北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1.2 常用逻辑用语
一、选择题
1 1 2
1.(2022届四川绵阳诊断一,6)“(a+1
)2
<
(3-2a)2
”是“-2<a<
3
”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
{
a+1≥0,
1 2
答案 A 因为函数y= x2的定义域为[0,+∞),且在[0,+∞)上单调递增,所以 3-2a≥0, 解得-1≤a<
3
,又
a+1<3-2a,
因为[ 2)⫋( 2),所以“(a+1 1<(3-2a 1”是“-2<a<2”的充分不必要条件.故选A.
-1, -2,
)2 )2
3 3 3
2.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,6)使函数f(x)= 的定义域为R的一个充分不必要条件是
√mx2+2x+2
( )
1 1 2 2
A.m≥ B.m≥ C.m≥ D.m≥
3 4 3 5
答案 C 由已知得mx2+2x+2≥0在R上恒成立,当m=0时,2x+2≥0在R上不恒成立;当m≠0时,则
{ m>0, 1 2
⇒m≥ ,结合选项可知,使函数f(x)的定义域为R的一个充分不必要条件是m≥ ,故选C.
Δ=4-8m≤0 2 3
3.(2021南昌二模,5)已知f(x)=ex-1,则“x+x=0”是“f(x)+f(x)=0”的(
)
1 2 1 2
ex+1
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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答案 C
f(x)=ex-1的定义域为R,且f(-x)=e-x-1=1-ex
=-f(x),即函数为奇函数.由x+x=0,即x=-x,可
1 2 1 2
ex+1 e-x+1 ex+1
得f(x)=f(-x)=-f(x),即f(x)+f(x)=0,则“x+x=0”是“f(x)+f(x)=0”的充要条件,故选C.
1 2 2 1 2 1 2 1 2
方法总结 1.函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.
2.掌握一些重要类型的奇偶函数:
①函数f(x)=ax+a-x为偶函数,函数f(x)=ax-a-x为奇函数;
②函数f(x)=ax-a-x =a2x-1为奇函数;
ax+a-x a2x+1
b-x
③函数f(x)=log 为奇函数(b≠0);
a b+x
④函数f(x)=log(x+ )为奇函数.(其中a>0,且a≠1)
a √x2+1
4.(2022届河南三市联考(二),3)若不等式ax2+bx+c>0的解集为( 1 ),则x2+bx+c<0成立的一个必要
- ,3
2 a a
不充分条件是( )
1 1
A.- <x<3 B.- <x<0
2 2
1
C.-3<x< D.-1<x<6
2
1 b
{- +3=- ,
答案 D 由题意可得a<0且 2 a 即b=-5,c=-3,∴不等式x2+bx+c<0即x2-5x-3<0,解得-
1 c a 2 a 2 a a 2 2
- ×3= ,
2 a
1 1 1 1 1
<x<3.对于选项A,- <x<3是- <x<3的充要条件,故选项A错误;对于选项B,- <x<0是- <x<3的充分不
2 2 2 2 2
1 1
必要条件,故选项B错误;对于选项C,-3<x< 是- <x<3的既不充分也不必要条件,故选项C错误;对于选项
2 2
1
D,-1<x<6是- <x<3的必要不充分条件,故选项D正确.故选D.
2
x2 y2
5.(2021河南洛阳统考,5)“0<m<2”是“方程 + =1表示椭圆”的( )
m 2-m
A.充分不必要条件
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B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
x2 y2 {
m>0,
答案 B 若方程 + =1表示椭圆,则满足 2-m>0,解得0<m<2且m≠1,所以“0<m<2”是“方
m 2-m
m≠2-m,
x2 y2
程 + =1表示椭圆”的必要不充分条件,故选B.
m 2-m
6.(多选)(2020山东济宁期末,9)下列命题中的真命题是( )
A.∀x∈R,2x-1>0
B.∀x∈N*,(x-1)2>0
C.∃x∈R,lg x<1
D.∃x∈R,tan x=2
ACD 对于A,∀x∈R,2x-1>0,根据指数函数值域可知选项A正确;
对于B,∀x∈N*,(x-1)2≥0,取x=1,此时(x-1)2=0,所以B错误;
对于C,当x=1时,计算lg x=0<1,故C正确;
对于D,y=tan x的值域为R,故D正确.故选ACD.
