文档文本内容
专题一 集合与常用逻辑用语
课标解读
考情分析 备考指导
主题 内容
理解集合的含义 能用自然语 考查内容 从近五年高考看 本专题重点考
１． ， １． ： ，
言 图形语言 集合语言 列举法 查集合的交 并 补运算 所给的数集既有连续 对于给定的集合 首先应明确集合
、 、 （ 、 、 ， １． ，
或描述法 表示集合 型 如 新高考 卷第 题直接给出了两 的表示方法 对于描述法表述的集
） ． （ ２０２０ Ⅰ １ ，
理解集合之间的包含关系 能 个连续型集合 求它们的并集 而 课标 合 要明确集合的元素是什么 是数
２． ， ， ， ２０２０ Ⅰ ， （
识别给定集合的子集 在具体问 卷理数第 题则是先求出一元一次 一元二次 集 点集等 明确集合是不等式的解
， １ 、 、 ），
一、集合的概念 题中了解全集与空集的含义 不等式的解集 后给定了集合交集来求参数的 集 是函数的定义域还是值域 把握
． ， ， ，
与运算 理解两个集合的并集与交集的 值 又有离散型的数集 如 课标 卷文 集合中元素的属性是重点
３． ）、 （ ２０２０ Ⅱ ．
含义 并会求它们的交集与并集 数第 题与 天津卷第 题 对充分条 了解命题及其逆命题 否命题与逆
， ； １ ２０２０ １ ）； ２． 、
理解给定一个集合的子集的补集 件 必要条件的考查常与其他知识结合 如 否命题 通过对概念的理解 会分析
、 （ ； ，
含义 会求给定子集的补集 会用 北京卷的第 题以三角函数中的诱导公 四种命题的关系 会写出一个命题的
， ； ２０２０ ９ ，
韦恩 图表示集合间的基本 式为背景考查了充分 必要条件的推理判断 其他三个命题 并判断其真假能用逻
（Ｖｅｎｎ） 、 ）； ， ．
关系及运算 全 特 称命题的考查相对较少 辑联结词正确地表达相关的数学
． （ ） ．
本专题是历年必考的内容 在选择题 填空 命题
２． ， 、 ．
题中出现较多 多以给定的集合或不等式的解 对于充分 必要条件的判断问题 必
， ３． 、 ，
理解必要条件 充分条件与充 集为载体 以集合语言和符号语言为表现形 须明确题目中的条件与结论分别是
１． 、 ，
要条件的意义 式 考查集合的交 并 补运算 也会与解不等 什么 它们之间的互推关系是怎样
． ， 、 、 ； ，
二、常用逻辑 理解全称量词与存在量词的 式 函数的定义域 值域相结合进行考查 的 要加强这方面的训练
２． 、 、 ． ， ．
用语 意义 对于充分 必要条件的判断 含有一个量词 关于全称命题与特称命题 一般考
． ３． 、 ， ４． ，
能正确地对含有一个量词的 的命题的否定可以与每一专题内容相关联 全 查命题的否定 对含有一个量词的命
３． ， ．
命题进行否定 称命题及特称命题是重要的数学语言 高考考 题进行真假判断 要学会用特值检验
． ， ， ．
题充分体现了逻辑推理的核心素养
．
．空集是任何集合的子集 是任何非空集合
命题立意 拓展延伸 ３ ，
的真子集 关注对空集的讨论 防止漏解．
已知给定的两个连续型的数集 求它们的 ．集合中的元素的三个特征 特别是无序 ， ，
， １ ， ．解题时注意区分两大关系 一是元素与
并集． 性和互异性在解题时经常用到 解题后要 ４ ：
， 集合的从属关系 二是集合与集合的包含
进行检验 要重视符号语言与文字语言之 ：
解题指导 ， 关系．
间的相互转化．
．进行集合运算时 首先看集合是否最 ． 图图示法和数轴图示法是进行集
１ ， ．对连续数集间的运算 借助数轴的直观 ５Ｖｅｎｎ
简 能化简先化简 再运算． ２ ， 合交 并 补运算的常用方法．
， ， 性 进行合理转化 对已知连续数集间的 、 、
．注意数形结合思想的应用 离散型数集 ， ；
２ （１） 关系 求其中参数的取值范围时 要注意
或抽象集合间的运算 常借助 图求解． ， ，
， Ｖｅｎｎ 等号能否取到．
连续型数集的运算 常借助数轴求解 运
（２） ， ，
用数轴时要特别注意端点是实心还是空心．
专题一 集合与常用逻辑用语 １２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
单项
２０２０新高考Ⅰ，１ 易 集合的运算 集合的并集运算 数轴法 数学运算
５ 选择题
单项
２０２０新高考Ⅱ，１ 易 集合的运算 集合的并集运算 定义法 数学运算
５ 选择题
２０２０课标Ⅰ理，２ 选择题 易 集合的运算 解不等式、集合的交集运算 定义法 数学运算
５
２０２０课标Ⅰ文，１ 选择题 易 集合的运算 解不等式、集合的交集运算 定义法 数学运算
５
２０２０北京，１ 选择题 易 集合的运算 集合的交集运算 定义法 数学运算
４
２０２０天津，１ 选择题 易 集合的运算 集合的交、补集运算 定义法 数学运算
５
解不等式、充分、
２０２０天津，２ 选择题 易 充分、必要条件 定义法 逻辑推理
５ 必要条件的判断
诱导公式、角的终边位置
２０２０北京，９ 选择题 难 充分、必要条件 与角大小关系、充分、 定义法 逻辑推理
４
必要条件的判断
命题规律与探究
从 年高考情况来看 本专题内容仍为高考考查热点 考题以容易题为主 题型主要以选择题或填空题的形式出现 分值一
１． ２０２０ ， ， ， ，
般为 分
５ ．
集合部分在 年高考试题中多以给定的集合 不等式解集为载体 以集合语言和符号语言为表现形式 考查集合的交 并
２． ２０２０ 、 ， ， 、 、
补集运算 常用逻辑用语部分多与其他知识结合考查充分 必要条件的判断
； 、 ．
在处理集合的交 并 补集运算等问题时 常利用韦恩 图或数轴表示集合的关系及运算
３． 、 、 ， （Ｖｅｎｎ） ．
本章重点考查的核心素养为数学运算和逻辑推理
４． ．
命题变化与趋势
年高考对本专题内容的考查较为稳定 考查方式及题目难度与往年相比变化不大 预计延续此前的考试风格
１．２０２０ ， ， ．
年新高考考查内容主要体现在以下方面 新高考 卷第 题 新高考 卷第 题直接给出了两个集合求它们的并集或
２．２０２０ ：① Ⅰ １ ， Ⅱ １
交集 课标 卷理数则是需要求出一元一次 一元二次不等式的解集 同时通过它们的交集确定参数的值 北京卷与新高考
， Ⅰ 、 ， ， Ⅰ
卷相近 直接求两个给定集合的交集 年新高考 卷第 题以学生参加体育锻炼为背景考查了利用韦恩 图求两
， ；②２０２０ Ⅰ ５ （Ｖｅｎｎ）
个集合交集中元素所占总体的比例问题 体现了集合的应用价值 年北京卷第 题以三角函数中的诱导公式为背景考
， ；③２０２０ ９
查了充分 必要条件的判断
、 ．
在备考时还要适当关注求集合的补集运算 对含有一个量词的命题的真假判断 集合与充分 必要条件相结合的命题方式 在
３． ， ， 、 ，
不同背景下抽象出数学本质的方法等应强化在知识的形成过程 知识的迁移中渗透学科素养
． 、 ．专题一 集合与常用逻辑用语 ３
１．１ 集合
§
续表
空集是任何集合的子集 Ｂ
⌀⊆
空集 空集是任何 非空 集合的真
考点一 集合及其关系 ⑤ Ｂ Ｂ
子集 ⌀⫋ （ ≠⌀）
１．集合的含义与表示
注意 遇到形如Ａ Ｂ的问题 要优先考虑Ａ 是否满足
集合中元素的三个特性 确定性 互异性 无序性 ． ⊆ ， ＝⌀
（１） ： 、 、① 题意．
集合中元素与集合的关系有且仅有两种 属于 用符号
（２） ： （ 知识拓展 若Ａ为有限集合 Ａ ｎ ｎ Ｎ∗ 则 Ａ
表示 和不属于 用符号 表示 ． ，ｃａｒｄ（ ）＝ （ ∈ ）， ：
“∈” ） （ “∉” ） 的子集个数是 ｎ Ａ的真子集个数是 ｎ Ａ的非空子集个
常用数集及其符号表示 ⑥ ２ ； ２ －１；
（３） 数是 ｎ Ａ的非空真子集个数是 ｎ ．
非负整数集 ２ －１； ⑦ ２ －２
名称 正整数集 整数集 有理数集 实数集
自然数集 考点二 集合的基本运算
（ ）
符号 Ｎ Ｎ∗或Ｎ Ｚ Ｑ Ｒ
② ＋ ③ 集合的并集 集合的交集 集合的补集
集合常用的表示方法 列举法 描述法 图示法． 符号 若全集为 Ｕ 则集合 Ａ
（４） ： 、④ 、 Ａ Ｂ Ａ Ｂ ，
注意 集合元素互异性的应用 利用集合元素的互异性 表示 ∪ ∩ 的补集为 Ａ
：（１） ∁Ｕ
找到解题的切入点 在解答完毕时 注意检查集合的元素是
；（２） ，
否满足互异性 以确保答案正确． 图形
，
表示
２．集合间的基本关系
表示
定义 记法 ｘ ｘ Ａ或ｘ ｘ ｘ Ａ，且
关系 意义 ｛ ｜ ∈ ∈ ｛ ｜⑧ ∈ ｘ ｘ Ｕ，且ｘ Ａ
Ｂ ｘ Ｂ ｛ ｜⑨ ∈ ∉ ｝
集合Ａ与集合Ｂ中的所有元素 ｝ ∈ ｝
相等 Ａ Ｂ
集合 都相同 ＝ Ａ ∪⌀＝ Ａ ； Ａ Ａ Ａ ∪（∁Ｕ Ａ ）＝ Ｕ ； Ａ ∩（∁Ｕ Ａ ）
间 基 关 的 本 系 子 真 子 集 集 合 集 合 合 合 Ｂ Ｂ 中 中 Ａ Ａ 中 中 的 的 元 元 任 任 素 素 意 意 一 一 且 个 个 Ｂ 元 元 中 素 素 至 均 均 少 为 为 有 集 集 一 Ａ Ａ ⊆ Ｂ Ｂ （ 或 或 Ｂ Ｂ ⊇ Ａ Ａ ） 性质 Ａ Ａ Ａ ∪ ∪ ∪ Ａ Ｂ ＝ ＝ Ｂ Ａ Ｂ ； ＝ ∪ Ａ Ａ ； ⇔ Ａ ∩ Ａ ∩ ＝ Ａ Ａ Ｂ ； ⌀ ； Ａ Ａ ∩ ＝ ∩ ⌀ Ｂ Ｂ ＝ ； Ａ ＝ ∩ ⇔ Ｂ ＝ ∁ （ Ｕ ∁ ⌀ （ Ｕ Ａ Ｂ ； ∪ ） ∁Ｕ ； Ｂ （ ） ∁ ∁ Ｕ Ｕ Ａ ＝ （ ） Ａ ＝ （ Ａ ∩ ∁ ； Ｕ Ａ Ｂ ） ） ∩ ＝
， ⫋ （ ⫌ ） Ｂ Ａ ⊆ Ａ Ｂ
集 个元素Ａ中没有 ⑩ ⊆ （∁Ｕ ）∪（∁Ｕ ）
ａ２ ａ ｂ 则ａ２０２１ ｂ２０２１等于 ．
｛ ， ＋ ，０｝， ＋
答案
－１
考点一 集合及其关系 考点二 集合的基本运算
{ { ｘ ｙ } ５．已知集合Ｍ ｘ ｘ Ｎ ｘ ｘ 则Ｍ Ｎ
１．若用列举法表示集合 Ａ ｘ ｙ ２ ＋ ＝６ 则下列表示正 ＝｛ ｜－１＜ ＜３｝， ＝｛ ｜－２＜ ＜１｝， ∩ ＝
＝ （ ， ） ｘ ｙ ，
－ ＝３ （ ）
确的是 ． ．
（ ） Ａ（－２，１） Ｂ（－１，１）
Ａ ｘ ｙ Ａ ． ．
Ａ． ＝｛ ＝３， ＝０｝ Ｂ． ＝｛（３，０）｝ Ｃ（１，３） Ｄ（－２，３）
Ａ Ａ 答案 Ｂ
Ｃ． ＝｛３，０｝ Ｄ． ＝｛（０，３）｝
答案 Ｂ ６．已知全集Ｕ ＝ Ｒ ， Ａ ＝｛ ｘ ｜ ｘ ≤０｝， Ｂ ＝｛ ｘ ｜ ｘ ≥１｝， 则集合 ∁Ｕ（ Ａ ∪ Ｂ ）＝
２．若集合Ｍ ｘ ｘ Ｎ ｙ ｙ ｘ２ ｘ 则
＝｛ ｜｜ ｜≤１｝， ＝｛ ｜ ＝ ，｜ ｜≤１｝， （ ） （ ）
Ｍ Ｎ Ｍ Ｎ Ｍ Ｎ Ｎ Ｍ ｘ ｘ ｘ ｘ
Ａ． ＝ Ｂ． ⊆ Ｃ． ∩ ＝⌀ Ｄ． ⫋ Ａ．｛ ｜ ≥０｝ Ｂ．｛ ｜ ≤１｝
答案 Ｄ ｘ ｘ ｘ ｘ
Ｃ．｛ ｜０≤ ≤１｝ Ｄ．｛ ｜０＜ ＜１｝
３．已知集合Ａ
＝｛
ｘ
∈
Ｒ
｜
ｘ２
＋
ｘ
－６＝０｝，
Ｂ
＝｛
ｘ
∈
Ｒ
｜
ａｘ
－１＝０｝，
若Ｂ
⊆
答案 Ｄ
