求解．
【详解】由题意，角α 和β 的终边关于y 轴对称，
则α + β = 2k+1
π k∈Z
．
2
α 的终边与π
6 的终边关于直线y = x 对称，则α 的取值集合为
．
答案
α
α= π
3 +2kπ,k∈Z
解析
【分析】由题知α 的终边与角π
3 的终边相同，再根据终边相同的角的集合求解即可．
【详解】解：α 的终边与π
6 的终边关于直线y = x 对称，
所以α 的终边与角π
3 的终边相同，
所以α 的取值集合为
α
α= π
3 +2kπ,k∈Z
1
(21 - 22 高一上·陕西宝鸡·期中) 若角α 和β 的终边关于直线x + y = 0 对称，且α =- π
6 ，则角β 的
集合是
．
答案
β
β=- π
3 +2kπ,k∈Z
３９８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
399
解【分析】根据α =- π
6 ，可得其关于直线x + y = 0 对称的一个角β，然后根据终边相同的角得到相
应的集合．
【详解】由题可知：α =- π
6 关于直线x + y = 0 对称的一个角为β =- π
3
所以角β 的集合为
β
β=- π
3 +2kπ,k∈Z
2
α 是一个任意角，则α 的终边与3π - α 的终边
(
)
A. 关于坐标原点对称
B. 关于x 轴对称
C. 关于y 轴对称
D. 关于直线y = x 对称
答案C
解【分析】根据角终边位置的周期性判断出π - α 的终边与3π - α 的终边相同，从而得出答案．
【详解】因为π - α 的终边与3π - α 的终边相同，而π - α 的终边与α 的终边关于y 轴对称，
所以α 的终边与3π - α 的终边关于y 轴对称．
3
直角坐标系xOy 中，以原点O 为顶点，以x 轴正半轴为始边，那么，角π - α 的终边与α 的终边
关于
对称；角π
2 - α 的终边与α 的终边关于
对称．
答案y 轴直线y = x．
解【分析】将两角相加再除以2，即可得到对称轴终边所在位置，即可得到对称轴方程；
【详解】解：因为π-α+α
2
= π
2 ，所以角π - α 的终边与α 的终边关于y 轴对称；
因为
π
2 -α+α
2
= π
4 ，所以角π
2 - α 的终边与α 的终边关于直线y = x 对称；
故答案为：y 轴；直线y = x；
３９９
400
【题型
【题型7】n 等分角的象限问题
等分角的象限问题
如何确定角α
n (n ∈N+) 终边所在象限
法1 分类讨论法：利用已知条件写出α 的范围(用k 表示)，由此确定α
n 的范围，在对k 进行分类讨论，
从而确定α
n 所在象限。
法2 几何法：先把各象限分为n 等份，再从x 轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上1、2、3、
4 ⋯⋯则α 原来是第几象限的角，标号为几的区域即角α
n 终边所在的区域。
1
(多选) 如果2θ 是第四象限角，那么θ 可能是
(
)
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
答案BD
解析
由已知得2kπ - π
2 < 2θ < 2kπ，k ∈Z，所以kπ - π
4 < θ < kπ，k ∈Z，
当k 为偶数时，θ 在第四象限，当k 为奇数时，θ 在第二象限，即θ 在第二或第四象限．故选：BD．
2
已知α 是第三象限角，试确定2α 终边所在位置．
答案在第一或第二象限，或终边在y 轴的正半轴上
解析
写出α 的范围，由不等式得2α 的范围，即可分析角的终边所在的位置．
【详解】∵α 是第三象限角，．∴180° +k ⋅360° < α < 270° +k ⋅360° k∈Z
．
：∵360° +2k ⋅360° < 2α < 540° +2k ⋅360° k∈Z
，
即2k+1
⋅360 < 2α < 180° + 2k+1
⋅360° k∈Z
，
∴2α 的终边在第一或第二象限，或终边在y 轴的正半轴上．
3
已知角α 的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：
(1) α
2 ；
(2)2α；
(3) α
3 ；
(4)3α．
解析
(1) 由于α 为第四象限角，所以3π
2 + 2kπ < α < 2π + 2kπ，k ∈Z，
所以3π
4 + kπ < α
2 < π + kπ，k ∈Z，
当k = 2n 时，3π
4 + 2nπ < α
2 < π + 2nπ，n ∈Z，终边在第二象限，
当k = 2n + 1 时，7π
4 + 2nπ < α
2 < 2π + 2nπ，n ∈Z，终边在第四象限，
所以α
2 的终边在第二或第四象限；
(2) 由(1) 得3π + 4kπ < 2α < 4π + 4kπ，k ∈Z，
所以2α 的终边在第三或第四象限，也可在y 轴的负半轴上．
(3) 由(1) 得π
2 + k ⋅2π
3 < α
3 < 2π
3 + k ⋅2π
3 ，k ∈Z，
当k = 3n 时，π
2 + 2nπ < α
3 < 2π
3 + 2nπ，n ∈Z，终边在第二象限，
４００
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
401
当k = 3n + 1 时，7π
6 + 2nπ < α
3 < 4π
3 + 2nπ，n ∈Z，终边在第三象限，
当k = 3n + 2 时，11π
6
+ 2nπ < α
3 < 2π + 2nπ，n ∈Z，终边在第四象限，
所以α
3 的终边在第二、第三或第四象限；
(4) 由(1) 得9π
2 + 6kπ < 3α < 6π + 6kπ，k ∈Z，即π
2 + 4π + 6kπ < 3α < 2π + 4π + 6kπ，k ∈Z，
所以3α 的终边在第二或三或第四象限，也可在x，y 轴的负半轴上．
1
(高一上·湖北武汉·期末) 角α 是第二象限的角，则α
2 所在的象限为
(
)
A. 第一、三象限
B. 第二、三象限
C. 第一、四象限
D. 第三、四象限
答案A
解【分析】表示出α 在第二象限的集合，再求α
2 所在象限的集合即可
【详解】由题可知π
2 + 2kπ < α < π + 2kπ，k ∈Z，故π
4 + kπ < α
2 < π
2 + kπ，k ∈Z，
当k 为偶数时，α
2 在第一象限；当k 为奇数时，α
2 在第三象限．
故α
2 所在象限是第一或第三象限．
2
(高一上·河南新乡·期末) “α 是第四象限角”是“ α
2 是第二或第四象限角”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案A
解【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断．
【详解】当α 是第四象限角时，3π
2 + 2kπ < α < 2π + 2kπ，k ∈Z，则3π
4 + kπ < α
2 < π + kπ，k ∈
Z，即α
2 是第二或第四象限角．当α
2 = 3π
4 为第二象限角，但α = 3π
2 不是第四象限角，故“α 是第
四象限角”是“ α
2 是第二或第四象限角”的充分不必要条件．
3
角α 的终边在第三象限，那么α
3 的终边不可能在的象限是第象限
A. 一
B. 二
C. 三
D. 四
答案B
解
根据α 的范围，求解出α
3 的范围，然后考虑k 与3 的倍数关系，从而可判断出α
3 终边所在象限．
【详解】因为角α 的终边在第三象限，所以α
3 ∈
π
3 + 2kπ
3
, π
2 + 2kπ
3
，k∈Z
，
当k = 3m，m ∈Z 时，α
3 ∈
π
3 +2mπ, π
2 +2mπ
，m∈Z
，故α
3 的终边在第一象限，
当k = 3m + 1，m ∈Z 时，α
3 ∈π+2mπ, 7π
6 +2mπ
，m∈Z
，故α
3 的终边在第三象限，
当k = 3m + 2，m ∈Z 时，α
3 ∈
5π
3 +2mπ, 11π
6
+2mπ
，m∈Z
，故α
3 的终边在第四象限，
综上可知：α
3 的终边不可能在第二象限．
４０１
402
4
已知α 终边在第四象限，则2α 终边所在的象限为
．
答案第三象限或第四象限或y 轴负半轴
解【分析】由角α 的范围求出2α 的范围，再结合象限角的概念求解即可．
【详解】由于α 是第四象限角，故2kπ - π
2 < α < 2kπ，故4kπ - π < 2α < 4kπ，即2α 终边在”第三象
限或第四象限或y 轴负半轴”．
故答案为：第三象限或第四象限或y 轴负半轴．
【题型
【题型8】扇形的弧长及面积公式
】扇形的弧长及面积公式
一、扇形弧长与面积的基本公式
已知扇形的半径为R，圆心角为θ
弧长公式：l = θ ⋅R
面积公式：S = 1
2 l ⋅R = 1
2 θR2
二、应用弧度制解决问题的方法
(1) 利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2) 求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3) 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
1
已知扇形的圆心角是60°，半径为2，则扇形的面积为
(
)
A. 60
B. 120
C. π
3
D. 2π
3
答案D
解析
【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积．
【详解】因为扇形的圆心角是60°，半径为2，则该扇形的面积为S = 1
2 × π
3 × 22= 2π
3 ．
2
(高一上·浙江宁波·开学考试) 如图中，⊙O 的半径为20，则阴影部分的面积为
．
答案200
解析
【分析】由图可知弓形AB 的面积等于扇形OAB 的面积减去△AOB 的面积，所以阴影部分的
面积等于以10 2 为半径的半圆的面积减去弓形的面积，求解即可．
【详解】由已知OA
= OB
= 20，所以AB
= 20 2，
所以AP
= BP
= 10 2，
S△AOB = 1
2 × 20 × 20 = 200，扇形OAB 的面积为1
4 × π × 202= 100π，
４０２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
403
所以阴影部分的面积为1
2 π × 10 2
2- 100π-200
= 200．
3
(高一上·湖北·期末) 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三
段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角
形的面积与周长之比为
．
答案1 -
3
π
解析
【分析】利用扇形的弧长、面积公式计算即可．
【详解】由题意易知以点A，B，C 为圆心，圆弧BC，AC，AB 所对的扇形面积各为1
2 × π
3 × 22
= 2π
3 ，
中间等边△ABC 的面积为1
2 × 2 ×
3 =
3，
所以莱洛三角形的面积是2π
3 × 3 - 2 ×
3 = 2π - 2 3，周长为π
3 × 2 × 3 = 2π，
故面积与周长之比为1 -
3
π ．
1
(高一上·浙江嘉兴·期末) 一个扇形的弧长和面积都是2π
3 ，则这个扇形的半径为
．
答案2
解【分析】由扇形的面积公式求解即可．
【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，
所以l = 2π
3 ，S = 1
2 rl = 1
2 r 2π
3 = 2π
3 ，解得：r = 2．
2
(2024·高一·江苏扬州·期中) 已知扇形的圆心角为2rad，弧长为2cm，则该扇形的面积为
cm2．
答案1
解
设扇形半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则r = l
α = 2
2 = 1，
扇形面积为S = 1
2 lr = 1
2 × 2 × 1 = 1．
3
(2024·高一·天津·期末) 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、
极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得图形，已知
OA = 0.1m，AD = 0.4m，∠AOB = 125°，则该扇环形砖雕的面积为
m2．
４０３
404
答案
π
12
解
因为扇形OAB 的院校为∠AOB = 125 ×
π
180 = 25π
36 ，
又因为OA = 0.1m，AD = 0.4m，
所以，该扇环形砖雕的面积为S = 1
2 × 25π
36 × 0.52-0.12
= π
12 ．
4
(高一上·江苏盐城·期末) 古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为
扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为72cm，内弧线的长为18cm，连接外弧与
内弧的两端的线段均为18cm，则该扇形的中心角的弧度数为
．
答案3
解【分析】利用扇形弧长与扇形的中心角α 的关系，求得OC，进而可得该扇形的中心角的弧度数．
【详解】依题意可得弧AB 的长为72cm，弧CD 的长为18cm，设扇形的中心角的弧度数为α，
如图，
则AB
= α ⋅OA，CD
= α ⋅OC，则OA
OC = 72
18 = 4，即OA = 4OC．
因为AC = 18cm，所以OA - OC = 4OC - OC = 3OC = 18cm，则OC = 6cm，
所以该扇形的中心角的弧度数α = CD
OC = 18
6 = 3．
【题型
【题型9】扇形中的最值问题
】扇形中的最值问题
扇形中的最值问题一般结合基本不等式和二次函数来进行求解
相关结论及其推导：设扇形周长C，面积S，圆心角θ，半径r
1、已知扇形周长C 为定值，面积取得最大值时圆心角θ 的大小为定值θ = 2
【证明】：C = (θ + 2)r，
s = 1
2 θr2= 1
2
C
r -2r2
= 1
2 Cr - r2
４０４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
405
由二次函数的性质可知，当r = C
4 时也即θ = 2 时，面积取最大值．
2、已知扇形面积S 为定值，当周长C 取得最小值时，半径r =
S
【证明】lr = 2S，C = 2r + l = 2r + 2S
r
≥4 S，当且仅当2r = 2S
r
⇒r =
S 时取等
1
(高一上·湖北·月考) 若一个扇形的面积为4π，则当半径为
时扇形的周长最小．
答案2 π
解析
【分析】根据扇形的面积公式列出周长表达式，利用基本不等式求解．
【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，
由扇形的面积为4π，则4π = 1
2 lr，得lr = 8π，
扇形的周长为c = l + 2r = 8π
r + 2r ≥2
8π
r ×2r = 8 π，
当且仅当8π
r = 2r 即r = 2 π 时，等号成立．
所以当r = 2 π 时，扇形的周长最小．
2
(高一上·湖北·月考) 若一个扇形的面积为4π，则当半径为
时扇形的周长最小．
答案2 π
解析
【分析】根据扇形的面积公式列出周长表达式，利用基本不等式求解．
【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，
由扇形的面积为4π，则4π = 1
2 lr，得lr = 8π，
扇形的周长为c = l + 2r = 8π
r + 2r ≥2
8π
r ×2r = 8 π，
当且仅当8π
r = 2r 即r = 2 π 时，等号成立．
所以当r = 2 π 时，扇形的周长最小．
3
(高一上·江苏南京·期末) (多选) 已知扇形的半径为r，弧长为l．若其周长的数值为面积的数值的2
倍，则下列说法正确的是
(
)
A. 该扇形面积的最小值为8
B. 当扇形周长最小时，其圆心角为2
C. r + 2l 的最小值为9
D.
1
r2 + 4
l2 的最小值为1
2
答案BCD
解析
【分析】由题意，知2r + l = rl，则r =
l
l-2 ，l>2
，对于选项ABC 利用基本不等式可判断，
对于选项D 利用二次函数可解．
【详解】由题意，知2r + l = rl，则r =
l
l-2 ，l>2
，
所以扇形面积S = 1
2 rl = 1
2 ⋅
l2
l-2 = 1
2 ⋅
l-2
2+4 l-2
+4
l-2
= 1
2
l-2
+
4
l-2 +4
≥1
2 × 2
l-2
⋅
4
l-2 +4
= 1
2 × 4+4
= 4，
当且仅当l - 2 =
4
l-2 ，即l = 4 时，等号成立，选项A 错误；
扇形周长为2r + l =
2l
l-2 + l =
l2
l-2 =
l-2
2+4 l-2
+4
l-2
４０５
406
= l-2
+
4
l-2 + 4 ≥2
l-2
⋅
4
l-2 = 4 + 4 = 8，
当且仅当l - 2 =
4
l-2 ，即l = 4 时，等号成立，
此时，圆心角为l
r = 4
2 = 2，选项B 正确；
r + 2l =
l
l-2 + 2l = 2 l-2
2+5 l-2
+2
l-2
= 2 l-2
+
2
l-2 + 5
≥2
2 l-2
⋅
2
l-2 + 5 = 4 + 5 = 9，
当且仅当2 l-2
=
2
l-2 ，即l = 3 时，等号成立，选项C 正确；
1
r2 + 4
l2 =
l-2
2
l2
+ 4
l2 = 8
l2 - 4
l + 1 = 8 1
l - 1
4
2
+ 1
2 ，
当1
l = 1
4 时，上式取得最小值为1
2 ，选项D 正确．
1
(高一上·浙江宁波·期末) 炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇
形加工制作而成．如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC 面积为100π2cm2，则当该纸
叠扇的周长最小时，AB 的长度为
cm．
答案10π
解【分析】设扇形ABC 的半径为rcm，弧长为lcm，根据扇形ABC 的面积得到rl，纸叠扇的周长C
= 2r + l，利用基本不等式求解即可．
【详解】设扇形ABC 的半径为rcm，弧长为lcm，则扇形面积S = 1
2 rl．
由题意得1
2 rl = 100π2，所以rl = 200π2．
所以纸叠扇的周长C = 2r + l ≥2 2rl = 2 400π2 = 40π，
当且仅当2r=l,
rl=200π2,
即r = 10π，l = 20π 时，等号成立，
所以此时AB 的长度为10πcm．
2
(高一上·江苏苏州·期末) 立德中学拟建一个扇环形状的花坛(如图)，该扇环面由以点O 为圆心的
两个同心圆弧和延长后可通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环的周长为30 米，其中大圆
环所在圆的半径为10 米，设计小圆环所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度)，当θ = 4
3 时，x
=
米；现要给花坛的边缘(实线部分) 进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4 元/ 米，弧
线部分的装饰费用为9 元/ 米，则花坛每平方米的装饰费用M 的最小值为
元
M=
总费用
花坛总面积
．
４０６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
407
答案5 10
3
解【分析】由题意可得，30 = xθ + 10θ + 2(10 - x)，当θ = 4
3 时，解得x，再结合换元法，以及基本
不等式的公式，即可求解．
【详解】由题意可得，30 = xθ + 10θ + 2(10 - x)，解得θ = 10+2x
10+x ，
当θ = 4
3 时，解得x = 5，
S花= 1
2 × 10 × θ × 10 - 1
2 ⋅θ ⋅x2= θ
2
100-x2
=-x2+ 5x + 50(0 < x < 10)，
装饰费为9θ(x + 10) + 2(10 - x) ⋅4 = 9xθ + 90θ + 8(10 - x) = 170 + 10x
故M =
170+10x
-x2+5x+50 =- 10(17+x)
x2-5x-50 ，
令t = 17 + x，17 < t < 27，
则M =-
10t
(t-17)2-5(t-17)-50
=-
10t
t2-39t+324 =-
10
t-39+ 324
t
，
∵t + 324
t
> 2
t⋅324
t
= 36，当且仅当t = 326
t
，即t = 18，即x = 1 时，等号成立，
∴M 的最小值为-
10
36-39 = 10
3 ，
花坛每平方米的装饰费用M 最小为10
3 元．
3
(高一上·浙江·月考) 如图是杭州2023 年第19 届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中
国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图是会徽的几何图形．设弧AD 的长度是l1，弧BC 的长度
是l2，几何图形ABCD 面积为S1，扇形BOC 面积为S2，扇形AOD 周长为定值L，圆心角为α，
若l1
l2
= 3，则当S1取得最大值时，圆心角为α 的值为
(
)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案B
解【分析】先利用扇形AOD 的周长得到推得α = L-6m
3m
，再利用扇形的面积公式将问题转化为二次
函数的最值问题，从而得解．
【详解】依题意，知∠BOC = α，则l1= α ⋅OD
，l2= α ⋅OC
，
因为l1
l2
= 3，所以OD
OC
= 3，不妨设OC
= m m>0
，则OD
= 3m，
４０７
408
因为扇形AOD 周长为定值L，所以L = 2 OD
+ l1= 6m + 3αm，则α = L-6m
3m
，
因为S2= 1
2 l2⋅OC
= 1
2 α ⋅OC
2= 1
2 αm2，
扇形AOD 的面积为S = 1
2 l1⋅OD
= 1
2 α ⋅OD
2= 1
2 α ⋅9m2= 9
2 am2，
则S1= S - S2= 4αm2= 4 × L-6m
3m
⋅m2=-8m2+ 4
3 Lm，
对于y =-8m2+ 4
3 Lm，其开口向下，对称轴为m = 1
12 L，
故当m = 1
12 L，即L = 12m 时，y =-8m2+ 4
3 Lm 取得最大值，即S1取得最大值，
此时，α = L-6m
3m
= 12m-6m
3m
= 2．
4
若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为
(
)
A. 5 -
1
sin1
B.
5sin1
2+2sin1
C.
5sin1
1+sin1
D. 5 +
5
1+sin1
答案B
解【分析】设出扇形半径和圆心角，根据周长得到方程，并表示出扇形面积，利用基本不等式求出最
值，得到扇形的半径和圆心角，从而结合三角函数得到
r
5
2 -r
= sin1，求出答案．
【详解】设扇形的半径为R，圆心角为θ θ>0
，则弧长l = θR，
故2R + θR = 10，则R =
10
2+θ ，
故扇形面积为S = 1
2 θR2= 1
2 θ
100
2+θ
2 =
50
θ+ 4
θ +4
，
由基本不等式得θ + 4
θ ≥2
θ⋅4
θ = 4，当且仅当θ = 4
θ ，即θ = 2 时，等号成立，
故S =
50
θ+ 4
θ +4
≤
50
4+4 = 25
4 ，
此时R =
10
2+θ = 5
2 ，
由对称性可知∠BOD = 1，
设内切圆的圆心为P，因为DO = 5
2 ，故OP = 5
2 - r，
过点P 作PE ⊥OB 于点E，
则PE = r，在Rt△OEP 中，sin∠BOD = PE
OP ，即
r
5
2 -r
= sin1，
得r =
5sin1
2+2sin1 ．
４０８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
409
专题5 - 2 三角函数的概念
一、三角函数的定义
1、定义：设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P x,y
，则：
y 叫做α 的正弦函数，记作sinα．即y = sinα；
x 叫做α 的余弦函数，记作cosα．即x = cosα；
y
x 叫做α 的正切函数，记作tanα．即y
x = sinα
cosα = tanα x≠0
。
2、三角函数定义域：正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：
正弦函数：y = sinx，x ∈R
余弦函数：y = cosx，x ∈R
正切函数：y = tanx，x ≠π
2 + kπ k∈Z
3、三角函数另一种定义：设点P x,y
(不与原点重合) 为角α 终边上任意一点，点P 与原点的距离为：
r =
x2+y2，则：sinα = y
r ，cosα = x
r ，tanα = y
x ．
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关
二、三角函数值的符号及公式一
1、三角函数值的符号
【注意】(1) 由三角函数的定义可知，角的三角函数值的符号由角的终边上任意一点的坐标确定的，准确
确定角的终边的位置是判断三角函数值符号的关键；
(2) 要熟记三角函数值在各象限的符号规律，可简记为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
2、诱导公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导
公式一
sin(α + 2kπ) = sinα
cos(α + 2kπ) = cosα
tan(α + 2kπ) = tanα 其中k ∈Z
【注意】(1) 利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0~2π(或0°~360°) 范围内角的三
４０９
410
角函数值．
(2) 上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π + α) = f(α) (k ∈Z)，或f(k·360° +α) = f(α) (k ∈Z)．
三、特殊角的三角函数值
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
3π
2
sinα
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
-1
cosα
1
3
2
2
2
1
2
0
- 1
2
-
2
2
-
3
2
-1
0
tanα
0
3
3
1
3
- 3
-1
-
3
3
0
【题型
【题型1】利用三角函数的定义求值
】利用三角函数的定义求值(3 种类型
种类型)
三角函数的定义求值中常见的三种题型及解决方法
1、已知角α 的终边上一点P 的坐标，求角α 的三角函数值
方法：先求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；
2、已知角α 的一个三角函数值和终边上的点P 的横坐标或纵坐标，求与角α 有关的三角函数值
方法：先求出点P 到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知
数，从而求解问题；
3、已知角α 的终边所在的直线方程(y = kx，k ≠0)，求角α 的三角函数值
方法：先设出终边上的一点P a,ka
a≠0
，求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解(注
意α 的符号，对α 分类讨论)，结论：tanα = k
1
若角θ 的终边经过点-2,3
，则sinθ =
(
)
A. - 3
13
13
B. - 2
13
13
C.
2
13
13
D.
3
13
13
答案D
解析
因为角θ 的终边经过点-2,3
，则sinθ =
3
-2
2+33 = 3 13
13
．故选：D
2
已知P 1,m
是角θ 的终边上一点，tanθ =-2，则sinθ =
(
)
A. - 2 5
5
B. -
5
5
C.
5
5
D. 2 5
5
答案A
解析
【分析】根据三角函数的定义求出m 的值，再根据三角函数的定义进行求值即可．
【详解】由三角函数的定义知：
tanθ = m =-2，
所以sinθ = -2
5 =- 2 5
5
．
４１０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
411
3
已知角α 的终边落在直线y = 2x 上，则sinα 的值为
(
)
A. 2 5
5
B.
5
5
C. - 2 5
5
D. ± 2 5
5
答案D
解析
【分析】根据三角函数得定义求解即可得出结论．
【详解】设直线y = 2x 上任意一点P 的坐标为(m , 2m) (m ≠0)，
则OP =
m2+ 2m
2 =
5 m
(O 为坐标原点)，
根据正弦函数的定义得：sinα = y
r = 2m
OP =
2m
5 m
，
m > 0 时，sinα = 2 5
5
；m < 0 时，sinα =- 2 5
5
，
所以选项D 正确，选项A，B，C 错误
1
如果角α 的终边过点P 2sin60°,-2cos60°
，则cosα =
(
)
A. - 1
2
B. 1
2
C. -
3
2
D.
3
2
答案D
解【分析】先算点P 坐标，然后由三角函数定义可得．
【详解】由题可得P( 3，-1)，因为r =
3+1 = 2，所以cosα = x
r =
3
2 ．
2
若角α 的终边经过点P(-3 , 4)，则sinα + tanα 等于
(
)
A. - 8
15
B.
8
15
C. - 29
15
D. - 11
15
答案A
解【分析】根据三角函数定义可得．
【详解】因为角α 的终边经过点P(-3 , 4)，则r =
(-3)2+42 = 5，
所以sinα = 4
5 ，tanα =- 4
3 ，
所以sinα + tanα = 4
5 - 4
3 =- 8
15 ．
3
已知角θ 的顶点为原点，起始边为x 轴非负半轴，若点P 4,y
是角θ 终边上一点，且sinθ =
- 2 5
5
，则y =
(
)
A. 8
B. - 8
C. 6
D. - 6
答案B
解【分析】利用三角函数的定义可得出关于y 的等式，即可解出y 的值．
【详解】因为点P 4,y
是角θ 终边上一点，且sinθ =- 2 5
5
，
由三角函数的定义可得sinθ =
y
y2+42 =- 2 5
5
，则y < 0，解得y =-8．
4
(2023·江苏盐城·高一校联考期末) 已知角α 终边经过点P x,-6
，且cosα =- 5
13 ，则x 的值为
(
)
４１１
412
A. ± 2
5
B. ± 5
2
C. - 5
2
D. 5
2
答案C
解
因为角α 终边经过点P x,-6
，所以cosα =
x
x2+ -6
2 =- 5
13 ，
所以
x<0
x2= 25
4
，解得x =- 5
2 ．故选：C
5
已知角α 的终边经过点P(-4m , 3m) (m ≠0)，则2sinα + cosα 的值可能为
(
)
A. 3
5
B. - 3
5
C. 2
5
D. - 2
5
答案CD
解【分析】根据三角函数的概念求解sinα，cosα，即可得2sinα + cosα 的值．
【详解】已知角α 的终边经过点P(-4m , 3m) (m ≠0)
所以sinα =
3m
-4m
2+ 3m
2 = 3m
5m
，cosα =
-4m
-4m
2+ 3m
2 = -4m
5m
则当m > 0 时，sinα = 3
5 ，cosα =- 4
5 ，此时2sinα + cosα = 2 × 3
5 + - 4
5
= 2
5 ；
当m < 0 时，sinα =- 3
5 ，cosα = 4
5 ，此时2sinα + cosα = 2 × - 3
5
+ 4
5 =- 2
5 ；
所以2sinα + cosα 的值可能为2
5 或- 2
5 ．
6
如果角α 的终边在直线y = 2x 上，则sinα+2cosα
3sinα-cosα =
(
)
A. - 4
5
B. 4
5
C. - 5
4
D. 5
4
答案B
解
因为角α 的终边在直线y = 2x 上，所以tanα = 2．
所以sinα+2cosα
3sinα-cosα =
sinα+2cosα
cosα
3sinα-cosα
cosα
= tanα+2
3tanα-1 =
2+2
3×2-1 = 4
5
【题型
【题型2】三角函数的符号与所在象限判断
】三角函数的符号与所在象限判断
简记：sinα ⇒y；cosα ⇒x；tanα ⇒y
x ．
1
已知sinθ < 0，tanθ < 0，则角θ 的终边位于
(
)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案D
解析
【分析】根据三角函数的符号与角的象限间的关系，即可求解．
４１２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
413
【详解】由sinθ < 0，tanθ < 0，根据三角函数的符号与角的象限间的关系，
可得角θ 的终边位于第四象限．
2
已知点P cosθ,-tanθ
是第三象限的点，则θ 的终边位于
(
)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案C
解析
∵点P cosθ,-tanθ
是第三象限的点，∴cosθ < 0，tanθ > 0，
由cosθ < 0 可得，θ 的终边位于第二象限或第三象限或x 轴的非正半轴；
由tanθ > 0 可得，θ 的终边位于第一象限或第三象限，
综上所述，θ 的终边位于第三象限．故选：C
1
已知cosθtanθ < 0，sinθ
tanθ < 0，则角θ 的终边在
(
)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案C
解【分析】根据所给条件得到sinθ < 0、tanθ > 0，cosθ < 0，即可判断．
【详解】因为cosθtanθ < 0，即cosθ ⋅sinθ
cosθ = sinθ < 0，
又sinθ
tanθ < 0，所以tanθ > 0，即tanθ = sinθ
cosθ > 0，所以cosθ < 0，
所以角θ 的终边在第三象限．
2
若sinα
tanα > 0，tanα
cosα > 0，则α 是
(
)
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
答案A
解
由sinα
tanα = cosα > 0，tanα
cosα = sinα
cos2α > 0，得cosα > 0，sinα > 0，
所以α 是第一象限角．故选：A．
3
若α 是第二象限角，则
(
)
A. cos -α
> 0
B. tan α
2 > 0
C. sin π+α
> 0
D. cos π-α
< 0
答案B
解
若α 是第二象限角，则cos -α
= cosα < 0，故A 错误；
α
2 为第一、三象限角，则tan α
2 > 0，故B 正确；
sin π+α
< 0，故C 错误；
cos π-α
> 0，故D 错误．
4
(多选) 若sinx
sinx + cosx
cosx + tanx
tanx =-1，则x 可能在的象限是
(
)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案BCD
４１３
414
解【分析】对角x 的终边的位置进行分类讨论，求出sinx
sinx + cosx
cosx + tanx
tanx 的值，即可得出结论．
【详解】当x 是第一象限角时，sinx
sinx + cosx
cosx + tanx
tanx = 3 ≠-1，故x 一定不是第一象限角；
当x 是第二象限角时，sinx
sinx + cosx
cosx + tanx
tanx = 1 - 1 - 1 =-1，即x 可以是第二象限角；
当x 是第三象限角时，sinx
sinx + cosx
cosx + tanx
tanx =-1 - 1 + 1 =-1，即x 可以是第三象限角；
当x 是第四象限角时，sinx
sinx + cosx
cosx + tanx
tanx =-1 + 1 - 1 =-1，即x 可以是第四象限角．
【题型
【题型3】求任意角的三角函数值
】求任意角的三角函数值
求任意角三角函数值的步骤
(1) “负化正”：用公式一或三来转化．
(2) “大化小”：用公式一将角化为0° 到360° 间的角．
(3) “小化锐”：用公式二或四将大于90° 的角转化为锐角．
1
sin 17π
4
的值为
(
)
A. -
3
2
B.
3
2
C. -
2
2
D.
2
2
答案D
解析
sin 17π
4
= sin 4π+ π
4
= sin π
4 =
2
2 ．故选：D．
1
sin -1380o
的值为
(
)
A. - 1
2
B. 1
2
C. -
3
2
D.
3
2
答案D
解
sin -1380o
= sin -4×360o+60o
= sin60o =
3
2
故选：D．
2 “θ = π
4 + 2kπ k∈Z
”是“sinθ =
2
2 ”成立的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案A
解
若θ = π
4 + 2kπ k∈Z
，则sinθ = sin π
4 +2kπ
= sin π
4 =
2
2 ，k ∈Z；
若sinθ =
2
2 ，不一定有θ = π
4 + 2kπ k∈Z
，
例如θ = 3π
4 + 2kπ k∈Z
，则sinθ = sin 3π
4 +2kπ
= sin 3π
4 =
2
2 ，k ∈Z；
综上所述：“θ = π
4 + 2kπ k∈Z
”是“sinθ =
2
2 ”成立的充分不必要条件．故选：A．
【题型
【题型4】单位圆上的动点与旋转点
】单位圆上的动点与旋转点
４１４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
415
考虑做垂线构造特殊直角三角形，通过三边之比求坐标
1
(2024·高一·安徽合肥·月考) 已知平面直角坐标系xOy，点P 在半径为2 的圆O 上，现点P 从圆O
与y 轴非负半轴的交点A 出发按顺时针方向运动了1
6 圆周，则此时点P 的纵坐标为
．
答案1
解析
由题意，点P 顺时针转过了60° 角，
故∠xOP = 30°，sin∠xOP = 1
2 ，∴yP = rsin∠xOP = 1．
1
在直角坐标系xOy 中，若点P 从点3,0
出发，沿圆心在原点，半径为3 的圆按逆时针方向运动
11π
6
到达点Q，则点Q 的坐标为
(
)
A.
- 3 3
2
, 3
2
B.
- 3
2 , 3 3
2
C.
3 3
2
,- 3
2
D.
3
2 ,- 3 3
2
答案C
解
根据题意可知，作出图示如下：
根据题意可得OP = 3，∠POQ = π
6 ，作QQ1⊥x 轴且垂足为Q1；
利用三角函数定义可得OQ1= 3 × cos∠POQ = 3 3
2
，QQ1= 3 × sin∠POQ = 3
2 ；
又Q 点在第四象限，所以点Q 的坐标为
3 3
2
,- 3
2
．
2
(2024·高一·湖南长沙·月考) 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P、Q 从点A 1,0
出发
在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π
12 弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π
12 弧度，
则P、Q 两点在第1804 次相遇时，点P 的坐标是
(
)
A.
1
2 ,-
3
2
B.
1
2 ,
3
2
C.
- 1
2 ,
3
2
D.
- 1
2 , - 3
2
答案C
４１５
416
解
相遇时间为t = 1804 × 2π ÷
π
12 + 11π
12
= 3608 秒，
故P 转过的角度为π
12 × 3608 = 300π + 2π
3 ，
故对应坐标为cos 2π
3 ,sin 2π
3
，即- 1
2 ,
3
2
．
3
在直角坐标系xOy 中，一个质点在半径为2 的圆O 上，以圆O 与x 正半轴的交点P0 为起点，沿
逆时针方向匀速运动到P 点，每5s 转一圈，则2s 后P0P 的长为
(
)
A. 2sin 4π
5
B. 2cos 4π
5
C. 4sin 2π
5
D. 4cos 2π
5
答案C
解
由题意可知，一个质点在圆O 上每5s 逆时针方向转一圈，
那么2s 后，到达P 点，所以∠POP0= 4π
5 ，
而在△POP0中，OP = OP0= 2 且为圆的半径，
取P0P 的中点T，如图，则∠POT = 2π
5 ，
所以sin∠POT = PT
OP = sin 2π
5 ，则PT = 1
2 PP0= 2sin 2π
5 ，
所以PP0= 4sin 2π
5 ，故选：C
【题型
【题型5】对
】对sin
sinα，cos
cosα，tan
tanα 的知一求二问题
的知一求二问题
(1) 若已知sinα 或cosα，可以先应用公式sin2α + cos2α = 1，根据角终边所在的象限，判断三角函数的符
号，求得的值，再由公式tanα = sinα
cosα 求得tanα 的值．
(2) 若已知tanα = m，可以应用公式tanα = sinα
cosα = m ⇒sinα = mcosα，再代入sin2α + cos2α = 1，根据
角终边所在的象限，判断三角函数的符号。
1
计算：
(1) 已知α ∈π, 3π
2
，tanα = 2，求cosα 的值．
(2) 已知cosα =- 8
17 ，求sinα，tanα 的值
答案(1)cosα =-
5
5 ；
(2) 答案见解析．
解析
【分析】(1) 由商数关系及平方关系，结合角的范围求cosα 即可；
４１６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
417
(2) 讨论α 为第二或第三象限角，结合同角三角函数关系求正弦、正切值．
【详解】(1) 由tanα = sinα
cosα = 2，sin2α + cos2α = 1 得：4cos2α + cos2α = 1，
又α ∈π, 3π
2
，所以cosα =-
5
5 ．
(2) 因为cosα =- 8
17 ，所以α 为第二或第三象限角，又sin2α + cos2α = 1．
若α 为第二象限角，则sinα = 15
17 ，tanα =- 15
8 ；
若α 为第三象限角，则sinα =- 15
17 ，tanα = 15
8 ．
1
设θ 为第二象限角，若tanθ =- 1
2 ，则sinθ + cosθ =
．
答案-
5
5 / - 5
5
解【分析】由同角三角函数的基本关系，列方程组解出sinθ，cosθ，求和即可．
【详解】θ 为第二象限角，则sinθ > 0，cosθ < 0，
若tanθ =- 1
2 ，则有
sinθ
cosθ =- 1
2
sin2θ+cos2θ=1
，解得
sinθ=
5
5
cosθ=- 2 5
5
，
所以sinθ + cosθ =
5
5
- 2 5
5
=-
5
5 ．
2
若tanα =- 3
4 ，0 < α < π，则sinα + cosα =
(
)
A. 1
5
B. 1
3
C. - 1
5
D. - 1
3
答案C
解
因为tanα =- 3
4 < 0，0 < α < π，
所以π
2 < α < π，所以sinα > 0，cosα < 0，
因为tanα = sinα
cosα =- 3
4 ，所以sinα =- 3
4 cosα，
又因为sin2α + cos2α = 9
16 cos2α + cos2α = 25
16 cos2α = 1，
所以cos2α = 16
25 ，所以cosα =- 4
5 ，
所以sinα =- 3
4 × - 4
5
= 3
5 ，
所以sinα + cosα = 3
5 - 4
5 =- 1
5 ．故选：C
3
(1) 若α 是△ABC 的一个内角，且cosα =- 12
13 ，求sinα，tanα 的值；
(2) 若sinα = 8
17 ，求tanα 的值；
答案(1)sinα = 5
13 ，tanα =- 5
12 ；(2) 答案见解析
解【分析】根据同角三角函数的商数关系和平方关系求解即可；
【详解】解：(1) 若α 是△ABC 的一个内角，且cosα =- 12
13 ，
所以π
2 < α < π，
所以sinα =
1-cos2α =
1- - 12
13
2
= 5
13 ，
４１７
418
所以tanα = sinα
cosα =
5
13
- 12
13
=- 5
12 ；
(2) 因为sinα = 8
17 > 0，所以α 是第一、第二象限角．
当α 是第一象限角时，cosα =
1-sin2α =
1-
8
17
2
= 15
17 ，此时tanα = 8
15 ；
当α 是第二象限角时，cosα =- 1-sin2α =-
1-
8
17
2
=- 15
17 ，此时tanα =- 8
15 ，
综上，当α 是第一象限角时，tanα = 8
15 ；当是α 第二象限角时，tanα =- 8
15 ．
【题型
【题型6】正、余弦齐次式的计算
】正、余弦齐次式的计算
解题思路
(1) 对只含有sinθ，cosθ 的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只
含有正切的式子，即化弦为切，整体代入．
(2) 对于形如asinθ+bcosθ
csinθ+dcosθ 或asinθ+bcosθ
csinθ+dcosθ 的分式，分子、分母同时除以cosθ，cos2θ，将正、余弦转
化为正切，从而求值．
(3) 对于形如Asin2θ + Bsinθcosθ + Ccos2θ 的式子，将其看成分母为1 的分式，再将分母1 变形为sin2θ
+ cos2θ，转化为形如Asin2θ+Bsinθcosθ+Ccos2θ
sin2θ+cos2θ
的式子求值．
1
已知tanα =- 1
3 ，则sinα+2cosα
5cosα-sinα 的值为
(
)
A. - 1
B. 1
C.
5
16
D. 5
4
答案C
解析
因为tanα =- 1
3 ，
所以sinα+2cosα
5cosα-sinα = tanα+2
5-tanα =
- 1
3 +2
5- - 1
3
=
5
3
16
3
= 5
16 ．故选：C．
2
(高一上·湖北·期末) 已知tanθ = 3，则3cos2θ + 2sinθcosθ 的值为
．
答案
9
10
解析
【分析】由齐次式法结合平方关系即可求解．
【详解】3cos2θ + 2sinθcosθ = 3cos2θ+2sinθcosθ
sin2θ+cos2θ
= 3+2tanθ
tan2θ+1 = 9
10 ．
3
已知sinα - cosα =
5
5 ，则tanα =
．
答案2 或1
2
解析
由sinα - cosα =
5
5
两边平方得sin2α - 2sinαcosα + cos2α = 1 - 2sinαcosα = 1
5 ，
得sinαcosα = 2
5 ，
所以
sinαcosα
sin2α+cos2α =
tanα
tan2α+1 = 2
5 ，即2tan2α - 5tanα + 2 = 0，解得tanα = 2 或1
2 ．
４１８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
419
1
已知tanθ = 2，则sin2θ + sinθcosθ =
(
)
A. - 2
5
B. 2
5
C. - 6
5
D. 6
5
答案D
解
由题意知tanθ = 2，
则sin2θ + sinθcosθ = sin2θ+sinθcosθ
sin2θ+cos2θ
= tan2θ+tanθ
tan2θ+1
= 4+2
4+1 = 6
5 ，故选：D
2
已知1-2sinαcosα
cos2α-sin2α = 1
3 ，则tanα =
(
)
A. 1
3
B. 1
2
C. 1
3 或1
D. 1
2 或1
答案B
解【分析】利用弦化切可得出关于tanα 的等式，即可求得tanα 的值．
【详解】因为1-2sinαcosα
cos2α-sin2α = cos2α+sin2α-2sinαcosα
cos2α-sin2α
=
cosα-sinα
2
cosα+sinα
cosα-sinα
= cosα-sinα
cosα+sinα = 1-tanα
1+tanα = 1
3 ，解得tanα = 1
2 ．
3
(高一上·江苏无锡·期末) 已知tanα 是关于x 的方程2x2 + x - 1 = 0 的一个实根，且α 是第一象限
角，求3sin2α - sinαcosα + 2cos2α 的值；
答案9
5 ．
解【分析】解方程2x2+ x - 1 = 0，求出tanα = 1
2 ，利用同角三角函数关系式能求出结果．
【详解】解方程2x2+ x - 1 = 0，得x1=-1，x2= 1
2 ，
tanα 是关于x 的方程2x2+ x - 1 = 0 的一个实根，且α 是第一象限角，则tanα = 1
2 ，
3sin2α - sinαcosα + 2cos2α = 3sin2α-sinαcosα+2cos2α
sin2α+cos2α
= 3tan2α-tanα+2
tan2α+1
=
3× 1
4 - 1
2 +2
1
4 +1
= 9
5 ．
4
已知tanα = 2，求：
(1)sin4α - cos4α；(2) 3sinαcosα-2cos2α
1-2cos2α
．
答案(1) 3
5 ；(2) 4
3
解
(1)sin4α - cos4α = sin2α-cos2α
sin2α+cos2α
= sin2α - cos2α
= sin2α-cos2α
sin2α+cos2α =
sin2α-cos2α
cos2α
sin2α+cos2α
cos2α
= tan2α-1
tan2α+1 = 3
5 ；
(2) 3sinαcosα-2cos2α
1-2cos2α
= 3sinαcosα-2cos2α
sin2α-cos2α
=
3sinαcosα-2cos2α
cos2α
sin2α-cos2α
cos2α
= 3tanα-2
tan2α-1 = 4
3 ．
5
已知sinα + cosα = 3cosαtanα，则cos2αtanα - 1 =
(
)
A. - 3
5
B. - 4
5
C. - 2
3
D. - 1
3
４１９
420
答案A
解【分析】根据题意可得tanα = 1
2 ，根据齐次式法可得cos2αtanα = 2
5 ，即可得结果．
【详解】因为sinα + cosα = 3cosαtanα = 3sinα，可得tanα = 1
2 ，
可得cos2αtanα = cosαsinα =
sinαcosα
sin2α+cos2α =
tanα
tan2α+1 =
1
2
1
4 +1
= 2
5 ，
所以cos2αtanα - 1 = 2
5 - 1 =- 3
5 ．
6
(2024·全国甲卷·高考真题) 已知
cosα
cosα-sinα =
3，则tan α+ π
4
=
(
)
A. 2 3 + 1
B. 2 3 - 1
C.
3
2
D. 1 -
3
答案B
解【分析】先将
cosα
cosα-sinα 弦化切求得tanα，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为
cosα
cosα-sinα =
3，
所以
1
1-tanα =
3，⇒tanα = 1 -
3
3 ，
所以tan α+ π
4
= tanα+1
1-tanα = 2 3 - 1
7
已知sinθ+cosθ
sinθ-cosθ = 2，则sinθcosθ =
(
)
A. 6
5
B. 3
5
C.
3
10
D.
3
20
答案C
解【分析】由已知求出tanθ = 3，再利用“1”的变换，将所求的式子化为关于sinθ，cosθ 的齐次分
式，化弦为切，即可求解．
【详解】若cosθ = 0，则sinθ+cosθ
sinθ-cosθ = 1，不合题意，所以cosθ ≠0，
由sinθ+cosθ
sinθ-cosθ = 2，可得tanθ+1
tanθ-1 = 2，解得tanθ = 3，
所以sinθcosθ =
sinθcosθ
sin2θ+cos2θ =
tanθ
tan2θ+1 =
3
32+1 = 3
10 ．
【题型
【题型7】sin
sinα ± cos
cosα、sin
sinαcos
cosα 关系应用
关系应用
对于sinα + cosα，sinα - cosα，sinαcosα 这三个式子，知一可求二：sinα±cosα
2 = 1 ± 2sinαcosα 但
是要特别注意角的象限决定正负号。
1
(高一上·山东青岛·期中) 已知sinθ + cosθ = 4
3 ，θ ∈
π
4 , π
2
，则sinθ - cosθ =
(
)
A.
