文档文本内容
专题1-1 集合与常用逻辑用语重难点题型专练
【题型1】结合元素的互异性求参数（分类讨论）....................................................................1
【题型2】集合关系的辨析............................................................................................................3
【题型3】 利用集合相等求参数..................................................................................................5
【题型4】利用集合中元素的个数求参数....................................................................................7
【题型5】由集合间包含的关系求参数的范围............................................................................9
类型一 求参数的值（互异性分类讨论）......................................9
类型二 方程型（判别式与根的讨论）.......................................10
类型三 不等式型（注意讨论空集）.........................................11
【题型6】容斥原理......................................................................................................................13
【题型7】集合中的新定义问题..................................................................................................19
【题型8】根据集合的交并补运算结果求参数..........................................................................21
类型一 分类讨论求参数的值（互异性）.....................................21
类型二 求参数范围（讨论空集）...........................................23
【题型9】根据集合混合运算的结果确定参数的范围..............................................................25
【题型10】逆否条件的性质........................................................................................................27
【题型11】根据充要条件求参数值............................................................................................28
【题型12】根据充分条件求参数取值范围................................................................................29
【题型13】根据必要条件求参数取值范围................................................................................30
【题型14】根据全称量词命题求参数范围................................................................................31
【题型15】解三角形利用三角函数或基本不等式求最值........................................................33
【题型16】命题与集合................................................................................................................34
【题型1】结合元素的互异性求参数（分类讨论）
互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为
“互异性”．
注意：通过互异性求参数要检验看集合中的所有元素是否有重复的情况
【例1】已知集合
有三个元素
.若
，则实数
的值为（ ）
题型解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
A．
B．1
C．
或1
D．0 或1
【答案】C
【解析】因为
，所以
或
.
当
即
时，
，满足题意；
当
即
时，
若
，则
，满足题意；若
，则
，不满足题意；
综上，实数
的值为
或1.故选：C
【例2】（高一上·四川德阳·期末）若
，则
．
【答案】2
【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案.
【详解】因为
，
所以
或
，
若
，
，不满足互异性；
若
或2，又
，所以
【练1】已知集合
，且
，则
取值构成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为集合
，且
，
所以
或
.
当
时，解得：
或
.
而
，不符合元素的互异性，故
或
.故选：B
【练2】已知集合
，且
，则
（ ）
A．
B．
或
C．3
D．
【答案】D
【详解】由集合
，得
，解得
且
，
显然
，由
，得
，而
，解得
，
当
时，
，符合题意，
所以
.
【题型2】集合关系的辨析
【例1】（24-25 高二上·云南保山·阶段练习）设集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将集合
中表达式化为
，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即
可确定
的包含关系．
【详解】根据已知得
，
，所以
【例2】若
、
、
为三个集合，
，则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由已知等式可推导得到
，由此可依次判断各个选项得到结果.
【详解】因为
，
所以
，
，
，
所以
,
所以
，
对于A，因为
，所以
，故A 正确；
对于B，当且仅当
时，
，故B 错误；
对于C，当
时，满足
，故C 错误；
对于D，当
时，满足
，故D 错误.
【练1】（24-25 高一上·四川自贡·阶段练习）已知集合
，
则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】通过
，得
，再根据充要条件的判断方法判断即可.
【详解】因为
，
，
，所以
中的元素都是
中的元素，
又因为
，
，
，所以
中的元素都是
中的元素，
所以
，所以“
”是“
”的充要条件.
【练2】（24-25 高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合
，
，
，则
的关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先将集合
中元素化为统一形式，然后进行判断即可.
【详解】
，
,
，
故
【练3】（24-25 高一上·重庆·阶段练习）（多选）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可.
【详解】设
，
而
，即A 错误，C 正确；
，即B 正确；
，即D 正确.
【练4】（24-25 高一上·四川达州·期中）（多选）若集合
满足
，则下列结论正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】通过分析每个选项中集合之间的关系，利用已知的
来判断其正确性.
【详解】对于A 选项，因为
，所以
，A 正确；
对于B 选项，由于
，所以
，即
，而不是
，B 错误；
对于C 选项，因为
，所以
，C 错误.
对于D 选项，由C 可得，
，注意到
，于是
，D 正确.
【题型3】 利用集合相等求参数
集合相等：两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。
集合A 与集合B 相等记作A=B.
【注意】（1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；（2）两个集合是否相等，不能只从
集合的形式上看，比如
构成的集合与
构成的集合相等．
【例1】设a，
，若集合
，则
.
【答案】0
【分析】利用集合相等以及
，可得
，即
，代入原式可得
的值，进而求出答
案．
【详解】由题意可知：
，
因为
，则
，可得
，
则
，可得
，且满足
，
所以
.
【例2】含有三个实数的集合可表示为
，也可以示为
，则
的值为 .
【答案】
【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解.
【详解】解：由题意，若
，则
或，
检验可知不满足集合中元素的互异性，
所以
，则
，
所以
，则
，
故
.
