文档文本内容
A
版
高
考
数
学
／
１２０
专题十 计数原理
１０．１ 计数原理、排列与组合
§
注意 易混淆排列与排列数 排列是一个具体的排法 不是
， ，
数而是一件事 而排列数是所有排列的个数 是一个正整数．
， ，
３．组合与组合数
考点 计数原理、排列、组合
组合 从ｎ个不同元素中取出ｍ ｍ ｎ 个元素组成一
（１） ： （ ≤ ）
１．两个计数原理的联系与区别 组 叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合．
，
原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 组合数 从ｎ个不同元素中取出ｍ ｍ ｎ 个元素的所
（２） ： （ ≤ ）
联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言的 有不同组合的个数 叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组
，
每类办法都能独立完成这件 每 果 一 任 步 何 得 一 到 步 的 都 只 不 是 能 中 独 间 立 结 完 合数 ， 记作 Ｃ ｍ ｎ ．
事 它是独立的 一次的 且每 ， 注意 易混淆排列与组合问题 区分的关键是看选出的元
区别一 ， 、 ， 成这件事 缺少任何一步也 ，
次得到的是最后结果 只需一 ， 素是否与顺序有关 排列问题与顺序有关 组合问题与顺序无关．
， 不可 只有各步骤都完成了 ， ，
种方法就可完成这件事 ， ４．排列数、组合数的公式及性质
才能完成这件事
各类办法之间是互斥的 并列 各步之间是相互依存的 并 ｎ！
区别二 、 ， ｍ ｎ ｎ ｎ ｎ ｍ
的 、 独立的 且既不能重复也不能遗漏 （１）Ａｎ＝ （ －１）（ －２）…（ － ＋１）＝③ （ｎ － ｍ）！ ；
２．排列与排列数 公式 （２）Ｃ ｍ ｎ ＝ Ａ ｍ ｎ ｍ ＝ ｎ （ ｎ －１）（ ｎ － ｍ ２）…（ ｎ － ｍ ＋１） ＝ ④ ｍ！ （ ｎ ｎ ！ ｍ）！ ．
排列 从ｎ个不同元素中取出ｍ ｍ ｎ 个元素 按照一 Ａｍ ！ －
（１） ： （ ≤ ） ，
定的 顺序 排成一列 叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素 （ ｎ ， ｍ ∈ Ｎ∗ ， 且ｍ ≤ ｎ ）
① ，
的一个排列． 特别地 ，Ｃ ０ｎ＝⑤ １
排列数 从ｎ个不同元素中取出ｍ ｍ ｎ 个元素的所
有不 （ 同 ２ 排 ） 列的个 ： 数 叫做从ｎ个不同元素中 （ 取出 ≤ ｍ ） 个元素的排 性质 （１）０！ ＝１；（２）Ａ ｎ ｎ＝ ｎ ！；（３）Ｃ ｍ ｎ＝⑥ Ｃ ｎ ｎ－ｍ ；（４）Ｃ ｍ ｎ＋１＝Ｃ ｍ ｎ＋Ｃ ｍ ｎ－１
，
列数 记作 ｍ ．
， ② Ａｎ
（ ）分两步完成，先选 人排在前排，有 ３ 种方法，余下
２ ３ Ａ７ ４
人排在后排，有 ４ 种方法，故共有 ３· ４ （种）方法．（事
Ａ４ Ａ７ Ａ４＝５０４０
实上，本小题即为 人排成一排的全排列，无任何限制条件）
考法一 排列、组合问题的解题方法
（ ）（优先法）
７
甲为特殊元素，先排甲，有 种方法，再将其
３ ５
例１ 有 名男生 名女生 在下列不同要求下 求不同 余 人全排列，有 ６ 种方法，故共有 ６ （种）方法．
３ ，４ ， ， ６ Ａ６ ５×Ａ６＝３６００