Ａ ， 则实数ａ的值为 （ ） ７．已知集合Ａ ＝｛ ｘ ｜ ｘ２ －２ ｘ －３＞０｝， Ｂ ＝｛ ｘ ｜ｌｇ（ ｘ ＋１）≤１｝， 则 （∁Ｒ Ａ ）
Ｂ
１ 或 １ １ 或 １ ∩ ＝ （ ）
Ａ． － Ｂ．－ ｘ ｘ ｘ ｘ
３ ２ ３ ２ Ａ．｛ ｜－１≤ ＜３｝ Ｂ．｛ ｜－１≤ ≤９｝
ｘ ｘ ｘ ｘ
１ 或 １ 或 １ 或 １ 或 Ｃ．｛ ｜－１＜ ≤３｝ Ｄ．｛ ｜－１＜ ＜９｝
Ｃ． － ０ Ｄ．－ ０ 答案 Ｃ
３ ２ ３ ２
答案 Ｄ ８．全集Ｕ
＝｛
ｘ
｜
ｘ
＜１０，
ｘ
∈
Ｎ∗
｝，
Ａ
⊆
Ｕ
，
Ｂ
⊆
Ｕ
，（∁Ｕ
Ｂ
）∩
Ａ
＝｛１，９｝，
Ａ
{ ｂ } Ｂ Ａ Ｂ 则Ａ Ｂ ．
４．已知含有三个实数的集合既可表示成 ａ 又可表示成 ∩ ＝｛３｝，（∁Ｕ ）∩（∁Ｕ ）＝｛４，６，７｝， ∪ ＝
， ａ ，１ ， 答案
｛１，２，３，５，８，９｝
４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
{ }
当Ｂ 时 ａ Ｂ ｘ ｘ １ 又知Ｂ Ａ
≠⌀ ， ≠０，∴ ＝ ＝－ ａ ， ⊆ ，
１ Ａ ａ ．
考点一 集合及其关系 ∴ － ａ ∈ ，∴ ＝±１
１．（２０１８广东茂名化州二模，１）设集合Ａ Ｂ ｘ ｘ 综上可得实数ａ的所有可能取值集合为 故选 ．
＝｛－１，０，１｝， ＝｛ ｜ ＞ ｛－１，０，１｝， Ｄ
ｘ Ａ 则Ｂ 易错警示 由于空集是任何集合的子集 又是任何非空集合
０， ∈ ｝， ＝ （ ） ，
的真子集 所以遇到 Ａ Ｂ或Ａ Ｂ且Ｂ 时 一定要注意
Ａ．｛－１，０｝ Ｂ．｛－１｝ Ｃ．｛０，１｝ Ｄ．｛１｝ ， “ ⊆ ⫋ ≠⌀” ，
答案 Ｄ 由题意可知 集合Ｂ由集合Ａ中为正数的元素组 讨论Ａ 和Ａ 两种情况 Ａ 的情况易被忽略 从而导
， ＝⌀ ≠⌀ ， ＝⌀ ，
成 因为集合Ａ 所以Ｂ ． 致失分．
， ＝｛－１，０，１｝， ＝｛１｝
２．设集合Ａ ｙ ｙ ｘ２ ｘ ｘ Ｒ 有下列说法 Ａ ９．（２０１９河南豫南九校第一次联考，１３）已知集合Ａ
＝｛ ｜ ＝ ＋２ ＋５， ∈ ｝， ：①１∉ ；②４∈ ＝｛１，２，３｝，
Ａ Ａ．其中正确的说法个数是 Ｂ ｍ 若 ｍ Ａ 则非零实数ｍ的值是 ．
；③（０，５）∈ （ ） ＝｛１， ｝， ３－ ∈ ，
答案
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ ２
答案 Ｃ 易知Ａ ｙ ｙ 所以 都是正确的 解析 若 ｍ 则ｍ 符合题意
＝｛ ｜ ≥４｝， ①② ；（０，５） ３－ ＝１， ＝２， ；
是点 而集合Ａ中元素是数 所以 是错误的．故选 ． 若 ｍ 则ｍ 此时集合Ｂ中的元素不满足互异性 故ｍ
， ， ③ Ｃ ３－ ＝２， ＝１， ，
３．（２０２０陕西西安中学第一次月考，１）已知集合 Ａ ｘ ｘ
＝｛ ｜ ≥ ≠１；
则正确的是 若 ｍ 则ｍ 不符合题意．故答案为 ．
－１｝， （ ） ３－ ＝３， ＝０， ２
Ａ Ａ
Ａ．０⊆ Ｂ．｛０｝∈ 考点二 集合的基本运算
Ａ Ａ
Ｃ．⌀∈ Ｄ．｛０｝⊆
答案 Ｄ 对于 Ａ 故 错误 １．（２０１９金丽衢十二校高三第一次联考，１）若集合 Ａ
Ａ，０∈ ， Ａ ； ＝（－∞，
对于 Ｂ，｛０｝⊆ Ａ ， 故 Ｂ 错误 ； ５）， Ｂ ＝［３，＋∞）， 则 （∁Ｒ Ａ ）∪（∁Ｒ Ｂ ）＝ （ ）
对于 空集 是任何集合的子集 即 Ａ 故 错误 Ｒ
Ｃ， ⌀ ， ⌀⊆ ， Ｃ ； Ａ． Ｂ．⌀
对于 由于集合 是集合Ａ的子集 故 正确．故选 ．
Ｄ， ｛０｝ ， Ｄ Ｄ Ｃ．［３，５） Ｄ．（－∞，３）∪［５，＋∞）
４．（２０１９辽宁沈阳质量检测三，２）已知集合Ａ ＝｛（ ｘ ， ｙ ）｜ ｘ ＋ ｙ ≤ 答案 Ｄ ∁Ｒ Ａ ＝［５，＋∞），∁Ｒ Ｂ ＝（－∞，３）， 所以 （∁Ｒ Ａ ）∪
ｘ ｙ Ｎ 则Ａ中元素的个数为 Ｂ ．
２， ， ∈ ｝， （ ） （∁Ｒ ）＝（－∞，３）∪［５，＋∞）
２．（２０１９河南中原联盟９月联考，１）已知集合Ａ ｘ ｘ
Ａ．１ Ｂ．５ ＝｛ ｜（ －１）·
无数个 ｘ Ｂ ｘ ｙ ｘ 则Ａ Ｂ
Ｃ．６ Ｄ． （ －２）＞０｝， ＝｛ ｜ ＝ ２ －１｝， ∩ ＝ （ ）
答案 Ｃ 由题意得Ａ [ ) [ )
＝｛（０，０），（０，１），（０，２），（１，０），（１， １ １
所以Ａ中元素的个数为 ．故选 ． Ａ． ，１ ∪（２，＋∞） Ｂ． ，１
１），（２，０）｝， ６ Ｃ ２ ２
５．（２０２０广西桂林十八中８月月考，１）已知集合Ａ ａ Ｂ ( )
＝｛１， ｝， ＝ １ Ｒ
那么 Ｃ． ，１ ∪（２，＋∞） Ｄ．
｛１，２，３｝， （ ） ２
若ａ 则Ｂ Ａ 若ａ 则Ａ Ｂ 答案 Ａ 因为集合Ａ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 或
Ａ． ＝３， ⊆ Ｂ． ＝３， ⫋ ＝｛ ｜（ －１）（ －２）＞０｝＝｛ ｜ ＜１
若Ａ Ｂ 则ａ 若Ａ Ｂ 则ａ { }
Ｃ． ⊆ ， ＝２ Ｄ． ⊆ ， ＝３ ｘ Ｂ ｘ ｙ ｘ ｘ ｘ １ 所以 Ａ Ｂ
答案 Ｂ 当ａ 时 Ａ 又因为Ｂ 所以Ａ ＞２｝， ＝ ｛ ｜ ＝ ２ －１｝ ＝ ≥ ， ∩ ＝
＝３ ， ＝｛１，３｝， ＝｛１，２，３｝， ２
[ )
Ｂ．若Ａ Ｂ 则ａ 或 ．故选 ．
⫋ ⊆ ， ＝２ ３ Ｂ １ 故选 ．
６．（２０１９辽宁师大附中月考，２）已知集合Ａ Ｂ ｘ ｘ ，１ ∪（２，＋∞）， Ａ
＝｛０，１｝， ＝｛ ｜ ⊆ ２
Ａ 则下列集合Ａ与Ｂ的关系中正确的是 ３．（２０１８河北石家庄３月质检，１）设集合Ａ ｘ ｘ Ｂ
｝， （ ） ＝｛ ｜－１＜ ≤２｝， ＝
Ａ Ｂ Ａ Ｂ ｘ ｘ 则下列结论正确的是
Ａ． ⊆ Ｂ． ⫋ ｛ ｜ ＜０｝， （ ）
Ｃ． Ｂ ⫋ Ａ Ｄ． Ａ ∈ Ｂ Ａ．（∁Ｒ Ａ ）∩ Ｂ ＝｛ ｘ ｜ ｘ ＜－１｝ Ｂ． Ａ ∩ Ｂ ＝｛ ｘ ｜－１＜ ｘ ＜０｝
答案 Ｄ 因为ｘ ⊆ Ａ ， 所以Ｂ ＝｛⌀，｛０｝，｛１｝，｛０，１｝｝， 则集 Ｃ． Ａ ∪（∁Ｒ Ｂ ）＝｛ ｘ ｜ ｘ ≥０｝ Ｄ． Ａ ∪ Ｂ ＝｛ ｘ ｜ ｘ ＜０｝
合Ａ ＝｛０，１｝ 是集合Ｂ中的一个元素 ， 所以Ａ ∈ Ｂ ， 故选 Ｄ ． 答案 Ｂ ∵ Ａ ＝｛ ｘ ｜－１＜ ｘ ≤２｝， Ｂ ＝｛ ｘ ｜ ｘ ＜０｝，∴ ∁Ｒ Ａ ＝｛ ｘ ｜ ｘ ≤
７．（２０２０ 安徽江淮十校第一次联考，１） 已知集合 Ａ ＝ －１ 或ｘ ＞２｝，∁Ｒ Ｂ ＝｛ ｘ ｜ ｘ ≥０｝ ．对于选项 Ａ，（∁Ｒ Ａ ）∩ Ｂ ＝｛ ｘ ｜ ｘ ≤
{ } 故 错误 对于选项 Ａ Ｂ ｘ ｘ 故 正确
ｙ ｙ ｘ １ ｘ 集合Ｂ ｘ ｘ２ 若Ａ Ｂ Ｐ 则集 －１｝， Ａ ； Ｂ， ∩ ＝｛ ｜－１＜ ＜０｝， Ｂ ；
＝ ＋ ｘ ， ≠０ ， ＝｛ ｜ －４≤０｝， ∩ ＝ ， 对于选项 Ａ Ｂ ｘ ｘ 故 错误 对于选项 Ａ
Ｃ， ∪（∁Ｒ ）＝｛ ｜ ＞－１｝， Ｃ ； Ｄ，
合Ｐ的子集个数为 Ｂ ｘ ｘ 故 错误．故选 ．
（ ） ∪ ＝｛ ｜ ≤２｝， Ｄ Ｂ
名师点拨 对于集合的交 并 补运算 利用数轴求解能减少
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．８ Ｄ．１６ 、 、 ，
答案 Ｂ Ａ ｙ ｙ 或ｙ Ｂ ｘ 则Ｐ Ａ 失误．
＝｛ ｜ ≤－２ ≥２｝， ＝｛－２≤ ≤２｝， ＝
Ｂ 所以Ｐ的子集个数为 故选 ４．（２０２０山东夏季高考模拟，１）设集合 Ａ ｘ ｙ ｘ ｙ
∩ ＝｛－２，２｝， ４， Ｂ． ＝｛（ ， ）｜ ＋ ＝２｝，
８．（２０１９广东六校９月联考，２）已知集合Ａ Ｂ ｘ ａｘ Ｂ ｘ ｙ ｙ ｘ２ 则Ａ Ｂ
＝｛－１，１｝， ＝｛ ｜ ＝｛（ ， ）｜ ＝ ｝， ∩ ＝ （ ）
若Ｂ Ａ 则实数ａ的所有可能取值的集合为
＋１＝０｝， ⊆ ， （ ） Ａ．｛（１，１）｝ Ｂ．｛（－２，４）｝
Ａ．｛－１｝ Ｂ．｛１｝ Ｃ．｛－１，１｝ Ｄ．｛－１，０，１｝ Ｃ．｛（１，１），（－２，４）｝ Ｄ．⌀
答案 Ｄ 因为Ｂ Ａ 所以当Ｂ 即ａ 时满足条件 答案 Ｃ 本题主要考查集合的含义及集合的运算．
⊆ ， ＝⌀， ＝０ ；
专题一 集合与常用逻辑用语 ５
{ｘ ｙ [ ] [ ]
联立
ｙ
＋
＝ ｘ
＝
２ ，
２，消ｙ可得ｘ２
＋
ｘ
－２＝０，∴
ｘ
＝１
或
－２， Ｃ． －１，
１
２ Ｄ．｛－１｝∪ ０，
１
２
{ｘ {ｘ ｘ ２ ｘ
方程组的解为 ＝１，或 ＝－２，从而 Ａ Ｂ 答案 Ｄ （ ＋１） （ －１） ｘ 且ｘ ｘ
∴ ｙ ｙ ∩ ＝｛（１，１），（－２， ∵ ｘ ＞０，∴ ≠－１ （ －１）＞０，
＝１ ＝４，
故选 ． ∴ ｘ ＜－１ 或 －１＜ ｘ ＜０ 或ｘ ＞１，∴ Ａ ＝｛ ｘ ｜ ｘ ＜－１ 或 －１＜ ｘ ＜０ 或ｘ ＞１｝ ．
４）｝， Ｃ ( )
５．（２０１９山东济南外国语学校１０月月考，１）已知Ｒ为实数集
ｘ ｘ １ ｘ １ 或ｘ
{ ｘ ２ ｘ } { ( ) } ， ∵ （ ＋１） － ２ ＞０，∴ ＞ ２ ＜－１，
集合Ａ ｘ （ ＋１） （ －１） Ｂ ｘ ｘ ｘ １ 则 { }
＝ ｘ ＞０ ， ＝ （ ＋１） － ＞０ ， Ｂ ｘ ｘ １ 或ｘ ．
２ ∴ ＝ ＞ ＜－１
图中阴影部分表示的集合为 ２
（ ） { }
Ａ Ｂ ｘ ｘ 或 ｘ 或ｘ １ ．
∴ ∪ ＝ ＜－１ －１＜ ＜０ ＞
２
故图中阴影部分表示的集合为 Ａ Ｂ
∁Ｒ（ ∪ ） ＝ ｛－ １｝ ∪
{ } [ ]
ｘ ｘ １ 即 １ ．故选 ．
[ ] ０≤ ≤ ， ｛－１｝∪ ０， Ｄ
２ ２
１
Ａ．｛－１｝∪［０，１］ Ｂ． ０，
２
例 （２０２０ 湖 北 黄 冈 调 研 考 试， ２） 集 合 Ｍ
＝
{ ｋ } { ｋ }
考法一 集合间基本关系的求解方法 ｘ ｘ π π ｋ Ｚ Ｎ ｘ ｘ π π ｋ Ｚ 则集合 Ｍ 与
＝ ＋ ， ∈ ， ＝ ＝ ＋ ， ∈ ，
２ ４ ４ ２
例１
（１）
（２０１９ 湖北天门调研，１） 集合 Ｍ
＝
Ｎ的关系为
（ ）
{ ｋ } { ｋ } Ｍ Ｎ Ｍ Ｎ Ｍ Ｎ Ｍ Ｎ
ｘ ｘ １ ｋ Ｚ Ｎ ｘ ｘ １ ｋ Ｚ 则 Ａ． ＝ Ｂ． ⫌ Ｃ． ⫋ Ｄ． ∩
＝ ＋ ， ∈ ， ＝ ＝ ＋ ， ∈ ， （ ）
２ ４ ４ ２ ＝⌀
Ａ． Ｍ ＝ Ｎ Ｂ． Ｍ ⫋ Ｎ 解析 Ｍ { ｘ ｘ ２ ｋ π π，ｋ Ｚ } ， Ｎ
Ｎ Ｍ Ｍ与Ｎ没有相同的元素 ＝ ＝ ＋ ∈ ＝
Ｃ． ⫋ Ｄ． ４ ４
（２０２０课标Ⅰ理，２，５分）设集合Ａ ｘ ｘ２ Ｂ { （ｋ ） }
（２） ＝｛ ｜ －４≤０｝， ＝ ｘ ｘ ＋１ π π，ｋ Ｚ ，由于 ｋ 能取所有的整数， ｋ 只
ｘ ｘ ａ 且Ａ Ｂ ｘ ｘ 则ａ ＝ ＋ ∈ ＋１ ２
｛ ｜２ ＋ ≤０｝， ∩ ＝｛ ｜－２≤ ≤１｝， ＝ （ ） ４ ４
