文档文本内容
专
题
十
计
数 原
理 ／
１２３
１０．２ 二项式定理
§
对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等
（１） ： “ ” ，
即 ③ Ｃ ｍ ｎ ＝Ｃｎ ｎ － ｍ． ．
增减性与最大值 对于二项式系数 ｒ ｒ ｎ 当ｒ
考点 二项式定理 （２） ： Ｃｎ（ ＝０，１，２，…， ），
ｎ ｎ
＋１时 二项式系数是递增的 当ｒ ＋１时 二项式系数是递减的．
１．二项式定理 ＜ ， ； ＞ ，
２ ２
公式 （ ａ ＋ ｂ ） ｎ ＝Ｃ ０ｎ ａｎ ＋Ｃ １ｎ ａｎ －１ｂ１ ＋…＋Ｃ ｋ ｎ ａｎ － ｋｂｋ ＋…＋Ｃ ｎ ｎ ｂｎ （ ｎ ∈ 当ｎ是偶数时 二项展开式的中间一项 ( 第 ｎ 项 ) 的二
Ｎ∗
）
叫做二项式定理．公式中右边的多项式叫做
（
ａ
＋
ｂ
）
ｎ 的二项 ，
２
＋１
展开 式 ， 其 中 各 项 的 系 数 Ｃ ｋ ｎ （ ｋ ＝ ０， １， …， ｎ ） 叫 做 项式系数最大 ， 即最大的二项式系数为 ④ Ｃｎ ｎ ２ ．
① 二项式系数 ， 式中的 Ｃ ｋ ｎ ａｎ － ｋｂｋ 叫做二项展开式的通项 ， 用Ｔ ｋ ＋１ 当 ｎ 是 奇 数 时 ， 二 项 展 开 式 的 中 间 两 项
表示 即通项为展开式的第 ｋ 项． ( ｎ ｎ )
， ② ＋１ 第 ＋１项和第 ＋３项 的二项式系数相等且最大 即最大的二项
２．二项展开式形式上的特点 ，
２ ２
（１） 项数为ｎ ＋１ ． 式系数为 ⑤ Ｃｎ ｎ－ ２ １ 和 ⑥ Ｃｎ ｎ＋ ２ １ ．
各项的次数都等于二项式的幂指数ｎ 即ａ与ｂ的指数 二项式系数的和
（２） ， （３）
的和为ｎ． ａ ｂ ｎ 的展开式的各个二项式系数的和等于 ｎ 即
（ ＋ ） ２ ，
（３） 字母ａ按降幂排列 ， 从第一项开始 ， 次数由ｎ逐项减 １ 直到 ⑦ Ｃ ０ｎ＋Ｃ １ｎ＋Ｃ ２ｎ＋ … ＋Ｃ ｒ ｎ＋ … ＋Ｃ ｎ ｎ ＝２ ｎ．
字母ｂ按升幂排列 从第一项起 次数由零逐项增 直到ｎ． 二项展开式中 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二
０， ， ， １ ，
（４） 二项式系数为 Ｃ ０ｎ，Ｃ １ｎ，…，Ｃ ｎ ｎ－１ ，Ｃ ｎ ｎ ． 项式系数的和 ， 即 Ｃ １ｎ＋Ｃ ３ｎ＋Ｃ ５ｎ＋…＝Ｃ ０ｎ＋Ｃ ２ｎ＋Ｃ ４ｎ＋…＝⑧ ２ ｎ －１ ．
３．二项式系数的性质
æ ｘ ö３æ ö３
Ｃ ３ ６è ç ø ÷ è ç － １ ｘ ø ÷ ＝－ ５ ．
２ ２
考法一 求二项展开式中特定项或特定项的系数 答案 （ ）Ｄ （ ） ５
１ ２ －
２
例１ （２０１９ 安徽合肥第一次教学质量检测，８）若 方法总结 求二项展开式中的特定项 一般是利用通项公
（１） ，
æ è çａｘ － １ ｘ ö ø ÷ ６ 的展开式的常数项是 ６０， 则ａ的值为 （ ） 式 为 进 零 行 求 ， 化 有 简 理 通 项 项 时 后 指 ， 令 数 字 为 母 整 的 数 指 等 数符 解 合 出 要 ｒ 求 代 （ 回 求 通 常 项 数 即 项 可 时 ． ， 指数
