文档内容
专题 02 常用逻辑用语
【考纲要求】
1．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否
一、充分条件与必要条件
【思维导图】
【考点总结】
一、充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p q，
并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件. ⇒
(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同.p是q的充分条件只反映
了p q，与q能否推出p没有任何关系.
(2)注⇒意以下等价的表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；
⑤p的必要条件是q. ⇒
(3)“若p，则q”为假命题时，记作“p q”，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件 p不是q的充分条件
⇒ ⇒q是p的必要条件
q不是p的必要条件
二、全称量词与存在量词
【思维导图】
【考点总结】
一、全称量词与全称量词命题
1.短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.
2.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
3.全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为: x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有
p(x)成立”.
∀
4.全称量词命题的真假判断:要判断一个全称量词命题量词是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验
x x
证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个 0∈M,使得p( 0)不成立即可.二、存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.
(2)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
x x x x
(3)存在量词命题的表述形式:存在M中的一个 0,使p( 0)成立,可简记为: 0∈M,p( 0),读作“存在M中的
x x
元素 0,使p( 0)成立”. ∃
x
(4)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个 0,使得
x
命题p( 0)成立即可;否则这一命题就是假命题.
三、全称量词命题与存在量词命题的否定
（1）全称量词命题 的否定 为 ， .
（2）存在量词命题 的否定 为 .
【常用结论】
从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件，必
要条件又可以叙述为：
(1)若A B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊆B，则p是q的必要条件；
(3)若A⊇＝B，则p是q的充要条件；
【易错总结】
(1)命题的条件与结论不明确；
(2)含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况；
(3)对充分必要条件判断错误．
【题型汇编】
题型一：充分条件与必要条件
题型二：全称量词与存在量词
【题型讲解】
题型一：充分条件与必要条件
一、单选题
1．（2022·浙江·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】
因为 可得：
当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；
所以当 ， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
设等差数列 的公差为 ，则 ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得
出结论.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
3．（2022·全国·一模（理））设 表示直线， 表示平面，使“ ”成立的充分条件是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ， ， ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据面面垂直、线面垂直、线面平行的判定与性质依次判断各个选项即可.
【详解】
对于A，当 ， 时，可能 、 或 与 相交，充分性不成立，A错误；
对于B，当 ， 时，可能 或 与 相交，充分性不成立，B错误；
对于C，若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，充分性成立，C正确；
对于D，若 ，则 ， ， ， 无法得到 ，充分性不成立，D错误.
故选：C.
4．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可
【详解】
由 ，得 ，得 ，得(1，k)·(2，4)＝0，解得 ，
反之，当 时， ，所以 ，所以 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
【点睛】
此题考查充分条件和必要条件的判断，考查向量的运算，属于基础题
5．（2022·全国·模拟预测（理））设a>0，b>0，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由均值不等式得到充分性成立，举出反例得到必要性不成立.
【详解】
因为a>0，b>0，所以 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，所以
可以推出 ，所以充分性成立.
当 ，满足 ，但 ，所以 推不出 ，所以必要性不成立.
故选：A.6．（2022·全国·模拟预测）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由 及对数函数的单调性可得 ；将 变形化同构，进而构造函数，利用导
数讨论函数的单调性可得 ，即可得解．
【详解】
由 ，得 ．
由 ，得 ．
记函数 ，则 ，
所以函数 在R上单调递增，又 ，
则 ，所以 ．
因此“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A．
7．（2022·全国·模拟预测）已知向量 ， ，则“ ”是“ 与 的夹角为钝角”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出 与 的夹角为钝角时k的范围，即可判断.
【详解】
当 与 的夹角为钝角时， ，且 与 不共线，即 所以 且 .故“ ”是“与 的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选B.
8．（2022·全国·模拟预测（文））在 中，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦函数的单调性、大边对大角定理以及正弦定理判断可得出结论.
