文档内容
专题 01 集合的概念与运算
【考纲要求】
1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
一、集合的概念和表示
【思维导图】
【考点总结】一、集合的含义
1、元素与集合的概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
2、元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集
不属于 a A a不属于集合A
合A
∉
3、常用数集及表示符号
非负整数集
数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
(自然数集)
符号 N N*或N Z Q R
＋
二、集合的表示
(1)列举法：
①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法；
②形式：A＝{a，a，a，…，a}．
1 2 3 n
(2)描述法：
①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；
②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖
线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
二、集合间的基本关系
【思维导图】【考点总结】
一、子集的相关概念
(1)Venn图
①定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的
方法叫做图示法．
②适用范围：元素个数较少的集合．
③使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．
(2)子集、真子集、集合相等的概念
①子集的概念
文字语言 符号语言 图形语言
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，
A B(或
就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B
B A)
⊆
的子集
⊇
②集合相等
如果集合A是集合B的子集(A B)，且集合B是集合A的子集(B A)，此时，集合A与集合B中的元素
是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.
⊆ ⊆
③真子集的概念定义 符号表示 图形表示
如果集合A B，但存在元素x∈B，且
真子集 A B(或B A)
x A，称集合A是集合B的真子集
⊆
④空集 ∉
定义：不含任何元素的集合叫做空集．
用符号表示为：∅.
规定：空集是任何集合的子集．
二、集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，
⊆
①若A B，且B C，则A C；
②若A⊆ B且B ⊆C，则A⊆ C.
③若A B且A≠B，则A B.
三、集合的基本运算
【思维导图】
【考点总结】
一、并集、交集
1、并集
(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集．
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．(3)图形语言：如图所示．
2、交集
(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
(3)图形语言：如图所示．
二、补集及综合应用
补集的概念
(1)全集：
①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
②记法：全集通常记作U.
(2)补集
对于一个集合A，由全集U中 不属于集合 A 的所有元素
文字语言
组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 ∁U A
符号语言 A＝ { x | x ∈ U 且 x A }
U
∁ ∉
图形语言
【常用结论】
1．三种集合运用的性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
(2)交集的性质：A∩ ＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A⇔B.⊆
(3)补集的性质：A∪ ∅(
U
A)＝U；A∩(
U
A)＝∅；∁U (
U
A)＝A；⇔∁U (A⊆∩B)＝(
U
A)∪(
U
B)；∁U (A∪B)＝
( U A)∩( U B)． ∁ ∁ ∁ ∁ ∁
2．集合基本关系的四个结论
∁ ∁
(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．
(2)任何一个集合是它本身的子集，即A A.空集只有一个子集，即它本身．
(3)集合的子集和真子集具有传递性：若⊆A B，B C，则A C；若A B且B C，则A C.
(4)含有n个元素的集合有2n个子集，有2n ⊆－1个非⊆空子集， ⊆有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
【题型汇编】
题型一：集合的含义与表示
题型二：集合间的基本关系题型三：集合的基本运算
题型四：集合的新定义
【题型讲解】
题型一：集合的含义与表示
1．（2022·全国·高考真题（理））设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先写出集合 ,然后逐项验证即可
【详解】
由题知 ,对比选项知， 正确, 错误
故选:
2．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部的点构成的集合．
设集合 ，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出以 为球心，5为半径的球与底面 的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】设顶点 在底面上的投影为 ，连接 ，则 为三角形 的中心，
且 ，故 .
因为 ，故 ，
故 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，
而三角形 内切圆的圆心为 ，半径为 ，
故 的轨迹圆在三角形 内部，故其面积为
故选：B
3．（2022·全国·模拟预测（理））已知集合 ， ，则 中元素的
个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
由集合交集的概念及集合的描述求 且 中n的个数即可.
【详解】
由 且 可得： ，即 ，
所以 中的元素有6个.
故选：B4．（2022·全国·模拟预测（文））已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先用列举法表示集合 ，再根据交集的定义计算可得；
【详解】
解：因为 ，又 ，
所以 ；
故选：D
5．（2022·全国·一模（理））已知集合 ， ，则B中所含元
素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合B的形式，逐个验证 的值，从而可求出集合B中的元素.
