文档内容
专题 01 集合和常用逻辑用语
【目录】
..............................................................................................................................................2
..............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
..............................................................................................................................................8
考点一：集合的基本概念........................................................................................................................................8
考点二：集合间的基本关系....................................................................................................................................9
考点三：集合的运算..............................................................................................................................................12
考点四：以集合为载体的创新题...........................................................................................................................15
考点五：充分条件与必要条件..............................................................................................................................17
考点六：全称量词与存在量词..............................................................................................................................19有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分
值5分．近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能
力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练．
考点要求 考题统计 考情分析
【命题预测】
集合的基本概念 2023年上海卷第13题，4分
预测2024年高考，多以小题
2023年II卷第2题，5分
形式出现，也有可能会将其
集合间的基本关系
2021年上海卷第14题，5分 渗透在解答题的表达之中，
2023年 I卷第1题，5分 相对独立．具体估计为：
集合的运算 2022年I卷第1题，5分 （1）以选择题或填空题形式
2021年I卷第1题，5分 出现，考查学生的综合推理
能力．
2023年天津卷第2题，5分 （2）热点是集合间的基本运
充分条件与必要条件 2022年天津卷第2题，5分 算、数轴法的应用和体现集
2021年甲卷第7题，5分 合的语言工具作用．1、集合中的逻辑关系
（1）交集的运算性质．
， ， ， ， ．
（2）并集的运算性质．
， ， ， ， ．
（3）补集的运算性质．
， ， ， ．
补充性质： ．
（4）结合律与分配律．
结合律： ．
分配律： ．（5）反演律（德摩根定律）．
．
即“交的补 补的并”，“并的补 补的交”．
2、由 个元素组成的集合 的子集个数
的子集有 个，非空子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个．
3、容斥原理
．
4、从集合与集合之间的关系上看
设 .
（1）若 ，则 是 的充分条件( )， 是 的必要条件；若 ，则 是 的充分不
必要条件， 是 的必要不充分条件，即 且 ；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小 大”.
（2）若 ，则 是 的必要条件， 是 的充分条件；
（3）若 ，则 与 互为充要条件.
1．（2023•新高考Ⅱ）设集合 ， ， ， ， ，若 ，则
A．2 B．1 C． D．
【答案】
【解析】依题意， 或 ，
当 时，解得 ，
此时 ， ， ，0， ，不符合题意；
当 时，解得 ，
此时 ， ， ， ， ，符合题意．
故选： ．
2．（2023•北京）已知集合 ， ．则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意， ， ，
．故选： ．
3．（2023•天津）已知集合 ，2，3，4， ， ， ， ，2， ，则
A． ，3， B． ， C． ，2， D． ，2，4，
【答案】
【解析】 ，2，3，4， ， ， ， ，2， ，
则 ， ，
故 ，3， ．
故选： ．
4．（2023•新高考Ⅰ）已知集合 ， ，0，1， ， ，则
A． ， ，0， B． ，1， C． D．
【答案】
【解析】 ， ， 或 ，
， ， ，则 ．
故选： ．
5．（2023•乙卷）设集合 ，集合 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意： ，又 ，
．
故选： ．
6．（2023•甲卷）设集合 ， ， ， ， 为整数集，则
A． ， B． ， C． ， D．
【答案】
【解析】 ， ， ， ，
或 ， ，又 为整数集，
， ．
故选： ．
7．（2023•上海）已知 ， ， ， ，若 ， ，则A． B． C． D． ，2，
【答案】
【解析】 ， ， ， ， ， ，
．
故选： ．
8．（2023•天津）“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】 ，即 ，解得 或 ，
，即 ，解得 ，
故“ ”不能推出“ ”，充分性不成立，
“ ”能推出“ ”，必要性成立，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选： ．
9．（2022•浙江）设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】 ，
①当 时，则 ， 充分性成立，
②当 时，则 ， 必要性不成立，
是 的充分不必要条件，
故选： ．
10．（2022•天津）“ 为整数”是“ 为整数”的 条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】
【解析】 为整数时， 也是整数，充分性成立；
为整数时， 不一定是整数，如 时，所以必要性不成立，是充分不必要条件．
故选： ．
11．（2022•新高考Ⅰ）若集合 ， ，则A． B． C． D．
【答案】
【解析】由 ，得 ， ，
由 ，得 ， ，
．
故选： ．
12．（2022•新高考Ⅱ）已知集合 ，1，2， ， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【解析】 ，解得： ，
集合
， ．
故选： ．
13．（2022•甲卷）设全集 ， ，0，1，2， ，集合 ， ， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【解析】 ， ， ， ，
，1，2， ，
又 ， ，0，1，2， ，
， ．
故选： ．
14．（2022•乙卷）集合 ，4，6，8， ， ，则
A． ， B． ，4， C． ，4，6， D． ，4，6，8，
【答案】
【解析】 ，4，6，8， ， ，
， ．
故选： ．考点一：集合的基本概念
利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性．
例1．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知集合 ， ，则集合
中元素的个数为（ ）
A．30 B．28 C．26 D．24
【答案】B
【解析】 ， ，
因为 ，
当 时， 为偶数，共有 个元素.