； ， ）， ，
Ａ．４ Ｂ．±４ Ｃ．２ Ｄ．±２
（２０２１ 届江西南昌莲塘二中 ３ 月阶段性测试） 考法二 求二项式系数和与展开式中各项系数和
（２）
æ ｘ ö６ 例２ （２０１９陕西师大附中模拟）在二项式 ｘ ｎ
ç １ ÷ 的展开式的中间一项为 ． （１） （１－２ ）
è － ｘ ø 的展开式中 偶数项的二项式系数之和为 则展开式的中间
２
， １２８，
解题导引 常数项是指ｘ０ 项的系数 展开式的通项是 项的系数为
（１） ， （ ）
什么 化简通项时用到什么运算 指数幂的运算性质有哪些
？ ， ？ Ａ．－９６０ Ｂ．９６０
根式如何化成指数幂形式 结合指数幂运算化通项为最简形式
？ Ｃ．１１２０ Ｄ．１６８０
再求解． ( )ｎ
若 ｘ２ １ 的展开式中含ｘ的项为第 项 设 ｘ ｎ
共有 项 由通项公式求出中间项Ｔ ． （２） － ｘ ６ ， （１－３ ）
（２） ７ ， ４
解析 （
１
） æ
è
çａｘ
－
１
ｘ
ö
ø
÷ ６ 的展开式的通项为Ｔ
ｒ ＋１＝Ｃ６
ｒ（ａｘ）６－ ｒ· ＝ ａ ０＋
解
ａ １
析
ｘ ＋ ａ ２
（
ｘ２ ＋
）
…
根
＋
据
ａ ｎ ｘ
题
ｎ ，
意
则
，
ａ
奇
１＋
数
ａ ２
项
＋…
的
＋ ａ
二
ｎ
项
的值
式
为
系 数 之 和 也
．
应为
１
æ öｒ ，所以在（ ｘ）ｎ 的展开式中，二项式系数之和为 ，
è
ç
－
１
ｘ ø
÷
＝
（
－１
）ｒａ６－ ｒ·
Ｃ６
ｒｘ６－２ ３ｒ， １２８
即 ｎ
１－
，
２
ｎ ，
２５６
２ ＝２５６ ＝８
令 ３ ｒ ，解得ｒ ．
则（
１－２
ｘ）８ 的展开式的中间项为第
５
项，
∴ 常 ６－ 数 ２ 项 ＝ 为 ０ （ －１ ）４ａ６ ＝ －４ ４ · Ｃ ４ ６＝１５ ａ２ ＝６０ ． 所 且 以 Ｔ ５ 展 ＝Ｃ 开 ４ ８ （ 式 － 的 ２ ） 中 ４ｘ 间 ４ ＝ 项 １ 的 １２ 系 ０ ｘ 数 ４， 为 １１２０ ．
ａ ，故选 ． ( )ｎ ( )ｒ ∴ ＝ æ ± ｘ ２ ö６ Ｄ （ ２ ） ｘ２ － １ ｘ 的展开式的通项为Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ ｒ ｎ （ｘ２）ｎ － ｒ· － １ ｘ
（ ）ç １ ÷ 的展开式有 项，中间项为第 项，即 Ｔ
２ è ２ － ｘ ø ７ ４ ４＝ ＝Ｃ ｒ ｎ （ －１ ）ｒｘ２ ｎ －３ ｒ，因为含ｘ的项为第 ６ 项，所以ｒ ＝５ ， ２ ｎ －３ ｒ ＝１ ，解
A
版
高
考
数
学
／
１２４
得ｎ ，令ｘ ，得ａ ａ … ａ （ ）８ ８，令ｘ ，得ａ （ ）二项式系数之和为 ０ １ ２ … ９ ９．
＝８ ＝１ ０＋ １＋ ＋ ８＝ １－３ ＝２ ＝０ ０＝ １ Ｃ９＋Ｃ９＋Ｃ９＋ ＋Ｃ９＝２
１ ，所以ａ １＋ ａ ２＋ … ＋ ａ ８＝２ ８ －１＝２５５ ． （ ２ ）令ｘ ＝１ ，ｙ ＝１ 得各项系数之和为ａ ０＋ ａ １＋ ａ ２＋ … ＋ ａ ９＝ （ ２－
答案 （ ）Ｃ （ ） ）９ ．
１ ２ ２５５ ３ ＝－１