2
3
B. -
2
3
C. 1
3
D. - 1
3
答案A
解析
【分析】将题设条件等式两边平方，可得2sinθcosθ = 7
9 ，再将目标式平方并结合角的范围即
可求sinθ - cosθ．
【详解】(sinθ + cosθ)2= 1 + 2sinθcosθ = 16
9 ，则2sinθcosθ = 7
9 ，
４２０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
421
而(sinθ - cosθ)2= 1 - 2sinθcosθ = 2
9 ，又θ ∈
π
4 , π
2
，
∴sinθ > cosθ，则sinθ - cosθ =
2
3 ．
2
(高一上·广东深圳·期末) 已知sinθ，cosθ 是关于x 的方程5x2 - x + 5m = 0 的两根，则实数m =
．
答案- 12
25
解析
【分析】利用韦达定理列出关于m 的方程，再利用同角之间的基本关系，即可求解．
【详解】由sinθ，cosθ 是关于x 的方程5x2- x + 5m = 0 的两根，所以
sinθ+cosθ= 1
5
sinθcosθ=m
Δ=1-100m>0
，
由sinθ+cosθ
2= 1 + 2sinθcosθ，可得
1
5
2
= 1 + 2m，则m =- 12
25 ，
经检验符合题意，所以实数m 的值为- 12
25 ．
3
(高一上·安徽亳州·期末) 已知α，β ∈0, π
2
，3sinβ - cosα =
3，sinα + 3cosβ = 2，则α - β =
．
答案- π
6
解析
【分析】平方相加可得sin α-β
=- 1
2 ，即可根据角的范围求解．
【详解】将两式平方9sin2β + cos2α - 6sinβcosα = 3，sin2α + 9cos2β + 6sinαcosβ = 4，
相加得10 + 6sin α-β
= 7，即sin α-β
=- 1
2 ，
因为α，β ∈0, π
2
，所以- π
2 < α - β < π
2 ，所以α - β =- π
6 ．
4
(高一上·广东佛山·期末) 已知sinθ，cosθ 是方程5x2- x + m = 0 的两个实数根．
(1) 求m 的值：
(2) 若θ 为第二象限角，求sinθ - cosθ 的值．
答案(1) - 12
5
(2) 7
5
解析
【分析】(1) 根据题意可确定m 的范围，再结合根与系数的关系以及同角的三角函数关系，即
可求得答案；
(2) 根据角θ 所在象限，确定sinθ - cosθ 的正负，平方后结合同角的三角函数关系，化简求值，即可
求得答案．
【详解】(1) 由题意知sinθ，cosθ 是方程5x2- x + m = 0 的两个实数根，
故Δ = 1 - 20m ≥0，∴m ≤1
20 ；
且sinθ + cosθ = 1
5 ，sinθcosθ = m
5 ，
因为sinθ+cosθ
2- 2sinθcosθ = 1，故1
25 - 2m
5
= 1，
得m =- 12
5 ，满足m ≤1
20 ，
故m =- 12
5 ；
４２１
422
(2) 因为θ 为第二象限角，所以sinθ > 0．cosθ < 0，则sinθ - cosθ > 0，
由(1) 知sinθcosθ = m
5 =- 12
25 ，
所以sinθ-cosθ
2= 1 - 2sinθcosθ = 1 + 24
25 = 49
25 ，则sinθ - cosθ = 7
5 ．
1
(高一上·四川成都·期末) (多选) 已知θ ∈- π
2 , π
2
，sinθ + cosθ = 7
13 ，则下列结论正确的有
(
)
A. θ ∈- π
2 ,0
B. cosθ = 5
13
C. tanθ =- 5
12
D. cosθ - sinθ = 17
13
答案ACD
解【分析】利用三角函数基本关系sin2θ + cos2θ = 1 和完全平方公式、三角函数值的正负求解．
【详解】将sinθ + cosθ = 7
13 平方得sin2θ + cos2θ + 2sinθcosθ = 49
169 ，
因为sin2θ + cos2θ = 1，所以2sinθcosθ =- 120
169 < 0，
因为θ ∈- π
2 , π
2
，所以θ ∈- π
2 ,0
，sinθ < 0，cosθ > 0，
所以cosθ-sinθ
2= 1 - 2sinθcosθ = 1 + 120
169 = 289
169 ，
因为cosθ - sinθ > 0，所以cosθ - sinθ = 17
13 ，
根据sinθ + cosθ = 7
13 解得sinθ =- 5
13 ，cosθ = 12
13 ，
所以tanθ = sinθ
cosθ =- 5
12 ．
故选：ACD．
2
(高一上·广东汕头·期末) (多选) 已知α 为锐角，且cosα - sinα = 1
5 ，则下列选项中正确的有
(
)
A. α ∈
π
4 , π
2
B. tanα = 4
3
C. sinαcosα = 12
25
D. sinα + cosα = 7
5
答案CD
解【分析】由同角的三角函数基本关系逐项分析即可得解．
【详解】因为cosα - sinα = 1
5 > 0，所以cosα > sinα，而α 为锐角，
所以α ∈0, π
4
，故A 错误；
由cosα - sinα = 1
5 ，两边平方可得
2
cos α +
2
sin α - 2cosαsinα = 1
25 ⇒cosαsinα = 12
25 ，故C 正确；
因为α 为锐角，
所以sinα + cosα =
sinα+cosα
2 =
1+ 24
25 = 7
5 ，故D 正确；
由
sinα+cosα= 7
5
cosα-sinα= 1
5
⇒
sinα= 3
5
cosα= 4
5
⇒tanα = 3
4 ，故B 错误．
3
(高一上·江苏常州·期末) 已知α 为第二象限角，且满足sinα + cosα =- 7
13 ，则tanα =
．
答案- 5
12
解【分析】平方得到sinαcosα =- 60
169 ，变换得到sinα - cosα = 17
13 ，解得sinα = 5
13 ，cosα =- 12
13 ，
４２２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
423
解得答案．
【详解】sinα + cosα =- 7
13 ，则sinα+cosα
2= - 7
13
2
，即sinαcosα =- 60
169 ，
故sinα-cosα
2= 1 - 2sinαcosα = 289
169 ，
α 为第二象限角，故cosα < 0，sinα > 0，sinα - cosα = 17
13 ，
得sinα = 5
13 ，cosα =- 12
13 ，故tanα =- 5
12 ．
4
(高一上·浙江·期末) 若sinθ + cosθ =
10
5
0<θ<π
，则tanθ + 2sinθcosθ 的值为
(
)
A. - 33
10
B. - 18
5
C. - 9
5
D. 12
5
答案B
解【分析】利用同角的三角函数关系求出sinθcosθ =- 3
10 ，判断θ 的范围，确定tanθ <-1，结合齐
次式法求值求出tanθ，即可求得答案．
【详解】因为sinθ + cosθ =
10
5
0<θ<π
，故(sinθ + cosθ)2= 2
5 ，
即sin2θ + cos2θ + 2sinθcosθ = 2
5 ，得2sinθcosθ =- 3
5 < 0，
则sinθ > 0，cosθ < 0，且(sinθ - cosθ)2= sin2θ + cos2θ - 2sinθcosθ = 8
5 ，
所以sinθ - cosθ = 2 10
5
，
所以sinθ = 3 10
10
，cosθ =-
10
10 ，则tanθ =-3，
故tanθ + 2sinθcosθ =-3 - 3
5 =- 18
5
5
(高一上·广东深圳·月考) 已知sinθ，cosθ 是关于x 的方程x2 - ax + a = 0 的两个根a∈R
，则
tanθ +
1
tanθ =
．
答案-1 -
2
解【分析】根据根与系数关系可以求得sinθ+cosθ=a
sinθ·cosθ=a
，然后利用sinθ+cosθ
2 = a2，求出a 的值，
然后tanθ +
1
tanθ =
1
sinθcosθ = 1
a 即可求解．
【详解】由题意得：sinθ，cosθ 是x2 - ax + a = 0 的两个根，即：Δ = -a
2 - 4a ≥0，解得：a ≥4
或a ≤0，
由根与系数的关系得：sinθ+cosθ=a
sinθ·cosθ=a
，所以：sinθ+cosθ
2= 1 + 2sinθcosθ = a2，
即：a2- 2a - 1 = 0，解得：a = 1 -
2，a = 1 +
2(舍去)，
tanθ +
1
tanθ = sinθ
cosθ + cosθ
sinθ =
1
sinθcosθ = 1
a =
1
1-
2 =-1 -
2．
6
(高一上·广东广州·期末) 已知- π
2 < x < 0，sinx + cosx = 1
5 ．
(1) 求sinx - cosx 的值；(2) 求
1
cos2x-sin2x 的值．
答案(1) - 7
5 ；
(2) 25
7 ．
４２３
424
解【分析】(1) 根据题意，结合同角三角函数的关系，借助平方差，平方和公式计算即可；
(2) 由(1) 问，将
1
cos2x-sin2x 的分母展开代入即可．
【详解】(1) ∵sinx + cosx = 1
5 ，∴sinx+cosx
2= 1
25 ，解得：2sinxcosx =- 24
25 ，
∴sinx-cosx
2= 1 - 2sinxcosx = 49
25 ，解得：sinx - cosx =± 7
5 ，
∵- π
2 < x < 0，∴sinx < 0，cosx > 0，∴sinx - cosx < 0，∴sinx - cosx =- 7
5 ．
(2) 由(1) 知，sinx - cosx =- 7
5 ，sinx + cosx = 1
5 ，∴cosx - sinx = 7
5 ，
∴
1
cos2x-sin2x =
1
cosx-sinx
cosx+sinx
=
1
7
5 × 1
5
= 25
7 ．
7
(高一上·江苏无锡·期末) 已知sinα + cosα = 1
2 ，且α ∈0,π
，求
1
sinα -
1
cosα 的值．
答案4 7
3
．
解【分析】由sinα + cosα = 1
2 且α ∈
0,π
，得2 sinαcosα =- 3
4 ，从而cosα - sinα =
- 1-2sinθcosθ，再由
1
sinα -
1
cosα = cosα-sinα
sinαcosα ，能求出结果．
【详解】sinα + cosα = 1
2 ，且α ∈0,π
，
(sinα + cosα)2= 1 + 2sinαcosα = 1
4 ，则2sinαcosα =- 3
4 ，而α ∈0,π
，
则α ∈
π
2 ,π
，故cosα - sinα =- (cosα-sinα)2 =- 1-2sinαcosα =-
1+ 3
4 =-
7
2 ，
1
sinα -
1
cosα = cosα-sinα
sinαcosα
=
-
7
2
- 3
8
= 4 7
3
．
8
(高一上·湖北咸宁·月考) 已知关于x 的方程2x2-
3+1
x + m = 0 的两个根分别为sinθ 和cosθ，
且θ ∈(0 , 2π)．
(1) 求
sinθ
1-
1
tanθ
+
cosθ
1-tanθ 的值；
(2) 求m 的值；(3) 求方程的两根及θ 的值．
答案(1)
3+1
2
(2)
3
2
(3) 两根为x1=
3
2 ，x2= 1
2 ；θ = π
3 或θ = π
6 ．
解【分析】(1) 由sinθ 和cosθ 是方程的两个根得sinθ + cosθ =
3+1
2
，利用商数关系，求出代数式
的值；
(2) 利用平方关系，和sinθcosθ = m
2 ，求得m 的值．
(3) 解方程，得sinθ 和cosθ 的值，由θ ∈0,2π
，得θ 的值．
【详解】(1) 因为sinθ 和cosθ 是方程的两个根，所以
sinθ+cosθ=
3+1
2
sinθcosθ= m
2
3+1
2-8m≥0
，
４２４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
425
原式=
sin2θ
sinθ-cosθ +
cos2θ
cosθ-sinθ = sin2θ-cos2θ
sinθ-cosθ = sinθ + cosθ =
3+1
2
．
(2) 因为sinθ + cosθ =
3+1
2
，所以(sinθ + cosθ)2= 1 + 2sinθcosθ =
3+1
2
2
，
所以1 + 2 × m
2 =
3+1
2
2
，解得m =
3
2 ．
(3) 由(2) 可知，m =
3
2 ，所以方程2x2-
3+1
x +
3
2
= 0 的两根为x1=
3
2 ，x2= 1
2 ，
所以
sinθ=
3
2
cosθ= 1
2
或
sinθ= 1
2
cosθ=
3
2
，又因为θ ∈0,2π
，所以θ = π
3 或θ = π
6 ．
【题型
【题型8】利用同角关系化简求值
】利用同角关系化简求值
1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α + cos2α = 1 求解
2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sinα ± cosα，sinα ⋅cosα 建立联系，注意tanα = sinα
cosα 的灵
活应用
1
已知cosθ = 1
3 ，则tanθ+
1
tanθ
⋅sinθ 的值为
．
答案3
解析
tanθ+
1
tanθ
⋅sinθ =
sinθ
cosθ + cosθ
sinθ
⋅sinθ = sin2θ+cos2θ
cosθ⋅sinθ
⋅sinθ =
1
cosθ = 3
2
化简：1+sinα+cosα+2sinαcosα
1+sinα+cosα
．
答案sinα + cosα
解析
1+sinα+cosα+2sinαcosα
1+sinα+cosα
= sin2α+cos2α+sinα+cosα+2sinαcosα
1+sinα+cosα
=
sin2α+cos2α+2sinαcosα
+sinα+cosα
1+sinα+cosα
= (sinα+cosα)2+sinα+cosα
1+sinα+cosα
= (sinα+cosα)(sinα+cosα+1)
1+sinα+cosα
= sinα + cosα．
3
已知sinθ = 1-a
1+a ，cosθ = 3a-1
1+a ，且θ 是第二象限角，则实数a 的值为
．
答案1
9
解析
【分析】根据角所在象限，结合同角的三角函数关系，列出不等式和相应等式，即可求得答案．
【详解】由题意sinθ = 1-a
1+a ，cosθ = 3a-1
1+a ，且θ 是第二象限角，
可得
0< 1-a
1+a <1
-1< 3a-1
1+a <0
1-a
1+a
2+
3a-1
1+a
2=1
，
1-a
1+a
2
+
3a-1
1+a
2
= 1，可得a = 1
9 或a = 1，
当a = 1 时，不满足0 < 1-a
1+a < 1，a = 1
9 适合题意，
故实数a 的值为1
9
1
(高一上·江苏盐城·期末) 若sinα = m+1
m+2 ，cosα =
m
m+2 ，则tanα =
．
４２５
426
答案0 或4
3
解【分析】根据sin2α + cos2α = 1，代入整理求解得出m 的值，进而得出sinα，cosα 的值，即可得出
答案．
【详解】由已知可得，sin2α + cos2α = 1，
所以，
m+1
m+2
2
+
m
m+2
2
= 2m2+2m+1
m2+4m+4 = 1，
整理可得，m2- 2m - 3 = 0，解得m =-1 或m = 3．
当m =-1 时，sinα = 0，cosα =-1，tanα = sinα
cosα = 0；
当m = 3 时，sinα = 4
5 ，cosα = 3
5 ，tanα = sinα
cosα = 4
3 ．
综上所述，tanα = 0 或tanα = 4
3 ．
2
已知sinα + cosα = 3cosαtanα，则cos2αtanα =
(
)
A. - 3
5
B. 3
5
C. - 2
5
D. 2
5
答案D
解
因为sinα + cosα = 3cosαtanα，
所以sinα + cosα = 3cosα ⋅sinα
cosα ，
即sinαcosα + cos2α = 3cosαsinα，即cos2α = 2cosαsinα，
显然cosα ≠0，所以cosα = 2sinα，则tanα = 1
2 ，
又sin2α + cos2α = 1，所以cos2α = 4
5 ，所以cos2αtanα = 4
5 × 1
2 = 2
5 ．
3
(高一上·江苏南通·期末) 已知x ∈
π
2 ,π
．
(1) 化简：cosx 1+tan2x；
(2) 若sinx + cosx = 1
5 ，求
1
tanx - tanx 的值．
答案(1) - 1
(2) 7
12
解【分析】(1) 利用所给范围，结合同角关系式进行化简；
(2) 利用sinx + cosx = 1
5 关系式和范围，求出sinx - cosx、sinxcosx 的值，化简式子代入即可．
【详解】(1) 原式= cosx
1+ sin2x
cos2x = cosx ⋅
cos2x+sin2x
cos2x
= cosx
1
cos2x
因为x ∈
π
2 ,π
，所以cosx < 0，所以原式= cosx ⋅-
1
cosx
=-1．
(2) 因为sinx + cosx = 1
5 ，所以(sinx + cosx)2= 1
25 ，即1 + 2sinxcosx = 1
25 ，
所以sinxcosx =- 12
25 ．
所以(sinx - cosx)2= 1 - 2sinxcosx = 49
25 ．
因为x ∈
π
2 ,π
，所以sinx > 0，cosx < 0．所以sinx - cosx > 0．
所以sinx - cosx = 7
5 ．
４２６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
427
所以
1
tanx - tanx = cosx
sinx - sinx
cosx =
cosx-sinx
cosx+sinx
sinxcosx
=
- 7
5 × 1
5
- 12
25
= 7
12 ．
4
(高一上·江苏苏州·期末) 在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ 的终边经过点P 3a,-4a
，其中a
≠0．
(1) 求cosθ 的值；(2) 若θ 为第二象限角，求cosθ
1+sinθ
1-sinθ + sinθ
1+cosθ
1-cosθ 的值．
答案(1)a > 0 时，cosθ = 3
5 ；a < 0 时，cosθ =- 3
5
(2) - 7
5
解【分析】(1) 利用三角函数的定义求解；
(2) 由θ 为第二象限角得cosθ，利用同角三角函数关系式得sinθ，代入计算即可．
【详解】(1) 因为P 3a,-4a
，a ≠0，所以OP
=
(3a)2+(-4a)2 = 5 a
，
当a > 0 时，cosθ = 3a
5|a| = 3a
5a = 3
5 ；
当a < 0 时，cosθ = 3a
5|a| = 3a
-5a =- 3
5 ，
综上，a > 0 时，cosθ = 3
5 ；a < 0 时，cosθ =- 3
5 ．
(2) 因为θ 为第二象限角，所以a < 0，cosθ =- 3
5 ，
则sinθ =
1-cos2θ =
1- - 3
5
2
= 4
5 ，
所以cosθ
1+sinθ
1-sinθ + sinθ
1+cosθ
1-cosθ = - 3
5
×
1+ 4
5
1- 4
5
+ 4
5 ×
1- 3
5
1+ 3
5
=- 3
5 × 3 + 4
5 × 1
2 =
- 7
5 ．
【题型
【题型9】证明三角恒等式
】证明三角恒等式
解题思路：证明三角恒等式常用的方法
①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．
②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．
③比较法：即证左边- 右边= 0 或左边
右边= 1(右边≠0)．
④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
1
证明：1-2sinαcosα
cos2α-sin2α = 1-tanα
1+tanα ．
答案证明见解析．
解析
【分析】根据平方关系将所证等式的左侧化简，再根据商的关系将其转化为正切即可．
【详解】左边= cos2α+sin2α-2sinαcosα
(cosα-sinα)(cosα+sinα) =
(cosα-sinα)2
(cosα-sinα)(cosα+sinα) = cosα-sinα
cosα+sinα = 1-tanα
1+tanα =
右边．
所以1-2sinαcosα
cos2α-sin2α = 1-tanα
1+tanα ．
４２７
428
2
证明：1-sin6x-cos6x
1-sin4x-cos4x = 3
2 ．
答案证明见解析
解析
证明：1-sin6x-cos6x
1-sin4x-cosx4 =
sin2x+cos2x
3- sin6x+cos6x
sin2x+cos2x
2- sin4x+cos4x
= 3sin4x⋅cos2x+3sin2x⋅cos4x
2sin2x⋅cos2x
= 3sin2xcos2x(sin2x+cos2x)
2sin2x⋅cos2x
= 3
2 ，
即1-sin6x-cos6x
1-sin4x-cos4x = 3
2 ．
1
求证：1-tan2θ
1+tan2θ = cos2θ - sin2θ．
解【详解】证明：1-tan2θ
1+tan2θ =
1-
sinθ
cosθ
2
1+
sinθ
cosθ
2 = cos2θ-sin2θ
cos2θ+sin2θ = cos2θ - sin2θ．
2
已知x ≠kπ ± π
4 ，k ∈Z．求证：
sin2x
sinx-cosx - sinx+cosx
tan2x-1
= sinx + cosx．
答案证明见解析
解【分析】由切化弦，可将等式左边化为
sin2x
sinx-cosx - cos2x(sinx+cosx)
sin2x-cos2x
，再通分即可证与右边相
等．
【详解】∵x ≠kπ ± π
4 ，k ∈Z，
∴sinx ≠cosx 且tanx ≠±1，
sin2x
sinx-cosx - sinx+cosx
tan2x-1
=
sin2x
sinx-cosx - cos2x(sinx+cosx)
sin2x-cos2x
= (sin2x-cos2x)(sinx+cosx)
sin2x-cos2x
=
sinx + cosx，得证．
3
证明：tanα⋅sinα
tanα-sinα = tanα+sinα
tanα⋅sinα ．
解【分析】利用同角三角函数的基本关系分别化简左右两边可证．
【详解】∵tanα⋅sinα
tanα-sinα =
sinα
cosα ⋅sinα
sinα
cosα -sinα
=
sinα
1-cosα ，
tanα+sinα
tanα⋅sinα =
sinα
cosα +sinα
sinα
cosα ⋅sinα
= 1+cosα
sinα
=
1+cosα
1-cosα
sinα 1-cosα
=
1-cos2α
sinα 1-cosα
=
sinα
1-cosα ，
∴tanα⋅sinα
tanα-sinα = tanα+sinα
tanα⋅sinα ．
４２８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
429
专题5 - 3 诱导公式
诱导公式
公式
终边关系
图示
公式
公式一
终边相同的角的同一三角
函数的值相等．
sin(α+k⋅2π)=sinα
cos(α+k⋅2π)=cosα
tan(α+k⋅2π)=tanα
，k ∈Z
公式二
角π + α 与角α 的终边关
于原点对称
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
公式三
角-α 与角α 的终边关于
x 轴对称
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
公式四
角π - α 与角α 的终边关
于y 轴对称
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
公式五
sin π
2 -α
=cosα
cos π
2 -α
=sinα
公式六
sin π
2 +α
=cosα
cos π
2 +α
=-sinα
记忆口诀：可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：
①“偶”当k ⋅π
2 ± α(k ∈Z) 中k 取偶数时，如-π ± α，π ± α，±α，三角函数名不变，符号由原三角函
数角所在象限决定；
②“奇”当k ⋅π
2 ± α(k ∈Z) 中k 取奇数时，如± 3π
2 ± α，± π
2 ± α，三角函数名改变，符号由原三角函
数角所在象限决定；
【题型
【题型1】利用诱导公式求解给角求值
】利用诱导公式求解给角求值
解题思路：利用诱导公式公式求任意角三角函数值的步骤
(1) “负化正”：用公式一或三来转化．
(2) “大化小”：用公式一将角化为0° 到360° 间的角．
(3) “小化锐”：用公式二或四将大于90° 的角转化为锐角．
４２９
430
(4) “锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
1
sin - 2022π
9
=
(
)
A.
3
2
B. -
3
2
C. 1
2
D. - 1
2
答案B
解析
【分析】直接利用诱导公式计算得到答案．
【详解】sin - 2022π
9
= sin -225π+ π
3
=-sin π
3
=-
3
2 ．
1
sin390° 的值为
(
)
A.
3
2
B.
2
2
C. 1
2
D. - 1
2
答案C
解
sin390° = sin 360°+30°
= sin30° = 1
2 ．
2
(2024·高一·江苏扬州·期中)sin - 17π
6
的值是
(
)
A.
3
2
B. - 1
2
C. -
3
2
D. 1
2
答案B
解
sin - 17π
6
=-sin 17π
6
=-sin 5π
6 =- 1
2 ．
3
(2024·高一·安徽蚌埠·期末)sin - 7π
6
=
(
)
A. -
3
2
B. - 1
2
C. 1
2
D.
3
2
答案C
解
sin - 7π
6
= sin -π- π
6
= sin π
6 = 1
2 ．
4
点P sin2022°-cos2022°,sin2022°cos2022°
位于
(
)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案A
解
sin2022° -cos2022° = sin 5×360°+222°
- cos 5×360°+222°
= sin222° -cos222° = sin 180°+42°
- cos 180+
42
° =-sin42° +cos42° > 0．
同理，sin2022°cos2022° = -sin42°
⋅-cos42°
= sin42°cos42° > 0，
所以点P 位于第一象限．故选：A．
5
化简：
1+2sin280°⋅cos440°
sin260°+cos800°
=
．
答案-1
解【分析】利用诱导公式及同角的三角函数关系式化简即可．
４３０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
431
【详解】原式=
1+2sin 360°-80°
⋅cos 360°+80°
sin 180°+80°
+cos 360°×2+80°
=
1-2sin80°⋅cos80°
-sin80°+cos80°
=
sin80°-cos80°
2
-sin80°+cos80°
= sin80°-cos80°
-sin80°+cos80° = sin80°-cos80°
-sin80°+cos80° =-1．
【题型
【题型2】利用诱导公式求解给值求值问题
】利用诱导公式求解给值求值问题
利用诱导公式变形时注意“符号看象限”是看变之前的函数对应的象限符号
1
已知α 为第四象限的角，且sin π
2 +α
= 4
5 ，则tanα =
(
)
A. - 3
4
B. 3
4
C. - 4
3
D. 4
3
答案A
解析
∵α 为第四象限的角，且sin π
2 +α
= 4
5 ，即cosα = 4
5 ，
∴sinα =- 1-cos2α =-
1-
4
5
2
=- 3
5 ．
∴tanα = sinα
cosα =
- 3
5
4
5
=- 3
4 ．
2
已知sin π+α
= 3
5 ，且α 是第四象限角，那么cos α-π
的值是
(
)
A. 4
5
B. - 4
5
C. ± 4
5
D. 3
5
答案B
解析
sin π+α
=-sinα = 3
5 ，即sinα =- 3
5 ，
因为α 是第四象限角，所以cosα =
1-sin2α = 4
5 ，
所以cos α-π
= cos π-α
=-cosα =- 4
5 ．
1
已知角α 的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，若角α 的终边与2π
3 角的终边相同，
则sin(π+α)-cos(2π-α)
sin
3π
2 +α
=
(
)
A.
3 + 1
B.
3 - 1
C. -
3 + 1
D. -
3 - 1
答案C
解【分析】利用三角函数定义求得tanα =- 3，再利用诱导公式化简即可．
【详解】由题意得tanα = tan 2
3 π =- 3，
sin(π+α)-cos(2π-α)
sin 3π
2 +α
= -sinα-cosα
-sin π
2 +α
= -sinα-cosα
-cosα
= sinα+cosα
cosα
= tanα + 1 =- 3 + 1
2
已知cos30° = a，则sin240°tan150° 的值为
(
)
A.
1+a2
B.
1-a2
C. -
1-a2
D. -
1+a2
答案B
解【分析】根据题意利用诱导公式结合同角三角关系运算求解．
４３１
432
【详解】因为sin240°tan150° = sin 270°-30°
tan 180°-30°
= -cos30°
-tan30°
= sin30°，
且cos30° = a，sin30° > 0，
所以sin240°tan150° = sin30° =
1-cos230° =
1-a2．
3
已知α 为第二象限角，若sin 2023π
2
-α
= 1
4 ，则tanα =
(
)
A. -
15
B.
15
C. -
15
15
D.
15
15
答案A
解【分析】根据诱导公式以及同角三角函数的关系式，可得答案．
【详解】由sin 2023π
2
-α
=-cos -α
=-cosα = 1
4 ，则cosα =- 1
4 ，
由α 为第二象限角，则sinα =
1-cos2α =
15
4
，所以tanα = sinα
cosα =- 15．
【题型
【题型3】利用诱导公式化简与求值
】利用诱导公式化简与求值
基本步骤：先用诱导公式化简去括号，再进一步化简求值
1
化简
sin 5π
2 +α
cos π-α
=
(
)
A. tanα
B. - tanα
C. 1
D. - 1
答案D
解析
【分析】直接利用诱导公式化简得解．
【详解】
sin 5π
2 +α
cos π-α
=
sin 2π+ π
2 +α
-cosα
=
sin π
2 +α
-cosα
= cosα
-cosα =-1．
2
化简下列各式：
(1) cos π+α
cos 3π-α
tan π+α
sin π+α
cos -α-π
；
(2)sin π+α
cos -α
+ sin 2π-α
cos π-α
+ sinαcos π+α
tan -π-α
．
答案(1)1
(2)sin2α
解析
【分析】利用诱导公式，化简求值．
【详解】(1) 原式=
-cosα
-cosα
tanα
-sinα
-cosα
= sinαcosα
sinαcosα = 1．
(2) 原式=-sinαcosα + sin -α
-cosα
+ sinα -cosα
-tanα
=-sinαcosα + sinαcosα + sinαcosαtanα
= sinα ⋅cosα ⋅sinα
cosα = sin2α．
1
(2024·高一·福建莆田·期末) 化简求值：
(1) 已知cosθ = 4
5 ，且θ 为第四象限的角，求tanθ 的值．
(2) 已知tanα = 1
2 ，求
13cos -α
-2cos π
2 -α
cosα-3sinα
的值．
解
(1) ∵cosθ = 4
5 ，且θ 为第四象限的角
４３２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
433
∴sinθ =- 1-cos2θ =- 3
5 ，∴tanθ =- 3
4
(2) 原式= 13cosα-2sinα
cosα-3sinα
= 13-2tanα
1-3tanα =-24
2
已知f α
=
sin π-α
cos 2π-α
cos -α+ 3π
2
cos π
2 -α
sin -π-α
．
(1) 化简f α
；(2) 若α 为第三象限角，且cos α- 3π
2
= 1
5 ，求f α
的值．
答案(1)f α
=-cosα
(2)f α
= 2 6
5
．
解【分析】(1) 利用诱导公式代入计算即可得f α
=-cosα；
(2) 根据角的范围将sinα =- 1
5 代入计算即可得f α
= 2 6
5
．
【详解】(1)f α
=
sin π-α
cos 2π-α
cos -α+ 3π
2
cos π
2 -α
sin -π-α
= sinαcosα -sinα
sinαsinα
=-cosα
即f α
=-cosα
(2) 由cos α- 3π
2
=-sinα = 1
5 ，可得sinα =- 1
5 ．
因为α 为第三象限角，
因此f α
=-cosα =
1-sin2α =
1- - 1
5
2
= 2 6
5
，
故f α
= 2 6
5
．
【题型
【题型4】利用诱导公式证明恒等式
】利用诱导公式证明恒等式
利用诱导公式化简后再证明等式两边相等
1
求证：当k = 2 或3 时，
tan(kπ-α)tan(kπ+α)
cos(2kπ-α)sin[(2k+1)π+α] = sinα
cos3α ．
答案证明见解析
解析
【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可．
【详解】当k = 2 时，左边= tan(2π-α)tan(2π+α)
cos(4π-α)sin(5π+α) = -tanα⋅tanα
cosα⋅(-sinα) =
tan2α
cosαsinα = sinα
cos3α ；
当k = 3 时，左边= tan(3π-α)tan(3π+α)
cos(6π-α)sin(7π+α) = -tanα⋅tanα
cosα⋅(-sinα) =
tan2α
cosαsinα = sinα
cos3α ；
综上，k = 2 或k = 3 有原等式恒成立．
2
求证：
cos π-θ
cosθ sin 3π
2 -θ
-1
+
cos 2π-θ
cos π+θ
sin π
2 +θ
-sin 3π
2 +θ
=
2
sin2θ ．
答案证明见解析
解析
【分析】直接利用诱导公式化简左边即得证明．
【详解】证明：左边=
-cosθ
cosθ -cosθ-1
+
cosθ
-cosθcosθ+cosθ
=
1
1+cosθ +
1
1-cosθ
=
2
1-cos2θ
４３３
434
=
2
2
sin θ
= 右边，
所以原式或立．
1
已知角α 的终边在第三象限，cos 74°+α
= 3
5 ，证明：tan α-106°
=- 4
3 ．
解
由题可知cos α-106°
= cos 106°-α
= cos 180°- 74°+α
=-cos 74°+α
=- 3
5 ．
sin α-106°
=-sin 180°- 74°+α
=-sin 74°+α
．
∵α 为第三象限角，∴74° +α 为第三或第四象限角．
又cos 74°+α
= 3
5 > 0，∴74° +α 为第四象限角，
∴sin 74°+α
=- 1-cos2 74°+α
=-
1-
3
5
2
=- 4
5 ．
∴sin α-106°
=-sin 74°+α
= 4
5 ．
∴tan α-106°
= sin α-106°
cos α-106°
=- 4
3 ．
2
(1) 求证：tan(2π-α)sin(-2π-α)cos(6π-α)
sin α+ 3π
2
cos α+ 3π
2
=-tanα；
(2) 设tan α+ 8π
7
= m，求证
sin 15π
7 +α
+3cos α- 13π
7
sin 20π
7 -α
-cos α+ 22π
7
= m+3
m+1 ．
答案(1) 证明见解析；(2) 证明见解析．
解【分析】(1) (2) 应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论．
【详解】( 1 ) 左边=
tan(-α)sin(-α)cos(-α)
sin 2π-
π
2 -α
cos 2π-
π
2 -α
=
(-tanα)(-sinα)cosα
sin - π
2 -α
cos - π
2 -α
=
sin2α
-sin π
2 -α
cos π
2 -α
=
sin2α
-cosαsinα =- sinα
cosα =-tanα = 右边，所以原等式成立．
( 2 ) 方法1 ：左边=
sin π+
8π
7 +α
+3cos
α+ 8π
7
-3π
sin 4π- α+ 8π
7
-cos 2π+ α+ 8π
7
=
-sin 8π
7 +α
-3cos α+ 8π
7
-sin α+ 8π
7
-cos α+ 8π
7
=
tan α+ 8π
7
+3
tan α+ 8π
7
+1
= m+3
m+1 = 右边，所以原等式成立．
方法2：由tan α+ 8π
7
= m，得tan α+ π
7
= m，
所以，等式左边=
sin 2π+
π
7 +α
+3cos
α+ π
7
-2π
sin 2π+π- α+ π
7
-cos 2π+π+ α+ π
7
=
sin π
7 +α
+3cos α+ π
7
sin α+ π
7
+cos α+ π
7
=
tan α+ π
7
+3
tan α+ π
7
+1
= m+3
m+1 = 右边，等式成立．
3
若k ∈Z，求证：
sin(kπ-α)cos(kπ+α)
sin[(k+1)π+α]cos[(k+1)π-α] =-1．
４３４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
435
答案证明见解析
解
分k 为偶数和k 为奇数讨论，利用诱导公式化简即可证明；
【详解】证明：若k 为偶数，则
左边=
sin(-α)cosα
sin(π+α)cos(π-α)
=
-sinαcosα
(-sinα)(-cosα)
=-1；
若k 为奇数，则
左边= sin(π-α)cos(π+α)
sinαcos(-α)
= sinα(-cosα)
sinαcosα
=-1
【题型
【题型5】诱导公式在三角形中的应用
】诱导公式在三角形中的应用
因为三角形内角和为180°，所以提供了诱导公式变形的条件
A，B，C 为△ABC 的三个内角，则有
①sin A+B
= sin π-C
= sinC，
②cos A+B
= cos π-C
=-cosC，
③若C ≠π
2 ，则tan A+B
= tan π-C
=-tanC
④若△ABC 为锐角三角形，则任意角的正弦值大于其它2 个角的余弦值
1
(多选题) 在△ABC 中，下列关系式恒成立的有
(
)
A. sin A+B
= sinC
B. cos A+B
2
= sin C
2
C. sin 2A+2B
+ sin2C = 0
D. cos 2A+2B
+ cos2C = 0
答案ABC
解析
【分析】结合三角形的内角和定理和诱导公式，准确运算，即可求解．
【详解】对于A 中，由sin A+B
= sin π-C
= sinC，所以A 正确；
对于B 中由cos A+B
2
= cos π
2 - C
2
= sin C
2 ，所以B 正确；
对于C 中，由sin 2A+2B
+ sin2C = sin 2 A+B
+ sin2C = sin 2 π-C
+ sin2C
= sin 2π-2C
+ sin2C =-sin2C + sin2C = 0，所以C 正确；
对于D 中，cos(2A + 2B) + cos2C = cos 2 A+B
+ cos2C = cos[2(π - C)] + cos2C
= cos 2π-2C
+ cos2C = cos2C + cos2C = 2cos2C，所以D 错误．
2
在锐角△ABC 中，证明：sinA > cosB．(注：函数y = sinx 在第一象限递增)
解析
证明：因为△ABC 是锐角三角形，所以A + B = π - C > π
2 ，
∴A + B > π
2 ，A > π
2 - B，∴sinA > sin π
2 -B
，∴sinA > cosB
1
(高一·浙江·期中) 已知A，B，C 为△ABC 的三个内角，下列各式不成立的是
(
)
４３５
436
A. sinA = sin B+C
B. cosB =-cos A+C
C. sin A
2 = cos B+C
2
D. cos B
2 =-sin A+C
2
答案D
解【分析】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为π，逐个去分析即可选出答案．
【详解】由题意知，在△ABC 中，A + B + C = π，
对A 选项，sin C+B
= sin π-A
= sinA，故A 选项正确；
对B 选项，cos A+C
= cos π-B
=-cosB，故B 选项正确；
对C 选项，cos C+B
2
= cos π-A
2
= sin A
2 ，故C 选项正确；
对D 选项，sin A+C
2
= sin π-B
2
= cos B
2 ，故D 选项不正确．
2
(高一上·广东深圳·期末) 已知A，B，C 是△ABC 的三个内角，下列条件是“cosAcosBcosC <
0”的一个充分不必要条件的为
(
)
A. sin A+B
> 0
B. cos A+B
> 0
C. sin A-B
< 0
D. cos A-B
< 0
答案BD
解【分析】
根据题意要逐一判断由选项能否推出cosAcosBcosC < 0，推出△ABC 为钝角三角形，其中A，C 项
都无从推出钝角，B 项可以利用诱导公式判断C 是钝角，D 项利用两角差的余弦公式可推得
cosAcosB < 0，从而得出钝角．
【详解】对于A 选项，由sin A+B
> 0 可得sinC > 0，则C 可以是锐角或者钝角，无法判断
cosAcosBcosC 的符号，故A 项错误；
对于B 选项，由cos A+B
> 0 可得cosC < 0，因0 < C < π，故C 是钝角，A，B 都是锐角，即有
cosAcosBcosC < 0；
反过来，由cosAcosBcosC < 0 可得A，B，C 中必有一个钝角，当A = 60°，B = 100° 时，
cos A+B
= cos160° < 0，故B 项正确；
对于C 选项，当sin A-B
< 0 时，如果取A = 30°，B = 90°，则C = 60°，此时cosAcosBcosC = 0，
不合题意，故C 项错误；
对于D 选项，由cos A-B
< 0 可得cosAcosB + sinAsinB < 0，即cosAcosB <-sinAsinB，因0 <
A < π，0 < B < π，sinAsinB > 0，
则cosAcosB < 0，即A，B 中必有一个是钝角，从而C 是锐角，即cosAcosBcosC < 0 必成立，
反过来，由cosAcosBcosC < 0 可得A，B，C 中必有一个钝角，当A = 60°，B = 100° 时，
cos A-B
= cos(-40°) > 0，故D 项正确．
3
在△ABC 中，∠C 是钝角，设x = sinB，y = sinA + sinB，z = cosA + cosB，证明：x < y <
z．(注：函数y = sinx 在第一象限递增)
解
证明：因为∠C 是钝角，所以A，B 都是锐角，
因为x - y =-sinA < 0，∴x < y，
∴A + B < π
2 ，A < π
2 - B，∴sinA < sin π
2 -B
，∴sinA < cosB，
同理sinB < cosA，所以sinA + sinB < cosA + cosB，
所以y < z
【题型
【题型6】利用隐藏的互余互补关系整体带入或换元求值
】利用隐藏的互余互补关系整体带入或换元求值(重点题型
重点题型)
４３６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
437
(1) 诱导公式用于角的变换，凡遇到2 个角的和差为π
2 的整数时都可用诱导公式．
(2) 对其中一个括号中的式子换元
(3) 利用诱导公式变形，注意若题目给了象限范围则一般需要改变函数名
1
已知sin α+ π
3
= 4
5 ，则cos α- π
6
=
(
)
A. - 4
5
B. - 3
5
C. 4
5
D. 3
5
答案C
解析
因为sin α+ π
3
= 4
5 ，
所以cos α- π
6
= cos
α+ π
3
- π
2
= sin α+ π
3
= 4
5 ．
2
若sin π
6 -α
= 1
3 ，则cos π
3 +α
等于
(
)
A. -
2
3
B.
2
3
C. - 1
3
D. 1
3
答案D
解析
因为sin π
6 -α
= 1
3 ，
所以cos π
3 +α
= sin π
2 -
π
3 +α
= sin π
6 -α
= 1
3 ．
3
若α 是第四象限角，且tan π
3 +α
=- 5
12 ，cos π
6 -α
=
．
答案- 5
13
解析
因为α 是第四象限角，所以- π
2 + 2kπ < α < 2kπ，k ∈Z，
所以2kπ - π
6 < π
3 + α < π
3 + 2kπ，k ∈Z，又tan π
3 +α
=- 5
12 ，故π
3 + α 在第四象限，
tan π
3 +α
=
sin π
3 +α
cos π
3 +α
=- 5
12 ，sin2 π
3 +α
+ cos2 π
3 +α
= 1，
所以sin π
3 +α
=- 5
13 ，所以cos π
6 -α
= cos π
2 -
π
3 +α
= sin π
3 +α
=- 5
13
1
已知sin 2π
3 +x
= 3
5 ，则cos 7π
6 +x
等于
．
答案- 3
5
解
cos 7π
6 +x
= cos π+ π
6 +x
=-cos π
6 +x
=-sin π
2 + π
6 +x
=-sin 2π
3 +x
=- 3
5 ．
故答案为：- 3
5
2
已知α ∈0, π
2
，sin α- π
10
= 1
3 ，则cos α+ 2π
5
=
(
)
A. - 2 2
3
B. 2 2
3
C. - 1
3
D. 1
3
答案C
４３７
438
解
cos α+ 2π
5
= cos
α- π
10
+ π
2
=-sin α- π
10
=- 1
3 ．
3
已知cos x+ π
6
= 1
4 ，则cos 5π
6 -x
+ cos2 π
3 -x
的值为
；
答案11
16
解
∵cos x+ π
6
= 1
4 ，
∴cos 5π
6 -x
= cos π- x+ π
6
=-cos x+ π
6
=- 1
4 ，
cos π
3 -x
= cos π
2 - x+ π
6
= sin x+ π
6
，
∴cos2 π
3 -x
= sin2 x+ π
6
= 1 - cos2 x+ π
6
= 1 - 1
16 = 15
16 ，
∴cos 5π
6 -x
+ cos2 π
3 -x
=- 1
4 + 15
16 = 11
16 ．
4
已知cos π
6 -θ
= 1
3 ，则cos 5π
6 +θ
+ 2sin 5π
3 -θ
的值为
答案-1
解
原式= cos π-
π
6 -θ
+ 2sin 3π
2 +
π
6 -θ
=-cos π
6 -θ
- 2cos π
6 -θ
=-3cos π
6 -θ
=
-1．
故答案为：-1．
5
已知sin π
3 -α
= 1
3 ，且α 是第三象限角，求sin 7π
6 +α
的值．
解
因为α 是第三象限角，所以-α 是第二象限角，则2kπ + π
2 + π
3 < π
3 - α < 2kπ + π + π
3 ，k ∈Z，
又sin π
3 -α
= 1
3 ，所以π
3 - α 是第二象限角，
可得cos π
3 -α
=- 2 2
3
，
所以sin 7π
6 +α
= sin π+ π
6 +α
=-sin π
6 +α
=-cos π
2 -
π
6 +α
=-cos π
3 -α
= 2 2
3
．
6
(高一上·浙江温州·期末) 已知sinα = 1
3 ，α ∈
π
2 ,π
，则cos α+ π
6
=
答案-1-2 6
6
解【分析】先求得cosα =- 2 2
3
，再利用两角和的余弦公式求解即可．
【详解】因为sinα = 1
3 ，α ∈
π
2 ,π
，
所以cosα =- 2 2
3
，
则cos α+ π
6
=
3
2 cosα - 1
2 sinα =
3
2
× - 2 2
3
- 1
2 × 1
3 = -1-2 6
6
．
故答案为：-1-2 6
6
．
7
(高一上·江苏南京·期末) 已知sin x+ π
6
= 1
3 ，则sin2 π
3 -x
的值是
．
４３８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
439
答案8
9
解【分析】利用诱导公式得到sin2 π
3 -x
= cos2 x+ π
6
，再由同角基本关系式可解．
【详解】由于π
3 - x = π
2 - x+ π
6
，
所以sin2 π
3 -x
= sin2 π
2 - x+ π
6
= cos2 x+ π
6
= 1 - sin2 x+ π
6
= 1 - 1
9 = 8
9 ．
【题型
【题型7】诱导公式与同角三角函数的综合运用
】诱导公式与同角三角函数的综合运用
1
已知sin(α + π) = 4
5 ，且sinαcosα < 0，则2sin(π-α)-3tan(3π-α)
4cos(α-π)
=
．
答案7
3
解析
∵sin(α + π) = 4
5 ，∴sinα =- 4
5 < 0．
又sinαcosα < 0，∴cosα > 0，∴cosα =
1-sin2α = 3
5 ，
∴tanα = sinα
cosα =- 4
3 ，
原式= 2sinα-3tan π-α
4cos π-α
= 2sinα+3tanα
-4cosα
=
2× - 4
5
+3× - 4
3
-4× 3
5
= 7
3 ．故答案为：7
3 ．
2
在单位圆中，锐角α 的终边与单位圆相交于点P
3
2 ,m
，将射线OP 绕点O 按逆时针方向旋转
θ 后与单位圆相交于点B．
(1) 求
2cos3α+sin2 α+ π
2
-2cos -α-π
2+2cos2 9π+α
+cos -α
的值；
(2) 记点B 的横坐标为f θ
，若f θ-π
= 1
3 ，且θ ∈0, π
2
，求cos θ- π
3
+ cos θ+ 7π
6
的值．
解析
(1) 由题意，
3
2
2
+ m2= 1 m>0
，⇒m = 1
2 ，
所以sinα = 1
2 ，cosα =
3
2 ，所以
2cos3α+sin2 α+ π
2
-2cos -α-π
2+2cos2 9π+α
+cos -α
= 2cos3α+cos2α+2cosα
2+2cos2α+cosα
=
cosα =
3
2 ．
(2) 由题及第(1) 小问可得f θ
= cos θ+ π
6
，又f θ-π
= 1
3 ，⇒cos θ+ π
6
=- 1
3 ，
又θ ∈0, π
2
，所以θ + π
6 ∈
π
6 , 2π
3
，所以sin θ+ π
6
= 2 2
3
，
所以cos θ- π
3
+ cos θ+ 7π
6
= cos
θ+ π
6
- π
2
+ cos π+ θ+ π
6
= sin θ+ π
6
- cos θ+ π
6
= 2 2+1
3
．
1
如图，以Ox 为始边作角α 与β 0<β< π
2 <α<π
，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，
已知点Q 的坐标为x,
5
5
．
４３９
440
(1) 求2sinβ+5cosβ
3sinβ-2cosβ 的值；
(2) 若OP ⊥OQ，求P 的坐标．
解
(1) 因为点Q 在单位圆上且0 < β < π
2 ，所以x2+
5
5
2
= 1，得x = 2 5
5
．
即Q 2 5
5
,
5
5
，且由三角函数定义知，sinβ =
5
5 ，cosβ = 2 5
5
，tanβ = y
x = 1
2
故2sinβ+5cosβ
3sinβ-2cosβ = 2tanβ+5
3tanβ-2 =
2× 1
2 +5
3× 1
2 -2
=-12．
(2) 由题意：sinα = sin β+ π
2
= cosβ = 2 5
5
，
cosα = cos β+ π
2
=-sinβ =-
5
5 ，
故P -
5
5 , 2 5
5
．
2
已知f(α) =
sin(π-α)cos π
2 -α
cos(2π+α)sin(-π-α)
(1) 若角α 的终边过点P 3,4
，求f(α)；
(2) 若f α
= 2，求4sin2α - 3sinαcosα 的值．
解
(1)f(α) =
sin(π-α)cos π
2 -α
cos(2π+α)sin(-π-α) = sinα×sinα
cosα×sinα = tanα
若角α 的终边过点P 3,4
，则tanα = 4
3 ，
所以f(α) = tanα = 4
3
(2) 若f(α) = tanα = 2，
所以4sin2α - 3sinαcosα = 4sin2α-3sinαcosα
sin2α+cos2α
= 4tan2α-3tanα
tan2α+1
= 16-6
4+1 = 2
3
在单位圆中，锐角α 的终边与单位圆相交于点P m,
3
2
，连接圆心O 和P 得到射线OP，将射
线OP 绕点O 按逆时针方向旋转θ 后与单位圆相交于点B，其中θ ∈0, π
2
．
(1) 求
4sin3 α+ π
2
+2sin2 3π
2 -α
-4cos α+π
2+2cos2 5π+α
+cos -α
的值；
(2) 记点B 的横坐标为f θ
，若f θ- π
6
= 1
4 ，求cos θ- π
3
+ cos θ- 5π
6
的值．
解
(1) 由于点P 在单位圆上，且α 是锐角，可得m = 1
2 ，
所以cosα = 1
2 ，
４４０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
441
所以
4sin3 α+ π
2
+2sin2 3π
2 -α
-4cos α+π
2+2cos2 5π+α
+cos -α
= 4cos3α+2cos2α+4cosα
2+2cos2α+cosα
= 2cosα = 1；
(2) 由(1) 可知cosα = 1
2 ，且α 为锐角，可得α = ∠xOP = π
3 ，
根据三角函数定义可得：f θ
= cos θ+ π
3
，
因为f θ- π
6
= cos θ+ π
6
= 1
4 > 0，且θ ∈0, π
2
，
因此θ + π
6 ∈
π
6 , 2π
3
，所以sin θ+ π
6
=
15
4
所以cos θ- π
3
+ cos θ- 5π
6
= cos
θ+ π
6
- π
2
+ cos
θ+ π
6
-π
= sin θ+ π
6
- cos θ+ π
6
=
15-1
4
．
４４１
442
专题5 - 4 三角函数的图像与性质
函数
y = sin x
y = cos x
y = tan x
图象
单调性
[2kπ - π
2 ，2kπ + π
2 ] 递增
[2kπ + π
2 ，2kπ + 3π
2 ] 递减
[-π + 2kπ，2kπ] 递增
[2kπ，π + 2kπ] 递减
(kπ - π
2 ，kπ + π
2 ) 递增
对称中心
(kπ，0)
(kπ + π
2 ，0)
( kπ
2 ，0)
对称轴
x = kπ + π
2
x = kπ
周期
2π
2π
π
【题型
【题型1】五点作图法
】五点作图法
五点法作y = sinx，x ∈[0 , 2π] 的简图
在函数y = sinx，x ∈[0 , 2π] 的图象上，起关键作用的点有以下五个：
(0 , 0)，
π
2 ,1
，(π , 0)，
3π
2 ,-1
，(2π , 0)，如下表：
x
0
π
2
π
3π
2
2π
y = sinx
0
1
0
-1
0
描出这五个点后，函数y = sinx，x ∈[0 , 2π] 的图象形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，
我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数的简图，这种作图
的方法称为五点法作图．
作y = Asin ωx+φ
+ B 的图像时也是先描出波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这
五点连接起来，就得到曲线在一个周期内的图象．
1
(高一上·河南商丘·期末) 已知函数f x
= 1
2 cos 2x+ π
3
．
填写下表，并画出f(x) 在0,π
上的图象；
2x + π
3
π
3
7π
3
x
0
π
４４２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
443
f(x)
答案(1) 表格见解析，图象见解析
(2) - 5π
12 +kπ, π
12 +kπ
(k ∈Z)
解析
【分析】(1) 令2x + π
3 分别等于π
2 ，π，3π
2 ，2π 作图．
(2) 整体思想：令- π
2 + 2kπ ≤2x + π
3 ≤π
2 + 2kπ，k ∈Z 求解即可
【详解】(1)
2x + π
3
π
3
π
2
π
3π
2
2π
7π
3
x
0
π
12
π
3
7π
12
5π
6
π
f(x)
1
4
0
- 1
2
0
1
2
1
4
2
(高一上·湖北·期末) 已知函数f x
= 1
2 cos 2x+ π
3
．
(1) 填写下表，并用“五点法”画出f x
在0,π
上的图象；
2x + π
3
π
3
7π
3
x
0
π
f x
４４３
444
解析
【分析】(1) 首先根据五点法将表格补充完整，然后描点，最终用一条“光滑”的曲线连接起来
即可．
【详解】
2x + π
3
π
3
π
2
π
3π
2
2π
7π
3
x
0
π
12
π
3
7π
12
5π
6
π
f x
1
4
0
- 1
2
0
1
2
1
4
1
函数y = 2 - sinx，x ∈0,2π
的简图是
(
)
A.
