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解密21 双曲线
【考点解密】
1．双曲线的概念
平面内与两个定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数(小于|FF|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲
1 2 1 2
线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a}，|FF|＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
1 2 1 2
2．双曲线的标准方程和几何性质
－＝1 －＝1
标准方程
(a>0，b>0) (a>0，b>0)
图形
范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点 A(－a,0)，A(a,0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
性 渐近线 y＝±x y＝±x
质 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
线段AA 叫做双曲线的实轴，它的长|AA|＝2a，线段
1 2 1 2
实虚轴 BB 叫做双曲线的虚轴，它的长|BB|＝2b；a叫做双曲
1 2 1 2
线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
的关系
【方法技巧】
1. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：
① 直接求出 ，从而求出 ;
② 构造 的齐次式，求出 ;
③ 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④ 根据圆锥曲线的统一定义求解．
2.轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法.
定义法：（1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义；
（2）设标准方程，求方程中的基本量
（3）求轨迹方程
相关点法：（1）分析题目：与动点 相关的点 在已知曲线上；
（2）寻求关系式， ， ；
（3）将 ， 代入已知曲线方程；
（4）整理关于 ， 的关系式得到 M的轨迹方程
【核心题型】
题型一：待定系数法求双曲线方程
1．（2023春·贵州·高三校联考）已知双曲线 的焦点为 ， ，过 的直线 与 的左支相交于
两点，过 的直线 与 的右支相交于 ， 两点，若四边形 为平行四边形，以 为直径的圆过 ，
，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设 ，连接 ，则有 ， ， ，
，在直角三角形 中，由 可得 ，在直角三角形 中，
由 可得 ，再结合 ，即可求得答案.
【详解】解：设 ，则 ，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知： ，
连接 ，则有 ， ，
由于 在以 为直径的圆周上，
∴ ，
∵ 为平行四边形，
∥ ，
∴ ，
在直角三角形 中， ，
即 ，
解得 ，
所以 ， ；
在直角三角形 中， ，
即 ，得 ，
又因为 ，
所以 ， ，
所以双曲线的方程为 .
故选:D.
2．（2022秋·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知双曲线 （ ， ）的两条渐近线均和圆 ： 相切，且双曲线的右焦点为圆 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件转化为关于 的方程组，即可求解.
【详解】圆 ，整理为 ，圆心 ，半径 ，双曲线的渐近线方程
，
由题意可知， ，解得： ，
所以双曲线的方程为 .
故选：C
3．（2022秋·贵州贵阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线 ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长
为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】不妨设A在第一象限，由条件可设 ， ，根据双曲线的对称性及条件可得 ，代入圆的方程
，可求 ，由此确定双曲线方程.【详解】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为 ，双曲线的两条渐近线方程为
，
不妨设A在第一象限，则 ， ，∵四边形ABCD的面积为2b，
∴由对称性可得 ，又 ，
∴ ，
将 代入 ，可得 ，∴ ，
∴双曲线的方程为 1，
故选：D．
题型二：相同渐进性求双曲线方程
4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的渐近线方程为 ，且焦距为10，则双曲线C的标准方程
是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据共渐近线 的双曲线的设法 ，结合题意分析求解．
【详解】渐近线方程为 的双曲线为 ，即 ，故 ，故 ，
故选：C．
5．（2020·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线 与 的渐近线相同，则曲线 的
方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】先求得 的渐近线，然后根据 的渐近线相同列方程，解方程求得 的值.
【详解】 的渐近线方程为 ， 的渐近线方程为 ，所以 ，即 ，
∴ .
故选：A
【点睛】本小题主要考查同双曲线渐近线有关计算，属于基础题.
6．（2018秋·安徽池州·高三统考期末）双曲线 上一点 关于一条渐近线 的对称
点恰为左焦点 ，则该双曲线的标准方程为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的渐近线方程可设双曲线方程，代入点 ，即可求解.
【详解】因为双曲线 一条渐近线为 ，所以可设双曲线的方程为 ，因
为 在双曲线上，将 代入得 ，可得双曲线方程为 .