【详解】
时， ，3，4，
时， ，3，
时， ，
时，无满足条件的 值；故共6个，
故选：D．
6．（2022·全国·模拟预测）若集合 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先解不等式求出集合A，再求出集合B，然后求两集合的交集即可
【详解】
解不等式 ，得 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
故选：C
7．（2022·天津·耀华中学一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的交运算即可求解.
【详解】
，所以
故选：A
8．（2022·山东潍坊·三模）已知集合 ， ，若 ， ，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别分析每个选项，举出反例以否定错误选项.
【详解】
对于选项A，当集合 时， ，故此选项错误；对于选项B，当集合 时， ，故此选项错误；
对于选项C，当集合 时， ，故此选项错误；
对于选项D，因为 ， ，且 ，所以 ，故此选项正确.
故选：D.
9．（2022·河北秦皇岛·三模）已知集合 中所含元素的个数为
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意利用列举法写出集合 ，即可得出答案.
【详解】
解：因为 ，
所以 中含6个元素．
故选：C.
10．（2022·山东济南·二模）已知集合 ， ， ，则C中元素的
个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出集合C的元素，可得答案.
【详解】
由题意，当 时， ，当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
即C中有三个元素，故选：C
11．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合 的一种运算： ，若
， ，则 中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合的新定义确定集合中的元素.
【详解】
因为 ， ， ，
所以 ，
故集合 中的元素个数为3，
故选：C.
12．（2022·安徽省舒城中学三模（理））已知集合 ，其中 为虚数单位，则下列元素
属于集合 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出集合 ，在利用复数的四则运算化简各选项中的复数，即可得出合适的选项.
【详解】
当 时， ， ， ， ，则 ，
， ，， ，
故选：B.
13．（2022·山东聊城·二模）已知集合 ， ，则集合 中元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
由列举法列出集合 的所有元素，即可判断；
【详解】
解：因为 ， ，所以 或 或 或 ，
故 ，即集合 中含有 个元素；
故选：C
14．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知集合 ，下列选项中均为A的元素的是（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据元素与集合的关系判断．
【详解】
集合 有两个元素： 和 ，
故选：B
15．（2022·四川达州·二模（文））已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用集合的交集运算求解.
【详解】
∵集合 ，
所以 .
故选：D.
16．（2022·宁夏·银川一中三模（理））下面五个式子中：① ；② ；③{a } {a，b}；④
；⑤a {b，c，a}；正确的有（ ）
A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤
【答案】A
【解析】
【分析】
根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.
【详解】
中， 是集合{a}中的一个元素， ，所以 错误；
空集是任一集合的子集，所以 正确；
是 的子集，所以 错误；
任何集合是其本身的子集，所以 正确；
a是 的元素，所以 正确.
故选：A.
17．（2022·广西柳州·三模（理））设集合 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合描述列举出集合元素，再应用集合的补运算求 .
【详解】
由题设， ， ，
所以 .
故选：C
18．（2022·湖南常德·一模）已知集合 ，若 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出集合A，B，再利用并集的定义计算作答.
【详解】
解不等式 得： ，于是得 ，
因 ，即 ，解得 ，则 ，
所以 .
故选：C
19．（2022·江西赣州·一模（理））设集合 ， .若 ，则实数
n的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C【解析】
【分析】
依据集合元素互异性排除选项AB；代入验证法去判断选项CD，即可求得实数n的值.
【详解】
依据集合元素互异性可知， ，排除选项AB；
当 时， ， ，
满足 .选项C判断正确；
当 时， ， ，
.选项D判断错误.
故选：C
20．（2022·山西·一模（文））已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合M的描述，判断集合N中元素与集合M的关系，再由集合的交运算求
【详解】
由题设， ， ，
所以 .
