文档文本内容
专
题
一
集
合
与
常
用
逻
辑
用
语
／
１
专题一 集合与常用逻辑用语
１．１ 集合
§
续表
空集是任何集合的子集 Ｂ
⌀⊆
空集 空集是任何 非空 集合的真
考点一 集合及其关系 ⑤ Ｂ Ｂ
子集 ⌀⫋ （ ≠⌀）
１．集合的含义与表示
注意 遇到形如Ａ Ｂ的问题 要优先考虑Ａ 是否满足
集合中元素的三个特性 确定性 互异性 无序性 ． ⊆ ， ＝⌀
（１） ： 、 、① 题意．
集合中元素与集合的关系有且仅有两种 属于 用符号
（２） ： （ 知识拓展 若Ａ为有限集合 Ａ ｎ ｎ Ｎ∗ 则 Ａ
表示 和不属于 用符号 表示 ． ，ｃａｒｄ（ ）＝ （ ∈ ）， ：
“∈” ） （ “∉” ） 的子集个数是 ｎ Ａ的真子集个数是 ｎ Ａ的非空子集个
常用数集及其符号表示 ⑥ ２ ； ２ －１；
（３） 数是 ｎ Ａ的非空真子集个数是 ｎ ．
非负整数集 ２ －１； ⑦ ２ －２
名称 正整数集 整数集 有理数集 实数集
自然数集 考点二 集合的基本运算
（ ）
符号 Ｎ Ｎ∗或Ｎ Ｚ Ｑ Ｒ
② ＋ ③ 集合的并集 集合的交集 集合的补集
集合常用的表示方法 列举法 描述法 图示法． 符号 若全集为 Ｕ 则集合 Ａ
（４） ： 、④ 、 Ａ Ｂ Ａ Ｂ ，
注意 集合元素互异性的应用 利用集合元素的互异性 表示 ∪ ∩ 的补集为 Ａ
：（１） ∁Ｕ
找到解题的切入点 在解答完毕时 注意检查集合的元素是
；（２） ，
否满足互异性 以确保答案正确． 图形
，
表示
２．集合间的基本关系
表示
定义 记法 ｘ ｘ Ａ或ｘ ｘ ｘ Ａ，且
关系 意义 ｛ ｜ ∈ ∈ ｛ ｜⑧ ∈ ｘ ｘ Ｕ，且ｘ Ａ
Ｂ ｘ Ｂ ｛ ｜⑨ ∈ ∉ ｝
集合Ａ与集合Ｂ中的所有元素 ｝ ∈ ｝
相等 Ａ Ｂ
集合 都相同 ＝ Ａ ∪⌀＝ Ａ ； Ａ Ａ Ａ ∪（∁Ｕ Ａ ）＝ Ｕ ； Ａ ∩（∁Ｕ Ａ ）
间 基 关 的 本 系 子 真 子 集 集 集 合 合 合 合 Ｂ Ｂ 中 中 Ａ Ａ 中 中 的 的 元 元 任 任 素 素 意 意一 一 且 个 个 Ｂ 元 元 中 素 素 至 均 均 少 为 为 有一 集 集 Ａ Ａ ⊆ Ｂ Ｂ （ 或 或 Ｂ Ｂ ⊇ Ａ Ａ ） 性质 Ａ Ａ Ａ ∪ ∪ ∪ Ｂ Ａ ＝ ＝ Ｂ Ａ Ｂ ； ＝ ∪ Ａ Ａ ； ⇔ Ａ ∩ Ａ ∩ ＝ Ａ Ａ Ｂ ； ⌀ ； Ａ Ａ ∩ ＝ ∩ ⌀ Ｂ ＝ Ｂ ； Ａ ＝ ⇔ ∩ Ｂ ＝ （ ∁Ｕ ∁ ⌀ （ Ｕ Ａ Ｂ ； ∪ ） ∁Ｕ ； Ｂ （ ∁ ） ∁ Ｕ Ｕ Ａ ＝ （ ） Ａ ＝ （ Ａ ∩ ∁ ； Ｕ Ａ Ｂ ） ） ∩ ＝
