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1.2 逻辑用语与充分、必要条件（精练）（提升版）
题组一 充分、必要条件的判断
1．（2022·湖南湖南·二模）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为 是定义在 上的增函数，又 ，所以 ，解得 ，
因为由 可推出 ，而由 无法推出 ，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选：A.
2．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 且 ，可得 ，
所以 ，即 ，所以必要性成立；
当 时，可得 ，满足 ，
但 ，即充分性不成立，
所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件.故选：B.
3．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知函数 ，则“ ”是“函数 在 上
存在最小值”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
①当 时， 恒成立，所以 在 上存在最小值为0；
②当 时， ，可以看做是函数 ( )图像向左平移 个单位得到，所以 在
只有最大值，没有最小值；
③当 时， ，可以看做是函数 ( )图像向右平移 个单位得到，所以 若要在
单调递增，需要 ，即 .
综上所述：当 时， 在 上存在最小值，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件,
即“ ”是“函数f（x）在[1，＋∞）上存在最小值”的必要不充分条件.故选：B.
4．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）已知函数 ，则“函数
在 上单调递增”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要件
【答案】A
【解析】∵ ，∴ ，
由于函数f（x）在 上单调递增，∴ （ ）解得 ，（ ）故 只能取 ，即 ，
∴“函数f（x）在 上单调递增”是“ ”的充分不必要条件.故选：A.
5．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知三角形ABC，则“ ”是“三角形ABC为
钝角三角形”的（ ）条件.
A．充分而不必要 B．必要而不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】因为 ，故 ，
故 ，故 ，
故 ，而 为三角形内角，故 为钝角，
但若三角形ABC为钝角三角形，比如取 ，
此时 ，故 不成立，故选：A.
6．（2021·江苏·靖江高级中学高三阶段练习）已知数列 是等比数列， 是其前 项和，则“
成等差数列”是“ 成等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题题可得 ，
若 成等差数列，则 ，所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
解得 或 ，
当 时， ，则 ，
所以 不成等差数列，
当 时， ，则 成等差数列，
若 成等差数列，则 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 成等差数列，
所以“ 成等差数列”是“ 成等差数列”的必要不充分条件，
故选：B
7．（2021·全国·模拟预测）“ ”是“ 展开式中的常数项为7”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】∵ 的展开式的通项 ，所以 展开式中的常数项为 .
若 ，则 ，故充分性成立；反之，若常数项为7，则 ，解得 ，故必要性不成
立.
故“ ”是“ 展开式中的常数项为7”的充分不必要条件，故选：B.
8．（2021·浙江·模拟预测）已知数海小岛昨天没有下雨.则“某地昨天下雨”是“某地不是数海小岛”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为数海小岛昨天没有下雨.
所以“某地昨天下雨”推出“某地不是数海小岛”，
反之不一定成立，故“某地昨天下雨”是“某地不是数海小岛”的充分不必要条件，故选：A
9．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 时， ， 均为锐角， ，即 ，故 ，则
，则 ，必要性成立；
若 为锐角， 为钝角，则 ，但 ，充分性不成立.
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选：B
10．（2022·全国·高三专题练习）若数列 满足 则“ ”是“ 为等比数列”
的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】不妨设 ，则 为等比数列；故充分性成立
反之若 为等比数列，不妨设公比为 ， ，
当 时 ，所以必要性不成立故选：A．
题组二 充分、必要条件的选择
1．（2022·陕西）命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为命题“ ， ”是真命题，所以 ， 恒成立，所以 ，
结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是 故选：B
2．（2022·重庆·一模）已知 且 ，则函数 为奇函数的一个充分不必要条件是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若函数 为奇函数，由于函数 的定义域为R，
∴ ，∴ ,即 ,∴ ∴ ；
当 时， ，
即 为奇函数的充分必要条件是 或 ，
是 的非充分非必要条件； 是 的非充分非必要条件； 是 的充分不必要条
件；
故选：C.
