文档文本内容
10.4 直线与圆锥曲线的位置关系
考点清单
学生用书P90 知识结构化 考点清单化
考点 直线与圆锥曲线的位置关系 当直线过抛物线的焦点时 可利用抛物线的焦点弦公式求
(３) ꎬ
解弦长.
１.直线与圆锥曲线的位置关系的判断
３.圆锥曲线中的中点弦的有关结论
判断直线ｌ与圆锥曲线ｒ的位置关系时 通常将直线ｌ的方程
ꎬ 设ＡＢ为圆锥曲线的弦 点Ｍ ｘ ｙ 为弦ＡＢ的中点 Ｏ为坐标
Ａｘ Ｂｙ Ｃ 代入圆锥曲线ｒ的方程Ｆ ｘ ｙ .消去ｙ 或ｘ ꎬ ( ０ꎬ ０) ꎬ
＋ ＋ ＝０ ( ꎬ )＝ ０ ( ) 原点
得到一个关于变量ｘ 或ｙ 的方程ａｘ２ ｂｘ ｃ 或ａｙ２ ｂｙ ｃ :
( ) ＋ ＋ ＝０( ＋ ＋ ＝ 标准方程 结论
.
０)
当ａ 时 Δ 时 直线ｌ与曲线ｒ相交 Δ 时 直线ｌ
ｘ２ ｙ２
(ａ ｂ ) ｋ ｋ
ｂ２
(１) ≠０ ꎬ >０ ꎬ ꎻ ＝０ ꎬ ａ２＋ｂ２ ＝１ > >０ ＡＢ ＯＭ＝－ａ２
与曲线ｒ相切 Δ 时 直线ｌ与曲线ｒ相离.
ꎻ <０ ꎬ ｙ２ ｘ２ ａ２
当ａ 时 ｌ与ｒ相交 且只有一个交点 此时 若ｒ为双曲 (ａ ｂ ) ｋ ｋ
(２) ＝０ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ａ２＋ｂ２ ＝１ > >０ ＡＢ ＯＭ＝－ｂ２
线 则直线ｌ与双曲线的渐近线平行 若ｒ为抛物线 则直线ｌ
ꎬ ꎻ ꎬ ｘ２ ｙ２ ｂ２
与抛物线的对称轴平行或重合. ａ２－ｂ２ ＝１ (ａ >０ ꎬｂ >０ ) ｋ ＡＢ ｋ ＯＭ＝ａ２
２.圆锥曲线中的弦长公式
续表
当弦的两端点坐标易求时 可求出两端点坐标 再用两点
(１) ꎬ ꎬ 标准方程 结论
间距离公式直接求解.
若斜率为ｋ的直线与圆锥曲线相交于Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ
ｙ２ ｘ２
(ａ ꎬｂ ) ｋ ｋ
ａ２
(２) ( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２) ａ２－ｂ２ ＝１ >０ >０ ＡＢ ＯＭ＝ｂ２
两个
ｋ
不
２
同
ｘ
的
ｘ
点 ꎬ 则弦
ｋ
长
２
｜ ＡＢ
ｘ
｜ ＝
ｘ ２
( ｘ １
ｘ
－
ｘ
ｘ ２)
或
２ ＋( ｙ １－
Ａ
ｙ
Ｂ
２) ２ ＝ ｙ２
＝２
ｐｘ(ｐ
≠０
) ｋ
ＡＢ＝ｙ
ｐ
１＋ ｜ １－ ２｜ ＝ １＋ ( １＋ ２) －４ １ ２ ｜ ｜ ＝ ０
( ) ( ) ｘ
１ ２ ｙ ｙ １ ２ ｙ ｙ ２ ｙ ｙ ｋ ｘ２ ＝２ ｐｙ(ｐ ≠０ ) ｋ ＡＢ＝ ｐ ０
１＋ ｋ ｜ １－ ２｜ ＝ １＋ ｋ ( １＋ ２) －４ １ ２ ( ≠
.
０)
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
２ ０８
题型方法
学生用书P90 题型经典 方法实用
一、有关位置关系、弦长问题的解题策略 故直线ＡＢ的方程为 ｔｘ ｙ .
２ －２ ＋１＝０
１.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题 可以转 ( )
ꎬ 所以直线ＡＢ过定点 １ .
化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数的 ０ꎬ
２
问题 往往通过消元最终归结为讨论方程解的情况 需要注意
ꎬ ꎬ 由 得直线ＡＢ的方程为ｙ ｔｘ １ .
的是 当直线平行于双曲线的渐近线或直线平行或重合于抛物 (２) (１) ＝ ＋
ꎬ ２
线的对称轴时 ꎬ 直线与双曲线或抛物线有且只有一个交点. ì ï ï ｙ ＝ ｔｘ ＋ １ ꎬ
２
相
.涉
交
及
弦
直
的
线
长
与
弦
圆
所
锥
在
曲
直
线
线
相
的
交
方
弦
程
的问
如
题
中 ꎬ 点
主
弦
要有
相
以
交
下
弦
几
等
种情
弦
形
的 :
由í
ï ïｙ ｘ２
２ 可得ｘ２
－２
ｔｘ
－１＝０
.
ꎻ ( 、 )、 î ＝
中点的轨迹等 可以利用 设点代点 设而不求 设交点坐标 ２
将交点坐标代
ꎬ
入曲线方程
“
ꎬ 不是求出
、
具体坐标
”
ꎬ
(
而是利用坐标
ꎬ 于是ｘ
１＋
ｘ
２＝２
ｔ
ꎬ
ｘ
１
ｘ
２＝－１ꎬ
ｙ
１＋
ｙ
２＝
ｔ
(
ｘ
１＋
ｘ
２)＋１＝２
ｔ２
＋１ꎬ｜
ＡＢ
｜ ＝
应满足的关系直接解决问题 的方法解决. ｔ２ ｘ ｘ ｔ２ ｘ ｘ ２ ｘ ｘ ｔ２ .
) １＋ ｜ １－ ２｜＝ １＋ × ( １＋ ２) －４ １ ２ ＝２( ＋１)
例1 (２０１９课标 Ⅲ 理ꎬ２１ꎬ１２分)已知曲线Ｃ : ｙ ＝
ｘ２
ꎬ Ｄ为直线
设ｄ
１ꎬ
ｄ
２
分别为点Ｄ
ꎬ
Ｅ到直线ＡＢ的距离
ꎬ
则ｄ
１＝
ｔ２
＋１ꎬ
ｄ
２
２ ２ .
