曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
10.4 直线与圆锥曲线的位置关系
三年模拟
一、选择题
x2 y2
1.(2022陕西宝鸡二模,6)椭圆 + =1中以点M(2,1)为中点的弦所在直线方程为( )
9 2
A.4x+9y-17=0 B.4x-9y-17=0
C.√7x+3 y-2√7-3=0D.√7x-3 y-2√7+3=0
答案 A 根据题意,设以点M(2,1)为中点的弦的两端点为A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
则有
{x2 y2
1+ 1=1,
9 2 x2-x2 y2- y2 y - y 2 4 4
两式相减可得 1 2=- 1 2,又由点M(2,1)是弦AB的中点,则有x1+x2=4,y1+ y2=2,则有 1 2=- × =-
x2 y2 9 2 x -x 9 2 9
2+ 2=1, 1 2
9 2
4 4
即 以点 M(2,1) 为中点的弦所在直线斜率为 - ,所以直线方程为y-1=- (x-2),即
9 9
4x+9y-17=0,故选A.
x2
2.(2021东北三校第一次联考,11)已知A,B分别是椭圆C: +y2=1的右顶点和上顶点,P
4
为椭圆C上一点,若△PAB的面积是√2-1,则P点的个数为( )
A.0 B.2 C.3 D.4
答案 C 由已知得A(2,0),B(0,1),所以|AB|=
1 1
√5,直线AB的方程为y=- x+1,记直线l为过点P且与直线AB平行的直线,设l:y=-
2 2
|m-1| 2√5
=
x+m(m≠1),则直线l与直线AB间的距离d= √
12+
(1) 2 5 |m-1|,所以S △PAB =1
2
·|AB|·d=|
2
m-1|=
1 1
{y=- x+√2, {y=- x+2-√2,
2 2
√2-1.解得m=√2或m=2-√2.当m=√2时,由 得x2-2√2x+2=0,此时Δ=0,直线与椭圆C只有一个交点;当m=2-√2时,由 得x2-(4-2√2)x+10-8√2
x2 x2
+ y2=1, + y2=1,
4 4
=0,此时Δ>0,直线l与椭圆C有两个交点,所以满足条件的点P有3个,故选C.
3.(2021云南昆明、玉溪重点中学3月联考,10)根据圆锥曲线的光学性质:从双曲线的一
个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此
可得,过双曲线上任意一点的切线,平分该点与两焦点连线的夹角.已知F ,F 分别是双曲
1 2
y2
线C:x2- =1的左、右焦点,若从点F 发出的光线经双曲线右支上的点A(x ,2)反射后,反
2 0
2
射光线为射线AM,则∠F
2
AM的平分线所在的直线的斜率为( )
第 1 页 共 17
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
√3 √3
A.-√3B.- C. D.√3
3 3
y2
答案 B 如图,因为点A(x ,2)在双曲线C:x2- =1的右支上,所以x0=√3,即A(√3
0
2
,2),设双曲线在点A处的切线为l,切线的斜率为k,∠F
2
AM的平分线所在直线的斜率为k
1
,
由题意可知k·k =-1.
1
解法一:因为l:y-2=k(x-
{y-2=k(x-√3),
4k-2√3k2
√3),所以联立得 y2 化简得(k2-2)x2+(4k-2√3k2)x+3k2-4√3k+6=0,因为Δ=0,所以x0=- =√3
x2- =1, 2(k2-2)
2
.
√3
解得k=√3,所以k1=- ,故选B.
3
解法二:当y>0时,由x2-y2 (x2-1 1 1×(x2-1
=1知y=√2 )2,所以y'=√2×
2 2
1
- √2x √2×√3 √3,故选B.
) 2×2x= ,所以k= =√3,所以k1=-
√x2-1 √3-1 3
知识拓展 双曲线 x2 - y2 =1(a>0,b>0)上任意一点P(x 0 ,y 0 )处的切线方程为 x 0 x - y 0 y=1.
a2 b2 a2 b2
4.(2022江西上饶模拟,10)第24届冬季奥林匹克运动会闭幕式于2022年2月20日在国
家体育场(鸟巢)举行.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示,内外两层的钢骨架
是离心率相同的椭圆.假设内层椭圆的标准方程为
x2 y2 x2 y2
+ =1,外层椭圆的标准方程为 + =1,若由外层椭圆上的一点A向内层椭圆
4 3 8 6
引切线AC,AB,且两切线斜率都存在,则两切线斜率的积等于( )
3 4 √3
A.- B.- C.- D.不确定
4 3 2
答案 A 不妨设A(-2√2,0),切线方程为y=k(x+2√2),
第 2 页 共 17
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
{y=k(x+2√2),
由 x2 y2 得(3+4k2)x2+16√2 k2x+32k2-12=0,
+ =1
4 3
根据题意得Δ=(16
3
√2k2)2-4(3+4k2)(32k2-12)=0,即4k2-3=0,所以k ACk AB=- .
