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专题 01 集合的概念与运算
【考纲要求】
1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
一、集合的概念和表示
【思维导图】
【考点总结】一、集合的含义
1、元素与集合的概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
2、元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集
不属于 a A a不属于集合A
合A
∉
3、常用数集及表示符号
非负整数集
数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
(自然数集)
符号 N N*或N Z Q R
＋
二、集合的表示
(1)列举法：
①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法；
②形式：A＝{a，a，a，…，a}．
1 2 3 n
(2)描述法：
①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；
②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖
线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
二、集合间的基本关系
【思维导图】【考点总结】
一、子集的相关概念
(1)Venn图
①定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的
方法叫做图示法．
②适用范围：元素个数较少的集合．
③使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．
(2)子集、真子集、集合相等的概念
①子集的概念
文字语言 符号语言 图形语言
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，
A B(或
就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B
B A)
⊆
的子集
⊇
②集合相等
如果集合A是集合B的子集(A B)，且集合B是集合A的子集(B A)，此时，集合A与集合B中的元素
是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.
⊆ ⊆
③真子集的概念定义 符号表示 图形表示
如果集合A B，但存在元素x∈B，且
真子集 A B(或B A)
x A，称集合A是集合B的真子集
⊆
④空集 ∉
定义：不含任何元素的集合叫做空集．
用符号表示为：∅.
规定：空集是任何集合的子集．
二、集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，
⊆
①若A B，且B C，则A C；
②若A⊆ B且B ⊆C，则A⊆ C.
③若A B且A≠B，则A B.
三、集合的基本运算
【思维导图】
【考点总结】
一、并集、交集
1、并集
(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集．
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．(3)图形语言：如图所示．
2、交集
(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
(3)图形语言：如图所示．
二、补集及综合应用
补集的概念
(1)全集：
①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
②记法：全集通常记作U.
(2)补集
对于一个集合A，由全集U中 不属于集合 A 的所有元素
文字语言
组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 ∁U A
符号语言 A＝ { x | x ∈ U 且 x A }
U
∁ ∉
图形语言
【常用结论】
1．三种集合运用的性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
(2)交集的性质：A∩ ＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A⇔B.⊆
(3)补集的性质：A∪ ∅(
U
A)＝U；A∩(
U
A)＝∅；∁U (
U
A)＝A；⇔∁U (A⊆∩B)＝(
U
A)∪(
U
B)；∁U (A∪B)＝
( U A)∩( U B)． ∁ ∁ ∁ ∁ ∁
2．集合基本关系的四个结论
∁ ∁
(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．
(2)任何一个集合是它本身的子集，即A A.空集只有一个子集，即它本身．
(3)集合的子集和真子集具有传递性：若⊆A B，B C，则A C；若若A B且B C，则A C.
(4)含有n个元素的集合有2n个子集，有2n ⊆－1个非⊆空子集， ⊆有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
【题型汇编】
题型一：集合的含义与表示
题型二：集合间的基本关系题型三：集合的基本运算
题型四：集合的新定义
【题型讲解】
题型一：集合的含义与表示
1．（2022·全国·高考真题（理））设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部的点构成的集合．
设集合 ，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·模拟预测（理））已知集合 ， ，则 中元素的
个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2022·全国·模拟预测（文））已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·一模（理））已知集合 ， ，则B中所含元
素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．（2022·全国·模拟预测）若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022·天津·耀华中学一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．8．（2022·山东潍坊·三模）已知集合 ， ，若 ， ，则一定有（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·河北秦皇岛·三模）已知集合 中所含元素的个数为
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（2022·山东济南·二模）已知集合 ， ， ，则C中元素的
个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合 的一种运算： ，若
， ，则 中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·安徽省舒城中学三模（理））已知集合 ，其中 为虚数单位，则下列元素
属于集合 的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022·山东聊城·二模）已知集合 ， ，则集合 中元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
14．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知集合 ，下列选项中均为A的元素的是（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
15．（2022·四川达州·二模（文））已知集合 ，则 （ ）A． B． C． D．
16．（2022·宁夏·银川一中三模（理））下面五个式子中：① ；② ；③{a } {a，b}；④
；⑤a {b，c，a}；正确的有（ ）
A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤
17．（2022·广西柳州·三模（理））设集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·湖南常德·一模）已知集合 ，若 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
19．（2022·江西赣州·一模（理））设集合 ， .若 ，则实数
