2024新高考选填压轴解题技巧
专题一 函数性质相关解题技巧2
技巧1 函数单调性的应用及解题技巧 2
技巧2 函数奇偶性的应用及解题技巧 3
技巧3 函数周期性的应用及解题技巧 6
技巧4 函数对称性的应用及解题技巧 7
技巧5 函数4大性质的综合应用及解题技巧10
技巧6“奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧11
技巧7“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧14
技巧8 已知函数解析式判断函数图象解题技巧15
技巧9 已知函数图象判断函数解析式解题技巧21
专题二 函数值比较大小解题技巧24
技巧1 构造函数比较函数值大小关系解题技巧24
技巧2 两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧26
技巧3 泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧28
技巧4 不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧31
专题三 函数选填压轴题解题技巧35
技巧1 函数对称性的应用及解题技巧35
技巧2 解不等式(含分段函数)的应用及解题技巧36
技巧3 整数解的应用及解题技巧37
技巧4 零点的应用及解题技巧41
技巧5 切线与公切线的应用及解题技巧45
专题四 导数综合问题解题技巧48
技巧1 端点效应(必要性探路)解题技巧 48
技巧2 函数凹凸性解题技巧55
技巧3 洛必达法则解题技巧59
专题五 不等式相关解题技巧 63
技巧1 基本不等式链的应用及解题技巧63
技巧2 权方和不等式的应用及解题技巧65
技巧3 普通型糖水不等式的应用及解题技巧67
技巧4 对数型糖水不等式的应用及解题技巧69
专题六 三角恒等变换解题技巧70
技巧1 拼凑思想的应用及解题技巧70
技巧2 升(降)幂公式的应用及解题技巧72
技巧3 三倍角公式的应用及解题技巧74
技巧4 半角公式的应用及解题技巧75
技巧5 万能公式的应用及解题技巧76
技巧6 正余弦平方差公式的应用及解题技巧77
专题七 平面向量解题技巧 78
技巧1“爪子定理”的应用及解题技巧78
技巧2 系数和(等和线)的应用及解题技巧80
技巧3 极化恒等式的应用及解题技巧86
技巧4 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧87
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专题一 函数性质相关解题技巧
技巧1 函数单调性的应用及解题技巧
在考查函数单调性时，如果能掌握同一定义域内，单调性的运算，可以快速判断函数的单调性；同时复
合函数单调性的相关计算也是高考重点，常以小题形式考查.
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1.同一定义域内
①增函数(↗)+增函数(↗)=增函数↗
②减函数(↘)+减函数(↘)=减函数↘
1
③f(x)为↗，则-f(x)为↘， 为↘
f(x)
④增函数(↗)-减函数(↘)=增函数↗
⑤减函数(↘)-增函数(↗)=减函数↘
⑥增函数(↗)+减函数(↘)=未知(导数)
2.复合函数的单调性
函数f(x)=h gx
~ ~
~ ~
，设u=gx ，叫做内函数，则f(x)=hu 叫做外函数，
内函数↑，外函数↑，⇒复合函数↑
内函数↓，外函数↓，⇒复合函数↑
⇒结论：同增异减
内函数↑，外函数↓，⇒复合函数↓
内函数↓，外函数↑，⇒复合函数↓
1
【典例1】(2020·全国·统考高考真题)设函数f(x)=x3- ,则f(x) ( )
x3
A. 是奇函数，且在0，+∞ 单调递增 B. 是奇函数，且在0，+∞ 单调递减
C. 是偶函数，且在0，+∞ 单调递增 D. 是偶函数，且在0，+∞ 单调递减
解析：
hx =x3在定义域内0，+∞ 是增函数，gx
1
= 在定义域内0，+∞
x3
是减函数，
1
所以f(x)=x3- 在0，+∞
x3
单调递增。
【典例2】(2023·宁夏银川·统考模拟预测)已知函数fx
2
=1- ，则 ( )
2x+1
A. fx 是偶函数且是增函数 B. fx 是偶函数且是减函数
C. fx 是奇函数且是增函数 D. fx 是奇函数且是减函数
解析：
函数fx
2 2x-1
=1- = 的定义域为R，f-x
2x+1 2x+1
2-x-1 1-2x
= = =-f(x)，即函数f(x)是奇函
2-x+1 1+2x
数，AB错误，
2
因为函数y=2x+1在R上递增，则函数y= 在R上递减，所以函数f(x)是增函数，D错误，C正
2x+1
确.
故选：C
【典例3】(2023·全国·模拟预测)函数fx =log -x2+x+6
1
3
的单调递减区间为 ( )
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~ ~
~~~~ ~~~~ 1
A. -2,
2
~ ~
1
B. -∞,
2
1
C. ,+∞
2
1
D. ,3
2
解析：
由-x2+x+6>0得，x∈-2,3
所以函数fx =log -x2+x+6
1
3
的定义域为-2,3
令t=-x2+x+6，则y=log t是单调递减函数
1
3
1
又t=-x2+x+6，在-2,
2
1
上单调递增，在 ,3
2
上单调递减
由复合函数的单调性可得函数fx =log -x2+x+6
1
3
1
的单调递减区间为-2,
2
.
故选：A.
技巧2 函数奇偶性的应用及解题技巧
纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算，
则可提升解题速度，做到快速求解.
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①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称(大前提)
②奇偶性的定义：
奇函数：f-x =-f(x)，图象关于原点对称，
偶函数：f-x =fx ，图象关于y轴对称
③奇偶性的运算
【典例1】(2023·全国·统考高考真题)若fx =x-1
π
2+ax+sinx+
2
为偶函数，则a= ．
解析：
由题知fx =x-1
π
2+ax+sinx+
2
=x-1 2+ax+cosx=x2+a-2 x+1+cosx为偶函数，
定义域为R，
法一：奇偶性的运算
fx =x2+a-2 x+1+cosx
只需a-2=0即可
法二：寻找必要条件(特值法)
π
所以f-
2
π
=f
2
π
，即- -1
2
2 π π
- a+cos-
2 2
π
= -1
2
2 π π
+ a+cos ，
2 2
π
则πa= +1
2
2 π
- -1
2
2
=2π，故a=2
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【典例2】(2023·全国·统考高考真题)若fx
~ ~
=x+a
2x-1
ln 为偶函数，则a=( )．
2x+1
1
A. -1 B. 0 C. D. 1
2
解析：
1
因为f(x) 为偶函数，则 f(1)=f(-1)，∴(1+a)ln =(-1+a)ln3，解得a=0，
3
当a=0时，fx
2x-1
=xln ，2x-1
2x+1
2x+1
1 1
>0，解得x> 或x<- ，
2 2
则其定义域为 xx
1 1
或x<-
2 2
，关于原点对称.
f-x =-x
2-x
ln
-1
2-x
=-x
+1
2x+1
ln =-x
2x-1
2x-1
ln
2x+1
-1 2x-1
=xln =fx
2x+1
，
故此时fx 为偶函数.
故选：B.
xex
【典例3】(2023·全国·统考高考真题)已知f(x)= 是偶函数，则a= ( )
eax-1
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
解析：
因为fx
xex
= 为偶函数，则fx
eax-1
-f-x
xex -x
= -
eax-1
e-x x ex-ea-1
=
e-ax-1
x
=0，
eax-1
又因为x不恒为0，可得ex-ea-1 x=0，即ex=ea-1 x，
则x=a-1 x，即1=a-1，解得a=2.
故选：D.
【典例4】(2020·山东·统考高考真题)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足
xf(x-1)≥0的x的取值范围是 ( )
A. [-1,1]∪[3,+∞) B. [-3,-1]∪[0,1] C. [-1,0]∪[1,+∞) D. [-1,0]∪[1,3]
解析：
因为定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减，且f(2)=0，
所以f(x)在(0,+∞)上也是单调递减，且f(-2)=0，f(0)=0，
所以当x∈(-∞,-2)∪(0,2)时，f(x)>0，当x∈(-2,0)∪(2,+∞)时，f(x)<0，
所以由xf(x-1)≥0可得：
x<0 或
x>0 或x=0
-2≤x-1≤0 0≤x-1≤2
解得-1≤x≤0或1≤x≤3，
所以满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3]，
故选：D.
【典例5】(2022·全国·统考高考真题)若fx
1
=lna+
1-x
+b是奇函数，则a= ，b= ．
解析：
法一：奇函数定义域的对称性
若a=0，则f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称
∴a≠0
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1 1
若奇函数的f(x)=lna+ +b有意义，则x≠1且a+ ≠0
1-x 1-x
1
∴x≠1且x≠1+ ，
a
∵函数f(x)为奇函数，定义域关于原点对称，
1 1
∴1+ =-1，解得a=- ，
a 2
1
由f(0)=0得，ln +b=0，
2
∴b=ln2，
1
故答案为：- ；ln2．
2
法二：函数的奇偶性求参
1
f(x)=ln a+ +b=ln
1-x
~ ~
a-ax+1
+b=ln
1-x
ax-a-1
1-x
+b
ax+a+1
f(-x)=ln
1+x
+b
∵函数f(x)为奇函数
ax-a-1
∴f(x)+f(-x)=ln +ln
1-x
ax+a+1
1+x
+2b=0
a2x2-(a+1)2
∴ln
x2-1
+2b=0
a2 (a+1)2 1
∴ = ⇒2a+1=0⇒a=-
1 1 2
-2b=ln1=-2ln2⇒b=ln2
4
∴a=-1,b=ln2
2
法三：
因为函数fx
1
=lna+
1-x
+b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
1
由a+ ≠0可得，1-x
1-x
a+1-ax ≠0，
a+1 1
所以x= =-1，解得：a=- ，即函数的定义域为-∞,-1
a 2
∪-1,1 ∪1,+∞ ，
再由f0 =0可得，b=ln2．
即fx
1 1
=ln- +
2 1-x
1+x
+ln2=ln
1-x
，在定义域内满足f-x =-fx ，符合题意．
1
故答案为：- ；ln2．
2
技巧3 函数周期性的应用及解题技巧
纵观历年考题，函数周期性是函数及高考的重要考点，要熟悉周期性的定义，若能熟悉周期性的运算，
则可提升解题速度，做到快速求解.
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①若fx+a =fx ，则fx 的周期为：T=a
②若fx+a =fx+b ，则fx 的周期为：T=a-b
③若fx+a =-fx ，则fx 的周期为：T=2a (周期扩倍问题)
④若fx+a
1
=±
fx
，则fx 的周期为：T=2a (周期扩倍问题)
【典例1】(全国·高考真题)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=
2，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=
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~
~
~
~
A. -50 B. 0 C. 2 D. 50
~ ~
解析：
因为f(x)是定义域为(-∞, + ∞)的奇函数，所以f1-x =-fx-1 ，即fx+1 =-fx-1 ，所
以周期为4
【典例2】(2022·全国·统考高考真题)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)
22
=1，则f(k)= ( )
k=1
A. -3 B. -2 C. 0 D. 1
解析：
法一：赋值加性质
因为fx+y +fx-y =fx fy ，令x=1,y=0可得，2f1 =f1 f0 ，所以f0 =2，令x=0可
得，fy +f-y =2fy ，即fy =f-y ，
所以函数fx 为偶函数，令y=1得，fx+1 +fx-1 =fx f1 =fx ，
即有fx+2 +fx =fx+1 ，从而可知fx+2 =-fx-1 ，fx-1 =-fx-4 ，
故fx+2 =fx-4 ，即fx =fx+6 ，所以函数fx 的一个周期为6．
因为f2 =f1 -f0 =1-2=-1，f3 =f2 -f1 =-1-1=-2，f4 =f-2 =f2 =-1，
f5 =f-1 =f1 =1，f6 =f0 =2，
所以一个周期内的f1 +f2 +⋯+f6 =0．由于22除以6余4，
22
所以 fk
k=1
=f1 +f2 +f3 +f4 =1-1-2-1=-3．故选：A．
法二：【最优解】构造特殊函数
由fx+y +fx-y =fx fy ，联想到余弦函数和差化积公式
cosx+y +cosx-y =2cosxcosy，可设fx =acosωx，
则由方法一中f0 =2,f1
1 π
=1知a=2,acosω=1，解得cosω= ，取ω= ，
2 3
所以fx
π
=2cos x，
3
则fx+y +fx-y
π π
=2cos x+ y
3 3
π π
+2cos x- y
3 3
π π
=4cos xcos y=fx
3 3
fy ，
所以fx
π 2π
=2cos x符合条件，因此f(x)的周期T= =6，f0
3 π
3
=2,f1 =1，
且f2 =-1,f3 =-2,f4 =-1,f5 =1,f6 =2，
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，
由于22除以6余4，
22
所以 fk
k=1
=f1 +f2 +f3 +f4 =1-1-2-1=-3．故选：A．
【典例3】(2023·全国·模拟预测)若函数fx 的定义域为R，且fx+y +fx-y
1
= fx
2
fy ，f1 =
2023
2 3，则 f2k-1
k=1
= ．
解析：
因为fx+y +fx-y
1
= fx
2
fy ，
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令x=y=0，有2f0
~ ~
~ ~
1
= f2 0
2
，则f0 =0或f0 =4．
若f0 =0，则令x=1，y=0，
有2f1
1
= f1
2
f0 ，得f1 =0，与已知f1 =2 3矛盾，所以f0 =4．
令x=y=1，有f2 +f0
1
= f2 1
2
，
则f2
1
+4= ×2 3
2
2=6，得f2 =2．
令x=2，y=1，有f3 +f1
1
= f2
2
f1 ，得f3 =0．
令x=3，y=2，有f5 +f1
1
= f3
2
f2 ，得f5 =-2 3．
令x=5，y=2，有f7 +f3
1
= f5
2
f2 ，得f7 =-2 3．
令x=7，y=2，有f9 +f5
1
= f7
2
f2 ，得f9 =0．
令x=9，y=2，有f11 +f7
1
= f9
2
f2 ，得f11 =2 3．
令x=0，有fy +f-y
1
= f0
2
fy ，得f-y =fy ，
令x=3，有f3+y +f3-y
1
= f3
2
fy =0，即f3+y =-f3-y ，
所以f6+y =-f-y =-fy ，故f12+y =-f6+y =fy ，
所以fx 的周期为12．
又因为f1 +f3 +f5 +f7 +f9 +f11 =0，
2023
所以 f2k-1
k=1
=f1 +f3 +⋯+f4045 =f1 +337×0=2 3．
技巧4 函数对称性的应用及解题技巧
纵观历年考题，函数对称性是函数及高考的重要考点，要熟悉对称性的定义，若能熟悉对称性的运算，
则可提升解题速度，做到快速求解.
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轴对称
①若fx+a =f-x ，则fx
a
的对称轴为x=
2
②若fx+a =f-x+b ，则fx
a+b
的对称轴为x=
2
点对称
①若fx+a =-f-x ，则fx
a
的对称中心为 ,0
2
②若fx+a +f-x+b =c，则fx
a+b c
的对称中心为 ,
2 2
【典例1】(全国·高考真题)下列函数中，其图像与函数y=lnx的图像关于直线x=1对称的是 ( )
A. y=ln(1-x) B. y=ln(2-x) C. y=ln(1+x) D. y=ln(2+x)
解析：
法一：函数y=lnx过定点(1，0)，(1，0)关于x=1对称的点还是(1，0)，只有y=ln2-x 过此点．故
选项B正确
法二：关于x=1对称即f1-x =f1+x ，即fx =f2-x
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x+1
【典例2】(2016·全国·高考真题)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x)，若函数y= 与y=
x
m
f(x)图像的交点为(x,y),(x ,y ),⋅⋅⋅,(x ,y ),则∑(x +y)=
1 1 2 2 m m i i
i=1
A. 0 B. m C. 2m D. 4m
~ ~
解析：
法一：直接法.
由f-x =2-fx 得fx 关于0， 1 对称，
x+1 1
而y= =1+ 也关于0， 1
x x
对称，
∴对于每一组对称点x +x'=0y +y'=2，
i i i i
m
∴ x i +y i
i=1
m m m
=x+y=0+2⋅ =m，故选B． i i 2
i=1 i=1
法二：特值法.
由f-x =2-fx 得f-x +fx =2
不妨设因为fx
x+1 1
=x+1，与函数y= =1+ 的交点为1,2
x x
,-1,0
∴当m=2时，x +y +x +y =2=m，故选B．
1 1 2 2
法三：构造法.
设sx =fx -1，则s-x =f-x -1=1-fx =-sx ，故sx 为奇函数.
设tx
1
=y-1= ，则t-x
x
=-tx ，故tx 为奇函数.
∴对于每一组对称点x +x'=0s +t'=0.
i i i i
将s =y -1，t'=y'-1代入，即得x +x'=0y +y'=2
i i i i i i i i
m
∴ x i +y i
i=1
m m m
=x+y=0+2⋅ =m，故选B． i i 2
i=1 i=1
法四：
由题意得,函数f(x)(x∈R)和f(-x)=2-f(x)的图象都关于(0,1)对称,
所以两函数的交点也关于(0,1)对称,
对于每一组对称点(x,y)和(x,y)，都有x +x=0,y +y=2.
i i i i i i i i
m m
从而∑(x +y)= ⋅2=m.故选B.
i i 2
i=1
【典例3】(2022·全国·统考高考真题)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-
22
f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则 fk
k=1
= ( )
A. -21 B. -22 C. -23 D. -24
解析：
因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，所以g2-x =gx+2 ，
因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+2)-f(x-2)=7，即g(x+2)=7+f(x-2)，
因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，
代入得f(x)+7+f(x-2) =5，即f(x)+f(x-2)=-2，
所以f3 +f5 +⋯+f21 =-2 ×5=-10，
f4 +f6 +⋯+f22 =-2 ×5=-10.
因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f0 =1，所以f(2)=-2-f0 =-3.
因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+4)-f(x)=7，又因为f(x)+g(2-x)=5，
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联立得，g2-x
~ ~
~ ~
+gx+4 =12，
所以y=g(x)的图像关于点3,6 中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，
所以g3 =6，因为f(x)+g(x+2)=5，所以f1 =5-g3 =-1.
22
所以∑ f(k)=f1
k=1
+f2 + f3 +f5 +⋯+f21 + f4 +f6 +⋯+f22 .
=-1-3-10-10=-24
【典例4】(2023·湖南·湖南师大附中校联考一模)(多选)已知函数fx
1
=cosx+ ，则 ( )
cos2x
A. fx 的图象关于直线x=π轴对称 B. fx
π
的图象关于点 ,0
4
中心对称
C. fx 的所有零点为2k+1 π,k∈Z D. fx 是以π为周期的函数
解析：
对于A：因为f2π-x =cos2π-x
1
+
cos4π-2x
1
=cosx+ =fx
cos2x
，
所以fx 的图象关于直线x=π轴对称，故A正确；
对于B：因为f0
π
=2，f
2
=-1，所以fx
π
的图象不关于点 ,0
4
中心对称，B错误.
对于C：因为fx
1 2cos3x-cosx+1 cosx+1
=cosx+ = =
2cos2x-1 2cos2x-1
2cos2x-2cosx+1
，
2cos2x-1
1
注意到2cos2x-2cosx+1=2cosx-
2
2 1
+ >0，
2
令fx =0，得cosx=-1，即x=2k+1 π,k∈Z，
故fx 的所有零点为2k+1 π,k∈Z，故C正确；
对于D：因为f0 =2,fπ =0，所以π不是fx 的周期，故D错误；
故选：AC.
技巧5 函数4大性质的综合应用及解题技巧
纵观历年考题，函数对称性是函数及高考的重要考点，要熟悉对称性的定义，若能熟悉对称性的运算，
则可提升解题速度，做到快速求解.
知识在线
1.周期性对称性综合问题
①若fa+x =fa-x ，fb+x =fb-x ，其中a≠b，则fx 的周期为：T=2a-b
②若fa+x =-fa-x ，fb+x =-fb-x ，其中a≠b，则fx 的周期为：
T=2a-b
③若fa+x =fa-x ，fb+x =-fb-x ，其中a≠b，则fx 的周期为：
T=4a-b
2.奇偶性对称性综合问题
①已知fx 为偶函数，fx+a 为奇函数，则fx 的周期为：T=4a
②已知fx 为奇函数，fx+a 为偶函数，则fx 的周期为：T=4a
【典例1】(2021·全国·统考高考真题)设函数fx 的定义域为R，fx+1 为奇函数，fx+2 为偶函数，
当x∈1,2 时，f(x)=ax2+b．若f0 +f3
9
=6，则f
2
= ( )
9 3 7 5
A. - B. - C. D.
4 2 4 2
解析：
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9 90~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
专业 专注 专心
~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~
法一：
因为fx+1
~ ~
~ ~
是奇函数，所以f-x+1 =-fx+1 ①；
因为fx+2 是偶函数，所以fx+2 =f-x+2 ②．
令x=1，由①得：f0 =-f2 =-4a+b ，由②得：f3 =f1 =a+b，
因为f0 +f3 =6，所以-4a+b +a+b=6⇒a=-2，
令x=0，由①得：f1 =-f1 ⇒f1 =0⇒b=2，所以fx =-2x2+2．
思路一：从定义入手．
9
f
2
5
=f +2
2
5
=f- +2
2
1
=f-
2
1
f-
2
3
=f- +1
2
3
=-f +1
2
5
=-f
2
5
-f
2
1
=-f +2
2
1
=-f- +2
2
3
=-f
2
9
所以f
2
3
=-f
2
5
= ．
2
法二：
因为fx+1 是奇函数，所以f-x+1 =-fx+1 ①；
因为fx+2 是偶函数，所以fx+2 =f-x+2 ②．
令x=1，由①得：f0 =-f2 =-4a+b ，由②得：f3 =f1 =a+b，
因为f0 +f3 =6，所以-4a+b +a+b=6⇒a=-2，
令x=0，由①得：f1 =-f1 ⇒f1 =0⇒b=2，所以fx =-2x2+2．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数fx 的周期T=4．
9
所以f
2
1
=f
2
3
=-f
2
5
= ．
2
故选：D．
【典例2】(2023·浙江·统考一模)设函数y=fx 的定义域为R，且fx+1 为偶函数，fx-1 为奇函数，
当x∈-1,1 时，fx
2023
=1-x2，则 fk
k=1
= .
解析：
因为函数y=fx 的定义域为R，且fx+1 为偶函数，fx-1 为奇函数，
则f1-x =f1+x ，f-x-1 =-fx-1 ，
所以，函数fx 的图象关于直线x=1对称，也关于点-1,0 对称，
所以，f-x =fx+2 ，f-x =-fx-2 ，
所以，fx+2 =-fx-2 ，则fx+8 =-fx+4 =fx ，
所以，函数fx 是周期为8的周期函数，
当x∈-1,1 时，fx =1-x2，则f1 =0，f7 =f-1 =0，f8 =f0 =1，
f2 =f0 =1，f3 =f-1 =0，f4 =-f-6 =-f2 =-1，
f5 =f-3 =-f1 =0，f6 =-f-8 =-f0 =-1，
8
所以， fk
k=1
=0+1+0-1+0-1+0+1=0，
2023
又因为2023=8×253-1，所以， fk
k=1
8
=253 fk
k=1
-f8 =0-1=-1.
故答案为：-1.
注：对称性与周期性之间的常用结论：
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专心 专注 专业
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~ ~
~ ~
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~ ~
~ ~
~~~~~~~ ~~~~~~~
①若函数fx
~ ~
~ ~
的图象关于直线x=a和x=b对称，则函数fx 的周期为T=2a-b ；
②若函数fx 的图象关于点a,0 和点b,0 对称，则函数fx 的周期为T=2a-b ；
③若函数fx 的图象关于直线x=a和点b,0 对称，则函数fx 的周期为T=4a-b .