4
故选A.
5.(多选)(2022湖北部分学校11月质量检测,11)某学校航天兴趣小组利用计算机模拟
“天问一号火星探测器”的运动,如图,探测器在环火星椭圆轨道近火星点M处制动(俗
称“踩刹车”)后,以v km/s的速度进入距离火星表面n km 的环火星圆形轨道(火星的
球心为椭圆的一个焦点),环绕周期为t s.已知R为火星的半径,远火星点N到火星表面的
最近距离为m km,则( )
m-n
A.椭圆轨道的离心率为
m+n+2R
B.圆形轨道的周长为vt km
vt
C.火星半径为 km
2π
D.近火星点与远火星点的距离为( vt)km
m-n+
π
答案 ABD 以线段MN的中点为原点,MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y
轴,且向右的方向为x轴正方向,向上的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系,设椭圆
方程为
x2 y2 c m-n vt ( vt ) ( vt ) ( vt)
+ =1(a>b>0),则m+R=a+c,n+R=a-c,所以2a=m+n+2R,2c=m-n,故离心率e= = ,A正确;以v km/s的速度进入距离火星表面n km的环火星圆形轨道,环绕周期为t s,所以圆形轨道的周长为vt km,半径为 km,所以火星半径为 -n km,B正确,C错误;近火星点与远火星点的距离为2a=n+2R+m=n+2 -n +m= m-n+
a2 b2 a m+n+2R 2π 2π 2π π
km,D正确.故选ABD.
x2 y2
6.(多选)(2022重庆实验外国语学校入学考,11)如图,P为椭圆C : + =1上的动点,过点
1
8 6
P作C 的切线交圆C :x2+y2=24于点M,N.过M,N作C 的切线交于点Q,则( )
1 2 2
A.S 的最大值为√3
△OPQ
第 3 页 共 17
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
2√3
B.S 的最大值为
△OPQ
3
x2 y2
C.Q的轨迹方程是 + =1
36 48
x2 y2
D.Q的轨迹方程是 + =1
72 96
答案 AD 设点P(x 1 ,y 1 ),点Q(m,n).连接OQ,OP,PQ,
由已知可知线段MN是圆C 与以线段OQ为直径的圆的公共弦,以线段OQ为直径的圆
2
的方程为x(x-m)+y(y-n)=0,圆C 的方程为x2+y2=24,两圆方程相减得直线MN的方程为
2
mx+ny=24,又直线MN与椭圆
x2 y2 x x y y x m y n m n x2 y2 x2 y2 m2 n2 x2 y2
+ =1相切于点P(x1,y1),∴直线MN的方程为 1 + 1 =1,由此可得 1= , 1= ,∴x1= ,y1= ,又∵P(x1,y1)在椭圆 + =1上,∴ 1+ 1=1,∴ + =1,因此点Q的轨迹方程为 +
8 6 8 6 8 24 6 24 3 4 8 6 8 6 72 96 72 96
=1,设直线MN交OQ于H,故OQ⊥MN,即OQ⊥PH,则直线OQ的方程为nx-my=0,∴P到
直线OQ的距离d= |nx 1 -m y 1 | ,又|OQ|=√m2+n2,因此S △OPQ =1 ·|OQ|·d=
√m2+n2 2
1 1 1 1√ x2 y2 ≤
|nx1-my1|= |x1y1|= √x2·y2= 48· 1· 1
2 2 2 1 1 2 8 6
1 √
48×
1(x
1
2
+
y
1
2 ) 2
=√3,当且仅当
x
1
2
=
y
1
2
,且
x
1
2
+
y
1
2 =1,即 x2=4,
1
2 4 8 6 8 6 8 6
,故选AD.
y2=3时取得最大值√3
1
二、填空题
7.(2022河南焦作二模,14)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F作斜率为k的直线l,l与C交
5
于A,B两点,若|AB|= p,则k= .