7.(2021届百师联盟一轮复习联考(二),9)下面命题正确的是( )
1
A.“a>1”是“ <1”的充分不必要条件
a
B.命题“若x<1,则x2<1”的否定是“存在x<1,使得x2≥1”
C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件
D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
1 1 1
答案 ABD 选项A,由a>1,能推出 <1,但是由 <1,不能推出a>1,例如当a<0时,符合 <1,但是不符合
a a a
a>1,选项A正确;
选项B,根据命题的否定的定义可知:命题“若x<1,则x2<1”的否定是“存在x<1,使得x2≥1”,选项B正确;
选项C,由x≥2且y≥2能推出x2+y2≥4,而由x2+y2≥4推不出x≥2且y≥2,选项C不正确;
选项D,因为b可以等于零,所以由a≠0不能推出ab≠0,而由ab≠0能推出a≠0,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不
充分条件,选项D正确.故选ABD.
二、填空题
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8.(2021黑龙江顶级名校开学测试,14)已知集合A={
y|y=x2-
3
x+1,x∈
[3
,2
]},B={x|x+m2≥1}.
2 4
若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则实数m的取值范围为 .
答案 ( 3]∪[3 )
-∞,- ,+∞
4 4
解析 y=x2-3x+1=( 3) 2 + 7 ,x∈[3 ],所以 7 ≤y≤2,即集合A={ 7 },由x+m2≥1得
x- ,2 y| ≤ y≤2
2 4 16 4 16 16
7 3
x≥1-m2,所以集合B={x|x≥1-m2},因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A⊆B,所以1-m2≤ ,解得m≥ 或
16 4
m≤-3,所以实数m的取值范围为( 3]∪[3 ).
-∞,- ,+∞
4 4 4
9.(2022届河北衡水第一中学调研一,16)若集合A={x|x>2},B={x|bx>1},其中b为实数.
(1)若A是B的充要条件,则b= ;
(2)若A是B的充分不必要条件,则b的取值范围是 .(答案不唯一,写出一个即可)
答案 (1)1 (2)(1 )(答案不唯一)
,+∞
2 2
1
解析 (1)由已知可得A=B,则x=2是方程bx=1的解,且b>0,∴b= .
2
(2)若不等式bx>1对任意的x>2恒成立,则b>1对任意的x>2恒成立,因为1∈( 1),则b≥1.满足A是B
0,
x x 2 2
的充分不必要条件,则b的取值范围可以是(1 )(答案不唯一).
,+∞
2
10.(2022届山西长治第八中学阶段测)已知命题p:x2-3ax+2a2<0,a<0;命题q:x2-x-6≤0或x2+2x-8>0.若p是q的
充分不必要条件,则实数a的取值范围是 .
答案 (-∞,-4]∪[-1,0)
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解析 由x2-3ax+2a2<0得(x-a)(x-2a)<0,又a<0,∴2a<x<a,记A={x|2a<x<a}.解不等式x2-x-6≤0得-2≤x≤3,解不等
式x2+2x-8>0得x<-4或x>2,记x2-x-6≤0或x2+2x-8>0的解集为B,则B={x|x<-4或x≥-2},因为p是q的充分不
{a<0, { a<0,
必要条件,则A⫋B,可得 或 故实数a的取值范围是(-∞,-4]∪[-1,0).
a≤-4 2a≥-2,
11.(2022届吉林10月月考,14)已知命题“∃x 0∈R,
x2
-ax
0
+a≤0”是假命题,则实数a的取值范围是 .
0
答案 (0,4)
解析 由已知可得,“∀x∈R,x2-ax+a>0”是真命题,则Δ=a2-4a<0,解得0<a<4.
