阶段检测一：集合与常用逻辑用语（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

阶段检测（一） 集合与常用逻辑用语 考试范围：集合、常用逻辑用语；考试时间：120分钟； 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共8小题） 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 【解答】解：因为 或 ， 所以 或 ， 所以 ． 故选： ． 2．若集合 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为 A． B． C． D． 【解答】解： ， 或 ， ， 则图中阴影部分表示的集合为 ． 故选： ．3．已知 ， ，则 A． ， ， B． ， C． ， D． ， ， 【解答】解： ， ， 则 ， ， ． 故选： ． 4．对于非空实数集 ，记 ， ．设非空实数集合 ，若 时， 则 ．现给出以下命题： ①对于任意给定符合题设条件的集合 、 ，必有 ； ②对于任意给定符合题设条件的集合 、 ，必有 ； ③对于任意给定符合题设条件的集合 、 ，必有 ； ④对于任意给定符合题设条件的集合 、 ，必存在常数 ，使得对任意的 ，恒 有 ， 其中正确的命题是 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解答】解：由已知， 为不小于集合 中最大值的所有数构成的集合． ①因为 ，设集合 和 中最大值分别为 和 ，则 ，故有 ，正确； ②设 ，则 ，故 ，错误； ③设 ，则 ，故 ，错误； ④令 ，则对任意的 ， ，故恒有 ，正确． 故选： ． 5．已知全集 U＝A⋃B＝{x N|x≤6}，A⋂ （ U B）＝{1，3，5}，则 B 中元素个数为 （ ） ∈ ∁ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【解答】解：全集U＝A⋃B＝{x N|x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}， A⋂（ U B）＝{1，3，5}， ∈ ∁ ∴ B＝{1，3，5}，{1，3，5} A， ⊆ B＝{0，2，4，6}， 则B中元素个数为4． 故选：B． 6．已知集合 ，集合 ，则 A． ， B． C． D． 【解答】解：由 ，解得 ， 由 ，解得 ， 故 ． 故选： ． 7．全集 ， ， ，3，5， ， ，3，7， ，则 A． ，3，7， B． ，7， C． ，7， D． ， 【解答】解： ， ，2，3，4，5，6，7，8， ， ，3，5， ， ，4，7，8， ，， ． 故选： ． 8．已知集合 ， ， ，则 A． B． C． D． 【解答】解： ， ， ，故 错； ，故 对； 或 ，故 错； 或 ，故 错． 故选： ． 二．多选题（共4小题） 9．已知 ， 都是正数，若 ，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 【解答】解： ， 都是正数， ， 则 ，当且仅当 时，即 时，等号成立， 故 ，故 正确； ，当且仅当 时，等号成立，故 正确；，当且仅当 ，即 时， 等号成立， 故 ，故 错误； ， 都是正数， ， 则 ， ， ， ，故 正确． 故选： ． 10．已知 ， ， ，且 ，则 A． B．若 ，则 C． D．若 ，则 【解答】解：对于 ，当 时， ，故 错误； 对于 ，因为 ，所以 ，则 ，故 ，故 正确； 对于 ，因为 ，所以 ，则 ， 当且仅当 时，等号成立，显然 ，所以 ，故 正确； 对于 ，当 时， ，故 错误． 故选： ．11．已知 ， 是正数，且满足 ，则下列叙述正确的是 A． B． C． D． 【解答】解： ， ， ， ，当且仅当 ，即 时 取等号， 正确； ， 当 且 仅 当 时 取 等 号 ， ， ， 错误； ， ， ， ， ， ， ， 正确； ， ， ， 且 ， 成立， 正确． 故选： ． 12．已知关于 的不等式 的解集为 或 ，则下列说法正确的是 A． B． 的解集为 C．D． 的解集为 【解答】解： 不等式 的解集为 或 ， ， 即 ， ， 故选项 正确； 可化为 ， 即 ， 故 的解集为 ，故选项 正确； ，故选项 错误； 可化为 ， 即 ， 故不等式的解集为 ，选项 正确． 