2
答案 ±2
解析 由题易知k≠0,设l:y=k
{ ( p)
( p) y=k x- , k2p2 k2+2 2k2+2 2k2+2 5
x- ,联立 2 消元得k2x2-(k2+2)px+ =0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= p,所以|AB|=x1+x2+p= p,所以 =
2 4 k2 k2 k2 2
y2=2px,
,解得k=±2.
8.(2022四川绵阳二模,15)已知A,B为抛物线C:x2=4y上的两点,M(-1,2),若⃗AM=⃗MB ,则
直线AB的方程为 .
答案 x+2y-3=0
解析 由题意知点M(-1,2)在抛物线内,点M(-1,2)是线段AB的中点,设A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
{x2=4 y ,
则x +x =-2,由 1 1 得(x -x )(x +x )=4(y -y ),
1 2 1 2 1 2 1 2
x2=4 y
2 2
第 4 页 共 17
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
即k =y - y x +x 1,
AB 1 2= 1 2=-
x -x 4 2
1 2
1
则直线AB的方程为y-2=- (x+1),即x+2y-3=0.
2
由{x+2y-3=0, 消去y得x2+2x-6=0,此时Δ=22-4×(-6)=28>0,满足题意,故直线AB的方
x2=4 y,
程为x+2y-3=0.
9.(2022银川一中一模,15)抛物线y2=4x的准线与x轴相交于点P,过点P作斜率为k(k>0)
的直线交抛物线于A,B两点,F为抛物线的焦点,若|FA|=3|FB|,则直线AB的斜率k=
.
√3
答案
2
解析 由题可知P(-1,0),设A(x ,y ),B(x ,y ),由|FA|=3|FB|得,x +1=3(x +1),即x =3x +2①,
1 1 2 2 1 2 1 2
易知直线AB的方程为y=kx+k,与y2=4x联立得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,则x x =1②,由①②解
1 2
得x =
2
1 2√3-0 √3
,x1=3(负值舍去),将x1=3代入y2=4x,由k>0知y1>0,解得A(3,2√3),∴k= =
3 3-(-1) 2
.
10.(2022内蒙古赤峰二模,16)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线与抛物线
15
C交于A(x ,y ),B(x ,y )两点,若x -x = ,则直线AB的方程为 .
1 1 2 2 2 1
4
4 4 4 4
答案 y= x- 或y=- x+
3 3 3 3
解析 焦点F的坐标为(1,0),显然直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-1),其
中k≠0,联立方程
{ y2=4x, 消去y后整理为k2x2-(2k2+4)x+k2=0,可得x1+x2= 2k2+4 =2+ 4 ,x1x2=1,则|x2-x1|=√(x +x )2-4x x = √ ( 2+ 4 ) 2 -4= 15 ,解得k=± 4 .故直线AB的方程为y= 4 x- 4 或y=- 4 x+ 4
y=k(x-1), k2 k2 2 1 1 2 k2 4 3 3 3 3 3
三、解答题
11.(2022长沙长郡等十五校联考(一),20)设椭圆E:
x2 y2 1 ( 3)
+ =1(a>b>0),点F1,F2为E的左、右焦点,椭圆的离心率e= ,点P 1,
a2 b2 2 2
在椭圆E上.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)M是直线x=4上任意一点,过M作椭圆E的两条切线MA,MB(A,B为切点).
①求证:MF 2⊥AB;
②求△MAB面积的最小值.
第 5 页 共 17
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
c 1
{ = ,
a 2
{a2=4,
(3) 2
解析 (1)由 得 b2=3,
1 2
+ =1, c2=1,
a2 b2
a2=b2+c2
x2 y2
所以椭圆E的标准方程为 + =1.
4 3
(2)①证明:设A(x ,y ),B(x ,y ),M(4,t).
A A B B
易知 椭圆 E 在点 A 处的切线 AM 的方程为
x x y y x x y y
A + A =1,在点B处的切线BM的方程为 B + B =1.
4 3 4 2
4x t y
{ A+ A =1,
又直线AM,BM过点M(4,t),则
4 3
即
{3x
A
+t y
A
=3,
4x t y 3x +t y =3,
B+ B=1, B B
4 3
故点A(x ,y ),B(x ,y )在直线3x+ty=3上,故直线AB的方程为3x+ty=3.
A A B B
当t=0,即M(4,0)时,直线AB的方程为x=1,
则MF 2⊥AB.
