曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
10.3 抛物线
三年模拟
一、选择题
1.(2022江西赣州二模,6)设点P是抛物线C:y2=2px
( 1) 3,
p> 上的动点,F是C的焦点,已知点A(1,1),若|PF|+|PA|的最小值为
2 2
则C的方程为( )
A.y2=x B.y2=2x C.y2=3x D.y2=4x
1
答案 B 由p> 及A(1,1)知,点A在抛物线C内.过P作C的准线的垂线,垂足为H,由抛
2
物线定义可得|PH|=|PF|,则|PF|+|PA|=|PH|+|PA|≥|AH|,当且仅当P、H、A三点共线且AH
p 3
与准线垂直时,|AH|取得最小值.此时|AH|= +1= ,解得p=1,所以C的方程为y2=2x,故选
2 2
B.
2.(2022甘肃3月诊断(一),10)已知以圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为焦点的抛物线C 与圆C
1
在第一象限交于A点.过抛物线C :x2=8y上任意一点B作直线y=-2的垂线,垂足为M,则|
2
BM|-|AB|的最大值为( )
A.8 B.2 C.-1 D.1
答案 D 易知抛物线C 的焦点为(1,0),所以其方程为y2=4x,由{ y2=4x, 得
1
(x-1)2+ y2=4,
A(1,2).因为抛物线C 的焦点为F(0,2),准线方程为y=-2,连接BF,则由抛物线的定义知|
2
BM|=|BF|,连接AF,可得|BM|-|AB|=|BF|-|AB|≤|AF|.
当且仅当A,B,F三点共线,且点B在第一象限时,等号成立,故所求最大值为|AF|=1,故选
D.
3.(2022九师联盟3月联考,9)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与C相交于
A,B两点,与y轴相交于E点.已知|AF|=7,|BF|=3,若△AEF,△BEF的面积分别为S
1
,S
2
,且 S
1
S
2
=3,则抛物线C的方程为( )
A.y2=2x B.y2=4x C.y2=6x D.y2=8x
答案 B 如图,过A,B分别作抛物线C准线的垂线交y轴于点M、N,因为抛物线C的
准线方程为x=-
p
7-
p p p p p S |AE| |AM| 2
,所以|AM|=|AF|- =7- ,|BN|=|BF|- =3- ,所以 1= = =
2 2 2 2 2 S |BE| |BN| p
2 3-
2
=3,解得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x,故选B.
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4.(2022安徽安庆二模,4)抛物线y2=4x的焦点为F,点A在抛物线上.若|AF|=3,则直线AF
的斜率为( )
A.±√2B.±2√2C.√2D.2√2
答案 B 设点A(x ,y ),则|AF|=x +1=3,故x =2,所以y =±2
0 0 0 0 0
√2,故点A的坐标为(2,2√2)或(2,-2√2),又F(1,0),所以直线AF的斜率为±2√2
.故选B.
一题多解 设直线AF的倾斜角为θ(0<θ<π),点F,A在抛物线准线l:x=-1上的射影分别为
F ,A ,则|AA |=|FF |+|AF||cos θ|=2+3|cos θ|,又|AA |=|AF|,所以2+3|cos θ|=3,得cos θ=±
1 1 1 1 1
1 sinθ √1-cos2θ .故选B.
,所以tan θ= = =±2√2
3 cosθ cosθ
5.(2022昆明一中、银川一中3月联考,11)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点
A为C上一点,以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点,若∠FBD=30°,△ABD的面积为
2√3,则p=( )
A.1 B.√2C.√3 D.2
答案 A 因为∠FBD=30°,所以圆的半径|FA|=|FB|=2p,|BD|=2
1
√3p,由抛物线定义知,点A到准线l的距离d=|FA|=2p,所以 |BD|·d=√3
2
p·2p=2√3,所以p=1,故选A.