B.
C.
D.
答案A
解【分析】利用五点作图法可得出函数y = 2 - sinx，x ∈0,2π
的简图．
【详解】列表：
x
0
π
2
π
3π
2
2π
sinx
0
1
0
-1
0
４４４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
445
y = 2 - sinx
2
1
2
3
2
观察各图象发现A 项符合．
2
已知函数f x
=-2cosx + 3．完成下面表格，并用“五点法”作函数f x
在[0，2π] 上的简图：
x
0
π
2
π
3π
2
2π
f x
解
补充完整的表格如下：
x
0
π
2
π
3π
2
2π
f(x) =-2cosx + 3
1
3
5
3
1
描点、连线得函数f(x) =-2cosx + 3(0 ≤x ≤2π) 的图象如图所示，
3
已知函数f x
= 1
2 sin 2x+ π
6
，x ∈0,π
(1) 填写下表，并用“五点法”画出f x
的图象．
2x + π
6
π
6
13π
6
x
0
π
f x
４４５
446
(2) 若函数f(x) 满足不等式f x
≤
3
4 ，求x 的范围．
答案(1) 答案见解析
(2) 0，π
12
∪
π
4 ,π
解【分析】(1) 令相位等于π
2 ，π，3π
2 ，2π 求出对应角，即可完成表格画出图像；
(2) 求f x
=
3
4
出解，再结合图像解不三角等式即可．
【详解】(1)
2x + π
6
π
6
π
2
π
3π
2
2π
13π
6
x
0
π
6
5π
12
2π
3
11π
12
π
f(x)
1
4
1
2
0
- 1
2
0
1
4
(2) 令f x
= 1
2 sin 2x+ π
6
=
3
4 ，
sin 2x+ π
6
=
3
2 ，又x ∈0,π
，
所以2x + π
6 = π
3 或2x + π
6 = 2π
3 ，即x = π
12 或x = π
4 ，
结合图形
４４６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
447
可得不等式f x
≤
3
4
的解为0，π
12
∪
π
4 ,π
．
【题型
【题型2】含绝对值的三角函数问题
】含绝对值的三角函数问题
分类讨论去绝对值
1
画出函数y = 1
2 sinx + 1
2 sinx
的简图．
解析
∵y = 1
2 sinx + 1
2 sinx
= sinx,
2kπ≤x≤π+2kπ
0,
-π+2kπ<x<2kπ
k∈Z
，
∴y = 1
2 sinx + 1
2 sinx
的图象如下图所示，
2
当x ∈-2π,2π
时，作出下列函数的图象，把这些图象与y = sinx 的图象进行比较，你能发现图
象变换的什么规律？
(1)y =-sinx；
(2)y = sinx
；
(3)y = sin x
．
答案答案见解析
解析
【分析】(1) 作出图象，根据图象观察即可解出；
(2) 作出图象，根据图象观察即可解出；
(3) 作出图象，根据图象观察即可解出．
【详解】(1) 该图象与y = sinx 的图象关于x 轴对称，故将y = sinx 的图象作关于x 轴对称的图象即可
得到y =-sinx 的图象．
(2)y = sinx
= sinx,-2π≤x≤-π,0≤x≤π,
-sinx,-π≤x≤0,π≤x≤2π,
将y = sinx 的图象在x 轴上方部分保持不变，下半部分
作关于x 轴对称的图形，即可得到y = sinx
的图象．
４４７
448
(3)y = sin x
= sinx,x≥0,
-sinx,x<0,
将y = sinx 的图象在y 轴右边部分保持不变，并将其作关于y 轴对称的
图形，即可得到y = sin x
的图象．
1
作出函数y = 2 sinx
+ sinx，x ∈-π,π
的大致图像．
解
函数y = 2 sinx
+ sinx = 3sinx,x∈0,π
-sinx,x∈-π,0
，
其图如下所示：
2
(2024·高一·江苏盐城·期末) 已知函数f x
= sinx + 2 sinx
，x ∈0,2π
．
(1) 作出函数f x
的图象；
(2) 求方程f x
= 3 的解．
解
(1) 当0 ≤x ≤π 时，sinx ≥0，则f x
= 3sinx；
当π < x ≤2π 时，sinx ≤0，则f x
= sinx - 2sinx =-sinx．
∴f x
= 3sinx,
0≤x≤π
-sinx,
π<x≤2π
，函数y = f x
的图象如下图所示：
(2) 当0 ≤x ≤π 时，令f x
= 3，即3sinx = 3，得sinx = 1，解得x = π
2 ；
当π < x ≤2π 时，令f x
= 3，得-sinx = 3，该方程无解．
４４８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
449
综上所述，方程f x
= 3 的解为x = π
2 ．
3
作函数y = sin x+ 3π
2
的图象．
解
y
=
sin x+ 3π
2
=
cosx
=
cosx - π
2 +2kπ≤x≤π
2 +2kπ,k∈Z
-cosx
π
2 +2kπ<x< 3π
2 +2kπ,k∈Z
故y = |cosx| 的图象实际就是y = cosx 的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方后得到的图象，如图
【题型
【题型3】解三角函数不等式
】解三角函数不等式
用三角函数图象解三角不等式的方法
1、作出相应正弦函数或余弦函数在0,2π
上的图象；
2、写出适合不等式在区间0,2π
上的解集；
3、根据公式一写出不等式的解集．
1
(24 - 25 高二上·广东广州·期中) 若0 ≤α < 2π，且2sinα ≤1，则α 的取值范围是
(
)
A. [0 , 2π)
B.
0, π
3
∪
5π
3 ,2π
C.
π
6 , 5π
6
D.
0, π
6
∪
5π
6 ,2π
答案D
解析
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质解不等式即得．
【详解】由2sinα ≤1，得sinα ≤1
2 ，而0 ≤α < 2π，解得0 ≤α ≤π
6 或5π
6 ≤α < 2π，
所以α 的取值范围是0, π
6
∪
5π
6 ,2π
．
2
(24 - 25 高一上·全国·课后作业) 在0,2π
上，函数y =
2sinx-
2 的定义域是
(
)
A.
0, π
4
B.
π
4 , 3π
4
C.
π
4 , π
2
D.
3π
4 ,π
答案B
解析
【分析】运用正弦函数性质，结合图象解题
【详解】在[0，2π] 上，函数y =
2sinx-
2 的定义域满足2sinx -
2 ≥0，
即sinx ≥
2
2 ，结合图象，知道x ∈
π
4 , 3π
4
．
４４９
450
3
设0 ≤x ≤2π，使sinx ≥1
2 且cosx <
2
2
同时成立的x 取值范围是
(
)
A.
π
6 , 5π
6
B.
π
6 , 7π
4
C.
5π
6 , 7π
4
D.
π
4 , 5π
6
答案D
解析
【分析】根据正弦曲线与余弦曲线分别求出在0 ≤x ≤2π 下的角的范围，再求交集
【详解】因为0 ≤x ≤2π，由正弦曲线得：sinx ≥1
2 时，x ∈
π
6 , 5π
6
由余弦曲线得：cosx <
2
2
时，x ∈
π
4 , 7π
4
，
因为
π
6 , 5π
6
∩
π
4 , 7π
4
=
π
4 , 5π
6
，
所以sinx ≥1
2 且cosx <
2
2
同时成立的x 的取值范围是x ∈
π
4 , 5π
6
4
利用正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合：
(1)tanx ≥
3
3 ；(2)1 + tanx ≤0．
答案(1) x kπ+ π
6 ≤x<kπ+ π
2 ,k∈Z
(2) x kπ- π
2 <x≤kπ- π
4 ,k∈Z
解析
作出y = tanx 在- π
2 , π
2
上的图象，找出不等式在一个周期内的解集，结合周期即可得出在
实数范围内的解集．
【详解】(1) 在同一平面直角坐标系中作出正切函数在- π
2 , π
2
上的图象和直线y =
3
3 ，如图：
显然在- π
2 , π
2
上，x = π
6 满足tanx =
3
3 ．
由图可知在- π
2 , π
2
上，使不等式成立的x 的取值范围是π
6 ≤x < π
2 ．
故使不等式成立的x 的集合为x kπ+ π
6 ≤x<kπ+ π
2 ,k∈Z
．
(2) 不等式1 + tanx ≤0 即tanx ≤-1，
在同一平面直角坐标系中作出正切函数在- π
2 , π
2
上的图象和直线y =-1，如图：
４５０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
451
显然在- π
2 , π
2
上，x =- π
4 满足tanx =-1．
由图可知在- π
2 , π
2
上，使不等式成立的x 的取值范围是- π
2 < x ≤- π
4 ．
故使不等式成立的x 的集合为x kπ- π
2 <x≤kπ- π
4 ,k∈Z
．
1
(高一上·全国·单元测试) 函数y =
2cos2x+1 的定义域是
(
)
A.
x 2kπ≤x≤2kπ+ π
2 ,k∈Z
B.
x kπ≤x≤kπ+ π
2 ,k∈Z
C.
x 2kπ≤x≤kπ+ π
2 ,k∈Z
D.
x kπ- π
3 ≤x≤kπ+ π
3 ,k∈Z
答案D
解【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式，再借助余弦函数的性质求解作答．
【详解】函数y =
2cos2x+1 有意义，则2cos2x + 1 ≥0，即cos2x ≥- 1
2 ，
因此2kπ - 2π
3 ≤2x ≤2kπ + 2π
3 ，k ∈Z，解得kπ - π
3 ≤x ≤kπ + π
3 ，k ∈Z，
所以函数y =
2cos2x+1 的定义域是{x kπ- π
3 ≤x≤kπ+ π
3 ,k∈Z
．
2
(高一上·甘肃定西·期末) 函数y = lg cosx-
3
2
的定义域为
(
)
A.
x∣2kπ- π
6 <x<2kπ,k∈Z
B.
x∣2kπ- π
6 <x<2kπ+ π
6 ,k∈Z
C.
x∣2kπ<x<2kπ+ π
6 ,k∈Z
D.
x∣2kπ- π
3 <x<2kπ+ π
3 ,k∈Z
答案B
解【分析】根据题意，列出不等式求解，即可得到结果．
【详解】由题知cosx -
3
2
> 0，即cosx >
3
2 ，解得- π
6 + 2kπ < x < π
6 + 2kπ，k ∈Z，
故函数的定义域为x∣2kπ- π
6 <x<2kπ+ π
6 ,k∈Z
．
3
不等式sin 2x+ π
3
≥1
2 的解集为
．
答案
x - π
12 +kπ≤x≤π
4 +kπ,k∈Z
解【分析】可先求出sinα ≥1
2 ，α ∈0,2π
的解集，在将2x + π
3 代替α 解出x，则不等式
sin 2x+ π
3
≥1
2 的解集可求．
４５１
452
【详解】画出x ∈[0 , 2π] 时，y = sinx 的图象．
令sinα = 1
2 ，α ∈0,2π
，解得α = π
6 或α = 5π
6
又y = sinx 的周期为2π，所以sinα ≥1
2 的解集为α π
6 +2kπ≤α≤5π
6 +2kπ,k∈Z
．
用2x + π
3 代替α 解出x．可得- π
12 + kπ ≤x ≤π
4 + kπ，k ∈Z
则sin 2x+ π
3
≥1
2 的解集为x - π
12 +kπ≤x≤π
4 +kπ,k∈Z
．
4
在0,2π
内，求使sinx > cosx 成立的x 的取值范围．
答案
π
4 , 5π
4
解【分析】画出函数y = sinx，y = cosx，利用图象求解即可．
【详解】当x ∈0,2π
时，由sinx = cosx，得tanx = 1，解得x = π
4 或x = 5π
4 ．
函数y = sinx，y = cosx 在0,2π
的图象如下图所示：
由图可知，该不等式的解集为
π
4 , 5π
4
．
5
求函数f x
=
2cos2x+sinx-1 的定义域．
答案
x 2kπ- π
6 ≤x≤2kπ+ 7π
6 ,k∈Z
．
解【分析】由被开方数非负得不等式，先利用同角三角函数关系将余弦化正弦，再把sinx 看作整体解
不等式，然后借助正弦函数图象可得．
【详解】要使函数有意义，需满足2cos2x + sinx - 1 ≥0，
即2sin2x - sinx - 1 ≤0，
得- 1
2 ≤sinx ≤1，由正弦函数的图象，可得x 2kπ- π
6 ≤x≤2kπ+ 7π
6 ,k∈Z
．
【题型
【题型4】三角函数相关图像的识别
】三角函数相关图像的识别
结合三角函数的奇偶性与正负来识别图像
４５２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
453
1
函数f x
= 10sinx
2x+2-x 的大致图像为
(
)
A.
B.
C.
D.
答案D
解析
函数f x
= 10sinx
2x+2-x 定义域为R，
又因为f -x
= 10sin -x
2-x+2x
=- 10sinx
2-x+2x =-f x
，
所以函数f x
是奇函数，函数图像关于原点对称，故A 和B 错误；
当x > π 时，则f x
= 10sinx
2x+2-x
≤
10
2x+2-x < 10
2x < 10
2π < 1，故C 错误．
2
(2024·高一·江苏无锡·期末) 函数y = sinx + 1
x 的大致图象是
(
)
A.
B.
C.
D.
答案A
解析
∵函数y = sinx + 1
x 是定义域(-∞, 0) ∪(0 ,+∞) 上的奇函数
∴其图象关于原点对称，排除选项D；
当x ∈(0 , π) 时，sinx > 0，此时sinx + 1
x > 0，
∴当x ∈(0 , π) 时，f(x) 的图象在x 轴上方，排除选项B；
当x = 3π
2 时，sin 3π
2 + 2
3π =-1 + 2
3π < 0，f(x) 的图象在x 轴下方，排除选项C；
４５３
454
综上所述，函数y = sinx + 1
x 的大致图象为选项A．
1
图中的曲线对应的函数解析式是(
)
A. y = sinx
B. y = sin x
C. y =-sin x
D. y =- sinx
答案C
解
对于A 选项，当0 < x < π 时，y = sinx
> 0，A 选项不满足条件；
对于B 选项，当0 < x < π 时，0 < x
< π，y = sin x
> 0，B 选项不满足条件；
对于C 选项，令f x
=-sin x
，该函数的定义域为R，f -x
=-sin -x
=-sin x
= f x
，
故函数为偶函数，当x > 0 时，f(x) =-sinx，由三角函数图象可知，C 选项满足条件；
对于D 选项，当π < x < 2π 时，y =- sinx
< 0，D 选项不满足条件．
2
函数y = xsinx cosx
在-π,π
上的图像大致是
(
)
A.
B.
C.
D.
答案D
解
易知f(x) 是偶函数，排除B，C 项；
当0 ≤x ≤π 时，sinx ≥0，所以y = xsinx cosx
≥0，排除A 项．
故选：D
3
(2024·广东深圳·月考) 函数y = x+ 1
x
sinx x∈-π,0
∪0,π
的图像是
(
)
A.
B.
４５４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
455
C.
D.
答案C
解
因为函数定义域为-π,0
∪0,π
关于原点对称，
且f -x
= -x+ 1
-x
sin -x
= x+ 1
x
sinx = f x
，
则函数y = x+ 1
x
sinx 为偶函数，故BD 错误；
当0,π
时，y ≥0，故A 错误，C 正确
4
(2024·高一·重庆沙坪坝·期末) 已知函数f x
= x2sinx，则f x
在-π,π
上的大致图像是
(
)
A.
B.
C.
D.
答案C
解
由题意可知，f -x
= (-x)2sin(-x) =-x2sinx =-f x
，
即函数f x
= x2sinx 为-π,π
上的奇函数，所以其图象关于原点对称，排除AB；
不妨取x = π
4 ，则f
π
4
=
π
4
2
sin π
4
=
2π2
32
> 0，排除D
【题型
【题型5】三角函数图像与其他函数交点个数问题
】三角函数图像与其他函数交点个数问题
图象法判断零点个数方法
将函数f x
拆成两个函数h x
和g x
的差，根据f x
= 0 ⇔h x
= g x
，则函数f x
的零点个数就是
函数y = h x
和y = g x
的图象的交点个数
1
方程log9x = sin2x 的实数解的个数为
个．
答案5
解析
方程log9x = sin2x 的实数解的个数，
即为函数y = log9x 与y = sin2x 图象交点个数，
作出两函数的图象，如图所示：
４５５
456
由此可得两函数共有5 个交点，
所以方程log9x = sin2x 的实数解的个数为5．
2
(多选题) (2024·高三·全国·专题练习) 函数f x
= sinx + 2 sinx
，x ∈0,2π
的图象与直线y = k 的
交点个数可能是
(
)
A. 1
B. 2
C. 4
D. 6
答案ABC
解析
由题意可得f x
= sinx + 2 sinx
= 3sinx,
0≤x≤π
-sinx,
π<x≤2π
，
作出函数y = f x
、y = k 的图象如下图所示：
当k < 0 或k > 3 时，直线y = k 与函数f x
的图象没有交点；
当k = 3 时，直线y = k 与函数f x
的图象只有一个交点；
当1 < k < 3 时，直线y = k 与函数f x
的图象有两个交点；
当k = 1 或0 时，直线y = k 与函数f x
的图象有三个交点；
当0 < k < 1 时，直线y = k 与函数f x
的图象有四个交点．
1
y = sinx 与y = x
4 交点个数为
个．
答案3
解
作出函数y = sinx 与y = x
4 的大致图象，如图：
因为sin 5π
2 = 1，
5π
2
4
= 5π
8 > 1，sin π
2 = 1，
π
2
4 = π
8 < 1，
且两个函数图象均关于原点对称，所以两个函数图象有3 个交点
４５６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
457
2
方程lgx - sin2x
= 0 在0,3π
内实数根的个数为
(
)
A. 11
B. 10
C. 9
D. 8
答案A
解
由x ∈0,3π
，得2x ∈0,6π
，
方程lgx - sin2x
= 0 实根的个数就是函数y = lgx 与y = sin2x
图象公共点的个数，
当x ∈0,3π
时，由两函数图象可知两图象共有11 个公共点，从而方程有11 个实数根．
3
方程lg x
= sin x+ π
3
的实数根的个数为
(
)
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
答案C
解
由sin x+ π
3
≤1，得-1 ≤lg|x| ≤1，即1
10 ≤x
≤10，
方程lg x
= sin x+ π
3
实根的个数就是函数y = lg|x| 与y = sin x+ π
3
图象公共点的个数，
当x > 0 时，两函数图象如图所示，
两图象有3 个公共点，同理，当x < 0 时，两图象也有3 个公共点，
故两图象共有6 个公共点，从而方程有6 个实数根．
4
(2024·新高考I 卷真题) 当x ∈[0 , 2π] 时，曲线y = sinx 与y = 2sin 3x- π
6
的交点个数为(
)
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
答案C
解【分析】画出两函数在0,2π
上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数y = sinx 的的最小正周期为T = 2π，
函数y = 2sin 3x- π
6
的最小正周期为T = 2π
3 ，
所以在x ∈0,2π
上函数y = 2sin 3x- π
6
有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
４５７
458
由图可知，两函数图象有6 个交点．
【题型
【题型6】求单调区间
】求单调区间(3 种类型
种类型)
(1) 求形如y = Asin ωx+ϕ
(其中A ≠0，ω > 0) 的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，
列不等式的原则是：
①把“ωx + ϕ (ω > 0)”视为一个“整体”；
②A > 0(A < 0) 时，所列不等式的方向与y = sinx (x ∈R)，的单调区间对应的不等式方向相同(反)．
(2) 当ω < 0 时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为y =-Asin(-ωx - φ) 的形式，然后求其单调递
增区间，应把-ωx - φ 放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把-ωx - φ 放在正弦函数的
递增区间之内．
热考题型1
整体法求单调区间
1
已知函数f x
= 3sin 2x- π
3
，求f x
的单调递减区间．
【答案kπ+ 5π
12 ,kπ+ 11π
12
，k ∈Z．
解析
【分析】根据复合函数的单调性，得到2kπ + π
2 ≤2x - π
3 ≤2kπ + 3π
2 ，k ∈Z，计算可得函数
f x
的单调递减区间．
【详解】由2kπ + π
2 ≤2x - π
3 ≤2kπ + 3π
2 ，k ∈Z，得kπ + 5π
12 ≤x ≤kπ + 11π
12 ，k ∈Z，
∴函数f x
的单调递减区间为：kπ+ 5π
12 ,kπ+ 11π
12
，k ∈Z．
2
函数y = 1
3 tan 2x- π
6
+ 1
2 的单调递增区间为
(
)
A.
kπ- π
6 ,kπ+ π
3
k∈Z
B.
kπ+ π
6 ,kπ+ 5π
12
k∈Z
C.
kπ
2 - π
6 , kπ
2 + π
3
k∈Z
D.
kπ
2 + π
6 , kπ
2 + 5π
12
k∈Z
答案C
解析
【分析】根据题意，由正切函数的单调区间，列出不等式，求解即可得到结果．
【详解】令kπ - π
2 < 2x - π
6 < kπ + π
2
k∈Z
，解得kπ
2 - π
6 < x < kπ
2 + π
3
k∈Z
，
所以函数y = 1
3 tan 2x- π
6
+ 1
2 的单调递增区间为
kπ
2 - π
6 , kπ
2 + π
3
k∈Z
．
热考题型2
括号内有符号的情况
3
(2024·高一·安徽马鞍山·期末) 已知函数f(x) = sin 2x- π
6
，若g(x) = f
π
6 -x
，求函数g(x) 的
单调递增区间
４５８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
459
解析
依题意，g(x) = f
π
6 -x
= sin 2 π
6 -x
- π
6
=-sin 2x- π
6
由2kπ + π
2 ≤2x - π
6 ≤2kπ + 3π
2 ，k ∈Z，得kπ + π
3 ≤x ≤kπ + 5π
6 ，k ∈Z，
所以函数g(x) 的单调递增区间为kπ+ π
3 ,kπ+ 5π
6
(k ∈Z)．
热考题型3
复合函数且有定义域限制
4
函数f x
= ln sin 2x- π
6
的单调递增区间为
(
)
A.
π
12 +kπ, π
3 +kπ
k∈Z
B.
- π
6 +kπ, π
3 +kπ
k∈Z
C.
π
3 +kπ, 7π
12 +kπ
k∈Z
D.
π
3 +kπ, 5π
6 +kπ
k∈Z
答案A
解析
【分析】先换元，求定义域再结合复合函数的单调性，最后根据正弦函数的单调性求解即可．
【详解】设t = 2x - π
6 ，即y = ln sint
，sint > 0，y = lnx 单调递增，取y = sint 单调增的部分，
所以可得：0 + 2kπ < t < π
2 + 2kπ k∈Z
，即0 + 2kπ < 2x - π
6 < π
2 + 2kπ k∈Z
，
得：π
12 + kπ < x < π
3 + kπ k∈Z
1
函数y = 3cos x+ π
2
的单调递减区间为
(
)
A.
kπ,kπ+ π
2
，k ∈Z
B.
2kπ,2kπ+π
，k ∈Z
C.
2kπ- π
2 ,2kπ+ π
2
，k ∈Z
D.
kπ- π
2 ,kπ+ π
2
，k ∈Z
答案C
解
因为y = 3cos x+ π
2
=-3sinx，
且y = sinx 的单调递增区间为2kπ- π
2 ,2kπ+ π
2
，k ∈Z，
所以函数y = 3cos x+ π
2
的单调递减区间为2kπ- π
2 ,2kπ+ π
2
，k ∈Z．
2
函数y = 2sin 2x+ π
6
，x ∈[-π , 0] 单调减区间为
答案
- 5π
6 ,- π
3
解
正弦函数y = sinu 的单调递减区间为
π
2 +2kπ, 3π
2 +2kπ
k∈Z
，
由π
2 + 2kπ ≤2x + π
6 ≤3π
2 + 2kπ k∈Z
，得π
6 + kπ ≤x ≤2π
3 + kπ k∈Z
，
记A =
π
6 +kπ, 2π
3 +kπ
k∈Z
，则A ∩-π,0
= - 5π
6 ,- π
3
3
函数y = tan -3x+ π
6
的单调区间是
(
)
A.
kπ- π
3 ,kπ+ π
3
(k ∈Z)
B.
kπ- π
9 ,kπ+ 2π
9
(k ∈Z)
C.
kπ
3 - π
9 , kπ
3 + 2π
9
(k ∈Z)
D.
kπ
3 - π
9 , kπ
3 + 2π
9
(k ∈Z)
答案D
４５９
460
解【分析】利用诱导公式化简，再根据正切函数的性质计算可得．
【详解】因为y = tan -3x+ π
6
=-tan 3x- π
6
，
令kπ - π
2 < 3x - π
6 < kπ + π
2 ，k ∈Z，解得kπ
3 - π
9 < x < kπ
3 + 2π
9 ，k ∈Z，
所以函数y = tan -3x+ π
6
的单调递减区间为
kπ
3 - π
9 , kπ
3 + 2π
9
(k ∈Z)．
4
函数y = sin π
6 -2x
，x ∈0,π
的增区间是
(
)
A.
0, π
3
B.
π
12 , 7π
12
C.
π
3 , 5π
6
D.
5π
6 ,π
答案C
解【分析】利用诱导公式可得y = 2sin π
6 -2x
=-2sin 2x- π
6
，再用整体代换的方法即可求出单调
增区间．
【详解】由题意，得y = 2sin π
6 -2x
=-2sin 2x- π
6
．
令2kπ + π
2 ≤2x - π
6 ≤2kπ + 3π
2 ，k ∈Z，解得kπ + π
3 ≤x ≤kπ + 5π
6 ，k ∈Z．
所以函数y = sin π
6 -2x
的单调增区间为kπ+ π
3 ,kπ+ 5π
6
(k ∈Z)．
因为x ∈0,π
，所以令k = 0，则得函数y = sin π
6 -2x
，x ∈0,π
的单调增区间为
π
3 , 5π
6
．
5
函数y =-2sin -2x- π
6
，x ∈[-π , 0] 单调减区间为
答案
- 5π
6 ,- π
3
解【详解】y =-2sin -2x- π
6
= 2sin 2x+ π
6
正弦函数y = sinu 的单调递减区间为
π
2 +2kπ, 3π
2 +2kπ
k∈Z
，
由π
2 + 2kπ ≤2x + π
6 ≤3π
2 + 2kπ k∈Z
，得π
6 + kπ ≤x ≤2π
3 + kπ k∈Z
，
记A =
π
6 +kπ, 2π
3 +kπ
k∈Z
，则A ∩-π,0
= - 5π
6 ,- π
3
6
求函数y = logπsin x+ π
3
的单调区间．
答案函数y = logπsin x+ π
3
的单调递增区间为- π
3 +2kπ, π
6 +2kπ
，k ∈Z ，单调递减区间为
π
6 +2kπ, 2π
3 +2kπ
，k ∈Z．
解【分析】根据复合函数单调性及对数函数定义域与单调性进行求解
【详解】由于y = logπu 为定义域为0,+∞
的单调递增函数，故y = logπsin x+ π
3
的单调递增区间
为u = sin x+ π
3
的单调递增区间，且保证u = sin x+ π
3
> 0，即2kπ < x + π
3 ≤π
2 + 2kπ，k ∈
Z ，解得：- π
3 + 2kπ < x ≤π
6 + 2kπ，k ∈Z ；y = log πsin x+ π
3
的单调递减区间为u =
sin x+ π
3
的单调递减区间，且保证u = sin x+ π
3
> 0，即2kπ + π
2 ≤x + π
3 < π + 2kπ，k ∈Z，
解得：π
6 + 2kπ ≤x < 2π
3
+ 2kπ，k ∈Z ，综上：函数y = log πsin x+ π
3
的单调递增区间为
- π
3 +2kπ, π
6 +2kπ
，k ∈Z，单调递减区间为
π
6 +2kπ, 2π
3 +2kπ
，k ∈Z．
４６０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
461
【题型
【题型7】求值域与最值
】求值域与最值
以下归纳求值域的几种方法，不过考虑到辅助角公式还没学，所以本专题暂时仅涉及前2 种
1、形如f(x) = Asin(ωx + φ) + b(A > 0，ω > 0) 求值域：令t = ωx + ϕ，先通过不等式性质求出t 的范
围，再求值域。
2、形如y = asin2x + bsinx + c 求值域：设t = sinx，化为二次函数y = at2 + bt + c 在闭区间t ∈[-1 , 1]
上的最值求解，也可以是y = acos2x + bsinx + c；
3、形如y = asinx + bcosx + c 求值域：引入辅助角φ，化为y =
a2+b2sin(x + φ) + c(注：tanφ = b
a )
4、形如y = asinxcosx + b(sinx ± cosx) + c，求值域：t = sinx ± cosx，则t2 = 1 ± 2sinxcosx，故
sinxcosx =± t2-1
2
，故原函数化为二次函数y = a ⋅± t2-1
2
+ bt + c 在闭区间[- 2，
2] 上的最值求
解．
热考题型1
y = Asin(ωx + φ) + B
1
已知函数f x
= cos 2x- π
6
，x ∈0, π
2
．则f x
的最大值为
．
答案1
解析
因为0 ≤x ≤π
2 ，所以- π
6 ≤2x - π
6 ≤5π
6 ，
又函数y = cosx 在-π,0
上单调递增，在0,π
上单调递减，
所以-
3
2
≤cos 2x- π
6
≤1，所以f(x) 的最大值为1．
热考题型2
二次函数型y = asin2x + bsinx + c
2
函数y = sin2x + 2cosx，x ∈0, π
2
值域是
．
答案
1,2
解析
因为x ∈0, π
2
，所以cosx ∈(0 , 1)，
y = sin2x + 2cosx =-cos2x + 2cosx + 1 =- (cosx - 1)2+ 2 ∈(1 , 2)，
所以函数y = sin2x + 2cosx，x ∈0, π
2
值域是(1 , 2)．
3
函数y =-tan2x + 4tanx - 1，x ∈- π
4 , π
4
的值域为
．
答案
-6,2
解析
【分析】求出tanx 的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得结果．
【详解】令t = tanx，y =-t2+ 4t - 1，
因为函数t = tanx 在- π
4 , π
4
上单调递增，当x ∈- π
4 , π
4
时，-1 ≤tanx ≤1，即-1 ≤t ≤1，
又因为函数y =-t2+ 4t - 1 在-1,1
上单调递增，
当t ∈-1,1
时，y =-t2+ 4t - 1 ∈-6,2
，
所以，函数y =-tan2x + 4tanx - 1，x ∈- π
4 , π
4
的值域为-6,2
．
热考题型3
已知值域求参数
4
已知函数f x
=
2sin 1
2 x- π
4
，若f x
在区间0,m
上的取值范围是-1,
2
，求实数m 的
４６１
462
最大值．
解析
由f x
∈-1,
2
，可得sin x
2 - π
4
∈-
2
2 ,1
，
当x ∈0,m
时，x
2 - π
4 ∈- π
4 , m
2 - π
4
，
由正弦函数的性质可知π
2 ≤m
2 - π
4 ≤5π
4 ，解得3π
2 ≤m ≤3π．
所以实数m 的最大值为3π．
热考题型4
嵌套函数值域问题
5
函数y = tan cosx
的值域是
(
)
A.
- π
4 , π
4
B.
-
2
2 ,
2
2
C.
-tan1,tan1
D.
-1,1
答案C
解析
【分析】由于-1 ≤cosx ≤1，y = tanx 在-1,1
上为增函数，从而可求得函数的值域
【详解】-1 ≤cosx ≤1，且函数y = tanx 在-1,1
上为增函数，
∴tan -1
≤tanx ≤tan1．
即-tan1 ≤tanx ≤tan1．
1
函数y = sin 2x+ π
3
0≤x≤π
2
的值域为
(
)
A. [0 , 1]
B.
- 1
2 ,1
C.
-
3
2 ,1
D.
-
3
2 ,
3
2
答案C
解
由0 ≤x ≤π
2 ，得π
3 ≤2x + π
3 ≤4π
3 ，
则y = sin 2x+ π
3
∈-
3
2 ,1
．
2
函数f x
= cos2x - 2sinx + 3 x∈0,π
的最大值为
．
答案4
解
由于x ∈0,π
，所以sinx ∈0,1
．
又函数f x
= cos2x - 2sinx + 3 =-sin2x - 2sinx + 4 =- sinx+1
2+ 5，
所以当sinx = 0 时，f x
max = 4．
3
函数y = 3 - sinx - 2cos2x 的值域为
．
答案
7
8 ,4
解
因为y = 3 - sinx - 2cos2x，所以y = 3 - sinx - 2(1 - sin2x)，
故y = 2sin2x - sinx + 1，令sinx = t ∈-1,1
，
得到f(t) = 2t2- t + 1，由二次函数性质得f(t) 在-1, 1
4
上单调递减，
在
1
4 ,1
上单调递增，所以f(t) 的最小值为f
1
4
= 7
8 ，
而f(-1) = 4，f(1) = 2，故f(t) ∈
7
8 ,4
，故原函数值域为
7
8 ,4
．
4
函数f(x) = 2sin 2x+ π
3
，x ∈
π
24 , π
6
，函数f(x) 的值域为[m , 2]，则m =
．
答案
3
４６２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
463
解【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出值域即得结果．
【详解】当x ∈
π
24 , π
6
时，2x + π
3 ∈
5π
12 , 2π
3
，正弦函数y = sinx 在
5π
12 , π
2
上递增，在
π
2 , 2π
3
上递减，
于是函数f(x) 在
π
24 , π
12
上单调递增，在
π
12 , π
6
上单调递减，
因此f(x)min = f
π
6
=
3，f(x)max = f
π
12
= 2，即函数f(x) 的值域为[ 3，2]
5
关于x 的不等式sinx ≥cos2x + a 对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的最大值为
．
答案- 5
4
解【分析】令t = sinx，t ∈-1,1
，将不等式转化成关于t 的一元二次不等式，根据一元二次函数性
质即可求出结果．
【详解】因为sinx ≥cos2x + a，
所以sinx ≥1 - sin2x + a，即sin2x + sinx - 1 ≥a，
令t = sinx，t ∈-1,1
，有t2+ t - 1 ≥a
令f t
= t2+ t - 1，t ∈-1,1
，要使不等式sin2x + sinx - 1 ≥a 对于任意x ∈R 恒成立，
只需满足a ≤f t
min，t ∈-1,1
，
函数f t
在-1，- 1
2
上单调递减，在- 1
2 ,1
上单调递增，
所以t =- 1
2 时，即sinx =- 1
2 ，得x = π
6 + 2k+1
π，k ∈Z 或x = 5π
6 + 2k+1
π，k ∈Z，f t
有最小值，
f - 1
2
= 1
4 - 1
2 - 1 =- 5
4 ，得a ≤- 5
4 ，所以实数a 的最大值为- 5
4 ．
6
函数y = tan sinx
的值域是
(
)
A.
- π
4 , π
4
B.
-
2
2 ,
2
2
C. [-tan1 , tan1]
D. [-1 , 1]
答案C
解【分析】根据正弦函数的有界性与正切函数的单调性，即可求出函数的值域．
【详解】∵-1 ≤sinx ≤1，∴- π
2 <-1 ≤sinx ≤1 < π
2 ．
∵y = tanx 在- π
2 , π
2
上是单调递增的．
即-tan1 ≤tan(sinx) ≤tan1，
∴函数y = tan sinx
的值域为[-tan1 , tan1]．
7
已知函数
，x ∈0,a
的值域为
，则实数
的取值范围为(
)
A.
π
6 , π
2
B.
π
6 , 5π
6
C.
π
6 ,π
D.
答案C
解【分析】首先化简函数f x
的解析式，再利用复合函数的值域，求实数
的取值范围．
【详解】
４６３
464
，设t = sinx，
，函数的对称轴为
且
，g 1
2
= 5，g 1
= 4，
因为函数f x
在区间0,a
的值域为
，所以t = sinx 在区间0,a
上能取得
，但是不能小
于0，所以π
6 ≤a ≤π．
【题型
【题型8】周期性，奇偶性与对称性问题
】周期性，奇偶性与对称性问题
1、求三角函数的周期的方法
(1) 定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x + T) = f(x)．利用定义我们可采用取值进行验
证的思路，非常适合选择题；
(2) 公式法：f(x) = Asin(ωx + ϕ) 最小正周期都是T = 2π
|ω| ，
(3) 图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能
够容易画出函数草图的函数；
(4) 使用周期公式，必须先将解析式化为y = Asin(ωx + ϕ) + h 的形式；正弦余弦函数的最小正周期是T
= 2π
ϖ
2、奇偶性
(1) 定义法：首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函
数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求f(-x)；最后比较f(-x) 和f(x) 的关系，如果有f(-x)
= f(x)，则函数是偶函数，如果有f(-x) =-f(x)，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数．
(2) 如何判断函数f(ωx + φ) 的奇偶性：根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数f(ωx + φ) 的奇
偶性，常见的结论如下：
(1) 若y = Asin(ωx + φ) 为偶函数，则有φ = kπ + π
2 (k ∈Z)；若为奇函数则有φ = kπ(k ∈Z)；
(2) 若y = Acos(ωx + φ) 为偶函数，则有φ = kπ(k ∈Z)；若为奇函数则有φ = kπ + π
2 (k ∈Z)；
(3) 若y = Atan(ωx + φ) 为奇函数则有φ = kπ(k ∈Z)．
3、对称性问题
(1) 函数的对称性问题，往往先将函数化成y = Asin(ωx + ϕ) + B 的形式，其图象的对称轴是直线
，凡是该图象与直线
的交点都是该图象的对称中心，关键是记住三角函
数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．
(2) 求y = Asin ωx+φ
函数的对称轴或对称中心时，应把ωx + φ 作为整体，代入相应的公式中，解出x
的值，最后写出结果．
４６４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
465
1
(多选) 对于函数f x
= 3cos 2x- π
6
，下列说法正确的是
(
)
A. 最小正周期为π
B. 其图象关于点
π
12 ,0
对称
C. 对称轴方程为x = kπ
2 + π
12 k∈Z
D. 单调增区间2kπ- 5π
12 ,2kπ+ π
12
k∈Z
答案AC
解析
【分析】利用余弦型函数的周期公式可判断A 选项；利用余弦型函数的对称性可判断BC 选项；
利用余弦型函数的单调性可判断D 选项．
【详解】对于A 选项，函数f x
的最小正周期为T = 2π
2 = π，A 对；
对于B 选项，f
π
12
= 3cos0 ≠0，B 错；
对于C 选项，由2x - π
6 = kπ k∈Z
，可得x = kπ
2 + π
12 k∈Z
，
即函数f x
的对称轴方程为x = kπ
2 + π
12 k∈Z
，C 对；
对于D 选项，由2kπ - π ≤2x - π
6 ≤2kπ k∈Z
，解得kπ - 5π
12 ≤x ≤π
12 + kπ k∈Z
，
所以，函数f x
的单调增区间kπ- 5π
12 ,kπ+ π
12
k∈Z
，D 错．
2
已知函数f x
= tan 2x- π
4
，下列说法正确的有
(
)
①函数f x
最小正周期为π
2 ；
②定义域为x x∈R,x≠kπ
2 + π
8 ,k∈Z
③f x
图象的所有对称中心为
kπ
4 + π
8 ,0
，k ∈Z；
④函数f x
的单调递增区间为
kπ
2 - π
8 , kπ
2 + 3π
8
，k ∈Z．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
答案C
解析
【分析】根据正切函数的图象与性质，代入周期、定义域、对称中心和单调递增期间的公式即
可求解．
【详解】对①，函数f x
= tan 2x- π
4
，可得f x
的最小正周期为T = π
2 ，所以①正确；
对②，令2x - π
4 ≠π
2 + kπ，k ∈Z，解得x ≠3π
8 + kπ
2 ，k ∈Z，
即函数f x
的定义域为{x x≠3π
8 + kπ
2 ,k∈Z
，所以②错误；
对③，令2x - π
4 = kπ
2 ，k ∈Z ，解得x = π
8 + kπ
4 ，k ∈Z ，所以函数f x
的图象关于点
kπ
4 + π
8 ,0
，k ∈Z 对称，所以③正确；
对④，令kπ - π
2 < 2x - π
4 < kπ + π
2 ，k ∈Z，解得kπ
2 - π
8 < x < kπ
2 + 3π
8 ，k ∈Z，故函数f x
的单调递增区间为
kπ
2 - π
8 , kπ
2 + 3π
8
，k ∈Z，所以④正确
3
(多选) 已知函数f x
= sin 2x+ 2π
3
，则
(
)
A. f x
的最小正周期为π
４６５
466
B. f x
的图象关于直线x = 7π
12 对称
C. f x+ π
3
是偶函数
D. f x
的单调递减区间为kπ- π
12 ,kπ+ 5π
12
k∈Z
答案AD
解析
【分析】根据正弦型函数的周期公式可判断A；代入验证函数值可判断B；求出f x+ π
3
的表
达式即可判断其奇偶性，判断C；结合正弦函数的单调区间求出f x
的单调减区间即可判断D．
【详解】对于A，由三角函数的性质，可得f x
的最小正周期为T = 2π
2 = π，所以A 正确；
对于B，当x = 7π
12 时，可得f 7π
12
= sin 2× 7π
12 + 2π
3
= sin 11π
6
≠±1，
所以f x
的图象不关于直线x = 7π
12 对称，所以B 错误；
对于C，由f x+ π
3
= sin 2 x+ π
3
+ 2π
3
= sin 2x+ 4π
3
，
此时函数f x+ π
3
为非奇非偶函数，所以C 错误；
对于D，令π
2 + 2kπ ≤2x + 2π
3 ≤3π
2 + 2kπ，k ∈Z，解得kπ - π
12 ≤x ≤kπ + 5π
12 ，k ∈Z，
即函数的递减区间为kπ- π
12 ,kπ+ 5π
12
，k ∈Z，所以D 正确．
1
(2025·全国一卷·高考真题) 若点(a , 0) (a > 0) 是函数y = 2tan x- π
3
的图像的一个对称中心，
则a 的最小值为
(
)
A. π
6
B. π
3
C. π
2
D. 4π
3
答案B
解【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.
【详解】根据正切函数的性质，y = 2tan x- π
3
的对称中心横坐标满足x - π
3 = kπ
2 , k ∈Z，
即y = 2tan x- π
3
的对称中心是
π
3 + kπ
2 ,0
, k ∈Z，
即a = π
3 + kπ
2 , k ∈Z，
又a > 0，则k = 0 时a 最小，最小值是π
3 ，即a = π
3 .
2
函数f x
= sin x+ π
4
+ 1 的图象的对称轴方程为
，对称中心为
．
答案x = π
4 + kπ k∈Z
kπ- π
4 ,1
k∈Z
解【分析】根据正弦函数的对称性直接求解可得．
【详解】由x + π
4 = π
2 + kπ，k ∈Z，解得x = π
4 + kπ，k ∈Z，
所以函数f x
的对称轴方程为x = π
4 + kπ k∈Z
．
令x + π
4 = kπ，k ∈Z，得x =- π
4 + kπ，k ∈Z，
所以函数f x
的对称中心为kπ- π
4 ,1
k∈Z
．
故答案为：x = π
4 + kπ k∈Z
，kπ- π
4 ,1
k∈Z
４６６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
467
3
已知直线x = π
12 是函数f x
= sin 2x+φ
φ
< π
2
图象的一条对称轴，则
(
)
A. φ =- π
6
B. f x
的图象关于点
5π
6 ,0
对称
C. f x
的图象关于直线x = 13π
12 对称
D. f x
在S = 4πR2= 12π 上单调递减
答案BCD
解【分析】根据直线x = π
12 是函数f x
= sin 2x+φ
φ
< π
2
图象的一条对称轴，求得φ，再逐项
判断．
【详解】解：因为直线x = π
12 是f x
图象的一条对称轴，所以2 × π
12 + φ = π
2 + kπ，k ∈Z．又ϕ
< π
2 ，所以φ = π
3 ．A 不正确．
当x = 5π
6 时，2x + π
3 = 2π，所以f x
的图象关于点
5π
6 ,0
对称．B 正确．
因为f 13π
12
= sin 15π
6
= sin 5π
2 = 1，所以C 正确．
当π
3 < x < 7π
12 时，π < 2x + π
3 < 3π
2 ，f x
单调递减．D 正确．
4
函数y = sin π
4 -2x
的最小正周期为
．
答案π
解【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解．
【详解】由题意可得：函数y = sin π
4 -2x
的最小正周期T = 2π
-2
= π．
5
若y = x-1
2+ 2ax + sin 2x+ 3π
2
为偶函数，则a =
．
答案1
解
f x
= x-1
2+ 2ax + sin 2x+ 3π
2
= x2+ 1 + 2a-2
x - cos2x，
定义域为R，
由题意得f -x
= f x
，
即-x
2+ 1 + 2a-2
-x
- cos -2x
= x2+ 1 + 2a-2
x - cos2x，
故2 2a-2
x = 0，解得a = 1．
6
若f(n) = tan nπ
3 ，(n ∈N *)，则f(1) + f(2) +⋅⋅⋅+f(2025) =
(
)
A. -
3
B.