【详解】
因为 、 ，且余弦函数 在 上为减函数，
在 中， .
因此，“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
9．（2022·全国·模拟预测）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
先对“条件”和“结论”变形，再看由“条件”能否推出“结论”，及由“结论”能否“推出”条件，从
而确定充分性和必要性．
【详解】
若 成立，则 成立，即 ，
即 ，由 可得 ，但不一定得到 ，
相反由 也不一定能得出 ，
故选:D．10．（2022·全国·模拟预测） （ ， 为非零常数）是数列 满足： 的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】A
【解析】
由 可得 成立，反之举反例 可得必要性不成立；
【详解】
∵ （ ， 为非零常数），
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 是 的充分条件．
若 则 ，
但 （ ， 为非零常数）不成立，所以不是必要的．
故选：A.
【点睛】
本题考查数列与简易逻辑知识的交会，求解时证明结论不成立，可举反例说明.
11．（2022·全国·模拟预测（理））设甲：实数 ；乙：方程 是圆，则甲是乙的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由方程表示圆可构造不等式求得 的范围，根据推出关系可得结论.
【详解】
若方程 表示圆，则 ，解得： ；
， ， 甲是乙的充分不必要条件.
故选：A.
12．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知a，b∈R，则“ab＝0”是“ ”成立的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充分性和必要性的定义来判断即可．
【详解】
当 时，若 ，不能推出 ，不满足充分性；
当 ，则 ，有 ，满足必要性；
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B．
13．（2022·全国·模拟预测）设 ，则“ ”的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据必要不充分条件的含义可知所选集合应该能真包含集合 ，由此可判断答案.
【详解】由 ，得 ，即 ，
则选项是“ ”的必要不充分条件，即 是选项中集合的真子集，
结合选项，A,B中集合都不含3，不符合题意，D中集合 不能包含 ，不符合题意，
而C集合满足 ，
故选：C.
14．（2022·全国·模拟预测）已知m，n，p是不同的直线， ， 是不重合的平面，则下列说法正确的是
（ ）
A．“ ”是“m平行于平面 内的任意一条直线”的充分不必要条件
B．“ ， ”是“ ”的必要不充分条件
C．“ ， ”是“ ， ， ”的必要不充分条件
D．已知 ，则“ ”是“ ”的充要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间中线线、线面、面面的位置关系，结合充分条件与必要条件的概念依次判断各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项；“m平行于平面 内的任意一条直线”这句话本身的表达就是错的；
对于B选项：“ ， ”是“ ”的既不充分也不必要条件；
对于C选项：“ ， ， ”可以证明“ ， ”，
由“ ， ”要证明“ ”，还需添加条件“ ， ，且m和n相交”，
所以C正确；
对于D选项：已知 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：C15．（2022·全国·模拟预测（文））已知 ，条件 ，条件 ，则 是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本不等式证明充分性，利用特殊值证明必要性不成立，即可判断；
【详解】
解：因 ，由 ，得： ，则 ，当且仅
当 时取等号，因此 推得出 ，即充分性成立，
取 ，满足 ，但 ，即 推不出 ，即必要性不成立，所以 是 的充分
不必要条件，
故选 ：A
16．（2022·全国·模拟预测（理））“ ”是“直线 与直线 平行”的
（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两直线平行求得m的值，由此确定充分、必要条件.
【详解】
“直线 与直线 平行”
因为 ，所以直线 ，直线 ， 与 平行，故充分条件成立；
当直线 与直线 平行时， ，
解得 或 ，当 时，直线 与直线 重合，
当 时，直线 ，直线 平行，故充要条件成立．
故选：A．
17．（2022·上海奉贤·二模）在 中，三个内角A、B、C所对应的边分别是a、b、c．已知 ：
， ： ，则 是 的（ ）．
A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；
C．充要条件； D．既非充分又非必要条件．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用定义法直接判断.