， ⫋ （ ⫌ ） Ｂ Ａ ⊆ Ａ Ｂ
集 个元素Ａ中没有 ⑩ ⊆ （∁Ｕ ）∪（∁Ｕ ）
化简两集合 利用已知给出的Ａ Ｂ ｘ ｘ 确
（２） ， ∩ ＝｛ ｜－２≤ ≤１｝，
定集合Ｂ端点值的大小 从而得出ａ的值．
，
{ ｋ } {
解析 （ ）集合Ｍ ｘ ｘ １ ，ｋ Ｚ ｘ ｘ １ （ ｋ
考法一 集合间基本关系的求解方法 １ ＝ ＝ ＋ ∈ ＝ ＝ ２
２ ４ ４
} { ｋ } {
例１ （２０１９ 湖北天门调研，１） 集合 Ｍ ），ｋ Ｚ ，Ｎ ｘ ｘ １ ，ｋ Ｚ ｘ ｘ １ （ｋ ），ｋ
（１） ＝ ＋１ ∈ ＝ ＝ ＋ ∈ ＝ ＝ ＋２ ∈
{ ｋ } { ｋ } } ４ ２ ４ ｘ ｘ １ ｋ Ｚ Ｎ ｘ ｘ １ ｋ Ｚ 则
＝ ＋ ， ∈ ， ＝ ＝ ＋ ， ∈ ， （ ） Ｚ ，当ｋ Ｚ时， ｋ 是奇数，ｋ 是整数，又知奇数均为整数，
２ ４ ４ ２ ∈ ２ ＋１ ＋２
Ａ． Ｍ ＝ Ｎ Ｂ． Ｍ ⫋ Ｎ 而整数不一定为奇数，所以Ｍ Ｎ，故选 ．
⫋ Ｂ
Ｃ．
Ｎ
⫋
Ｍ
Ｄ．
Ｍ与Ｎ没有相同的元素
（ ）由已知可得Ａ ｛ｘ ｘ ｝，Ｂ
{
ｘ ｘ
ａ}
，又 Ａ （２０２０课标Ⅰ理，２，５分）设集合Ａ ｘ ｘ２ Ｂ ２ ＝ ｜－２≤ ≤２ ＝ ≤－ ∵
（２） ＝｛ ｜ －４≤０｝， ＝ ２
ｘ ｘ ａ 且Ａ Ｂ ｘ ｘ 则ａ ａ
｛ ｜２ ＋ ≤０｝， ∩ ＝｛ ｜－２≤ ≤１｝， ＝ （ ） Ｂ ｛ｘ ｘ ｝， ， ａ ．故选 ．
∩ ＝ ｜－２≤ ≤１ ∴ － ＝１ ∴ ＝－２ Ｂ
Ａ．－４ Ｂ．－２ Ｃ．２ Ｄ．４ ２
解题导引 化简两集合 观察两集合中元素的构成特 答案 （ ）Ｂ （ ）Ｂ （１） ， １ ２
征 再确定两个集合的关系 得出结果． 方法总结 １．判断两集合的关系一般有两种方法 一是化
， ， ：
A
版
高
考
数
学
／
２
简集合 从中直接寻找两集合的关系 二是用列举法 或 图
， ； （ Ｖｅｎｎ
法 表示各个集合 从元素 或图形 中寻找关系．
） ， （ ）
２．已知两集合间的关系求参数的取值范围时 关键是将两
，
集合间的关系转化为元素间的关系 进而转化为参数满足的关 答案 （ ）Ｂ （ ）Ｃ
， １ ２
系．解决这类问题时常常需要合理利用数轴 图帮助分析． 方法总结 集合的基本运算包括集合的交 并 补运算 解
、Ｖｅｎｎ 、 、 ，