技巧6 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧
在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函
数的奇偶性，则最大值+最小值可秒解。比如在定义域内，若Fx =fx +A，其中fx 为奇函数，A为
常数，则最大值M，最小值m有M+m=2A，即M+m=2倍常数
知识在线
(1)与指数函数相关的奇函数和偶函数
f(x)=ax+a-x，(a>0，且a≠1)为偶函数，
f(x)=ax-a-x，(a>0，且a≠1)为奇函数
ax-1 ax+1
f(x)= 和f(x)= ，(a>0，且a≠1)为其定义域上的奇函数
ax+1 ax-1
2 2
f(x)=1- 和f(x)=1+ ，(a>0，且a≠1)为其定义域上的奇函数
ax+1 ax-1
f(x)=ax 为偶函数
(2)与对数函数相关的奇函数和偶函数
f(x)=log ( 1+b2x2±bx)，(a>0且a≠1)为奇函数，
a
b±cx
f(x)=log ，(a>0且a≠1)为奇函数
ab∓cx
【典例1】(2023·江苏镇江·高三统考)已知函数 f x = ax3 - ln x2+1+x + 3sinx + 7，x ∈
-2023,2023 的最大值为M，最小值为m，则M+m= .
解析：
法一：M+m=2倍常数=14
法二：M+m=2f0 =14
【典例2】(2023·山东统考期中)设函数 fx
2023x+1
=
2+x2025
-3≤x≤3
x2+1
的最大值为M，最小值为
m，则M+m= .
解析：
fx
2023x+1
=
2+x2025 x2025+4046x
=2023+ -3≤x≤3
x2+1 x2+1
，
设gx
x2025+4046x
= -3≤x≤3
x2+1
，定义域关于原点对称，
由g-x
-x
=
2025+4046-x
-x
x2025+4046x
=- =-gx
2+1 x2+1
，知函数gx 为奇函数，
因为M=2023+gx ，m=2023+gx
max
，
min
所以M+m=4046+gx +gx
max
=4046.
min
故答案为：4046.
【典例3】(2023·重庆校考)函数fx
x
= + 3，当x∈-2023,2023
x2+1
时fx 的最大值为M，最小值
为N，则M+N= ．
解析：
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专业 专注 专心
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~ ~
~ ~
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~ ~
~ ~
~~~~~~ ~~~~~~
由题意，在gx
~ ~
~ ~
x
= 中，g-x
x2+1
-x
=
-x
x
=- =-gx
2+1 x2+1
，
函数是奇函数，gx +gx
min
=0,g-2023
max
+g2023 =0，
在fx
x
= + 3中，当x∈-2023,2023
x2+1
时fx 的最大值为M，最小值为N，
M+N=fx +fx
min
x
= + 3
max x2+1
x
+ + 3
min
x2+1
max
x
=
x2+1
x
+
min
x2+1
+2 3=gx
max
+gx
min
+2 3=2 3
max
故答案为：2 3.
【典例4】(2023·安徽·高三校联考)函数fx =x2-6x sinx-3 +x+a x∈0,6 的最大值为M，最
小值为m，若M+m=8，则a= ．
解析：
fx =(x2-6x)sin(x-3)+x+a=[(x-3)2-9]sin(x-3)+(x-3)+a+3，
设x-3=t∈[-3,3]，则y=(t2-9)sint+t+a+3，
记g(t)=y-(a+3)=(t2-9)sint+t，
因为g(-t)=-(t2-9)sint-t=-g(t)，
所以g(t)是在[-3,3]上的奇函数，最大值为M-(a+3)，最小值为m-(a+3)，
所以M-(3+a)+m-(3+a)=0，
又因为M+m=8，所以a=1，
故答案为：1．
【典例5】(2023·黑龙江·高三校考)设函数fx
x3+2x+1
=
2+3
在区间-2,2
x2+1
上的最大值为M，最小
值为N，则M+N的值为 ．
解析：
由fx
x3+2x+1
=
2+3 x3+4x2+4x+4 x3+4x
= = +4，
x2+1 x2+1 x2+1
设gx
x3+4x
= ，x∈-2,2
x2+1
，
则g-x
-x3-4x
=
-x
x3+4x
=- =-gx
2+1 x2+1
，
所以函数gx 在-2,2 上为奇函数，
所以gx +gx
max
=0，
min
M=gx 由题意，得 +4 max
N=gx
，
+4
min
所以M+N=gx +gx
max
+8=8.
min
故答案为：8.
【典例6】(2023·黑龙江校考)已知函数fx =log 1+4x2+2x 2
2ex
+ ，若fx ex+1 在区间-t,t t>0 上
的最大值和最小值分别为M，N，则函数gx =M+N x+ M+N x-1 -3的图像的对称中心为
．
解析：
由题意可知f-x =log 2 1+4-x 2+2-x
2e-x
+ =log 1+4x2-2x e-x+1 2
2
+ ， ex+1
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专心 专注 专业
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~ ~
~ ~
~~~ ~~~
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~ ~
~ ~
~~~~~~ ~~~~~~
所以fx
~ ~
~ ~
+f-x =log 1+4x2+2x 2
2ex
+ +log 1+4x2-2x ex+1 2
2
+ =2. ex+1
故函数fx 在定义域内为非奇非偶函数，
令hx =fx -1，则hx +h-x =fx -1+f-x -1=0，
所以hx 在定义域内为奇函数.
设hx 在-t,t 上的最大值为k，则最小值为-k，
所以fx 在-t,t 上的最大值为M=k+1，最小值为N=-k+1，
所以M+N=k+1+-k +1=2.
gx =M+N x+ M+N x-1
1
-3=2x+
2x-1
1
x≠
3 2
.
因为gx +g1-x
1
=2x+
2x-1
+2×1-x
3
1
+
2×1-x -1
1
=2+
3 2x-1
1
+
3 1-2x
=
3
2，
所以gx
1
图象的对称中心为 ,1
2
.
1
故答案为： ,1
2
.
【典例7】(2023·莆田·高三联考)函数fx =x2-6x sinx-3 +x+a x∈0,6 的最大值为M，最小
值为m，若M+m=10，则a= ．
解析：
因为fx =x2-6x sinx-3 +x+a=[(x-3)2-9]sin(x-3)+x-3+a+3，
设x-3=t∈[-3,3]，则f(x)=g(t)=(t2-9)sint+t+a+3，
设h(t)=(t2-9)sint+t,t∈[-3,3]，则h(-t)=-(t2-9)sint-t=-h(t)，
所以h(t)是[-3,3]上的奇函数，最大值为M-(a+3)，最小值为m-(a+3)，
所以M-(a+3)+m-(a+3)=0，由M+m=10，得a=2，
故答案为：2.
技巧7 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧
在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函
数的奇偶性，则f(a)+f(-a)可秒解.在定义域内，若Fx =fx +A，其中fx 为奇函数，A为常数，有
fa +f-a =2A，即fa +f-a =2倍常数
知识在线
【典例1】(全国·高考真题)已知函数fx =ln 1+x2-x +1，fa =4，则f-a = ．
解析：
ln 1+x2-x 在定义域内为奇函数，所以fa +f-a =2倍常数=2，解得f-a =-2
【典例2】(2023·四川模拟)已知fx =x3+sinx+5，若fsinx =9，则f sinπ+x .
解析：
令gx =x3+sinxx∈R ，因为g-x =-x 3+sin-x =-x3-sinx=-gx ，
所以函数gx =x3+sinxx∈R 为奇函数，
因为fsinx =9，即fsinx =gsinx +5=9，所以gsinx =4，
所以f sinπ+x =f-sinx =g-sinx +5=-gsinx +5=-4+5=1.
故答案为：1
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专业 专注 专心
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~ ~
~~~~~~~~ ~~~~~~~~
~ ~
【典例3】(2023·四川达州·统考一模)函数 fx
~ ~
x-2
=ln +mtanx+3，且 ft
x+2
=6，则 f-t 的值为
.
解析：
令gx =fx
x-2
-3=ln +mtanx，
x+2
π
定义域为{x|x<-2或x>2且x≠kπ+ ,k∈Z}，关于原点对称，
2
则g-x
-x-2
=ln +mtan-x
-x+2
x+2 x-2
=ln -mtanx=-ln -mtanx=-gx
x-2 x+2
，
故gx 为奇函数，
又gt =ft -3=6-3=3，故g-t =f-t -3=-3，
解得f-t =0.
技巧8 已知函数解析式判断函数图象解题技巧
本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，结合奇偶性的判断，特值
的辅助，极限思想的应用可以快速求解，所以几类特值需重点掌握.
知识在线
1.函数的奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称(大前提)
②奇偶性的定义：
奇函数：f-x =-f(x)，图象关于原点对称，
偶函数：f-x =fx ，图象关于y轴对称
③奇偶性的运算
2.特值与极限
① 2=1.414,⥄ 3=1.732, 5=2.236, 6=2.45, 7=2.646
1
②e=2.71828,e2=7.39,e2= e=1.65
1
③ln1=0,ln2=0.69,ln3=1.1,lne=1,ln e=
2
④sin1=0.84,cos1=0.54,sin2=0.91,cos2=-0.42
特别地：当x→0时sinx=x
例如：sin0.1=0.099≈0.1，sin0.2=0.199≈0.2,sin0.3=0.296≈0.3
当x→0时cosx=1
cos0.1=0.995≈1,cos(-0.2)=0.980≈1
【典例1】(2022·全国·统考高考真题)函数y=3x-3-x cosx在区间 - π , π
2 2
的图象大致为 ( )
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专心 专注 专业
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~ ~
~ ~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
A． B．
C． D．
~ ~
解析：
令fx =3x-3-x cosx,x∈ - π , π
2 2
，由奇偶性定义知fx 为奇函数，排除BD；
法一：特值
f0.1 =30.1-3-0.1 cos0.1≈30.1-3-0.1 ×0.995>0，故选：A.
法二：极限法
当x→0+时cosx=1，3x→1+，3-x→1-
所以当x→0+时y=3x-3-x cosx>0，故选：A.
法三：
π
当x∈0,
2
时，3x-3-x>0,cosx>0，所以fx >0
【典例2】(2022·天津·统考高考真题)函数fx
x2-1
=
的图像为 ( )
x
A． B．
C． D．
解析：
函数fx
x2-1
=
的定义域为xx≠0
x
，且f-x
-x
=
2-1 x2-1
=-
-x
=-fx
x
，
函数fx 为奇函数，A选项错误；
法一：特值
f0.1
0.12-1
=
>0，排除C，f2
0.1
22-1
=
=1.5，f3
2
32-1
=
8
= ≈2.67，
3 3
故选：D.
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专业 专注 专心
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~ ~
~ ~
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法二：极限
当x→0+时fx
~ ~
~ ~
x2-1
=
>0，排除C，当x→+∞时fx
x
→+∞，故选：D.
法三：
当x<0时，fx
x2-1
=
≤0，C选项错误；
x
当x>1时，fx
x2-1
=
x2-1 1
= =x- 函数单调递增，故B选项错误；
x x x
ln|x| 1
【典例3】(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)函数 y= + 在-2,0
x2 x2
∪0,2 上的大致图象为 ( )
A. B.
C. D.
解析：
由于函数的定义域为-2,0 ∪0,2 ，关于原点对称，且f-x
ln|-x|
=
-x
1
+
2 -x
=fx
2
，
所以fx 为偶函数，故图象关于y轴对称，
且f2
ln2+1
= >0，故此时可排除AD,当x=e-10时，fe-10
4
-10+1
= <0，
e-20
因此排除C，故选：B
【典例4】(2023·山东德州·三模)函数fx
xlnx
=
的图象大致是 ( )
ex+e-x
A. B.
C. D.
解析：
由函数fx
xlnx
=
，都可其定义域为-∞,0
ex+e-x
∪0,+∞ 关于原点对称，
又由f-x
-xln-x
=
xlnx
=-
e-x+ex
=-fx
ex+e-x
，所以函数fx 为奇函数，
所以函数fx 的图象关于原点对称，可排除A、B选项；
当x∈(0,1)时，fx <0；当x=1时，fx =0；当x∈(1,+∞)时，fx >0，
根据指数函数与对数函数的增长趋势，可得x→+∞时，fx →0，可排除C选项.
故选：D.
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专心 专注 专业
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~ ~
~ ~
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~ ~
【典例5】(2023·全国·模拟预测)函数fx
~ ~
x3
=sin +x
3
2x
⋅ln
+2
2x
的图像可能是 ( )
A. B.
C. D.
解析：
函数fx
x3
=sin +x
3
2x
⋅ln
+2
2x
的定义域为R，
因为f-x
-x
=sin
3
+-x
3
2-x
⋅ln
+2
2-x
x3
=-sin +x
3
2x
⋅ln
+2
2x
=-fx ，
所以函数fx 为奇函数，函数图像关于原点对称，故排除C，D，
x3 4 π x3
当0<x<1时，0< +x< < ，故sin +x
3 3 2 3
>0,
2x
而ln
+2
2x
2
=ln1+
2x
>0，故此时fx >0，故排除B．
故选：A．
【典例6】(2023·湖南益阳·统考模拟预测)函数fx
lne2x+1
=
-x
的部分图象大致是 ( )
x2-1
A. B.
C. D.
解析：
因为x2-1≠0，所以x≠±1，
1 而f-
2
ln 1+1
e =
+1
2 <0，所以C，D错误.
-3
4
令gx =ln e2x+1 -2x，所以gx
-2
= <0，即gx
e2x+1
单调递减，
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专业 专注 专心
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当x>1时，gx
~ ~
~ ~
=ln e2x+1 -2x<g0 ，即ln e2x+1 -2x<0，
所以x>1时，ln e2x+1 -x<x，
令hx
x
= ，
x2-1
所以x>1时，fx <hx ，
而hx
x2-1
=
-2x2
x2-1
-x2-1
=
2 x2-1
<0，即x>1时，hx
2
x
= 单调递减，
x2-1
所以x>1时，fx
ln e2x+1
=
-x
，在x→+∞单调递增错误，B错误.
x2-1
故选：A
【典例7】(2023·福建·统考模拟预测)函数fx
lnx
=
-x2+2
的图象大数为 ( )
x
A. B.
C. D.
解析：
由题意可知，函数fx 的定义域为x|x≠0 .
又f-x
ln-x
=
--x 2+2 lnx
=
-x
-x2+2
=-fx
-x
，
所以，函数fx 为奇函数.
当x>0时，fx
lnx-x2+2 lnx 2
= =-x+ + ，
x x x
则fx =-1+ x
1⋅x-lnx
- 2 =- x2+lnx+1 .
x2 x2 x2
设gx =x2+lnx+1，则gx
1
=2x+ >0在0,+∞
x
上恒成立，
所以，gx 在0,+∞ 上单调递增.
1
又g
e2
1
=e-4-2+1<0，g
e
=e-2-1+1>0，
1 1
所以，根据零点存在定理可得，∃x ∈ , 0 e2 e ，有gx 0 =0，
且当0<x<x 0 时，有gx <0，显然fx
x2+lnx+1
=- >0， x2
所以fx 在0,x 0 上单调递增；
当x>x 0 时，有gx >0，显然fx
x2+lnx+1
=- <0， x2
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专心 专注 专业
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所以fx
~ ~
~ ~
在0,x 0 上单调递减.
1
因为x < <1，所以C项满足题意.
0 e
故选：C.
【典例8】(2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正
弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型
是函数y=Asinωx，我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音．已知刻画
1 1
某复合音的函数为sinx+ sin2x+ sin3x，则其部分图象大致为 ( )
2 3
A.
B.
C.
D.
解析：
令y=fx
1 1
=sinx+ sin2x+ sin3x，
2 3
求导得fx =cosx+cos2x+cos3x=cosx+cos2x+cos2xcosx-sin2xsinx
=cosx1-2sin2x +cos2x1+cosx =1+2cosx cos2x，
当x∈0,π 时，由fx
π 2π 3π
=0解得x= , , ，
4 3 4
π
当x∈0,
4
时，fx >0，fx 单调递增；
π 2π
当x∈ ,
4 3
时，fx <0，fx 单调递减；
2π 3π
当x∈ ,
3 4
时，fx >0，fx 单调递增；
3π
当x∈ ,π
4
时，fx <0，fx 单调递减，
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专业 专注 专心
~
~
~
~
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~ ~
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π 3π
所以，当x= 和x= 时，fx
4 4
~ ~
~ ~
2π
取极大值；当x= 时，fx
3
取极小值，
由于f0
π
=0,f
4
2 2 1 2π
= + ,f
3 2 3
3 3π
= ,f
4 4
2 2 1
= - >0,fπ
3 2
=0，
π
可得f
4
3π
>f
4
，当x∈0,π 时fx >0，
结合图象，只有C选项满足．
故选：C．
技巧9 已知函数图象判断函数解析式解题技巧
本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，结合奇偶性的判断，特值
的辅助，极限思想的应用可以快速求解，所以几类特值需重点掌握.
【典例1】(2022·全国·统考高考真题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该
函数是 ( )
-x3+3x x3-x 2xcosx 2sinx
A. y= B. y= C. y= D. y=
x2+1 x2+1 x2+1 x2+1
解析：
法一：特值
由图知：f2 <0，
对于A，f2
2
=- ，对于B，f2
5
6
= ，
5
对于C，f2
2×2×-0.42
=
<0，对于D，f2
5
2×0.91
= >0
5
排除BD
结合函数零点位置可选A
法二：猜测近似函数值
由图知f1 ≈1
分别计算四个函数值即可得到答案
法三：
设fx
x3-x
= ，则f1
x2+1
=0，故排除B;
设hx
2xcosx π
= ，当x∈0,
x2+1 2
时，0<cosx<1，
所以hx
2xcosx 2x
= < ≤1，故排除C;
x2+1 x2+1
设gx
2sinx
= ，则g3
x2+1
2sin3
= >0，故排除D.
10
【典例2】(2023·天津·统考高考真题)函数fx 的图象如下图所示，则fx 的解析式可能为 ( )
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专心 专注 专业
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~ ~
~ ~
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5ex-e-x
A.
~ ~
5sinx
5ex+e-x
B. C.
x2+2 x2+1
5cosx
D.
x2+2 x2+1
解析：
由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(-2)=f(2)<0，
5sin(-x) 5sinx
由 =- 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
(-x)2+1 x2+1
5(ex-e-x) 5(ex+e-x)
当x>0时 >0、 >0，即A、C中(0,+∞)上函数值为正，排除
x2+2 x2+2
故选D
【典例3】(2023·浙江温州·统考二模)某个函数的大致图象如图所示，则该函数可能是 ( )
x 2sinx 2cosx -x3+sinx
A. y= B. y= C. y= D. y=
x2+1 x2+1 x2+1 x2+1
解析：
4个选项函数定义域均为R，对于A, fx
x
= ,f-x
x2+1
-x
= ,fx
x2+1
=-f-x ，
x
故y= 为奇函数，且f4
x2+1
>0
对于B, fx
2sinx
= ,f-x
x2+1
-2sinx
= =-fx
x2+1
,故fx 为奇函数，f4
2sin4
= <0，
17
对于C, fx
2cosx
= ,f-x
x2+1
2cosx
= ,fx
x2+1
=f-x ,故fx 为偶函数，f4
2cos4
= <0
17
对于D，fx
-x3+sinx
= ,f-x
x2+1
x3-sinx
= =-fx
x2+1
，
故fx 为奇函数，f4
-64+sin4
= <-1，
17
由图知为奇函数，故排除C；由f4 <0，排除A,由f4 >-1，排除D,
故选：B．
【典例4】(2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测)如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数
为 ( )
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专业 专注 专心
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~ ~
~ ~
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A. fx
~ ~
x
=
lnx+2
B. fx
x+1
= C. fx
ex+1-1
x3
=
x+1
D. fx
2
x
=
x+1 2
解析：
对于A，要使函数fx
x+2
有意义，则
>0
lnx+2
x+2≠0
，即
≠0 x+2
，
≠1
所以x<-3或-3<x<-2或-2<x<-1或x>-1，
所以函数fx 的定义域为-∞,-3 ∪-3,-2 ∪-2,-1 ∪-1,+∞ ，A不正确；
对于B，f0
1
= ≠0，而已知函数fx
e-1
图象过原点，B不正确；
对于C，对于函数fx
x3
=
x+1
，则fx
2
x3+3x2
=
x+1
，当x>0时，fx
3
>0，
则函数fx 在0,+∞ 上单调递增，不符合题中图象，C不正确，
对于D，对于函数fx
x
=
x+1
，定义域为-∞,-1
2
∪-1,+∞ ，且f0 =0，
fx
1-x
=
x+1
，当x<-1时，fx
3
<0，当-1<x<1时，fx >0，
当x>1时，fx <0，所以函数fx
x
=
x+1
在-∞,-1
2
上单调递减，
在-1,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，符合图象，故D正确.
故选：D.
专题二 函数值比较大小解题技巧
技巧1 构造函数比较函数值大小关系解题技巧
本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用分析法找打构造函数
的本体是解决此类问题的突破口，需重点掌握.
1
【典例1】(2022·全国·统考高考真题)设a=0.1e0.1,b= ，c=-ln0.9，则 ( )
9
A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. a<c<b
解析：
法一：分析法
假设待证法比较大小→构造函数
1
假设a<b成立，即0.1e0.1< ⇔0.9e0.1<1⇔ln0.9+0.1<0
9
令x=0.9，则等价证明：lnx+(1-x)<0，即证：lnx<x-1(原式得证，略)
假设a<c成立，即0.1e0.1<-ln0.9⇔0.1e0.1+ln0.9<0
令x=0.1，则等价证明：xex+ln(1-x)<0，x∈(0,1)
证明略
所以函数g(x)=xex+ln(1-x)在x∈(0, 2-1)单调递增，
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专心 专注 专业
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~ ~
~ ~
~~~~~~~~ ~~~~~~~~
所以g(0.1)>g(0)，即：0.1e0.1+ln0.9>0，所以假设a<c不成立，即a>c，
综上所述：c<a<b，故选：C
法二：构造法
1 x
设f(x)=ln(1+x)-x(x>-1)，因为f(x)= -1=- ，
1+x 1+x
当x∈(-1,0)时，f(x)>0，当x∈(0,+∞)时f(x)<0，
所以函数f(x)=ln(1+x)-x在(0,+∞)单调递减，在(-1,0)上单调递增，
1
所以f
9
~ ~
~ ~
10 1 1 10
<f(0)=0，所以ln - <0，故 >ln =-ln0.9，即b>c，
9 9 9 9
1
所以f-
10
9 1 9 -1 1 1 1
<f(0)=0，所以ln + <0，故 <e 10，所以 e10< ，
10 10 10 10 9
故a<b，
设g(x)=xex+ln(1-x)(0<x<1)，则g(x)=x+1
1
x2-1
ex+ =
x-1
ex+1
,
x-1
令h(x)=ex(x2-1)+1，h(x)=ex(x2+2x-1)，
当0<x< 2-1时，h(x)<0，函数h(x)=ex(x2-1)+1单调递减，
当 2-1<x<1时，h(x)>0，函数h(x)=ex(x2-1)+1单调递增，
又h(0)=0，
所以当0<x< 2-1时，h(x)<0，
所以当0<x< 2-1时，g(x)>0，函数g(x)=xex+ln(1-x)单调递增，
所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1>-ln0.9，所以a>c
故选：C.
1
【典例2】(2023·河北·统考模拟预测)设a=ln102-ln100，b= ，c=tan0.02，则 ( )
51
A. a>c>b B. b>c>a C. c>b>a D. c>a>b
解析：
102 51 1
因为a=ln102-ln100=ln =ln =ln1+
100 50 50
1 1
，b= ，c=tan0.02=tan ，
51 50
令fx =tanx-ln1+x ，x∈0,1 ，
则fx
cos2x+sin2x 1 1 1 x+1-cos2x
= - = - =
cos2x x+1 cos2x x+1 x+1
，
cos2x
令mx =x+1-cos2x，则mx =1+2cosxsinx=1+sin2x≥0，
所以mx 在0,1 上单调递增，mx >m0 =0，
所以fx >0，所以fx 在0,1 上单调递增，所以fx >f0 =0，
则f0.02 =tan0.02-ln1+0.02
1
>0，即tan0.02>ln1+
50
，即c>a，
令hx =-lnx-1+x，x∈0,1 ，则hx
1 x-1
=- +1= <0，
x x
所以hx 在0,1 上单调递减，则hx >h1 =0，
50
则h
51
50 50 50 50 1 51 1
=-ln -1+ >0，即-ln >1- = ，即ln > ，
51 51 51 51 51 50 51
所以a>b，综上可得c>a>b.