【详解】
充分性：由正弦定理 .因为 ，可得 .故充分性满足；
必要性：由正弦定理 .因为 ，可得 .故必有性满足.
故 是 的充要条件.
故选：C
18．（2022·上海普陀·二模）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
应用作差法，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.
【详解】由 ，又 ，
所以 ，即 ，充分性成立；
当 时，即 ，显然 时成立，必要性不成立.
故“ ”是“ ”的充分非必要条件.
故选：A
19．（2022·江西·新余市第一中学三模（理））若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既非充分也非必要
【答案】B
【解析】
【分析】
利用充分条件，必要条件的定义直接判断作答.
【详解】
依题意，取 ，满足 ，而 ，
当 时， ，当且仅当 时取“=”，则 ，
“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
20．（2022·北京·北大附中三模）已知 ，则“ ”是“ 是钝角三角形”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】在三角形中，由 先利用辅助角公式结合正弦函数性质求得角 为钝角成立，反之举反例得出
必要性不成立，从而得出结论.
【详解】
解： 中， ， ， ， ，
， ，所以 是钝角三角形，充分性成立；
若 是钝角三角形，角 不一定是钝角，反例： ,此时 ，必要性不成
立；
故选：A.
21．（2022·海南海口·二模）已知x， 且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
因为 ，所以 ，则“ ”两边同除以 即可得到“ ”，反过来同乘以 即可，故“
”是“ ”的充要条件．
故选：C.
22．（2022·北京四中三模）已知数列{ }的通项为 ，则“ ”是“ ， ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据 ，求得 ，对 恒成立，进而得到 ，结合充分条件、必要条件的判
定方法，即可求解.
【详解】
由题意，数列 的通项为 ，
则 ，
即 ，对 恒成立，
当 时， 取得最小值 ，所以 ，
所以“ ”是“ ， ”的充分不必要条件.
故选：A.
23．（2022·天津·耀华中学二模）已知下列命题：
①命题：“ ， ”的否定是：“ ， ”；
②抛物线 的焦点坐标为 ；
③已知 ，则 是 的必要不充分条件；
④在 中， 是 的充要条件.
其中真命题的个数为（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全称量词命题的否定性质、抛物线焦点坐标公式，结合必要不充分条件、充要条件的定义逐一判断即
可.
【详解】
①；因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“ ， ”的否定是：“ ，
”，因此本说法正确；
②： ，因此该抛物线的焦点坐标为： ，所以本说法不正确；③：由 ，或 ，由 ，或 ，
因此由 能推出 ，但是由 不一定能推出 ，
所以 是 的充分不必要条件，因此本说法不正确；
④：在 中，一方面，因为 ，所以 ，由正弦定理可知： ；
另一方面，由 ，
所以在 中， 是 的充要条件，因此本说法正确，
所以真命题的个数为2个，
故选：B
24．（2022·山东烟台·三模）若 和 分别为空间中的直线和平面，则“ ”是“ 垂直 内无数条直
线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用充分条件、必要条件的定义结合线面垂直的意义判断作答.
【详解】
若 ，则 垂直 内所有直线，因此，命题“若 ，则 垂直 内无数条直线”正确，
垂直 内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线 可以在平面 内，即不能推
出 ，
所以“ ”是“ 垂直 内无数条直线”的充分不必要条件.
故选：A
25．（2022·山东淄博·三模）已知条件 直线 与直线 平行，条件 ，
则 是 的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的条件分析判断
【详解】
当直线 与直线 平行时，
，解得 ，
当 时，直线 与直线 重合，
所以 是 的既不充分也不必要条件，
故选：D
二、多选题
1．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）下列命题正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．命题“ ”的否定是“ ”
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
对于A：求出不等式 的解集，即可判断出两个命题的关系；
对于B：根据命题的否定规则即可判断；
对于C：根据对数定义域的限制条件即可判断；
对于D：根据不等式的性质即可进行判断.
