文档文本内容
10.2 双曲线
考点清单
学生用书P84 知识结构化 考点清单化
考点一 双曲线的定义和标准方程
１.双曲线的定义
双曲线的定义用符号表示为 ＭＦ ＭＦ ａ 其中 ａ
｜ ｜ １｜－｜ ２｜ ｜ ＝２ ꎬ ２
Ｆ Ｆ .
<｜ １ ２｜
当 ＭＦ ＭＦ ａ ａ Ｆ Ｆ 时 轨迹为焦点Ｆ 所在一
｜ １｜－｜ ２｜＝２ (２ <｜ １ ２｜) ꎬ ２
侧的双曲线的一支
ꎻ
当 ＭＦ ＭＦ ａ ａ Ｆ Ｆ 时 轨迹为焦点Ｆ 所在一
｜ １｜－｜ ２｜＝－２ (２ <｜ １ ２｜) ꎬ １
侧的双曲线的一支
ꎻ
当 ａ Ｆ Ｆ 时 轨迹是分别以Ｆ Ｆ 为端点的两条射线
２ ＝｜ １ ２｜ ꎬ １、 ２ ꎻ
当 ａ Ｆ Ｆ 时 动点轨迹不存在.
２ >｜ １ ２｜ ꎬ
２.双曲线的标准方程
ｘ２ ｙ２
焦点在ｘ轴上 ａ ｂ
(１) :ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０)ꎻ
ｙ２ ｘ２
焦点在ｙ轴上 ａ ｂ .
(２) :ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０)
３.双曲线的一般方程 ｍｘ２ ｎｙ２ ｍｎ .
: ＋ ＝１( <０)
考点二 双曲线的几何性质
焦点
ｘ轴 ｙ轴
位置
图形
范围 ｘ ａꎬｙ Ｒ ｙ ａꎬｘ Ｒ
｜ ｜≥ ∈ ｜ ｜≥ ∈
焦点 Ｆ( ｃꎬ )ꎬＦ(ｃꎬ ) Ｆ( ꎬ ｃ)ꎬＦ( ꎬｃ)
１ － ０ ２ ０ １ ０ － ２ ０
顶点 Ａ( ａꎬ )ꎬＡ(ａꎬ ) Ａ( ꎬ ａ)ꎬＡ( ꎬａ)
１ － ０ ２ ０ １ ０ － ２ ０
对称性 关于ｘ轴、ｙ轴对称ꎬ关于原点对称
线段Ａ Ａ 叫做双曲线的实轴ꎬ它的长 ＡＡ ａꎻ线段Ｂ Ｂ
实、虚 １ ２ ｜ １ ２｜＝２ １ ２ 叫做双曲线的虚轴ꎬ它的长 Ｂ Ｂ ｂ(ａ叫做双曲线的
轴长 ｜ １ ２｜＝２
实半轴长ꎬｂ叫做双曲线的虚半轴长)
年
焦距 焦距 Ｆ Ｆ 为 ｃꎬｃ是半焦距
高 ｜ １ ２｜ ２
考
离心率 ｅ
ｃ ｂ２
(ｅ )
年 ＝ ａ ＝ １＋ａ２ >１
模
拟 渐近线 ｂ ａ
ｙ ｘ ｙ ｘ
方程 ＝± ａ ＝± ｂ
︵
教
师
用
书
︶
１ ９４
拓展 .通径:过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长
１
ｂ２
为２ .
ａ
.焦点三角形的面积:Ｐ为双曲线上的点ꎬＦ ꎬＦ 为双曲线的两
２ １ ２
ｂ２
个焦点ꎬ且 Ｆ ＰＦ θꎬ则 Ｆ ＰＦ 的面积为 .
∠ １ ２＝ △ １ ２ θ
ｔａｎ
２
.焦点到渐近线的距离为ｂ.
３
.等轴双曲线
４
( )概念:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.
１
( )性质:双曲线的离心率ｅ 两条渐近线互相垂直.
２ ＝ ２⇔
( )一般方程:ｘ２ ｙ２ λ(λ ).
３ － ＝ ≠０
.设ＰꎬＡꎬＢ是双曲线上的三个不同的点ꎬ其中ＡꎬＢ关于原点
５
ｂ２
对称ꎬ则直线ＰＡ与ＰＢ的斜率之积为 (适用于焦点在ｘ轴
ａ２
上的双曲线).
.若Ｐ是双曲线右支上一点ꎬＦ 、Ｆ 分别为双曲线的左、右焦
６ １ ２
点ꎬ则 ＰＦ ａ ｃꎬ ＰＦ ｃ ａ.
｜ １｜ｍｉｎ＝ ＋ ｜ ２｜ｍｉｎ＝ －
.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的
７
ｂ２
弦)ꎬ其长为２ ꎬ异支的弦中最短的为实轴ꎬ其长为 ａ.
ａ ２
ｘ２ ｙ２
.Ｐ是双曲线 (ａ ꎬｂ )右支上不同于实轴端点
８ ａ２ －ｂ２ ＝１ >０ >０
的任意一点ꎬＦ 、Ｆ 分别为双曲线的左、右焦点ꎬＩ 为
１ ２
ＰＦ Ｆ 内切圆的圆心ꎬ则圆心Ｉ的横坐标恒为定值ａ.
△ １ ２
.共轭双曲线的概念与性质:
９
( )它们有共同的渐近线ꎻ
１
( )它们的四个焦点共圆ꎻ
２
( )它们的离心率的倒数的平方和等于 .
３ １
题型方法
学生用书P85 题型经典 方法实用
一、有关双曲线定义和标准方程问题的解题策略 二、求双曲线的离心率的值（或取值范围）的方法
１.应用双曲线定义解题的主要方向 一是判断平面内与两定点 ｃ２ ａ２ ｂ２ ｂ２
: １.求ａ及ｂ 或ｃ 的值 由ｅ２ ＋ 求ｅ.
有关的动点的轨迹是不是双曲线 二是利用定义讨论焦点三角 ( ) ꎬ ＝ａ２ ＝ ａ２ ＝１＋ａ２
ꎻ
形的周长 面积或双曲线的弦长 离心率等问题. ２.列出含有ａ ｂ ｃ的齐次方程 或不等式 借助ｂ２ ｃ２ ａ２ 消
、 、 ꎬ ꎬ ( )ꎬ ＝ －
２.求双曲线方程的方法 定义法 根据已知条件 若所求轨 去ｂ 然后转化成关于ｅ的方程 或不等式 求解.
