文档内容
专题 02 常用逻辑用语
【考纲要求】
1．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否
一、充分条件与必要条件
【思维导图】
【考点总结】
一、充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p q，
并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件. ⇒
(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同.p是q的充分条件只反映
了p q，与q能否推出p没有任何关系.
(2)注⇒意以下等价的表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；
⑤p的必要条件是q. ⇒
(3)“若p，则q”为假命题时，记作“p q”，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件 p不是q的充分条件
⇒ ⇒q是p的必要条件
q不是p的必要条件
二、全称量词与存在量词
【思维导图】
【考点总结】
一、全称量词与全称量词命题
1.短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.
2.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
3.全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为: x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有
p(x)成立”.
∀
4.全称量词命题的真假判断:要判断一个全称量词命题量词是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验
x x
证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个 0∈M,使得p( 0)不成立即可.二、存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.
(2)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
x x x x
(3)存在量词命题的表述形式:存在M中的一个 0,使p( 0)成立,可简记为: 0∈M,p( 0),读作“存在M中的
x x
元素 0,使p( 0)成立”. ∃
x
(4)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个 0,使得
x
命题p( 0)成立即可;否则这一命题就是假命题.
三、全称量词命题与存在量词命题的否定
（1）全称量词命题 的否定 为 ， .
（2）存在量词命题 的否定 为 .
【常用结论】
从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件，必
要条件又可以叙述为：
(1)若A B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊆B，则p是q的必要条件；
(3)若A⊇＝B，则p是q的充要条件；
【易错总结】
(1)命题的条件与结论不明确；
(2)含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况；
(3)对充分必要条件判断错误．
【题型汇编】
题型一：充分条件与必要条件
题型二：全称量词与存在量词
【题型讲解】
题型一：充分条件与必要条件
一、单选题
1．（2022·浙江·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·全国·一模（理））设 表示直线， 表示平面，使“ ”成立的充分条件是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ， ， ，
4．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2022·全国·模拟预测（理））设a>0，b>0，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022·全国·模拟预测）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022·全国·模拟预测）已知向量 ， ，则“ ”是“ 与 的夹角为钝角”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2022·全国·模拟预测（文））在 中，“ ”是“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2022·全国·模拟预测）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2022·全国·模拟预测） （ ， 为非零常数）是数列 满足： 的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
11．（2022·全国·模拟预测（理））设甲：实数 ；乙：方程 是圆，则甲是乙的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知a，b∈R，则“ab＝0”是“ ”成立的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
13．（2022·全国·模拟预测）设 ，则“ ”的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·全国·模拟预测）已知m，n，p是不同的直线， ， 是不重合的平面，则下列说法正确的是
（ ）
A．“ ”是“m平行于平面 内的任意一条直线”的充分不必要条件
B．“ ， ”是“ ”的必要不充分条件
C．“ ， ”是“ ， ， ”的必要不充分条件
D．已知 ，则“ ”是“ ”的充要条件
15．（2022·全国·模拟预测（文））已知 ，条件 ，条件 ，则 是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
16．（2022·全国·模拟预测（理））“ ”是“直线 与直线 平行”的
（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
17．（2022·上海奉贤·二模）在 中，三个内角A、B、C所对应的边分别是a、b、c．已知 ：
， ： ，则 是 的（ ）．
A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；
C．充要条件； D．既非充分又非必要条件．
18．（2022·上海普陀·二模）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
19．（2022·江西·新余市第一中学三模（理））若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既非充分也非必要
20．（2022·北京·北大附中三模）已知 ，则“ ”是“ 是钝角三角形”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
21．（2022·海南海口·二模）已知x， 且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
22．（2022·北京四中三模）已知数列{ }的通项为 ，则“ ”是“ ， ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件23．（2022·天津·耀华中学二模）已知下列命题：
①命题：“ ， ”的否定是：“ ， ”；
②抛物线 的焦点坐标为 ；
③已知 ，则 是 的必要不充分条件；
④在 中， 是 的充要条件.
