北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题十 计数原理
10.1 计数原理、排列与组合
考点 计数原理、排列、组合
1.(2016四川理,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( )
A.24 B.48 C.60 D.72
答案 D 奇数的个数为 C1A4 =72.
3 4
2.(2015四川理,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )
A.144个 B.120个 C.96个 D.72个
答案 B 数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中以4
开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2
A3
=48个;同理,以5开头的有3
A3
=72个.于是共有48+72=120个,
4 4
故选B.
评析 本题考查了分类与分步计数原理、排列数的知识.
考查学生分析问题、解决问题的能力.
3.(2014大纲全国理,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.
则不同的选法共有( )
A.60种 B.70种 C.75种 D.150种
答案 C 从6名男医生中选出2名有 C2种选法,从5名女医生中选出1名有 C1种选法,由分步乘法计数原
6 5
理得不同的选法共有 C2 · C1 =75种.故选C.
6 5
4.(2014辽宁理,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )
A.144 B.120 C.72 D.24
答案 D 先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把三人带椅子插放在四个位置,共有 A3
4
=24种放法,故选D.
评析 本小题主要考查排列组合的应用及逻辑思维能力,解决不相邻问题常采用插空法.
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5.(2014四川理,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有(
)
A.192种 B.216种 C.240种 D.288种
答案 B 若最左端排甲,其他位置共有 A5 =120种排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置
5
有 A4 =24种排法,所以共有120+4×24=216种排法.
4
6.(2014重庆理,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则
同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72 B.120 C.144 D.168
答案 B 先不考虑小品类节目是否相邻,保证歌舞类节目不相邻的排法共有 A3 · A3 =144种,再剔除小品类
3 4
节目相邻的情况,共有
A3
·
A2
·
A2
=24种,于是符合题意的排法共有144-24=120种.
3 2 2
7.(2013山东理,10,5分)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A.243 B.252 C.261 D.279
答案 B 由分步乘法计数原理知:用0,1,…,9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10=900,
组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8=648,则组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252,故选B.
评析 本题考查分步乘法计数原理,考查学生的推理运算能力.
8.(2012课标理,2,5分)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小
组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )
A.12种 B.10种 C.9种 D.8种
答案 A 2名教师各在1个小组,给其中1名教师选2名学生,有 C2种选法,另2名学生分配给另1名教师,
4
然后将2个小组安排到甲、乙两地,有 A2种方案,故不同的安排方案共有
C2A2
=12种,选A.
2 4 2
评析 本题考查了排列组合的实际应用,考查了先分组再分配的方法.
9.(2012辽宁理,5,5分)一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( )
A.3×3! B.3×(3!)3
C.(3!)4 D.9!
答案 C 第1步:3个家庭的全排列,方法数为3!;
第2步:家庭内部3个人全排列,方法数为3!,共3个家庭,方法数为(3!)3,∴总数为(3!)×(3!)3=(3!)4,故选C.
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评析 本题主要考查计数原理的基础知识,考查学生分析、解决问题的能力.
10.(2012安徽理,10,5分)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进
行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为(
)
A.1或3 B.1或4 C.2或3 D.2或4
答案 D 由题意及 C2 =15知只需少交换2次.记6位同学为A 1 、A 2 、A 3 、A 4 、A 5 、A 6 ,不妨讨论①A 1 少交
6
换2次,如A 未与A、A 交换,则收到4份纪念品的同学仅为A、A 2人;②A、A 各少交换1次,如A 与
1 2 3 2 3 1 2 1
A 未交换,A 与A 未交换,则收到4份纪念品的同学有4人,为A、A、A、A.故选D.
3 2 4 1 2 3 4
评析 本题考查了计数原理等知识,考查学生应用数学知识,分类讨论思想,利用符号标记具体分析是顺利解
题的关键.
11.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参
加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A.24 B.18 C.12 D.9
答案 B 分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.
由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路径.故选B.
