曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
10.4 直线与圆锥曲线的位置关系
五年高考
考点 直线与圆锥曲线的位置关系
y2
1.(2015四川,5,5分,基础性)过双曲线x2- =1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线
3
的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=( )
4√3
A. B.2√3C.6D.4√3
3
答案 D
2.(2014天津,5,5分,基础性)已知双曲线x2 y2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线
−
a2 b2
l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )
x2 y2 x2 y2
A. − =1 B. − =1
5 20 20 5
3x2 3 y2 3x2 3 y2
C. − =1D. − =1
25 100 100 25
答案 A
2
3.(2018课标Ⅰ理,8,5分,综合性)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为 的直
3
线与C交于M,N两点,则⃗FM·⃗FN= ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 D
4.(多选)(2022新高考Ⅰ,11,5分,综合性)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线
C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则( )
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
答案 BCD
5.(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分,综合性)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点
F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则 ( )
A.直线AB的斜率为2√6
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM<180°
答案 ACD曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
6.(2015湖南,13,5分,综合性)设F是双曲线C:x2 y2
=1的一个焦点.若C上存在点P,使
−
a2 b2
线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为 .
答案 √5
7.(2021浙江,16,6分,综合性)已知椭圆x2 y2
=1(a>b>0),焦点F (-c,0),F (c,0)(c>0).若过F
+ 1 2 1
a2 b2
的直线和圆(
x-
1
c
) 2 +y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF 2⊥x轴,则该直线的斜
2
率是 ,椭圆的离心率是 .
2√5 √5
答案 ;
5 5
8.(2020新高考Ⅰ,13,5分,综合性)斜率为√3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于
A,B两点,则|AB|= .
16
答案
3
x2 y2
9.(2019浙江,15,4分,综合性)已知椭圆 + =1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的
9 5
上方.若线段PF的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是
.
答案 √15
10.(2022全国甲,理20,文21,12分,综合性)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),
过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.
(1)求C的方程;
(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当
α-β取得最大值时,求直线AB的方程.
解析 (1)由题意知F(p ) p,
,0 ,所以|DF|=
2 2
当MD⊥x轴时,点M的坐标为(p,±√2p),|MD|=√2p.
在Rt△MDF中,|MF|2=|MD|2+|DF|2,即32=( p)2+(p) 2 ,得p2=4,又p>0,所以p=2.
√2
2
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)设M(x ,y ),N(x ,y ),A(x ,y ),B(x ,y ),直线MN的方程为x=my+1,
1 1 2 2 3 3 4 4曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
由{x=my+1, 得y2-4my-4=0,
y2=4x
Δ =16m2+16>0恒成立,且y y =-4.
1 1 2
y - y y - y 4 4
由斜率公式可得k =
1 2= 1 2 = ,同理kAB=
.
MN x -x y2 y2 y + y y + y
1 2 1- 2 1 2 3 4
4 4
直线MD的方程为x=x -2 4(x -2) y-8=0.
1 y+2,代入y2=4x中可得2y− 1
y y
1 1
Δ >0且y y =-8,所以y =2y ,
2 1 3 3 2
同理y =2y ,
4 1
所以k = 4 2 k ,
AB = = MN
y + y y + y 2
3 4 1 2
又因为直线MN,AB的倾斜角分别为α,β,
k tanα
所以k =tan β= MN = ,
AB
2 2
若要使 α-β 最大 , 则 β ∈ ( 0, π).
2
tanα-tanβ k 1
= =
设k
MN
=2k
AB
=2k,k>0,则tan(α-β)=1+tanαtanβ 1+2k2 1
+2k
≤
k
1 √2 1 √2
= ,当且仅当 =2k,即k= 时,等号成立,
√1 4 k 2
2 ·2k
k
所以当α-β最大时,设直线AB的方程为x=√2y+n,
由{x=√2y+n, y-4n=0,
得y2−4√2
y2=4x
则y y =-4n=4y y =-16.
3 4 1 2
所以n=4,所以直线AB的方程为x-√2y-4=0.
