文档文本内容
第十章 圆锥曲线
5/
1
真题多维细目表
考题 考点 考向 情境载体 关键能力 考查要求 核心素养
直线与圆锥曲线
新高考 ꎬ 抛物线的准线 数学运算学习 运算求解 综合性 数学运算
２０２２ Ⅰ １１ 的位置关系
直线与圆锥曲线 求直线斜率、三角
新高考 ꎬ 数学运算学习 运算求解 综合性 数学运算
２０２２ Ⅰ ２１ 的位置关系 形面积
直线与圆锥曲线
新高考 ꎬ 求直线斜率 数学运算学习 运算求解 综合性 数学运算
２０２２ Ⅱ １０ 的位置关系
圆锥曲线的综合 数学运算
新高考 ꎬ 求双曲线的方程 数学运算学习 运算求解 创新性
２０２２ Ⅱ ２１ 问题 逻辑推理
椭圆的定义、椭圆
椭圆的定义和 运算求解 直观想象
新高考 ꎬ 中的线段之积的 数学概念建构 基础性
２０２１ Ⅰ ５ 标准方程 逻辑思维 数学运算
最大值
抛物线的定义和 抛 物 线 的 标 准 数学运算
新高考 ꎬ 数学运算学习 运算求解 综合性
２０２１ Ⅰ １４ 标准方程 方程 直观想象
双 曲 线 的 几 何 双曲线的渐近线
新高考 ꎬ 数学概念建构 运算求解 基础性 数学运算
２０２１ Ⅱ １３ 性质 方程
椭圆的标准方程、
圆锥曲线的综合 直线与椭圆的位 数学运算学习 运算求解 直观想象
新高考 ꎬ 综合性
２０２１ Ⅱ ２０ 问题 置关系、三点共线 数学概念建构 逻辑推理 数学运算
的证明
2
命题规律与备考策略
本章内容命题形式多样 在选择题 填空题中主要 于抛物线定义在求解与距离相关的最值问题中的转化.
ꎬ 、
考查圆锥曲线的定义 方程和几何性质 解答题中主要 结合本章的命题特点 复习过程中需注意以下
、 ꎬ ꎬ
考查直线与圆锥曲线的位置关系 涉及弦长 弦中点 定 几点 求解圆锥曲线方程时 需关注待定系数法与
ꎬ 、 、 :① ꎬ
点 定值和取值范围等问题 常与函数 不等式等知识综 定义法的应用 求解有关弦中点问题时 需关注点
、 ꎬ 、 ꎻ② ꎬ
合考查.对于双曲线的有关性质考查多集中在双曲线的 差法和根与系数的关系的应用 求解定值 定点问
ꎻ③ 、
渐近线和离心率上 关于抛物线的有关性质考查多侧重 题时 需注意求解思路与转化方法.
ꎬ ꎬ10.1 椭圆
考点清单
学生用书P82 知识结构化 考点清单化
考点一 椭圆的定义和标准方程 续表
焦点在ｘ轴上 焦点在ｙ轴上
１.椭圆的定义 把平面内与两个定点Ｆ Ｆ 的距离的和等于常
: １ꎬ ２
数 大于 Ｆ Ｆ 的点的轨迹叫做椭圆. 长轴 长轴Ａ Ａ ａꎬａ是长半轴的长
( ｜ １ ２｜) １ ２＝２
椭圆定义中的常数 ａ Ｆ Ｆ 即对椭圆上任意一点Ｍ都有
２ >｜ １ ２｜ꎬ 短轴 短轴Ｂ Ｂ ｂꎬｂ是短半轴的长
ＭＦ ＭＦ ａ Ｆ Ｆ .这个条件是必要的 否则其轨迹就 １ ２＝２
｜ １｜＋｜ ２｜＝２ >｜ １ ２｜ ꎬ
不是椭圆.事实上 若 ａ Ｆ Ｆ 则其轨迹是线段Ｆ Ｆ 若 ａ 焦距 焦距Ｆ Ｆ ｃꎬｃ是半焦距
ꎬ ２ ＝｜ １ ２｜ꎬ １ ２ꎻ ２ １ ２＝２
Ｆ Ｆ 则其轨迹不存在.
<｜ １ ２｜ꎬ 范围 ｘ ａꎬ ｙ ｂ ｘ ｂꎬ ｙ ａ
２.椭圆的标准方程 ｜ ｜≤ ｜ ｜≤ ｜ ｜≤ ｜ ｜≤
ｘ２ ｙ２ 离心率 ｅ
ｃ ｂ２
( ｅ )
(１)
焦点在ｘ轴上
:ａ２ ＋ｂ２ ＝１(
ａ
>
ｂ
>０)ꎻ
＝ ａ ＝ １－ａ２ ０< <１
焦点在ｙ轴上
ｙ２ ｘ２
ａ ｂ
拓展 常用的一些结论
(２) :ａ２ ＋ｂ２ ＝１( > >０)ꎻ
３.椭圆的一般方程 Ａｘ２ Ｂｙ２ Ａ Ｂ Ａ Ｂ .
: ＋ ＝１( >０ꎬ >０ꎬ ≠ )
考点二 椭圆的几何性质
焦点在ｘ轴上 焦点在ｙ轴上
图形
焦点坐标 Ｆ( ｃꎬ )ꎬＦ(ｃꎬ ) Ｆ( ꎬ ｃ)ꎬＦ( ꎬｃ) １ － ０ ２ ０ １ ０ － ２ ０
Ａ( ａꎬ )ꎬＡ(ａꎬ )ꎬ Ａ( ꎬ ａ)ꎬＡ( ꎬａ)ꎬ
顶点坐标 １ － ０ ２ ０ １ ０ － ２ ０
Ｂ( ꎬ ｂ)ꎬＢ( ꎬｂ) Ｂ( ｂꎬ )ꎬＢ(ｂꎬ )
１ ０ － ２ ０ １ － ０ ２ ０
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ８４
( )设ＰꎬＡꎬＢ是中心在原点的椭圆上不同的三点ꎬ其中ＡꎬＢ
１
两点关于原点对称ꎬ且直线ＰＡ、ＰＢ的斜率都存在ꎬ则ｋ
ＰＡ
ｂ２
ｋ (适用于焦点在ｘ轴上的椭圆)ꎻ ＰＢ＝－ａ２
( )Ｐ是椭圆上一点ꎬＦ 为椭圆的焦点ꎬ则 ＰＦ [ａ ｃꎬａ
２ ｜ ｜∈ － ＋
ｃ]ꎬ即椭圆上的点到焦点距离的最大值为ａ ｃꎬ最小值为ａ
＋
ｃꎻ
－
ｂ２
( )椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为２ ꎬ通径
３ ａ
是最短的焦点弦ꎻ
( )Ｐ是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点ꎬＦ ꎬＦ 为椭
４ １ ２
θ
圆的两焦点ꎬ则Ｓ
△ ＰＦ １ Ｆ ２ ＝
ｂ２
ｔａｎ
ꎬ其中θ
＝∠
Ｆ
１
ＰＦ
２
ꎻ
２ ( )Ｐ是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点ꎬＦ ꎬＦ 为椭
５ １ ２
圆的两焦点ꎬ则 ＰＦ Ｆ 的周长为 (ａ ｃ).
△ １ ２ ２ ＋
题型方法
学生用书P83 题型经典 方法实用
一、椭圆定义的应用 则点Ｎ的轨迹是以Ｃ Ｍ为焦点的椭圆 且 ａ ｃ 又知
ꎬ ꎬ ２ ＝６ꎬ２ ＝２ꎬ
椭圆定义的应用主要有两种
:
一是判断点的轨迹并求解其 ｂ２
＝
ａ２
－
ｃ２
ꎬ
所以ｂ
＝２ ２ꎬ
轨迹方程
ꎻ
二是根据定义进行计算
ꎬ
常结合正弦定理
、
余弦定理
故动圆圆心Ｎ的轨迹方程为
ｘ２ ｙ２
.
解焦点三角形. ＋ ＝１
９ ８
例1 设Ｆ Ｆ 分别是椭圆
ｘ２ ｙ２
的左 右焦点 Ｐ为椭 答案
ｘ２ ｙ２
(１) １、 ２ ＋ ＝１ 、 ꎬ (１)－５ (２) ＋ ＝１
２５ １６ ９ ８
圆上任意一点 点Ｍ的坐标为 则 ＰＭ ＰＦ 的最小 二、求离心率的值（或取值范围）
ꎬ (６ꎬ４)ꎬ ｜ ｜－｜ １｜
值为 . １.若给定椭圆的方程 则根据椭圆方程确定ａ２ ｂ２ 进而求出ａ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
(２)
已知圆Ｃ
:(
ｘ
＋１)
２
＋
ｙ２
＝３６
与定点Ｍ
(１ꎬ０)ꎬ
动圆Ｎ过点Ｍ ｃ的值
ꎬ
从而利用公式ｅ
＝ ａ
ｃ 直接求解.
且与圆Ｃ相切 则动圆圆心Ｎ的轨迹方程为 .
ꎬ ２.若椭圆的方程未知 则根据已知条件及几何图形建立关于
解析 由椭圆的方程可知Ｆ 由椭圆的定义可得 ꎬ
(１) ２(３ꎬ０)ꎬ ａ ｂ ｃ的齐次等式 或不等式 化为关于ａ ｃ的齐次方程 或
ＰＦ ａ ＰＦ ＰＭ ＰＦ ＰＭ ａ ＰＦ ꎬ ꎬ ( )ꎬ ꎬ (
｜ １｜＝２ －｜ ２｜ꎬ∴ ｜ ｜－｜ １｜ ＝ ｜ ｜－(２ －｜ ２｜)＝ 不等式 进而转化为关于ｅ的方程 或不等式 进行求解.
ＰＭ ＰＦ ａ ＭＦ ａ 当且仅当Ｍ Ｐ Ｆ 三点共线时 )ꎬ ( )
｜ ｜＋｜ ２｜－２ ≥｜ ２｜－２ ꎬ ꎬ ꎬ ２ ｘ２
例2 (２０１８课标 理ꎬ１２ꎬ５分)已知Ｆ Ｆ 是椭圆Ｃ
取等号 ꎬ 又 ｜ ＭＦ ２｜ ＝ (６－３) ２ ＋(４－０) ２ ＝５ꎬ２ ａ ＝１０ꎬ∴ ｜ ＰＭ ｜－ (１) Ⅱ １ꎬ ２ :ａ２ ＋
ＰＦ 即 ＰＭ ＰＦ 的最小值为 . ｙ２
｜ １｜≥５－１０＝－５ꎬ ｜ ｜－｜ １｜ －５ ａ ｂ 的左 右焦点 Ａ是Ｃ的左顶点 点Ｐ在过Ａ且
设圆Ｎ的半径为Ｒ ｂ２ ＝１( > >０) 、 ꎬ ꎬ
(２) ꎬ
由题意可知 动圆圆心Ｎ满足 ＮＣ Ｒ ꎬ :｜ ｜＝６－ ①ꎬ 斜率为 ３的直线上 ＰＦ Ｆ 为等腰三角形 Ｆ Ｆ Ｐ °
ＮＭ Ｒ 由 得 ＮＣ ＮＭ ＭＣ ꎬ△ １ ２ ꎬ∠ １ ２ ＝１２０ ꎬ
｜ ｜＝ ②ꎬ ①② ｜ ｜＋｜ ｜＝６>｜ ｜＝２ꎬ ６
则Ｃ的离心率为
( ) 因为 ＰＦ Ｈ ° ＰＦ Ｆ Ｆ ｃ ＰＨ ３ ａ ｃ 所以
∠ ２ ＝６０ ꎬ｜ ２｜＝｜ １ ２｜＝２ ꎬ｜ ｜＝ ( ＋ )ꎬ
２ １ １ １ ５
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
３ ２ ３ ４
(２) 已知椭圆Ｃ :ａ ｘ２ ２ ＋ ｙ ｂ ２ ２ ＝１( ａ > ｂ >０) 的左 、 右焦点分别为Ｆ １、 ｓｉｎ６０ ° ＝ ｜ Ｐ Ｐ Ｆ Ｈ ｜ ＝ ５ ３ ( ａ ｃ ＋ ｃ ) ＝ ３ ꎬ 即ａ ＋ ｃ ＝５ ｃ ꎬ 即ａ ＝４ ｃ ꎬ 所以ｅ ＝
Ｆ 点Ｐ ｘ ｙ Ｑ ｘ ｙ 在椭圆Ｃ上 其中ｘ ｙ 若 ｃ
｜ ２｜ ２ ２
２ꎬ ( １ꎬ １)ꎬ (－ １ꎬ－ １) ꎬ １>０ꎬ １>０ꎬ １ .故选 .