故选：A
二、多选题
1．（2021·江西·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A． B．集合 的真子集个数是4C．不等式 的解集是 D． 的解集是 或
【答案】AC
【解析】
【分析】
A. 利用集合相等判断；B.根据集合的真子集定义判断；C.利用一元二次不等式的解法判断；D.利用分式不
等式的解法判断.
【详解】
A. ，故正确；
B.集合 的真子集个数是3，故错误；
C.不等式 的解集是 ，故正确；
D. 的解集是 或 ，
故选：AC
2．（2021·全国·模拟预测）设集合 ，若 ， ， ，则运算
可能是（ ）
A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法
【答案】AC
【解析】
【分析】
先由题意设出 ， ，然后分别计算 ， ， ， ，即可得解.
【详解】
由题意可设 ， ，其中 ， ， ， ，
则 ， ，所以加法满足条件，A正确；，当 时， ，所以减法不满足条件，B错误；
， ，所以乘法满足条件，C正确； ，当
时， ，所以出发不满足条件，D错误.
故选：AC.
3．（2020·江苏省宜兴中学模拟预测）给定数集M，若对于任意a， ，有 ，且 ，
则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）
A．集合 为闭集合
B．正整数集是闭集合
C．集合 为闭集合
D．若集合 为闭集合，则 为闭集合
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据集合M为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．
【详解】
选项A：当集合 时， ，而 ，所以集合M不为闭集合，A选项错误；
选项B：设 是任意的两个正整数，则 ，当 时， 是负数，不属于正整数集，所以正
整数集不为闭集合，B选项错误；
选项C：当 时，设 ，
则 ，所以集合M是闭集合，C选项正确；
选项D：设 ，由C可知，集合 为闭集合，，而 ，故 不为闭集合，D选项错误．
故选：ABD．
4．（2022·河北·石家庄市第十五中学高一开学考试）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据题意先用列举法表示出集合B，然后直接判断即可.
【详解】
依题意集合B的元素为集合A的子集，
所以
所以 ， ，
所以AD错误，BC正确.
故选：BC
5．（2022·全国·高一开学考试）已知集合 ， ，若 ，则实数a的值可能是
（ ）
A．−1 B．1 C．−2 D．2
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由题意可得 ，从而可求出 的范围，进而可求得答案
【详解】
因为 ，所以 ， ，则 ，解得 .
故选：ABC
6．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高一开学考试）已知集合A= ，集合 ，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由已知可求得 ，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】
A= ， , .
,A正确， ，B错误， ,C正确， ，D正确.
故选：ACD
7．（2021·湖北省孝感市第一高级中学高一开学考试）下列说法中正确的为（ ）
A．集合 ，若集合 有且仅有2个子集，则 的值为
B．若一元二次不等式 的解集为 ，则 的取值范围为
C．设集合 ， ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
D．若正实数 ， ，满足 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据各选项中的命题的条件逐一分析、推理并判断作答.
【详解】
对于A，因集合 有且仅有2个子集，则集合 中只有一个元素，于是有
或 ，A不正确；
对于B，因一元二次不等式 的解集为 ，则 ，解得 ，B正确；
对于C，当 时， ，当 时， 或 ，则 或 ，所以“ ”是
“ ”的充分不必要条件，C正确；
对于D，因正实数 满足 ，则 ，
当且仅当 ，即 时取“=”，D正确.
故选：BCD
题型二：集合间的基本关系
1．（2021·全国·高考真题（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分析可得 ，由此可得出结论.
【详解】
任取 ，则 ，其中 ，所以， ，故 ，
因此， .
故选：C.
2．（2020·山东·高考真题）已知 ，若集合 ， ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】
当 时，集合 ， ，可得 ，满足充分性，
若 ，则 或 ，不满足必要性，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
3．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 的非空子集个数为
（ ）
A．15 B．14 C．7 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出 的元素，再求非空子集即可.
【详解】
因为 ，又 ，
所以 ，所以 的元素个数为 ，其非空子集有 个.
故选：C．
4．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知 ， ，则集合M、N
之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求集合M，解分式不等式求集合N，即可判断M、N之间的关系.