故选：C.
题型三：直接法求离心率
7．（2023·陕西榆林·统考二模）已知双曲线 ： （ ）的左、右焦点分别是 ， ， 是双曲线
上的一点，且 ，若 ，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线定义联立方程组求出 ， ，再根据勾股定理求出 ，进一步计算得出结果．【详解】不妨设 在双曲线 的右支上,由题意可得 ，
根据双曲线定义 ，又 ，
所以 ， ．
因为 ，所以 ，
则 ，故双曲线 的离心率 ．
故选：B.
8．（2023·河南·统考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是双曲线
的一条渐近线上的点，且线段 的中点 在另一条渐近线上．若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由中位线可知 ，即可得出一条渐近线的斜率，据此得出离心率.
【详解】因为 分别是 的中点，
所以 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故 .
故选：A
9．（2023·新疆·统考一模）已知 为双曲线 的左焦点，过点 的直线与圆
交于 两点（ 在 之间），与双曲线 在第一象限的交点为 为坐标原点，若
，则双曲线 的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆的几何性质，勾股定理，双曲线的几何性质，化归转化思想，画出图形分析即可求解.
【详解】依题意，可得如图所示：
设双曲线的右焦点为 ，
因为圆 ，所以半径 ，
过圆心 作弦 的垂线，垂足为 ，则 为 的中点，
又 ，所以 为 的中点，又 为 的中点，
所以 且 ，又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，
所以双曲线的离心率为： .
故选：D.
【点睛】本题考查了圆的几何性质垂径定理，勾股定理，双曲线定义的运用，双曲线离心率的求法，解题过程中
出现中点时可优先考虑中位线的性质，化归转化的过程中要充分考虑相关图形的性质.
题型四：构造齐次方程求离心率10．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）过双曲线 （ ， ）的左焦点 作圆
的切线，切点为 ，直线 交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定 为 的中点，所以 为△ 的中位线，进而得到 ， ， ，
切圆 于 ，可得 ，由勾股定理得出关于 ， 的关系式，最后即可求得离心率．
【详解】如图，
， 为 的中点，
为 的中点，
为△ 的中位线，
， ，
切圆 于，
， ，
由勾股定理
，
．
故选：A．
11．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设 分别是双曲线 的左､右焦点，过 作
的一条渐近线的垂线，垂足为 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由双曲线的方程可得两焦点的坐标及渐近钱的方程，由题意求出 的方程，与渐近线联立求出P的坐
标，进而求出 的值，由点到直线的距离公式，求 的值，由由 求出a，c的关系，进而求出
离心率．
【详解】由双曲线的方程可得双曲线渐近线方程： ，右焦点 ，
到渐近线的距离 ，
由渐近线的对称性，设渐近线为 ，①
则直线 方程为∶ ②，
由①②可得 ， 则 ，
左焦点 ，所以 ，由 ，有 ，得 ，
即 ， ，则 的离心率为
故选∶C·
12．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，
A是双曲线C的左顶点，以 为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且 ，则双曲
线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】方法一：根据已知条件分别表示出点A、P、Q的坐标，代入 可得b与a的关系式，再由
及离心率公式可求得结果.
方法二：运用极化恒等式及向量的加法、减法法则计算可得结果.
【详解】方法一：依题意，易得以 为直径的圆的方程为 .
又由双曲线 ，易得双曲线C的渐近线方程为 .
当 时，如图，设 ，则 .
联立 ，解得 或 ，所以 ， .
又因为 ，所以 轴.所以 ， .所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
同理，当 时，亦可得 .
故双曲线C的离心率为 .
故选：C.
方法二（极化恒等式）：易得坐标原点O为线段PQ的中点，且 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故选：C.
题型五：渐进性的综合问题
13．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知双曲线 ,直线 过双曲线 的右焦
点且斜率为 ,直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点（ 点在 轴下方）,且 ,则 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由斜率关系可以确定 与渐近线垂直,从而建立直角三角形,然后利用两渐近线与 轴的夹角相等,得出直角
三角形三边的长,从而找到 的齐次式,进而求离心率.
