文档内容
秘籍 09 圆锥曲线小题归类
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 圆锥曲线定义、直线与圆锥曲线位置关系
圆锥曲线属于高考难点，也是解析几何的主要内容，多出现在压轴题的位置，考察的内容和题型也偏
多，需要学生对于基础知识熟练掌握的基础上还需要利用数形结合等的思想结合几何和代数的方法来解决
相应问题。需要记忆的结论很多，所以相应的推理方法也都必须要能够理解，这里通过梳理题型来理解其
中的含义和方法。
【题型一】 圆锥曲线定义型
基本定义：
(1)椭圆定义：动点P满足：| PF1|＋| PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a> c (其中a>0，c0，且a，c为常数)
(2)双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0).
(3)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
拓展定义：
1.A,B是椭圆C:+＝1 (a>0，b>0)上两点，M为A,B中点，则
（可用点差法快速证明）
2.A,B是双曲线C:－＝1 (a>0，b>0)上两点，M为A,B中点，则
（可用点差法快速证明）
1.已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 交于 ， 两点， ，线段 的
中点为 ，过点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，则 的最小值为____．
【答案】【详解】如图所示，设抛物线的准线为 ，作 于点 ， 于点 ，
由抛物线的定义可设： ，由勾股定理可知：
，
由梯形中位线的性质可得： ，则： .
当且仅当 时等号成立.即 的最小值为 .
2.已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，以 为直径的圆与双曲线在第一
象限和第三象限的交点分别为 ， ，设四边形 的周长为 ，面积为 ，且满足 ，
则该双曲线的离心率为______.
【答案】
【详解】快捷解法
原题解法麻烦 如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设 ，
由圆与双曲线的对称性可知，点 与点 关于原点对称，所以 ，
因为圆是以 为直径，所以圆的半径为 ，因为点 在圆上，也在双曲线上，所以有，
联立化简可得 ，整理得 ，
， ，所以 ，因为 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，联立 可得 ， ，
因为 为圆的直径，所以 ,
即 ， ， ，
， ， ，所以离心率 ．
3.已知双曲线 : 的左焦点为点 ,右焦点为点 ,点 为双曲线 上一动点,则
直线 与 的斜率的积 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为
∵ ∴ 或 ，故 或 ，故填
.
（多选）1．（2023·山东济南·一模）在平面直角坐标系 中，由直线 上任一点P向椭圆作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则（ ）
A． 恒为锐角 B．当 垂直于x轴时，直线 的斜率为
C． 的最小值为4 D．存在点P，使得
【答案】ABD
【详解】对于A项，设切线方程为
联立 得： ，
∵直线与椭圆相切，故 则 ，
∴切线PA的方程为 ，同理切线PB的方程为
而P点在 上，故 ，
又 满足该方程组，故 ，
显然 过定点 即椭圆左焦点.
以 为直径的圆半径最大无限接近 ，但该圆与 一直相离，即 始终为锐角，A正确；
对于B项，由A得 ， 轴时， ，易得 ， ，
故B正确；
对于C项，由B知 轴时， 此时 ，故C错误；
对于D项，取 中点 ，若 则 ，
即 为等腰三角形， ，化简得 ，由A知： ，
整理得： ，显然存在P满足题意，故D正确；
故选：ABD
2．（2022·江苏·统考三模）关于椭圆 ： ，有下面四个命题：甲：长轴长为4；乙：
短轴长为2；丙：离心率为 ；丁：右准线的方程为 ；如果只有一个假命题，则该命题是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【详解】依题意，甲： ；乙： ；丙： ；丁： ；∵ ，∴甲丙丁真命题，故乙
为假命题﹒
故选：B﹒
3．（2022·浙江宁波·统考一模）已知A，B为椭圆 上两个不同的点，F为右焦点， ，
若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，则 __________．
【答案】
【详解】取椭圆方程为 ， ，直线方程为 （椭圆右准线），
椭圆上点 ，右焦点 ，设点 到直线的距离为d，
则
，所以 ，
因为本题椭圆离心率: ，设
由焦半径公式: 得: ,
即 中点 ， ，则 垂直平分线斜率为
根据点 在椭圆上，则有 ， ，作差化简得 ，
则线段 的垂直平分线方程为 ,代入 得:
,即 ,则 .
故答案为： .