＝
ｙ １ 上的动点 过Ｄ作Ｃ的两条切线 切点分别为Ａ Ｂ. ｔ２ ＝－ ꎬ ꎬ ꎬ ＋１
２
证明 直线ＡＢ过定点 因此 四边形 ＡＤＢＥ 的面积 Ｓ １ ＡＢ ｄ ｄ ｔ２ (１) : ꎻ ꎬ ＝ ｜ ｜ ( １ ＋ ２)＝ ( ＋
( ) ２
若以Ｅ ５ 为圆心的圆与直线ＡＢ相切 且切点为线段 ｔ２ .
(２) ０ꎬ ꎬ ３) ＋１
２ ( )
ＡＢ的中点 求四边形ＡＤＢＥ的面积. 设Ｍ为线段ＡＢ的中点 则Ｍ ｔ ｔ２ １ .
ꎬ ꎬ ꎬ ＋
( ) ２
解析 (１) 证明 : 设Ｄ ｔ ꎬ－ ２ １ ꎬ Ａ ( ｘ １ꎬ ｙ １)ꎬ 则ｘ２ １＝２ ｙ １ . 由于Ｅ→Ｍ ⊥ →ＡＢ ꎬ 而Ｅ→Ｍ ＝( ｔ ꎬ ｔ２ －２)ꎬ →ＡＢ与向量 (１ꎬ ｔ ) 平行 ꎬ 所以ｔ ＋
ｔ２ ｔ .
( －２) ＝０ ｙ １
由于ｙ′ ｘ 所以切线ＤＡ的斜率为ｘ 故 １＋ ２ ｘ .整理得 ｔｘ 解得ｔ ＝０ 或ｔ ＝±１ .
＝ ꎬ １ꎬ ｘ ｔ ＝ １ ２ １ 当ｔ 时 Ｓ 当ｔ 时 Ｓ .
１－ ＝０ ꎬ ＝３ꎻ ＝±１ ꎬ ＝４ ２
－２ ｙ １＋１＝０ . 因此
ꎬ
四边形ＡＤＢＥ的面积为
３
或
４ ２
.
设Ｂ ｘ ｙ 同理可得 ｔｘ ｙ .
( ２ꎬ ２)ꎬ ２ ２－２ ２＋１＝０
二、圆锥曲线中中点弦问题的解题策略 ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
１.点差法 设出弦的两端点坐标后 代入圆锥曲线方程 并将两 Ｃ. － ＝１ Ｄ. － ＝１
: ꎬ ꎬ ６ ３ ５ ４
ｙ ｙ ｘ２ ｙ２
式相减
ꎬ
式中含有ｘ
１＋
ｘ
２ꎬ
ｙ
１＋
ｙ
２ꎬｘ
１－
ｘ
２三个未知量
ꎬ
这样就直接 解析 设双曲线的方程为
ａ２ －ｂ２ ＝１(
ａ
>０ꎬ
ｂ
>０)ꎬ
Ａ
(
ｘ
１ꎬ
ｙ
１)ꎬ
１－ ２
联系了中点坐标和直线的斜率 借用中点坐标公式即可求得 ì ï ｘ２ ｙ２
ꎬ １ １
斜率. ïａ２ －ｂ２ ＝１ꎬ①
Ｂ ｘ ｙ 则í
２.根与系数的关系法 联立直线与圆锥曲线的方程 将其转化 ( ２ꎬ ２)ꎬ ïｘ２ ｙ２
: ꎬ ï ２ ２
为一元二次方程后 由根与系数的关系求解. îａ２ －ｂ２ ＝１ꎬ②
ꎬ
例2 已知双曲线Ｅ的中心为原点
ꎬ
Ｆ
(３ꎬ０)
是Ｅ的焦点
ꎬ
过Ｆ
整理 得
ｙ
１－
ｙ
２
ｂ２ ｘ
１＋
ｘ
２
ｂ２
２×(－１２) ０－(－１５)
的直线ｌ与Ｅ相交于Ａ
ꎬ
Ｂ两点
ꎬ
且ＡＢ的中点为Ｎ
(－１２ꎬ－１５)ꎬ
①－② ꎬ ｘ
１－
ｘ
２
＝ａ２ｙ
１＋
ｙ
２
＝ａ２
２×(－１５)
＝
３－(－１２)
＝
则Ｅ的方程为
( ) 即
ｂ２
５ .只有 项符合题意.故选 .
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ １ꎬ ａ２ ＝ Ｂ Ｂ
４
Ａ. － ＝１ Ｂ. － ＝１ 答案 Ｂ
３ ６ ４ ５
第
十
章
圆
锥
曲
线
２ ０９
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点 直线与圆锥曲线的位置关系 ＯＢ ＯＦ
Ｂ.｜ ｜＝｜ ｜
ＡＢ ＯＦ
学生用书P258 Ｃ.｜ ｜>４｜ ｜
ＯＡＭ ＯＢＭ °
１.(２０１５四川ꎬ５ꎬ５分ꎬ基础性)过双曲线ｘ２
－
ｙ２
＝１
的右焦点且 Ｄ.∠
答案
＋
Ａ
∠
ＣＤ
<１８０
３
与ｘ轴垂直的直线 交该双曲线的两条渐近线于Ａ Ｂ两点 则 ｘ２ ｙ２
ꎬ ꎬ ꎬ ６.(２０１５湖南ꎬ１３ꎬ５分ꎬ综合性)设Ｆ是双曲线Ｃ 的
ＡＢ
:ａ２ －ｂ２ ＝１
｜ ｜＝ ( )
一个焦点.若Ｃ上存在点Ｐ 使线段ＰＦ的中点恰为其虚轴的一
ꎬ
４ ３ 个端点 则Ｃ的离心率为 .
Ａ. Ｂ.２ ３ Ｃ.６ Ｄ.４ ３ ꎬ
３
答案 Ｄ 答案
５
２.(２０１４天津ꎬ５ꎬ５分ꎬ基础性)已知双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ ７.(２０２１浙江ꎬ１６ꎬ６分ꎬ综合性)已知椭圆
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ
ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ > ａ２ ＋ｂ２ ＝１( > >０)ꎬ
( )
的一条渐近线平行于直线ｌ ｙ ｘ 双曲线的一个焦点在 ２
０) : ＝２ ＋１０ꎬ 焦点Ｆ ｃ Ｆ ｃ ｃ .若过Ｆ 的直线和圆 ｘ １ ｃ
直线ｌ上 则双曲线的方程为 １(－ ꎬ０)ꎬ ２( ꎬ０)( >０) １ － ＋
ꎬ ( ) ２
.
ｘ２ ｙ２
.
ｘ２ ｙ２ ｙ２
＝
ｃ２ 相切
ꎬ
与椭圆在第一象限交于点Ｐ
ꎬ
且ＰＦ
２⊥
ｘ轴
ꎬ
则该直
Ａ － ＝１ Ｂ － ＝１ 线的斜率是 椭圆的离心率是 .
