文档文本内容
专
题
一
集
合
与
常
用
逻
辑
用
语
／
３
１．２ 常用逻辑用语
§
考点二 全称量词与存在量词
１．全称量词和存在量词
考点一 充分条件与必要条件
名称 常见量词 符号
１．充分条件与必要条件
全称量词 所有 一切 任意 全部 每一个等
若ｐ ｑ 则ｐ是ｑ的充分条件 ｑ是ｐ的 必要条件． 、 、 、 、 ∀
（１） ⇒ ， ， ③ 存在量词 存在一个 至少一个 有些 某些等
若ｐ ｑ 且ｑ ／ ｐ 则ｐ是ｑ的充分不必要条件． 、 、 、 ∃
（２） ⇒ ， ⇒ ，
若ｐ ／ ｑ 且ｑ ｐ 则ｐ是ｑ的必要不充分条件． ２．全称命题和特称命题
（３） ⇒ ， ⇒ ，
若ｐ ｑ 则ｐ与ｑ互为 充要条件 ． 名称 结构 符号表示
（４） ⇔ ， ④
若ｐ ／ ｑ 且ｑ ／ ｐ 则ｐ是ｑ的既不充分也不必要条件．
（５） ⇒ ， ⇒ ， 全称命题 对Ｍ中任意一个ｘ 有ｐ ｘ 成立 ｘ Ｍ，ｐ（ｘ）
２．充分条件与必要条件的两种判断方法 ， （ ） ⑨ ∀ ∈
特称命题 存在Ｍ中的一个ｘ 使ｐ ｘ 成立 ｘ Ｍ，ｐ（ｘ ）
集合法 Ａ ｘ ｐ ｘ ０， （ ０） ⑩ ∃ ０∈ ０
条件 定义法 ： ＝｛ ｜ （ ）｝，
Ｂ ｘ ｑ ｘ
３．全称命题和特称命题的否定
＝｛ ｜ （ ）｝
ｐ是ｑ的充分条件 ｐ ｑ Ａ Ｂ 命题 命题的否定
⇒ ⑤ ⊆
ｐ是ｑ的必要条件 ｑ ｐ Ａ Ｂ ｘ Ｍ ｐ ｘ ｘ Ｍ，¬ ｐ（ｘ ）
⇒ ⊇ ∀ ∈ ， （ ） ∃ ０∈ ０
ｐ是ｑ的充要条件 ｐ ⇒ ｑ且ｑ ⇒ ｐ Ａ ＝ Ｂ ∃ ｘ ０∈ Ｍ ， ｐ （ ｘ ０） ∀ ｘ ∈ Ｍ ， ¬ ｐ （ ｘ ）
ｐ是ｑ的充分不必要条件 ｐ ｑ且ｑ ／ ｐ Ａ Ｂ
⇒ ⇒ ⑥ ⫋ ４．全（特）称命题真假的判断方法
ｐ是ｑ的必要不充分条件 ｐ ／ ｑ且ｑ ｐ Ａ Ｂ
⇒ ⇒ ⫌ 全称命题 特称命题
ｐ是ｑ的既不充分
ｐ ／ ｑ且ｑ ／ ｐ Ａ Ｂ且Ａ Ｂ 真假 真 假 真 假
也不必要条件 ⇒ ⇒ ⊈ ⊉
证明所有对 存在一个对 存在一个 证明所有
方法一 象 使 命 题 象 使 命 题 对象使命 对象使命
为真 为假 题为真 题为假
方法二 否定为假 否定为真 否定为假 否定为真
（ ）解不等式ｘ２ ｘ ，得 ｘ ．解不等式 ｘ ，得 ｘ
２ －５ ＜０ ０＜ ＜５ ｜ －１｜＜１ ０＜
．设集合Ａ ｛ｘ ｘ ｝，Ｂ ｛ｘ ｘ ｝，充分性：当 ｘ 时，
＜２ ＝ ｜０＜ ＜５ ＝ ｜０＜ ＜２ ０＜ ＜５
ｘ 不一定成立，故充分性不成立；必要性：因为Ｂ Ａ，故必要
０＜ ＜２ ⫋
考法一 充分条件与必要条件的判断方法 性成立．综上，“ｘ２ ｘ ”是“ ｘ ”的必要而不充分条件．故