6.(2022广西3月第一次适应性测试,9)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°
|AF|
的直线交抛物线C于A,B两点,则 的值为( )
|FB|
3
A.3 B.2 C. D.1
2
答案 A 如图,分别过点A,B作准线l的垂线AA ,BB ,垂足分别为A ,B ,过B作
1 1 1 1
BD⊥AA
1
于点D,BD交x轴于点E,则|AA
1
|=|AF|,|BB
1
|=|BF|,设|AF|=λ|BF|,则|AB|=|AF|+|BF|
=(λ+1)|BF|,|AD|=|AA
1
|-|BB
1
|=(λ-1)|BF|.在Rt△ADB中,∠BAD=60°,可得cos∠BAD=
|AD| (λ-1)|BF| λ-1 1 |AF|
= = = ,解得λ=3,即 =3,故选A.
|AB| (λ+1)|BF| λ+1 2 |BF|
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小题巧解 由题意得|AF|=
p p 2p |AF| 2p
=2p,|BF|= = ,所以 =
1-cos60° 1+cos60° 3 |BF| 2 =3,故选A.
p
3
7.(2022河南濮阳二模,11)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与坐标轴交于点
M,P是抛物线C上的一点,且∠PFM为钝角,若|PM|=√23,|PF|=4,则△PMF的面积是( )
√7 3√3
A. B.3√7C. D.3√6
2 2
答案 A F位于x轴正半轴,不妨设P(x ,y )位于第一象限,结合抛物线的定义可知y =
0 0 0
{(√7)2=2px ,
√(√23)2-42=√7.则由
p
0 解得p=1或7,又因为∠PFM为钝角,所以p=1.
x + =4,
0 2
1 √7
所以S = ×1×√7= .
△PMF
2 2
8.(2022广西3月第一次适应性测试,9)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°
|AF|
的直线交抛物线C于A,B两点,则 的值为( )
|FB|
3
A.3 B.2 C. D.1
2
答案 A 如图,分别过点A,B作准线l的垂线AA ,BB ,垂足分别为A ,B ,过B作
1 1 1 1
BD⊥AA
1
于点D,BD交x轴于点E,则|AA
1
|=|AF|,|BB
1
|=|BF|,设|AF|=λ|BF|,则|AB|=|AF|+|BF|
=(λ+1)|BF|,|AD|=|AA
1
|-|BB
1
|=(λ-1)|BF|.在Rt△ADB中,∠BAD=60°,可得cos∠BAD=
|AD| (λ-1)|BF| λ-1 1 |AF|
= = = ,解得λ=3,即 =3,故选A.
|AB| (λ+1)|BF| λ+1 2 |BF|
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小题巧解 由题意得|AF|=
p p 2p |AF| 2p
=2p,|BF|= = ,所以 =
1-cos60° 1+cos60° 3 |BF| 2 =3,故选A.
p
3
9.(2022哈尔滨九中二模,6)已知抛物线y2=4ax的焦点是F,点P的坐标为(a,-2a).若|PF|=6,
则a的值是( )
A.4 B.3
C.4或-4 D.3或-3
答案 D 由题意知F(a,0),则|PF|=|2a|=6,所以a=±3.故选D.
10.(2022河南开封核心模拟卷,11)已知斜率为k(k>0)的直线过抛物线C:y2=4x的焦点F
且与抛物线C相交于A,B两点,过A,B分别作该抛物线准线的垂线,垂足分别为A ,B ,若
1 1
△ABB
1
与△ABA
1
的面积之比为4,则k的值为( )
3 4 3 5
A. B. C. D.
4 3 5 3
答案 B 解法一:由抛物线C:y2=4x得F(1,0),
设直线AB:y=k(x-1),A(x ,y ),B(x ,y ),联立得
1 1 2 2
1
|BB ||A B |
{ y2=4x, 整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1x2=1,x1+x2= 2k2+4 .由已知和抛物线定义知, S △ABB 1= 2 1 1 1 = |BB 1 | = |BF|
y=k(x-1), k2 S 1 |A A | |AF|
△ABA |A A ||A B | 1
1 2 1 1 1
=4,所以|BF|=4|AF|.
所以x +1=4(x +1),即x =4x +3,
2 1 2 1
x =4x +3,
{ 2 1
x x =1, 1 4
由 1 2 解得x1= (负值舍去),x2=4,k= (负值舍去).故选B.