【详解】
由 ，由 等价于 ，可得 ，
所以 .
故选：C
5．（2022·全国·模拟预测（文））设 ，已知两个非空集合 ， 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用韦恩图，结合集合的交集和并集运算即可求解.
【详解】
根据题意，作出如下图韦恩图：
满足 ，即 .
故选：B.
6．（2022·全国·模拟预测（理））已知p：“ ”，q：“ ”，若p是q的必要不充分条件，
则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由p、q分别定义集合 和 ，用集合法求解.
【详解】由选项可判断出m≥0.
由q：“ ”可得： .
由p：“ ”可得： .
因为p是q的必要不充分条件，所以 A.
若m=0时， ， A不满足，舍去；
若m>0时， .
要使 A，只需m>1.
综上所述：实数m的取值范围是 .
故选：D
7．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ，则 的非空子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合 ，利用集合的非空子集个数公式可求得结果.
【详解】
，
即集合 含有 个元素，则 的非空子集有 （个）.
故选：B.
8．（2022·全国·模拟预测）设集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先由对数函数的单调性化简集合，再由集合知识判断即可.
【详解】A错误，B错误，C正确，D错误.
故选：C
9．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则下列结论一定正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由对数函数定义域、一元二次不等式的解法分别求得集合 ，进而得到结果.
【详解】
， ，
， ， .
故选：B.
10．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则集合B的子集的个数
是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合B，再根据子集的定义即可求解.
【详解】
依题意 ，所以集合B的子集的个数为 ，
故选：C.11．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合的包含关系，列出参数 的不等关系式，即可求得参数的取值范围.
【详解】
∵集合 ，且 ，∴ .
故选：C．
12．（2022·全国·模拟预测）已知 ，则 的子集的个数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
解指数不等式求集合B，根据集合的交补运算求 ，由所得集合中元素个数判断子集的个数.
【详解】
由 ，得： ，
∴ ，
∴其子集个数为 个.
故选：D.
13．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ，集合 ，则 的子集个数
为（ ）A．4 B．5 C．7 D．15
【答案】A
【解析】
【分析】
求出集合A、B，得到 ，再求出集合 的子集个数.
【详解】
.
所以 ，
所以 的子集个数为 .
故选：A
14．（2022·山东聊城·三模）设集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案⫋】A ⫋
【解析】
【分析】
先求出集合 ，再由真子集的定义即可求出答案.
【详解】
，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .
⫋
故选：A.
15．（2022·广东广州·三模）已知集合 ，则 的子集个数为（ ）
A．3 B． C．7 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】先求出 ，再按照子集个数公式求解即可.
【详解】
由题意得： ，则 的子集个数为 个.
故选：B.
二、多选题
1．（2021·河北衡水中学三模）已知集合 ， ，则下
列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 或 D．若 ，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求集合A，根据各选项中集合的关系，列不等式或方程求参数值或范围，判断A、B、C
的正误，已知参数，解一元二次不等式求集合B，应用交运算求 判断正误即可.
【详解】
由己知得： ，令
A：若 ，即 是方程 的两个根，则 ，得 ，正确；
B：若 ，则 ，解得 ，正确；
C：当 时， ，解得 或 ，正确；
D：当 时，有 ，所以 ，错误；
故选：ABC.
2．（2021·重庆·三模）已知全集U的两个非空真子集A，B满足 ，则下列关系一定正确的是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
采用特值法，可设 ， ， ，根据集合之间的基本关系，对选项 逐
项进行检验，即可得到结果.
【详解】
令 ， ， ，满足 ，但 ， ，故A，B均不正
确；
由 ，知 ，∴ ，∴ ，
由 ，知 ，∴ ，故C，D均正确.
故选：CD.
3．（2021·湖南·模拟预测）已知全集 ，集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． 的真子集个数是7
【答案】ACD
【解析】
【分析】
求出集合 ，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.
【详解】
， ，
，故A正确；，故B错误；
，所以 ，故C正确；
由 ，则 的真子集个数是 ，故D正确.