能取所有的偶数，而偶数是整数，但整数不一定是偶数，所以Ｍ
Ａ．－４ Ｂ．－２ Ｃ．２ Ｄ．４
解题导引 化简两集合 观察两集合中元素的构成特 Ｎ，故选 ．
（１） ， ⫋ Ｃ
征 再确定两个集合的关系 得出结果． 答案 Ｃ
， ，
化简两集合 利用已知给出的Ａ Ｂ ｘ ｘ 确 { }
（２） ， ∩ ＝｛ ｜－２≤ ≤１｝， 一 题 多 解 Ｍ …，π，３π，５π，７π，… ， Ｎ
定集合Ｂ端点值的大小 从而得出ａ的值． ＝ ＝
， ４ ４ ４ ４
{ ｋ } { { }
解析 （ ）集合Ｍ ｘ ｘ １ ，ｋ Ｚ ｘ ｘ １ （ ｋ …，π，π，３π， ，５π，… ，分析集合中的元素知，３π Ｍ 且
１ ＝ ＝ ＋ ∈ ＝ ＝ ２ π ∈
２ ４ ４ ４ ２ ４ ４ ４
} { ｋ } {
），ｋ Ｚ ，Ｎ ｘ ｘ １ ，ｋ Ｚ ｘ ｘ １ （ｋ ），ｋ ３π Ｎ，所以排除 ；又 Ｎ，但 Ｍ，所以排除 ， ，故选 ．
＋１ ∈ ＝ ＝ ＋ ∈ ＝ ＝ ＋２ ∈ ∈ Ｄ π∈ π∉ Ａ Ｂ Ｃ
４ ２ ４ ４
}
Ｚ ，当ｋ Ｚ时， ｋ 是奇数，ｋ 是整数，又知奇数均为整数，
∈ ２ ＋１ ＋２ 考法二 集合运算问题的求解方法
而整数不一定为奇数，所以Ｍ Ｎ，故选 ．
⫋ Ｂ 例２ （２０１９湖南重点中学摸底联考，１）已知全集Ｕ
{ ａ} （１）
（ ）由已知可得Ａ ｛ｘ ｘ ｝，Ｂ ｘ ｘ ，又 Ａ Ｍ Ｎ 则集合
２ ＝ ｜－２≤ ≤２ ＝ ≤－ ∵ ＝｛１，２，３，４，５，６，７｝， ＝｛３，４，５｝， ＝｛１，３，６｝， ｛２，７｝＝
２
ａ （ ）
Ｂ ｛ｘ ｘ ｝， ， ａ ．故选 ．
∩ ＝ ｜－２≤ ≤１ ∴ － ＝１ ∴ ＝－２ Ｂ Ａ． Ｍ ∩ Ｎ Ｂ．（∁Ｕ Ｍ ）∩（∁Ｕ Ｎ ）
２
Ｍ Ｎ Ｍ Ｎ
答案 （ ）Ｂ （ ）Ｂ Ｃ．（∁Ｕ ）∪（∁Ｕ ） Ｄ． ∪
１ ２ （２０２０山东青岛５月二模，１）若全集Ｕ Ｒ 集合Ａ ｙ
方法总结 １．判断两集合的关系一般有两种方法 一是化 （２） ＝ ， ＝｛
简集合 从中直 接寻找两集合的关系 二是用列举法 或
：
图 ∈
Ｒ
｜
ｙ
＝
ｘ２
｝，
Ｂ
＝｛
ｘ
∈
Ｒ
｜
ｙ
＝ｌｏｇ３（
ｘ
－１）｝，
则Ａ
∩（∁Ｒ
Ｂ
）＝ （ ）
， ； （ Ｖｅｎｎ
法 表示各个集合 从元素 或图形 中寻找关系． Ａ．（－∞，１］ Ｂ．［１，２］ Ｃ．［０，１］ Ｄ．［０，１）
） ， （ ） 解题导引 思路一 由已知集合分别求出 Ｍ Ｎ 再
２．已知两集合间的关系求参数的取值范围时 关键是将两 （１） ： ∁Ｕ ，∁Ｕ ，
， 验证选项．
集合间的关系转化为元素间的关系 进而转化为参数满足的关
， 思路二 根据集合Ｕ Ｍ Ｎ的关系画出 图 从而确定结论．
系．解决这类问题时常常需要合理利用数轴 图帮助分析． ： ， ， Ｖｅｎｎ ，
、Ｖｅｎｎ 先求出集合Ａ Ａ是函数ｙ ｘ２ 的值域 再求集合Ｂ Ｂ是
（２） ， ＝ ， ，
函数ｙ ｘ 的定义域 明确集合中元素的属性 最后求出
＝ｌｏｇ３（ －１） ， ，
６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
Ａ Ｂ ．
∩（∁Ｒ ） 解题导引
解析 （ ）解法一： Ｕ ｛ ， ， ， ， ， ， ｝，Ｍ ｛ ， ， ｝，Ｎ
１ ∵ ＝ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ＝ ３ ４ ５
｛ ， ， ｝， Ｍ ｛ ， ， ， ｝， Ｎ ｛ ， ， ， ｝，Ｍ Ｎ ｛ ｝，Ｍ （１）
＝ １ ３ ６ ∴ ∁Ｕ ＝ １ ２ ６ ７ ∁Ｕ ＝ ２ ４ ５ ７ ∩ ＝ ３
∪ Ｎ ＝ ｛ １ ， ３ ， ４ ， ５ ， ６ ｝， ∴ （ ∁Ｕ Ｍ） ∩ （ ∁Ｕ Ｎ） ＝ ｛ ２ ， ７ ｝，（ ∁Ｕ Ｍ） ∪ （ ∁Ｕ Ｎ） （２）
｛ ， ， ， ， ， ｝，故选 ． 解析 （ ）集合Ａ ｛ｘ ｘ ｝ ｛ｘ ｘ ｝，集合Ｂ
＝ １ ２ ４ ５ ６ ７ Ｂ １ ＝ ｜ｌｏｇ２ ≤２ ＝ ｜０＜ ≤４ ＝
解法二：由集合Ｍ，Ｎ，Ｕ的关系画出 图（如图所示）． ｛ｘ （ｘ ）（ｘ ） ｝ ｛ｘ ｘ 或ｘ ｝．
Ｖｅｎｎ ｜ －３ ＋１ ≥０ ＝ ｜ ≥３ ≤－１
因为全集Ｕ Ｒ，所以 Ｂ ｛ｘ ｘ ｝，所以（ Ｂ） Ａ
＝ ∁Ｕ ＝ ｜－１＜ ＜３ ∁Ｕ ∩ ＝
（ ， ），故选
０ ３ Ｄ．
（ ）由 ｘ ，得 ｘ ，即 ｘ ，所以集合Ａ ｛ｘ
２ ｜ ＋２｜＜３ －３＜ ＋２＜３ －５＜ ＜１ ＝
ｘ ｝，因为Ａ Ｂ （ ，ｎ），所以 是方程（ｘ ｍ）（ｘ ）
由图可知 （Ｍ Ｎ） （ Ｍ） （ Ｎ） ｛ ， ｝，故选 ． ｜－５＜ ＜１ ∩ ＝ －１ －１ － －２
∁Ｕ ∪ ＝ ∁Ｕ ∩ ∁Ｕ ＝ ２ ７ Ｂ 的根，由此可得 （ ｍ） ，所以ｍ ，解不等式（ｘ ）
（ ）Ａ ｛ｙ ｙ ｘ２｝ ｛ｙ ｙ ｝，Ｂ ｛ｘ ｙ （ｘ ）｝ ｛ｘ ｘ ＝０ ３ １＋ ＝０ ＝－１ ＋１
２ ＝ ｜ ＝ ＝ ｜ ≥０ ＝ ｜ ＝ｌｏｇ３ －１ ＝ ｜ － （ｘ ） 得 ｘ ，所以Ｂ ｛ｘ ｘ ｝，所以Ａ Ｂ （ ，
｝ ｛ｘ ｘ ｝，Ｕ Ｒ， Ｂ ｛ｘ ｘ ｝， Ａ （ Ｂ） ［ ， ］， －２ ＜０ －１＜ ＜２ ＝ ｜－１＜ ＜２ ∩ ＝ －１
１＞０ ＝ ｜ ＞１ ＝ ∴ ∁Ｒ ＝ ｜ ≤１ ∴ ∩ ∁Ｒ ＝ ０ １ ），即ｎ ，所以ｍ ，ｎ ．
故选 ． １ ＝１ ＝－１ ＝１
Ｃ 答案 （ ）Ｄ （ ） ；
１ ２ －１ １
例 （２０１９江苏启东中学、前黄中学、淮阴中学等七
（１）
校联考，１）已知集合Ａ Ｂ ａ ．若Ａ Ｂ 则Ａ
＝｛１，２｝， ＝｛ ，３｝ ∩ ＝｛１｝，
答案 （ ）Ｂ （ ）Ｃ Ｂ ．
１ ２ ∪ ＝
方法总结 集合的基本运算包括集合的交 并 补运算 解 （２） 已知集合Ａ ＝｛ ｘ ｜ ｘ２ －３ ｘ ＜０｝， Ｂ ＝｛１， ａ ｝， 若Ａ ∩ Ｂ有 ４ 个
、 、 ，
子集 则实数ａ的取值范围是 ．
决此类运算问题一般应注意以下几点 一是看集合的表示方法 ，
： ， 设 ａ Ｒ 集合 Ａ ｘ ｘ ｘ ａ Ｂ
用列举法表示的集合 易用 图求解 用描述法表示的数集 （３） ∈ ， ＝｛ ｜（ －１）·（ － ）≥０｝， ＝
， Ｖｅｎｎ ， ， ｘ ｘ ａ 若Ａ Ｂ Ｒ 则ａ的取值范围为 ．
常借助数轴分析得出结果 二是对集合进行化简 有些集合是可 ｛ ｜ ≥ －１｝， ∪ ＝ ，
， ， 解析 （ ）因为Ａ Ｂ ｛ ｝，所以ａ ，所以Ａ Ｂ ｛ ， ， ｝．
以化简的 通过化简集合 可使问题变得简单明了 易于解决． １ ∩ ＝ １ ＝１ ∪ ＝ １ ２ ３
， ， ，
（ ）Ａ ｛ｘ ｘ ｝，要使Ａ Ｂ有 个子集，则Ａ Ｂ中应
２ ＝ ｜０＜ ＜３ ∩ ４ ∩
有两个元素，因为Ｂ ｛ ，ａ｝，所以ａ （ ， ），又ａ ，所以ａ
例 （２０１８江西南昌二中第四次模拟，１）设全集Ｕ Ｒ ＝ １ ∈ ０ ３ ≠１
（１） ＝ ， 的取值范围是（ ， ） （ ， ）．
集合Ａ ｘ ｘ Ｂ ｘ ｘ ｘ 则 Ｂ Ａ ０ １ ∪ １ ３
＝｛ ｜ｌｏｇ２ ≤２｝， ＝｛ ｜（ －３）（ ＋１）≥０｝， （∁Ｕ ）∩ ＝ （ ）若ａ ，则集合Ａ ｛ｘ ｘ ａ或ｘ ｝，利用数轴可知，
３ ＞１ ＝ ｜ ≥ ≤１
（ ） 要使Ａ Ｂ Ｒ，需要ａ ，则 ａ ；若ａ ，则集合Ａ Ｒ，
∪ ＝ －１≤１ １＜ ≤２ ＝１ ＝
Ａ．（－∞，－１］ Ｂ．（－∞，－１］∪（０，３） 满足Ａ Ｂ Ｒ，故ａ 符合题意；若ａ ，则集合Ａ ｛ｘ ｘ ａ
∪ ＝ ＝１ ＜１ ＝ ｜ ≤
Ｃ．［０，３） Ｄ．（０，３） 或ｘ ｝，显然满足Ａ Ｂ Ｒ，故ａ 符合题意．综上所述，ａ的
已知集合Ａ ｘ Ｒ ｘ 集合Ｂ ｘ Ｒ ｘ ≥１ ∪ ＝ ＜１
（２） ＝｛ ∈ ｜｜ ＋２｜＜３｝， ＝｛ ∈ ｜（ － 取值范围为（ ， ］．
ｍ ｘ 且 Ａ Ｂ ｎ 则 ｍ ｎ －∞ ２
）·（ －２）＜０｝， ∩ ＝（－１， ）， ＝ ， ＝ 答案 （ ）｛ ， ， ｝ （ ）（ ， ） （ ， ） （ ）（ ， ］
． １ １ ２ ３ ２ ０ １ ∪ １ ３ ３ －∞ ２
方法技巧 （ ）集合中的元素若是离散的，则用 图
１ Ｖｅｎｎ
表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注
意端点的情况．（ ）已知集合的运算结果求参数，要注意分类讨
２
论思想的灵活应用．
考法二 集合运算问题的求解方法
４．（２０２１届河南郑州一中开学测试，１）已知全集Ｕ Ｒ 集合Ａ
＝ ， ＝
考法一 集合间基本关系的求解方法 { }
ｘ ｙ ｘ Ｂ ｘ ｙ １ 则 Ａ Ｂ
１．（２０２１届江苏扬州二中期初检测，２）已知集合Ａ ｘ ｘ２ ｘ ｛ ｜ ＝ｌｇ（１－ ）｝， ＝ ＝ ｘ ， （∁Ｕ ）∩ ＝ （ ）
＝｛ ｜ ＋ ＝
ｘ Ｒ 则满足Ａ Ｂ 的集合Ｂ的个数是
０， ∈ ｝， ∪ ＝｛０，－１，１｝ （ ） Ａ．（１，＋∞） Ｂ．（０，１） Ｃ．（０，＋∞） Ｄ．［１，＋∞）
答案 Ｄ
Ａ．４ Ｂ．３ Ｃ．２ Ｄ．１
答案 Ａ ５．（２０２０浙江超级全能生第一次联考，１）记全集Ｕ Ｒ 集合Ａ
＝ ， ＝
２．（２０２０山东滨州６月三模）已知集合Ｍ
＝｛
ｘ
｜
ｘ
＝４
ｎ
＋１，
ｎ
∈
Ｚ
｝， ｛
ｘ
｜
ｘ２
－４≥０｝，
集合Ｂ
＝｛
ｘ
｜２
ｘ
≥２｝，
则
（∁Ｕ
Ａ
）∩
Ｂ
＝ （ ）
Ｎ ｘ ｘ ｎ ｎ Ｚ 则
＝｛ ｜ ＝２ ＋１， ∈ ｝， （ ） Ａ．［２，＋∞） Ｂ．⌀ Ｃ．［１，２） Ｄ．（１，２）
Ｍ Ｎ Ｎ Ｍ Ｍ Ｎ Ｎ Ｍ 答案 Ｃ
Ａ． ⫋ Ｂ． ⫋ Ｃ． ∈ Ｄ． ∈
答案 Ａ ６．（２０２１届湖湘名校教育联合体入学考，１）设全集Ｕ Ａ Ｂ
＝ ∪ ＝
３．（２０１９辽宁沈阳二中９月月考，１４）设集合Ａ ｘ ａ ｘ ｘ ｘ Ａ Ｂ ｘ ｘ 则集合Ｂ
＝｛ ｜２ ＋１≤ ≤ ｛ ｜－１≤ ＜３｝， ∩（∁Ｕ ）＝｛ ｜２＜ ＜３｝， ＝ （ ）
ａ Ｂ ｘ ｘ ．若Ａ Ａ Ｂ 则实数ａ的取值范 ｘ ｘ ｘ ｘ
３ －５｝， ＝｛ ｜３≤ ≤２２｝ ⊆（ ∩ ）， Ａ．｛ ｜－１≤ ＜２｝ Ｂ．｛ ｜－１≤ ≤２｝
围为 ． ｘ ｘ ｘ ｘ
Ｃ．｛ ｜２＜ ＜３｝ Ｄ．｛ ｜２≤ ＜３｝
答案 答案 Ｂ
（－∞，９］
７．（２０２０山东德州６月二模，１）若全集Ｕ Ｍ
＝｛１，２，３，４，５，６｝， ＝
Ｎ 则集合 Ｍ Ｎ 等于
｛１，３，４｝， ＝｛２，３，４｝， （∁Ｕ ）∪（∁Ｕ ） （ ）
专题一 集合与常用逻辑用语 ７
８．（２０２１届重庆育才中学入学考试，１）已知集合Ａ ｘ ｘ
Ａ．｛５，６｝ Ｂ．｛１，５，６｝ ＝｛ ｜０＜ ＜４，
ｘ Ｚ 集合Ｂ ｙ ｙ ｍ２ ｍ Ａ 则Ａ Ｂ
Ｃ．｛２，５，６｝ Ｄ．｛１，２，５，６｝ ∈ ｝， ＝｛ ｜ ＝ ， ∈ ｝， ∩ ＝ （ ）
答案 Ｄ