故选：D
1
【典例3】(2023·福建福州·模拟预测)a= ,b=ln1.1,c=tan0.1，则 ( )
11
A. c<a<b B. a<c<b C. b<a<c D. a<b<c
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专业 专注 专心
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解析：
令fx
~ ~
~ ~
=lnx+1
x
- ，x∈-1,+∞
x+1
，则fx
1 1
= -
x+1 x+1
x
=
2 x+1
，
2
所以当x>0时fx >0，即fx 在0,+∞ 上单调递增，
所以f0.1 >f0 =0，即ln0.1+1
0.1 1
- >0，即ln1.1> ，即b>a，
0.1+1 11
令hx =lnx+1 -x，则hx
1 -x
= -1= ，
x+1 x+1
π
在x∈0,
2
时，hx <0，则hx 为减函数，
∴hx <h0 =0，即lnx+1 <x；
令mx
π
=x-tanx，x∈0,
2
，则mx
1
=1- >0，
cos2x
故mx
π
在x∈0,
2
为减函数，
∴mx <m0 =0，即x<tanx；
∴lnx+1
π
<x<tanx,x∈0,
2
，
令x=0.1，则ln0.1+1 <0.1<tan0.1，即b<0.1<c，∴b<c，
所以a<b<c．
故选：D．
π
说明：常用的不等式：sinx<x<tanx0<x<
2
，lnx+1 <xx>0 ，lnx≤x-1≤x2-xx>0 ，
ex≥x+1，ex≥ex>xx>0 ，ex>x2 x>0 .
1
【典例4】(2023·福建·二模)设a=2e4-1
1 1 1
,b=e2-1,c=sin +tan ，则 ( )
4 4
A. b>a>c B. b>c>a C. a>b>c D. a>c>b
解析：
1 1
b-a=e2-1-2e4-1
1 1 1
=e2-2⋅e4+1=e2-1
2
>0,∴b>a，
1
又a-c=2e4-1
1 1
-sin -tan ，
4 4
所以令f(x)=2ex-1
π
-sinx-tanx，x∈0,
6
，
1
则f(x)=2⋅ex-cosx- ，
cos2x
1
令g(x)=2⋅ex-cosx- ，
cos2x
2sinx
则g(x)=2⋅ex+sinx- ，
cos3x
π
当x∈0,
6
π π
时,2⋅ex>2,sinx>0,sinx<sin ,cos3x>cos3 ，
6 6
2sinπ
所以 2sinx < 6 = 8 <2，
cos3x cos3π 3 3
6
π
故g(x)>0,故g(x)在0,
6
上是增函数，又∵g(0)=0，
π
∴当x∈0,
6
π
时,f(x)=g(x)>0, 故f(x)在0,
6
上是增函数，
1
故f
4
>f(0)=0,即a>c，故b>a>c.
说明：本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值
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专心 专注 专业
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~ ~
~ ~
~~~~~~~~ ~~~~~~~~
1
变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量x就有了函数的形式，如在本题中a-c=2e4-1
~ ~
~ ~
1 1 1
-sin -tan ，将 视为变量可以构造函数f(x)=2ex-1
4 4 4
-sinx-tanx.
技巧2 两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧
本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用两类超越不等式是解
决此类问题的突破口，需重点掌握.
知识在线
1 x
ex≥x+1，ex≥ex，1- ≤lnx≤x-1，lnx≤
x e
【典例1】(2023上·河北保定·高三校联考开学考试)已知a=ln1+e
2e
，b= e，c= ，则 ( )
3
A. b>a>c B. a>c>b C. b>c>a D. c>b>a
解析：
1 -x
令f(x)=ln(1+x)-x,x>0，则f(x)= -1= <0，
1+x 1+x
所以函数f(x)在0,+∞ 单调递减，且f(0)=0，
所以f(x)<0，即ln(1+x)<x，
1 1
令x= ，则有ln1+
e e
1
< ，
e
1
所以ln1+
e
1 1
+lne< +1，即ln(1+e)< +1，
e e
1
又由ln1+
e
1 1 1 1
< ，可得1+ <ee<e2，
e e
所以ln1+e < e，即a<b，
4e2 4e
又因为c2-b2= -e=e -1
9 9
>0，所以b<c，
综上可得c>b>a，
故选：D.
1 1 4
【典例2】(2023·河南开封·统考模拟预测)已知a= ，b=e3-1，c=ln ，则 ( )
3 3
A. a<b<c B. a<c<b C. c<a<b D. b<c<a
解析：
1 1 4 1
a= ，b=e3-1，c=ln =ln1+
3 3 3
，
设fx =ex-x-10<x<1 ，
所以fx =ex-1>0，
所以fx 在0,1 上单调递增，所以fx >f0 =0，即ex-1>x0<x<1 .
1 1
所以e3-1> ，即a<b.
3
设gx =ln1+x -x0<x<1 ，
则gx
1 -x
= -1= <0，
1+x 1+x
所以gx 在0,1 上单调递减，所以gx <g0 =0，即ln1+x <x0<x<1 .
1
所以ln1+
3
1
< ，即c<a.
3
所以c<a<b.
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专业 专注 专心
~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~
故选:C.
~ ~
3 2 -1
【典例3】(2023·江西赣州·统考模拟预测)已知a=ln ，b= ，c=e 2，则 ( )
2 3
A. a<b<c B. b<c<a C. c<a<b D. a<c<b
~ ~
解析：
令fx =x-lnx-1，其中x>1，
则fx
1 x-1
=1- = >0，所以，函数fx
x x
在1,+∞ 上为增函数，
故当x>1时，fx >f1
3 3 1
=0，则lnx<x-1，所以a=ln < -1= ，
2 2 2
-1 1 1
因为0< e<2，则c=e 2= > ，
e 2
当x>0时，证明ex>x+1，令gx
=ex-x-1，其中x>0，则gx
=ex-1>0，
所以函数gx 在0,+∞ 上为增函数，故当x>0时，gx >g0 =0，
所以当x>0时，ex>x+1，则e2 1 > 1 +1= 3 ，所以e - 2 1 < 2 ，
2 2 3
3 1 -1 2
所以ln < <e 2< ，因此a<c<b.
2 2 3
故选：D.
技巧3 泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧
本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用泰勒公式展开是解决
此类问题的突破口，需重点掌握.
知识在线
常见函数的泰勒展开式：
x x2 x3 xn xn+1
(1)ex=1+ + + +⋯+ +
1! 2! 3! n! n+1
eθx，其中0<θ<1
!
；
(2)ln1+x
x2 x3
=x- + -⋯+-1 2! 3!
xn
n-1 n! +R n ，其中R n =-1
xn+1
n n+1
1
! 1+θx
n+1
；
x3 x5
(3)sinx=x- + -⋯+-1 3! 5!
x2k-1
k-1 2k-1 +R n ，其中R n =-1 !
x2k+1
k 2k+1 cosθx； !
x2 x4
(4)cosx=1- + -⋯+-1 2! 4!
x2k-2
k-1 2k-2 +R n ，其中R n =-1 !
x2k
k 2k cosθx； !
1
(5) =1+x+x2+⋯+xn+o(xn)；
1-x
n(n-1)
(6)(1+x)n=1+nx+ x2+o(x2)；
2!
x3 2
(7)tanx=x+ + x5+⋅⋅⋅+ox2n
3 15
；
1 1 1
(8) 1+x=1+ x- x2+ x3+⋅⋅⋅+oxn
2 8 16
．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
1
ex≥1+x，ex≥1+x+ x2 x≥0
2
1
，sinx≥x- x3 x≥0
6
，
1
cosx≥1- x2，lnx≤x-1，ex-1≥x，
2
1
tanx≥x+ x3 x≥0
3
1
， 1+x≤1+ x，ln1+x
2
≤x．
3．常见函数的泰勒展开式：
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~ ~
~~~~~~~~ ~~~~~~~~
结论1 ln(1+x)≤x (x>-1)．
结论2 lnx≤x-1 (x>0)．
1
结论3 1- ≤lnx(x>0)．
x
x 1 x
结论4 <ln ⇒ <ln1+x
1+x 1- x 1+x
1+x
~ ~
~ ~
．
1
结论5 1+x≤ex；ex≤ x<1
1-x
x
； ≤ln1+x
1+x
≤xx>-1 ．
结论6 ex≥1+x (x∈R)；
结论7 e-x≥1-x (x∈R)
1
结论8 ≥ex x<1
1-x
．
1
结论9 ≤ex x>1
1-x
．
1
【典例1】(2022年新Ⅰ卷高考真题第7题)设a=0.1e0.1，b= ，c=-ln0.9则 ( )
9
A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. a<c<b
解析：
泰勒公式法：
0.12
因为e0.1≈1+0.1+ =1.105，
2
1
所以0.1e0.1≈0.1105< =0.11111=b，所以a<b
9
因为
10 1 c=-ln0.9=ln =ln +1
9 9
1
1 9 ≈ -
9
2 1
9 +
2
3
1 1 1 1 = - + ≈ -0.006=0.105<a所
3 9 162 2187 9
以c<a
综上所述：c<a<b
故选：C
31 1 1
【典例2】(2022·全国·统考高考真题)已知a= ,b=cos ,c=4sin ，则 ( )
32 4 4
A. c>b>a B. b>a>c C. a>b>c D. a>c>b
解析：
泰勒展开
31 0.252 1 0.252 0.254
设x=0.25，则a= =1- ，b=cos ≈1- + ，
32 2 4 2 4!
c=4sin 1 = sin 4 1 ≈1- 0.252 + 0.254 ，计算得c>b>a，故选A.
4 1 3! 5!
4
【典例3】(2021·全国·统考高考真题)设a=2ln1.01，b=ln1.02，c= 1.04-1．则 ( )
A. a<b<c B. b<c<a C. b<a<c D. c<a<b
解析：
法一：
由泰勒公式, 可知ln1+x
1 1
≈x- x2+ x3,1+x
2 3
1 1 1 1
2-1≈ x- x2+ x3
2 8 16
将 x=0.01,x=0.02,x=0.04, 分别相应代入估算,
第 页 共 页
27 90~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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专业 专注 专心
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得 a≈0.01990,b≈0.019802,c≈0.019804.
由此可知 b<c<a.
法二：
a=2ln1.01=ln1.012=ln1+0.01
~ ~
~ ~
2=ln1+2×0.01+0.012 >ln1.02=b，
所以b<a；
下面比较c与a,b的大小关系.
记fx =2ln1+x - 1+4x+1，则f0 =0，fx
2 2 2 1+4x-1-x
= - =
1+x 1+4x
1+x
，
1+4x
由于1+4x-1+x 2=2x-x2=x2-x
所以当0<x<2时，1+4x-1+x 2>0，即 1+4x>1+x ，fx >0，
所以fx 在0,2 上单调递增，
所以f0.01 >f0 =0，即2ln1.01> 1.04-1，即a>c；
令gx =ln1+2x - 1+4x+1，则g0 =0，gx
2 2 2 1+4x-1-2x
= - =
1+2x 1+4x
1+x
，
1+4x
由于1+4x-1+2x 2=-4x2，在x>0时，1+4x-1+2x 2<0，
所以gx <0，即函数gx 在[0，+∞)上单调递减，所以g0.01 <g0 =0，
即ln1.02< 1.04-1，即b<c；
综上，b<c<a，
故选：B.
法三：
令fx
x2+1
=ln
2
-x-1(x>1)
fx
x-1
=-
2
<0，即函数f(x)在(1，+∞)上单调递减
x2+1
f 1+0.04 <f1 =0,∴b<c
令gx
x2+3
=2ln
4
-x+1(1<x<3)
gx
x-1
=
3-x
>0，即函数g(x)在(1，3)上单调递增
x2+3
g 1+0.04 g1 =0,∴a c
综上，b<c<a，
故选：B.
3 1
【典例4】(2023春·湖北·高三统考期末)已知a= e-1，b=ln ，c=sin ，则 ( )
2 2
A. b<a<c B. b<c<a C. a<c<b D. c<b<a
解析：
先比较a和b的大小：
构造mx =ex-x-1,0≤x≤1，
则mx =ex-1≥0对0≤x≤1恒成立，则mx 在0,1 单调递增，
此时mx =ex-x-1≥m0 =0，当且仅当x=0时取等，
1
所以m
2
1 1
= e- -1>0，则a= e-1> ；
2 2
构造nx =ln1+x -x,0≤x≤1，
则nx
1 -x
= -1= ≤0对0≤x≤1恒成立，则nx
x+1 x+1
在0,1 单调递减，
第 页 共 页
28 90此时nx
专心 专注 专业
=ln1+x -x≤n0 =0，当且仅当x=0时取等，
1
所以n
2
3 1 3 1
=ln - <0，则b=ln < ；
2 2 2 2
构造px =sinx-x,0≤x≤1，
则px =cosx-1≤0对0≤x≤1恒成立，则px 在0,1 单调递减，
此时px ≤p0 =0，当且仅当x=0时取等，
1
所以p
2
1 1 1 1
=sin - <0，则c=sin < ；
2 2 2 2
则a>b，a>c；
下面比较b和c的大小：
设fx =ln1+x
π
-sinx，0<x< ，
6
fx
1 1-cosx-xcosx
= -cosx= ，
1+x 1+x
设gx
π
=1-cosx-xcosx，0<x< ，gx
6
=sinx-cosx-xsinx =x+1 sinx-cosx，
易知gx
π
在0,
6
上单调递增，则gx
π
<g
6
1 π
= 1+
2 6
3
- <0，
2
所以gx
π
在0,
6
上单调递减，gx <g0 =0，
即fx
π
<0在0,
6
上恒成立，则fx
π
在0,
6
上单调递减，
1 π
由 ∈0,
2 6
1
，则f
2
<f0
3 1
=0，即ln <sin ，则b<c.
2 2
综上b<c<a，
故选：B
技巧4 不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧
本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用不等式来放缩是解决
此类问题的突破口，需重点掌握.
知识在线
π
sinx<x<tanx,x∈0,
2
1 1
lnx< x- (x>1)，lnx> x- (0<x<1)，
x x
1 1
lnx< x-
2 x
1 1
(x>1)，lnx> x-
2 x
(0<x<1)，
1 3 1 3
lnx>- x2+2x- (x>1)，lnx<- x2+2x- (0<x<1)
2 2 2 2
2(x-1) 2(x-1)
lnx> (x>1)，lnx< (0<x<1)
x+1 x+1
放缩程度综合
1 1 1
1- < x-
x 2 x
1 2(x-1) 1 3
< x- <lnx< <- x2+2x- <x-1(0<x<1)
x x+1 2 2
1 1 3 2(x-1) 1 1 1
1- <- x2+2x- < <lnx< x- < x-
x 2 2 x+1 x 2 x
<x-1(1<x<2)
1 3 1 2(x-1) 1 1 1
- x2+2x- <1- < <lnx< x- < x-
2 2 x x+1 x 2 x
<x-1(x>2)
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29 90~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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专业 专注 专心
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~ ~
~ ~
~~~~~~~~ ~~~~~~~~
1 1
x+1<ex< (x<1)， <x+1<ex(x>1)
1-x 1-x
~ ~
1
【典例1】(2022·全国·统考高考真题)设a=0.1e0.1,b= ，c=-ln0.9，则 ( )
9
A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. a<c<b
~ ~
解析：
放缩法
1
因为x+1<ex< (x<1)，
1-x
1 1 1
所以1.1<e0.1< ⇒0.11<a=0.1e0.1<0.1× = =b，即a<b
1-0.1 1-0.1 9
1 1
因为lnx< x-
2 x
(x>1)，
10 1 10 9
所以c=-ln0.9=ln < -
9 2 9 10
19
= <0.11<a，即c<a
180
综上所述：c<a<b，故选：C
31 1 1
【典例2】(2022·全国·统考高考真题)已知a= ,b=cos ,c=4sin ，则 ( )
32 4 4
A. c>b>a B. b>a>c C. a>b>c D. a>c>b
解析：
法一：不等式放缩一
π
因为当x∈0,
2
,sinx<x，
1 1 1 1
取x= 得：cos =1-2sin2 >1-2
8 4 8 8
2 31
= ，故b>a
32
1 1 1
4sin +cos = 17sin +φ
4 4 4
π
，其中φ∈0,
2
1 4
，且sinφ= ,cosφ=
17 17
1 1 1 π π 1
当4sin +cos = 17时， +φ= ，及φ= -
4 4 4 2 2 4
1 4 1 1
此时sin =cosφ= ，cos =sinφ=
4 17 4 17
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专心 专注 专业
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~ ~
~ ~
~~~~~~~~ ~~~~~~~~
1 1 4 1 1
故cos = < =sin <4sin ，故b<c
4 17 17 4 4
所以b>a，所以c>b>a，故选A
法二:不等式放缩二
c 1 π
因为 =4tan ，因为当x∈0,
b 4 2
~ ~
~ ~
,sinx<x<tanx，
1 1 c
所以tan > ,即 >1，所以c>b；
4 4 b
π
因为当x∈0,
2
1 1 1 1
,sinx<x，取x= 得cos =1-2sin2 >1-2
8 4 8 8
2 31
= ，故b>a，
32
所以c>b>a．
故选：A．
17 1 1
【典例3】(2023·全国·校联考模拟预测)设a= ，b=cos ，c=3sin ，则下列正确的是 ( )
18 3 3
A. b>a>c B. b>c>a C. c>a>b D. c>b>a
解析：
π
先来证明当x∈0,
2
时，tanx>x>sinx.
令fx
π
=tanx-x，x∈0,
2
，则fx
1-cos2x
= >0，
cos2x
所以函数fx
π
在0,
2
上单调递增，可得fx >f0 =0，即得tanx>x；
令gx
π
=x-sinx，x∈0,
2
，则gx =1-cosx>0，
所以函数gx
π
在0,
2
上单调递增，可得gx >g0 =0，即得x>sinx；
π
所以当x∈0,
2
时，tanx>x>sinx.
因为a>,b>0,c>0，
3sin1
由 c = 3 =3tan 1 ，因为 1 ∈0, π
b cos1 3 3 2
3
1 1 1 ，所以tan > ，则3tan >1，所以c>b，
3 3 3
17 1 17 1
又a-b= -cos = -1-2sin2
18 3 18 6
1 1 1
=2sin2 - <2×
6 18 6
2 1
- =0，所以a<b，
18
所以c>b>a.
故选：D.
【典例4】(2023·云南大理·统考一模)已知a=1.6，b=e0.6，c=1+ln1.6，则a，b，c的大小关系正确的是
( )
A. c>b>a B. a>b>c C. b>c>a D. b>a>c
解析：
令fx =ex-1-x，则fx =ex-1，x>0，有fx >0.
故函数fx 在0,+∞ 单调递增，故f0.6 >f0 =0，
即e0.6-1>0.6，所以e0.6>1.6，即b>a，
令gx =lnx+1-x，则gx
1 1-x
= -1= ，x>1，有gx
x x
<0.
故函数gx 在1,+∞ 单调递减，故g1.6 <g1 =0，即ln1.6+1-1.6<0，
所以ln1.6+1<1.6，即a>c.
综上：b>a>c.故选：D
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专业 专注 专心
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~ ~
2 1 11
【典例5】(2023·福建·校联考模拟预测)设a= ，b=sin ，c=ln ，则下列正确的是 ( )
21 10 10
A. a<b<c B. a<c<b C. b<c<a D. c<b<a
~ ~
解析：
π
对x∈0，
2
，因为y=sinx-x，则y=cosx-1<0，
π
即函数y=sinx-x在0，
2
单调递减，且x=0时，y=0，
则sinx-x<0，即sinx<x；
π
当x∈0，
2
时，φx
x2
=cosx-1+ ，
2
则φx
π
=-sinx+x，且当x∈0，
2
时，sinx<x，则φx >0，
所以函数φx
π
在0，
2
单调递增，则φx >φ0 =0，
x2
即cosx>1- ，
2
先考虑函数fx =sinx-ln1+x ，x∈0，1 ，
则fx
1 x2 1 21+x
=cosx- >1- - =
1+x 2 1+x
-x2 1+x -2
21+x
-xx-1
=
x+2
21+x
>0.
1
故f
10
>f0 =0，从而b>c.
再考虑函数gx
2x-1
=lnx-
，x∈1,+∞
x+1
，
则gx
1 4
= -
x x+1
x+1
=
2
2-4x
xx+1
x-1
=
2
2
xx+1
≥0.
2
11 故g
10
>g1
2 11-1
=0，即ln 11 - 10
10
11 2 =ln - >0，故c>a.
11+1 10 21
10
综上，b>c>a，
故选：B.
专题三 函数选填压轴题解题技巧
技巧1 函数对称性的应用及解题技巧
本题型通常由对称性考查参数值及解析式的求解，灵活运用对称性反解函数是解题的关键，常以小题
形式考查.
【典例1】(全国·高考真题)设函数y=f(x)的图像与y=2x+a的图像关于直线y=-x对称，且f(-2)+f(
-4)=1，则a=( ).
A. -1 B. 1 C. 2 D. 4
解析：
反解f(x)的解析式，可得-x=2-y+a，即y=a-log 2-x ，
因为f(-2)+f(-4)=1，所以a-log 2+a-log 4=1，解得解得a=2，故选C
2 2
【典例2】(2023·河南·校联考模拟预测)已知函数y=fx 的图象与y=log 2x+a 的图象关于直线y=
x对称，且满足f1 +f2 =2，则a= ( )
A. 4 B. 2 C. 1 D. -1
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专心 专注 专业
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~ ~
~ ~
~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~
解析：
函数y=fx
~ ~
~ ~
的图象与y=log 2x+a 的图象关于直线y=x对称，
所以点 f1 ,1 ，f2 ,2 在函数y=log 2x+a 的图象上，
所以 log 2f(1)+a =1
log 2f(2)+a
，所以
f(1)+a=2 ，所以f(1)+f(2)+2a=6，
=2 f(2)+a=4
又f1 +f2 =2，所以2+2a=6，所以a=2.故选：B
【典例3】(2023·哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习)已知函数y=ex和y=lnx的图象与直线y=2-
x交点的横坐标分别a，b，则a+b= ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：
作出函数y=ex和y=lnx的图象以及直线y=2-x的图象，如图，
由函数y=ex和y=lnx的图象与直线y=2-x交点A,B的横坐标分别为a，b，
由题意知Aa,ea ,B(b,lnb)，也即A(a,2-a),B(b,2-b),
由于函数y=ex和y=lnx互为反函数，
二者图像关于直线y=x对称，
而A,B为y=ex和y=lnx的图象与直线y=2-x的交点,
故A,B关于y=x对称，
故a=2-b,∴a+b=2.
故选：B.
【典例4】(2023·全国·高三专题练习)若x 满足2x=5-x，x 满足x+log x=5，则x +x 等于 ( )
1 2 2 1 2
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解析：
由题意5-x =2x1，故有5-x =log x
1 2 2 2
故x 和x 是直线y=5-x和曲线y=2x、曲线y=log x交点的横坐标.
1 2 2
根据函数y=2x和函数y=log x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，
2
故曲线y=2x和曲线y=log x的图象交点关于直线y=x对称.
2
即点(x ，5-x )和点(x ，5-x )构成的线段的中点在直线y=x上，
1 1 2 2
x +x 5-x +5-x
即 1 2 = 1 2，求得x +x =5，
2 2 1 2
故选：D.
技巧2 解不等式(含分段函数)的应用及解题技巧
在已知函数解析式，解抽象不等式快速求解的方法就是特值法，因此小题要学会特值法的使用来快速
求解
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专业 专注 专心
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~ ~
【典例1】(全国·高考真题)设函数fx
~ ~
=ln 1+x
1
- ,则使fx
1+x2
>f2x-1 成立的x的取值范围
是
1
A. ,1
3
1
B. -∞,
3
∪1,+∞
1 1
C. - ,
3 3
1
D. -∞,-
3
1
∪ ,+∞
3
解析：
特值法
当x=1时，f1 >f1 不成立，排除D，
当x=0时，则判断f0 >f-1 是否成立，
计算f0 =-1，f-1
1
=ln2- ≈0.19，不成立，故排除B、C.