－５ ＜０ ｜ －１｜＜１
例１ （２０２０安徽黄山二模，６）若 ａ ｂ Ｒ 则 ａ 选 ．
（１） ， ∈ ， “ ＞１ Ｂ
且ｂ 是 ａｂ 且ａ ｂ 的 答案 （ ）Ａ （ ）Ｂ
＞１” “ ＞１ ＋ ≥２” （ ） １ ２
充分不必要条件 必要不充分条件 方法总结 判断充分 必要条件的常用方法
Ａ． Ｂ． 、 ：
充要条件 既不充分又不必要条件
Ｃ． Ｄ． １．定义法 直接判断 若ｐ 则ｑ 若ｑ 则ｐ 的真假
（２）
（２０１９天津，３，５分）设ｘ
∈
Ｒ
，
则
“
ｘ２
－５
ｘ
＜０”
是
“｜
ｘ
－１｜ ２．利用集合
：
间的包含
“
关系
，
判断
”
若
“
Ａ
，
Ｂ 则
”
Ａ是Ｂ的
；
充分条
的 ： ⊆ ，
＜１” （ ） 件或Ｂ是Ａ的必要条件 若Ａ Ｂ 则Ａ是Ｂ的充要条件．
充分而不必要条件 必要而不充分条件 ； ＝ ， Ａ． Ｂ． 经典例题教师用书
充要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ． 例 （２０１７江西红色七校二模，８）在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ均为锐
△ ， 、 解析 （ ）充分性：因为ａ 且ｂ ，所以根据同向正数不 角 则 Ａ Ｂ是 ＡＢＣ为钝角三角形的
１ ＞１ ＞１ ， ｃｏｓ ＞ｓｉｎ △ （ ）
等式相乘得ａｂ ，根据同向不等式相加得ａ ｂ ，即ａ ｂ 成 充分不必要条件 必要不充分条件
＞１ ＋ ＞２ ＋ ≥２ Ａ． Ｂ．
立，因此充分性成立； 充要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ．
必要性：当ａ ，ｂ 时满足ａｂ 且ａ ｂ ，但不满足ａ 解题导引 ＝１ ＝２ ＞１ ＋ ≥２ ＞１
且ｂ ，即必要性不成立，
＞１
从而“ａ 且ｂ ”是“ａｂ 且ａ ｂ ”的充分不必要条件，
＞１ ＞１ ＞１ ＋ ≥２
故选 ．
Ａ
A
版
高
考
数
学
／
４
由Ａ Ｂ为锐角及 Ａ 由Ａ＋Ｂ＋Ｃ 方法总结 解决与全称命题或特称命题有关的参数取值范
、 ｃｏｓ ＡＢＣ为钝
△
＞ Ｂ得Ａ＋Ｂ ＜ π → ＝ 得Ｃ ＞ π →角三角形 围问题 本质是恒成立问题或有解问题 最终转化为最值问题
ｓｉｎ π （ ， ）
２ ２ 结 的主要方法是分离变量法．在使用该方法时一定要明确在分离的
→论
由Ａ Ｂ为锐角及 ＡＢＣ 得Ａ＋Ｂ 过程中 把题目中所求范围的量放在一边 其余的放在另一边
、 △ 利用诱导公式得 ， ， ，
为钝角三角形得Ｃ ＞ π → ＜ π → Ａ ＞ Ｂ
一定要注意这种分离过程是不是恒等变形．
ｃｏｓ ｓｉｎ
２ ２ 经典例题教师用书