Ａ．｛１｝ Ｂ．｛１，２，３｝ Ｃ．｛１，４，９｝ Ｄ．⌀
答案 Ａ
{ａ ａ {ａ ａ
可得 ＋３≥２ ，或 ＋３≥２ ，
ａ ａ
＋３＜－１ ２ ＞４，
解得ａ 或 ａ ．
＜－４ ２＜ ≤３
考法一 集合间基本关系的解题方法
综上可得 实数ａ的取值范围为 ．
， （－∞，－４）∪（２，＋∞）
１．已知集合 Ｍ ｍ Ｎ ｎ ｎ 若 Ｍ Ｎ 则 ｍ ｎ ２０１５
＝｛１， ｝， ＝｛ ，ｌｏｇ２ ｝， ＝ ， （ － ）
考法二 集合运算问题的求解方法
．
＝
答案 或 １．（２０１７北京东城二模，１）已知全集Ｕ是实数集Ｒ．如图所示的
－１ ０
解析 因为Ｍ Ｎ 所以 ｍ ｎ ｎ ． 韦恩图表示集合Ｍ ｘ ｘ 与Ｎ ｘ ｘ 的关系 那么阴
＝ ， ｛１， ｝＝｛ ，ｌｏｇ２ ｝ ＝｛ ｜ ＞２｝ ＝｛ ｜１＜ ＜３｝ ，
当ｎ 时 ｎ 则ｍ 所以 ｍ ｎ ２０１５ 影部分所表示的集合为
＝１ ，ｌｏｇ２ ＝０， ＝０， （ － ） ＝－１； （ ）
当 ｎ 时 ｎ 则ｍ 所以 ｍ ｎ ２０１５ ．
ｌｏｇ２ ＝１ ， ＝２， ＝２， （ － ） ＝０
故 ｍ ｎ ２０１５ 或 ．
（ － ） ＝－１ ０
{ ｎ } { ｎ }
２．已知集合Ａ ｘ ｘ ２ ＋１ ｎ Ｚ Ｂ ｘ ｘ ２ ｎ Ｚ
＝ ＝ ， ∈ ， ＝ ＝ ＋１， ∈ ，
３ ３
则集合Ａ Ｂ的关系为 ． ｘ ｘ ｘ ｘ
、 Ａ．｛ ｜ ＜２｝ Ｂ．｛ ｜１＜ ＜２｝
答案 Ａ Ｂ ｘ ｘ ｘ ｘ
＝ Ｃ．｛ ｜ ＞３｝ Ｄ．｛ ｜ ≤１｝
{ } 答案 Ｄ 由题中韦恩图知阴影部分表示的集合是 Ｍ
解析 Ａ ｘ ｘ １ ｎ ｎ Ｚ ∁Ｕ（ ∪
＝ ＝ （２ ＋１）， ∈ ， Ｎ ． Ｍ Ｎ ｘ ｘ Ｍ Ｎ ｘ ｘ ．
３ ） ∵ ∪ ＝｛ ｜ ＞１｝，∴ ∁Ｕ（ ∪ ）＝｛ ｜ ≤１｝
{ } ２．（２０１７安徽淮北第二次模拟，２）已知全集Ｕ Ｒ 集合Ｍ ｘ
Ｂ ｘ ｘ １ ｎ ｎ Ｚ ． ＝ ， ＝｛ ｜
＝ ＝ （２ ＋３）， ∈ ｘ ａ Ｎ ｘ ｘ 若集合 Ｍ Ｎ
３ ＋２ ≥０｝， ＝｛ ｜ｌｏｇ２（ －１）＜１｝， ∩（∁Ｕ ）＝
ｘ ｘ ｎ ｎ Ｚ ｘ ｘ ｎ ｎ Ｚ Ａ Ｂ．故答案为 ｘ ｘ 或ｘ 则
∵ ｛ ｜ ＝２ ＋１， ∈ ｝＝｛ ｜ ＝２ ＋３， ∈ ｝，∴ ＝ ｛ ｜ ＝１ ≥３｝， （ ）
Ａ Ｂ．
＝ ａ １ ａ １ ａ １ ａ １
３．设集合Ａ Ｂ ｘ ａｘ ａ Ｒ 若Ａ Ｂ Ｂ 则ａ的 Ａ． ＝ Ｂ． ≤ Ｃ． ＝－ Ｄ． ≥
＝｛－２｝， ＝｛ ｜ ＋１＝０， ∈ ｝， ∩ ＝ ， ２ ２ ２ ２
值为 ． 答案 Ｃ ｘ ｘ 且ｘ 即 ｘ 则
∵ ｌｏｇ２（ －１）＜１，∴ －１＞０ －１＜２， １＜ ＜３，
Ｎ ｘ ｘ Ｕ Ｒ Ｎ ｘ ｘ 或ｘ 又 Ｍ
答案 或 １ ＝｛ ｜１＜ ＜３｝，∵ ＝ ，∴ ∁Ｕ ＝｛ ｜ ≤１ ≥３｝， ∵ ＝
０ ｘ ｘ ａ ｘ ｘ ａ Ｍ Ｎ ｘ ｘ 或ｘ
２ ｛ ｜ ＋２ ≥０｝＝｛ ｜ ≥－２ ｝， ∩（∁Ｕ ）＝｛ ｜ ＝１ ≥３｝，
解析 Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ａ．
∵ ∩ ＝ ，∴ ⊆ ａ 解得ａ １ ．故选 ．
Ａ Ｂ 或Ｂ ． ∴ －２ ＝１， ＝－ Ｃ
∵ ＝｛－２｝≠⌀，∴ ＝⌀ ≠⌀ ２
当Ｂ 时 方程ａｘ 无解 此时ａ 满足Ｂ Ａ． ３．设Ｕ Ｒ 集合Ａ ｘ ｘ２ ｘ Ｂ ｘ ｘ２ ｍ ｘ ｍ
＝⌀ ， ＋１＝０ ， ＝０， ⊆ ＝ ， ＝｛ ｜ ＋３ ＋２＝０｝， ＝｛ ｜ ＋（ ＋１） ＋ ＝
{ } 若 Ａ Ｂ 则ｍ ．
当Ｂ 时 ａ 则Ｂ １ ０｝， （∁Ｕ ）∩ ＝⌀， ＝
≠⌀ ， ≠０， ＝ － ａ ， 答案 或
１ ２
解析 Ａ 由 Ａ Ｂ 得Ｂ Ａ
１ Ａ 即 １ 解得ａ １ ． ＝｛－２，－１｝， （∁Ｕ ）∩ ＝⌀， ⊆ ，
∴ － ａ ∈ ， － ａ ＝－２， ＝
２ 方程ｘ２ ｍ ｘ ｍ 的判别式Δ ｍ ２ ｍ ｍ ２
∵ ＋（ ＋１） ＋ ＝０ ＝（ ＋１） －４ ＝（ －１）
综上 ａ 或ａ １ ． Ｂ ．
， ＝０ ＝ ≥０，∴ ≠⌀
２ Ｂ 或Ｂ 或Ｂ ．
４．已知集合Ａ ｘ ｘ 或ｘ Ｂ ｘ ａ ｘ ａ ．若Ｂ Ａ ∴ ＝｛－１｝ ＝｛－２｝ ＝｛－１，－２｝
＝｛ ｜ ＜－１ ＞４｝， ＝｛ ｜２ ≤ ≤ ＋３｝ ⊆ ， 若Ｂ 则ｍ
则实数ａ的取值范围为 ． ① ＝｛－１｝， ＝１；
若Ｂ 则 ｍ 且ｍ
答案 ② ＝｛－２｝， －（ ＋１）＝（－２）＋（－２）＝－４， ＝（－２）×（－
（－∞，－４）∪（２，＋∞） 这两式不能同时成立 Ｂ
解析 当Ｂ 时 只需 ａ ａ 即ａ ２）＝４， ，∴ ≠｛－２｝；
① ＝⌀ ， ２ ＞ ＋３， ＞３； 若Ｂ 则 ｍ 且ｍ
当Ｂ 时 根据题意作出如图所示的数轴． ③ ＝｛－１，－２｝， －（ ＋１）＝（－１）＋（－２）＝－３， ＝（－１）
② ≠⌀ ， 由这两式得ｍ ．
×（－２）＝２， ＝２
经检验 ｍ 和ｍ 符合条件． ｍ 或 ．
， ＝１ ＝２ ∴ ＝１ ２
８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
素，第二天售出的商品为集合Ｂ，则Ｂ中有 个元素．由于前两
１３
天都售出的商品有 种，则Ａ Ｂ中有 个元素，如图所示，
３ ∩ ３
例 （２０１６北京文，１４）某网店统计了连续三天售出商
品的种类情况 第一天售出 种商品 第二天售出 种商品
： １９ ， １３ ， 由图知该网店第一天售出但第二天未售出的商品有
第三天售出 种商品 前两天都售出的商品有 种 后两天都 １９－３＝
１８ ； ３ ， （种）．
售出的商品有 种 则该网店 １６
４ ， ： 由 知，前两天售出的商品有 （种），当第三
第一天售出但第二天未售出的商品有 种 ② ① １９＋１３－３＝２９
① ； 天售出的 种都是前两天售出的商品时，这三天售出的商品种
这三天售出的商品最少有 种． １８
② 类最少，售出的商品最少有 种．
解题导引 网购 是现代购物的重要方式之一 本题以售 ２９
“ ” ， 答案
出商品的种类为背景 考查了集合运算和 图等基本知识 ①１６ ②２９
， Ｖｅｎｎ ， 方法总结 本题实际上是把实际问题用集合的符号语言及
同时也涉及转化与化归 数形结合的数学思想．
、
图形语言表示出来 体现数学的转化与化归思想 这与数学抽
可以通过集合交 补运算确定元素个数 中 三天共售
， ，
① 、 ；② “
象 逻辑推理等学科核心素养是紧密关联的 在强调核心素养的
出的商品种类最少 应该是第三天与前两天售出的商品种类完
、 ，
”
全相同时 总的种类最少．
大环境下
，
需关注此类问题．解决此类问题的关键是灵活运用
，
图．
解析 设第一天售出的商品为集合Ａ，则Ａ中有 个元 Ｖｅｎｎ
① １９
动 人对这两项运动都不喜爱 则喜爱篮球运动但不喜爱乒
，８ ，
乓球运动的人数为 ．
答案
１２
１．（２０１９北京高考模拟（理））某单位周一 周二 周三开车上班
３．向 名学生调查对Ａ Ｂ两事件的态度有如下结果 赞成Ａ的
、 、
５０ ， ：
的职工人数分别是 ．若这三天中至少有一天开车上班
１４，１０，８ 人数是全体人数的 ３ 其余的不赞成 赞成Ｂ的比赞成Ａ的多
的职工人数是 则这三天都开车上班的职工人数至多是 ， ；
２０， ５
人 其余的不赞成 另外对Ａ Ｂ都不赞成的学生人数比对Ａ
（ ） ３ ， ； ， ，
Ａ．５ Ｂ．６ Ｂ都赞成的学生人数的 １ 多 ．则对Ａ Ｂ都不赞成的学生的人
１ ，
Ｃ．７ Ｄ．８ ３
答案 Ｂ 数为 ．
２．某班共 人 其中 人喜爱篮球运动 人喜爱乒乓球运 答案
３０ ， １５ ，１０ ８
考点一 集合及其关系 ５．（２０１７课标Ⅲ，１，５分）已知集合Ａ ｘ ｙ ｘ２ ｙ２ Ｂ
＝｛（ ， ）｜ ＋ ＝１｝， ＝
１．（２０２０课标Ⅲ文，１，５分）已知集合Ａ ＝｛１，２，３，５，７，１１｝， Ｂ ＝ ｛（ ｘ ， ｙ ）｜ ｙ ＝ ｘ ｝， 则Ａ ∩ Ｂ中元素的个数为 （ ）
ｘ ｘ 则Ａ Ｂ中元素的个数为 Ａ．３ Ｂ．２ Ｃ．１ Ｄ．０
｛ ｜３＜ ＜１５｝， ∩ （ ） 答案 Ｂ
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５
答案 Ｂ
考点二 集合的基本运算
２．（２０２０课标Ⅲ理，１，５ 分）已知集合 Ａ ｘ ｙ ｘ ｙ Ｎ∗
＝｛（ ， ）｜ ， ∈ ， ６．（２０２０新高考Ⅱ，１，５分）设集合Ａ Ｂ
ｙ ｘ Ｂ ｘ ｙ ｘ ｙ 则Ａ Ｂ中元素的个数为 ＝｛２，３，５，７｝， ＝｛１，２，３，
≥ ｝， ＝｛（ ， ）｜ ＋ ＝８｝， ∩ （ ） 则Ａ Ｂ
５，８｝， ∩ ＝ （ ）
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．６
答案 Ｃ Ａ．｛１，８｝ Ｂ．｛２，５｝
３．（２０１６四川，１，５分）设集合Ａ ｘ ｘ Ｚ为整数集 Ｃ．｛２，３，５｝ Ｄ．｛１，２，３，５，７，８｝
＝｛ ｜－２≤ ≤２｝， ， 答案 Ｃ
则集合Ａ Ｚ中元素的个数是
∩ （ ） ７．（２０２０新高考Ⅰ，１，５分）设集合Ａ ｘ ｘ Ｂ ｘ ｘ
＝｛ ｜１≤ ≤３｝， ＝｛ ｜２＜
Ａ．３ Ｂ．４ 则Ａ Ｂ
＜４｝， ∪ ＝ （ ）
Ｃ．５ Ｄ．６ ｘ ｘ ｘ ｘ
Ａ．｛ ｜２＜ ≤３｝ Ｂ．｛ ｜２≤ ≤３｝
答案 Ｃ
ｘ ｘ ｘ ｘ
Ｃ．｛ ｜１≤ ＜４｝ Ｄ．｛ ｜１＜ ＜４｝
４．（２０１８课标Ⅱ，２，５分）已知集合Ａ ｘ ｙ ｘ２ ｙ２ ｘ Ｚ 答案 Ｃ
＝｛（ ， ）｜ ＋ ≤３， ∈ ，
ｙ Ｚ 则Ａ中元素的个数为 ８．（２０２０课标Ⅱ理，１，５ 分）已知集合 Ｕ
∈ ｝， （ ） ＝｛－２，－１，０，１，２，３｝，
Ａ Ｂ 则 Ａ Ｂ
Ａ．９ Ｂ．８ Ｃ．５ Ｄ．４ ＝｛－１，０，１｝， ＝｛１，２｝， ∁Ｕ（ ∪ ）＝ （ ）
答案 Ａ
Ａ．｛－２，３｝ Ｂ．｛－２，２，３｝
专题一 集合与常用逻辑用语 ９
答案 Ｃ
Ｃ．｛－２，－１，０，３｝ Ｄ．｛－２，－１，０，２，３｝
答案 Ａ １４．（２０１９课标Ⅰ，１，５分）已知集合Ｍ ｘ ｘ Ｎ ｘ ｘ２
＝｛ ｜－４＜ ＜２｝， ＝｛ ｜
９．（２０２０浙江，１，４分）已知集合Ｐ ｘ ｘ Ｑ ｘ ｘ ｘ 则Ｍ Ｎ
＝｛ ｜１＜ ＜４｝， ＝｛ ｜２＜ ＜ － －６＜０｝， ∩ ＝ （ ）
则Ｐ Ｑ ｘ ｘ ｘ ｘ
３｝， ∩ ＝ （ ） Ａ．｛ ｜－４＜ ＜３｝ Ｂ．｛ ｜－４＜ ＜－２｝
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
Ａ．｛ ｜１＜ ≤２｝ Ｂ．｛ ｜２＜ ＜３｝ Ｃ．｛ ｜－２＜ ＜２｝ Ｄ．｛ ｜２＜ ＜３｝
ｘ ｘ ｘ ｘ 答案 Ｃ
Ｃ．｛ ｜３≤ ＜４｝ Ｄ．｛ ｜１＜ ＜４｝
答案 Ｂ １５．（２０１８课标Ⅰ，２，５分）已知集合Ａ
＝｛
ｘ
｜
