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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 18 计数原理
计数原理作为高考知识点主要考查题型文小题。主要考查题型为：
考点01 分类加法与分步乘法计数原理、排列组合
考点02 二项式定理
考点 01 分类加法与分步乘法计数原理、排列组合
1 （2020•上海）已知 ， ， ，0，1，2， ， 、 ，则 的情况有 种．
【解析】当 ，0种，
当 ，2种，
当 ，4种；
当 ，6种，
当 ，4种；
当 ，2种，
当 ，0种，
故共有： ．
故答案为：18．
2．（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这 8门课中选修2
门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【解析】若选2门，则只能各选1门，有 种，
如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，
则有 ，
综上共有 种不同的方案．
3．（2023•新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样
调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，
则不同的抽样结果共有
A． 种 B． 种C． 种 D． 种
【解析】 初中部和高中部分别有400和200名学生，
人数比例为 ，
则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，
则有 种．
故选： ．
4．（2022•新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相
邻，则不同的排列方式共有
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【解析】把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有 种情况，
甲站在两端的情况有 种情况，
甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有 种，
故选： ．
5．（2020•海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一
名志愿者，则不同的安排方法共有
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
【解析】要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，
每个村里至少有一名志愿者，
则不同的安排方法共有：
．
故选： ．
6．（2020•山东）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1个场馆，甲场馆安排1名，
乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
【解析】因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，
甲场馆从6人中挑一人有： 种结果；
乙场馆从余下的5人中挑2人有： 种结果；
余下的3人去丙场馆；
故共有： 种安排方法；
故选： ．
故答案为：64．
7．（2020•上海）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，
第三天安排2个人，则共有 种安排情况．【解析】根据题意，可得排法共有 种．
故答案为：180．
8．（2019•上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其
中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）
【解析】在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有 种，
故答案为：24．
考点 02 二项式定理
1．（2022•新高考Ⅰ） 的展开式中 的系数为 （用数字作答）．
【解析】 的通项公式为 ，
当 时， ，当 时， ，
的展开式中 的系数为 ．
故答案为： ．
5（2021•浙江）已知多项式 ，则 ； ．
【解析】 即为展开式中 的系数，
所以 ；
令 ，则有 ，
所以 ．
故答案为：5；10．
2．（2021•上海）已知二项式 展开式中， 的系数为80，则 ．
【解析】 的展开式的通项公式为 ，
所以 的系数为 ，解得 ．
故答案为：2．
3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第14题)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1
个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．
【答案】
解析： 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1个小区，每个小区至少安排1
名同学先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查
了分析能力和计算能力，属于中档题．
【题目栏目】计数原理\两个计数原理的综合应用
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第14题
4．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题) 的展开式中常数项是__________(用数字作答)．
【答案】
解析：
其二项式展开通项：
当 ，解得
的展开式中常数项是： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握 的
展开通项公式 ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题
5（2020•浙江）二项展开式 ，则 ， ．
【解析】 ，则 ．
．
故答案为：80；122．
6．（2020•上海）已知二项式 ，则展开式中 的系数为 ．
【解析】 ，所以展开式中 的系数为10．故答案为：10．
7．（2019•上海）已知二项式 ，则展开式中含 项的系数为 ．
【解析】二项式 的展开式的通项公式为 ，
令 ，求得 ，可得展开式中含 项的系数值为 ，
故答案为：40．
8．（2019•浙江）在二项式 展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ．
【解析】二项式 的展开式的通项为 ．
由 ，得常数项是 ；
当 ，3，5，7，9时，系数为有理数，
系数为有理数的项的个数是5个．
故答案为： ，5．
9．（2019•上海）在 的展开式中，常数项等于 ．
【解析】 展开式的通项为 ， ，得 ，
故展开式的常数项为第5项： ．
故答案为：15．
