曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
第十章 圆锥曲线
10.1 椭圆
三年模拟
一、选择题
x2 y2
1.(2022陕西宝鸡二模)“0<m<2”是“方程 + =1表示焦点在x轴上的椭圆”的(
m 2-m
)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
x2 y2
答案 C 若方程 + =1表示焦点在x轴上的椭圆,
m 2-m
{
m>0,
x2 y2
则
2-m>0,解得1<m<2,所以“0<m<2”是“方程 +
=1表示焦点在x轴
m 2-m
m>2-m,
上的椭圆“的必要不充分条件.
故选C.
2.(2022宁夏六盘山二模,11)已知椭圆C的一个焦点F(0,-√5),P为C上一点,满足|OP|=|
OF|(O为坐标原点),|PF|=4,则椭圆C的标准方程为( )
y2 x2 y2 x2
A. + =1B. + =1
15 10 9 4
y2 x2 y2 x2
C. + =1D. + =1
12 7 8 3
y2 x2
答案 B 由题意可知椭圆的焦点在y轴上,故设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0).
a2 b2
解法一:设P(m,n).由题意可得
16
{m2= ,
{|OP|2=|OF|2, { m2+n2=5, 5
即 解得
|PF|2=16, m2+(n+√5)2=16, 9
n2= .
5
因为P(m,n)在椭圆C上,所以
9 16
5 5 y2 x2
+ =1,又a2=b2+5,所以a2=9,b2=4,所以椭圆C的标准方程为 +
a2 b2 9 4
=1.故选B.
解法二:设椭圆C的另一个焦点为F'(0,√5),
由|OP|=|OF|,知|OP|=|OF|=|OF'|,所以PF⊥PF',
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∴|PF'|=√|FF'|2-|PF|2=√(2√5)2-42=2,
∴2a=|PF|+|PF'|=6,∴a=3,又c=√5,
y2 x2
∴b2=a2-c2=4,∴椭圆C的标准方程为 + =1.
9 4
3.(2022陕西榆林三模,10)在矩形ABCD中,以A,B为焦点,经过C,D两点的椭圆和双曲线
的离心率分别为e ,e ,则( )
1 2
A.e +e <2
1 2
B.e +e =2
1 2
C.e +e >2
1 2
D.e +e 与2的大小关系不确定
1 2
答案 C 因为椭圆和双曲线的焦点相同,所以可设它们的半焦距为c,设椭圆的长半轴
长为a ,双曲线的实半轴长为a ,则2a =|AD|+|BD|,2a =|BD|-|AD|,
1 2 1 2
c |AB| c |AB|
则e =
= ,e2= =
,
1 a |AD|+|BD| a |BD|-|AD|
1 2
|AB|2 |AB|2
则e e = = =1,
1 2 |BD|2-|AD|2 |AB|2
又0<e <1<e ,∴e +e >2√e e =2,
1 2 1 2 1 2
故选C.
x2 y2
4.(2022江西二模,11)已知点F 为椭圆C: + =1(a>b>0)的左焦点,点A为椭圆C的左
1 a2 b2
顶点,过原点O的直线l交椭圆C于P,Q两点,若直线PF 平分线段AQ,则椭圆C的离心
1
率e=( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
答案 A ∵AO平分线段PQ,直线PF 平分线段AQ,
1
∴F
1
为△PAQ的重心,
|AF | 2 a-c 1
∴ 1 = ,即 =2,即a=3c,∴e= .故选A.
|F O| 1 c 3
1
5.(2022湘豫名校3月联考,9)已知△ABC中,|AC|+|BC|=4,|AB|=2
1
√3,O为AB的中点,P为AB的垂直平分线上一点,且|OP|= ,则|CP|的最大值为
2
( )
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1 √17 √39
A. B. C. D.4
2 2 3
答案 C 以AB的中点O为原点,AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平
面直角坐标系(图略).由椭圆的定义知, 点 C 的轨迹是以 A,B 为左、右焦点的椭圆 ( 不含长
x2 ( 1)
轴两端点 ) , 其标准方程为 +y 2 =1(y ≠ 0) ,设P 0, ,C(x,y),y≠0,
4 2
则|CP|= √ x2+ ( y- 1) 2 = √ 4(1- y2)+ ( y- 1) 2 = √ -3 ( y+ 1) 2 + 13 .因为-1≤y≤1且y≠0,所
2 2 6 3
1 √39
以当y=- 时,|CP|取得最大值,为 .故选C.
6 3
x2 y2 3
6.(2022天一大联考(三),3)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,以C的上、
a2 b2 5
下顶点和一个焦点为顶点的三角形的面积为48,则椭圆的长轴长为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
1
答案 D 以椭圆C的上、下顶点和一个焦点为顶点的三角形的面积为 ·2b·c=bc,所以
2
bc=48,又因为离心率为
3 c 3 3 √ 9 4 4 3
,所以 = ,即c= a,所以b=√a2-c2= a2- a2= a,所以 a· a=48,所以
5 a 5 5 25 5 5 5
a2=100,即a=10,所以椭圆的长轴长为2a=20,故选D.
7.(2022太原一模,8)设F ,F 为椭圆E:
1 2
x2 y2 √3
+ =1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1斜率为 的直线交椭圆于点P,若
a2 b2 3
2∠PF
1
F
2
=∠PF
2
F
1
,则椭圆E的离心率是( )
√3 √2
A.√3+1B.√3-1C. D.
3 2
√3
答案 B 因为过点F
1
斜率为
3
的直线交椭圆于点P,所以∠PF
1
F
2
=30°,又因为
∠PF
2
F
1
=2∠PF
1
F
2
,所以∠PF
2
F
1
=60°,所以∠F
1
PF
2
=90°,所以|PF
1
|=|F
1
F
2
|·cos 30°=
c 2
√3c,|PF2|=|F1F2|sin 30°=c.由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=√3c+c=2a,所以离心率e= = =√3
a √3+1
-1,故选B.
x2 y2
8.(2022河南开封二模,10)已知(2,1)是椭圆C: + =1(a>b>0)上一点,则连接椭圆C的四
a2 b2
个顶点构成的四边形的面积( )
A.有最小值4 B.有最小值8
C.有最大值8 D.有最大值16
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答案 B 由点(2,1)在椭圆
x2 y2 4 1 4 1 2 1 4
+ =1(a>b>0)上可得 + =1,由基本不等式得1= + ≥2× × =
a2 b2 a2 b2 a2 b2 a b ab
,∴ab≥4,当且仅当
2 1 1
= ,即a=2b时,取得等号.又连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积S=
a b 2
×2a×2b=2ab,∴S≥8,∴四边形的面积有最小值8,故选B.