3
C. 0
D. - 2 3
答案C
解【分析】f n
= tan nπ
3
n∈N*
是周期为3 的周期函数，计算f(1)，f(2)，f(3) 的值，由此能求出
f(1) + f(2) +⋅⋅⋅+f(2023) 的值．
【详解】∵f(n) = tan nπ
3 (n ∈N *) 是周期为3 的周期函数，
f(1) = tan π
3 =
3，f(2) = tan 2π
3 =- 3，f(3) = tanπ = 0，
∴f(1) + f(2) +⋅⋅⋅+f(2025) = 675 f(1)+ f(2)+ f(3)
= 0．
7
已知函数f(x) = sin(ωx + φ) ω>0,0<φ< π
2
，曲线y = f(x) 的一个对称中心为
π
12 ,0
，一条
４６７
468
对称轴为x = π
4 ，则ω 的最小值为
．
答案9
解【分析】分别由对称轴和对称中心可得ω 的表达式，由ω > 0 综合可得．
【详解】因为
π
12 ,0
为f(x) 的一个对称中心，x = π
4 为f(x) 的一条对称轴，
∴
π
12 ω+φ=kπ,k∈Z①
π
4 ω+φ= π
2 +mπ,m∈Z②
，①× 3 - ②得φ = 3k-m
2
π - π
4 ，
∵0 < φ < π
2 ，∴3k - m = 1，φ = π
4 代入①得π
12 ω + π
4 = kπ ⇒ω = 12k - 3，
∵ω > 0，∴当k = 1，m = 2 时，ωmin = 9．
【题型
【题型9】利用三角函数性质比大小
】利用三角函数性质比大小
结合弧度制，判断选项中各角的范围，并且角的范围尽量小，并包含特殊角，进而利用函数的单调性比
较大小
1
若实数a，b，c 满足a = 2sin π
12 ，b3= 7，3c = 10，则
(
)
A. a < b < c
B. b < c < a
C. a < c < b
D. b < a < c
答案A
解析
因为a = 2sin π
12 < 2sin π
6 = 1，
又b3= 7，则b = 3 7，且1 < 3 7 < 3 8 = 2，即1 < b < 2，
因为3c = 10，所以c = log310 > log39 = 2，
所以c > b > a．
2
已知a = lg3，b = 2
1
10，c = sin40°，则
(
)
A. a < c < b
B. b < a < c
C. c < b < a
D. a < b < c
答案A
解析
依题意，a = lg3 < lg 10 = 1
2 ，b = 2
1
10 > 20= 1，而1
2 = sin30° < sin40° < sin90° = 1，
即1
2 < c < 1，所以a < c < b．
3
(深圳市南山区2023 - 2024 高一上期末) 已知
，则
(
)
A. c > a > b
B.
C. c > b > a
D. a > c > b
答案A
解析
【分析】通过放缩，再利用平方关系及辅助角公式得到1 < a <
2，利用函数
在区间
0, π
2
上单调递增，得出0 < cos1 < sin1 < 1，再利用对数函数的单调性可得到
，利用函数
在区间
上单调递减及指数函数的单调性可得到c >
2，进而得出结果．
【详解】因为
，所以
，且
，
故1 < a <
2，
４６８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
469
又
，0 < π
4 < 1 < π
2 ，而函数
在区间0, π
2
上单调递增，
所以
，得到0 < cos1 < sin1 < 1，所以
又0 < 1 < π
3 < π，函数
在区间
上单调递减，所以cos1 > cos π
3 ，
故
，所以c > a > b
1
设a = sin 1
2 ，b = log31.74，c = 22025，则
(
)
A. a > b > c
B. c > a > b
C. c > b > a
D. a > c > b
答案C
解
1
2 < π
6 ，则a = sin 1
2 < sin π
6 = 1
2 ，
b = log31.74 > log3 3 = 1
2 ，b = log31.74 < log33 = 1，即b ∈
1
2 ,1
，
c = 22025> 1．
故c > b > a．
2
(多选) 下列各式正确的是
(
)
A. sin 1
5 > sin 1
2
B. cos 3π
5 < cos 6π
7
C. tan 7π
6 < tan 7π
5
D. sin π
5 > cos 3π
5
答案CD
解【分析】根据三角函数的单调性及诱导公式，逐个选项判断即可得到答案．
【详解】对于A，因为y = sinx 在0, π
2
单调递增，而0 < 1
5 < 1
2 < π
2 ，
所以sin 1
5 < sin 1
2 ，故A 错误；
对于B，因为y = cosx 在0,π
上单调递减，而0 < 3π
5 < 6π
7 < π，
所以cos 3π
5 > cos 6π
7 ，故B 错误；
对于C，由诱导公式得tan 7π
6 = tan π
6 ，tan 7π
5 = tan 2π
5 ，因为y = tanx
在0, π
2
单调递增，而0 < π
6 < 2π
5 < π
2 ，所以tan 7π
6 < tan 7π
5 ，故C 正确；
对于D，因为π
2 < 3π
5 < π，所以cos 3π
5 < 0，而sin π
5 > 0，所以sin π
5 > cos 3π
5
3
(高一上·江苏镇江·期末) 下列不等关系成立的是
(
)
A. tan1 > sin1 > cos1
B. sin2 > cos2 > tan2
C. tan3 > sin3 > cos3
D. tan4 > cos4 > sin4
答案ABD
解【分析】结合弧度制，判断各选项中各角的范围，结合正余弦函数以及正切函数的单调性，结合特
殊角的函数值，比较大小，即可得答案．
【详解】对于A，π
4 < 1 < π
2 ，故tan1 > tan π
4 = 1，sin1 > sin π
4 = cos π
4 > cos1，
故tan1 > sin1 > cos1，A 正确；
４６９
470
对于B，π
2 < 2 < 2π
3 ，则sin2 > 0，0 > cos2 > cos 2π
3 =- 1
2 ，- 3 = tan 2π
3 > tan2，
则sin2 > cos2 > tan2，B 正确；
对于C，5π
6 < 3 < π，故sin3 > 0，-1 < cos3 < cos 5π
6 =-
3
2 ，tan3 > tan 5π
6 > - 3
3
，
故sin3 > tan3 > cos3，C 错误；
对于D，5π
4 < 4 < 4π
3 ，则tan4 > 0，cos4 > cos 5π
4 =-
2
2 ，sin4 < sin 5π
4 =-
2
2 ，
故tan4 > cos4 > sin4，D 正确
【题型
【题型10
10】与零点有关的问题
】与零点有关的问题
热考题型1
由交点个数求参数范围
1
已知函数f x
= sinx + 2 sinx
，x ∈0,2π
的图象与直线y = k 有且仅有两个不同的交点，则实
数k 的取值范围是
．
答案
1,3
解析
【分析】将函数f x
写成分段函数的形式，在同一坐标系下画出函数f x
和函数y = k 图象，
利用数形结合即可判断两函数有两个不同的交点时实数k 的取值范围．
【详解】由题意，得f x
= sinx + 2 sinx
= 3sinx,x∈0,π
-sinx,x∈π,2π
画出函数的图象，如下图所示：
由图象可知，
当k ∈1,3
时，函数f x
的图象与直线y = k 有且仅有两个不同的交点．
热考题型2
关于零点的运算求值
2
函数g(x) = 2sin 2x+ π
6
- 3
2 在区间0, π
2
上恰有2 个零点x1，x2(x1 < x2)，求cos x1-x2
的
值．
【答案cos x1-x2
= 3
4
解析
【分析】根据三角函数的对称性结合诱导公式即可得cos x1-x2
的值．
【详解】g(x) 在区间0, π
2
上恰有2 个零点x1，x2(x1< x2)，∴f(x) = 3
2 在0, π
2
有两个根．
对于函数f(x) = 2sin 2x+ π
6
，由2x + π
6 = π
2 + kπ，k ∈Z，得x = kπ
2 + π
6 ，k ∈Z，
当x ∈0, π
2
时，函数f(x) 图像的对称轴为x = π
6
所以x1+ x2= π
3 ，则x1= π
3 - x2，
所以cos x1-x2
= cos π
3 -2x2
= cos π
2 - 2x2+ π
6
= sin 2x2+ π
6
，
又f x2
= sin 2x2+ π
6
= 3
4 ，故cos x1-x2
= 3
4 ．
４７０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
471
1
已知函数y = sin 2x- π
6
- m 在0, π
2
上有两个零点，则m 的取值范围为
．
答案
1
2 ,1
解
当x ∈0, π
2
时，t = 2x - π
6 ∈- π
6 , 5π
6
，
由2x - π
6 ∈- π
6 , π
2
，得x ∈0, π
3
；
由2x - π
6 ∈
π
2 , 5π
6
，得x ∈
π
3 , π
2
，
因此函数y = sint - m，
在- π
6 , π
2
上单调递增，函数值从- 1
2 - m 增大到1 - m，
在
π
3 , π
2
上单调递减，函数值从1 - m 减小到1
2 - m，
且1
2 - m >- 1
2 - m，
由函数y = sin 2x- π
6
- m 在0, π
2
上有两个零点，得
1-m>0
1
2 -m≤0
，解得1
2 ≤m < 1，
所以m 的取值范围为
1
2 ,1
．
2
(高一上·湖北·期末) 已知函数f x
= sin ωx+ π
3
ω>0
，若f x
在0, 2π
3
上有两个零点，则ω
的取值范围是
(
)
A.
5
2 ,+∞
B.
5
2 , 11
2
C.
5
2 ,4
D.
5
2 ,3
答案C
解【分析】由0 ≤x ≤2π
3 ，可得π
3 ≤ωx + π
3 ≤2π
3 ω + π
3 ，所以2π ≤2π
3 ω + π
3 < 3π，从而求出ω
的取值范围．
【详解】因为0 ≤x ≤2π
3 ，所以π
3 ≤ωx + π
3 ≤2π
3 ω + π
3 ，
因为函数f x
= sin ωx+ π
3
ω>0
在区间0, 2π
3
上有2 个零点，
所以2π ≤2π
3 ω + π
3 < 3π，解得5
2 ≤ω < 4，
即ω 的取值范围是
5
2 ,4
3
(高二上·浙江杭州·月考) 设ω > 0，若函数f x
= cos ωx
在0, π
2
上有且仅有2 个零点，则ω 的
取值范围是
．
答案[3 , 5)
解【分析】由题意可得3π
2 ≤ω ⋅π
2 < 5π
2
，解得可得答案．
【详解】因为函数f x
= cos ωx
在0, π
2
上有且仅有2 个零点，且当x = 0 时，ω ⋅0 = 0 ，
所以3π
2 ≤ω ⋅π
2 < 5π
2
，解得3 ≤ω < 5 ．
4
若函数y = 2sinx - 1 - a 在
π
3 ,π
上有两个零点，则实数a 的取值范围是
．
答案[ 3 - 1，1)
４７１
472
解
令f(x) = 0 得2sinx = 1 + a．
作出y = 2sinx 在x ∈
π
3 ,π
上的图像，
如图所示．
要使函数f(x) 在
π
3 ,π
上有两个零点，
需满足
3 ≤1 + a < 2，所以
3 - 1 ≤a < 1．
5
(高二上·河北衡水·月考) 已知函数f x
= 2sin 2x+ π
6
，令g x
= f x
- 3
2 在区间0, π
2
上恰
有2 个零点x1，x2 x1<x2
，则x1+ x2=
，cos x1-x2
=
．
答案π
3
3
4
解【分析】转化为sin 2x+ π
6
= 3
4 在0, π
2
上恰有2 个零点，当x ∈0, π
2
时，z = 2x + π
6 ∈
π
6 , 7π
6
，画出y = sinz 在z ∈
π
6 , 7π
6
时的解析式，得到z1 + z2 = π，求出x1 + x2 = π
3 ，所以
cos x1-x2
= cos π
3 -2x2
= sin 2x2+ π
6
= 3
4 ．
【详解】由题意得2sin 2x+ π
6
= 3
2 在0, π
2
上恰有2 个零点，
即sin 2x+ π
6
= 3
4 在0, π
2
上恰有2 个零点x1，x2 x1<x2
，
当x ∈0, π
2
时，z = 2x + π
6 ∈
π
6 , 7π
6
，
画出y = sinz 在z ∈
π
6 , 7π
6
时的函数图象，
z1，z2关于x = π
2 对称，故z1+ z2= π，
即2x1+ π
6 + 2x2+ π
6 = π，解得x1+ x2= π
3 ，
且sin 2x1+ π
6
= 3
4 ，sin 2x2+ π
6
= 3
4 ，
因为x1= π
3 - x2，所以cos x1-x2
= cos π
3 -2x2
= sin π
2 -
π
3 -2x2
= sin 2x2+ π
6
= 3
4
【题型
【题型11
11】三角函数对称性的综合应用
】三角函数对称性的综合应用
热考题型1
由解析式得出对称中心
1
已知函数f x
= ax5+ bsinx - c，若f -8
+ f 8
= 2，则c =
(
)
４７２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
473
A. - 1
B. 0
C. 1
D. 2
3
答案A
解析
【分析】利用f x
+ f -x
=-2c 可直接构造方程求解．
【详解】∵f -x
= a -x
5+ bsin -x
- c =-ax5- bsinx - c，∴f x
+ f -x
=-2c，
∴f -8
+ f 8
=-2c = 2，解得：c =-1．
热考题型2
由称性求交点横(纵) 坐标值的和
2
(高一上·山东青岛·期末) 当x ∈(0 , 2π) 时，函数f(x) = sinx 与g(x) = |cosx| 的图象所有交点横坐
标之和为
(
)
A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
答案A
解析
【分析】作出函数f(x) = sinx 和g(x) = |cosx| 在(0 , 2π) 上的图象，通过图象即可求出交点横坐
标．
【详解】作出函数f(x) = sinx 和g(x) = |cosx| 在(0 , 2π) 上的图象如下
从图像上可得：函数f(x) = sinx 的图象和f(x) = sinx 的图象在(0 , 2π) 内有两个交点：
sinx = cosx，x ∈0, π
2
，即tanx = 1，x ∈0, π
2
，得x = π
4 ，
sinx =-cosx，x ∈
π
2 ,π
，tanx =-1，x ∈
π
2 ,π
，得x = 3π
4 ，
所有交点横坐标之和为π
4 + 3π
4 = π．
热考题型3
称性的综合运算
3
若函数f(x) = 2sin ωx+ π
3
+ m(0 < ω < 5) 满足f x+ π
3
+ f
π
3 -x
= 2，则ω + m 的值为
(
)
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5
答案B
解析
因为函数f(x) = 2sin ωx+ π
3
+ m 满足f x+ π
3
+ f
π
3 -x
= 2，
可得函数f(x) 关于点
π
3 ,1
对称，所以m = 1，且sin π
3 ω+ π
3
= 0，
所以π
3 ω + π
3 = kπ(k ∈Z)，则ω = 3k - 1(k ∈Z)，
又0 < ω < 5，当k = 1 时，ω = 2，所以ω + m = 3．
1
已知函数f x
= sinx + x3+ 1
x + 3，若f a
= 1，则f -a
=
．
答案5
解【分析】由奇函数相关性质可得答案．
【详解】根据题意f a
= sina + a3+ 1
a + 3 = 1，即sina + a3+ 1
a =-2．
４７３
474
所以f -a
= sin -a
+ -a
3+
1
-a
+ 3 =- sina+a3+ 1
a
+ 3 = 2 + 3 = 5．
2
函数f x
= ln x-2
x+2 + mtanx + 3，且f t
= 6，则f -t
的值为
．
答案0
解【分析】构造g x
= f x
- 3，得到g x
为奇函数，从而根据f t
= 6 得到g t
= 3，由g -t
=
-3 求出f -t
．
【详解】令g x
= f x
- 3 = ln x-2
x+2 + mtanx，
定义域为{x|x <-2 或x > 2 且x ≠kπ + π
2 ，k ∈Z}，关于原点对称，
则g -x
= ln -x-2
-x+2 + mtan -x
= ln x+2
x-2 - mtanx =-ln x-2
x+2 - mtanx =-g x
，
故g x
为奇函数，
又g t
= f t
- 3 = 6 - 3 = 3，故g -t
= f -t
- 3 =-3，
得f -t
= 0．
3 【巩固练习1】已知函数f(x) = |sinx|，x ∈[-2π , 2π]，则方程f(x) = 1
2 的所有根的和等于
．
答案0
解
函数f(x) 与函数y = 1
2 的图象如下图所示
不妨设方程f(x) = 1
2 的所有根从小到大为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，
由对称性可知x1+ x2=-3π，x3+ x4=-π，x5+ x6= π，x7+ x8= 3π，
则方程f(x) = 1
2 的所有根的和等于0．
4
已知函数f(x) = sin ωx+φ
(ω > 0 , 0 < φ < π) 的图象关于点
2π
3 ,0
对称，且f 0
=
3
2 ，则ω
的最小值为
．
答案1
2
解
由f(x) 的图象关于点
2π
3 ,0
对称，得2π
3 ω + φ = kπ，k ∈Z，
由f 0
=
3
2
及0 < φ < π 得，φ = π
3 或2π
3 ，
当φ = π
3 时，ω = 3k-1
2
，k ∈Z，由ω > 0 得ω 的最小值为1；
当φ = 2π
3 时，ω = 3k-2
2
，k ∈Z，由ω > 0 得ω 的最小值为1
2 ；
综上所述，ω 的最小值为1
2
5
已知函数f x
= sin ωx+φ
- π
2 <φ< π
2
在
3π
8 , 7π
8
内单调递减，x = 3π
8 是函数f x
的一
４７４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
475
条对称轴，且函数y = f x+ π
8
为奇函数，则f 7π
24
=
(
)
A. -
3
2
B.
3
2
C. - 1
2
D. 1
2
答案B
解
因为函数f x
在
3π
8 , 7π
8
内单调递减，
所以7π
8 - 3π
8 ≤1
2 T ⇒7π
8 - 3π
8 ≤1
2 ⋅2π
ω
，得ω
≤2，
因为x = 3π
8 是函数f x
的一条对称轴，
所以ω ⋅3π
8 + φ = 2kπ + π
2 ，k ∈Z，①
因为函数y = f x+ π
8
= sin ωx+ ωπ
8 +φ
是奇函数，
所以ωπ
8
+ φ = mπ，m ∈Z，②，
由①- ②可得，ω = 4 2k-m
+ 2，
而ω
≤2，所以ω
= 2
当ω = 2 时，2π
8 + φ = mπ，m ∈Z，得φ = mπ - π
4 ，m ∈Z，
因为- π
2 < φ < π
2 ，所以φ =- π
4 ，
即f x
= sin 2x- π
4
，
当x ∈
3π
8 , 7π
8
时，2x - π
4 ∈
π
2 , 3π
2
，显然此时函数单调递减，符合题意，
所以f 7π
24
= sin 2× 7π
24 - π
4
= sin π
3 =
3
2
当ω =-2 时，- 2π
8 + φ = mπ，m ∈Z，得φ = mπ + π
4 ，m ∈Z，
因为- π
2 < φ < π
2 ，所以φ = π
4 ，
即f x
= sin 2x+ π
4
，
当x ∈
3π
8 , 7π
8
时，2x + π
4 ∈π,2π
，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，
所以f 7π
24
=
3
2 ．
6
已知函数f x
= ln x-1
3-x + ax + 2a + bsin x-2
，则f x
图象有如下性质
(
)
A. 关于点2,2b
中心对称
B. 关于直线x = b 轴对称
C. 关于点2,4a
中心对称
D. 关于点2,2a
中心对称
答案C
解
ACD 选项，f -x+4
= ln -x+3
x-1
+ a -x+4
+ 2a + bsin -x+4-2
=-ln x-1
3-x - ax + 6a - bsin x-2
，
故f -x+4
+ f x
= 8a，
故f x
关于点2,4a
中心对称，C 正确，AD 错误；
B 选项，f -x+2b
= ln -x+2b-1
3+x-2b
+ a -x+2b
+ 2a + bsin -x+2b-2
≠f x
，
４７５
476
故f x
不关于直线x = b 轴对称，B 错误．
7
己知函数f(x) =
4
ex+1 + sinx，则
f(-2025) + f(-2024) +⋯+f(-1) + f(0) + f(1) +⋯⋯f(2025) =
．
答案8102
解【详解】-2020 到2020 关于原点对称，显然sinx 部分的和刚好为0
令g(x) =
4
ex+1 ，则g(x) + g(-x) =
4
ex+1 +
4
ex+1 = 4(ex+e-x+2)
ex+e-x+2
= 4
∴f(-2025) + f(-2024) +⋯+f(-1) + f(0) + f(1) +⋯⋯f(2025)
= g(-2020) + g(-2019) +⋯+g(-1) + g(0) + g(2) +⋯g(2020)
= 2025 × 4 + 2
= 8102
8
已知f x
= sin ωx+φ
ω>0, φ
< π
2
在
π
6 , 5π
12
上是单调函数，函数f x
的图象关于点
π
6 ,0
中心对称，且对任意的x ∈R，都有f x
≤f 5π
12
．
(1) 求f x
解析式；
(2) 若函数g x
= f x
- m m∈R
在x ∈0, π
2
上有两个零点x1，x2，求f x1+x2
的值．
解
(1) 由题对任意x ∈R，都有f x
≤f 5π
12
，故当x = 5π
12 时，f x
取得最大值．
因为f x
在
π
6 , 5π
12
是单调函数，且f x
的图象关于点
π
6 ,0
对称，
所以T
4 = 5π
12 - π
6 = π
4 得T = π，所以ω = 2π
T = 2
又因为函数f x
在x = 5π
12 时取得最大值，所以5π
6 + φ = π
2 + 2kπ，k ∈Z，
即φ =- π
3 + 2kπ，k ∈Z．因为φ
< π
2 ，所以φ =- π
3 ，
所以：f x
= sin 2x- π
3
．
(2) 因为x ∈0, π
2
，令t = 2x - π
3 ，则t ∈- π
3 , 2π
3
y = sint 在- π
3 , 2π
3
内的图象如图所示，
由题函数g x
= f x
- m 在x ∈0, π
2
有两个零点x1，x2，
即y = sint 与y = m 在- π
3 , 2π
3
内有两个交点t1，t2，
数形结合可得：
3
2
≤m < 1，t1+ t2= 2x1- π
3 + 2x2- π
3 = π，即x1+ x2= 5π
6 ，
所以f x1+x2
= sin 5π
3 - π
3
= sin π+ π
3
=-sin π
3 =-
3
2 ．
【题型
【题型12
12】求
】求ω 范围问题初步
范围问题初步
４７６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
477
解题策略：数形结合求出区间终点在图像上对应的位置
热考题型1
由零点个数求ω 的范围
1
(高一上·广东·期末) 已知函数f(x) = 2cos 2ωx+ π
3
(ω > 0) 在[0 , π] 上有且仅有2 个零点，则ω 的
取值范围为
．
答案
7
12 , 13
12
解析
【分析】首先求2ωx + π
3 的取值范围，再根据余弦函数的图象，列式求ω 的取值范围．
【详解】令t = 2ωx + π
3 当x ∈[0 , π] 时，2ωx + π
3 ∈
π
3 ,2πω+ π
3
，
因为f(x) 在[0 , π] 上有且仅有2 个零点，变为y = cost 在
π
3 ,2πω+ π
3
上有且仅有2 个零点，
所以，3π
2 ≤2πω + π
3 < 5π
2 ，解得7
12 ≤ω < 13
12 ．
热考题型2
由值域求ω 的范围
2
若函数f x
= 2sin ωx- π
3
，ω>0
，x ∈0, π
2
的值域为- 3,2
，则ω 的取值范围是
(
)
A.
5
3 ,4
B.
5
6 , 10
3
C.
5
6 , 5
3
D.
5
3 , 10
3
答案D
解析
【分析】利用x ∈0, π
2
可得ωx - π
3 ∈- π
3 , π
2 ω- π
3
，再由三角函数图像性质可得π
2 ≤
π
2 ω - π
3 ≤π
3 + π，解不等式即可求得ω 的取值范围．
【详解】根据题意可知若x ∈0, π
2
，则可得ωx - π
3 ∈- π
3 , π
2 ω- π
3
；
显然当x = 0 时，可得2sin ωx- π
3
=- 3，
由f x
的值域为- 3,2
，利用三角函数图像性质可得π
2 ≤π
2 ω - π
3 ≤π
3 + π
热考题型3
由对称轴(中心) 个数求ω 的范围
3
已知函数f x
= sin ωx+ π
6
ω>0
的图象在0,π
上有且仅有两条对称轴，则ω 的取值范围为
A.
1, 3
2
B.
4
3 , 3
2
C.
4
3 , 7
3
D.
1, 7
3
答案C
解析
【分析】因为x ∈0,π
，则ωx + π
6 ∈
π
6 ,ωπ+ π
6
，根据正弦函数的对称轴列出不等式求解
【详解】因为x ∈0,π
，则ωx + π
6 ∈
π
6 ,ωπ+ π
6
，根据正弦函数的对称轴可知两条对称轴为x =
π
2 ，x = 3π
2 ，则3π
2 < ωπ + π
6 ≤5π
2 ，解得ω ∈
4
3 , 7
3
．
热考题型4
在某区间上单调增(减) 求ω 的范围
4
已知函数f (x) = 2sin(ωx + φ) (ω > 0，φ ∈(0 , 2π)) 在区间
π
3 , 5π
6
上单调递减，f
π
3
=
-f 5π
6
= 1，则φ =
(
)
４７７
478
A. π
3
B. 4π
9
C. 11π
18
D. 7π
9
答案C
解析
∵f x
在区间
π
3 , 5π
6
上单调递减，∴5π
6 - π
3 ≤π
ω ，∴0 < ω ≤2，
由f
π
3
= 1，得sin ω⋅π
3 +φ
= 1
2 ，∴ω ⋅π
3 + φ = 2k1π + 5π
6
k1∈Z
①．
又f
π
3
=-f 5π
6
= 1，∴f x
图象关于点
7π
12 ,0
对称，
即ω ⋅7π
12 + φ = 2k2π + π k2∈Z
②．
由②- ①得ω ⋅π
4 = 2 k2-
k1
π + π
6 ⇒ω = 2
3 + 8 k2-
k1
，由于0 < ω ≤2，
则ω = 2
3 ，代入①，即2π
9 + φ = 2k1π + 5π
6
k1∈Z
⇒φ = 2k1π + 11π
18 ，
由于φ ∈0,2π
，则φ = 11π
18 ．
1
(2025·北京·高考真题) 设函数f x
= sinωx + cosωx(ω > 0)，若f(x + π) = f(x) 恒成立，且f(x) 在
0, π
4
上存在零点，则ω 的最小值为
(
)
A. 8
B. 6
C. 4
D. 3
答案C
解【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.
【详解】函数f x
= sinωx + cosωx =
2sin ωx+ π
4
(ω > 0)，
设函数f(x) 的最小正周期为T，由f(x + π) = f(x) 可得kT = π , k∈N ∗
，
所以T = 2π
ω = π
k , k∈N ∗
，即ω = 2k , k∈N ∗
；
又函数f(x) 在0, π
4
上存在零点，且当x ∈0, π
4
时，ωx + π
4 ∈
π
4 , πω
4 + π
4
，
所以πω
4
+ π
4 ≥π，即ω ≥3；
综上，ω 的最小值为4.
2
已知函数f x
= cosωx - 1(ω > 0) 在区间0,2π
有且仅有3 个零点，则ω 的取值范围是
．
答案[2 , 3)
解【分析】令f(x) = 0，得cosωx = 1 有3 个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解．
【详解】因为0 ≤x ≤2π，所以0 ≤ωx ≤2ωπ，
令f(x) = cosωx - 1(ω > 0)，则cosωx = 1 有3 个根，
令t = ωx，则cost = 1 有3 个根，其中t ∈[0 , 2ωπ]，
结合余弦函数y = cost 的图像性质可得4π ≤2ωπ < 6π，故2 ≤ω < 3，
3
(2025·天津·高考真题)f(x) = sin(ωx + φ) (ω > 0 ,-π < φ < π)，在- 5π
12 , π
12
上单调递增，且x =
π
12 为它的一条对称轴，
π
3 ,0
是它的一个对称中心，当x ∈0, π
2
时，f(x) 的最小值为(
)
４７８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
479
A. -
3
2
B. - 1
2
C. 1
D. 0
答案A
解【分析】利用正弦函数的对称性得出ω = 4n + 2，根据单调性得出0 < ω ≤2，从而确定ω，结合对
称轴与对称中心再求出φ，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解.
【详解】因为函数在- 5π
12 , π
12
上单调递增，且x = π
12 为它的一条对称轴，
所以x = π
12 时函数取最大值，
又因为
π
3 ,0
是它的一个对称中心，
所以
π
12 ω+φ= π
2 +2kπ
π
3 ω+φ=mπ
，m,k∈Z
，
设f x
的最小正周期为T，由正弦函数的对称性可知π
3 - π
12 =
2n+1
T
4
n∈Z
，
即π
4 = 2nπ+π
2ω
,∴ω = 4n + 2，
又f x
在- 5π
12 , π
12
上单调递增，则T
2 ≥π
12 - - 5π
12
,∴π
ω ≥π
2 ⇒0 < ω ≤2，
∴ω = 2，则
φ= π
3 +2kπ
φ=mπ- 2π
3
，m,k∈Z
，
∵φ ∈-π,π
，∴k = 0 , m = 1 时，φ = π
3 ，∴f x
= sin 2x+ π
3
，
当x ∈0, π
2
时，2x + π
3 ∈
π
3 , 4π
3
，
由正弦函数的单调性可知f x
min = sin 4π
3 =-
3
2 .
4
已知函数f x
= Asinωx A>0,ω>0
，若至少存在两个不相等的实数x1，x2 ∈π,2π
，使得
f x1
+ f x2
= 2A，则实数ω 的取值范围是
．
答案
9
4 , 5
2
∪
13
4 ,+∞
解【分析】当π > 2T 时，易知必满足题意；当π < 2T 时，根据x ∈π,2π
可得ωx ∈πω,2πω
，由最
大值点的个数可构造不等式组，结合ω > 0 确定具体范围．
【详解】∵至少存在两个不相等的实数x1，x2∈π,2π
，使得f x1
+ f x2
= 2A，
∴当π > 2T = 4π
ω ，即ω > 4 时，必存在两个不相等的实数x1，x2∈π,2π
满足题意；
当π < 2T，即0 < ω < 4 时，ωx ∈πω,2πω
，
∴
πω≤π
2 +2kπ
2πω≥5π
2 +2kπ
k∈Z
，∴
ω≤1
2 +2k
ω≥5
4 +k
k∈Z
；
当k ≤0 时，解集为∅，不合题意；令k = 1，则9
4 ≤ω ≤5
2 ；令k = 2，则13
4 ≤ω < 4；
综上所述：实数ω 的取值范围为
9
4 , 5
2
∪
13
4 ,+∞
．
5
(高二上·云南大理·期中) 已知函数f x
=
2sin ωx+ π
4
(ω > 0)，若f x
在0,π
上有且仅有2
个零点，则ω 的取值范围为
(
)
A.
7
4 , 9
4
B.
7
4 , 11
4
C.
7
4 , 9
4
D.
7
4 , 11
4
４７９
480
答案D
解【分析】结合正弦函数图象确定范围即可．
【详解】令t = ωx + π
4 ∈
π
4 ,ωπ+ π
4
，则y =
2sint 在
π
4 ,ωπ+ π
4
上仅有2 个零点，
所以2π < ωπ + π
4 ≤3π，解得7
4 < ω ≤11
4
6
设函数f(x) = sin ωx+ π
3
在区间(0 , π) 恰有三个对称轴、两个零点，则ω 的取值范围是
(
)
A.
5
3 , 13
6
B.
5
3 , 19
6
C.
13
6 , 8
3
D.
13
6 , 19
6
答案C
解
依题意可得ω > 0，因为x ∈0,π
，所以ωx + π
3 ∈
π
3 ,ωπ+ π
3
，
要使函数在区间0,π
恰有三个对称轴、两个零点，又y = sinx，x ∈
π
3 ,3π
的图象如下所示：
则5π
2 < ωπ + π
3 ≤3π，解得13
6 < ω ≤8
3 ，即ω ∈
13
6 , 8
3
．
7
函数f x
= sin ωx+ π
3
(ω > 0) 的图象在区间0,1
上恰有一条对称轴和一个对称中心，则ω 的
取值范围为
(
)
A.
2
3 π, 7
6 π
B.
2
3 π, 7
6 π
C.
2
3 π, 7
6 π
D.
2
3 π, 7
6 π
答案C
解
由x ∈0,1
，设t = ωx + π
3 ，则t ∈
π
3 ,ω+ π
3
，
由图可知直线x = ω + π
3 在线段AB 之间，不含点A，
所以π < ω + π
3 ≤3π
2 ，得2π
3 < ω ≤7π
6 ．
8
定义在0,π
上的函数y = sin ωx- π
6
(ω > 0) 有零点，且值域M ⊆- 1
2 ,1
，则ω 的取值范围是
．
答案
1
6 , 4
3
解【分析】利用正弦函数的图象性质求解即可．
【详解】因为x ∈0,π
，所以ωx - π
6 ∈- π
6 ,ωπ- π
6
，
４８０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
481
又因为函数y = sin ωx- π
6
(ω > 0) 有零点，且值域M ⊆- 1
2 ,1
，
所以0 ≤ωπ - π
6 ≤7π
6 ，解得1
6 ≤ω ≤4
3
9
已知f x
= sin ωx+φ
(ω > 0，φ 为常数)，若f x
在S = 4πR2 = 12π 上单调，且f
π
6
= f 7π
18
=-f
π
18
，则f x
的最小正周期是
(
)
A. π
2
B. 2π
3
C. 3π
4
D. 2π
答案B
解【分析】利用正弦函数的图象性质求解．
【详解】因为f x
在S = 4πR2= 12π 上单调，所以7π
12 - π
3 = π
4 ≤1
2 T = π
ω ，所以ω ∈0,4
，
又因为f
π
6
= f 7π
18
，所以函数f x
图象关于直线x = 5π
18 对称，
又因为f
π
6
=-f
π
18
，所以函数f x
图象关于点
π
9 ,0
中心对称，
所以5π
18 - π
9 = 2k+1
4
T，k ∈Z，则有2k+1
4
× 2π
ω = π
6 ，k ∈Z，
所以2k + 1 = ω
3 ∈0, 4
3
，所以只有当k = 0 满足，此时，ω = 3
【题型
【题型13
13】三角函数性质综合
】三角函数性质综合
1
(高一上·甘肃白银·期末) (多选) 已知函数f x
= sinx + 2 sinx
，x ∈0,2π
，则下列说法不正确的
有
(
)
A. 若f x
= 3
2 ，则x = π
6
B. 若x = π
6 ，则f x
= 3
2
C. 函数f x
的单调递增区间为0, π
2
D. 若方程f x
= m 有三个不同的解，则m = 1 或m = 0
答案AC
解析
【分析】对A、B：由f x
= 3
2 > 1，可得x ∈0,π
，即可得x = π
6 或x = 5π
6 ；对C、D：
可画出函数图象，由图象即可判断．
【详解】由f x
= sinx + 2 sinx
，可得f x
= 3sinx,
0≤x≤π
-sinx,
π<x≤2π
，
由f x
= 3
2 > 1，得x ∈0,π
，即3sinx = 3
2 可得sinx = 1
2 ，
得x = π
6 或x = 5π
6 ，故A 不正确，B 正确；
在坐标系中画出函数f x
的图象，
如图所示，由函数图象可知函数f x
的单调递增区间为x ∈0, π
2
和π, 3π
2
，
故C 不正确；
由方程f x
= m 有三个不同的解，可知m = 1 或m = 0，故D 正确．
４８１
482
2
设函数f x
= sin ωx- π
6
ω>0
，则下列说法正确的是
(
)
A. 若f x
的最小正周期为π，则ω = 2
B. 若ω = 1，则f x
的图象关于点
2π
3 ,0
对称
C. 若f x
在区间0, π
2
上单调递增，则0 < ω < 4
3
D. 若f x
在区间0,2π
上恰有2 个零点，则7
12 ≤ω < 13
12
答案AD
解析
【分析】根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可．
【详解】对于A，若f x
的最小正周期为π，则2π
ω = π，解得ω = 2，故A 正确；
对于B，若ω = 1，则f x
= sin x- π
6
，
x = 2π
3 时，f x
= sin 2π
3 - π
6
= 1，故B 错误；
对于C，x ∈0, π
2
时，ωx - π
6 ∈- π
6 , πω
2 - π
6
，
因为f x
在0, π
2
上单调递增，则- π
6 < πω
2
- π
6 ≤π
2 ，解得0 < ω ≤4
3 ，故C 错误；
对于D，x ∈0,2π
时，ωx - π
6 ∈- π
6 ,2πω- π
6
，
若f x
在0,2π
上恰有2 个零点，
则π ≤2πω - π
6 < 2π，解得7
12 ≤ω < 13
12 ，故D 正确．
1
已知函数f x
= sinx -
1
sinx ，则
(
)
A. y = f x
的图象关于原点对称
B. f x
的最小正周期为π
C. y = f x
的图象关于直线x = π
2 对称
D. f x
的值域为R
答案ACD
解【分析】根据奇函数的定义即可判断A，根据周期的定义即可判断B，根据f x+π
=-f x
=
f -x
即可判断C，根据奇偶性以及单调性即可判断D．
【详解】令sinx ≠0 ⇒x ≠kπ，k ∈Z，故f x
= sinx -
1
sinx 的定义域为x x≠kπ,k∈Z
，关于原点
对称，
有f -x
= sin -x
-
1
sin -x
=-sinx +
1
sinx =-f x
为奇函数，A 正确，
f x+π
= sin x+π
-
1
sin x+π
=-sinx +
1
sinx ≠f x
，π 不是f x
的周期，故B 错误，
f x+π
= sin x+π
-
1
sin x+π
=-sinx +
1
sinx ，由于f x+π
=-f x
= f -x
，故x = π
2 是
４８２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
483
f x
的一条对称轴，故C 正确，
令t = sinx ∈-1,0
∪0,1
，f t
= t - 1
t 在t ∈0,1
单调递增，故f t
= t - 1
t 在t ∈0,1
上的
范围为-∞,0
，由于f t
= t - 1
t 为奇函数，所以f t
= t - 1
t 在t ∈-1,0
上的范围为0,+∞
，
故f x
的值域为R，D 正确，
2
(高一上·山西运城·期末) (多选) 已知函数f x
= sinx
+ cosx，则
(
)
A. 2π 为函数f x
的一个周期
B. 对于任意的x ∈R，函数f x
都满足f π+x
= f π-x
C. 函数f x
在0,π
上单调递减
D. f x
的值域为-1,
2
答案ABD
解【分析】计算f x+2π
= f x
，可判定选项A；根据三角函数的诱导公式进行化简运算，可判定选
项B；化简函数f x
=
2 sin x+ π
4
，结合三角函数的性质，可判定选项C；根据sinx
≥0，且
-1 ≤cosx ≤1，结合选项A、B 及函数的单调性，可判定选项D．
【详解】对于A，由f x+2π
= sin x+2π
+ cos x+2π
= sinx
+ cosx = f x
，
所以2π 为f x
的周期，故A 正确；
对于B，由f π+x
= sin(π+x)
+ cos(π + x) = sinx
- cosx，
f π-x
= sin(π-x)
+ cos(π - x) = sinx
- cosx，
所以f π+x
= f π-x
，故B 正确；
对于C，由x ∈0,π
，则x + π
4 ∈
π
4 , 5π
4
，且f x
= sinx + cosx =
2sin x+ π
4
，
根据正弦函数的性质，可得函数f x
在0, π
4
上单调递增，在
π
4 ,π
上单调递减，故C 错误；
对于D，函数f x
= sinx
+ cosx，由sinx
≥0，且-1 ≤cosx ≤1，所以函数f x
的最小值为-1；
由x ∈0,π
时，函数f x
在0, π
4
上单调递增，在
π
4 ,π
上单调递减，当x = π
4 时，函数f x
=
2sin x+ π
4
的最大值为
2；
由B 选项知函数f x
关于x = π 对称，又2π 为f x
的周期，f x
的值域为-1,
2
，故D 正确．
故选：ABD．
3
已知函数f x
= cosx ⋅sinx
，则下列结论中正确的个数是
(
)
①f x
是周期为π 的周期函数
②- π
4 , π
4
是函数f x
的一个单调递增区间
③若f x1
f x2
=- 1
4 ，x1≠x2，则x1-x2
的最小值为π
2
④f x
的对称中心为
π
2 +kπ,0
，k ∈Z
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
答案C
解
因为f x+π
= cos x+π
sin x+π
=-cosx sinx
=-f x
，所以周期不是π，①错误；
４８３
484
f
π
4
= cos π
4 ⋅sin π
4
=
2
2
×
2
2
= 1
2 ，f - π
4
= cos - π
4
⋅sin - π
4
=
2
2
×
2
2
= 1
2 ，
f - π
4
= f
π
4
，所以- π
4 , π
4
不是f x
的单调递增区间，②错误；
f x
=
1
2 sin2x,
sinx≥0
- 1
2 sin2x,
sinx<0
，
因为f x1
f x2
=- 1
4 ，设f x1
= 1
2 ，f x2
=- 1
2 ，
所以x1= π
4 + k1π，k1∈Z，x2=- π
4 + k2π，k2∈Z，
所以x1- x2= π
2 + k1-k2
π，k1- k2∈Z，
所以x1-x2
的最小值为π
2 ，③正确；
f x+2× π
2 +2kπ
= cos x+2× π
2 +2kπ
sin x+2× π
2 +2kπ
=-cosx sinx
=-f x
，④正确．
4
(多选题) 已知函数f x
= tan ωx- π
6
(ω > 0)，则下列说法正确的是
(
)
A. 若f x
的最小正周期是2π，则ω = 1
2
B. 当ω = 1 时，f x
的对称中心的坐标为kπ+ π
6 ，0
k∈Z
C. 当ω = 2 时，f - π
12
> f 2π
5
D. 若f x
在区间
π
3 ，π
上单调递增，则0 < ω ≤2
3
答案ACD
解【分析】对于A，利用函数周期公式求解即可；对于B，求出当ω = 1 时，函数的对称中心，即可判
定；对于C，ω = 2，求出f - π
12
，f 2π
5
，利用函数的单调性即可比较大小；对于D，求出函数
的单调递增区间，结合题中条件列出不等式组，解出结果，再结合周期范围及ω > 0，即可求出ω 的
范围．
【详解】对于A，当f x
的最小正周期是2π，
即T = π
ω = 2π，则ω = 1
2 ，故A 正确；
对于B，当ω = 1 时，f x
= tan x- π
6
，
所以令x - π
6 = kπ
2 ，k ∈Z，解得
x = π
6 + kπ
2 ，k ∈Z，所以函数的对称中心的坐标为
kπ
2 + π
6 ，0
k∈Z
，
故B 错误；
对于C，当ω = 2 时，f x
= tan 2x- π
6
，
f - π
12
= tan 2× - π
12
- π
6
= tan - π
3
= tan - 10π
30
，
f 2π
5
= tan 2× 2π
5 - π
6
= tan 19π
30 = tan - 11π
30
，
由于正切函数y = tanx 在- π
2 ,0
单调递增，
故f - π
12
> f 2π
5
，故C 正确；
对于D，令- π
2 + kπ < ωx - π
6 < π
2 + kπ，k ∈Z，
４８４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
485
得：- π
3ω + kπ
ω < x < 2π
3ω + kπ
ω ，k ∈Z，
所以函数的单调递增区间为- π
3ω + kπ
ω , 2π
3ω + kπ
ω
，k ∈Z，
又因为f x
在区间
π
3 ，π
上单调递增，
所以
- π
3ω + kπ
ω ≤π
3 ,
2π
3ω + kπ
ω ≥π,
k ∈Z，解得：-1 + 3k ≤ω ≤2
3 + k，k ∈Z，
另一方面，T = π
ω ≥π - π
3 = 2π
3 ，ω ≤3
2 ，
所以2
3 + k ≤3
2 ，k ≤5
6 ，
又因为ω > 0，所以k = 0，
故0 < ω ≤2
3 ，故D 正确．
5
(多选题) (2024·高一·江苏盐城·开学考试) 函数f(x) = 2sin ωx- 3π
4
(ω ∈N *) 在
π
6 , π
2
上单调递
增，下列命题正确的是
(
)
A. f(x) 在区间- 3π
8 ,0
上单调递减
B. f(x) 的图象有一个对称中心为
7π
8 ,0
C. x =- π
8 是f(x) 图象的一条对称轴
D. f(x) 在0, π
4
上的值域为[-2，- 2]
答案ABD
解
由x ∈
π
6 , π
2
，得ωx - 3π
4 ∈
π
6 ω- 3π
4 , π
2 ω- 3π
4
，而y = sinx 在- π
2 +2kπ, π
2 +2kπ
(k ∈
Z)，
则
π
6 ω- 3π
4 ≥- π
2 +2kπ
π
2 ω- 3π
4 ≤π
2 +2kπ
，k ∈Z，解得
ω≥3
2 +12k
ω≤5
2 +4k
，k ∈Z，
由
5
2 +4k>0
5
2 +4k≥3
2 +12k
，k ∈Z，解得- 5
8 < k ≤1
8 ，k ∈Z，则k = 0，3
2 ≤ω ≤5
2 ，
又ω ∈N *，因此ω = 2，f(x) = 2sin 2x- 3π
4
，
对于A，当x ∈- 3π
8 ,0
时，2x - 3π
4 ∈- 3π
2 ,- 3π
4
，而y = sinx 在- 3π
2 ,- π
2
上单调递减，
因此f(x) 在区间- 3π
8 ,0
上单调递减，A 正确；
对于B，f 7π
8
= 2sin 2× 7π
8 - 3π
4
= 0，则f(x) 的图象的一个对称中心为
7π
8 ,0
，B 正确；
对于C，f - π
8
= 2sin - π
4 - 3π
4
= 0 ≠±2，则x =- π
8 不是f(x) 图象的对称轴，C 错误；
对于D，当x ∈0, π
4
时，2x - 3π
4 ∈- 3π
4 ,- π
4
，sin 2x- 3π
4
∈-1,-
2
2
，
因此f(x) ∈[-2，- 2]，D 正确．
４８５
486
专题5 - 5 三角恒等变换及其应用
【题型
【题型1】和差公式及其逆用
】和差公式及其逆用
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1、两角和与差的正弦：
S α+β
：sin α+β
= sinαcosβ + cosαsinβ
S α-β
：sin α-β
= sinαcosβ - cosαsinβ
2、两角和与差的余弦：
C α+β
：cos α+β
= cosαcosβ - sinαsinβ
C α-β
：cos α-β
= cosαcosβ + sinαsinβ
3、两角和与差的正切：
T α+β
：tan α+β
= tanα+tanβ
1-tanαtanβ ．
T α-β
：tan α-β
= tanα-tanβ
1+tanαtanβ ．
要注意的是：
一、tanx±1
1∓tanx = tan(x ± 45°)
二、cosx-sinx
sinx+cosx = 1-tanx
1+tanx = tan(45° -x)
1
已知a = cos72°cos12° -sin108°cos102°，则a 的值为
(
)
A. 1
2
B. - 1
2
C.
3
2
D. -
3
2
答案A
解析
【分析】先由诱导公式化简，再由余弦两角和差公式即可求得．
【详解】a = cos72°cos12° -sin108°cos102°
= cos72°cos12° -sin72° (-sin12°)
= cos72°cos12° +sin72°sin12°
= cos(72° -12°) = cos60° = 1
2
2
1-tan100°
1-tan35°
的值为
(
)
A. - 1
B. 0
C. 1
D. 2
答案D
解析
【分析】根据正切的两角和公式变形可得．
【详解】因为tan135 = tan100°+tan35°
1-tan100°tan35° =-1，
４８６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
487
变形得-tan100° -tan35° +tan100°tan35° = 1，
所以1-tan100°
1-tan35°
= 1 - tan100° -tan35° +tan100°tan35° = 1 + 1 = 2．
3
tan125° +tan35° =
(
)
A. - tan20°
B. - 2tan20°
C. - tan10°
D. - 2tan10°
答案B
解析
【分析】利用诱导公式，结合切化弦，原式可化为- sin55°cos35°-cos55°sin35°
cos55°cos35°
，再利用二倍
角公式与两角差的正弦公式可得答案．
【详解】tan125° +tan35° =-tan55° +tan35° =- sin55°
cos55° + sin35°
cos35°
=- sin55°cos35°-cos55°sin35°
cos55°cos35°
=- sin 55°-35°
sin35°cos35° =- 2sin20°
sin70° =- 2sin20°
cos20° =-2tan20°．
1
sin20°cos10° -cos160°sin10° =
(
)
A. 1
2
B. - 1
2
C.