3 3
当t≠0时,直线AB的方程为y=- x+ .
t t
又F
2
(1,0),则
k =
t ,所以
k
·k
AB
=t ·(
-
3)=-1,即MF 2⊥AB.
MF 2 3 MF 2 3 t
②由①知直线AB的方程为3x+ty=3,
与椭圆E的方程联立消去x得(t2+12)y2-6ty-27=0,
6t -27
则y +y = ,y A yB= ,
A B t2+12 t2+12
1
S = ·|AB|·|MF |
△MAB
2
2
=1√ 1+ ( - t ) 2√ ( 6t ) 2 -4· -27 ·√(4-1)2+t2
2 3 t2+12 t2+12
=2(t2+9)√t2+9,
t2+12
令m= ,m≥3,
√t2+9
2(t2+9)√t2+9 2m3 2
则S
△MAB
=
t2+12
=
m2+3
=
1 3
在m∈[3,+∞)上单调递增,
+
m m3
第 6 页 共 17
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
9
所以当m=3时,S 取最小值 .
△MAB
2
x2
12.(2022哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一联,20)已知椭圆C:
4
+y2=1,点P为椭圆C上非顶点的动点,点A ,A 分别为椭圆C的左、右顶点,过A ,A 分别
1 2 1 2
作l 1⊥PA
1
,l 2⊥PA
2
,直线l
1
,l
2
相交于点G,连接OG(O为坐标原点),线段OG与椭圆C交于点
Q.若直线OP,OQ的斜率分别为k ,k .
1 2
(1)求 k 的值;
1
k
2
(2)求△POQ面积的最大值.
解析 (1)由题知,A (-2,0),A (2,0).
1 2
设P(x ,y )(x ≠0,y ≠0),( 在设点的坐标时 , 注意题中的限制条件 , 并根据限制条件写出参数的
0 0 0 0
范围)
则k =y ,
1 0
x
0
∵
k =
y
0
,
k =
y
0
,l 1⊥PA
1
,l 2⊥PA
2
,∴
k =-
x
0
+2 ,
PA 1 x +2 PA 2 x -2 l 1 y
0 0 0
x -2 x +2 x -2
k =- 0 ,∴直线l1的方程为y=- 0 (x+2),直线l2的方程为y=- 0
l 2 y y y
0 0 0
(x-2).
x +2
{ y=- 0 (x+2),
{
x=-x ,
y 0
由 0 得 x2-4
x -2 y= 0 ,
y=- 0 (x-2) y
y 0
0
又点P在椭圆C上,∴x2 + =1,∴G(-x ,-4y ),
0 y2 0 0
4 0
∴k =4 y k 1.
2 0,∴ 1=
x k 4
0 2
(2)根据(1)可知直线OP的方程为y=k x直线OQ的方程为y=4k x.
1 1
{
y=k x,
1 2
由
x2
+ y2=1
得(4k
1
2+1)x2=4,解得x=±
√4k2+1
,
4 1
根据椭圆的对称性,不妨设x >0,
0
( 2 2k ) 2√1+k2
则P , 1 ,|OP|= 1.
√4k2+1 √4k2+1 √4k2+1
1 1 1
第 7 页 共 17
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
{y=4k x,
1
由
x2
得(1+64 k2)x2=4.
+ y2=1 1
4
设G(x ,y ),Q(x ,y ),
G G Q Q
由(1)知,x ,x 异号,∴x ,x 异号,
0 G 0 Q
(-2 -8k )
∴Q , 1 .
√64k2+1 √64k2+1
1 1
|6k |
∴点Q到直线OP的距离d= 1 .(圆锥曲线中与面积有关的问题,常用到两
√1+k2√64k2+1
1 1
点间距离公式与点到直线的距离公式求相关线段的长)
1 1
2√1+k2
S △POQ = |OP|d= · 1·
2 2 √4k2+1
1
|6k | 6|k | √ k2
1 = 1 =6 1
√1+k2√64k2+1 √4k2+1√64k2+1 (4k2+1)(64k2+1)
1 1 1 1 1 1
√ 1
=6 .
1
256k2+68+
1 k2
1
∵256 k2+ 1 ≥32,∴S △POQ ≤3,当且仅当256 k2= 1 ,即k1=± 1 时取“=”.∴△POQ面积的
1 k2 5 1 k2 4
1 1
3
最大值为 .