【练1】（24-25 高一上·安徽·期中）若
，则
．
【答案】
【分析】由
为分母可得
，再利用集合相等的性质计算即可得解．
【详解】由题意可得
，则
，即
，
则
，解得
或
，
若
，则违背集合元素的互异性，舍去；
若
，则有
，符合要求；
综上所述，
，则
．
【练2】（24-25 高一下·湖北黄石·阶段练习）设集合
，
，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令
或
分类讨论即可．
【分析】因为集合
，
，
若
，由集合的互异性知
，则
或
．
当
时，
，
，有
，得
，
所以
；
当
时，集合
，
，有
，
又
，所以
，得
，不满足题意．
综上
．
【练3】含有三个实数的集合可表示为
，也可表示为
，求
的值．
【答案】
【详解】由
可得
0 且
（否则不满足集合中元素的互异性）．
所以
，或
解得
，或
．
经检验
，
满足题意．
所以
．
【练4】已知
，若
，则实数
的值为 ．
【答案】
【解析】由题意知集合
，
所以当
时，得
，所以
，故满足
；
当
时，得
，所以
，故不满足
；
当
时，无解，故不满足
；
综上，可得实数
的值为.
【题型4】利用集合中元素的个数求参数
利用集合中元素的个数求参数的问题往往以含参不等式的整数解个数或一元二次方程解的个数问题
为背景，注意平方项的系数是否可以去取0，以及验证是否能取等
【例1】若集合
中有5 个元素，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】若集合
中有5 个元素，则这五个元素只能是：
，
这表明
，即实数
的取值范围为
.
故选：D.
【例2】已知集合
．
（1）若A 中没有元素，求
的取值范围；
（2）若A 中只有一个元素，求
的值，并求集合A；
（3）若A 中至少有一个元素，求
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）当
时，集合
，当
时，集合
；（3）
【解析】（1）
中没有元素，
且
，
，解得
，
所以
的取值范围为：
；
（2）①当
时，集合
，
②当
时，
，
，解得
，此时集合
，
综上所述，当
时，集合
，当
时，集合
；
（3）
中至少有一个元素，则当
中只有一个元素时，
或
；
当
中有2 个元素时，则
且
，即
，解得
且
；
综上可得，
时
中至少有一个元素，即
.
【练1】（高一·浙江·期末）已知集合
，集合A 中至少有3 个元素，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
且集合A 中至少有3 个元素，
.故选：C
【练2】若集合
有且仅有2 个子集，则满足条件的实数m 组成的集合是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】B
【详解】由题设集合有2 个子集，则集合中仅含一个元素，
所以
有且仅有一个解，
当
，则
，满足要求；
当
，则
，满足要求；
综上，满足条件的实数m 组成的集合是
.
【练3】设集合
．
(1)若
中只有一个元素，求实数的值；
(2)若
中至多只有一个元素，求实数的取值范围．
【答案】(1) 或
(2)
或
．
【详解】（1）集合
表示关于的方程
的解集，
当
时，由
，解得
，则
，符合题意；
当
时，因为
中只有一个元素，则
，解得
，此时
，符合题意
综上可得
或
；
（2）因为
中至多只有一个元素，由（1）可知
时符合题意；
当
，则
，解得
；
综上可得，实数的取值范围为
或
.
【题型5】由集合间包含的关系求参数的范围
由集合间关系求解参数的三部曲
第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
第二步：看集合中是否含有参数，若AB，且A 中含参数时应考虑参数使该集合为空集的情形；
第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围常采
用数形结合的思想，借助数轴解答．
【注意】
(1)确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；
(2)千万不要忘记考虑空集．
类型一 求参数的值（互异性分类讨论）
【例1】已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．1 B．0 或1 或3 C．0 或3 D．3
【答案】C
【解析】因为
，所以
或
.
若
，则
，满足
；
若
，则
或
，
当
时，
，满足
；
当
时，
，集合
不满足元素的互异性，不符合题意；
综上所述：
或
，故选：C.
（2025 高一·全国·专题练习）若集合
，
，且
，则实数
的值可以是
（ ）．
A．2
B．2，
C．2，
，0
D．2，
，0，1
【答案】C
【分析】因为
，所以
．逐一令
解方程，注意检验元素的互异性
即可.
【详解】因为
，所以
．
当
时，集合
不满足集合元素的互异性；
当
时，
或
（舍去），即
，
此时
，
，满足
；
当
时，
或
，
当
时，
，
，满足
，
当
时，
，
，满足
．
所以
或
或
．
类型二 方程型（判别式与根的讨论）
【例1】已知
，
，且
，则a 的取值范围为
_________．
【答案】
【解析】由题意，集合
，
当
时，即
，解得
，此时满足
，
当
时，要使得
，则
或
，
当
时，可得
，即
，此时
，满足
；
当
时，可得
，即
，此时
，不满足
，
综上可知，实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
【练1】设集合
，若
是
的真子集，则
的取值集合为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为集合
，
，
当
时，
，
是
的真子集，
当
时，
，因为
是
的真子集，所以
或
，解得
或
，
故选：B
【练2】已知集合
，且满足
，求实数
可能取的一切
值．
【解析】
，
可能为
，
，
.