【详解】
因为 ， ，解得 或 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以选项A
错误；命题“ ”的否定是“ ”，所以选项B正确；当且 时， 与 没有意义，所以选项C错误；若 ，可得 ，则 ，所
以选项D正确.
故选：BD.
2．（2022·河北张家口·三模）已知公差为d的等差数列 的前n项和为 ，则（ ）
A． 是等差数列 B． 是关于n的二次函数
C． 不可能是等差数列 D．“ ”是“ ”的充要条件
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据等差数列前 项公式及函数特征结合等差数列的定义即可判断ABC，再结合充分条件和必要条件的定
义即可判断D.
【详解】
解：由 知， ，
则 ，所以 是等差数列，故A正确；
当 时， 不是n的二次函数，故B不正确；
当 时， ，
则 ，所以 是等差数列，故C不正确；
当 时， ，故 ，
，
所以“ ”是“ ”的充要条件，故D正确.
故选：AD.3．（2022·江苏南京·三模）设 ，a∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．“a＞1”是“ ”的充分不必要条件
C．“P＞3”是“a＞2”的必要不充分条件
D．a∈（3，＋∞），使得P＜3
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据双勾函数的单调性，逐一分析，即可求解.
【详解】
解：A错误，当 时，显然有P小于0
B正确， 时， ，故充分性成立，而 只需 即可；
C正确， 可得 或 ，当 时 成立的，故C正确；
D错误，因为 有 ，故D错误；
故选：BC.
4．（2022·辽宁·二模）下列结论正确的是( )
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．
C．已知在前n项和为Sn的等差数列{ }中，若 ，则
D．已知 ，则 的最小值为8
【答案】AD
【解析】【分析】
A：求解不等式 ，根据充分条件和必要条件的概念即可判断；B：根据同角三角函数的商数关系、平
方关系、正弦的二倍角公式即可化简求值；C：根据等差数列与下标和有关的性质及等差数列前n项和公
式即可求解判断；D： ，展开利用基本不等式即可求解判断．
【详解】
对于A，由 或 ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，当且仅当 时取
等号，故D正确﹒
故选：AD．
5．（2022·湖南衡阳·二模）下列结论中正确的是（ ）
A．在 中，若 ，则
B．在 中，若 ，则 是等腰三角形
C．两个向量 共线的充要条件是存在实数，使
D．对于非零向量 ，“ ”是“ ”的充分不必要条件
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据三角形的边与角的关系，以及根据共线向量的定义，逐个选项判断即可得到正确答案.【详解】
对于A：大角对大边，用正弦定理可得该命题正确；
对于B：若 ，则 或 ，即 或
即 是等腰三角形或直角三角形，所以该命题不正确；
对于C：若 ，满足向量 共线，但不存在实数 ，使 ，所以该命题不正确；
对于D：若“ ”，则“ ”；若“ ”，则“ ”不一定成立.所以该命题正确；
故选：AD
6．（2022·重庆·二模）已知空间中的两条直线 和两个平面 ，则 ”的充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据线面垂直或平行关系，代入分析讨论求证即可.
【详解】
对于选项 ， ，
则有 内的一条直线
因为 ，
所以
又
所以 ，
即条件“ ”能够得到 ,
所以选项 是 的充分条件；对于选项 ， 不一定能够得出结论 ，
也可能相交或平行；因此该选项错误；
对于选项 ， ， ，
所以 ，
又因为
所以 ，
因此该选项正确；
对于选项 ，
因为
所以 或
又因为 ，
所以 .
故选：ACD.
7．（2022·辽宁·沈阳二中二模）对任意实数 ， ， ，给出下列命题，其中假命题是（ ）
A．“ ”是“ ”的充要条件
B．“ ”是“ ”的充分条件
C．“ ”是“ ”的必要条件
D．“ 是无理数”是“ 是无理数”的充分不必要条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据充分、必要性的推出关系，判断各选项中条件间的关系，即可得答案.