5
13.(2022陕西省西安中学五模,21)在平面直角坐标系中,用k(l ,l )表示直线l 与直线l 的
1 2 1 2
1
斜率之积,已知A(-4,0),B(4,0),k(PA,PB)=- ,记点P的轨迹为C.
2
(1)求轨迹C的方程;
7
(2)已知D,E为轨迹C上的两点,且k(AD,AE)=- ,求△BDE面积的最大值.
2
y y 1 x2 y2
解析 (1)设P(x,y)(x≠±4),则k(PA,PB)= · =- ,整理得 + =1(x≠±4),
x+4 x-4 2 16 8
x2 y2
故轨迹C的方程为 + =1(x≠±4).
16 8
(2)设D(x ,y ),E(x ,y ),x =±4,x ≠±4,
1 1 2 2 1 2
7
因为k(AD,AE)=- ,所以直线DE的斜率不为0,
2
设直线DE的方程为x=my+t,t≠±4,
第 8 页 共 17
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
{x2 y2
联立 + =1,整理得(m2+2)y2+2mty+t2-16=0,①
16 8
x=my+t,
则y y
=t2-16,
1 2
m2+2
{x2 y2
联立 + =1,整理得(m2+2)x2-4tx+2t2-16m2=0,②
16 8
my=x-t,
则x +x = 4t 2t2-16m2 ,
1 2 ,x1x2=
m2+2 m2+2
故(4+x )(4+x )=16+4(x +x )+x x
=2(t+4)2
,
1 2 1 2 1 2
m2+2
所以k(AD,AE)= y y t2-16 7,解得t=-3或t=-4(舍),
1 2 = =-
(4+x )(4+x ) 2(t+4)2 2
1 2
故直线DE恒过点(-3,0),
此时对于①,Δ=8(8m2+16-t2)=8(8m2+7)>0,
√8m2+7 56√2
易得△BDE的面积S=7
2
|y1- y2|=
7
2
·
m
√
2+
Δ
2
=56√2· 8m2+7+9
=
√8m2+7+
9
√8m2+7
28√2
≤ ,
3
当且仅当√8m2+7= 9
,即m=±
1时取等号,故△BDE的面积的最大值为28√2.
√8m2+7 2 3
解题关键 解决(2)的关键是联立直线DE和轨迹C的方程,结合根与系数的关系以及斜
率公式得出k(AD,AE)= y y t2-16 7,进而得出直线DE恒过点
1 2 = =-
(4+x )(4+x ) 2(t+4)2 2
1 2
(-3,0),从而得到△BDE面积的表达式并求得其最大值.
14.(2022丰台一模,19)已知椭圆C:
x2 y2 √3.
+ =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,且|AB|=4,离心率为
a2 b2 2
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P是椭圆C上不同于A,B的一点,直线PA,PB与直线x=4分别交于点M,N.若|MN|
≤4,求点P横坐标的取值范围.
第 9 页 共 17
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
2a=4,
{
解析 (1)由题意得 c = √3 , 解得 {a=2,
a 2 b=1.
a2=b2+c2,
x2
所以椭圆C的方程是 +y2=1.
4
(2)设P(m,n)(-2<m<2),
由已知得A(-2,0),B(2,0),
n n
所以直线AP,BP的方程分别为y= (x+2),y= ·(x-2).
m+2 m-2
6n 2n
令x=4,得点M的纵坐标为y = ,点N的纵坐标为yN= ,
M m+2 m-2
所以|MN|=| 6n
-
2n |
=
|4n(m-4)|.
m+2 m-2 m2-4
m2
因为点P在椭圆C上,所以 +n2=1,
4
所以m2-4=-4n2,即|MN|=|m-4|.
n
因为|MN|≤4,所以|m-4|≤4,即(m-4)2≤16n2.
n
所以(m-4)2≤-4(m2-4).
8
整理得5m2-8m≤0,解得0≤m≤ .
5
所以点P横坐标的取值范围是[ 8].
0,
5
15.(2022西城期末,20)已知椭圆M:
x2 y2 .
+ =1(a>b>0)的焦点为F(2,0),长轴长与短轴长的比值为√2
a2 b2
(1)求椭圆M的方程;
(2)过点F的直线l与椭圆M交于A,B两点,BC⊥x轴于点C,AD⊥x轴于点D,直线BD交直
线x=4于点E,求△ECD与△EAB的面积之比.
a
解析 (1)由题设知 =√2,所以a2=2b2.
b
又因为c=2,a2=b2+c2,所以2b2=b2+4.