的排列方法总数 （ ）（捆绑法）将女生看成一个整体，与 名男生在一起进
： ４ ３
选其中 人排成一排 行全排列，有 ４ 种方法，再将 名女生进行全排列，有 ４ 种方
（１） ５ ； Ａ４ ４ Ａ４
排成前后两排 前排 人 后排 人 法，故共有 ４· ４ （种）方法．
（２） ， ３ ， ４ ； Ａ４ Ａ４＝５７６
全体排成一排 甲不站在排头也不站在排尾 （ ）（插空法）男生互不相邻，而女生不作要求， 应先排女
（３） ， ； ５ ∴
全体排成一排 女生必须站在一起 生，有 ４ 种方法，再在女生之间及首尾空出的 个空位中任选
（４） ， ； Ａ４ ５ ３
全体排成一排 男生互不相邻． 个空位排男生，有 ３ 种方法，故共有 ４· ３ （种）方法．
（５） ， Ａ５ Ａ４ Ａ５＝１４４０
解题导引 方法总结
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
相邻问题捆绑处理 即可以把相邻元素看成一个整体
捆绑法 ，
与其他元素排列 同时注意捆绑元素的内部排列
，
不相邻问题插空处理 即先考虑不受限制元素的排列
插空法 ， ，
解析 （ ）从 个人中选 个人来排列，有 ５ 再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中
１ ７ ５ Ａ７＝７×６×５×４×３
（种）方法． 先整体后局部 小集团 排列问题中 先整体后局部
＝２５２０ “ ” ，
专
题
十
计
数
原
理
／
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对于定序问题 可先不考虑顺序限制 排列后 再除以 分成三份 份 本 另外两份每份 本
除法 ， ， ， （５） ，１ ４ ， １ ；
定序元素的全排列 甲 乙 丙三人中 一人得 本 另外两人每人得 本
（６） 、 、 ， ４ ， １ ；
间接法 正难则反 等价转化的方法 甲得 本 乙得 本 丙得 本．
， （７） １ ， １ ， ４
经典例题教师用书 解析 （ ）无序不均匀分组问题．
１
例 （２０１９广东揭阳一模，５）某班星期一上午安排 节课 先选 本，有 １ 种选法；再从余下的 本中选 本，有 ２ 种
（１） ５ ， １ Ｃ６ ５ ２ Ｃ５
若数学 节 语文 物理 化学各 节 且物理 化学不相邻 节 选法；最后余下 本全选，有 ３ 种选法．
２ ， 、 、 １ ， 、 ，２ ３ Ｃ３
数学相邻 ， 则星期一上午不同课程安排种数为 （ ） 故共有 Ｃ １ ６Ｃ ２ ５Ｃ ３ ３＝６０ （种）．
（ ）有序不均匀分组问题．
Ａ．６ Ｂ．１２ Ｃ．２４ Ｄ．４８ ２
（２０１９安徽合肥二模，６）某部队在一次军演中要先后 由于甲、乙、丙是不同的三人，在（ ）题基础上，还应考虑再
（２） １
执行六项不同的任务Ａ ， Ｂ ， Ｃ ， Ｄ ， Ｅ ， Ｆ ， 要求是 ： 任务Ａ必须排在 分配，共有 Ｃ １ ６Ｃ ２ ５Ｃ ３ ３Ａ ３ ３＝３６０ （种）．
前三项执行 且执行任务Ａ之后需立即执行任务Ｅ 任务Ｂ 任务 （ ）无序均匀分组问题．
， ， 、 ３
Ｃ不能相邻 ， 则不同的执行方案共有 （ ） 先分三步，则应是 Ｃ ２ ６Ｃ ２ ４Ｃ ２ ２ 种方法，但是这里出现了重复．不
种 种 种 种 妨记六本书为 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，若第一步取了 ＡＢ，第二步取了