其中真命题的个数为（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
24．（2022·山东烟台·三模）若 和 分别为空间中的直线和平面，则“ ”是“ 垂直 内无数条直
线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
25．（2022·山东淄博·三模）已知条件 直线 与直线 平行，条件 ，
则 是 的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
1．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）下列命题正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．命题“ ”的否定是“ ”
C．若 ，则
D．若 ，则
2．（2022·河北张家口·三模）已知公差为d的等差数列 的前n项和为 ，则（ ）
A． 是等差数列 B． 是关于n的二次函数C． 不可能是等差数列 D．“ ”是“ ”的充要条件
3．（2022·江苏南京·三模）设 ，a∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．“a＞1”是“ ”的充分不必要条件
C．“P＞3”是“a＞2”的必要不充分条件
D．a∈（3，＋∞），使得P＜3
4．（2022·辽宁·二模）下列结论正确的是( )
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．
C．已知在前n项和为Sn的等差数列{ }中，若 ，则
D．已知 ，则 的最小值为8
5．（2022·湖南衡阳·二模）下列结论中正确的是（ ）
A．在 中，若 ，则
B．在 中，若 ，则 是等腰三角形
C．两个向量 共线的充要条件是存在实数，使
D．对于非零向量 ，“ ”是“ ”的充分不必要条件
6．（2022·重庆·二模）已知空间中的两条直线 和两个平面 ，则 ”的充分条件是（ ）
A．
B．
C．D．
7．（2022·辽宁·沈阳二中二模）对任意实数 ， ， ，给出下列命题，其中假命题是（ ）
A．“ ”是“ ”的充要条件
B．“ ”是“ ”的充分条件
C．“ ”是“ ”的必要条件
D．“ 是无理数”是“ 是无理数”的充分不必要条件
8．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）下列说法错误的是（ ）
A．“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充分必要条件
B．直线 的倾斜角 的取值范围是
C．若圆 与圆 有且只有一个公共点，则
D．若直线 与曲线 有公共点，则实数b的取值范围是
9．（2022·湖南邵阳·一模）给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．已知命题 ：“ ， ”，则 ：“ ， ”
C．若随机变量 ，则
D．已知随机变量 ，且 ，则
10．（2022·江苏·南京市宁海中学二模）下列命题正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．“ ”是“ ”的必要不充分条件
C．命题“ ”的否定是“ ，使得 ”
D．设函数 的导数为 ，则“ ”是“ 在 处取得极值”的充要条件题型二：全称量词与存在量词
1．（2022·全国·模拟预测（理））若“ ，使得 ”为假命题，则实数a的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·模拟预测）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（文））命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．（2022·全国·模拟预测（文））命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
6．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（理））命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，C． ， D． ，
7．（2022·全国·模拟预测）命题 ， 的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8．（2022·广东汕头·三模）下列说法错误的是（ ）
A．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B．在 ABC中， 是 的充要条件
△
C．若a，b， ，则“ ”的充要条件是“ ，且 ”
D．“若 ，则 ”是真命题
9．（2022·重庆·三模）命题“ ，使得 ”的否定是（ ）
A． ，使得 B． ，使得
C． ，都有 D． ，都有
10．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（理））已知 ，下列四个命题：① ， ，②
， ，③ ， ，④ ， ．
其中是真命题的有（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
11．（2022·四川成都·三模（理））命题“ ， ”的否定是（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，12．（2022·陕西西安·三模（文））若命题“ ， ”为真命题，则实数 可取的最小
整数值是（ ）
A． B．0 C．1 D．3
13．（2022·江西赣州·二模（文））已知命题 ： ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
14．（2022·贵州遵义·三模（文））命题“ ”的否定是（ ）
A．“ ” B．“ ”
C．“ ” D．“ ”
15．（2022·山东潍坊·二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数 ，关于x，y，z的方
程 没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大
定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程 都没有正整数解
B．对任意正整数 ，关于x，y，z的方程 至少存在一组正整数解
C．存在正整数 ，关于x，y，z的方程 至少存在一组正整数解
D．存在正整数 ，关于x，y，z的方程 至少存在一组正整数解
16．（2022·山西临汾·三模（文））已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则 为（ ）
A．任意一个无理数，它的平方不是有理数
B．存在一个无理数，它的平方不是有理数
C．任意一个无理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方是无理数
17．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））“ ”是“ 使 成立”为假命题的
（ ）A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
18（2022·山东枣庄·一模）命题“ ， ”的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、多选题
1．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B．用二分法求函数 在 内的零点近似解时，在运算过程中得到 ，
， ，则可以将 看成零点的近似值，且此时误差小于
C．甲、乙、丙、丁四人围在圆桌旁，有 种不同的坐法
D．已知 为平面直角坐标系中一点，将向量 绕原点 逆时针方向旋转 角到 的位置，则点
坐标为
2．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）下列命题中正确命题的是（ ）
A．已知 、 是实数，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．命题： ， ，其否定形式为： ，
C．函数 与 的图象关于直线 对称
D．在等比数列 中， 、 是方程 的两根，则
3．（2022·山东临沂·三模）下列命题正确的是（ ）
A．正实数x，y满足 ，则 的最小值为4
B．“ ”是“ ”成立的充分条件
C．若随机变量 ，且 ，则D．命题 ，则p的否定：
4．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）给定命题 ，都有 .若命题 为假命题，则实数 可以
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022·广东茂名·模拟预测）下列四个命题中为真命题的是（ ）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．设 是两个集合，则“ ”是“ ”的充要条件
C．“ ”的否定是“ ”
D． 名同学的数学竞赛成绩分别为： ，则该数学成绩的 分位数为70（注：一
般地，一组数据的第 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或者等于这个值，
且至少有 的数据大于或者等于这个值．)
6．（2022·海南华侨中学模拟预测）下列叙述正确的是（ ）
A．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B．“ ”是“ ”的充要条件
C． 的展开式中 的系数为
D．在空间中，已知直线 满足 ， ，则
7．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知 ，则下列叙述中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．“ ”是“ ”的充分不必要条件
D．命题“ ， ”的否定是“ ， ”8．（2021·辽宁·东北育才学校二模）下列命题中是真命题的是（ ）
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．命题“ ，都有 ”的否定是“ ，使得 ”
C．不等式 成立的一个必要不充分条件是 或
D．当 时，方程组 有无穷多解