ＱＦ ａ ＝ Ｄ
ＰＱ ＯＦ ｜ １｜ ３ 则椭圆Ｃ的离心率的取值范围为 ４
｜ ｜＝２｜ ２｜ꎬ ＰＦ ≥ ꎬ 连接ＱＦ ＰＦ 设 ＰＦ ｎ ＰＦ ｍ 由ｘ ｙ 知ｍ
｜ １｜ ３ (２) ２ꎬ ２ꎬ ｜ １｜＝ ꎬ｜ ２｜＝ ꎬ １>０ꎬ １>０ꎬ
ｎ 由Ｐ ｘ ｙ Ｑ ｘ ｙ 在椭圆Ｃ上 ＰＱ ＯＦ 可
( ) < ꎬ ( １ꎬ １)ꎬ (－ １ꎬ－ １) ꎬ｜ ｜＝２｜ ２｜ꎬ
æ ù ＱＦ
ç ６－１úú 知四边形ＰＦ ＱＦ 为矩形 ＱＦ ＰＦ .由｜ １｜ ３ 可
Ａ.è０ꎬ û Ｂ.(０ꎬ ６－２] １ ２ ꎬ∴ ｜ １｜＝｜ ２｜ ＰＦ ≥ ꎬ
２ ｜ １｜ ３
æ ù ｍ
ç ２ úú 得 ３ .由椭圆的定义及勾股定理可得ｍ ｎ ａ ｍ２
Ｃ.è ꎬ ３－１û Ｄ.(０ꎬ ３－１] ≤ ｎ <１ ＋ ＝２ ①ꎬ ＋
２ ３
ｎ２ ｃ２ 将 平方减 可得ｍｎ ａ２ ｃ２
解析 由题意易知直线ＡＰ的方程为ｙ ３ ｘ ａ ＝４ ②ꎬ ① ② ＝２( － )ꎬ
(１) ＝ ( ＋ )ꎬ① ｃ２ ｍ２ ｎ２ ｍ ｎ ｍ ｎ
６ ４ ＋ .而 ４ ３
直线ＰＦ ２ 的方程为ｙ ＝ ３( ｘ － ｃ ) . ② ∴ ２( ａ２ － ｃ２ ) ＝ ｍｎ ＝ ｎ ＋ｍ ２< ｎ ＋ｍ≤ ３ ꎬ
ｃ２ ｃ
联立 得ｙ ３ ａ ｃ ４ ４ ３ 解得 ２ 故选
①② ＝ ( ＋ )ꎬ ∴２< ａ２ ｃ２ ≤ ꎬ < ａ ≤ ３－１ꎬ Ｃ.
５ ２( － ) ３ ２
答案 Ｄ Ｃ
(１) (２)
如图 过Ｐ向ｘ轴引垂线 垂足为Ｈ 则ＰＨ ３ ａ ｃ .
ꎬ ꎬ ꎬ ＝ ( ＋ )
５
第
十
章
圆
锥
曲
线
１ ８５
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点一 椭圆的定义和标准方程 答案 Ｂ
学生用书P242
１.(２０２２全国甲文ꎬ１１ꎬ５分ꎬ综合性)已知椭圆Ｃ :ａ ｘ２ ２ ＋ ｙ ｂ ２ ２ ＝１( ａ
４
ｎｙ
.(
２
多
＝１
选
.
)(２０２０新高考
Ⅰ
ꎬ９ꎬ５分ꎬ综合性)已知曲线Ｃ
( :
ｍ ｘ２
) ＋
若ｍ ｎ 则Ｃ是椭圆 其焦点在ｙ轴上
Ａ. > >０ꎬ ꎬ
ｂ 的离心率为 １ Ａ Ａ 分别为Ｃ的左 右顶点 Ｂ为Ｃ的
> >０) ３ ꎬ １ꎬ ２ 、 ꎬ Ｂ. 若ｍ ＝ ｎ >０ꎬ 则Ｃ是圆 ꎬ 其半径为 ｎ
ｍ
上顶点.若Ｂ→Ａ Ｂ→Ａ 则Ｃ的方程为 若ｍｎ 则Ｃ是双曲线 其渐近线方程为ｙ ｘ
１ ２＝－１ꎬ ( ) Ｃ. <０ꎬ ꎬ ＝± － ｎ
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
若ｍ ｎ 则Ｃ是两条直线
Ａ. ＋ ＝１ Ｂ. ＋ ＝１ Ｄ. ＝０ꎬ >０ꎬ
１８ １６ ９ ８ 答案 ＡＣＤ
ｘ２ ｙ２ ｘ２
ｙ２ ｘ２ ｙ２
Ｃ. ＋ ＝１ Ｄ. ＋ ＝１ ５.(２０２２新高考 ꎬ１６ꎬ５分ꎬ综合性)已知椭圆Ｃ ａ
３ ２ ２ Ⅰ :ａ２ ＋ｂ２ ＝１(
答案 Ｂ
ｘ２ ｂ Ｃ的上顶点为Ａ 两个焦点为Ｆ Ｆ 离心率为 １ .过Ｆ
２.(２０２１新高考 ꎬ５ꎬ５分ꎬ基础性)已知Ｆ Ｆ 是椭圆Ｃ > >０)ꎬ ꎬ １ꎬ ２ꎬ １
Ⅰ １ꎬ ２ : ＋ ２
９ 且垂直于ＡＦ 的直线与Ｃ交于Ｄ Ｅ两点 ＤＥ 则 ＡＤＥ
ｙ２
的两个焦点 点Ｍ在Ｃ上 则 ＭＦ ＭＦ 的最大值为 的周长是
２
.
ꎬ ꎬ｜ ｜＝６ꎬ △
＝１ ꎬ ꎬ ｜ １｜｜ ２｜
４ 答案
１３
( ) ｘ２ ｙ２
６.(２０１１江西ꎬ１４ꎬ５分ꎬ综合性)若椭圆 的焦点在ｘ
Ａ.１３ Ｂ.１２ Ｃ.９ Ｄ.６ ａ２ ＋ｂ２ ＝１
答案 Ｃ ( )
３.(２０１９课标 理ꎬ１０ꎬ５ 分ꎬ综合性)已知椭圆 Ｃ 的焦点为 轴上 ꎬ 过点 １ꎬ １ 作圆ｘ２ ＋ ｙ２ ＝１ 的切线 ꎬ 切点分别为Ａ ꎬ Ｂ ꎬ 直
Ⅰ ２
Ｆ Ｆ 过Ｆ 的直线与Ｃ交于Ａ Ｂ两点.若 ＡＦ 线ＡＢ恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 则椭圆方程是
１(－１ꎬ０)ꎬ ２(１ꎬ０)ꎬ ２ ꎬ ｜ ２｜ ꎬ
Ｆ Ｂ ＡＢ ＢＦ 则Ｃ的方程为 .
＝２｜ ２ ｜ꎬ｜ ｜＝｜ １｜ꎬ ( )
ｘ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｙ２ 答案
Ａ. ＋ ＝１ Ｂ. ＋ ＝１ Ｃ. ＋ ＝１ Ｄ. ＋ ＝１ ＋ ＝１
２ ３ ２ ４ ３ ５ ４ ５ ４
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
７.(２０１４辽宁ꎬ１５ꎬ５分ꎬ综合性)已知椭圆Ｃ 点Ｍ 椭圆的标准方程为 .
: ＋ ＝１ꎬ ∴ ＋ ＝１
９ ４ ６ ２
与Ｃ的焦点不重合.若Ｍ关于Ｃ的焦点的对称点分别为Ａ Ｂ ｘ２ ｙ２
ꎬ ꎬ 一题多解 ( )由( )知椭圆方程为 ꎬ
线段ＭＮ的中点在Ｃ上 则 ＡＮ ＢＮ . ２ １ ｂ２ ＋ｂ２ ＝１
ꎬ ｜ ｜＋｜ ｜＝ ３
答案
１２
ｘ２
８.(２０１９课标 理ꎬ１５ꎬ５ 分ꎬ综合性)设 Ｆ Ｆ 为椭圆 Ｃ
Ⅲ １ꎬ ２ : ＋
３６
ｙ２
的两个焦点 Ｍ为Ｃ上一点且在第一象限.若 ＭＦ Ｆ
＝１ ꎬ △ １ ２
２０
为等腰三角形 则Ｍ的坐标为 .
ꎬ
答案 ( ꎬ )
３ １５
ｘ２ ｙ２
９.(２０２２天津ꎬ１９ꎬ１５分ꎬ综合性)已知椭圆 ａ ｂ
ａ２ ＋ｂ２ ＝１( > >０) 不妨设Ｍ(ｘ ꎬｙ )(ｘ ꎬ ｙ ｂ)ꎬ
０ ０ ０>０ ０< ０<
的右焦点为Ｆ 右顶点为Ａ 上顶点为Ｂ 且满足｜
ＢＦ
｜ ３. 则ｌ:
ｘ
０
ｘ ｙ
０
ｙ
ꎬ Ｎ
(
ꎬ
ｂ２ )
ꎬ
ꎬ ꎬ ꎬ
｜
ＡＢ
｜
＝
２ ３
ｂ２ ＋ｂ２ ＝１ ∴ ０ ｙ
０
求椭圆的离心率ｅ
(１) ꎻ ｂ２
(２) 已知直线ｌ与椭圆有唯一公共点Ｍ ꎬ 与ｙ轴交于点Ｎ ( Ｎ异 ∵ ｜
ＯＭ
｜＝｜
ＯＮ
｜
ꎬ
∴
ｘ２
０＋
ｙ２
０ ＝ｙ
ꎬ
①
于Ｍ 记点Ｏ为坐标原点 若 ＯＭ ＯＮ 且 ＯＭＮ的面积 ０
)ꎬ ꎬ ｜ ｜＝｜ ｜ꎬ △ ｂ２
Ｓ １ ｘ ꎬ
为 求椭圆的标准方程. ∵ △ ＭＯＮ＝ ０ ｙ ＝ ３
３ꎬ ２ ０
解析 ( ) ＢＦ ｃ２ ｂ２ ａꎬ ＡＢ ａ２ ｂ２ꎬ ｘ
１ ∵ ｜ ｜＝ ＋ ＝ ｜ ｜＝ ＋ ０ｂ２ ꎬ
∴ ｙ ＝２ ３ ②
ＢＦ ａ
｜ ｜ ３ꎬ解得ａ ｂꎬ ０
∴ ｜ ＡＢ ｜ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ２ ＝ ３ 将Ｍ的坐标代入椭圆方程可得ｘ２ ０＋３ ｙ２ ０＝３ ｂ２ꎬ ③
∴
ｃ
＝
ａ２
－
ｂ２
＝ ２
ｂꎬ
∴
离心率ｅ
＝ ａ
ｃ
＝
６. 联立 ①②③ 可得ｂ ＝ ２
ｘ２
ꎬ从
ｙ
而
２
ａ ＝ ６ ꎬ
３ 椭圆的标准方程为 .