Ａ．３６ Ｂ．４４ Ｃ．４８ Ｄ．５４
解题导引 （１）２ 节数学相邻 ， 相邻问题捆绑解决 ， 不相邻 ＣＤ，第三步取了ＥＦ，记该种分法为（ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ），则 Ｃ ２ ６Ｃ ２ ４Ｃ ２ ２ 种
问题插空解决 优先考虑无限定课程 再将物理 化学插空排． 分法中还有（ＡＢ，ＥＦ，ＣＤ），（ＣＤ，ＡＢ，ＥＦ），（ＣＤ，ＥＦ，ＡＢ），（ＥＦ，
， ， 、
（２） Ａ ， Ｅ可看成一项任务 ， 由于Ａ必须在前三项执行 ， 故先对Ａ ， ＣＤ，ＡＢ），（ＥＦ，ＡＢ，ＣＤ） ５ 种情况，共有 Ａ ３ ３ 种情况，而这 Ａ ３ ３ 种情
Ｅ分类 最后排Ｂ Ｃ 将Ｂ Ｃ插空排列即可． 况仅是ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配
， ， ， ，
解析 （ ）根据题意，分 步进行分析： 将两节数学课 ２ ２ ２
１ ２ ① 方式有Ｃ６Ｃ４Ｃ２ （种）．
“捆”在一起与语文课先进行排列，有 ２ 种排法； 将物理课、化 ３ ＝１５
Ａ２ ② Ａ３
学课在第一步排后的 个空隙中选两个插进去，有 ２ 种方法， （ ）有序均匀分组问题．
３ Ａ３ ４
根据分步乘法计数原理得不同课程安排种数为 Ａ ２ ２Ａ ２ ３＝１２ ，故 在（ ）的基础上再分配给 个人，共有分配方式Ｃ ２ ６Ｃ ２ ４Ｃ ２ ２· ３
选 ３ ３ ３ Ａ３
Ｂ． Ａ３
（ ） 当Ａ，Ｅ分别排在第一、二位置时，有 ２ ２ 种执行 ２ ２ ２ （种）．
２ ① Ａ２Ａ３＝１２ ＝Ｃ６Ｃ４Ｃ２＝９０
方案； （ ）无序部分均匀分组问题．
５
当Ａ，Ｅ分别排在第二、三位置时，有 １ ３ １ ２ ４ １ １
② Ａ２Ａ３＋Ａ２Ａ２＝１２＋４＝ 共有Ｃ６Ｃ２Ｃ１ （种）．
种执行方案；
２
＝１５
１６ Ａ２
当Ａ，Ｅ分别排在第三、四位置时，有 １ １ ２ ２ 种执 （ ）有序部分均匀分组问题．
③ Ｃ２Ｃ２Ａ２Ａ２＝１６ ６
行方案．
４ １ １
种，故 根 选 据分 ． 类加法计数原理得不同的执行方案有 １２＋１６＋１６＝４４ （ 在 种 （ ） ５ ． ）的基础上再分配给 ３ 个人，共有分配方式Ｃ６ Ａ Ｃ２ ２ ２ Ｃ１· Ａ ３ ３
Ｂ ＝９０
答案 （ ）Ｂ （ ）Ｂ （ ）直接分配问题．
１ ２ ７
例 （２０１８北京延庆一模，１１）无偿献血是践行社会主义 甲选 本，有 １种方法；乙从余下的 本中选 本，有 １ 种方
１ Ｃ６ ５ １ Ｃ５
核心价值观的具体行动．在报名的 名男教师和 名女教师中选 法；余下 本留给丙，有 ４种方法．共有分配方式 １ １ ４ （种）．
２ ６ ４ Ｃ４ Ｃ６Ｃ５Ｃ４＝３０
取 人参加无偿献血 要求男 女教师都有 则不同的选取方法 方法总结 分组 分配问题是排列组合的综合问题 解题思
５ ， 、 ， 、 ，
的种数为 ． 结果用数值表示 想是先分组后分配．
（ ）
解题导引 分组问题属于 组合 问题 常见的分组方法有三种
（１） “ ” ， ：
完全均匀分组 每组元素的个数都相等
① ， ；
部分均匀分组 应注意不要重复
② ， ；
完全非均匀分组 这种分组不考虑重复现象．
③ ，
分配问题属于 排列 问题 常见的分配方法有三种
（２） “ ” ， ：
解析 解法一（间接法）：不同的选取方法有 ５ ５ 种． 相同元素的分配问题 常用 挡板法