【详解】如图所示,因为 , ,
所以 ,所以 ,垂足为 ;
易求得焦点到渐近线的距离为
所以 ,
所以 ;
由角平分线定理可得 ,
所以 ,所以
在 中, ;
所以 .
故选：D.
14．（2021·陕西榆林·陕西省神木中学校考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为
、 ，点 在双曲线 的右支上，且 ，双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形两边之和大于第三边， 、 和 共线时取等号，列出 的不等式即可.【详解】 ， ，
.
即 的最大值为
故选：A.
15．（2023春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知双曲线 的右焦点为F，两条渐近
线分别为 ，过F且与 平行的直线与双曲线C及直线 依次交于点B，D，点B恰好平分线段 ，则双曲线C
的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】数形结合，设 ，分别联立直线 与双曲线 ，直线 与直线 可分别
解得点 的纵坐标,再根据点 是 中点，由中点坐标公式即可解得 关系，从而可得双曲线C的离心率.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，
设 ，如图，直线 与双曲线 联立方程组 ，解得：
，即 ，
点 的纵坐标为 ，
直线 与直线 联立方程组 ，可得 ，
点 的纵坐标为 ，
由于点 是 中点，由中点坐标公式可得 ，
， ，
即 .
故选：B.
题型六：利用自变量求离心率范围问题
16．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）直线l与双曲线 的左，右两支分别交于点A，B，
与双曲线的两条渐近线分别交于点C，D（A，C，D，B从左到右依次排列），若 ，且 ， ，
成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设直线方程及四个点，联立后分别求出两根和和两根积，再应用 ， ， 成等差数列，列
式求解即可【详解】设 直线 ，
联立 ，可得 ，则 ①
联立 ，可得 ，则 ②
因为 ，所以 ，所以 ③
因为 ，所以 ，所以 ，即得 ④
因为 ，所以 中点为 的中点，所以 ,
因为 成等差数列，所以 ，又因为A，C，D，B从左到右依次排列，所以
,
所以 ，代入①②③有 ，
因为 且 ，又因为 ，则 所以 ，所以 ，即
综上，
故选：D.
17．（2022·全国·高三专题练习）已知点 为双曲线 的右焦点，直线 ，
与双曲线 交于 ， 两点，若 ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】不妨设 在第一象限，根据 ，可设 .把点 的坐标代入双曲线方程可得出
，利用求根公式即可解出 .结合 ，可求出 ，从而可求出答案.
【详解】不妨设 在第一象限，因为 ，所以设 ， 为锐角，
代入双曲线方程可得： ，即 ，
化简可得 ，即 ，
因为 ，所以解得 ，
因为直线 ， ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，所以 ．
故选： ．
18．（2020·全国·高三专题练习）双曲线 上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若
AF⊥BF，设∠ABF＝θ，且 ，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．(1， ＋1] B．
C． D．[ ，＋∞)
【答案】A
【解析】记双曲线 的左焦点为 ，连接 ， ，由双曲线的对称性、定义及已知可得 ，
得到 ，再由 的范围得答案．【详解】记双曲线 的左焦点为 ，连接 ， ，
因为AF⊥BF，A关于原点的对称点为B，由双曲线的对称性可知，
， ，，四边形 为矩形，
有 ， ，又∠ABF＝θ，
可得 ，
则 ．
由 ，得 ，
所以得 ，
可得
则 ，
即 ，
故选：A.
题型七：双曲线的综合问题
19．（2023·广东江门·统考一模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线 与直线 垂直，A为垂足且
位于第一象限，直线 与直线 垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形 （O为原点）的面积为8，
动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；(2)已知 是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线 ， 的斜率之和为1， ，求
的面积.