当
时，
无解，故
，满足
，
当
时，则
，解得
，
当
时，则
，解得
.
综上，实数
的取值为
.
【练3】已知
，
，若
，求m 的值．
【解析】
，若
则
，满足
，
若
则
，则
或
，
解得
或
，
所以
或
或
.
【练4】（多选）已知集合
，且
，则实数
可
能的取值是（ ）
A．
B．0
C．-1
D．
【答案】ABC
【解析】
，且
，则：
①当
时，
或
，解得
或
，A 适合题意；
②若
，则
，解得
，
③若
，则
，此时无解，
④若
，则
，此时无解，不合题意；
综上：
的值为0 和
.
类型三 不等式型（注意讨论空集）
【例1】已知集合
，若
，
为常数，求实数m 的
取值范围．
【解析】①若
，满足
，则
，解得
．
②若
，满足
，则
解得
．
由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为
．
【例2】已知集合A={x|1≤x<7}，B={x|a<x≤2a+3}，若B⊆A ，求满足条件的a 的取值范围．
【答案】
【分析】对B 分类讨论，利用集合的包含关系列不等式组，即可求解.
【详解】当
时，满足
，此时，有
，解得：
；
当
时，要使
，只需
，解得：
.
综上，实数
的取值范围为
.
【练1】已知集合
，
，若
，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】集合
，
，又
，则
，
所以实数a 的取值范围是
.故选：B
【练2】若
，
，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是
_______.
【答案】
【分析】先求出集合
中不等式的解集，再由
列不等式组求解即可.
【详解】解：由已知
，
，
当
时，
，解得
当
时，
，解得
，
综合得
.
故答案为：
【练3】集合
，
，若
A ⊆B
，则实数a 的取值范围是
_______.
【答案】
【分析】先化简集合
，再根据集合间的基本关系，与集合
进行集合包含关系运算即可，注意讨
论子集中的空集的情况.
【详解】
，若
，则
是
的子集，
当
时，
，所以
，
当
时，
，所以
，
综上，实数
的取值范围是
．
【练4】已知集合
，
．
(1)若
，求m 的取值范围．
(2)若
，求m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若
，如图所示，
则
，解得
，
所以m 的取值范围为
；
（2）若
，有
和
两种情况，
当
时，
，解得
，
当
时，如图所示，
则
，解得
，
综上，m 的取值范围为
．
【题型6】容斥原理
【例1】（24-25 高一上·云南昆明·期中）（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办
了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12 名同学参加拔河、4 人足球、羽毛球三个项目，
其中有8 人参加“拔河”，有7 人参加“4 人足球”，有5 人参加“羽毛球”，“拔河和4 人足
球”都参加的有4 人，“拔河和羽毛球”都参加的有3 人，“4 人足球和羽毛球”都参加的有3 人，
则（ ）
A．三项都参加的有1 人
B．只参加拔河的有3 人
C．只参加4 人足球的有2 人
D．只参加羽毛球的有4 人
【答案】BC
【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案.
【详解】根据题意，设
是参加拔河的同学，
是参加4 人足球的同学，
是参加羽毛球的同学，
则
，
，
，
又
，
，
所以
，
所以三项比赛都参加的有2 人，只参加拔河的有3 人，只参加4 人足球的有2 人，只参加羽毛球的
有1 人．
【例2】某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有
人，参
加唱歌课外活动的有
人，参加体育课外活动的有
人，三种课外活动都参加的有
人，选择两
种课外活动参加的有
人，不参加其中任何一种课外活动的有
人．则接受调查的小学生共有
（ ）
A．
人
B．
人
C．
人
D．
人
【答案】A
【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合
、
、
表示，不
妨设总人数为
，选择舞蹈和唱歌的人数为
，选择舞蹈和体育的人数为
，选择唱歌和体育的人
数为
，利用容斥原理可求得
的值，即为所求.
【详解】如图所示，用Venn 图表示题设中的集合关系，
不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合
、
、
表示，
则
，
，
，
．
不妨设总人数为
，选择舞蹈和唱歌的人数为
，选择舞蹈和体育的人数为
，选择唱歌和体育的
人数为
，
则
，
，
，
．
由
三
个
集
合
的
容
斥
关
系
公
式
得
，
解得
，故接受调查的小学生共有
人．
【练1】（24-25 高一上·重庆·阶段练习）为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时
间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55 名同学，其中31 个同学去
了洪崖洞，21 个同学去了南山一棵树，30 个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有
10 人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7 人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，
则只去了一个地方的有（ ）人
A．24
B．26
C．28
D．30
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得.
