北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
10.2 二项式定理
考点 二项式定理
1.(2016四川理,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为( )
A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4
答案 A T 3 = C2 x4i2=-15x4,故选A.
6
易错警示 易误认为i2=1而致错.
2.(2015湖北理,3,5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为
( )
A.212 B.211 C.210 D.29
答案 D ∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为 C3 , C7 ,∴ C3 = C7 ,得n=10.
n n n n
从而有 C0 + C1 + C2 + C3 +…+ C10 =210,
10 10 10 10 10
又 C0 + C2 +…+ C10 = C1 + C3 +…+ C9 ,
10 10 10 10 10 10
∴奇数项的二项式系数和为 C0 + C2 +…+ C10 =29.
10 10 10
评析 本题考查求二项展开式的二项式系数及其性质、组合数性质,考查运算求解能力.
3.(2015陕西理,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N)的展开式中x2的系数为15,则n=( )
+
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 C 因为(x+1)n的展开式中x2的系数为 Cn-2 ,
n
所以 Cn-2 =15,即 C2 =15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍).
n n
4.(2015课标Ⅰ理,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )
A.10 B.20 C.30 D.60
答案 C (x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有 C2 (x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为 C2C1 =30,故选C.
5 5 3
5.(2014四川理,2,5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( )
A.30 B.20 C.15 D.10
答案 C 在(1+x)6的展开式中,含x2的项为T 3 = C2 ·x2=15x2,故在x(1+x)6的展开式中,含x3的项的系数为15.
6
第 1 页 共 7 页第 1 页 共 7 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
评析 本题考查二项展开式中求指定项的系数,属容易题.但在(1+x)6前面乘以x后,易误求T 4 = C3 x3.
6
6.(2014湖南理,4,5分)(1 ) 5 的展开式中x2y3的系数是( )
x-2y
2
A.-20 B.-5 C.5 D.20
答案 A 展开式的通项为T k+1 = Ck(1 x ) 5-k ·(-2y)k=(-1)k·22k-5 Ck x5-k·yk,令5-k=2,得k=3.则展开式中x2y3的
5 2 5
系数为(-1)3·22×3-5
C3
=-20,故选A.
5
评析 本题考查由二项式定理求指定项系数、组合数的计算,考查学生的运算求解能力,属于中档题.
7.(2014浙江理,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=(
)
A.45 B.60 C.120 D.210
答案 C 在(1+x)6的展开式中,xm的系数为 Cm ,在(1+y)4的展开式中,yn的系数为 Cn ,故f(m,n)= Cm · Cn .从而
6 4 6 4
f(3,0)=
C3
=20, f(2,1)=
C2
·
C1
=60, f(1,2)=
C1
·
C2
=36, f(0,3)=
C3
=4,故选C.
6 6 4 6 4 4
8.(2013课标Ⅱ理,5,5分)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( )
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
答案 D 由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为T r+1 = Cr ·xr,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的
5
系数为 C2 ,当r=1时,x2的系数为 C1 ·a,所以 C2 + C1 ·a=5,a=-1,故选D.
5 5 5 5
9.(2013辽宁理,7,5分)使(
3x+
1 ) n (n∈N
+
)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
x√x
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 B T
r+1
=C
n
r(3x)n-r·
x
- 3
2
r=C
n
r·3n-r·
x
n-r- 3
2
r=C
n
r·3n-r·
x
n- 5
2
r (r=0,1,2,…,n),
5 5
若T 是常数项,则有n- r=0,即2n=5r(r=0,1,…,n),当r=0,1时,n=0, ,不满足条件;当r=2时,n=5,故选B.
r+1
2 2
10.(2013大纲全国理,7,5分)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是( )
A.56 B.84 C.112 D.168
第 2 页 共 7 页第 2 页 共 7 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 D (1+x)8·(1+y)4的展开式中x2y2的系数为 C2 · C2 =28×6=168,选D.
8 4
11.(2013课标Ⅰ理,9,5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式
系数的最大值为b.若13a=7b,则m=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
13·(2m)! 7·(2m+1)!
答案 B
由题意得:a=Cm ,b=Cm ,所以13Cm =7Cm
,∴ = ,∴
2m 2m+1 2m 2m+1 m!·m! m!·(m+1)!
7(2m+1)
=13,解得m=6,经检验m=6为原方程的解.选B.
m+1
12.(2012湖北理,5,5分)设a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a=( )
A.0 B.1 C.11 D.12
答案 D 512 012+a=(52-1)2 012+a=522 012+ C1 ×522 011×(-1)+…+ C2 011 ×52×(-1)2 011+(-1)2 012+a能被13整除,
2 012 2 012
只需(-1)2 012+a=1+a能被13整除即可.∵0≤a<13,∴a=12,故选D.
评析 本题考查二项式定理及整除等知识,考查学生应用意识和运算求解能力.
13.(2012安徽理,7,5分)(x2+2)( 1 -1 ) 5 的展开式的常数项是( )
x2
A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案 D 由题意知展开式的常数项为2×(-1)5+ C1 ×(-1)4=-2+5=3,故选D.
5
评析 本题考查二项式定理的应用,抓住常数项的构成特征是顺利解题的关键.
14.(2018上海,3,4分)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为 (结果用数值表示).
答案 21
解析 本题主要考查二项展开式.