解得b2=4,a2=8.
x2 y2
所以椭圆M的方程为 + =1.
8 4
(2)由题意可知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-2).
第 10 页 共 17
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
由{y=k(x-2), 得(1+2k2)x2-8k2x+(8k2-8)=0.
x2+2y2=8
设A(x ,y ),B(x ,y ),则x +x =
8k2 8k2-8.
1 1 2 2 1 2 ,x1x2=
1+2k2 1+2k2
因为AD⊥x轴,所以D(x
1
,0).
y y (4-x )
直线BD的方程为y= 2 (x-x1),所以E ( 4, 2 1 ).
x -x x -x
2 1 2 1
因为BC⊥x轴,所以C(x
2
,0).
所以k = y y (4-x ) .
AC 1 ,kEC= 2 1
x -x (x -x )(4-x )
1 2 2 1 2
所以k -k = y (4-x ) y
EC AC 2 1 - 1
(x -x )(4-x ) x -x
2 1 2 1 2
=y (4-x )+ y (4-x )
2 1 1 2
(x -x )(4-x )
2 1 2
=k(x -2)(4-x )+k(x -2)(4-x )
2 1 1 2
(x -x )(4-x )
2 1 2
k
= ·[6(x +x )-2x x -16]
(x -x )(4-x ) 1 2 1 2
2 1 2
= 2k ·( 24k2
-
8k2-8
-8
)
(x -x )(4-x ) 1+2k2 1+2k2
2 1 2
= 16k ·3k2-k2+1-1-2k2=0.
(x -x )(4-x ) 1+2k2
2 1 2
所以C,A,E三点共线.
因为BC∥AD,所以S
△ACD
=S
△ABD
,所以S
△ECD
=S
△EAB
,
所以S ∶S =1∶1.
△ECD △EAB
16.(2022天津七中线上测试,18)已知曲线C上的动点M与定点F(-
√2
√2,0)的距离和它到定直线l1:x=-2√2的距离的比是常数 ,若过P(0,1)的动直
2
线l与曲线C相交于A,B两点.
(1)说明曲线C的形状,并写出其标准方程;
|QA| |PA|
(2)是否存在与点P不同的定点Q,使得 = 恒成立?若存在,求出点Q 的坐标;
|QB| |PB|
若不存在,请说明理由.
解析 (1)设动点M的坐标为(x,y),到定直线l :x=-2√2的距离为d,
1
第 11 页 共 17
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
则|MF| √2 √(x+√2)2+ y2 √2,
= ,即 =
d 2 |x+2√2| 2
x2 y2 x2 y2
化简得 + =1,∴曲线C是椭圆,它的标准方程为 + =1.
4 2 4 2
(2)存在,Q(0,2).
|QA| |PA|
①当直线l与y轴垂直时,由椭圆的对称性可得|PA|=|PB|,又 = ,∴|QA|=|QB|,
|QB| |PB|
∴点Q在y轴上.
②当直线l与x轴垂直时,不妨取A(0,√2),B(0,-√2),
由①可设Q(0,y )(y ≠1),
0 0
由
|QA|
=
|PA|
得
|y
0
-√2|
=
√2-1,
|QB| |PB| |y +√2| √2+1
0
解得y =2或y =1(舍).
0 0
所以点Q的坐标为Q(0,2).
|QA| |PA|
下面只需证明直线l斜率存在且Q(0,2)时均有 = 即可.设直线l的方程为
|QB| |PB|
y=kx+1,
联立直线l的方程与椭圆C的方程,消y得(2k2+1)x2+4kx-2=0,设A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
4k 2
∵Δ>0,∴x +x =- ,x1x2=- ,
1 2 2k2+1 2k2+1
∴ 1 1 x +x =2k.
+ = 1 2
x x x x
1 2 1 2
设点B关于y轴的对称点B'的坐标为(-x ,y )
2 2
∵直线QA的斜率k =y -2 kx -1 1 ,
QA 1 = 1 =k-
x x x
1 1 1
直线QB'的斜率k =y -2 kx -1 1 ,
QB' 2 = 2 =-k+
-x -x x
2 2 2
∴k -k =2k-( 1 1 )=2k-2k=0,
QA QB' +
x x
1 2
即k =k ,∴Q,A,B'三点共线,
QA QB'
∴|QA| |QA| |x | |PA| ,
= = 1 =
|QB| |QB'| |x | |PB|
2
综上,存在点Q(0,2)满足题意.