9.(2022山西朔州怀仁第一中学二模,11)已知椭圆C:
x2 y2 |N F |
+ =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点的直线l与椭圆C相交于M,N两点.其中M在第一象限.|MN|=|F1F2|, 1
a2 b2 |M F |
1
√3
≥ ,则椭圆C的离心率的取值范围为( )
3
( √6-1]
A. 0, B.(0,√6-2]
2
(√2 ]
C.(0,√3-1]D. ,√3-1
2
答案 D 由椭圆的对称性知:|OM|=|ON|,又|OF |=|OF |,故四边形MF NF 为平行四边形,
2 1 1 2
又|MN|=|F F |,所以四边形MF NF 为矩形,
1 2 1 2
所以|MF |2+|MF |2=4c2,又|MF |+|MF |=2a,
2 1 2 1
所以2|MF |2-4a|MF |+4a2=4c2,整理得|MF |2-2a|MF |+2b2=0,则Δ=4(a2-2b2)>0,|MF |=a-
2 2 2 2 2
√a2-2b2,
|N F | |M F | |M F | √3
又 1 = 2 = 2 ≥ ,
|M F | |M F | 2a-|M F | 3
1 1 2
所以a>|MF |≥(√3-1)a,
2
{|M F |=a-√a2-2b2≥(√3-1)a,
2
由 a2-2b2>0,
a2=b2+c2,
1 c2 √2
整理得 <e2= ≤4-2√3,所以 <e≤√3-1.
2 a2 2
故选D.
x2 y2
10.(2022河南天一第六次联考,9)已知椭圆C: + =1的上、下顶点分别为A,B,点
18 9
x
1
P(x
0
,y
0
)(x
0
≠0)在椭圆C上,若点Q(x
1
,y
1
)满足AP⊥AQ,BP⊥BQ,则
x
=( )
0
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1 1 √2 2
A.- B.- C.- D.-
3 2 2 3
答案 B 由题可知A(0,3),B(0,-3).因为AP⊥AQ,BP⊥BQ,故直线QA:y-3=-
x x
0 x,直线QB:y+3=- 0 ·x,联立两式,解得
y -3 y +3
0 0
{
y2-9
x = 0 , x2 y2 -2(y2-9) x 1
1 x 又 0 + 0=1,所以x0= 0 ,故 1=- .
0 18 9 x x 2
y =- y , 0 0
1 0
x2 y2
11.(2022九师联盟核心模拟卷三,12)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为
a2 b2
F
1
,F
2
,P为C上不与左、右顶点重合的一点,I为△PF
1
F
2
的内心,且3⃗I F
1
+2⃗I F
2
=2⃗PI,则C
的离心率为( )
1 2 √3 √6
A. B. C. D.
3 5 3 5
答案 B 设M是PF 的中点,连接IM,如图,则⃗IP+⃗I F =2⃗IM,由3⃗I F +2⃗I F =2⃗PI,得3
2 2 1 2
|F I| 4
⃗I F +2⃗I F +2⃗IP=3⃗I F +4⃗IM=0,∴3⃗I F =4⃗MI,F1,I,M三点共线.∴ 1 = .由
1 2 1 1 |IM| 3
F 1 M 平分 ∠ PF 1 F 2 , 又是 PF 2 边的中线,得F 1 M⊥PF 2 ,|PF 1 |=|F 1 F 2 |=2c,∴|PF 2 |=2a-2c,|MF 2 |=a-c.作
IN⊥x轴于点N,则Rt△F
1
IN∽Rt△F
1
F
2
M,且|IN|=|IM|,∴
|F I| |F I| |F F | 2c 4 c 2
1 = 1 = 1 2 = = ,∴e= = .故选B.
|IM| |IN| |M F | a-c 3 a 5
2
12.(2022哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一联,12)已知a>b>0,F ,F 是
1 2
x2 y2 x2 y2
双曲线C : - =1的两个焦点,若点P为椭圆C2: + =1上的动点,当P为椭
1 a2 b2 a2 b2
圆的短轴端点时,∠F
1
PF
2
取最小值,则椭圆C
2
离心率的取值范围为( )
( √2] [√2 ) ( √2] [√2 )
A. 0, B. ,1 C. 0, D. ,1
2 2 3 3
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答案 A 如图,因为∠F
1
PF
2
=π-(∠PF
2
F
1
+∠PF
1
F
2
),所以当∠F
1
PF
2
取最小值时,
∠PF
2
F
1
+∠PF
1
F
2
取最大值,易知∠F
1
PF
2
为钝角,所以∠PF
2
F
1
+∠PF
1
F
2
为锐角,所以此时
tan(∠PF
2
F
1
+∠PF
1
F
2
)取最大值.(等价转化思想的应用)
不妨设P(x ,y )(y >0),F (-c,0),F (c,0),
0 0 0 1 2
椭圆C
2
的半焦距为c
1
,则tan(∠PF
1
F
2
+∠PF
2
F
1
)=
y y
0 + 0
tan∠PF F +tan∠PF F x +c c-x 2c y x2 y2
1 2 2 1 = 0 0 =- 0 .因为P(x0,y0)在椭圆C2上,所以 0+ 0
1-tan∠PF F tan∠PF F y y x2-c2+ y2 a2 b2
1 2 2 1 1- 0 · 0 0 0
x +c c-x
0 0
=1,所以
x2=a2-
a2y2
0
,tan(∠PF
1
F
2
+∠PF
2
F
1
)=-
0 b2
2c y 2c y 2c
0 =- 0 =
a2y2 b2-a2 a2-b2 b2
(0<y
0
≤b).(利用点在椭圆上转化为关
a2- 0-c2+ y2 y2-b2 y +
b2 0 b2 0 b2 0 y
0
于点 P 的纵坐标 y 的函数)
0
令g(x)=
a2-b2 b2 ( b2 ) ( b2 ) b √b
x+ ,则由对勾函数的性质知,函数g(x)在 0, 上单调递减,在 ,+∞ 上单调递增.对勾函数y=ax+ (a>0,b>0)的极值点为±
b2 x √a2-b2 √a2-b2 x a
当P为椭圆的短轴端点时,∠F
1
PF
2
取最小值,即当y
0
=b时,tan(∠PF
1
F
2
+∠PF
2
F
1
)取最大值,则
必有b≤ b2 ,化简得a2≤2b2,所以a2≤2(a2- c2 ),a2≥2 c2, c 1 2 ≤
√a2-b2 1 1 a2
1 ( √2].故选A.