故选：ACD
4．（2021·广东湛江·二模）已知集合 ， ，则下列
命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 或 D．若 时，则 或
【答案】ABC
【解析】
【分析】
求出集合 ，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．
【详解】
，若 ，则 ，且 ，故A正确.
时， ，故D不正确.
若 ，则 且 ，解得 ，故B正确.
当 时， ，解得 或 ，故C正确.
故选：ABC．
题型三：集合的基运算
1．（2022·全国·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】
求出集合 后可求 .
【详解】
，故 ，
故选：B.
2．（2022·全国·高考真题（文））设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的交集运算即可解出．
【详解】
因为 ， ，所以 ．
故选：A.
3．（2022·浙江·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用并集的定义可得正确的选项.
【详解】
，
故选：D.
4．（2022·北京·高考真题）已知全集 ，集合 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】
由补集定义可知： 或 ，即 ，
故选：D．
5．（2022·全国·高考真题）若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出集合 后可求 .
【详解】
，故 ，
故选：D
6．（2022·全国·高考真题（文））集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为 ， ，所以 ．
故选：A.
7．（2022·全国·高考真题（理））设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】
由题意， ，所以 ,
所以 .
故选：D.
8．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简集合A、B，再去求 即可
【详解】
，，
则 .
故选：A.
9．（2022·全国·模拟预测）若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合的定义，先对集合进行化简，再利用交运算即可求解.
【详解】
由题意知 ， ，所以 ．
故选:B．
10．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
通过Venn图进行直观思考，避免繁琐的集合运算，通过图解即可得到答案．
【详解】
根据下面的Venn图：I区表示 ；
Ⅱ区表示 ；
Ⅲ区表示 ；
Ⅳ区表示 ．
由题，集合 对应于I区，Ⅱ区，Ⅳ区的并集，
所以Ⅲ区对应 ，从而Q对应Ⅱ区，Ⅲ区的并集，故 ．
故选：B
11．（2022·全国·模拟预测（文））如图，三个圆的内部区域分别代表集合 ， ， ，全集为 ，则图中
阴影部分的区域表示（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
找到每一个选项对应的区域即得解.
【详解】
解：如图所示，A. 对应的是区域1；
B. 对应的是区域2；
C. 对应的是区域3；
D. 对应的是区域4.
故选：B
12．（2022·全国·模拟预测）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由交集运算求解即可.
【详解】
因为 是非零自然数集，所以
故选：B
13．（2022·全国·二模（理））已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合 ，利用交集的定义可求得结果.
【详解】
因为 ，因此， .
故选：A.
14．（2022·全国·模拟预测（理））已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得集合A、B，再由集合的交集运算可得选项.
【详解】
因为 ， ，
所以 .
故选：C.
15．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对数的性质先求出集合 ，再求出集合 ，由集合的交集运算，即可求出结果.
【详解】
由题知，集合 ， ，所以 .
故选：B．二、多选题
1．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
在阴影部分区域内任取一个元素 ，分析 与集合 、 、 的关系，即可得出结论.
【详解】
在阴影部分区域内任取一个元素 ，则 或 ，
故阴影部分所表示的集合为 或 .
故选：AD.
2．（2022·江苏苏州·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．若A，B，C为任意集合，则
B．若 ， ， 为任意向量，则
C．若 ， ， 为任意复数，则
D．若A，B，C为任意事件，则
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据集合运算有结合律，可判断A；根据向量的数量积不满足结合律可判断B；根据复数的乘法运算满足
结合律可判断C；根据 可判断D.【详解】
对于A，集合运算有结合律，任意集合A，B，C都有 ，故A正确；
对于B，向量的数量积不满足结合律，即 故B错误；，
对于C，复数的乘法运算满足结合律，所以对任意复数 ， ， ，有 ，故C正
确；
对于D，若 ， ，故D错误.
故选：AC.
3．（2022·河北秦皇岛·三模）定义：不等式 的解集为 ，若 中只有唯一整数，则称 为“和谐
解集”．若关于 的不等式 在 上存在“和谐解集”，则实数 的可能取
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据定义解不等式，然后验证哪些选项符合要求.