11.(2022新高考Ⅰ,21,12分,综合性)已知点A(2,1)在双曲线C:x2 y2
=1(a>1)上,直线l
−
a2 a2-1
交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率;
(2)若tan∠PAQ=2√2,求△PAQ的面积.
4 1
解析 (1)∵点A在双曲线上,∴ − =1,
a2 a2-1曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
x2
解得a2=2.∴C的方程为 -y2=1.①
2
设直线l:y=kx+m.②
联立①②,消去y得(1-2k2)x2-4kmx-2(m2+1)=0.
设P(x ,y ),Q(x ,y ),
1 1 2 2
则x +x = 4km 2m2+2,
1 2 ,x1x2=−
1-2k2 1-2k2
k =y -1 y -1,
PA 1 ,kQA= 2
x -2 x -2
1 2
由k +k =0,得 y -1 y -1=0,
PA QA 1 + 2
x -2 x -2
1 2
化简得2kx x +(m-2k-1)(x +x )-4(m-1)=0,
1 2 1 2
即2k·(
-
2m2+2)+(m-2k-1)· 4km -4(m-1)=0,
1-2k2 1-2k2
化简得(2k+m-1)(k+1)=0,
∴2k+m-1=0或k+1=0.
若2k+m-1=0,则l:y=k(x-2)+1,
这时直线l过点A,不合题意,
∴k+1=0,∴k=-1.
(2)由(1)知k=-1,从而l:y=-x+m,
设直线PA的倾斜角为α,直线QA的倾斜角为β,
则∠PAQ=α-β,
∴|tan(α-β)|=2 √2,即 | k PA -k QA | =2√2 ,
1+k ·k
PA QA
1
由题意知k =-k ,解得k2 =2或k2 = .
QA PA PA PA 2
√2
∵双曲线C的渐近线斜率为± ,
2
∴ ,
k2 =2,由对称性可取kPA=−√2,则kQA=√2
PA
∴直线PA的方程为y=-√2(x-2)+1,曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
{y=-√2(x-2)+1,
联立
x2
- y2=1,
2
10+4√2
得x = ,
1
3
10-4√2
同理,x = ,
2
3
4√3(√2+1)
∴|PA|=√1+k2 |x1−2|= ,
PA 3
4√3(√2-1)
|QA|=√1+k2 |x2−2|= ,
QA 3
2√2
由tan∠PAQ=2√2得sin∠PAQ= ,
3
1
∴S
△PAQ
=
2
|PA||QA|sin∠PAQ
1 4√3(√2+1) 4√3(√2-1) 2√2 16√2
= × × × = .
2 3 3 3 9
12.(2020天津,18,15分,综合性)已知椭圆x2 y2
=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,-3),右焦点
+
a2 b2
为F,且|OA|=|OF|,其中O为原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点C满足3⃗OC=⃗OF,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点),直线AB与以C为圆心的
圆相切于点P,且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.
解析 (1)由已知可得b=3.记半焦距为c,由|OF|=|OA|可得c=b=3.又由a2=b2+c2,可得a2=18.
x2 y2
所以椭圆的方程为 + =1.
18 9
(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以AB⊥CP.依题意,直线AB和直线CP
{
y=kx-3,
的斜率均存在.设直线AB的方程为y=kx-3.由
x2 y2
消去y,可得(2k2+1)·x2-
+ =1,
18 9
12kx=0,解得x=0或x=
12k ( 12k 6k2-3) ( 6k -3 )
.依题意,可得点B的坐标为 , .因为P为线段AB的中,点点A的坐标为(0,−3),所以点P的坐标为 ,
2k2+1 2k2+1 2k2+1 2k2+1 2k2+1
.由3⃗OC=
-3
-0
2k2+1 3
⃗OF,得点C的坐标为(1,0),故直线CP的斜率为 ,即 .又因为
6k 2k2-6k+1
-1
2k2+1
3 1
AB⊥CP,所以k· =−1,整理得2k2−3k+1=0,解得k= 或k=1.
2k2-6k+1 2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
1
所以直线AB的方程为y= x-3或y=x-3.