【题型二】 焦点弦与焦半径型
1.已知F是抛物线 的焦点，点P在抛物线上，则
2.若焦点弦 的倾斜角为 ，则 （横放）若 的倾斜角为 ，则 （竖
放）1.设抛物线 的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且 ，则弦长
______．
【答案】
【详解】抛物线焦点坐标为 ，设点 设直线l方程为 ，
由抛物线的定义有 ， 由 ，得
，即 .所以有 ，又由 得：
，
所以 ， 由(1),(2)联立解得： .又
故答案为：
2.设 分别为椭圆 的左､右焦点，若在直线 （c为半焦距）上存在点P，使
的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，椭圆 ，可得焦距 ，
因为在直线 上存在点P，使 的长度恰好为椭圆的焦距，
可得 ，即 ，可得 ，即 ，解得
（多选）3．（2022·江苏南通·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知F，F 分别是椭圆
1 2的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足 ，则（ ）
A． ABF 的周长为定值 B．AB的长度最小值为1
2
C．若△ AB⊥AF，则λ=3 D．λ的取值范围是[1，5]
2
【答案】AC
【详解】因为 ，则 三点共线， 周长 是定值，A对．
，B错．
∵ ，则 ，A在上、下顶点处，不妨设 ，则
解得 或， ， ， ，C对．
令
消x可得 ，
时，
时， ∴ ，D错．
故选：AC.
1．（2021·全国·模拟预测）如图，椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，过点 ， 分别作弦
， .若 ，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由椭圆的对称性可知 ， ， .设点 ， .
若直线 的斜率不存在，则点 ， ，所以 ，所以
.
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立 消去 整理得 ， ，则 .又
，同理可得 ，所以
，所以.
综上， 的取值范围为 ，
故选:C.
2．（2021·山西临汾·统考一模）过椭圆内定点 且长度为整数的弦，称作该椭圆过点 的“好弦”．在
椭圆 中，过点 的所有“好弦”的长度之和为（ ）
A．120 B．130 C．240 D．260
【答案】C
【详解】解：由已知可得 ， ，
所以 ，故 为椭圆的右焦点，
由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直 轴时弦长最短，
所以当 时，最短的弦长为 ，
当弦与 轴重合时，弦长最长为 ，
则弦长的取值范围为 ，
故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，
则“好弦”的长度和为 ，
故选：C．
（多选）3．（2023·江苏·二模）已知椭圆 ，点 为右焦点，直线 与椭圆交于
两点，直线 与椭圆交于另一点 ，则（ ）
A． 周长为定值 B．直线 与 的斜率乘积为定值
C．线段 的长度存在最小值 D．该椭圆离心率为
【答案】BCD【详解】该椭圆中 ，则 ，
所以离心率为 ，故D正确；
设 ， ， ，
则在 、 斜率都存在的前提下有 ， ，
于是
为定值，故B正确；
由题意可设 的方程为 ，
联立 ，消 得 ，
则 ，
所以
，
则当 时， ，
所以线段 的长度存在最小值，故C正确.
当 时，直线 与椭圆 交于点 和 ，
不妨取点 为 ，得直线 方程为 ，求得交点 为 ，
则 ， ， ，此时 的周长为 ，
当 时，联立 ，解得 ，不妨取 ，
则 垂直于 轴，此时 ， ， ，
此时 的周长为 ，
显然 周长不为定值，故A错误；
故选：BCD．
【题型三】 定比分点
1. 过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为
2.已知AB为抛物线
的焦点弦，
1．（2023秋·湖北黄冈·高二统考期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过的直线交椭圆于A，B两点， ，且 ，椭圆 的离心率为 ，则实数 （ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【详解】因为 ，设 ，由椭圆的定义可得： ，则
，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，又因为椭圆 的离心率为 ，
所以 ，则有 ，
所以 ，则 ，则 ，
由 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，解得： ，
故选： .
2．（2022秋·江苏连云港·高二校考期中）如图，已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点，点
、 在椭圆上，四边形 是梯形， ，且 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】设点 关于原点的对称点为点 ，连接 、 ，如下图所示：
因为 为 、 的中点，则四边形 为平行四边形，可得 且 ，
因为 ，故 、 、 三点共线，设 、 ，
易知点 ， ， ，
由题意可知， ，可得 ，
若直线 与 轴重合，设 ， ，则 ，不合乎题意；
设直线 的方程为 ，联立 ，可得 ，
由韦达定理可得 ，得 ，
，则 ，可得 ，故 ，
因此， .