５ ２０ ２０ ５ ꎬ
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
.３ ３ .３ ３ 答案 ２ ５ꎻ ５
Ｃ － ＝１ Ｄ － ＝１
２５ １００ １００ ２５ ５ ５
答案 Ａ ８.(２０２０新高考 ꎬ１３ꎬ５分ꎬ综合性)斜率为 的直线过抛物线
Ⅰ ３
３.(２０１８课标 Ⅰ 理ꎬ８ꎬ５分ꎬ综合性)设抛物线Ｃ : ｙ２ ＝４ ｘ的焦点 Ｃ : ｙ２ ＝４ ｘ的焦点 ꎬ 且与Ｃ交于Ａ ꎬ Ｂ两点 ꎬ 则 ｜ ＡＢ ｜＝ .
为Ｆ ꎬ 过点 (－２ꎬ０) 且斜率为 ２ 的直线与Ｃ交于Ｍ ꎬ Ｎ两点 ꎬ 则 答案 １６
３ ３
Ｆ→Ｍ Ｆ→Ｎ ｘ２ ｙ２
＝ ( ) ９.(２０１９浙江ꎬ１５ꎬ４分ꎬ综合性)已知椭圆 的左焦点
＋ ＝１
Ａ.５ Ｂ.６ Ｃ.７ Ｄ.８ ９ ５
答案 Ｄ 为Ｆ 点Ｐ在椭圆上且在ｘ轴的上方.若线段ＰＦ的中点在以原
ꎬ
４.(多选)(２０２２新高考 ꎬ１１ꎬ５ 分ꎬ综合性)已知Ｏ为坐标原 点 Ｏ 为 圆 心 ＯＦ 为半径 的 圆 上 则 直 线 ＰＦ 的 斜
Ⅰ ꎬ ｜ ｜ ꎬ
点
ꎬ
点Ａ
(１ꎬ１)
在抛物线Ｃ
:
ｘ２
＝２
ｐｙ
(
ｐ
>０)
上
ꎬ
过点Ｂ
(０ꎬ－１)
的 率是 .
直线交Ｃ于Ｐ Ｑ两点 则 答案
ꎬ ꎬ ( ) １５
Ｃ的准线为ｙ １０.(２０２２全国甲ꎬ理２０ꎬ文２１ꎬ１２分ꎬ综合性)设抛物线Ｃ ｙ２
Ａ. ＝－１ : ＝
直线ＡＢ与Ｃ相切 ｐｘ ｐ 的焦点为Ｆ 点Ｄ ｐ 过Ｆ的直线交Ｃ于Ｍ Ｎ两
Ｂ. ２ ( >０) ꎬ ( ꎬ０)ꎬ ꎬ
ＯＰ ＯＱ ＯＡ ２ 点.当直线ＭＤ垂直于ｘ轴时 ＭＦ .
Ｃ.｜ ｜｜ ｜>｜ ｜ ꎬ｜ ｜＝３
ＢＰ ＢＱ ＢＡ ２ 求Ｃ的方程
Ｄ.｜ ｜｜ ｜>｜ ｜ (１) ꎻ
答案 ＢＣＤ 设直线 ＭＤ ＮＤ 与 Ｃ 的另一个交点分别为 Ａ Ｂ 记直线
(２) ꎬ ꎬ ꎬ
５.(多选)(２０２２新高考 ꎬ１０ꎬ５ 分ꎬ综合性)已知Ｏ为坐标原 ＭＮ ＡＢ的倾斜角分别为α β.当α β取得最大值时 求直线ＡＢ
Ⅱ ꎬ ꎬ － ꎬ
点 过抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 焦点Ｆ的直线与Ｃ交于Ａ Ｂ两 的方程.
ꎬ : ＝２ ( >０) ꎬ
点 其中Ａ在第一象限 点Ｍ ｐ .若 ＡＦ ＡＭ 则 ( ｐ ) ｐ
ꎬ ꎬ ( ꎬ０) ｜ ｜＝｜ ｜ꎬ 解析 ( )由题意知Ｆ ꎬ ꎬ所以 ＤＦ ꎬ １ ０ ｜ ｜＝
( ) ２ ２
直线ＡＢ的斜率为 当ＭＤ ｘ轴时ꎬ点Ｍ的坐标为(ｐꎬ ｐ)ꎬ ＭＤ ｐ.
Ａ. ２ ６ ⊥ ± ２ ｜ ｜＝ ２
在 Ｒｔ△ ＭＤＦ 中ꎬ ｜ ＭＦ ｜ ２ ＝ ｜ ＭＤ ｜ ２ ＋｜ ＤＦ ｜ ２ꎬ即 ３ ２ ＝ ( ２ ｐ)２ ＋ 则ｘ ｘ ４ ｋｍ ꎬｘ ｘ ２ ｍ２ ＋２ꎬ
( ｐ ) ２ ꎬ得ｐ２ ꎬ又ｐ ꎬ所以ｐ . １＋ ２＝ １－２ ｋ２ １ ２＝－ １－２ ｋ２
＝４ >０ ＝２ ｙ ｙ
２ ｋ １－１ꎬｋ ２－１ꎬ
所以抛物线Ｃ的方程为ｙ２ ｘ. ＰＡ＝ｘ ＱＡ＝ｘ
＝４ １－２ ２－２
( )设Ｍ(ｘ ꎬｙ )ꎬＮ(ｘ ꎬｙ )ꎬＡ(ｘ ꎬｙ )ꎬＢ(ｘ ꎬｙ )ꎬ直线ＭＮ的 ｙ ｙ
２ １ １ ２ ２ ３ ３ ４ ４ 由ｋ ｋ ꎬ得 １－１ ２－１ ꎬ
方程为ｘ ｍｙ ꎬ ＰＡ＋ ＱＡ＝０ ｘ ＋ｘ ＝０
＝ ＋１ １－２ ２－２
化简得 ｋｘ ｘ (ｍ ｋ )(ｘ ｘ ) (ｍ ) ꎬ
２ １ ２＋ －２ －１ １＋ ２ －４ －１ ＝０
æ ｍ２ ö ｋｍ
即 ｋç ２ ＋２÷ (ｍ ｋ ) ４ (ｍ ) ꎬ
２ è－ ｋ２ ø＋ －２ －１ ｋ２ －４ －１ ＝０
１－２ １－２
化简得( ｋ ｍ )(ｋ ) ꎬ
２ ＋ －１ ＋１ ＝０
ｋ ｍ 或ｋ .
∴２ ＋ －１＝０ ＋１＝０
若 ｋ ｍ ꎬ则ｌ:ｙ ｋ(ｘ ) ꎬ
２ ＋ －１＝０ ＝ －２ ＋１
{ｘ ｍｙ ꎬ 这时直线ｌ过点Ａꎬ不合题意ꎬ
由 ＝ ＋１ 得ｙ２ ｍｙ ꎬ ｋ ꎬ ｋ .