2
【典例2】(2023·重庆南开中学校考模拟预测)已知函数 fx
x+1,x∈0,3
2 2 =
2-fx-3
2
,x∈ 3,+∞
2
，则 fx >
log x
2
的解集是 ( )
1
A. ,1
2
B. 1,2
1
C. ,2
2
1
D. ,1
2
∪1,2
解析：
根据题意当x∈ 3 ,3
2
时,fx 3 1 =2-x- +
2 2
=3-x，
当x∈ 3, 9
2
时,fx 5 =2-[2-f(x-3)]=f(x-3)=x- ,
2
作出函数fx
x+1,x∈0,3
2 2 =
2-fx-3
2
,x∈ 3,+∞
2
的图象如图，
在同一坐标系中作出函数y=log x
2
的图象，
由图象可得不等式fx >log x 2
1
解集为 ,2 2 ，故选：C
【典例3】(2024·山东省淄博实验中学校联考模拟预测)已知函数fx =log 33x-1+3
1
- x，若fa-1
2
≥
f2a+1 成立，则实数a的取值范围为 ( )
A. -∞,-2 B. -∞,-2 ∪0,+∞
C. -2, 4
3
D. -∞,-2 ∪ 4 ,+∞
3
解析：
因为gx =log 33x+1
1 x -x
- x=log 32+3 2 2 3 的定义域为R，又g-x
-x x
=log 3 2+32 3 =gx ，故函
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专心 专注 专业
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~ ~
~ ~
~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~
数gx
~ ~
~ ~
为偶函数，又x∈0,+∞
x x
时，32≥1，y=32单调递增，
x -x
故由复合函数单调性可得函数y=32+3 2在0,+∞ 单调递增，
函数y=log x在定义域上单调递增，
3
所以gx 在0,+∞ 单调递增，
所以fx =log 33x-1+3
1
- x=1+log 3x-2+1 2 3
1
- x=log 3x-2+1 2 3
1
- x-2 2 =gx-2 ，
所以fx 关于直线x=2对称，且在2,+∞ 单调递增．
所以fa-1 ≥f2a+1 ⇔a-1-2 ≥2a+1-2 ，
两边平方，化简得a+2 3a-4
4
≤0，解得-2≤a≤ ．
3
故选：C．
技巧3 整数解的应用及解题技巧
在整数解问题中，通常我们用猜根法比较快，先找到临界条件得到端点值，再利用整数解区间为一开一
闭，能做到快速求解.
【典例1】(2024·全国·模拟预测)已知关于x的不等式lnx-kx4+kx3>0恰有一个整数解，则实数k的取
值范围为 ( )
A. ln3 , 1
54 8
B. ln3 , 1
27 8
ln2 C. -∞,
8
D. ln3 , ln2
54 8
解析：
猜根法，寻找临界条件
由题知整数解不可能为1，
ln2
若整数解为2，则整数解3不可取，代入有ln2-16k+8k=0⇒k= ，
8
ln3
ln3-81k+27k=0⇒k= ，根据整数解问题区间为一开一闭，则选D.
54
3a-1
【典例2】(2023·四川内江·统考三模)若关于x的不等式lnx+a- <0有且只有一个整数解，则正
x
实数a的取值范围是 ( )
1 A. ,2ln2+1
2
1 B. ,3ln3+1
2
C. 2ln2+1,3ln3+1 1 D. ln2+ ,3ln3+1
2
解析：
原不等式可化简为xlnx+1<3a-ax，设f(x)=xlnx+1，g(x)=3a-ax，
1
由f(x)=xlnx+1得，f(x)=lnx+1，令f(x)=0可得x= ，
e
1
∴x∈0,
e
1
时，f(x)<0，x∈ ,+∞
e
时，f(x)>0，
1
易知函数f(x)在0,
e
1
单调递减，在 ,+∞
e
1
单调递增，且f
e
1
=1- ，
e
作出f(x)的图象如下图所示，
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~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~
而函数g(x)=3a-ax恒过点C3,0
~ ~
~ ~
3a-1
，要使关于x的不等式lnx+a- <0有且只有一个整数
x
解，则函数g(x)的图象应介于直线AC与直线BC之间(可以为直线BC)，
又A1,1 ，B2,2ln2+1 ，
0-1 1 0-(2ln2+1)
∴k = =- ，k = =-2ln2-1，
AC 3-1 2 BC 3-2
1
∴-2ln2-1≤-a<- ，
2
1
∴ <a≤2ln2+1．
2
故选：A．
【典例3】(2023·全国·模拟预测)已知函数fx =lnx-ax3-x2 ，若不等式fx >0有3个整数解，则实
数a的取值范围为 ( )
A. ln5 , ln2
100 24
B. ln5 , ln2
125 32
C. ln3 , ln2
18 4
D. ln3 , ln2
27 8
解析：
函数fx 的定义域为0,+∞ ．
由fx
lnx
>0，得 >ax-1
x2
lnx
，则不等式 >ax-1
x2
有3个整数解．
设gx
lnx
= ，则gx
x2
1-2lnx
= ，
x3
当x∈0, e 时，gx >0，gx 单调递增，
当x∈ e,+∞ 时，gx <0，gx 单调递减，
又g1 =0，所以当0<x<1时，gx <0，当x>1时，gx >0，
易知y=ax-1 x>0 的图象恒过点1,0 ，
在同一直角坐标系中，分别作出y=ax-1 x>0 与函数gx 的图象，如图所示．
由图象可知a>0，
lnx
要使不等式 >ax-1
x2
有3个整数解，
4-1
则
a<g4
5-1 a≥g5
ln5 ln2
，解得 ≤a< ，
100 24
故选：A．
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专心 专注 专业
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~ ~
1
【典例4】(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=lnx- x2+1，若f(x)-kx>0恰有3个正整数
2
解，则k的取值范围为 ( )
A. ln2 - 7 , ln3 - 7
2 4 3 6
~ ~
ln2 7 ln3 7 B. - , -
2 4 3 6
ln2 7 ln3 7 C. - , -
2 4 3 6
D. ln2 - 7 , ln3 - 7
2 4 3 6
解析：
由题意，f(x)-kx>0恰有3个正整数解，
1
转换为y=lnx的图象与y= x2-1+kx的图象交点问题，
2
1
作出y=lnx和y= x2-1+kx的图象，如图：
2
1
要使lnx> x2-1+kx恰有3个正整数解，
2
ln3>9-1+3k
则需满足： 2 ，
ln4≤7+4k
ln2 7 ln3 7
解得： - ≤k< - ，故选：A．
2 4 3 6
【典例5】(2022·哈尔滨·哈九中校考二模)偶函数fx 满足f4+x =f4-x ，当x∈0,4 时，fx =
lnx
，不等式 f2 x
x
+afx >0在 -200,200 上有且只有100个整数解，则实数a的取值范围是
( )
1 1 A. - ln3, ln2
3 2
B. - 1 ln3,- 1 ln2
3 2
1 1 C. - ln3,- ln2
3 2
1 1 D. - ln3, ln2
3 2
解析：
由题意，函数fx 为偶函数，所以f4+x =f4-x =fx-4 ，
所以f8+x =fx ，所以fx 是周期函数，且周期为8，且fx 关于x=4对称，
又由在-200,200 上含有50个周期，且fx 在每个周期内都是对称图形，
关于x的不等式f2 x +afx >0在-200,200 上有且只有100个整数解，
所以关于x不等式f2 x +afx >0在(0,4]上有且只有1个整数解，
当x∈0,4 时，fx
lnx
= ，则fx
x
1-lnx
= x>0
x2
，令fx =0，解得x=e，
所以当x∈0,e 时，fx >0，fx 为增函数，
当x∈e,4 时，fx <0，fx 为减函数，
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~ ~
~ ~
~~~~~~~~ ~~~~~~~~
因为当x→0时，fx
~ ~
~ ~
→-∞，且f1 =0，f2
ln2
= =f4
2
，f3
ln3
= >f4
3
ln4
= >0，所以当x
4
=k(=2,3,4)时，可得fx >0，
当a≥0时，f2 x +afx >0在(0,4]上有且只有3个整数解，不合题意；
所以a<0，
由f2 x +afx >0，可得fx <0或fx >-a，
因为fx
lnx
= ，当x∈(0,4]时，令fx
x
=0，可得x=1，
当x∈(1,4]时，fx >0，且fx 在0,e 为增函数，
所以fx <0在(0,4]上无整数解，所以fx >-a在(0,4]上有一个整数解，
ln4 ln22 2ln2 ln2
因为 = = = ，
4 4 4 2
所以fx >-a在(0,4]上有一个整数解，这个整数解只能为x=3，
ln3 ln2 ln3 ln2
从而有-a< 且-a≥ ，解得- <a≤- ，
3 x 3 2
1 1 即实数a的取值范围是- ln3,- ln2
3 2
．
故选：C
技巧4 零点的应用及解题技巧
零点问题是高考中常考内容，解决唯一零点问题在于观察发现零点的具体值，多个零点数形结合能做
到快速求解.
【典例1】(全国·高考真题)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点，则a=
1 1 1
A. - B. C. D. 1
2 3 2
解析：
通过观察发现x2-2x关于x=1对称，ex-1+e-x+1也关于x=1对称，
1
则唯一零点为1，解得解得a= .故选：C.
2
【典例2】(2023·山东济南·统考三模)已知函数fx
(x+1)2,x≤0,
=
lgx
若函数gx
,x>0,
=fx -b有四个不
同的零点，则实数b的取值范围为 ( )
A. 0,1 B. 0,1 C. 0,1 D. 1,+∞
解析：
依题意，函数gx =fx -b有四个不同的零点，即fx =b有四个解，
转化为函数y=fx 与y=b图象由四个交点，
由函数函数y=fx 可知，
当x∈-∞,-1 时，函数为单调递减函数，y∈0,+∞ ；
当x∈-1,0 时，函数为单调递增函数，y∈0,1 ；
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~ ~
~ ~
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当x∈0,1
~ ~
~ ~
时，函数为单调递减函数，y∈0,+∞ ；
当x∈1,+∞ 时，函数为单调递增函数，y∈0,+∞ ；
结合图象，可知实数b的取值范围为0,1 .
故选：A
【典例3】(2023·安徽蚌埠·统考模拟预测)已知函数fx =x2-ln1+x -lna-x 有唯一零点，则a=
( )
1
A. 0 B. - C. 1 D. 2
2
解析：
函数fx 的定义域为-1,a ，则a>-1，fx
1 1
=2x- - ，
x+1 x-a
则fx
1
=2+
x+1
1
+
2 x-a
>0，
2
所以，函数fx 在-1,a 上为增函数，
当x→-1+时，fx →-∞，当x→a-时，fx →+∞，
则存在x 0 ∈-1,a ，使得fx 0
1 1 1 1
=2x - - =0，则 = -2x ， 0 x +1 x -a a-x x +1 0
0 0 0 0
当-1<x<x 0 时，fx <0，此时函数fx 单调递减，
当x 0 <x<a时，fx >0，此时函数fx 单调递增，
∴fx min =fx 0 =x2 0 -ln1+x 0 -lna-x 0 ，
由于函数fx =x2-ln1+x -lna-x 有唯一零点，
则fx min =fx 0 =x2 0 -ln1+x 0 -lna-x 0 =0，
由 x a- 1 > x 0 - = 1 x 0 1 +1 -2x 0 >0 ，解得-1<x 0 < 3 2 -1 ，
0
所以，x2 0 -ln1+x 0
1
+ln a-x =x2 0 -ln1+x 0 0
1
+ln -2x x +1 0 0
1
=x2+ln 0 x 0 +1
2x
- 0 2 x +1 0
=0，
令φx 1 =x2+ln x+1 2x - 2 x+1 3-1 ，其中-1<x< ， 2
φx
x+1
=2x+
2 2x+2
⋅ -
1-2x2-2x
x+1
3
2x+2
=2x+
2x2+2x-1 x+1
4x4+8x3+2x2+4
=
2x2+2x-1 x+1
4x2 x+1
=
2+22-x2
2x2+2x-1 x+1
，
3-1
∵-1<x< ，则2x2+2x-1<0，x+1>0，2-x2>0，则φx
2
<0，
所以，函数φx
3-1
在-1, 2 上单调递减，且φ0 =0，∴x =0， 0
1
从而可得 =1，解得a=1.
a
故选：C.
【典例4】(2022·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习)已知函数fx =m2 x- 2 1 +2 -x+ 2 1 +x2-x有唯一
零点，则m的值为 ( )
1 1 1 1
A. - B. C. D.
2 3 2 8
解析：
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~ ~
~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~
f(x)有零点，则m2 x- 2 1 +2 -x+ 2 1
~ ~
~ ~
1 =-x2+x=-x-
2
2 1 + ，
4
1
令t=x- ，则上式可化为m2t+2-t
2
1
=-t2+ ，
4
-t2+1
因为2t+2-t>0恒成立，所以m= 4 ，
2t+2-t
令ht
-t2+1
= 4 ，则h-t
2t+2-t
--t
=
2+1 -t2+1
4 4 = =ht
2-t+2t 2t+2-t
，
故h(t)为偶函数，
因为f(x)有唯一零点，所以函数h(t)的图象与y=m有唯一交点，
结合h(t)为偶函数，可得此交点的横坐标为0，
故m=h0
1
= 4 = 1 .
20+2-0 8
故选：D.
【典例5】(2023·湖南岳阳·统考二模)若函数fx =ex2-2lnx-2alnx+ax2有两个不同的零点，则实数a的
取值范围是 ( )
A. -∞,-e B. -∞,-e C. -e,0 D. - e,0
解析：
函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
fx =ex2-2lnx-2alnx+ax2=ex2-2lnx+ax2-2lnx ，
2 2(x+1)(x-1)
设h(x)=x2-2lnx(x>0)，则h(x)=2x- = ，
x x
令h(x)>0⇒x>1，令h(x)<0⇒0<x<1，
所以函数h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且h(1)=1，
所以h(x) =h(1)=1，所以h(x)≥1，
min
函数f(x)有两个不同的零点等价于方程f(x)=0有两个不同的解，
则ex2-2lnx+ax2-2lnx
ex2-2lnx
=0⇒-a= ，
x2-2lnx
ex2-2lnx
等价于函数y=-a与y= 图象有两个不同的交点.
x2-2lnx
令x2-2lnx=t，gt
et
= ,t>1，
t
则函数y=-a与gt
et
= ,t>1图象有一个交点，
t
则gt
tet-et et t-1
= =
t2
>0，
t2
所以函数g(t)在(1,+∞)上单调递增，
所以gt >g1 =e，
且t趋向于正无穷时，gt
et
= 趋向于正无穷，
t
所以-a>e，解得a<-e.
故选：A.
ex，x≤0，
【典例6】(全国·高考真题)已知函数f(x)= g(x)=f(x)+x+a．若g(x)存在2个零点，则a的
lnx，x>0，
取值范围是
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~
~
~
~
A. [-1，0) B. [0，+∞) C. [-1，+∞) D. [1，+∞)
~ ~
解析：
画出函数f(x)的图像，y=ex在y轴右侧的去掉，
再画出直线y=-x，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程f(x)=-x-a有两个解，
也就是函数g(x)有两个零点，
此时满足-a≤1，即a≥-1，故选C.
【典例7】(2023·贵州贵阳·校联考三模)已知函数fx
cosπx-πa
=
, x<a
，其中a∈R，若fx
x2-2ax+a2-4, x≥a
在
区间0,+∞ 内恰好有4个零点，则a的取值范围是 ( )
3 5 A. ,
2 2
B. 3 , 5
2 2
5 7 C. ,
2 2
D. 5 , 7
2 2
解析：
由函数fx
cosπx-πa
=
, x<a
，其中a∈R，
x2-2ax+a2-4, x≥a
当a≤0时，对任意x>0，函数f(x)=(x-a)2-4在(0,+∞)内最多有1个零点，不符题意，所以a>
0，
当x≥a时，f(x)=(x-a)2-4，
由(x-a)2-4=0， 可得x=a+2或x=a-2，
则在x≥a上，f(x)=(x-a)2-4有一个零点，
所以f(x)=cos(πx-πa)在(0,a)内有3个零点，即cos[π(x-a)]=0在(0,a)内有3个零点，
因为0<x<a，所以-a<x-a<0，-πa<π(x-a)<0，
7π 5π 5 7
所以- ≤-πa<- ，解得 <a≤ ，
2 2 2 2
5 7 综上所述，实数a的取值范围为 ,
2 2
.
故选：C.
说明：已知函数零点(方程根)的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数的取值范围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
技巧5 切线与公切线的应用及解题技巧
对于切线及公切线问题，熟练掌握导数的几何意义及其应用，能做到基本题型求解，熟练解方程也有助
于快速解题.
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【典例1】(2021·全国·统考高考真题)若过点a,b
~ ~
可以作曲线y=ex的两条切线，则 ( )
A. eb<a B. ea<b C. 0<a<eb D. 0<b<ea
解析：
画出函数曲线y=ex的图象如图所示，根据直观即可判定点a,b 在曲线下方和x轴上方时才可以作
出两条切线.由此可知0<b<ea.
故选：D.
【典例2】(全国·高考真题)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则
b= ．
解析：
1 1
对函数y=lnx+2求导得y= ，对y=ln(x+1)求导得y= ，
x x+1
设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2相切于点P(x,y)，与曲线y=ln(x+1)相切于点P(x ,y )，则y
1 1 1 2 2 2 1
=lnx 1 +2,y 2 =ln(x 2 +1)，由点P 1 (x 1 ,y 1 )在切线上得y-lnx 1 +2
1
= (x-x)， x 1
1
1
由点P(x ,y )在切线上得y-ln(x +1)= (x-x )，这两条直线表示同一条直线，
2 2 2 2 x +1 2
2
1 1
所以 ，解得x = ,∴k= =2,b=lnx +2-1=1-ln2.
1 2 x 1
1
【典例3】(2023·全国·高三专题练习)若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值
范围是 ．
解析：
a
由题可知，f(x)=2x，g(x)= ,(x>0)，
x
设与曲线f(x)=x2-1相切的切点为(m,n)，与g(x)=alnx-1相切的切点为(s,t)(s>0)，
a n-t a
则有公共切线斜率为2m= = ，则n-t=2m2-2ms，m= ，
s m-s 2s
又t=alns-1，n=m2-1，可得n-t=m2-alns=2m2-2ms，
a2
即有m2=2ms-alns，即 =m2=2ms-alns=a-alns，
4s2
可得a=4s2-4s2lns，s>0，
设h(s)=4s2-4s2lns，s>0，h(s)=8s-4(2slns+s)=4s-8slns=4s(1-2lns)，
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可得0<s< e时，h(s)>0，h(s)在(0, e)上单调递增，
当s> e时，h(s)<0，h(s)在( e,+∞)上单调递减，h(e)=0,
可得s= e处h(s)取得极大值，且为最大值2e，
则正实数a的取值范围(0,2e]，
故答案为：(0,2e]
~ ~
【典例4】(2024·全国·高三专题练习)若曲线f(x)=3x2-2与曲线g(x)=-2-mlnx(m≠0)存在公切线，
则实数m的最小值为 ( )
A. -6e B. -3e C. 2 e D. 6e
~ ~
解析：
因为f(x)=3x2-2，g(x)=-2-mlnx(m≠0)，
m
所以f(x)=6x，g(x)=- ，
x
设公切线与fx 切于点x 1 ,3x2 1 -2 ，与曲线gx 切于点x 2 ,-2-mlnx 2 ，x 2 >0 ，
所以6x =- m = -2-mlnx 2 -3x2 1 -2
1 x
2
-mlnx -3x2 = 2 1，
x -x x -x
2 1 2 1
6xx lnx -3x2
所以m=-6xx ，所以6x = 1 2 2 1，所以x =0或x =2x -2x lnx ，
1 2 1 x -x 1 1 2 2 2
2 1
因为m≠0，所以x ≠0，所以x =2x -2x lnx ，
1 1 2 2 2
所以m=-62x 2 -2x 2 lnx 2 x =12x2lnx -12x2， 2 2 2 2
令hx =12x2lnx-12x2，x>0 ，
则hx =12x2lnx-1 ，所以当0<x< e时hx <0，当x> e时hx >0，
所以hx 在0, e 上单调递减，在 e,+∞ 上单调递增，
所以hx =h e
min
=-6e，所以实数m的最小值为-6e.
故选：A.
【典例5】(2024上·河北保定·高三河北阜平中学校联考期末)若曲线y=lnx+1与曲线y=x2+x+3a有
公切线，则实数a的取值范围 ( )
A. 2ln2-3 , 3-ln2
6 2
B. 1-4ln2 , 3-ln2
12 2
C. 2ln2-3 ,+∞
6
D. 1-4ln2 ,+∞
12
解析：
设x 1 ,y 1 是曲线y=lnx+1的切点，设x 2 ,y 2 是曲线y=x2+x+3a的切点，
1
对于曲线y=lnx+1 ，其导数为y= ，对于曲线y=x2+x+3a ，其导数为y=2x+1 ，
x
所以切线方程分别为：y-lnx 1 +1
1
= x x-x 1
1
，y-x 2+x +3a 2 2 =2x 2 +1 x-x 2 ，
两切线重合，对照斜率和纵截距可得： x 1 1 =2x 2 +1 ，
lnx =-x 2+3a
1 2
1
解得3a=lnx 1 +x 2 2=ln 2x +1 +x 2 2=-ln2x 2 +1
2
1
+x2x >- 2 2 2 ，
令hx =-ln2x+1
1
+x2 x>-
2
，
hx
2 4x2+2x-2 2x+1
=- +2x= =
2x+1 2x+1
2x-1 1
=0 ，得：x= ，
2x+1 2
1 1
当x∈- ,
2 2
时，hx <0 ，hx 是减函数，
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43 90~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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专业 专注 专心
~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~
1
当x∈ ,+∞
2
~ ~
~ ~
时，hx >0 ，hx 是增函数，
∴h minx
1
=h
2
1 1
= -ln2且当x趋于- 时，，hx
4 2
趋于+∞ ；
当x 趋于+∞ 时，hx 趋于+∞；
1 1-4ln2
∴3a≥ -ln2，∴a≥ ；
4 12
故选：D．
【典例6】(2023·全国·高三专题练习)若函数fx =lnx与函数g(x)=x2+x+a(x<0)有公切线，则实
数a的取值范围是 ( )
1
A. ln ,+∞
2e
B. -1,+∞ C. 1,+∞ D. ln2,+∞
解析：
设公切线与函数fx =lnx切于点A(x ， lnx)(x >0)， 1 1 1
fx
1 1
= ，切线的斜率为 ，
x x
1
1 1
则切线方程为y-lnx = (x-x)，即y= x+lnx -1
1 x 1 x 1
1 1
设公切线与函数g(x)=x2+x+a切于点B(x , x2+x +a)(x <0)，
2 2 2 2
g(x)=2x+1，切线的斜率为2x +1，
2
则切线方程为y-(x2+x +a)=(2x +1)(x-x )，即y=(2x +1)x-x2+a
2 2 2 2 2 2
所以有 x 1 1 =2x 2 +1
lnx -1=-x2+a
1 2
1 1
因为x >0，所以2x +1>0，可得- <x <0，0<2x +1<1，即0< <1，
1 2 2 2 2 x
1
1 1 1
由 =2x +1可得：x = - ，
x 2 2 2x 2
1 1
1 1
所以a=lnx +x2-1=lnx + -
1 2 1 2x 2
1
2 1 1 1
-1=-ln + -1
x 4 x
1 1
2
-1，
1
令t= ，则t∈0,1
x
1
1
，a= t-1
4
1 1 3
2-1-lnt= t2- t-lnt- ，
4 2 4
设ht 1 1 3 = t2- t-lnt- 0<t<1
4 2 4
，则h(t)= 1 t- 1 - 1 = t2-t-2 = t- 2 1
2 2 t 2t
2-9 4 <0，
2t
所以ht 在0,1 上为减函数，
则ht >h1
1 1 3
= - - =-1，所以a>-1，
4 2 4
所以实数a的取值范围是-1,+∞ ，
故选：B．
说明：求曲线过点Aa,b 的切线的方程的一般步骤是：
(1)设切点P(x ,f(x ))
0 0
(2)求出y=f(x)在x=x 0 处的导数fx 0 ，即y=f(x)在点P(x ,f(x ))处的切线斜率； 0 0
(3)构建关系fx 0
f(x )-b
= 0 解得x ； x -a 0
0
(4)由点斜式求得切线方程y-b=f(x )⋅(x-a).