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为B，直线BF与
C相交于另一点A，点A在x轴上的射影为 ，O为坐标原点，若 ，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得 ，设
因为 ，所以 ，
所以 ，得 ，即 ，
因为点 在椭圆 上，
所以 ，化简得 ，
所以离心率 ，
故选：A
1．（贵州省新高考“西南好卷”2022-2023学年高二下学期适应性月考数学试题（五）） 分别为双
曲线 的左，右焦点，过 的直线与双曲线左支交于 两点，且 ，以
为圆心， 为半径的圆经过点 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得 ，设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，解得 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，化简得 ，所以 的离心率 ，
故选:A.
2．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）设 分别为椭圆 的左､右焦点，
点 在 上，若 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，设 ，因为 且 ，则 ，
由椭圆的定义可得 ，即 ，
又由 ，所以 ，
所以 ，可得 ，所以
在直角 中，可得 ，即 ，得 ，
所以椭圆的离心率为 .
故选：C.3．（2022·海南·校联考模拟预测）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为双曲线右支上一
点， ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据双曲线的定义得 ，
又因为 ，所以 ， ．
又因为 ，
所以在 中结合余弦定理的推论得：
，
因为 ，得 的大小为 ．
故选：C
【题型四】 离心率综合
解题时要把所给的几何特征转化为 的关系式．求离心率的常用方法有：
（1）根据条件求得 ，利用 或 求解；
（2）根据条件得到关于 的方程或不等式，利用 将其化为关于 的方程或不等式，然后解方程或
不等式即可得到离心率或其范围．1．（2023·江西南昌·校联考二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 经
过点 交 于 ， 两点，点 在 上， ， ， ，则 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分别取 ， 关于 轴的对称点 ， ，连接 ， ， ， ，
由 以及椭圆的对称性及几何知识可得 ，且 关于y轴对称，
则 关于原点对称，则四边形 是平行四边形，
所以 ， ，
又 ，所以 ，所以 是等边三角形，
又 的周长为 ，
所以 ， ，
中，由余弦定理 ，
得 ，整理得 ，
所以 ，故选：B.
2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为 右
支上一点， 与 的左支交于点 .若 ，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意易得： ，所以
设 ， ，由余弦定理可得 ，
则
设点 ，则 ，
即
所以 ，故 .
故选：C
3．（2023·江西新余·统考二模）已知双曲线 ，过右焦点 作 的一条渐近线的
垂线 ，垂足为点 ， 与 的另一条渐近线交于点 ，若 ，则 的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如下图所示：
双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
所以， ，则 ，
因为 ，则 ，
设 ，则 ，所以， ，
， ，
由二倍角的正切公式可得 ，即 ，可得 ，
因此， .
故选：A.
1．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，若直线 与圆 ： 相切，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】D
【详解】设 ，则直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离 ，
两边平方整理得， ，
于是 ，解得 或 ，
则 或 ，
故选：D
2．（2023·浙江金华·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为F，左右顶点分别为A，B，点P
是椭圆G上异于A，B的动点，过F作直线AP的垂线交直线BP于点 ，若 ，则椭圆G的
离心率为__________．
【答案】 /0.5【详解】
不妨设直线AP的斜率大于0，设为k，
则直线AP的方程为 ，直线FM的方程为 ，
所以 ，则 ，
由 ，则 ，又 ，即 ，
所以 ，
所以 且 ，解得 (负值舍去)．
故答案为：
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上， 分别是
双曲线的两个焦点，过上焦点 作斜率 的直线 交双曲线上支于点 ,若 ， 的内
心分别是 ，且 ，则双曲线的离心率为________.