【详解】
本题考查新定义与三角函数，考查推理论证能力与直观想象的核心素养．
不等式 可化为 ．
由函数 的图像，可知 只有一个整数解，这唯一整数解只能是 ，
因为点 是 图像上的点，所以 ．因为， ， ， .
故选：CD.
4．（2022·福建泉州·模拟预测）已知集合A，B均为R的子集，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据集合图逐一判断即可得到答案
【详解】
如图所示
根据图像可得 ,故A正确；由于 ，故B错误； ,故C错误
故选：AD
5．（2022·湖北武汉·二模）已知集合 ，若 ，则 的取值可以是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据并集的结果可得 ，即可得到 的取值；【详解】
解：因为 ，所以 ，所以 或 ；
故选：AB
题型四：集合的新定义
一、单选题
1．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）定义 ，设全集
，则 （ ）
A． 或 B． 或
C． D． 或
【答案】A
【解析】
【分析】
求出集合 ，利用定义 可得答案.
【详解】
或 ， ，
则 或 .
故选：A.
2．（2022·上海黄浦·模拟预测）若集合 ，其中 和 是不同的数字，则A中所有元
素的和为（ ）.
A．44 B．110 C．132 D．143
【答案】D【解析】
【分析】
由题意得 ，从而表示出 ，再由 ，得 的可能取值，从而得 和
的值，可确定 的值.
【详解】
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 可以为1，3，9，11，33，99，
所以 可以为
因为 和 是不同的数字，所以 可以为 ，
此时 ，所以A中所有元素的和为 ，
故选：D
【点睛】
求解本题的关键是理解 是循环节长度为两位的循环纯小数，从而得 ，进而代入集合A化简
计算.
3．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）设A是任意一个n元实数集合，令集合 ，
记集合B中的元素个数为 ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【解析】
【分析】
利用 排除选项D；利用 排除选项AC；举例验证选项B正确.
【详解】当集合A中的元素两两互质时， ．
所以对于选项D，当 时， ，故选项D错误．
当 时，若 ，其中 ，有 ，故 ．
对于选项A， ，故 ．故选项A错误．
对于选项C， ，则 .故选项C错误．
对于选项B， ，判断正确
（事实上，当 时，要使 最小， ，记 ，其中 ，当
时，有 ．）
故选：B
4．（2022·浙江温州·三模）设集合 ，定义：集合 ，
集合 ，集合 ，分别用 ， 表示集合S，T中元素的个数，
则下列结论可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对A、B：不妨设 ，可得 ，根据集合 的定义可
得Y中至少有以上5个元素，不妨设 ，则集合S中至少有7个元素，排除选项A，若 ，则集合Y中至多有6个元素，所以
，排除选项B；对C：对 ，则 与 一定成对出现，根据集合 的定义
可判断选项C；对D：取 ，则 ，根据集合 的定义可判断选项D.
【详解】
解：不妨设 ，则 的值为 ，
显然， ，所以集合Y中至少有以上5个元素，
不妨设 ，
则显然 ，则集合S中至少有7个元素，
所以 不可能，故排除A选项；
其次，若 ，则集合Y中至多有6个元素，则 ，故排除B项；
对于集合T，取 ，则 ，此时 ，
，故D项正确；
对于C选项而言， ，则 与 一定成对出现， ，所以 一定是偶数，
故C项错误.
故选：D.
5．（2022·河南·二模（文））已知： ， ，记 ，则
（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出集合 ，再按照给的定义计算 即可.
【详解】
由题意知： 或 ， ，故 .
故选：A.
6．（2022·北京房山·一模）已知U是非实数集，若非空集合A，A 满足以下三个条件，则称（A，A）为
1 2 1 2
集合U的一种真分拆，并规定（A，A）与（A，A）为集合U的同一种真分拆
1 2 2 1
①A∩A=0
1 2
②A A=U
1 2
③ 的元素个数不是 中的元素.