( )由( )知椭圆方程为
ｘ２ ｙ２
.
∴
６
＋
２
＝１
２ １
３
ｂ２ ＋ｂ２ ＝１
１０.(２０２０课标 ꎬ文２１ꎬ理２０ꎬ１２分ꎬ综合性)已知椭圆Ｃ
ｘ２
由题可知直线ｌ的斜率存在且不为 ꎬ设ｌ:ｙ ｋｘ ｍ(ｋ )ꎬ由 Ⅲ : ＋
０ ＝ ＋ ≠０ ２５
椭圆的对称性ꎬ不妨设ｋ ꎬｍ ꎬ如图. ｙ２
<０ >０ ｍ 的离心率为 １５ Ａ Ｂ分别为Ｃ的左 右顶点.
ｍ２ ＝１(０< <５) ꎬ ꎬ 、
４
求Ｃ的方程
(１) ꎻ
若点Ｐ在Ｃ上 点Ｑ在直线ｘ 上 且 ＢＰ ＢＱ ＢＰ
(２) ꎬ ＝６ ꎬ ｜ ｜＝｜ ｜ꎬ ⊥
ＢＱ 求 ＡＰＱ的面积.
ꎬ △
ｍ２
解析 ( )由题设可得 ２５－ １５ꎬ得ｍ２ ２５ꎬ所以Ｃ
１ ＝ ＝
５ ４ １６
ｘ２ ｙ２
的方程为 .
＋ ＝１
则有 ＯＭ ＯＮ ｍ. ２５ ２５
｜ {ｘ ｜ ２ ＝｜ ｙ２ ｜＝ ( )设Ｐ(ｘ ꎬｙ １６ )ꎬＱ( ꎬｙ )ꎬ根据对称性可设ｙ ꎬ由题意知
联立得 ｂ２ ＋ｂ２ ＝１ ꎬ ２ Ｐ Ｐ ６ Ｑ Ｑ>０
３ ｙ .由已知可得Ｂ( ꎬ )ꎬ直线ＢＰ的方程为ｙ １ (ｘ )ꎬ
ｙ ｋｘ ｍꎬ Ｐ>０ ５ ０ ＝－ｙ －５
＝ ＋ Ｑ
则有( ｋ２ )ｘ２ ｋｍｘ ｍ２ ｂ２ ꎬ
Δ
３
ｂ２
＋
ｋ
１
２ ｂ２
＋６
ｍ２
＋
ꎬ
３ －３ ＝０ 所以
｜
ＢＰ
｜＝
ｙ
Ｐ １＋
ｙ２Ｑ ꎬ
｜
ＢＱ
｜＝ １＋
ｙ２Ｑ .
＝０⇒３ ＋ － ＝０ 因为 ＢＰ ＢＱ ꎬ所以ｙ ꎬ将ｙ 代入Ｃ的方程ꎬ解得ｘ
ｍｋ ｜ ｜＝｜ ｜ Ｐ＝１ Ｐ＝１ Ｐ
由根与系数的关系得 ｘ Ｍ＝－ ３ ｋ２ ꎬ代入直线 ｌ 的方程ꎬ有 ｙ Ｍ ＝３ 或 －３ .
年 ｍ ３ ＋１ 由直线ＢＰ的方程得ｙ Ｑ＝２ 或 ８ .
高 考 ＝ ３ ｋ２ ＋１ . 所以点ＰꎬＱ的坐标分别为 Ｐ １ ( ３ ꎬ １ )ꎬＱ １ ( ６ ꎬ ２ )ꎻＰ ２ ( －３ ꎬ １ )ꎬ
ｍ ｋ２ Ｑ( ꎬ ). Ｐ Ｑ ꎬ直线 Ｐ Ｑ 的方程为 ｙ １ ｘꎬ点
年
模 ∴ ｜
ＯＭ
｜＝
ｘ２Ｍ＋ ｙ２Ｍ
＝ ３ ｋ
９
２ ＋１
＋１
＝
ｍꎬ解得ｋ
＝－ ３
３ꎬ ２ ６ ８ ｜ １ １ ｜ ＝ １０ １ １ ＝
３
拟 设直线ＯＭ的倾斜角为θꎬ Ａ( ꎬ )到直线Ｐ Ｑ 的距离为 １０ꎬ故 ＡＰ Ｑ 的面积为 １
－５ ０ １ １ △ １ １
ｙ ２ ２
ｋ θ Ｍ １ ３ꎬ
︵ ∴ ∴ θ Ｏ ＝ Ｍ ３ ＝ ０ ｔ ° ａ ꎬ ｎ 故 ∠ ＝ｘ Ｎ Ｍ Ｏ ＝ Ｍ － ＝ ３ ｋ ６０ ＝ °ꎬ ３ × ２ １０ × １０＝ ２ ５ . ｜ Ｐ ２ Ｑ ２｜＝ １３０ ꎬ直线Ｐ ２ Ｑ ２ 的方程为ｙ ＝ ９ ７ ｘ
教
师 用 ∴ Ｓ △ ＯＭＮ＝ ２ １ ｍ２ ｓｉｎ∠ ＮＯＭ ＝ ４ ３ｍ２ ＝ ３ ꎬ解得ｍ ＝２ ꎬ ＋ １ ３ ０ꎬ点Ａ到直线Ｐ ２ Ｑ ２ 的距离为 ２ １ ６ ３０ꎬ故 △ ＡＰ ２ Ｑ ２ 的面积为
书
︶ ∴３
ｂ２
×
１
＋
ｂ２
－４＝０
ꎬ可得ｂ２
＝２
ꎬ １
×
１３０
× １３０＝
５ .
３ ２ ２６ ２
１ ８６
点 且 ＰＱ Ｆ Ｆ 则四边形ＰＦ ＱＦ 的面积为 .
综上ꎬ ＡＰＱ的面积为 ５ . ꎬ ｜ ｜＝｜ １ ２｜ꎬ １ ２
△ 答案
２ ８
考点二 椭圆的几何性质 学生用书P243 ｘ２ ｙ２
６.(２０２０课标 理ꎬ１９ꎬ１２分ꎬ综合性)已知椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２ Ⅱ １:ａ２ ＋ｂ２ ＝１
１.(２０２２全国甲理ꎬ１０ꎬ５分ꎬ综合性)椭圆Ｃ ａ ｂ
:ａ２ ＋ｂ２ ＝１( > > ａ ｂ 的右焦点Ｆ与抛物线Ｃ 的焦点重合 Ｃ 的中心与Ｃ
( > >０) ２ ꎬ １ ２
的左顶点为Ａ 点Ｐ Ｑ均在Ｃ上 且关于ｙ轴对称.若直线 的顶点重合.过Ｆ且与 ｘ 轴垂直的直线交 Ｃ 于 Ａ Ｂ 两点 交
０) ꎬ ꎬ ꎬ １ ꎬ ꎬ
ＡＰ ＡＱ的斜率之积为 １ 则Ｃ的离心率为 Ｃ 于Ｃ Ｄ两点 且 ＣＤ ４ ＡＢ .
ꎬ ꎬ ( ) ２ ꎬ ꎬ ｜ ｜＝ ｜ ｜
４ ３
求Ｃ 的离心率
３ ２ １ １ (１) １ ꎻ
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 设Ｍ是Ｃ 与Ｃ 的公共点.若 ＭＦ 求Ｃ 与Ｃ 的标准
２ ２ ２ ３ (２) １ ２ ｜ ｜＝５ꎬ １ ２
答案 Ａ 方程.
２.(２０１８课标 文ꎬ４ꎬ５分ꎬ基础性)已知椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
的
解析 (
１
) 由已知可设 Ｃ
２
的方程为 ｙ２
＝ ４
ｃｘꎬ其中
Ⅰ :ａ２ ＋
４
＝１ ｃ
＝
ａ２
－
ｂ２.
一个焦点为
(２ꎬ０)ꎬ
则Ｃ的离心率为
( ) 不妨设ＡꎬＣ在第一象限ꎬ由题设得 ＡꎬＢ 的纵坐标分别为
ｂ２
ꎬ
ａ
１ １ ２ ２ ２
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ｂ２ ｂ２
３ ２ ２ ３ ꎻＣꎬＤ的纵坐标分别为 ｃꎬ ｃꎬ故 ＡＢ ２ ꎬ ＣＤ ｃ.
答案 Ｃ － ａ ２ －２ ｜ ｜＝ ａ ｜ ｜＝４
３.(２０１９北京理ꎬ４ꎬ５分ꎬ基础性)已知椭圆
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 由 ＣＤ ４ ＡＢ 得 ｃ ８
ｂ２
ꎬ即
ｃ ( ｃ ) ２
ꎬ解得
ｃ
ａ２ ＋ｂ２ ＝１( > >０) ｜ ｜＝
３
｜ ｜ ４ ＝
３
ａ ３× ａ ＝２－２ ａ ａ ＝
ｃ
的离心率为 １ ꎬ 则 ( ) －２ (舍去)或 ａ ＝ １ .所以Ｃ １ 的离心率为 １ .
２ ２ ２
Ａ. ａ 答 ２ ＝ 案 ２ ｂ２ Ｂ Ｂ.３ ａ２ ＝４ ｂ２ Ｃ. ａ ＝２ ｂ Ｄ.３ ａ ＝４ ｂ ( ２ )由( １ )知ａ ＝２ ｃꎬｂ ＝ ３ ｃꎬ故Ｃ １ : ｘ ｃ ２ ２ ＋ ｙ ｃ ２ ２ ＝１ .
４ ３
４.(２０１７课标 文ꎬ１２ꎬ５分ꎬ综合性)设Ａ Ｂ是椭圆Ｃ ｘ２ ｙ２ 设Ｍ(ｘ ꎬｙ )ꎬ则
ｘ２
０
ｙ２
０ ꎬｙ２ ｃｘ ꎬ故
ｘ２
０ ４
ｘ
０ .
Ⅰ ꎬ : ＋ｍ ０ ０ ｃ２ ＋ ｃ２ ＝１ ０＝４ ０ ｃ２ ＋ ｃ ＝１①
３ ４ ３ ４ ３
长轴的两个端点.若Ｃ上存在点Ｍ满足 ＡＭＢ ° 则ｍ 由于Ｃ 的准线为ｘ ｃꎬ所以 ＭＦ ｘ ｃꎬ而 ＭＦ ꎬ故ｘ
＝１ ∠ ＝１２０ ꎬ ２ ＝－ ｜ ｜＝ ０＋ ｜ ｜＝５ ０＝５
的取值范围是 ( ｃ)２ ( ｃ)
( ) ｃꎬ代入 得 ５－ ４ ５－ ꎬ即ｃ２ ｃ ꎬ解得 ｃ
－ ① ｃ２ ＋ ｃ ＝１ －２ －３＝０ ＝－１
Ａ.(０ꎬ１]∪[９ꎬ＋∞) Ｂ.(０ꎬ ３]∪[９ꎬ＋∞)
(舍去)或ｃ .