【答案】
【详解】如图所示，在 中，设边 边上的切点分别为 ，则 纵坐标相等，且 ，
由双曲线的性质可得 ，
设 ，则 ，解得 ，所以 ，
同理可得内心 的纵坐标也为 ，则 轴，
设直线 的倾斜角为 ，则 ， ， ，
由 解得 ，
又因为 ，所以
，
所以 ，
设双曲线方程为 ， ， ， ， ，则直线 为 ，即 ，
联立 得 ，
则 ， ，则
所以
，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：
【题型五】 双曲线渐近线型
渐近线
（1）焦点到渐近线的距离为b
（2）定点到渐近线的距离为
1．（2023·福建·统考模拟预测）已知双曲线C： （a>0，b>0）的离心率为 ，左，右焦点分别为 ， 关于C的一条渐近线的对称点为P.若 ，则 的面积为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】D
【详解】
设 与渐近线 交于 ，则 ， ， ，
所以 ， ，
由 分别是 与 的中点，知 且 ，即 ，
由 得 ，所以 ，
故选：D
2．（2023·北京朝阳·二模）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【详解】因为双曲线为 ，所以它的一条渐近线方程为 ；
因为渐近线方程为 ，所以 .
故选：C.
3．（2023·天津·三模）已知O为坐标原点，双曲线C: 的左、右焦点分别是F，F，离
1 2心率为 ，点 是C的右支上异于顶点的一点，过F 作 的平分线的垂线，垂足是M，
2
，若双曲线C上一点T满足 ，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设半焦距为c，延长 交 于点N，由于PM是 的平分线， ，
所以 是等腰三角形，所以 ，且M是NF 的中点.
2
根据双曲线的定义可知 ，即 ，由于 是 的中点，
所以MO是 的中位线，所以 ，
又双曲线的离心率为 ，所以 ， ，所以双曲线C的方程为 .
所以 ， ，双曲线C的渐近线方程为 ，
设 ，T到两渐近线的距离之和为S，则 ，
由 ，即 ，
又T在 上，则 ，即 ，解得 ， ，
由 ，故 ，即距离之和为 .故选：A.
1．（2023·全国·校联考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 关
于C的一条渐近线的对称点P恰好在C上，若直线 交C的左半支于点Q，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，设 与渐近线 交于点 ，O为坐标原点，则 为线段 的中点，
又由 为 的中点，可得 ，
因为 ，所以 ，
由渐近线 的方程为 ，即 ，
可得焦点 到渐近线 的距离为 ，所以 ，
又由双曲线的定义，可得 ，所以 ，
在直角 中，可得 ，
解得 ，所以 ，
设 ，则 ， ，
在直角 中，可得 ，即 ，
解得 ，所以 ，在直角 中，可得 .
故选：B.
2．（2023·浙江·统考二模）人教 版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数
的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数 的图象绕原点顺时针旋转
得到焦点位于 轴上的双曲线 ，则该双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 的两条渐近线分别为 ，
所以该函数对应的双曲线焦点在 夹角（锐角）的角平分线 上，
设 且 ，若 分别是 ， 的倾斜角，故 ，
故 为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，
由 ，即 ，
整理得 ，可得 （负值舍去），
所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于 轴上的双曲线 一条渐近线斜率为 ，
故 .
故选：D3．（2023·海南·校联考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
， ，点 在双曲线的一条渐近线上，若 ，且 的面积为 ，则该双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设P为第一象限的点，由 ，得 ，
解得 ，代入渐近线方程 ，得 ，
所以 .
又 ， ，在 中，由余弦定理，
得 ，
即 ，
整理，得 ，所以 .
故选：C.【题型六】 抛物线中的设点计算型
是抛物线 的焦点弦，设 ， 在准线上的射影分别为 ，则：
（1） ；
（2） ；
（3）若 倾斜角为 ，则 ；
（4）以 为直径的圆与准线相切；
（5） ；
（6）若 是 中点，则 ， ；
（7） 共线， 共线；
（8） ．
1．（2019·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）已知椭圆 ，过x轴上一定点N作直线l，交椭圆
C于A，B两点，当直线l绕点N任意旋转时，有 （其中t为定值），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设点
当直线 与 轴不重合时,设 的方程为 ,代入椭圆方程,得: ,即
.当直线l绕点N任意旋转时，有 （其中t为定值）,
当 时,
当 时,
,
解得: 代入当 时, .
故选:B.
2．（2020·安徽·统考二模）已知 为椭圆 的左焦点， 为坐标原点，点 在椭圆 上且位于
轴上方，点 ，若直线 平分线段 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【详解】设椭圆的上顶点为 ,则因为 , .故 轴, 轴.则四边形 为矩
形,故当 在点 时满足直线 平分线段 .