则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ）
A．5 B．6 C．10 D．15
【答案】A
【解析】
【分析】
由真分拆的定义及规定即可求解.
【详解】
解：由题意，集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆有 ；
； ； ； ，
共5种，
故选：A.7．（2022·贵州·模拟预测（理））定义集合 且 .已知集合 ，
， ，则 中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
首先要理解A-B的含义，然后按照集合交并补的运算规则即可.
【详解】
因为 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 .
故选：B.
8．（2022·贵州·模拟预测（文））定义集合 且 .已知集合 ， ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题中定义直接求解即可.
【详解】
因为 ， ，所以 ，
故选：C
9．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知集合 且 ，定义集合，若 ，给出下列说法：① ；② ；
③ ；其中所有正确序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】
【分析】
由集合的新定义结合 ，可得 ，由此即可求解
【详解】
因为集合 且 ，
若 ，
则 中也包含四个元素，即 ，
剩下的 ，
对于①：由 得 ，故①正确；
对于②：由 得 ，故②正确；
对于③：由 得 ，故③正确；
故选：D
10．（2022·辽宁·育明高中一模）已知有限集X，Y，定义集合 ，且 ， 表示集合
X中的元素个数.若 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
利用新定义及并集运算，即可得到结果.【详解】
∵
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A
11．（2022·山西省运城中学校模拟预测（文））定义集合运算： ，设
， ，则集合 的所有元素之和为（ ）
A．16 B．18 C．14 D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
由题设，列举法写出集合 ，根据所得集合，加总所有元素即可.
【详解】
由题设知： ，
∴所有元素之和 .
故选：A.
12．（2022·湖北·模拟预测）已知非空集合A，B满足以下两个条件：（1） ，
；（2）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素.则有序集合对 的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合中元素个数分类讨论．
【详解】中元素个数不能为0，否则 有4个元素，不合题意，
中元素个数不能为2，否则 中有一个含有元素2，且集合中元素个数为2，不合题意，
中元素个数只能是1或3，因此有 或 ．共2对．
故选：B．
13．（2022·天津·二模）定义 ，若 ， ，则A-B=（ ）
A．{9} B．{0，3，7}
C．{1，5} D．{0，1，3，5，7}
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用集合的新运算求解.
【详解】
因为 ，且 ， ，
所以A-B={0，3，7}，
故选：B
【点睛】
本题主要考查集合的运算，属于基础题.
14．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知集合
，则集合 的元素个数为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
由题意得 ,所以集合 共7个元素.故选
B.
二、多选题15．（2021·浙江金华第一中学高一开学考试）若非空集合G和G上的二元运算“ 满足：① ， ，
；② ，对 ， ；③ ，使 ， ，有 ；
④ ，b， ， ，则称 构成一个群下列选项对应的 构成一个群的是
（ ）
A．集合G为自然数集，“ ”为整数的加法运算
B．集合G为正有理数集，“ ”为有理数的乘法运算
C．集合G为整数集，“ ”为整数的加法运算
D．集合 ，“ ”为求两整数之和被7除的余数
【答案】BC
【解析】
【分析】
分别分析题中的四个条件的含义，然后对四个选项中进行逐一判断即可．
【详解】
解：由题意可知，条件①表述了“⊕”的封闭性，
条件②表述了“⊕”对于 有单位元 ，
条件③表述了“⊕”对于 有逆元，
条件④表述了“⊕”的结合律，
对于 ，自然数集中的加法是封闭的，有单位元0，但无逆元，不满足条件③，故选项A错误；
对于B，正有理数集中的乘法是封闭的，有单位元1，逆元1，满足结合律，故选项B正确；
对于C，整数集中的加法是封闭的，有单位元0，逆元0，满足结合律，故选项C正确；