【详解】设去了洪崖洞的同学组成集合
，去了南山一棵树的同学组成集合
，去了磁器口的同学
组成集合
，
依题意，
，
而
，由容斥原理得
，
解得
，所以只去了一个地方的有
(人).
【练2】（24-25 高一上·天津滨海新·期末）1 学校举办运动会时，高一（1）班共有28 名同学参加
比赛，有15 人参加趣味益智类比赛．有8 人参加田径比赛，有14 人参加球类比赛，同时参加趣味
益智类比赛和田径比赛的有3 人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3 人，没有人同时参加
三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为
【答案】 9 3
【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同
时参加趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参
加趣味益智类一项比赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为
，列出方程计算即可．
【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15，
且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3 人；
同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3 人．
又因为没有人同时参加三项比赛，
所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：
人．
设同时参加田径和球类比赛的人数为
，由题意得：
，
解得：
，故同时参加田径和球类比赛的人数为
【练3】（24-25 高一上·重庆·期中）国庆节期间，重庆复旦中学全体学生进行了选修课报名，据统
计，高一某班共45 名同学在语文类、数学类和物理类三类选修课具有报名意向，其中有21 人想报
名语文类选修课，有29 人想报名数学类选修课，有28 人想报名物理类选修课，同时想报名语文和
数学选修课的有10 人，同时想报名数学和物理选修课的有15 人，没有三类选修课都想报名的同学，
则只想报名物理选修课的同学有 人．
【答案】
【分析】设只想报名物理选修课的同学有
人，求得同时想报名语文和物理选修课的有
人，只
想报名语文选修课的同学有
人，只想报名数学选修课的同学有
人，由题意画出Venn 图，再
由该班共有人数，列出方程，即可求解.
【详解】设只想报名物理选修课的同学有
人，
因为有
人想报名物理类选修课，
所以同时想报名语文和物理选修课的有
人，
因为有21 人想报名语文类选修课，
则只想报名语文选修课的同学有
人，
因为有29 人想报名数学类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10 人，
同时想报名数学和物理选修课的有15 人，则只想报名数学选修课的同学有
人，
又没有三类选修课都想报名的同学，
由题意画出Venn 图，如图所示：
因为该班共45 名同学，
所以
，解得
，
所以只想报名物理选修课的同学有人.
【练4】（24-25 高一上·湖北·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有
名同学参加比赛，有
人参加游泳比赛，有
人参加田径比赛，有
人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛
的有
人，同时参加田径比赛和球类比赛的有
人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类
比赛的有 人.
【答案】
【分析】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合
、
、
，设同时参加
游泳和球类比赛的学生人数为
人，作出韦恩图，根据题意可得出关于
的方程，解出
的值即可.
【详解】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合
、
、
，
设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为
人，由题意作出如下韦恩图，
由题意可得
，解得
.
因此，同时参加游泳和球类比赛的有人.
【练5】（24-25 高一上·重庆·阶段练习）高一某班共有54 人，每名学生要从物理、化学、生物、
历史、地理、政治这六门课程中选择3 门进行学习．已知选择物理的有36 人，选择化学的有24 人，
选择生物的有20 人，其中选择了物理和化学的有18 人，选择了化学和生物的有10 人，选择了物
理和生物的有16 人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有 人．
【答案】46
【分析】根据题意，把学生54 人看成集合
，选择物理的人组成集合
，选择化学的人组成集合
，选择生物的人组成集合
，结合Venn 图和容斥原理可知，当
取最大值时
最大，验证可得最终结果.
【详解】把学生54 人看成集合
，选择物理的人组成集合
，
选择化学的人组成集合
，选择生物的人组成集合
.
由题意知
，
且
，
则
，
由
，
可得
，
当且仅当
时，
最大，此时
．
验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件．
故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有46 人．
【练6】（24-25 高一上·湖北荆州·阶段练习）高一某班共有54 人，每名学生要从物理、化学、生
物、历史、地理、政治这六门课程中选择3 门进行学习.已知选择物理的有32 人，选择化学的有24
人，选择生物的有22 人，其中选择了物理和化学的有18 人，选择了化学和生物的有10 人，选择
了物理和生物的有16 人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有 人.
【答案】44
【分析】根据题意，设学生54 人看成集合
，选择物理的人组成集合
，选择化学的人组成集合
，选择生物的人组成集合
，结合Venn 图与容斥原理可知，当
取最大值时
最大，验证即可得.
【详解】把学生54 人看成集合
，选择物理的人组成集合
，选择化学的人组成集合
，选择生
物的人组成集合
.
由题意知
，
且
，
则
，
由
，
可得
，
当且仅当
时，即
.
验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件.
故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有
人.
【题型7】集合中的新定义问题
【例1】若
且
就称A 是伙伴关系集合，集合
的所有非空子集中，
具有伙伴关系的集合个数为（ ）
A．15
B．16
C．64
D．128
【答案】A
【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有，
，“ 和
” ，“
和
”四种可能，它们组成的
非空子集的个数为即为所求.