故选： ． 三．填空题（共4小题） 13．已知集合 ， ，2，3，4， ，则 ， 2 ， ． 【解答】解：集合 ， ，2，3，4， ， 则 ，2， ． 故答案为： ，2， ． 14．已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则关于 的不等式的解集为 ． 【解答】解：因为关于 的一元二次不等式 的解集为 ， 所以 是方程 的两根，且 ， 则 ，解得 ， 所以关于 的不等式 ，即 ，化简得 ，解得 ， 则关于 的不等式 的解集为 ． 故答案为： ． 15．已知 ， ， 均为正实数，且 ，则 的最小值为 1 8 ． 【解答】解：由条件知 ， 当且仅当 ， ， 又因为 ，即 ， ， 时， 的最小值为18． 故答案为：18． 16．设命题 ， ．若 是假命题，则实数 的取值范围是 ， ．【解答】解： 是假命题， 是真命题， 命题 ， ， ， ， ， 设 ，则 ， 在 ， 上单调递增， ， ， 实数 的取值范围是 ， ． 故答案为： ， ． 四．解答题（共6小题） 17．若集合 具有以下性质，则称集合 是“好集”：① ， ；②若 、 ， 则 ，且 时， ． （1）分别判断集合 ，0， ，有理数集 是否是“好集”，并说明理由； （2）设集合 是“好集”，求证：若 、 ，则 ； （3）对任意的一个“好集” ，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若 、 ， 则必有 ． 【解答】解：（1）集合 不是“好集“，理由是： ， ，而 ； 不是“好集”； 有理数集 是“好集”，理由是： ， ； 对任意 ， ，有 ，且 时， ；有理数集 是“好集， （2）因为集合 是“好集”，所以 ， 若 、 ，则 ，即 ，所以 ，即 ； （3）对任意一个“好集” ，任取 、 ，若 、 中有0和1时，显然 ， 下设 、 均不含0，1，由定义得 ， ， ， 所以 ，所以 ， 由（2）得 ，同理 ， 若 ，或 ．显然 ， 若 ，且 ，则 ，可得 ，所以 ， 由（2）得 ， 所以 ， 综上， ． 18．已知函数 ， ． （1）若 （1） ，且 ，求 的最小值； （2）若 （1） ，求关于 的不等式 的解集． 【解答】（1）解：因为 ， ， （1） ， 所以， ，当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值为4． （2） （1） ，可得 ，则 ， ，则 ， 解不等式 可得 或 ． 因此，不等式 的解集为 或 ． 19．已知实数 ， ， ， 满足 ． （1）试比较 和 的大小； （2）利用（1）的结论，比较 与 的大小． 【解答】解：（1） ， ， 当且仅当 ，即 时取等号， ． （2） 由题意知 ， ， ， ， 令 ， ，则 ， 则 ， ，令 ， ， ， ， 当且仅当 ，且 ，即 ， 时取等号， ． 20．已知集合 ， ．求： （1） ； （2） ． 【解答】解：（1） ， ， ； （2） ， ， ， 则 或 ． 21．已知集合 ， ， ，且 ． （1）当 时，求 ； （2）若 ，求 的取值范围． 【解答】解：（1）集合 ， ， ，且 ．当 时， ， 故 ． （2） ，所以 ， 所以： 或 ， 解得 或 ． 故实数 的取值范围为 ， ， ． 22．已知函数 在区间 ， 上是单调函数 （1）求实数 的所有取值组成的集合 ； （2）试写出 在区间 ， 上的最大值 ； （ 3 ） 设 ， 令 ， 对 任 意 ， 都 有 成立，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1）对称轴为 ，图象开口向上， 则 或 即 或 ， 所以 ， ， ； （2）由（1）知， 或 ， 当 时，函数 在 ， 上递减，所以 ； 当 时，函数 在 ， 上递增，所以 （2） ， 所以 ； （3）由 ， ， 得 ，所以 ， 问题转化为当 时， ． ①当 时， 单调递减， 所以 ， （a） ， 由 ，解得 无解； ②当 时， 在 上递减，在 ， 上递增， 所以 ， 而 ， ， 则 ， 由 ，解得 无解； ③当 时， 在 上递减，在 ， 上递增，在 ， 上递减， 而 ， 所以 ， ， 由 解得 ， ④当 时， 在 上递减，在 ， 上递增，在 ， 上递减，在 ， 上递增，又 ， 所以 ， （a） ， 由 ，解得 ， 综上可知： ．