:(１) : ꎬ ꎬ ( )
迹满足双曲线的定义 则利用双曲线的定义求出参数ａ ｂ的 ｘ２ ｙ２
ꎬ ꎬ 例2 (２０１９课标 理ꎬ１１ꎬ５分)设Ｆ为双曲线Ｃ
值 从而得到所求的轨迹方程 待定系数法 根据题目条件 (１) Ⅱ :ａ２ －ｂ２ ＝
ꎬ ꎻ(２) :
确定焦点的位置 从而设出所求双曲线的标准方程 利用题目 ａ ｂ 的右焦点 Ｏ为坐标原点 以ＯＦ为直径的圆与圆
ꎬ ꎬ １( >０ꎬ >０) ꎬ ꎬ
条件构造关于ａ ｂ的方程 组 解得ａ ｂ的值 即可求得方程. ｘ２ ｙ２ ａ２ 交于Ｐ Ｑ两点.若 ＰＱ ＯＦ 则Ｃ的离心率为
ꎬ ( )ꎬ ꎬ ꎬ ＋ ＝ ꎬ ｜ ｜＝｜ ｜ꎬ
例1 (２０２１湖南永州二模ꎬ１５)已知 Ｏ 为坐标原点 双曲
(１) ꎬ ( )
线Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的离心率为３ ５ 从双曲线Ｃ的右 Ａ. ２ Ｂ. ３ Ｃ.２ Ｄ. ５
:ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０)
５
ꎬ
已知双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 点Ｐ ｘ ｙ 是直线
焦点Ｆ引渐近线的垂线 垂足为Ａ 若 ＡＦＯ的面积为 则双
(２) :ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０)ꎬ ( ０ꎬ ０)
ꎬ ꎬ △ ５ꎬ
曲线Ｃ的方程为 . ｂｘ － ａｙ ＋４ ａ ＝０ 上任意一点 ꎬ 若圆 ( ｘ － ｘ ０) ２ ＋( ｙ － ｙ ０) ２ ＝１ 与双曲线
Ｃ的右支没有公共点 则双曲线离心率的取值范围是
已知圆Ｃ ｘ ２ ｙ２ 和圆Ｃ ｘ ２ ｙ２ 动圆Ｍ ꎬ ( )
(２) １:( ＋３) ＋ ＝１ ２:( －３) ＋ ＝９ꎬ
同时与圆 Ｃ 及圆 Ｃ 相外切 则动圆圆心 Ｍ 的轨迹方程为 Ａ.(１ꎬ２] Ｂ.(１ꎬ４]
１ ２ ꎬ
. Ｃ.[２ꎬ＋∞) Ｄ.[４ꎬ＋∞)
解析 如图 连接 ＯＰ. ＰＱ ＯＦ ｃ ＰＱ 过点
解析 (１) 因为双曲线Ｃ :ａ ｘ２ ２ － ｙ ｂ ２ ２ ＝１( ａ >０ꎬ ｂ >０) 的离心率为 ( ｃ ) . ( Ｐ １) ( ｃ ｃ ꎬ ) . ∵ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ＝ ꎬ∴
ꎬ０ ∴ ꎬ
３ ５ 所以ｅ２
ｂ２
９ 即 ｂ ａ.又ＡＦ与渐近线ｙ
ｂ
ｘ垂
２ ２ ２
( ｃ ) ２ ( ｃ ) ２ ｃ２
ꎬ ＝１＋ａ２ ＝ ꎬ ５ ＝２ ＝ ａ 又 ＯＰ ａ ａ２
５ ５ ∵ ｜ ｜＝ ꎬ∴ ＝ ＋ ＝ ꎬ
ｂｃ ２ ２ ２
直 则 ＡＦ ｂ 所以 ＡＯ ｃ２ ｂ２ ａ 因为 ＡＦＯ ( ｃ ) ２ ｃ
ꎬ ｜ ｜ ＝ ＝ ꎬ ｜ ｜ ＝ － ＝ ꎬ △ ｅ .故选 .
ａ２ ＋ ｂ２ ∴ ａ ＝２ꎬ∴ ＝ ａ ＝ ２ Ａ
的面积为 所以 １ ａｂ 解得ａ ｂ 所以双曲线Ｃ
５ꎬ ＝ ５ꎬ ＝ ５ꎬ ＝２ꎬ
２
ｘ２ ｙ２
的方程为 .
－ ＝１
５ ４
定义法 设动圆Ｍ与圆Ｃ 及圆Ｃ 分别外切于点Ａ和点
(２)( ) １ ２
Ｂ 根据两圆外切的充要条件 得 ＭＣ ＡＣ ＭＡ ＭＣ
ꎬ ꎬ ｜ １｜－｜ １｜＝｜ ｜ꎬ｜ ２｜－
ｂ
｜ ＢＣ ２｜＝｜ ＭＢ ｜ . ∵ ｜ ＭＡ ｜＝｜ ＭＢ ｜ꎬ∴ ｜ ＭＣ １｜－｜ ＡＣ １｜＝｜ ＭＣ ２｜－｜ ＢＣ ２｜ꎬ (２) 由题意 ꎬ 双曲线Ｃ的一条渐近线方程为ｙ ＝ ａ ｘ ꎬ 即ｂｘ － ａｙ ＝
即 ＭＣ ＭＣ ＢＣ ＡＣ Ｃ Ｃ
｜ ２｜－｜ １｜＝｜ ２｜－｜ １｜＝３－１＝２<６＝｜ １ ２｜ꎬ ａ
点Ｍ的轨迹是以点Ｃ Ｃ 为焦点 且实轴长 ａ 的双曲线 则直线ｂｘ ａｙ ａ 与直线ｂｘ ａｙ 的距离ｄ ４
∴ 的左支 点Ｍ到Ｃ 的距 １ 离 ꎬ 大 ２ 于点Ｍ ꎬ 到Ｃ 的距 ２ 离 ＝２ . ０ꎬ － ＋４ ＝０ － ＝０ ＝ ａ２ ｂ２ ＝
( ２ １ ) ＋
∴
ｙ２
ａ ＝１ꎬ ｃ ＝３ . ∴ ｂ２ ＝ ｃ２ － ａ２ ＝８ꎬ∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹方程为ｘ２ － ４ ｃ ａ ꎬ∵ 圆 ( ｘ － ｘ ０) ２ ＋( ｙ － ｙ ０) ２ ＝１ 与双曲线Ｃ的右支没有公共点 ꎬ
＝１( ｘ ≤－１) . 则ｄ ４ ａ 即ｅ ｃ 又ｅ 故ｅ的取值范围为
８ ≥１ꎬ∴ ｃ ≥１ꎬ ＝ ａ ≤４ꎬ >１ꎬ (１ꎬ
ｘ２ ｙ２ ｙ２
答案 ｘ２ ｘ 故选
(１) － ＝１ (２) － ＝１( ≤－１) ４]ꎬ Ｂ.
５ ４ ８
答案 Ａ Ｂ
(１) (２)
第
十
章
圆
锥
曲
线
１ ９５
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点一 双曲线的定义和标准方程 答案 Ｄ
学生用书P248
１.(２０２０ 浙江ꎬ８ꎬ４ 分ꎬ综合性)已知点 Ｏ
(０ꎬ０)ꎬ
Ａ
(－２ꎬ０)ꎬ
２.(２０２０天津ꎬ７ꎬ５分ꎬ综合性)设双曲线Ｃ的方程为
ａ
ｘ２
２ －
ｙ
ｂ
２
２ ＝１
Ｂ .设点Ｐ满足 ＰＡ ＰＢ 且Ｐ为函数ｙ ｘ２
(２ꎬ０) ｜ ｜－｜ ｜＝２ꎬ ＝３ ４－ ａ ｂ 过抛物线ｙ２ ｘ的焦点和点 ｂ 的直线为ｌ.若
图象上的点 则 ＯＰ ( >０ꎬ >０)ꎬ ＝４ (０ꎬ )
ꎬ ｜ ｜＝ ( ) Ｃ的一条渐近线与ｌ平行 另一条渐近线与ｌ垂直 则双曲线Ｃ
ꎬ ꎬ
２２ ４ １０ 的方程为
Ａ. Ｂ. ( )
２ ５ ｘ２ ｙ２ ｙ２
ｘ２
Ａ. － ＝１ Ｂ. － ＝１
Ｃ. ７ Ｄ. １０ ４ ４ ４
ｘ２
ｙ２ ｘ２ ｙ２
Ｃ. － ＝１ Ｄ. － ＝１
４
答案 Ｄ
ｘ２
３.(２０１９课标 文ꎬ１０ꎬ５分ꎬ综合性)已知Ｆ是双曲线Ｃ
Ⅲ : －
４
ｙ２
的一个焦点 点 Ｐ 在 Ｃ 上 Ｏ 为坐标原点.若 ＯＰ
＝１ ꎬ ꎬ ｜ ｜ ＝
５
ＯＦ 则 ＯＰＦ的面积为
｜ ｜ꎬ △ ( )
３ ５ ７ ９
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
２ ２ ２ ２
４.(
答
２０
案
１５ 天
Ｂ
津 ꎬ６ꎬ５分ꎬ综合性)已知双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ
则ｘ
１＋
ｘ
２＝
ｋ２ １
ｋ
－
２
２ ｋ １ ｍ ꎬｘ
１
ｘ
２＝
４ １ ｋ２ １＋
ｋ
ｍ
２
２ － ｋ １ ｍ ＋１６ ꎬ
ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ > １－１６
( )
１－１６
( )
０) 的一条渐近线过点 (２ꎬ ３)ꎬ 且双曲线的一个焦点在抛物线
则
｜
ＴＡ
｜＝ １＋
ｋ２
１
ｘ
１－ ２
１ ꎬ
｜
ＴＢ
｜＝ １＋
ｋ２
１
ｘ
２－ ２
１ ꎬ
ｙ２ ｘ的准线上 则双曲线的方程为 所以 ＴＡ ＴＢ
＝４ ７ ꎬ ( ) ｜ ｜ ｜ ｜＝
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ( )( ) (ｍ２ )( ｋ２)
Ａ. ２１ － ２８ ＝１ Ｂ. ２８ － ２１ ＝１
(
１＋
ｋ２
１
) ｘ
１－ ２
１ ｘ
２－ ２
１
＝
＋
ｋ
１
２ １
２
－１６
１＋ １ .