【详解】
A：由 有 ，当 不一定有 成立，必要性不成立，假命题；
B：若 时 ，充分性不成立，假命题；
C： 不一定 ，但 必有 ，故“ ”是“ ”的必要条件，真命题；
D： 是无理数则 是无理数，若 是无理数也有 是无理数，故为充要条件，假命题.
故选：ABD
8．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）下列说法错误的是（ ）A．“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充分必要条件
B．直线 的倾斜角 的取值范围是
C．若圆 与圆 有且只有一个公共点，则
D．若直线 与曲线 有公共点，则实数b的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】
当 时，可判断直线 与直线 互相平行，判断A;根据直线的方程可求得斜率，
进而求得倾斜角的范围，判断B;根据圆 与圆 有且只
有一个公共点，判断出两圆的位置关系，求得a的值，判断C;求出曲线 表示的几何图形，
数形结合，求得b的范围，判断D.
【详解】
对于A,当 时， 与直线 互相平行，即“ ”不是“直线 与直
线 互相垂直”的充分条件，故A错误；
对于B, 直线 的倾斜角 满足 ，
故 ，故B正确；
对于C，圆 的圆心为 ，半径 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
两圆有且只有一个公共点， 则两圆外切或内切，则 或 ，
解得 或 ，故C错误；
对于D, 曲线 可化为 ，表示以 为圆心，半径为 的半圆，
如图示：
直线 与曲线 有公共点，则直线 与圆相切或过点(0,3),
当直线和圆相切时， ，解得 ，
当直线过点(0,3)时， ，则数b的取值范围是 ，故D正确，
故选：AC
9．（2022·湖南邵阳·一模）给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．已知命题 ：“ ， ”，则 ：“ ， ”
C．若随机变量 ，则
D．已知随机变量 ，且 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】
选项A：利用充分条件和必要条件的概念，并结合同角或终边相同的角的三角函数值相同即刻判断；选项
B：利用特称命题的否定的概念即可判断；选项C：利用二项分布的期望公式即可求解；选项D：利用正态曲线的对称性即可求解.
【详解】
选项A：若 ，则 ；若 ，则 ， ，
从而“ ”是“ ”的充分不必要条件，故A错误；
选项B：由特称命题的否定的概念可知，B正确；
选项C：因为 ，所以 ，故C正确；
选项D：结合已知条件可知，正态曲线关于 对称，
又因为 ，从而 ，解得 ，故D正确.
故选：BCD
10．（2022·江苏·南京市宁海中学二模）下列命题正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．“ ”是“ ”的必要不充分条件
C．命题“ ”的否定是“ ，使得 ”
D．设函数 的导数为 ，则“ ”是“ 在 处取得极值”的充要条件
【答案】AB
【解析】
根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称量词命题的否定是 ，否定结论，即可知正确的选项.
【详解】
A选项中， ，但 或 ，故A正确；
B选项中，当 时有 ，而 必有 ，故B正确；
C选项中，否定命题为“ ，使得 ”，故C错误；
D选项中， 不一定有 在 处取得极值，而 在 处取得极值则 ，故D错
误；故选：AB
【点睛】
本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题.
题型二：全称量词与存在量词
1．（2022·全国·模拟预测（理））若“ ，使得 ”为假命题，则实数a的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
写出全称量词命题为真命题，利用辅助角公式求出 ，从而求出实数a的取值范围.
【详解】
因为“ ，使得 ”为假命题，
则“ ，使得 ”为真命题，
因为 ，
所以实数a的取值范围是
故选：D
2．（2022·全国·模拟预测）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】【分析】
利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】
解：由全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“ ， ”的否定是“ ， ”，
故选：C．
3．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】
【分析】
对原命题“改量词，否结论”即可求得结果.
【详解】
命题 ， 的否定是： ， .