又设右焦点为 ,因为 平分线段 与 ,故 .故当直线 平分线段 时, 只能在直线 上.又点 在椭圆 上且位于 轴上方,故当且仅当 在 时满
足直线 平分线段 .
故 .
故选：B
3．（2021·浙江绍兴·统考三模）过点 的两条直线 ， 分别与双曲线 ： 相
交于点 ， 和点 ， ，满足 ， （ 且 ）.若直线 的斜率 ，则双
曲线 的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【详解】解：设 ，
则 ,
因为 ， ，所以 ∥ ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，因为 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，则
同理得， ，则
所以 ，
因为 且 ，所以 ，即
所以离心率 ，
故选：D
1．（2023·湖南·校联考二模）已知抛物线C： ，O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线
交于A，B两点（点A在第一象限），且 ，直线AO交抛物线的准线于点C，△AOF与△ACB的面积
之比为4：9，则p的值为________．
【答案】4
【详解】设 ， ，则 ，
设直线 的方程为 ，联立抛物线方程有
， ， ，
则 ，直线 的方程为 ，
令 ，则 ，则 ，则 得 ，
∴ ，∴ ， ，又 ，
则 ，∴点 ， ，解得 ．
故答案为：4.
2．（2018·河南郑州·统考三模）已知双曲线 的右焦点为 ， 是坐标原点，若存在
直线
过点 交双曲线C的右支于 两点，使得 ，则双曲线的离心率e的取值范围是___________．
【答案】
【详解】设 ， ，直线 的方程 ，由
整理得 ，由直线 交双曲线C的右支于 两点，
可得 ，且 ，两式解得 。
因为整理可得 ，
因为 ，所以
即
整理可得 ，由
得 ，解得 ，
所以双曲线的离心率的取值范围是
3．（2023·贵州·校联考二模）已知抛物线C： 的焦点为F，过点F作斜率大于0的直线l与C交于
A，B两点，O为坐标原点， ，则 的面积为____________．
【答案】 /
【详解】因为抛物线的方程为： ，所以焦点为 ，
设直线 的方程为： ， ，
由 ，消 整理得： ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，代入 ，解得： ，
所以 .
故答案为：
【题型七】 切线型
1.椭圆：
若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .
2.双曲线：
若 在双曲线 （a＞0,b＞0）上，则过 的双曲线的切线方程是 .
3.点 是抛物线 上一点，则抛物线过点P的切线方程是： ；
1．（2023·广西·校联考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆
上一点，若已知过点 且与椭圆相切的切线方程为 ， 垂直于直线 且与 轴交于点 ，若
为 的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 在椭圆 上，所以 ，
若 ，则 ，不符合题意，所以 .由切线 的方程 得切线斜率 ，
由 得 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，
令 ，得 ，因为 ，所以 ，
因为 为 的中点，且 ，
所以 ，又 ，联立可得 ， ，
所以该椭圆的离心率 ．
故选：C．
2．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭
圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：
的离心率为 ，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为椭圆 ： 的离心率为 ，则 ，解得 ，即椭圆 的方程为
，
于是椭圆的上顶点 ，右顶点 ，经过 两点的椭圆切线方程分别为 ， ，
则两条切线的交点坐标为 ，显然这两条切线互相垂直，因此点 在椭圆 的蒙日圆上，
圆心为椭圆 的中心O，椭圆 的蒙日圆半径 ，
所以椭圆 的蒙日圆方程为 .
故选：B3．（2023·内蒙古乌兰察布·统考二模）双曲线 的两个焦点为 ，以C
的虚轴为直径的圆记为D，过 作D的切线与C的渐近线 交于点H，若 的面积为 ，
则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】
如图，不妨设切线 的倾斜角为锐角，
过 的直线与圆 相切于点 ，
则 ,且 所以 ，
所以 ，即切线 的斜率等于 ，
所以切线 的方程为 ，联立 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍），
所以 ，则 ，即 ，
所以离心率为 ，
故选:D.
1．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知过点 可作双曲线 的两条切线，
若两个切点分别在双曲线 的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】要满足题意，点 必须在渐近线 与 轴围成的区域，且不能在渐近线及 轴上.
所以必须满足 ，得 ， ， ， ，
又 ， .
