21级高三雅安市三诊数学（理）答案_2024年5月_01按日期_10号_2024届四川省雅安市高三下学期第三次诊断性考试_四川省雅安市2023-2024学年高三三诊数学（理）试题

雅安市高 2021 级第三次诊断性考试 数学（理科）参考答案 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） AACDA ABCDD BB 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分) 4 13. 15 14. -1 15. 16. 14 29 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17.（1）a  2，S  a 2 1 n n1 当n1时，a a 2，a 4,a 2a， 1 2 2 2 1 当n2时，S a 2, 两式相减得a 2a (n2)， n1 n n1 n ， ， 数列 是以2为首项，2为公比的等比数列， .··································································6分 （2）由（1）可知b 1log a 1n，记c  a b   1n  2n， n 2 n n n n ∴T  221 322 423 (1n)2n， n 2T  222 323 424 (1n)2n1， n 两式相减得   22 12n1 T  422 23 2n (1n)2n1  4 (1n)2n1  n2n1. n 12 ∴T  n2n1.····························································12分 n 18．（1）补全的 列联表如下： 年龄段Ⅰ 年龄段Ⅱ 合计 使用频率高 150 110 260 使用频率低 250 290 540 合计 400 400 800 ···································································3分 所以 ， 数学（理科）答案 1/6 {#{QQABaYSAogCgQoAAABgCQQlwCgAQkAAACIoOxBAAMAAACAFABCA=}#}所以有99%的把握认为跑腿服务的使用频率高低与年龄有关.······················6分 （2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在 ， 内的人数分 别为5，3，依题意， 的所有可能取值分别为为-2,0,2， 所以 ， ， ， 所以 的分布列为： -2 0 2 P 所以 的数学期望为 .·················12分 19.（1）证明：因为 ， 为线段 的中点， 所以 ，·························································1分 在等腰梯形 中，作 于 ，则由 得 ， 所以 ，所以 ， 因为 ，所以 所以 ∽ ，所以 ， 所以 ，所以 ，······································3分 因为 ， ， 所以 平面 ，···················································4分 因为 在平面 内，所以 ，··································5分 因为 ， 在平面 内，所以 平面 .·········6分 （2）解：因为 ， ，所以 ， ， 数学（理科）答案 2/6 {#{QQABaYSAogCgQoAAABgCQQlwCgAQkAAACIoOxBAAMAAACAFABCA=}#}取 的中点 ，连接 ，则 ，因为 平面 ，所以 ， 又 所以 平面 ，··································7分 所以如图，以 为原点，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，建立空 间直角坐标系，·························································8分 则 ，C(0,0,0)， 令平面PCD法向量  3 1 CDm  x y  0 y  3x  2 2     ， 3  3 3 z   x  CPm  x z  0  3  2 2 取  ， m 3，3，1 由（1）知 平面 ，则平面 的法向量 ， mn 3 13 设二面角 APC D 所成平面角为 ，则cos  ， m  n 13 3 13 所以二面角APC D的余弦值为 .································12分 13 20.（1）由已知得 ， .··········································1分 k y 2c 2c 设 ，则 MF 2  0   3， ．····················3分 k 2c y 2c MF 0 1 所以椭圆 的方程为 ．·············································4分 （2）①当直线 的斜率为0时， 的方程： ， 不妨设 ， ， ， 数学（理科）答案 3/6 {#{QQABaYSAogCgQoAAABgCQQlwCgAQkAAACIoOxBAAMAAACAFABCA=}#}， ， ， 所以 ；·························································5分 ②当直线 的斜率不为0时，如图，设 的方程： ， ， ． 由 ，得 ． 则 ， .·······································7分 ,······························10分 又 ，所以 ．···············································11分 综上， ．所以 ， ， 成等差数列.····························12分   21.（1）当a=1时， f(x)  ex  xcosx,x  0,  ，  2 f (x)  ex   cosx xsinx   ex cosx xsinx，   ∵x 0, ，∴ex  e0 1，∴ex cosx0，∵xsinx0， f(x)0，    2     ∴ f(x)在 0, 上单调递增，∴ f(x)  f(0) 1, f(x)  f( )  e2 ，   2   min max 2   ∴ f(x)的值域为1,e2. ··················································4分   （2）法一：令h(x)  f(x) g(x)，   ①当a  0时，h(x)  ex sinxaxcosx1sinxaxcosx  0在x 0, 上恒    2 成立.····································································6分 ②当0 a 1时， 数学（理科）答案 4/6 {#{QQABaYSAogCgQoAAABgCQQlwCgAQkAAACIoOxBAAMAAACAFABCA=}#}h(x)ex cosxaxsinxacosxex axsinx(1a)cosx(1a)cosx0，   ∴h(x)在  0,  上单调递增，∴h(x) h(0)  0成立.·························8分  2 ③当a  2时，m(x)  h(x)  ex cosxaxsinxacosx， m(x)  ex （a1）sinxa  sinx xcosx   0，     ∴m(x)在x 0, 上单调递增，即h(x)在x 0, 上单调递增，      2  2    ∴h(0)  2a  0,h( )  e2  a  0, 2 2   ∴存在x 0, 使得当x  0,x  时h(x ) 0,故h(x)在x  0,x  上单调递减， 0  2 0 0 0 则h(x ) h(0)  0,不合题意.·············································10分 0 ④当1 a  2时，令m(x)  h(x)  ex cosxaxsinxacosx， 则m(x)  ex （a1）sinxa  sinx xcosx   0，     ∴m(x)在x 0, 上单调递增，即h(x)在x 0, 上单调递增，      2  2   ∴h(x) h(0)  2a  0，即h(x)在  0,  上单调递增，h(x) h(0)  0成立.  2 综上，a的取值范围是  ，2  .············································12分 法二：令 ， ， 令 0  11a0得a2. ①当 时， ， 令 ， ， 在 上单调递增， 恒成立.································10分 数学（理科）答案 5/6 {#{QQABaYSAogCgQoAAABgCQQlwCgAQkAAACIoOxBAAMAAACAFABCA=}#}②当 时， ， ， ，使  x  0,这与  x  0恒成立矛盾. 0 综上， .······························································12分 22.（1）曲线 是以 为圆心的半圆， 所以半圆的极坐标方程为 ， 曲线 以 为圆心的圆，转换为极坐标方程为 . 故半圆 ，圆 的极坐标方程分别为： ， 5分 （2）由（1）得： . 点 到直线 的距离 . 所以 ， 其中 ，当 时， 的面积的最大值为4.···········10分 23.（1）当 时，不等式为 ， 当 时， 可以化为 ，解得 ； 当 时， 可以化为 ，得 ； 当 时， 可以化为 ，解得 ，不等式不成立； 综上,可得不等式 的解集为 ·································5分 （2）当 时， 当 时等号成立，由 可得 （舍）或 ，故 , 由柯西不等式可得 ，即得 当且仅当 时，即 时取等号．·····························10分 数学（理科）答案 6/6 {#{QQABaYSAogCgQoAAABgCQQlwCgAQkAAACIoOxBAAMAAACAFABCA=}#}