3
2
D. -
3
2
答案A
解【分析】根据给定条件，利用诱导公式及和角正弦公式的逆用求解即得．
【详解】sin20°cos10° -cos160°sin10° = sin20°cos10° +cos20°sin10°
= sin(20° +10°) = sin30° = 1
2 ．
2
已知sinθ =-
3
2 ，θ ∈- π
2 ,0
，则sin θ- π
6
等于
(
)
A. 1
2
B. - 2
3
C. - 1
2
D. - 1
答案D
解【分析】利用同角三角函数的基本关系求出cosθ 的值，再利用两角差的正弦公式可求得
sin θ- π
6
的值．
【详解】因为sinθ =-
3
2 ，θ ∈- π
2 ,0
，则cosθ =
1-sin2θ =
1- -
3
2
2
= 1
2 ，
sin θ- π
6
= sinθcos π
6 - cosθsin π
6 =-
3
2
×
3
2
- 1
2 × 1
2 =-1．
3
(2024·新课标Ⅰ卷·高考真题) 已知cos(α + β) = m , tanαtanβ = 2，则cos(α - β) =
(
)
A. - 3m
B. - m
3
C. m
3
D. 3m
答案A
解【分析】根据两角和的余弦可求cosαcosβ , sinαsinβ 的关系，结合tanαtanβ 的值可求前者，故可
求cos α-β
的值.
【详解】因为cos α+β
= m，所以cosαcosβ - sinαsinβ = m，
而tanαtanβ = 2，所以sinαsinβ = 2cosαcosβ，
故cosαcosβ - 2cosαcosβ = m 即cosαcosβ =-m，
从而sinαsinβ =-2m，故cos α-β
=-3m
４８７
488
4
已知α 为第二象限角，且终边与单位圆的交点的横坐标为- 4
5 ，则cos α- 5π
4
=
(
)
A. - 7 2
10
B. 7 2
10
C. -
2
10
D.
2
10
答案D
解【分析】由题意首先求出cosα，sinα，然后利用诱导公式、两角和差的余弦公式运算即可求解．
【详解】由题意，得cosα =- 4
5 ，sinα =
1- - 4
5
2
= 3
5 ，
所以cos α- 5π
4
= cos α+ 3π
4
= cosαcos 3π
4 - sinαsin 3π
4 = - 4
5
× -
2
2
- 3
5 ×
2
2
=
2
10 ．
5
tan200° +tan40° + 3tan -160°
tan40° =
(
)
A.
3
B. -
3
C. 1
D. - 1
答案A
解【分析】根据两角和的正切公式以及诱导公式求得正确答案．
【详解】tan200° = tan 180°+20°
= tan20°，
tan -160°
= tan -180°+20°
= tan20°，
tan60° = tan 20°+40°
=
tan20°+tan40°
1-tan20°⋅tan40° =
3，
所以tan20° +tan40° =
3 -
3tan20° ⋅tan40°，
所以tan200° +tan40° + 3tan -160°
tan40°
= tan20° +tan40° + 3tan20°tan40°
=
3 -
3tan20° ⋅tan40° + 3tan20° ⋅tan40° =
3．
6
若α + β = 3π
4 ，则(1 - tanα) (1 - tanβ) 的值为
(
)
A. 1
2
B. 1
C. 3
2
D. 2
答案D
解【分析】根据已知条件利用两角和的正切公式求解
【详解】因为α + β = 3π
4 ，所以tan(α + β) = tan 3π
4 ，
所以tanα+tanβ
1-tanαtanβ =-1，所以tanα + tanβ = tanαtanβ - 1，
所以(1 - tanα) (1 - tanβ)
= 1 - (tanα + tanβ) + tanαtanβ
= 1 - (tanαtanβ - 1) + tanαtanβ = 2
7
(2024·新课标Ⅱ卷·高考真题) 已知α 为第一象限角，β 为第三象限角，tanα + tanβ = 4，
tanαtanβ =
2 + 1，则sin(α + β) =
.
答案- 2 2
3
解【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tan α+β
=-2 2，再缩小α + β 的范围，最后结合
同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得tan α+β
= tanα+tanβ
1-tanαtanβ =
4
1-
2+1
=-2 2，
４８８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
489
因为α ∈2kπ,2kπ+ π
2
, β ∈2mπ+π,2mπ+ 3π
2
，k , m ∈Z，
则α + β ∈
2m+2k
π+π, 2m+2k
π+2π
，k , m ∈Z，
又因为tan α+β
=-2 2 < 0，
则α + β ∈
2m+2k
π+ 3π
2 , 2m+2k
π+2π
，k , m ∈Z，则sin α+β
< 0，
则sin α+β
cos α+β
=-2 2，联立sin2 α+β
+ cos2 α+β
= 1，解得sin α+β
=- 2 2
3
.
法二：因为α 为第一象限角，β 为第三象限角，则cosα > 0 , cosβ < 0,
cosα =
cosα
sin2α+cos2α
=
1
1+tan2α
，cosβ =
cosβ
sin2β+cos2β
=
-1
1+tan2β
，
则sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ = cosαcosβ(tanα + tanβ)
= 4cosαcosβ =
-4
1+tan2α
1+tan2β
=
-4
(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2 =
-4
42+2
=- 2 2
3
8
cos π
3 +θ
sin π
6 -θ
+ cos π
6 -θ
sin π
3 +θ
的值等于
(
)
A.
3
2
B. 1
C. 0
D. 1
2
答案B
解【分析】运用正弦函数两角和公式计算．
【详解】cos π
3 +θ
sin π
6 -θ
+ cos π
6 -θ
sin π
3 +θ
= sin π
3 +θ+ π
6 -θ
= sin π
2 = 1
【题型
【题型2】二倍角公式的简单应用
】二倍角公式的简单应用
二倍角公式
①sin2α = 2sinαcosα；
②cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α；
③tan2α =
2tanα
1-tan2α ；
1
已知角α 的终边过点1,-2
，则tan2α =
(
)
A. - 11
2
B. 4
3
C.
2
11
D. 11
2
答案B
解析
【分析】根据终边过点1,-2
，应用三角函数的定义，求出tanα，再应用二倍角公式即可．
【详解】因为角α 的终边过点(1 ,-2)，根据三角函数的定义，可得tanα = -2
1
=-2，
则tan2α =
2tanα
1-tan2α = 2× -2
1-(-2)2 = 4
3 ．
2
已知sinα = 2 2
3
，则cos2α 的值为
(
)
A. 1
9
B. 7
9
C. - 1
9
D. - 7
9
答案D
解析
【分析】利用二倍角的余弦公式代入计算即可得出结果．
４８９
490
【详解】根据二倍角的余弦公式可得：
cos2α = 1 - 2sin2α = 1 - 2 ×
2 2
3
2
= 1 - 16
9 =- 7
9 ．
1
已知cosθ =- 3
5 ，θ ∈0,π
，则tan2θ =
(
)
A. 24
7
B. 4
3
C. - 24
7
D. - 4
3
答案A
解【分析】根据cosθ =- 3
5 ，θ ∈0,π
的值即可求解tanθ，再代入二倍角公式即可求解．
【详解】因为cosθ =- 3
5 ，θ ∈0,π
所以θ ∈
π
2 ,π
，则tanθ < 0，
所以tanθ =-
1-cos2θ
cosθ
=- 4
3
代入二倍角公式tan2θ =
2tanθ
1-tan2θ = 24
7 ．
2
已知cos α- π
6
= 1
4 ，则cos 2α- π
3
=
(
)
A. 7
8
B. - 7
8
C. 3
4
D. - 1
2
答案B
解【分析】用二倍角公式即可求解．
【详解】cos 2α- π
3
= cos 2 α- π
6
= 2 cos α- π
6
2
- 1 =- 7
8 ，
3
已知角α 的终边过点-3,4
，则sin2α =
(
)
A. - 24
25
B. 24
25
C. - 7
24
D.
7
24
答案A
解【分析】利用三角函数的定义、同角三角函数的商数关系及二倍角公式计算即可
【详解】由题意知tanα =- 4
3 ，所以sin2α =
2sinαcosα
sin2α+cos2α =
2tanα
tan2α+1 =
- 8
3
16
9 +1
=- 24
25 ．
【题型
【题型3】二倍角公式与诱导公式结合
】二倍角公式与诱导公式结合(换元与凑角
换元与凑角)
若题目中出现了角的和差结构比如sin α±β
= t 这类条件，一般不拆括号，先尝试换元进行配凑，若能
凑出π
2 则用诱导公式，否则就用和差公式
1
若cos α+ π
6
= 3
5 ，则sin 2α+ 5π
6
=
(
)
A. - 7
25
B. - 12
25
C.
7
25
D. 12
25
答案A
解析
【分析】将5π
6 写成2α + π
3 + π
2 ，利用诱导公式，化为cos 2α+ π
3
，然后利用余弦函数的二
倍角公式可得出答案．
４９０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
491
【详解】sin 2α+ 5π
6
= sin 2α+ π
3 + π
2
= cos 2α+ π
3
= cos2 α+ π
6
= 2cos2 α+ π
6
- 1 = 2 ×
9
25 - 1 =- 7
25
2
已知sin x+ π
6
=- 1
3 ，则cos 2π
3 -2x
=
(
)
A. - 7
9
B. - 2
9
C. 2
9
D. 7
9
答案A
解析
【详解】因为sin x+ π
6
=- 1
3 ，所以
cos 2π
3 -2x
=-cos π- 2π
3 +2x
=-cos π
3 +2x
=- 1-2sin2 x+ π
6
=- 1-2 - 1
3
2
=- 7
9 ．
3
已知tan α+ π
6
= 1
2 ，tan
π
12 +β
= 1
3 ，则tan α-2β
=
答案- 2
11
解析
【详解】∵tan
π
12 +β
= 1
3 ，∴tan π
6 +2β
=
2tan
π
12 +β
1-tan2
π
12 +β
=
2
3
1- 1
9
= 3
4 ，
∴tan α-2β
= tan
α+ π
6
-
π
6 +2β
=
tan α+ π
6
-tan π
6 -2β
1+tan α+ π
6
tan π
6 -2β
=
1
2 - 3
4
1+ 1
2 × 3
4
=- 2
11 ．
1
已知sin
π
12 -x
=
3
4 ，则sin 2x+ π
3
=
(
)
A. - 5
8
B. 5
8
C. -
13
4
D.
13
4
答案B
解【分析】利用诱导公式和二倍角公式可求sin 2x+ π
3
的值．
【详解】sin 2x+ π
3
= sin 2x- π
6 + π
2
= cos 2x- π
6
= cos π
6 -2x
= 1 - 2sin2
π
12 -x
= 1 - 2 ×
3
4
2
= 5
8
2
已知cos 5π
12 + α
2
=
5
5 ，则cos π
6 -α
的值为
(
)
A. 1
3
B. - 1
3
C. 3
5
D. - 3
5
答案C
解【分析】应用诱导公式可得sin
π
12 - α
2
=
5
5 ，再由倍角余弦公式求cos π
6 -α
即可．
【详解】由cos 5π
12 + α
2
= cos π
2 -
π
12 - α
2
= sin
π
12 - α
2
=
5
5 ，
所以cos π
6 -α
= 1 - 2sin2
π
12 - α
2
= 1 - 2 × 1
5 = 3
5 ．
3
已知cos α+ π
6
= 1
3 ，则sin 2α- π
6
=
。
答案7
9
４９１
492
解
cos α+ π
6
= 1
3 ⇒cos 2α+ π
3
= 2cos2 α+ π
6
- 1 = 2
9 - 1 =- 7
9
∴cos 2α+ π
3
= cos
2α- π
6
+ π
2
=-sin 2α- π
6
=- 7
9 ∴sin 2α- π
6
= 7
9
4
已知α，β ∈0,π
，tan α+ π
3
=
2
2 ，cos β+ π
6
=
6
3 ，则cos 2α-β
=
(
)
A. - 5 3
9
B. -
3
3
C. 5 3
9
D.
3
3
答案D
解【详解】解：因为cos(2α - β) = cos 2 α+ π
3
- β+ π
6
- π
2
= sin 2 α+ π
3
- β+ π
6
= sin2 α+ π
3
cos β+ π
6
- cos2 α+ π
3
sin β+ π
6
．
sin 2 α+ π
3
= 2sin α+ π
3
cos α+ π
3
=
2sin α+ π
3
cos α+ π
3
sin2 α+ π
3
+cos2 α+ π
3
=
2tan α+ π
3
tan2 α+ π
3
+1
= 2 2
3
，
cos 2 α+ π
3
= cos2 α+ π
3
- sin2 α+ π
3
=
cos2 α+ π
3
-sin2 α+ π
3
cos2 α+ π
3
+sin2 α+ π
3
=
1-tan2 α+ π
3
tan2 α+ π
3
+1
= 1
3 ；
cos β+ π
6
=
6
3 ，β+ π
6
∈0, π
2
，所以sin β+ π
6
=
3
3 ，故cos(2α - β) =
3
3 ．
【题型
【题型4】二倍角与齐次式化简
】二倍角与齐次式化简
【二倍角公式变形】
完全平方式：1 ± sin2a = (sina ± cosa)2
平方差公式：cos2a = (cosa + sina) (cosa - sina)
对于二次结构：Asin2x + Bcos2x + Csinxcosx 可以通过出除“1”来化为齐次式
1
(2021·全国·统考高考真题) 若tanθ =-2，则sinθ 1+sin2θ
sinθ+cosθ
=
(
)
A. - 6
5
B. - 2
5
C. 2
5
D. 6
5
答案C
解析
【详解】将式子进行齐次化处理得：
sinθ 1+sin2θ
sinθ+cosθ
= sinθ sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ
sinθ+cosθ
= sinθ sinθ+cosθ
= sinθ sinθ+cosθ
sin2θ+cos2θ
=
tan2θ+tanθ
1+tan2θ
= 4-2
1+4 = 2
5 ．
2
已知角θ 的大小如图所示，则1+sin2θ
cos2θ
=
(
)
４９２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
493
A. - 5
3
B. 5
3
C. - 4
D. 4
答案C
解析
【分析】根据三角函数的定义可得tan θ+ π
4
=-4，进而又和差角公式得tanθ = 5
3 ，又二倍
角和齐次式即可求解．
【详解】由图可知tan θ+ π
4
=-4，
所以tanθ =
tan θ+ π
4
-tan π
4
1+tan θ+ π
4
tan π
4
= 5
3 ，
则1+sin2θ
cos2θ
=
sinθ+cosθ
2
cosθ+sinθ
cosθ-sinθ
= sinθ+cosθ
cosθ-sinθ = tanθ+1
1-tanθ =-4
1
(2021·全国·统考高考真题) 若α ∈0, π
2
，tan2α =
cosα
2-sinα ，则tanα =
(
)
A.
15
15
B.
5
5
C.
5
3
D.
15
3
答案A
解【分析】由二倍角公式可得tan2α = sin2α
cos2α = 2sinαcosα
1-2sin2α ，再结合已知可求得sinα = 1
4 ，利用同角
三角函数的基本关系即可求解．
【详解】∵tan2α =
cosα
2-sinα
∴tan2α = sin2α
cos2α = 2sinαcosα
1-2sin2α =
cosα
2-sinα ，
∵α ∈0, π
2
，∴cosα ≠0，∴
2sinα
1-2sin2α =
1
2-sinα ，解得sinα = 1
4 ，
∴cosα =
1-sin2α =
15
4
，∴tanα = sinα
cosα =
15
15 ．
2
若θ ∈0, π
2
，
sinθ
2cos2θ = sinθ-cosθ
1-sin2θ
，则tanθ =
．
答案2
解【详解】由
sinθ
2cos2θ = sinθ-cosθ
1-sin2θ
，得
sinθ
2cos2θ =
sinθ-cosθ
(sinθ-cosθ)2 =
1
sinθ-cosθ ，
所以sin2θ - sinθcosθ - 2cos2θ = 0，即tan2θ - tanθ - 2 = 0，解得：tanθ = 2 或tanθ =-1，
因为θ ∈0, π
2
，所以tanθ > 0，则tanθ = 2
3
已知sinθ =-2cosθ，则sinθ(1+sin2θ)
sinθ+cosθ
=
(
)
A. - 6
5
B. - 2
5
C. 2
5
D. 6
5
答案C
解【解答】解：因为sinθ =-2cosθ，
所以tanθ =-2，
所以sinθ(1+sin2θ)
sinθ+cosθ
= sinθ(sinθ+cosθ)2
sinθ+cosθ
= sin θ ( sin θ + cos θ ) = sin2θ+sinθcosθ
sin2θ+cos2θ
=
tan2θ+tanθ
tan2θ+1
= 4-2
4+1 = 2
5 【巩固练习4】已知角α 满足2sin α- π
3
= tan π
12 cosα，则sin2α +
４９３
494
2cos2α 的值为()
A．4
5
B．6
5
C．7
5
D．8
5
答案B
解【分析】根据三角恒等变换可得tanα = 2，然后利用二倍角公式结合齐次式即得．
【详解】因为2sin α- π
3
= tan π
12 cosα，
所以sinα -
3cosα = tan π
3 - π
4
cosα =
3-1
1+
3 ⋅cosα = 2-
3
cosα，
所以sinα = 2cosα，即tanα = 2，
所以sin2α + 2cos2α = 2sinαcosα+2cos2α
sin2α+cos2α
= 2tanα+2
tan2α+1 = 2×2+2
22+1
= 6
5 ．
4
我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全
等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，记直角三角形中较大的锐角为α，大正方形的
边长为a，小正方形的边长为b，若sinα 1-sin2α
sinα-cosα
= 2
5 ，则b
a =
(
)
A.
5
5
B. 2 5
5
C. 1
2
D. 2
3
答案A
解【分析】先根据三角恒等变换化简sinα 1-sin2α
sinα-cosα
= tan2α-tanα
1+tan2α
，可得tanα = 2，进而结合同角
三角函数关系可得cosα =
5
5 ，sinα = 2 5
5
，结合题意可得b = asinα - acosα，进而求解即可．
【详解】由题意可得sinα 1-sin2α
sinα-cosα
= sinα sin2α+cos2α-2sinαcosα
sinα-cosα
= sinα(sinα-cosα)2
sinα-cosα
= sinα sinα-cosα
= sin2α-sinαcosα
sin2α+cos2α
= tan2α-tanα
1+tan2α
= 2
5 ，
得tanα = 2 或- 1
3 (舍去)，
因为α 是直角三角形中较大的锐角，所以π
4 < α < π
2 ，
所以cosα =
cos2α =
cos2α
sin2α+cos2α =
1
1+tan2α
=
5
5 ，
所以sinα = tanα ⋅cosα = 2 5
5
，
又直角三角形的直角边分别为asinα，acosα，则b = asinα - acosα，
所以b
a = sinα - cosα = 2 5
5
-
5
5
=
5
5 ．
【题型
【题型5】给值求值
】给值求值(角) 问题
问题(不拆括号
不拆括号)
给角求值与给值求值拆凑角常见的配角技巧：①α = 2 ⋅α
2 ；α = (α + β) - β；②α = β - (β - α)；
４９４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
495
③α = 1
2 [(α + β) + (α - β)]；④β = 1
2 [(α + β) - (α - β)]；⑤π
4 + α = π
2 -
π
4 -α
．⑥2α = α+β
+
α-β
，α = α+β
- β
1
已知sin π
3 -x
= 1
3 ，且0 < x < π
2 ，则sinx =
答案2 6-1
6
解析
【详解】sinx = sin π
3 -
π
3 -x
= sin π
3 cos π
3 -x
- cos π
3 sin π
3 -x
=
3
2
× 2 2
3
- 1
2
× 1
3 = 2 6-1
6
2
已知α，β 均是锐角，已知sinα = 4
5 ，cos(α + β) = 5
13 ，则sinβ =
(
)
A. - 56
65
B. 56
65
C. - 16
65
D. 16
65
答案D
解析
【分析】
先求得cosα，sin α+β
，利用两角差的正弦公式求得正确答案．
【详解】因为α，β 均是锐角，0 < α + β < π，
则cosα = 3
5 ，sin(α + β) = 12
13 ，又β = (α + β) - α，
所以sinβ = sin[(α + β) - α] = sin(α + β)cosα - cos(α + β)sinα
= 12
13 × 3
5 - 5
13 × 4
5 = 16
65 ．
3
已知cos(α - β) = 1
3 ，sinαsinβ =- 1
12 ，则cos2α - sin2β =
答案1
6
解析
【分析】由cos(α - β) = 1
3 ，sin αsin β =- 1
12 ，可得cos(α + β) = 1
2 ，由cos2α - sin2β =
1
2
cos2α+cos2β
= cos(α + β)cos(α - β)，求值即可．
【详解】cos(α + β) = cos(α - β) - 2sinαsinβ = 1
2 ，
cos2α - sin2β = 1+cos2α
2
- 1-cos2β
2
= 1
2
cos2α+cos2β
，
法一：
cos2α = cos
α+β
+ α-β
= cos α+β
cos α-β
- sin α+β
sin α-β
，
cos2β = cos
α+β
- α-β
= cos α+β
cos α-β
+ sin α+β
sin α-β
，
则1
2
cos2α+cos2β
= cos(α + β)cos(α - β) = 1
6 ，
所以cos2α - sin2β = 1
6 ．
法二：换元法
令α + β = x，α - β = y，则2α = x + y，2β = x - y，
即cosx = 1
2 ，cosy = 1
3 ，
故1
2
cos2α-cos2β
= 1
2 cos x+y
-cos x-y
= cosxcosy = 1
6 ，所以cos2α - sin2β = 1
6 ．
1
已知角α，β 均在0,π
内，cosα = 1
7 ，sin α+β
= 5 3
14 ，则角β 的值为
(
)
４９５
496
A. π
6
B. π
4
C. π
3
D. 5π
12
答案C
解【分析】根据题意，由同角的平方关系可得cos α+β
，再由余弦的和差角公式，即可得到结果．
【详解】因为α，β ∈0,π
，且cosα = 1
7 ，所以sinα =
1-cos2α = 4 3
7
，
因为sin α+β
= 5 3
14 ，所以sinα > sin α+β
，所以α+β
为钝角，
所以cos α+β
=- 1-cos2 α+β
=- 11
14 ，
则cosβ = cos
α+β
-α
= cos α+β
cosα + sin α+β
sinα =
- 11
14 × 1
7 + 5 3
14
× 4 3
7
= 1
2 ，且β ∈0,π
，则β = π
3
2
设α 为锐角，若cos α+ π
12
= 3
5 ，则sin
π
4 -α
=
(
)
A. 3 3+4
10
B. 3-4 3
10
C. 3 3-4
10
D. 3+4 3
10
答案C
解【解答】解：因为α 为锐角，所以α + π
12 ∈
π
12 ，7π
12
，
又cos α+ π
12
= 3
5 ，所以sin α+ π
12
= 4
5 ，
所以sin
π
4 -α
= sin π
3 - α+ π
12
= sin π
3 cos α+ π
12
- cos π
3 sin α+ π
12
=
3
2
× 3
5 - 1
2 ×
4
5 = 3 3-4
10
．
3
已知π
4 < α < 3π
4 ，0 < β < π
4 ，sin α- π
4
= 2 2
3
，cos α+β
=- 3
5 ．
(1) 求sin α+ 5π
4
的值；(2) 求cos β+ π
4
的值．
答案(1) - 1
3
(2) 8 2-3
15
解【分析】(1) 首先根据π
4 < α < 3π
4 确定α - π
4 的取值范围，再由同角三角函数的平方关系及诱导
公式即可求得sin α+ 5π
4
的值；
(2) 由题意求得sin α+β
，再利用凑角β + π
4 = α+β
- α- π
4
即可求得cos β+ π
4
的值．
【详解】(1) ∵π
4 < α < 3π
4 ，∴α - π
4 ∈0, π
2
，
又cos2 α- π
4
+ sin2 α- π
4
= 1，sin α- π
4
= 2 2
3
，
∴cos α- π
4
= 1
3 ，
∴sin α+ 5π
4
= sin π+ α+ π
4
=-sin α+ π
4
=-sin
α- π
4
+ π
2
=-cos α- π
4
=- 1
3 ．
(2) ∵π
4 < α < 3π
4 ，0 < β < π
4 ，
４９６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
497
∴α + β ∈
π
4 ,π
，sin2 α+β
+ cos2 α+β
= 1，cos α+β
=- 3
5 ，
∴sin α+β
= 4
5 ，
∴cos β+ π
4
= cos
α+β
- α- π
4
= cos α+β
cos α- π
4
+ sin α+β
sin α- π
4
=- 3
5 × 1
3 + 4
5 × 2 2
3
= 8 2-3
15
．
4
若cos(α + β) =- 11
14 ，cosαcosβ = 1
14 ，则cos(2α - 2β) =
(
)
A. 6
7
B. 13
14
C. 71
98
D. - 7
9
答案C
解【分析】利用两角和(差) 的余弦公式求出cos(α - β)，再由二倍角公式计算可得．
【详解】因为cosαcosβ = 1
14 ，cos(α + β) =- 11
14 ，
所以cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ =- 11
14 ，
所以sinαsinβ = 6
7 ，所以cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ = 13
14 ，
所以cos(2α - 2β) = cos2(α - β)
= 2cos2(α - β) - 1
= 2 ×
13
14
2
- 1 = 71
98 ．
【题型
【题型6】辅助角公式及其应用
】辅助角公式及其应用
一、对于形如asinx + bcosx 的式子，可变形如下：
asinx + bcosx =
a2+b2 sinx⋅
a
a2+b2 +cosx⋅
b
a2+b2
令cosϕ =
a
a2+b2 ，sinϕ =
b
a2+b2 ，
则asinx + bcosx =
a2+b2 sinxcosϕ+cosxsinϕ
=
a2+b2sin(x + ϕ)
其中ϕ 角所在象限由a，b 的符号确定，φ 与a,b
在同一象限，ϕ 角的值由tanϕ = b
a 确定
二、辅助角公式的应用：研究三角函数的性质时往往需要先通过辅助角公式把解析式化成Asin ωx+φ
的形式
1
当x ∈- π
2 , π
2
时，函数f x
= sinx +
3cosx 的
(
)
A. 最大值为1，最小值为-1
B. 最大值为1，最小值为- 1
2
C. 最大值为2，最小值为-2
D. 最大值为2，最小值为-1
答案D
解析
【分析】先根据辅助角公式化简f x
，然后采用整体替换的方法结合正弦函数的单调性求解出
最大值和最小值．
４９７
498
【详解】∵f x
= 2 ×
1
2 sinx+
3
2 cosx
= 2 sinxcos π
3 +cosxsin π
3
= 2sin x+ π
3
，
由于- π
2 ≤x ≤π
2 ，∴- π
6 ≤x + π
3 ≤5π
6 ，
当x + π
3 = π
2 时，函数y = f x
取得最大值，即f x
max = 2sin π
2 = 2，
当x + π
3 =- π
6 时，函数y = f x
取得最小值，即f x
min = 2sin - π
6
= 2 × - 1
2
=-1
2
已知函数f x
=-4sinx + 3cosx 在x0处取到最大值，则sin x0- π
3
的值为
(
)
A. - 2
5 - 3 3
10
B. 2
5 - 3 3
10
C. - 2
5 + 3 3
10
D. 2
5 + 3 3
10
答案A
解析
【分析】运用辅助角公式或逆用两角差的正弦公式化简f x
后求出x0，再代入sin x0- π
3
运
用两角差的正弦公式即可求解．
【详解】因为f x
=-4sinx + 3cosx =-5 4
5 sinx- 3
5 cosx
=-5sin x-φ
，
其中sinφ = 3
5 ，cosφ = 4
5 ，又f x
在x0处取到最大值，
所以x0- φ =- π
2 + 2kπ(k ∈Z)，即x0= φ - π
2 + 2kπ(k ∈Z)，
则sinx0=-cosφ =- 4
5 ，cosx0= sinφ = 3
5 ，
所以sin x0- π
3
= 1
2 sinx0-
3
2 cosx0=- 2
5 - 3 3
10
3
函数f x
=
3sin2x - 2cos2x 在区间0, π
2
上的最大值为
(
)
A. 1
2
B.
3 - 1
C. 1
D.
3
答案C
解析
【分析】确定f x
= 2sin 2x- π
6
- 1，2x - π
6 ∈- π
6 , 5π
6
，得到最值．
【详解】f x
=
3sin2x - 2cos2x =
3sin2x - cos2x - 1 = 2sin 2x- π
6
- 1
1
当函数y = sinx -
3cosx(0 ≤x < 2π) 取得最大值时，x =
．
答案
解【详解】试题分析：y = sinx -
3cosx = 2sin x- π
3
，所以当x - π
3 = π
2 + 2kπ 时函数取得最大
值，此时x = 5π
6
考点：三角函数最值
2
已知cosα +
3sinα = 8
5 ，则cos α- π
3
=
．
答案4
5 /0.8
解【分析】根据辅助角公式和两角差的余弦公式求解即可．
【详解】因为cosα +
3 sinα = 2 1
2 cosα+
3
2 sinα
= 2 cos π
3 cosα+sin π
3 sinα
= 2cos α- π
3
=
４９８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
499
8
5 ，
所以cos α- π
3
= 4
5 ．
3
若α ∈0,π
，且
3cosα - sinα = 8
5 ，则sin 2α+ π
12
的值为
(
)
A. - 31 2
50
B. 31 2
50
C. - 17 2
50
D. 17 2
50
答案D
解【分析】利用辅助角公式得到cos α+ π
6
，从而求出sin α+ π
6
，再由二倍角公式求出
sin 2α+ π
3
、cos 2α+ π
3
，再由sin 2α+ π
12
= sin
2α+ π
3
- π
4
计算可得．
【详解】因为
3cosα - sinα = 8
5 ，所以2
3
2 cosα- 1
2 sinα
= 8
5 ，
所以cos α+ π
6
= 4
5 ，
因为α ∈0,π
，所以π
6 < α + π
6 < 7π
6 ，所以sin α+ π
6
= 3
5 ，
所以sin 2α+ π
3
= 2sin α+ π
6
cos α+ π
6
= 24
25 ，
cos 2α+ π
3
= 2cos2 α+ π
6
- 1 = 7
25 ．
所以sin 2α+ π
12
= sin
2α+ π
3
- π
4
= sin 2α+ π
3
cos π
4 - cos 2α+ π
3
sin π
4 = 24
25 ×
2
2
- 7
25 ×
2
2
= 17 2
50
．
4
(高一上·湖北孝感·期末) 已知函数f x
= 2cosxsin x- π
3
+
3
2 ，求函数f(x) 在区间0, π
2
上
的单增区间为
．
答案
0, 5π
12
解【分析】利用两角差的正弦公式以及正余弦的二倍角公式恒等变换，再利用正弦函数的单调性求出
x ∈0, π
2
上的单调递增区间．
【详解】f(x) = 2cosxsin x- π
3
+
3
2
= 2cosx sinxcos π
3 -cosxsin π
3
+
3
2
= sinxcosx -
3cos2x +
3
2
= 1
2 sin2x -
3 ⋅1+cos2x
2
+
3
2
= sin 2x- π
3
，
令2kπ - π
2 ≤2x - π
3 ≤2kπ + π
2 ，k ∈Z，求得kπ - π
12 ≤x ≤kπ + 5π
12 ，k ∈Z，
可得函数的增区间为kπ- π
12 ,kπ+ 5π
12
，k ∈Z，
再根据x ∈0, π
2
，可得函数f(x) 在区间x ∈0, π
2
上的单增区间为0, 5π
12
5
若1+2 3sinθcosθ+cos2θ
sin θ+ 3π
2
= 1
2 ，则sin 2θ- π
6
=
．
答案- 31
32
解【分析】利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得sin θ+ π
6
=- 1
8 ，然后由2θ - π
6 =
2 θ+ π
6
- π
2 可解．
４９９
500
【详解】因为1+2 3sinθcosθ+cos2θ
sin θ+ 3π
2
= 2 3sinθcosθ+2cos2θ
-cosθ
=-2 3sinθ - 2cosθ =-4sin θ+ π
6
= 1
2 ，
所以sin θ+ π
6
=- 1
8 ，
所以sin 2θ- π
6
= sin 2 θ+ π
6
- π
2
=-cos2 θ+ π
6
=-1 + 2sin2 θ+ π
6
=- 31
32 ．
6
化简：
3
cos10° -
1
sin10°
⋅
cos15°+sin15°
cos15°-sin15°
．
答案-4 3
解【分析】根据条件，利用辅助角公式、平方关系及正弦和余弦倍角公式，即可求出结果．
【详解】原式=
3sin10°-cos10°
cos10°sin10°
⋅
(cos15°+sin15°)2
(cos15°-sin15°)(cos15°+sin15°) = 2sin(10°-30°)
1
2 sin20°
⋅1+sin30°
cos30°
=
-4 ×
3
2
3
2
=-4 3
7
已知函数f x
= 2 3 sinωxcosωx + 2cos2ωx 的定义域为0, π
2
，在定义域内存在唯一x0，使得
f(x0) = 3，则ω 的取值范围为
(
)
A.
1
6 , 13
6
B.
1
6 , 13
6
C.
1
3 , 7
3
D.
1
3 , 7
3
答案D
解【分析】先将函数化为一角一函数f x
= 2sin 2ωx+ π
6
+ 1，再将函数在定义域内存在唯一x0，使
得f(x0) = 3 转化成sint = 1 在t ∈
π
6 ,ωπ+ π
6
上有唯一解，接着结合正弦函数图像性质即可求解．
【详解】由题意f x
=
3sin2ωx + cos2ωx + 1 = 2sin 2ωx+ π
6
+ 1，x ∈0, π
2
，
在定义域内存在唯一x0，使得f(x0) = 3，
所以sin 2ωx+ π
6
= 1 在x ∈0, π
2
上有唯一解，令t = ωx + π
6 ∈
π
6 ,ωπ+ π
6
，
所以sint = 1 在t ∈
π
6 ,ωπ+ π
6
上有唯一解，
则由正弦函数图像性质可知π
2 ≤ωπ + π
6 < 5π
2 ，⇒1
3 ≤ω < 7
3
【题型
【题型7】和差公式与二倍角公式结合
】和差公式与二倍角公式结合
sin α+β
与sin α-β
相加减可以得到sinαcosβ 与cosαsinβ 有关的式子
所以以上4 个式子知二求二，而二倍角公式则可以通过配凑得出2α = α+β
+ α-β
，2β = α+β
-
α-β
1
(2025·全国二卷·高考真题) 已知0 < α < π，cos α
2 =
5
5 ，则sin α- π
4
=
(
)
５００
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
501
A.
2
10
B.
2
5
C. 3 2
10
D. 7 2
10
答案D
解析
【分析】利用二倍角余弦公式得cosα =- 3
5 ，则sinα = 4
5 ，最后再根据两角差的正弦公式即可
得到答案.
【详解】cosα = 2cos2 α
2 - 1 = 2 ×
5
5
2
- 1 =- 3
5 ，
因为0 < α < π，则π
2 < α < π，则sinα =
1-cos2α =
1- - 3
5
2
= 4
5 ，
则sin α- π
4
= sinαcos π
4 - cosαsin π
4 = 4
5 ×
2
2
- - 3
5
×
2
2
= 7 2
10 .
2
(2023·新高考I 卷T8) 已知sin α-β
= 1
3 ，cosαsinβ = 1
6 ，则cos 2α+2β
= ()．
A. 7
9
B. 1
9
C. - 1
9
D. - 7
9
答案B
解析
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(α + β)，再利用二倍角的余弦公式
计算作答．
【详解】因为sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ = 1
3 ，而cosαsinβ = 1
6 ，因此sinαcosβ = 1
2 ，
则sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ = 2
3 ，
所以cos(2α + 2β) = cos2(α + β) = 1 - 2sin2(α + β) = 1 - 2 ×
2
3
2
= 1
9 ．
3
已知α，β 均为锐角，tanα + tanβ = 2sin α+β
，且cos α+β
= 1
3 ，则cos2 α-β
=
．
答案- 1
9
解析
【分析】化切为弦，然后逆用两角和正弦公式，求得cosαcosβ = 1
2 ，再利用两角和与差的余弦
公式求得cos α-β
= 2
3 ，根据二倍角公式即可得结果．
【详解】2sin α+β
= tanα + tanβ = sinαcosβ+sinβcosα
cosαcosβ
= sin α+β
cosαcosβ ，
因为cos α+β
= 1
3 ，则sin α+β
≠0，因此cosαcosβ = 1
2 ，
而cos α+β
= cosαcosβ - sinαsinβ = 1
3 ，从而sinαsinβ = 1
2 - 1
3 = 1
6 ，
因此cos α-β
= cosαcosβ + sinαsinβ = 1
2 + 1
6 = 2
3 ，
则cos2 α-β
= 2cos2 α-β
- 1 =- 1
9 ．
1
(2024 届·广东佛山·统考) 已知tan α+β
= 2 tanα+tanβ
，且tanα + tanβ ≠0，cos α-β
=
3
5 ，则cos 2α+2β
=
(
)
A. - 7
25
B.
7
25
C. - 23
25
D. 23
25
答案C
解【分析】由两角和正切公式及条件求得tanαtanβ = 1
2 ，然后化切为弦，结合两角差的余弦公式求
５０１
502
得
sinαsinβ= 1
5
cosαcosβ= 2
5
，从而利用两角和余弦公式得cos α+β
= 1
5 ，从而利用二倍角公式可求解．
【详解】由题意可得tan α+β
= tanα+tanβ
1-tanαtanβ = 2 tanα+tanβ
，因为tanα + tanβ ≠0，所以
tanαtanβ = 1
2 ，
由
tanαtanβ= sinαsinβ
cosαcosβ = 1
2
cos α-β
=cosαcosβ+sinαsinβ= 3
5
，得
sinαsinβ= 1
5
cosαcosβ= 2
5
，
故cos α+β
= cosαcosβ - sinαsinβ = 1
5 ，所以cos 2α+2β
= cos 2 α+β
= 2cos2 α+β
- 1 =
- 23
25 ．
2
已知α，β ∈- π
4 , π
4
，cos 2α+2β
=- 7
9 ，sinαsinβ = 1
4 ，则cos α-β
=
(
)
A. - 1
6
B. 1
6
C. 1
3
D. 5
6
答案D
解【分析】利用二倍角余弦公式可求得cos α+β
，利用两角和差余弦公式可依次求得cosαcosβ 和
cos α-β
．
【详解】∵cos 2α+2β
= 2cos2 α+β
- 1 =- 7
9 ，∴cos2 α-β
= 1
9 ，
∵α，β ∈- π
4 , π
4
，∴α + β ∈- π
2 , π
2
，∴cos α+β
> 0，则cos α+β
= 1
3 ，
∴cos α+β
= cosαcosβ - sinαsinβ = cosαcosβ - 1
4 = 1
3 ，∴cosαcosβ = 7
12 ，
∴cos α-β
= cosαcosβ + sinαsinβ = 7
12 + 1
4 = 5
6 ．
3
若tan 2α- π
3
= sinβ-cosβ
sinβ+cosβ ，则1 - 2cos2 2α-β
=
(
)
A. 1
2
B. - 1
2
C.
3
2
D. -
3
2
答案D
解【详解】由tan 2α- π
3
= sinβ-cosβ
sinβ+cosβ = tanβ-1
tanβ+1 =
tanβ-tan π
4
1+tanβtan π
4
= tan β- π
4
，
所以2α - π
3 = β - π
4 + kπ，即2α = β + π
12 + kπ，k ∈Z，
1 - 2cos2 2α-β
=-cos2 2α-β
=-cos2 β+ π
12 +kπ-β
=-cos2
π
12 +kπ
=-cos π
6 +2kπ
=-cos π
6 =-
3
2
4
(重庆巴蜀中学适应性月考) (多选) 已知0 < α < π < β < 3
2 π，cos2α =- 3
5 ，cos(α + β) =-
2
10 ，
则
(
)
A. tanα =-2
B. sin(α + β) =- 7 2
10
C. β - α = 3π
4
D. cosαcosβ =-
2
5
５０２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
503
答案BC
解【分析】根据cos2α =- 3
5 ，判断α 的范围，再根据cos2α，求出tanα，再由cos(α + β) =-
2
10 ，求
出sin(α + β)，tan(β - α)，cos(β - α)，从而得出答案．
【详解】因为0 < α < π，所以0 < 2α < 2π，
又cos2α =- 3
5 < 0，所以π
2 < 2α < 3π
2 ，π
4 < α < 3π
4 ，由cos2α =- 3
5 ，得tanα =±2．
对于A 选项，若tanα =-2，则π
2 < α < 3π
4 ，又π < β < 3π
2 ，所以3π
2 < α + β < 9π
4 ，
而cos(α + β) =-
2
10 < 0 矛盾，所以tanα ≠-2．故A 错误；
对于B 选项，根据A 选项知，tanα = 2，则π
4 < α < π
2 ，又π < β < 3π
2 ，
所以5π
4 < α + β < 2π，而cos(α + β) =-
2
10 < 0，所以5π
4 < α + β < 3π
2 ，
这样sin(α + β) =- 7 2
10 ，故B 正确；
对于C 选项，根据A 选项知，tanα = 2，
再根据B 选项中sin(α + β) =- 7 2
10 ，cos(α + β) =-
2
10 ，
知tan(α + β) = 7，从而tanβ = tan(α + β - α) = tan(α+β)-tanα
1+tan(α+β)tanα = 1
3 ，
则tan(β - α) = tanβ-tanα
1+tanβtanα =-1，
又π < β < 3π
2 ，- π
2 <-α <- π
4 ，π
2 < β - α < 5π
4 ，
所以β - α = 3π
4 ，故C 正确；
对于D 选项，根据C 选项知β - α = 3π
4 ，
所以cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ =-
2
10 ，cos(β - α) = cosβcosα + sinαsinβ =-
2
2 ，
又cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ =-
2
10 ，
得cosαcosβ =- 3 2
10 ，故D 错误
【题型
【题型8】三角形中的恒等变换
】三角形中的恒等变换
因为三角形内角和为180°，所以提供了诱导公式变形的条件
A，B，C 为△ABC 的三个内角，则有
①sinAcosB + cosAsinB = sin A+B
= sin π-C
= sinC =，
②cos A+B
= cos π-C
=-cosC，
③若C ≠π
2 ，则tan A+B
= tan π-C
=-tanC
④正切恒等式tanAtanBtanC = tanA + tanB + tanC
由③可知：：tanA+tanB
1-tanAtanB =-tanC，
去分母得tanA + tanB =-tanC + tanAtanBtanC
５０３
504
移项得tanAtanBtanC = tanA + tanB + tanC
⑤在△ABC，sinA > sinB 与A > B 是等价的，结合图像可以得出这个结论
1
在△ABC 中，下列等式错误的是
(
)
A. sin2B - sin2A = sinB+sinA
sinB-sinA
B. sin2B - sin2A = sin B+A
sin B-A
C. tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC
D. sin A
2 = sin B+C
2
答案D
解析
【分析】对A：由平方差公式分析判断；对B、C、D：根据三角恒等变换结合三角形中角的
关系分析判断．
【详解】对于选项A：由平方差公式可知sin2B - sin2A = sinB+sinA
sinB-sinA
，故A 正确；
对于选项B：sin2B - sin2A = 1-cos2B
2
- 1-cos2A
2
= cos2A-cos2B
2
= cos
A+B
+ A-B
-cos
A+B
- A-B
2
=-sin A+B
sin A-B
= sin B+A
sin B-A
，故B 正确；
对于选项C：因为tan A+B
= tanA+tanB
1-tanAtanB =-tanC，
即tanA + tanB =-tanC + tanAtanBtanC，
所以tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC，故C 正确；
对于选项D：因为A
2 + B+C
2
= π
2 ，则A
2 = π
2 - B+C
2
所以sin A
2 = sin π
2 - B+C
2
= cos B+C
2
，故D 错误
2
在△ABC 中，若sinAsinB = 1
2
1+cosC
，则△ABC 是
(
)
A. 等边三角形
B. 等腰直角三角形
C. 等腰三角形
D. 直角三角形
答案C
解析
【分析】根据两角和与差的余弦公式可得sinAsinB =- 1
2 cos A+B
-cos A-B
，再结合诱
导公式化简计算得出结果．
【详解】因为cos A+B
= cosAcosB - sinAsinB
cos A-B
= cosAcosB + sinAsinB
所以sinAsinB =- 1
2 cos A+B
-cos A-B
，
因为sinAsinB = 1
2
1+cosC
则- 1
2 cos A+B
-cos A-B
= 1
2
1+cosC
又A + B = π - C，
所以cosC =-cos A+B
，
所以- 1
2 cos A+B
-cos A-B
= 1
2 1-cos A+B
所以cos A-B
= 1．
又A，B 为△ABC 的内角，所以A - B = 0．
５０４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
505
所以A = B，故△ABC 为等腰三角形．
1
若在△ABC 中，sinBsinC = cos2 A
2 ，则△ABC 的形状为
(
)
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰直角三角形
答案C
解【分析】由降幂公式，内角和性质，恒等变换化简已知等式即可．
【详解】因为sinBsinC = cos2 A
2 ，
所以sinBsinC = 1+cosA
2
⇒2sinBsinC = 1 + cosA，
又A = π - B+C
，
所以cosA = cos π- B+C
=-cos B+C
= sinBsinC - cosBcosC，
所以2sinBsinC = 1 + sinBsinC - cosBcosC ⇒sinBsinC + cosBcosC = 1，
即cos B-C
= 1，
又0 < B < π，0 < C < π，
所以-π < B - C < π，
所以B = C，即△ABC 的形状为等腰三角形
2
(高一上·湖北武汉·期末) 在△ABC 中，A，B，C 为它的三个内角，且满足3sinA + 4cosB = 6，
3cosA + 4sinB = 1，则C =
．
答案π
6
解【分析】将题目中的两个式子平方后相加，可得sin(A + B) = 1
2 ，再利用诱导公式和三角函数单调
性即可求得结果．
【详解】由题意可知，将3sinA+4cosB=6
3cosA+4sinB=1
两边同时平方得
9sin2A+16cos2B+24sinAcosB=36
9cos2A+16sin2B+24cosAsinB=1
将两式相加得
24(sinAcosB + cosAsinB) = 12，即sin(A + B) = 1
2 ，所以sinC = 1
2
可得C = π
6 或C = 5π
6 ；
又因为1 - 3cosA = 4sinB > 0，得cosA < 1
3 < 1
2 ，
由余弦函数单调性可得A > π
3 ，所以C = 5π
6 不合题意；
因此C = π
6 ．
3
在△ABC 中，∠ACB = 2π
3 ，AB 边上的高CD = 1，AD = x，DB = y，则x + y 的最小值为
．
答案2 3
５０５
506
解【分析】根据几何关系得AB = x + y =
1
tanA +
1
tanB =
3
2
1
2 sin 2A+ π
6
- 1
4
，利用0 < A < π
3 即
可求出其最小值．
【详解】∵∠ACB = 2π
3 ，∴A + B = π
3 ，∴B = π
3 - A，0 < A < π
3 ，
AB = x + y =
1
tanA
+
1
tanB
=
cosA
sinA
+
cosB
sinB
=
sin(A+B)
sinAsinB
=
3
2
sinAsin π
3 -A
=
3
2
sinA
3
2 cosA- 1
2 sinA
=
3
2
3
4 sin2A+ 1
4 cos2A- 1
4
=
3
2
1
2 sin 2A+ π
6
- 1
4
，
∵0 < A < π
3 ，∴π
6 < 2A + π
6 < 5π
6 ，∴当2A + π
6 = π
2 时，x + y 的最小值为2 3．
4
已知△ABC 为斜三角形．
(1) 证明：tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC；
(2) 若△ABC 为锐角三角形，sinC = 2sinAsinB，求tanA + tanB + tanC 的最小值．
答案(1) 证明见解析
(2)8
解【分析】(1) 利用诱导公式结合两角和的正切公式可证得结论成立；
(2) 推导出tanA + tanB = 2tanAtanB，利用(1) 中的结论结合基本不等式可求得tanA + tanB +
tanC 的最小值．
【详解】(1) 证明：∵A + B = 180° -C，所以tan A+B
=-tanC．
因为C ≠90°，所以tanAtanB ≠1，所以tan A+B
= tanA+tanB
1-tanAtanB ．
由tanA+tanB
1-tanAtanB =-tanC，可得tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC．
(2) 解：因为sinC = sin A+B
= sinAcosB + cosAsinB，
所以sinAcosB + cosAsinB = 2sinAsinB，可得tanA + tanB = 2tanAtanB．
由(1) 得tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC
= tanAtanB ⋅tanA+tanB
tanAtanB-1 = 2 tanAtanB
2
tanAtanB-1 ．
因为△ABC 为锐角三角形，由tanA+tanB
1-tanAtanB =-tanC < 0 可知tanAtanB - 1 > 0，
设tanAtanB - 1 = t，则tanA + tanB + tanC = 2 t+1
2
t
= 2 t+ 1
t +2
≥2 2
t⋅1
t +2
= 8，
当且仅当t = 1 时取等号，再由(1) 可得tanC = tanA+tanB
tanAtanB-1 =
2tanAtanB
tanAtanB-1 = 2×2
2-1 = 4，
此时tanA+tanB=4
tanAtanB=2
，解得tanA=2-
2
tanB=2+
2
或tanA=2+
2
tanB=2-
2
时，
即当
tanA=2-
2
tanB=2+
2
tanC=4
或
tanA=2+
2
tanB=2-
2
tanC=4
时，等号成立，
故tanA + tanB + tanC 的最小值为8．
【题型
【题型9】给式子求角
】给式子求角(值) 问题
问题
解题策略：
1、若题目中出现了角的和差结构比如sin α±β
，一般不拆括号，先尝试进行配凑
５０６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
507
2、对于sin α+ π
3
= sin β- π
4
这类式子，若α + π
3 和β - π
4 在同一象限，则有α + π
3 = β - π
4 +
2kπ；
若α + π
3 和β - π
4 不在同一象限，要再进行讨论，当它们分别在一，二象限时，则有α + π
3 + β - π
4 =
2kπ + π，
若是在三，四象限，则有α + π
3 + β - π
4 = 2kπ - π，所以不能直接去掉sin，要先看α + π
3 和β - π
4 之
间的关系再选择适当的等式，这个思想在之后的解三角形中模块也会用到．
3、若题目中给的角可能在两个象限中，一般需要结合其他条件，确定角最终所在象限
如：已知0 < a < π，sinα + cosa = 1
2
分析：sinα + cosa = 1
2 ⇒1 + 2sinαcosa = 1
4 ，则sinαcosa =- 3
8 ，而sinα > 0，
故cosa < 0 ⇒a ∈
π
2 ,π
1
已知
cos2θ
sin θ+ π
4
=
2
4 ，则sin2θ =
(
)
A. 15
16
B. - 15
16
C. 3
4
D. - 3
4
答案A
解析
【分析】根据三角恒等变换的知识化简已知等式，从而求得sin2θ．
【详解】因为
cos2θ
sin θ+ π
4
=
cos2θ-sin2θ
2
2
sinθ+cosθ
=
2 cosθ-sinθ
=
2
4 ，
即cosθ - sinθ = 1
4 ，两边平方可得cos2θ - 2sinθcosθ + sin2θ = 1 - sin2θ = 1
16 ，
得sin2θ = 15
16 ．
2
已知2cos 2α+β
- 3cosβ = 0，则tanαtan α+β
=
(
)
A. 5
B. 1
5
C. - 5
D. - 1
5
答案D
解析
【分析】由角的变换2α + β = α + α+β
，β = α+β
- α，利用余弦的和，差角公式和展开，
从而可得答案．
【详解】2cos 2α+β
= 3cosβ，则2cos α+β+α
= 3cos α+β-α
则2cosαcos α+β
- 2sin α+β
sinα = 3cos α+β
cosα + 3sin α+β
sinα，，
即-5sin α+β
sinα = cos α+β
cosα，所以-5tan α+β
tanα = 1，
∴tan α+β
tanα =- 1
5 ，
3
(深圳中学校考月考) 已知α ∈- π
2 , π
2
，且2cos2α + 15sinα + 2 = 0，则tanα =
．
答案-
15
15
５０７
508
解析
【分析】利用二倍角公式可求得sinα =- 1
4 ，结合α ∈- π
2 , π
2
，即可求得cosα，利用
tanα = sinα
cosα 即可求解．
【详解】由2cos2α + 15sinα + 2 = 0，
得2(1 - 2sin2α) + 15sinα + 2 = 0，
即4sin2α - 15sinα - 4 = 0，
所以(4sinα + 1) (sinα - 4) = 0，
因为sinα - 4 ≠0，解得sinα =- 1
4 ，
又α ∈- π
2 , π
2
，所以cosα =
1-sin2α =
15
4
，所以tanα = sinα
cosα =-
15
15 ．
4
设α ∈
π
4 , π
2
，β ∈
π
4 , π
2
，且sinα + cosα =
2cosβ，则
(
)
A. α + β = π
4
B. α - β = π
4
C. α + β = π
2
D. α - β =- π
4
答案B
解析
【分析】利用三角恒等变换可得答案．
【详解】因为sinα + cosα =
2sin α+ π
4
=
2cosβ，所以sin α+ π
4
= cosβ = sin π
2 -β
．
因为α ∈
π
4 , π
2
，β ∈
π
4 , π
2
，所以α + π
4 ∈
π
2 , 3π
4
，π
2 - β ∈0, π
4
，
所以α + π
4 + π
2 - β = π，则α - β = π
4 ．
5
已知α，β ∈0,π
，sin α-β
= 5
6 ，tanα
tanβ =- 1
4 ，则α + β =
(
)
A. 5π
6
B. 7π
6
C. 11π
6
D. 7π
6 或11π
6
答案B
解析
【分析】先利用三角函数的符号确定角α、β、α + β 的范围，再利用两角差的正弦公式、同角
三角函数基本关系的商数关系得到关于sinαcosβ 和cosαsinβ 的方程组，再利用两角和的正弦公式求
出sin α+β
=- 1
2 ，进而结合角α + β 的范围进行求解．
【详解】因为α，β ∈0,π
，tanα
tanβ =- 1
4 < 0，
所以0 < α < π
2 ，π
2 < β < π 或0 < β < π
2 ，π
2 < α < π；
若0 < α < π
2 ，π
2 < β < π，则-π < α - β < 0，
此时sin α-β
< 0(舍)；
若0 < β < π
2 ，π
2 < α < π，则0 < α - β < π，
此时sin α-β
> 0(符合题意)，
所以0 < β < π
2 ，π
2 < α < π，
即α + β ∈
π
2 , 3π
2
；
因为sin α-β
= 5
6 且tanα
tanβ =- 1
4 ，
所以sinαcosβ - cosαsinβ = 5
6 且sinαcosβ
cosαsinβ =- 1
4 ，
５０８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
509
得sinαcosβ = 1
6 ，cosαsinβ =- 2
3 ，
则sin α+β
= sinαcosβ + cosαsinβ =- 1
2 ，
又α + β ∈
π
2 , 3π
2
，所以α + β = 7π
6 ．
1
已知0 < a < π，sinα + cosa = 1
2 ，则cos2α 的值为
(
)
A.