故选：B
2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知抛物线C： ，（ ）的焦点为F， 为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为 ，则直线FM的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
由题意知， ，解得： ，
又∵M在 上，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
3．（2023·江西·统考模拟预测）定义：圆锥曲线 的两条相互垂直的切线的交点 的轨迹是以
坐标原点为圆心， 为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆 的方程为 ， 是直线
上的一点，过点 作椭圆 的两条切线与椭圆相切于 、 两点， 是坐标原点，连接
，当 为直角时，则 （ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D【详解】根据蒙日圆定义，圆 方程为 ，
因为直线 与圆 交于 、 两点，联立 ，可得 或 ，
即点 、 ，
当点 与点 或 重合时， 为直角，且 ， ，
所以，直线 的斜率为 或 .
故选：D.
【题型八】 切点弦型
1.椭圆：
若 在椭圆 外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P 、P ，则切点弦P P 的直线方程
1 2 1 2
是 .
2.双曲线：
若 在双曲线 （a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切
点弦P1P2的直线方程是 .
3.点 是抛物线 外一点，则抛物线过点P的切点弦方程是： ；
1．（2023·江苏·统考一模）已知椭圆 ： 的两条弦 相交于点 （点 在第一象限），且 轴， 轴.若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设 ，则 ， ，
由题知 关于x轴对称， 关于 轴对称，
所以 ， ，即 ， ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率为 .
故选：B
2．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）过抛物线 的焦点F且倾斜角为 的直线l与抛物
线在第三象限交于点P，过点P的切线与y轴交于点M，则下列说法正确的是（ ）
A．直线MP的斜率为 B．△ 为等边三角形C．点P的横坐标为定值 D．点M与点F关于x轴对称
【答案】B
【详解】如图，抛物线 的焦点 ，过焦点倾斜角 的直线l为 ，
联立 ，化简得 且 ，可得 .
∵ ，则 ，故 ，
∴ ，故A、C错误．
∴切线方程为 ，则 ，
点 不与焦点F关于x轴对称，故D错误．
而 ，直线l倾斜角为 ，故 ，△ 为等边三角形，故B正确．
故选：B
3．（2023·山东聊城·统考一模）研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆
叫做椭圆的蒙日圆．设椭圆 的焦点为 ， ， 为椭圆 上的任意一点， 为椭圆 的蒙日圆的半径．
若 的最小值为 ，则椭圆 的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为 ，
不妨设椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，显然 均为椭圆的切线，
即 均在蒙日圆上，
根据对称性分析可得：蒙日圆的圆心为坐标原点，半径 ，
设椭圆方程为 ，椭圆上任一点 ，
∵ ，则 ，
可得
，
注意到 ，
故 ，当且仅当 时，等号成立，
即 的最小值为 ，故 ，
整理得 ，即 ，
整理得 ，即 .
故选：D.
1．（2023·陕西西安·统考二模）已知 是抛物线 上一点，点 到抛物线 的焦点的距离为6.若过点 向抛物线 作两条切线，切点分别为 ，则 （ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
【答案】B
【详解】由抛物线的定义得 ， ，
易知点 不在抛物线上，设切点 、 ,
抛物线 的方程为： ，
抛物线 在 处的切线方程为 ，
将 代入可得 ，
，
同理：抛物线 在 处的切线方程为 ， 直线 的方程为
， ，
故选：B
2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知点 在抛物线 的准线上，过点
P作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为抛物线 的准线为 ，
所以 ， ，
故抛物线 ， ，设切点为 ， ，又 ，
则切线PA的方程为： ，即 ，
切线PB的方程为： ，即 ，
由 是PA、PB交点可知： ， ，由两点确定一条直线，
可得过A、B的直线方程为 ，即
故选：A.
3．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光
线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆 的左、右焦点
分别为 ，过 的直线与椭圆E交与点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，由椭圆的光学性质可得 三点共线.
设 ，则 ， .
故 ，解得 .又 ，所以 ， .所以 .
故选：A.
