北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题一 集合与常用逻辑用语
1.1 集合
一、选择题
1.(2022届河北衡水第一中学调研一,1)下列各组集合表示同一集合的是( )
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
C.M={4,5},N={5,4}
D.M={1,2},N={(1,2)}
答案 C 对于A,M表示含点(3,2)的集合,N表示含点(2,3)的集合,故A不符合题意;对于B,M是点集,N=R
是数集,故B不符合题意;对于C,集合M、N均表示含有4,5两个元素的集合,故C符合题意;对于D,M是数
集,N是点集,故D不符合题意.故选C.
2.(2022届广西玉林育才中学10月月考,1)已知集合A={x|x2<4},B={x|logx<1},则( )
2
A.B⊆A B.A⊆B
C.A=B D.A∩B=∅
答案 A 化简得A={x|-2<x<2},B={x|0<x<2},所以B⊆A.故选A.
3.(2022届辽宁省实验中学期中,1)已知集合M⊆{3,4,7,8},且M中至多有一个偶数,则这样的集合共有( )
A.10个 B.11个 C.12个 D.13个
答案 C 易知集合{3,4,7,8}有24=16个子集,含有2个偶数的子集有{4,8},{3,4,8},{4,7,8},{3,4,7,8},共4个,
故所求集合个数为16-4=12个.故选C.
4.(2021江西九所重点中学3月联考,1)已知集合A={x∈N|1<x<log
2
k},集合A中至少有2个元素,则( )
A.k≥16 B.k>16 C.k≥8 D.k>8
答案 D 因为A中至少有2个元素,所以A中的元素一定有2,3,则logk>3,解得k>8,故选D.
2
5.(2022届兰州西北师大附中期中,1)已知全集U=R,集合A={
x|2x>
1},B={x|log
3
x<1},则A∩(∁U B)=( )
2
A.(-1,+∞) B.[3,+∞)
C.(-1,0)∪(3,+∞) D.(-1,0]∪[3,+∞)
答案 D 化简得A={x|x>-1},B={x|0<x<3},∴∁U B={x|x≤0或x≥3},则A∩(∁U B)={x|-1<x≤0或x≥3}.故选D.
6.(2022届黑龙江八校期中联考,2)已知集合A={x|1<x<2},集合B={x|x>m},若A∩(∁R B)=⌀,则m的取值范围为
( )
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A.(-∞,1] B.(-∞,2]
C.[1,+∞) D.[2,+∞)
答案 A 由题意得∁R B={x|x≤m},又A∩(∁R B)=⌀,借助数轴可得m≤1,故选A.
7.(2022届河南重点中学调研一,2)已知集合A={x|x2>3x},B={x|a-2<x<a},若B⊆A,则实数a的取值范围是(
)
A.(5,+∞) B.[2,3]
C.(-∞,0)∪(5,+∞) D.(-∞,0]∪[5,+∞)
答案 D 化简得A={x|x<0或x>3},又B={x|a-2<x<a},B⊆A,∴a≤0或a-2≥3,解得a≤0或a≥5,∴实数a的取值
范围是(-∞,0]∪[5,+∞),故选D.
8.(2022届江西新余第一中学二模,1)已知集合A={x|x2+3x-4=0},集合B={x|x2+(a+1)x-a-2=0},且A∪B=A,则实
数a的取值集合为( )
A.{-3,2} B.{-3,0,2}
C.{a|a≥-3} D.{a|a<-3或a=2}
答案 A 化简得A={-4,1},对于方程x2+(a+1)x-(a+2)=0,解得x
1
=-a-2,x
2
=1.因为A∪B=A,所以B⊆A.①当-
a-2=1,即a=-3时,B⊆A成立;②当-a-2≠1,即a≠-3时,因为B⊆A,所以-a-2=-4,解得a=2.
综上所述,a的取值集合为{-3,2}.故选A.
{ π π } π π
x|x=k· - ,k∈Z
9.(2021陕西西安中学二模,1)若集合M= 2 4 ,N= x x=k·4+2,k∈Z ,则(
)
A.M=N B.M⊆N
C.N⊆M D.M∩N=⌀
π π π π π π
答案 B x=k· - =(2k-1)· ,k∈Z时,2k-1能取遍所有奇数,x=k· + =(k+2)· ,k∈Z时,k+2能取遍所有
2 4 4 4 2 4
整数,因此M⊆N.故选B.
10.(2022届安徽安庆怀宁中学模拟,2)若集合A={
x|
2x-3
>0
},则∁R A=( )
x+4
A.{ 3} B.{ 3}
x|-4<x≤ x|-4≤x≤
2 2
C.{ 3} D.{ 3}
x|x<-4或x> x|x<-4或x≥
2 2
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答案 B 化简得A={ x|x<-4或x> 3},故∁R A= x -4≤x≤ 3 .
2 2
11.(2022届太原期中,1)已知集合A={x|(x-2)(x-3)≥0},B={x|x>a-1},若A∪B=R,则实数a的取值范围是( )
A.(3,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,2] D.(-∞,3]
答案 D 化简得,集合A={x|x≥3或x≤2},又B={x|x>a-1},A∪B=R,则a-1≤2,即a≤3,所以实数a的取值范围是
(-∞,3],故选D.
12.(2020百校联盟4月联考,2)已知集合A={2a-1,a2,0},B={1-a,a-5,9},且A∩B={9},则( )
A.A={9,25,0}
B.A={5,9,0}
C.A={-7,9,0}
D.A∪B={-7,9,0,25,-4}
答案 C 由已知可得a2=9或2a-1=9,∴a=±3或a=5.当a=3时,A={5,9,0},B={-2,-2,9},不满足集合中元素的互
异性,应舍去;当a=5时,A={9,25,0},B={-4,0,9},不满足题意,应舍去;当a=-3时,A={-7,9,0},B={4,-8,9},符合题意.