,所以椭圆C2的离心率的取值范围为 0,
2 2
13.(2022湘豫名校3月联考,9)已知△ABC中,|AC|+|BC|=4,|AB|=2
1
√3,O为AB的中点,P为AB的垂直平分线上一点,且|OP|= ,则|CP|的最大值为
2
( )
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1 √17 √39
A. B. C. D.4
2 2 3
答案 C 以AB的中点O为原点,AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平
面直角坐标系(图略).由椭圆的定义知, 点 C 的轨迹是以 A,B 为左、右焦点的椭圆 ( 不含长
轴两端点 ) , 其标准方程为 x2 +y 2 =1(y ≠ 0) ,设P( 1),C(x,y),y≠0,
0,
4 2
则|CP|=√ x2+ ( y- 1) 2 = √ 4(1- y2)+ ( y- 1) 2 = √ -3 ( y+ 1) 2 + 13.因为-1≤y≤1且y≠0,所
2 2 6 3
1 √39
以当y=- 时,|CP|取得最大值,为 .故选C.
6 3
14.(2022天一大联考(三),3)已知椭圆C:x2 y2 3,以C的上、
+ =1(a>b>0)的离心率为
a2 b2 5
下顶点和一个焦点为顶点的三角形的面积为48,则椭圆的长轴长为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
1
答案 D 以椭圆C的上、下顶点和一个焦点为顶点的三角形的面积为 ·2b·c=bc,所以
2
bc=48,又因为离心率为
3 c 3 3 √ 9 4 4 3
,所以 = ,即c= a,所以b=√a2-c2= a2- a2= a,所以 a· a=48,所以
5 a 5 5 25 5 5 5
a2=100,即a=10,所以椭圆的长轴长为2a=20,故选D.
15.(2022太原一模,8)设F ,F 为椭圆E:
1 2
x2 y2 √3的直线交椭圆于点P,若
+ =1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1斜率为
a2 b2 3
2∠PF
1
F
2
=∠PF
2
F
1
,则椭圆E的离心率是( )
√3 √2
A.√3+1B.√3-1C. D.
3 2
√3
答案 B 因为过点F
1
斜率为 的直线交椭圆于点P,所以∠PF
1
F
2
=30°,又因为
3
∠PF
2
F
1
=2∠PF
1
F
2
,所以∠PF
2
F
1
=60°,所以∠F
1
PF
2
=90°,所以|PF
1
|=|F
1
F
2
|·cos 30°=
c 2
√3c,|PF2|=|F1F2|sin 30°=c.由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=√3c+c=2a,所以离心率e= = =√3
a √3+1
-1,故选B.
16.(2022河南开封二模,10)已知(2,1)是椭圆C:x2 y2
=1(a>b>0)上一点,则连接椭圆C的
+
a2 b2
四个顶点构成的四边形的面积( )
A.有最小值4 B.有最小值8
C.有最大值8 D.有最大值16
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答案 B 由点(2,1)在椭圆
x2 y2 4 1 4 1 ≥2×2 1 4
+ =1(a>b>0)上可得 + =1,由基本不等式得1= + × =
a2 b2 a2 b2 a2 b2 a b ab
,∴ab≥4,当且仅当
2 1 1
= ,即a=2b时,取得等号.又连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积S=
a b 2
×2a×2b=2ab,∴S≥8,∴四边形的面积有最小值8,故选B.
17.(2022山西朔州怀仁第一中学二模,11)已知椭圆C:
x2 y2 |N F |
+ =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点的直线l与椭圆C相交于M,N两点.其中M在第一象限.|MN|=|F1F2|, 1
a2 b2 |M F |
1
√3
≥ ,则椭圆C的离心率的取值范围为( )
3
A.( √6-1] -2]
0, B.(0,√6
2
C.(0, (√2 ]
√3-1]D. ,√3-1
2
答案 D 由椭圆的对称性知:|OM|=|ON|,又|OF |=|OF |,故四边形MF NF 为平行四边形,
2 1 1 2
又|MN|=|F F |,所以四边形MF NF 为矩形,
1 2 1 2
所以|MF |2+|MF |2=4c2,又|MF |+|MF |=2a,
2 1 2 1
所以2|MF |2-4a|MF |+4a2=4c2,整理得|MF |2-2a|MF |+2b2=0,则Δ=4(a2-2b2)>0,|MF |=a-
2 2 2 2 2
,
√a2-2b2
又 |N F
1
|
=
|M F
2
|
=
|M F
2
| ≥√3,
|M F | |M F | 2a-|M F | 3
1 1 2
所以a>|MF |≥(√3-1)a,
2
{|M F |=a-√a2-2b2≥(√3-1)a,
2
由 a2-2b2>0,
a2=b2+c2,
整理得1
<e2=
c2 ≤4-2
√3,所以
√2<e≤
√3
-1.
2 a2 2
故选D.
18.(2022九师联盟核心模拟卷三,12)已知椭圆C:x2 y2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为
+
a2 b2
F
1
,F
2
,P为C上不与左、右顶点重合的一点,I为△PF
1
F
2
的内心,且3
⃗I F
+2
⃗I F
=2
⃗PI
,则C
1 2
的离心率为( )
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1 2 √3 √6
A. B. C. D.
3 5 3 5
答案 B 设M是PF 的中点,连接IM,如图,则 + =2 ,由3 +2 =2 ,得3
2 ⃗IP ⃗I F ⃗IM ⃗I F ⃗I F ⃗PI
2 1 2
|F I| 4
⃗I F +2⃗I F +2⃗IP=3⃗I F +4⃗IM=0,∴3⃗I F =4⃗MI,F1,I,M三点共线.∴ 1 = .由
1 2 1 1 |IM| 3
F 1 M 平分 ∠ PF 1 F 2 , 又是 PF 2 边的中线,得F 1 M⊥PF 2 ,|PF 1 |=|F 1 F 2 |=2c,∴|PF 2 |=2a-2c,|MF 2 |=a-c.作
IN⊥x轴于点N,则Rt△F
1
IN∽Rt△F
1
F
2
M,且|IN|=|IM|,∴
|F I| |F I| |F F | 2c 4 c 2.故选B.
