文档文本内容
专题2-1 等式性质与不等式性质
模块一 重难点题型突破
【题型1】用不等式（组）表示不等式关系
【题型2】利用不等式的性质判断命题真假
【题型3】作差法比较两数（式）的大小
【题型4】作商法比较两数（式）的大小
【题型5】其它方法比大小
【题型6】不等式性质的实际应用（设计方案）
模块二 中档题突破
【题型7】糖水不等式的证明及应用
【题型8】不等式的证明及不等式判断综合
【题型9】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法）
模块三 【课后作业】
模块一 重难点题型突破
【题型1】用不等式（组）表示不等式关系
知识点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意
，则
（
为正数）、
或
（
为负数）三种情况有且只有一种成立．
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：
；
②两个同号实数相乘，积是正数
题型·解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
基础知识
符号语言：
；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0 的平方为0
符号语言：
，
．
【例题1】（高一·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600 吨，车队有两种货车，A 型货
车载重量30 吨，
型货车载重量24 吨，设派出A 型货车
辆，
型货车
辆，则运输方案应满足
的关系式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】下列说法正确的是（ ）
A．某人的月收入
元不高于
元可表示为“
”
B．小明的身高为
，小华的身高为
，则小明比小华矮可表示为“
”
C．变量
不小于
可表示为“
”
D．变量
不超过
可表示为“
”
【巩固练习2】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地
到灭火前线-共
，其中靠近灭火前线
的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．
已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为
，设需摩托车运送的路段平均速度为
，为使物资能在1 小时内到达灭火前线，则x 应该满足的不等式为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【题型2】利用不等式的性质判断命题真假
不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
（1）对称性：
（2）传递性：
（3）可加性：
（c∈R）
（4）可乘性：a>b，
运算性质有：
（1）可加法则：
（2）可乘法则：
（3）可乘方性：
知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．
【例题1】（24-25 高一上·广东清远·期中）(多选)下列“若
，则
”形式的命题中，
是
的充
分不必要条件的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
基础知识
【例题2】（高一·广东深圳·期末）已知
，则下列一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】（24-25 高一上·广西南宁·阶段练习）若
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【巩固练习2】下列说法中，错误的是（ ）
A．若
，则一定有
B．若
，则a>b
C．若
，则
D．若
，则
【巩固练习3】（24-25 高二下·江西·期末）已知
，则下列式子一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】（多选）若实数
，
，满足
且
，
，则下列不等式正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型3】作差法比较两数（式）的大小
作差比较两个实数大小的法则：作差、变形、判断差的符号、得出结论．
对任意两个实数
、
①
；②
；③
．
基础知识
对于任意实数
、
，
，
，
三种关系有且只有一种成立．
知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是
证明不等式与解不等式的主要依据．
【例题1】已知
，则
.（填“
”，“
”，或“
”）
【例题2】（24-25 高一上·四川达州·阶段练习）（1）设
，试比较
与
的大小.
（2）已知
、
、
、
且
，
，求证：
.
【巩固练习1】比较下列两式大小：
(1)
与
(2)
与
所以
．
【巩固练习2】已知
，试比较
与
的大小.
【巩固练习3】比较下列各题中两个代数式值的大小.
(1)
与
；
(2)
与
.
【题型4】作商法比较两数（式）的大小
作商法：作商法的步骤：作商、变形、判断商与1 的大小、得出结论
任意两个值为正的代数式
、
，可以作商
后比较
与1 的关系，进一步比较
与
的大小．
①
；②
；③
．
【例题1】设
，
，则
（填入“＞”或“＜”）．
【例题2】已知
，
，试比较
与
的大小；
【巩固练习1】设
，比较
与
的大小
【巩固练习2】
，则
的大小关系为 ．
【巩固练习3】已知
，试比较
和
的大小.