思路分析 小明到老年公寓,需分两步进行,先从E到F,再从F到G,分别求各步的最短路径条数,再利用分步
乘法计数原理即可得结果.
12.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{a}如下:{a}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意
n n
k≤2m,a,a,…,a 中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有( )
1 2 k
A.18个 B.16个 C.14个 D.12个
答案 C 当m=4时,数列{a}共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k≤8,a,a,…,a 中0的个数不少
n 1 2 k
于1的个数,则必有a=0,a=1,a 可为0,也可为1.(1)当a=0时,分以下3种情况:①若a=0,则a,a,a,a 中任意
1 8 2 2 3 4 5 6 7
一个为0均可,则有
C1
=4种情况;②若a
3
=1,a
4
=0,则a
5
,a
6
,a
7
中任意一个为0均可,有
C1
=3种情况;③若
4 3
a
3
=1,a
4
=1,则a
5
必为0,a
6
,a
7
中任一个为0均可,有
C1
=2种情况;(2)当a
2
=1时,必有a
3
=0,分以下2种情况:①若
2
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a
4
=0,则a
5
,a
6
,a
7
中任一个为0均可,有
C1
=3种情况;②若a
4
=1,则a
5
必为0,a
6
,a
7
中任一个为0均可,有
C1
=2种情
3 2
况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个,故选C.
思路分析 根据题意可知a=0,a=1,进而对a,a,a 取不同值进行分类讨论(分类要做到不重不漏),从而利用
1 8 2 3 4
分类加法计数原理求出不同的“规范01数列”的个数.
13.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成 个没有
重复数字的四位数.(用数字作答)
答案 1 260
解析 本小题考查排列、组合及其运用,考查分类讨论思想.
含有数字0的没有重复数字的四位数共有
C2C1A1A3
=540个,不含有数字0的没有重复数字的四位数共
5 3 3 3
有 C2C2A4 =720个,故一共可以组成540+720=1 260个没有重复数字的四位数.
5 3 4
易错警示 数字排成数时,容易出错的地方:
(1)数字是否可以重复;
(2)数字0不能排首位.
14.(2015广东理,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写
了 条毕业留言.(用数字作答)
答案 1 560
解析 ∵同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,∴全班共写了40×39=1 560条毕业
留言.
15.(2013北京理,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人
的2张参观券连号,那么不同的分法种数是 .
答案 96
解析 5张参观券分成4份,1份2张,另外3份各1张,且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观券分给
4人,则不同的分法种数是4
A4
=96.
4
16.(2013大纲全国理,14,5分)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.(用数字作
答)
答案 480
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解析 先将除甲、乙两人以外的4人排成一行,有 A4 =24种排法,再将甲、乙插入有 A2 =20种,所以6人排成
4 5
一行,甲、乙不相邻的排法共有24×20=480种.
17.(2013浙江理,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有
种(用数字作答).
答案 480
解析 从左往右看,若C排在第1位,共有排法 A5 =120种;若C排在第2位,共有排法 A2 · A3 =72种;若C排在
5 4 3
第3位,则A、B可排C的左侧或右侧,共有排法
A2
·
A3
+
A2
·
A3
=48种;若C排在第4,5,6位时,其排法数与排
2 3 3 3
在第3,2,1位相同,故共有排法2×(120+72+48)=480种.
18.(2011北京理,12,5分)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有 个.
(用数字作答)
答案 14
解析 解法一:数字2只出现一次的四位数有 C1 =4个;数字2出现两次的四位数有 C2C2 =6个;数字2出现
4 4 2
三次的四位数有 C3 =4个.故总共有4+6+4=14个.
4
解法二:由数字2,3组成的四位数共有24=16个,其中没有数字2的四位数只有1个,没有数字3的四位数也只
有1个,故符合条件的四位数共有16-2=14个.
评析 本题考查排列组合的基础知识,考查分类讨论思想,解题关键是准确分类,并注意相同元素的排列数等
于不同元素的组合数.属于中等难度题.
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