7×6
(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为C2= =21.
7 2
15.(2016天津理,10,5分)( x2- 1) 8 的展开式中x7的系数为 .(用数字作答)
x
答案 -56
解析 T r+1 = Cr x16-2r(-x)-r=(-1)-r Cr x16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为(-1)-3 C3 =-56.
8 8 8
易错警示 本题中,展开式的通项易写错,尤其是符号,正负易混,需引起注意.
评析 本题主要考查二项式定理,对运算求解能力要求较高.属中档题.
第 3 页 共 7 页第 3 页 共 7 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
16.(2015天津,12,5分)在( 1 ) 6 的展开式中,x2的系数为 .
x-
4x
15
答案
16
解析 ( x- 1 ) 6 的展开式的通项为T r+1 = Cr x6-r( - 1 ) r =( - 1) r Crx6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以x2的系数
4x 6 4x 4 6
为
C2
×(
-
1) 2 =15.
6 4 16
17.(2015重庆理,12,5分)( x3+ 1 ) 5 的展开式中x8的系数是 (用数字作答).
2√x
5
答案
2
解析 二项展开式的通项为T r+1 = Cr(x3)5-r·( 1 ) r = 1 Cr· 15-3r- r,令15-3r-r=8,得r=2,于是展开式中
5 2√x 2r 5 x 2 2
1 1 5
x8的系数为 ×C2 = ×10= .
22 5 4 2
18.(2015课标Ⅱ理,15,5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .
答案 3
1
解析 设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇数次幂项的系数和为
2
1
[f(1)-f(-1)],∴ ×(a+1)×16=32,∴a=3.
2
评析 二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法.
19.(2014安徽理,13,5分)设a≠0,n是大于1的自然数,(
1+
x) n 的展开式为a
0
+a
1
x+a
2
x2+…+a
n
xn.若点A
i
(i,a
i
)
a
(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= .
第 4 页 共 7 页第 4 页 共 7 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 3
解析 根据题意知a=1,a=3,a=4,
0 1 2
1
{C1 n · a =3, { n-1= 8 a,
结合二项式定理得 即 解得a=3.
3
1
C2· =4, n=3a,
n a2
20.(2014课标Ⅰ理,13,5分)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为 .(用数字填写答案)
答案 -20
解析 由二项展开式公式可知,含x2y7的项可表示为x· C7 xy7-y· C6 x2y6,故(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数
8 8
为 C7 - C6 = C1 - C2 =8-28=-20.
8 8 8 8
21.(2014课标Ⅱ理,13,5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a= .(用数字填写答案)
1
答案
2
解析 T r+1 = Cr x10-rar,令10-r=7,得r=3,
10
10×9×8 1 1
∴C3 a3=15,即 a3=15,∴a3= ,∴a= .
10 3×2×1 8 2
22.(2013浙江理,11,4分)设二项式( √x- 1 ) 5 的展开式中常数项为A,则A= .
√3 x
答案 -10
解析 展开式通项为T
r+1
= Cr·(
√x
)5-r(- 1 ) r
5 √3 x
5 5 5 5
=C
5
r(-1)r
x2
-
6
r.令
2
-
6
r=0,得r=3.
当r=3时,T
4
=
C3
(-1)3=-10.故A=-10.
5
第 5 页 共 7 页第 5 页 共 7 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
23.(2012福建理,11,4分)(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a= .
答案 2
解析 T 3+1 = C3 a1x3=4ax3,∴4a=8,∴a=2.
4
评析 本题考查二项展开式的通项公式,也考查了学生的运算求解能力.
24.(2012浙江理,14,4分)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a+a(1+x)+a(1+x)2+…+a(1+x)5,其中a,a,a,…,a 为实
0 1 2 5 0 1 2 5
数,则a= .
3
答案 10
解析 由于f(x)=x5=[(1+x)-1]5,所以a 3 = C3 (-1)2=10.
5
评析 本题考查二项式定理的运用,考查整体思想、转化与化归思想,可利用构造法解决问题.
25.(2012大纲全国理,15,5分)若( 1) n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中 1
x+
x x2
的系数为 .
答案 56
解析 由
C2
=
C6
得n=8,T
r+1
=
Cr
x8-r·(1) r =
Cr
x8-2r,令8-2r=-2,解得r=5,故所求系数为
C5
=
C3
=56.
n n 8 x 8 8 8
评析 本题考查了二项式定理,运用二项展开式的通项公式求指定项的系数.
26.(2016课标Ⅰ,14,5分)(2x+√x)5的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案)
答案 10
r r
解析 T r+1 =C 5 r(2x)5-r·(√x)r=25-rC 5 r· x 5- 2 ,令5- 2 =3,得r=4,∴T 5 =10x3,∴x3的系数为10.
思路分析 利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为3,求出r,即可求解x3的系数.
方法总结 写出二项展开式的通项,化简通项,解出满足题意的r的值,代入通项是解决此类问题的通法.
27.(2016山东,12,5分)若( ax2+ 1 ) 5 的展开式中x5的系数是-80,则实数a= .
√x
答案 -2
5
解析 T r+1 =a5-r Crx 10- 2 r,
5
5
令10- r=5,
2
第 6 页 共 7 页第 6 页 共 7 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
解之得r=2,所以a3
C2
=-80,a=-2.
5
第 7 页 共 7 页