故选C.
二、填空题
13.(2020皖南八校联考二,13)已知集合A={x|x2-x-6=0},B={x|ax-1=0},若A∪B=A,则a= .
1 1
答案 0或- 或
2 3
解析 ∵A={-2,3},A∪B=A,∴B⊆A.若B=⌀,则a=0,符合题意;若B≠⌀,则B={1},∴1=-2或1=3,解得a=-1或
a a a 2
1 1 1
.综上可知,a=0或- 或 .
3 2 3
易错警示 因为不能正确理解B⊆A,所以忽略B=⌀,从而出现漏解的情况.
14.(2022届河南百校联盟10月联考,13)若集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则使A⊆B成立的所有实
数a的取值集合为 .
答案 {a|a≤9}
解析 若A为空集,则2a+1>3a-5,解得a<6,满足条件;若A为非空集合,则2a+1≤3a-5,解得a≥6①,又知A⊆B,所
{2a+1≥3,
以 解得1≤a≤9②,由①②得6≤a≤9.故使A⊆B成立的所有实数a的取值集合为{a|a≤9}.
3a-5≤22,
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15.(2021黑龙江顶级名校模考(一),13)已知集合A={x|1<2x≤16},B=(-∞,a),若A⊆B,则实数a的取值范围为
.
答案 (4,+∞)
解析 集合A={x|1<2x≤16}={x|0<x≤4},又知B=(-∞,a),在数轴上画出集合A与集合B,如图所示,若A⊆B,则
a>4,即实数a的取值范围为(4,+∞).
16.若集合M满足{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5},则集合M的个数为 .
答案 7
解析 解法一:集合M中必含有元素1,2,至少含有3,4,5中的一个,所以M={1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},
{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个.
解法二:三个集合中都含有元素1,2,三个集合的元素同时去掉1,2,设M去掉元素1,2后的集合为M,则问题
0
转化为求满足条件⌀⫋M 0⊆{3,4,5}的集合M
0
的个数,即求集合{3,4,5}的非空子集的个数,根据公式可得集合
M 的个数为23-1=7,则集合M的个数为7.
0
17.(2022届豫南九校摸底考试,14)已知集合A={2,6},C={x|ax2-x+6=0},若A与C有包含关系,则a的取值范围
为 .
答案 { a | a=0或a> 1 }
24
解析 由已知得,若A与C有包含关系,则只能是C⊆A,当C≠⌀时,若6∈C,则a=0,此时C={6},满足C⊆A;若
{1-24a<0, 1
2∈C,则4a+4=0,得a=-1,此时C={-3,2},A与C没有包含关系.当C=⌀时, 解得a> .综上,a的
a≠0, 24
取值范围为 { a | a=0或a> 1 }.
24
三、解答题
18.(2022届山西忻州月考(一),17)已知集合P={x∈R|x2-3x+b=0},Q={x∈R|(x+1)·(x2+3x-4)=0}.
(1)若b=4,存在集合M使得P⫋M⊆Q,求集合M;
(2)若P⊆Q,求实数b的取值范围.
解析 (1)由题意得,集合Q={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}={x∈R|(x+1)(x+4)(x-1)=0}={-1,1,-4},当b=4时,集合
P=⌀,∴由P⫋M⊆Q可得,M是Q的非空子集,共有23-1=7个,分别为{-1},{1},{-4},{-1,1},{-1,-4},{1,-4},{-1,1,-4}.
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9 9
(2)∵P⊆Q,∴对于方程x2-3x+b=0,当P=⌀时,Δ=9-4b<0,得b> .当P≠⌀时,Δ=9-4b≥0,即b≤ ,方程x2-3x+b=0有
4 4
两个实数根,且实数根是-1,1,-4中的数.
若-1是方程x2-3x+b=0的实数根,则b=-4,
此时P={-1,4},不满足P⊆Q,舍去.
若1是方程x2-3x+b=0的实数根,则b=2,
此时P={1,2},不满足P⊆Q,舍去.
若-4是方程x2-3x+b=0的实数根,则b=-28,此时P={-4,7},不满足P⊆Q,舍去.
综上所述,实数b的取值范围为 { b | b> 9}.
4
19.(2022届北京四中10月月考,16)已知集合A={ 2x-1 },集合B={x|-1≤x-a≤1,x∈R}.
x| <1,x∈R
x+1
(1)求集合A;
(2)若B∩(∁R A)=B,求实数a的取值范围.
2x-1 x-2
解析 (1)由 <1,得 <0,即(x-2)(x+1)<0,解得-1<x<2,∴A={x|-1<x<2}.
x+1 x+1
(2)由(1)得∁R A=(-∞,-1]∪[2,+∞).
因为-1≤x-a≤1,所以a-1≤x≤a+1,即B=[a-1,a+1],由B∩(∁R A)=B,得B⊆(∁R A),
所以a+1≤-1或a-1≥2,解得a≤-2或a≥3.
所以a的取值范围为(-∞,-2]∪[3,+∞).
20.(2022届北京大峪中学10月月考,16)已知函数f(x)=ln(-x2+2x+8)的定义域为集合A,集合B={x|x-a>0}.
(1)求集合A;
(2)设U=R,若A∩(∁U B)=⌀,求实数a的取值范围.
解析 (1)由题意得,-x2+2x+8>0,即x2-2x-8<0,解得-2<x<4,∴集合A={x|-2<x<4}.
(2)集合B={x|x-a>0}={x|x>a},∴∁U B={x|x≤a},
∵A∩(∁U B)=⌀,∴a≤-2,
∴实数a的取值范围是(-∞,-2].
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