Ｃ８－Ｃ６＝５０ ① ， “ ”；
解法二：分两种情况，一种情况是 名男教师， 名女教师， 不同元素的分配问题 利用分步乘法计数原理 先分组
１ ４ ② ， ， ，
有 １· ４ 种选取方法；另一种情况是 名男教师， 名女教 后分配
Ｃ２ Ｃ６＝３０ ２ ３ ；
师，有 ２· ３ 种选取方法．所以共有 种不同的选取方法． 有限制条件的分配问题 采用分类法求解．
Ｃ２ Ｃ６＝２０ ５０ ③ ，
答案 经典例题教师用书
５０
例 （２０１９广东广州天河二模，７）安排 名学生去 个社
（１） ５ ３
考法二 分组分配问题的解题方法 区进行志愿服务 且每人只去一个社区 要求每个社区至少有一
， ，
例２ 按下列要求分配 本不同的书 各有多少种不同的 名学生进行志愿服务
，
则不同的安排方式共有
（ ）
６ ，
种 种 种 种
分配方式 Ａ．３６０ Ｂ．３００ Ｃ．１５０ Ｄ．１２５
？ （２０１９江西红色七校第二次联考，１５）某外商计划在
分成三份 份 本 份 本 份 本 （２） ４ （１） ，１ １ ，１ ２ ，１ ３ ； 个候选城市中投资 个不同的项目 且在同一个城市投资的项
甲 乙 丙三人中 一人得 本 一人得 本 一人得 ３ ，
（２） 、 、 ， １ ， ２ ， 目不超过 个 则该外商不同的投资方案有 种．
本 ２ ，
３ ；
平均分成三份 每份 本 解析 （ ）分 步分析：先将 名学生分成 组，有两种分
（３） ， ２ ； １ ２ ５ ３
平均分配给甲 乙 丙三人 每人 本 组方法，若分成 、 、 的三组，则有 ３ 种分组方法；若分成
（４） 、 、 ， ２ ； ３ １ １ Ｃ５＝１０
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１ ２ ２ 小球放入编号分别为 的三个盒子里 要求每个盒子内的
、 、 的三组，则有Ｃ５Ｃ４Ｃ２ 种分组方法，则一共有 １、２、３ ，
１ ２ ２ ２ ＝１５ １０＋１５＝ 小球数不能小于其编号数 则符合要求的放法有 种．
Ａ２ ，
种分组方法． 用数字作答
２５ （ ）
再将分好的三组全排列，对应三个社区，有 ３ 种情况， 解析 根据题意可知，满足条件的情况共有三类： 编号为
Ａ３＝６ ①
则有 种不同的安排方式，故选 、 、 的三个盒子分别放入 个、 个、 个小球，此时的放法数
２５×６＝１５０ Ｃ． １ ２ ３ ２ ２ ３
种不同 （ ２ 方 ）第 案 一 ； 类： ３ 个项目投资在两个城市，有 Ｃ ２ ３ · Ｃ １ １ · Ａ ２ ４＝３６ 个 为 、 Ｃ ２ ７ 个 · 小 Ｃ ２ ５ 球 ＝２ ， １ 此 ０ ； 时 ② 的 编 放 号 法 为 数 １ 为 、 ２ 、 １ ３ · 的三 ３ 个盒 ； 子分 编 别 号 放 为 入 、 １ 、 个、 的 ３
同方案
第
．
二类： ３ 个项目投资在 ３ 个城市，有 Ａ ３ ４＝４×３×２＝２４ 种不 三个 ３ 盒
．由
子
分
分
类
别
加
放
法
入
计 １ 数
个
原
、
２ 理
个
可
、
得 ４
Ｃ 个
满
７ 小
足
Ｃ 球
条
６＝ ，
件
此 １４
的
时 ０
放
的 ③
法
放
共
法
有
数为 １
Ｃ
２ １
７
· ３
Ｃ
２
６
共有
３６＋２４＝６０
种不同方案．
＝１０５
种．
２１０＋１４０＋
１０５＝４５５
答案 （ ）Ｃ （ ）
答案
１ ２ ６０
４５５
例 （２０１８浙江稽阳联谊学校联考，１６）现将 个不同的
７