ｙ２ ｘ －４ －４＝０ ∴ ＋１＝０ ∴ ＝－１
＝４ ( )由( )知ｋ ꎬ从而ｌ:ｙ ｘ ｍꎬ
Δ ｍ２ 恒成立ꎬ且ｙ ｙ . ２ １ ＝－１ ＝－ ＋
１＝１６ ＋１６>０ １ ２＝－４ 设直线ＰＡ的倾斜角为αꎬ直线ＱＡ的倾斜角为βꎬ
ｙ ｙ ｙ ｙ
由斜率公式可得ｋ １－ ２ １－ ２ ４ ꎬ同理ｋ ４ .
ＭＮ＝ｘ
１－
ｘ
２
＝ｙ２
１
ｙ２
２
＝ｙ
１＋
ｙ
２
ＡＢ＝ｙ
３＋
ｙ
４
－
４ ４
ｘ
直线 ＭＤ 的方程为 ｘ １－２ｙ ꎬ代入 ｙ２ ｘ 中可得 ｙ２
＝ ｙ ＋２ ＝４ －
１
(ｘ )
４ １－２ ｙ .
ｙ －８＝０
１
Δ 且ｙ ｙ ꎬ所以ｙ ｙ ꎬ
２>０ １ ３＝－８ ３＝２ ２
同理ｙ ｙ ꎬ
４＝２ １ 则 ＰＡＱ α βꎬ
所以ｋ ＡＢ＝ｙ ４ ｙ ＝ｙ ２ ｙ ＝ ｋ ＭＮꎬ ∠ (α ＝ β) － ꎬ即 ｋ ＰＡ－ ｋ ＱＡ ꎬ
３＋ ４ １＋ ２ ２ ∴ ｜ｔａｎ － ｜＝２ ２ ｋ ｋ ＝２ ２
又因为直线ＭＮꎬＡＢ的倾斜角分别为αꎬβꎬ １＋ ＰＡ ＱＡ
所以ｋ β ｋ ＭＮ ｔａｎ α ꎬ 由题意知ｋ ＱＡ＝－ ｋ ＰＡ ꎬ解得ｋ２ＰＡ＝２ 或ｋ２ＰＡ＝ １ .
ＡＢ＝ｔａｎ ＝ ＝ ２
２ ２
若要使 α β 最 大 ꎬ则 β ( ꎬπ ) . 双曲线Ｃ的渐近线斜率为 ２ꎬ
－ ∈ ０ ∵ ±
２ ２
设
ｋ
ｋ
ｋ
ꎬｋ
ꎬ则
(
α β) ｔａｎ
α
－ｔａｎ
β ｋ
∴
ｋ２ＰＡ＝２ ꎬ由对称性可取ｋ
ＰＡ＝－ ２
ꎬ则ｋ
ＱＡ＝ ２
ꎬ
ＭＮ＝２ ＡＢ＝２ >０ ｔａｎ － ＝ １＋ｔａｎ α ｔａｎ β＝ １＋２ ｋ２ ＝ ∴ 直线ＰＡ的方程为ｙ ＝－ ２ (ｘ －２ ) ＋１ ꎬ
{
１ １ ２ꎬ当且仅当 １ ｋꎬ即ｋ ２时ꎬ等号 ｙ ＝－ ２ (ｘ －２ ) ＋１ ꎬ
１ ｋ ＋２ ｋ ≤ ２ １ ｋ ２ ｋ ＝ ４ ｋ ＝２ ＝ ２ 联立 ｘ２ － ｙ２ ＝１ ꎬ
２
成立ꎬ
得ｘ １０＋４ ２ꎬ
所以当α
－
β最大时ꎬ设直线ＡＢ的方程为ｘ
＝ ２
ｙ
＋
ｎꎬ １＝
３
{
ｘ ｙ ｎꎬ
由 ＝ ２ ＋ 得ｙ２ ｙ ｎ ꎬ 同理ꎬｘ １０－４ ２ꎬ
ｙ２ ｘ －４ ２ －４ ＝０ ２＝
＝４ ３
则ｙ ｙ ｎ ｙ ｙ . ( )
所以
３
ｎ
４＝－
ꎬ
４
所
＝
以
４
直
１
线
２＝
Ａ
－
Ｂ
１
的
６
方程为ｘ ｙ . ∴ ｜
ＰＡ
｜＝ １＋
ｋ２ＰＡ
｜
ｘ
１－２｜＝
４ ３ ２＋１ ꎬ
＝４ － ２ －４＝０ ３
１１.(２０２２新高考 ꎬ２１ꎬ１２分ꎬ综合性)已知点Ａ 在双曲 ( )
年 ｘ２ ｙ２ Ⅰ (２ꎬ１) ｜ ＱＡ ｜＝ １＋ ｋ２ＱＡ ｜ ｘ ２－２｜＝ ４ ３ ２－１ ꎬ
高 线Ｃ ａ 上 直线ｌ交Ｃ于Ｐ Ｑ两点 直线ＡＰ ３
考
:ａ２ －ａ２
－１
＝１( >１) ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
由 ＰＡＱ 得 ＰＡＱ ２ ２ꎬ
ＡＱ的斜率之和为 . ｔａｎ∠ ＝２ ２ ｓｉｎ∠ ＝
年 ０ ３
求ｌ的斜率
模 (１) ꎻ Ｓ １ ＰＡ ＱＡ ＰＡＱ
拟 若 ＰＡＱ 求 ＰＡＱ的面积. ∴ △ ＰＡＱ＝ ｜ ｜｜ ｜ｓｉｎ∠
(２) ｔａｎ∠ ＝２ ２ꎬ △ ２
( ) ( )
解析 ( ) 点Ａ在双曲线上ꎬ ４ １ ꎬ １ ４ ３ ２＋１ ４ ３ ２－１ ２ ２ １６ ２.
１ ∵ ∴ ａ２ －ａ２ ＝１ ＝ × × × ＝
－１ ２ ３ ３ ３ ９
︵ 解得ａ２ . Ｃ的方程为
ｘ２
ｙ２ . １２.(２０２０天津ꎬ１８ꎬ１５分ꎬ综合性)已知椭圆
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ
教 ＝２∴ － ＝１① ａ２ ＋ｂ２ ＝１( > >
２
师 设直线ｌ:ｙ ｋｘ ｍ. 的一个顶点为Ａ 右焦点为Ｆ 且 ＯＡ ＯＦ 其中
用 ＝ ＋ ② ０) (０ꎬ－３)ꎬ ꎬ ｜ ｜＝｜ ｜ꎬ
书 联立 ①② ꎬ消去ｙ得( １－２ ｋ２)ｘ２ －４ ｋｍｘ －２ (ｍ２ ＋１ ) ＝０ . Ｏ为原点.