【详解】因为
，
；
，
；
，
；
，
；
这样所求集合即由，
，“ 和
” ，“
和
”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．
所以满足条件的集合的个数为
【例2】（24-25 高一上·重庆·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合
中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如
的“交替和”是
；而
的交替和是，则集合
的所有非空子集的“交替和”的总
和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将集合
的子集两两配对
：使
且
，从而有集合
与集合
的
交替和之和为4，再利用符合条件的集合对有
个，即可求解.
【详解】由题知
，
将集合
的子集两两配对
：使
且
，则符合条件的集合对有
个，
又由题设定义有集合
与集合
的交替和之和为4，
所以交替和的总和为
.
【练1】（多选）对任意A，
，记
，则称
为集合A，B
的对称差．例如，若
，
，则
，下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若A，
且
，则
B．若A，
且
，则
C．若A，
且
，则
D．存在A，
，使得
【答案】ABD
【分析】根据新定义及交、并、补集运算，逐一判断即可．
【详解】解：对于A 选项，因为
，所以
，所以
，且B
中的元素不能出现在
中，因此
，即选项A 正确；
对于B 选项，因为
，所以
，即
与
是相同的，所
以
，即选项B 正确；
对于C 选项，因为
，所以
，所以
，即选项C 错误；
对于D 选项，
时，
，
，D 正确；
故选：ABD．
【练2 】（高一上· 江苏盐城· 阶段练习）设集合
，
，定义集合
，则集合中元素的个数是（ ）
A．5
B．6
C．8
D．9
【答案】C
【分析】先根据条件
，
，对
，
进行取值，再验证
是否成立，满足条件的数
对
即为集合的元素，从而即可求解.
【详解】∵集合
，
，
，
，
∴
可取1，2，3，
可取0，1，2，4.
（1）当
时，
，由
，
，
成立，数对
为的一个元素；
，由
，
，
成立，数对
为的一个元素；
，由
，
，
成立，数对
为的一个元素；
，由
，
，
成立，数对
为的一个元素；
（2）当
时，
，由
，
，
成立，数对
为的一个元素；
，由
，
，
成立，数对
为的一个元素；
，由
，
，
不成立，数对
不是的元素；
，由
，
，
不成立，数对
不是的元素；
（3）当
时，
，由
，
，
成立，数对
为的一个元素；
，由
，
，
成立，数对
为的一个元素；
，由
，
，
不成立，数对
不是的元素；
，由
，
，
不成立，数对
不是的元素.
综上，的元素有八个，分别为：
，
，
，
，
，
，
，
.
【题型8】根据集合的交并补运算结果求参数
1、基本方法
方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围
方法二：(1)化简所给集合；
(2)用数轴表示所给集合；
(3)根据集合端点间关系列出不等式(组)；
(4)解不等式(组)；
(5)检验
2、易错点
(1)确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；
(2)千万不要忘记考虑空集，
3、集合基本运算的一些结论
若A∩B=A，则
，反之也成立
若A∪B=B，则
，反之也成立
若x
（A∩B），则x
A 且x
B
若x
（A∪B），则x
A，或x
B
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是
“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，
结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．
类型一 分类讨论求参数的值（互异性）
【例1】已知集合
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】D
【分析】由题意可知
，分
和
两种情况，解得
，进而可得集合
.
【详解】因为
，可知
，
若
，则
，
此时
，
，不合题意；
若
，则
，
此时
，
，符合题意；
综上所述：
，
，则
.
故ABC 错误，D 正确.
【例2】（24-25 高一上·浙江·期中）已知集合
，
，若
，则实数
的值为 .
【答案】
【分析】根据集合间的基本关系得出
，再代入验证.
【详解】由
，知
是
的子集，所以
或
或
.
由集合中元素的互异性，知
，所以
，故
，
.
从而
，而
，故
.
经验证
满足条件.
【练1】（24-25 高一上·江苏南京·阶段练习）已知集合
，若
，则实数a 的值为（ ）
A．5 或
B．
C．5
D．
【答案】D
【分析】根据
求得
值，再验证每个取值是否满足条件.
【详解】因为
，所以
，所以
或
.
若
，则
，此时
，此时
不成立；
若
，则
或
，
当
时，
，B 中有两元素相等，故不成立；
当
时，此时
，此时
成立；
综上：
.
【练2】（24-25 高二上·云南曲靖·期末）已知集合
，
，若
，则
的取值集合是 ．
【答案】
【分析】由题意可知
，根据包含关系列式求解，并结合集合的互异性运算求解.
【详解】因为
，则
，
若
，可得
或
，
当
，则集合
，
，符合题意；
当
，则集合
，
，符合题意；
若
，可得
，不满足互异性，不符合题意；
综上所述：
的取值集合是
.