1 = 1 = 1 2 = = ,∴e= =
|IM| |IN| |M F | a-c 3 a 5
2
19.(2022哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一联,12)已知a>b>0,F ,F 是
1 2
双曲线C
:x2 y2 x2 y2
=1上的动点,当P为椭
1 - =1的两个焦点,若点P为椭圆C2: +
a2 b2 a2 b2
圆的短轴端点时,∠F
1
PF
2
取最小值,则椭圆C
2
离心率的取值范围为( )
A.( √2] [√2 ) ( √2] [√2 )
0, B. ,1 C. 0, D. ,1
2 2 3 3
答案 A 如图,因为∠F
1
PF
2
=π-(∠PF
2
F
1
+∠PF
1
F
2
),所以当∠F
1
PF
2
取最小值时,
∠PF
2
F
1
+∠PF
1
F
2
取最大值,易知∠F
1
PF
2
为钝角,所以∠PF
2
F
1
+∠PF
1
F
2
为锐角,所以此时
tan(∠PF
2
F
1
+∠PF
1
F
2
)取最大值.(等价转化思想的应用)
不妨设P(x ,y )(y >0),F (-c,0),F (c,0),
0 0 0 1 2
椭圆C
2
的半焦距为c
1
,则tan(∠PF
1
F
2
+∠PF
2
F
1
)=
y y
0 + 0
tan∠PF F +tan∠PF F x +c c-x 2c y x2 y2
1 2 2 1 = 0 0 =- 0 .因为P(x0,y0)在椭圆C2上,所以 0+ 0
1-tan∠PF F tan∠PF F y y x2-c2+ y2 a2 b2
1 2 2 1 1- 0 · 0 0 0
x +c c-x
0 0
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=1,所以
x2=a2-
a2y2
0
,tan(∠PF
1
F
2
+∠PF
2
F
1
)=-
0 b2
2c y 2c y 2c
0 =- 0 =
a2y2 b2-a2 a2-b2 b2
(0<y
0
≤b).(利用点在椭圆上转化为关
a2- 0-c2+ y2 y2-b2 y +
b2 0 b2 0 b2 0 y
0
于点 P 的纵坐标 y 的函数)
0
令g(x)=
a2-b2 b2 ( b2 ) ( b2 ) b √b
x+ ,则由对勾函数的性质知,函数g(x)在 0, 上单调递减,在 ,+∞ 上单调递增.对勾函数y=ax+ (a>0,b>0)的极值点为±
b2 x √a2-b2 √a2-b2 x a
当P为椭圆的短轴端点时,∠F
1
PF
2
取最小值,即当y
0
=b时,tan(∠PF
1
F
2
+∠PF
2
F
1
)取最大值,则
必有b≤ b2 ,化简得a2≤2b2,所以a2≤2(a2- c2 ),a2≥2 c2, c 1 2 ≤
√a2-b2 1 1 a2
1 ( √2].故选A.
,所以椭圆C2的离心率的取值范围为 0,
2 2
20.(2022天津十二区县一模考前模拟,8)已知椭圆
x2 y2
+ =1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,O是坐标原点,|F1F2|=√2
a2 b2
|PF
1
|,∠F
1
PF
2
=120°,则椭圆的离心率是( )
√10-√2 √5-1 √5-√2 √6-√2
A. B. C. D.
2 2 2 2
答案 A ∵|F F |=
1 2
√2|PF1|,∴2c=√2|PF1|,即|PF1|=√2c.∵|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF2|=2a-√2
c,在△F
1
PF
2
中,由余弦定理得4c2=(
( 1) √10-√2
√2c)2+(2a-√2c)2-2×√2c×(2a-√2c)× - ,即c2+√2ac-2a2=0,两边同除以a2得e2+√2e-2=0.又∵0<e<1,∴e=
2 2
.
x2 y2
21.(多选)(2021湖北九师联盟2月质检,10)若方程 + =1所表示的曲线为C,则下
5-t t-1
面四个命题中正确的是( )
A.若1<t<5,则C为椭圆
B.若t<1,则C为双曲线
C.若C为双曲线,则焦距为4
D.若C为焦点在y轴上的椭圆,则3<t<5
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答案 BD 对于A,当t=3时,方程为x2+y2=2,表示圆,所以A项不正确;对于D,当方程
x2 y2 {
5-t>0,
x2
+ =1表示焦点在y轴上的椭圆时,满足 t-1>0, 解得3<t<5,所以D项正确;对于B,当t<1时,5-t>4>0,t-1<0,此时方程表示焦点在x轴上的双曲线,所以B项正确;对于C,当t=0时,方程为 - y2=1,此时双曲线的焦距为2√6
5-t t-1 5
5-t<t-1,
所以C项不正确,故选BD.
x2 y2
22.(多选)(2022石家庄二中月考,12)已知椭圆C: + =1,F为C的右焦点,A为C的左
25 9
顶点,P,Q为直线x+my=0与C的两个交点,则下列叙述正确的是( )
A.△FPQ的周长的最小值为16
B.△APQ的面积的最大值为15
C.若△FPQ的面积为9,则△FPQ为直角三角形
9
D.若直线AP与AQ的斜率之积为- ,则△APQ为等腰三角形
25
x2 y2
答案 ABC 由椭圆C: + =1知a=5,b=3,则c=4,
25 9
{x+my=0, { x2=
225m2
,
设P(x,y),Q(-x,-y).由 x2 y2 得
9m2+25
+ =1 225
25 9 y2= ,
9m2+25
则|PQ|=2 √x2+ y2=
30√1+m2
.
√9m2+25
对于A,△FPQ的周长l=|PQ|+2a≥2b+2a=16,当P,Q为上,下顶点时等号成立,故A中叙述正
确.
对于B,点A到直线x+my=0的距离d
1
= |-5+m×0|
=
5 ,所以S
△APQ
=1|PQ|·d
1
=
√1+m2 √1+m2 2
75 ≤15,当m=0时,等号成立,所以△APQ的面积的最大值为15,故B中叙述正确.
√9m2+25
对于C,点F到直线x+my=0的距离d = |4+m×0| 4 30√1+m2 ,所
2 = ,又|PQ|=
√1+m2 √1+m2 √9m2+25
1
以S = |PQ|·d =
△FPQ
2
2
60 5√7 (5√7 9) ( 5√7 9),则
=9,解得m=± ,不妨令P , ,Q - ,-
√9m2+25 9 4 4 4 4
⃗FP=
(5√7-16
,
9),
⃗FQ=
(-5√7-16
,-
9),所以
⃗FP
·
⃗FQ
=0,则FP⊥FQ,即∠PFQ=90°,故
4 4 4 4
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225
-
C中叙述正确.对于D,因为k
AP
·k
AQ
= - y2
=
- y2
=
9m2+25
=-
9 恒
(x+5)(-x+5) 25-x2 225m2 25
25-
9m2+25
成立,所以△APQ为任意三角形,故D中叙述错误.故选ABC.