2
三年模拟
A组 考点基础题组
考点 直线与圆锥曲线的位置关系
y2
1.(2022湖南邵阳一模,7)双曲线C:x2- =1的左、右焦点分别为F ,F ,过F 作垂直于x轴
1 2 2
3
的直线交双曲线于A,B两点,△AF
1
F
2
的内切圆圆心为O
1
,△BF
1
F
2
的内切圆圆心为O
2
,则四
边形F O F O 的面积是( )
1 1 2 2
A.8 B.6 C.4 D.2
答案 C
2.(2021辽宁百校联盟质检,6)设双曲线C:
x2 y2 4b2
− =1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且垂直于x轴的直线与C相交所得的弦长为
a2 b2 √a2+b2
,则C的离心率为( )
A.√2B.2C.√3 D.3
答案 B
3.(2022湖北八市联考,15)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M是抛物线上异于顶点的一
点,⃗OM=2⃗ON(点O为坐标原点),过点N作直线OM的垂线与x轴交于点P,则2|OP|-|MF|
= .
答案 3
4.(2022辽宁名校联盟二轮复习联考(一),21)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线
上一点A(m,2)(m>0)到F的距离为3.
(1)求抛物线C的方程和点A的坐标;
(2)设过点B(2,0)且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M,N.若⃗BM=λ⃗BN,λ∈
(1 ),求斜率k的取值范围.
,4
4
解析 (1)由题意知2+
p
=3,解得p=2,所以抛物线C的方程为2=x4 y.将 点A(m,2)(m>0)代入x2=4 y,得m=2√2,所以点A的坐标为(2√2
2
,2).
(2)由题意知直线l:y=k(x-2),联立得{y=k(x-2), 消去y得x2-4kx+8k=0,
x2=4 y,曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
由Δ=16k2-32k>0,解得k<0或k>2.设M(x ,y ),N(x ,y ),则x +x =4k,x x =8k,⃗BM=(x -2,y ),
1 1 2 2 1 2 1 2 1 1
y x2 x 2
⃗BN =(x 2 -2,y 2 ),由 ⃗BM =λ⃗BN得y1=λy2,即λ= 1,又 x2=4y 1 , x2=4 y2,所以λ= 1=( 1 ) ∈
y 1 2 x2 x
2 2 2
(1
,4
)
,则
x 1∈(
-2,-
1)∪(1
,2
),
4 x 2 2
2
因为 (x
1
+x
2
)2
=
x
1+
x
2+2=
16k2
=2k,设t=
x
1,则2k=t+
1+2,因为t∈(
-2,-
1)∪
x x x x 8k x t 2
1 2 2 1 2
(1 ) 1∈( 5 ]∪[ 5),所以k∈( 1 ]∪
,2 ,则t+ - ,-2 2, - ,0
2 t 2 2 4
[ 9) ( 1 )∪( 9).
2, ,因为k<0或k>2,所以k的取值范围是- ,0 2,
4 4 4
B组 综合应用题组
时间:45分钟 分值55分
一、单项选择题(每小题5分,共10分)
1.(2022辽宁鞍山一中4月线上模拟,8)已知点P为双曲线x2 y2
=1(a>0,b>0)上一点(点P
−
a2 b2
在第一象限),点F
1
,F
2
分别为双曲线的左,右焦点,△PF
1
F
2
内切圆的半径为1.圆心为点I,若
3
∠F
1
IF
2
= π,|OI|=√3,则双曲线的离心率为( )
4
√5 3√2
A. B. C.√3D.√5
2 2
答案 B
2.(2022福建漳州一模,8)已知以F为焦点的抛物线C:y2=2px(p>0)经过点(1,-2),直线
l:y=k(x-1)与C交于A,B两点(其中点A在x轴上方),若|AF|=(3+2√2)|FB|,则l在y轴上的
截距为( )
1
A.2 B.1 C.- D.-1
2
答案 D
二、多项选择题(每小题5分,共10分)
3.(2022湖南衡阳八中开学考,11)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线l交
抛物线于A,B两点,以线段AB为直径的圆交y轴于M,N两点,设线段AB的中点为P,则
下列说法正确的是( )
A.若抛物线上的点E(2,t)到点F的距离为4,则抛物线的方程为y2=4x
B.以AB为直径的圆与准线相切
C.线段AB长度的最小值是2p