４ ３
＝３
Ｃ.(
答
０ꎬ
案
１]∪
Ａ
[４ꎬ＋∞) Ｄ.(０ꎬ ３]∪[４ꎬ＋∞)
所以Ｃ 的标准方程为
ｘ２ ｙ２
ꎬＣ 的标准方程为ｙ２ ｘ.
１ ＋ ＝１ ２ ＝１２
５.(２０２１全国甲ꎬ理１５ꎬ文１６ꎬ５分ꎬ综合性)已知Ｆ Ｆ 为椭圆 ３６ ２７
１ꎬ ２
ｘ２ ｙ２
Ｃ 的两个焦点 Ｐ Ｑ为Ｃ上关于坐标原点对称的两
: ＋ ＝１ ꎬ ꎬ
１６ ４
第
十
章
圆
锥
曲
线
１ ８７
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P244
考点一 椭圆的定义和标准方程 充分不必要条件
Ａ.
１.(２０２２河北衡水中学六调ꎬ３)阿基米德不仅是著名的物理学 必要不充分条件
Ｂ.
充要条件
家 也是著名的数学家 他利用 逼近法 得到椭圆的面积除
Ｃ.
ꎬ ꎬ “ ”
既不充分也不必要条件
以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆Ｃ
Ｄ.
的对称轴为坐标轴 焦点在 ｙ 轴上 且椭圆 Ｃ 的离心率为 答案 Ｂ
ꎬ ꎬ
３.(多选)(２０２０ 山东菏泽期
７ 面积为 则椭圆Ｃ的方程为 中ꎬ８)某颗人造地球卫星的
ꎬ １２πꎬ ( )
４ 运行轨道是以地球的中心 Ｆ
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
Ａ. ＋ ＝１ Ｂ. ＋ ＝１ 为一个焦点的椭圆 如图所
４ ３６ ３ ４ ꎬ
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ 示
ꎬ
已知它的近地点 Ａ
(
离地
Ｃ. ＋ ＝１ Ｄ. ＋ ＝１ 面最近的点 距地面ｍ千米
１８ ３２ ９ １６ ) ꎬ
答案 Ｄ 远地点Ｂ 离地面最远的点
( )
ｘ２ 距地面ｎ千米 并且Ｆ Ａ Ｂ三点在同一直线上 地球半径约为
２.(２０２１山东济南十一学校联考ꎬ３) ｍ 是 方程 ꎬ 、 、 ꎬ
“２< <６” “ ｍ ＋ Ｒ千米 设该椭圆的长轴长 短轴长 焦距分别为 ａ ｂ ｃ 则
－２ ꎬ 、 、 ２ 、２ 、２ ꎬ
ｙ２
表示的曲线为椭圆 的 ( )
ｍ＝１ ” ( ) ａ ｃ ｍ Ｒ ａ ｃ ｎ Ｒ
６－ Ａ. － ＝ ＋ Ｂ. ＋ ＝ ＋
ａ ｍ ｎ ｂ ｍ Ｒ ｎ Ｒ
Ｃ.２ ＝ ＋ Ｄ. ＝ ( ＋ )( ＋ ) ２ ５ ３ ６
答案 ＡＢＤ Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
３ ３ ３ ３
考点二 椭圆的几何性质 答案 Ｂ
ｘ２ ｙ２
ｘ２ ｙ２ ３.(２０２１江苏盐城伍佑中学期末ꎬ８)已知Ｆ Ｆ 为椭圆
１.(２０２２辽宁二轮复习联考(二)ꎬ３)下列与椭圆Ｃ １ꎬ ２ ＋
: ＋ ＝１ ８ ４
９ ５ 的左 右焦点 Ｐ 是椭圆上一点 若 Ｓ 则 Ｆ ＰＦ
焦点相同的椭圆是 ＝１ 、 ꎬ ꎬ △ Ｆ １ ＰＦ ２ ＝４ꎬ ∠ １ ２
( ) 等于
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ( )
° ° ° °
Ａ. ＋ ＝１ Ｂ. ＋ ＝１ Ａ.３０ Ｂ.４５ Ｃ.６０ Ｄ.９０
５ ９ １０ ５ 答案 Ｄ
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
４.(２０２２湖南新高考教学教研联盟第一次联考ꎬ１６)已知Ａ Ｂ
Ｃ. ＋ ＝１ Ｄ. ＋ ＝１ 、
答
９
案
４
Ｄ
１０ ６
分别是椭圆
ｘ２
＋
ｙ２
＝１
的左
、
右顶点
ꎬ
Ｐ是椭圆在第一象限内一
ｘ２ ｙ２ ２
２.(２０２２福建龙岩一模ꎬ８)已知点Ｆ Ｆ 分别是椭圆 点 ＰＡ λ ＰＢ 且满足 ＰＢＡ ＰＡＢ 则λ .
１、 ２ ａ２ ＋ｂ２ ＝１ ꎬ｜ ｜＝ ｜ ｜ ∠ ＝２∠ ꎬ ＝
ａ ｂ 的左 右焦点 过Ｆ 的直线交椭圆于Ａ Ｂ两点 且满 答案 ３０
( > >０) 、 ꎬ ２ 、 ꎬ
ＡＦ ３
足ＡＦ ＡＢ ｜ １｜ ４ 则该椭圆的离心率是
１⊥ ꎬ ＡＢ ＝ ꎬ ( )
｜ ｜ ３
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ８８
B组 综合应用题组 学生用书P245
100分钟 120分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共２５分) 左 右焦点 若 ＭＮ ＭＦ 的最大值恰好等于椭圆的焦距与
、 ꎬ ｜ ｜＋｜ １｜
ｘ２ ｙ２ 长轴长之和 则椭圆的离心率为
１.(２０２２河北邯郸一模ꎬ８)已知椭圆Ｃ 的左 右焦 ꎬ ( )
: ＋ ＝１ 、
２５ １６
１ ３ ３ ３
点分别为Ｆ Ｆ Ｐ为椭圆Ｃ上一点 则满足 ＰＦ Ｆ 为直角 Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
１ꎬ ２ꎬ ꎬ △ １ ２ ２ ５ ２ ３
三角形的点Ｐ有 答案 Ｃ
( )
Ａ.２
个
Ｂ.４
个
Ｃ.６
个
Ｄ.８
个
４.(２０２２八省八校联考二ꎬ８)已知椭圆Γ
ｘ２ ｙ２
过其左焦
答案 Ｂ : ＋ ＝１ꎬ
４ ３
２.(２０２２福建名校联盟全国优质校大联考ꎬ８)传说 意大利的 点Ｆ 作直线ｌ交椭圆Γ于Ｐ Ａ两点 取Ｐ点关于ｘ轴的对称
ꎬ １ ꎬ ꎬ
西西里岛有个山洞是用来关押罪犯的.罪犯们曾多次密谋商议 ＰＡ
点Ｂ.若Ｇ点为 ＰＡＢ的外心 则 ｜ ｜
逃跑 但不管多完美的计划都会被狱卒发现.原来山洞内的空 △ ꎬ ＧＦ ＝ ( )
ꎬ ｜ １｜
间是一个椭球体 最大截面部分是一个椭圆面 罪犯和狱卒所
ꎬ ꎬ Ａ.２ Ｂ.３
待的地方正好是椭圆的两个焦点.罪犯们说的话经过洞壁的反 以上都不对
Ｃ.４ Ｄ.
射 最终都传向了狱卒所在的地方 即椭圆的另一个焦点 这里 答案 Ｃ
ꎬ ꎬ ꎬ
面蕴含着椭圆的光学性质.请利用椭圆的该性质解决下列问 ５.(２０２１山东日照一模ꎬ５)函数ｙ ａ３－ ｘ ａ 且ａ 的图象
＝ ( >０ꎬ ≠１)
题 已知Ｐ是椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
上的点 Ｆ Ｆ 是椭圆Ｃ的左 恒过定点Ａ 若点Ａ在椭圆
ｘ２ ｙ２
ｍ ｎ 上 则ｍ ｎ的
: : ＋ ＝１ ꎬ １ꎬ ２ ꎬ ꎬ ｍ＋ ｎ ＝１( >０ꎬ >０) ꎬ ＋
４ ３
最小值为
右焦点 Ｆ ＰＦ ３ Ｏ为坐标原点为 Ｏ到椭圆Ｃ在Ｐ处 ( )
ꎬｃｏｓ∠ １ ２＝ ꎬ ꎬ
４ Ａ.１２ Ｂ.１４ Ｃ.１６ Ｄ.１８
的切线的距离为 答案 Ｃ
( )
二、多项选择题(每小题５分ꎬ共１０分)
ｘ２ ｙ２
６.(２０２２福州一模ꎬ９)已知椭圆Ｃ 的左 右焦点分
: ＋ ＝１ 、
４ ３
别为Ｆ Ｆ Ｐ为Ｃ上一点 则
１ꎬ ２ꎬ ꎬ ( )
Ｃ的离心率为 ２
Ａ.
２
ＰＦ Ｆ 的周长为
Ｂ.△ １ ２ ５
Ｆ ＰＦ °
Ｃ.∠ １ ２<９０
ＰＦ
Ｄ.１≤｜ １｜≤３
答案 ＣＤ
ｘ２
７.(２０２２辽宁名校联盟二轮复习联考(一)ꎬ１２)已知椭圆Ｅ
:ａ２
ｙ２
３ １４ １４ ５ ａ ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 如图 离心率为
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ＋ｂ２ ＝１( > >０) 、 １ꎬ ２( )ꎬ
２ ２ ３ ３
答案 Ｂ
１ 过Ｆ 的直线ＡＦ 垂直于ｘ轴 且在第二象限中交Ｅ于点
３.(２０２２湖北黄冈蕲春实验高级中学一模ꎬ７)已知 Ｍ 为椭圆 ꎬ １ １ ꎬ
２
Ｃ ｘ２ ｙ２ ａ 上一动点 点Ｎ Ｆ Ｆ 分别为椭圆的 Ａ ꎬ 直线ＡＦ ２ 交Ｅ于点Ｂ ( 异于点Ａ )ꎬ 则下列说法正确的是
:ａ２ ＋ ＝１( >１) ꎬ (０ꎬ３)ꎬ １ꎬ ２
( )
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
又 １ １ ꎬ ２ ２ ꎬ
∵ ＋ ＝１ ＋ ＝１
５ ４ ５ ４
æｘ ｘ ｙ ｙ ö
λ( λ)ç １ ２ １ ２÷ λ２ ( λ)２ꎬ
∴２ ２－ è ＋ ø＝１－ － ２－
５ ４
[( λ)ｘ λｘ ]２ [( λ)ｙ λｙ ]２
２－ １＋ ２ ２－ １＋ ２ λ２ ( λ)２ λ(
∴ ＋ ＝ ＋ ２－ ＋２ ２－
５ ４
æｘ ｘ ｙ ｙ ö
λ)ç １ ２ １ ２÷ ꎬ即点Ｎ在Ｃ上.