二、填空题
x2 y2
23.(2022江西上饶六校二模,15)已知椭圆 + =1的左、右焦点分别为F ,F ,点P在椭
1 2
9 5
圆上,设线段PF
1
的中点为M,且|OF
2
|=|OM|(O为坐标原点),则△PF
1
F
2
的面积为 .
答案 √15
解析 由题意可得a=3,b=√5,c=√9-5=2.
因为O,M分别是F F 和PF 的中点,
1 2 1
所以|PF |=2|OM|=2|OF |=2c=4.
2 2
根据椭圆的定义,可得|PF |=2a-2c=2.连接MF ,
1 2
因为|PF |=|F F |=2c,
2 1 2
所以MF 2⊥PF
1
.
在Rt△PMF
2
中,|MF
2
|=
√|PF |2-|PM|2=√15
,所以△PF
1
F
2
的面积S=
2
1
|PF1||MF2|=√15.
2
x2 y2
24.(2022贵阳五校联考,15)设F ,F 分别是椭圆 + =1的左、右焦点,P为椭圆上任一
1 2
25 16
点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF |的最大值为 .
1
答案 15
解析 如图所示:
x2 y2
在椭圆 + =1中,a=5,b=4,c=3,所以焦点坐标分别为F (-3,0),F (3,0).
1 2
25 16
|PM|+|PF |=|PM|+(2a-|PF |)=10+(|PM|-|PF |).
1 2 2
∵|PM|-|PF |≤|MF |,当且仅当P在MF 的延长线上(P与P 重合)时取等号,
2 2 2 0
∴(|PM|-|PF |) =|MF |= =5,故|PM|+|PF |的最大值为10+5=15.
2 max 2 √(6-3)2+(4-0)2 1
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解后反思 解题关键是转化为一动点到两定点距离之和或距离之差的最值问题,可以结
合图形利用三角形三边的关系解决.
25.(2022九师联盟核心模拟卷五,16)已知椭圆x2 y2 1,F ,F
+ =1(a>b>0)的离心率为 1 2
a2 b2 4
分别是椭圆的左、右焦点,点A(a,0),B(0,b),点P为线段AB上的动点,当 · 取得最
⃗PF ⃗PF
1 2
小值和最大值时,△PF
1
B的面积分别为S
1
,S
2
,则 S
2
= .
S
1
31
答案
15
解析 由e=
c 1 √15 ( √15 )
= ,得a=4c,因为a2=b2+c2,所以b=√15c,故线段AB所在直线的方程为y=- (x-a).又点P在线段AB上,所以可设P m,- (m-a)
a 4 4 4
,其中 m∈[0,a].由F 1 (-c,0),F 2 (c,0),即F 1( - a ,0 ) ,F2 (a ,0 ),得
4 4
( a √15 ), (a √15 ),所以 ·
⃗PF = - -m, (m-a) ⃗PF = -m, (m-a) ⃗PF
1 4 4 2 4 4 1
a2 15 31( 15 ) 2 209a2.因为m∈[0,a],所以当m=15a时,
⃗PF =m2- + (m-a)2= m- a +
2 16 16 16 31 496 31
S a 31
⃗PF 取得最大值,所以 2= =
⃗PF · ⃗PF 取得最小值,当m=a时,⃗PF · 2 S 15 15.
1 2 1 1 a
31
26.(2022东北三省三校二模,15)椭圆C:x2 y2
=1(a>b>0)的左焦点为点F,过原点O的直
+
a2 b2
线与椭圆交于P,Q两点,若∠PFQ=120°,|OF|=√3,|OP|=√7,则椭圆C的离心率为
.
√3
答案
3
解析 设椭圆C的右焦点为H,连接PH,QH,则由椭圆的对称性可知四边形PFQH为平行
四边形,设|PH|=m,|PF|=n,则|FQ|=m,∵∠PFQ=120°,∴∠FPH=60°,∵|OF|=
,在△PFQ中,|PQ|2=|PF|2+|FQ|2-2|PF||FQ|·cos
√3,|OP|=√7,∴|FH|=2√3,|PQ|=2√7
120°,即28=m2+n2+mn①.
在△PFH中,|FH|2=|PF|2+|PH|2-2|PF||PH|·cos 60°,即12=m2+n2-mn②.
由①-②得16=2mn,∴mn=8,
又∵28=m2+n2+mn=(m+n)2-mn=4a2-mn,
∴4a2=28+8=36.∴a2=9,即a=3.又∵c=|OF|=√3,
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c √3
∴椭圆的离心率e= = .
a 3
x2 y2
27.(2022河南三市第二次联考,15)已知P是椭圆 + =1上的动点,且不在坐标轴
8 4
上,F
1
,F
2
是椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,若M是∠F
1
PF
2
的平分线上一点,且
⃗F M
·
⃗MP
1
=0,则⃗OM的取值范围是 .
答案 (0,2)
解析 如图,∵M是∠F
1
PF
2
的平分线上的一点,且F
1
M⊥MP,∴点M是△PF
1
N的底边F
1
N的
1
中点,又点O是线段F F 的中点,∴|OM|= |NF |.∵|PF |=|PN|,
1 2 2 2 1
∴∠F
2
NF
1
>∠F
2
F
1
N,∴|F
1
F
2
|>|F
2
N| , 即 |F
2
N|<2c,
1
又点P不在坐标轴上,∴0<|OM|< ×2c=c,即|OM|的取值范围为(0,2).
2
x2
28.(2022石景山一模,14)设点F ,F 分别为椭圆C: +y2=1的左,右焦点,点P是椭圆C上
1 2
4
任意一点,若使得 · =m成立的点恰好是4个,则实数m的一个取值可以为
⃗PF ⃗PF
1 2
.
答案 0(答案不唯一)
解析 ∵a2=4,b2=1,∴c2=a2-b2=3,∴F (- ,0),设P(x ,y ),则 -x ,-
1 √3,0),F2(√3 0 0 ⃗PF =(-√3 0
1
y 0 ), ⃗PF =(√3 -x 0 ,-y 0 ),由 ⃗PF · ⃗PF =(-√3 -x 0 ,-y 0 )·( √3 -x 0 ,-y 0 )=m,得 x2 +
2 1 2 0
x2+ =1②,联立①②得 8+4m,要使 ·
y2=m+3①,∵点P在椭圆C上,∴ 0 y2 x2= ⃗PF
0 4 0 0 3 1
8+4m
⃗PF =m成立的点恰好是4个,则0< <4,则-2<m<1.