深度解析 证明定点存在时,可先由特殊情况求出定点,再证明其在所有情况下均成立.
第 12 页 共 17
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
17.(2022天津部分区一模,19)已知椭圆
x2 y2 √2 .
+ =1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,离心率为 ,且|AB|=√6
a2 b2 2
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点A的直线与椭圆相交于点H( 2 4),与y轴相交于点S,过点S的另一条直线
- ,
3 3
3
l与椭圆相交于M,N 两点,且△ASM的面积是△HSN面积的 倍,求直线l的方程.
2
{a2=b2+c2,
解析 (1)由 c = √2 , 解得 {a2=4,
a 2 b2=2,
a2+b2=6,
x2 y2
所以椭圆的方程为 + =1.
4 2
1 1
(2)易得k =- ,所以直线AH的方程为y=- (x-2),
AH
2 2
所以点S的坐标为(0,1).
√2+1 √2-1
①当直线l的斜率不存在时,S =√2-1,S = 或S =√2+1,S = ,都与
△ASM △HSN
3
△ASM △HSN
3
已知不符.
②当直线的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1,M(x ,y ),N(x ,y ),
1 1 2 2
{x2 y2
由 + =1,得(1+2k2)x2+4kx-2=0,
4 2
y=kx+1,
-4k -2
x +x = ,x ·x = ,
1 2 1+2k2 1 2 1+2k2
1
S
△ASM
=
2
|AS|·|MS|sin∠ASM,
1
S
△HSN
=
2
|HS|·|NS|sin∠HSN,
由2S =3S 得,2|AS|·|MS|=3|HS|·|NS|,
△ASM △HSN
|AS| |NS|
即2 =3 ,
|HS| |MS|
又|AS| x |NS| =2,即x =-2x ,
= A =3,所以 2 1
|HS| -x |MS|
H
4k -8k
所以x = ,x2= ,
1 1+2k2 1+2k2
第 13 页 共 17
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
所以x ·x =-32k2 -2 ,
1 2 =
(1+2k2)2 1+2k2
1 √14
解得k2= ,k=± ,
14 14
√14 √14
所以,直线l的方程为y= x+1或y=- x+1.
14 14
一年创新
x2 y2
1.(2022甘肃顶尖名校3月联考,8)直线y=kx(k∈R)与椭圆 + =1相交于A,B两点,若将
6 2
x轴下方半平面沿着x轴翻折,使之与上半平面成直二面角,则|AB|的取值范围是( )
A.[√2,√6)B.[2,2√6]
C.(2,2√6] D.(2,6]
答案 C 解法一:在平面直角坐标系中,设A(x ,y ),B(x ,y ),由
1 1 2 2
{
y=kx,
6 ,x +x =0,所以 =
x2 y2 可得(1+3k2)x2-6=0,可得x1x2=- 1 2 x2
+ =1, 1+3k2 1
6 2
6
x2=
.
2 1+3k2
将x轴下方半平面沿着x轴翻折,使之与x轴上方半平面所成的角为直角,如图所示,
作BC⊥x轴,AD⊥x轴,垂足分别为C,D,则|AB|2=|BC|2+|CD|2+|AD|2.因为|BC|2=
y2
=k2
x2
,|AD|
2 2
24
2=y2=k2x2,|CD|2=(x -x )2=x2+x2-2x1x2=(x1+x2)2-4x1x2= ,所以|AB|2=|BC|
1 1 1 2 1 2 1+3k2
2+|CD|2+|AD|2=k2 x2 +k2 x2+ 24 = 12k2+24 = 4(3k2+1+5) =4 ( 1+ 5 ).因为
1 2 1+3k2 1+3k2 1+3k2 1+3k2
k2≥0,所以3k2+1≥1,所以0< 5 ≤5,所以4<4·(
1+
5 )≤24,即4<|AB|2≤24,所以2<|
3k2+1 1+3k2
AB|≤2√6,所以|AB|的取值范围是(2,2√6],故选C.
解法二:在平面直角坐标系中,由
x2 y2
+ =1可知,椭圆的短轴长2b=2√2,长轴长2a=2√6,因为直线y=kx(k∈R)与椭
6 2
第 14 页 共 17
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
圆相交于A,B两点,所以翻折前|AB|的最大值为2
√6.将x轴下方半平面沿着x轴翻折,使之与x轴上方半平面所成的角为直角,则此时|AB|的最大值仍然是长轴长2√6,而短轴两个端点间的距离为√b2+b2
=2,因为A,B不可能在短轴端点处,所以2<|AB|≤2√6,故选C.