故选：D.
4．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（文））命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可；
【详解】
命题“ ， ”为特称量词命题，其否定为 ， ；故选：D
5．（2022·全国·模拟预测（文））命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【解析】
【分析】
由全称量词命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可写出命题的否定形式.
【详解】
由全称量词命题的否定为特称命题，
所以原命题的否定为： ， .
故选：C
6．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（理））命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】
【分析】
将特称命题的否定改为全称量词命题即可
【详解】
命题“ ， ”的否定是“ ， ”，
故选：D
7．（2022·全国·模拟预测）命题 ， 的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称量词命题的否定直接得出结果.
【详解】
因为全称量词命题的否定是特称量词命题，
故原命题的否定是 ， ．
故选：C
8．（2022·广东汕头·三模）下列说法错误的是（ ）
A．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B．在 ABC中， 是 的充要条件
△
C．若a，b， ，则“ ”的充要条件是“ ，且 ”
D．“若 ，则 ”是真命题
【答案】C
【解析】
【分析】
利用全称量词命题的否定可判断A,由正弦定理和充要条件可判断B，通过举特例可判断C,通过特殊角的三
角函数值可判断D.
【详解】
A.命题“ ， ”的否定是“ ， ”,正确；
B. 在 ABC中， ，由正弦定理可得 (R为外接圆半径)， ，由大边对大角可得
△
；反之， 可得 ，由正弦定理可得 ，即为充要条件，故正确；
C. 当 时满足 ，但是得不到“ ，且 ”，则不是充要条件，故错
误；
D. 若 ，则 与 则 的真假相同，故正确；故选：C
9．（2022·重庆·三模）命题“ ，使得 ”的否定是（ ）
A． ，使得 B． ，使得
C． ，都有 D． ，都有
【答案】C
【解析】
【分析】
特称命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】
“ ，使得 ”的否定是“ ，都有 ” .
故选：C
10．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（理））已知 ，下列四个命题：① ， ，②
， ，③ ， ，④ ， ．
其中是真命题的有（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】C
【解析】
【分析】
作商并结合单调性判断①；作差并结合对数函数性质、对数换底公式判断②；利用指数函数单调性比较判
断③；在给定条件下，借助“媒介”数比较判断作答.
【详解】
对于①，由 得： ， ， ，则 ，①正确；
对于②， ， ，即 ，则 ，②正确；
对于③，函数 在 上为减函数，而 ，则 ，即 ， ，③错误；
对于④，当 时， ， ，即 ，④错误，
所以所给命题中，真命题的是①②．
故选：C
11．（2022·四川成都·三模（理））命题“ ， ”的否定是（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】
【分析】
由全称量词命题的否定为特称命题，即得.
【详解】
由全称量词命题的否定可知：“ ， ”的否定是“ ， ”.
故选：A.
12．（2022·陕西西安·三模（文））若命题“ ， ”为真命题，则实数 可取的最小
整数值是（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
参变分离后，令新函数 ，转化为求函数 的最小值，利用二次函数性质求解.
【详解】
由题意， ， ，
令 ，则 ， ，因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 .
所以实数 可取的最小整数值是 .
故选：A
13．（2022·江西赣州·二模（文））已知命题 ： ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据命题的否定的定义判断．
【详解】
全称量词命题的否定是特称命题，
命题 ： ， 的否定是： ， ．
故选：D．
14．（2022·贵州遵义·三模（文））命题“ ”的否定是（ ）
A．“ ” B．“ ”
C．“ ” D．“ ”
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全称量词命题的否定即可求解.
【详解】
命题“ ”的否定是： .
