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2023~2024学年度第二学期开学检测
高三数学参考答案
1．A 2．B 3．B 4．D 5．C 6．D 7．B 8．D
【详解】不妨设 分别为双曲线的左右焦点，连接 ，
因为A，B两点关于原点对称，所以 为平行四边形，所以
，因为 ， ，所以
.
因为 ，所以 ；
在 中，由余弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，即 .
9．CD 10．ACD 11．ABD
12． 13．9 14．
【详解】由 得 ，令 ，则方程 化为 ，
设 ，则 ，易知 时， ， 递减， 时， ， 递
增，而 时， ，因此 时， ，
又 ，因此 ，且 ，∴ ，故答案为： ．
15．【详解】（1）在 中，由余弦定理得， ，代入 ，
则 ，即 ，
即 ，
因为 ，且 时上式不成立，所以 ，所以 ，则
（2）因为 的面积为2，所以 ，即 ，
又因为 ， ， ，所以 ，
则 ，则
16．【详解】（1）由 ， 面 ， 面 ，则 面 ，
由 ， 面 ， 面 ，则 面 ，
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学科网（北京）股份有限公司， 面 ，故面 面 ，
由平面 交侧棱 于点P，N为 中点，故 面 ，
故面 面 ，又面 面 ，
综上， .
过 作 ，则 为 的中点，
易知 ，即 ，
所以 .
（2）将 延长交于 ，连接 ，则平面 底面 ，
由 ， ， ，
故在等腰梯形 中 ，且 ，
所以 ，且 ，
由 ，则 ，所以 ，
在 中 ，则 ，
过 作 于 ，则 ，
连接 ，又 面 ， 面 ，则 ，
， 面 ，则 面 ， 面 ，
所以 ， 面 ，故 为平面 与底面 所成角平面角，
所以 ，则 .
综上，平面 与底面 所成角的余弦值为 .
17．【详解】（1）由题意， ，则点 在椭圆上，
得 ①， ，即 ②，
联立①②，解得 ， ，
椭圆 的方程为 ．
（2）依题意，直线 与 轴不重合，故可设直线 的方程为 ．
答案第2页，共4页联立 ，消去 得 ．
设 , ， , ，则有 ，且 ．
设 ， ， 的面积分别为 ， ， ，
， ， 成等差数列， ，即 ，
则 ；
即 ，得 ，
又 ， ，
于是， ，
，解得 ，即 或 ．
所以实数 的取值范围为 ．
18．【详解】（1）设“回答问题1”记为事件 ，“回答问题2”记为事件 ，回答“是”记为事件 ，
则 ， ， ，
因为 ，
所以 ，
即该城市沉迷手机的中学生所占 ；
（2）（ⅰ） ；
（ⅱ）由题意知 ，第 天不玩手机的概率是 ，
第 天玩手机的概率是 ，
所以 ，即 ，
所以 ，又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司19．【详解】（1）当 时， ，
设 ，则 ，
所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
当 时， 取得极大值 ，所以 ，
所以 在 上单调递减；
（2） ，
设 ，则 ，
（i）当 时，二次函数 开口向上，对称轴为 ，
当 时， 单调递增，
因为 ，所以当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以 是 的极小值点．
当 时， ，又 ，
所以存在 ，使得 ，所以当 时， 单调递增，
又 ，所以当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以 是 的极小值点；
（ii）当 时， ，当 时， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，所以 是 的极小值点；
（iii）当 时， 开口向下，对称轴为 ，
此时 ，故 ，使 ，
当 时， ，因此 在 上单调递增，
又 ，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以 为 的极小值点；
（iv）当 时， ，使 ，
答案第4页，共4页当 时， ，因此 在 上单调递减，
又 ，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，所以 为 的极大值点；
（v）当 时，由（1）知 非极小值点．
综上所述， ．
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