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ( )
Ｃ. ３ － ４ ＝１ Ｄ. ４ － ３ ＝１ 设直线ＰＱ的方程为ｙ － ｍ ＝ ｋ ２ ｘ － ２ １ ꎬ
答案 Ｄ
５ ｙ . ２ (２０２ 的 ０ 课 两 标 个 Ⅰ 焦 文 点 ꎬ１ Ｏ １ꎬ 为 ５ 坐 分 标 ꎬ综 原 合 点 性 点 )设 Ｐ Ｆ 在 １ꎬ Ｃ Ｆ ２ 上 是 且 双曲 ＯＰ 线Ｃ : ｘ 则 ２ － 同 因 理 为 得 ＴＡ ｜ ＴＰ ｜ ＴＢ ｜ ＴＱ ｜＝ ＴＰ
(ｍ
２
＋ ｋ １ Ｔ ２ ２ ２ Ｑ －
)
１
(
ꎬ ６ １＋
ｋ２
２
)
ꎬ
＝１ ꎬ ꎬ ｜ ｜＝２ꎬ ｜ ｜ ｜ ｜＝｜ ｜ ｜ ｜
３ (ｍ２ )( ｋ２) (ｍ２ )( ｋ２)
ＰＦ Ｆ 的面积为 所以 ＋１２ １＋ １ ＋１２ １＋ ２ ꎬ
△ １ ２ ( ) ｋ２ ＝ ｋ２
１－１６ ２－１６
７ ５ ｋ２ ｋ２
Ａ. 答 ２ 案 Ｂ Ｂ.３ Ｃ. ２ Ｄ.２ 所
即
以
直线
ｋ １ ２ １ ＋ －
Ａ
１
Ｂ
１ ６ ＝
的
ｋ １
斜
２ ２ ＋ －
率
１ ２ ６
与
ꎬ即
直
ｋ
线
２ １＝
Ｐ
ｋ
Ｑ
２ ２ ꎬ
的
由
斜
题
率
意
之
知
和
ｋ １
为
≠ ｋ ２
.
ꎬ所以ｋ １＋ ｋ ２＝０ ꎬ
６.(２０２１新高考 ꎬ２１ꎬ１２分ꎬ综合性)在平面直角坐标系ｘＯｙ
０
Ⅰ
考点二 双曲线的几何性质
中 已知点 Ｆ Ｆ 点 Ｍ 满足 ＭＦ 学生用书P249
Ｍ ꎬ Ｆ .记 １ Ｍ (－ 的轨 １ 迹 ７ꎬ 为 ０) Ｃ ꎬ . ２( １７ꎬ０)ꎬ ｜ １ ｜－ １.(２０１５安徽ꎬ４ꎬ５分ꎬ基础性)下列双曲线中 焦点在ｙ轴上且
｜
求
２｜＝
Ｃ
２
的方程 渐近线方程为ｙ ｘ的是
ꎬ
(１) ꎻ ＝±２ ( )
ｙ２ ｘ２
设点Ｔ在直线ｘ １ 上 过Ｔ的两条直线分别交Ｃ于Ａ Ｂ ｘ２ ｙ２
(２) ＝ ꎬ ꎬ Ａ. － ＝１ Ｂ. － ＝１
２ ４ ４
两点和Ｐ Ｑ两点 且 ＴＡ ＴＢ ＴＰ ＴＱ 求直线ＡＢ的 ｙ２ ｘ２
ꎬ ꎬ ｜ ｜｜ ｜＝｜ ｜｜ ｜ꎬ ｘ２ ｙ２
斜率与直线ＰＱ的斜率之和. Ｃ. － ＝１ Ｄ. － ＝１
４ ４
答案 Ｃ
解析 ( )由题意知 Ｆ Ｆ ꎬ因为 ＭＦ ＭＦ
１ ｜ １ ２｜＝２ １７ ｜ １｜－｜ ２｜＝２ ｘ２ ｙ２
Ｆ Ｆ ꎬ所以结合双曲线定义知ꎬ点Ｍ的轨迹Ｃ是以 ２.(２０２０课标 理ꎬ１１ꎬ５分ꎬ综合性)设双曲线Ｃ ａ
<｜ １ ２｜＝２ １７ Ⅲ :ａ２ －ｂ２ ＝１(
Ｆ 、Ｆ 为焦点的双曲线的右支.
１ ２ ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 离心率为 .Ｐ是Ｃ上一
设其方程为 ａ ｘ２ ２ － ｙ ｂ ２ ２ ＝１ (ａ >０ ꎬｂ >０ ꎬｘ ≥ ａ)ꎬ 点 >０ ꎬ ꎬ 且 >０ Ｆ ) １ Ｐ ⊥ Ｆ 、 ２ Ｐ.若 △ ＰＦ １ Ｆ ２ 的面 １ꎬ 积 ２ 为 ꎬ ４ꎬ 则ａ ＝ ５ ( )
则 ａ ꎬ ｃ ꎬ解得ａ ꎬｃ ꎬ Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.４ Ｄ.８
２ ＝２ ２ ＝２ １７ ＝１ ＝ １７ 答案 Ａ
则ｂ２ ＝ ｃ２ － ａ２ ＝ ( １７ )２ －１ ２ ＝１６ ꎬ ３.(２０２０ 课标 ꎬ文９ꎬ理８ꎬ５分ꎬ综合性)设Ｏ为坐标原点 直
ｙ２ Ⅱ ꎬ
所以Ｍ的轨迹Ｃ的方程为ｘ２ (ｘ ). ｘ２ ｙ２
－ ＝１ ≥１ 线ｘ ａ与双曲线Ｃ ａ ｂ 的两条渐近线分别
年 １６ ＝ :ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０)
( ) ( )
高
( )如图ꎬ设Ｔ １ ꎬｍ ꎬ直线ＡＢ的方程为ｙ ｍ ｋ ｘ １ ꎬ 交于Ｄ Ｅ两点.若 ＯＤＥ的面积为 则Ｃ的焦距的最小值为
考 ２ － ＝ １ － ꎬ △ ８ꎬ
２ ２
年 ì ïｙ ｋ ( ｘ １ ) ｍꎬ ( )
模 ï ＝ １ － ＋ Ａ.４ Ｂ.８ Ｃ.１６ Ｄ.３２
拟 由í ï ｙ２ ２ 得( １６－ ｋ２ １ )ｘ２ ＋ (ｋ２ １－２ ｋ １ ｍ)ｘ － １ ｋ２ １＋ ｋ １ ｍ － 答案 Ｂ
î
ïｘ２
－
１６
＝１
(ｘ
≥１
)ꎬ ４
４.(２０１９课标
Ⅲ
理ꎬ１０ꎬ５分ꎬ综合性)双曲线Ｃ
:
ｘ２
－
ｙ２
＝１
的右
ｍ２ ꎬ设Ａ(ｘ ꎬｙ )ꎬＢ(ｘ ꎬｙ )ꎬ ４ ２
－１６＝０ １ １ ２ ２ 焦点为Ｆ 点Ｐ在Ｃ的一条渐近线上 Ｏ为坐标原点.若 ＰＯ
︵ ꎬ ꎬ ｜ ｜＝
教 ＰＦ 则 ＰＦＯ的面积为
｜ ｜ꎬ △ ( )
师
用 ３ ２ ３ ２
书 Ａ. Ｂ. Ｃ.２ ２ Ｄ.３ ２
４ ２
︶ 答案 Ａ
１ ９６
ｘ２ ＦＡ 则双曲线的离心率是 .