ｘ２
－
ｘ
－２＞０｝，
则
∁Ｒ
Ａ
＝
１０．（２０２０课标Ⅰ文，１，５分）已知集合Ａ ｘ ｘ２ ｘ Ｂ
＝｛ ｜ －３ －４＜０｝， ＝ （ ）
则Ａ Ｂ ｘ ｘ ｘ ｘ
｛－４，１，３，５｝， ∩ ＝ （ ） Ａ．｛ ｜－１＜ ＜２｝ Ｂ．｛ ｜－１≤ ≤２｝
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
Ａ．｛－４，１｝ Ｂ．｛１，５｝ Ｃ．｛３，５｝ Ｄ．｛１，３｝ Ｃ．｛ ｜ ＜－１｝∪｛ ｜ ＞２｝ Ｄ．｛ ｜ ≤－１｝∪｛ ｜ ≥２｝
答案 Ｄ 答案 Ｂ
１１．（２０２０课标Ⅱ文，１，５分）已知集合Ａ ｘ ｘ ｘ Ｚ Ｂ １６．（２０１７课标Ⅰ，１，５分）已知集合Ａ ｘ ｘ Ｂ ｘ ｘ 则
＝｛ ｜｜ ｜＜３， ∈ ｝， ＝｛ ｜ ＜１｝， ＝｛ ｜３ ＜１｝，
ｘ ｘ ｘ Ｚ 则Ａ Ｂ
＝｛ ｜｜ ｜＞１， ∈ ｝， ∩ ＝ （ ） （ ）
Ａ Ｂ ｘ ｘ Ａ Ｂ Ｒ
Ａ．⌀ Ｂ．｛－３，－２，２，３｝ Ａ． ∩ ＝｛ ｜ ＜０｝ Ｂ． ∪ ＝
Ａ Ｂ ｘ ｘ Ａ Ｂ
Ｃ．｛－２，０，２｝ Ｄ．｛－２，２｝ Ｃ． ∪ ＝｛ ｜ ＞１｝ Ｄ． ∩ ＝⌀
答案 Ｄ 答案 Ａ
１２．（２０２０北京，１，４分）已知集合Ａ Ｂ ｘ ｘ １７．（２０２１新高考适应卷，１，５分）已知Ｍ Ｎ均为Ｒ的子集 且
＝｛－１，０，１，２｝， ＝｛ ｜０＜ ＜ ， ，
则Ａ Ｂ Ｍ Ｎ 则Ｍ Ｎ
３｝， ∩ ＝ （ ） ∁Ｒ ⊆ ， ∪（∁Ｒ ）＝ （ ）
Ｍ Ｎ Ｒ
Ａ．｛－１，０，１｝ Ｂ．｛０，１｝ Ｃ．｛－１，１，２｝ Ｄ．｛１，２｝ Ａ．⌀ Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案 Ｄ 答案 Ｂ
１３．（２０２０天津，１，５分）设全集Ｕ
＝｛－３，－２，－１，０，１，２，３｝，
集合 １８．（２０１７江苏，１，５分）已知集合Ａ
＝｛１，２｝，
Ｂ
＝｛
ａ
，
ａ２
＋３｝
．若
Ａ Ｂ 则Ａ Ｂ Ａ Ｂ 则实数ａ的值为 ．
＝｛－１，０，１，２｝， ＝｛－３，０，２，３｝， ∩（∁Ｕ ）＝ （ ） ∩ ＝｛１｝，
答案
Ａ．｛－３，３｝ Ｂ．｛０，２｝ １
Ｃ．｛－１，１｝ Ｄ．｛－３，－２，－１，１，３｝
考点一 集合及其关系 答案 Ｂ ２ Ｓ 故选 ．
ｉ ＝－１，－１∈ ， Ｂ
１．（２０１３山东理，２，５分）已知集合Ａ 则集合Ｂ ｘ ５．（２０１５重庆理，１，５分）已知集合Ａ Ｂ 则
＝｛０，１，２｝， ＝｛ － ＝｛１，２，３｝， ＝｛２，３｝，
ｙ ｘ Ａ ｙ Ａ 中元素的个数是
｜ ∈ ， ∈ ｝ （ ） （ ）
．Ａ Ｂ ．Ａ Ｂ ．Ａ Ｂ ．Ｂ Ａ
Ａ．１ Ｂ．３ Ｃ．５ Ｄ．９ Ａ ＝ Ｂ ∩ ＝⌀ Ｃ ⫋ Ｄ ⫋
{ｘ {ｘ {ｘ 答案 Ｄ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ
答案 Ｃ 因为ｘ Ａ ｙ Ａ 所以 ＝０，或 ＝０，或 ＝０，或 ∵ ＝｛１，２，３｝， ＝｛２，３｝，∴ ≠ ， ∩ ＝｛２，３｝
∈ ， ∈ ， ｙ ｙ ｙ
＝０ ＝１ ＝２ ≠⌀；
{ｘ {ｘ {ｘ {ｘ {ｘ {ｘ 又 Ａ且 Ｂ Ａ不是Ｂ的子集 故选 ．
＝１，或 ＝１，或 ＝１，或 ＝２，或 ＝２，或 ＝２，所以 Ｂ １∈ １∉ ，∴ ， Ｄ
ｙ ｙ ｙ ｙ ｙ ｙ ＝ ６．（２０１３课标Ⅰ理，１，５ 分）已知集合 Ａ ｘ ｘ２ ｘ Ｂ
＝０ ＝１ ＝２ ＝０ ＝１ ＝２， ＝｛ ｜ －２ ＞０｝， ＝
｛０，－１，－２，１，２｝， 所以集合Ｂ中有 ５ 个元素 ， 故选 Ｃ ． ｛ ｘ ｜－ ５＜ ｘ ＜ ５｝， 则 （ ）
２．（２０１３江西文，２，５分）若集合Ａ ＝｛ ｘ ∈ Ｒ ｜ ａｘ２ ＋ ａｘ ＋１＝０｝ 中只 Ａ． Ａ ∩ Ｂ ＝⌀ Ｂ． Ａ ∪ Ｂ ＝ Ｒ
有一个元素 则ａ
， ＝ （ ） Ｂ Ａ Ａ Ｂ
Ｃ． ⊆ Ｄ． ⊆
或
Ａ．４ Ｂ．２ Ｃ．０ Ｄ．０ ４ 答案 Ｂ 化简Ａ ｘ ｘ 或ｘ 而Ｂ ｘ ｘ
答案 Ａ 若ａ 则Ａ 不符合要求 若ａ 则Δ ａ２ ＝｛ ｜ ＞２ ＜０｝， ＝｛ ｜－ ５＜ ＜ ５｝，
＝０， ＝⌀， ； ≠０， ＝ － 所以Ａ Ｂ ｘ ｘ 或 ｘ 项错误 Ａ Ｂ Ｒ
ａ 得ａ 故选 ． ∩ ＝｛ ｜－ ５＜ ＜０ ２＜ ＜ ５｝，Ａ ； ∪ ＝ ，Ｂ
４ ＝０， ＝４， Ａ 项正确 Ａ与Ｂ没有包含关系 项与 项均错误．故选 ．
３．（２０１２课标理，１，５分）已知集合 Ａ Ｂ ｘ ； ，Ｃ Ｄ Ｂ
ｙ ｘ Ａ ｙ Ａ ｘ ｙ Ａ 则Ｂ中所含
＝
元
｛１
素
，
的
２，
个
３，
数
４，
为
５｝， ＝｛（ ， ７．（２０１２课标文，１，５分）已知集合Ａ
＝｛
ｘ
｜
ｘ２
－
ｘ
－２＜０｝，
Ｂ
＝｛
ｘ
｜－
）｜ ∈ ， ∈ ， － ∈ ｝， （ ）
ｘ 则
１＜ ＜１｝， （ ）
Ａ．３ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１０
答案 Ｄ 解法一 ： 由ｘ － ｙ ∈ Ａ及Ａ ＝｛１，２，３，４，５｝ 得ｘ ＞ ｙ ， 当 Ａ． Ａ ⫋ Ｂ Ｂ． Ｂ ⫋ Ａ Ｃ． Ａ ＝ Ｂ Ｄ． Ａ ∩ Ｂ ＝⌀
ｙ ＝１ 时 ， ｘ可取 ２，３，４，５， 有 ４ 个 ； 当ｙ ＝２ 时 ， ｘ可取 ３，４，５， 有 ３ 答案 Ｂ Ａ ＝｛ ｘ ｜－１＜ ｘ ＜２｝， Ｂ ＝｛ ｘ ｜－１＜ ｘ ＜１｝， 则Ｂ ⫋ Ａ ， 故
个
；
当ｙ
＝３
时
，
ｘ可取
４，５，
有
２
个
；
当ｙ
＝４
时
，
ｘ可取
５，
有
１
个． 选
Ｂ
．
故共有 １＋２＋３＋４＝１０（ 个 ）， 选 Ｄ ． ８．（２０１２ 大纲全国文，１，５ 分）已知集合 Ａ ＝｛ ｘ ｜ ｘ 是平行四边
解法二
：
因为Ａ中元素均为正整数
，
所以从Ａ中任取两个元素 形
｝，
Ｂ
＝｛
ｘ
｜
ｘ是矩形
｝，
Ｃ
＝｛
ｘ
｜
ｘ是正方形
｝，
Ｄ
＝｛
ｘ
｜
ｘ是菱形
｝，
作为ｘ ， ｙ ， 满足ｘ ＞ ｙ的 （ ｘ ， ｙ ） 即为集合Ｂ中的元素 ， 故共有 Ｃ ２ ５＝ 则 （ ）
个 选 ． Ａ Ｂ Ｃ Ｂ
１０ ， Ｄ Ａ． ⊆ Ｂ． ⊆
４．（２０１１福建理，１，５分） 是虚数单位 若集合Ｓ 则 Ｄ Ｃ Ａ Ｄ
ｉ ， ＝｛－１，０，１｝， Ｃ． ⊆ Ｄ． ⊆
答案 Ｂ 由已知ｘ是正方形 则ｘ必是矩形 所以Ｃ Ｂ 故
（ ） ， ， ⊆ ，
选 ．
Ｓ ２ Ｓ ３ Ｓ ２ Ｓ Ｂ
Ａ．ｉ∈ Ｂ．ｉ ∈ Ｃ．ｉ ∈ Ｄ． ∈ ９．（２０１２湖北文，１，５分）已知集合Ａ ｘ ｘ２ ｘ ｘ Ｒ
ｉ ＝｛ ｜ －３ ＋２＝０， ∈ ｝，
１０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
Ｂ ｘ ｘ ｘ Ｎ 则满足条件Ａ Ｃ Ｂ的集合Ｃ的个数为 ６．（２０１９天津理，１，５分）设集合Ａ Ｂ
＝｛ ｜０＜ ＜５， ∈ ｝， ⊆ ⊆ ＝｛－１，１，２，３，５｝， ＝｛２，３，
Ｃ ｘ Ｒ ｘ 则 Ａ Ｃ Ｂ
（ ） ４｝， ＝｛ ∈ ｜１≤ ＜３｝， （ ∩ ）∪ ＝ （ ）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ Ａ．｛２｝ Ｂ．｛２，３｝ Ｃ．｛－１，２，３｝ Ｄ．｛１，２，３，４｝
答案 Ｄ Ａ Ｂ 所以满足条件的集合Ｃ 答案 Ｄ 本题主要考查集合的交集 并集运算 通过集合的交
＝｛１，２｝， ＝｛１，２，３，４｝， 、 ，
的个数为 ４－２ ２ 即Ｃ 集 并集运算考查了学生的运算求解能力 体现了数学运算的核心
２ ＝２ ＝４， ＝｛１，２｝，｛１，２，３｝，｛１，２，４｝，｛１，２， 、 ，
．故选 ． 素养．
３，４｝ Ｄ
评析 本题考查集合之间的关系． 由题意可知Ａ Ｃ 则 Ａ Ｃ Ｂ 故选 ．
∩ ＝｛１，２｝， （ ∩ ）∪ ＝｛１，２，３，４｝， Ｄ
１０．（２０１２天津文，９，５分）集合Ａ ｘ Ｒ ｘ 中的最小 ７．（２０１９浙江，１，４ 分）已知全集Ｕ 集合 Ａ
＝｛ ∈ ｜｜ －２｜≤５｝ ＝｛－１，０，１，２，３｝， ＝
整数为 ． ｛０，１，２｝， Ｂ ＝｛－１，０，１｝， 则 （∁Ｕ Ａ ）∩ Ｂ ＝ （ ）
答案
－３ Ａ．｛－１｝ Ｂ．｛０，１｝ Ｃ．｛－１，２，３｝ Ｄ．｛－１，０，１，３｝
解析 由 ｘ 得 ｘ 即 ｘ 所以集合 答案 Ａ 本题考查补集 交集的运算 旨在考查学生的运
｜ －２｜≤５， －５≤ －２≤５， －３≤ ≤７， 、 ；
Ａ中的最小整数为 ． 算求解的能力 以列举法表示集合为背景体现数学运算的核心
－３ ；
１１．（２０１３江苏，４，５分）集合 共有 个子集． 素养．
｛－１，０，１｝
答案 ８ ∵ ∁Ｕ Ａ ＝｛－１，３｝，∴ （∁Ｕ Ａ ）∩ Ｂ ＝｛－１｝， 故选 Ａ ．
解析 集合
｛－１，０，１｝
的子集有
⌀，｛－１｝，｛０｝，｛１｝，
８．（２０１８课标Ⅰ文，１，５分）已知集合Ａ ＝｛０，２｝， Ｂ ＝｛－２，－１，０，
｛－１，０｝，｛－１，１｝，｛０，１｝，｛－１，０，１｝， 共 ８ 个． １，２｝， 则Ａ ∩ Ｂ ＝ （ ）
评析 本题考查子集的概念，忽视 是学生出错的主要原因．
Ａ．｛０，２｝ Ｂ．｛１，２｝
⌀
Ｃ．｛０｝ Ｄ．｛－２，－１，０，１，２｝
考点二 集合的基本运算 答案 Ａ 本题主要考查集合的基本运算．
１．（２０１９课标Ⅰ文，２，５分）已知集合Ｕ ＝｛１，２，３，４，５，６，７｝， Ａ ＝ ∵ Ａ ＝｛０，２｝， Ｂ ＝｛－２，－１，０，１，２｝，∴ Ａ ∩ Ｂ ＝｛０，２｝， 故选 Ａ ．
｛２，３，４，５｝， Ｂ ＝｛２，３，６，７｝， 则Ｂ ∩∁Ｕ Ａ ＝ （ ） ９．（２０１８课标Ⅱ文，２，５分）已知集合Ａ ＝｛１，３，５，７｝， Ｂ ＝｛２，３，
则Ａ Ｂ
４，５｝， ∩ ＝ （ ）
Ａ．｛１，６｝ Ｂ．｛１，７｝ Ｃ．｛６，７｝ Ｄ．｛１，６，７｝
答案 Ｃ 本题考查集合的运算 考查了运算求解能力 考
Ａ．｛３｝ Ｂ．｛５｝
； ；
查的核心素养为数学运算．
Ｃ．｛３，５｝ Ｄ．｛１，２，３，４，５，７｝
答案 Ｃ 本题主要考查集合的运算．
由题意知
∁Ｕ
Ａ
＝｛１，６，７｝，
又Ｂ
＝｛２，３，６，７｝，
由题意 得Ａ Ｂ 故选 ．
∴ Ｂ ∩∁Ｕ Ａ ＝｛６，７｝， 故选 Ｃ ． １０．（２０１８课标 ∩ Ⅲ ＝ 理 ｛ ， ３ １ ，５ ，５ ｝， 分）已 Ｃ 知集合Ａ ｘ ｘ Ｂ
解题关键 明确补集与交集的含义是解决本题的关键． ＝｛ ｜ －１≥０｝， ＝｛０，
则Ａ Ｂ
２．（２０１９课标Ⅱ理，１，５分）设集合Ａ ｘ ｘ２ ｘ Ｂ ｘ １，２｝， ∩ ＝ （ ）
＝｛ ｜ －５ ＋６＞０｝， ＝｛ ｜
ｘ 则Ａ Ｂ Ａ．｛０｝ Ｂ．｛１｝ Ｃ．｛１，２｝ Ｄ．｛０，１，２｝
－１＜０｝， ∩ ＝ （ ） 答案 Ｃ 本题考查集合的运算．