( )
解析 因为 Ａ Ｂ，所以 Ａ π Ｂ ， 例 给定命题ｐ 对任意实数ｘ都有ａｘ２ ａｘ 成立
ｃｏｓ ＞ｓｉｎ ｃｏｓ ＞ｃｏｓ － （１） ： ＋ ＋１＞０ ；
２ ｑ 关于ｘ的方程ｘ２ ｘ ａ 有实数根．如果ｐ ｑ为真命题 ｐ ｑ
： － ＋ ＝０ ∨ ， ∧
又因为角Ａ，Ｂ均为锐角，所以π Ｂ为锐角， 为假命题 那么实数ａ的取值范围为 ．
－ ，
２ （２０１８南通期中，３）若命题 ｔ Ｒ ｔ２ ｔ ａ 是假
又因为余弦函数ｙ ｘ在（ ， ）上单调递减， （２） “∃ ∈ ， －２ － ＜０”
＝ｃｏｓ ０ π 命题 则实数ａ的取值范围是 ．
，
所以Ａ
＜
π
－
Ｂ，所以Ａ
＋
Ｂ
＜
π， 解析 （
１
）“对任意实数ｘ都有ａｘ２
＋
ａｘ
＋１＞０
成立”
⇔
ａ
＝０
２ ２ {ａ ，
ＡＢＣ中，Ａ Ｂ Ｃ ，所以Ｃ π， 或 ＞０ ａ ．
△ ＋ ＋ ＝π ＞ Δ ，∴０≤ ＜４
２ ＜０
所以 ＡＢＣ为钝角三角形． “关于ｘ的方程ｘ２ ｘ ａ 有实数根” Δ ａ ， ａ
△ － ＋ ＝０ ⇔ ＝１－４ ≥０ ∴
若 ＡＢＣ为钝角三角形，角Ａ、Ｂ均为锐角，则Ｃ π， １ ．
△ ＞ ≤
２ ４
ｐ ｑ为真命题，ｐ ｑ为假命题，
所以Ａ Ｂ π，所以Ａ π Ｂ， ∵ ∨ ∧
＋ ＜ ＜ － ｐ，ｑ一真一假．
２ ２ ∴
( ) { ａ ，
所以 Ａ π Ｂ ，即 Ａ Ｂ． ０≤ ＜４
ｃｏｓ ＞ｃｏｓ － ｃｏｓ ＞ｓｉｎ 若ｐ真ｑ假，则有 １ ａ ；
２ ａ １ ， ∴ ＜ ＜４
故 Ａ Ｂ是 ＡＢＣ为钝角三角形的充要条件．故选 ． ＞ ４
ｃｏｓ ＞ｓｉｎ △ Ｃ ４
答案 Ｃ {ａ 或ａ ，
＜０ ≥４
若ｐ假ｑ真，则有 ａ ．
ａ １ ， ∴ ＜０
考法二 与全（特）称命题有关的参数的求解方法 ≤
４
( )
例２ 已知命题 ｘ Ｒ ｘ ａ 是真命题 则ａ的 故ａ的取值范围为（ ， ） １ ， ．
“∀ ∈ ，ｓｉｎ －２ ≥０” ， －∞ ０ ∪ ４
取值范围是 ． ４
（ ）因为命题“ ｔ Ｒ，ｔ２ ｔ ａ ”为假命题，所以命题“ ｔ
解析 因为“ ｘ Ｒ， ｘ ａ ”是真命题， ２ ∃∈ －２ － ＜０ ∀
∀ ∈ ｓｉｎ －２ ≥０ Ｒ，ｔ２ ｔ ａ ”为真命题，所以Δ （ ）２ （ ａ） ａ
( ) ∈ －２ － ≥０ ＝ －２ －４×１× － ＝ ４ ＋４
所以ａ ≤ １ ｓｉｎ ｘ ＝－ １ ， ≤０ ，解得ａ ≤－１ ． ( )
２ ( ｍｉｎ ２ ] 答案 （ ）（ ， ） １ ， （ ）（ ， ］
则ａ的取值范围是 ， １ ． １ －∞ ０ ∪ ４ ２ －∞ －１
－∞ － ４
２
( ]
答案 ， １
－∞ －
２
