文档内容
第 1 讲 计数原理与概率
[考情分析] 1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选
择题、填空题为主.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、
不等式、数列交汇考查.3.概率重点考查古典概型、条件概率的基本应用．
考点一 排列与组合问题
核心提炼
解决排列、组合问题的一般过程
(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；
(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少
元素．
例1 (1)甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申请在国庆期间到 A，B，C三个路口协助交警值
勤，他们申请值勤路口的意向如下表：
交通路口 A B C
志愿者 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁
这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求 A，B，C三个路口都
要有志愿者值勤，则不同的安排方法有( )
A．14种 B．11种
C．8种 D．5种
(2)(2022·衡阳模拟)2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四
节气的方式开始倒计时，创意新颖，惊艳了全球观众，某中学为了弘扬我国二十四节气文化，
特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分
别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与
“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？( )A．192 B．240 C．120 D．288
规律方法 排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相
邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题
先整体后局部；(8)正难则反，等价转化．
跟踪演练1 (1)2021年1月18号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车
全球征名活动已经完成了初次评审．评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求
索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围．某同
学为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选3个名称依次进行分析，其中有1个是祝融，
其余2个从剩下的9个名称中随机选取，则祝融不是第3个被分析的情况有( )
A．144种 B．336种
C．672种 D．1 008种
(2)(2022·广东联考)现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、
首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则
甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
考点二 二项式定理
核心提炼
1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路
(1)利用通项公式将T 项写出并化简．
k＋1
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.
(3)代回通项公式即得所求．
2．对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类
讨论求解．
例2 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
(2)已知n的展开式中第四项的系数为120，所有奇数项的二项式系数之和为512，则实数a
的值为________，展开式中的常数项为________．
易错提醒 二项式(a＋b)n的通项公式T ＝Can－kbk (k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二项式
k＋1
的展开式的第k＋1项，而不是第k项；其中C是二项式展开式的第k＋1项的二项式系数，
而二项式的展开式的第k＋1项的系数是字母幂前的常数，要区分二项式系数与系数．
跟踪演练2 (1)(2022·淄博模拟)若(1－x)8＝a ＋a(1＋x)＋a(1＋x)2＋…＋a(1＋x)8，则a 等
0 1 2 8 6
于( )
A．－448 B．－112C．112 D．448
(2)(多选)已知(1－2x)2 023＝a＋ax＋ax2＋…＋a x2 023，则( )
0 1 2 2 023
A．展开式中各项系数和为1
B．展开式中所有项的二项式系数和为22 023
C．a＋a＋a＋…＋a ＝－2
1 2 3 2 023
D．a＋＋＋…＋＝0
0
考点三 概率
核心提炼
1．古典概型的概率公式
P(A)＝.
2．条件概率公式
设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，
则P(B|A)＝.
3．全概率公式
设A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A ＝Ω，且P(A)>0，i＝1,2，…，
1 2 n 1 2 n i
n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(A)P(B|A)．
i i
例3 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质
的概率为( )
A. B. C. D.
(2)(多选)(2022·临沂模拟)甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，
2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放
入乙箱中，分别以A，A，A 表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱
1 2 3
中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则( )
A．A，A，A 两两互斥
1 2 3
B．P(B|A)＝
2
C．P(B)＝
D．B与A 相互独立
1
(3)(2022·益阳调研)甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如框图所示，其中编号为 i
的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者
i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均
为，而乙、丙、丁之间相互比赛，每人胜负的可能性相同．则甲获得冠军的概率为( )A. B. C. D.
规律方法 求概率的方法与技巧
(1)古典概型用古典概型概率公式求解．
(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解．
(3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解．
跟踪演练3 (1)某市在文明城市建设中，鼓励市民“读书好，好读书，读好书”．在各阅览
室设立茶座，让人们在休闲中阅读有用有益图书．某阅览室为了提高阅读率，对于周末前来
阅读的前三名阅读者各赠送一本图书，阅读者从四种不同的书籍中随意挑选一本，则他们有
且仅有2名阅读者挑选同一种书的概率为( )
A. B. C. D.
(2)(多选)一次“智力测试”活动，在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其
中的8题，测试时从备选的10道题中随机抽出3题由甲、乙分别作答，至少答对2题者被
评为“智答能手”．设甲被评为“智答能手”为事件A，乙被评为“智答能手”为事件B，
若P(B|A)＝P(B)，则下列结论正确的是( )
A．P(A|B)＝P(A)
B．P(|A)＝
C．甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为
D．甲、乙至少有一人评为“智答能手”的概率为