7
4
B. -
7
4
C. ±
7
4
D. - 3
4
答案B
解【详解】sinα + cosa = 1
2 ⇒1 + sin2α = 1
4 ⇒sin2α =- 3
4 ，故π
2 < a < π，
则-
7
4
2
已知α ∈0, π
2
，且
2cos2α = sin α+ π
4
，则sin2α =
(
)
A. - 3
4
B. 3
4
C. - 1
D. 1
答案B
解【详解】∵
2cos2α = sin α+ π
4
，
∵
2 cos2α-sin2α
=
2
2 (sinα + cosα)，
∴(cosα + sinα) cosα-sinα- 1
2
= 0，
又α ∈0, π
2
，则sinα > 0，cosα > 0，即cosα + sinα > 0
所以cosα - sinα = 1
2 ，
因为α ∈0, π
2
，所以2α ∈(0 , π)，sin2α > 0．
由cosα - sinα = 1
2 平方可得1 - sin2α = 1
4 ，即sin2α = 3
4 ，符合题意．
综上，sin2α = 3
4 ．
3
已知角α，β ∈0,π
，且sin α+β
+ cos α-β
= 0，sinαsinβ - 3cosαcosβ = 0，则tan α+β
=
答案2
解【分析】由两角和与差公式化简后求解．
【详解】由sin α+β
+ cos α-β
= 0，可得sinαcosβ + cosαsinβ + cosαcosβ + sinαsinβ = 0，即
sinαcosβ+cosαsinβ
cosαcosβ+sinαsinβ =-1，
故tanα+tanβ
1+tanαtanβ =-1．又sinαsinβ - 3cosαcosβ = 0，故sinαsinβ = 3cosαcosβ，
即tanαtanβ = 3，代入tanα+tanβ
1+tanαtanβ =-1 可得tanα + tanβ =-4．
故tan α+β
= tanα+tanβ
1-tanαtanβ = 2
５０９
510
4
已知α ∈
π
2 ,π
，且3cos2α - 4sinα = 1，则tan2α =
(
)
A. 1
3
B. 4 2
7
C. - 1
3
D. - 4 2
7
答案D
解【分析】由倍角余弦公式并整理得3sin2α + 2sinα - 1 = 0，结合角的范围得sinα = 1
3 ，进而求
tanα，应用倍角正切公式求值即可．
【详解】由3cos2α - 4sinα = 3 - 6sin2α - 4sinα = 1，即3sin2α + 2sinα - 1 = (3sinα - 1) (sinα + 1) = 0，
所以sinα = 1
3 或sinα =-1，又α ∈
π
2 ,π
，则sinα = 1
3 ，
所以cosα =- 2 2
3
，则tanα =-
1
2 2 ，
由tan2α =
2tanα
1-tan2α =- 4 2
7
．
5
若sin2α =
1
tanα-tanβ ，α,β≠π
2 +kπ且α≠β±kπ,k∈Z
，则cos(2α - β) =
(
)
A. - 1
2
B. 0
C. 1
2
D. 1
答案B
解【详解】由于sin2α =
1
tanα-tanβ sin2α≠0
，因为α，β ≠π
2 + kπ，且α ≠β ± kπ，k ∈Z，
整理得tanα -
1
sin2α = tanβ，
故sinα
cosα -
1
2sinαcosα = 2sin2α-1
2sinαcosα = -cos2α
sin2α
= sinβ
cosβ ，
整理得：cos2αcosβ + sin2αsinβ = 0，
故cos(2α - β) = cos2αcosβ + sin2αsinβ = 0．
6
若tanα =
2tan π
9 ，则
cos α+ 7π
18
sin α+ π
9
=
．
答案2 2 - 3
解【分析】利用和角的正余弦公式化简，再利用诱导公式及齐次式求法求解即可．
【详解】tanα =
2tan π
9 ，
则
cos α+ 7π
18
sin α+ π
9
=
cosαcos 7π
18 -sinαsin 7π
18
sinαcos π
9 +cosαsin π
9
=
cosαsin π
9 -sinαcos π
9
sinαcos π
9 +cosαsin π
9
=
tan π
9 -tanα
tanα+tan π
9
= 1-
2
2+1 = 2 2 - 3．
7
已知x ∈0, π
2
，y ∈0, π
2
，cosx+sinx
cosx-sinx = 1-cos2y
sin2y
，则下列判断正确的是
(
)
A. tan y-x
= 1
B. tan y-x
=-1
C. tan y+x
= 1
D. tan y+x
=-1
答案A
解【分析】根据三角函数同角的三角函数关系以及二倍角公式和两角和的正切公式化简可得
tan x+ π
4
= tany，结合正切函数单调性，可推得y - x = π
4 ，即可判断答案．
５１０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
511
【详解】由x ∈0, π
2
，y ∈0, π
2
，cosx+sinx
cosx-sinx = 1-cos2y
sin2y
，
可得cosx+sinx
cosx-sinx =
2sin2y
2sinycosy = siny
cosy ，即1+tanx
1-tanx = tany，∴tan x+ π
4
= tany，
由于x + π
4 ∈
π
4 , 3π
4
，y ∈0, π
2
，则tany > 0，故tan x+ π
4
> 0，∴x + π
4 ∈
π
4 , π
2
，
由于y = tanx 在0, π
2
上单调递增，故x + π
4 = y，即y - x = π
4 ，
所以tan y-x
= 1，故A 正确，B 错误，
由于x + π
4 = y 得y + x = 2x + π
4 ∈
π
4 , 5π
4
，则tan y+x
= 1 不可能成立，C 错误，
由于不能确定y + x 是否等于3π
4 ，故tan y+x
=-1 也无法确定，D 错误
【题型
【题型10
10】扩角降幂与缩角升幂
】扩角降幂与缩角升幂
扩角降幂：
2
cos a = 1+cos2a
2
，
2
sin a = 1-cos2a
2
(可用二倍角公式推导)
缩角升幂：化为半角即缩角升幂，
(1) 当分子或分母出现1 ± cosθ 或1 ± sinθ 这类结构时可以考虑令θ = 2α
(2) 当条件出现α
2 时，可以考虑换元令α
2 = t，只要灵活运用二倍角公式就不需要记半角公式了
1
cos2 x+ π
4
+ sin2 x- π
4
= (
)
A. 1
B. 1 - sin2x
C. 1 - cos2x
D. - 1
答案B
解析
【分析】利用降幂升角公式和诱导公式化简即可得到结果．
【详解】cos 2 x+ π
4
+ sin 2 x- π
4
=
1+cos 2x+ π
2
2
+
1-cos 2x- π
2
2
= 1
2 - 1
2 sin2x + 1
2 -
1
2 sin2x = 1 - sin2x
2
已知1-cosθ
sinθ
+
sinθ
1+cosθ = 4，则tanθ =
．
答案- 4
3
解析
【分析】利用正余弦的二倍角公式对条件进行化简，可求得tan θ
2 的值，再利用正切的二倍角
公式代入求值即可．
【详解】∵1-cosθ
sinθ
+
sinθ
1+cosθ
=
2sin2 θ
2
2sin θ
2 cos θ
2
+
2sin θ
2 cos θ
2
2cos2 θ
2
= tan θ
2 + tan θ
2 = 2tan θ
2 = 4，
故tan θ
2 = 2，又tanθ =
2tan θ
2
1-tan2 θ
2
= 2×2
1-22 =- 4
3 ，
3
已知tan θ
2 = 2，则
sinθ
1-cosθ -
sinθ
1+cosθ 的值为
．
５１１
512
答案- 3
2
解析
【分析】根据二倍角公式，结合同角商数关系即可求解，或者利用正切的二倍角公式，结合弦
切互化求解．
【详解】(法一)
sinθ
1-cosθ -
sinθ
1+cosθ =
2sin θ
2 cos θ
2
1- cos2 θ
2 -sin2 θ
2
-
2sin θ
2 cos θ
2
1+ cos2 θ
2 -sin2 θ
2
=
2sin θ
2 cos θ
2
2sin2 θ
2
-
2sin θ
2 cos θ
2
2cos2 θ
2
=
cos θ
2
sin θ
2
-
sin θ
2
cos θ
2
=
1
tan θ
2
- tan θ
2
= 1
2 - 2 =- 3
2 ．
(法二) 因为tan θ
2 = 2，所以tanθ =
2tan θ
2
1-tan2 θ
2
= 2×2
1-4 =- 4
3 ，
则
sinθ
1-cosθ -
sinθ
1+cosθ =
2sinθcosθ
1-cosθ
1+cosθ
= 2sinθcosθ
1-cos2θ
= 2sinθcosθ
sin2θ
= 2cosθ
sinθ =
2
tanθ
= 2 × - 3
4
=- 3
2 ．
1
sin π
6 -α
= 1
3 ，则2cos2 π
6 + α
2
- 1，=
答案1
3
解
2cos2 π
6 + α
2
- 1 = cos π
3 +α
= sin π
2 -
π
3 +α
= sin π
6 -α
= 1
3
2
若sinα =- 3
5 ，α 是第三象限角，则
1-tan α
2
1+tan α
2
=
(
)
A. - 2
B. 2
C. - 8
3
D. 8
3
解
A
法一：换元- 令α
2 = θ，则sin2θ =- 3
5 ⇒cos2θ =- 4
5 ，
策略一：1-tanθ
1-tanθ = cosθ-sinθ
cosθ+sinθ = cos2θ-sin2θ
cosθ+sinθ
2 =
cos2θ
1+sin2θ =-2
策略二：1-tanθ
1-tanθ = 1-tanθ
1+tanθ = tan π
4 -θ
，
因为sin2θ = 2sinθcosθ < 0，故θ 是第二象限角，
则
sin π
4 -θ
cos π
4 -θ
=
sin2 π
4 -θ
cos2 π
4 -θ
=
2sin2 π
4 -θ
2cos2 π
4 -θ
而
2sin2 π
4 -θ
2cos2 π
4 -θ
=
1-cos π
2 -2θ
1+cos π
2 -2θ
= 1-sin2θ
1+sin2θ = 4，接下来还得判断tan π
4 -θ
的正负，比较麻烦
法二：不换元，解：sinα =- 3
5 ，α 是第三象限角，∴cosα =- 1-
2
sin α =- 4
5 ，
则
1-tan α
2
1+tan α
2
=
cos α
2 -sin α
2
cos α
2 +sin α
2
=
cos α
2 -sin α
2
2
2
cos α
2 -
2
sin α
2
= 1-sinα
cosα
=
1+ 3
5
- 4
5
=-2
3
已知
sinθ
1-cosθ =
3，则tanθ =
(
)
５１２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
513
A.
3
3
B. -
3
3
C.
3
D. -
3
答案C
解【详解】法一：设θ = 2α，则有
sin2α
1-cos2α = 2sinαcosα
2sin2α
=
1
tanα =
3 ⇒tanα =
3
3 ，
3
法二：解：因为
sinθ
1-cosθ =
3，
所以1 - cosθ ≠0，即cosθ ≠1，
所以sinθ =
3 -
3cosθ，
即sinθ +
3cosθ = 2sin θ+ π
3
=
3，
所以sin θ+ π
3
=
3
2 ，
所以θ + π
3 = π
3 + 2kπ 或2π
3 + 2kπ，
所以θ = 2kπ 或π
3 + 2kπ，k ∈Z，
当θ = 2kπ 时，cosθ = 1，不合题意，舍去，
当θ = π
3 + 2kπ 时，cosθ = 1
2 ，所以tanθ =
3．
4
已知1+sinθ+cosθ
1+sinθ-cosθ = 1
2 ，求cosθ 的值．
答案- 3
5
解【分析】首先利用二倍角公式化简条件等式，求得tan θ
2 的值，再将余弦cosθ，用二倍角公式公式
表示，再表示成正切，即可求值．
【详解】∵1+sinθ+cosθ
1+sinθ-cosθ
=
2sin θ
2 cos θ
2 +2cos2 θ
2
2sin θ
2 cos θ
2 +2sin2 θ
2
=
1
tan θ
2
= 1
2 ，
∴tan θ
2 = 2，cosθ =
cos2 θ
2 -sin2 θ
2
cos2 θ
2 +sin2 θ
2
=
1-tan2 θ
2
1+tan2 θ
2
=- 3
5 ．
5
【题型
【题型11
11】利用三角恒等变换化简求值
】利用三角恒等变换化简求值
例：对于2 3sin20°+3sin10°
cos10°
可以考虑引入特殊角30°，变为2 3sin 30°-10°
+3sin10°
cos10°
，到达统一角
度的目的
1
算：
2 ⋅
sin40°⋅sin80°
cos40°+cos60° =
(
)
A. -
2
2
B. - 1
2
C.
2
2
D. 1
2
答案C
解析
【分析】利用两角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角关系化简即可．
【详解】因为sin40°⋅sin80°
cos40°+cos60° = sin(60°-20°)⋅sin(60°+20°)
cos40°+ 1
2
=
3
2 cos20°
2-
1
2 sin20°
2
3
2 -2sin220°
５１３
514
=
3
4 cos220°- 1
4 sin220°
2
3
4 -sin220°
=
3
4 -sin220°
2
3
4 -sin220°
= 1
2 ，所以原式=
2
2
2
化简：
sin10°
1-
3tan10°
(
)
A. 1
8
B. 1
4
C. 4
D. 8
答案B
解析
【分析】根据题意，由辅助角公式以及正弦函数的和差角公式化简，代入计算，即可得到结果．
【详解】
sin10°
1-
3tan10° =
sin10°
1-
3 sin10°
cos10°
=
sin10°cos10°
cos10°- 3sin10° =
1
2 sin20°
2
1
2 cos10°-
3
2 sin10°
=
sin20°
4 sin30°cos10°-cos30°sin10°
=
sin20°
4sin 30°-10°
= sin20°
4sin20° = 1
4 ．
3
计算：4 3cos80° +3tan10° =
答案
3
解析
【分析】应用诱导公式转化为10° 表示，再切化弦，结合二倍角公式和辅助角公式即可．
【详解】原式= 4 3sin10° + 3sin10°
cos10° = 4 3sin10°cos10°+3sin10°
cos10°
= 2 3sin20°+3sin10°
cos10°
= 2 3sin(30°-10°)+3sin10°
cos10°
=
3cos10°-3sin10°+3sin10°
cos10°
=
3
1
2cos20°-sin10°
cos40°⋅
1-sin10°
=
(
)
A. 1
B.
2
C.
3
D.
6
答案D
解【分析】利用两角和与差的余弦公式将cos20° 转化为cos 30°-10°
，进行展开，对于分子则是结合
二倍角正弦公式及完全平方式进行化简，最后再约分即可．
【详解】
2cos20°-sin10°
cos40°⋅
1-sin10° =
2cos20°-sin10°
cos40°⋅
cos25°-2sin5°cos5°+sin25°
= 2cos 30°-10°
-sin10°
cos40°⋅
cos5°-sin5°
2
=
3cos10°+sin10°-sin10°
cos40° cos5°-sin5°
=
3cos10°
cos40° cos5°-sin5°
=
3cos10°
cos40°⋅
2sin40°
=
6 ⋅cos10°
sin80° =
6 ⋅cos10°
cos10° =
6
2
1
2tan20° -
1
2cos10° =
(
)
A.
2
B.
3
2
C.
3
D. 2
答案B
解【分析】利用同角的三角函数关系将切化弦，再根据二倍角公式以及两角和差的正余弦公式，化简
求值，即得答案．
【详解】
1
2tan20° -
1
2cos10° = cos20°
2sin20° -
1
2cos10°
= cos20°-2sin10°
2sin20°
= cos(30°-10°)-2sin10°
2sin20°
５１４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
515
= cos30°cos10°+sin30°sin10°-2sin10°
2sin20°
=
3
2 cos10°- 3
2 sin10°
2sin20°
=
3
1
2 cos10°-
3
2 sin10°
2sin20°
=
3sin(30°-10°)
2sin20°
=
3
2
3
若tanα =
2tan π
9 ，则
cos α+ 7π
18
sin α+ π
9
=
．
答案2 2 - 3
解【详解】tanα =
2tan π
9 ，
则
cos α+ 7π
18
sin α+ π
9
=
cosαcos 7π
18 -sinαsin 7π
18
sinαcos π
9 +cosαsin π
9
=
cosαsin π
9 -sinαcos π
9
sinαcos π
9 +cosαsin π
9
=
tan π
9 -tanα
tanα+tan π
9
= 1-
2
2+1 = 2 2 - 3
4
tan80°-tan20°
1+
1
2cos20°
的值为
．
答案2 3
解【分析】根据两角差的正切公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等知识求得正确答案．
【详解】tan80° -tan20° = tan 80°-20°
1+tan80°tan20°
=
3 1+ sin80°sin20°
cos80°cos20°
=
3 1+ cos10°
sin10°
sin20°
cos20°
=
3 1+ 2cos210°
cos20°
=
3 1+ 1+cos20°
cos20°
=
3 2+
1
cos20°
，
所以tan80°-tan20°
1+
1
2cos20°
= 2 3．
故答案为：2 3
5
已知cos 40°-θ
+ cos 40°+θ
+ cos 80°-θ
= 0，则tanθ =
答案- 3
解【详解】因为cos 40°-θ
+ cos 40°+θ
+ cos 80°-θ
= 0，
所以cos40°cosθ + sin40°sinθ + cos40°cosθ - sin40°sinθ + cos80°cosθ + sin80°sinθ = 0，
所以2cos40°cosθ + cos80°cosθ + sin80°sinθ = 0，
所以2cos40° +cos80° +sin80°tanθ = 0，
所以tanθ =- 2cos40°+cos80°
sin80°
=- 2cos 120°-80°
+cos80°
sin80°
=- 2 cos120°cos80°+sin120°sin80°
+cos80°
sin80°
=-
3sin80°
sin80°
=- 3
6
化简求值(1)
3-4sin20°+8sin320°
2sin20°sin480°
；(2)
1
cos280° -
3
cos210°
⋅
1
cos20° ．
答案(1) 2 3
3
；(2)32．
解
(1)
3-4sin20°+8sin320°
2sin20°sin480°
=
3-4sin20° 1-2sin220°
2sin20°sin60°
５１５
516
= 2sin60°-4sin20°cos40°
3sin20°
= 2sin40°cos20°-2sin20°cos40°
3sin20°
= 2sin20°
3sin20° = 2 3
3
．
(2)
1
cos280° -
3
cos210°
⋅
1
cos20° =
cos210°-3cos280°
cos280°cos210°
⋅
1
cos20°
=
cos210°-3sin210°
cos280°cos210°
⋅
1
cos20° =
cos10°+ 3sin10°
cos10°- 3sin10°
cos280°cos210°
⋅
1
cos20°
= 2cos50°⋅2cos70°
cos280°cos210°
⋅
1
cos20° = 4sin40°sin20°
cos280°cos210° ⋅
1
cos20°
= 8sin220°cos20°
cos280°cos210° ⋅
1
cos20° =
8sin220°
sin210°cos210° = 8sin220°
1
4 sin220°
= 32．
【题型
【题型12
12】化为同名函数
】化为同名函数
统一函数名：sinα = cosβ ⇒cos α- π
2
= cos π
2 -α
= cosβ，具体是选α - π
2 还是π
2 - α 要看题目给
出的范围
1
(云南师范大学附属中学月考) 设α ∈0, π
2
，β ∈0, π
2
，且tanα ⋅cosβ = 1 + sinβ，则
(
)
A. sin 3α-β
= 1
B. sin 3α+β
=-1
C. sin 2α-β
= 1
D. sin 2α+β
=-1
答案C
解析
【分析】对题中条件进行变化化简，可以得到2α - β = π
2 ，进一步即可判断正确答案．
【详解】∵tanα ⋅cosβ = 1 + sinβ，
∴sinα
cosα ⋅cosβ = 1 + sinβ，
即sinα ⋅cosβ = cosα + sinβ ⋅cosα，sinα ⋅cosβ - sinβ ⋅cosα = cosα，
即sin(α - β) = cosα = sin π
2 -α
，
又α ∈0, π
2
，β ∈0, π
2
，
则- π
2 < α - β < π
2 ，0 < π
2 - α < π
2 ，
所以2α - β = π
2 ，∴sin(2α - β) = 1，，故C 正确．
2
若α，β ∈
π
2 ,π
，且1-cos2α
1+sinβ
= sin2αcosβ，则下列结论正确的是
(
)
A. 2α + β = 5π
2
B. 2α - β = 3π
4
C. α + β = 7π
4
D. α - β = π
2
答案A
解析
【分析】由α ∈
π
2 ,π
及二倍角的余弦公式可得sinα 1+sinβ
= cosαcosβ，根据两角和的余弦
公式可得sinα = cos α+β
，由诱导公式及α，β 的范围即可求解．
【详解】∵α，β ∈
π
2 ,π
，∴sinα ≠0．
由1-cos2α
1+sinβ
= sin2αcosβ，可得2sin2α 1+sinβ
= 2sinαcosαcosβ，
即sinα 1+sinβ
= cosαcosβ．
∴sinα = cosαcosβ - sinαsinβ = cos α+β
，
∴cos α+β
= cos π
2 -α
，∵α，β ∈
π
2 ,π
，∴π < α + β < 2π，且- π
2 < π
2 - α < 0，
根据函数y = cosx 易知：α + β = π
2 - α + 2π，即得：2α + β = 5π
2 ．
５１６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
517
3
若两个锐角α，β 满足
1+cos2α
2cosα+sin2α = 1-cos2β
sin2β
，则sin π
3 -α-2β
=
．
答案- 1
2
解析
【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式，化简可得角α，β 的关系，代入cos α+2β+ π
3
即可
求解．
【详解】因为
1+cos2α
2cosα+sin2α = 1-cos2β
sin2β
，
所以
1+2cos2α-1
2cosα+2sinαcosα = 1- 1-2sin2β
2sinβcosβ
所以
cos2α
cosα+sinαcosα =
sin2β
sinβcosβ ，
因为α，β 为锐角，所以有
cosα
1+sinα = sinβ
cosβ ，
所以cosαcosβ = sinβ 1+sinα
，即cosαcosβ = sinβ + sinβsinα，
所以cosαcosβ - cosαcosβ = sinβ，即cos α+β
= sinβ，
因为α，β 为锐角，所以有α + β + β = π
2 ，即α + 2β = π
2 ，
所以sin -α-2β+ π
3
= sin - π
2 + π
3
=-sin π
6 =- 1
2
1
若α，β ∈0, π
2
，且1-cos2α
1+sinβ
= sin2αcosβ，则下列结论正确的是
(
)
A. α - β = π
2
B. 2α - β = 3π
4
C. α + β = 5π
2
D. 2α + β = π
2
答案D
解【详解】∵α，β ∈
π
2 ,π
，∴sinα ≠0．
由1-cos2α
1+sinβ
= sin2αcosβ，可得2sin2α 1+sinβ
= 2sinαcosαcosβ，
即sinα 1+sinβ
= cosαcosβ．
∴sinα = cosαcosβ - sinαsinβ = cos α+β
，
∴cos α+β
= cos π
2 -α
，
∵α，β ∈0, π
2
，∴0 < α + β < π
2 ，且0 < π
2 - α < π
2 ，
根据函数y = cosx 易知：α + β = π
2 - α，即得：2α + β = π
2
2
(2023·重庆市第八中月考) 已知α，β ∈0, π
2
，sin 2α+β
sinα
- 2cos α+β
=
1
tanα ，则
(
)
A. α + β = π
2
B. α + β = 3π
4
C. α - β =- π
4
D. α - β = π
4
答案A
解【分析】根据两角和与差的正弦公式，化简得到sinβ
sinα =
1
tanα ，得到sinβ = sin π
2 -α
，再由α，
β ∈0, π
2
，结合正弦函数的性质，即可求解
【详解】由sin 2α+β
sinα
- 2cos α+β
= sin[α+(α+β)]
sinα
- 2cos α+β
= sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)
sinα
- 2cos α+β
５１７
518
= cosαsin(α+β)
sinα
- cos(α + β) = cosαsin(α+β)-sinαcos(α+β)
sinα
= sin[(α+β)-α]
sinα
= sinβ
sinα ，
所以sinβ
sinα =
1
tanα ，可得sinβ
sinα = cosα
sinα ，即sinβ = cosα，即sinβ = sin π
2 -α
，
因为α，β ∈0, π
2
，可得π
2 - α ∈0, π
2
，所以β = π
2 - α，所以α + β = π
2
3
若两个锐角α，β 满足
1+cos2α
2cosα+sin2α = 1-cos2β
sin2β
，则cos α+2β+ π
3
=
．
答案-
3
2
解【详解】因为
1+cos2α
2cosα+sin2α = 1-cos2β
sin2β
，
所以
1+2cos2α-1
2cosα+2sinαcosα = 1- 1-2sin2β
2sinβcosβ
所以
cos2α
cosα+sinαcosα =
sin2β
sinβcosβ ，
因为α，β 为锐角，所以有
cosα
1+sinα = sinβ
cosβ ，
所以cosαcosβ = sinβ 1+sinα
，即cosαcosβ = sinβ + sinβsinα，
所以cosαcosβ - cosαcosβ = sinβ，即cos α+β
= sinβ，
因为α，β 为锐角，所以有α + β + β = π
2 ，即α + 2β = π
2 ，
所以cos α+2β+ π
3
= cos π
2 + π
3
=-sin π
3 =-
3
2
4
(广州市天河区综合测试) 若tan 2α- π
3
= sinβ-cosβ
sinβ+cosβ ，则1 - 2cos2 2α-β
=
(
)
A. 1
2
B. - 1
2
C.
3
2
D. -
3
2
答案D
解【分析】由商数关系及两角差的正切公式将已知化为tan 2α- π
3
= tan β- π
4
，得出2α - π
3 = β
- π
4 + kπ，再根据二倍角的余弦公式即可得解．
【详解】由tan 2α- π
3
= sinβ-cosβ
sinβ+cosβ = tanβ-1
tanβ+1 =
tanβ-tan π
4
1+tanβtan π
4
= tan β- π
4
，
所以2α - π
3 = β - π
4 + kπ，即2α = β + π
12 + kπ，k ∈Z，
1 - 2cos2 2α-β
=-cos2 2α-β
=-cos2 β+ π
12 +kπ-β
，=-cos2
π
12 +kπ
=-cos π
6 +2kπ
=
-cos π
6 =-
3
2
【题型
【题型13
13】积化和差、和差化积公式
】积化和差、和差化积公式
1、积化和差
sinαcosβ = 1
2 [sin(α - β) + sin(α + β)]
cosαsinβ = 1
2 [sin(α + β) - sin(α - β)]
５１８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
519
cosαcosβ = 1
2 [cos(α - β) + cos(α + β)]
sinαsinβ = 1
2 [cos(α - β) - cos(α + β)]
2、和差化积
sinx + siny = 2sin x+y
2
cos x-y
2
sinx - siny = 2cos x+y
2
sin x-y
2
cosx + cosy = 2cos x+y
2
cos x-y
2
cosx - cosy =-2sin x+y
2
sin x-y
2
和差化积公式助记口诀
正加正，正在前；
正减正，余在前；
余加余，余并肩；
余减余，负正弦。
积化和差公式助记口诀1
正余余正，正加正减；
余余正正，余加负余减。
积化和差公式助记口诀2
正弦相加正在前，
正弦相减余提前，
余弦相加无正弦，
余弦相减负正弦
和差化积的应用：以2023 年新高考I 卷第8 题为例
已知sin α-β
= 1
3 ，cosαsinβ = 1
6 ，则cos 2α+2β
=
简析：由和差化积cosα ⋅sinβ = sin(α+β)-sin(α-β)
2
，可得1
6 =
sin α+β
- 1
3
2
⇒sin α+β
= 2
3 ，
cos 2α+2β
= 1 - 2sin2 α+β
= 1 - 8
9 = 1
9
1
sin α-β
+ sin α+β
= 1
2 ，cosαsinβ = 1
3 ，则tanα
tanβ =
(
)
５１９
520
A. 3
4
B. 4
3
C. 3
2
D. 2
3
答案A
解析
【分析】利用和差角的正弦公式求出sinαcosβ，再利用同角公式计算即得．
【详解】由sin(α - β) + sin(α + β) = 1
2 ，得2sinαcosβ = 1
2 ，即sinαcosβ = 1
4 ，而cosαsinβ = 1
3 ，
所以tanα
tanβ = sinαcosβ
cosαsinβ = 3
4 ．
2
已知对任意的角α，β，满足1
2
sinα+sinβ
= sin α+β
2
⋅cos α-β
2
，1
2
cosα+cosβ
= cos α+β
2
⋅cos α-β
2
．则当sinα + sinβ =
3
2 ，cosα + cosβ = 1
2 时，tan α+β
2
=
；若tan α+β
2
=
1，则sinα + sinβ
cosα + cosβ(填“>”“<”或“=”)．
答案
3 =
解析
【分析】利用和差化积化简，再两式相除得到答案；利用积化和差及同角三角函数关系求出答
案．
【详解】由题意知sinα + sinβ = 2sin α+β
2
cos α-β
2
=
3
2
①，
cosα + cosβ = 2cos α+β
2
cos α-β
2
= 1
2 ②，
①式除以②式，得tan α+β
2
=
3；
若tan α+β
2
= 1，则
2sin α+β
2
⋅cos α-β
2
2cos α+β
2
⋅cos α-β
2
= 1，
故sinα+sinβ
cosα+cosβ = 1，即sinα + sinβ = cosα + cosβ．
3
求值：
2sin80°cos20°
1+4cos20°sin250° =
(
)
A.
3
3
B.
2
2
C. 1
D.