2 3
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三、解答题
29.(2022河南顶级名校第二次素养测试,20)已知椭圆C:
x2 y2 √3
+ =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),M,N分别为左、右顶点,直线l:x=ty+1与椭圆C交于A,B两点,当t=-
a2 b2 3
时,A是椭圆的上顶点,且△AF
1
F
2
的周长为6.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线AM,BN交于点Q,证明:点Q在定直线上.
解析 (1)当t=-
√3 √3
时,直线l:x=- y+1,令x=0,得y=√3,即椭圆的上顶点为(0,√3),所以b=√3
3 3
,又△AF
1
F
2
的周长为6,所以2a+2c=6,结合a2=b2+c2,解得a=2,c=1,所以椭圆C的方程为
x2 y2
+ =1.
4 3
(2)证明:设A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
{
x=ty+1,
由 消去x得(3t2+4)y2+6ty-9=0,
x2 y2
+ =1,
4 3
6t
{y + y =- ,
所以
1 2 3t2+4
又M(-2,0),N(2,0),
-9
y y = .
1 2 3t2+4
所以直线AM的方程为y= y (x+2),
1
x +2
1
直线BN的方程为y= y (x-2),
2
x -2
2
联立直线AM、AN的方程整理得
x+2 y (x +2) y (t y +3) t y y +3 y .
= 2 1 = 2 1 = 1 2 2
x-2 y (x -2) y (t y -1) t y y - y
1 2 1 2 1 2 1
6t 6t
由y +y =- 得y1=- -y ,代入上式,得
1 2 3t2+4 3t2+4 2
-9t -9t
+3 y +3 y
x+2 t y y +3 y 3t2+4 2 3t2+4 2
= 1 2 2= = =3,
x-2 t y y - y -9t 6t -3t
1 2 1 + + y + y
3t2+4 3t2+4 2 3t2+4 2
所以x+2=3(x-2),即x=4,所以点Q在定直线x=4上.
第 15 页 共 25
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30.(2022成都二诊,20)已知椭圆C:x2 y2 ( 1),其右顶点为
+ =1(a>b>0)经过点 √3,
a2 b2 2
A(2,0).
(1)求椭圆C的方程;
1
(2)若点P,Q在椭圆C上,且满足直线AP与AQ的斜率之积为 ,求△APQ面积的最大值.
20
解析
(1)易知a=2,∴椭圆C的方程为x2 y2
=1.
+
4 b2
将( 1) 3 1 =1,解得b=1.
√3, 代入椭圆C的方程,得 +
2 4 4b2
x2
∴椭圆C的方程为 +y2=1.
4
(2)由题意知直线PQ的斜率存在.设直线PQ的方程为y=kx+m,P(x ,y ),Q(x ,y ).
1 1 2 2
{y=kx+m,
由 消去y,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.
x2
+ y2=1
4
∴Δ=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)=16(4k2-m2+1)>0,
x +x =- 8km 4m2-4.
1 2 ,x1x2=
4k2+1 4k2+1
∴y y =(kx +m)(kx +m)=k2x x +km(x +x )+m2
1 2 1 2 1 2 1 2
=k2(4m2-4) 8k2m2 m2-4k2.
- +m2=
4k2+1 4k2+1 4k2+1
m2-4k2
∴k AP ·k AQ = y 1 · y 2 = y 1 y 2 = 4k2+1 = 1 .
x -2 x -2 x x -2(x +x )+4 4m2-4 16km 20
1 2 1 2 1 2 + +4
4k2+1 4k2+1
化简得 m2-4k2 1 ,即m2-km-6k2=0.
=
4m2+16km+16k2 20
∴(m+2k)(m-3k)=0.
∵直线PQ不能经过点A,
∴m+2k≠0,∴m-3k=0.
∴直线PQ的方程为y=k(x+3).
∴直线PQ经过定点(-3,0),设此定点为D.
1
∴S =|S -S |= |AD||y -y |
△APQ △APD △AQD
2
1 2
第 16 页 共 25
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5 5|k|
= |y1- y2|= √(x +x )2-4x x
2 2 1 2 1 2
=5|k| ·4√4k2-m2+1
2 4k2+1
=10√k2(1-5k2).
4k2+1
1
由Δ=16(4k2-m2+1)=16(1-5k2)>0,得0<k2< .
5
令t=4k2+1,则t∈(
1,
9).
5
∴S =5√-5t2+14t-9 5√ (1 7) 2 4.
△APQ = -9 - +
2 t2 2 t 9 9
1 7 1 5
∴当 = ,即k2= 时,△APQ的面积取得最大值 .
t 9 14 3
31.(2022房山二模,20)已知椭圆C:x2 y2
=1(a>b>0)的一个顶点为(0,-1),一个焦点为(1,0).
+
a2 b2
(1)求椭圆C的方程和离心率;
(2)已知点P(0,2),过原点O的直线交椭圆C于M,N两点,直线PM与椭圆C的另一个交点
4√2
为Q.若△MNQ的面积等于 ,求直线PM的斜率.
5
解析 (1)由题意,得b=1,c=1,则a2=b2+c2=2,
x2
所以椭圆C的方程为 +y2=1.
2
c 1 √2
离心率e= = = .
a √2 2
(2)设直线PM的方程为y=kx+2(k≠0),
{y=kx+2,
由 消去y得(1+2k2)x2+8kx+6=0,
x2
+ y2=1
2
3
由Δ=(8k)2-4(1+2k2)×6>0,解得k2> ,
2
-8k 6
设M(x ,y ),Q(x ,y ),则x +x = ,x1x2= ,
1 1 2 2 1 2 1+2k2 1+2k2
1 2√2
根据椭圆的对称性知S =S = S = ,
△OMQ △ONQ 2 △MNQ 5
所以S =|S -S |=|1 1 |
△OMQ △POQ △POM ×2|x |- ×2|x |
2 2 2 1
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=|x -x |=
2 1 √(x +x )2-4x x
1 2 1 2
=√ 64k2 24 2√2 2 ,
- = 或设O到直线MQ的距离为d,则d=
(1+2k2)2 1+2k2 5 √1+k2
|MQ|= √1+k2|x1-x2|= √ (1+k2) [ 64k2 - 24 ].