故选：D
15．（2022·山东潍坊·二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数 ，关于x，y，z的方程 没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大
定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程 都没有正整数解
B．对任意正整数 ，关于x，y，z的方程 至少存在一组正整数解
C．存在正整数 ，关于x，y，z的方程 至少存在一组正整数解
D．存在正整数 ，关于x，y，z的方程 至少存在一组正整数解
【答案】D
【解析】
【分析】
根据命题的否定形式，直接写出命题的否定即可
【详解】
命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；
故只有D满足题意；
故选：D
16．（2022·山西临汾·三模（文））已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则 为（ ）
A．任意一个无理数，它的平方不是有理数
B．存在一个无理数，它的平方不是有理数
C．任意一个无理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方是无理数
【答案】A
【解析】
【分析】
根据存在量词命题的否定的性质进行判断即可.
【详解】
因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以 为：任意一个无理数，它的平方不是有理数，
故选：A17．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））“ ”是“ 使 成立”为假命题的
（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
“ 使 成立” 为假命题，则“ 使 成立”为真命题，对a分情况讨
论，求得 ，结合充分、必要条件判定方法，即可得解.
【详解】
解：“ 使 成立”为假命题，则“ 使 成立”为真命题，当 时
成立，当 ，则 ， ，∴ ，综合得 ，则“ ”是 的充
分不必要条件.
故选：B.
18．（2022·山东枣庄·一模）命题“ ， ”的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据全称量词命题的否定求解即可.
【详解】
命题“ ， ”的否定为“ ， ”.
故选：D.
二、多选题
1．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B．用二分法求函数 在 内的零点近似解时，在运算过程中得到 ，， ，则可以将 看成零点的近似值，且此时误差小于
C．甲、乙、丙、丁四人围在圆桌旁，有 种不同的坐法
D．已知 为平面直角坐标系中一点，将向量 绕原点 逆时针方向旋转 角到 的位置，则点
坐标为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用全称量词命题的否定可判断A选项；利用二分法可判断B选项；利用圆排列公式可判断C选项；利用
三角函数的定义结合两角和的正弦和余弦公式可判断D选项.
【详解】
对于A选项，由全称量词命题的否定可知，命题“ ， ”的否定是“ ，
”，A错；
对于B选项， ， ， ，
则 看成零点的近似值，且此时误差小于 ，B对；
对于C选项，甲、乙、丙、丁四人围在圆桌旁，不同的坐法种数为 种，C对；
对于D选项，设点 在角 终边上一点，由已知 ，
由三角函数的定义可得 ， ，且 ，
向量 绕原点 逆时针方向旋转 角到 的位置，
则 ，
，
所以，则点 坐标为 ，D对.
故选：BCD.2．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）下列命题中正确命题的是（ ）
A．已知 、 是实数，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．命题： ， ，其否定形式为： ，
C．函数 与 的图象关于直线 对称
D．在等比数列 中， 、 是方程 的两根，则
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用指数函数与对数函数的单调性，结合充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用存在量词命题的
否定可判断B选项；利用函数对称性的含义可判断C选项；利用等比中项的定义可判断D选项.
【详解】
对于A选项，已知 、 是实数， ， ，
因此，“ ”是“ ”必要不充分条件，A对；
对于B选项，命题： ， ，其否定形式为： ， ，B错；
对于C选项，函数 与 的图象关于直线 轴对称，C错；
对于D选项，在等比数列 中， 、 是方程 的两根，
设等比数列 的公比为 ，则 ， ，则 ，
，所以， ，D对.
故选：AD.
3．（2022·山东临沂·三模）下列命题正确的是（ ）A．正实数x，y满足 ，则 的最小值为4
B．“ ”是“ ”成立的充分条件
C．若随机变量 ，且 ，则
D．命题 ，则p的否定：
【答案】BC
【解析】
【分析】
对于A，可用基本不等式“1”的妙用求最值；对于B，根据充要条件的知识及不等式性质进行判断；对于
C，根据二项分布期望及方差公式求解判断；对于D，根据命题的否定的知识进行判断.