0
专题四 导数综合问题解题技巧
技巧1 端点效应(必要性探路)解题技巧
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导数压轴中我们经常遇到恒成立问题，含有参数的不等式恒成立求参数的取值范围问题，是热点和重
点题型，方法灵活多样，常见的方法有:
①分离参数(全分离或半分离)+函数最值;
②直接(或移项转化)求导+分类讨论.
但以上两种方法都有缺陷，首先对于方法①可能会出现参数分离困难或是无法分离，抑或函数最值点
无法取到，即无定义，这时就需要用到超纲的方法：洛必达法则。其次，对于方法②直接分类讨论可能会出
现在某些区间无法讨论下去，或是无法排除原问题在该区间是否恒成立，即讨论界点不明。
基于以上两点，我们今天这讲就来解决这两个不足之处，基本对策就是先必要后充分的思想。该思想
就是当参变分离较为困难、带参讨论界点不明时，含参不等式问题还可以采用先必要、后充分的做法，即先
抓住一些关键点(区间端点，可使不等式部分等于零的特殊值等)，将关键点代入不等式解出参数的范围，获
得结论成立的必要条件，再论证充分性，从而解决问题.
知识在线
端点效应的类型
1.如果函数f(x)在区间[a,b]上,f(x)≥0恒成立,则f(a)≥0或f(b)≥0.
2.如果函数f(x)在区问[a,b]上,f(x)≥0恒成立,且f(a)=0(或f(b)=0),则f(a)≥0 或 f(b)≤0
~ ~
~ ~
.
3.如果函数f(x)在区问[a,b]上,f(x)≥0恒成立,且f(a)=0,f(a)=0(或f(b)=0,f(b)≤0 则f
(a)≥0 或 f(b)≤0 .
sinx π
【典例1】(2023·全国·统考高考真题)已知函数f(x)=ax- ,x∈0,
cos3x 2
(1)当a=8时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)<sin2x恒成立，求a的取值范围．
解析：
法一：端点效应一
π
令 g(x)=f(x)-sin2x,x∈0,
2
π
得 g(0)=0，且 g(x)<0 在 x∈0,
2
上恒成立
画出草图
1+2sin2x
根据端点效应, 需要满足 g(0)≤0，而 g(x)=a- -2cos2x
cos4x
则 g(0)=a-3, 令 g(0)≤0, 得 a≤3
当 a≤3 时, 由于 g(0)=0, 只需证 g(x)<0 即可
而 g(x) 含有参数 a, 故可对 g(x) 进行放缩
gx
1+2sin2x 1+2sin2x 3-2cos2x
=a- -2cos2x≤3- -2cos2x=5- -4cos2x
cos4x cos4x cos4x
令 t=cos2x, 其中 0<t<1
3-2t
设 h(t)=5- -4t
t2
6 2 -4t3-2t+6
则 h(t)= - -4=
t3 t2 t3
第 页 共 页
45 90令 p(t)=-4t3-2t+6
则 p(t)=-12t2-2<0, 故 p(t) 在 (0,1) 上递减, 得 p(t)>p(1)=0
则 h(t)>0, 得 h(t) 在 (0,1) 上单调递增, 则 h(t)<h(1)=0
即 g(x)<0, 满足 g(x)<g(0)=0 成立
当 a>3时， 由于 g0
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=a-3>0,
故存在 x 0 , 使得在 0,x 0 上 g(x)>0,
所以 g(x) 在 0,x 0 上单调递增, 则 g(x)>g(0)=0, 不成立
特上所述: a≤3.
法二：端点效应二
sinx sinx
(2) f(x)<sin2x⇒ax- <sin2x⇒g(x)=ax-sin2x- <0
cos3x cos3x
由于 g(0)=0, 且
cos2x+3sin2x
g(x)=a-2cos2x- ,
cos4x
π
注意到当 g(0)>0, 即 a>3 时, ∃x ∈0, 0 2 使 g(x)>0 在 x∈0,x 0 成立,
故此时 g(x) 单调递减
∴g(x)>g(0)=0, 不成立.
sinx
另一方面, 当 a≤3 时, g(x)≤3x-sin2x- ≡h(x),
cos3x
下证它小于等于 0 .
令 hx
3-2cos2x
=3-2cos2x-
cos2x
3cos4x+2cos2x-3-2cos2xcos4x 3cos4x-1
= =
cos4x
+2cos2x1-cos2xcos2x
cos4x
-cos2x-1
=
2 4cos2x+3
<0.
cos4x
∴g(x) 单调递减, ∴g(x)≤g(0)=0. 特上所述: a≤3.
法三：
设g(x)=f(x)-sin2x
g(x)=f(x)-2cos2x=g(t)-22cos2x-1
at2+2t-3 2 3
= -2(2t-1)=a+2-4t+ - 设φ(t)=
t2 t t2
2 3
a+2-4t+ -
t t2
2 6 -4t3-2t+6 2(t-1)(2t2+2t+3)
φ(t)=-4- + = =- >0
t2 t3 t3 t3
所以φ(t)<φ(1)=a-3.
1°若a∈(-∞,3],g(x)=φ(t)<a-3≤0
π
即g(x)在0,
2
上单调递减,所以g(x)<g(0)=0.
所以当a∈(-∞,3],f(x)<sin2x,符合题意.
2°若a∈(3,+∞)
2 3 1 1
当t→0, - =-3 -
t t2 t 3
2 1
+ →-∞,所以φ(t)→-∞.
3
φ(1)=a-3>0.
所以∃t 0 ∈(0,1),使得φt 0
π
=0,即∃x ∈0, 0 2 ,使得gx 0 =0.
当t∈t 0 ,1 ,φ(t)>0,即当x∈0,x 0 ,g(x)>0,g(x)单调递增.
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~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~
所以当x∈0,x 0
~ ~
~ ~
,g(x)>g(0)=0,不合题意.
综上,a的取值范围为(-∞,3].
【典例2】(2023·全国·统考高考真题)已知函数fx
sinx π
=ax- ,x∈0,
cos2x 2
．
(1)当a=1时，讨论fx 的单调性；
(2)若fx +sinx<0，求a的取值范围．
解析：
(1)因为a=1，所以fx
sinx π
=x- ,x∈0,
cos2x 2
，
则fx
cosxcos2x-2cosx-sinx
=1-
sinx cos2x+2sin2x
=1-
cos4x cos3x
cos3x-cos2x-21-cos2x
=
cos3x+cos2x-2
= ，
cos3x cos3x
π
令t=cosx，由于x∈0,
2
，所以t=cosx∈0,1 ，
所以cos3x+cos2x-2=t3+t2-2=t3-t2+2t2-2=t2 t-1 +2t+1 t-1 =t2+2t+2 t-1 ，
因为t2+2t+2=t+1
2+1>0，t-1<0，cos3x=t3>0，
所以fx
cos3x+cos2x-2 π
= <0在0,
cos3x 2
上恒成立，
所以fx
π
在0,
2
上单调递减.
(2)法一：
构建gx =fx
sinx π
+sinx=ax- +sinx0<x<
cos2x 2
，
则gx
1+sin2x π
=a- +cosx0<x<
cos3x 2
，
若gx =fx +sinx<0，且g0 =f0 +sin0=0，
则g0 =a-1+1=a≤0，解得a≤0，
sinx 1
当a=0时，因为sinx- =sinx1-
cos2x cos2x
，
π
又x∈0,
2
1
，所以0<sinx<1，0<cosx<1，则 >1，
cos2x
所以fx
sinx
+sinx=sinx- <0，满足题意；
cos2x
π
当a<0时，由于0<x< ，显然ax<0，
2
所以fx
sinx sinx
+sinx=ax- +sinx<sinx- <0，满足题意；
cos2x cos2x
综上所述：若fx +sinx<0，等价于a≤0，
所以a的取值范围为-∞,0 .
法二：
sinx sinxcos2x-sinx sinxcos2x-1
因为sinx- = =
cos2x cos2x
sin3x
=- ，
cos2x cos2x
π
因为x∈0,
2
，所以0<sinx<1，0<cosx<1，
sinx π
故sinx- <0在0,
cos2x 2
上恒成立，
所以当a=0时，fx
sinx
+sinx=sinx- <0，满足题意；
cos2x
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π
当a<0时，由于0<x< ，显然ax<0，
2
所以fx
~ ~
~ ~
sinx sinx
+sinx=ax- +sinx<sinx- <0，满足题意；
cos2x cos2x
当a>0时，因为fx
sinx sin3x
+sinx=ax- +sinx=ax- ，
cos2x cos2x
令gx
sin3x π
=ax- 0<x<
cos2x 2
，则gx
3sin2xcos2x+2sin4x
=a- ，
cos3x
注意到g0
3sin20cos20+2sin40
=a- =a>0，
cos30
π
若∀0<x< ，gx
2
>0，则gx
π
在0,
2
上单调递增，
注意到g0 =0，所以gx >g0 =0，即fx +sinx>0，不满足题意；
π
若∃0<x 0 < 2 ，gx 0 <0，则g0 gx 0 <0，
π
所以在0, 2
π
上最靠近x=0处必存在零点x ∈0, 1 2 ，使得gx 1 =0，
此时gx 在0,x 1 上有gx >0，所以gx 在0,x 1 上单调递增，
则在0,x 1 上有gx >g0 =0，即fx +sinx>0，不满足题意；
综上：a≤0.
【典例3】(2020·全国·统考高考真题)已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；
1
(2)当x≥0时，f(x)≥ x3+1，求a的取值范围.
2
解析：
(1)当a=1时，fx =ex+x2-x，fx =ex+2x-1，
由于fx =ex+2>0，故f'x 单调递增，注意到f0 =0，故：
当x∈-∞,0 时，fx <0,fx 单调递减，
当x∈0,+∞ 时，fx >0,fx 单调递增.
(2) 法一：【最优解】：分离参数
由fx
1 1
≥ x3+1得，ex+ax2-x≥ x3+1，其中x≥0，
2 2
①.当x=0时，不等式为：1≥1，显然成立，符合题意；
ex-1x3-x-1
②.当x>0时，分离参数a得，a≥- 2 ，
x2
记gx
ex-1x3-x-1
=- 2 ，gx
x2
x-2
=-
ex-1x2-x-1
2
，
x3
令hx
1
=ex- x2-x-1x≥0
2
，
则hx =ex-x-1，hx =ex-1≥0，
故h'x 单调递增，hx ≥h0 =0，
故函数hx 单调递增，hx ≥h0 =0，
由hx
1
≥0可得：ex- x2-x-1≥0恒成立，
2
故当x∈0,2 时，gx >0，gx 单调递增；
当x∈2,+∞ 时，gx <0，gx 单调递减；
因此，gx =g2
max
7-e2
= ,
4
第 页 共 页
48 90综上可得，实数a的取值范围是
7-e2
,+∞
4
专心 专注 专业
.
法二：特值探路
1 7-e2
当x≥0时，f(x)≥ x3+1恒成立⇒f(2)≥5⇒a≥ ．
2 4
7-e2 1
只需证当a≥ 时，f(x)≥ x3+1恒成立．
4 2
7-e2 7-e2
当a≥ 时，f(x)=ex+ax2-x≥ex+ ⋅x2-x．
4 4
7-e2 1
只需证明ex+ x2-x≥ x3+1(x≥0)⑤式成立．
4 2
e2-7
⑤式⇔
x2+4x+2x3+4
≤4，
ex
e2-7
令h(x)=
x2+4x+2x3+4
(x≥0)，
ex
13-e2
h(x)=
x2+2e2-9 x-2x3 -x 2x2-13-e2
=
ex
x-2e2-9 -x(x-2) 2x+e2-9
=
ex
，
ex
所以当x∈ 0,
9-e2
2
时，h(x)<0,h(x)单调递减；
9-e2
当x∈ ,2
2
,h(x)>0,h(x)单调递增；
当x∈(2,+∞),h(x)<0,h(x)单调递减．
从而[h(x)] =max{h(0),h(2)}=4，即h(x)≤4，⑤式成立．
max
7-e2 1
所以当a≥ 时，f(x)≥ x3+1恒成立．
4 2
7-e2
综上a≥ ．
4
法三：指数集中
1 1 1
当x≥0时，f(x)≥ x3+1恒成立⇒ex≥ x3+1-ax2+x⇒ x3-ax2+x+1
2 2 2
e-x≤1，
记gx
1
= x3-ax2+x+1
2
e-x(x≥0)，
gx
1 3
=- x3-ax2+x+1- x2+2ax-1
2 2
1
e-x=- x x2-2a+3
2
x+4a+2 e-x=
1
- xx-2a-1
2
x-2 e-x，
1
①.当2a+1≤0即a≤- 时，gx
2
=0⇒x=2，则当x∈(0,2)时，gx >0，gx 单调递增，又g0
=1，所以当x∈(0,2)时，gx >1，不合题意；
1 1
②.若0<2a+1<2即- <a< 时，则当x∈(0,2a+1)∪(2,+∞)时，gx
2 2
<0，gx 单调递减，
当x∈(2a+1,2)时，gx >0，gx 单调递增，又g0 =1，
所以若满足gx ≤1，只需g2 ≤1，即g2
7-e2 7-e2 1
=(7-4a)e-2≤1⇒a≥ ，所以当⇒ ≤a<
4 4 2
时，gx ≤1成立；
1
③当2a+1≥2即a≥ 时，gx
2
1
= x3-ax2+x+1
2
1
e-x≤ x3+x+1
2
7-e2
e-x，又由②可知 ≤a
4
1
< 时，gx
2
1
≤1成立，所以a=0时，g(x)= x3+x+1
2
e-x≤1恒成立，
1
所以a≥ 时，满足题意.
2
7-e2
综上，a≥ .
4
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说明：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题
主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：
方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；
方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；
方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！
~ ~
【典例4】(2022·全国·统考高考真题)已知函数f(x)=xeax-ex．
(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x>0时，f(x)<-1，求a的取值范围；
1 1 1
(3)设n∈N∗，证明： + +⋯+ >ln(n+1)．
12+1 22+2 n2+n
~ ~
解析：
(1)当a=1时，fx =x-1 ex，则fx =xex，
当x<0时，fx <0，当x>0时，fx >0，
故fx 的减区间为-∞,0 ，增区间为0,+∞ .
(2)设hx =xeax-ex+1，则h0 =0，
又hx =1+ax eax-ex，设gx =1+ax eax-ex，
则gx =2a+a2x eax-ex，
1
若a> ，则g0
2
=2a-1>0，
因为gx 为连续不间断函数，
故存在x 0 ∈0,+∞ ，使得∀x∈0,x 0 ，总有gx >0，
故gx 在0,x 0 为增函数，故gx >g0 =0，
故hx 在0,x 0 为增函数，故hx >h0 =0，与题设矛盾.
1
若0<a≤ ，则hx
2
=1+ax eax-ex=eax+ln1+ax -ex，
下证：对任意x>0，总有ln1+x <x成立，
证明：设Sx =ln1+x -x，故Sx
1 -x
= -1= <0，
1+x 1+x
故Sx 在0,+∞ 上为减函数，故Sx <S0 =0即ln1+x <x成立.
由上述不等式有eax+ln1+ax -ex<eax+ax-ex=e2ax-ex≤0，
故hx ≤0总成立，即hx 在0,+∞ 上为减函数，
所以hx <h0 =0.
当a≤0时，有hx =eax-ex+axeax<1-1+0=0，
所以hx 在0,+∞ 上为减函数，所以hx <h0 =0.
1
综上，a≤ .
2
(3)取a=
1
，则∀x>0，总有xe2
1x
-ex+1<0成立，
2
令t=e2
1x
，则t>1,t2=ex,x=2lnt，
1
故2tlnt<t2-1即2lnt<t- 对任意的t>1恒成立.
t
n+1 n+1 n
所以对任意的n∈N*，有2ln < - ，
n n n+1
整理得到：lnn+1
1
-lnn< ，
n2+n
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~ ~
~ ~
~~~ ~~~
1 1 1
故 + +⋯+ >ln2-ln1+ln3-ln2+⋯+lnn+1
12+1 22+2 n2+n
~ ~
~ ~
-lnn
=lnn+1 ，
故不等式成立.
技巧2 函数凹凸性解题技巧
函数凹凸性是函数的一种特殊特征,近年来,以函数凹凸性为背景的题目屡见不鲜,这些试题情景新
颖,能考查学生的创新能力和潜在的数学素质,常作为压轴题出现.虽然在高中课本中没有这方面的内容,
但高中教师若能多了解一些函数凹凸性的相关理论知识,可以“登高望远”,便于找到问题的本质内涵,确
定解题方向,寻找简捷的解题途径.
知识在线
凹函数：对于某区间内 ∀x,x , 都有 fx 1
1 2
+fx 2 x +x >f 1 2
2 2
.
凸函数：对于某区间内 ∀x,x , 都有 fx 1
1 2
+fx 2 x +x <f 1 2
2 2
.
【典例1】在 △ABC 中, 求 sinA+sinB+sinC 的最大值.
解析：
因为函数 y=sinx 在区间 (0,π) 上是上凸函数, 则
1 A+B+C
(sinA+sinB+sinC)≤sin
3 3
π 3
=sin =
3 2
3 3
即 sinA+sinB+sinC≤ ,
2
π
当且仅当 sinA=sinB=sinC 时, 即 A=B=C= 时,取等号.
3
3 3
上述例题是三角形中一个重要的不等式: 在 △ABC 中,sinA+sinB+sinC≤ .
2
【典例2】(全国·高考真题)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围；
(2)设x ，x 是f(x)的两个零点，证明：x +x <2.
1 2 1 2
解析：
(1)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)．
(Ⅰ)设a=0，则f(x)=(x-2)ex，f(x)只有一个零点．
(Ⅱ)设a>0，则当x∈(-∞,1)时，f'(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0．所以f(x)在(-∞,1)单调递
减，在(1,+∞)单调递增．
a
又f(1)=-e，f(2)=a，取b满足b<0且b<ln ，则
2
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a 3
f(b)> (b-2)+a(b-1)2=ab2- b
2 2
~ ~
~ ~
>0，
故f(x)存在两个零点．
(Ⅲ)设a<0，由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a)．
e
若a≥- ，则ln(-2a)≤1，故当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0，因此f(x)在(1,+∞)单调递增．又当x≤1
2
时f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点．
e
若a<- ，则ln(-2a)>1，故当x∈(1,ln(-2a))时，f'(x)<0；当x∈(ln(-2a),+∞)时，f'(x)>0．
2
因此f(x)在(1,ln(-2a))单调递减，在(ln(-2a),+∞)单调递增．又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不
存在两个零点．
综上，a的取值范围为(0,+∞)．
(2)不妨设x <x ，由(Ⅰ)知x ∈(-∞,1),x ∈(1,+∞)，2-x ∈(-∞,1)，f(x)在(-∞,1)单调递减，所
1 2 1 2 2
以x +x <2等价于f(x )>f(2-x )，即f(2-x )<0．
1 2 1 2 2
由于f(2-x )=-x e2-x2+a(x -1)2，而f(x )=(x -2)ex2+a(x -1)2=0，所以
2 2 2 2 2 2
f(2-x )=-x e2-x2-(x -2)ex2．
2 2 2
设g(x)=-xe2-x-(x-2)ex，则g'(x)=(x-1)(e2-x-ex)．
所以当x>1时，g'(x)<0，而g(1)=0，故当x>1时，g(x)<0．
从而g(x )=f(2-x )<0，故x +x <2．
2 2 1 2
【典例3】(2021·全国·统考高考真题)已知函数fx =x1-lnx .
(1)讨论fx 的单调性；
1 1
(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2< + <e.
a b
解析：
(1)fx 的定义域为0,+∞ ．
由fx =x1-lnx 得，fx =-lnx，
当x=1时，f′x =0；当x∈0,1 时f′x >0；当x∈1,+∞ 时，f'x <0．
故fx 在区间0,1 内为增函数，在区间1,+∞ 内为减函数，
(2)法一：等价转化
1 1
由blna-alnb=a-b得 1-ln
a a
1 1
= 1-ln
b b
1
，即f
a
1
=f
b
．
1 1
由a≠b，得 ≠ ．
a b
1 1 1
由(1)不妨设 ∈(0,1), ∈(1,+∞)，则f
a b a
1
>0，从而f
b
1
>0，得 ∈(1,e)，
b
①令gx =f2-x -fx ，
则g(x)=ln(2-x)+lnx=ln(2x-x2)=ln[1-(x-1)2]，
当x∈0,1 时，g′x <0，gx 在区间0,1 内为减函数，gx >g1 =0，
从而f2-x >fx
1
，所以f2-
a
1
>f
a
1
=f
b
，
1 1 1 1
由(1)得2- < 即2< + ．①
a b a b
令hx =x+fx ，则h'x =1+fx =1-lnx，
当x∈1,e 时，h′x >0，hx 在区间1,e 内为增函数，hx <he =e，
从而x+fx
1 1
<e，所以 +f
b b
<e．
1 1 1 1
又由 ∈(0,1)，可得 < 1-ln
a a a a
1
=f
a
1
=f
b
，
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52 901 1 1
所以 + <f
a b b
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1
+ =e．②
b
1 1
由①②得2< + <e．
a b
法二：【最优解】
lna lnb 1 1 lna+1 lnb+1
blna-alnb=a-b变形为 - = - ，所以 = ．
a b b a a b
1 1
令 =m, =n．则上式变为m1-lnm
a b
=n1-lnn ，
于是命题转换为证明：2<m+n<e．
令fx =x1-lnx ，则有fm =fn ，不妨设m<n．
由(1)知0<m<1,1<n<e，先证m+n>2．
要证：m+n>2⇔n>2-m⇔fn <f2-m ⇔f(m)<f2-m
⇔fm -f2-m <0．
令gx =fx -f2-x ,x∈0,1 ，
则g′x =-lnx-ln2-x =-ln x2-x ≥-ln1=0，
∴gx 在区间0,1 内单调递增，所以gx <g1 =0，即m+n>2．
再证m+n<e．
因为m1-lnm =n⋅1-lnn >m，所以需证n1-lnn +n<e⇒m+n<e．
令hx =x1-lnx +x,x∈1,e ，
所以h'x =1-lnx>0，故hx 在区间1,e 内单调递增．
所以hx <he =e．故hn <e，即m+n<e．
1 1
综合可知2< + <e．
a b
法三：比值代换
1 1
证明 + >2同证法2．以下证明x +x <e．
a b 1 2
x
不妨设x =tx ，则t= 2 >1，
2 1 x
1
tlnt
由x(1-lnx)=x (1-lnx )得x(1-lnx)=tx[1-ln(tx)]，lnx =1- ，
1 1 2 2 1 1 1 1 1 t-1
要证x 1 +x 2 <e，只需证1+t x <e，两边取对数得ln(1+t)+lnx <1， 1 1
tlnt
即ln(1+t)+1- <1，
t-1
ln(1+t) lnt
即证 < ．
t t-1
ln(1+s) s -ln(1+s)
记g(s)= ,s∈(0,+∞)，则g(s)= 1+s .
s s2
s 1 1
记h(s)= -ln(1+s)，则h′(s)= - <0，
1+s (1+s)2 1+s
所以，hs 在区间0,+∞ 内单调递减．hs <h0 =0，则g's <0，
所以gs 在区间0,+∞ 内单调递减．
由t∈1,+∞ 得t-1∈0,+∞ ，所以gt <gt-1 ，
ln(1+t) lnt
即 < ．
t t-1
法四：构造函数法
lna lnb 1 1 1 1
由已知得 - = - ，令 =x, =x ，
a b b a a 1 b 2
不妨设x 1 <x 2 ，所以fx 1 =fx 2 ．
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由(Ⅰ)知，0<x <1<x <e，只需证2<x +x <e．
1 2 1 2
证明x +x >2同证法2．
1 2
-2+e+lnx
再证明x +x <e．令h(x)= 1-lnx (0<x<e),h(x)= x ．
1 2 x-e (x-e)2
e 1 e x-e
令φ(x)=lnx+ -2(0<x<e)，则φ′(x)= - = <0．
x x x2 x2
所以φx
~ ~
~ ~
>φe =0,h′x >0，hx 在区间0,e 内单调递增．
1-lnx 1-lnx 1-lnx x -e
因为0<x <x <e，所以 1 < 2，即 1 > 1
1 2 x -e x -e 1-lnx x -e
1 2 2 2
又因为fx 1 =fx 2
1-lnx x x x -e
，所以 1 = 2, 2 > 1 ， 1-lnx x x x -e
2 1 1 2
即x2 2 -ex 2 <x2 1 -ex 1 ,x 1 -x 2 x 1 +x 2 -e >0．
1 1
因为x <x ，所以x +x <e，即 + <e．
1 2 1 2 a b
1 1
综上，有2< + <e结论得证．
a b
【典例4】(陕西·高考真题)已知函数A(1,1).