５.(２０１３浙江ꎬ９ꎬ５分ꎬ综合性)如图 Ｆ Ｆ 是椭圆Ｃ ｙ２ ＝３｜ ｜ꎬ
ꎬ １ꎬ ２ １: ＋ ＝
４ 答案 ３ ６
与双曲线Ｃ 的公共焦点 Ａ Ｂ分别是Ｃ Ｃ 在第二 四象限
１ ２ ꎬ ꎬ １ꎬ ２ 、 ４
的公共点.若四边形ＡＦ
１
ＢＦ
２
为矩形
ꎬ
则Ｃ
２
的离心率是
( ) ８.(２０２１新高考 ꎬ１３ꎬ５分ꎬ基础性)已知双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
Ⅱ :ａ２ －ｂ２ ＝１
ａ ｂ 离心率 ｅ 则双曲线 Ｃ 的渐近线方
( > ０ꎬ > ０)ꎬ ＝ ２ꎬ
程为 .
答案 ｙ ｘ
＝± ３
ｘ２
９.(２０２１全国乙理ꎬ１３ꎬ５分ꎬ基础性)已知双曲线Ｃ ｙ２
:ｍ－ ＝１
ｍ 的一条渐近线为 ｘ ｍｙ 则Ｃ的焦距为 .
( >０) ３ ＋ ＝０ꎬ
答案
４
３ ６ ｘ２
Ａ. ２ Ｂ. ３ Ｃ. Ｄ. １０.(２０２０课标 理ꎬ１５ꎬ５分ꎬ综合性)已知Ｆ为双曲线Ｃ
２ ２ Ⅰ :ａ２ －
答案 Ｄ
ｙ２
６.(２０２２全国甲文ꎬ１５ꎬ５分ꎬ创新性)记双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ２ ＝１(
ａ
>０ꎬ
ｂ
>０)
的右焦点
ꎬ
Ａ为Ｃ的右顶点
ꎬ
Ｂ为Ｃ上的点
ꎬ
:ａ２ －ｂ２ ＝１(
且ＢＦ 垂直于 ｘ 轴.若 ＡＢ 的斜率为 则 Ｃ 的离心率
ｂ 的离心率为ｅ 写出满足条件 直线ｙ ｘ与Ｃ无公共 ３ꎬ
>０ꎬ >０) ꎬ “ ＝２ 为 .
点 的ｅ的一个值 .
” 答案
２
答案 (答案不唯一ꎬ在( ꎬ ]范围内取值均可)
２ １ ５ １１.(２０２０北京ꎬ１２ꎬ５分ꎬ综合性)已知双曲线Ｃ ｘ２ ｙ２ 则
ｘ２ ｙ２ : － ＝１ꎬ
７.(２０２２浙江ꎬ１６ꎬ４分ꎬ综合性)已知双曲线 ａ ｂ ６ ３
ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ Ｃ的右焦点的坐标为 Ｃ 的焦点到其渐近线的距离
ꎻ
ｂ 是 .
的左焦点为 Ｆ 过 Ｆ 且斜率为 的直线交双曲线于点 Ａ
>０) ꎬ ａ
４ 答案 ( ꎬ )ꎻ
ｘ ｙ 交双曲线的渐近线于点Ｂ ｘ ｙ 且ｘ ｘ .若 ＦＢ ３ ０ ３
( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２) １<０< ２ ｜ ｜
第
十
章
圆
锥
曲
线
１ ９７
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P250
考点一 双曲线的定义和标准方程 ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
ｘ ｘ
Ｃ. － ＝１( <０) Ｄ. － ＝１( >０)
１.(２０２２长沙雅礼中学第七次月考ꎬ７)右图上半部分为一个油 ３ ５ ３ ５
答案 Ａ
桃园 每年油桃成熟时 园主都需要雇佣人工采摘 并沿两条路
ꎬ ꎬ ꎬ ３.(２０２２百师联盟二轮复习联考一(新高考河北卷)ꎬ１４)焦点
径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地Ｃ处销售.路径
ｘ２ ｙ２
先集中到Ａ处 再沿公路ＡＣ运送 路径 先集中到Ｂ处 再 在ｘ轴上的双曲线Ｃ与双曲线 有共同的渐近线 且
１: ꎬ ꎻ ２: ꎬ － ＝１ ꎬ
沿公路ＢＣ运送.园主在果园中画定了一条界线 使得从该界线 ４ ９
ꎬ Ｃ的焦点到一条渐近线的距离为 则双曲线 Ｃ 的方程
上的点出发 按这两种路径运送油桃至Ｃ处所走路程一样远. ３ ２ꎬ
ꎬ 为 .