若椭圆Ｅ的焦距为 则短轴长为 è ＋ ø＝１
Ａ. ２ꎬ ４ ３ ５ ４
ＡＢＦ 的周长为 ａ ( )当ＡＢ与ｘ轴重合时ꎬＡＢ的方程为ｙ ꎬ
Ｂ.△ １ ４ ｉｉ ＝０
若 ＡＦ Ｆ 的面积为 则椭圆Ｅ的方程为
ｘ２ ｙ２
不妨令Ａ( ꎬ )ꎬＢ( ꎬ )ꎬ则Ｍ( λ ꎬ ).
Ｃ. △ １ ２ １２ꎬ ３２ ＋ ２４ ＝１ Ｍ在椭圆 ５ Ｃ ０ 上ꎬ － ５ ０ ２ ５ －２ ５ ０
∵
Ｄ.△
ＡＢＦ
１
与
△
ＡＦ
１
Ｆ
２
的面积的比值为１０ (
２ ５
λ
－２ ５
)２
ꎬ解得λ １ 或λ ３ .
７ ∴ ＝１ ＝ ＝
答案 ＢＣＤ ５ ２ ２
当ＡＢ不与ｘ轴重合时ꎬ设直线ＡＢ的方程为ｘ ｍｙ .
三、填空题(每小题５分ꎬ共１０分) ＝ ＋１
{ｘ ｍｙ ꎬ
８.(２０２２江苏苏州常熟抽测二ꎬ１４)已知Ａ Ｆ是椭圆Ｃ ＝ ＋１
ｘ２ ｙ２
(１ꎬ ３)ꎬ : 由 ｘ２ ｙ２ 得(
５＋４
ｍ２)ｙ２
＋８
ｍｙ
－１６＝０
ꎬ
的左焦点 点Ｐ是椭圆Ｃ上的动点 则 ＰＡ ＰＦ ＋ ＝１
＋ ＝１ ꎬ ꎬ ｜ ｜＋｜ ｜ ５ ４
９ ５ ì ｍ
的最小值为 . ïｙ ｙ ８ ꎬ
答案 从而有í
ï １＋ ２＝－
５＋４
ｍ２
４
９.(２０２１湖南娄底仿真模拟ꎬ１５)椭圆有这样的光学性质 从椭 ï ïｙ ｙ １６ ꎬ
: î １ ２＝－ ｍ２
圆的一个焦点出发的光线 经椭圆反射后 反射光线经过椭圆 ５＋４
ꎬ ꎬ ｘ ｘ ｙ ｙ (ｍｙ )(ｍｙ ) ｙ ｙ
的另一个
ｘ２
焦
ｙ
点
２
.根据椭圆的光学性质解决下题
:
已知曲线Ｃ的
∴
１
５
２
＋
１
４
２
＝
１＋１
５
２＋１
＋
１
４
２
＝ ２
１
０
[(
４
ｍ２
＋５
)ｙ
１
ｙ
２＋
方程为 其左 右焦点分别是Ｆ Ｆ 直线ｌ与椭圆Ｃ
＋ ＝１ꎬ ꎬ １ꎬ ２ꎬ ｍ(ｙ ｙ ) ] ２ ꎬ
４ ３ ４ １＋ ２ ＋４ ＝ ｍ２ －１
切于点Ｐ ꎬ 且 ｜ ＰＦ １｜＝ ３ ꎬ 过点Ｐ且与直线ｌ垂直的直线ｌ′与椭 æｘ ｘ ｙ ｙ ö ５ ( ＋４ ]
２ ç １ ２ １ ２÷ ꎬ ３ ꎬ
圆长轴交于点Ｍ 则 Ｆ Ｍ Ｆ Ｍ . ∴ è ＋ ø∈ －１ －
ꎬ ｜ １ ｜ ∶ ｜ ２ ｜＝ ５ ４ ５
ｘ ｘ ｙ ｙ
由( )可得 １ ２ １ ２ ３ ꎬ
ｉ ＋ ＝１－ λ λ２
５ ４ ４ －２
解得 １ λ ３ 或 ５ λ ３ .
< ≤ ≤ <
２ ４ ４ ２
综上ꎬ１ λ ３ 或 ５ λ ３ .
≤ ≤ ≤ ≤
答案 ２ ４ ４ ２
３ ∶ ５ ｘ２ ｙ２
四、解答题(共７５分) １１.(２０２２辽宁名校联盟３月联考ꎬ２１)已知Ａ为椭圆Ｃ
:ａ２ ＋ｂ２
ｘ２ ｙ２
１０.(２０２２重庆第七次质检ꎬ２１)已知椭圆Ｃ ａ ｂ ａ ｂ 的下顶点 Ｆ Ｆ 分别为Ｃ的左 右焦点 ＡＦ
:ａ２ ＋ｂ２ ＝１( > > ＝１( > >０) ꎬ １ꎬ ２ 、 ꎬ｜ １｜＋
ＡＦ Ｆ Ｆ 且Ｃ的短轴长为 .
｜ ２｜＝ ３｜ １ ２｜ꎬ ２ ２
的焦点Ｆ 且椭圆Ｃ的离心率为 ５. 求Ｃ的方程
０) (１ꎬ０)ꎬ (１) ꎻ
５ 设Ｏ为坐标原点 Ｍ Ｎ为Ｃ上ｘ轴同侧的两动点 两条不
求椭圆Ｃ的方程 (２) ꎬ ꎬ ꎬ
(１) ꎻ 重合的直线ＭＦ ＮＦ 关于直线ｘ 对称 直线ＭＮ与ｘ轴交
若Ａ Ｂ为Ｃ上不同的两点 动点Ｍ Ｎ满足 Ｏ→Ｍ λＯ→Ａ １ꎬ １ ＝－１ ꎬ
(２) ꎬ ꎬ ꎬ : ＝ ＋(２ 于点Ｐ 求 ＯＭＰ的面积的最大值.
ꎬ △
λ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｎ λ Ｏ→Ａ λＯ→Ｂ 且Ｍ在Ｃ上.
－ ) ꎬ ＝(２－ ) ＋ ꎬ 解析 ( )由椭圆的定义及题意可知 ａ ｃꎬ所以 ａ
求证 点Ｎ在Ｃ上 １ ２ ＝２ ３ ＝
(ｉ)
若Ａ
:
Ｂ过焦点Ｆ 求
ꎻ
实数λ的取值范围. ３
ｃꎬ因为ａ２
＝
ｂ２
＋
ｃ２ꎬ所以ｂ２
＝２
ｃ２ꎬ
(ｉｉ) ꎬ
ì ï ｃ ＝１ ꎬ 由Ｃ的短轴长为 ２ ２ 得 ２ ｂ ＝２ ２ ꎬ解得ｂ ＝ ２ ꎬ
ï ｃ 所以ｃ ꎬａ ꎬ
解析 ( )由题意知í ５ꎬ 解得ａ ꎬｂ ꎬ故椭圆Ｃ ＝１ ＝ ３
１ ïａ ＝ ＝ ５ ＝２ ｘ２ ｙ２
ï ５ 故Ｃ的方程为 .
îａ２
＝
ｂ２
＋
ｃ２ꎬ
３
＋
２
＝１
的方程为
ｘ２ ｙ２
.
(
２
)设Ｍ(ｘ
１
ꎬｙ
１
)ꎬＮ(ｘ
２
ꎬｙ
２
)ꎬ
＋ ＝１ 由( )知Ｆ( ꎬ )ꎬ所以直线ｘ 过点Ｆ .
５ ４ １ １ －１ ０ ＝－１ １
( ２ )设Ａ(ｘ １ ꎬｙ １ )ꎬＢ(ｘ ２ ꎬｙ ２ )ꎬ 因为两条不重合的直线ＭＦ １ ꎬＮＦ １ 关于直线ｘ ＝－１ 对称ꎬ所以 第
则Ｍ(λｘ ( λ)ｘ ꎬλｙ ( λ)ｙ )ꎬＮ(( λ)ｘ λｘ ꎬ( λ) ｘ ꎬｘ . 十
１＋ ２－ ２ １＋ ２－ ２ ２－ １＋ ２ ２－ １≠－１ ２≠－１ 章
ｙ
１＋
λｙ
２
). 设直线ＭＮ的方程为ｘ
＝
ｍｙ
＋
ｎ(ｍ
≠０
)ꎬ
( )证明: Ｍ在椭圆Ｃ上ꎬ {ｘ２ ｙ２ 圆
ｉ ∵ ꎬ 锥
[λｘ
１＋
(
２－
λ)ｘ
２
]２ [λｙ
１＋
(
２－
λ)ｙ
２
]２
ꎬ
由
３
＋
２
＝１ 得(
２
ｍ２
＋３
)ｙ２
＋４
ｍｎｙ
＋２
ｎ２
－６＝０
ꎬ
曲
∴ ＋ ＝１ ｘ ｍｙ ｎꎬ 线
５ ４ ＝ ＋
１ ８９
则 因 所 为 以 ｙ １ 直 ＋ ｋ ｙ 线 ２＝ Ｍ － ｋ ２ Ｆ ｍ ４ １ ｍ ꎬ ２ Ｎ ＋ ｎ ꎬ ３ Ｆ ꎬ １ ｙ 关 １ ｙ 于 ２＝ 直 ２ ２ ｍ ｎ 线 ２ ２ － ＋ ｘ ６ ３ ＝ ꎬ －１ 对称ꎬ ＝ ４ １ ４ ＋ ｋ ｋ ２ ２ ＋１ ｋ ９ ２ ｋ ＋ ２ １
ＭＦ
１
＋ ＮＦ
１
＝０
１２｜
ｋ
｜ １２ １２ .
即ｋ ＭＦ １ ＋ ｋ ＮＦ １ ＝ｘ １ ｙ ＋ １ １ ＋ｘ ２ ｙ ＋ ２ １ ＝ ｙ １ ( ( ｘ ｘ ２ １ ＋ ＋ １ １ ) ) ＋ ( ｙ ｘ ２ ( ２＋ ｘ １ １＋ ) １ ) ＝ ４ ｋ２ ＋１ ＝ ４｜ ｋ ｜＋ ｜ １ ｋ ｜ ≤ ２ ４｜ ｋ ｜ ｜ １ ｋ ｜ ＝３
ｙ(ｍｙ ｎ ) ｙ(ｍｙ ｎ )
１ ２＋ ＋１ ＋ ２ １＋ ＋１ ꎬ
＝ (ｘ )(ｘ ) ＝０ 当且仅当ｋ １ 时ꎬ等号成立ꎬ此时ｔ ５ꎬ
１＋１ ２＋１ ＝± ＝±
所以ｙ(ｍｙ ｎ ) ｙ (ｍｙ ｎ ) ｍｙ ｙ (ｎ )(ｙ ｙ ) ２ ５
１ ２＋ ＋１ ＋ ２ １＋ ＋１ ＝２ １ ２＋ ＋１ １＋ ２ ＝
ꎬ即２ ｍ( ２ ｎ２ －６ ) ４ ｍｎ(ｎ ＋１ ) ꎬ ∴ Ｓ △ ＰＭＮ＝ １ ｜ ＭＮ ｜｜ ＧＰ ｜≤ １ ×３×３＝ ９ ꎬ
０ ｍ２ － ｍ２ ＝０ ２ ２ ２
２ ＋３ ２ ＋３
因为ｍ ꎬ所以ｎ ꎬ 故 ＰＭＮ面积的最大值为 ９ .