︶ 设Ｐ(ｘ ꎬｙ )ꎬＱ(ｘ ꎬｙ )ꎬ 求椭圆的方程
１ １ ２ ２ (１) ꎻ
２ １０
( 点 ２) 已 直 知 线 点 ＡＢ Ｃ满 与 足 以 ３ Ｃ Ｏ→ 为 Ｃ 圆 ＝ Ｏ→ 心 Ｆ 的 ꎬ 点 圆 Ｂ 相 在 切 椭 于 圆 点 上 Ｐ ( Ｂ 且 异 Ｐ 于 为 椭 线 圆 段 的 Ａ 顶 Ｂ æ è ç ２ ｋ １ ２ ２ ＋ ｋ １ ꎬ６ ２ ｋ ｋ ２ ２ － ＋ ３ １ ö ø ÷.因为Ｐ为线段ＡＢ的中点ꎬ点Ａ的坐标为( ０ ꎬ
)ꎬ ꎬ
的中点.求直线ＡＢ的方程. )ꎬ所以点Ｐ的坐标为 æ ç ６ ｋ ꎬ －３ ö ÷.由 Ｏ→Ｃ Ｏ→Ｆꎬ得点 Ｃ
解析 ( )由已知可得 ｂ .记半焦距为 ｃꎬ由 ＯＦ
－３ è
２
ｋ２
＋１ ２
ｋ２
＋１
ø ３ ＝
１ ＝３ ｜ ｜ ＝
ＯＡ 可得ｃ ｂ .又由ａ２ ｂ２ ｃ２ꎬ可得ａ２ .所以椭圆的方程 －３
｜
ｘ２
｜
ｙ２
＝ ＝３ ＝ ＋ ＝１８
的坐标为( ꎬ )ꎬ故直线ＣＰ的斜率为２
ｋ２
＋１
－０
ꎬ即 ３ .又
为
＋ ＝１
. １ ０
６
ｋ
２
ｋ２
－６
ｋ
＋１
(
１
)
８
因为
９
直线 ＡＢ 与以 Ｃ 为圆心的圆相切于点 Ｐꎬ所以 ＡＢ ２
ｋ２
＋１
－１
２ ⊥
ＣＰ.依题意ꎬ直线ＡＢ和直线ＣＰ的斜率均存在.设直线ＡＢ的方 因为ＡＢ ＣＰꎬ所以ｋ ３ ꎬ整理得 ｋ２ ｋ ꎬ解
{ｙ ｋｘ ꎬ ⊥ ２ ｋ２ －６ ｋ ＋１ ＝－１ ２ －３ ＋１＝０
＝ －３
程为ｙ
＝
ｋｘ
－３
.由 ｘ２ ｙ２
ꎬ
消去ｙꎬ可得(
２
ｋ２
＋１
)ｘ２
－１２
ｋｘ
＝
得ｋ
＝
１ 或ｋ
＝１
.
＋ ＝１ ２
１８ ９
ｋ 所以直线ＡＢ的方程为ｙ １ ｘ 或ｙ ｘ .
ꎬ解得 ｘ 或 ｘ １２ .依题意ꎬ可得点 Ｂ 的坐标为 ＝ －３ ＝ －３
０ ＝ ０ ＝ ｋ２ ２
２ ＋１
第
十
章
圆
锥
曲
线
２ １１
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P260
考点 直线与圆锥曲线的位置关系 设过点Ｂ 且斜率为ｋ的直线ｌ与抛物线Ｃ交于不同
(２) (２ꎬ０)
( )
１.(２０２２湖南邵阳一模ꎬ７)双曲线Ｃ : ｘ２ － ｙ２ ＝１ 的左 、 右焦点分 的两点Ｍ ꎬ Ｎ.若Ｂ→Ｍ ＝ λＢ→Ｎ ꎬ λ ∈ １ ꎬ４ ꎬ 求斜率ｋ的取值范围.
４
３
别为Ｆ Ｆ 过Ｆ 作垂直于ｘ轴的直线交双曲线于Ａ Ｂ两点 解析 ( )由题意知 ｐ ꎬ解得ｐ ꎬ所以抛物线Ｃ的方
１ꎬ ２ꎬ ２ ꎬ ꎬ １ ２＋ ＝３ ＝２
ＡＦ Ｆ 的内切圆圆心为Ｏ ＢＦ Ｆ 的内切圆圆心为Ｏ 则 ２
△ 四边形 １ ２ Ｆ Ｏ Ｆ Ｏ 的面积是 １ꎬ△ １ ２ ２ꎬ 程为ｘ２ ｙ.将点Ａ(ｍꎬ ) ｍ 代入ｘ２ ｙ 得ｍ 所以
１ １ ２ ２ ( ) ＝４ ２ ( >０) ＝４ ꎬ ＝２ ２ꎬ
点Ａ的坐标为 .