【题型九】 曲线轨迹型
求轨迹方程：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点 的坐标 、 表示相关点 的坐标 、 ，然后代入点 的坐标 所满足
的曲线方程，整理化简可得出动点 的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标 、 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 、 与某一参数 得到方程，
即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
1．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图，已知圆 ，圆 ，已知 为两圆
外的动点，过点 分别作两圆的割线 和 ，总有 ，则点 的轨迹方程是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为圆 ，圆心 ，半径 ，
圆 ，圆心 ，半径 ，
由 ，可得 ，
所以 ，即 ，
由割线定理可知，过 的切线是 到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，
过 分别做圆 的切线，切点为 ，
则 ， ，所以 ，
连接 ，
则 ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，
即 ，
设 ，则 ，
化简可得 ，
所以点 的轨迹方程是 ，
故选:A2．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）动点 为椭圆 第一象限
的点，且椭圆顶点 的一点， 为椭圆的左右焦点，动圆 与线段 的延长线及
线段 相切，则圆心 的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）
A．抛物线 B．椭圆
C．双曲线的右支 D．直线
【答案】D
【详解】如图，设切点分别为 .
由切线长相等，得 .
由椭圆的定义，得 ，
即 ，也即 ，故点 与点 重合，
所以点 的横坐标是 ，即点 的轨迹是一条直线 (除去点 ).
故选：D.
3．（2023·宁夏银川·校联考一模）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直
角坐标系 中，把到定点 ， 距离之积等于 的点的轨迹称为双纽线.已知点
是双纽线 上一点，有如下说法：
①双纽线 关于原点 中心对称；② ；
③双纽线 上满足 的点 有两个；
④ 的最大值为 .
其中所有正确的说法为（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【详解】对于①，因为定义在平面直角坐标系 中，把到定点 距离之积等于 的
点的轨迹称为双纽线 ，所以 ，
用 替换方程中的 ，原方程不变，所以双纽线 关于原点 中心对称，所以①正确；
对于②，根据三角形的等面积法可知 ，
即 ，所以 ，所以②正确；
对于③，若双纽线 上的点 满足 ，则点 在 轴上，即 ，
所以 ，得 ，所以这样的点 只有一个，所以③错误；
对于④，因为 ，
所以 ，
由余弦定理得 ，所以 ，
所以 的最大值为 ，所以④正确，
故选：D
1．（2023·江西上饶·统考二模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675
年卡西尼研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知直角坐标系xoy中，M（－2，0），N（2，0），动
点P满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的取值范围是 B． 的取值范围是
C．P点横坐标的取值范围是 D． 面积的最大值为
【答案】B
【详解】由题可得 ，
化简得： ，∴ 点轨迹的直角坐标方程为： ，
代入 ，得极坐标方程为： .
A选项：当 时， ，此时 ，即点P坐标可以为 ，
此时 ，故A错误；
B选项，注意到 ，故B正确；
C选项，
，故C错误；D选项，： ，
又注意到 与 有交点，即存在点P使 ，则 面积的最大值为 ，故D
错误．
故选：B．
2．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“平面内到两个定点 的距离之比
为定值 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.
已知在平面直角坐标系 中，点 ， ，若点 是满足 的阿氏圆上的任意一点，点
为抛物线 上的动点， 在直线 上的射影为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设 ，则 ，
化简整理得 ，
所以点 的轨迹为以 为圆心1为半径的圆，
抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
则
，
当且仅当 （ 两点在 两点中间）四点共线时取等号，所以 的最小值为 .
故选：B.
3．（2023·安徽安庆·统考二模）一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截（如图），
为底面圆的中心， 为截面的中心， 为截面上距离底面最小的点， 到圆柱底面的距离为1， 为截面
图形弧上的一点，且 ，则点 到底面的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】圆柱半径为1，截面与底边所成角为 ，作 于 ，
则 ， .
截面椭圆是以 为中心， 为长轴端点的椭圆，其长轴长为 ，短轴长为2，
所以椭圆的方程为 ，作 于 ，因为 ，直线 的方程为 ，
所以设 ，又因为 在椭圆 上，
解得： ，所以 ， ，
过 作 ，则 ，
，
由于 均平行于底面，故 点到底面的距离是 .
故选：C.
高考模拟练习
1．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知抛物线C： ，圆C′： ，若C与
C′交于MN两点，圆C′与x轴的负半轴交于点P．现有如下说法：
①若 PMN为直角三角形，则圆C′的面积为 ；
△
② ；③直线PM与抛物线C相切．
则上述说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】①抛物线C的焦点为 ，由对称性可知， ，于是直线 过焦点 且与 轴垂直，故 ，圆 的面积为 ，故①正确；
②因圆C′与x轴的负半轴交于点P，故 ，故②正确；
③设 ，由抛物线定义可知， ，
所以 ，直线 的方程为 ，与抛物线 联立可得 ，
又 ，化简可得 ，故 ，
所以直线 与抛物线 相切，故③正确.