≠０ ＝－３ △
所以直线ＭＮ恒过定点Ｐ( ꎬ )ꎬ且 ＯＰ ꎬ ２
－３ ０ ｜ ｜＝３ １３.(２０２２湖南岳阳二模ꎬ２１)已知椭圆Ｃ ｙ２ ｘ２ ａ ｂ
当Ｍ与Ｃ的上顶点或下顶点重合ꎬ即
｜
ＯＭ
｜＝ ２
时ꎬ :ａ２ ＋ｂ２ ＝１( > >０)ꎬ
ＯＭＰ的面积取得最大值ꎬ
△
Ｆ为上焦点 左顶点Ｐ到Ｆ的距离为 且离心率为 ２ 设Ｏ
ꎬ ２ꎬ ꎬ
即(Ｓ ) １ ＯＰ ＯＭ １ ３ ２. ２
△ ＯＭＰ ｍａｘ＝ ｜ ｜｜ ｜＝ ×３× ２＝ 为坐标原点 点Ｍ的坐标为 .
２ ２ ２ ꎬ (０ꎬ２)
１２.(２０２２湖南常德一模ꎬ２１)已知Ｍ ｘ Ｎ ｙ 两点分别 求椭圆Ｃ的标准方程
( ０ꎬ０)ꎬ (０ꎬ ０) (１) ꎻ
在ｘ轴和ｙ轴上运动 且 ＭＮ 若动点Ｇ满足Ｎ→Ｇ Ｇ→Ｍ 设 若过 Ｆ 的直线 ｌ 与 Ｃ 交于 Ａ Ｂ 两点 证明 ＯＭＡ
ꎬ ｜ ｜＝３ꎬ ＝２ ꎬ (２) ꎬ ꎬ :∠
动点Ｇ的轨迹为曲线Ｅ. ＯＭＢ.
＝∠
求曲线Ｅ的方程 解析 ( )由左顶点 Ｐ 到上焦点 Ｆ 的距离为 ꎬ可得 ａ
(１) ꎻ １ ２ ＝
过点Ｇ作直线ＭＮ的垂线ｌ 交曲线Ｅ于点Ｐ 异于点Ｇ
(２) ꎬ ( )ꎬ ｃ
求
△
ＰＭＮ面积的最大值.
２
ꎬ又ｅ
＝ ａ ＝
２ꎬ所以ｃ
＝１
ꎬ从而ｂ
＝１
.
２
解析 ( )设Ｇ(ｘꎬｙ)ꎬ则Ｎ→Ｇ (ｘꎬｙ ｙ )ꎬＧ→Ｍ (ｘ ｘꎬ ｙ). ｙ２
１ ＝ { － ０ ＝ ０－ － ∴ 椭圆Ｃ的标准方程为 ＋ ｘ２ ＝１ .
{ｘ (ｘ ｘ)ꎬ ｘ ３ ｘꎬ ２
Ｎ→Ｇ Ｇ→Ｍꎬ ＝２ ０－ 解得 ０＝ ( )证明:当ｌ与ｙ轴重合时ꎬ ＯＭＡ ＯＭＢ °ꎬ
∵ ＝２ ∴ ｙ ｙ ｙꎬ ２ ２ ∠ ＝∠ ＝０
－ ０＝－２ ｙ ｙꎬ 当ｌ与ｙ轴不重合时ꎬ设ｌ的方程为ｙ ｋｘ ꎬＡ(ｘ ꎬｙ )ꎬＢ(ｘ ꎬ
０＝３ ＝ ＋１ １ １ ２
ｘ２ ｘ２ ｙ ｙ
又 ＭＮ ꎬ ｘ２ ｙ２ ꎬ ９ ｙ２ ꎬ即 ｙ２ ꎬ ｙ )ꎬ直线ＭＡꎬＭＢ的斜率ｋ ꎬｋ 之和为ｋ ｋ １－２ ２－２ꎬ
｜ ｜＝３ ∴ ０＋ ０＝９ ∴ ４ ＋９ ＝９ ４ ＋ ＝１ ２ ＭＡ ＭＢ ＭＡ＋ ＭＢ＝ ｘ ＋ ｘ
１ ２
ｘ２ ( )
即曲线Ｅ的方程为 ｙ２ . 又 ｙ ｋｘ ꎬｙ ｋｘ ꎬ ｋ ｋ ｋ １ １ ｋ
４ ＋ ＝１ ∵ １＝ １＋１ ２ ＝ ２＋１ ∴ ＭＡ＋ ＭＢ＝２ － ｘ ＋ｘ ＝２ －
( )由题意知直线ｌ的斜率存在且不为 . {ｙ ｋｘ ꎬ １ ２
２ ０ ｘ ｘ ＝ ＋１
设直 { 线 ｙ ＝ ｌ: ｋ ｙ ｘ ＝ ＋ ｋ ｔꎬ ｘ ＋ ｔꎬＧ(ｘ １ ꎬｙ １ )ꎬＰ(ｘ ２ ꎬｙ ２ ). ｘ １ １ ＋ ｘ ２ ２ꎬ联立 ｙ２ ＋ ｘ２ ＝１ ꎬ
２
联立 ｘ２
ｙ２ ꎬ
消去ｙ整理可得(
２＋
ｋ２)ｘ２
＋２
ｋｘ
－１＝０
ꎬ
＋ ＝１
ｋ
４
消去ｙ化简得( ４ ｋ２ ＋１ )ｘ２ ＋８ ｋｔｘ ＋４ (ｔ２ －１ ) ＝０ . ∴ ｘ １＋ ｘ ２＝－ ２ ２ ＋ ｋ２ ꎬｘ １ ｘ ２＝－ ２＋ １ ｋ２ ꎬ
Δ
＝６４
ｋ２ｔ２
－１６
(
４
ｋ２
＋１
)(ｔ２
－１
)
＝１６
(
４
ｋ２
－
ｔ２
＋１
)
>０
ꎬ
ｘ ｘ
ｘ ｘ ８ ｋｔ ꎬｘ ｘ ４ (ｔ２ －１ ) ꎬ ∴２ ｋ － ｘ １＋ ｘ ２ ＝２ ｋ －２ ｋ ＝０ ꎬ从而ｋ ＭＡ＋ ｋ ＭＢ＝０ ꎬ
１＋ ２＝－ ４ ｋ２ ＋１ １ ２＝ ４ ｋ２ ＋１ 故直线Ｍ １ Ａ ２ ꎬＭＢ的倾斜角互补ꎬ ＯＭＡ ＯＭＢ.
∴ ∠ ＝∠
ｋ２ ｋ２ ｔ２ 综上ꎬ ＯＭＡ ＯＭＢ.
ＧＰ ｋ２ (ｘ ｘ )２ ｘ ｘ ４ １＋ ４ － ＋１. ∠ ＝∠
｜ ｜＝
{
１＋ １＋ ２ －４ １ ２ ＝
４
ｋ２
＋１ １４.(２０２２沈阳二中二模ꎬ２２)已知椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ
ｘ ３ ｘ ꎬ ｙ ｙ ｘ
:ａ２ ＋ｂ２ ＝１( > >０)
由( １ )知 ０＝ ２ １ ∴ ｋ ＭＮ＝－ｘ ０ ＝－ ２ ｘ １ꎬｋ ＝ ｙ １ ꎬ ① 的左 右焦点分别为 Ｆ Ｆ Ｐ 为椭圆上一点 且 ＰＦ Ｆ Ｆ
年 ｙ ｙ ꎬ ０ １ ２ １ 、 １ꎬ ２ꎬ ꎬ ２⊥ １ ２ꎬ
高 ０＝３ １
直线ｌ过点Ｇꎬ ｙ ｋｘ ｔꎬ ＰＦ Ｆ ３.
考 ∴ １＝ １＋ ② ｔａｎ∠ １ ２＝
年 模 拟 点 由 ① Ｇ ② 在 ③ 曲 得 线 ꎬ Ｅ ｋ２ 上 ＝ ꎬ ｘ ｙ ∴ ２ １ ２ ＝ ｘ２ １ ４ ＋ － ４ ｙ ４ ｙ ２ ｙ ２ １ ２ １ ＝ ＝ ４ ｙ ꎬ １ ２ ③ －１ ꎬ即ｙ２ １＝ｋ２ １ . ( ( ( １ ２ ) ) 求 已 椭 知 ) 圆 直线 Ｃ １ 的 ｌ ２ 交 离 椭 心 圆 率 Ｃ ｅ ꎻ 于Ａ ꎬ Ｂ两点 ꎬ 且线段ＡＢ的中点为Ｑ
ｘ２
４ １
ｙ２
４
ｘ
１
２ ｙ
１
２
＋１
１ꎬ－
１
ꎬ
若椭圆Ｃ上存在点Ｍ
ꎬ
满足
２
Ｏ→Ａ
＋３
Ｏ→Ｂ
＝４
Ｏ→Ｍ
ꎬ
试求
ｔ ｙ ｋｘ ｙ １ ２ １－ １ ６ １－４ ｙ ２ ꎬ即 ｔ２ ｙ２ ４ ２
＝ １－ １＝ １－ ｙ ＝ ｙ ＝ ｙ ＝３ １－ｙ ＝９ １＋ｙ２ － 椭圆Ｃ的方程.
２ １ ２ １ ２ １ １ １
︵ ꎬ ｔ２ ９ ｋ２ ꎬ ｂ２
教
师
１２ ∴ ＝ｋ２ ＋１ ＋４ －８
æ ö
解析 (
１
)因为
ｔａｎ∠
ＰＦ
１
Ｆ
２＝
ａ
ｃ＝
ｂ
ａ
２
ｃ＝
３ꎬ所以
６
ｂ２
＝ ３
ａｃꎬ
用 ｋ２ ｋ２ ç ９ ｋ２ ÷ ２ ２ １２
书 ４ １＋ ４ －èｋ２ ＋４ －８ø＋１
︶ ｜
ＧＰ
｜＝ ｋ２
＋１ 即
６
(ａ２
－
ｃ２)
＝ ３
ａｃꎬ则
６
(
１－
ｅ２)
＝ ３
ｅꎬ解得ｅ
＝
３(舍负).
４ ＋１ ２
１ ９０
( )设Ａ(ｘ ꎬｙ )ꎬＢ(ｘ ꎬｙ )ꎬＭ(ｘ ꎬｙ )ꎬ 上ꎬ所以直线ＡＢ与圆Ｏ相切.
２ １ １ ２ ２ ０ ０
ｃ２ æ ö
由ｅ２ ３ ꎬ得ｃ２ ３ ａ２ꎬ所以ｂ２ ａ２ ｃ２ １ ａ２ꎬ所以 ａ２ ( ) 当直线 ＡＢ 垂直于 ｘ 轴时ꎬ 不妨令 Ａ ç ６ꎬ ６÷ꎬ
＝ａ２ ＝ ＝ ＝ － ＝ ＝ ｉ è ø
４ ４ ４ ３ ３
ｘ２ ｙ２ æ ö
ｂ２.则Ｃ: ꎬｘ２ ｙ２ ｂ２. Ｂç ６ꎬ ６÷ꎬ此时Ｏ→ＡＯ→Ｂ ꎬ所以ＯＡ ＯＢꎬ故以ＡＢ为直径
４ ｂ２ ＋ｂ２ ＝１ ＋４ ＝４ è － ø ＝０ ⊥
４ ３ ３
由于ＡꎬＢ在椭圆上ꎬ所以ｘ２ ｙ２ ｂ２ꎬｘ２ ｙ２ ｂ２ꎬ 的圆过点Ｏ.