(1)若直线y=kx+1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;
(2)设x>0, 讨论曲线y=f (x) 与曲线y=mx2(m>0) 公共点的个数.
f(a)+f(b) f(b)-f(a)
(3)设a<b,比较 与 的大小, 并说明理由.
2 b-a
解析：
函数f(x)=ex,x∈R⇒f(x)=ex
1 1
(1)函数 =k⇒kx =1，f(x)=ex,x∈R的反函数为y=lnx,x>0,y= ，
x 0 x
0
1 1
设切点坐标为(x ,kx +1)则 =k⇒kx =1，lnx =2⇒x =e2⇒k= .
0 0 x 0 0 0 e2
0
ex ex
(2)令f(x)=mx2即ex=mx2(x>0)⇒m= (x>0)，设g(x)= (x>0)
x2 x2
ex(x-2)
有g(x)= (x>0)，当x∈(0,2]，g(x)<0，当x∈[2,+∞)，g(x)>0
x3
所以函数g(x)在(0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，
e2 e2
g(x) =g(2)= ，所以当m> 时，两曲线有2个交点；
min 4 4
e2 e2
当m= 时，两曲线有1个交点；当m< 时，两曲线没有交点.
4 4
f(a)+f(b) f(b)-f(a)
(3) > .
2 b-a
fa +fb fb
-
2
-fa ea+eb ea-eb 1+eb-a 1-eb-a
= - =ea -
b-a 2 b-a 2 b-a
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b-a
=ea
~ ~
~ ~
1+eb-a -21-eb-a
2b-a
∵a<b，令b-a=t>0
t1+et
∴上式=ea
-21-et ea
= ⋅ t+2
2t 2t
et+t-2
令g(t)=(t+2)et+t-2，则g(t)=(t+3)et+1>0恒成立，
ea ea
∴g(t)>g(0)=0，而 >0，∴ ⋅ t+2
2t 2t
et+t-2 >0，
f(a)+f(b) f(b)-f(a)
故 > .
2 b-a
技巧3 洛必达法则解题技巧
洛必达法则只是一个求极限的工具，是在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式
极限值的方法。详细的洛必达法则应用是大学高等数学中才介绍，这里用高中生最能看懂的方式说明，能
备考使用即可.
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洛必达法则：
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) limfx
x→a
=0 及limgx
x→a
=0；
(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
fx
(3)lim
x→a
gx
=l，
fx
那么 lim
x→a
gx
fx
=lim
x→a
gx
0
=l。 型
0
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) limfx
x→a
=∞及limgx
x→a
=∞；
(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
fx
(3)lim
x→a
gx
=l，
fx
那么 lim
x→a
gx
fx
=lim
x→a
gx
∞
=l。 型
∞
注意：
1. 将上面公式中的 x→a,x→∞ 换成 x→+∞,x→-∞,x→a+,x→a-洛必达法则也成立。
0 ∞
2. 洛必达法则可处理 , ,0⋅∞,1∞,∞0,00,∞-∞ 型。
0 ∞
0 ∞
3. 在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , ,0⋅∞,1∞, ∞0,00,∞-∞ 型定式, 否则滥用洛必达法则
0 ∞
会出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极
限。
4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止。
f(x) f(x) f(x)
lim =lim =lim , 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则。
x→a g(x) x→a g(x) x→a g(x)
lnx 1 lnx k
【典例1】(全国高考)已知 + > + 恒成立, 求 k 的取值范围.
x+1 x x-1 x
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~ ~
~ ~
~~~ ~~~
解析：
lnx 1 lnx k 2xlnx 2xlnx
+ > + ⇔k< +1 记 g(x)= +1,
x+1 x x-1 x 1-x2 1-x2
2x2+1
则g(x)=
~ ~
~ ~
lnx+21-x2
1-x2
2x2+1
=
2
1-x2
1-x2
lnx+
2 x2+1
记hx
1-x2
=lnx+
x2+1
1 4x
则 h(x)= -
x 1+x2
1-x2
=
2
2
x1+x2
>0
2
所以, h(x) 在 (0,+∞) 单调递增, 且 h(1)=0
所以 x∈(0,1) 时, h(x)<0,x∈(1,+∞) 时, h(x)>0
即 g(x) 在 (0,1) 上单调递减, 在 (1,+∞) 上单调递增
k≤limgx
x→1
2xlnx
=lim +1
x→1 1-x2
2xlnx 2+2lnx
=lim +1=lim +1=1-1=0
x→1 1-x2 x→1 -2x
所以 k≤0
【典例2】(全国高考)∀x∈(0,+∞),ex-1-x-ax2≥0 恒成立, 求 a 的取值范围
解析：
ex-x-1
ex-1-x-ax2≥0⇔a<
x2
ex-x-1
记 g(x)= ,
x2
xex-2ex+x+2
则 g(x)=
x3
记 h(x)=xex-2ex+x+2
则 h(x)=xex-ex+1
h(x)=xex>0
所以, h(x) 在 (0,+∞) 单调递增, 所以 h(x)>h(0)=0
所以, h(x) 在 (0,+∞) 单调递增, 所以 h(x)>h(0)=0
即在 (0,+∞) 上 g(x)>0, 所以 g(x) 在 (0,+∞) 上单调递增
ex-x-1 ex-1 ex 1
所以a≤limg(x)=lim =lim =lim =
x→0 x→0 x2 x→0 2x x→0 2 2
1
所以 a≤
2
【典例3】(天津高考)∀x∈[0,+∞),x-ln(x+1)≤ax2 恒成立, 求a的取值范围.
解析：
1 ln(x+1)
x-ln(x+1)≤ax2⇔a≥ -
x x2
1 ln(x+1)
记 g(x)= - ,
x x2
-x2+2x+2ln(x+1)
则 g(x)= x+1
x3
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记 hx
~ ~
~ ~
x2+2x
=- +2lnx+1
x+1
x2
，则 h(x)=-
(x+1)2
所以当 x∈[0,+∞) 时, h(x)<0,h(x) 单调递减,
所以 hx ≥h0 =0，即 gx ≥0，
所以 g (x)=limg(0)
max
x→0
1 ln(x+1)
所以a≥g (x)=limg(0)=lim -
max x→0 x→0 x x2
x-ln(x+1) 1- x+ 1 1 (x+ 1 1)2 1
=lim =lim =lim =
x→0 x2 x→0 2x x→0 2 2
1
所以 a≥ .
2
【典例4】(2023·江苏模拟)已知函数fx =1+x e-2x,gx
x3
=ax+ +1+2xcosx.当x∈0,1
2
时，
(I)求证1-x≤fx
1
≤ ;
1+x
(II)若fx ≥gx 恒成立，求实数a的取值范围.
解析：
(1)要证x∈[0,1]时，(1+x)e-2x≥1-x，只需证明(1+x)e-x≥(1-x)ex.
记h(x)=(1+x)e-x-(1-x)ex，则h(x)=x(ex-e-x)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0，因此h(x)在[0,1]上是增函数，故h(x)≥h(0)=0，
所以f(x)≥1-x,x∈[0,1].
1
要证x∈[0,1]时，(1+x)e-2x≤ ，只需证明ex≥x+1，
1+x
记K(x)=ex-x-1，则K(x)=ex-1，
当x∈(0,1)时，k(x)>0，因此K(x)在[0,1]上是增函数，故K(x)≥K(0)=0，
1
所以f(x)≤ ，x∈[0,1].
1+x
1
综上，1-x≤f(x)≤ ，x∈[0,1].
1+x
(2)法一：
x3
f(x)-g(x)=(1+x)e-2x-ax+ +1+2xcosx
2
x3
≥1-x-ax-1- -2xcosx
2
x2
=-xa+1+ +2cosx
2
.
x2
设G(x)= +2cosx，则G(x)=x-2sinx，
2
记H(x)=x-2sinx，则H(x)=1-2cosx，
当x∈(0,1)时，H(x)<0，于是G(x)在[0,1]上是减函数，
从而当x∈(0,1)时，G(x)<G(0)=0，故G(x)在[0,1]上是减函数，于是G(x)≤G(0)=2，
从而a+1+G(x)≤a+3，
所以，当a≤-3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立.
下面证明，当a>-3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立，
1 x3 -x x3
f(x)-g(x)≤ -1-ax- -2xcosx= -ax- -2xcosx=
1+x 2 1+x 2
1 x2
-x +a+ +2cosx
1+x 2
1 x2 1 -1
记I(x)= +a+ +2cosx= +a+G(x)，则I(x)= +G(x)，
1+x 2 1+x (1+x)2
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当x∈(0,1)时，I(x)<0，故I(x)在[0,1]上是减函数.
于是I(x)在[0,1]上的值域为[a+1+2cos1,a+3].
因为当a>-3时，a+3>0，所以存在x ∈(0,1)，使得I(x )>0此时f(x )<g(x )，即f(x)≥g(x)在
0 0 0 0
[0,1]上不恒成立.
综上，实数a的取值范围是(-∞,-3].
法二：
1 1
先证当x∈[0,1]时，1- x2≤cosx≤1- x2.
2 4
1
记F(x)=cosx-1+ x2，则F(x)=-sinx+x，
2
记G(x)=-sinx+x，则G(x)=-cosx+1，当x∈(0,1)时，G(x)>0，于是G(x)在[0,1]上是增函数，
因此当x∈(0,1)时，G(x)>G(0)=0，从而F(x)在[0,1]上是增函数，因此F(x)≥F(0)=0.
1
所以当x∈[0,1]时，1- x2≤cosx.
2
1
同理可证，当x∈[0,1]时，cosx≤1- x2.
4
1 1
综上，当x∈[0,1]时，1- x2≤cosx≤1- x2.
2 4
因为当x∈[0,1]时，
x2
f(x)-g(x)=(1+x)e-2x-ax+ +1+2xcosx
2
~ ~
~ ~
x2 1
≥(1-x)-ax- -1-2x1- x2
2 4
=-(a+3)
x，
所以当a≤-3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立.
下面证明，当a>-3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立，因为
x2
f(x)-g(x)=(1+x)e-2x-ax+ +1+2xcosx
2
1 x3 1
≤ -1-ax- -2x1- x2
1+x 2 2
= x2 + x3 -(a+3)x≤ 3 x x- 2 (a+3)
1+x 2 2 3
.
a+3 1
所以存在x ∈(0,1)(例如x 取 和 中的较小值)满足f(x )<g(x ).
0 0 3 2 0 0
即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立.
综上，实数a的取值范围是(-∞,-3].
专题五 不等式相关解题技巧
技巧1 基本不等式链的应用及解题技巧
本题型通常考查基本不等式及其基本不等式链的应用，掌握基本不等式链，可以较快速解决代数式的
大小比较及其相关最值求解，常以小题形式考查.
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a2+b2 a+b 2
基本不等式链: ≥ ≥ ab≥ (a>0,b>0),
2 2 1+1
a b
当且仅当 a=b 时, 等号成立.
a2+b2 a+b 2
其中 , , ab, 分别为 a,b 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可
2 2 1+1
a b
利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化.
【典例1】(2022·全国·统考高考真题)若x，y满足x2+y2-xy=1，则 ( )
A. x+y≤1 B. x+y≥-2 C. x2+y2≤2 D. x2+y2≥1
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~ ~
~ ~
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解析：
a2+b2 a+b 2
由基本不等式链: ≥ ≥ ab≥ (a>0,b>0),
2 2 1+1
a b
a+b
可得ab≤
2
~ ~
~ ~
2 a2+b2
≤ (a,b∈R)，
2
对于AB
由x2+y2-xy=1可变形为，x+y
x+y
2-1=3xy≤3
2
2
，
解得-2≤x+y≤2，当且仅当x=y=-1时，x+y=-2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错
误，B正确；
对于C
法一：
由x2+y2-xy=1可变形为x2+y2
x2+y2
-1=xy≤ ，解得x2+y2≤2，
2
当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确
x+y
法二：由 x2+y2≥2
2
2 x+y
,xy≤
2
2 x+y
,得 x2-xy+y2≥2
2
2 x+y
-
2
2
,
x+y
又因为 x2-xy+y2=1,所以 2
2
2 x+y
-
2
2 1
≤1,即 (x+y)2≤1,x+y≤2.
4
x+y
法三：x2-xy+y2=(x+y)2-3xy≥(x+y)2-3
2
2 1
= (x+y)2,
4
1
又因为 x2-xy+y2=1,所以 (x+y)2≤1,x+y≤2.
4
故选：BC．
【典例2】(2023·湖北·模拟预测)(多选)若a>0，b>0，a+b=2，则下列不等式中对一切满足条件的a，
b恒成立的有 ( )
2 1
A. ab≤1 B. a+b≤2 C. a2+b2≥2 D. + ≥3 2
a b
解析：
对A选项：∵a>0，b>0，a+b=2，
∴2=a+b≥2 ab，即ab≤1(当且仅当a=b时等号成立)，故A选项正确；
对B选项：∵a+b=2，而2≤2成立，
∴a+b≤2成立，故B选项正确；
a2+b2 a+b
对C选项：∵ ≥
2 2
2 2
=
2
2
=1，
∴a2+b2≥2(当且仅当a=b时等号成立)，故C选项正确；
对D选项：
2 1 2 1
∵ + = +
a b a b
a+b 1 2b a
× = 3+ +
2 2 a b
3 2b a
≥ + 2，(当且仅当 = 时等号成立)，
2 a b
2 1 3
∴ + ≥ + 2，故D选项错误.
a b 2
故选：ABC.
【典例3】(2023·广东汕头·金山中学校考三模)(多选)若a>0,b>0,a+b=4，则下列不等式对一切满足
条件a,b恒成立的是 ( )
a2 1 1
A. ab≤2 B. a+ b≤2 C. +b2≥4 D. + ≥1
3 a b
解析：
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专业 专注 专心
~~~~ ~~~~
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~ ~
~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~
a+b
对于A，a>0,b>0,a+b≥2 ab，即 ab≤ =2，
2
当且仅当a=b=2时等号成立，所以A正确；
对于B，a>0,b>0 ，( a+ b)2=a+b+2 ab=4+2 ab≤4+2×2=8，
又 a+ b>0，则 a+ b≤2 2，当且仅当a=b=2时等号成立，所以B错误；
对于C，a+b=4，b=4-a>0，所以0<a<4，
a2 a2 4a2 4
则 +b2= +(4-a)2= -8a+16= (a-3)2+4≥4，并且a=3时等号成立，
3 3 3 3
所以C正确；
a+b
对于D，a>0,b>0,a+b=4，所以 =1，
4
1 1 1 1
则 + = +
a b a b
~ ~
~ ~
a+b 1 b a
⋅ = ×2+ +
4 4 a b
1 b a
≥ ×2+2 ⋅
4 a b
=1，
b a
当且仅当 = ，即a=b=2时等号成立，所以D正确.
a b
故选：ACD.
【典例4】(2023·江苏模拟)(多选)已知实数x，y满足3x2+3y2-2xy=5，则 ( )
5 y 15
A. xy≤1 B. x+y≥- 5 C. x2+y2≥ D. x- ≥-
4 3 3
解析：
对于A，由5=3x2+3y2-2xy≥3⋅2xy-2xy=4xy
5 5
当且仅当x=y=± 时等号成立，即xy≤ ，故A错误；
2 4
对于B，由3x2+3y2-2xy=5，得3x+y
2-8xy=5，
即3x+y
x+y
2=8xy+5≤8⋅
2
2
+5，
5
当且仅当x=y=± 时等号成立，即- 5≤x+y≤ 5，故B正确；
2
对于C，由3x2+3y2-2xy=5，得-2xy=5-3x2+y2
≤x2+y2，
10 5
当且仅当x=-y=± 时等号成立，即x2+y2≥ ，故C正确；
4 4
y
对于D，由3x2+3y2-2xy=5，得3x-
3
2 8y2
+ =5，
3
8y2 y
即 =5-3x-
3 3
2 15 y 15
≥0，即- ≤x- ≤ ，故D正确.
3 3 3
故选：BCD.
技巧2 权方和不等式的应用及解题技巧
在条件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我们通常使用基本不等式(链)来求最值，解题中往往会遇到
思路繁琐，计算量大的情况，学生不易求解，而此时的权方和不等式优势极其明显，可以做到快速求解，常在
小题中使用.
知识在线
权方和不等式的初级应用:
a2 b2 (a+b)2 a b
若 a,b,x,y>0 则 + ≥ 当且仅当 = 时取等.
x y x+y x y
(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)
1 1 1
【典例1】(2023·浙江模拟)已知a>1,b> ，且2a+b=3，则 + 的最小值为 ( )
2 a-1 2b-1
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专心 专注 专业
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~~~~~ ~~~~~
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~ ~
~ ~
~~~~ ~~~~ 9 1 A. 1 B. C. 9 D.
2 2
~ ~
解析：
因为2a+b=3，所以4a+2b=6
a2 b2 (a+b)2
由权方和不等式 + ≥ 可得
x y x+y
1 1 4 1 22 12 2+1
+ = + = + ≥
a-1 2b-1 4a-4 2b-1 4a-4 2b-1
2
=9
4a-4+2b-1
2 1 7 2
当且仅当 = ，即a= ,b= 时，等号成立．
4a-4 2b-1 6 3
1 1
【典例2】(2023·四川·校联考一模)已知正数x，y满足x+y=5，则 + 的最小值是 .
x+2 y+2
解析：
1
因为x+y=5，所以x+2+y+2=9，即 x+2
9
+y+2 =1，
因为正实数x,y，所以x+2>0，y+2>0，
1 1 1 1 1
所以 + = +
x+2 y+2 9 x+2 y+2
x+2+y+2
1 y+2 x+2
= 2+ +
9 x+2 y+2
4
≥ ，
9
5
当且仅当x=y= 等号成立.
2
4
故答案为： .
9
2 1
【典例3】(2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模)设a>0,b>2且a+b=4，则 + 的最小值是
a b-2
．
解析：
因为a+b=4，所以a+b-2
1
=2， a+b-2
2
=1，
2 1 1
所以 + = a+b-2
a b-2 2
2 1
+
a b-2
1 2b-2
= 3+
2
a
+
a b-2
，
因为a>0,b>2，
2 1 1 2b-2
所以由基本不等式得 + = 3+
a b-2 2
a
+
a b-2
1 2b-2
≥ 3+2
2
a
⋅
a b-2
3
= + 2，
2
2b-2 当且仅当 a = b- a 2 即 a=4-2 2 时，等号成立，
b=2 2
a+b=4
2 1 3
综上所述： + 的最小值是 + 2.
a b-2 2
3
故答案为： + 2.
2
x2
【典例4】(2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测)已知正数x，y满足x+y=4，若a≤ +
x+1
y2
恒成立，则实数a的取值范围是 ．
y+2
解析：
已知正数x,y 满足 x+y=4,
x+1 y+2
所以 (x+1)+(y+2)=7,所以: + =1
7 7
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x2 y2 (x+1-1)2 (y+2-2)2
则: + = +
x+1 y+2 x+1 y+2
(x+1)2-2(x+1)+1 (y+2)2-4(y+2)+4
= +
x+1 y+2
1 4
=x+1-2+ +y+2-4+
x+1 y+2
1 4
= + +1
x+1 y+2
x+1 y+2
= +
7 7
~ ~
~ ~
1 4
⋅ +
x+1 y+2
+1
1 4(x+1) y+2 4
= + + + +1
7 7(y+2) 7(x+1) 7
12 4(x+1) y+2 16 4(x+1) y+2
≥ +2 ⋅ = ，当且仅当 = 时，取等号；
7 7(y+2) 7(x+1) 7 7(y+2) 7(x+1)
x2 y2 x2 y2
要使 a≤ + 恒成立, 只需满足 a≤ +
x+1 y+2 x+1 y+2
即可,
min
16
故 a≤ .
7
16 故答案为: -∞,
7
.
技巧3 普通型糖水不等式的应用及解题技巧
在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习糖水不等
式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.
知识在线
1.糖水不等式定理:
b+m b
若 a>b>0,m>0, 则一定有 >
a+m a
通俗的理解: 就是 a 克的不饱和糖水里含有 b 克糖, 往糖水里面加入 m 克糖,则糖水更甜;
2. 糖水不等式的倒数形式:
a a+m
设 a>b>0,m>0, 则有: >
b b+m
【典例1】(2023·湖南长沙·长郡中学校考二模)已知实数a,b,c满足0<a<b<c，则下列说法正确的是
( )
1 1 b b+c
A. > B. >
c-a b-a a a+c
1
C.
ac-a
1
>
bc-a
D. ab+c2>ac+bc
解析：
b b+c
法一：由糖水不等式的倒数形式，b>a>0,c>0, 则有: >
a a+c
b b+c
法二： > ⇔ba+c
a a+c
>ab+c ⇔bc>ac⇔b>a，故B正确；
1 1
因为0<a<b<c，所以有c-a>b-a>0, < ，故A错误；
c-a b-a
1
ac-a
1
>
bc-a
1 1
⇔ > ⇔b>a，故C正确；
a b
ab+c2>ac+bc⇔cc-b -ac-b >0⇔c-a c-b >0，故D正确．
故选：BCD.
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~ ~
【典例2】(2020·全国·统考高考真题)已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则
5 8 13
( )
A. a<b<c B. b<a<c C. b<c<a D. c<a<b
~ ~
解析：
法一：
ln3+ln8 ln24
a= ln3 < 5 = 5 < ln5 =b,
ln5 ln5+ln8 ln8 ln8
5
ln3+ln13 ln39
又 a= ln3 < 5 = 5 < ln8 =c ，
ln5 ln5+ln13 ln13 ln13
5
用排除法, 选 A 。
4
法二：55<84⇒log 55<log 84⇒b< ，
8 8 5
4
134<85⇒log 134<log 85⇒c> ⇒b<c
13 13 5
若log 3≥log 5⇔log 3log 8≥1,
5 8 5 5
log 3+log 8 但 log 3log 8< 5 5
5 5 2
2 = log 5 24
2
2 < log 5 25
2
2 =1, ∴a<b
综上所述，a<b<c.
法三：
由题意可知a、b、c∈0,1 a log 3 lg3 lg8 1 ， = 5 = ⋅ <
b log 8 5 lg5 lg5 lg5
lg3+lg8 ⋅
2 2
2 lg3+lg8 =
2lg5
2 lg24 =
lg25
2
<1，∴a<b；
4
由b=log 5，得8b=5，由55<84，得85b<84，∴5b<4，可得b< ；
8 5
4
由c=log 8，得13c=8，由134<85，得134<135c，∴5c>4，可得c> .
13 5
综上所述，a<b<c.
故选：A.
【典例3】(2022·江苏阶段练习)生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖，(a>0，b>0，且a>b)，若再添
加c克糖c>0
b+c b
后，(假设全部溶于水)，糖水会更甜，于是得出一个不等式： > ，称之为“糖水
a+c a
不等式”，则下列命题一定正确的是 ( )
b+m b
A. 若a>b>0，m>0，则 与 大小关系不随m的变化而变化
a+m a
b b+m
B. 若a>b>0，-b<m<0，则 <
a a+m
b+d b+c
C. 若a>b>0，c>d>0，则 <
a+d a+c
a+b a b
D. 若a>0，b>0，则 < +
1+a+b 1+a 1+b
解析：
b+m b
对于A，根据“糖水不等式”，若a>b>0,m>0，则 > ，故A正确；
a+m a
b b+m ba+m
对于B， - =
a a+m
-ab+m
aa+m
mb-a
=
aa+m
，因为a>b>0，-b<m<0，
b b+m b b+m
所以b-a<0,a+m>b+m>0，故 - >0，即 > ，故B错误；
a a+m a a+m
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专业 专注 专心
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~ ~
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对于C，若a>b>0，c>d>0，则c-d>0,a+d>b+d>0，
b+d+c-d b+d b+d b+c
根据“糖水不等式”， > ，即 < ，故C正确；
a+d+c-d a+d a+d a+c
对于D，若a>0,b>0，则1+a+b>1+a>0,1+a+b>1+b>0，
1 1 1 1
所以 < , < ，
1+a+b 1+a 1+a+b 1+b
a b a b a+b a b
所以 + < + ，即 < + ，故D正确.