【答案】(1) （ ）
(2)
【分析】（1）设动点 ，由题意知 ， ，由题意 ，化简可
得轨迹C的方程；
（2）设直线 的倾斜角为 ，斜率为k，直线 倾斜角为 ，则 斜率为 ， ， ，由过
点T直线与曲线C有两个交点确定 的范围，由 ，解得 ，从而可得直线 、 的
方程，与曲线C的方程联立解得 的坐标，求出 及点Q到直线 的距离 ，即可求出 的面积.
【详解】（1）设动点 ，由题意知M只能在直线 与直线 所夹的范围内活动.
， ，
动点 在 右侧，有 ，同理有 ，
∵四边形 的面积为8，∴ ，即 ，
所以所求轨迹C方程为 （ ）.
（2）如图，设直线 的倾斜角为 ，斜率为k，直线 倾斜角为 ，则 斜率为 ，， ， 在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，
则 或 ，同时 或 ，解得 或 .
，解得 或 （舍去）.
时，直线 的方程为 ，
联立 ，消y得： ，则 或 ，得 .
直线 的方程为 ，
联立 ，消y得： ，则 或 ，得 ，
，
点Q到直线 的距离 ，
.
方法二： ，
，
，则 ，.
20．（2023·山西晋中·统考二模）已知双曲线C： 的离心率为 ，点 在双曲线上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若A，B为双曲线的左、右顶点， ，若MA与C的另一交点为P，MB与C的另一交点为Q（P与A，Q
与B均不重合）求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点坐标为
【分析】（1）把点 代入双曲线的标准方程 ，结合其离心率 来联立方程求解
即可；
（2）根据题意当 时，设出直线 方程为 ，并设交点 ， ，联立直线与曲线的方程，
利用韦达定理可得 ， ，从而由题意 推出直线PQ恒过定点 ，最后检验当 时，也
符合题意即可.
【详解】（1）由题意可知 ，解得 ,
故双曲线C的方程为 ．
（2）证明：①A，B为双曲线 的左、右顶点， ，又
当 时，可得， ， ，又点P在双曲线 上，∴ ，
∴ ．
设 ， ， ： ，与双曲线C的方程联立得 ，
， ， ，
，
解得 ，此时满足 ，
∴直线PQ恒过点 ．
②当 时，P与B重合，Q与A重合，此时直线PQ的方程为 ．
综上，直线PQ恒过点 ．
21．（2023·安徽安庆·校考一模）在直角坐标平面中， 的两个顶点的坐标分别为
，两动点 满足 ，向量 与
共线.
(1)求 的顶点 的轨迹方程；
(2)若过点 的直线与（1）的轨迹相交于 两点，求 的取值范围.
(3)若 为 点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数 ，使得恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在 ；理由见解析
【分析】（1）设 ，由 知 ，由 且向量 与 共线，知 在边
的中垂线上，由此能求出 的顶点 的轨迹方程；
（2）设 ，过点 的直线方程为 ，代入双曲线方程，得 ，
再由根的判别式和韦达定理即可求出 的取值范围；
（3）通过由特殊到一般的方法进行求解.
【详解】（1）设 ，由 知，
是 的重心， .
且向量 与 共线， 在边 的中垂线上，
，
又 ，
化简得 ，
即所求的轨迹方程是 .
（2）设 ，过点 的直线方程为 ，
代入 得 ，，
且 ，解得 .
，则 或 ，
，
则 的取值范围是 .
（3）设 ，则 ，即 .
当 轴时， ，
即 ，故猜想 .
当 不垂直 轴时， ，
.
又 与 同在 内，
.
故存在 ，使 恒成立.
【高考必刷】
一、单选题22．（2023·陕西商洛·统考一模）已知双曲线 的左顶点为A，右焦点为F，点M在双曲线C
上，且 ， ，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】由题设求得 ， ，结合已知数量关系及双曲线参数关系得到齐次方程，即可求离心率.
【详解】因为 ，又 ，则 ，故 ，即 ，
所以 ，又 ，且 ，
所以 ，从而 ，解得 或 （舍）.