１＋４ １＝４ ２＋４ ２＝４ ①
{ ｘ ｘ ｘ ꎬ
ì ï
ï
ｘ
０＝
２ ｘ １＋３ ｘ ２ꎬ (
Ａ(
ｉｉ
ｘ
)当
ꎬｙ
直
)
线
ꎬＢ
Ａ
(
Ｂ
ｘ
不
ꎬｙ
垂
)
直
.
于ｘ轴时ꎬ设直线ＡＢ的方程为ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｍꎬ
由 Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｍꎬ得 ２ １＋３ ２＝４ ０ 即í ４ １ １ ２ ２
２ ＋３ ＝４ ｙ ｙ ｙ ꎬ ï ｙ ｙ ｍ
２ １＋３ ２＝４ ０ ïｙ ２ １＋３ ２ꎬ 因为ＡＢ与圆Ｏ相切ꎬ所以点Ｏ到直线ＡＢ的距离为 ｜ ｜
î ０＝
４
ｋ２
＋１
＝
由Ｍ在椭圆上ꎬ得ｘ２ ｙ２ ｂ２ꎬ
即 æ ç２ ｘ １＋３ ｘ ２ ö ÷ ２ æ ç２ ｙ
０
１
＋
＋
４
３ ｙ
０
２
＝
ö ÷
４
２ ｂ２ꎬ ３
６ꎬ即
３
ｍ２
－２
ｋ２
－２＝０
.
è ø ＋４è ø ＝４ {ｙ ｋｘ ｍꎬ
４ ４ ＝ ＋
即
将
４ (
代
ｘ２ １
入
＋４ ｙ２ １
得
) ＋
ｘ
１２
ｘ
(ｘ １ ｘ
ｙ
２＋
ｙ
４ ｙ １
ｂ
ｙ
２
２
ꎬ
) ＋９ (ｘ２ ２＋４ ｙ２ ２ ) ＝６４ ｂ２ꎬ ② 由 ｘ２
＋
ｙ２
＝１
得( ２ ｋ２ ＋１ )ｘ２ ＋４ ｋｍｘ ＋２ ｍ２ －２＝０ ꎬ
① ② １ ２＋４ １ ２＝ { ③ ２
ｋｍ ｍ２
ｙ ｋ(ｘ ) １ ꎬ 所以ｘ ｘ －４ ꎬｘ ｘ ２ －２ꎬ
设ＡＢ:ｙ
＝
ｋ(ｘ
－１
)
－
１ ꎬ联立 ＝ －１ －
２
１＋ ２＝
２
ｋ２
＋１
１ ２＝
２
ｋ２
＋１
２ ｘ２
＋４
ｙ２
＝４
ｂ２ꎬ
则Ｏ→ＡＯ→Ｂ ｘ ｘ ｙ ｙ ｘ ｘ (ｋｘ ｍ)(ｋｘ ｍ) ( ｋ２)ｘ ｘ
消
ｘ
去ｙ
８ ｋ
整
２ ＋
理
４ ｋ
得(
１＋４
ｋ２
ｋ
)ｘ２
１ －
(
ꎬ ８
ｋ２
＋４
ｋ)ｘ
＋４
ｋ２
＋４
ｋ
－４
ｂ２
＋１＝０
ꎬ则ｘ
１ ｋｍ(ｘ １＋ ｘ ２ )
＝
＋ ｍ ｍ
１
２ ２
２＋ １ ２＝ １ ２
ｋ
＋
ｍ
１＋ ２＋ ＝ １＋ １ ２＋
＋ ２＝
１＋４
ｋ２ ＝２×１⇒ ＝
２ ＝
(
１＋
ｋ２)２
ｋ２
－２
＋
ｋｍ－
ｋ
４
２ ＋
ｍ２
２ ＋１ ２ ＋１
所以ＡＢ的方程为ｙ
＝ ２
１ ｘ
－１
ꎬｘ２
－２
ｘ
＋２－２
ｂ２
＝０
ꎬ所以ｘ
１
ｘ
２＝２－ ＝
(
１＋
ｋ２)(
２
ｍ２
－２
)
＋
ｋ
ｋ
ｍ
２
(
－４
ｋｍ)
＋
ｍ２(
２
ｋ２
＋１
)
２
ｂ２ꎬ
④ ｍ２ ｋ２
２ ＋１
又ｙ ｙ
(
１ ｘ
)(
１ ｘ
)
１ ｘ ｘ １ (ｘ ｘ ) １－
ｂ２
ꎬ ＝
３
ｋ
－
２
２ －２
＝０
ꎬ
１ ２＝ ２ １－１ ２ ２－１ ＝ ４ １ ２－ ２ １＋ ２ ＋１＝ ２ 所以 ２ ＯＡ ＋１ ＯＢꎬ故以ＡＢ为直径的圆过点Ｏ.
将 代入 得 ｂ２ １－
ｂ２
ｂ２ ｂ２ ４ ꎬ 综上ꎬ以
⊥
ＡＢ为直径的圆过点Ｏ.
⑤ ④⑤ ③ ２－２ ＋４ ＝ ⇒ ＝
２ ５ 解法二:( )同解法一.
ｘ２ ｙ２ １
由Δ ꎬ解得ｂ２ １ ꎬ所以椭圆Ｃ的方程为５ ５ . ( )证明:因为直线ＡＢ与以ＯＡ为直径的圆的一个交点在圆Ｏ
>０ > ＋ ＝１ ２
２ １６ ４ 上ꎬ所以直线ＡＢ与圆Ｏ相切.
１５.(２０２２福建部分地市４月诊断性联考ꎬ２１)已知椭圆Ｃ的中
设直线ＡＢ与圆Ｏ相切于点Ｍ(ｘ ꎬｙ ).
０ ０
心为Ｏ 离心率为 ２ 圆Ｏ在Ｃ的内部 半径为 ６ Ｐ Ｑ分别为
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
２ ３
Ｃ和圆Ｏ上的动点 且Ｐ Ｑ两点的最小距离为 ６.
ꎬ 、 １－
３
建立适当的坐标系 求Ｃ的方程
(１) ꎬ ꎻ
Ａ Ｂ是Ｃ上不同的两点 且直线ＡＢ与以ＯＡ为直径的圆的
(２) ꎬ ꎬ
一个交点在圆Ｏ上.求证 以ＡＢ为直径的圆过定点.
:
解析 解法一:( )以椭圆Ｃ的长轴、短轴所在直线分别为ｘ
１ ( )当ｙ 时ꎬ直线ＡＢ垂直于ｘ轴ꎬ
轴、ｙ轴ꎬ以长轴的中点为坐标原点 Ｏ 建立平面直角坐标系ꎬ ｉ ０＝０
æ ö æ ö
如图. 不妨令Ａç ６ꎬ ６÷ꎬＢç ６ꎬ ６÷ꎬ
è ø è － ø
３ ３ ３ ３
此时Ｏ→ＡＯ→Ｂ ꎬ所以ＯＡ ＯＢꎬ故以ＡＢ为直径的圆过点Ｏ.
＝０ ⊥
ｘ
( )当ｙ 时ꎬ直线ＡＢ的方程为ｙ ｙ ０(ｘ ｘ )ꎬ因为ｘ２
ｉｉ ０≠０ － ０＝－ｙ － ０ ０
０
ｘ
ｙ２ ２ ꎬ所以直线ＡＢ的方程为ｙ ０ｘ ２ .
＋ ０＝ ＝－ｙ ＋ ｙ
３ ０ ３ ０
设椭圆的长半轴长为ａꎬ短半轴长为ｂꎬ半焦距为ｃꎬ ì ï ｘ
ｙ ０ｘ ２ ꎬ
ï ＝－ｙ ＋ ｙ
ì ïｃ 设Ａ(ｘ ꎬｙ )ꎬＢ(ｘ ꎬｙ )ꎬ由í ０ ３ ０ 得
依 所 题 以 意 Ｃ 得 的 î í ï ï ï ï ï 方 ｂ ａ ａ － ２ 程 ＝ ＝ ３ 为 ６ ｂ２ ２ ＝ ２ ＋ ｘ １ ｃ ２ ꎬ ２ － ＋ ꎬ ｙ ３ ２ ６ ＝ ꎬ 解 １ . 得 { ａ ｂ ｃ ＝ ＝ ＝ １ １ ꎬ ꎬ ２ ꎬ ( 所 １ 以 ８ ｘ２ ０ ｘ ＋ １ １ ９ ＋ ｙ ｘ ２ ０ ２ １ ) ＝ ｘ １ ２ ８ － ｘ ２ ２ ２ ０ ４ ４ ＋ ｘ ２ ｘ ９ ０ ０ ｙ ｘ ２ ２ ０ ＋ ꎬ ８ ｘ － １ ｘ １ ２ ８ î ï ï ＝ ｙ ｘ ２ ０ ２ １ ２ ＝ ８ ８ ＋ － ｘ ０ ｙ ２ ０ ｘ １ ꎬ ＋ ２ ８ ＝ ９ ｙ ｙ ２ ０ １ ２ ０ ꎬ ｘ２ 第 十 章 圆 锥
２ 因为ｘ２ ｙ２ ２ ꎬ所以ｘ ｘ ２４ ０ ꎬｘ ｘ １８ ０－４ꎬ 曲
( )证明:因为直线ＡＢ与以ＯＡ为直径的圆的一个交点在圆Ｏ ０＋ ０＝ １＋ ２＝ ｘ２ １ ２＝ ｘ２ 线
２ ３ ６＋９ ０ ６＋９ ０
１ ９１
ＯＡ ２ ＯＢ ２ ＡＢ ２ ( ＯＭ ２ ＡＭ ２) ( ＯＭ ２ ＢＭ ２) ( ＡＭ
｜ ｜ ＋｜ ｜ －｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ＋｜ ｜ ＋ ｜ ｜ ＋｜ ｜ － ｜ ｜ ６ꎬ即 ｍ２ ｋ２ .