(1+2k2)2 1+2k2
S △OMQ = 1 d·|MQ|= 1 × 2 · √ (1+k2) [ 64k2 - 24 ] = 2√2 .
2 2 √1+k2 (1+2k2)2 1+2k2 5
整理得2k4-23k2+38=0,
解得k2=2或k2=19 , ( 满足k2> 3)
2 2
√38
所以k=±√2或k=± .
2
32.(2022顺义二模,19)已知椭圆C:x2 y2 √3.
+ =1(a>b>0)过定点(-2,0),离心率e=
a2 b2 2
(1)求椭圆C的标准方程;
1
(2)斜率为 的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB面积的最大值及此时直
2
线AB的方程.
c √3
解析 (1)依题意可得a=2, = ,
a 2
所以c=√3,所以b=1.
x2
所以椭圆C的标准方程为 +y2=1.
4
1
(2)设直线AB的方程为y= x+m,A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
2
1
{y= x+m,
联立 2 消去y得x2+2mx+2m2-2=0,
x2
+ y2=1,
4
由题意得Δ=8-4m2>0,即m2<2,
所以x +x =-2m,x x =2m2-2,
1 2 1 2
所以|AB|=√ 1+ (1) 2 |x1-x2|= √5·√(x +x )2-4x x =√5 · √2-m2 ,
2 2 1 2 1 2
又原点O到直线AB的距离d=
|2m| |2m|
,
=
√1+22 √5
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所以S
△AOB
= 1 · |2m| ·
√5
·√2-m2=√m2(2-m2) ≤ √ (m2+2-m2 ) 2 =1,当且仅当m2=2-m2,
2 √5 2
1
即m=±1时取等号,所以,△AOB面积的最大值为1,此时直线AB的方程为y= x±1.
2
x2 y2
33.(2022朝阳期末,19)已知曲线W: + =1(m∈R,m≠0,且m≠3).
3-m m
(1)若曲线W是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;
(2)当m=1时,过点E(1,0)作斜率为k(k≠0)的直线l交曲线W于点A,B(A,B异于顶点),交
直线x=2于P.过点P作y轴的垂线,垂足为Q,直线AQ交x轴于C,直线BQ交x轴于D,
求线段CD的中点M的坐标.
{3-m>0,
3
解析 (1)由题意可得 m>0, 解得0<m< ,
2
3-m>m,
所以实数m的取值范围为( 3).
0,
2
x2
(2)当m=1时,曲线W为椭圆: +y2=1,由题知直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0).
2
{
x2
联立 + y2=1, 整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
2
y=k(x-1),
设A(x ,y ),B(x ,y ),则x +x =
4k2 2k2-2,
1 1 2 2 1 2 ,x1x2=
1+2k2 1+2k2
直线l交直线x=2于P(2,k),则Q(0,k),
所以直线AQ的方程为y=y
1
-kx+k,x
1
≠0,
x
1
kx kx
令y=0,解得x= 1 ,则C ( 1 ,0 ).
k- y k- y
1 1
直线BQ的方程为y=y
2
-kx+k,x
2
≠0,
x
2
kx kx
令y=0,解得x= 2 ,则D ( 2 ,0 ),
k- y k- y
2 2
∴ kx kx -k[x (y -k)+x (y -k)]
1 + 2 = 1 2 2 1
k- y k- y (y -k)(y -k)
1 2 1 2
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-k[x k(x -2)+x k(x -2)] 2(x +x )-2x x
= 1 2 2 1 = 1 2 1 2
k2(x -2)(x -2) (x -2)(x -2)
1 2 1 2
8k2 4k2-4
-
=
2(x
1
+x
2
)-2x
1
x
2 =
1+2k2 1+2k2
=
4k2+4=2,
x x -2(x +x )+4 2k2-2 8k2 2k2+2
1 2 1 2 - +4
1+2k2 1+2k2
所以线段CD的中点M的坐标为(1,0).
34.(2022红桥一模,18)已知椭圆C:x2 y2
=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为F,且|
+
a2 b2
OA|=|OF|,其中O为原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点P满足3⃗OP=⃗OF,点B在椭圆C上(B异于椭圆的顶点),直线AB与以P为圆心
的圆相切于点Q,且Q为线段AB的中点,求直线AB的方程.
解析 (1)由已知可得b=3,
又|OA|=|OF|,所以b=c=3,所以a= ,
√b2+c2=3√2
x2 y2
故椭圆C的方程为 + =1.
18 9
(2)因为3⃗OP=⃗OF,所以P(1,0),
{
y=kx-3,
易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx-3,联立 可得(2k2+1)x2-
x2 y2
+ =1,
18 9
12kx=0,
解得x=0或x= 12k
,则可得B
( 12k
,
6k2-3),
2k2+1 2k2+1 2k2+1
又Q为线段AB的中点,则Q( 6k
,
-3 ),
2k2+1 2k2+1
3 1
所以k = ,由k ·k=-1,解得k=1或k= ,
PQ 2k2-6k+1 PQ 2
1
所以直线AB的方程为y=x-3或y= x-3.
2
35.(2022和平一模,18)已知椭圆C:
x2 y2 ( √2) 3√2
+ =1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P -1, 在椭圆C上,且|PF2|=
a2 b2 2 2
.
(1)求椭圆C的方程;
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(2)过点F 的直线l与椭圆C交于A,B两点,M为线段AB的中点,若椭圆C上存在点N,满
2
足⃗ON=3⃗OM(O为坐标原点),求直线l的方程.
解析 (1)∵点P( √2) 3√2,
-1, 在椭圆C上,且|PF2|=
2 2
1 1
{ + =1,
a2 2b2
{a=√2,
∴ √ (-1-c)2+ (√2 -0 ) 2 = 3√2 , ⇒ b=1,
2 2
c=1,
c2=a2-b2
x2
∴椭圆C的方程为 +y2=1.
2
(2)由(1)可知F (1,0),由题意可得直线l的斜率不为0,设直线l的方程为
2
x=my+1,A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
{x=my+1,
联立 得(m2+2)y2+2my-1=0,
x2
+ y2=1,
2
2m 4
∴y +y =- ,∴x1+x2=m(y1+ y2)+2= ,
1 2 m2+2 m2+2
∴线段AB的中点M的坐标为( 2
,-
m ),
m2+2 m2+2
又 ⃗ON =3⃗OM,O(0,0),∴点N的坐标为 ( 6 ,- 3m ),
m2+2 m2+2
( 6 ) 2
将点N的坐标代入椭圆C的方程得 +
m2+2
2
( -3m ) 2 ,
=1,解得m2=7(舍负),∴m=±√7
m2+2
∴直线l的方程为x+√7 y-1=0或x-√7y-1=0.