故选：D
2．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）设 的最小值为 ，最大值为 ，若正数 ，
满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设 ， ，则 ， ， ，则 ，
即点 的轨迹是椭圆 在坐标轴正半轴和第一象限的部分.设 ，即 ，所以当 ，即 时， 取得最小值2，即 （此时
直线 过椭圆的上顶点）.
直线 与椭圆在第一象限相切时， 最大.将 代入椭圆方程并化简得 ，
所以 ，所以 （负值已舍）.
所以 .
，即 ，所以 .
由 知， ， ，
所以 与 均是单调减函数，
所以 .所以A正确.
故选：A.
3．（2023·江苏·校联考模拟预测）中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿
堂，中外文化交流的最大平台．大剧院的平面投影是椭圆 ，其长轴长度约为 ，短轴长度约为 ．
若直线 平行于长轴且 的中心到 的距离是 ，则 被 截得的线段长度约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设该椭圆焦点在 轴上，以中心为原点，建立直角坐标系，如图所示，设椭圆的方程为：
， ，由题意可得 ， ，将 ， 代入方程，得 ，
因为直线 平行于长轴且 的中心到 的距离是 ，
令 ，得 (m)，
故选：C．
4．（2023·河北张家口·统考二模）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是
抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车
前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，
灯口直径是 ，灯深 ，则光源到反射镜顶点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为
轴，建立直角坐标系，如图所示，
由题意可得 .设抛物线的标准方程为 ，于是 ，解得 .
所以抛物线的焦点到顶点的距离为 ，即光源到反射镜顶点的距离为 .
故选：B.
5．（2023·江西南昌·统考一模）“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线 和
构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线 ， 的焦点分别为 ， ，
点 在拋物线 上，过点 作 轴的平行线交抛物线 于点 ，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【详解】因为 ，即 ，由抛物线的对称性知 ，
由抛物线定义可知， ，即 ，解得 ，
故选：D
6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切
的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心，如图1所示.已
知 ， 是双曲线 的焦点，P是双曲线右支上一点，Q是△ 的一个旁心，如图2所示，直
线PQ与x轴交于点M，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由角平分线性质知： ，
而 ，故 .
故选：A
7．（2023·上海普陀·统考二模）设P为曲线C: 上的任意一点，记P到C的准线的距离为d．若关于
点集 和 ，给出如下结论：
①任意 ， 中总有2个元素；②存在 ，使得 ．
其中正确的是（ ）
A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立
C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立
【答案】B【详解】曲线C: 的焦点 ，
则 ，
由 得，点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
的圆心 ，
当点 在原点处时， ，此时 ，
此时点 的轨迹方程为 ，
因为 ，所以点 在圆 外，
则存在 ，使得两圆相离，即 ，
故①错误，②正确.
故选：B.
8．（2023·河北石家庄·统考一模）截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．
被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口
径射电望远镜（图1）．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此
时轴截面可以看作拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1
米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【详解】如图，以抛物线的顶点为原点，对称轴为 轴，建立平面直角坐标系，则设抛物线的方程为 ，
由题可得抛物线上一点 ，代入抛物线方程可得 ，所以 ，
即抛物线方程为 ，则抛物线的焦点坐标为 ，故顶点到焦点的距离为 .
故选：A.
9．（2023·江西九江·统考二模）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国
瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为 ，
瓷碗的轴截面可以近似看成是抛物线，碗里不慎掉落一根质地均匀、粗细相同长度为 的筷子，筷子的
两端紧贴瓷碗内壁．若筷子的中点离桌面的最小距离为 ，则该抛物线的通径长为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线为 ，焦点 ， ， ，
∵ ， ，∴ ，
设线段AB中点为M，则 ，由题意知， 的最小值为6，即 ，得 ，
∴该抛物线的通径长为 .
故选：C
10．（2023·湖南张家界·统考二模）将函数 的图象绕原点逆时针旋转 得到曲线 ，则曲线 的标准
方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】直线 与 联立，得两交点的坐标为 ， ，
则旋转后的双曲线两顶点间的距离为 ，
所以函数 的图象绕原点逆时针旋转 得到的双曲线方程为 .
故选：D.