当 时， 为奇数，
此时 ，共有 个元素.
当 时， 为奇数，
此时 ，有重复数字 ，去掉，共有 个元素.
综上 中元素的个数为 个.
故选：B
例2．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考开学考试）若 ，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以① 或② ，由①得 或 ，其中 与
元素互异性矛盾，舍去， 符合题意，由②得 ，符合题意，两种情况代入得 .
故选：C.
例3．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2【答案】A
【解析】由题意 可知，两集合元素全部相等，得到 或 ，又根据集合互异性，可知
，解得 (舍)， 和 (舍)，所以 ， ，则 ，
故选：A
例4．（2023秋·广东惠州·高三校考阶段练习）已知集合 中恰有两个元素，则a
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由集合 中恰有两个元素，得 ，
解得 ．
故选：B．
例5．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知集合 ， ，则集合B中
所有元素之和为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．
【答案】C
【解析】根据条件分别令 ，解得 ，
又 ，所以 ， ，
所以集合B中所有元素之和是 ，
故选：C．
考点二：集合间的基本关系
（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合
的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．
（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数
满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析．
例6．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）设 ， ，
则（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，因为 ，
所以集合 是由所有奇数的一半组成，
而集合 是由所有整数的一半组成，故 .
故选：B
例7．（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）已知集合 ， ， ，
则 的子集共有（ ）
A．4个 B．8个 C．16个 D．32个
【答案】C
【解析】因为 ， ，所以 ，
所以 ，则 的子集共有 个.
故选：C
例8．（2023·江西南昌·高三统考开学考试）已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据幂函数 的定义域知 ，则 ，
根据指数函数的值域知 ，则 ，
则 ，且 ，故BC错误， ，则D错误，
故选：A.
例9．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考开学考试）集合 的真子集个
数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】A
【解析】根据题意可知 ，解得 ；
即 ，可知集合 中含有3个元素，
所以其真子集个数为 个.
故选：A
例10．（2023·江苏扬州·高三仪征中学校考开学考试）设 ， ．若，则实数 组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 得： 或 ， ；
当 时， ，此时满足 ；
当 时，由 得： ，即 ，
， 或 ，解得： 或 ；
综上所述：实数 组成的集合为 .
故选：C.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知全集 和它的两个非空子集 ， 的关系如图所示，则下列命题
正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】由图可知 ，且 ， 非空，
则根据子集的定义可得：
对于 ， ， 不正确，
对于 ， ， 正确，
对于 ， ， 不正确，
对于 ， ， 不正确，
故选： ．
例12．（2023·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考开学考试）若集合
,则能使 成立的所有 组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时,即 , 时成立;当 时,满足 ,解得 ;
综上所述: .
故选:C.
考点三：集合的运算
凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、
并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.
例13．（2023·安徽滁州·高三校考开学考试）设全集 ，集合 ，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】全集 ，集合 ，
或 ，
所以 ，
则 ．
故选：B．
例14．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知全集为 ，集合 ， 满足 ，则下列运算结果
为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】全集 ，集合 ， 满足 ，绘制Venn图，如下：
对于A： ，A错误；
对于B： ，B错误；对于C： ，C错误；
对于D： ，D正确.
故选：D.
例15．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 ，解得： 或 ，故 .
故选：A
例16．（2023·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知全集 的两个非空真子集 满足
，则下列关系一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 是全集 的两个非空真子集， ，得 ，
如图，当 时， ，A错误；
观察图形 ， ，BC错误；
由 ，得 ，因此 ，D正确.
故选：D
例17．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元1世纪左右．该
书内容十分丰富，全书总结了战国、秦汉时期的数学成就．某数学兴趣小组在研究《九章算术》时，结合
创新，给出下面问题：现有100人参加有奖问答，一共5道题，其中91人答对第一题，87人答对第二题，
81人答对第三题，78人答对第四题，88人答对第五题，其中答对三道题以上（包括三道题）的人可以获
得奖品，则获得奖品的人数至少为（ ）
A．70 B．75 C．80 D．85
【答案】B【解析】由题意知，一共回答了500道题，其中回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．
由于答对3道题以上（包括3道题）的人可以获得奖品，即答错3道题及以上的人没有奖品，
故最多会有 人没有奖品，故获得奖品的人数至少为75．
故选：B.
例18．（2023·天津静海·高三校考开学考试）设集合 ， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知 ，
， ．
故选：C．
例19．（2023·北京丰台·高三北京丰台二中开学考试）已知集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 可得 ；
由 可得 ，即知 ；
因此 .