已知ＡＣ ＢＣ 若这条界线是曲线Ｅ的一部分 则
曲线Ｅ为
＝３ ｋｍꎬ ＝４ ｋｍꎬ ꎬ
答案
ｘ２ ｙ２
( ) － ＝１
８ １８
考点二 双曲线的几何性质
ｙ２ ｘ２
１.(２０２２山东临沂二模ꎬ４)已知双曲线Ｃ ａ ｂ
:ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >
的焦距为 实轴长为 则Ｃ的渐近线方程为
０) ４ ５ꎬ ４ꎬ ( )
ｙ ｘ ｙ ｘ
Ａ. ＝±２ Ｂ. ＝± ５
ｙ １ ｘ ｙ ５ｘ
圆 椭圆 双曲线 抛物线 Ｃ. ＝± Ｄ. ＝±
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ２ ５
答案 Ｃ 答案 Ｃ
２.(２０２０山东百师联盟测试五ꎬ５)已知圆Ｃ １:( ｘ －４) ２ ＋ ｙ２ ＝２５ꎬ ２.(２０２２湖南三湘名校联盟联考ꎬ６)已知 Ｆ １ꎬ Ｆ ２ 是双曲线 Ｃ :
圆Ｃ ｘ ２ ｙ２ 动圆Ｍ与Ｃ Ｃ 都外切 则动圆圆心Ｍ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的两个焦点 Ｃ的离心率为 点Ｐ ｘ
的轨
２
迹
:(
方
＋
程
４)
为
＋ ＝１ꎬ １ꎬ ２ ꎬ ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) ꎬ ５ꎬ ( ０ꎬ
( )
ｘ２ ｙ２ ｘ ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ０) 在Ｃ上 ꎬ Ｐ→Ｆ １ Ｐ→Ｆ ２<０ꎬ 则ｘ ０ 的取值范围是 ( )
Ａ. － ＝１( ≤－２) Ｂ. － ＝１( ≥２) ａ ａ
４ １２ ４ １２ Ａ.(－３ ꎬ３ )
ａ ａ ａ ａ
Ｂ.(－３ ꎬ－ ]∪( ꎬ３ ) Ｆ ＭＦ １ ＭＦ ＭＦ 则此双曲线的渐近线方
( ) ｃｏｓ∠ １ ２＝ ꎬ｜ １｜ ＝２｜ ２｜ꎬ
７ ａ ７ ａ ４
Ｃ. － ꎬ 程为
５ ５ ( )
( ] [ )
７ ａ ａ ａ ７ ａ ｙ ｘ ｙ ３ｘ
Ｄ. － ꎬ－ ∪ ꎬ Ａ. ＝± ３ Ｂ. ＝±
５ ５ ３
答案 Ｄ ｙ ｘ ｙ ｘ
Ｃ. ＝± Ｄ. ＝±２
３.(２０２２江苏苏州常熟抽测二ꎬ７)已知圆ｘ２ ｙ２ ｒ２ ｒ 过双 答案 Ａ
＋ ＝ ( >０)
曲线
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的右焦点Ｆ 且圆与双曲线的渐近 ５.(２０２１河北二轮复习联考(一)ꎬ６)已知双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) ꎬ : －ｂ２ ＝１
２
线在第一 四象限的交点分别为Ａ Ｂ 若四边形ＯＡＦＢ为菱形
、 、 ꎬ ꎬ ｂ 的离心率为ｅ 若ｅ 则Ｃ的焦点到一条渐
则双曲线的离心率为 ( >０) ꎬ ∈( ５ꎬ １０)ꎬ
( ) 近线的距离的取值范围为
( )
Ａ. ２ Ｂ.２ Ｃ.２ ２ Ｄ.４
答案 Ｂ Ａ.(１ꎬ３ ２) Ｂ.( ２ꎬ＋∞)
ｘ２ ｙ２ Ｃ.(２ ２ꎬ３ ２) Ｄ.( ２ꎬ３ ２)
４.(２０２０湖南长沙明德中学月考ꎬ１０)已知双曲线 ａ 答案 Ｃ
ａ２ －ｂ２ ＝１(
ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ Ｍ 为双曲线上一点 若
>０ꎬ >０) ꎬ １ꎬ ２ꎬ ꎬ
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ９８
B组 综合应用题组 学生用书P251
50分钟 60分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共２０分) 答案 Ｃ
１.(２０２２华大新高考联盟３月教学质量测评ꎬ８)已知双曲线Ｃ 二、多项选择题(每小题５分ꎬ共１０分)
:
ｘ２ ｙ２ ５.(２０２２ 福建龙岩一模ꎬ１１)下图为陕西博物馆收藏的国
ａ ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 点Ｍ Ｎ均在
ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) 、 １ꎬ ２ꎬ ꎬ 宝 唐金筐宝钿团花纹金杯 杯身曲线内收 巧夺天工 是唐
——— ꎬ ꎬ ꎬ
双曲线Ｃ的右支上 其中点Ｍ在第一象限 Ｍ Ｎ Ｆ 三点共线 代金银细作的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ２ ꎬ
ｘ２ ｙ２
且 ＭＦ Ｆ １ 若 ＭＦ Ｎ ＭＮＦ 则双曲线 Ｃ 的渐 Ｃ ａ ｂ 的右支与直线ｘ ｙ ｙ 围成
ｃｏｓ∠ ２ １＝－ ꎬ ∠ １ ＝∠ １ꎬ :ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) ＝０ꎬ ＝４ꎬ ＝－２
４
近线方程为 的曲边四边形ＡＢＭＮ绕ｙ轴旋转一周得到的几何体 若该金杯
( ) ꎬ
ｙ ｘ ｙ ｘ
Ａ. ＝± ５ Ｂ. ＝± 主体部分的上口外直径为１０ ３ 下底外直径为２ ３９ 双曲线
ꎬ ꎬ
Ｃ. ｙ ＝± ３ ｘ Ｄ. ｙ ＝± ２ ｘ ３ ３
答案 Ｃ Ｃ与坐标轴交于Ｄ ꎬ Ｅ ꎬ 则 ( )
２.(２０２２ 重庆巴蜀中学 ３ 月适应性月考(八)ꎬ８)已知点
( ｘ ｙ )( ｘ ｙ )
Ａ Ｂ 若曲线 ａ ｂ
(－ ３ꎬ０)ꎬ ( ３ꎬ０)ꎬ ａ ＋ ｂ ａ － ｂ ＝０( >０ꎬ >
上存在点Ｐ满足 ＰＡ ＰＢ 则下列选项一定正确的是
０) ｜ ｜－｜ ｜＝２ꎬ
( )
ｂ ａ ｂ ａ
Ａ. < ＋１ Ｂ. > ２
ｂ ａ ｂ ａ
Ｃ. > ＋１ Ｄ. < ２
答案 Ｄ
３.(２０２２湖南衡阳八中开学考ꎬ７)已知Ｆ
１(－
ｃ
ꎬ０)、
Ｆ
２(
ｃ
ꎬ０)
是
双曲线Ｃ的方程为
ｘ２ ｙ２
ｘ２ ｙ２ Ａ. － ＝１
双曲线Ｃ ａ ｂ 的左 右焦点 Ｆ 关于双曲线 ３ ９
:ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) 、 ꎬ １ ｙ２
双曲线 ｘ２ 与双曲线Ｃ共渐近线
的一条渐近线的对称点为Ｐ
ꎬ
且点Ｐ在抛物线ｙ２
＝４
ｃｘ上
ꎬ
则双 Ｂ.