【题型5】其它方法比大小
1、中间量法：也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：
若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b 是介于a 与c 之间的值，
此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．
2、平方法：对两式先平方，再比较大小．
【例题1】比大小：
_____
．
基础知识
基础知识
【例题2】若
，
，则a、b 的大小关系是 ．
【巩固练习1】比较大小：√7+√5_____2√6．（用>，<或=填空）
【巩固练习2】已知a>0，b>0，M＝
，N＝
，则M 与N 的大小关系为（ ）
A．M>N
B．M<N
C．M≤N
D．M，N 大小关系不确定
【巩固练习3】设
，
，则m n（填入“<”或“>”）
【题型6】不等式性质的实际应用（设计方案）
常见文字语言与符号语言之间的对应关系
文字语言
大于、高于、超过
小于、低于、少于
大于或等于、
至少、不低于
小于或等于、至多、
不多于、不超过
符号语言
【例题1】体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、
技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过
1500 元的资金购买单价分别为120 元的篮球和140 元的足球．已知该校至少要购买8 个篮球，且至
少购买2 个足球，则不同的选购方式有（ ）
A．6 种
B．7 种
C．8 种
D．5 种
【例题2】（24-25 高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物
，乙种货物
.现计划用
，
两种型号的货厢共50 节运送这批货物.已知
甲种货物和
乙种货物可装
满一节
型货厢，
甲种货物和
乙种货物可装满一节
型货厢.
(1)据此安排
，
两种货厢的节数，共有几种方案？
(2)若每节
型货厢的运费是
万元，每节
型货厢的运费是
万元，哪种方案的运费较少？
【巩固练习1】火车站有某公司待运的甲种货物1530 吨，乙种货物1150 吨．现计划用A，B 两种型
基础知识
号的货箱共50 节运送这批货物．已知35 吨甲种货物和15 吨乙种货物可装满一节A 型货箱，25 吨
甲种货物和35 吨乙种货物可装满一节B 型货箱，据此安排A，B 两种货箱的节数，下列哪个方案不
满足：（ ）
A．A 货箱28 节，B 货箱22 节
B．A 货箱29 节，B 货箱21 节
C．A 货箱31 节，B 货箱19 节
D．A 货箱30 节，B 货箱20 节
【巩固练习2】火车站有某公司待运的甲种货物1530 吨，乙种货物1150 吨．现计划用A，B 两种型
号的货箱共50 节运送这批货物．已知35 吨甲种货物和15 吨乙种货物可装满一节A 型货箱，25 吨
甲种货物和35 吨乙种货物可装满一节B 型货箱，据此安排A，B 两种货箱的节数，下列哪个方案不
满足：（ ）
A．A 货箱28 节，B 货箱22 节
B．A 货箱29 节，B 货箱21 节
C．A 货箱31 节，B 货箱19 节
D．A 货箱30 节，B 货箱20 节
【巩固练习3】（24-25 高一上·福建福州·阶段练习）甲、乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每
人在
、
、
、
四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜，甲先取两个容器，余下
的两个容器给乙，已知容器
、
的底面积均为
，高分别为
，
，容器
，
底面积均为
，
高分别为
，
（其中
）．
(1)写出
，
，
，
四个长方体容器的体积
、
、
、
；
(2)列举出甲同学从四个容器中取出两个不同容器的所有可能结果（先取
再取
与先取
再取
视
为相同的取法）；
(3)在未能确定
与
大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两个容器一定可以
获胜），并说明此方案必胜的理由．
模块二 中档题突破
【题型7】糖水不等式的证明及应用
糖水不等式是一个基于生活常识的数学不等式，常用于分式放缩。
其核心表述为：若
（代表原有糖水浓度
，且
)（代表加入的糖量），则必有：
基础知识
含义解释：
（1）左边不等号
：在糖水（溶质a，溶液b）中加入纯糖（m）后，新糖水的浓度
一定比原来的浓度
更甜（更大）.
（2）右边不等号
：加入糖后，浓度依然小于1（即仍是糖水，不可能变成纯糖）.
关键点：
前提：原分数是真分数（
），且加入的量m 是正数.
结论：分子分母加上同一个正数后，分数值变大（更接近1），但仍小于1.
应用：该不等式简洁有力，在证明涉及分式的不等式、比较大小或进行放缩时非常有用，体现了
“加糖变甜”的直观思想在数学中的精确表达。
【例题1】（高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.
【例题2】（24-25 高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b 克糖水中有a 克糖
，往糖水中
加入m 克糖
，（假设全部溶解）糖水更甜了．
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
(2)利用（1）的结论比较
的大小；
(3)证明命题：设
，证明：
．
【巩固练习1】（24-25 高二下·浙江宁波·期中）已知
，则“
”是“
”的
（ ）
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
【巩固练习2】（24-25 高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中
蕴含着著名的糖水不等式：
．
(1)证明糖水不等式；
(2)已知a，b，c 是三角形的三边，求证：
．
【巩固练习3】下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式子并证明.