Ａ.８ Ｂ.６ Ｃ.４ Ｄ.２ (２ ２ꎬ２)
答案 Ｃ {ｙ ｋ ｘ
由题意知直线ｌ ｙ ｋ ｘ 联立得 ＝ ( －２)ꎬ消去ｙ得
２.(２０２１辽宁百校联盟质检ꎬ６)设双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ
(２) : ＝ ( －２)ꎬ ｘ２
＝４
ｙ
ꎬ
:ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ ｘ２ ｋｘ ｋ
－４ ＋８ ＝０ꎬ
>０)
的右焦点为Ｆ
ꎬ
过Ｆ且垂直于ｘ轴的直线与Ｃ相交所得的 由Δ
＝１６
ｋ２
－３２
ｋ
>０ꎬ
解得ｋ
<０
或ｋ
>２
.设Ｍ
(
ｘ
１ꎬ
ｙ
１)ꎬ
Ｎ
(
ｘ
２ꎬ
ｙ
２)ꎬ
弦长为 ４
ｂ２
则Ｃ的离心率为 则ｘ ｘ ｋ ｘ ｘ ｋ Ｂ→Ｍ ｘ ｙ Ｂ→Ｎ ｘ ｙ 由Ｂ→Ｍ
ａ２
＋
ｂ２ ꎬ ( ) １＋ ２＝４ ꎬ １ ２＝８ ꎬ
ｙ
＝( １－２ꎬ １)ꎬ ＝( ２－２ꎬ ２)ꎬ
ｘ２
λＢ→Ｎ得ｙ λｙ 即λ １ 又ｘ２ ｙ ｘ２ ｙ 所以λ １
Ａ. ２ Ｂ.２ Ｃ. ３ Ｄ.３
＝ １＝ ２ꎬ ＝ｙ ꎬ １＝４ １ꎬ ２＝４ ２ꎬ ＝ｘ２ ＝
答案 Ｂ æｘ ö２ ( ) ｘ ( ２ ) ( ) ２
３.(２０２２湖北八市联考ꎬ１５)已知抛物线ｙ２ ＝４ ｘ的焦点为Ｆ ꎬ 点 è ç ｘ １ ２ ø ÷ ∈ １ ４ ꎬ４ ꎬ 则 ｘ １ ２ ∈ －２ꎬ－ ２ １ ∪ １ ２ ꎬ２ ꎬ
Ｍ是抛物线上异于顶点的一点
ꎬ
Ｏ→Ｍ
＝２
Ｏ→Ｎ
(
点 Ｏ 为坐标原
因为(
ｘ
１＋
ｘ
２)
２ ｘ
１
ｘ
２ １６
ｋ２
ｋ 设ｔ
ｘ
１ 则 ｋ ｔ １
点 过点Ｎ作直线ＯＭ的垂线与ｘ轴交于点Ｐ 则 ＯＰ ＭＦ ｘ ｘ ＝ｘ ＋ｘ ＋２＝ ｋ ＝２ ꎬ ＝ｘ ꎬ ２ ＝ ＋ ｔ ＋２ꎬ
)ꎬ ꎬ ２｜ ｜－｜ ｜ １ ２ ２ １ ８ ２
. ( ) ( ) ( ]
＝ 因为 ｔ １ １ 则 ｔ １ ５
答案 ∈ －２ꎬ－ ∪ ꎬ２ ꎬ ＋ ｔ ∈ － ꎬ－２ ∪
３ ２ ２ ２
４.(２０２２辽宁名校联盟二轮复习联考(一)ꎬ２１)已知抛物线Ｃ [ ) ( ] [ )
: ５ 所以ｋ １ ９ 因为ｋ 或ｋ 所以
ｘ２
＝２
ｐｙ
(
ｐ
>０)
的焦点为Ｆ
ꎬ
抛物线上一点Ａ
(
ｍ
ꎬ２)(
ｍ
>０)
到Ｆ ２ꎬ
２
ꎬ ∈ －
４
ꎬ０ ∪ ２ꎬ
４
ꎬ <０ >２ꎬ
( ) ( )
的距离为 .
３ ｋ的取值范围是 １ ９ .
求抛物线Ｃ的方程和点Ａ的坐标 － ꎬ０ ∪ ２ꎬ
(１) ꎻ ４ ４
B组 综合应用题组 学生用书P261
45分钟 55分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共１０分) 为双曲线的左 右焦点 ＰＦ Ｆ 内切圆的半径为 .圆心为点
ꎬ ꎬ△ １ ２ １
ｘ２
１.(２０２２辽宁鞍山一中４月线上模拟ꎬ８)已知点Ｐ为双曲线 Ｉ 若 Ｆ ＩＦ ３ ＯＩ 则双曲线的离心率为
ａ２ ꎬ ∠ １ ２＝ πꎬ｜ ｜＝ ３ꎬ ( ) ４
ｙ２
ａ ｂ 上一点 点Ｐ在第一象限 点Ｆ Ｆ 分别 ５ ３ ２
－ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) ( )ꎬ １ꎬ ２ Ａ. Ｂ. Ｃ. ３ Ｄ. ５
２ ２
答案 Ｂ ì ï
２
ｂ
＝２ ２
ꎬ
２
２
.
ｐ
(
ｘ
２
(
０
ｐ
２
>
２
０)
福
经
建
过
漳
点
州
(
一
１ꎬ
模
－２
ꎬ
)
８
ꎬ
)
直
已
线
知
ｌ
以
: ｙ ＝
Ｆ
ｋ
为
( ｘ
焦
－１
点
) 与
的抛
Ｃ交
物
于
线
Ａ
Ｃ
ꎬ : Ｂ
ｙ２
两 ＝ 解析 ( １ )由题意可知í
ï
ïａ ｃ ＝ ２ꎬ 解得ａ ＝２ ꎬｂ ＝ ２ ꎬ则椭圆
ï ２
点
(
其中点Ａ在ｘ轴上方
)ꎬ
若
｜
ＡＦ
｜＝(３＋２ ２)｜
ＦＢ
｜ꎬ
则ｌ在ｙ îａ２
＝
ｂ２
＋
ｃ２ꎬ
轴上的截距为
( ) 的方程为
ｘ２ ｙ２
.
＋ ＝１
１ ４ ２
Ａ.２ Ｂ.１ Ｃ.－ Ｄ.－１ ( )证明:设Ａ(ｘ ꎬｙ )ꎬＢ(ｘ ꎬｙ )ꎬＱ(ｘꎬｙ)ꎬＰ( ꎬｔ)ꎬ直线ＡＢ的
２ ２ １ １ ２ ２ ４
答案 Ｄ 斜率显然存在ꎬ设为ｋꎬ则ＡＢ的方程为ｙ ｋ(ｘ ) ｔ.因为ＡꎬＰꎬ
＝ －４ ＋