【详解】
对于A， ，当且仅当 时等号成立，故A
错误；
对于B，“ ”能推出“ ”，故B正确；
对于C， ，解得 ，故C正确；
对于D，p的否定： ，故D错误.
故选：BC.
4．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）给定命题 ，都有 .若命题 为假命题，则实数 可以
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】AB
【解析】
【分析】
命题 的否定： ， 是真命题. 再把选项取值代入检验即得解.
【详解】
解：由于命题 为假命题，所以命题 的否定： ， 是真命题.当 时，则 ，令 ，所以选项A正确；
当 时，则 ，令 ，所以选项B正确；
当 时，则 ， ， 不成立，所以选项C错误；
当 时，则 ， ， 不成立，所以选项D错误.
故选：AB
5．（2022·广东茂名·模拟预测）下列四个命题中为真命题的是（ ）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．设 是两个集合，则“ ”是“ ”的充要条件
C．“ ”的否定是“ ”
D． 名同学的数学竞赛成绩分别为： ，则该数学成绩的 分位数为70（注：一
般地，一组数据的第 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或者等于这个值，
且至少有 的数据大于或者等于这个值．)
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义判断AB（可确定等价条件），根据命题的否定的定义判断C，根据百分位数的
概念确定值判断D．
【详解】
当 时， ；当 成立时，可得 ，所以A正确；
因为 等价于 ，所以B正确；
C项显然错误，命题的否定只否定结论，条件不否定；
把数据按照从小到大的顺序排列为： ，因为 ，所以该数学成绩的
百分位数为 ，D正确．
故选：ABD．6．（2022·海南华侨中学模拟预测）下列叙述正确的是（ ）
A．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B．“ ”是“ ”的充要条件
C． 的展开式中 的系数为
D．在空间中，已知直线 满足 ， ，则
【答案】AC
【解析】
【分析】
对于A运用全称量词命题否定形式的相关知识判断；对于B根据对数函数相关知识判断；对于C根据二项
式展开式相关知识即可判断；对于D直观想象即可得出直线 和 的位置关系.
【详解】
对于A，命题“ ， ”为全称量词命题，其否定是“ ， ”，故A正确.
对于B，充分性：当 时， 显然不成立，故充分性不满足；必要性：当 时，
，显然此时 成立，故必要性满足.所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故B错
误.
对于C， 的展开式中 的系数为 ，故C正确.
对于D，若在空间中直线 满足 ， ，则 和 相交或异面或平行，故D错误.
故选：AC
7．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知 ，则下列叙述中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．“ ”是“ ”的充分不必要条件
D．命题“ ， ”的否定是“ ， ”【答案】BC
【解析】
利用赋值法可判断选项A；去绝对值后可判断选项B；根据充分条件和必要条件的可判断C；根据含有一
个命题的否定可判断D.
【详解】
对A，当 ， 时， 不成立，故A错误；
对B，因为 ，即 ，所以 ，所以 ，故B正确；
对C，当 时， ，所以 ，故充分性成立；
当 ，即 或 ，故 不一定成立，故必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故C正确；
对D，命题“ ， ”的否定是“ ， ”，故D错误.
故选：BC
8．（2021·辽宁·东北育才学校二模）下列命题中是真命题的是（ ）
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．命题“ ，都有 ”的否定是“ ，使得 ”
C．不等式 成立的一个必要不充分条件是 或
D．当 时，方程组 有无穷多解
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义可判断A，C；根据全称量词命题的否定是变量词否结论可判断B；根据
两直线重合可得方程组有无穷多解可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由 可得 ，由 可得 或 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选项A正确；
对于B：命题“ ，都有 ”的否定是“ ，使得 ”，故选项B不正确；
对于C：由 可得： 或 ，
因为 或 是集合 或 的真子集，
所以不等式 成立的一个充分不必要条件是 或 ，故选项C不正确；
对于D：当 时，方程组 即 ，两直线重合，有无穷多解，故选项D正确；
故选：AD.