3．（2022·安徽黄山·一模）命题： ， 为假命题的一个充分不必要条件是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 命题 ”为假命题，命题“ ， ”为真命题，
当 时， 成立，
当 时， ，故方程 的 解得： ，
故 的取值范围是： ，要满足题意，则选项是集合 真子集，故选项B满足题意.故选：B
4．（2021·贵州·一模（文））下列选项中，为“数列 是等差数列”的一个充分不必要条件的是
（ ）
A． B．
C．数列 的通项公式为 D．
【答案】C
【解析】对于A：数列 是等差数列 ，
∴A选项为“数列 是等差数列”的一个充要条件，故A错误；
对于B：易知B选项为“数列 是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C：∵ ，∴ ，∴ ，
∴数列 是等差数列，反之若 为等差数列，则 ，
此时 不一定为2，所以必要性不成立，
∴C选项为“数列 是等差数列”的一个充分不必要条件，故C正确；
对于D：若数列 是等差数列，则 ，
∴ 成立，反之当 ， ， ， 时，满足 ，
但 不是等差数列，
∴D选项为“数列 是等差数列”的一个必要不充分条件，故D错误．故选：C．
5．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学三模（文））已知 ， 是不同的直线， ， 是不同的平面，则
的一个充分条件是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【解析】对于A，由 ， ，可得 与 可能平行，可能垂直，可能相交不垂直，所以A错误，
对于B，由 ， ，可得 ，所以B正确，
对于C，由 ， ，可得 与 可能平行，可能垂直，可能相交不垂直， 可能在 内，所以C错
误，
对于D，由 ， ，可得 与 可能平行，可能垂直，可能相交不垂直，所以D错误，
故选：B
6．（2021·吉林·东北师大附中模拟预测（理））命题 ， 成立的一个充分不必要
条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】命题 ， 成立，
即 ， 成立，则 .
又 可以推出 ，反之， 推不出 ，所以 是命题 成立的一个充分不必要条件，
故选：D.
7．（2022·江西景德镇·模拟预测（理））已知命题：函数 ，
且关于x的不等式 的解集恰为（0，1），则该命题成立的必要非充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数 ，
故 ， ，
， ，
令 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，此时函数 是单调递增的，
所以 ，要使得 的解集恰为（0，1）恒成立，
且 、 则应满足在 为增函数，所以当 时， ，故
，此时， ，由选项可知，选项C和选项D无法由该结论推导，故排除，而选
项C， ，若 ，此时 与 矛盾，故不成立，所以该命题成立的必要非充分条件
为 .故选：A.
8．（2022·江西景德镇）已知命题：函数 ，且 在区
间 上恒成立，则该命题成立的充要条件为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ， ， ，
令 ，则 ，
∵ ，即
∴ 时， ，函数 在 上是增函数，
要使 在区间 上恒成立，又 ，
则应满足 在区间 上为增函数，
∴当 时， ，又函数 在 上是增函数，
∴ ，即 .故选：C.
9．（2022·河南·新乡县高中模拟预测）已知函数 和 的定义域均为 ，记 的最大值为 ，
的最大值为 ，则使得“ ”成立的充要条件为（ ）
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ，
【答案】C【解析】A选项表述的是 的最小值大于 的最大值；
B选项表述的是 的最小值大于 的最小值；
C选项表述的是 的最大值大于 的最大值成立的充要条件；
D选项是 成立的充分不必要条件．故选：C
10．（2021·安徽师范大学附属中学模拟预测）在 中， 、 是角 ， 所对的两条边．下列六个条
件中，是“ ”的充分必要条件的个数是（ ）．
① ； ② ； ③ ；
④ ； ⑤ ； ⑥ ．
A．5 B．6 C．3 D．4
【答案】A
【解析】依题意 ，
在三角形中，大角对大边，所以③ 正确.
由正弦定理得 ，即① 正确.
由于 , ，所以④ 正确.
故 ， ，⑤正确.
在区间 是减函数，所以② 正确.
当 时，⑥ 不成立，错误.所以充分必要条件的个数有 个.故选：A
11．（2021·浙江浙江·二模）“关于 的方程 有解”的一个必要不充分条件是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】关于 的方程 有解，等价于函数 与 的图象有公共点，函数 的图象是以原点为圆心，1为半径的上半圆，y=|x-m|的图象是以点(m，0)为端点，
斜率为 且在x轴上方的两条射线，如图：
y=x-m与半圆 相切时，点(m，0)在B处，
，y=-x+m与半圆 相切时，点(m，0)在A处， ，
当y=|x-m|的图象的顶点(m，0)在线段AB上移动时，两个函数图象均有公共点，
所以“关于 的方程 有解”的充要条件是 ，B不正确；
因 ， ，
即 是 的必要不充分条件，A正确；
， ，
即 是 的充分不必要条件，C不正确；
， ，
即 是 的不充分不必要条件，C不正确.
故选：A.
12．（2021·浙江·模拟预测）已知 ，则“对任意 ， 恒成立”的一个充分不必
要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由 ，得 ，
，令 ，则 ，则函数 在 上单调递增，
， ，
若对任意 ， 恒成立，则 ，由充分不必要条件的定义可知选项C符合，
故选：C
13．（2022·福建莆田·模拟预测）（多选）设 ， ，且 ，则“ ”的一个必要不充分
条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】由 ， 且 ，
A： 时， ，而 时存在
使 ，符合要求.