1+a+b 1+a+b 1+a 1+b 1+a+b 1+a 1+b
故选：ACD
技巧4 对数型糖水不等式的应用及解题技巧
在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖
水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.
知识在线
(1) 设 n∈N , 且 n>1, 则有 log n<log (n+1)
+ n+1 n+2
(2) 设 a>b>1,m>0, 则有 log b<log (b+m)
a a+m
(3) 上式的倒数形式：设 a>b>1,m>0, 则有 loga>log (a+m)
b b+m
~ ~
【典例1】(2022·全国·统考高考真题)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9，则 ( )
A. a>0>b B. a>b>0 C. b>a>0 D. b>0>a
~ ~
解析：
法一：对数型糖水不等式
因为 9m=10, 所以 m=log 10.
9
在上述推论中取 a=9,b=10,
可得 m=log 10> log 11=lg11, 且 m=log 10<log 9.
9 10 9 8
所以 a=10m-11>10lg11-11=0,b= 8m-9<8log99-9=0, 即 a>0>b, 选 A.
法二：普通型糖水不等式
由已知条件 9m=10, 可得 m=log 10.
9
同公式 (2) 的证明过程, 可以得到 m= lg10 >
lg10+lg1
9
0
=
lg10
9
0
=lg 100 >lg11, 即 m >
lg9 lg9+lg10 lg10 9
9
lg11.
所以 a>10lg11-11=0, 即 a>0.
lg10
lg10+lg8 lg80
又 m= < 9 = 9 =
lg9 lg9+lg8 lg8
9
80
log <log 9, 即 m<log 9, 所以 b<8log89- 9=0, 即 b<0.
8 9 8 8
综上, a>0>b, 选 A.
【典例2】(2022·安徽黄山·统考一模)下列不等式不正确的是 ( )
A． 7- 5< 6-2B．π3.1<3.1π
1 1
B．C．5sin >cos D．log 3<log 5
5 10 4 6
解析：
要证 7- 5< 6-2，即证 7+2< 6+ 5，两边平方得：
11+4 7<11+2 30，即证2 7< 30，即证28<30，显然成立，故 7- 5< 6-2，A正确；
第 页 共 页
64 90lnπ ln3.1
要证π3.1<3.1π，两边取对数得：3.1lnπ<πln3.1，即证 < ，
π 3.1
构造fx
专心 专注 专业
lnx
= ，x>e，
x
fx
1-lnx
= <0在x>e上恒成立，
x2
故fx
lnx
= 在x>e上单调递减，
x
所以fπ <f3.1
lnπ ln3.1
，即 < ，所以π3.1<3.1π，B正确；
π 3.1
1 1 1 1 1
因为5sin =5×2sin cos =10sin cos ，
5 10 10 10 10
1 1 1 1 1 1
其中cos >0，要证5sin >cos ，即证10sin >1，即sin > ，
10 5 10 10 10 10
构造gx
π
=x-sinx，x∈0,
2
，
gx
π
=1-cosx>0在x∈0,
2
上恒成立，
所以gx
π
=x-sinx在x∈0,
2
上单调递增
1
故g
10
>g0
1 1
=0，即 >sin ，C错误；
10 10
ln3 ln5
D选项，log 3<log 5两边取对数得： < ，
4 6 ln4 ln6
构造hx
lnx
=
lnx+1
，x>e，
hx
lnx+1
=
- lnx
x x+1
ln2 x+1
，
令kx =xlnx，x>e
则kx =lnx+1>0在x>e上恒成立，故kx =xlnx在x>e上单调递增，
故x+1 lnx+1
lnx+1
>xlnx，即
lnx
> ，
x x+1
所以hx >0在x>e上恒成立，
所以hx
lnx
=
lnx+1
在x>e上单调递增，
ln3 ln5
故 < ，结论得证，D正确.
ln4 ln6
故选：C.
专题六 三角恒等变换解题技巧
技巧1 拼凑思想的应用及解题技巧
在三角函数求值题目当中，常常会出现已知条件中给出两个或者一个三角函数值，求问题中的三角函
数值，解决此类问题的关键在于用“已知角”来表示“未知角”
1、当“已知角”有两个时，“所求角"一般表示两个"已知角”的和与差的关系
2、当"已知角"有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和与差或倍数的关系，然后借助三角恒
等变换公式把“所求角”变成“已知角”
知识在线
a=2⋅a α=β-(β-α) α=1[(α+β)+(α-β)]
2 2
β=1[(α+β)-(α-β)] π+α=π- π-α
2 4 2 4
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专业 专注 专心
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~ ~
【典例1】(全国·高考真题)tan255°=
A. -2- 3 B. -2+ 3 C. 2- 3 D. 2+ 3
~ ~
解析：
tan2550=tan(1800+750)=tan750=tan(450+300)=
tan450+tan300
=
1+
3
3
=2+ 3.
1-tan450tan300 1- 3
3
π
【典例2】(2023·南京市第一中学校考一模)若2sinα+
3
π
=sinα-
6
π
，则tanα-
3
= ( )
A. 5 3+8 B. 3 3-4 C. 4+3 3 D. 5 3-8
解析：
π 由2sinα+
3
π π =2sin +α-
2 6
π =2cosα-
6
π =sinα-
6
，
π
所以tanα-
6
=2，
π tanα-
3
π =tan α-
6
- π
6
tanα-π
6 =
-tanπ
6
1+tanα-π
6
2- 3
3 6- 3 = = =
×tanπ 1+2× 3 3+2 3
6 3
6- 3 ×3-2 3
3+2 3 3-2 3
=5 3-8
2 6
【典例3】(2022·云南民族大学附属中学校考模拟预测)已知sinα= ，cosα-β
7
10
= ，且0<α<
5
3π 3π
，0<β< ，则sinβ= ( )
4 4
9 15 11 10 15 10
A. B. C. D.
35 35 35 35
解析：
2 6 2 3π π 5
∵sinα= < 且0<α< ，∴0<α< ，∴cosα= 1-sin2α= .
7 2 4 4 7
3π 3π π
又0<β< ，∴- <α-β< ，∴sinα-β
4 4 4
=± 1-cos2 α-β
15
=± .
5
当sinα-β
15
= 时，
5
sinβ=sin α-α-β =sinαcosα-β -cosαsinα-β
2 6 10 5 15 15
= × - × =- ，
7 5 7 5 35
3π 15
∵0<β< ，∴sinβ>0，∴sinβ=- 不合题意，舍去；
4 35
当sinα-β
15 9 15
=- ，同理可求得sinβ= ，符合题意.
5 35
9 15
综上所述：sinβ= .
35
故选：A.
cosA
【典例4】(2023·山东泰安·统考模拟预测)已知A为锐角，tan2A= ，tanA-B
2-sinA
2 15
= ，则
15
tanB= ( )
15 15 2 15 2 15
A. - B. C. - D.
17 17 17 17
解析：
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专心 专注 专业
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~ ~
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cosA sin2A cosA
因为tan2A= ，所以 = ，
2-sinA cos2A 2-sinA
2sinAcosA cosA
所以 = ，
1-2sin2A 2-sinA
又A为锐角，cosA>0，
所以2sinA2-sinA
~ ~
~ ~
=1-2sin2A，
1
解得sinA= ，
4
15 15
因为A为锐角，所以cosA= ，tanA= ，
4 15
2 15
又tan(A-B)= ，
15
所以tanB=tan A-A-B tanA-tanA-B =
1+tanAtanA-B
15 -2 15
= 15 15 =- 15 .
1+ 15 ×2 15 17
15 15
故选：A.
π
【典例5】(2023·湖南湘潭·统考二模)已知0<α<β< ,cos2α+cos2β+1=2cosα-β
2
+cosα+β ，
则 ( )
π π π π
A. α+β= B. α+β= C. β-α= D. β-α=
6 3 6 3
解析：
由已知可将2α=α+β +α-β ，2β=(α+β)-(α-β)，
则cos[(α+β)+(α-β)]+cos[(α+β)-(α-β)]+1=2cos(α-β)+cos(α+β)，
2cos(α+β)cos(α-β)-2cos(α-β)-cos(α+β)+1=0，
1
[cos(α+β)-1][2cos(α-β)-1]=0，即cos(α+β)=1或cos(α-β)= ．
2
π π
又0<α<β< ，所以0<α+β<π,- <α-β<0，
2 2
所以cos(α+β)≠1，所以选项A，B错误，
1 π π
即cos(α-β)= ，则α-β=- ，所以β-α= ．则C错，D对，
2 3 3
故选：D
技巧2 升(降)幂公式的应用及解题技巧
在三角恒等变换的倍角考查中，升幂公式及降幂公式极其重要，需灵活掌握，在高考中也是高频考点，
要强加练习.
知识在线
升幂公式：cos2α=1-2sin2α，cos2α=2cos2α-1
1-cos2α 1+cos2α
降幂公式：sin2α= ，cos2α=
2 2
π
【典例1】(2023·全国·模拟预测)已知sinx+
6
2 2π
= ，则cos -2x
3 3
= ( )
2 1 1 2
A. - B. - C. D.
9 9 9 9
解析：
π
因为sinx+
6
2 π
= ，所以cos -α
3 3
π
=sin +α
6
2
=
3
2π
cos -2x
3
π
=2cos2 -α
3
4 1
-1=2× -1=- ．
9 9
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专业 专注 专心
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~ ~
【典例2】(2023·全国·统考高考真题)已知sinα-β
~ ~
1 1
= ,cosαsinβ= ，则cos2α+2β
3 6
=( )．
7 1 1 7
A. B. C. - D. -
9 9 9 9
解析：
1 1 1
因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ= ，而cosαsinβ= ，因此sinαcosβ= ，
3 6 2
2
则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= ，
3
2
所以cos(2α+2β)=cos2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×
3
2 1
= .
9
3 1
【典例3】(2023·全国·模拟预测)已知cos(α+β)= ,sinαsinβ= ，则cos(2α-2β)= ( )
5 5
23 23
A. 1 B. -1 C. - D.
25 25
解析：
3 1
因为cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= ，且sinαsinβ= ，
5 5
4
所以cosαcosβ= ，可得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=1，
5
所以cos(2α-2β)=cos2(α-β)=2cos2(α-β)-1=1.
故选：A．
【典例4】(2023·全国·模拟预测)若sinα+β +cosα+β =2sinα-cosα
2
sinβ= ，则sin2α-2β
3
=
( )
7 1 1 7
A. B. C. - D. -
9 9 9 9
解析：
由已知得sinα+β +cosα+β
2
= ，sinα-cosα
3
1
sinβ= ，
3
sinα+β +cosα+β
π
= 2sinα+β+
4
π
= 2sinα+
4
π
cosβ+ 2cosα+
4
2
⋅sinβ=
3
π
因为 2cosα+
4
sinβ=cosα-sinα
1
sinβ=- ，
3
π
所以sinα+
4
2 π
cosβ= ，cosα+
2 4
2
sinβ=- ，
6
π
则sinα-β+
4
π
=sinα+
4
π
cosβ-cosα+
4
2 2
sinβ= ，
3
所以sin2α-2β
π
=2sin2α-β+
4
2 2
-1=2×
3
2 7
-1= .
9
故选：A.
【典例5】(2023·石室中学校考一模)已知2sinα-sinβ= 3，2cosα-cosβ=1，则cos2α-2β = ( )
1 15 1 7
A. - B. C. D. -
8 4 4 8
解析：
因为2sinα-sinβ= 3，2cosα-cosβ=1，
所以平方得，2sinα-sinβ 2=3，2cosα-cosβ 2=1，
即4sin2α-4sinαsinβ+sin2β=3，4cos2α-4cosαcosβ+cos2β=1，
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专心 专注 专业
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两式相加可得4-4sinαsinβ-4cosαcosβ+1=4，
1
即cosαcosβ+sinαsinβ= ，
4
故cosα-β
~ ~
~ ~
1
= ，
4
cos2α-2β =2cos2 α-β
1 7
-1=2× -1=- .
16 8
故选：D.
技巧3 三倍角公式的应用及解题技巧
在三角函数或解三角形的一些问题中,会出现三倍角,解决起来需要把三倍角转化成一倍角与二倍角
的和，化简起来会多些步骤，而知道三倍角公式,我们可以更快的得出结果
知识在线
sin3α=3sinα-4sin3α 3tanα-tan3α π
tan3α= =tanαtan -α
cos3α=-3cosα+4cos3α 1-3tan2α 3
π
tan +α
3
【典例1】已知在 △ABC 中, 角 A、B、C 的对边依次为 a、b、c,a=6,4sinB=5sinC, A=2C, 求 b、c
边长。
解析：
B=π-A+C =π-3C
4sinB=5sinC
⇒4sinπ-3C =4sin3C=5sinC
⇒43sinC-4sin3C =5sinC
⇒43-4sin2C =5
⇒12-16sin2C=5⇒sinC= 7 ⇒cosC=3
4 4
∵ a = c ,A=2C
sinA sinC
⇒ a = c ⇒c= a =4
2sinCcosC sinC 2cosC
4sinB=5sinC⇒4b=5c⇒b=5
c 1
【典例2】已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 若 A=2B, 且 A 为锐角, 则 +
b cosA
的最小值为 ( )
A. 2 2+1 B. 3 C. 2 2+2 D. 4
解析：
∵A=2B, ∴sinC=sin3B =3sinB-4sin3B
c 3sinB-4sin3B
∴ = =3-4sin2B
b sinB
=2cosA+1
∵A 为锐角 ∴cosA>0, 则
c 1 1
+ =2cosA+ +1≥2 2+1
b cosA cosA
1 2 c 1
当且仅当 2cosA= , 即 cosA= 时, 等号成立, ∴ + 的最小值为 2 2+1.
cosA 2 b cosA
技巧4 半角公式的应用及解题技巧
半角公式是三角函数的一个重要知识点，也是高考重要考点，我们需要知道什么是半角公式及半角公
式的考查形式
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专业 专注 专心
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知识在线
α 1-cosα α 1+cosα
sin =± cos =± ，
2 2 2 2
α 1-cosα sinα 1-cosα
tan =± = = .
2 1+cosα 1+cosα sinα
~ ~
1+ 5 α
【典例1】(2023·全国·统考高考真题)已知α为锐角，cosα= ，则sin =( )．
4 2
3- 5 -1+ 5 3- 5 -1+ 5
A. B. C. D.
8 8 4 4
~ ~
解析：
α 1+ 5
因为cosα=1-2sin2 = ，而α为锐角，
2 4
α 1-cosα 3- 5 5-1
所以sin = = =
2 2 8
2 5-1
= ．
16 4
1 θ
【典例2】(2021·黑龙江实验中学校考模拟预测)已知cos(π+θ)= ，若θ是第二象限角，则tan =
3 2
( )
2
A. 2 2 B. 2 C. - 2 D.
2
解析：
1 1
因为cos(π+θ)= ，所以cosθ=- ，
3 3
2 2
又θ是第二象限角，所以sinθ= ，
3
θ 1-cosθ
所以tan = = 2.
2 sinθ
故选：B．
1 α π
【典例3】(2023·全国·模拟预测)已知α是锐角，cosα= ，则cos +
3 2 6
= ( )
1 6 1 6 3 2 2 3
A. - B. + C. - D. -
2 6 2 6 6 3 2 6
解析：
α π
因为α是锐角，所以0< < ，
2 4
1-1 1+1
因为sin2 α = 1-cosα = 3 = 1 ，cos2 α = 1+cosα = 3 = 2 ，
2 2 2 3 2 2 2 3
α 3 α 6
所以sin = ，cos = ，
2 3 2 3
α π
所以cos +
2 6
α π α π 6 3 3 1 2 3
=cos cos -sin sin = × - × = - ．
2 6 2 6 3 2 3 2 2 6
故选：D．
技巧5 万能公式的应用及解题技巧
理论上上所有公式都是万能公式。但是真正提起万能公式的时候，是指三角函数中的正切半角公式，
或称以切表弦公式 。这组公式可以将角的正弦、余弦、正切这几个三角函数统一用半角的正切值来表示，
实现化简的目的。
知识在线
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专心 专注 专业
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2tanx 1-tan2x 2tanx
2 2 2
sinx= cosx= tanx=
1+tan2x 1+tan2x 1-tan2x
2 2 2
~ ~
C A 2 6
【典例1】在 △ABC 中, tan =3tan , 则 + 的最小值为
2 2 sinA sinC
A. 4 B. 2 5 C. 4 5 D. 16
~ ~
解析：
2 6
+
sinA sinC
2 6
= +
2tanA 2tanC
2 2
1+tan2A 1+tan2C
2 2
1+tan2A 31+tan2C
2 2
= +
tanA
2
tanC
2
1 A 3 C
= +tan + +3tan
tanA 2 tanC 2
2 2
1 A 3 A
= +tan + +3⋅3tan
tanA 2 3tanA 2
2 2
A 2
=10tan +
2 tanA
2
≥2 20=4 5.
最小值为4 5.
【典例2】(2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测)已知△ABC内角分别为A,B,C，且满足
B A-C 5 9
cos +2sin =0，则 + 的最小值为 .
2 2 sinA sinC
解析：
π A+C
由题设cos -
2 2
A-C A+C A-C
+2sin =sin +2sin =0，
2 2 2
A C A C A C A C
所以sin cos +cos sin +2sin cos -cos sin
2 2 2 2 2 2 2 2
=0，
A C A C A C π
所以3sin cos =cos sin ， , ∈0,
2 2 2 2 2 2 2
A C
即3tan =tan >0，
2 2
2tanA 2tanC
又sinA= 2 ，sinC= 2 ，
1+tan2A 1+tan2C
2 2
51+tan2A
5 9 2
+ =
sinA sinC
91+tan2C
2
+
2tanA
2
4+16tan2A
2 4 A
= = +16tan ≥
2tanC tanA tanA 2
2 2 2
4 A
2 ⋅16tan =16，
tanA 2
2
4 A A 1
当且仅当 =16tan ⇒tan = 时取等号，
tanA 2 2 2
2
5 9
所以 + 的最小值为16.
sinA sinC
故答案为：16
技巧6 正余弦平方差公式的应用及解题技巧
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专业 专注 专心
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正余弦平方差公式是数学中一个重要的公式，它涉及到三角函数和代数运算，具有广泛的应用，需强加
练习
知识在线
正弦平方差公式: sin2A-sin2B=sinA+B
~ ~
~ ~
sinA-B
余弦平方差公式: cos2A-sin2B=cosA+B cosA-B
1 1
【典例1】已知 sinα= ,sinβ= , 则 sinα+β
2 3
sinα-β =
解析：
由已知可得 sinα+β sinα-β
1
=sin2α-sin2β=
2
2 1
-
3
2 5
= .
36
专题七 平面向量解题技巧
技巧1 “爪子定理”的应用及解题技巧
“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握
知识在线
形如AD=xAB+yAC条件的应用(“爪子定理”)
“爪”字型图及性质：
(1)已知AB,AC为不共线的两个向量，则对于向量AD，必存在x,y， 使得AD=
xAB+yAC。则B,C,D三点共线⇔x+y=1
当0<x+y<1，则D与A位于BC同侧，且D位于A与BC之间
当x+y>1，则D与A位于BC两侧
x+y=1时，当x>0,y>0，则D在线段BC上；当xy<0，则D在线段BC 延
长线上
(2)已知D在线段BC上，且BD :CD
n
=m:n，则AD= AB+
m+n
m
AC
m+n
【典例1】(全国·高考真题)设D为△ABC所在平面内一点，且BC=3CD，则 ( )
1 4 1 4
A. AD=- AB+ AC B. AD= AB- AC
3 3 3 3
4 1 4 1
C. AD= AB+ AC D. AD= AB- AC
3 3 3 3
解析：
1 3 1 4
解析：由图可想到“爪字形图得：AC= AB+ AD，解得：AD=- AB+ AC
4 4 3 3
【答案】：A
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专心 专注 专业
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【典例2】(2023江苏模拟)如图，在△ABC中，AN = NC，P是BN上的一点，若AP=mAB+ AC，则
3 11
实数m的值为 ( )
9 5 3 2
A. B. C. D.
11 11 11 11
~ ~
解析：
观察到B,P,N三点共线，利用“爪”字型图，可得
1 1
AP=mAB+nAN，且m+n=1，由AN = NC可得AN = AC，
3 4
1 2 1 2 8 3
所以AP=mAB+ nAC，由已知AP=mAB+ AC可得： n= ⇒n= ，所以m=
4 11 4 11 11 11
【答案】：C
【典例3】(2022·全国·统考高考真题)在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，CD=n，
则CB= ( )
A. 3m-2n B. -2m+3n C. 3m+2n D. 2m+3n
解析：
因为点D在边AB上，BD=2DA，所以BD=2DA，即CD-CB=2CA-CD ，
所以CB=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n．
故选：B．
【典例4】(2020·新高考全国1卷·统考高考真题)已知平行四边形ABCD，点E，F分别是AB，BC的中点
(如图所示)，设AB=a，AD=b，则EF等于 ( )
1
A. a+b
2
1
B. a-b
2
1
C. b-a
2
1
D. a+b
2
解析：
连结AC，则AC为△ABC的中位线，
1 1 1
∴EF= AC= a+ b，
2 2 2
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专业 专注 专心
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故选：A
~ ~
【典例5】(全国·高考真题)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=
3 1 1 3 3 1 1 3
A. AB- AC B. AB- AC C. AB+ AC D. AB+ AC
4 4 4 4 4 4 4 4
~ ~
解析：
根据向量的运算法则，可得
1 1 1 1 1 1
BE= BA+ BD= BA+ BC= BA+ BA+AC
2 2 2 4 2 4
1 1 1 3
= BA+ BA+ AC= BA+
2 4 4 4
1
AC，
4
3 1
所以EB= AB- AC，故选A.
4 4
1 2
【典例6】(江苏·高考真题)设D、E分别是ΔABC的边AB，BC上的点，AD= AB，BE= BC. 若DE
2 3
=λAB+λ AC(λ,λ 为实数)，则λ +λ 的值是
1 2 1 2 1 2
解析：
1 2 1 2 1 2
依题意，DE=DB+BE= AB+ BC= AB+ (AC-AB)=- AB+ AC，
2 3 2 3 6 3
1 2 1 2 1 2 1
∴- AB+ AC=λAB+λ AC，∴λ =- ，λ = ，故λ +λ =- + = .
6 3 1 2 1 6 2 3 1 2 6 3 2
技巧2 系数和(等和线)的应用及解题技巧
近年，高考、模考中有关“系数和(等和线)定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要
通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与
等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思
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专心 专注 专业
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想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用
知识在线
如图，P为ΔAOB所在平面上一点，过O作直线l⎳AB，由平面向量基本定理知：
存在x,y∈R，使得OP=xOA+yOB
下面根据点P的位置分几种情况来考虑系数和x+y的值
①若P∈l时，则射线OP与l无交点，由l⎳AB知，存在实数λ，使得OP=λAB
而AB=OB-OA，所以OP=λOB-λOA，于是x+y=λ-λ=0
②若P∉l时，
(i)如图1，当P在l右侧时，过P作CD⎳AB，交射线OA，OB于C,D两点，则
ΔOCD∼ΔOAB，不妨设ΔOCD与ΔOAB的相似比为k
由P,C，D三点共线可知：存在λ∈R使得：
OP=λOC+(1-λ)OD=kλOA+k(1-λ)OB
所以x+y=kλ+k(1-λ)=k
(ii)当P在l左侧时，射线OP的反向延长线与AB有交点，如图1作P关于O的对称点P，由(i)的分
析知：存在存在λ∈R使得：
OP=λOC+(1-λ)OD=kλOA+(1-λ)OB
所以OP=-kλOA+-(1-λ)OB
于是x+y=-kλ+-k(1-λ)=-k
综合上面的讨论可知：图中OP用OA,OB线性表示时，其系数和x+y只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为
三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过O作AB边的垂线l，设点P
|OP|
在l上的射影为P，直线l交直线AB于点P，则|k|= (k的符号由点P的位置确定)，因此只需求出
1
|OP|
1
|OP|的范围便知x+y的范围
~ ~
【典例1】(全国·高考真题)在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆
上．若AP=λ AB+μAD，则λ+μ的最大值为
A. 3 B. 2 2 C. 5 D. 2
~ ~
解析：
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由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l与圆相切时，λ+μ最大，此时
AF AB+BE+EF 3AB
λ+μ= = = =3,
AB AB AB
故选 A.