2k2+4 4 3
x +x = ,
1 2 k2
解法二:由已知和抛物线定义知,
1
|BB ||A B |
S 2 1 1 1 |BB | |BF|
△ABB 1= = 1 = =4.
S 1 |A A | |AF|
△ABA |A A ||A B | 1
1 2 1 1 1
设直线AB的倾斜角为α,则|AF|=
2 2 8 2 3 4
,|BF|= ,所以 = ,解得cos α= ,所以tan α=
1+cosα 1-cosα 1+cosα 1-cosα 5 3
.故选B.
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11.(2022黑龙江齐齐哈尔第一中学一模,12)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线x=-1与x
|AB|
轴交于点A,F为C的焦点,B是C在第一象限内的点,则 取得最大值时,△ABF的面
|BF|
积为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
p
答案 A 由题意可知,- =-1,所以p=2,则y2=4x,A(-1,0),F(1,0).
2
过点B作准线x=-1的垂线,垂足为D,
|AB| |AB| 1 |AB|
由抛物线的定义可知, = = ,要使 取得最大值,则
|BF| |BD| sin∠BAD |BF|
sin∠BAD取得最小值,此时直线AB与抛物线C相切.
由题意知直线AB的斜率一定存在,故设直线AB的方程为y=k(x+1),
由{y=k(x+1), 消去y可得,k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
y2=4x,
所以Δ=(2k2-4)2-4k4=0,解得k=±1.
因为B是抛物线C在第一象限内的点,所以k=1,
此时k2x2+(2k2-4)x+k2=0为x2-2x+1=0,所以x=1,
1 1
故B(1,2),所以S = |AF|·|y |= ×2×2=2.故选A.
△ABF
2
B
2
12.(多选)(2022广东11月大联考,10)已知P(x ,y )是抛物线C:y2=4x上一动点,则( )
0 0
A.C的焦点坐标为(2,0)
B.C的准线方程为x+1=0
C.x +1=
0 √(x -1)2+ y2
0 0
D.x + 1 3
0 的最小值为
y2+1 4
0
答案 BCD 由已知得C的焦点坐标为(1,0),准线方程为x+1=0,根据抛物线的定义可得
x +1= ,故A错误,B、C正确;
0 √(x -1)2+ y2
0 0
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因为 y2=4x0,所以x0+ 1 = y2 0+ 1 = y2 0 +1 + 1 - 1 ≥2
0 y2+1 4 y2+1 4 y2+1 4
0 0 0
√1
-
1
=
3
,当且仅当
y2
0
+1
=
1 ,即
4 4 4 4 y2+1
0
y2=1时等号成立,故x0+
1
的最小值为
3,故D正确.故选BCD.
0 y2+1 4
0
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二、填空题
13.(2022皖北协作体4月联考,15)抛物线具有以下光学性质:从焦点出发的光线经抛物线
反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图所示,从抛物线
C:y2=2px(p>0)的焦点F向y轴正方向发出的两条光线a,b分别经抛物线上的A,B两点反
32
射,已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60°,且|FA|+|FB|= ,则p= .
3
答案 4
32 2p
解析 延长BF交抛物线C于点A',则|FA|+|FB|=|A'B|= = ,解得p=4.
3 sin260°
14.(2022西安中学二模,15)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线l与x轴的交点为K,点A
在抛物线C上,且在x轴的上方,过点A作AB⊥l于B,|AK|=√2|AF|,则△AFK的面积为
.
答案 8
解析 由已知得点F(2,0),准线方程为x=-2,K(-2,0).设A(
y2
),y >0,
0,y 0
8 0
则|AK|=
√
(
y2
)
2 √
(
y2
)
2
|AF|,
0+2 + y2,|AF|= 0-2 + y2 ,|KF|=4,因为|AK|=√2
8 0 8 0
所以
√
(
y2
0+2 )
2
+ y2=√2 ·
√
(
y2
0-2 )
2
+ y2 ,解得y 0 =4或y 0 =-4(舍去),
8 0 8 0
1
可得|AK|=4√2,|AF|=4,可知 △ AFK 为等腰直角三角形 ,且∠AFK=90°,所以S △AFK =
2
×4×4=8.