Ａ．（－∞，１） Ｂ．（－２，１） Ｃ．（－３，－１） Ｄ．（３，＋∞） Ａ ｘ ｘ Ｂ Ａ Ｂ 故选 ．
答案 Ａ 本题考查了集合的运算 以集合的交集为载体 ∵ ＝｛ ｜ ≥１｝， ＝｛０，１，２｝，∴ ∩ ＝｛１，２｝， Ｃ
； ， １１．（２０１８北京理，１，５分）已知集合Ａ ｘ ｘ Ｂ
考查运算求解能力 旨在考查数学运算的素养要求． ＝｛ ｜｜ ｜＜２｝， ＝｛－２，０，
， 则Ａ Ｂ
由题意得Ａ ｘ ｘ 或ｘ Ｂ ｘ ｘ Ａ Ｂ ｘ ｘ １，２｝， ∩ ＝ （ ）
＝｛ ｜ ＜２ ＞３｝， ＝｛ ｜ ＜１｝，∴ ∩ ＝｛ ｜ ＜
． Ａ．｛０，１｝ Ｂ．｛－１，０，１｝
１｝
３．（２０１９课标Ⅱ文，１，５分）已知集合Ａ ｘ ｘ Ｂ ｘ ｘ Ｃ．｛－２，０，１，２｝ Ｄ．｛－１，０，１，２｝
＝｛ ｜ ＞－１｝， ＝｛ ｜ ＜ 答案 Ａ 本题主要考查集合的运算．
则Ａ Ｂ
２｝， ∩ ＝ （ ） 化简Ａ ｘ ｘ Ａ Ｂ 故选 ．
＝｛ ｜－２＜ ＜２｝，∴ ∩ ＝｛０，１｝， Ａ
Ａ．（－１，＋∞） Ｂ．（－∞，２） １２．（２０１８天津理，１，５分）设全集为Ｒ 集合Ａ ｘ ｘ Ｂ
， ＝｛ ｜０＜ ＜２｝， ＝
Ｃ．（－１，２） Ｄ．⌀ ｘ ｘ 则Ａ Ｂ
答案 Ｃ 本题主要考查集合的交集运算 考查数学运算的 ｛ ｜ ≥１｝， ∩（∁Ｒ ）＝ （ ）
； ｘ ｘ ｘ ｘ
核心素养． Ａ．｛ ｜０＜ ≤１｝ Ｂ．｛ ｜０＜ ＜１｝
ｘ ｘ ｘ ｘ
Ａ ｘ ｘ Ｂ ｘ ｘ Ａ Ｂ ｘ ｘ 即Ａ Ｂ Ｃ．｛ ｜１≤ ＜２｝ Ｄ．｛ ｜０＜ ＜２｝
∵ ＝｛ ｜ ＞－１｝， ＝｛ ｜ ＜２｝，∴ ∩ ＝｛ ｜－１＜ ＜２｝， ∩ 答案 Ｂ 本题主要考查集合的基本运算．
．故选 ．
＝（－１，２） Ｃ 由Ｂ ｘ ｘ 得 Ｂ ｘ ｘ
４．（２０１９
则
课
Ａ
标Ⅲ
Ｂ
理，１，５分）已知集合Ａ
＝｛－１，０，１，２｝，
Ｂ
＝｛
ｘ
｜
ｘ２
借助
＝
于
｛
数
｜
轴
≥
， 可
１｝
得
，
Ａ
∁
∩
Ｒ
（
＝
∁Ｒ
｛
Ｂ ）
｜
＝
＜
｛
１
ｘ
｝
｜
，
０＜ ｘ ＜１｝， 故选 Ｂ ．
≤１｝， ∩ ＝ （ ）
Ａ．｛－１，０，１｝ Ｂ．｛０，１｝ Ｃ．｛－１，１｝ Ｄ．｛０，１，２｝
答案 Ａ 本题考查集合的运算 通过集合的不同表示方法
，
考查学生对知识的掌握程度 考查了数学运算的核心素养． １３．（２０１８天津文，１，５分）设集合Ａ Ｂ
， ＝｛１，２，３，４｝， ＝｛－１，０，２，
由题意可知Ｂ ｘ ｘ 又 Ａ Ａ Ｂ Ｃ ｘ Ｒ ｘ 则 Ａ Ｂ Ｃ
＝｛ ｜－１≤ ≤１｝， ∵ ＝｛－１，０，１，２｝，∴ ∩ ＝ ３｝， ＝｛ ∈ ｜－１≤ ＜２｝， （ ∪ ）∩ ＝ （ ）
故选 ．
｛－１，０，１｝， Ａ Ａ．｛－１，１｝ Ｂ．｛０，１｝ Ｃ．｛－１，０，１｝ Ｄ．｛２，３，４｝
５．（２０１９北京文，１，５分）已知集合Ａ ｘ ｘ Ｂ ｘ ｘ 答案 Ｃ 本题主要考查集合的运算．
＝｛ ｜－１＜ ＜２｝， ＝｛ ｜ ＞
则Ａ Ｂ 由题意得Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｃ
１｝， ∪ ＝ （ ） ∪ ＝｛１，２，３，４，－１，０｝，∴ （ ∪ ）∩ ＝｛１，２，３，
ｘ Ｒ ｘ ．故选 ．
Ａ．（－１，１） Ｂ．（１，２） Ｃ．（－１，＋∞） Ｄ．（１，＋∞） ４，－１，０｝∩｛ ∈ ｜－１≤ ＜２｝＝｛－１，０，１｝ Ｃ
答案 Ｃ 本题主要考查集合的并集运算 考查学生运算求 １４．（２０１８浙江，１，４分）已知全集Ｕ Ａ
， ＝｛１，２，３，４，５｝， ＝｛１，３｝，
解的能力 考查的核心素养是数学运算． 则 Ａ
， ∁Ｕ ＝ （ ）
Ａ ｘ ｘ Ｂ ｘ ｘ Ａ Ｂ ｘ ｘ 故选 ．
∵ ＝｛ ｜－１＜ ＜２｝， ＝｛ ｜ ＞１｝，∴ ∪ ＝｛ ｜ ＞－１｝， Ｃ
专题一 集合与常用逻辑用语 １１
ｘ ｘ 则Ａ Ｂ
Ａ．⌀ Ｂ．｛１，３｝ ｛ ｜２ －３＞０｝， ∩ ＝ （ ）
( ) ( ) ( ) ( )
Ｃ．｛２，４，５｝ Ｄ．｛１，２，３，４，５｝ ３ ３ ３ ３
答案 Ｃ 本题考查集合的运算． Ａ． －３，－ Ｂ． －３， Ｃ． １， Ｄ． ，３
２ ２ ２ ２
Ｕ Ａ Ａ ． 答案 Ｄ 因为 Ａ ｘ ｘ２ ｘ ｘ ｘ Ｂ
∵ ＝｛１，２，３，４，５｝， ＝｛１，３｝，∴ ∁Ｕ ＝｛２，４，５｝ ＝｛ ｜ －４ ＋３＜０｝＝｛ ｜１＜ ＜３｝， ＝
{ } { }
１５．（２０１７课标Ⅱ理，２，５分）设集合Ａ
＝｛１，２，４｝，
Ｂ
＝｛
ｘ
｜
ｘ２
－４
ｘ
＋ ｘ ｘ ３ 所以 Ａ Ｂ ｘ ｘ ｘ ｘ ３
ｍ ＝０｝ ．若Ａ ∩ Ｂ ＝｛１｝， 则Ｂ ＝ （ ） { ＞ ２ ， } ∩ ＝ ｛ ｜ １＜ ＜ ３｝ ∩ ＞ ２ ＝
Ａ．｛１，－３｝ Ｂ．｛１，０｝ Ｃ．｛１，３｝ Ｄ．｛１，５｝ ｘ ３ ｘ ．故选 ．
＜ ＜３ Ｄ
答案 Ｃ 本题主要考查集合的运算． ２
思路分析 通过不等式的求解分别得出集合Ａ和集合Ｂ 然
Ａ Ｂ ，
∵ ∩ ＝｛１｝，
后根据交集的定义求得Ａ Ｂ的结果 从而得出正确选项．
Ｂ ∩ ，
∴１∈ ，
方法总结 集合的运算问题通常是先化简后运算 可借助数
ｍ ｍ ． ，
∴１－４＋ ＝０，∴ ＝３
轴或韦恩图解决．
由ｘ２ ｘ 解得ｘ 或ｘ ．
－４ ＋３＝０， ＝１ ＝３
２３．（２０１６课标Ⅱ理，２，５分）已知集合Ａ Ｂ ｘ ｘ
Ｂ ． ＝｛１，２，３｝， ＝｛ ｜（ ＋
∴ ＝｛１，３｝
ｘ ｘ Ｚ 则Ａ Ｂ
经检验符合题意．故选 ． １）（ －２）＜０， ∈ ｝， ∪ ＝ （ ）
Ｃ
１６．（２０１７课标Ⅰ文，１，５分）已知集合Ａ ｘ ｘ Ｂ ｘ Ａ．｛１｝ Ｂ．｛１，２｝
＝｛ ｜ ＜２｝， ＝｛ ｜３－
ｘ 则 Ｃ．｛０，１，２，３｝ Ｄ．｛－１，０，１，２，３｝
２ ＞０｝， { } （ ） 答案 Ｃ 由 ｘ ｘ ｘ 又ｘ Ｚ Ｂ
（ ＋１）（ －２）＜０⇒－１＜ ＜２， ∈ ，∴ ＝｛０，
Ａ． Ａ ∩ Ｂ ＝ ｘ ｘ ＜ ２ ３ Ｂ． Ａ ∩ Ｂ ＝⌀ １｝，∴ Ａ ∪ Ｂ ＝｛０，１，２，３｝ ．故选 Ｃ ．
{ } ２４．（２０１６课标Ⅲ理，１，５分）设集合Ｓ ｘ ｘ ｘ Ｔ
Ａ Ｂ ｘ ｘ ３ Ａ Ｂ Ｒ ＝｛ ｜（ －２）（ －３）≥０｝，
Ｃ． ∪ ＝ ＜ Ｄ． ∪ ＝ ｘ ｘ 则Ｓ Ｔ
２ ＝｛ ｜ ＞０｝， ∩ ＝ （ ）
答案 Ａ 本题考查集合的运算．
Ａ．［２，３］ Ｂ．（－∞，２］∪［３，＋∞）
{ }
由 ｘ 得ｘ ３ 则Ｂ ｘ ｘ ３ Ｃ．［３，＋∞） Ｄ．（０，２］∪［３，＋∞）
３－２ ＞０ ＜ ， ＝ ＜ ， 答案 Ｄ Ｓ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 或ｘ 在
２ ２ ＝｛ ｜（ －２）（ －３）≥０｝＝｛ ｜ ≤２ ≥３｝，
{ } 数轴上表示出集合Ｓ Ｔ 如图所示
所以Ａ Ｂ ｘ ｘ ３ 故选 ． ， ， ：
∩ ＝ ＜ ， Ａ
２
１７．（２０１７课标Ⅱ文，１，５分）设集合Ａ Ｂ
＝｛１，２，３｝， ＝｛２，３，４｝，
则Ａ Ｂ 由图可知Ｓ Ｔ 故选 ．
∪ ＝ （ ） ∩ ＝（０，２］∪［３，＋∞）， Ｄ
评析 本题主要考查了集合的运算，数轴是解决集合运算问
Ａ．｛１，２，３，４｝ Ｂ．｛１，２，３｝ Ｃ．｛２，３，４｝ Ｄ．｛１，３，４｝
答案 Ａ 本题考查集合的并集． 题的“利器”．
Ａ Ｂ ．故选 ． ２５．（２０１６课标Ⅰ文，１，５分）设集合Ａ Ｂ ｘ ｘ
∪ ＝｛１，２，３｝∪｛２，３，４｝＝｛１，２，３，４｝ Ａ ＝｛１，３，５，７｝， ＝｛ ｜２≤
１８．（２０１７课标Ⅲ文，１，５分）已知集合Ａ Ｂ 则Ａ Ｂ
＝｛１，２，３，４｝， ＝｛２，４， ≤５｝， ∩ ＝ （ ）
则Ａ Ｂ中元素的个数为
６，８｝， ∩ （ ） Ａ．｛１，３｝ Ｂ．｛３，５｝ Ｃ．｛５，７｝ Ｄ．｛１，７｝
答案 Ｂ Ａ Ｂ ｘ ｘ Ａ Ｂ
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ∵ ＝｛１，３，５，７｝， ＝｛ ｜２≤ ≤５｝，∴ ∩ ＝｛３，５｝，
答案 Ｂ 因为集合Ａ和集合Ｂ有共同元素 所以Ａ 故选 ．
２，４， ∩ Ｂ
Ｂ
＝｛２，４｝，
所以Ａ
∩
Ｂ中元素的个数为
２
． ２６．（２０１６课标Ⅱ文，１，５分）已知集合Ａ
＝｛１，２，３｝，
Ｂ
＝｛
ｘ
｜
ｘ２
＜
１９．（２０１７天津理，１，５分）设集合Ａ Ｂ Ｃ ｘ 则Ａ Ｂ
＝｛１，２，６｝， ＝｛２，４｝， ＝｛ ９｝， ∩ ＝ （ ）
Ｒ ｘ 则 Ａ Ｂ Ｃ
∈ ｜－１≤ ≤５｝， （ ∪ ）∩ ＝ （ ） Ａ．｛－２，－１，０，１，２，３｝ Ｂ．｛－２，－１，０，１，２｝
Ａ．｛２｝ Ｂ．｛１，２，４｝ Ｃ．｛１，２，３｝ Ｄ．｛１，２｝
ｘ Ｒ ｘ 答案 Ｄ 由已知得Ｂ ｘ ｘ Ａ Ａ
Ｃ．｛１，２，４，６｝ Ｄ．｛ ∈ ｜－１≤ ≤５｝ ＝｛ ｜－３＜ ＜３｝，∵ ＝｛１，２，３｝，∴
答案 Ｂ 本题主要考查集合的表示和集合的运算． Ｂ 故选 ．
∩ ＝｛１，２｝， Ｄ
因为Ａ Ｂ 所以Ａ Ｂ 又Ｃ ２７．（２０１６课标Ⅲ文，１，５ 分）设集合Ａ Ｂ
＝｛１，２，６｝， ＝｛２，４｝， ∪ ＝｛１，２，４，６｝， ＝ ＝｛０，２，４，６，８，１０｝， ＝
ｘ Ｒ ｘ 所以 Ａ Ｂ Ｃ ．故选 ． 则 Ｂ
｛ ∈ ｜－１≤ ≤５｝， （ ∪ ）∩ ＝｛１，２，４｝ Ｂ ｛４，８｝， ∁Ａ ＝ （ ）
２０．（２０１７北京理，１，５分）若集合Ａ ｘ ｘ Ｂ ｘ ｘ
＝｛ ｜－２＜ ＜１｝， ＝｛ ｜ ＜－１ Ａ．｛４，８｝ Ｂ．｛０，２，６｝
或ｘ 则Ａ Ｂ
＞３｝， ∩ ＝ （ ） Ｃ．｛０，２，６，１０｝ Ｄ．｛０，２，４，６，８，１０｝
ｘ ｘ ｘ ｘ 答案 Ｃ 由补集定义知 Ｂ 故选 ．
Ａ．｛ ｜－２＜ ＜－１｝ Ｂ．｛ ｜－２＜ ＜３｝ ∁Ａ ＝｛０，２，６，１０｝， Ｃ
ｘ ｘ ｘ ｘ ２８．（２０１６天津理，１，５分）已知集合Ａ Ｂ ｙ ｙ
Ｃ．｛ ｜－１＜ ＜１｝ Ｄ．｛ ｜１＜ ＜３｝ ＝｛１，２，３，４｝， ＝｛ ｜ ＝
答案 Ａ 本题考查集合的交集运算 考查运算求解能力． ｘ ｘ Ａ 则Ａ Ｂ
， ３ －２， ∈ ｝， ∩ ＝ （ ）
由集合的交集运算可得Ａ Ｂ ｘ ｘ 故选 ．
∩ ＝｛ ｜－２＜ ＜－１｝， Ａ Ａ．｛１｝ Ｂ．｛４｝ Ｃ．｛１，３｝ Ｄ．｛１，４｝
２１．（２０１７北京文，１，５分）已知全集Ｕ Ｒ 集合Ａ ｘ ｘ 或 答案 Ｄ 由题易知Ｂ 所以Ａ Ｂ
＝ ， ＝｛ ｜ ＜－２ ＝｛１，４，７，１０｝， ∩ ＝｛１，４｝，
ｘ 则 Ａ 故选 ．
＞２｝， ∁Ｕ ＝ （ ） Ｄ
２９．（２０１６山东理，２，５分）设集合Ａ ｙ ｙ ｘ ｘ Ｒ Ｂ ｘ
Ａ．（－２，２） Ｂ．（－∞，－２）∪（２，＋∞） ＝｛ ｜ ＝２ ， ∈ ｝， ＝｛ ｜