~ ~
【典例2】(衡水中学二模)边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含短点)上
运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量AP=mAB+nAF(m,n∈R)，则m+n的取值范围是
( )
A. 1,2
~ ~
B. 5,6 C. 2,5 D. 3,5
解析：
AG 2AB
如图，设AP=mAB+nAF，由等和线结论，m+n= = =2.
AB AB
此为m+n的最小值；
AH
同理，设AP=mAB+nAF，由等和线结论，m+n= =5.此为m+n的最大值.
AB
综上可知m+n∈[2,5].
【典例3】已知△ABC为边长为2的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆上.若AP=λAB+μAC，则
2λ+μ的取值范围是
解析：
如图,取AB中点为D,
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AP=λAB+μAC=2λAD+μAC
显然,当P与C重合时,2λ+μ取最小值1.
将CD平行移动至与⊙O相切处,
P为切点时,2λ+μ取最大值.
1
延长PO交CD于G,易知OG=OF=FP= .
2
EF AP 5
由等和线及平行截割定理, =2, = .
FP AE 2
5
所以2λ+μ的最大值为 .
2
故2λ+μ的取值范围是 1, 5
2
~ ~
~ ~
.
【典例4】在矩形ABCD中，AB=1,AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若AP=λAB+
μAD，则λ+μ的最大值为 ( )
A3 B2 2 C 5 D2
解析：
如图所示：
过A作BD的垂线，垂足为H，则AH=CE=CF=r，
3r
当E,C，P三点共线时，高线最长，即(λ+μ) = =3
max r
【典例5】如图，正六边形ABCDEF，P是ΔCDE内(包括边界)的动
点，设AP=αAB+βAF(α,β∈R)，则α+β的取值范围是
解析：
连接BF,AD因为正六边形ABCDEF，由对称性知道
BF⊥AD，AD⊥EC，设BF与AD交于点G，CE与AD交于点H，
当P在CE上时，AP在AD上射影最小为AH；
当P与D重合时，AP在AD上射影最大为AD；
|AH| |AD|
则 ≤α+β≤
|AG| |AG|
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x
设|AB|=x，则|AG|=|HD|= ，|GH|=|BC|=x，|AD|=2x，
2
则3≤α+β≤4
~ ~
【典例6】如图在直角梯形ABCD中，AB⎳CD，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以C为圆心，
且与直线BD相切的圆内运动，设AP=αAD+βAB(α,β∈R)
则α+β的取值范围是
~ ~
解析：
设圆C与直线BD相切于点E，过A作AG⊥BD于G，
作直线l⎳DB，且直线l与圆C相切与F，连EF，则EF过圆心，且EF⊥BD，
由图可知，对圆C内任意一点P
AP在直线AG上的射影长度d满足：|AG|<d<|AG|+|EF|，
|AD|⋅|AB| 3 2
又|AG|= = ，|EF|=2|EC|=2|CD|sin∠ABD=
|DB| 10 10
3 5
所以 <d<
10 10
d
而α+β= ，
AG
5
所以1<α+β<
3
【典例7】若点C在以P为圆心,6为半径的弧AB上,且PC=xPA+yPB,则2x+3y的取值范围为
解析：
令PC=(2x+3y)PD,
x y
则PD= PA+ PB,
2x+3y 2x+3y
2x 3y
即PD= PA + PB,
2x+3y 1 2x+3y 1
1 1
其中PA = PA,PB = PB.
1 2 1 3
2x 3y
由 + =1知点D在线段AB 上,如下图:
2x+3y 2x+3y 1 1
由于在△PA 1 B 1 中,PA 1 =3,PB 1 =2,∠APB =120°, 1 1
且点D在线段AB 上(含端点A,B 1 1 1 1 ,
因此|PH|≤|PD|≤PA 1 ,其中PH是边AB 上的高. 1 1
AB2=PB -PA
1 1 1 1
2=PB2+PA2-2PB ⋅PA =19
1 1 1 1
可得A 1 B 1 = 19.
1
S △PA1B1 = 2 PA 1 ⋅PB 1
1
⋅sin∠A 1 PB 1 = 2 A 1 B 1 ⋅|PH|
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3 57
可得|PH|= .
19
3 57
所以, ≤|PD|≤3.
19
再由PC=(2x+3y)PD
可知2x+3y= |P C | = 6 ∈ 2, 2 57
|PD| |PD| 3
~ ~
~ ~
.
【典例8】(2023·浙江·高三专题练习)如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD
1
=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为 ，且点P在图中阴影部分(包括边界)运动．若AP
2
=xAB+yAC，其中x，y∈R，则4x-y的取值范围是 ( )
A. 2， 3+ 3 2
4
B. 2， 3+ 5
2
C. 3- 2 ， 3+ 5
4 2
D. 3- 17 ， 3+ 17
2 2
解析：
以A点为坐标原点，AB,AD 方向为x,y轴正方向建立直角坐标系，
则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1)，
A B =(2,0),B C =(-1,1)，设P(m,n)，则 m=2x-y ，解得 x=m 2 +n ，
n=y y=n
故z=4x-y=2m+n，即n=-2m+z，
1
数形结合可得当P ,1
2
时，z取最小值2，
1 |3-z| 1 5
当直线与圆(x-1)2+(y-1)2= 相切时， = ，z取得最大值3+ .
4 5 2 2
故选：B
技巧3 极化恒等式的应用及解题技巧
利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量
的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几
何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移
转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。
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(a+b)2-(a-b)2
极化恒等式a⋅b=
4
恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的
1
，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
4
如图在平行四边形 ABCD 中, AB=a,AD=b
(AB+AD)2-(AB-AD)2
则 a⋅b=
4
在上述图形中设平行四边形 ABCD 对角线交于 M 点, 则对于三角形来说:
(AB+AD)2-(AB-AD)2 |DB|2
a⋅b= =|AM|2-
4 4
~ ~
【典例1】(2023·全国·统考高考真题)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC⋅ED= ( )
A. 5 B. 3 C. 2 5 D. 5
~ ~
解析：
设CD中点为O点，由极化恒等式可得：EC⋅ED=EO
1
2- DC
4
2=3
故选：B.
【典例2】(江苏·高考真题)如图，在ΔABC中，D是BC的中点，E,F是A,D上的两个三等分点，BA⋅CA
=4，BF⋅CF=-1 ，则BE⋅CE 的值是 .
解析：
极化恒等式
BA⋅CA=AB⋅AC=AD
2-BD
2=4,BF⋅CF=FB⋅FC=FD
2-BD 2=-1
BE⋅CE=EB⋅EC=ED
2-BD 2
3 1
因为E、F是AD上的两个三等分点,所以|AD|= |ED|,|FD|= |ED|
2 2
5 13
联立解得:|ED|2= ,|BD|2=
2 8
7
所以BE⋅CE=
8
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~ ~
【典例3】(2022·北京·统考高考真题)在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°．P为△ABC所在平面内
的动点，且PC=1，则PA⋅PB的取值范围是 ( )
A. [-5,3] B. [-3,5] C. [-6,4] D. [-4,6]
~ ~
解析：
5
记AB的中点为M，连接CM，则CM=
2
由极化恒等式可得：
PA⋅PB=PM
2-1 AB
4
2=PM 2-25
4
∵PM =CM
max
+1=7,∴PA⋅PB=PM
2
2-25=6
4
∵PM =CM
max
-1=3,∴PA⋅PB=PM
2
2-25=-4
4
即PA⋅PB∈-4,6
故选：D
技巧4 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧
平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难度
一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很多重要的应用，比如系数和(等和线)、极化
恒等式、本技法我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融合到一
起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。
奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的logo相
似而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。
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2.1.奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，则有S ⋅OA+S ⋅OB+S ⋅OC=0.
△PBC △PAC △PAB
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
2.2.奔驰定理的证明
如图：延长OA与BC边相交于点D
BD S S S -S S
则 = △ABD = △BOD = △ABD △BOD = △AOB
DC S S S -S S
△ACD △COD ACD △COD △AOC
DC BD
OD= OB+ OC
BC BC
S S
= △AOC OB+ △AOB OC
S +S S +S
△AOC △AOB △AOC △AOB
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OD S S S +S S
∵ = BOD = COD = BOD COD = △BOC
OA S S S +S S +S
BOA COA BOA COA △AOC △AOB
S
∴ OD=- △BOC OA
S +S
△AOC △AOB
S S S
∴- △BOC OA= △AOC OB+ △AOB OC
S +S S +S S +S
△AOC △AOB △AOC △AOB △AOC △AOB
∴S ⋅OA+S ⋅OB+S ⋅OC=0
△BOC △AOC △AOB
2.3.奔驰定理的推论及四心问题
推论O是△ABC内的一点,且x⋅OA+y⋅OB+z⋅OC=0,则S :S :S =x:y:z
△BOC △COA △AOB
有此定理可得三角形四心向量式
(1)三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的
距离之比为2：1.
(2)三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
(3)三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的
内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
(4)三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆
心，它到三角形三个顶点的距离相等.
奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有
着决定性的基石作用.
已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：
①若O为△ABC的重心，则OA+OB+OC=0；
②若O为△ABC的外心，则sin2A⋅OA+sin2B⋅OB+sin2C⋅OC=0；或 OA=
~ ~
~ ~
OB=
OC
③若O为△ABC的内心，则a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0；备注：若O为△ABC的内心，则sinA⋅OA+
sinB⋅OB+sinC⋅OC=0也对.
④若O为△ABC的垂心，则tanA⋅OA+tanB⋅OB+tanC⋅OC=0，或OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅
OA
【典例1】(宁夏·高考真题)已知O，N，P在ΔABC所在平面内，且OA
=OB
=OC
,NA+NB+NC=
0，且PA•PB=PB•PC=PC•PA，则点O，N，P依次是ΔABC的
(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心)
A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心
解析：
因为OA
=OB
=OC ，所以O到定点A,B,C的距离相等，
所以O为ΔABC的外心，由NA+NB+NC=0，
则NA+NB=-NC，取AB的中点E，则NA+NB=-2NE=CN，所以2NE
=CN ，
所以N是ΔABC的重心；
由PA•PB=PB•PC=PC•PA，得(PA-PC)⋅PB=0，即AC⋅PB=0，
所以AC⊥PB，同理AB⊥PC，所以点P为ΔABC的垂心，故选C.
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【典例2】(江苏·高考真题)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA
AB AC
+λ +
|AB| |AC|
~ ~
，λ∈[0,+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的 ( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解析：
AB AC
∵OP-OA=AP，∴AP=λ +
|AB| |AC|
AB AC
令 + =AM，
|AB| |AC|
AB AC
则AM 是以A为始点，向量 与 为邻边的菱形的对角线对应的向量，
|AB| |AC|
即AM 在∠BAC的平分线上，
∵AP=λAM，∴AP,AM 共线，
故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，
故选：B
【典例3】(2023春·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末)若O是△ABC内一点，OA+OB+OC =
0，则O是△ABC的 ( )
A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心
解析：
取线段AB的中点D，连接OD，则OA+OB=2OD，而OA+OB+OC=0，
因此CO=2OD，即C,O,D三点共线，线段CD是△ABC的中线，且O是靠近中点D的三等分点，
所以O是△ABC的重心.
故选：D
【典例4】(2023·全国·高三专题练习)奔驰定理：已知点O是△ABC内的一点，若△BOC,△AOC,△AOB
的面积分别记为S,S ,S ，则S ⋅OA+S ⋅OB+S ⋅OC=0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美
1 2 3 1 2 3
的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，
已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=0，则cosC= ( )
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3 10 10 2 5 5
A. B. C. D.
10 10 5 5
~ ~
解析：
延长CO交AB于点P，
∵O是△ABC的垂心，∴OP⊥AB，
1
∴S:S = ⋅OC⋅BP
1 2 2
1
: ⋅OC⋅AP
2
=BP:AP=(OPtan∠POB):(OPtan∠POA) =tan∠COB:tan∠COA=tan(π-A):tan(π-B)=
tanA:tanB．
同理可得S:S =tanA:tanC，∴S:S :S =tanA:tanB:tanC．
1 3 1 2 3
又S ⋅OA+S ⋅OB+S ⋅OC=0，
1 2 3
∴tanA⋅OA+tanB⋅OB+tanC⋅OC=0．
又OA+2OB+3OC=0，
∴tanA:tanB:tanC=1:2:3．
不妨设tanA=k,tanB=2k,tanC=3k，其中k≠0．
tanB+tanC
∵tanA=-tan(B+C)=- ，
1-tanBtanC
2k+3k
∴k=- ，解得k=±1．
1-2k⋅3k
当k=-1时，此时tanA<0,tanB<0,tanC<0，
则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．
故k=1，则tanC=3>0，故C为锐角，
sinC =3 10
∴ cosC ，解得cosC= ，
sin2C+cos2C=1 10
故选：B．
【典例5】(2023春·湖南株洲·高三炎陵县第一中学校联考期末)(多选)如图.P为△ABC内任意一点，角
A,B,C的对边分别为a,b,c，总有优美等式S PA+S PB+S PC=0成立，因该图形酯似奔
△PBC △PAC △PAB
驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有 ( )
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A. 若P是△ABC的重心，则有PA+PB+PC=0
B. 若aPA+bPB+cPC=0成立，则P是△ABC的内心
2 1
C. 若AP= AB+ AC，则S :S =2:5
5 5 △ABP △ABC
π
D. 若P是△ABC的外心，A= ，PA=mPB+nPC，则m+n∈- 2,1
4
~ ~
解析：
对于A：如图所示：因为D、E、F分别为CA、AB、BC的中点，
1 2 1
所以CP=2PE，S = S ,S = S = S ，
△AEC 2 △ABC △APC 3 △AEC 3 △ABC
1 1
同理可得S = S 、S = S ，
△APB 3 △ABC △BPC 3 △ABC
所以S =S =S ，
△PBC △PAC △PAB
又因为S PA+S PB+S PC=0，
△PBC △PAC △PAB
所以PA+PB+PC=0.正确；
1 1 1
对于B：记点P到AB、BC、CA的距离分别为h 、h 、h ，S = a⋅h ,S = b⋅h ,S = c⋅
1 2 3 △PBC 2 2 △PAC 2 3 △PAB 2
h ，
1
因为S PA+S PB+S PC=0，
△PBC △PAC △PAB
1 1 1
则 a⋅h ⋅PA+ b⋅h ⋅PB+ c⋅h ⋅PC=0，
2 2 2 3 2 1
即a⋅h PA+b⋅h PB+c⋅hPC=0，
2 3 1
又因为aPA+bPB+cPC=0，所以h =h =h ，所以点P是△ABC的内心，正确；
1 2 3
2 1
对于C：因为AP= AB+ AC，
5 5
2 1 3 1
所以PA=- AB- AC，所以PB=PA+AB= AB- AC，
5 5 5 5
2 4
所以PC=PA+AC=- AB+ AC，
5 5
2 1
所以S - AB- AC
△PBC 5 5
3 1
+S AB- AC
△PAC 5 5
2 4
+S - AB+ AC
△PAB 5 5
=0，
2 3 2
化简得：- S + S - S
5 △PBC 5 △PAC 5 △PAB
1 1 4
AB+- S - S + S
5 △PBC 5 △PAC 5 △PAB
AC=0，
又因为AB、AC不共线，
所以 -
-
2 5
1
S
S
△PBC +
-
3 5
1
S
S
△PAC -
+
2 5
4
S
S
△PAB =
=
0
0
，所以
S
S △PBC
=
=
2
2
S
S △PAB，
5 △PBC 5 △PAC 5 △PAB △PAC △PAB
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S S 1
所以 △ABP = △PAB = ，错误；
S S +S +S 5
△ABC △PBC △PAC △PAB
π π
对于D：因为P是△ABC的外心，A= ，所以∠BPC= ,PA
4 2
~ ~
~ ~
=PB
=PC ，
所以PB⋅PC=PB
×PC ×cos∠BPC=0，
因为PA=mPB+nPC，则PA
2=m2PB
2+2mnPB⋅PC+n2PC 2，
化简得：m2+n2=1，由题意知m、n同时为负，
记 m=cosα ，π<α< 3π ，则m+n=cosα+sinα= 2sinα+ π
n=sinα 2 4
，
5π π 7π π
因为 <α+ < ，所以-1≤sinα+
4 4 4 4
2
<- ，
2
π
所以-2≤ 2sinα+
4
<-1，
所以m+n∈- 2,-1 ，错误.
故答案为：AB.
技巧5 范围与最值的应用及解题技巧
平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识
点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。
基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的
等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。本讲内容难度较大，需要综合
学习。
【典例6】(四川·高考真题)在平面内，定点A，B，C，D满足DA
=DB
=DC
,DA⋅DB=DB⋅DC =
DC⋅DA=-2，动点P，M满足AP
=1，PM =MC，则BM 2的最大值是
43 49 37+6 3 37+2 33
A. B. C. D.
4 4 4 4
解析：
由已知易得∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°, DA
=DB
=DC =2.
以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则A2 , 0 , B-1 , - 3 , C-1 , 3 .
设Px , y
, 由已知AP =1，得x-2 2+y2=1，
x-1 y+ 3
又PM =MC, ∴M ,
2 2
x+1 y+3 3
, ∴BM = ,
2 2
,
∴BM 2= x+1 2+y+3 3 2 ，
4
它表示圆x-2 2+y2=1上的点x ，y 与点-1 , -3 3
1
的距离的平方的 ，∴ BM
4
2 =
max
1
32+3 3
4
2+1
49
2= ，故选B.
4
【典例7】(2023·全国·高三专题练习)若平面向量a，b，c满足c
=1，a⋅c=1，b⋅c=3，a⋅b=2，则a，b
夹角的取值范围是 ( )
A. π , π
6 2
B. π ,π
6
C. π , π
3 2
D. π ,π
3
解析：
设OA=a，OB=b，OC=c，以O为原点，c方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
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专心 专注 专业
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~ ~
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~ ~
~ ~
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∵a⋅c=1>0，b⋅c=3>0，a⋅b=2>0，
∴a，b，c三者直接各自的夹角都为锐角，
∵c
~ ~
~ ~
=1，a⋅c=a
⋅c
cosa,c
=1，b⋅c=b
⋅c
cosb,c =3，
∴a
cosa,c
=1，b
cosb,c
=3，即a在c上的投影为1，b在c上的投影为3，
∴A1,m ，B3,n ，如图
∴a=1,m
，b=3,n
∴a⋅b=3+mn=2即mn=-1，且cosa,b
a⋅b
=
a
⋅b
2
=
1+m2⋅ 9+n2
则cos2 a,b
2
=
1+m2⋅ 9+n2
2 4 4
= = ，
9+n2+9m2+m2n2 10+n2+9m2
由基本不等式得n2+9m2≥2 n2⋅9m2=6mn =6，
∴cos2 a,b
1
≤ ，
4
∵a与b的夹角为锐角，
∴0<cosa,b
1
≤ ，
2
由余弦函数可得：a 与b 夹角的取值范围是 π , π
3 2
.
【典例8】(湖南·高考真题)已知a,b是单位向量，a∙b=0.若向量c满足c-a-b
=1,则c 的取值范围是
( )
A. 2-1，, 2+1 B. 2-1，, 2+2 C. 1，, 2+1 D. 1，, 2+2
解析：
因为c-a-b
=1，c-(a+b) =1，做出图形可知，
当且仅当c与(a+b)方向相反且c
-a+b
=1时，c 取到最大值；最大值为 2+1；
当且仅当c与(a+b)方向相同且a+b
-c
=1时，c 取到最小值；最小值为 2-1.
【典例9】(湖南·高考真题)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2，0)，则
PA+PB+PC 的最大值为
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
解析：
由题意，AC为直径，所以PA+PB+PC
=2PO+PB
≤4+PB ≤4+3=7 ,
当且仅当点B为(-1，0)时，PA+PB+PC 取得最大值7，故选B.
【典例10】(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a=OA，b=OB，c=OC，满足4OC ⋅AC =1-
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~ ~
~ ~
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OA
~ ~
2，4OB⋅CB=1-OC
2，则向量a-4b与c-2b所成夹角的最大值是 ( )
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
解析：
∵4OC⋅AC=4OC⋅OC-OA
=4OC
2-4OC⋅OA=1-OA 2，
即4c2-4a⋅c=1-a2，∴4c2-4a⋅c+a2=2c-a 2 =1；
∵4OB⋅CB=4OB⋅OB-OC
=4OB
2-4OB⋅OC=1-OC 2，
即4b2-4b⋅c=1-c2，∴4b2-4b⋅c+c2=2b-c 2 =1；
设向量a-4b与c-2b所成夹角为θ，
a-4b
∴cosθ=
⋅c-2b
a-4b
2
⋅ c-2b
a⋅c-2a⋅b-4b⋅c+8b2
=
2
a-4b
a⋅c-2a⋅b+1-c2+4b2
=
2
a-4b
=
2
1 a 2-1 4 +1-2a⋅b+4b2
a-4b
1 a -4b 4
=
2
2 +3 4
a-4b
a-4b
=
2
2 3
+
4
4 a-4b
≥
2
a-4b
2
2
3
⋅
4
4 a-4b
3
=
2 2
(当且仅当a-4b = 3时取等号)；
又θ∈0,π
π
，∴θ = . max 6
故选：A.
【典例11】(2022·浙江湖州·湖州市菱湖中学校考模拟预测)已知平面向量a，b，c满足a
=1，b
=2，a2
=a⋅b，2c2=b⋅c，则c-a 2 +c-b 2的最小值为 .
解析：
令OA=a，OB=b，OC=c，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F，
a与b的夹角为θ，连接CA、CB、CD、CO、EF.
由a
=1，b
1
=2，a2=a⋅b，得1=1×2×cosθ，cosθ= ，
2
因为θ∈0,π
π
，所以θ= ，在△OAB中，由余弦定理得AB
3
= 3.
又由2c 2=b ⋅c ，得c ⋅ c - b
2
=0，即OC⋅OC-OD =OC⋅DC=0，
所以点C的轨迹为以OD为直径的圆.
因为2 c-a 2 +c-b 2 =2 AC 2+BC 2
1 =2 EC+ AB
2
2 1 +EC- AB
2
2
=4CE
2+AB 2
=4CE
2+3≥4 EF 1 -
2
2 3 1 +3≥4 -
2 2
2 +3=7-2 3，
当且仅当点C、E、F共线，且点C在点E、F之间时，等号成立.
所以c-a 2 +c-b 2的最小值为 7 - 3.
2
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7
故答案为： - 3.
2
~ ~
【典例12】(2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测)在平面内，定点A,B,C,O，满足
OA=
~ ~
OB=
OC
=2，且OA+OB+OC=0，则AB
= ；平面内的动点P,M满足AP =1，
PM =MC，则|BM|2的最大值是 ．
解析：
因为 OA=
OB=
OC
=2，OA+OB+OC=0，
所以OA=-OB+OC
，两边平方得：OA2=-OB+OC
=OB2+2OB⋅OC+OC2，
即4=4+2OB⋅OC+4，解得：OB⋅OC=-2，
因为AB=OB-OA，
所以AB2=OB2+OA2-2OA⋅OB=4+4+4=12，
因为AB ≥0
所以AB =2 3；
可得到△ABC是等边三角形，且边长为2 3，
如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴建立平面直角坐标系，
C 3,3 ，B2 3,0 ，
因为AP =1，所以设Pcosθ,sinθ ，θ∈0,2π ，
3+cosθ 3+sinθ
由PM =MC可得：M是线段PC的中点，则M ,
2 2
，
则BM 3+cosθ 2= -2 3
2
2 3+sinθ +
2
2 37 3 3 3 = + sinθ- cosθ
4 2 2
π
=3sinθ-
3
37
+ ，
4
π
当sinθ-
3
=1时，BM
π
2=3sinθ-
3
37 49
+ 取得最大值，最大值为 .
4 4
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故答案为：2 3，
4
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