15.(2022长沙长郡等十五校联考(一),15)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,点P在抛物
线上,PQ⊥l于点Q,点M(2,0)与抛物线的焦点不重合,且|PQ|=|PM|,∠MPQ=120°,则p=
.
4
答案
5
解析 设抛物线的焦点为F,连接PF.
由抛物线的定义知|PQ|=|PF|,因为|PQ|=|PM|,所以|PF|=|PM|,又由PQ⊥l及∠MPQ=120°,得
∠PMF=60°,所以△PFM为正三角形,可得|MF|=2-
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p ( p √3( p)) 3( p) 2 ( p) 4
,所以点P的坐标为 1+ , 2- ,代入y2=2px(p>0),可得 2- =2p 1+ ,即5p2+56p-48=0,解得p=
2 4 2 2 4 2 4 5
或p=-12(舍去).
16.(2022银川一中一模,16)抛物线C:y2=4x的焦点为F,过C上一点P作C的准线l的垂
线,垂足为A,若直线AF的斜率为-2,则△PAF的面积为 .
答案 10
解析 由抛物线的方程可得F(1,0),准线方程为x=-1.设P(m,n),由题意可得A(-1,n),则
n
k = =-2,解得n=4,
AF -1-1
将P(m,4)代入抛物线方程可得42=4m,解得m=4,即P(4,4),则|PA|=4+1=5,所以△PAF的面
1
积S= ×5×4=10.
2
17.(2022四川宜宾二诊,16)过抛物线y2=2x的焦点F作两条相互垂直的直线l ,l ,若l 和l
1 2 1 2
分别交该抛物线于A,B和C,D两点,则|FA|·|FB|+|FC|·|FD|的最小值为 .
答案 4
解析 由抛物线方程y2=2x,可得F(1 ),由题意得直线AB,CD的斜率存在且不为0,
,0
2
1
可设直线AB的方程为x=ty+ ,
2
代入抛物线的方程,整理可得y2-2ty-1=0,
设A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
可得y +y =2t,y y =-1,
1 2 1 2
则|FA|·|FB|=(
x +
1)(
x +
1)=(ty
1
+1)(ty
2
+1)
1 2 2 2
=t2y y +t(y +y )+1=-t2+2t2+1=t2+1,
1 2 1 2
1 1
同理可将t替换为- ,可得|FC|·|FD|= +1,
t t2
则|FA|·|FB|+|FC|·|FD|=t2+1+2≥2√
t2·
1
+2=4,当且仅当t2=
1,即t=±1时,取等号.
t2 t2 t2
则|FA|·|FB|+|FC|·|FD|的最小值为4.
三、解答题
18.(2022山西临汾二模,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与x轴交于点P,
过点P作直线l与C交于A,B两点,点D与点A关于x轴对称.
(1)证明:直线BD过点F;
(2)若⃗DF=3⃗FB,求l的斜率.
解析 (1)证明:设点A(x ,y ),B(x ,y ),D(x ,-y ),由题可知直线l的斜率存在且不为0,设为
1 1 2 2 1 1
k,
则直线l的方程为y=k( p),
x+
2
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{ ( p)
y=k x+ ,
由 得ky2-2py+kp2=0,Δ=4p2-4k2p2>0,
2
y2=2px,
2p
y +y = ,y y =p2,
1 2 1 2
k
y + y y + y 2p
2 1= 2 1 =
∴k =x -x 1 y - y ,
BD 2 1 (y2- y2) 2 1
2p 2 1
∴直线BD的方程为y+y 1 = 2p ( x- y 1 2 ) ,即y= 2p ·
y - y 2p y - y
2 1 2 1
( p) (p ),即直线BD过点F.