【练3】（24-25 高一上·湖北襄阳·期中）已知集合
，
，若
，则
实数
．
【答案】
或
【分析】根据条件先判断出
，然后再对
进行分类讨论，结合集合中元素的互异性求解出结
果.
【详解】因为
，所以
，所以
或
，
当
时，
或，若
，
，满足要求；
若
，
，不满足集合元素的互异性；
当
时，
或
，若
，
，不满足集合元素的互异性；
若
，
，满足要求；
综上，
的取值为
或
【练4】（24-25 高三上·江西南昌·开学考试）已知集合
，
，
若
为单元素集合时，则（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】由题意可得两集合组成的方程组只有唯一解，再结合方程的性质以及判别式求解即可；
【详解】因为集合
，若
为单元素集
合，
则方程组
只有唯一解，
所以
，整理可得
，
当
时，方程变为
，此时
，符合题意；
当
时，
，所以
或
类型二 求参数范围（讨论空集）
【例1】已知集合
，
，
，若
，求
的取值
范围.
【解析】由于
，若
，则
.
【例2】已知集合A={x|2a-1＜x＜a+2}，B={x|0＜x≤2}，U=R，若A∩B=∅，求实数a 的取值范围．
【分析】分A=和A≠两种情况进行分类讨论，即可求解．
【解答】当A=时，则2a-1≥a+2，解得a≥3，此时满足A∩B=；
当A≠时，要使A∩B=∅，只需
或
，
解得a≤-2 或
，综上所述，实数a 的取值范围为
或
．
【练1】已知集合
，集合
，若
，则实数
的取值
范围为 .
【答案】
【分析】由题意分集合
是否为空集进行讨论，结合
，列出相应的不等式（组），从而
即可得解.
【详解】集合
，集合
，且
，
若
，则
，即
，此时满足
，即
满足题意；
若
，则
，即
，此时若要使得
，
则还需
或
，解得
或
，
注意到此时
，从而此时满足题意的
的范围为
或
；
综上所述，实数
的取值范围为
.
【练2】已知集合
，
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的取值范围；
【答案】(1)
，(2)
【分析】（1）先得到
，再根据包含关系列不等式求解；
（2）直接根据
列不等式求解；
【详解】（1）若
，则
，
又
，
所以
，
解得
；
（2）因为
，
所以
或
或
，
解得
或
或
，所以
【题型9】根据集合混合运算的结果确定参数的范围
【例1】已知集合
，
，若
，求m 的取值
范围.
【解析】因为
，
所以
或
，
因为
，所以
，
因为
，
所以
或
，
得
或
，
所以m 的取值范围为
或
.
【例2】（高一上·山东青岛·期中）设集合
，
，全集
，且
，则实数m 的取值范围为 ；
【答案】
【解析】由已知的：
，则
，
因为
，且
，
如图：
则
，即
，则实数m 的取值范围为
.
【例3】设集合
，
，全集
，且
，求实数
的
取值范围．
【解析】法一：(直接法)：由
，得
．
因为
，
，
所以
，即
，
所以m 的取值范围是
．
法二(集合间的关系)：由
可知
，
又
，
，
结合数轴：
得
，即
.
【练1 】（高一· 广东珠海· 期中）已知集合
，
，若
，求实数
的取值范围.
【解析】当
，即
时，
，符合题意；
当
，即
时，
，符合题意；
当
，即
时，
或
，
若
，则
，解得
，
综上，实数
的取值范围是
.
【练2】（高一·浙江·期中）已知全集
，集合
，
，若
，求实数
的取值范围.
【解析】由
得
，得
解得
，
所以
，故实数
的取值范围为
【练3】已知全集
，集合
，若
，求实数
的取值范围．
【解析】∵
，∴
，
若
，则
，则
，满足题意；
若
，则
，解得
，∴
，
综上，
的取值范围是
．
【练4】（高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合
．
．
(1)若
，求实数m 的取值范围：
(2)若
，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
分类讨论
、
，分别列不等式求
的范围，取并集即可.
（2）由条件知
，讨论
、
，分别列不等式求
的范围，取并集即可.
【详解】（1）
时，
知：
当
时，
得
；
当
时，
或
，
解得
；
综上，∴
的取值范围为
；
（2）因为
，所以
，所以
，
当
时，
得
；
当
时，
解得
；
综上可得
，即m 的取值范围是
【题型10】逆否条件的性质
【例1】“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语•子路》．意思是：领导者自身
品行端正时，即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会
听从．根据上述材料，“身正”是“令行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合题意即可得到答案.
【详解】由题意，“其身正，不令而行”，即身正
令行，故“身正”是“令行”的充分条件；
“其身不正，虽令不从”，即令行
身正，所以“身正”是“令行”的必要条件．综上可知，
“身正”是“令行”的充要条件.
【练1】《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯
人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体
肤”是“天将降大任于斯人也”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分性和必要性的概念，结合文中含义判断即可.
