北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1.2 常用逻辑用语
考点一 充分条件与必要条件
1.(2019天津文,3,5分)设x∈R,则“0<x<5”是“|x-1|<1”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B |x-1|<1⇔-1<x-1<1⇔0<x<2.
当0<x<2时,必有0<x<5;
反之,不成立.
所以,“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.
一题多解 因为{x||x-1|<1}={x|0<x<2}⫋{x|0<x<5},
所以“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.
2.(2018天津,理4,文3,5分)设x∈R,则“| 1|<1”是“x3<1”的( )
x-
2 2
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A 本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断.
由| 1|<1得-1<x-1<1,解得0<x<1.
x-
2 2 2 2 2
由x3<1得x<1.当0<x<1时能得到x<1一定成立;当x<1时,0<x<1不一定成立.所以“| 1|<1”是
x-
2 2
“x3<1”的充分而不必要条件.
方法总结 (1)充分、必要条件的判断.解决此类问题应分三步:①确定条件是什么,结论是什么;②尝试从条
件推结论,从结论推条件;③确定条件和结论是什么关系.
(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件.解答此类题目,可先从结论出发,求出使结论成立的必要条件,
然后验证得到的必要条件是否满足充分性.
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3.(2017北京理,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A 由存在负数λ,使得m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0,故充分性成立.由
m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.故选A.
4.(2017天津理,4,5分)设θ∈R,则“| π |< π ”是“sin θ<1”的( )
θ-
12 12 2
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A 本题考查不等式的解法及充分必要条件的判断.
∵| π |< π ⇔- π <θ- π < π ⇔0<θ<π,
θ-
12 12 12 12 12 6
sin θ<1⇔θ∈( 7π π),k∈Z,
2kπ- ,2kπ+
2 6 6
( π)⫋( 7π π),k∈Z,
0, 2kπ- ,2kπ+
6 6 6
∴“| π |< π ”是“sin θ<1”的充分而不必要条件.
θ-
12 12 2
5.(2016天津理,5,5分)设{a}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数
n
n,a +a <0”的( )
2n-1 2n
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
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a
答案 C 若对任意的正整数n,a
2n-1
+a
2n
<0,则a
1
+a
2
<0,又a
1
>0,所以a
2
<0,所以q= 2<0.若q<0,可取q=-1,a
1
=1,
a
1
则a+a=1-1=0,不满足对任意的正整数n,a +a <0.所以“q<0”是“对任意的正整数n,a +a <0”的必要
1 2 2n-1 2n 2n-1 2n
而不充分条件.故选C.
评析 本题以等比数列为载体,考查了充分条件、必要条件的判定方法,属中档题.
g
6.(2015重庆理,4,5分)“x>1”是“lo 1(x+2)<0”的( )
2
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
g
答案 B 当x>1时,x+2>3>1,又y=lo 1x是减函数,
2
g g g g g
∴lo 1(x+2)<lo 11=0,则x>1⇒lo 1(x+2)<0;当lo 1(x+2)<0时,x+2>1,x>-1,则lo 1(x+2)<0⇒ /x>1.故
2 2 2 2 2
g
“x>1”是“lo 1(x+2)<0”的充分而不必要条件.选B.
2
7.(2015天津理,4,5分)设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A 因为|x-2|<1等价于-1<x-2<1,即1<x<3,由于(1,2)⫋(1,3),所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分而不必
要条件,故选A.
8.(2015湖南理,2,5分)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C 若A∩B=A,任取x∈A,则x∈A∩B,
∴x∈B,故A⊆B;若A⊆B,任取x∈A,都有x∈B,
∴x∈A∩B,∴A⊆(A∩B),又A∩B⊆A显然成立,∴A∩B=A.
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综上,“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件,故选C.
9.(2015陕西理,6,5分)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A 由sin α=cos α,得cos 2α=cos2α-sin2α=0,即充分性成立.
由cos 2α=0,得sin α=±cos α,即必要性不成立.故选A.
10.(2014课标Ⅱ文,3,5分)函数f(x)在x=x 处导数存在.若p:f '(x)=0;q:x=x 是f(x)的极值点,则( )
0 0 0
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
答案 C ∵f(x)在x=x 处可导,∴若x=x 是f(x)的极值点,则f '(x)=0,∴q⇒p,故p是q的必要条件;反之,以
0 0 0
f(x)=x3为例, f '(0)=0,但x=0不是极值点,∴p⇒ /q,故p不是q的充分条件.故选C.
11.(2014安徽理,2,5分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0⇒x<0;而x<0⇒/-1<x<0,故选B.
12.(2014浙江理,2,5分)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
当a=b=1时,有(1+i)2=2i,即充分性成立.当(a+bi)2=2i时,有a2-b2+2abi=2i,得{a2-b2=0,解得
ab=1,
a=b=1或a=b=-1,即必要性不成立,故选A.
评析 本题考查复数的运算,复数相等的概念,充分条件与必要条件的判定,属于容易题.
13.(2014北京理,5,5分)设{a}是公比为q的等比数列.则“q>1”是“{a}为递增数列”的( )
n n
A.充分而不必要条件
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B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 D 若q>1,则当a=-1时,a=-qn-1,{a}为递减数列,所以“q>1”⇒/ “{a}为递增数列”;若{a}为递增
1 n n n n
数列,则当a
n
=-(1) n 时,a
1
=-1,q=1<1,即“{a
n
}为递增数列”⇒/ “q>1”.故选D.
2 2 2
考点二 全称量词与存在量词
1.(2015课标Ⅰ理,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为( )
A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n
C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n
答案 C 根据特称命题的否定为全称命题,知¬p:∀n∈N,n2≤2n,故选C.
2.(2015浙江理,4,5分)命题“∀n∈N*, f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.∀n∈N*, f(n)∉N*且f(n)>n
B.∀n∈N*, f(n)∉N*或f(n)>n
C.∃n∈N*, f(n)∉N*且f(n)>n
0 0 0 0
D.∃n∈N*, f(n)∉N*或f(n)>n
0 0 0 0
答案 D “f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”,全称命题的否定为特称命题,故选D.
3.(2014湖北文,3,5分)命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是( )
A.∀x∉R,x2≠x B.∀x∈R,x2=x
C.∃x∉R,x2≠x D.∃x∈R,x2=x
答案 D 原命题的否定为∃x∈R,x2=x.故选D.
4.(2013重庆理,2,5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为( )
A.对任意x∈R,都有x2<0 B.不存在x∈R,使得x2<0
C.存在x
0
∈R,使得 x2≥0 D.存在x
0
∈R,使得
x2
<0
0 0
答案 D 全称命题的否定是特称命题.“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为“存在x 0 ∈R,使得 x2 <0”,故
0
选D.
5.(2015山东理,12,5分)若“∀x∈[ π],tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为 .
0,
4
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答案 1
π [ π]
解析 ∵0≤x≤ ,∴0≤tan x≤1,∵“∀x∈ 0, ,tan x≤m”是真命题,∴m≥1.∴实数m的最小值为1
4 4
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