经典例题教师用书 决此类运算问题一般应注意以下几点 一是看集合的表示方法
： ，
例 （２０２０ 湖 北 黄 冈 调 研 考 试， ２） 集 合 Ｍ 用列举法表示的集合 易用 图求解 用描述法表示的数集
＝ ， Ｖｅｎｎ ， ，
{ ｋ } { ｋ } 常借助数轴分析得出结果 二是对集合进行化简 有些集合是可
ｘ ｘ π π ｋ Ｚ Ｎ ｘ ｘ π π ｋ Ｚ 则集合Ｍ与Ｎ ， ，
＝ ＋ ， ∈ ， ＝ ＝ ＋ ， ∈ ， 以化简的 通过化简集合 可使问题变得简单明了 易于解决．
２ ４ ４ ２ ， ， ，
的关系为 经典例题教师用书
（ ）
解 Ａ． Ｍ 析 ＝ Ｎ Ｍ Ｂ． Ｍ ⫌ ＝ Ｎ { ｘ ｘ ＝ Ｃ ２ ． Ｍ ｋ π ⫋ ＋ Ｎ π，ｋ ∈ Ｚ Ｄ } ． ， Ｍ ∩ Ｎ Ｎ ＝⌀ ＝ 合 Ａ ＝ 例 ｛ ｘ ｜ｌ （ ｏ １ ｇ ） ２ ｘ （ ≤ ２０ ２ １ ｝ ８ ， Ｂ 江 ＝ 西 ｛ ｘ 南 ｜（ 昌 ｘ － 二 ３） 中 （ ｘ 第 ＋１ 四 ）≥ 次 ０ 模 ｝， 拟 则 ， （ １ ∁ ） Ｕ 设 Ｂ ） 全 ∩ 集 Ａ ＝ Ｕ （ ＝ Ｒ ， 集 ）
４ ４
{ （ｋ ） } Ａ．（－∞，－１］ Ｂ．（－∞，－１］∪（０，３）
ｘ ｘ ＋１ π π，ｋ Ｚ ，由于ｋ 能取所有的整数， ｋ只能
＝ ＋ ∈ ＋１ ２ Ｃ．［０，３） Ｄ．（０，３）
４ ４ 已知集合Ａ ｘ Ｒ ｘ 集合Ｂ ｘ Ｒ ｘ ｍ
取所有的偶数，而偶数是整数，但整数不一定是偶数，所以Ｍ （２） ＝｛ ∈ ｜｜ ＋２｜＜３｝， ＝｛ ∈ ｜（ － ）
⫋ ｘ 且Ａ Ｂ ｎ 则ｍ ｎ ．
Ｎ，故选 ． ·（ －２）＜０｝， ∩ ＝（－１， ）， ＝ ， ＝
Ｃ 解题导引
答案 Ｃ
{ } （１）
一 题 多 解 Ｍ …，π，３π，５π，７π，… ， Ｎ
＝ ＝
（２）
４ ４ ４ ４
{ } 解析 （ ）集合Ａ ｛ｘ ｘ ｝ ｛ｘ ｘ ｝，集合Ｂ ｛ｘ
…，π，π，３π， ，５π，… ，分析集合中的元素知，３π Ｍ且３π １ ＝ ｜ｌｏｇ２ ≤２ ＝ ｜０＜ ≤４ ＝
π ∈ （ｘ ）（ｘ ） ｝ ｛ｘ ｘ 或ｘ ｝．
４ ２ ４ ４ ４ ４ ｜ －３ ＋１ ≥０ ＝ ｜ ≥３ ≤－１
Ｎ，所以排除 ；又 Ｎ，但 Ｍ，所以排除 ， ，故选 ． 因为全集Ｕ Ｒ，所以 Ｂ ｛ｘ ｘ ｝，所以（ Ｂ） Ａ
∈ Ｄ π∈ π∉ Ａ Ｂ Ｃ ＝ ∁Ｕ ＝ ｜－１＜ ＜３ ∁Ｕ ∩ ＝
（ ， ），故选