x- ,故直线BD过定点 ,0
2 2
{ p ( p)
(2)由 ⃗DF =3⃗FB,可得
-x
1
+
2
=3 x
2
-
2
,
即
{x
1
+3x
2
=2p,
y =3 y ,
y =3 y , 1 2
1 2
2p p
由(1)可得y +y =4y = ,故y2= ,
2 1 2
k 2k
又x +3x =2p,故 y2 3 y2 =2p,即 +3 =4p2=12 ,
1 2 1 + 2 y2 y2 y2
2p 2p 1 2 2
故 p2 p2 3 √3.
y2= = ,所以k2= ,满足Δ>0,∴k=±
2 4k2 3 4 2
19.(2022河南名校新未来4月联考,21)已知直线l:x-ky-1=0与抛物线N:y2=2px(p>0)交于
A,B两点,当直线l⊥x轴时,|AB|=4.
(1)求抛物线N的标准方程;
(2)在x轴上求一定点C,使得点M(2p,0)到直线AC和BC的距离相等.
解析 (1)当直线l⊥x轴时,直线方程为x=1,
∴|AB|=2√2p=4,解得p=2.
故抛物线N的标准方程为y2=4x.
(2)设A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,0).
A A B B C
联立{x-ky-1=0, 得y2-4ky-4=0,
y2=4x,
∴y +y =4k,y y =-4.
A B A B
由题意可知k +k = y y y (x -x )+ y (x -x ) =0,
AC BC A + B = A B C B A C
x -x x -x (x -x )(x -x )
A C B C A C B C
∴y (x -x )+y (x -x )=0,即x y +x y =x (y +y ).
A B C B A C B A A B C A B
∴(1+ky )y +(1+ky )y =x (y +y ),即2ky y +(y +y )=x (y +y ),
B A A B C A B A B A B C A B
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∴-8k+4k=4kx ,∵k≠0,∴x =-1.
C C
∴点C的坐标为(-1,0).
一年创新
5
1.(2022贵州3月适应性测试,11)已知曲线C :x2=2py(p>0)和C :(x+1)2+y2= ,点A(-1,y )
1 2 1
16
和B(2,y )都在C 上,平行于AB的直线l与C ,C 都相切,则C 的焦点坐标为( )
2 1 1 2 1
A.( 1) ( 1)
0, B. 0,
4 2
C.(0,1) D.(0,2)
答案 B 对于曲线C :x2=2py(p>0),当x=-1时,y=
1
1 2
- { 1
1 2 ( 1 ) ( 2) 2p p 1 1 y= x+b,
,当x=2时,y= ,所以A -1, ,B 2, ,所以直线AB的斜率k AB= = ,设与直线AB平行的直线l的方程为y= x+b,由 2p
2p p 2p p -1-2 2p 2p
x2=2py,
得x2-x-2pb=0.
由于直线l:y=
| 1 |
- +b
1 1 1 √5 2p √5 5 5
x+b与曲线C1相切,所以Δ=1+8pb=0,得pb=- ,又因为直线l:y= x+b与曲线C2相切,所以圆心(-1,0)到直线l的距离等于半径 ,所以 = ,化简得 (1+4 p2)=(1-2pb)2,即
2p 8 2p 4 √ ( 1 ) 2 4 16 16
+1
2p
(1+4p2)=
( 1) 2 ( 1)
1+ ,得p2=1,因为p>0,所以p=1,所以曲线C1的方程为x2=2y,其焦点坐标为 0,
4 2
,故选B.
2.(2022河南新乡二模,16)已知x <0,M(x ,0),O为坐标原点,若在抛物线C:y2=4x上存在点
0 0
N,使得∠OMN=45°,则x
0
的取值范围是 .
答案 [-1,0)
解析 过M作抛物线C的一条切线,切点为Q(图略),设∠OMQ=θ,因为在抛物线C:y2=4x
上存在点N,使得∠OMN=45°,所以θ≥45°.当θ=45°时,直线MQ的方程为y=x-x
0
,将y=x-x
0
代入y2=4x,可得y2-4y-4x =0,则Δ=16+16x =0,解得x =-1,所以x 的取值范围为[-1,0).
0 0 0 0
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页