Ｃ．［－２，２］ Ｄ．（－∞，－２］∪［２，＋∞）
ｘ２
－１＜０｝，
则Ａ
∪
Ｂ
＝ （ ）
答案 Ｃ 本题考查集合的补集运算．
Ａ．（－１，１） Ｂ．（０，１） Ｃ．（－１，＋∞） Ｄ．（０，＋∞）
根据补集的定义可知 Ａ ｘ ｘ ．故选 ． 答案 Ｃ Ａ Ｂ Ａ Ｂ
，∁Ｕ ＝｛ ｜－２≤ ≤２｝＝［－２，２］ Ｃ ∵ ＝（０，＋∞）， ＝（－１，１），∴ ∪ ＝（－１，＋
２２．（２０１６课标Ⅰ理，１，５ 分）设集合Ａ ｘ ｘ２ ｘ Ｂ ．故选 ．
＝｛ ｜ －４ ＋３＜０｝， ＝ ∞） Ｃ
１２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
３０．（２０１６浙江，１，５ 分）已知集合 Ｐ ｘ Ｒ ｘ Ｑ ３９．（２０１３课标Ⅰ文，１，５分）已知集合Ａ Ｂ ｘ ｘ
＝｛ ∈ ｜１≤ ≤３｝， ＝ ＝｛１，２，３，４｝， ＝｛ ｜
｛
ｘ
∈
Ｒ
｜
ｘ２
≥４｝，
则Ｐ
∪（∁Ｒ
Ｑ
）＝ （ ） ＝
ｎ２
，
ｎ
∈
Ａ
｝，
则Ａ
∩
Ｂ
＝ （ ）
Ａ．［２，３］ Ｂ．（－２，３］ Ａ．｛１，４｝ Ｂ．｛２，３｝ Ｃ．｛９，１６｝ Ｄ．｛１，２｝
答案 Ａ Ｂ ｘ ｘ ｎ２ ｎ Ａ
Ｃ．［１，２） Ｄ．（－∞，－２］∪［１，＋∞） ∵ ＝｛ ｜ ＝ ， ∈ ｝＝｛１，４，９，１６｝，
答案 Ｂ Ｑ Ｑ Ａ Ｂ 故选 ．
∵ ＝（－∞，－２］∪［２，＋∞），∴ ∁Ｒ ＝（－２，２）， ∴ ∩ ＝｛１，４｝， Ａ
Ｐ Ｑ 故选 ． ４０．（２０１３课标Ⅱ文，１，５ 分）已知集合 Ｍ ｘ ｘ Ｎ
∴ ∪（∁Ｒ ）＝（－２，３］， Ｂ ＝｛ ｜－３＜ ＜１｝， ＝
３１．（２０１５课标Ⅱ，１，５分）已知集合Ａ Ｂ ｘ 则Ｍ Ｎ
＝｛－２，－１，０，１，２｝， ＝｛ ｛－３，－２，－１，０，１｝， ∩ ＝ （ ）
ｘ ｘ 则Ａ Ｂ
｜（ －１）（ ＋２）＜０｝， ∩ ＝ （ ） Ａ．｛－２，－１，０，１｝ Ｂ．｛－３，－２，－１，０｝
Ａ．｛－１，０｝ Ｂ．｛０，１｝ Ｃ．｛－１，０，１｝ Ｄ．｛０，１，２｝ Ｃ．｛－２，－１，０｝ Ｄ．｛－３，－２，－１｝
答案 Ａ 因为Ｂ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ Ａ 答案 Ｃ 由题意得Ｍ Ｎ ．选 ．
＝｛ ｜（ －１）（ ＋２）＜０｝＝｛ ｜－２＜ ＜１｝， ∩ ＝｛－２，－１，０｝ Ｃ
故Ａ Ｂ ．选 ． ４１．（２０１３上海理，１５，５分）设常数ａ Ｒ 集合Ａ ｘ ｘ ｘ
＝｛－２，－１，０，１，２｝， ∩ ＝｛－１，０｝ Ａ ∈ ， ＝｛ ｜（ －１）（
３２．（２０１５课标Ⅰ文，１，５分）已知集合Ａ ｘ ｘ ｎ ｎ Ｎ ａ Ｂ ｘ ｘ ａ 若Ａ Ｂ Ｒ 则ａ的取值范围为
＝｛ ｜ ＝３ ＋２， ∈ ｝， － ）≥０｝， ＝｛ ｜ ≥ －１｝， ∪ ＝ ，
Ｂ 则集合Ａ Ｂ中元素的个数为
＝｛６，８，１０，１２，１４｝， ∩ （ ） （ ）
Ａ．５ Ｂ．４ Ｃ．３ Ｄ．２ Ａ．（－∞，２） Ｂ．（－∞，２］ Ｃ．（２，＋∞） Ｄ．［２，＋∞）
答案 Ｄ 由已知得Ａ 又Ｂ 答案 Ｂ 当ａ 时 集合Ａ Ｒ 满足Ａ Ｂ Ｒ．
＝｛２，５，８，１１，１４，１７，…｝， ＝｛６， ＝１ ， ＝ ， ∪ ＝
所以Ａ Ｂ ．故选 ． 当ａ 时 Ａ ａ 由Ａ Ｂ Ｒ 得ａ
８，１０，１２，１４｝， ∩ ＝｛８，１４｝ Ｄ ＞１ ， ＝（－∞，１］∪［ ，＋∞）， ∪ ＝ ， －１≤１，
３３．（２０１５课标Ⅱ文，１，５分）已知集合Ａ ｘ ｘ Ｂ ｘ 所以 ａ
＝｛ ｜－１＜ ＜２｝， ＝｛ ｜ １＜ ≤２；
ｘ 则Ａ Ｂ 当ａ 时 Ａ ａ 由Ａ Ｂ Ｒ 得ａ ａ
０＜ ＜３｝， ∪ ＝ （ ） ＜１ ， ＝（－∞， ］∪［１，＋∞）， ∪ ＝ ， －１≤ ，
所以ａ ．
Ａ．（－１，３） Ｂ．（－１，０） Ｃ．（０，２） Ｄ．（２，３） ＜１
答案 Ａ 因为Ａ Ｂ 综上所述 ａ ．
＝（－１，２）， ＝（０，３）， ， ≤２
所以Ａ Ｂ 故选 ． ４２．（２０１２大纲全国理，２，５分）已知集合Ａ ｍ Ｂ
∪ ＝（－１，３）， Ａ ＝｛１，３， ｝， ＝｛１，
３４．（２０１５陕西文，１，５分）设集合Ｍ ｘ ｘ２ ｘ Ｎ ｘ ｘ ｍ Ａ Ｂ Ａ 则ｍ
＝｛ ｜ ＝ ｝， ＝｛ ｜ｌｇ ≤ ｝， ∪ ＝ ， ＝ （ ）
则Ｍ Ｎ
０｝， ∪ ＝ （ ） 或 或 或 或
Ａ．０ ３ Ｂ．０ ３ Ｃ．１ ３ Ｄ．１ ３
Ａ．［０，１］ Ｂ．（０，１］ Ｃ．［０，１） Ｄ．（－∞，１］ 答案 Ｂ 由Ａ Ｂ Ａ得Ｂ Ａ 则ｍ Ａ 所以有ｍ ｍ或
答案 Ａ 由题意知Ｍ Ｎ ｘ ｘ 所以Ｍ ∪ ＝ ⊆ ， ∈ ， ＝
＝｛０，１｝， ＝｛ ｜０＜ ≤１｝， ∪ ｍ 所以ｍ 或ｍ 或ｍ 又由集合中元素的互异性
Ｎ ．故选 ． ＝３， ＝３ ＝１ ＝０，
＝［０，１］ Ａ 知ｍ 故选 ．
３５．（２０１４课标Ⅰ理，１，５分）已知集合Ａ ｘ ｘ２ ｘ Ｂ ≠１， Ｂ
＝｛ ｜ －２ －３≥０｝， ＝ ４３．（２０１１课标文，１，５分）已知集合Ｍ Ｎ
ｘ ｘ 则Ａ Ｂ ＝｛０，１，２，３，４｝， ＝｛１，
｛ ｜－２≤ ＜２｝， ∩ ＝ （ ） Ｐ Ｍ Ｎ 则Ｐ的子集共有
３，５｝， ＝ ∩ ， （ ）
Ａ．［－２，－１］ Ｂ．［－１，２） Ｃ．［－１，１］ Ｄ．［１，２） 个 个 个 个
答案 Ａ 由不等式ｘ２ ｘ 解得ｘ 或ｘ 因此 Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８
－２ －３≥０ ≥３ ≤－１， 答案 Ｂ 由题意得Ｐ Ｍ Ｎ Ｐ的子集为
集合Ａ ｘ ｘ 或ｘ 又集合Ｂ ｘ ｘ 所以Ａ ＝ ∩ ＝｛１，３｝，∴ ⌀，
＝｛ ｜ ≤－１ ≥３｝， ＝｛ ｜－２≤ ＜２｝， 共 个 故选 ．
Ｂ ｘ ｘ 故选 ． ｛１｝，｛３｝，｛１，３｝， ４ ， Ｂ
∩ ＝｛ ｜－２≤ ≤－１｝， Ａ ４４．（２０１１辽宁理，２，５分）已知Ｍ Ｎ为集合Ｉ的非空真子集 且
３６．（２０１４课标Ⅱ理，１，５分）设集合Ｍ Ｎ ｘ ｘ２ ｘ ， ，
＝｛０，１，２｝， ＝｛ ｜ －３ Ｍ Ｎ不相等 若Ｎ Ｍ 则Ｍ Ｎ
则Ｍ Ｎ ， ， ∩∁Ｉ ＝⌀， ∪ ＝ （ ）
＋２≤０｝， ∩ ＝ （ ） Ｍ Ｎ Ｉ
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ⌀
Ａ．｛１｝ Ｂ．｛２｝ Ｃ．｛０，１｝ Ｄ．｛１，２｝ 答案 Ａ Ｎ Ｍ Ｎ Ｍ．又Ｍ Ｎ Ｎ Ｍ Ｍ
答案 Ｄ 由已知得Ｎ ｘ ｘ Ｍ Ｍ ∵ ∩∁Ｉ ＝⌀，∴ ⊆ ≠ ，∴ ⫋ ，∴
＝｛ ｜１≤ ≤２｝，∵ ＝｛０，１，２｝，∴ Ｎ Ｍ．故选 ．
Ｎ 故选 ． ∪ ＝ Ａ
∩ ＝｛１，２｝， Ｄ ４５．（２０２０ 江苏，１，５ 分）已知集合 Ａ Ｂ
３７．（２０１４课标Ⅱ文，１，５分）已知集合Ａ Ｂ ｘ ｘ２ ＝｛－１，０，１，２｝， ＝｛０，２，
＝｛－２，０，２｝， ＝｛ ｜ － 则Ａ Ｂ ．
ｘ 则Ａ Ｂ ３｝， ∩ ＝
－２＝０｝， ∩ ＝ （ ） 答案
． ． ． ． ｛０，２｝
Ａ⌀ Ｂ｛２｝ Ｃ｛０｝ Ｄ｛－２｝ 解析 Ａ Ｂ
答案 Ｂ 集合Ａ Ｂ ｘ ｘ２ ｘ ∵ ＝｛－１，０，１，２｝， ＝｛０，２，３｝，
∵ ＝｛－２，０，２｝， ＝｛ ｜ － －２＝０｝＝｛２， Ａ Ｂ ．
Ａ Ｂ 故选 ∴ ∩ ＝｛０，２｝
－１｝，∴ ∩ ＝｛２｝， Ｂ． ４６．（２０１８江苏，１，５分）已知集合Ａ Ｂ
３８．（２０１３课标Ⅱ理，１，５ 分）已知集合 Ｍ ｘ ｘ ２ ｘ ＝｛０，１，２，８｝， ＝｛－１，１，６，
＝｛ ｜（ －１） ＜４， ∈ 那么Ａ Ｂ ．
Ｒ Ｎ 则Ｍ Ｎ ８｝， ∩ ＝
｝， ＝｛－１，０，１，２，３｝， ∩ ＝ （ ） 答案
｛１，８｝
Ａ．｛０，１，２｝ Ｂ．｛－１，０，１，２｝ 解析 本题考查集合的运算．
Ｃ．｛－１，０，２，３｝ Ｄ．｛０，１，２，３｝ Ａ Ｂ
答案 Ａ 化简得Ｍ ｘ ｘ 所以Ｍ Ｎ ∵ ＝｛０，１，２，８｝， ＝｛－１，１，６，８｝，
＝｛ ｜－１＜ ＜３｝， ∩ ＝｛０，１，２｝， Ａ Ｂ ．
故选 ． ∴ ∩ ＝｛１，８｝
Ａ
专题一 集合与常用逻辑用语 １３
时间： 分钟 分值： 分
２０ ３５
一、单项选择题 每题 分 共 分 ４．（２０２１届湖南长郡、雅礼、一中联考，１）已知集合Ａ ｘ ｘ２ ｘ
（ ５ ， ２０ ） ＝｛ ｜ ＋ －
１．（２０２１届湖北荆门龙泉中学１１月月考，２）已知集合Ａ ｘ { }
＝｛（ ， Ｂ ｘ ｘ １ 则
ｙ ｘ２ ｙ２ Ｂ ｘ ｙ ｙ ｘ 则集合Ａ Ｂ的子集的个 ２＜０｝， ＝ ｌｏｇ１ ４ ＞ ， （ ）
）｜ ＋ ＝１｝， ＝｛（ ， ）｜ ＝｜ ｜｝， ∩ ２
数为 Ａ Ｂ Ｂ Ａ
（ ） Ａ． ⊆ Ｂ． ⊆
{ }
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８ Ａ Ｂ Ａ Ｂ ｘ ｘ １
答案 Ｂ Ｃ． ∩∁Ｒ ＝⌀ Ｄ． ∩ ＝ －２＜ ＜
２
２．（２０２１届浙江杭州高级中学期中，１）已知集合Ｍ= ｘ ｙ= 答案 Ｂ
｛ ｜ ｌｎ（３
＋２
ｘ
－
ｘ２
）｝，
Ｎ=
｛
ｘ
｜
ｘ
＞
ａ
｝，
若Ｍ
⊆
Ｎ
，
则实数ａ的取值范围是 二、填空题
（
共
５
分
）
５．（２０２１届陕西咸阳高新区一中第三次质量检测，１３）已知集合
（ ）
Ａ ａ Ｂ ａ２ ．若Ａ Ｂ有且只有一个元素 则实
Ａ．［３，＋∞） Ｂ．（３，＋∞） Ｃ．（－∞，－１］ Ｄ．（－∞，－１） ＝｛１， ，５｝， ＝｛２， ＋１｝ ∩ ，
答案 Ｃ 数ａ的值为 ．
３．（２０２１届广东东华高级中学第二次联考，２）已知全集Ｕ Ｒ 答案 或
＝ ， ０ －２
集合Ａ ＝｛ ｘ ｜ ｘ２ －３ ｘ ＞０｝， Ｂ ＝｛ ｘ ｜ ｙ ＝ｌｎ（ ｘ －２）｝， 则Ｂ ∩（∁Ｕ Ａ ）＝ 三、解答题 （ 共 １０ 分 ）
（ ）
６．（２０２１届天津联考，１６）已知集合Ａ
＝｛
ｘ
｜
ｘ２
－５
ｘ
－６＜０｝，
Ｂ
＝｛
ｘ
｜
ｍ ｘ ｍ ｍ Ｒ ．
Ａ．［０，３） Ｂ．（１，３） ＋１≤ ≤２ －１， ∈ ｝
若ｍ 求集合 Ａ 集合Ａ Ｂ
Ｃ．（２，３］ Ｄ．（２，３） （１） ＝４， ∁Ｒ ， ∪∁Ｒ ；
答案 Ｃ 若Ａ Ｂ Ａ 求实数ｍ的取值范围．
（２） ∪ ＝ ，
１４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１．（２０１８广东佛山顺德学情调研，１）若Ａ Ｂ ｘ ｙ ｘ { }
＝｛１，２｝， ＝｛（ ， ）｜ ｘ ３ 若Ａ Ｂ 则实数ｋ的取值范围是
Ａ ｙ Ａ 则集合Ｂ中元素的个数为 ｘ ＜１ ， ⊆ ， （ ）
∈ ， ∈ ｝， （ ） ＋１
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ Ａ．（１，＋∞） Ｂ．（－∞，－１）