考法二 集合运算问题的求解方法 ０ ３ Ｄ．
（ ）由 ｘ ，得 ｘ ，即 ｘ ，所以集合Ａ ｛ｘ
２ ｜ ＋２｜＜３ －３＜ ＋２＜３ －５＜ ＜１ ＝ ｜
例２
（１）
（２０１９湖南重点中学摸底联考，１）已知全集Ｕ
－５＜ ｘ ＜１ ｝，因为Ａ ∩ Ｂ ＝ （ －１ ，ｎ），所以 －１ 是方程（ｘ － ｍ）（ｘ －２ ） ＝０
Ｍ Ｎ 则集合 的根，由此可得 （ ｍ） ，所以ｍ ，解不等式（ｘ ）（ｘ ）
＝｛１，２，３，４，５，６，７｝， ＝｛３，４，５｝， ＝｛１，３，６｝， ｛２，７｝＝ ３ １＋ ＝０ ＝－１ ＋１ －２
得 ｘ ，所以Ｂ ｛ｘ ｘ ｝，所以Ａ Ｂ （ ， ），即ｎ
（ ） ＜０ －１＜ ＜２ ＝ ｜－１＜ ＜２ ∩ ＝ －１ １
Ａ． Ｍ ∩ Ｎ Ｂ．（∁Ｕ Ｍ ）∩（∁Ｕ Ｎ ） ＝１ ，所以ｍ ＝－１ ，ｎ ＝１ ．
Ｃ．（∁Ｕ Ｍ ）∪（∁Ｕ Ｎ ） Ｄ． Ｍ ∪ Ｎ 答案 （ ）Ｄ （ ） ；
（２０２０山东青岛５月二模，１）若全集Ｕ Ｒ 集合Ａ ｙ １ ２ －１ １
（２） ＝ ， ＝｛ 例 （２０１９江苏启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校
∈
Ｒ
｜
ｙ
＝
ｘ２
｝，
Ｂ
＝｛
ｘ
∈
Ｒ
｜
ｙ
＝ｌｏｇ３（
ｘ
－１）｝，
则Ａ
∩（∁Ｒ
Ｂ
）＝ （ ） 联考，１ ）已
（１
知
）
集合Ａ
＝｛１，２｝，
Ｂ
＝｛
ａ
，３｝
．若Ａ
∩
Ｂ
＝｛１｝，
则Ａ
∪
Ｂ
Ａ．（－∞，１］ Ｂ．［１，２］ Ｃ．［０，１］ Ｄ．［０，１） ．
解题导引 思路一 由已知集合分别求出 Ｍ Ｎ 再
＝
（１） ： ∁Ｕ ，∁Ｕ ， 已知集合Ａ ｘ ｘ２ ｘ Ｂ ａ 若Ａ Ｂ有 个
（２） ＝｛ ｜ －３ ＜０｝， ＝｛１， ｝， ∩ ４
验证选项． 子集 则实数ａ的取值范围是 ．
，
思路二 根据集合Ｕ Ｍ Ｎ的关系画出 图 从而确定结论． 设 ａ Ｒ 集合 Ａ ｘ ｘ ｘ ａ Ｂ
： ， ， Ｖｅｎｎ ， （３） ∈ ， ＝｛ ｜（ －１）·（ － ）≥０｝， ＝
先求出集合Ａ Ａ是函数ｙ ｘ２ 的值域 再求集合Ｂ Ｂ是 ｘ ｘ ａ 若Ａ Ｂ Ｒ 则ａ的取值范围为 ．
（２） ， ＝ ， ， ｛ ｜ ≥ －１｝， ∪ ＝ ，
函数ｙ ＝ｌｏｇ３（ ｘ －１） 的定义域 ， 明确集合中元素的属性 ， 最后求出 解析 （
１
）因为Ａ
∩
Ｂ
＝
｛
１
｝，所以ａ
＝１
，所以Ａ
∪
Ｂ
＝
｛
１
，
