北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题十 计数原理
10.1 计算原理、排列与组合
一、选择题
1.(2021全国乙,6,5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,
每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )
A.60种 B.120种
C.240种 D.480种
答案 C 先将5人分为4组,其中一组有2人,另外三组各1人,共有 C2 =10种分法,然后将4个项目全排列,
5
共有 A4 =24种排法,根据分步乘法计数原理得到不同的分配方案共有 C2 · A4 =240种,故选C.
4 5 4
易错警示 本题容易出现将5人分为4组,共有分法 C2 · C1 · C1 =60种的错误结果.
5 3 2
2.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加
志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A.24 B.18 C.12 D.9
答案 B 分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.
由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路径.故选B.
3.(2021河南顶级名校月考,11)甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展,她们选择共享
电动车出行,每辆电动车只能载两人,其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车,甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则
她们坐车不同的搭配方式有( )
A.12种 B.11种 C.10种 D.9种
答案 B 设甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈的孩子分别为a、b、c、d、e,对五个小孩进行排列后坐五位妈
妈的车即可,由于甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,故戊与a对应,对其余的四个小孩按照“不坐自己妈妈的
车”进行排列,满足题意的排法为bcde,bdec,bedc,cdbe,cdeb,cedb,dcbe,dceb,debc,ecdb,edbc,共有11种.
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4.(2022届福建泉州科技中学月考,6)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱
锥.如图,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,
则不同的染色方法总数为( )
A.180 B.240 C.420 D.480
答案 C 第一步:四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有5×4×3=60种染色方法.
第二步:当S,A,B染好时,不妨设所染颜色依次为1,2,3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法;若C染4,则
D可染3或5,有2种染法;若C染5,则D可染3或4,有2种染法,即当S,A,B染好时,C,D有7种染法.故不同
的染色方法共有60×7=420种.故选C.
5.(2022届银川一中月考三,10)2021年1月18日,国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星
车全球征名活动的初次评审.初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天
行、星火共10个名称,作为我国首辆火星车的命名范围.某同学为了研究这些初选名字的内涵,计划从中随
机选取4个依次进行分析,若同时选中哪吒、赤兔,则哪吒和赤兔连续被分析,否则随机依次分析,则所有不同
的分析情况有( )
A.4 704种 B.2 800种 C.2 688种 D.3 868种
答案 A ①同时选中哪吒和赤兔,有 C2A2A3 =336种情况;
8 2 3
②哪吒和赤兔中有一个入选,有
C1C3A4
=2 688种情况;③哪吒和赤兔都没入选,有
A4
=1 680种情况.不同
2 8 4 8
的分析情况共有336+2 688+1 680=4 704种.故选A.
6.(2021皖江名校联盟,9)有8位学生春游,其中小学生2名、初中生3名、高中生3名.现将他们排成一列,要
求2名小学生相邻、3名初中生相邻,3名高中生中任意两名都不相邻,则不同的排法种数有( )
A.288种 B.144种 C.72种 D.36种
答案 B 第一步,先将2名小学生看成一个人,3名初中生看成一个人,然后排成一排有 A2种不同排法;
2
第二步,将3名高中生插在这两个整体形成的3个空当中,有 A3种不同排法;
3
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第三步,排2名小学生有 A2种不同排法,排3名初中生有 A3种不同排法.
2 3
根据分步计数原理,共有
A2A3A2A3
=144种不同排法.
2 3 2 3
二、填空题
7.(2022届成都石室中学10月月考,15)一条路上有10盏路灯,为节约资源,准备关闭其中的3盏.为安全起见,
不能关闭两端的路灯,也不能关闭任意相邻的两盏路灯.则不同的关闭路灯的方法有 种.
答案 20
解析 将关闭后的路灯看作是由7盏亮着的路灯和3盏熄灭的路灯的排列,其中熄灭的路灯不能在两端,也
不能相邻.将3盏熄灭的路灯插到亮着的路灯产生的除去两端的6个空中,一共有
C3
=20种方法.
6
8.(2022届江西智学联盟联考一,15)某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动,
主持人事先将10条不同的灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中,猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面
的一个灯笼中的谜语来猜(无论猜中与否,选中的灯笼都被拿掉),则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序
种数为 .(用数字作答)
答案 25 200
解析 一共有10条灯谜,共有 A10种排序方法,由题意可知其中按2,3,3,2组成的4列灯笼的相对位置不变,所
10
A10
以结合倍缩法可知共有 10 =25 200种,则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序种数为25
A2A3A3A2
2 3 3 2
200.
9.(2022届陕西渭南联考,16)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人,这里的“五经”是
儒家典籍《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化,某校在周末兴趣活动
中开展了“五经”知识讲座,每经排1节,连排5节,则满足《诗经》排在后2节,《周易》和《礼记》分开安
排的情形共有 种.
答案 28
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解析 当《诗经》位于第5节时,《周易》和《礼记》相邻有3种情形,且《周易》和《礼记》排序有 A2种
2
情形,其他两经排序有 A2种情形,因此满足条件的情形有
A4
-3
A2A2
=12种;
2 4 2 2
当《诗经》位于第4节时,《周易》和《礼记》相邻有2种情形,《周易》和《礼记》排序有 A2种情形,剩下
2
的排序也有 A2种情形,此时满足条件的情形有 A4 -2 A2A2 =16种.所以满足条件的情形共有12+16=28种.
2 4 2 2
10.(2022届重庆巴蜀中学月考,15)某地举办庆祝建党100周年“奋进新时代,学习再出发”的党史知识竞赛.
已知有15个参赛名额分配给甲、乙、丙、丁四支参赛队伍,其中一支队伍分配有7个名额,余下三支队伍都
有参赛名额,则这四支队伍的名额分配方案有 种.
答案 84
解析 有7个名额的队伍只能有一个,有 C1种,剩余8个名额分给其他3支队伍,由隔板法知有 C2种,由分步
4 7
乘法计数原理可知,共有
C1C2
=84种不同的分配方案.
4 7
11.(2021云南顶级名校检测,15)某班6名同学去A,B,C,D四个城市参加社会调查,要求将这6名同学分成四
组,每组去一个城市,其中两组各有两名同学,另外两组各有1名同学,则不同的分配方案的种数是 .
(用数字作答)
答案 1 080
解析
将6名同学分成四组共有C2·C2 ·C1·C1
=45种不同的分组方案,所以不同的分配方案种数是
6 4 2 1
2! 2!
45 =45×24=1 080.
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