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
巩固练习
题型
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.
【题型8】不等式的证明及不等式判断综合
常用不等式的证明方法
1、作差法：任意两个代数式
、
，可以作差
后比较
与0 的关系，进一步比较
与
的
大小．
2、作商法：任意两个值为正的代数式
、
，可以作商
后比较
与1 的关系，进一步比较
与
的大小．
3、中间量法：若
且
，则
（实质是不等式的传递性）．一般选择0 或1 为中间量．
4、平方法：对两式先平方，再比较大小．
5、利用平方公式的非负性
【例题1】（23-24 高一上·河北保定·月考）设
，
，
.
(1)证明：
；
(2)若
，证明
.
【例题2】今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为
元
斤、
元斤
，王大妈每周购买
元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两
周买白菜的平均价格分别记为
，
，则
与
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【例题3】（24-25 高二下·湖北武汉·期末）已知正实数
满足
，则下列不等式一定成立的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】证明：已知
，且
，求证：
.
【巩固练习2】（24-25 高一上·山西·期末）(多选)已知
，则下列不等式中正确的是（ ）
A．
B．
基础知识
C．
D．
【巩固练习3】两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为
，甲
策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则
种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”）
【巩固练习4】（24-25 高一上·浙江杭州·期中）(多选)已知实数a，b，c 满足
，则下列说
法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习5】（1）已知
，证明：
；
（2）若a，b，c 为三角形的三边长，则
．
【巩固练习6】（24-25 高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知
，
，求
，
及
的取值范围．
（2）设
、
均为正实数，试比较
和
的大小．
【题型9】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法）
例题：已知
，且
，求
和
的取值范围.
第一步：令
，并化简该式
第二步：列方程组，求出m，n 的值．
第三步：分别求出
的取值范围．
第四步：合并第三步的结果，即得
的取值范围
基础知识
第五步：将
和
平方作差即可得出
的取值范围
解析：（1 ）设
，则
解得
由已知得
，则
，
即
.
（2）因为
，所以
，即
，
所以
，则
，所以
.
【例题1】已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】（高一上·河北石家庄·期中）已知
，
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题3】（24-25 高一上·广东汕尾·期末）已知
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】已知
，
，则下列代数式的范围错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】（24-25 高一上·江苏苏州·阶段练习）已知
则
的取值
范围为 ．
【巩固练习3】（23-24 高一上·河北张家口·期末）已知
，
，则
的最大值
为（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【巩固练习4】（多选）若实数
、
满足：
，则下列叙述正确的是（ ）
A．
的取值范围是
B．
的取值范围是
C．
的范围是
D．
的范围是
模块三 【课后作业】
1．（24-25 高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知
，且
，则
的
取值范围是 .
2．将一根长为
的绳子截成两段，已知其中一段的长度为
m，若两段绳子长度之差不
小于
，则
所满足的不等关系为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
3．（24-25 高一上·贵州贵阳·期末）(多选)下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，
，则
4．（24-25 高一上·广东惠州·期中）已知
，
，则
的取值范围是 .
5．下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，则
6．已知实数a，b，则下列选项中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
7．设
，
，则
与
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
8．已知
，则以下错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（24-25 高一上·江苏徐州·阶段练习）已知实数
，
满足
，
，则
的
取值范围是 ，
的取值范围是 .
11．已知
，
，则
的范围是 .
12．（23-24 高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗
户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180 平方米的民宿需要同时
增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2 倍，且民宿改造后的采光
效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米．
13．（24-25 高一上·宁夏银川·阶段练习）（1）
，
，求证：
；
（2）已知
，求
的取值范围.
14．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知
，且
．
(1)求证：
；
(2)求证：
．
15．（24-25 高一上·广西来宾·阶段练习）从下列三组式子中选择一组比较大小：
(1)设
，
，
，比较
，
的大小；
(2)设
，
均为正实数，
，
，比较
，
的大小；
(3)设
，
，
，比较
，
的大小．
16．不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知
克糖水中含有
克糖
，再添加m 克糖
(假设全部溶解)，糖水变甜了.
(1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立：
(2)利用（1）中的结论证明：若
为三角形的三边长，则
.
17．（高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小：
①设
，比较
的大小；
②设
，比较
的大小；
③设
，比较
的大小.
注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.
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