二、多项选择题(每小题５分ꎬ共１０分) ＢꎬＱ四点共线ꎬ所以不妨令ｘ ｘ ｘ ꎬ
２< < １<４
３.(２０２２湖南衡阳八中开学考ꎬ１１)已知抛物线ｙ２
＝２
ｐｘ
(
ｐ
>０) ＡＰ ｋ２( ｘ )ꎬ ＡＱ ｋ２(ｘ ｘ)ꎬ
的焦点为Ｆ 过点Ｆ的直线ｌ交抛物线于Ａ Ｂ两点 以线段ＡＢ ｜ ｜＝ １＋ ４－ １ ｜ ｜＝ １＋ １－
ꎬ ꎬ ꎬ ＱＢ ｋ２(ｘ ｘ )ꎬ ＰＢ ｋ２( ｘ )ꎬ
为直径的圆交ｙ轴于Ｍ Ｎ两点 设线段ＡＢ的中点为Ｐ 则下 ｜ ｜＝ １＋ － ２ ｜ ｜＝ １＋ ４－ ２
ꎬ ꎬ ꎬ 由 ＡＰ ＱＢ ＡＱ ＰＢ 可得( ｘ )(ｘ ｘ ) (ｘ ｘ)(
列说法正确的是 ｜ ｜ ｜ ｜＝｜ ｜ ｜ ｜ ４－ １ － ２ ＝ １－ ４－
( ) ｘ )ꎬ化简可得 ｘ ｘ (ｘ ｘ )( ｘ) ｘ .( )
若抛物线上的点Ｅ ｔ 到点Ｆ的距离为 则抛物线的方 ２ ２ １ ２－ １＋ ２ ４＋ ＋８ ＝０ ∗
Ａ. (２ꎬ ) ４ꎬ {ｘ２ ｙ２
程为ｙ２
＝４
ｘ
联立 ＋ ＝１
ꎬ
消去ｙ并整理得( ｋ２ )ｘ２ ｋ(ｔ ｋ)ｘ
以ＡＢ为直径的圆与准线相切 ４ ２ ２ ＋１ ＋４ －４ ＋
Ｂ. ｙ ｋ(ｘ ) ｔꎬ
线段ＡＢ长度的最小值是 ｐ ＝ －４ ＋
Ｃ. ２ (ｔ ｋ)２ ꎬ
[ ) ２ －４ －４＝０
ＰＭＮ的取值范围为 １ ｋ(ｔ ｋ) (ｔ ｋ)２
Ｄ.ｓｉｎ∠ ꎬ１ 则ｘ ｘ ４ －４ ꎬｘ ｘ ２ －４ －４.代入( )化简得ｘ
２ １＋ ２＝－ ｋ２ １ ２＝ ｋ２ ∗ ＝
答案 ＢＣＤ ２ ＋１ ２ ＋１
ｋｔ ｔ２ ｔ２ ｔ２
４.(２０２１广东广州一模ꎬ９)已知点Ｏ为坐标原点 直线ｙ ｘ ４ ＋２－ ６＋ ꎬ即６＋ ｘꎬ
ꎬ ＝ －１ ｋｔ ＝４－ｋｔ ｋｔ ＝４－
与抛物线Ｃ
:
ｙ２
＝４
ｘ相交于Ａ
ꎬ
Ｂ两点
ꎬ
则
( ) 又ｋ
＋２
ｙ － ｔ ꎬ代入
＋
上
２
式得
＋
６
２
＋ ｔ２ ｘꎬ化简得 ｘ ｔｙ ꎬ所以
ＡＢ ＝ｘ ｙ ｔ ＝４－ ２ ＋ －２＝０
Ａ.｜ ｜＝８ －４ － ｔ
ＯＡ ＯＢ ｘ ＋２
Ｂ. ⊥ －４
ＡＯＢ的面积为 点Ｑ总在一条动直线 ｘ ｔｙ 上ꎬ且该直线过定点( ꎬ ).
Ｃ.△ ２ ２ ２ ＋ －２＝０ １ ０
线段ＡＢ的中点到直线ｘ 的距离为 ｘ２ ｙ２
Ｄ. ＝０ ２ ８.(２０２２山东烟台、德州一模ꎬ２１)已知椭圆Ｃ ａ ｂ
答案 ＡＣ :ａ２ ＋ｂ２ ＝１( >
三、填空题(每小题５分ꎬ共１０分)
的离心率为 ３ 依次连接 Ｃ 的四个顶点所得菱形的面积
ｘ２ ｙ２ >０) ꎬ
５.(２０２２福建漳州一模ꎬ１４)已知椭圆 ａ ｂ Ｆ是 ２
ａ２ ＋ｂ２ ＝１( > >０)ꎬ 为 .
４
左焦点 Ａ为下顶点 若上顶点 右顶点到直线ＡＦ的距离之比 求椭圆Ｃ的标准方程
ꎬ ꎬ 、 (１) ꎻ
若Ａ 直线ｌ ｙ ｋｘ ｍ与Ｃ交于Ｐ Ｑ两点 且ＡＰ
为 ４ ａｂ 椭圆的四个顶点的连线围成的四边形的面积为 (２) (－２ꎬ０)ꎬ : ＝ ＋ ꎬ ꎬ ⊥
ꎬ ３０ꎬ ＡＱ 试判断直线ｌ是否过定点.若是 求出此定点的坐标 若不
１３５ ꎬ ꎬ ꎻ
则椭圆的离心率为 . 是 说明理由.
ꎬ
答案 ２
ì ïｃ
３ꎬ
ïａ ＝
６.(２０２２辽
７
宁鞍山一中４月线上模拟ꎬ１６)过点Ｐ (１ꎬ１) 的直线
解析 (
１
)由已知得í
ï ï２ ａｂ ＝４
２
ꎬ
解得ａ２
＝４
ꎬｂ２
＝１
ꎬ所以椭圆
与椭圆 ｘ２ ｙ２ 交于点Ａ和Ｂ 且→ＡＰ λＰ→Ｂ.点Ｑ满足Ａ→Ｑ îａ２
＝
ｂ２
＋
ｃ２ꎬ
＋ ＝１ ꎬ ＝ ＝
３ ２ ｘ２
Ｃ的标准方程为 ｙ２ .
λＱ→Ｂ 若 Ｏ 为坐标原点 则线段 ＯＱ 长度的最小值 ＋ ＝１
－ ꎬ ꎬ ４
为 .
{ｘ２
ｙ２ ꎬ
( )设Ｐ(ｘ ꎬｙ )ꎬＱ(ｘ ꎬｙ )ꎬ联立 ＋ ＝１ 消去ｙ并整理得
答案 ６ １３ ２ １ １ ２ ２ ４
ｙ ｋｘ ｍꎬ
＝ ＋
１３
( ｋ２)ｘ２ ｋｍｘ ｍ２ ꎬ由Δ ｋ２ｍ２ ( ｋ２)( ｍ２
年 四、解答题(共２５分) １＋４ ＋８ ＋４ －４＝０ ＝６４ －４ １＋４ ４ ｋｍ －
高 考 ７.(２０２２南京师大附中适应性阶段考ꎬ２１)设椭圆Ｃ :ａ ｘ２ ２ ＋ ｙ ｂ ２ ２ ＝１ ４ ) >０ ꎬ得 ｍ２ ４ ｋ２ － ｍ２ ＋１>０ ꎬ由根与系数的关系得 ｘ １＋ ｘ ２＝ １ － ＋ ８ ４ ｋ２ ꎬ
年 模 ａ ｂ 其短轴长为 离心率为 ２.