故选：B
例20．（2023·山西·统考三模）设全集为 ，集合 ， ，则
.
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
又因为
所以 .
故答案为：考点四：以集合为载体的创新题
1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和
方法并不难，难在转化.
2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定
理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解.
例21．（2023·全国·高三专题练习）若 且 , ,则称a为集合A的孤立元素．若集合
,集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合 的三元子集个数为 ，
满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为
，一共35种，
由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率 ．
故选：C．
例22．（2023·云南保山·统考二模）定义集合运算： ，设 ，
，则集合 的所有元素之和为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
【答案】A
【解析】由题设知 ，
所有元素之和为 ，
故选：A.
例23．（2023·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考阶段练习）十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代数
学的基础.著名的“康托三分集.（Cantor）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过
程如下：将闭区间 均分为三段，去掉中间的开区间段 ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间， 分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上
一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进
行下去.以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”.第三次操作后，从左到右第四个区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】第一次操作剩下： ；
第二次操作剩下： ；
第三次操作剩下： ；
即从左到右第四个区间为 .
故选：C.
例24．（2023·安徽蚌埠·统考二模）对于数集 ， ，定义 ，
， ，若集合 ，则集合 中所有元素之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据新定义，数集 ， ，定义 ， ，
，集合 ， ， ，则可知所有元素的和为 ，
故选：D.
例25．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）对于集合A，B，定义集合 且
，已知集合 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】结合新定义可知 ，又 ，
所以 ．
故选：A例26．（2023·全国·高三专题练习）对于集合 ，定义 ，且 ．若
， ，将集合 中的元素从小到大排列得到数列 ，则
（ ）
A．55 B．76 C．110 D．113
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，所以 ． 相当于集合 中除去 形式的数，其前
45项包含了15个这样的数，所以 ．
则 ，
故选：C.
考点五：充分条件与必要条件
抓住关键词:大必小充.即小范围推大范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件.
例27．（2023·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考阶段练习）已知条件 ，条件 ，则
是 的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由 或 ，不妨设 ，
或 ，不妨设 ，
因为B真包含于A，所以 推不出 ， 能推出 ，
所以 是 的必要不充分条件.
故选：C
例28．（2023·广东深圳·高三校考阶段练习）若向量 ，则“ ”是“向量 的夹角
为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】向量 ，由向量 的夹角为钝角，
即有 ，解得 且 ，
即“ ”不能推出“ 且 ”即“向量 的夹角为钝角”；
“向量 的夹角为钝角”即“ 且 ”能推出“ ”；
故“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件，
即“ ”是“向量 的夹角为钝角”的必要不充分条件．
故选：B．
例29．（2023·江西·校联考模拟预测）已知条件 ，条件 ，且 是 的充分不必要条
件，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由条件 ，解得 或 ；
因为 是 的充分不必要条件，所以 是 的充分不必要条件，
故 是 或 的真子集，
则 的取值范围是 ，
故选：B．
例30．（2023·江苏南通·高三统考开学考试）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】 可得 ，则 ，但是当 时， ， 有可能小于零，此时不能推出
，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
例31．（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）命题“ ”为真命题的一个充分不
必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，则 ，即 ，
∴a的取值范围由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为 的真子集，
结合选项可知B对应的集合为 为 的真子集，其它都不符合，
∴符合的只有B，
故选：B.
考点六：全称量词与存在量词
（1）含有一个量词的命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”、“存在”变“任意”).再否定
结论；
（2）清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提；
（3）注意命题的否定与否命题的区别；
（4）当 的真假不易判断时，可转化为去判断 的真假.
例32．（2023·河北石家庄·高三校考阶段练习）命题p： ， ，则命题p的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p的否定应该为 ， ．
故选：C．
例33．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳实验高级中学校考开学考试）已知命题 ： ，使得
成立为真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】命题 为真命题等价于不等式 有解．
当 时，不等式变形为 ，则 ，符合题意；
当 时， ，解得 ；
当 时，总存在 ，使得 ；
综上可得实数 的取值范围为 ．
故选：B
例34．（2023·全国·高三专题练习）若命题“ ，使 成立”的否定是真命题，则实数
的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】若“ ，使 成立”的否定是：
“ ，使 ”为真命题，
即 ；令 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
故选：C.
例35．（2023·山东·高三校联考阶段练习）给出下列命题
① ；② ；③ ；④ ．
其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①中，由不等式 恒成立，所以命题 为真命题；
②中，当 时，此时 ，所以命题 为假命题；
③中，当 时，此时 成立，所以命题 为真命题；
④中，由 ，可得 ，所以命题 为真命题．
故选：C.
例36．（2023·甘肃酒泉·高三敦煌中学校考阶段练习）命题 的否定形式 为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为命题 的否定形式为：
，
故选： .