3
2
答案A
解析
【详解】由积化和差公式可得
cos40°cos20° = 1
2 cos 40°-20°
+cos 40°+20°
= 1
2
cos20°+cos60°
= 1
4 + 1
2 cos20°，
故1 + 4cos20°sin250° = 1 + 4cos20°cos40°cos40° = 1 + 4 1
4 + 1
2 cos20°
cos40°
= 1 + cos40° +2cos20°cos40° = 2cos220° +2cos20°cos40°
= 2cos20° cos20°+cos40°
，
由和差化积公式可得
cos20° +cos40° = 2cos 40°+20°
2
cos 40°-20°
2
= 2cos30°cos10° =
3cos10°，
故1 + 4cos20°sin250° = 2cos20° cos20°+cos40°
= 2 3cos10°cos20°
所以
2sin80°cos20°
1+4cos20°sin250° =
2cos10°cos20°
2 3cos10°cos20° =
3
3 ．
1
2sin 7π
11 sin 2π
11 - sin π
22 + cos 2π
11 =
(
)
５２０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
521
A. 0
B. sin 2π
11
C. 2cos 2π
11
D. 2sin 2π
11
答案C
解【分析】利用两角和差的余弦公式和诱导公式化简即可．
【详解】2sin 7π
11 sin 2π
11 - sin π
22 + cos 2π
11
= cos 7π
11 - 2π
11
- cos 7π
11 + 2π
11
- cos π
2 - π
22
+ cos 2π
11
= cos 5π
11 - cos 9π
11 - cos 5π
11 + cos 2π
11
=-cos π- 2π
11
+ cos 2π
11 = 2cos 2π
11
2
cos π
7 + cos 3π
7 + cos 5π
7 =
．
答案1
2
解【分析】根据积化和差公式和诱导公式可求出结果．
【详解】原式=
1
2sin π
7
2sin π
7 cos π
7 +2sin π
7 cos 3π
7 +2sin π
7 cos 5π
7
=
1
2sin π
7
sin 2π
7 + sin 4π
7 -sin 2π
7
+ sin 6π
7 -sin 4π
7
=
sin 6π
7
2sin π
7
=
sin π- π
7
2sin π
7
=
sin π
7
2sin π
7
= 1
2 ．
3
已知tan α+β
2
=
6
2 ，tanαtanβ = 13
7 ，则cos(α - β) 的值为
．
答案2
3
解【分析】应用三角函数的恒等变换公式对tanβ = sinαsinβ
cosαcosβ 变形求得cos(α - β) =- 10
3 cos(α + β)，
再由tan α+β
2
求得cos(α + β)，可得结论．
【详解】tanαtanβ = sinαsinβ
cosαcosβ =
1
2 [cos(α-β)-cos(α+β)]
1
2 (cos(α-β)+cos(α+β)]
= 13
7 ，
所以cos(α - β) =- 10
3 cos(α + β)，
cos(α + β) =
1-tan2 α+β
2
1+tan2 α+β
2
=
1-
6
2
2
1+
6
2
2 =- 1
5 ，
所以cos(α - β) =- 10
3 × - 1
5
= 2
3 ．
4
(1)sin54° -sin18° =
；
(2)cos146° +cos94° +2cos47°cos73° =
．
答案1
2 ，- 1
2
解【分析】(1) 由和差化积公式求解；
(2) 由和差化积和积化和差公式求解．
【详解】(1) 由和差化积公式可得，
５２１
522
sin54° -sin18° = 2cos36° ⋅sin18° = 2 × 2sin18°cos18°cos36°
2cos18°
= 2sin36°cos36°
2cos18°
= sin72°
2cos18° = cos18°
2cos18° =
1
2 ；
(2) 由和差化积和积化和差公式可得，
cos146° +cos94° +2cos47°cos73° = 2cos120°cos26° +2 × 1
2
cos120°+cos26°
= 2 × - 1
2
cos26° + - 1
2
+ cos26° =- 1
2 ．
【题型
【题型14
14】恒等变形的综合应用
】恒等变形的综合应用
1
已知函数f x
= 2 3sin ωx
2 cos ωx
2
- 2cos2 ωx
2
+ 1，ω > 0，x ∈R，在曲线y = f x
与直线y = 2
的交点中，若相邻交点的距离为π．
(1) 求函数f x
的解析式；
(2) 若x ∈
π
3 ,π
，解不等式f x
≥- 3；
(3) 若x ∈
π
3 ,π
，且关于x 的方程f2 x
- a+1
f x
+ a = 0 有三个不等的实根，求实数a 的取值范
围．
答案(1)f x
= 2sin 2x- π
6
(2) x π
3 ≤x≤3π
4
或11π
12 ≤x≤π
(3) -2,-1
解析
【分析】(1) 结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式可求ω，即
可求解函数解析式；
(2) 结合正弦函数的性质即可求解不等式；
(3) 由已知方程可得f x
= 1 或f x
= a，然后结合正弦函数的性质即可求解．
【详解】( 1 ) 由f x
= 2 3 sin ωx
2
cos ωx
2
- 2 cos 2 ωx
2
+ 1 可得f x
=
3 sinωx - cosωx =
2sin ωx- π
6
，
因此其最大值为2，由y = f x
与直线y = 2 的交点中相邻交点的距离为π，
可得T = π，故ω = 2，
所以解析式为f x
= 2sin 2x- π
6
(2) 由不等式f x
= 2sin 2x- π
6
≥- 3 可得，sin 2x- π
6
≥-
3
2 ，
得- π
3 + 2kπ ≤2x - π
6 ≤4π
3 + 2kπ，k ∈Z，
所以- π
12 + kπ ≤x ≤3π
4 + kπ，k ∈Z；
因为x ∈
π
3 ,π
，
所以π
3 ≤x ≤3π
4 或11π
12 ≤x ≤π，
故x 的范围为x π
3 ≤x≤3π
4
或11π
12 ≤x≤π
；
(3) 关于x 的方程f2 x
- a+1
f x
+ a = 0 有三个不等的实根，
即f x
-1
f x
-a
= 0 有三个不等的实根，
也即f x
= 1 或f x
= a 有三个不等实根，
５２２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
523
画出函数f x
= 2sin 2x- π
6
在x ∈
π
3 ,π
上的图象如下：
结合函数图象可知，f x
= 1 有一个根，
故f x
= a 有两个不等实数根，
所以-2 < a ≤-1，
故a 的范围为-2,-1
．
2
如图，已知面积为π
6 的扇形AOB，半径为1，C 是弧AB 上任意一点，作矩形CDEF 内接于该扇
形．
(1) 求扇形圆心角∠AOB 的大小；
(2) 点C 在什么位置时，矩形CDEF 的面积最大？并说明理由．
答案(1)∠AOB = π
3 ；
(2) 点C 是弧AB 的中点时，矩形CDEF 的面积最大，最大为
3
6 ．
解析
【分析】(1) 利用扇形的面积公式可求得∠AOB 的大小；
(2) 连接OC，设∠AOC = α 0<α< π
3
，将EF、CF 用α 的代数式表示，利用三角恒等变换化简矩
形CDEF 面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形CDEF 面积的最大值及其对应的α 值，
即可得出结论．
【详解】(1) 解：设∠AOB = θ，根据扇形的面积公式可得1
2 θ × 12= π
6 ，得∠AOB = θ = π
3 ．
(2) 解：连接OC，设∠AOC = α 0<α< π
3
，则CF = DE = sinα，OF = cosα，
５２３
524
在Rt△ODE 中，OE =
DE
tan π
3
=
3
3 sinα，则EF = OF - OE = cosα -
3
3 sinα，
于是矩形CDEF 的面积S矩形CDEF = EF × CF = cosα-
3
3 sinα
sinα
= cosαsinα -
3
3 sin2α = sin2α
2
-
3
3
1-cos2α
2
= sin2α
2
+
3
3
× 1
2 cos2α -
3
6
=
3
3
3
2 sin2α+ 1
2 cos2α
-
3
6
=
3
3 sin 2α+ π
6
-
3
6 ，
由于0 < α < π
3 ，则π
6 < 2α + π
6 < 5π
6 ，
当2α + π
6 = π
2 ，即当α = π
6 时，矩形CDEF 的面积最大，最大为
3
6 ，此时点C 是弧AB 的中点．
因此，当点C 是弧AB 的中点时，矩形CDEF 的面积最大，最大为
3
6 ．
1
已知函数f x
= 2 3sin ωx
2 cos ωx
2
- 2cos2 ωx
2
+ 1，ω > 0，x ∈R，在曲线y = f x
与直线y =
2 的交点中，若相邻交点的距离为π．
(1) 求函数f x
的解析式；
(2) 若x ∈
π
3 ,π
，解不等式f x
≥- 3；
(3) 若x ∈
π
3 ,π
，且关于x 的方程f2 x
- a+1
f x
+ a = 0 有三个不等的实根，求实数a 的取值范
围．
答案(1)f x
= 2sin 2x- π
6
(2) x π
3 ≤x≤3π
4
或11π
12 ≤x≤π
(3) -2,-1
解【分析】(1) 结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式可求ω，即可求
解函数解析式；
(2) 结合正弦函数的性质即可求解不等式；
(3) 由已知方程可得f x
= 1 或f x
= a，然后结合正弦函数的性质即可求解．
【详解】( 1 ) 由f x
= 2 3 sin ωx
2
cos ωx
2
- 2 cos 2 ωx
2
+ 1 可得f x
=
3 sinωx - cosωx =
2sin ωx- π
6
，
因此其最大值为2，由y = f x
与直线y = 2 的交点中相邻交点的距离为π，
可得T = π，故ω = 2，
所以解析式为f x
= 2sin 2x- π
6
(2) 由不等式f x
= 2sin 2x- π
6
≥- 3 可得，sin 2x- π
6
≥-
3
2 ，
得- π
3 + 2kπ ≤2x - π
6 ≤4π
3 + 2kπ，k ∈Z，
所以- π
12 + kπ ≤x ≤3π
4 + kπ，k ∈Z；
因为x ∈
π
3 ,π
，
所以π
3 ≤x ≤3π
4 或11π
12 ≤x ≤π，
故x 的范围为x π
3 ≤x≤3π
4
或11π
12 ≤x≤π
；
(3) 关于x 的方程f2 x
- a+1
f x
+ a = 0 有三个不等的实根，
５２４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
525
即f x
-1
f x
-a
= 0 有三个不等的实根，
也即f x
= 1 或f x
= a 有三个不等实根，
画出函数f x
= 2sin 2x- π
6
在x ∈
π
3 ,π
上的图象如下：
结合函数图象可知，f x
= 1 有一个根，
故f x
= a 有两个不等实数根，
所以-2 < a ≤-1，
故a 的范围为-2,-1
．
2
如图是一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边CD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB =
2，AD = 1，现要将此木块锯出一个等腰三角形EFG，其底边EF ⊥AB，点E 在半圆上，点G
在线段AD 上，三角形木块选EFG 的面积记为S．
(1) ①设点G 到底边EF 的距离为x，将S 表示为x 的函数S = f x
；
②设∠EOC = θ，将S 表示为θ 的函数S = g θ
；
(2) 从(1) 中选择一个合适的函数，解决以下问题：当点E 在何处时，三角形木块EFG 的面积S 最大？
并求出该最大值．
答案(1) ①S = f x
=
2x-x2+1
x
2
，(0 < x < 2)；②S = g θ
= 1
2
1+sinθcosθ+sinθ+cosθ
，
(0 < θ < π)．
(2)E 位于半圆上，且∠COE = π
4 时，三角形木块EFG 的面积S = 3+2 2
4
最大．
解【详解】(1)
①设CD ∩EF = Q，则DQ
= x(0 < x < 2)，所以OQ
= x-1
，EQ
=
1- x-1
2，EF
= EQ
+ 1 =
1- x-1
2 + 1，
所以S = f x
= 1
2 × EF
× DQ
=
2x-x2+1
x
2
，(0 < x < 2)．
５２５
526
即S = f x
=
2x-x2+1
x
2
，(0 < x < 2)．
②设CD ∩EF = Q，设∠EOC = θ，(0 < θ < π)，所以OQ
= cosθ
，EQ
= sinθ，EF
= EQ
+
1 = sinθ + 1，DQ
= OQ
+ 1 = cosθ
+ 1
所以S = 1
2 × EF
× DQ
= 1
2
1+sinθ
1+cosθ
，(0 < θ < π)．
所以S = g θ
= 1
2
1+sinθcosθ+sinθ+cosθ
，(0 < θ < π)．
(2) 选择函数②：S = g θ
= 1
2
1+sinθcosθ+sinθ+cosθ
．
令t = sinθ + cosθ =
2 sin+ π
4
∈-1,
2
，
则S = 1
2
1+t+ t2-1
2
=
t+1
2
4
，在-1,
2
上单调递增，
所以当t =
2，即θ = π
4 时，S = 3+2 2
4
最大．
此时E 位于半圆上，且∠COE = π
4 ．
５２６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
527
专题5 - 6 三角函数：y = Asin(ωx +φ) 的图像及性质
【题型
【题型1】五点法作
】五点法作y = Asin
sin(ωx
ωx + φ) 图像及其应用
图像及其应用
解题思路：用五点法画y = Asin(ωx + φ) 一个周期内的简图的步骤
第一步：列表；如下表所示：
x
- φ
ω
π
2ω - φ
ω
π-φ
ω
3π
2ω - φ
ω
2π-φ
ω
ωx + φ
0
π
2
π
3π
2
2π
y = Asin(ωx
+ φ)
0
A
0
-A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
1
某同学用“五点法”画函数f(x) = Asin(ωx + φ) A>0,ω>0,|φ|< π
2
在某一个周期内的图象时，
列表并填入了部分数据，如下表：
ωx + φ
0
π
2
π
3π
2
2π
x
2π
3
7π
6
5π
3
Asin(ωx + φ)
0
2
-2
0
(1) 将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并写出函数y = f(x) 的解析式；
(2) 将函数y = f(x) 图象上所有点向左平行移动π
6 个单位长度，得到函数y = g(x) 的图象，求使g(x)
≥0 成立的x 的取值集合．
答案(1) 数据补充见解析，f(x) = 2sin x+ π
6
；
(2) {x 2kπ- π
3 ≤x≤2kπ+ 2π
3
，k ∈Z．
解析
【分析】(1) 根据已知数据求参数可得f(x) = 2sin x+ π
6
，进而补充表格数据；
(2) 由图象平移得g(x) = 2sin x+ π
3
，结合正弦型函数性质解不等式求解集即可．
【详解】(1) 由表格知：A = 2 且T
2 = 5π
3 - 2π
3 = π，即T = 2π，故ω = 2π
T = 1，
由ωπ
2
+ φ = π
2 + φ = 2π
3 ⇒φ = π
6 ，则f(x) = 2sin x+ π
6
，
所以，表格补充如下：
ωx + φ
0
π
2
π
3π
2
2π
x
５２７
528
π
6
2π
3
7π
6
5π
3
13π
6
Asin(ωx + φ)
0
2
0
-2
0
(2) 由题设g(x) = f x+ π
6
= 2sin x+ π
3
≥0，即2kπ ≤x + π
3 ≤2kπ + π，k ∈Z，
所以2kπ - π
3 ≤x ≤2kπ + 2π
3 ，k ∈Z，即{x 2kπ- π
3 ≤x≤2kπ+ 2π
3
，k ∈Z．
1
某同学用“五点法”画函数f x
= Asin ωx+φ
+ k ω>0,|φ|< π
2
在某一个周期内的图象时，
列表并填入了部分数据，如下表：
ωx + φ
0
π
2
π
3π
2
2π
x
m
π
3
n
5π
6
p
Asin ωx+φ
+ k
1
6
1
-4
1
(1) 求出实数m，n，p 的值；
(2) 求出函数f x
的解析式；
(3) 将y = f x
图象向左平移t t>0
个单位，得到y = g x
的图象．若y = g x
为偶函数，求t 的最
小值．
答案(1)m = π
12 ，n = 7π
12 ，p = 13π
12
(2)f x
= 5sin 2x- π
6
+ 1
(3) π
3
解【分析】(1) 根据表格列方程，解方程得到m，n，p；
(2) 根据表格得到
Asin0+k=1
Asin π
2 +k=6
，解方程得到A=5
k=1
，然后结合(1) 中结论即可得到f x
的解析式；
(3) 根据图象的平移变换得到g x
，根据g x
为偶函数得到g 0
为最值，然后解方程求t 即可．
2
(1) 利用“五点法”画出函数y = sin 1
2 x+ π
6
在长度为一个周期的闭区间的简图．
列表：
1
2 x + π
6
x
y
作图：
５２８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
529
(2) 并说明该函数图象可由y = sinx(x ∈R) 的图象经过怎么变换得到的．
答案(1) 答案见解析；(2) 答案见解析．
解【分析】(1) 利用“五点法”作图，先列表确定五点的坐标，后描点并画图；
(2) 依据三角函数图象的变换规律求解．
【详解】(1) 先列表，后描点并画图．
1
2 x + π
6
0
π
2
π
3π
2
2π
x
- π
3
2π
3
5π
3
8π
3
11π
3
y
0
1
0
-1
0
(2) 把y = sinx(x ∈R) 的图象上所有的点
向左平移π
6 个单位，得到y = sin x+ π
6
的图象，再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵
坐标不变)，得到y = sin 1
2 x+ π
6
的图象．
3
已知函数f(x) = sin 2x- π
6
．
(1) 请用“五点法”画出函数f(x) 在一个周期上的图像(先在所给的表格中填上所需的数字，再画图)；
x
2x - π
6
f(x)
５２９
530
(2) 求f -x+ π
6
的单调递增区间．
答案(1) 答案见解析
(2) kπ+ π
3 ,kπ+ 5π
6
，k ∈Z．
解【分析】(1) 分别令2x - π
6 = 0，π
2 ，π，3π
2 ，2π，列表描点连线可得函数图像；
(2) 将f -x+ π
6
表示出来并化简，利用三角函数的单调性求解即可．
【详解】(1) 分别令2x - π
6 = 0，π
2 ，π，3π
2 ，2π，可得：
x
π
12
π
3
7π
12
5π
6
13π
12
2x - π
6
0
π
2
π
3π
2
2π
f(x)
0
1
0
-1
0
画出在一个周期的图像如图所示：
(2)f -x+ π
6
= sin 2 -x+ π
6
- π
6
= sin -2x+ π
6
=-sin 2x- π
6
，
若求单调递增区间，需满足2kπ + π
2 ≤2x - π
6 ≤2kπ + 3π
2 ，k ∈Z，
∴kπ + π
3 ≤x ≤kπ + 5π
6 ，k ∈Z，
则f -x+ π
6
的单调递增区间为kπ+ π
3 ,kπ+ 5π
6
，k ∈Z．
【题型
【题型2】三角函数图像的平移与伸缩变换
】三角函数图像的平移与伸缩变换
平移时注意点：对于y = sinωx
(1) 确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键．
(2) 当x 的系数是1 时，左移t 个单位则y = sin x+t
．
(3) 当x 的系数是ω(ω > 0) 时，左移t 个单位则y = sin ω x+t
．
５３０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
531
【例】由函数y = sinx 的图像变换为函数y = 2sin 2x+ π
3
+ 3 的图像的步骤；
方法一：先平移后伸缩x→x+ π
3 →2x+ π
3
．
y = sinx 的图像
向左平移π
3 个单位
y = sin x+ π
3
的图像
所有点的横坐标变为原来的1
2
纵坐标不变
y = sin 2x+ π
3
的图像
所有点的纵坐标变为原来的2倍
横坐标不变
y = 2sin 2x+ π
3
的图像
向上平移3个单位
y = 2sin 2x+ π
3
+ 3
方法二：先伸缩后平移x→x+ π
2 →2x+ π
3
．
y = sinx 的图像
所有点的横坐标变为原来的1
2
纵坐标不变
y = sin2x 的图像
向左平移π
6 个单位
y = sin2 x+ π
6
= sin 2x+ π
2
的图像
所有点的纵坐标变为原来的2倍
横坐标不变
y = 2sin 2x+ π
3
的图像
向上平移3个单位
y = 2sin 2x+ π
3
+ 3
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，
无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x”发生多大变化，而不
是“角ωx + φ”变化多少．
注：函数名称不一致的平移：诱导公式化同名
热考题型1
函数名不改变
1
为了得到函数y = 2sin x
3 + π
6
，x ∈R 的图象，只需把函数y = 2sinx，x ∈R 的图象上所有的点
(
)
A. 向左平移π
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
3 倍(纵坐标不变)
５３１
532
B. 向右平移π
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
3 倍(纵坐标不变)
C. 向左平移π
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍(纵坐标不变)
D. 向右平移π
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍(纵坐标不变)
答案C
解析
【分析】根据三角函数平移和伸缩变换原则依次判断各个选项即可．
【详解】记f x
= 2sinx，变换后所得函数为g x
，
对于A，g x
= f 3x+ π
6
= 2sin 3x+ π
6
，A 错误；
对于B，g x
= f 3x- π
6
= 2sin 3x- π
6
，B 错误；
对于C，g x
= f
1
3 x+ π
6
= 2sin x
3 + π
6
，C 正确；
对于D，g x
= f
1
3 x- π
6
= 2sin x
3 - π
6
，D 错误．
热考题型2
函数名改变(结合诱导公式)
2
将函数y = sin 2x+ π
3
的图象平移后所得的图象对应的函数为y = cos2x，则进行的平移是
(
)
A. 向左平移π
12 个单位
B. 向右平移π
6 个单位
C. 向右平移π
12 个单位
D. 向左平移π
6 个单位
答案A
解析
【分析】分析各选项平移后的函数解析式，由此作出判断即可．
【详解】对于A：y = sin 2x+ π
3
向左平移π
12 个单位可得到y = sin 2 x+ π
12
+ π
3
= sin 2x+ π
2
= cos2x，符合；
对于B：y = sin 2x+ π
3
向右平移π
6 个单位可得到y = sin 2 x- π
6
+ π
3
= sin2x ≠cos2x，不符
合；
对于C ：y = sin 2x+ π
3
向右平移π
12 个单位可得到y = sin 2 x- π
12
+ π
3
= sin 2x+ π
6
≠
cos2x，不符合；
对于D：y = sin 2x+ π
3
向左平移π
6 个单位可得到y = sin 2 x+ π
6
+ π
3
= sin 2x+ 2π
3
≠
cos2x，不符合
热考题型3
由平移前后函数性质求参数
3
将函数f x
= cos 3x- π
4
图象上所有点的横坐标缩短为原来的3
4 ，纵坐标不变，再将所得图象
向左平移a(a > 0) 个单位长度，得到函数g x
的图象，若g -x
- g x
= 0，请写出a 的一个可
能值为
．
答案
π
16 (答案不唯一)
解析
【详解】将函数f x
= cos 3x- π
4
图象上所有点的横坐标缩短为原来的3
4 ，纵坐标不变，得
到函数y = cos 4x- π
4
，
５３２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
533
再将所得图象向左平移a(a > 0) 个单位长度，得到函数g x
= cos 4x+4a- π
4
的图象，
因为g -x
- g x
= 0，则g(x) 为偶函数，所以4a - π
4 = kπ(k ∈Z)，解得：a = π
16 + kπ
4 (k ∈Z)，
取k = 0，可得：a = π
16
4
将函数f x
= cos2x - sin2x 的图象向右平移φ 0<φ< π
2
个单位后得到函数g x
的图象，且
g x
的图象关于x = π
4 对称，则φ =
(
)
A. π
4
B. π
3
C. π
2
D. π
8
答案A
解析
【分析】利用三角恒等变换将f x
化简，根据图像平移可得g x
= cos 2x-2φ
，根据余弦函
数的性质可得解．
【详解】由f x
= cos2x - sin2x = cos2x，
∴g x
= cos 2x-2φ
，
则函数g x
的对称轴为x = kπ
2 + φ，k ∈Z，
又g x
的图象关于x = π
4 对称，且0 < φ < π
2 ，
可得φ = π
4 ．
热考题型4
利用函数图像求交点个数
5
(2024·新课标Ⅰ卷·高考真题) 当x ∈[0 , 2π] 时，曲线y = sinx 与y = 2sin 3x- π
6
的交点个数为
(
)
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
答案C
解析
【分析】画出两函数在0,2π
上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数y = sinx 的最小正周期为T = 2π，
函数y = 2sin 3x- π
6
的最小正周期为T = 2π
3 ，
所以在x ∈0,2π
上函数y = 2sin 3x- π
6
有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6 个交点.
1
将函数f x
= sin 2x-φ
0<φ<π
的图象向左平移π
6 个单位后得到函数g x
= sin 2x+ π
6
的
图象，则φ 的值为
(
)
５３３
534
A. - 2π
3
B. π
6
C. π
3
D. 2π
3
答案B
解【分析】首先求平移后的函数解析式，再比较两个函数，即可求解φ．
【详解】函数f x
的图象向左平移π
6 个单位后得到函数为y = sin 2 x+ π
6
-φ
= sin 2x+ π
3 -φ
，
由题意可知，g x
= sin 2x+ π
6
= sin 2x+ π
3 -φ
，
则π
6 + 2kπ = π
3 - φ，得φ = π
6 - 2kπ，k ∈Z，
当k = 0 时，φ = π
6 ．
2
(多选) 要得到函数y = sin 1
2 x- π
4
的图象，只需将函数y = sinx 图象上的所有点
(
)
A. 横坐标伸长到原来的2 倍，再向右平移π
2 个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的2 倍，再向右平移π
4 个单位长度
C. 先向右平移π
4 个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2 倍
D. 先向右平移π
4 个单位长度，再把横坐标缩短到原来的1
2
答案AC
解【详解】要得到函数y = sin 1
2 x- π
4
的图象，只需将函数y = sinx 图象上的所有点先横坐标伸长
到原来的2 倍，再向右平移π
2 个单位长度；
要得到函数y = sin 1
2 x- π
4
的图象，只需将函数y = sinx 图象上的所有点先向右平移π
4 个单位长
度，再把横坐标伸长到原来的2 倍即可
3
已知函数f x
= sin ωx+ π
4
，(x ∈R , ω > 0) 的最小正周期为π，为了得到函数g(x) = cosωx 的
图像，只要将y = f(x) 的图像
(
)
A. 向左平移π
8 个单位长度
B. 向右平移π
8 个单位长度
C. 向左平移π
4 个单位长度
D. 向右平移π
4 个单位长度
答案A
解【分析】根据最小正周期为π 可得ω = 2，进而得到f x
= sin 2x+ π
4
，再根据诱导公式结合三角
函数图象平移的性质分析即可．
【详解】因为函数f x
= sin ωx+ π
4
的最小正周期为π，
所有ω = 2，即f x
= sin 2x+ π
4
，
因为g x
= cosωx = sin ωx+ π
2
，
所以只需将函数f x
图象左平移π
8 个单位长度即可得到函数g x
图象．
4
已知曲线C1：y = cos x，C2：y = sin
2x+ 2π
3
，则下面结论正确的是
５３４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
535
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6 个单位长
度，得到曲线C2
B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12 个单位长
度，得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的1
2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6 个单位
长度，得到曲线C2
D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的1
2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12 个单位
长度，得到曲线C2
答案D
解【详解】把C1 上各点的横坐标缩短到原来的1
2 倍，纵坐标不变，得到函数y = cos2x 图象，再把得
到的曲线向左平移π
12 个单位长度，得到函数y = cos2 x+ π
12
= cos 2x+ π
6
= sin 2x+ 2π
3
的图
象，即曲线C2，
故选D．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，
所以也必须熟练掌握．无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言．函数y = Asin(ωx + φ)
(x ∈R) 是奇函数⇔φ = kπ(k ∈Z)；函数y = Asin(ωx + φ) (x ∈R) 是偶函数⇔φ = kπ + π
2 (k ∈Z)；
函数y = Acos(ωx + φ) (x ∈R) 是奇函数⇔φ = kπ + π
2 (k ∈Z)；函数y = Acos(ωx + φ) (x ∈R) 是偶
函数⇔φ = kπ(k ∈Z)．
5
为得到函数
的图像，只需将函数y = sin2x 的图像
(
)
A. 向左平移5π
12 个长度单位
B. 向右平移5π
12 个长度单位
C. 向左平移
个长度单位
D. 向右平移
个长度单位
答案A
解【分析】设出向左平移φ 个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案．
【详解】y = cos 2x+ π
3
= sin 2x+ π
3 + π
2
= sin 2x+ 5π
6
，
将函数y = sin2x 向左平移φ 个长度单位，得到
，
故2φ = 5π
6 ，解得φ = 5π
12 ，即向左平移5π
12 个长度单位．
6
函数
的图象向右平移π
6 个单位得到函数g x
的图象，若g x
= g -x
，当φ
最小时，φ 的值是
(
)
A. - π
6
B. π
6
C.
D.
答案A
５３５
536
解【分析】由题知
，且为偶函数，进而得
，再讨论φ
最小值
即可得答案．
【详解】解：因为函数
的图象向右平移π
6 个单位得到函数g x
的图象，
所以
，
因为g x
= g -x
，即函数g x
为偶函数，
所以
，即
，
所以当
时，φ
最小，此时φ =- π
6 ．
7
将函数
的图象沿水平方向平移φ
个单位后得到的图象关于直线x = π
4 对称
(
向左移动，
向右移动)，当φ
最小时，则
(
)
A.
B. - π
12
C. π
6
D.
答案C
解【分析】根据图像的平移公式先求出平移后的解析式，再根据平移后的图像关于直线x = π
4 对称，
结合正弦函数的图像性质可得答案．
【详解】将函数
的图象沿水平方向平移φ
个单位后得到
即
由题意
的图像关于直线x = π
4 对称．
所以
，即
当
时，φ = π
6 ，此时φ
最小
8
(2025·江苏扬州·三模) 当x ∈[0 , 2π] 时，曲线y = sin2x 与y = 2sin 2x- π
4
的交点个数为(
)
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
答案B
解【分析】根据五点法作图，在同一坐标系中画出函数图形，判断交点个数.
【详解】作y = sin2x 图像，列表：
2x
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
7π
2
4π
x
0
π
4
π
2
3π
4
π
5π
4
3π
2
7π
4
2π
sin2x
0
1
0
-1
0
1
0
-1
0
５３６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
537
作y = 2sin 2x- π
4
图像，列表：
2x
-
π
4
- π
4
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
7π
2
15π
4
x
0
π
8
3π
8
5π
8
7π
8
9π
8
11π
8
13π
8
15π
8
2π
2sin
2x- π
4
- 2
0
2
0
-2
0
2
0
-2
- 2
在同一坐标系中画出图形，如下图所示，
则两个函数在[0 , 2π] 上有4 个交点.
9
(24 - 25 高二下·湖南·期末) 当x ∈0,2π
时，曲线y = sinx 与y = 2sin 3x- π
6
的交点个数为
(
)
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
答案D
解【分析】根据正弦函数图像的性质作出两函数图象即可.
【详解】因为函数y = sinx 的最小正周期为T = 2π，函数y = 2sin 3x- π
6
的最小正周期为T = 2π
3 ，
所以在x ∈0,2π
上函数y = 2sin 3x- π
6
有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
５３７
538
由图可知，两函数图象有6 个交点.
10
(24 - 25 高一下·山东潍坊·期中) 当x ∈0,2π
时，曲线y = cosx 与y = 3sin 2x+ π
3
的交点个数
为
(
)
A. 8
B. 6
C. 4
D. 3
答案C
解【分析】作出两函数在0,2π
上的图象，结合图象即可得答案.
【详解】对于函数y = 3sin 2x+ π
3
，
当x = 0 时，y = 2sin π
3 =
3，
令2x + π
3 = π
2 ，得x = π
12 ，此时y = 2sin 2× π
12 + π
3
= 2，
令2x + π
3 = π，得x = π
3 ，此时y = 2sin 2× π
3 + π
3
= 0，
令2x + π
3 = 3π
2 ，得x = 7π
12 ，此时y = 2sin 2× 7π
12 + π
3
=-2，
令2x + π
3 = 2π，得x = 5π
6 ，此时y = 2sin 2× 5π
6 + π
3
= 0，
x = 2π 时，y = 2sin 2×2π+ π
3
= 2sin π
3 =
3，
函数y = 2sin 2x+ π
3
的周期T = 2π
2 = π，
结合周期，利用五点法作出图象，
由图知，共有4 个交点.
【题型
【题型3】由图像识别函数解析式
】由图像识别函数解析式
确定y = Asin(ωx + φ) + B(A > 0，ω > 0) 的步骤和方法：
(1) 求A，B ：确定函数的最大值
和最小值
，则A = M-m
2
，B = M+m
2
；
(2) 求
：确定函数的周期
，则ω = 2π
T ；
５３８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
539
(3) 求ϕ：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b 已知) 或代入图象与直线
的交点求解(此时要
注意交点是在增区间还是在减区间)．
②五点法：确定ϕ 值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
1
(2020·新高考1 卷真题) (多选) 下图是函数y = sin(ωx + φ) 的部分图像，则sin(ωx + φ) =
(
)
A. sin x+ π
3
B. sin π
3 -2x
C. cos 2x+ π
6
D. cos 5π
6 -2x
答案BC
解析
【分析】首先利用周期确定
的值，然后确定
的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导
公式可得正确结果．
【详解】由函数图像可知：
，则
，所以不选A，
不妨令
，
当
时，
，
得：
，
即函数的解析式为：
．
而
2
函数
在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为
．
５３９
540
答案
解析
【详解】根据所给的图象，可以看出图象的振幅是
，得到
，看出半个周期的值，得到
，根据函数的图象过点- π
12 ,2
，把点的坐标代入函数解析式，结合φ 的取值范围求出φ 的值，
从而得到三角函数的解析式．
由图象可知，A = ymax = 2，
函数
的最小正周期为
，
所以，
，则函数解析式为
，
因为函数的图象过点- π
12 ,2
，则
，可得
，
因为
，则
，所以，
，解得φ = 2π
3 ，
故函数解析式为
．
3
如图，某地一天中6 时至14 时的温度变化曲线近似满足函数y = Asin(ωx + φ) + b(其中ω > 0，
π
2 < φ < π)，则估计中午12 时的温度近似为
℃；(精确到1℃)
答案27
解析
【详解】由图易得A = 10，b = 20，
所以y = 10sin(ωx + φ) + 20，由T
2 = 8，T = 16
所以ω = 2π
T = 2π
16 = π
8 ，代入10,20
，
所以20 = 10sin
π
8 ×10+φ
+ 20，
即π
8 × 10 + φ = kπ，即φ =- 5π
4 + kπ，
又π
2 < φ < π，所以φ = 3π
4 ，
所以y = 10sin π
8 x+ 3π
4
+ 20，
当x = 12 时，y = 10sin π
8 ×12+ 3π
4
+ 20 ≈27．
1
已知函数f x
= 2cos ωx+φ
的部分图像如图所示，则f
π
2
=
．
５４０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
541
答案
解【分析】首先确定函数的解析式，然后求解
的值即可．
【详解】由题意可得：
，
当
时，
，
令
可得：
，
据此有：
．
2
已知函数f(x) = sin(ωx + φ) (
，
) 的部分图象如图所示，则f(0) =
．
答案
3
2
解【分析】根据已知可推得
，
．然后由函数图象结合五点法以及φ 的范围可得，φ = π
3 ，
．代入
，即可得出答案．
【详解】由已知可得，
，
所以
，ω = 2π
T = 2，
．
又由函数图象结合五点法可得，
，
所以，
．
５４１
542
因为
，
所以φ = π
3 ，
，
所以，
．
3
函数
是常数，
的部分图象如图所示，则
f - π
3
的值是
．
答案-
6
2
解【分析】根据给定的图象，依次求出
即得函数f(x) 解析式，再求出函数值作答．
【详解】观察图象知，
，函数f(x) 的周期
，则ω = 2π
T = 2，
由
，得
，而
，于是
，φ = π
3 ，
因此
，所以
．
4
已知函数f(x) = 2cos ωx+ϕ
ω>0,|ϕ|< π
2
的部分图象如图所示，则f
π
2
=
．
答案- 3
解【分析】由图象可知余弦型函数的周期，求出
，根据“五点作图法”知
π
3 ,0
可看作“五点作
图法”中的第二个点，即可求
，写出函数解析式，求对应函数值．
【详解】由图可知：
(
为f x
的最小正周期)，
即：
，所以
，即
，
故
，
５４２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
543
点
π
3 ,0
可看作“五点作图法”中的第二个点，
所以
，ϕ =- π
6 ，所以
，
所以
．
【题型
【题型4】单调性问题
】单调性问题
函数
y = sinx
y = cosx
y = tanx
图象
单调性
在
2kπ- π
2 ,2kπ+ π
2
( k
∈Z) 上是增函数；
在2kπ+ π
2 ,2kπ+ 3π
2
(k ∈
Z) 上是减函数．
在2kπ-π,2kπ
k∈Z
上是增函数；
在2kπ,2kπ+π
k∈Z
上是减函数．
在kπ- π
2 ,kπ+ π
2
(k ∈
Z) 上是增函数．
热考题型1
求单调区间
1
函数y = 2sinxcosx - 2
2
sin x + 1，x ∈[0，π] 的单调递减区间为
π
8 , 5π
8
．
答案
π
8 ，5π
8
解析
【解答】解：y = 2sinxcosx - 2
2
sin x + 1 = sin2x + cos2x =
2 sin 2x+ π
4
，
令2x + π
4 ∈2kπ+ π
2 ，2kπ+ 3π
2
，k ∈Z，则x ∈kπ+ π
8 ，kπ+ 5π
8
，k ∈Z，
因为x ∈[0，π]，所以x ∈
π
8 ，5π
8
．
热考题型2
复合函数型
2
函数
的单调减区间为
(
)
A.
B.
C.
D.
答案B
解析
【分析】本题首先可求出函数
的定义域，然后求出函数
的单调性，最后根据复合函数的单调性的相关性质以及
的单调性即
５４３
544
可得出结果．
【详解】令
，则
，
因为
，所以
，
即
，解得
，
函数
的定义域为
．
当
时，
，g x
是增函数，
当
时，
，g x
是减函数，
因为
是减函数，
所以根据复合函数的单调性的相关性质易知，
当
时，函数
是减函数
热考题型3
由单调性求参数范围
3
若
在区间-t,t
上单调递增，则实数的取值范围为
(
)
A.
B.
0, π
3
C.
D.
答案D
解析
【详解】令
，
所以
，
所以函数f x
的单调增区间为
，
又因为f x
在-t,t
上单调递增，
则-t,t
是
，
的一个子区间，
当
时，即
，
若-t,t
是
的子集，
则t ∈0, π
6
1
函数f(x) =
3 sin x+ π
3
- cosx 的单调递减区间为
(
)
５４４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
545
A.
π
3 +kπ, 4π
3 +kπ
，k ∈Z
B.
π
6 +kπ, 2π
3 +kπ
，k ∈Z
C.
π
3 +2kπ, 4π
3 +2kπ
，k ∈Z
D.
π
6 +2kπ, 2π
3 +2kπ
，k ∈Z
答案C
解【解答】解：f(x) =
3 sin x+ π
3
- cosx =
3
1
2 sinx+
3
2 cosx
- cosx =
3
2 sinx + 1
2 cosx
= sin x+ π
6
，
令x + π
6 ∈2kπ+ π
2 ，2kπ+ 3π
2
，k ∈Z，则x ∈2kπ+ π
3 ，2kπ+ 4π
3
，k ∈Z，
所以f(x) 的单调递减区间为2kπ+ π
3 ，2kπ+ 4π
3
，k ∈Z．
2
函数f(x) = sin -2x+ π
6
的单调增区间是
(
)
A.
nπ- π
6 ，nπ+ π
3
(n ∈Z)
B.
2nπ- π
6 ，2nπ+ π
3
(n ∈Z)
C.
nπ- 2π
3 ，nπ- π
6
(n ∈Z)
D.
2nπ- 2π
3 ，2nπ- π
6
(n ∈Z)
答案C
解【解答】解：f(x) = sin -2x+ π
6
=-sin 2x- π
6
的单调增区间，即函数y = sin 2x- π
6
的单调
减区间．
令2kπ - 3π
2 ≤2x - π
6 ≤2kπ - π
2 ，求得kπ - 2π
3 ≤x ≤kπ - π
6 ，k ∈z，
故函数函数y = sin 2x- π
6
的单调减区间为nπ- 2π
3 ，nπ- π
6
(k ∈z)
3
函数y = sin2x - cosx 的单调增区间为()．
A.
2kπ,2kπ+ 2π
3
k∈Z
B.
2kπ+π,2kπ+ 4π
3
k∈Z
C.
2kπ,2kπ+ 2π
3
，2kπ+π,2kπ+ 4π
3
k∈Z
D. 不存在
答案C
解【详解】y = sin2x - cosx =-cos2x - cosx + 1 即y =- cosx+ 1
2
2
+ 5
4 ，
由此可知f x
= cosx 与y =- cosx+ 1
2
2
+ 5
4 同增同减即可得函数y = sin2x - cosx 的单调增区间，
则增区间满足-1≤cosx≤- 1
2
-π+2k2π≤x≤2k2π
或- 1
2 ≤cosx≤1
2k4π≤x≤π+2k4π
，k2，k4∈Z，
即
2π
3 +2k1π≤x≤4π
3 +2k1π
-π+2k2π≤x≤2k2π
或- 2π
3 +2k3π≤x≤2π
3 +2k3π
2k4π≤x≤π+2k4π
，k1，k2，k3，k4∈Z，
得x ∈2kπ,2kπ+ 2π
3
或x ∈2kπ+π,2kπ+ 4π
3
k∈Z
，
所以函数的单调增区间为：2kπ,2kπ+ 2π
3
，2kπ+π,2kπ+ 4π
3
k∈Z
．
4
若函数f(x) = 2x + sinxcosx + acosx 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是
．
５４５
546
答案[-1，1]
解【解答】解：∵函数f(x) = 2x + sinxcosx + acosx 在R 上单调递增，
∴f'(x) = 3 - 2
2
sin x - asinx ≥0 恒成立，
设t = sinx(-1 ≤t ≤1)，即2t2+ at - 3 ≤0 恒成立．
t = 0 时，不等式显然成立，
当0 < t ≤1 时，a ≤3
t - 2t，
由y = 3
t - 2t 在(0，1] 递减，得t = 1 时，y 取最小值1，故a ≤1，
当-1 ≤t < 0 时，a ≥3
t - 2t，
由y = 3
t - 2t 在[-1，0) 递减，得t =-1 时，y 取最大值-1，故a ≥-1，
综上：a 的取值范围是[-1，1]
【题型
【题型5】最值与值域问题
】最值与值域问题(4 种类型
种类型)
求三角函数的最值，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理．
(1)y = asinx + bcosx + c，引入辅助角φ tanφ= b
a
，化为y =
a2+b2sin(x + φ) + c
(2)y = asin2x + bsinx + c，设t = sinx，化为二次函数y = at2 + bt + c 在闭区间t ∈[-1 , 1] 上的最值求
解，也可以是y = acos2x + bsinx + c 或y = acos2x + bsinx + c 型．
(3)y = asinxcosx + b(sinx ± cosx) + c，设t = sinx ± cosx，则t2 = 1 ± 2sinxcosx，故sinxcosx =
± t2-1
2
，故原函数化为二次函数y = a ⋅± t2-1
2
+ bt + c 在闭区间[- 2，
2] 上的最值求解．
心为
π
2 +kπ-φ
ω
,b
(k ∈Z)
热考题型1
求指定区间上的值域
1
求y = sinx - cosx，x ∈[0 , π] 的值域．
答案(1) -1,
2
解析
【详解】y = sinx - cosx =
2sin x- π
4
，令t = x - π
4 ∈- π
4 , 3π
4
，
则y =
2sint，t ∈- π
4 , 3π
4
，画草图，如图：
由图知t =- π
4 ，即x = 0 时，y 取最小值为
2sin - π
4
=-1；
t = π
2 ，即x = 3
4 π 时，y 取最大值为
2．
故值域为-1,
2
．
热考题型2
化为二次函数型
５４６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
547
2
(2017·全国·高考真题) 函数f x
= sin2x +
3cosx - 3
4
x∈0, π
2
的最大值是
．
答案1
解析
【详解】化简三角函数的解析式，可得f x
= 1 - cos2x +
3 cosx - 3
4 =-cos2x +
3 cosx +
1
4 =
- cosx-
3
2
2
+ 1，由x ∈0, π
2
，可得cosx ∈[0 , 1]，当cosx =
3
2
时，函数f(x) 取得最大值1．
热考题型3
设t = sinx ± cosx
3
(高一上·湖北武汉·期末) 已知θ ∈0, π
2
，则函数y = sinθ - cosθ + 2sinθcosθ 的值域为
(
)
A.
-1,1
B.
-1-
2, 5
4
C.
1, 5
4
D.
-1, 5
4
答案D
解析
【分析】令t = sinθ - cosθ =
2sin θ- π
4
∈-1,1
，可得出y =-t2 + t + 1，求出二次函数y
=-t2+ t + 1 在-1,1
上的值域即可得解．
【详解】因为θ ∈0, π
2
，则- π
4 ≤θ - π
4 ≤π
4 ，则-
2
2
≤sin θ- π
4
≤
2
2 ，
令t = sinθ - cosθ =
2sin θ- π
4
∈-1,1
，
所以，t2= sinθ-cosθ
2= 1 - 2sinθcosθ，则2sinθcosθ = 1 - t2，
则y = sinθ - cosθ + 2sinθcosθ = t + 1 - t2=-t2+ t + 1，
函数y =-t2+ t + 1 在-1, 1
2
上单调递增，在
1
2 ,1
上单调递减，
所以，ymax =- 1
2
2
+ 1
2 + 1 = 5
4 ，
当t =-1 时，y =-1 - 1 + 1 =-1；当t = 1 时，y =-1 + 1 + 1 = 1，则ymin =-1．
因此，当θ ∈0, π
2
时，则函数y = sinθ - cosθ + 2sinθcosθ 的值域为-1, 5
4
．
4
(高一下·云南昭通·月考) 已知f x
= sinx + cosx + 2sinxcosx，x ∈0, π
2
，则f x
的值域为
．
答案
1,1+
2
解析
【分析】令t = sinx + cosx，再结合平方关系将2sinxcosx 用t 表示，根据三角函数的性质求出
t 的范围，再结合二次函数的性质即可得解．
【详解】令t = sinx + cosx =
2sin x+ π
4
，
则t2= sinx+cosx
2= 1 + 2sinxcosx，故2sinxcosx = t2- 1，
因为x ∈0, π
2
，所以x + π
4 ∈
π
4 , 3π
4
，所以t ∈1,
2
，
令g t
= t + t2- 1 = t+ 1
2
2
- 5
4 ，t ∈1,
2
，则g t
在t ∈1,
2
单调递增，
则当g t
min = g 1
= 1，g t
max = g
2
= 1 +
2，
所以f x
的值域为1,1+
2
．
热考题型4
已知值域求参数范围
5
已知函数f(x) = sin x- π
6
的定义域为[m , n] (m < n)，值域为[0 , 1]，则n - m 的取值范围是()
５４７
548
A.
π
3 ,π
B.
π
3 , 2π
3
C.
π
2 , 2π
3
D.
π
2 ,π
答案D
解析
【详解】当x ∈[m , n] 时，x - π
6 ∈m- π
6 ,n- π
6
．
由题意可得π
2 ≤n - π
6 - m- π
6
≤π，解得n - m ∈
π
2 ,π
．
1
求下列函数的值域．
(1)y = 1 - 3cos 2x+ π
6
，x ∈0, 5π
6
；
(2)y = cos2x + 2cosx，x ∈0, 3π
2
．
答案(1) 1- 3 3
2
,4
；
(2) - 3
2 ,3
．
解【详解】(1) 因为x ∈0, 5π
6
，所以2x + π
6 ∈
π
6 , 11π
6
，
令t = 2x + π
6 ∈
π
6 , 11π
6
，
则y =-3cost + 1，t ∈
π
6 , 11π
6
．
①当t = π 时，y 取最大值4；
②当t = π
6 或11π
6
时，y 取最小值1 - 3 3
2
．
故函数y = 1 - 3cos 2x+ π
6
，x ∈0, 5π
6
的值域为1- 3 3
2
,4
．
(2)y = cos2x + 2cosx = 2cos2x - 1 + 2cosx，x ∈0, 3π
2
．
令t = cosx，t ∈-1,1
，
则y = 2t2+ 2t - 1，t ∈-1,1
，
∴当t =- 1
2 时，y 取最小值- 3
2 ；
当t = 1 时，y 取最大值3．
故函数y = cos2x + 2cosx，x ∈0, 3π
2
的值域为- 3
2 ,3
．
2
函数
的值域是
(
)
A.
2,10
B.
0,10
C.
2,10
D.
-10,-2
答案D
解【分析】利用平方关系将函数写成关于
的一元二次函数形式，再利用换元法求二次函数的值域
即可．
【详解】由
可得
令cosx = t，则t ∈-1,1
，
易知，二次函数
关于t =-2 对称，且开口向上，
所以函数
在t ∈-1,1
为单调递增，
所以，
５４８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
549
所以，其值域为-10,-2
．
3
求y = cosx - sin2x 的值域．
答案
- 5
4 ,1
解【详解】y = cosx - sin2x = cos2x + cosx - 1，
令t = cosx，t ∈-1,1
，
则y = t2+ t - 1 = t+ 1
2
2
- 5
4 ，
故t =- 1
2 时，y 取最小值为- 5
4 ，
t = 1 时，y 取最大值为1，
故其值域为- 5
4 ,1
．
4
(高一上·广东广州·期末) 函数f x
= sinx - cosx + sin2x 在区间0, π
2
上的值域是
．
答案
-1, 5
4
解【分析】令t = sinx - cosx，根据同角的三角函数关系式求出关于sin2x 的表达式，最后利用二次
函数g(t) =-t2+ t + 1 的单调性求出函数的值域．
【详解】令t = sinx - cosx =
2sin x- π
4
，
因为x ∈0, π
2
，x - π
4 ∈- π
4 , π
4
，所以t ∈[-1 , 1]，
f x
= sinx - cosx + sin2x = sinx - cosx - (sinx - cosx)2+ 1 = t - t2+ 1，
设g(t) =-t2+ t + 1，t ∈[-1 , 1]，
显然一元二次函数g(t) =-t2+ t + 1 在区间-1, 1
2
上单调递增，在区间
1
2 ,1
上单调递减，
所以g 1
2
max = 5
4 ，g(-1)min =-1，
所以函数f x
= sinx - cosx + sin2x 的值域为-1, 5
4
．
5
(高三上·江苏连云港·月考) 函数y = sin x + cos x - sin xcos x 的值域为
．
答案
- 1
2 -
2，1
解【分析】根据同角三角函数基本关系化简原函数得到y =- 1
2
sinx+cosx
2 + sinx+cosx
+ 1
2 ，
然后利用换元法求值域即可．
【详解】y = sinx + cosx - sinxcosx = sinx + cosx -
sinx+cosx
2-1
2
=- 1
2
sinx+cosx
2 +
sinx+cosx
+ 1
2 ，
令sinx + cosx =
2sin x+ π
4
= t，则t ∈- 2,
2
，y =- 1
2 t2+ t + 1
2 ，
因为函数y =- 1
2 t2+ t + 1
2 在-∞,1
上单调递增，1,+∞
上单调递减，
所以当t =-1 时取得最大值，ymax =- 1
2 × 12+ 1 + 1
2 = 1，
当t =- 2 时取得最小值，ymin =- 1
2 × - 2
2-
2 + 1
2 =- 1
2 -
2，
５４９
550
所以函数y = sinx + cosx - sinxcosx 的值域为- 1
2 -
2,1
．
6
(高一上·河北沧州·月考) 已知α ∈(0 , π)．
(1) 若sinα + cosα = 2
5 ，求sinαcosα 的值；
(2) 求y = sinαcosα + sinα + cosα 的值域．
答案(1) - 21
50
(2) -1, 1
2 +
2
解【分析】(1) 若sinα + cosα = 2
5 ，两边同时平方，结合同角三角函数的平方关系，可求sinαcosα 的
值；
(2) 令t = sinα + cosα，则有y = 1
2 t 2 + t - 1
2 ，由t 的取值范围结合二次函数的性质，求y =
sinαcosα + sinα + cosα 的值域．
【详解】(1) ∵sinα + cosα = 2
5 ，∵sinα + cosα = 2
5 ，∴(sinα + cosα)2= 1 + 2sinαcosα = 4
25 ，
∴sinαcosα =- 21
50 ．
(2) 令t = sinα + cosα =
2sin α+ π
4
，
因为α ∈(0 , π)，则α + π
4 ∈
π
4 , 5π
4
，所以α ∈(0 , π)，即t ∈-1,
2
，
因为(sinα + cosα)2= t2，即1 + 2sinαcosα = t2，所以sinαcosα = t2-1
2
，
所以y = sinαcosα + sinα + cosα = t2-1
2
+ t = 1
2 t2+ t - 1
2 ，t ∈-1,
2
，
由二次函数性质可知，y = 1
2 t2+ t - 1
2 在-1,
2
上单调递增，
所以y ∈-1, 1
2 +
2
，即y = sinαcosα + sinα + cosα 的值域为-1, 1
2 +
2
．
7
已知y = (cosx - a)2 - 1，当cosx =-1 时，y 取最大值，当cosx = a 时，y 取最小值，则实数a
的取值范围是
(
)
A.
-∞,-1
B.
-1,0
C.
0,1
D.
1,+∞
答案C
解【详解】令t = cosx ∈-1,1
，则y = (t - a)2- 1，t ∈-1,1
，
可知y = (t - a)2- 1 的开口向上，对称轴为t = a，
原题意等价于：当t =-1 时，y 取最大值，当t = a 时，y 取最小值，
结合二次函数对称性可知：0 ≤a ≤1，
所以实数a 的取值范围是0,1
．
8
已知函数
，x ∈0,a
的值域为
，则实数
的取值范围为(
)
A.
π
6 , π
2
B.
π
6 , 5π
6
C.
π
6 ,π
D.