３
－ ＝１
曲线的离心率为 存在一点 使过该点的任意直线与双曲线Ｃ有两个交点
( ) Ｃ. ꎬ
存在无数个点 使它与Ｄ Ｅ两点的连线的斜率之积为
Ｄ. ꎬ ꎬ ３
Ａ. ２＋１ Ｂ.２ 答案 ＡＢＤ
５＋１ ｘ２ ｙ２
Ｃ. ５ Ｄ. ６.(２０２２山东烟台、德州一模ꎬ１２)已知双曲线 Ｃ
２ : － ＝１ꎬ
答案 Ｄ ４ ５
Ｆ Ｆ 为Ｃ的左 右焦点 则
ｘ２ ｙ２ １ꎬ ２ 、 ꎬ ( )
４.(２０２１百校大联考(六)ꎬ８)若双曲线
ａ２ －ｂ２ ＝１
的离心率等
双曲线
ｘ２ ｙ２
ｍ 和Ｃ的离心率相等
Ａ. ｍ－ ｍ＝１( >０)
４＋ ５＋
于 １０ ꎬ 则该双曲线的渐近线方程为 ( ) Ｂ. 若Ｐ为Ｃ上一点 ꎬ 且 ∠ Ｆ １ ＰＦ ２＝９０ ° ꎬ 则 △ Ｆ １ ＰＦ ２ 的周长为 ６＋
３
２ １４
ｙ ｘ ｙ １ ｘ
Ａ. ＝±３ Ｂ. ＝± 若直线ｙ ｔｘ 与Ｃ没有公共点 则ｔ ６或ｔ ６
２ Ｃ. ＝ －１ ꎬ <－ >
２ ２
ｙ １ ｘ ｙ ｘ
Ｃ. ＝± Ｄ. ＝±２ 在Ｃ的左 右两支上分别存在点Ｍ Ｎ 使得 Ｆ→Ｍ Ｆ→Ｎ
３ Ｄ. 、 ꎬ ꎬ ４ １ ＝ １
答案 ＢＣ ｔ２ ｋｔ
ｋ２ｘ ｘ ｋ(ｔ )(ｘ ｘ ) (ｔ )２ ｋ２ －４ ｋ(ｔ )－２
三、填空题(共５分) ＝ １ ２＋ ＋２ １＋ ２ ＋ ＋２ ＝ ｋ２ ＋ ＋２ ｋ２ ＋
－１ －１
ｘ２ ｙ２ (ｔ )２
７.(２０２２广东汕头一模ꎬ１５)已知双曲线Ｃ ｌ ｌ 为 － ＋２
:ａ２ －ｂ２ ＝１ꎬ １ꎬ ２ (ｔ )２ － (ｔ ＋２ )２ ꎬ所以 ｔ ＋２ (ｙ １＋２ )(ｙ ２＋２ ) ｋ２ －１
Ｃ的两条渐近线 过Ｃ的右焦点Ｆ作ｌ 的垂线 垂足为Ａ 且该 ＋２ ＝ ｋ２ ｔ ＝ ｘ ｘ ＝ ｔ２ ＝
ꎬ １ ꎬ ꎬ －１ １ ２ －４
垂线交 ｌ 于点 Ｂ 若→ＢＡ →ＡＦ 则双曲线 Ｃ 的离心率 ｅ
ｋ２
－１
２
.
ꎬ ＝ ３ ꎬ
－
(ｔ
＋２
)２
－
(ｔ
＋２
)
(ｔ )ꎬ故ｔ ｔꎬ即ｔ ꎬ所以点Ｐ的坐
＝ ｔ２
－４
＝ ｔ
－２
＋２≠０ ＝２－ ＝１
答案 ２ ６ 标为( ꎬ ).
０ １
３ ｘ２ ｙ２
四、解答题(共２５分) ９.(２０２２八省八校联考二ꎬ２１)已知双曲线Γ ａ
:ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ
８.(２０２２济南一模ꎬ２１)在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中 双曲线 Ｃ
ꎬ : ｂ 过点Ｐ 且Γ的渐近线方程为ｙ ｘ.
ｙ２ ｘ２ >０) ( ３ꎬ ６)ꎬ ＝± ３
ａ２ －ｂ２ ＝１(
ａ
>０ꎬ
ｂ
>０)
的离心率为
２ꎬ
实轴长为
４
.
(１)
求Γ的方程
ꎻ
如图 过原点Ｏ作互相垂直的直线ｌ ｌ 分别交双曲线于
(１) 求Ｃ的方程 ꎻ ( Ａ ２ Ｂ ) 两点 ꎬ 和Ｃ Ｄ两点 Ａ Ｄ在ｘ轴同侧 请 １ꎬ 从 ２ 两个问题中
如图 点Ａ为双曲线的下顶点 直线ｌ过点Ｐ ｔ 且垂直 ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ①②
(２) ꎬ ꎬ (０ꎬ ) 任选一个作答.如果多选 则按所选的第一个计分.
于ｙ轴 Ｐ位于原点与上顶点之间 过Ｐ的直线交Ｃ于Ｇ Ｈ ꎬ
( )ꎬ ꎬ 求四边形ＡＣＢＤ面积的取值范围
两点 直线ＡＧ ＡＨ分别与ｌ交于Ｍ Ｎ两点 若Ｏ Ａ Ｎ Ｍ四点 ① ꎻ
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ 设直线ＡＤ与两渐近线分别交于Ｍ Ｎ两点 是否存在直线
共圆 求点Ｐ的坐标. ② ꎬ ꎬ
ꎬ ＡＤ 使Ｍ Ｎ为线段ＡＤ的三等分点 若存在 求出直线ＡＤ的
ꎬ ꎬ ? ꎬ
方程 若不存在 请说明理由.
ꎻ ꎬ
解析 ( )因为实轴长为 ꎬ所以 ａ ꎬａ ꎬ又 ｃ ꎬ所 解析 ( )由题意有 ｂ ꎬｂ ａ ꎬ
１ ４ ２ ＝４ ＝２ ａ ＝ ２ １ ａ ＝ ３ ＝ ３ ①
以ｃ
＝２ ２
ꎬ则ｂ２
＝
ｃ２
－
ａ２
＝４
ꎬ故Ｃ的方程为 ｙ２
－
ｘ２
＝１
. 将点Ｐ(
３
ꎬ
６
)代入双曲线方程得
ａ
３
２ －ｂ
６
２ ＝１②
ꎬ
４ ４
(
２
)由ＯꎬＡꎬＮꎬＭ四点共圆可知ꎬ
∠
ＡＮＭ
＋∠
ＡＯＭ
＝π
ꎬ
联立 解得
{ａ２
＝１
ꎬ
故Γ的方程为ｘ２
ｙ２
.
又 ＭＯＰ ＡＯＭ ꎬ所以 ＡＮＭ ＭＯＰꎬ ①② ｂ２ ꎬ － ＝１
∠ ＋∠ ＝π ∠ ＝∠ ＝３ ３
( )选 :易知直线ｌ ꎬｌ 的斜率均存在且不为 ꎬ
故 ＡＮＭ ＭＯＰ １ ꎬ ２ ① １ ２ ０
ｔａｎ∠ ＝ｔａｎ∠ ＝ ＯＭＰ 设Ａ(ｘ ꎬｙ )ꎬＢ(ｘ ꎬｙ )ꎬＣ(ｘ ꎬｙ )ꎬＤ(ｘ ꎬｙ )ꎬ直线ｌ 的斜率为
ｔａｎ∠ １ １ ２ ２ ３ ３ ４ ４ １
即 ｋ １ ꎬ所以ｋ ｋ . ｋꎬ直线 ｌ 的斜率为 １ ꎬｌ 的方程为 ｙ ｋｘꎬｌ 的方程为 ｙ
－ ＡＮ＝ ｋ ＡＮ ＯＭ＝１ ２ － ｋ １ ＝ ２
－ ＯＭ
设Ｇ(ｘ ꎬｙ )ꎬＨ(ｘ ꎬｙ )ꎬＭ(ｘ ꎬｙ ).
１ １ ２ ２ Ｍ Ｍ ｙ ＝－ １ ｋ ｘ.
由题意可知 Ａ( ０ ꎬ －２ )ꎬ则直线 ＡＧ:ｙ ＝ １ ｘ ＋２ｘ －２ ꎬ直线 ＡＨ:ｙ ＝ {ｙ ｋｘꎬ
＝
ｙ
２ ｘ ＋２ｘ －２ .
１ 由
ｘ２ －
ｙ２
＝１ ꎬ
消去ｙ整理得(
３－
ｋ２)ｘ２
－３＝０
.直线ｌ
１
与双曲线
３
因为 ２ Ｍ在直线ｌ上ꎬ所以ｙ
Ｍ＝
ｔꎬ代入直线ＡＧ的方程ꎬ可知ｘ
Ｍ＝
Γ交于两点ꎬ所以
３－
ｋ２
≠０
且Δ
１＝１２
(
３－
ｋ２)
>０
ꎬｋ２
<３
ꎬ
(ｔ )ｘ æ(ｔ )ｘ ö ｔ(ｙ )
ｙ ＋２ １ꎬ故点 Ｍ 的坐标为 è ç ｙ ＋２ １ꎬｔ ø ÷ꎬ所以 ｋ ＯＭ＝(ｔ １＋ ) ２ ｘ ꎬ ｘ １＝ ３ ｋ２ ꎬｘ ２ ＝－ ３ ｋ２ ꎬ则 ｜ ＡＢ ｜ ＝ １＋ ｋ２ ｜ ｘ １－ ｘ ２ ｜ ＝
１＋２ １＋２ ＋２ １ ３－ ３－
又ｋ ｋ
ｙ
２＋２ꎬｋ ｋ ꎬ ３
(
１＋
ｋ２)
.