36.(2022河北一模,19)已知椭圆C:
x2 y2 √3.
+ =1(a>b>0)的一个顶点恰好是抛物线D:x2=4 y的焦点,离心率为
a2 b2 2
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A (-a,0),A (a,0),B(0,b),M是椭圆C上一点,且不与顶点重合,若直线A B与直线A M
1 2 1 2
交于点P,直线A
1
M与直线A
2
B交于点Q.证明:△BPQ是等腰三角形.
解析 (1)由题意得,抛物线x2=4y的焦点坐标为(0,1),
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∴b=1.又c √ b2 √3,∴a=2.
= 1- =
a a2 2
x2
∴椭圆C的方程为 +y2=1.
4
(2)证明:由(1)可得,A (-2,0),A (2,0),B(0,1),
1 2
1
直线A B的方程为y= x+1.
1
2
1
直线A B的方程为y=- x+1.
2
2
设直线A
1
M的方程为y=k(x+2)(
k≠±
1
,且k≠0
).
2
{y=k(x+2),
由 得(4k2+1)x2+16k2x+16k2-4=0.
x2
+ y2=1,
4
∵Δ=(16k2)2-4(4k2+1)×(16k2-4)>0,
∴ ·x =16k2-4 2-8k2 .
x M ,∴xM=
A 1 4k2+1 4k2+1
∴y = 4k ,∴ y -0 1 .
M k = M =-
4k2+1 A 2 M x -2 4k
M
1
∴直线A M的方程为y=- (x-2).
2
4k
1
{ y= x+1,
由 2 (2-4k 2 ).
得P ,
1 2k+1 2k+1
y=- (x-2)
4k
{y=k(x+2),
由 (2-4k 4k ).
1 得Q ,
y=- x+1 2k+1 2k+1
2
∴PQ⊥x轴.
设PQ的中点为N,可得N的坐标为(2-4k
,1
),连接BN,可知BN∥x轴,∴BN⊥PQ.
2k+1
故△BPQ是等腰三角形.
深度解析 对等腰三角形的证明,很少求出两腰长度,一般利用两腰所在直线的斜率关系
转化为角相等或利用等腰三角形三线合一的性质证明.
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一年创新
1.(2022湘赣皖长郡十五校联盟联考(一),11)桂林山水甲天下,那里水美山秀,闻名世界.桂
林的山奇特险峻,甲、乙两名探险家在桂林山中探险,他们来到一个山洞,洞内是一个椭球
形,截面是一个椭圆,甲、乙两人分别站在洞内如图所示的A、B两点处,甲站在A处唱歌
时,离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰,原因在于甲、乙两人所站的位置恰好是洞
内截面椭圆的两个焦点,符合椭圆的光学性质,即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另
x2 y2
一个焦点,现已知椭圆C: + =1上一点M,过点M作切线l,A,B两点为左、右焦
100 16
4
点,cos∠AMB= ,则椭圆中心O到切线l的距离为(光的反射性质:光的入射角等于反射
5
角)( )
A.2√6B.10C.3√10 D.7
答案 C 如图,过M作切线l的垂线交AB于N,过A,O,B分别作切线l的垂线交切线于
点A ,O ,B ,
1 1 1
由光的反射性质可知MN平分∠AMB,
则∠A
1
AM=∠AMN=∠BMN=∠B
1
BM.
4
因为cos∠AMB= ,
5
4 3
故2cos2 ∠AMN-1= ,所以cos∠AMN= ,
5 √10
1 1 1
则|OO
1
|= (|AA1|+|BB1|)= (|AM|cos∠A
1
AM+|BM|·cos∠B
1
BM)= (|AM|+|
2 2 2
1 3
BM|)·cos∠AMN= ×20× =3√10.故选C.
2 √10
2.(2022陕西咸阳一模,21)如图,已知椭圆C:
x2 y2 1
+ =1(a>b>0),A1,A2分别是长轴的左、右两个端点,F1,F2分别是左、右焦点.椭圆C过点(0,√3),离心率为
a2 b2 2
.
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(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线x=4上有两个点M,N,且 · =0.
⃗M F ⃗N F
2 2
①求△MNF
2
面积的最小值;
②连接MA 交椭圆C于另一点P(不同于点A ),证明:P,A ,N三点共线.
1 1 2
c 1
解析 (1)由题意可知b=√3,e= = ,∴a=2c,
a 2
x2 y2
∵a2=b2+c2,∴c=1,a=2,∴椭圆C的方程为 + =1.
4 3
(2)①设M(4,y ),N(4,y ),易知F (1,0),
M N 2
则 =(-3,-y ), =(-3,-y ),
⃗M F M ⃗N F N
2 2
∵ · =0,∴y y +9=0,即y y =-9.
⃗M F ⃗N F M N M N
2 2
1
则S = √9+ y2 ·√9+ y2
△MNF 2 2 M N
1 1
= √81+9(y2 + y2 )+(y y )2= √162+9(y2 + y2 )
2 M N M N 2 M N
1 1
≥ √162+9×2·|y y |= ×√162+162=9,
2 M N 2
当且仅当|y
M
|=|y
N
|,即y
M
=3,y
N
=-3时取等号,故△MNF
2
面积的最小值为9.
y
②证明:易得A (-2,0),直线A M的斜率为 M,
1 1
6
y
∴直线A M的方程为y= M(x+2),
1
6
y
{ y= M (x+2),
联立 6 得(27+ y2 )x2+4 y2 x+4 y2 -108=0,
x2 y2 M M M
+ =1,
4 3
4 y2 54-2y2
设P(x 1 ,y 1 ),则x 1 +(-2)=- M ,∴x1= M,
27+ y2 27+ y2
M M
18 y
代入直线A 1 M的方程得y 1 = M ,
27+ y2
M
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(54-2y2 18 y )
∴P M , M ,
27+ y2 27+ y2
M M
18 y
M
y 27+ y2 18 y 9
∴直线PA 的斜率k = 1 = M = M =- .
2 PA 2 x -2 54-2y2 -4 y2 2y
1 M -2 M M
27+ y2
M
y
∵直线NA 的斜率k = N,y y +9=0,
2 NA 2 2 M N
9
-
∴ = ,
y y 9 k
k = N = M =- PA 2
NA 2 2 2 2y
M
∴P,A ,N三点共线.
2
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页