答案C
５５０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
551
解【分析】首先化简函数f x
的解析式，再利用复合函数的值域，求实数
的取值范围．
【详解】
，设t = sinx，
，函数的对称轴为
且
，g 1
2
= 5，g 1
= 4，
因为函数f x
在区间0,a
的值域为
，所以t = sinx 在区间0,a
上能取得
，但是不能小
于0，所以π
6 ≤a ≤π．
9
(高一上·浙江杭州·月考) 已知函数y = sinα + cosα + sinα ⋅cosα 当t = sinα + cosα 时，t ∈
- 2,
2
(1) 若t =
2，求tanα 的值；
(2) 求函数y = sinα + cosα + sinα ⋅cosα 的值域．
答案(1)1
(2) -1, 1
2 +
2
解【分析】(1) 利用辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求解．
(2) 先利用换元法由(1) 可得y = 1
2 t2+ t - 1
2 ；再利用二次函数的单调性求出最值即可得出答案．
【详解】(1) ∵t = sinα + cosα =
2sin α+ π
4
，t =
2．
∴
2sin α+ π
4
=
2，解得：α = π
4 + 2kπ，k ∈Z．
∴tanα = tan π
4 +2kπ
= tan π
4 = 1．
(2) ∵t = sinα + cosα，sin2α + cos2α = 1．
∴t2= sinα+cosα
2= 1 + 2sinαcosα，
∴sinαcosα = t2-1
2
．
则y = sinα + cosα + sinα ⋅cosα = t + t2-1
2
= 1
2 t2+ t - 1
2 ，t ∈- 2,
2
．
∵函数y = 1
2 t2+ t - 1
2 在区间- 2,-1
上单调递减，在区间-1,
2
上单调递增．
∴当t =-1 时，ymin = 1
2 × -1
2- 1 - 1
2 =-1．
又∵当t =- 2 时，y = 1
2 × - 2
2-
2 - 1
2 = 1
2 -
2；
当t =
2 时，y = 1
2 ×
2
2+
2 - 1
2 = 1
2 +
2 > 1
2 -
2．
∴当t =
2 时，ymax = 1
2 +
2．
故函数y = sinα + cosα + sinα ⋅cosα 的值域为-1, 1
2 +
2
．
10
(高一下·江苏镇江·月考) (1) 求
1
sin50° +
3
cos50° 的值；
(2) 已知θ ∈0, π
2
，求函数y = sinθ - cosθ + 2sinθcosθ 的值域．
答案(1)4；(2) -1, 5
4
５５１
552
解【分析】(1) 利用辅助角公式，结合三角函数的诱导公式即可得解；
(2) 利用换元法与辅助角公式、同角的基本关系式将函数转化为关于t 的二次函数，从而得解．
【详解】(1)
1
sin50° +
3
cos50° = cos50°+ 3sin50°
sin50°cos50°
= 2sin 50°+30°
1
2 sin100°
= 2sin80°
1
2 sin80°
= 4．
(2) 令t = sinθ - cosθ =
2sin θ- π
4
，
当θ ∈0, π
2
时，- π
4 ≤θ - π
4 ≤π
4 ，故-
2
2
≤sin θ- π
4
≤
2
2 ，即-1 ≤t ≤1，
又t2= 1 - 2sinθcosθ，所以2sinθcosθ = 1 - t2，
故y = sinθ - cosθ + 2sinθcosθ = t + 1 - t2=- t- 1
2
2
+ 5
4 ，
又y =- t- 1
2
2
+ 5
4 在-1, 1
2
上单调递减，在
1
2 ,1
上单调递增，
所以当t = 1
2 时，y 取得最大值5
4 ，当t =-1 时，函数取得最小值-1，
所以y = sinθ - cosθ + 2sinθcosθ 的值域为-1, 5
4
．
11
已知函数f(x) = sinx ⋅sin x+ π
3
- 1
4 的定义域为[m，n] (m < n)，值域为- 1
2 , 1
4
，则n
- m 的取值范围为
．
答案
π
3 ，2π
3
解【解答】解：f(x) = sinx ⋅sin x+ π
3
- 1
4
= sinx 1
2 sinx+
3
2 cosx
- 1
4
= 1
2
2
sin x +
3
2 sinxcosx - 1
4
= 1
4 (1 - cos2x) +
3
4 sin2x - 1
4
= 1
2
3
2 sin2x- 1
2 cos2x
= 1
2 sin 2x- π
6
，值域为- 1
2 ，1
4
，
sin 2x- π
6
∈-1，1
2
，
所以2x - π
6 ∈2kπ- 7π
6 ，2kπ+ π
6
，
故x ∈kπ- π
2 ，kπ+ π
6
，k ∈Z，
kπ + π
6 - kπ- π
2
= 2π
3 ，
所以n - m 最大值为2π
3 ；
令2x - π
6 =- π
2 ，得x =- π
6 ，
令2x - π
6 = π
6 ，得x = π
6 ，
所以n - m 的最小值为π
6 - - π
6
= π
3 ，
所以n - m 的取值范围是
π
3 ，2π
3
．
５５２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
553
【题型
【题型6】对称性与周期
】对称性与周期
1、一般情况下，f(x) = Asin(ωx + φ) (A > 0，ω > 0) 两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。
2、对称中心之间的距离是半个周期的整数倍。
3、周期与轴之间的距离，是四分之一周期的整数倍。
4、4 正余弦与水平线交点的中点，是函数的对称轴。
5、一般情况下，f(x) = Asin(ωx + φ) + b(A > 0，ω > 0) 的最大值或者最小值，必在对称轴处。
6、对称轴之间的距离，是半个周期的整数倍。
7、求函数f(x) = Asin(ωx + φ) + b(A > 0，ω > 0) 的对称轴的方法；令ωx + φ = π
2 + kπ(k ∈Z)，得x =
π
2 +kπ-φ
ω
(k ∈Z )；对称中心的求取方法；令ωx + φ = kπ(k ∈Z )，得x = kπ-φ
ω
，即对称中心为
kπ-φ
ω
，b
．
8、求函数y = Acos(ωx + φ) + b(w ≠0) 的对称轴的方法；令ωx + φ = kπ(k ∈Z) 得x =
π
2 +kπ-φ
ω
，即
1
已知函数f x
= 3sin ωx- π
6
(其中ω > 0) 的图象与直线y = 3 的两个相邻交点的距离等于2π，
则ω 的值为
(
)
A. 1
2
B. 2
C. 1
D. 3
答案C
解析
【详解】由函数f x
= 3sin ωx- π
6
的图象与直线y = 3 的两个相邻交点的距离等于2π，又ω
> 0，
所以T = 2π = 2π
ω ，可得ω = 1．
2
(高一·浙江杭州·期末) 将函数y = 3sin 2x+ π
4
的图象向右平移π
6 个单位长度，则平移后函数图
象的解析式为
；平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是
．
答案f x
= 3sin 2x- π
12
x =- 5π
24
解析
根据三角函数的图象变换，化简得到f x
= 3sin 2x- π
12
，再结合三角函数的性质，即可求
解．
【详解】由题意，函数y = 3sin 2x+ π
4
的图象向右平移π
6 个单位长度，
可得f x
= 3sin 2 x- π
6
+ π
4
= 3sin 2x- π
12
，
即平移后函数图象的解析式为f x
= 3sin 2x- π
12
令2x - π
12 = π
2 + kπ，k ∈Z，解得x = 7π
24 + kπ
2 ，k ∈Z，
当k = 0 时，x = 7π
24 ；
５５３
554
当k =-1 时，x =- 5π
24 ，
所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是x =- 5π
24 ．
故答案为：f x
= 3sin 2x- π
12
；x =- 5π
24 ．
3
(高一下·浙江衢州·期末) 一学生在求解以下问题“已知函数y = f x
的图象关于直线x = 2 对称，
关于3,6
中心对称，且f 2
= 4，求S = f 1
+ f 2
+⋯+f 10
的值”时，思路如下：令f(x)
= Asin(ωx + φ) + b(A > 0，0 < φ < π)，由对称轴和对称中心可求得T = 4，再由对称轴求φ，对
称中心求b，根据以上信息可得
(
)
A. φ = π
2
B. b = 6
C. S = 60
D. S = 58
答案ABD
解析
【分析】根据已知条件可求得f(x) = 2sin π
2 x+ π
2
+ 6，结合周期的性质可求S，可得结论．
【详解】因为函数y = f x
的图象关于3,6
中心对称，所以b = 6，
函数y = f x
的图象关于直线x = 2 对称，且f 2
= 4，
可得f 2
=-A + b = 4，解得A = 2，
又因为y = f x
的图象关于3,6
中心对称，关于直线x = 2 对称，
可得周期T = 4(3 - 2) = 4，所以T = 2π
ω = 4，解得ω = π
2 ，
又x = 2 时，f(2) = 2sin(π + φ) + 6 = 4，解得sinφ = 1，
又0 < φ < π，可得φ = π
2 ，所以f(x) = 2sin π
2 x+ π
2
+ 6 = 2cos π
2 x + 6，
所以f(1) = 2cos π
2 + 6 = 6，f(3) = 2cos 3π
2 + 6 = 6 = 4，f(4) = 2cos 4π
2 + 6 = 8，
所以f 1
+ f 2
+ f(3) + f 4
= 24，
S = f 1
+ f 2
+⋯+f 10
= 2 × 24 + f 1
+ f 2
= 58．
1
(·广东深圳·月考) (多选) 将函数f(x) = tan2x 的图象向右平移π
6 个单位长度得到函数g(x) 的图
象，则下列结论正确的为
(
)
A. g x
的最小正周期为π
2
B. g x
的图象关于直线x = 5π
12 对称
C. g x
在区间0, π
3
上单调递减
D. f x
的图象与g x
的图象关于
π
12 ,0
对称
答案AD
解【分析】先根据左加右减得到g x
的解析式，A 选项，根据正切函数最小正周期公式求出A 正确；
B 选项，g 5π
12
= tan π
2 无意义，B 错误；C 选项，整体法判断出函数的单调性；D 选项，计算出
f
π
6 -x
+ g x
= 0，故D 正确．
【详解】由题意得g(x) = tan2 x- π
6
= tan 2x- π
3
，
A 选项，g x
的最小正周期为T = π
2 ，A 正确；
B 选项，因为正切函数没有对称轴，故x = 5π
12 不是g x
的对称轴，B 错误；
C 选项，当x ∈0, π
3
时，2x - π
3 ∈- π
3 , π
3
，
５５４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
555
由于y = tanz 在z ∈- π
3 , π
3
上单调递增，故g x
在0, π
3
上单调递增，C 错误；
D 选项，f
π
6 -x
+ g x
= tan π
3 -2x
+ tan 2x- π
3
= 0，
故f x
的图象与g x
的图象关于
π
12 ,0
对称，D 正确．
2
已知直线x = 5π
12 和x = 17π
12 都是函数y = f x
图象的对称轴，则f x
的解析式可能为
(
)
A. f x
= sin 2x- π
3
B. f x
= sin 2x- π
6
C. f x
= sin 4x+ π
3
D. f x
= sin x- π
6
答案A
解【详解】由题可知，当x = 5π
12 或x = 17π
12 时，f x
取得最值；
对于A：f 5π
12
= sin 2× 5π
12 - π
3
= sin π
2 = 1，
f 17π
12
= sin 2× 17π
12 - π
3
= sin 5π
2 = 1，符合题意，故A 正确；
对于B：f 5π
12
= sin 2× 5π
12 - π
6
= sin 2π
3 =
3
2 ，故B 错误；
对于C：f 5π
12
= sin 4× 5π
12 + π
3
= sin2π = 0，故C 错误；
对于D：f 5π
12
= sin 5π
12 - π
6
= sin π
4 =
2
2 ，故D 错误．
3
设函数f(x) = 3sin ωx+ 2π
3
(ω > 0) 与函数g(x) = 2cos(3x + φ) φ
≤π
3
的对称轴完全相同，则
φ 的值为
．
答案π
6
解【详解】由题意，求函数g x
= cos(3x + φ)，
φ
≤π
3
的对称轴，令3x + φ = kπ，解得x =
kπ-φ
3
(k ∈Z)
函数f(x) = 3sin ωx+ 2π
3
(ω > 0)，令ωx + 2π
3 = mπ + π
2 ，解得x =
mπ- π
6
ω
m∈Z
，
因为函数，f(x) = 3sin ωx+ 2π
3
(ω > 0) 与函数g(x) = 2cos(3x + φ) φ
≤π
3
的对称轴完全相同，则
周期也相同，故ω = 3，
mπ- π
6
3
= kπ-φ
3
，所以φ = π
6 ．
4
函数f x
= sin ωx+ π
3
(ω > 0) 的图象在区间0,1
上恰有一条对称轴和一个对称中心，则ω 的
取值范围为
(
)
A.
2
3 π, 7
6 π
B.
2
3 π, 7
6 π
C.
2
3 π, 7
6 π
D.
2
3 π, 7
6 π
答案C
解【详解】由x ∈0,1
，设t = ωx + π
3 ，则t ∈
π
3 ,ω+ π
3
，
由图可知直线x = ω + π
3 在线段AB 之间，不含点A，
５５５
556
所以π < ω + π
3 ≤3π
2 ，得2π
3 < ω ≤7π
6 ．
5
已知函数f n
= 2sin nπ
2 + π
4
+ 1 n∈N ∗
，则f 1
+ f 2
+ f 3
+⋯+f 2025
=
(
)
A. 2025
B. 2025 +
2
C. 2026 +
2
D. 2026 2
答案B
解【详解】由f n
= 2sin nπ
2 + π
4
+ 1 n∈N ∗
得f 4k+m
= 2sin 2kπ+ mπ
2
+ π
4
+ 1 = 2sin mπ
2
+ π
4
+ 1，k，m∈N *
，
所以f 1
+ f 2
+ f 3
+ f 4
= 2sin π
2 + π
4
+ 2sin 2π
2 + π
4
+ 2sin 3π
2 + π
4
+ 2sin 4π
2 + π
4
+
4 = 4，
所以f 1
+ f 2
+ f 3
+⋯+f 2025
= 4 × 2024
4
+ 2sin 2025π
2
+ π
4
+ 1 = 2025 +
2
6
函数f x
= x-1
与函数
的图象所有交点的横坐标之和为
．
答案10
解【分析】判断函数f x
的性质与最小值，判断函数g x
的性质，作出函数f x
与g x
的大致图
象，判断两个图象在1,+∞
上的交点情况，根据对称性得结果．
【详解】因为
，所以函数f x
的图象关于直线
对称，
且f x
在-∞,1
上单调递减，在1,+∞
上单调递增，
所以f x
的最小值为f 1
= 0．
所以函数g x
的图象关于直线
对称，且g x
的最大值为2．
由于f x
的图象和g x
的图象都关于直线
对称，
所以先考虑两个图象在1,+∞
上的情形，
易知g x
在1, 7
5
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增，在
13
5 ,3
上单调递减．
易知
，
，
所以可作出函数f x
与g x
的大致图象如图所示，
５５６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
557
所以f x
的图象和g x
的图象在1,+∞
上有5 个交点．
根据对称性可知两函数图象共有10 个交点，且两两关于直线
对称，
因此所有交点的横坐标之和为2 × 5 = 10．
【题型
【题型7】三角函数性质辨析
】三角函数性质辨析
在多选题中经常出现三角函数性质辨析题，其常见选项有
辨析1：判断x = a 或a,0
是否为对称轴或对称中心
辨析2：在某区间上有是否单调递增(减)；
辨析3：判断在某区间上有多少个零点或对称轴
辨析4：判断在某区间上的值域
辨析5：给出限制条件辨析参数范围是否正确
1
(高一上·湖北武汉·期末) 已知函数f x
= sin ωx+φ
ω>0,0<φ< π
2
的部分图象如图所示，则
下列结论正确的是
(
)
A. f x
的图象关于点- π
3 ,0
对称
B. f x+ π
6
为奇函数
C. f x
在区间-π,- π
2
上单调递增
D. f x
的图象关于直线x = π
6 对称
答案D
解析
【分析】根据函数图象求得φ，ω，然后根据三角函数的对称性、单调性、奇偶性等知识对选项
进行分析，从而确定正确答案．
【详解】由题可知f 0
= sinφ = 1
2 ，又因0 < φ < π
2 ，所以φ = π
6 ，则f x
= sin 2ωx+ π
6
，
f 2π
3
= sin 4π
3 ω+ π
6
=-1，则4π
3 ω + π
6 = 2kπ + 3π
2 ，k ∈Z，所以ω = 3
2 k + 1，k ∈Z，
５５７
558
由于T = 2π
2ω = π
ω > 2π
3 ，所以0 < ω < 3
2 ，所以ω = 1，则f x
= sin 2x+ π
6
．
对A：f - π
3
= sin - 2π
3 + π
6
= sin - π
2
=-1，故A 错误；
对B：f x+ π
6
= sin 2 x+ π
6
+ π
6
= sin 2x+ π
2
= cos2x 为偶函数，故B 错误；
对C：-π ≤x ≤- π
2 ，则- 11π
6
≤2x + π
6 ≤- 5π
6 ，函数f x
不具有单调性，故C 错误；
对D：当x = π
6 时，f
π
6
= sin π
3 + π
6
= 1，则x = π
6 是函数f x
的一条对称轴，故D 正确．
2
(高一上·广东深圳·期末) (多选) 函数f(x) = Asin(ωx + φ) A>0，ω>0，|φ|< π
2
的部分图象如图
所示，下列结论中正确的是
(
)
A. φ = π
3
B. 函数f(x) 的图象关于点- π
6 ,0
对称
C. 函数f(x) 在- 5π
12 , π
12
上单调递增
D. 将函数f(x) 的图象向右平移π
12 个单位得到函数g(x) = sin 2x+ π
4
的图象
答案ABC
解析
【分析】借助图象周期求出ω、再由定点结合范围求出φ，得出解析式后结合正弦型函数性质可
得A、B、C，结合函数图象的平移可得D．
【详解】对于选项A：由题意可得T
4 = 7π
12 - π
3 = π
4 ，故T = π，
则ω = 2π
π = 2，f 7π
12
= sin 2× 7π
12 +φ
=-1，
即7π
6 + φ =- π
2 + 2kπ(k ∈Z)，解得φ =- 5π
3 + 2kπ，
又|φ| < π
2 ，即φ =- 5π
3 + 2π = π
3 ，故A 正确；
对于选项B：即f(x) = sin 2x+ π
3
，当x =- π
6 时，有2x + π
3 = 0，
故f(x) 的图象关于点- π
6 ,0
对称，故B 正确；
对于选项C：令t = 2x + π
3 ，则y = sint，
当x ∈- 5π
12 , π
12
时，t = 2x + π
3 ∈- π
2 , π
2
，
而y = sint 在- π
2 , π
2
单调递增，故C 正确；
对于选项D：将函数f(x) 的图象向由右平移π
12 个单位得到g x
= f x- π
12
= sin 2 x- π
12
+ π
3
= sin 2x+ π
6
，故D 错误．
５５８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
559
1
(高一上·浙江温州·期末) (多选) 已知函数f x
= sin 2x+ 5π
6
，则下列结论正确的是
(
)
A. f x
的最小正周期为π
B. f x
的图象关于直线x = 7π
12 对称
C. f x- 5π
12
是奇函数
D. f x
的单调递减区间为kπ- π
6 ，kπ+ π
3
k∈Z
答案ACD
解【分析】根据正弦型函数最小正周期的计算公式即可判断选项A；利用代入验证法即可判断选项B；
根据奇函数的定义及三角函数的诱导公式即可判断选项C；利用整体代入法及正弦函数的单调性即可
判断选项D．
【详解】对于选项A：因为f x
的最小正周期为T = 2π
2 = π，故选项A 正确；
对于选项B：因为f 7π
12
= sin 2× 7π
12 + 5π
6
= 0，
所以f x
的图象不关于直线x = 7π
12 对称，故选项B 错误；
对于选项C：因为f x- 5π
12
= sin 2 x- 5π
12
+ 5π
6
= sin2x，定义域为R，且sin -2x
=-sin2x，
所以f x- 5π
12
是奇函数，故选项C 正确；
对于选项D：令π
2 + 2kπ ≤2x + 5π
6 ≤3π
2 + 2kπ，k ∈Z，
得：- π
6 + kπ ≤x ≤π
3 + kπ，k ∈Z，
所以f x
的单调递减区间为kπ- π
6 ，kπ+ π
3
k∈Z
，故选项D 正确．
2
(高一上·江苏盐城·期末) (多选) 已知函数f(x) = Acos(ωx + φ) A>0，ω>0，φ
< π
2
的部分图
象如图所示，则下列结论正确的有()．
A. f(x) 的最小正周期为π
B. f x+ π
6
为偶函数
C. f(x) 在区间0, π
4
内的最小值为1
D. f(x) 的图象关于直线x =- 2π
3 对称
答案AC
解【分析】根据给定的三角函数的图象，得到函数的解析式为f x
= 2cos 2x- π
6
，根据余弦函数的
性质，逐项判定，即可求解．
【详解】根据函数f x
= Acos ωx+φ
A>0,ω>0, φ
< π
2
的部分图象，
５５９
560
可得A = 2，1
4 T = 1
4 ⋅2π
ω = 7π
12 - π
3 = π
4 ，可得ω = 2，T = π，故选项A 正确；
由2 × π
12 + φ = 2kπ，k∈Z
得φ =- π
6 + 2kπ，k∈Z
，又φ
< π
2 ，所以φ =- π
6 ，
所以f x
= 2cos 2x- π
6
，所以f x+ π
6
= 2cos 2 x- π
6
- π
6
= 2cos 2x- π
2
= 2sin2x，
因为定义域为R，且2sin -2x
=-2sin2x，所以f x+ π
6
为奇函数，故选项B 错误；
当x ∈0, π
4
，可得2x - π
6 ∈- π
6 , π
3
，所以cos 2x- π
6
∈
1
2 ,1
，所以f x
∈1,2
，
故f(x) 在区间0, π
4
内的最小值为1，选项C 正确；
当x =- 2π
3 时，可得f - 2π
3
= 2cos - 3π
2
= 0，所以函数y = f x
的对称中心为- 2π
3 ,0
，
即函数y = f x
的图象不关于直线x =- 2π
3 对称，所以D 错误．
3
(高一上·江苏淮安·期末) 用“五点法”作函数f x
= Asin ωx+φ
+ B A>0，ω>0，φ
< π
2
在
一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数y = f x
描述正确的是
(
)
ωx + φ
0
π
2
π
3π
2
2π
x
a
π
3
b
5π
6
c
f x
1
3
1
d
1
A. 函数f x
的最小正周期是π
B. 函数f x
的图象关于点
5π
6 ,0
对称
C. 函数f x
的图象关于直线x = π
3 对称
D. 函数f x
与g x
=-2cos 2x+ π
3
+ 1 表示同一函数
答案ACD
解【分析】根据表格及三角函数的图象与性质一一分析选项即可．
【详解】根据表格可知
ω⋅π
3 +φ= π
2
ω⋅5π
6 +φ= 3π
2
⇒
ω=2
φ=- π
6
，且B=1
A=2
，则f x
= 2sin 2x- π
6
+ 1，
由正弦函数的周期性可知f x
的最小正周期为T = 2π
ω = π，故A 正确；
由已知结合正弦函数的对称性可知：
x = 5π
6 ⇒f x
= 2sin 2× 5π
6 - π
6
+ 1 = 2sin 3π
2 + 1 =-1，
显然f x
此时取得最小值，所以f x
的图象不关于点
5π
6 ,0
对称，故B 错误；
由已知结合正弦函数的对称性可知：
x = π
3 ⇒f x
= 2sin 2× π
3 - π
6
+ 1 = 2sin π
2 + 1 = 3，此时f x
取得最大值，
所以f x
的图象关于直线x = π
3 对称，故C 正确；
５６０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
561
由诱导公式可知g x
=-2cos 2x+ π
3
+ 1 = 2sin 2x+ π
3 - π
2
+ 1 = f x
，故D 正确．
4
(高一上·浙江杭州·期末) (多选) 关于函数f x
=
3 sin 2x- π
6
+ 2sin2 x- π
12
，下列结论正确
的是
(
)
A. 函数f x
的最大值是2
B. 函数f x
在- π
12 , 5π
12
单调递减
C. 函数f x
的图像可以由函数y = 2sin2x + 1 的图像向右平移π
6 个单位得到
D. 若方程f x
- m = 0 在区间
π
12 , π
2
有两个实根，则m ∈[ 3 + 1，3]
答案BC
解【分析】根据题意，化简函数f x
= 2sin 2x- π
3
+ 1，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，
即可求解．
【详解】由函数f x
=
3sin 2x- π
6
+ 2sin2 x- π
12
=
3sin 2x- π
6
- cos 2x- π
6
+ 1
= 2
3
2 sin 2x- π
6
- 1
2 cos 2x- π
6
+1=2sin 2x- π
3
+1，
对于A 中，当sin 2x- π
3
= 1 时，函数f x
的最大值为3，所以A 错误；
对于B 中，当x ∈- π
12 , 5π
12
时，可得2x - π
3 ∈- π
2 , π
2
，
根据正弦函数的性质，可得正弦函数单调递增，所以B 正确；
对于C 中，函数y = 2sin2x + 1 的图象向右平移π
6 个单位得到函数y = 2sin 2x- π
3
+ 1 的图象，所
以C 正确；
对于D 中，令- π
2 + 2kπ ≤2x - π
3 ≤π
2 + 2kπ，k ∈Z，解得- π
12 + kπ ≤x ≤5π
12 + kπ，k ∈Z，
所以f x
在- π
12 +kπ, 5π
12 +kπ
，k ∈Z 上单调递增，
令π
2 + 2kπ ≤2x - π
3 ≤3π
2 + 2kπ，k ∈Z，解得5π
12 + kπ ≤x ≤11π
12 + kπ，k ∈Z，
所以f x
在
5π
12 +kπ, 11π
12 +kπ
，k ∈Z 上单调递减，
当x ∈
π
12 , π
2
时，函数f x
在
π
12 , 5π
12
上单调递增，在
5π
12 , π
2
上单调递减，
且f
π
12
= 1，f 5π
12
= 3，f
π
2
=
3 + 1，
所以f x
- m = 0 在区间
π
12 , π
2
上有两个实根，可得m ∈[ 3 + 1，3)，所以D 不正确．
5
(高一上·江苏无锡·期末) 函数f x
=
2 sin ωx+φ
0<ω≤2,- π
2 <φ< π
2
的部分图象如图所
示，则下列说法中正确的是
(
)
５６１
562
A. φ = π
4
B. f x
的表达式可以写成f x
=
2cos 2x+ 5π
4
C. f x
的图象向右平移3π
8 个单位长度后得到的新函数是奇函数
D. 若方程f x
= 1 在0,m
上有且只有6 个根，则m ∈
5π
2 , 13π
4
答案BCD
解【分析】A 选项，将0,-1
代入解析式得到sinφ =-
2
2 ，结合- π
2 < φ < π
2 求出φ =- π
4 ；B 选
项，结合π
8 为函数的零点，得到ω = 2，得到函数解析式，并结合诱导公式得到B 正确；C 选项，先
得到平移后的解析式，从而根据函数奇偶性定义进行判断；D 选项，转化为sinz =
2
2
在z ∈
- π
4 ,2m- π
4
上有6 个解，数形结合得到不等式组，求出m 的取值范围．
【详解】A 选项，由图象可得，函数过点0,-1
，
将0,-1
代入得
2sinφ =-1，故sinφ =-
2
2 ，
又- π
2 < φ < π
2 ，解得φ =- π
4 ，A 错误；
B 选项，f x
=
2sin ωx- π
4
，
又π
8 为函数的第一个正零点，故
2sin ωπ
8 - π
4
= 0，
故ωπ
8
- π
4 = 0 + kπ，k ∈Z，解得ω = 2 + 8k，k ∈Z，
因为0 < ω ≤2，故只有当k = 0 时满足要求，此时ω = 2，
故f x
=
2sin 2x- π
4
=
2cos 2x- π
4 + 3π
2
=
2cos 2x+ 5π
4
，B 正确；
C 选项，f x
的图象向右平移3π
8 个单位长度后得到的新函数为g x
=
2sin 2 x- 3π
8
- π
4
，
即g x
=
2sin 2x-π
=- 2sin2x，其定义域为R，故g x
为奇函数，C 正确；
D 选项，令
2sin 2x- π
4
= 1 得sin 2x- π
4
=
2
2 ，
当x ∈0,m
时，2x - π
4 ∈- π
4 ,2m- π
4
，
要想sinz =
2
2
在z ∈- π
4 ,2m- π
4
上有6 个解，
则2m - π
4 ∈
19π
4
, 25π
4
，解得m ∈
5π
2 , 13π
4
，
若方程f x
= 1 在0,m
上有且只有6 个根，则m ∈
5π
2 , 13π
4
，D 正确．
6
(高一上·广东深圳·期末) (多选) 已知函数f(x) = sin(ωx + φ) (ω > 0，0 < φ < π)，x =- π
4 为f(x)
５６２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
563
的零点，且在
π
6 ，π
3
上单调递减，则下列结论正确的是
(
)
A. φ = π
4 ω
B. 若f
π
6
+ f
π
3
= 0，则f
π
4
= 0
C. f x+ π
4
是偶函数
D. ω 的取值范围是
6
5 , 18
7
答案ABD
解【分析】对A，将x =- π
4 代入f x
结合题目条件可得φ 的值；对B，由函数f(x) 的图象是中心对
称图形，且π
4 = 1
2
π
6 + π
3
即可得；对C，由f x+ π
4
无法判断奇偶性可得；对D，结合函数单
调性即可得．
【详解】对于A 选项，由x =- π
4 是f(x) 的零点得sin - πω
4 +φ
= 0，
所以- πω
4
+ φ = kπ k∈Z
，即φ = πω
4
+ kπ k∈Z
，
因为ω > 0，0 < φ < π，所以φ = πω
4 ，故A 正确；
对于B 选项，函数f(x) 的图象是中心对称图形，
由f
π
6
+ f
π
3
= 0 得x = π
4 是函数f(x) 的对称中心，
所以f
π
4
= 0，故B 正确；
对于C 选项，f x+ π
4
= sin ωx+ πω
2
，奇偶性无法判断，故C 错误；
对于D 选项，由A 选项得f x
= sin ωx+ πω
4
，
因为函数f(x) 在
π
6 ，π
3
上单调递减，
所以
πω
6 + πω
4 ≥π
2 +2kπ
πω
3 + πω
4 ≤3π
2 +2kπ
，k∈Z
，
得6
5 + 24
5 k ≤ω ≤18
7 + 24
7 k k∈Z
(ω > 0)，
所以当k = 0 时，6
5 ≤ω ≤18
7 ，当k = 1 时，ω 无解，
所以ω ∈
6
5 ，18
7
，故D 正确．
【题型
【题型8】由三角函数性质求参数的值
】由三角函数性质求参数的值
1
(2023·全国·统考高考真题) 已知函数f(x) = sin(ωx + φ) 在区间
π
6 , 2π
3
单调递增，直线x = π
6 和
x = 2π
3 为函数y = f x
的图像的两条相邻对称轴，则f - 5π
12
=
(
)
A. -
3
2
B. - 1
2
C. 1
2
D.
3
2
答案D
解析
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入
即可得到答案．
【详解】因为
在区间
单调递增，
５６３
564
所以
，且
，则
，
，
当
时，
取得最小值，则
，
，
则
，
，不妨取
，则
，
则
2
(2022·全国·统考高考真题) 记函数f(x) = sin ωx+ π
4
+ b(ω > 0) 的最小正周期为T．若2π
3 < T <
π，且y = f(x) 的图象关于点
3π
2 ,2
中心对称，则f
π
2
=
(
)
A. 1
B. 3
2
C. 5
2
D. 3
答案A
解析
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解．
【详解】由函数的最小正周期T 满足
，得
，解得
，
又因为函数图象关于点
对称，所以
，且
，
所以
，所以
，
，
所以
．
3
已知函数
满足
恒成立，
，且
f x
在区间0,2π
上有5 个零点，则
．
答案
解析
【分析】由
可知f
π
6ω
= 1，由此可求得φ 的值；根据函数f x
在区间0,2π
零点的个数，结合正弦函数的图象可知
的取值范围；由
可知函数的对称轴，得出
，再结合
的取值范围即可得出
的值．
【详解】由题意
，
所以
，得
，
因为0 < φ < π
2 ，所以φ = π
3 ，所以
；
５６４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
565
因为f x
在区间0,2π
上有5 个零点，
所以
，
得7
3 ≤ω < 17
6 ；
因为
，
所以函数
的图象关于直线
对称，
所以
，得
，所以ω = 7
3 ．
1
已知函数
在区间
上单调递减，直线
和x = 2π
3 为函数y = f x
的图
象的两条相邻对称轴，则f
π
3
=
(
)
A. -
3
2
B.
C.
D.
3
2
答案C
解【分析】由题求出
，得到
，然后根据最值得出
，
求出y = f x
的解析式，得出答案．
【详解】因为直线
和x = 2π
3 为函数y = f x
的图象的两条相邻对称轴，
所以
，且
，则
，
又
在区间
上单调递减，
所以当
时，f x
取得最大值，则
，
则
，不妨取
，则
，则
2
(高一上·江苏南通·期末) 设函数f x
= sin ωx+ π
4
ω>0
的最小正周期为T．若2π < T < 3π，
且对任意x ∈R，f x
+ f
π
3
≥0 恒成立，则ω =
(
)
A. 2
3
B. 3
4
C. 4
5
D. 5
6
答案B
解【分析】由2π < T < 3π 可得2
3 < ω < 1，由对任意x ∈R，f x
+ f
π
3
≥0 恒成立，可得f x
min
+ f
π
3
≥0，计算即可得．
【详解】由f x
+ f
π
3
≥0，且f x
∈-1,1
，故f
π
3
= 1，
即有ω ⋅π
3 + π
4 = π
2 + 2kπ k∈Z
，解得ω = 3
4 + 6k k∈Z
，
５６５
566
又2π < T < 3π，ω > 0，故2π < 2π
ω < 3π，即2
3 < ω < 1，
综上，ω = 3
4 ．
3
已知函数f x
= 2sin ωx+φ
ω>0,φ∈0,2π
在区间
π
3 , 5π
6
上单调递减，f
π
3
=-f 5π
6
= 1，则ωφ =
(
)
A. π
3
B. 5π
6
C. 11π
27
D. 7π
9
答案C
解【详解】∵f x
在区间
π
3 , 5π
6
上单调递减，∴5π
6 - π
3 ≤π
ω ，∴0 < ω ≤2，
由f
π
3
= 1，得sin ω⋅π
3 +φ
= 1
2 ，∴ω ⋅π
3 + φ = 2k1π + 5π
6
k1∈Z
①．
又f
π
3
=-f 5π
6
= 1，∴f x
图象关于点
7π
12 ,0
对称，
即ω ⋅7π
12 + φ = 2k2π + π k2∈Z
②．由②- ①得ω ⋅π
4 = 2 k2-
k1
π + π
6 ⇒ω = 2
3 + 8 k2-
k1
，由于
0 < ω ≤2，
则ω = 2
3 ，代入①，即2π
9 + φ = 2k1π + 5π
6
k1∈Z
⇒φ = 2k1π + 11π
18 ，
由于φ ∈0,2π
，则φ = 11π
18 ，则ωφ = 11π
27 ．
4
已知函数f(x) = sin(ωx + φ) 在区间- π
6 , π
3
单调递增，直线x =- π
6 和
为函数y = f x
的
图像的两条相邻对称轴，则
(
)
A. -
3
2
B.
C.
D.
3
2
答案A
解【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x =- π
12 即可得到答案．
【详解】因为
在区间- π
6 , π
3
上单调递增，且直线x =- π
6 与
为y = f x
相
邻的两条对称轴，
所以
，即
，且
，∴ω = 2π
T = 2，
又x =- π
6 时取得最小值，即f - π
6
=-1，所以
，
得
，
．
5
已知函数
有一个零点为
为其图象的一条对称轴．且函数
５６６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
567
f x
在区间
上单调递增，则f - π
6
=
(
)
A.
B.
C.
3
2
D. -
3
2
答案A
解【分析】根据题意可知
，利用T = 2π
ω = π，可求得
的值，再根据f 2π
3
= 1 可求
得φ 的值，求出f x
的解析式后，即可求值．
【详解】由题意可知
，则T = 2π
ω = π，
故
，所以
，
又x = 2π
3 为其图象的一条对称轴，
且函数f x
在区间
上单调递增，则
，
所以
，
故
，可取φ =- 5π
6 ，
则
，所以f - π
6
= sin - π
3 - 5π
6
= sin - 7π
6
= 1
2 ．
6
函数
满足f - π
3
= 0 ，且
恒成立，若f x
在区间
- π
3 , π
3
上有最小值而无最大值，则
．
答案9
4
解【分析】由题意可得- π
3 ,0
为函数的对称中心，
为函数的对称轴，再结合f x
在区间
- π
3 , π
3
上有最小值而无最大值，可得
，即可得解．
【详解】因为f - π
3
= 0，所以- π
3 ,0
为函数的对称中心，
因为
恒成立，所以f
π
3
= 1，
所以
为函数的对称轴，
又因为f x
在区间- π
3 , π
3
上有最小值而无最大值，
所以
，解得
【题型
【题型9】三角函数新定义问题
】三角函数新定义问题
1
计算器是如何计算sinx、
、
、
、
等函数值的？计算器使用的是数值计算法，如
５６７
568
，
，其中n! = 1 × 2 × 3 ×⋯× n，英国数学家
泰勒(B．Taylor，1685 - 1731) 发现了这些公式，可以看出，右边的项用得超多、计算得出的
sinx 和
的值也就越精确，运用上述思想，可得到
的近似值为
(
)
A.
B.
C.
D.
答案C
解析
【分析】取
代入公式
中，直接计算取近似值即可．
【详解】
．
1
定义：正割
，余割
．已知
为正实数，且
对任意
的实数
均成立，则
的最小值为
(
)
A. 1
B. 4
C. 8
D. 9
答案D
解【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题
【详解】由已知可得m ∙csc2x + tan2x =
m
sin2x + sin2x
cos2x ≥15，
即
．
因为x ≠kπ + π
2 (k ∈Z)，所以cos2x ∈(0 , 1]，
则
，当且仅当
时等号成立，故
2
人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视
频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本
之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间
有两个点A x1,y1
，B x2,y2
，则曼哈顿距离为：
，余弦相似度为：
，余弦距离为
(1) 若A -1,2
，
，求A，B 之间的曼哈顿距离d A,B
和余弦距离；
(2) 已知
，
，
，若
，
，
求tanαtanβ 的值
答案(1) 14
5 ，1 -
5
5 ，(2)
５６８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
569
解【分析】(1) 根据公式直接计算即可．
(2) 根据公式得到
，
，计算得到答案．
【详解】(1)
，
，故余弦距离等于
；
( 2 ) cos
M,N
=
sinα
sin2α+cos2α
⋅
sinβ
sin2β+cos2β
+
cosα
sin2α+cos2α
⋅
cosβ
sin2β+cos2β
；
故sinαsinβ = 3
10 ，
，则
．
3
已知函数
，称向量p= a,b
为f x
的特征向量，f x
为
的特征函数．
(1) 设
，求g x
的特征向量；
(2) 设向量
的特征函数为f x
，求当f x
= 6
5 且
时，sinx 的值；
(3) 设向量
的特征函数为f x
，记
，若h x
在区间
上至少有40
个零点，求
的最小值．
答案(1)
，(2) 3 3-4
10
，(3) 58π
3
解【分析】(1) 根据诱导公式化简，再根据函数的特征向量的定义即可得解；
( 2 ) 根据向量的特征函数求出函数解析式，化简可得
，再根据
结合两角差的正弦公式即可得解；
(3) 根据三角恒等变换求出函数h x
的解析式，不妨设
为其中的一个零点，再根据三角函数的性质
即可得出答案．
【详解】(1) 解：因为
，
所以函数g x
的特征向量p= 2,-1
；
(2) 解：因为向量
的特征函数为f x
，
所以
，
５６９
570
由f x
= 6
5 ，得
，
因为
，所以
，
所以
，
所以sinx = sin
x+ π
6
- π
6
= 3
5 ×
3
2
- 4
5 × 1
2 = 3 3-4
10
；
(3) 解：因为向量
的特征函数为f x
，
所以
，
则
，
令h x
= 0，则
，
则
或4π
3 + 2kπ，k ∈Z，
则x = π
6 + kπ 或π
2 + kπ，k ∈Z，
由h x
在区间
上至少有40 个零点，
不妨设a = π
6 ，
则
，
则
，
所以
的最小值为58π
3
．
【题型
【题型10
10】三角图像性质综合
】三角图像性质综合
1
已知函数f x
= sin ωx+φ
ω>0, φ
< π
2
的部分图像如图所示：
(1) 求函数y = f x
的表达式；
(2) 当x ∈- 2π
3 , π
6
时，求方程8f2 x
- 2 3 f x
- 3 = 0 的所有根的和．
答案(1)f x
= sin 2x+ π
3
５７０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
571
(2) - 5π
6
解析
【详解】(1) 解：由函数f x
的图象，可得T
4 = π
12 - - π
6
= π
4 ，可得T = π，所以ω = 2π
T
= 2，
因为f
π
12
= sin 2× π
12 +φ
= 1，即sin π
6 +φ
= 1，
可得π
6 + φ = π
2 + 2kπ，k ∈Z，即φ = π
3 + 2kπ，k ∈Z，
又因为φ
< π
2 ，可得φ = π
3 ，所以f x
= sin 2x+ π
3
．
(2) 解：由8f2 x
- 2 3 f x
- 3 = 0，可得f x
=-
3
4
或f x
=
3
2 ，
因为x ∈- 2π
3 , π
6
，可得2x + π
3 ∈-π, 2π
3
，
当2x + π
3 ∈-π,0
时，f x
=-
3
4 ，设方程的解为x1，x2，
则2x1+ π
3 + 2x2+ π
3 = 2 ⋅- π
2
，可得x1+ x2=- 5π
6 ；
当2x + π
3 ∈0, 2π
3
时，f x
=
3
2 ，则2x + π
3 = π
3 ，可得x = 0，
综上所述，方程8f2 x
- 2 3 f x
- 3 = 0 的所有根的和为- 5π
6 + 0 =- 5π
6 ．
2
已知函数f x
= 4sinxcos x+ π
3
+
3．
(1) 求函数f x
及其最小正周期；
(2) 求函数f x
在区间- π
4 , π
6
上的单调减区间；
(3) 将函数f x
图象向右移动π
6 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的a 0<a<1
倍
得到y = g x
的图象，若y = g x
在区间-1,1
上至少有100 个最大值，求a 的取值范围．
答案(1)f x
= 2sin 2x+ π
3
，最小正周期T = π；
(2) 递减区间为
π
12 , π
6
；
(3)0 < a ≤
4
199π ．
解析
【分析】(1) 由和角余弦公式、二倍角公式化简得f x
= 2sin 2x+ π
3
，再求出最小正周期即
可；
(2) 设t = 2x + π
3 ，结合正弦函数性质求递减区间；
(3) 根据图象平移得g x
= 2sin 2x
a
，再由正弦函数图象和区间最值个数列不等式求参数范围．
【详解】(1) 因为f x
= 4sinxcos x+ π
3
+
3，
所以f x
= 2sinxcosx - 2 3sin2x +
3 = sin2x +
3cos2x = 2sin 2x+ π
3
，
所以最小正周期为T = 2π
2 = π．
(2) 设t = 2x + π
3 ，由x ∈- π
4 , π
6
，可得t ∈- π
6 , 2π
3
，
而y = 2sint 在- π
6 , π
2
上递增，在
π
2 , 2π
3
上递减，
所以f x
在- π
4 , π
12
上递增，在
π
12 , π
6
上递减，
５７１
572
故f x
在区间- π
4 , π
6
上的单调减区间为
π
12 , π
6
．
(3) 由题意，可得f x- π
6
= 2sin 2 x- π
6
+ π
3
= 2sin2x，
则g x
= 2sin 2x
a
(0 < a < 1)，则g x
为奇函数，
由x ∈-1,1
，可得2x
a ∈- 2
a , 2
a
，
要使在区间-1,1
上至少有100 个最大值，则2x
a ∈- 2
a ,0
上有50 个最大值，
所以- 2
a ≤-49 × 2π - 3π
2 =- 199π
2
，即a ≤
4
199π ；
2x
a ∈0, 2
a
上有50 个最大值，则2
a ≥49 × 2π + π
2 = 197π
2
，即a ≤
4
197π ，
综上，0 < a ≤
4
199π ．
1
将函数f x
= 2sinx 图象上所有点的横坐标缩小为原来的1
2 ，再向右平移π
6 个单位长度，得到
函数g x
的图象，若g x
- a = 0 在0, π
2
上有两个不同的零点x1，x2，则tan x1+x2
=
(
)
A.
3
3
B. -
3
3
C.
3
D. -
3
答案B
解【分析】根据函数图象的变换可得g x
= 2sin 2x- π
3
，即可结合正弦函数的对称性得t1 + t2 = π，
进而x1+ x2= 5π
6 ，即可求解．
【详解】将函数f x
= 2sinx 图象上所有点的横坐标缩小为原来的1
2 ，得到y = 2sin2x 的图象，
再向右平移π
6 个单位长度，得到g x
= 2sin2 x- π
6
= 2sin 2x- π
3
的图象．
当x ∈0, π
2
时，2x - π
3 ∈- π
3 , 2π
3
，令2x - π
3 = t，t ∈- π
3 , 2π
3
，
则关于t 的方程2sint = a 在- π
3 , 2π
3
上有两个不等的实数根t1，t2，所以t1+ t2= π，
即2x1- π
3 + 2x2- π
3 = π，则x1+ x2= 5π
6 ，所以tan x1+x2
= tan 5π
6 =-
3
3 ．
2
已知函数f x
= 2sin ωx+φ
ω>0, φ
< π
2
的部分图象如下图所示，若曲线y = f x
过点
A - 3π
8 ,-2
，B 0,
2
，C x1, f x1
，D x2, f x2
，且f x1
=- f x2
=- 1
2 ，则
cos 2x1-2x2
=
(
)
A. 7
8
B. - 7
8
C. 3 7
8
D. - 3 7
8
５７２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
573
答案A
解【详解】解：因为B 0,
2
，所以sinφ =
2
2 ，而φ
< π
2 ，因此φ = π
4 ，
即f x
= 2sin ωx+ π
4
因为A - 3π
8 ,-2
，所以由“五点法”作图得：- 3π
8 ω + π
4 =- π
2 + 2kπ，k ∈Z，解得ω = 2 -
16
3 k，k ∈Z，
由于0 - - 3π
8
< 1
2 T = π
ω ，解得0 < ω < 8
3 ，故取k = 0，则ω = 2，
因此f x
= 2sin 2x+ π
4
．
因为f x1
=-f x2
=- 1
2 ，所以sin 2x1+ π
4
=- 1
4 ，sin 2x2+ π
4
= 1
4 ．
因为由函数f x
的图象，结合“五点法”作图知：3π
2 < 2x1+ π
4 < 2π，2π < 2x2+ π
4 < 5π
2 ，
所以由sin 2x1+ π
4
=- 1
4 和sin 2x2+ π
4
= 1
4 得：cos 2x1+ π
4
=
1- - 1
4
2
=
15
4
，
cos 2x2+ π
4
=
1-
1
4
2
=
15
4
，
因此cos 2x1-2x2
= cos
2x1+ π
4
- 2x2+ π
4
= cos 2x1+ π
4
cos 2x2+ π
4
+ sin 2x1+ π
4
sin 2x2+ π
4
=
15
4
×
15
4
- 1
4 × 1
4 = 7
8 ．
3
已知函数f x
=
3sin ωx+φ
+ 1 - 2cos2 ωx+φ
2
ω>0, φ
< π
2
为奇函数，且f x
图象的相
邻两条对称轴间的距离为π
2 ．
(1) 求f x
的解析式与单调递减区间；
(2) 将函数f x
的图象向右平移π
6 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的1
2 (纵坐标不变)，得到函
数y = g x
的图象，当x ∈0, π
2
时，求方程2g2 x
+
3 g x
- 3 = 0 的所有根的和．
答案(1)f x
= 2sin2x，
π
4 +kπ, 3π
4 +kπ
，k ∈Z
(2) 5π
6 ．
解【分析】(1) 利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
(2) 利用图象变换法，求得y = g x
的函数表达式，解方程求得g x
的值，利用换元思想，结合三角
函数的图象和性质分析求出即可．
【详解】(1) 由题意可得：f x
=
3 sin ωx+φ
+ 1 - 2cos2 ωx+φ
2
=
3 sin ωx+φ
- cos ωx+φ
= 2sin ωx+φ- π
6
，因为f x
图象的相邻两条对称轴间的距离为π
2 ，
所以f x
的最小正周期为T = π，即可得ω = 2，
又f x
为奇函数，则φ - π
6 = kπ，k ∈Z，
又ϕ
< π
2 ，所以φ = π
6 ，故f x
= 2sin2x．
令π
2 + 2kπ ≤2x ≤3π
2 + 2kπ，k ∈Z，得π
4 + kπ ≤x ≤3π
4 + kπ，k ∈Z，
所以函数f x
的递减区间为
π
4 +kπ, 3π
4 +kπ
，k ∈Z．
５７３
574
(2) 将函数f x
的图象向右平移π
6 个单位长度，可得y = 2sin 2x- π
3
的图象，
再把横坐标缩小为原来的1
2 ，得到函数y = g x
= 2sin 4x- π
3
的图象，
又2g2 x
+
3 g x
- 3 = 0，则g x
=- 3 或g x
=
3
2 ，
即sin 4x- π
3
=-
3
2
或sin 4x- π
3
=
3
4 ．
令z = 4x - π
3 ，当x ∈0, π
2
时，z = 4x - π
3 ∈- π
3 , 5π
3
，
画出y = sinz 的图象如图所示：
sinz =
3
4
的两个根z1，z2对应的点z1,
3
4
，z2,
3
4
关于直线z = π
2 对称，即z1+ z2= π，
sinz =-
3
2
有z3= 4π
3 ，
sin 4x- π
3
=
3
4
在0, π
2
上有两个不同的根x1，x2，4x1- π
3 + 4x2- π
3 = π，
所以x1+ x2= 5π
12 ；
又sin 4x- π
3
=-
3
2
的根为5π
12 ，
所以方程2g2 x
+
3 g x
- 3 = 0 在x ∈0, π
2
内所有根的和为5π
6 ．
4
已知函数f(x) = sinx，将f(x) 的图象各点横坐标缩短到原来的1
2 ，纵坐标伸长到原来的2 倍，然
后再将所得函数图象向左平移π
6 个单位后得到g(x) 函数的图象．
(1) 方程g(x) - 2n + 1 = 0 在0, π
2
上有且只有一个解，求实数n 的取值范围；
(2) 实数m 满足对任意x1∈[-1 , 1]，都存在x2∈R，使得4x1+ 4-x1+ m 2x1-2-x1
- 3 < g x2
成立，
求m 的取值范围．
答案(1) 1-
3
2
, 1+
3
2
∪
3
2
．
(2) - 1
2 , 1
2
解【分析】(1) 将方程的解转化为函数g(x) 的图象与直线y = 2n - 1 有且只有一个交点，结合图象求解
范围即可；
(2) 条件转化为h(x1)max < g(x2)max，易求g(x2) 的最大值为2．求函数h(x1) 在[-1 , 1] 的最大值，则利
用整体换元法，转化为二次函数轴动区间定最值问题分类讨论求解再整合即可．
【详解】(1) 已知函数f(x) = sinx，将f(x) 的图象各点横坐标缩短到原来的1
2 得到y = sin2x 的图象，
再将所得函数图象纵坐标伸长到原来的2 倍得到y = 2sin2x 的图象，
再将所得函数图象向左平移π
6 个单位后，得到g(x) 函数的图象，
则g(x) = 2sin 2 x+ π
6
= 2sin 2x+ π
3
，
５７４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
575
当x ∈0, π
2
时，2x + π
3 ∈
π
3 , 4π
3
，
方程g(x) - 2n + 1 = 0 在0, π
2
上有且只有一个解，
即函数g(x) 的图象与直线y = 2n - 1 有且只有一个交点，
由函数图象可知，- 3 ≤2n - 1 <
3，或2n - 1 = 2，
得1-
3
2
≤n < 1+
3
2
，或n = 3
2 ，
故实数n 的取值范围为
1-
3
2
, 1+
3
2
∪
3
2
．
(2) 设函数h(x1) = 4x1+ 4-x1+ m 2x1-2-x1
- 3，x1∈-1,1
若实数m 满足对任意x1∈[-1 , 1]，都存在x2∈R，4x1+ 4-x1+ m 2x1-2-x1
- 3 < g x2
成立，
则h(x1)max < g(x2)max．
g(x2) = 2sin 2x2+ π
3
，x2∈R，则g(x2)max = 2；
由h(x1) = 2x1-2-x1
2+ m 2x1-2-x1
- 1，
令t = 2x1- 2-x1，x1∈-1,1
，由t = 2x1- 2-x1为增函数，
则t ∈- 3
2 , 3
2
，
设φ(t) = t2+ mt - 1，t ∈- 3
2 , 3
2
，图象开口向上，对称轴为t =- m
2 ．
当- m
2 < 0，即m > 0 时，φ(x)max = φ 3
2
= 5
4 + 3
2 m，
则h(x)max = 3
2 m + 5
4 < 2，解得m < 1
2 ，则0 < m < 1
2 ；
当- m
2 ≥0，即m ≤0 时，φ(x)max = φ - 3
2
=- 3
2 m + 5
4 ，
则h(x)max =- 3
2 m + 5
4 < 2，解得m >- 1
2 ，则- 1
2 < m ≤0．
综上，m 的取值范围为- 1
2 , 1
2
．
５７５