【详解】由文中意思可知，若“天将降大任于斯人也”，则必须“苦其心志，劳其筋骨，饿其体
肤”，反之未必，
所以“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的必要不充分条件
【练2】（24-25 高一上·江苏南通·阶段练习）有网友将王之涣的《凉州词》中的名句“羌笛何须怨
杨柳，春风不度玉门关”调侃改写成“奈何羌笛怨杨柳，春风不度玉门关”，意思是“羌笛怨杨柳，
导致春风不度玉门关（羌笛不怨杨柳，春风度不度玉门关就不知道了）”，照此网友的说法推断，
“春风度玉门关”是“羌笛不怨杨柳”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】通过充分性及必要性判断捋清逻辑关系，即得答案
【分析】羌笛怨杨柳，导致春风不度玉门关，即羌笛怨杨柳是春风不度玉门关的充分条件，
所以春风度玉门关是羌笛不怨杨柳的充分条件，
又因为羌笛不怨杨柳，春风度不度玉门关就不知道了，所以春风度玉门关是羌笛不怨杨柳的不必要
条件.
【题型11】根据充要条件求参数值
若A＝B，则p 是q 的充要条件
【例1】已知集合
，集合
，若命题“
”是命题“
”的
充要条件，则实数a 的值是 ．
【答案】
【解析】由
，可得
，解得
，
所以
，
又命题“
”是命题“
”的充要条件且
，则
，所以
.
【练1】（2024·高一·广东佛山·期中）若命题
：
为命题：
，
的充要条件，
则
的值是 ．
【答案】
【解析】
命题
是命题的充要条件，
，解得：
.
故答案为：.
【练2】若“
”是“
”的充要条件，则实数m 的取值是 ．
【答案】3
【解析】由
得
，故
，
因为“
”是“
”的充要条件，
所以
，解得
，所以实数m 的取值是3.
【题型12】根据充分条件求参数取值范围
若元素x∈A 是x∈B 的充分条件，则A⊆B；
【例1】已知集合
，
.若
是
的充分条件，求
实数的取值范围.
【答案】
【分析】根据
是
的充分条件，则
，建立关系式，解之即可．
【详解】解：若
是
的充分条件，则
，
①当时
，即
，即
，
②当
时，即
，
若
，则
，
综上，若
是
的充分条件，则实数的取值范围为
.
【练1】集合
，
，若
的充分条件是
，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，因为“
”的充分条件是“
”，
所以
，即
，解得
，即实数a 的取值范围为
.故选：B
【练2】集合
，集合
，其中
．若“
”是“
”的充分条件，求的取值范围．
【答案】
【分析】因为“
”是“
”的充分条件，故
，
故
，解得
故“
”是“
”的充分条件，a 的取值范围为
【题型13】根据必要条件求参数取值范围
若元素x∈A 是x∈B 的必要条件，则B⊆A.
【例1】（高一上·广东韶关·月考）（多选）设
，
是
的
充分不必要条件，则实数
的值可以为（ ）
A．
B．0
C．3
D．
【答案】ABD
【解析】因为
的两个根为3 和5，所以
，
是
的充分不必要条件，所以
是
的真子集，
所以
或
或
，
当
时，满足
即可，
当
时，满足
，所以
，
当
，满足
，所以
，
所以
的值可以是0，
，
.故选：ABD.
【练1】已知
或
，
，且
是
的充分不必要条件，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
或
，
，
令
，
，
因为
是
的充分不必要条件，所以
，所以
.故选：D
【练2】已知命题
，命题
或
，其中
．若
是
成立的充分不必要
条件，求的取值范围．
【解析】令
，
或
，
因为
是的充分不必要条件，所以
真包含于
，
所以
或
，解得
或
，
故的取值范围为
或
．
法二：由
真包含于
，可得如下两种情况，
结合数轴得
或
，
解得
或
，故的取值范围为
或
．
【题型14】根据全称量词命题求参数范围（恒成立）
若对于某区间内任意x，使得a<f(x)，则a<f(x)
的最小值
；若对于某区间内任意x，使得a>f(x)的，
则a>f(x)
的最大值
.
【例1】已知命题“
，使
”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】命题
，使
为真命题，则
，
解得
或
，
而命题“
，使
”是假命题，则
，
所以实数a 的取值范围是
.
故选：D
【例2】已知命题
是真命题，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为命题
是真命题，
所以不等式
在
上恒成立，
等价于
即可，
因为
所以
即
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【练1】已知命题p：“
，
”是假命题，则实数
的取值范围是________．
【答案】
【分析】由题意可知命题的否定为真命题，再由不等式恒成立讨论
的取值即可求解.
【详解】由题可得“
，
恒成立”是真命题
当
时，则有
恒成立，符合题意；
当
时，则有
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
【练2】若命题“
”是假命题，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】命题“
”的否定为“
”，且其否定为真命题，所以
，
故答案为：
【练3】命题“
，
”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】依题意命题“
，
”为真命题，则
对
恒成立，即可求出
的取范围，再根据集合的包含关系判断即可.