B： 时有 ，而 时存在 使 ，故推不出 ，
符合要求；
C： 时，存在 使 ，不符合要求；
D： 时，存在 使 ， 不符合要求；故选：AB
14．（2022·辽宁实验中学高三阶段练习）（多选）已知x，y均为正实数，则下列各式可成为“ ”的
充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD【解析】A：由 且 ，则 成立，反之 也有 成立，满足要求；
B：由 ，则 ，令 ，则 ，即 在定义
域上递增，故 ，不满足充分性，排除；
C：由 ，则 ，令 ，则 ，即 在定
义域上递增，故 ，反之 也有 成立，满足要求；
D：由 ，则 ，令 ，则 ， ，故在
上 ，在 上 ，
所以 在 上递减，在 上递增，则 ，
所以 在定义域上递增，故 ，反之 也有 成立，满足要求；
故选：ACD
题组三 根据充分、必要条件求参
1．（2021·吉林·高三阶段练习）设 ， ，若 是 的必要不充
分条件，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设， ， ，
∵ 是 的必要不充分条件，∴ ，解得 .故选：A
2．（2022·全国·模拟预测）已知命题 ，命题 ， ，若 是 成立的必要不
充分条件，则区间 可以为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】命题 ， ，则 ，
所以 ，解得 或 ，
又 是 成立的必要不充分条件，所以 ，
所以区间 可以为 ，
故选：B.
3．（2021·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（文））圆 与直线 有公共点的充要条件是
（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
【答案】A
【解析】若直线与圆有公共点，
则圆心 到直线 的距离 ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ 或 ，
∴圆 与直线 有公共点的充要条件是 或 ．
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习（理））设集合 ，若集合
， ，则 的充要条件是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】由题意，可得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，反之亦成立，
所以 的充要条件是 ．
故选：A．
5．（2022·四川）方程 至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【解析】当 时，方程为 有一个负实根 ，反之， 时，则 ，于是得 ；
当 时， ，
若 ，则 ，方程有两个不等实根 ， ，即 与 一正一负，
反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积 小于0， ，于是得 ，
若 ，由 ，即 知，方程有两个实根 ，必有 ，此时 与 都是负数，
反之，方程 两根 都为负，则 ，解得 ，于是得 ，
综上，当 时，方程 至少有一个负实根，反之，方程 至少有一个负实根，
必有 .所以方程 至少有一个负实根的充要条件是 .故选：C6．（2022·四川·成都七中高三开学考试（文））设命题 ，命题 ，
若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由 ，得 ，即 ，即 ，
由 ，得 ，解得： ，
若 是 的充分不必要条件，则 ，解得： ，故答案为：
7．（2022·青海西宁·高三期末（文））已知集合 ， ．若
“ ”是“ ”的充分条件，则实数 的取值范围为________．
【答案】
【解析】函数 的对称轴为 ，开口向上，所以函数 在 上递增，
当 时， ；当 时， .所以 . ，
由于“ ”是“ ”的充分条件，所以 ， ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 .故答案为：
题组四 命题真假的判断
1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列四个命题中，真命题是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，【答案】BC
【解析】 ，则 ，函数在 单调递减，在
上单调递增，故 ，故 恒成立，故A错误；
， ，故B正确； ， ，C正确； ， ，故D错误.故选：BC.