2.(2021 5·3原创题)已知椭圆C:
y2 x2 √3,M,N为椭圆C上异于
+ =1(a>b>0)的上、下顶点分别为A,B,离心率为
a2 b2 2
A,B的两点,当M,N为椭圆短轴的两个端点时,四边形AMBN的面积为4.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)当直线MN过点(0,-1)时,是否存在实数λ,使得k =λk 成立?若存在,求出实数λ;若不
AM BN
存在,请说明理由.
解析 (1)设椭圆C的焦距为2c,
由题意可知e=c √3 b2 1,①
= ,即 =
a 2 a2 4
1
又S = ×2a×2b=2ab=4,所以ab=2,②
四边形AMBN
2
由①②可得a=2,b=1,
y2
所以椭圆C的标准方程为 +x2=1.
4
(2)解法一:由题意可知直线MN的斜率存在,设为k,
则直线MN的方程为y=kx-1,
{y=kx-1,
由 得(k2+4)x2-2kx-3=0.
y2
x2+ =1
4
2k 3
设M(x ,y ),N(x ,y ),则x +x = ,x1x2=- ,
1 1 2 2 1 2 k2+4 k2+4
8
∴y +y =k(x +x )-2=- ,
1 2 1 2 k2+4
y y =(kx -1)(kx -1)=k2x x -k(x +x )+1=-4k2+4,
1 2 1 2 1 2 1 2
k2+4
由题意可知A(0,2),B(0,-2).
∴k =y -2 y +2,
AM 1 ,kBN= 2
x x
1 2
∵点M(x ,y )在椭圆C上,∴y2 + =1,即 -4=-4 .
1 1 1 x2 y2 x2
4 1 1 1
假设存在实数λ,使得k =λk 成立,
AM BN
第 15 页 共 17
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
则λ=k
AM =
y
1
-2
·
x
2 =
x
2
(y
1
-2)(y
1
+2)
k x y +2 x (y +2)(y +2)
BN 1 2 1 2 1
= x (y2-4) -4x2x
2 1 = 1 2
x [y y +2(y + y )+4] x [y y +2(y + y )+4]
1 1 2 1 2 1 1 2 1 2
( 3 )
-4· -
-4x x k2+4
= 1 2 = =3.
y
1
y
2
+2(y
1
+ y
2
)+4 -4k2+4
+2· (
-8
) +4
k2+4 k2+4
故存在实数λ,使得k =λk 成立,且λ=3.
AM BN
解法二:由题意可知直线MN的斜率存在,设为k,
则直线MN的方程为y=kx-1,
{y=kx-1,
由 得(k2+4)x2-2kx-3=0,
y2
+x2=1,
4
2k 3
设M(x ,y ),N(x ,y ).则x +x = ,x1x2=- ,
1 1 2 2 1 2 k2+4 k2+4
∴y +y =k(x +x )-2=- 8 ,y y =(kx -1)·(kx -1)=k2x x -k(x +x )+1=-4k2+4,
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
k2+4 k2+4
由题意知A(0,2),B(0,-2).
∴k =y -2 y +2 y +2,
AM 1 ,kBM= 1 ,kBN= 2
x x x
1 1 2
y2
∵点M(x ,y )在椭圆C: +x2=1上,
1 1
4
∴ -4=-4 ,
y2 x2
1 1
y -2 y +2 y2-4 -4x2
∴k AM ·k BM = 1 · 1 = 1 = 1=-4.
x x x2 x2
1 1 1 1
假设存在实数λ,使得k =λk 成立,
AM BN
则λ=k k ·k -4 ,
AM = AM BM =
k k ·k k ·k
BN BN BM BN BM
而k BN ·k BM =y 1 +2 · y 2 +2 = y 1 y 2 +2(y 1 + y 2 )+4
x x x x
1 2 1 2
第 16 页 共 17
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
-4k2+4
(
-8
)
+2· +4
=
k2+4 k2+4
3
-
k2+4
-4k2+4-16+4k2+16 4
= =- .
-3 3
∴λ=-4 ( 3)=3.
=-4× -
k ·k 4
BN BM
故存在实数λ,使得k =λk 成立,且λ=3.
AM BN
第 17 页 共 17
页