故选：B
23．（2023·河南焦作·统考模拟预测）设双曲线 的右焦点为 ， ，若直线 与
的右支交于 ， 两点，且 为 的重心，则直线 斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据重心性质得出 中点 的坐标，根据直线 与 的右支交于 两点可知点 在右支内部，
将 的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线 的斜率与 之间等式关系，
由 不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线 的斜率与 之间等式关系，
即可得斜率的取值范围，解出即可.
【详解】设 为 的中点，根据重心性质可得 ，
因为 ，则 ，
因为直线 与 的右支交于 两点，所以点 在双曲线右支内部，故有 ，解得 ，
当直线 斜率不存在时， 的中点 在 轴上，
故 三点不共线，不符合题意舍，
设直线 斜率为 ，设 ，
所以 ， ，
因为 在双曲线上，所以 ，
两式相减可得： ，
即 ，
即有 成立，
即有 ，因为 不共线，
即 ，即 ，即 ，
所以 的离心率的取值范围为 ，
因为
，
因为 ，即 ，
所以 ，所以 .
故选：C
【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于圆锥曲线中弦中点和直线斜率有关问
题的思路有：
（1）设出点的坐标 ；
（2）根据中点坐标建立等式： ， ；
（3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形；
（4）将 ， 及 代入等式中即可得出关系.
24．（2023·山东威海·统考一模）已知双曲线 的左焦点为 ，M为C上一点，M关于原
点的对称点为N，若 ，且 ，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由对称性知四边形 为平行四边形，可求得 及 ，在 中，由余弦定理建
立 的关系，从而求得渐近线方程.
【详解】如图所示，不妨设 在左支，
设右焦点为 ，连接 ，由对称性知四边形 为平行四边形，
由 得 ，
由双曲线定义知： ，
所以 ，
因为 ，所以
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
整理得 ，即 ，所以 ，
则C的渐近线方程为 .
故选：D
【点睛】求双曲线的渐近线就是求 与 的关系，通过可通过几何关系或代数式建立关于 的一个齐次等式，
求解 均可得到渐近线方程.几何关系通过用到平面几何中的有关知识建立关系，甚至平面向量、正弦定理、余
弦定理都可以用来建立关系式.
25．（2023·重庆·统考二模） 是双曲线 的左 右焦点，点 为双曲线 右支上一点，
点 在 轴上，满足 ，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量加法运算法则，结合平行四边形的性质可确定以 为邻边的平行四边形为菱形，得
到 ，结合双曲线定义可求得 ，利用余弦定理可构造 的齐次方程，从而求得离心率.【详解】
设 ，则 ，
是以 为邻边的平行四边形的一条对角线，
又 ， 为 的角平分线，
以 为邻边的平行四边形为菱形， ，
由双曲线定义知： ， ， ，
在 中，由余弦定理得： ，
双曲线 的离心率 .
故选：D.
26．（2023·湖北·统考模拟预测）已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线
分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上， ， 平分 ，则双曲线 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 可知 ，再根据角平分线定理得到 的关系，再根据双曲线定义分别把图中
所有线段用 表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.【详解】
因为 ，所以 ∽ ，
设 ，则 ，设 ，则 ， ．
因为 平分 ，由角平分线定理可知， ，
所以 ，所以 ，
由双曲线定义知 ，即 ， ，①
又由 得 ，
所以 ，即 是等边三角形，
所以 ．
在 中，由余弦定理知 ，
即 ，化简得 ，
把①代入上式得 ，所以离心率为 ．
故选：A．
27．（2023·江西赣州·统考一模）已知点 ，双曲线 的左焦点为 ，点 在双曲线 的右支
上运动.当 的周长最小时， （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用双曲线的定义可以得出 = ，当 三点共线时 最小.
【详解】由双曲线 得到 , , ，左焦点 ，
设右焦点 .当 的周长最小时， 取到最小值，所以只需求出 的最小值即可.
= = = .
故选：C.
28．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在xOy平面内，双曲线 （ ， ）的左、右焦点
分别为 ， ，过左顶点A且斜率为 的直线与渐近线在第一象限的交点为M，若 ，则该双曲线
的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 得出 ，进而由斜率公式结合离心率公式求解即可.