n的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
20．（2022·山西·一模（文））已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
1．（2021·江西·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A． B．集合 的真子集个数是4C．不等式 的解集是 D． 的解集是 或
2．（2021·全国·模拟预测）设集合 ，若 ， ， ，则运算
可能是（ ）
A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法
3．（2020·江苏省宜兴中学模拟预测）给定数集M，若对于任意a， ，有 ，且 ，
则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）
A．集合 为闭集合
B．正整数集是闭集合
C．集合 为闭集合
D．若集合 为闭集合，则 为闭集合
4．（2022·河北·石家庄市第十五中学高一开学考试）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高一开学考试）已知集合 ， ，若 ，则实数a的值可能是
（ ）
A．−1 B．1 C．−2 D．2
6．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高一开学考试）已知集合A= ，集合 ，
则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·湖北省孝感市第一高级中学高一开学考试）下列说法中正确的为（ ）
A．集合 ，若集合 有且仅有2个子集，则 的值为
B．若一元二次不等式 的解集为 ，则 的取值范围为
C．设集合 ， ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件D．若正实数 ， ，满足 ，则
题型二：集合间的基本关系
1．（2021·全国·高考真题（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山东·高考真题）已知 ，若集合 ， ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 的非空子集个数为
（ ）
A．15 B．14 C．7 D．6
4．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知 ， ，则集合M、N
之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·模拟预测（文））设 ，已知两个非空集合 ， 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·模拟预测（理））已知p：“ ”，q：“ ”，若p是q的必要不充分条件，
则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．7．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ，则 的非空子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·模拟预测）设集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则下列结论一定正确的是
（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则集合B的子集的个数
是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
11．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·全国·模拟预测）已知 ，则 的子集的个数为
（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ，集合 ，则 的子集个数
为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．15
14．（2022·山东聊城·三模）设集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
⫋ ⫋15．（2022·广东广州·三模）已知集合 ，则 的子集个数为（ ）
A．3 B． C．7 D．8
二、多选题
1．（2021·河北衡水中学三模）已知集合 ， ，则下
列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 或 D．若 ，则
2．（2021·重庆·三模）已知全集U的两个非空真子集A，B满足 ，则下列关系一定正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·湖南·模拟预测）已知全集 ，集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． 的真子集个数是7
4．（2021·广东湛江·二模）已知集合 ， ，则下列
命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 或 D．若 时，则 或
题型三：集合的基本运算
1．（2022·全国·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．2．（2022·全国·高考真题（文））设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京·高考真题）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高考真题）若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高考真题（文））集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高考真题（理））设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·模拟预测）若集合 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
10．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·模拟预测（文））如图，三个圆的内部区域分别代表集合 ， ， ，全集为 ，则图中
阴影部分的区域表示（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·全国·模拟预测）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国·二模（理））已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
14．（2022·全国·模拟预测（理））已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
15．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．C． D．
二、多选题
1．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江苏苏州·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．若A，B，C为任意集合，则
B．若 ， ， 为任意向量，则
C．若 ， ， 为任意复数，则
D．若A，B，C为任意事件，则
3．（2022·河北秦皇岛·三模）定义：不等式 的解集为 ，若 中只有唯一整数，则称 为“和谐
解集”．若关于 的不等式 在 上存在“和谐解集”，则实数 的可能取
值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·福建泉州·模拟预测）已知集合A，B均为R的子集，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．5．（2022·湖北武汉·二模）已知集合 ，若 ，则 的取值可以是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型四：集合的新定义
一、单选题
1．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）定义 ，设全集
，则 （ ）
A． 或 B． 或
C． D． 或
2．（2022·上海黄浦·模拟预测）若集合 ，其中 和 是不同的数字，则A中所有元
素的和为（ ）.