ｘ
１
ｘ
２＝
４
１＋４
－
ｋ２
４ꎬ因为 ＡＰ
⊥
ＡＱꎬ所以→ＡＰＡ→Ｑ
＝０
ꎬ而→ＡＰ
＝
(ｘ
１＋２
ꎬ
( > >０)ꎬ ２ ２ꎬ
拟 ２ ｙ )ꎬＡ→Ｑ (ｘ ꎬｙ )ꎬ故ｘ ｘ (ｘ ｘ ) ｙ ｙ ꎬ
求椭圆的方程 １ ＝ ２＋２ ２ １ ２＋２ １＋ ２ ＋４＋ １ ２＝０
(１) ꎻ ｙ ｙ (ｋｘ ｍ)(ｋｘ ｍ) ｋ２ｘ ｘ ｋｍ(ｘ ｘ ) ｍ２
点Ｐ为直线ｘ 上的动点 过点Ｐ的动直线ｌ与椭圆Ｃ相 １ ２＝ １＋ ２＋ ＝ １ ２＋ １＋ ２ ＋
(２) ＝４ ꎬ ｍ２ ｋｍ ｍ２ ｋ２
交于不同的Ａ Ｂ两点 在线段ＡＢ上取点Ｑ 满足 ＡＰ ＱＢ ｋ２４ －４ ｋｍ－８ ｍ２ －４ ꎬ
︵ ＡＱ ＰＢ ꎬ 求证 点 ꎬ Ｑ 总在一条动直线 ꎬ 上且该 ｜ 动 ｜ 直 线 ｜ 恒 ｜ 过 ＝ ＝ １＋４ ｋ２ ＋ １＋４ ｋ２ ＋ ＝ １＋４ ｋ２
教 ｜ ｜｜ ｜ꎬ : ｍ２ ｋｍ ｍ２ ｋ２
师 定点. 故ｘ １ ｘ ２＋２ (ｘ １＋ ｘ ２ ) ＋４＋ ｙ １ ｙ ２ ＝ ４ － ｋ２ ４ － １６ ｋ２ ＋４＋ －４ ｋ２ ＝
用 １＋４ １＋４ １＋４
书 ｍ２ ｋｍ ｋ２
５ －１６ ＋１２ ꎬ解得ｍ ｋ或ｍ ６ ｋꎬ
︶ ｋ２ ＝０ ＝２ ＝
１＋４ ５
２ １２
当ｍ ｋ时ꎬ直线ｌ为ｙ ｋ(ｘ )ꎬ过点Ａꎬ不满足题意ꎬ ( )
＝２ ＝ ＋２ 点 ６ ꎬ .
( ) － ０
当ｍ ６ ｋ 时ꎬΔ 成立ꎬ直线 ｌ 为 ｙ ｋ ｘ ６ ꎬ过定 ５
＝ >０ ＝ ＋
５ ５
第
十
章
圆
锥
曲
线
２ １３
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P262
１.(２０２２ ５３原创题)已知抛物线Ｃ ｙ２ ｘ 圆Ｃ ｘ ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２
１: ＝１２ ꎬ ２:( －３) ＋ 将 代入 整理得 ꎬ故动点Ｔ的轨迹Ｃ的方程为
ｙ２
＝１
.若点 Ｐ
ꎬ
Ｑ 分别在 Ｃ
１ꎬ
Ｃ
２
上运动
ꎬ
且设点 Ｍ
(４ꎬ０)ꎬ
则 ③ ④
１６
－
４
＝１
１６
ＰＭ ｙ２
｜ ｜的最小值为 (ｘ ).
ＰＱ ( ) － ＝１ ≠±４
｜ ｜ ４ {ｙ ｋｘ ｍꎬ
＝ ＋
Ａ. ２ ３ Ｂ. ２ ２ Ｃ. １ ２ Ｄ. ４ ３ ( ２ )证明:联立 ｘ２ ｙ２ ꎬ 消去ｙ并整理得( １－４ ｋ２)ｘ２ －８ ｋｍｘ －
答案 Ａ
－ ＝１
１６ ４
２ 过 .( 抛 ２０ 物 ２２ 线 ５ 的 焦 ３原 点 创 Ｆ 题 与 ) 抛 已 物 知 线 抛 交 物 于 线 Ｐ ｙ２ ＝ Ｑ ４ 两 ｘ ꎬ 点 斜率 点 为 Ｑ ｋ 关 的 于 直线 ｘ轴 ｌ经 的 ４ ｍ２ －１６＝０ ꎬ设Ｐ(ｘ １ ꎬｙ １ )ꎬＱ(ｘ ２ ꎬｙ ２ )ꎬ所以ｘ １＋ ｘ ２＝ １ ８ － ｋ ４ ｍ ｋ２ ꎬ
ꎬ 、 ꎬ
ｍ
对称点为Ｑ′ 点Ｐ关于直线ｘ 的对称点为Ｐ′ 且满足Ｐ′Ｑ′ 又ｙ ｙ ｋ(ｘ ｘ ) ｍ ２ ꎬ所以线段 ＰＱ 的中点坐标
ＰＱ 则直线 ꎬ ｌ的方程为 ＝１ . ꎬ １＋ ２＝ １＋ ２ ＋２ ＝ １－４ ｋ２
⊥ ꎬ
æ ｋｍ ｍ ö
答案 ｙ ＝± (ｘ －１ )
ｘ２ ｙ２
为 è ç
１
４
－４
ｋ２ ꎬ
１－４
ｋ２ ø ÷ꎬ
３.(２０２２ ５３原创题)已知线段ＢＢ′是与椭圆 ＋ ＝１ 的长 {ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｍꎬ
１６ ４ 易知Ｃ的渐近线为ｙ １ ｘꎬ联立
轴ＡＡ′垂直的弦 记直线ＡＢ与Ａ′Ｂ′的交点为Ｔ. ＝± ｙ １ ｘꎬ
ꎬ ２ ＝
求动点Ｔ的轨迹Ｃ的方程 ２
(１) ꎻ ( ｍ ｍ ) ( ｍ ｍ )
若直线ｌ ｙ ｋｘ ｍ与Ｃ交于Ｐ Ｑ两点 与Ｃ的两条渐近线 得Ｍ ２ ꎬ ꎬ同理得Ｎ ２ ꎬ ꎬ
(２) : ＝ ＋ ꎬ ꎬ ｋ ｋ － ｋ ｋ
分别交于Ｍ Ｎ两点 求证 ＰＭ ＱＮ . １－２ １－２ １＋２ １＋２
ꎬ ꎬ ｜ ｜＝｜ ｜ æ ｋｍ ｍ ö
解析 ( )根据对称性不妨令Ａ( ꎬ )ꎬＡ′( ꎬ )ꎬ设Ｂ(ｘ ꎬ 故线段ＭＮ的中点坐标为ç ４ ꎬ ÷ꎬ
１ －４ ０ ４ ０ ０ è ｋ２ ｋ２ ø
ｙ )ꎬＢ′(ｘ ꎬ ｙ )ꎬｘ ꎬ故直线ＡＢ的方程为(ｘ )ｙ ｙ (ｘ １－４ １－４
０ ０ － ０ ０≠±４ ０＋４ ＝ ０ ＋ 所以线段ＰＱ与线段ＭＮ的中点重合ꎬ故 ＰＭ ＱＮ .
) ꎬ直线Ａ′Ｂ′的方程为( ｘ )ｙ ｙ (ｘ ) ꎬ联立 得ｘ ｜ ｜＝｜ ｜
４ ① ４－ ０ ＝ ０ －４ ② ①② ０
ｙ ｘ２ ｙ２
１６ꎬｙ ４ ꎬ又因为 ０ ０ ꎬ
＝ ｘ ０＝ ｘ ③ ＋ ＝１④
１６ ４
