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数学答案
1.【答案】C
2. 【答案】B
3. 【答案】D
4. 【答案】D
5【答案】C
6. 【答案】B
【详解】解：因为“存在 ，使得 ”为真命题，
所以 ，
因此上述命题得个充分不必要条件是 .
故选：B.
【点睛】本题考查了二次函数的单调性、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题.
7. 【答案】B
【解题思路】先化简已知等式，再应用基本不等式计算求解即可.
【解答过程】因为 ， ，且 ，则
，
，同理 ，
则 ，
当且仅当 时， 的最小值为 .
8. 【答案】B
【解析】
【 分 析 】 由 集 合 的 子 集 个 数 的 运 算 及 简 单 的 合 情 推 理 可 得 ； 这 些 总 和 是
.
【详解】因为元素 在集合 S 的所有非空子集中分别出现 次，则对 S 的所
有 非 空 子 集 中 元 素 k 执 行 乘 以 再 求 和 操 作 ,则 这 些 和 的 总 和 是.
故选 B
【点睛】本题主要考查了集合的子集及子集个数，简单的合情推理，属于中档题.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错
的得 0 分．
9. 【答案】AB
【解析】
【分析】A 项：利用不等式知识即可判断；
B，C 项：根据充分条件与必要条件知识即可判断；
D 项：根据交并集知识即可判断
【详解】对于 A 项：由“ ”可以推出 ，但反之不可以，故 A 项正确.
对于 B 项：由“ ”推不出“ ”，但反之可以，故 B 项正确.
对于 C 项：由“ ”可以推出“ ”，但反之不可以，故 C 项错误.
对于 D 项：由题意知： 是(A∩B)∪C 的子集，所以“ ”可以推
出“ ，但反之不可以，故 D 项错误.
故选:AB.
10. 【答案】ABC
11. 【答案】CD
【解析】【分析】A 选项，根据定义判断；B 选项，根据集合 中的元素个数计算；C 选项，
根据“ ”是“ ”的充分不必要条件得到 是 的真子集，然后求 的范围即可；D
选项，分 和 两种情况分析即可.
【详解】 时， 时， ，
时， ， 时， ，
时， ， 时， ，，集合 的非空真子集有 个，所以 A，B 错误．
又若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 是 的真子集，所以 ，C 正确．
若 ，则 时， ；
时， ，
综上 ， D 正确．
故选：CD.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12 、6
13. 已知 且 ，则 的最大值为______， 的最小值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】
由 可得答案，由
利用重要不等式可得答案.
【详解】因为 且 ，
所以
当且仅当 ，即 时取等号.当且仅当 即 ，即 时取等号.
故答案 ： ；
【点睛】本题考查利用重要不等式求最值，考查 1 的应用，属于中档题.
14. 【答案】
【解析】【分析】确定 ，考虑 中的元素个数为 几种情况，
计算得到答案.
【详解】 ， ，
当 的元素个数为 时， 中的元素个数为 ，此时 且 ，1 种情况；
当 的元素个数为 时， 中的元素个数为 ，此时 且 ，4 种情况；
当 的元素个数为 时， 中的元素个数为 ，不成立；
当 的元素个数为 时， 中的元素个数为 ，根据对称性知有 4 种情况；
当 的元素个数为 时， 中的元素个数为 ，根据对称性知有 1 种情况；
综上所述：共有 10 个不同的 满足条件.
故答案为： .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
15.【答案】（1）
（2）
【小问 1 详解】
已知集合 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由已知得 ，又全集 ，
所以 .16. 已知命题 为假命题.设实数 的取值集合为 ，设集合
，若__________，求实数 的取值范围.
在①若“ ”是“ ”的必要不充分条件；②“ ”是“ ”的充分条件；③
这三个条件中任选一个，补充到本题的横线处，并按照你的选择求解问题.
【答案】答案见解析
【解析】【分析】由特称命题为假求参数 a 的范围，即得集合 A，根据所选条件判断集合 A、
B 的包含关系，讨论 、 求参数 m 的范围.
【详解】由已知命题为假，则 为真，
当 ， 显然不成立；
当 ，只需 ；
所以 ，
选①：若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则 ，
当 ，则 满足要求；
当 ，则 ，且 ，此时 ；
所以 ；
选②：“ ”是“ ”的充分条件，则 ，而 ，
当 ，则 满足要求；
当 ，则 ，且 ，此时 ；
所以 ；
选③：由 ，
当 ，则 满足要求；
当 ，则 ，且 ，此时 ；
所以 .
17. 已知 ．
（1）当 ， 时，求 的最小值；（2）当 ， 时，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【小问 1 详解】
因为 ， ， ，则 ，
所以 ，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立，
所以 ，故 的最小值为 .
【小问 2 详解】
因为 ， ， ，则 ， ，
所以
，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立，
所以 ，故 的最小值为 .
18. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该
单位每月的处理量最少为 吨，最多为 吨，月处理成本 （元）与月处理量 （吨）
之间的函数关系可近似的表示为 ，且每处理一吨二氧化碳得到可
利用的化工产品价值为 元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴
多少元才能使该单位不亏损？【答案】（1）该单位每月处理量为 吨时，每吨的平均处理成本最低
（2）该单位每月不能获利，国家至少需要补贴 元才能使该单位不亏损
【解析】
【分析】（1）每月每吨的平均处理成本为 ，利用基本不等式求解即得最低成本；
（2）写出该单位每月的获利 关于 的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值
即可作答.
【小问 1 详解】
由题意可知： ，
每吨二氧化碳的平均处理成本为：
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴该单位每月处理量为 吨时，每吨的平均处理成本最低；
【小问 2 详解】
该单位每月的获利：
，
因 ，函数 在区间 上单调递减，
从而得当 时，函数 取得最大值， ，
所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴 元才能使该单位不亏损.
19. 设 A 是实数集的非空子集，称集合 且 为集合 A 的生成集．
（1）当 时，写出集合 A 的生成集 B；
（2）若 A 是由 5 个正实数构成的集合，求其生成集 B 中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在 4 个正实数构成的集合 A，使其生成集 ，并说明
理由．
【答案】（1）（2）7 （3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.
（2）设 ，且 ，利用生成集的定义即可求解；
（3）不存在，理由反证法说明.
【小问 1 详解】
，
【小问 2 详解】
设 ，不妨设 ，
因为 ，所以 中元素个数大于等于 7 个，
又 ， ，此时 中元素个数等于 7 个，
所以生成集 B 中元素个数的最小值为 7.
【小问 3 详解】
不存在，理由如下：
假设存在 4 个正实数构成的集合 ，使其生成集 ，
不妨设 ，则集合 A 的生成集
则必有 ，其 4 个正实数的乘积 ；
也有 ，其 4 个正实数的乘积 ，矛盾；
所以假设不成立，故不存在 4 个正实数构成的集合 A，使其生成集
【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合 A 的生成集的定义，
考查学生的分析解题能力，属于较难题.