12.(2022届豫北名校联考(二),14)若命题“∀a>0,长为1,2,a的三条线段不能构成三角形”是假命题,则实数a
的取值范围是 .
答案 (1,3)
{a>2-1,
解析 根据题意可知,命题“∃a>0,使得长为1,2,a的三条线段能构成三角形”是真命题,故 a<1+2,解得
a>0,
1<a<3,即实数a的取值范围为(1,3).
13.(2020乌鲁木齐重点中学联考,14)若命题“∃x 0∈R,使得k>
x2
+1成立”是假命题,则实数k的取值范围是
0
.
答案 (-∞,1]
解析 “∃x 0∈R,使得k> x2 +1成立”是假命题等价于“∀x∈R,都有k≤x2+1恒成立”是真命题.因为x2+1≥1,
0
所以x2+1的最小值为1,要使k≤x2+1恒成立,只需k≤(x2+1) ,即k≤1.
min
三、解答题
14.(2021江西宜春重点高中月考(一),17)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={x|x2+4mx-5m2<0}.
(1)若集合B={x|-5<x<1},求此时实数m的值;
(2)已知p:x∈A,q:x∈B,若p是q的充分条件,求实数m的取值范围.
解析 (1)∵B={x|x2+4mx-5m2<0}={x|-5<x<1},
∴方程x2+4mx-5m2=0的两实根分别为-5和1,
由根与系数的关系得{-5+1=-4m,
解得m=1.
-5×1=-5m2,
(2)A={x|x2-3x-4<0}={x|-1<x<4},由p是q的充分条件,得A⊆B.
当m=0时,B={x|x2<0}=⌀,此时A⊆B不成立;
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当m>0时,B={x|x2+4mx-5m2<0}={x|-5m<x<m},
{-5m≤-1,
∵A⊆B,∴ 解得m≥4;
m≥4,
当m<0时,B={x|x2+4mx-5m2<0}={x|m<x<-5m},
{ m≤-1,
∵A⊆B,∴ 解得m≤-1.
-5m≥4,
综上所述,实数m的取值范围是(-∞,-1]∪[4,+∞).
15.(2022届河南驻马店11月监测,17)设p:x满足-1<ax≤2,q:x满足x2-x-2<0.
(1)若∀x∈(0,1),p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
1 2
解析 (1)当x∈(0,1)时,由-1<ax≤2,得- <a≤ .
x x
1 1 2
因为x∈(0,1),所以 >1,从而- <-1, >2.
x x x
1 2
因为∀x∈(0,1),- <a≤ ,所以-1≤a≤2,
x x
故实数a的取值范围为[-1,2].
(2)设集合A={x|-1<ax≤2},B={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2},
因为p是q的必要不充分条件,所以A⊇B.
当a=0时,A=R,满足A⊇B.
1
{- ≤-1,
当a>0时,A={ | 1 2},所以 a 解得0<a≤1.
x - <x≤
a a 2
≥2,
a
2
{ ≤-1,
当a<0时,A={ |2 1},所以 a 解得-1≤a<0.
x ≤x<-
a a 1 2
- ≥2,
a
综上,实数a的取值范围为[ 1 ].
- ,1
2
16.(2022届郑州顶级名校联考(二),18)已知集合A是函数y=lg(20-8x-x2)的定义域,集合B是不等式x2-2x+1-
a2≥0(a>0)的解集,p:x∈A,q:x∈B.
(1)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围;
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(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解析 (1)由条件得A={x|-10<x<2},B={x|x≥1+a或x≤1-a}.
{
1+a≥2,
若A∩B=⌀,则 1-a≤-10,解得a≥11.
a>0,
所以a的取值范围为{a|a≥11}.
(2)易得p:x≥2或x≤-10,
∵p是q的充分不必要条件,∴{x|x≥2或x≤-10}⫋{x|x≥1+a或x≤1-a},
{
1+a≤2,
则 1-a≥-10,且等号不能同时成立,所以0<a≤1.
a>0,
∴实数a的取值范围为{a|0<a≤1}.
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