【详解】因为 且点M在渐近线上，
由 得 ，则 ， ，于是 .
故选：B
29．（2023·河南·校联考模拟预测）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，B为双曲线E上在第一象限内的点，线段 与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且 ，若 ，
则双曲线E的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】连结连接 、 .设 ，根据双曲线的定义可推得 ，即 ．进而在直角三
角形中，根据勾股定理可得 .结合已知条件，即可得出 ，从而得出离心率.
【详解】
如图，连接 、 .
因为M为AB的中点， ，所以 ．
设 ，
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，
则 ．
因为M为AB的中点，所以 ，则 ．
设 ，在 中， ，
在 中， ，
则 ，整理可得 ，所以 ．当 时， ，则 ，
所以离心率为 ．
故选：D．
二、多选题
30．（2023·湖南·模拟预测）已知O为坐标原点， ， 分别是双曲线E： 的左、右焦点，
P是双曲线E的右支上一点，若 ，双曲线E的离心率为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线E的标准方程为
B．双曲线E的渐近线方程为
C．点P到两条渐近线的距离之积为
D．若直线 与双曲线E的另一支交于点M，点N为PM的中点，则
【答案】ACD
【分析】根据双曲线定义及离心率求出 得到双曲线的标准方程，即可求出渐近线方程判断AB，再由点到渐近
线的距离判断C，点差法可判断D.
【详解】根据双曲线的定义得， ，故 ，由 ，得 ，
所以 ，所以双曲线E的标准方程为 ，渐近线方程为 ，即 ，所以A正确，
B不正确；
设 ，则点P到两条渐近线的距离之积为 ，所以C正确；
设 ， ，因为P，M在双曲线E上，所 ①， ②，①－②并整理得， ，即 ，所以 ，所以D正确．
故选：ACD．
31．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 和圆 ，则（ ）
A．双曲线 的离心率为
B．双曲线 的渐近线方程为
C．当 时，双曲线 与圆 没有公共点
D．当 时，双曲线 与圆 恰有两个公共点
【答案】ACD
【分析】根据双曲线方程求出离心率与渐近线方程，即可判断A、B，求出圆心到渐近线的距离，即可判断C，设
双曲线 上的点 的坐标为 ，表示出 的距离，即可得到圆心 到双曲线 上的点的距离的最小值，从而
判断D.
【详解】解：由已知得 ， ，则 ，所以双曲线 的离心率 ，故选项A正确；
双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，故选项B错误；
因为圆心 到双曲线 的渐近线的距离 ，
所以当 时，圆 与双曲线 的渐近线相切，此时双曲线 与圆 没有公共点，故选项C正确；
设双曲线 上的点 的坐标为 ， ，则圆心 到点 的距离为
，当且仅当 时取等号，
所以圆心 到双曲线 上的点的距离的最小值为 ，且双曲线 上只有两个点到圆心 的距离为 ，
所以当 时，双曲线 与圆 恰有两个公共点，故选项D正确．故选：ACD
32．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 分别为双曲线C： （ ， ）的左、右焦点， 的
一条渐近线 的方程为 ，且 到 的距离为 ，点 为 在第一象限上的点，点 的坐标为 ， 为
的平分线 则下列正确的是（ ）
A．双曲线的方程为 B．
C． D．点 到 轴的距离为
【答案】ACD
【分析】由 到 的距离为 以及渐近线方程为 可求得 ，即可得出方程，判断A；由
可求出判断B；结合双曲线定义可求得 ，求出 ，即可求出 ，判
断C；利用等面积法可求得点 到 轴的距离，判断D.
【详解】 到 的距离为 ， ，解得 ，
又渐近线方程为 ，则 ，结合 可解得 ， ，
则双曲线的方程为 ，故A正确；
为 的平分线， ，故B错误；
由双曲线定义可得 ，则可得 ， ，
则在 中， ，则 ，
则 ，即 ，故C正确；
在 中， ，
设点 到 轴的距离为d，则 ，
即 ，解得 ，故D正确．
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：是根据已知求出双曲线方程，结合双曲线的定义求得焦点三角形的各边长.