ＡＮ＝ ＡＨ＝ ｘ ＡＮ ＯＭ＝１ ２ ｋ２
２ ３－
则 ｙ ２ ｘ ＋２ ｔ ( ( ｔ ｙ １＋ ) ２ ｘ ) ＝１ ꎬ整理可得 ｔ ＋ ｔ ２ ＝ (ｙ １＋２ ｘ )( ｘ ｙ ２＋２ ) ꎬ ì ï ï ｙ ＝－ １ ｋ ｘꎬ
２ ＋２ １ １ ２ 由í 消去ｙ整理得( ｋ２ )ｘ２ ｋ２ .
当直线ＧＨ的斜率不存在时ꎬ显然不符合题意ꎬ ï ｙ２ ３ －１ －３ ＝０
故直线ＧＨ的斜率存在ꎬ设直线ＧＨ:ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｔꎬ代入双曲线方程 î
ïｘ２
－ ３ ＝１
ꎬ
第
ｙ２ ｘ２
ꎬ可得(ｋ２ )ｘ２ ｋｔｘ ｔ２ ꎬ
直线ｌ
２
与双曲线Γ交于两点ꎬ所以
３
ｋ２
－１≠０
且Δ
２＝１２
ｋ２(
３
ｋ２ 十
章
－ ＝１ －１ ＋２ ＋ －４＝０
４ ４ ) ꎬｋ２ １ ꎬ
所以ｘ １＋ ｘ ２＝ｋ － ２ ２ －
ｋ
１
ｔ
ꎬｘ １ ｘ ２＝ｋ
ｔ２
２ － － ４ １ ꎬ ｘ
－１ >０
３ ｋ
>
２ ３ ꎬｘ ３ ｋ２ ꎬ则 ＣＤ ( １ ) ２ ｘ ｘ
圆
锥 曲
又(ｙ
１＋２
)(ｙ
２＋２
)
＝
(ｋｘ
１＋
ｔ
＋２
)(ｋｘ
２＋
ｔ
＋２
) ３＝
３
ｋ２
－１
４＝－
３
ｋ２
－１
｜ ｜＝ １＋ － ｋ ｜ ３－ ４｜ 线
１ ９９
( ｋ２) ＡＤ ｋ２ (ｘ ｘ )２ ｘ ｘ ｋ２
＝２ ３ １＋ . ｜ ｜ ＝ １＋ １＋ ２ －４ １ ２ ＝ １＋
３
ｋ２
－１ ４ ｋ２ｍ２ ４ ( － ｍ２ －３ ) ( １＋ ｋ２)( １２ ｍ２ －１２ ｋ２ ＋３６ ) .
根据对称性可知四边形ＡＣＢＤ为菱形ꎬ其面积 ( ｋ２)２ － ｋ２ ＝ ( ｋ２)２
３－ ３－ ３－
Ｓ 四边形ＡＣＢＤ＝ ２ １ ｜ ＡＢ ｜ ｜ ＣＤ ｜ {ｙ ｋｘ ｍꎬ ì ï ï ｘ ＝ ｍ ｋ ꎬ
联立 ＝ ＋ 解得í ３－
３
(
１＋
ｋ２)
３
(
１＋
ｋ２) (
１＋
ｋ２)２
ｙ ｘꎬ ï ｍ
＝２
３－
ｋ２
３
ｋ２
－１
＝６ (
３－
ｋ２)(
３
ｋ２
－１
) ＝ ３
î
ïｙ
＝
３
ｋ
ꎬ
３－
(
１＋
ｋ２)２
１ . æ ｍ ｍö
＝６
１６
ｋ２
－３
(
１＋
ｋ２)２ ＝６
１６
ｋ２
∴
Ｍ 点的坐标为
è
ç
ｋ
ꎬ ３
ｋø
÷ꎬ同理可得 Ｎ 点的坐标
( ｋ２)２ －３ ３－ ３－
[ １＋ ) ｋ２ 为 æ ç － ｍ ꎬ ３ ｍö ÷ꎬ
∵ １ ３ < ｋ２ <３ ꎬｋ２ ＋２＋ｋ １ ２∈ ４ ꎬ１ ３ ６ ꎬ ( １ １ ＋ ６ ｋ２)２ ＝ ｋ２ １６ １ ∈ ( ３ ꎬ ４ ]ꎬ è ３＋ ｋ ３＋ ｋø
则 ( １ １ ＋ ６ ｋ ｋ ２ ２ )２ －３∈ ( ０ ꎬ １ ]ꎬ ∴ Ｓ 四边形ＡＣＢＤ∈ [ ６ ꎬ ＋∞ ).
＋２＋ｋ２
因 ｜ Ｍ 为 Ｎ ｜ Ｍ ＝ ꎬＮ æ è ç 为 ３ 线 ｍ － 段 ｋ－ Ａ ３ － Ｄ ｍ ＋ ｋ 的 ö ø ÷ 三 ２ ＋ 等 æ è ç ３ 分 ３ － ｍ 点 ｋ－ ꎬ所 ３ ３ ＋ ｍ 以 ｋ ö ø ÷ ２ ＡＤ ＝ １２ ( ( Ｍ ３ １ Ｎ － ＋ ｋ ｋ ２ ꎬ ２ ) ) ２ ｍ２ .
选 :假设满足题意的直线ＡＤ存在. ｜ ｜＝３｜ ｜
易
②
知直线ＡＤ的斜率存在ꎬ设直线ＡＤ的方程为ｙ ｋｘ ｍꎬＡ(ｘ ꎬ 即
(
１＋
ｋ２)(
１２
ｍ２
－１２
ｋ２
＋３６
)
１２
(
１＋
ｋ２)ｍ２
ꎬ
{ｙ ｋｘ ｍꎬ ＝ ＋ １ ( ３－ ｋ２)２ ＝３ ( ３－ ｋ２)２
ｙ
１
)ꎬＤ(ｘ
２
ꎬｙ
２
)ꎬ联立
ｘ２
＝
－
ｙ２ ＋
＝１ ꎬ
消去ｙ整理得(
３－
ｋ２)ｘ２
－２
ｋｍｘ 整理
ＡＢ
得
Ｃ
ｋ２
Ｄ
＋
ꎬ
８ ｍ
Ａ
２
→
－
Ｏ
３＝
Ｄ→
０
Ｏ
. ①
ꎬ即Ａ→ＯＤ→Ｏ ꎬｘ ｘ ｙ ｙ .
３ ∵ ⊥ ∴ ⊥ ＝０ １ ２＋ １ ２＝０
－
ｍ２
－３＝０
ꎬ由题意知
３－
ｋ２
≠０
且Δ
＝４
ｋ２ｍ２
＋４
(ｍ２
＋３
)(
３－
ｋ２)
>
ｘ
１
ｘ
２＋
ｙ
１
ｙ
２＝
ｘ
１
ｘ
２＋
(ｋｘ
１＋
ｍ)(ｋｘ
２＋
ｍ)
＝
(
１＋
ｋ２)ｘ
１
ｘ
２＋
ｋｍ(ｘ
１＋
ｘ
２
)
＋
ꎬ解得ｋ２ 且ｋ２ ｍ２ . ｍ２ ｋｍ
０ ≠３ < ＋３ ｍ２ ( ｋ２)－ －３ ｋｍ ２ ｍ２ ꎬ整理得 ｋ２ ｍ２ .