对于D，集合 中对于“求两整数之和被7除的余数”不是封闭的，如 被 除的余
数为0， ，故选项D错误．
故选：BC．
16．（2021·河南·林州一中高一开学考试）若集合A具有以下性质：
（1）0∈A，1∈A；
（2）若x∈A，y∈A；则x﹣y∈A，且x≠0时， ∈A．
则称集合A是“好集”．下列命题中正确的是（ ）
A．集合B＝{﹣1，0，1}是“好集”B．有理数集Q是“好集”
C．整数集Z不是“好集”
D．设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x+y∈A
【答案】BCD
【解析】
【分析】
逐一判断给定的3个集合，是否满足“好集”的定义，最后综合讨论结果，可得答案．
【详解】
解：对于 ，假设集合 是“好集”，因为 ， ，所以 ，这与 矛盾，所以集
合 不是“好集”．故 错误；
对于 ，因为 ， ，且对任意的 ， 有 ，且 时， ，所以有理数集 是
“好集”，故 正确；
对于 ，因为 ，但 ，所以整数集 不是“好集”．故 正确；
因为集合 是“好集”，所以 ，又 ，所以 ，即 ，又 ，所以 ，即
，故 正确．
故选： ．
17．（2021·广东·深圳第二外国语学校高一开学考试）若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；
②若 ，则xy， ，且当 时， ，则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是
（ ）
A．整数集是“紧密集合”
B．实数集是“紧密集合”
C．“紧密集合”可以是有限集
D．若集合A是“紧密集合”，且x， ，则
【答案】BC
【解析】
根据“紧密集合”具有的性质逐一排除即可.
【详解】A选项：若 ， ，而 ，故整数集不是“紧密集合”，A错误；
B选项：根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B正确；
C选项：集合 是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确；
D选项：集合 是“紧密集合”，当 ， 时， ，D错误．
故选：BC.
【点睛】
新定义题目的关键在于正确理解定义，从题意入手.
三、填空题
18．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知集合 ， 设
整除 或 整除 ， 令 表示集合 所含元素的个数， 则
_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据 的定义进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
表示集合 所含元素的个数，
其中 ， ，
整除 的有 共 个.
整除 的：
（1） 整除 的有 个；
（2） 整除 的有 个；（3） 整除 的有 个.
重复的有 共 个.
所以 .
故答案为：
19．（2022·上海·模拟预测）对于复数a、b、c、d，若集合 具有性质“对任意 ，必有
”，则当 时， _________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得 ， ，结合题意分类讨论确定集合 ．
【详解】
∵ ，则 ，即 ，则
若 ，则取 ，则
若 ，则取 ，则 ，
经检验 满足题意
∴
故答案为： ．
三、解答题
20．（2022·北京丰台·二模）设 ， ，…， ， ，是
个互不相同的闭区间，若存在实数 使得 ，则称这 个闭区间为聚合
区间， 为该聚合区间的聚合点．
(1)已知 ， 为聚合区间，求t的值；
(2)已知 ， ，…， ， 为聚合区间．（ⅰ）设 ， 是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k， ，使得
；
（ⅱ）若对任意p，q（ 且p， ），都有 ， 互不包含．求证：存在不同的i，
，使得 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得当且仅当 时成立即可得 ；
（2）（ⅰ）设 ，根据区间端点的大小关系证明所有区间都包含 即可；
（ⅱ）先分析可得 个互不相同的集合的区间端点的大小关系，再设 ，再根据区间端点的
最小距离为 ，累加即可证明
(1)
0t
由 可得 ，又 ， 为聚合区间，由定义可得 ，故当且仅当 时成立，故
(2)
（ⅰ）由 ， 是该聚合区间的两个不同的聚合点，不妨设 ，因为 ，故
，又 ，故 ，不妨设 中的最大值为 ，
中最小值为 ，则 ，即 ，故存在区间
（ⅱ）若存在 则 或 ，与已知条件矛盾
不妨设 ，则
否则，若 ，则 ，与已知条件矛盾
取 ，设
当 时， ，
又 ，所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，
此时取 ，则 ，
当 时，同理可取 ，使得 ，
综上，存在不同的i， ，使得
【点睛】
本题主要考查了新定义的集合类证明，可根据题意先画数轴分析题目中区间的关系，再凑出所需证明的不
等式即可,属于难题