答案 Ｄ 由题意得Ｂ 所
＝｛（１，１），（１，２），（２，１），（２，２）｝， Ｃ．（２，＋∞） Ｄ．［１，＋∞）
以集合Ｂ中元素的个数为 故选 ｘ
４， Ｄ． 答案 Ｃ 由 ３ 得 ３ 即 －２
２．（２０１７陕西西安一模，２）已知集合Ｍ
＝｛－１，０，１｝，
Ｎ
＝｛
ｘ
｜
ｘ
＝
ｘ ＋１ ＜１ ｘ ＋１ －１＜０， ｘ ＋１ ＞０，
ｘ ｘ 得ｘ 或ｘ 即Ｂ ｘ ｘ 或ｘ ．
ａｂ ａ ｂ Ｍ 且ａ ｂ 则集合Ｍ与集合Ｎ的关系是 ∴ （ ＋１）（ －２）＞０， ＞２ ＜－１， ＝｛ ｜ ＞２ ＜－１｝
， ， ∈ ， ≠ ｝， （ ）
又知Ａ Ｂ 所以ｋ 故选 ．
Ｍ Ｎ Ｍ Ｎ Ｎ Ｍ Ｎ Ｎ Ｍ Ｎ ⊆ ， ＞２， Ｃ
Ａ．
答案
＝
Ｂ 因
Ｂ
为
．
集
∩
合Ｍ
＝ Ｃ． ∪
Ｎ
＝
ｘ
Ｄ
ｘ
．
ａ
∩
ｂ ａ
＝
ｂ
⌀
Ｍ
９．（２０１８广东二模，３）已知ｘ
∈
Ｒ
，
集合Ａ
＝｛０，１，２，４，５｝，
集合Ｂ
＝｛－１，０，１｝， ＝｛ ｜ ＝ ， ， ∈ ， ｘ ｘ ｘ 若Ａ Ｂ 则ｘ
且ａ ｂ 所以Ｎ 则集合Ｍ Ｎ Ｎ．故选 ＝｛ －２， ， ＋２｝， ∩ ＝｛０，２｝， ＝ （ ）
≠ ｝， ＝｛－１，０｝， ∩ ＝ Ｂ．
思路分析 用列举法写出集合Ｎ 再判断集合Ｍ与集合Ｎ之 Ａ．－２ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２
， 答案 Ｂ 因为Ａ Ｂ ｘ ｘ ｘ 且Ａ Ｂ
间的关系． ＝｛０，１，２，４，５｝， ＝｛ －２， ， ＋２｝， ∩
３．（２０１９吉林长春质量监测（一），１）已知集合Ｍ 则满 ＝｛０，２｝，
＝｛０，１｝， {ｘ {ｘ
足条件Ｍ Ｎ Ｍ的集合Ｎ的个数为 所以 －２＝０，或 ＝０，
∪ ＝ （ ） ｘ ｘ ．
＝２ ＋２＝２
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 当ｘ 时 Ｂ Ａ Ｂ 舍
答案 Ｄ 根据Ｍ Ｎ Ｍ知Ｎ Ｍ 集合Ｎ的个数就是集合 ＝２ ， ＝｛０，２，４｝， ∩ ＝｛０，２，４｝（ ）；
∪ ＝ ⊆ ， 当ｘ 时 Ｂ Ａ Ｂ ．
Ｍ的子集个数 集合Ｍ的子集有 共 个． ＝０ ， ＝｛－２，０，２｝， ∩ ＝｛０，２｝
， ⌀，｛０｝，｛１｝，｛０，１｝， ４ 综上 ｘ ．故选
故选 ． ， ＝０ Ｂ．
Ｄ 易错警示 本题的易错点是由 Ｂ Ｂ得到ｘ 或ｘ
４．（２０１８湖北七市（州）３月联考，１）已知Ｎ是自然数集 设集 ０∈ ，２∈ ＝２ ＝０
， 后 就直接得到错误答案 ｘ 或ｘ 忘记验证Ａ Ｂ
{ } ， （ ＝２ ＝０）， ∩ ＝｛０，
合Ａ ｘ ６ Ｎ Ｂ 则Ａ Ｂ 是否成立．
＝ ｘ ∈ ， ＝｛０，１，２，３，４｝， ∩ ＝ （ ） ２｝
＋１ １０．（２０１８山东济南期末，２）已知集合Ａ ｘ ａｘ Ｂ ｘ
＝｛ ｜ －６＝０｝， ＝｛ ∈
Ａ．｛０，２｝ Ｂ．｛０，１，２｝ Ｎ ｘ 且 Ａ Ｂ Ｂ 则实数 ａ 的所有值构成的集
｜１≤ｌｏｇ２ ＜２｝， ∪ ＝ ，
Ｃ．｛２，３｝ Ｄ．｛０，２，４｝ 合是
答案 Ｂ 本题考查集合的交集运算．将集合Ｂ中的元素分 （ ）
别代入Ａ中 则符合的元素构成的集合为 所以Ａ Ｂ Ａ．｛２｝ Ｂ．｛３｝ Ｃ．｛２，３｝ Ｄ．｛０，２，３｝
， ｛０，１，２｝， ∩ 答案 Ｄ Ｂ ｘ Ｎ ｘ ．因为Ａ Ｂ Ｂ
．故选 ． ＝｛ ∈ ｜１≤ｌｏｇ２ ＜２｝＝｛２，３｝ ∪ ＝ ，
＝｛０，１，２｝ Ｂ 所以Ａ Ｂ．当ａ 时 集合Ａ为空集 符合题意 当ａ 时 Ａ
⊆ ＝０ ， ， ， ≠０ ，
解题关键 准确理解 ６ Ｎ的含义是解决本题的关键． { }
ｘ ∈ ｘ ａｘ ６ 由题意得 ６ 或 ６ 解得ａ
＋１ ＝｛ ｜ －６＝０｝＝ ａ ， ａ ＝２ ａ ＝３， ＝３
５．（２０１９山西实验中学３月月考，１）已知集合Ａ ｘ Ｎ ｘ
＝｛ ∈ ｜１＜ ＜ 或ａ ．所以实数ａ的所有值构成的集合是 故选
ｋ 集合Ａ中至少有 个元素 则 ＝２ ｛０，２，３｝， Ｄ．
ｌｏｇ２ ｝， ３ ， （ ） 特别提醒 解决两个集合的包含关系时 要注意空集的情况．
ｋ ｋ ，
Ａ． ≥１６ Ｂ． ＞１６ １１．（２０１９江苏淮阴中学检测）当ａ满足 时 集合Ａ ｘ
ｋ ｋ ， ＝｛
Ｃ． ≥８ Ｄ． ＞８ ｘ ａ ｘ Ｎ 表示单元集．
答案 Ｂ 由集合Ａ中至少有 个元素 得 ｋ 解得ｋ ｜３ － ＜０， ∈ ＋｝
１６， 故选 Ｂ ．
３ ， ｌｏｇ２ ＞４， ＞ 答案
３＜
ａ
≤６ { ａ }
６．（２０１８齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考 解析 因为Ａ
＝｛
ｘ
｜３
ｘ
－
ａ
＜０，
ｘ
∈
Ｎ
＋｝＝
ｘ ｘ
＜ ，
ｘ
∈
Ｎ
＋
表
３
冲刺模拟（三），１）若集合Ｍ ＝｛（ ｘ ， ｙ ）｜ ｘ ＋ ｙ ＝０｝， Ｎ ＝｛（ ｘ ， ｙ ）｜ ｘ２ 示单元集 所以 ａ 解得 ａ ．
ｙ２ ｘ Ｒ ｙ Ｒ 则有 ， １＜ ≤２， ３＜ ≤６
＋ ＝０， ∈ ， ∈ ｝， （ ） ３
Ｍ Ｎ Ｍ Ｍ Ｎ Ｎ １２．（２０１８广东珠海调研，１３）设集合Ａ ａ Ｂ ａ 若Ｂ
Ａ． ∪ ＝ Ｂ． ∪ ＝ ＝｛１， ｝， ＝｛ ｝，
Ｍ Ｎ Ｍ Ｍ Ｎ Ａ 则实数ａ的值为 ．
Ｃ． ∩ ＝ Ｄ． ∩ ＝⌀ ⊆ ，
答案 Ａ Ｎ ｘ ｙ ｘ２ ｙ２ ｘ Ｒ ｙ Ｒ 且 答案
＝｛（ ， ）｜ ＋ ＝０， ∈ ， ∈ ｝＝｛（０，０）｝， ０
点 （０，０） 在直线ｘ ＋ ｙ ＝０ 上 ， 所以Ｍ ∪ Ｎ ＝ Ｍ ， 故选 Ａ． 解析 由Ｂ Ａ得 ａ 或 ａ ａ 解得ａ 或ａ ．
⊆ ， ＝１ ＝ ， ＝０ ＝１
解题关键 用描述法表示集合 首先要弄清集合中代表元素
，
当ａ
＝１
时
，
集合Ａ
＝｛１，１｝，
不符合集合中元素的互异性
，
所以舍去．
的含义 再看元素的限制条件 明确集合类型 是数集 点集还 当ａ 时 集合Ａ Ｂ 符合Ｂ Ａ 所以ａ ．
， ， ， 、 ＝０ ， ＝｛１，０｝， ＝｛０｝， ⊆ ， ＝０
是其他的集合． １３．（２０１８江西南昌三校联考，４）已知集合Ｍ 集合
＝｛１，２，３，４｝，
７．（２０１８皖南八校３月联考，２）已知集合Ａ ｘ ｙ ｘ２ ｙ Ａ Ｂ为集合Ｍ的非空子集 若 ｘ Ａ ｙ Ｂ ｘ ｙ恒成立 则称
＝｛（ ， ）｜ ＝４ ｝， ， ， ∀ ∈ ， ∈ ， ＜ ，
Ｂ ｘ ｙ ｙ ｘ 则Ａ Ｂ的真子集个数为 Ａ Ｂ 为集合Ｍ的一个 子集对 则集合Ｍ的 子集对 共
＝｛（ ， ）｜ ＝ ｝， ∩ （ ） （ ， ） “ ”， “ ”
有 个．
Ａ．１ Ｂ．３ Ｃ．５ Ｄ．７
{ｘ２ ｙ {ｘ {ｘ 答案
答案 Ｂ 由 ＝４ ，得 ＝０，或 ＝４，故Ａ Ｂ １７
ｙ ＝ ｘ ｙ ＝０ ｙ ＝４， ∩ ＝｛（０，０）， 解析 当Ａ ＝｛１｝ 时 ， Ｂ有 ２ ３ －１＝７ 种情况 ； 当Ａ ＝｛２｝ 时 ， Ｂ
Ａ Ｂ的真子集个数为 ２ ．故选 ． 有 ２ 种情况 当Ａ 时 Ｂ有 种情况 当Ａ
（４，４）｝，∴ ∩ ２ －１＝３ Ｂ ２ －１＝３ ； ＝｛３｝ ， １ ； ＝｛１，２｝
８．（２０１９云南昆明９ 月调研，２）已知集合 Ａ ｘ ｘ ｋ Ｂ 时 Ｂ有 ２ 种情况 当Ａ 时 Ｂ
＝｛ ｜ ≥ ｝， ＝ ， ２ －１＝３ ； ＝｛１，３｝，｛２，３｝，｛１，２，３｝ ，
专题一 集合与常用逻辑用语 １５
均有 种情况． 满足题意的 子集对 共有 ｍ Ｂ ｍ ｍ ．
１ ∴ “ ” ７＋３＋１＋３＋１＋１＋１ （２）∵ ＞０，∴ ＝［２－ ，２＋ ］
个． 又Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ｂ
＝１７ ∪ ＝ ，∴ ⊆ ，
１４．（２０１７ 江苏扬州中学高三开学考试，５）设函数 ｆ ｘ { ｍ
（ ）＝ ２＋ ≥７，
－ ｘ２ －２ ｘ ＋１５， 集合Ａ ＝｛ ｘ ｜ ｙ ＝ ｆ （ ｘ ）｝， Ｂ ＝｛ ｙ ｜ ｙ ＝ ｆ （ ｘ ）｝， 则图 ∴ ２－ ｍ ≤２，∴ ｍ ≥５，
中阴影部分表示的集合为 ． ｍ
＞０，
故实数ｍ的取值范围为 ．
［５，＋∞）
１６．（２０１８ 广东深圳四校联考，１７）已知三个集合 Ａ ｘ Ｒ
： ＝｛ ∈ ｜
ｘ２ ｘ Ｂ ｘ Ｒ ｘ２＋２ ｘ －８ Ｃ ｘ Ｒ ｘ２ ａｘ
答案 ｌｏｇ２（ －５ ＋８）＝１｝， ＝｛ ∈ ｜２ ＝１｝， ＝｛ ∈ ｜ －
［－５，０）∪（３，４］ ａ２ ．
解析 由题图知阴影部分表示的集合为 Ａ Ｂ ． ＋ －１９＞０｝
∁Ａ ∪ Ｂ（ ∩ ） 求Ａ Ｂ
由
－
ｘ２
－２
ｘ
＋１５≥０
得
－５≤
ｘ
≤３，
（１）
已知
∪
Ａ
；
Ｃ Ｂ Ｃ 求实数ａ的取值范围．
所以集合Ａ ｘ ｙ ｆ ｘ ． （２） ∩ ≠⌀， ∩ ＝⌀，
＝｛ ｜ ＝ （ ）｝＝［－５，３］ 解析 Ａ ｘ Ｒ ｘ２ ｘ ｘ Ｒ ｘ２ ｘ
（１）∵ ＝｛ ∈ ｜ｌｏｇ２（ －５ ＋８）＝１｝＝｛ ∈ ｜ －５
由ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｘ ２ ｘ
（ ）＝ － －２ ＋１５＝ －（ ＋１） ＋１６，－５≤ ≤３， ＋８＝２｝＝｛２，３｝，
得集合Ｂ ＝｛ ｙ ｜ ｙ ＝ ｆ （ ｘ ）｝＝［０，４］ ． Ｂ ＝｛ ｘ ∈ Ｒ ｜２ ｘ２＋２ ｘ －８ ＝１｝＝｛ ｘ ∈ Ｒ ｜ ｘ２ ＋２ ｘ －８＝０｝＝｛２，－４｝，
从而Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ ．
∪ ＝［－５，４］， ∩ ＝［０，３］， ∴ ∪ ＝｛２，３，－４｝
故 ∁Ａ ∪ Ｂ（ Ａ ∩ Ｂ ）＝［－５，０）∪（３，４］ ． （２）∵ Ａ ∩ Ｃ ≠⌀， Ｂ ∩ Ｃ ＝⌀，
解题关键 理解题图中阴影部分表示的集合为 ∁Ａ ∪ Ｂ（ Ａ ∩ Ｂ ） ∴２∉ Ｃ ，－４∉ Ｃ ，３∈ Ｃ．
是解题的关键． Ｃ ｘ Ｒ ｘ２ ａｘ ａ２
∵ ＝｛ ∈ ｜ － ＋ －１９＞０｝，
１５．（２０１８江苏金陵中学月考）已知Ａ { ｘ １－３ ｘ } Ｂ ｘ { ２ ２ －２ ａ ＋ ａ２ －１９≤０，
＝ ｘ －１＞０ ， ＝｛ ｜
－７ ２ ａ ａ２
∴ （－４） ＋４ ＋ －１９≤０，
ｘ２
－４
ｘ
＋４－
ｍ２
≤０，
ｍ
＞０｝
．
２ ａ ａ２
（１） 若ｍ ＝３， 求Ａ ∩ Ｂ ； { ３ －３ ａ ＋ －１９＞０，
若Ａ Ｂ Ｂ 求实数ｍ的取值范围． －３≤ ≤５，
（２） ∪ ＝ ， 即 ａ 解得 ａ ．
解析 易知Ａ －２－ ７≤ ≤－２＋ ７， －３≤ ＜－２
（１） ＝（２，７）， ａ 或ａ ．
ｍ Ｂ ＜－２ ＞５
∵ ＝３，∴ ＝［－１，５］， 实数ａ的取值范围是 ．
Ａ Ｂ ． ∴ ［－３，－２）
∴ ∩ ＝（２，５］