A．44 B．110 C．132 D．143
3．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）设A是任意一个n元实数集合，令集合 ，
记集合B中的元素个数为 ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．（2022·浙江温州·三模）设集合 ，定义：集合 ，集合 ，集合 ，分别用 ， 表示集合S，T中元素的个数，
则下列结论可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南·二模（文））已知： ， ，记 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·北京房山·一模）已知U是非实数集，若非空集合A，A 满足以下三个条件，则称（A，A）为
1 2 1 2
集合U的一种真分拆，并规定（A，A）与（A，A）为集合U的同一种真分拆
1 2 2 1
①A∩A=0
1 2
②A A=U
1 2
③ 的元素个数不是 中的元素.
则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ）
A．5 B．6 C．10 D．15
7．（2022·贵州·模拟预测（理））定义集合 且 .已知集合 ，
， ，则 中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2022·贵州·模拟预测（文））定义集合 且 .已知集合 ， ，
则 （ ）
A． B．
C． D．9．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知集合 且 ，定义集合
，若 ，给出下列说法：① ；② ；
③ ；其中所有正确序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．（2022·辽宁·育明高中一模）已知有限集X，Y，定义集合 ，且 ， 表示集合
X中的元素个数.若 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（2022·山西省运城中学校模拟预测（文））定义集合运算： ，设
， ，则集合 的所有元素之和为（ ）
A．16 B．18 C．14 D．8
12．（2022·湖北·模拟预测）已知非空集合A，B满足以下两个条件：（1） ，
；（2）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素.则有序集合对 的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2022·天津·二模）定义 ，若 ， ，则A-B=（ ）
A．{9} B．{0，3，7}
C．{1，5} D．{0，1，3，5，7}
14．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知集合
，则集合 的元素个数为
A． B． C． D．
二、多选题15．（2021·浙江金华第一中学高一开学考试）若非空集合G和G上的二元运算“ 满足：① ， ，
；② ，对 ， ；③ ，使 ， ，有 ；
④ ，b， ， ，则称 构成一个群下列选项对应的 构成一个群的是
（ ）
A．集合G为自然数集，“ ”为整数的加法运算
B．集合G为正有理数集，“ ”为有理数的乘法运算
C．集合G为整数集，“ ”为整数的加法运算
D．集合 ，“ ”为求两整数之和被7除的余数
16．（2021·河南·林州一中高一开学考试）若集合A具有以下性质：
（1）0∈A，1∈A；
（2）若x∈A，y∈A；则x﹣y∈A，且x≠0时， ∈A．
则称集合A是“好集”．下列命题中正确的是（ ）
A．集合B＝{﹣1，0，1}是“好集”
B．有理数集Q是“好集”
C．整数集Z不是“好集”
D．设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x+y∈A
17．（2021·广东·深圳第二外国语学校高一开学考试）若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；
②若 ，则xy， ，且当 时， ，则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是
（ ）
A．整数集是“紧密集合”
B．实数集是“紧密集合”
C．“紧密集合”可以是有限集
D．若集合A是“紧密集合”，且x， ，则
二、填空题
15．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知集合 ， 设整除 或 整除 ， 令 表示集合 所含元素的个数， 则
_____.
16．（2022·上海·模拟预测）对于复数a、b、c、d，若集合 具有性质“对任意 ，必有
”，则当 时， _________．
三、解答题
17．（2022·北京丰台·二模）设 ， ，…， ， ，是
个互不相同的闭区间，若存在实数 使得 ，则称这 个闭区间为聚合
区间， 为该聚合区间的聚合点．
(1)已知 ， 为聚合区间，求t的值；
(2)已知 ， ，…， ， 为聚合区间．
（ⅰ）设 ， 是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k， ，使得
；
（ⅱ）若对任意p，q（ 且p， ），都有 ， 互不包含．求证：存在不同的i，
，使得 ．