方法总结 １． “ 赋值法 ” 普遍适用于恒等式 ， 是一种重要的 由
（
３ （
）令
）知
ｘ
＝ ａ １
，ｙ
ａ ＝－ ａ １
得
…
ａ
０ ａ －
ａ
１＋
ａ
２ ， －
ａ
３＋
…
＋
ａ
８－
ａ
９＝５
９，
方法 对形如 ａｘ ｂ ｎ ａ ｂ Ｒ 的式子 求展开式中各项系数之 ２ ０＋ １＋ ２＋ ＋ ９＝－１
， （ ＋ ） （ 、 ∈ ） ，
和常用赋值法 只需令ｘ 即可 对形如 ａｘ ｂｙ ｎ ａ ｂ Ｒ 的 两式相加得ａ ａ ａ ａ ａ ５ ９ －１．
， ＝１ ； （ ＋ ） （ 、 ∈ ） ０＋ ２＋ ４＋ ６＋ ８＝
式子 求展开式中各项系数之和 只需令ｘ ｙ 即可． ２
， ， ＝ ＝１ ９
２．一般地
，
对于多项式
（
ａ
＋
ｂｘ
）
ｎ
＝
ａ
０＋
ａ
１
ｘ
＋
ａ
２
ｘ２
＋…＋
ａ
ｎ
ｘｎ
，
令 故所有奇数项系数之和为５ －１．
ｇ ｘ ａ ｂｘ ｎ 则 ２
（ ）＝ ａ （ ｂ ＋ ｘ ｎ ） 的 ， 展开式中各项系数的和为ｇ （ ４ ） ∵ Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ９ ｒ（ ２ ｘ）９－ ｒ（ －３ ｙ）ｒ ＝ （ －１ ）ｒ ２ ９－ ｒ· ３ ｒ· Ｃ９ ｒｘ９－ ｒ·ｙｒ， ∴
（ ＋ ） （１）， ａ ，ａ ，ａ ，ａ ，ａ ， ａ ａ … ａ ａ ａ ａ
１＜０ ３＜０ ５＜０ ７＜０ ９＜０ ∴ ｜ ０｜＋｜ １｜＋ ＋｜ ９｜＝ ０－ １＋ ２
ａ ｂｘ ｎ 的展开式中奇数项的系数和为 １ ｇ ａ … ａ ａ ．令ｘ ，ｙ 得 ａ ａ ａ … ａ ａ
（ ＋ ） ［ （１） ＋ － ３＋ ＋ ８－ ９ ＝１ ＝－１ ｜ ０｜＋｜ １｜＋｜ ２｜＋ ＋｜ ９｜＝ ０－
２ ａ ａ ａ … ａ ａ ９．
ｇ １＋ ２－ ３＋ ＋ ８－ ９＝５
（－１）］， 例 （２０２０ 山东济南外国语学校 ９ 月月考，１６）已知
ａ ｂｘ ｎ 的展开式中偶数项的系数和为 １ ｇ ｇ ． ｘ ｘ ８ ａ ａ ｘ ａ ｘ ２ ａ ｘ ９ 则ａ ａ
（ ＋ ） ［ （１）－ （－１）］ （ －２） ＝ ０＋ １（ －１）＋ ２（ －１） ＋…＋ ９（ －１） ， １＋ ２＋…＋
２ ａ ａ ．
经典例题教师用书 ９＝ ， ２＝
解析 令ｘ ，得ａ ，令ｘ ，得ａ ａ ａ … ａ ，
例 在
（２
ｘ
－３
ｙ
）
９ 的展开式中
，
求
：
＝１ ０＝１ ＝２ ０＋ １＋ ２＋ ＋ ９＝０
二项式系数之和 所以ａ ａ … ａ ．因为 ｘ（ｘ ）８ ［（ｘ ） ］·
（１） ； １＋ ２＋ ＋ ９＝－１ －２ ＝ －１ ＋１
各项系数之和 ［（ｘ ） ］８ （ｘ ）·［（ｘ ） ］８ ［（ｘ ） ］８，
（２） ； －１ －１ ＝ －１ －１ －１ ＋ －１ －１
所有奇数项系数之和 所以ａ １·（ ）７ ２·（ ）６ ．
（３） ； ２＝Ｃ８ －１ ＋Ｃ８ －１ ＝２０
各项系数绝对值的和． 答案 ；
（４） －１ ２０
解析 设（ ｘ ｙ）９ ａ ｘ９ ａ ｘ８ｙ ａ ｘ７ｙ２ … ａ ｙ９．
２ －３ ＝ ０ ＋ １ ＋ ２ ＋ ＋ ９