【详解】因为命题“
，
”为假命题，所以命题“
，
”为真命题，
即
对
恒成立，
所以
，
因为
，
所以命题“
，
”为假命题的一个充分不必要条件是
.
【练4】若命题“
”是真命题，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】若命题“
”是真命题，
则当
时，不等式为
对
恒成立；
当
时，要使得不等式恒成立，则
，解得
综上，
的取值范围为
.故选：D.
【题型15】根据特称量词命题求参数范围（能成立）
若某区间内存在x，使得a<f(x)，则a < f ( x ) 的最大值
；若某区间内存在 x，使得a>f(x)，则a>f(x)
的最
小值
【例1】已知“∃x∈R，a> x
2−1”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．a>−1
B．a>1
C．a<−1
D．a<1
【解析】【法一：参变分离】由题意得a>(x
2−1)min，又(x
2−1)min=−1，此时x =0，故a>−1.
【法二：判别式法】由题意得：∃x∈R，0> x
2−1−a，则△=0+4（1+a）＞0，故a>−1
故选：A.
【例2】（多选）已知命题
，
.若
为假命题，则实数
的值可以是
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】BC
【解析】若命题
为真命题，则
，解得
，
则当命题
为假命题时，
.故选：BC
【练1】已知“
，
”为真命题，则实数
的取值范围为________
【答案】
【分析】由题意知
需要大于
的最小值，求出其最小值即可得.
【详解】由题意得
，又
，此时
，故
.
【练2】命题“
”为真命题，则
取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为命题“
”为真命题，
所以
，
所以
，即
取值范围为
.
故答案为：
.
【练3】（多选）命题“
，使
”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】计算出
的范围后，再找其真子集即可得到.
【详解】因为命题“
，使
”是真命题，
所以
大于等于
在
上的最小值，即
，
选项中
及
都是
的充分不必要条件，故BD 正确.
【题型16】命题与集合
命题
集合
∀x∈A，x∈B是真命题，则
A ⊆B （即集合A 是集合B 的子集）
∃x∈A，x∈B是真命题，则
A∩B≠∅
【例1】已知集合
，
，且B≠∅．
（1）若命题p：“
，
”是真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若命题q：“
，
”是真命题，求实数m 的取值范围。
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）命题
可转化为
，又
，列出不等式控制范围，即得解；
（2）命题可转化为
，先求解
，且
时，实数
的范围，再求解对应范
围的补集，即得解
【详解】（1）因为命题
：“
，
”是真命题，所以
，又
，
所以
，解得
（2）因为
，所以
，得
．
又命题：“
，
”是真命题，所以
，
若
，且
时，则
或
，且
即
故若
，且
时，有
故实数
的取值范围为
【例2】已知集合
(1)若
，求实数
的取值范围.
(2)命题q：“
，使得
”是真命题，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）考虑
的情况，然后求解出
的范围，最后根据对应范围在实数集下的补集
求解出结果；
（2）根据条件先分析出
，然后考虑
的情况，由此求解出符合条件的
的取值
范围.
【详解】（1）当
时，
，
若
，满足
，则
，解得
；
若
，因为
，所以
，所以
，
所以
时，
的取值范围是
，
所以
时，
的取值范围是
.
（2）因为“
，使得
”是真命题，所以
，
当
时，
若
，
成立，此时
，解得
；
若
，则有
或
，解得
，
所以
时，
的取值范围是
或
，
所以命题
为真命题时
的取值范围是
.
【练1】（24-25 高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合
，
，且
.
(1)若命题
，
是真命题，求实数
的取值范围；
(2)若命题
，
是假命题，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
【分析】（1）由命题
为真命题可得
，且
，再根据子集列不等式求解范围即可；
（2）由
，
是假命题，则
，
是真命题，即
，再列不等式求解
即可.
【详解】（1）由命题
为真命题可得
，且
则
，解得
.
即实数
的取值范围为
.
（2）
，
是假命题
，
是真命题，即
，解得
，即实数
的取值范围为
.
【练2】已知集合
，
，且
．
(1)若命题p：“
，
”是真命题，求实数m 的取值范围；
(2)若命题q：“
，
”是真命题，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由命题p：“
，
”是真命题，可知
，根据子集的含义解决问题；
（2）命题q：“
，
”是真命题，所以
，通过关系解决.
【详解】（1）由命题p：“
，
”是真命题，可知
，
又
，所以
，解得
．
（2）因为
，所以
，得
．
因为命题q：“
，
”是真命题，所以
，
所以
，或
，得
．
综上，
．
【练3】已知集合
，
，且
(1)命题p：
，命题q：
，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
(2)命题“r：
，使得
”是真命题，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
．
【详解】（1）解：
是A 的真子集，且
不是空集，所以
，解得
；
（2）解：
，使得
，
为非空集合且
，
所以
，即
，
当
时
或
，所以
或
，
的取值范围为
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