ì
ïｘ ｘ ２
ｋｍ
ꎬ
＝ １＋
３－
ｋ２ ＋
３－
ｋ２ ＋ ＝０ －３ ＋２ －３＝０ ②
ï １＋ ２＝ ｋ２
由根与系数的关系得í ３－ 联立 解得ｋ２ ９ ꎬ无解ꎬ故没有满足条件的直线ＡＤ.
ï ïｘ ｘ － ｍ２ －３ꎬ ①② ＝－ １３
î １ ２＝ ｋ２
３－
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
２ ００
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P254
１.(２０２２ ５３原创题)已知双曲线Ｃ
ｙ２ ｘ２
ａ ｂ 的 ｘ２ ａ２ ａｘ ꎬ
:ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) ＝ ２ ０＋ ＋２ ２ ０
一个焦点关于其中一条渐近线的对称点为 Ｐ (４ꎬ－３)ꎬ 若点 Ｐ ｜ ＰＦ ２｜＝ (ｘ ０－ ２ ａ)２ ＋ ｙ２ ０ ＝ ２ ｘ２ ０＋ ａ２ －２ ２ ａｘ ０ ꎬ
恰在Ｃ上 则Ｃ的渐近线方程为 Ｃ的方程 故 ＰＦ ＰＦ ( ｘ２ ａ２)２ ａ２ｘ２ ( ｘ２ ａ２)２ ｘ２ ａ２ꎬ
ꎬ ꎬ ｜ １｜｜ ２｜＝ ２ ０＋ －８ ０ ＝ ２ ０－ ＝２ ０－
为 . 又 ＰＯ ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ａ２ꎬ
｜ ｜ ＝ ０＋ ０＝２ ０－
答案 ｙ
＝±
２
１ ｘꎻ ｙ
５
２
－
２
ｘ
０
２
＝１
３
所
.(
以
２０
｜
２
Ｐ
２
Ｏ
５
｜
２ ＝
３
｜
原
ＰＦ
创
１｜
题
)
｜
已
ＰＦ
知
２｜
双
.
曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的
２.(２０２２ ５３原创题)已知双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的
:ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０)
:ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０)
两条渐近线分别为ｌ ｌ Ｃ上一点Ａ 到ｌ ｌ 的距离之
顶点为Ａ Ｂ Ｐ为Ｃ上一点且直线ＰＡ ＰＢ的斜率之积为 . １ꎬ ２ꎬ (４ꎬ ３) １ꎬ ２
ꎬ ꎬ ꎬ １
求证 Ｃ为等轴双曲线 积为 ４ .
(１) : ꎻ
５
(２) 设Ｆ １ꎬ Ｆ ２ 分别为Ｃ的左 、 右焦点 ꎬ 求证 :｜ ＰＯ ｜ ２ ＝｜ ＰＦ １｜｜ ＰＦ ２｜ (１) 求双曲线Ｃ的方程 ꎻ
Ｏ为坐标原点 .
( ) 若Ｐ为Ｃ的右支上任意一点 Ｍ ｍ ｍ 求 ＰＭ 的
(２) ꎬ ( ꎬ０)( >０)ꎬ ｜ ｜
证明 ( )设Ｐ(ｘ ꎬｙ )ꎬ由已知得ｘ ａꎬｙ２
ｂ２
(ｘ２ ａ２) 最小值.
１ ０ ０ ０≠± ０＝ａ２ ０－ 解析 ( )由已知可知ｌ ꎬｌ 的方程为ｂｘ ａｙ ꎬｂｘ ａｙ ꎬ
ꎬ不妨令Ａ( ａꎬ )ꎬＢ(ａꎬ )ꎬ则直线ＰＡꎬＰＢ的斜率分别为ｋ １ １ ２ － ＝０ ＋ ＝０
① － ０ ０ １ ｂ ａ
ｙ ｙ 因为 Ａ( ꎬ )到 ｌ ꎬｌ 的距离之积为 ４ ꎬ所以｜４ － ３ ｜
＝ｘ ０ ａ ꎬｋ ２＝ｘ ０ ａ ꎬ ４ ３ １ ２ ５ ａ２ ＋ ｂ２
０＋ ０－
ｙ ｙ ｙ２ ｜４
ｂ
＋ ３
ａ
｜ ４ ꎬ即｜１６
ｂ２
－３
ａ２
｜ ４ .
又ｋ １ ｋ ２＝１ ꎬ即 ｘ ０＋ ０ ａ ｘ ０－ ０ ａ＝１ ꎬ故 ｘ２ ０－ ０ ａ２ ＝１② ꎬ ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ５ ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ５ ∗
由 ①② 得ａ ＝ ｂꎬ所以Ｃ为等轴双曲线. 又１ ａ ６ ２ －ｂ ３ ２ ＝１ ꎬ所以 １６ ｂ２ －３ ａ２ ＝ ａ２ｂ２ꎬ代入 ∗ 式得 ５ ａ２ｂ２ ＝４ ａ２ ＋
( )由( )知ａ ｂꎬｙ２ ｘ２ ａ２ꎬ且ｘ２ ａ２ꎬ由ｃ２ ａ２ ｂ２ 得ｃ ａꎬ
２ １ ＝ ０＝ ０－ ０> ＝ ＋ ＝ ２ ｂ２
则Ｆ １ ( － ２ ａꎬ ０ )ꎬＦ ２ ( ２ ａꎬ ０ )ꎬ所以 ｜ ＰＦ １｜ ＝ (ｘ ０＋ ２ ａ)２ ＋ ｙ２ ０ ４
ｂ２
①
ꎬ由１
ａ
６
２ －ｂ
３
２ ＝１
得ａ２
＝ｂ
１
２
６
＋３ ②
ꎬ由
①②
解得ｂ２
＝１
ꎬａ２
＝４
ꎬ所
ｘ２
以双曲线Ｃ的方程为 ｙ２ .
－ ＝１
４
ｘ２
( )设Ｐ(ｘꎬｙ)ꎬｘ ꎬ则ｙ２ ꎬ
２ ≥２ ＝ －１
４
( )
２
ＰＭ ２ (ｘ ｍ)２ ｙ２ ５ ｘ２ ｍｘ ｍ２ ５ ｘ ４ ｍ １ ｍ２
｜ ｜ ＝ － ＋ ＝ －２ ＋ －１＝ － ＋
４ ４ ５ ５
ꎬ
－１
当 ｍ ５ 时ꎬ４ ｍ ꎬ故ｘ 时ꎬ ＰＭ ｍ ꎻ
０< ≤ ≤２ ＝２ ｜ ｜ｍｉｎ＝｜ －２｜
２ ５
ｍ２
当ｍ ５ 时ꎬ４ ｍ ꎬ故ｘ ４ ｍ时ꎬ ＰＭ ５ －２５.
> >２ ＝ ｜ ｜ｍｉｎ＝
２ ５ ５ ５
综上ꎬ当 ｍ ５ 时ꎬ ＰＭ ｍ ꎻ当 ｍ ５ 时ꎬ ＰＭ
０< ≤ ｜ ｜ｍｉｎ＝｜ －２｜ > ｜ ｜ｍｉｎ
２ ２
ｍ２
５ －２５.
＝
５
第
十
章
圆
锥
曲
线
２ ０１
