21级高三雅安市三诊数学（理）答案_2024年5月_01按日期_10号_2024届四川省雅安市高三下学期第三次诊断性考试_四川省雅安市2023-2024学年高三三诊数学（理）试题

雅安市高 2021 级第三次诊断性考试
数学（理科）参考答案
一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分）
AACDA ABCDD BB
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分)
4
13. 15 14. -1 15. 16. 14
29
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
17.（1）a  2，S  a 2
1 n n1
当n1时，a a 2，a 4,a 2a，
1 2 2 2 1
当n2时，S a 2, 两式相减得a 2a (n2)，
n1 n n1 n
，
，
数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
.··································································6分
（2）由（1）可知b 1log a 1n，记c  a b   1n  2n，
n 2 n n n n
∴T  221 322 423 (1n)2n，
n
2T  222 323 424 (1n)2n1，
n
两式相减得
 
22 12n1
T  422 23 2n (1n)2n1  4 (1n)2n1  n2n1.
n 12
∴T  n2n1.····························································12分
n
18．（1）补全的 列联表如下：
年龄段Ⅰ 年龄段Ⅱ 合计
使用频率高 150 110 260
使用频率低 250 290 540
合计 400 400 800
···································································3分
所以 ，
数学（理科）答案 1/6
{#{QQABaYSAogCgQoAAABgCQQlwCgAQkAAACIoOxBAAMAAACAFABCA=}#}所以有99%的把握认为跑腿服务的使用频率高低与年龄有关.······················6分
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在 ， 内的人数分
别为5，3，依题意， 的所有可能取值分别为为-2,0,2，
所以 ，
，
，
所以 的分布列为：
-2 0 2
P
所以 的数学期望为 .·················12分
19.（1）证明：因为 ， 为线段 的中点，
所以 ，·························································1分
在等腰梯形 中，作 于 ，则由 得 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 所以 ∽ ，所以
，
所以 ，所以 ，······································3分
因为 ， ，
所以 平面 ，···················································4分
因为 在平面 内，所以 ，··································5分
因为 ， 在平面 内，所以 平面 .·········6分
（2）解：因为 ， ，所以 ， ，
数学（理科）答案 2/6
{#{QQABaYSAogCgQoAAABgCQQlwCgAQkAAACIoOxBAAMAAACAFABCA=}#}取 的中点 ，连接 ，则 ，因为 平面 ，所以 ，
又 所以 平面 ，··································7分
所以如图，以 为原点，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，建立空
间直角坐标系，·························································8分
则 ，C(0,0,0)，
令平面PCD法向量
 3 1
CDm  x y  0 y  3x
 2 2 
   ，
3
 3 3 z   x
 CPm  x z  0  3
 2 2
取  ，
m 3，3，1
由（1）知 平面 ，则平面 的法向量 ，
mn 3 13
设二面角
APC D
所成平面角为 ，则cos  ，
m  n 13
3 13
所以二面角APC D的余弦值为 .································12分
13
20.（1）由已知得 ， .··········································1分
k y 2c 2c
设 ，则 MF 2  0   3， ．····················3分
k 2c y 2c
MF 0
1
所以椭圆 的方程为 ．·············································4分
（2）①当直线 的斜率为0时， 的方程： ，
不妨设 ， ， ，
数学（理科）答案 3/6
{#{QQABaYSAogCgQoAAABgCQQlwCgAQkAAACIoOxBAAMAAACAFABCA=}#}， ， ，
所以 ；·························································5分
②当直线 的斜率不为0时，如图，设 的方程： ， ， ．
由 ，得 ．
则 ， .·······································7分
,······························10分
又 ，所以 ．···············································11分
综上， ．所以 ， ， 成等差数列.····························12分
 
21.（1）当a=1时， f(x)  ex  xcosx,x

0,

，
 2
f (x)  ex   cosx xsinx   ex cosx xsinx，
 
∵x 0, ，∴ex  e0 1，∴ex cosx0，∵xsinx0， f(x)0，
 
 2
   
∴ f(x)在 0, 上单调递增，∴ f(x)  f(0) 1, f(x)  f( )  e2 ，
  2   min max 2
 
∴ f(x)的值域为1,e2. ··················································4分
 
（2）法一：令h(x)  f(x) g(x)，
 
①当a  0时，h(x)  ex sinxaxcosx1sinxaxcosx  0在x 0, 上恒
 
 2
成立.····································································6分
②当0 a 1时，
数学（理科）答案 4/6
{#{QQABaYSAogCgQoAAABgCQQlwCgAQkAAACIoOxBAAMAAACAFABCA=}#}h(x)ex cosxaxsinxacosxex axsinx(1a)cosx(1a)cosx0，
 
∴h(x)在

0,

上单调递增，∴h(x) h(0)  0成立.·························8分
 2
③当a  2时，m(x)  h(x)  ex cosxaxsinxacosx，
m(x)  ex （a1）sinxa  sinx xcosx   0，
   
∴m(x)在x 0, 上单调递增，即h(x)在x 0, 上单调递增，
   
 2  2
  
∴h(0)  2a  0,h( )  e2  a  0,
2 2
 
∴存在x 0, 使得当x  0,x  时h(x ) 0,故h(x)在x  0,x  上单调递减，
0  2 0 0 0
则h(x ) h(0)  0,不合题意.·············································10分
0
④当1 a  2时，令m(x)  h(x)  ex cosxaxsinxacosx，
则m(x)  ex （a1）sinxa  sinx xcosx   0，
   
∴m(x)在x 0, 上单调递增，即h(x)在x 0, 上单调递增，
   
 2  2
 
∴h(x) h(0)  2a  0，即h(x)在

0,

上单调递增，h(x) h(0)  0成立.
 2
综上，a的取值范围是  ，2  .············································12分
法二：令 ，
，
令 0  11a0得a2.
①当 时， ，
令 ，
，
在 上单调递增， 恒成立.································10分
数学（理科）答案 5/6
{#{QQABaYSAogCgQoAAABgCQQlwCgAQkAAACIoOxBAAMAAACAFABCA=}#}②当 时， ， ，
，使  x  0,这与  x  0恒成立矛盾.
0
综上， .······························································12分
22.（1）曲线 是以 为圆心的半圆，
所以半圆的极坐标方程为 ，
曲线 以 为圆心的圆，转换为极坐标方程为 .
故半圆 ，圆 的极坐标方程分别为： ， 5分
（2）由（1）得： .
点 到直线 的距离 .
所以 ，
其中 ，当 时， 的面积的最大值为4.···········10分
23.（1）当 时，不等式为 ，
当 时， 可以化为 ，解得 ；
当 时， 可以化为 ，得 ；
当 时， 可以化为 ，解得 ，不等式不成立；
综上,可得不等式 的解集为 ·································5分
（2）当 时，
当 时等号成立，由 可得 （舍）或 ，故 ,
由柯西不等式可得
，即得
当且仅当 时，即 时取等号．·····························10分
数学（理科）答案 6/6
{#{QQABaYSAogCgQoAAABgCQQlwCgAQkAAACIoOxBAAMAAACAFABCA=}#}