２
，
３
｝．
Ａ Ｂ ．
∩（∁Ｒ ） （ ）Ａ ｛ｘ ｘ ｝，要使Ａ Ｂ有 个子集，则Ａ Ｂ中应有
解析 （ １ ）解法一： ∵ Ｕ ＝ ｛ １ ， ２ ， ３ ， ４ ， ５ ， ６ ， ７ ｝，Ｍ ＝ ｛ ３ ， ４ ， ５ ｝，Ｎ 两个元 ２ 素， ＝ 因为 ｜０ Ｂ ＜ ＜ ｛ ３ ，ａ｝，所以 ∩ ａ （ ， ４ ），又ａ ，所 ∩ 以ａ的取
＝ １ ∈ ０ ３ ≠１
＝ ｛ １ ， ３ ， ６ ｝， ∴ ∁Ｕ Ｍ ＝ ｛ １ ， ２ ， ６ ， ７ ｝， ∁Ｕ Ｎ ＝ ｛ ２ ， ４ ， ５ ， ７ ｝，Ｍ ∩ Ｎ ＝ ｛ ３ ｝，Ｍ 值范围是（ ０ ， １ ） ∪ （ １ ， ３ ）．
∪ Ｎ ＝ ｛ １ ， ３ ， ４ ， ５ ， ６ ｝， ∴ （ ∁Ｕ Ｍ） ∩ （ ∁Ｕ Ｎ） ＝ ｛ ２ ， ７ ｝，（ ∁Ｕ Ｍ） ∪ （ ∁Ｕ Ｎ） （ ３ ）若ａ ＞１ ，则集合Ａ ＝ ｛ｘ ｜ ｘ ≥ ａ或ｘ ≤１ ｝，利用数轴可知，要
｛ ， ， ， ， ， ｝，故选 ． 使Ａ Ｂ Ｒ，需要ａ ，则 ａ ；若ａ ，则集合Ａ Ｒ，满足
＝ １ ２ ４ ５ ６ ７ Ｂ ∪ ＝ －１≤１ １＜ ≤２ ＝１ ＝
解法二：由集合Ｍ，Ｎ，Ｕ的关系画出 图（如图所示）． Ａ Ｂ Ｒ，故ａ 符合题意；若ａ ，则集合Ａ ｛ｘ ｘ ａ或ｘ
Ｖｅｎｎ ∪ ＝ ＝１ ＜１ ＝ ｜ ≤ ≥
｝，显然满足Ａ Ｂ Ｒ，故ａ 符合题意．综上所述，ａ的取值范
１ ∪ ＝ ＜１
围为（ ， ］．
－∞ ２
答案 （ ）｛ ， ， ｝ （ ）（ ， ） （ ， ） （ ）（ ， ］
１ １ ２ ３ ２ ０ １ ∪ １ ３ ３ －∞ ２
由图可知 ∁Ｕ （Ｍ ∪ Ｎ） ＝ （ ∁Ｕ Ｍ） ∩ （ ∁Ｕ Ｎ） ＝ ｛ ２ ， ７ ｝，故选 Ｂ ． 表示；集 方 合 法 中 技 的 巧 元 素 （ １ 若 ）集 是 合 连 中 续 的 的 元 实 素 数 若 ，则 是 用 离 数 散 轴 的 表 ，则 示 用 ，此 Ｖ 时 ｅｎ 要 ｎ 注 图
（ ）Ａ ｛ｙ ｙ ｘ２｝ ｛ｙ ｙ ｝，Ｂ ｛ｘ ｙ （ｘ ）｝ ｛ｘ ｘ
２ ＝ ｜ ＝ ＝ ｜ ≥０ ＝ ｜ ＝ｌｏｇ３ －１ ＝ ｜ － 意端点的情况．（ ）已知集合的运算结果求参数，要注意分类讨
１＞０ ｝ ＝ ｛ｘ ｜ ｘ ＞１ ｝，Ｕ ＝ Ｒ， ∴ ∁Ｒ Ｂ ＝ ｛ｘ ｜ ｘ ≤１ ｝， ∴ Ａ ∩ （ ∁Ｒ Ｂ） ＝ ［ ０ ， １ ］， 论思想的灵活应 ２ 用．
故选 ．
Ｃ