33．（2023·山东菏泽·统考一模）已知双曲线 的左､右焦点分别为 、 ，过点 的直线 与双
曲线 的左､右两支分别交于 、 两点，下列命题正确的有（ ）
A．当点 为线段 的中点时，直线 的斜率为
B．若 ，则
C．
D．若直线 的斜率为 ，且 ，则
【答案】BCD
【分析】对于A选项，设 ，代入双曲线，用点差法即可判断；对于B选项，设 ，表示出
和 ，得出 ，再结合 即可得
出结论；对于C选项，设 ，其中 ，由双曲线方程，得出 ，利用两点之间距离公式，分别表示出 和 ，通过做差即可得出结论；对于D选项，根据双曲线的定义，得出
，再证出点 与点 关于直线 对称，则 ，即可得出结论．
【详解】选项A：
设 ，代入双曲线得，
，两式相减得，
，
∵点 为线段 的中点，
∴ ， ，
即 ， ，
∴ ，
，故A错误；
选项B：
设 ，
， ，
，
，
又 ，，故B正确；
选项C：
设 ，其中 ，
则 ，即 ，
，
，
，
，
，
，故C正确；
选项D：
， ，
， ，
，
∵直线 的斜率为 即 ，且过点 ，
∴直线 的方程为： ，
又∵ ， ，
，
即 ，又∵点 到直线 的距离： ，
点 到直线 的距离： ，
即 ，
∴点 与点 关于直线 对称，
，
，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】结论点睛：本题涉及到双曲线中的有关结论：
（1）若点 是双曲线 上一条弦 的中点，则直线 的斜率 ；
（2）若双曲线上有两点 、 ，且位于不同两支，则 ．
三、填空题
34．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点的连线
交 于第一象限的点M，若 在点M处的切线平行于 的一条渐近线，则 __________．
【答案】 ##【分析】求出抛物线的焦点与双曲线的右焦点及渐近线方程，设 ，由导数求得点 处切线的斜率，得出
的关系，再根据三点共线的斜率性质构造方程即可得解.
【详解】抛物线 的焦点的坐标为 ，且 ；
双曲线 的右焦点的坐标为 ，渐近线方程为 ，
由题意可知， 在点M处的切线平行的渐近线应为 ，
设 ，则 ，得 ，
又点 共线，即点 共线，
所以 ，解得 ，所以 .
故答案为： .
35．（2023·辽宁·校联考一模）过双曲线 焦点 的直线与 的两条渐近线的交点分分别
为M、N，当 时， .则 的离心率为______.
【答案】
【分析】依题意， 垂直于渐近线，结合图形在直角三角形利用三角函数构造 齐次式求 的离心率.
【详解】解法1：双曲线的焦点 到渐近线 的距离为 ，
因为 ，所以 垂直于渐近线，如图所示，则 ， ， ，所以 的离心率 .
因为 ，所以， .
过作另一条渐近线的垂线，垂足为 ，则 ，在直角 中， .
因为 ，因为 ，所以 .
因此 的离心率为 .
解法2：因为 ，所以 垂直于渐近线，则 ， ，
因为 ，所以 ，
在 中， ，在 中， ，
，
，可得 ，则有 ，即 ，
所以C的离心率 .
故答案为： .
【点睛】思路点睛：由焦点到渐近线的距离为 ，可得 垂直于渐近线，这是本题的着手点，数形结合在直角三
角形中利用三角函数构造 齐次式可求 的离心率.36．（2023·山东泰安·统考一模）已知双曲线C： 的右顶点为A，以A为圆心，b为半径的
圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若 ，则以 （e为双曲线C的离心率）为焦点的抛物
线的标准方程为___________.
【答案】
【分析】根据已知条件求得双曲线的离心率，也即求得 ，从而求得抛物线的标准方程.
【详解】依题意， ，双曲线的一条渐近线方程为 ，
依题意，三角形 是边长为 的等边三角形，
所以 到 的距离是 ，
即 ，
所以对于抛物线 ，有 ，
所以抛物线方程为 .
