文档内容
2023~2024学年度第二学期开学检测
高 三 数 学
一、选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列 ，则 是 成立的（ ）条件
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
3．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A．8 B． C． D．
4．星等是衡量天体光度的量．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕佮斯在
公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2．已知两个天体
的星等值 和它们对应的亮度 满足关系式 ，则（ ）
A．3等星是0.5等星亮度的 倍 B．0.5等星是3等星亮度的 倍
C．3等星是0.5等星亮度的10倍 D．0.5等星是3等星亮度的10倍
5．已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知某圆台的体积为 ，其上、下底面圆的面积之比为 且周长之和为 ，则
该圆台的高为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．已知一次函数 在坐标轴上的截距相等且不为零，其图象经过点 ，令
, ，数列 的前 n 项和为 ，当 时，n 的值为（
）
第1页，共4页
学科网（北京）股份有限公司A．19 B．20 C．21 D．22
8．已知 为双曲线 ： 的一个焦点，C上的A,B两点关于原点
对称，且 ， ，则C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9． 已知复数 , ，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 且 ，则 D．若 ，则 或
10．已知A，B是随机事件，若 且 ，则（ ）
A． B．A，B相互独立
C． D．
11．已知函数 的定义域为 ，函数 是定义在 上的奇函数，函数
），则必有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含 项的系
数为 ．
13．在 中，边 的中点为 ， 为线段 上一动点，若 ，则
第2页，共4页的最小值为 ．
14．已知实数 , 分别满足 , ，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）
已知 分别为 的内角 的对边，且 ．
(1) 求 ；
(2) 若 ， 的面积为2，求 ．
16．（本题满分15分）
如图，直四棱柱 中，底面 为等腰梯形，其中 ，
， ， ，N为 中点．
(1) 若平面 交侧棱 于点P，求证： ，并求出AP的长度；
(2) 求平面 与底面 所成角的余弦值．
17．（本题满分15分）
已知椭圆 的离心率为 ，抛物线 在第一象限与
椭圆 交于点 ，点 为抛物线 的焦点，且满足 ．
(1) 求椭圆 的方程；
(2) 设直线 与椭圆 交于 , 两点，过 , 分别作直线 的
第3页，共4页
学科网（北京）股份有限公司垂线，垂足为 , ， 与 轴的交点为 ．若 、 、 的面积成等差
数列，求实数 的取值范围．
第4页，共4页18．（本题满分17分）
某城市的青少年网络协会为了调查该城市中学生的手机成瘾情况，对该城市中学生
中随机抽出的200名学生进行调查，调查中使用了两个问题．
问题1：你的学号是不是奇数？
问题2：你是否沉迷手机？
调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个
白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋中摸取一个球（摸出的球再放回袋
中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回
答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做．由于问题的
答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可
以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．
(1) 如果在200名学生中，共有80名回答了“是”，请你估计该城市沉迷手机的中
学生所占的百分比．
(2) 某学生进入高中后沉迷手机，学习成绩一落千丈，经过班主任老师和家长的劝
说后，该学生开始不玩手机．已知该学生第一天没有玩手机，若该学生前一天没有玩手
机，后面一天继续不玩手机的概率是0.8；若该学生前一天玩手机，后面一天继续玩手
机的概率是0.5．
①求该学生第三天不玩手机的概率P；
②设该学生第n天不玩手机的概率为 ，求 ．
19．（本题满分17分）
已知函数 ．
(1) 当 时，求 的单调区间；
(2) 若 是 的极小值点，求 的取值范围．
第5页，共4页
学科网（北京）股份有限公司