ＢＭ )２ ３ －２ －２＝０
＋｜ ｜ ３
{ｙ ｋｘ ｍꎬ
ＯＭ ２ ＡＭ ＢＭ ４ ＡＭ ＢＭ ＝ ＋
＝ ＝ ２ ３ ４ ｜ －２ é ë ê ê ｜ － １ ２ ＋ ｜ æ è ç － ｘ ｙ ｜ ０ ｜ ö ø ÷ ２ ｜ ｘ ｜ ２ ＝ － ｘ ３ ０｜ － ù û ú ú ２ ｜ é ë ê ê ｜｜ １＋ æ è ç － ｜ ｘ ｙ ０ ö ø ÷ ２ ｜ ｘ ０－ ｘ １｜ ù û ú ú 由 所以 ｘ ２ ２ ｘ ＋ ｙ ｘ ２ ＝１ － 得 ４ ( ｋｍ ２ ｋ ꎬ ２ ｘ ＋１ ｘ )ｘ２ ２ ＋ ｍ ４ ２ ｋ － ｍ ２ ｘ ꎬ ＋２ ｍ２ －２＝０ ꎬ
＝ ３ ４ －２ é ë êê é １＋ æ è ç æ － ｘ ｙ ｘ ０ ０ ö ø ÷ ö ０ ２ ２ ù û úú ù [ æ － ｘ １ ｘ ｘ ２ ２ ＋ (ｘ １＋ ｘ ２ ｘ ) ２ ｘ ０－ ｘ ö ２ ０ ] ０ 则ｙ １＋ ｙ １＋ ２＝ ２ ｋ ＝ ( ２ ｘ ｋ １＋ ２ ＋ ｘ ２ １ ) ＋ １ ２ ｍ ２＝ ＝ ２ ２ ｋ ｋ ２ ２ ２ ｍ ＋ ＋ １ １ ꎬ
＝
３
４ －２ë êê １＋è ç －ｙ ０
０
ø ÷ û úú è ç － １
６
８
＋９
０－ ｘ２
０
４ ＋
６
２
＋
４
９
ｘ ０ ２
０
－ ｘ２ ０ø ÷ ｙ
１
ｙ
２＝
(ｋｘ
１＋
ｍ)(ｋｘ
２＋
ｍ)
＝
ｋ２ｘ
１
ｘ
２＋
ｍｋ(ｘ
１＋
ｘ
２
)
＋
ｍ２
＝
ｍ２
ｋ
－
２
２ ｋ２ ꎬｘ
１
ｘ
２
ｘ４ ２ ＋１
４ ２ ４－９ ０ ｍ２ ｍ２ ｋ２ ｍ２ ｋ２
＝ －２ ｘ２ ｘ２ ｙ ｙ ２ －２ －２ ３ －２ －２ ꎬ
３ ２－３ ０ ６＋９ ０ ＋ １ ２＝ ｋ２ ＋ ｋ２ ＝ ｋ２ ＝０
２ ＋１ ２ ＋１ ２ ＋１
４ ４ 设Ｐ(ｘꎬｙ)是以ＡＢ为直径的圆Ｎ上的任意一点ꎬ
＝ －
３ ３
. 由→ＰＡＰ→Ｂ ꎬ得(ｘ ｘ )(ｘ ｘ ) (ｙ ｙ )(ｙ ｙ ) ꎬ
＝０ ＝０ － １ － ２ ＋ － １ － ２ ＝０
所以 ｜ ＯＡ ｜ ２ ＋｜ ＯＢ ｜ ２ ＝｜ ＡＢ ｜ ２ꎬ即ＯＡ ⊥ ＯＢꎬ故以ＡＢ为直径的圆过 化简得ｘ２ ＋ ｙ２ － (ｘ １＋ ｘ ２ )ｘ － (ｙ １＋ ｙ ２ )ｙ ＋ ｘ １ ｘ ２＋ ｙ １ ｙ ２＝０ ꎬ
点Ｏ. ｋｍ ｍ
故圆Ｎ的方程为ｘ２ ｙ２ ４ ｘ ２ ｙ ꎬ它过定点Ｏ.
综上ꎬ以ＡＢ为直径的圆过点Ｏ. ＋ ＋ ｋ２ － ｋ２ ＝０
２ ＋１ ２ ＋１
解法三:( )同解法一. æ ö
１ ( ) 当直线 ＡＢ 垂直于 ｘ 轴时ꎬ 不妨令 Ａ ç ６ꎬ ６÷ꎬ
( )证明:因为直线ＡＢ与以ＯＡ为直径的圆的一个交点在圆Ｏ ｉｉ è ø
２ ３ ３
上ꎬ所以直线ＡＢ与圆Ｏ相切. æ ö
Ｂç ６ꎬ ６÷ꎬ此时Ｏ→ＡＯ→Ｂ ꎬ所以ＯＡ ＯＢꎬ故以ＡＢ为直径
( )当直线ＡＢ不垂直于ｘ轴时ꎬ设直线ＡＢ的方程为ｙ ｋｘ ｍꎬ è － ø ＝０ ⊥
ｉ ＝ ＋ ３ ３
Ａ(ｘ ꎬｙ )ꎬＢ(ｘ ꎬｙ ). 的圆过点Ｏ.
１ １ ２ ２
ｍ 综上ꎬ以ＡＢ为直径的圆过点Ｏ.
因为ＡＢ与圆Ｏ相切ꎬ所以点Ｏ到直线ＡＢ的距离为 ｜ ｜
＝
ｋ２
＋１
年
高
考
年 模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ９２
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P248
ｘ２ ｙ２
１.(２０２２ ５３原创题)已知Ｆ Ｆ 分别为椭圆Ｃ 的 答案 １５ꎻ１５
１ꎬ ２ : ＋ ＝１
４ ３ ４ ４
左 右焦点 Ｐ Ｑ两点均在椭圆Ｃ上 点Ａ 则下列判断 ｘ２ ｙ２
、 ꎬ ꎬ ꎬ (１ꎬ１)ꎬ ４.(２０２２５３原创题)已知椭圆Ｃ ａ ｂ 的左 右
正确的是 :ａ２ ＋ｂ２ ＝１( > >０) 、
( )
若点Ａ 恰为弦ＰＱ的中点 则直线ＰＱ的斜率为 焦点分别为Ｆ Ｆ 点 Ａ 为椭圆 Ｃ 上位于 ｘ 轴上方的动点
Ａ. (１ꎬ１) ꎬ －１ １、 ２ꎬ ꎬ
ＰＦ ＰＡ 的最大值为 ＡＦ Ｆ 面积的最大值为 ＡＦ Ｆ 的内心为点Ｉ 延长ＡＩ与
Ｂ.｜ １｜＋｜ ｜ ３ △ １ ２ １ꎬ△ １ ２ ꎬ
Ｃ.｜ ＰＦ １｜＋｜ ＰＡ ｜ 的最小值为 ３ ｘ轴交于点Ｍ ꎬ ｜ Ｉ Ａ Ｍ Ｉ ｜ ＝ ２ .
若直线ＰＱ过Ｃ的左焦点 则 ＰＱ 的最小值为 ｜ ｜
Ｄ. ꎬ ｜ ｜ ２ ３ 求椭圆的标准方程
答案 Ｃ (１) ꎻ
若ＡＦ 的延长线与椭圆交于点Ｂ 直线ＡＤ与椭圆的另一
２.(多选)(２０２２ ５３原创题)设Ｆ Ｆ 分别为椭圆
ｘ２ ｙ２ (
个
２
交
)
点为点
２
Ｄ 且原点Ｏ是 ＡＢＤ的重
ꎬ
心 求 ＡＢＤ面积的最
１ꎬ ２ ＋ ＝１ ꎬ △ ꎬ △
２５ ９ 大值.
的左 右焦点 点Ｐ为椭圆上任意一点 则
、 ꎬ ꎬ ( )
Ａ. 存在点Ｐ ꎬ 使得 ｜ ＰＦ １｜＝７ 成立 解析 ( １ )Ｓ △ ＡＦ １ Ｆ ２ ＝
２
１ ｜ Ｆ １ Ｆ ２ ｜ ｜ ｙ Ａ ｜ ＝ ｃ ｜ ｙ Ａ ｜ ≤ ｂｃ(ｃ ＝
存在点Ｐ 使得 Ｆ ＰＦ °成立
Ｂ. ꎬ ∠ １ ２＝９０ ａ２ ｂ２)ꎬ因为 ＡＦ Ｆ 面积的最大值为 ꎬ所以 ｂｃ .
Ｃ. 存在点Ｐ ꎬ 使得 ｜ Ｐ→Ｆ １｜｜ Ｐ→Ｆ ２｜＝７ 成立 ＡＦ － Ｆ 的 内 心 △ 为 １ 点 ２ Ｉꎬ 则 ｜ ＡＩ ｜ ｜ ＡＦ １ １ ｜ ｜ ＡＦ ２｜ ＝ １
Ｄ.
存
答
在
案
点
Ａ
Ｐ
Ｂ ꎬ
使
Ｄ
得Ｐ→Ｆ
１
Ｐ→Ｆ
２＝－７
成立 △
ＡＦ
１ ２
ＡＦ ａ ａ ｜
Ｉ
{
Ｍ
ｂｃ ｜ ＝
＝
１ ꎬ ｜
Ｆ
１
Ｍ
｜ {
＝
ｂ ｜
Ｆ
ꎬ ２
Ｍ
｜
＝
３.(２０２２ ５３原创题)设椭圆
ｘ２ ｙ２
的左 右焦点分别为
｜
Ｆ Ｍ
１｜＋｜
Ｆ Ｍ
２｜
＝
２
ｃ＝ ｃ ＝ ２
ꎬ联立 ａ２
＝
ｂ２
＋
ｃ２ꎬ得
ａ
＝１
ꎬ
故椭
＋ ＝１ 、 ｜ １ ｜＋｜ ２ ｜ ２ ａ ｃꎬ ＝ ２
４ ３ ＝ ２
Ｆ Ｆ 点Ｐ在椭圆上 直线ＰＯ Ｏ为原点 与圆Ｏ ｘ２ ｙ２ 交 ｘ２
１ꎬ ２ꎬ ꎬ ( ) : ＋ ＝７ 圆的标准方程为 ｙ２ .
＋ ＝１
于Ｍ Ｎ两点 若满足Ｐ→Ｆ Ｐ→Ｆ ９ 则 ＰＦ ＰＦ 的值为 ２
ꎬ ꎬ １ ２＝
４
ꎬ ｜ １｜｜ ２｜ (
２
)因为原点Ｏ是
△
ＡＢＤ的重心ꎬ所以Ｓ
△ ＡＢＤ＝３
Ｓ
△ ＯＡＢ
ꎬ由Ａ在ｘ
ＰＭ ＰＮ 的值为 . 轴上方ꎬ可知直线ＡＦ 的斜率不为 ꎬ设直线ＡＦ 的方程为ｘ
ꎬ｜ ｜｜ ｜ ２ ０ ２ ＝
ｔｙ ＋１ ꎬ由 { ｘ ｘ ２ ２ ＋ ｔｙ ｙ２ ＝１ ꎬ ⇒ (ｔ２ ＋２ )ｙ２ ＋２ ｔｙ －１＝０ ꎬ得 ì í ï ï ï ï ｙ ｙ １ ｙ ＋ ｙ ２＝ － ｔ － ２ １ ＋ ２ ꎬ ２ ｔ ꎬ 所 ３ ２ ｔ２ ( ＋ １ ２ ＋ ｔ２) ＝ １＋ ｔ ３ ２ ＋ ２ １ ｔ２ ≤ ３ ２ ２ꎬ当且仅当ｔ ＝０ 时取等号ꎬ
＝ ＋１ î １ ２＝ｔ２ １＋
＋２
以
｜
ＡＢ
｜＝ １＋
ｔ２
｜
ｙ
１－
ｙ
２｜＝
２ ２
ｔ
(
２
１＋ ｔ２) ꎬ设原点Ｏ到直线ＡＦ
２
的 则 △ ＡＢＤ面积的最大值为３
２
２ꎬ此时直线ＡＢ的方程为ｘ ＝１ .
＋２
距离为ｄꎬ则 ｄ １ ꎬ则 Ｓ Ｓ １ ＡＢ ｄ
＝
１＋
ｔ２ △ ＡＢＤ＝３ △ ＯＡＢ＝３×
２
×｜ ｜× ＝
第
十
章
圆
锥
曲
线
１ ９３