故答案为：
37．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点为 ， ，过 的直线分别
交两条渐近线于 ， 两点，若 且 ，则 的离心率为______.
【答案】2
【分析】设直线 的方程为 ，通过联立方程组的方法求得 的坐标，进而求得 中点 的坐标.对
进行分类讨论，由 化简求得双曲线 的离心率.【详解】设直线 的方程为 ，由 得 ，
同理可得 ，所以 的中点
因为 ，所以
（1）当 时， 轴，此时 ， ，
又由 得 ，即
所以 ，这与 矛盾，不合题意，所以
（2）当 时，则 ，即 ，
则 ，即 ，
又由 得
，
化简得 ，所以 ，所以 .
由（1）（2）可知，双曲线的离心率为2.
故答案为：2
【点睛】求解直线和直线、直线和圆锥曲线的交点的问题，可通过联立方程组来进行求解.求解双曲线的离心率问
题，有两个思路，一个是求得 ，从而求得双曲线的离心率；另一个是求得 或 的关系式，由此来求得双
曲线的离心率.四、解答题(共0分)
38．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C： 的离心率为e，点 在C上， ， 分
别为C的左、右顶点，C的右焦点F到渐近线的距离为 ，过点F的直线l与C交于A，B两点（异于顶点），直
线 ， 分别与y轴交于点M，N.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)当 时，求以MN为直径的圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由条件列关于 的方程，解方程求 可得双曲线方程；
(2)设设直线l的方程为 ，联立方程组结合设而不求法表示条件，求出点 的坐标，再求以MN为直径
的圆的方程.
【详解】（1）设双曲线的半焦距为 ，则右焦点 的坐标为 ，
∵点 在双曲线C上，
∴ ①，
由已知右焦点 到渐近线的距离 ②.
③，
由①②③得 ， ，
∴双曲线C的标准方程为 .（2）由（1）知 ，
过点 的斜率为0的直线为 ，
与双曲线 的交点为 ，与已知矛盾，
故可设直线l： ，
联立方程得 ，消去x并整理得 ，
由已知 ，
方程 的判别式
，
设 ， ，
则 ，
因此 .
设 ， ，
易知直线 的方程为 ，
令 ，得 ，
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，则
，
∴ .
∵ ，∴ .
当 时， ，
以MN为直径的圆的方程为 ，即 ；
当 时， ，
以MN为直径的圆的方程为 ，即 .
故以MN为直径的圆的方程为 .
【点睛】解决直线与双曲线的综合问题，一般利用设而不求法解决，解决过程中需注意直线的斜率是否存在，是
否为0.
39．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知双曲线 的右顶点为 ，左焦点 到其渐近
线 的距离为2，斜率为 的直线 交双曲线 于A，B两点，且 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线 交于P，Q两点，直线 ， 分别与直线 相交于 ， 两点，试问：
以线段 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)以线段 为直径的圆过定点 和 ．
【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解 ，进而联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解
，（2）联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在 轴上，进而根据垂直关系得向量
的坐标运算，即可求解.
【详解】（1）∵双曲线 的左焦点 到双曲线 的一条渐近线 的距离为 ，而
，∴ ．
∴双曲线 的方程为 ．
依题意直线 的方程为 ．
由 消去y整理得： ，
依题意： ， ，点A，B的横坐标分别为 ，
则 ．
∵ ，∴ ．
∴ ，∴ ．
即 ，解得 或 （舍去），且 时， ，
∴双曲线 的方程为 ．
（2）依题意直线 的斜率不等于0，设直线 的方程为 ．
由 消去 整理得： ，
∴ ， ．
设 ， ，则 ， ．直线 的方程为 ，令 得： ，∴ ．
同理可得 ．由对称性可知，若以线段 为直径的圆过定点，则该定点一定在 轴上，
设该定点为 ，则 ， ，
故
．
解得 或 ．
故以线段 为直径的圆过定点 和 ．