2．（2021·黑龙江实验中学高三阶段练习（文））已知下列命题：①若 ，则 ；②若 ，
，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 ；其中为真命题的个数是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①若 ，显然 不成立，错误；
②若 ， ，即 ，则 ，故 ，正确；
③若 ，即 ，则 ，正确；
④若 ，即 ，则 ，正确.故真命题有3个.故选：C
3．（2022·陕西）下列命题中，真命题的是（ ）
A．函数 的周期是 B．
C．函数 是奇函数. D． 的充要条件是
【答案】C
【解析】由于 ，所以函数 的周期不是 ，故选项A
是假命题；
当 时 ，故选项B是假命题；函数 的定义域 关于原点对称，且满足 ，故函数 是奇函数，即选项C
是真命题；
由 得 且 ，所以“ ”的必要不充分条件是“ ”，故选项D是假命题
故选：C
4．（2021·安徽）命题 ：数 ， ， 能成为等差数列的项（可以不是相邻项），命题 ：数2，5，7
能成为等比数列的项（可以不是相邻项），则命题 、 的真假情况是（ ）
A． 真、 真 B． 真、 假 C． 假、 真 D． 假、 假
【答案】B
【解析】因为 ，设等差数列的公差为 ，则 ，所以
，令 ，所以数 ， ， 能成为等差数列的项，故命题 为真命题；设等比数列的
公比为 ，则 ，则 ，所以 ，与 矛盾，
故命题 为假命题，故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．函数 有两个零点
B．“ ， ”的否定是“ ， ”
C．若 ，则
D．幂函数 在 上是减函数，则实数【答案】A
【解析】对于A，函数 ， ，当 得 ，当 得 ，
所以 在 是单调递增函数，在 是单调递减函数，所以 在 时有最小值，即
， ， ，所以 有两个零
点，正确；
对于B，“ ， ”的否定是 ， ，错误；
对于C， ，因为 ，所以 ，所以 ， ，错误；
对于D， 由已知得 ，无解，幂函数 在 上是减函数，则实
数 ，错误.故选：A
6．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 与 皆是定义域、值域均为R的函数，若对任
意 ， 恒成立，且 与 的反函数 、 均存在，命题P：
“对任意 ， 恒成立”，命题Q：“函数 的反函数一定存在”，以下关
于这两个命题的真假判断，正确的是（ ）
A．命题P真，命题Q真 B．命题P真，命题Q假
C．命题P假，命题Q真 D．命题P假，命题Q假
【答案】D
【解析】由题，可设，与 ，与
其反函数 ， 均存在，命题 ：对任意 ， 恒成立”由图象关于 直线对称可知 是错误的．
如图：
对命题 ：
可 设 ，
令 ，存在 ，根据反函数特征，若函数存在反函数，
则不能存在一个 值对应两个 的情况，说明 不存在反函数
故命题 假，命题 假故选：D．
7．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列命题是真命题的是（ ）
A． ，函数 的图象经过点
B． ，
C． ，
D． ，【答案】CD
【解析】对于A，因为幂函数图象不经过第四象限，所以函数 的图象不会经过点 ，故A
错误；对于B，设 ， ，则 ，所以
，当 时，该式有最大值 ，故B错误；对于C，当 时， 而
，所以 ，故C正确；对于D，因为 ，当 时， ，所以
，即 ，即 ，故D正确.
故选：CD.
8．（2021·湖南·模拟预测）（多选）已知数列 满足 ， ，则下列关于 的
判断中，错误的是（ ）
A． ， ，使得 B． ， ，使得
C． ， ，总有 D． ， ，总有
【答案】ABC
【解析】（1） ， 时， ， ，仅当 ，即 时成立
等号，故A错误；
（2）当 时，由（1）知， ， 不成立，当 时，由（1）知， ，，所以 ，故B错误；
（3）由（1）知， ，使得 ，故 ， 不成立，故C错误；
（4）同（3）分析，可知D正确．
故选：ABC
题组五 含有一个量词的求参
1．（2022·宁夏）已知命题“ ， ”是真命题，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． ） D．
【答案】D
【解析】由题意，命题“ ， ”是真命题故 ，
解得 或 .则实数 的取值范围是 故选：D.
2．（2021·山东临沂）若 ， ，则实数 的取值范围为___________.
【答案】
【解析】 ， ，则 ，由基本不等式可得 ，
当且仅当 即 时，等号成立，所以 ，
因此实数 的取值范围是 .故答案为： .
3．（2021·辽宁·模拟预测）已知命题“ ”是假命题，则实数a的取值范围是
________．【答案】
【解析】由题意知“ ”为真命题，所以 ，解得0＜a＜3．
故答案为： .
4．（2021·广东·石门中学模拟预测）若“ ”为假命题，则实数a的取值范围为
_____.
【答案】
【解析】因为“ ”为假命题，所以 恒成立，
即 在 恒成立，所以 且 ，
又因为 在 上是增函数，所以 ，所以 .故答案为： .
5．（2022·北京市）若命题 ， 是假命题，则实数 的一个值为_____________．
【答案】 （ 上任一数均可）
【解析】由题意 是真命题，所以 ，解得 ．
故答案为： （ 上任一数均可）．
6．（2021·广西·玉林市育才中学三模（文））若命题“ ，使得 成立”是假命题，则
实数 的取值范围是_________.
【答案】
【解析】若命题“ ，使得 成立”是假命题，
则有“ ，使得 成立”是真命题.即 ，则 ，又 ，当且仅当 时取等号，故 ．故答案为： .
