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重难点突破06 弦长问题及长度和、差、商、积问题
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1、弦长公式的两种形式
①若 ， 是直线 与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去 后得到一元二次方程
，则 ．
②若 ， 是直线 与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去 后得到一元二次方程
，则 ．
题型一：弦长问题
例1．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知直线 与圆 相切，且交椭圆于 两点，若 ，则 ．
例2．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆 ，过左焦点 作倾斜角为 的直线交椭圆于 、
两点，则弦 的长为 ．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ， 的上顶点为A，两个焦点为 ，
，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与 交于 ， 两点， 的周长是13，则 ．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 ： ，若直线 的倾斜角为60°，且与双曲线C
的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若 ，则点P的坐标为 .
变式2．（2023·贵州·统考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 ，
分别在双曲线 的左支与右支上，且点 ， 与点 共线，若 ，则 .
变式3．（2023·四川巴中·高三统考开学考试）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到
的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．
已知抛物线 的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点 射出，经过抛物线上的点 反射后，再
经抛物线上的另一点 射出，则 ．
变式4．（2023·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，准线与
轴的交点为 ，过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，若 ，则 ．
变式5．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经
过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.变式6．（2023·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线 的准线方
程是 .
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线 与抛物线相交于 ， 两点，若 ，求实数k的值.
题型二：长度和问题
例4．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）如图所示，由半椭圆 和两个半圆
、 组成曲线 ，其中点 依次为 的左、
右顶点，点 为 的下顶点，点 依次为 的左、右焦点．若点 分别为曲线 的圆心．
(1)求 的方程；
(2)若过点 作两条平行线 分别与 和 交与 和 ，求 的最小值．
例5．（2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）定义：一般地，当 且 时，我们把方程
表示的椭圆 称为椭圆 的相似椭圆．已知椭圆 ，
椭圆 （ 且 ）是椭圆 的相似椭圆，点 为椭圆 上异于其左、右顶点 的任意一点．
(1)当 时，若与椭圆 有且只有一个公共点的直线 恰好相交于点 ，直线 的斜率分别为 ，
求 的值；
(2)当 （e为椭圆 的离心率）时，设直线 与椭圆 交于点 ，直线 与椭圆 交于点 ，
求 的值．例6．（2023·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆 ( )的左右焦点分别为 ， ，
点 为 上的一个动点(非左右顶点)，连接 并延长交 于点 ，且 的周长为 ， 面积的
最大值为2．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若椭圆 的长轴端点为 ，且 与 的离心率相等， 为 与 异于 的交点，直线 交 于
两点，证明： 为定值．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，且点 在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右焦点 作两条互相垂直的弦AB与CD，求 的取值范围.
题型三：长度差问题
例7．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知抛物线 经过点 ，直线
与 交于 ， 两点（异于坐标原点 ）．
(1)若 ，证明：直线 过定点．
(2)已知 ，直线 在直线 的右侧， ， 与 之间的距离 ， 交 于 ， 两点，试问是否存在 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
例8．（2023·云南保山·高三统考阶段练习）已知抛物线 ： 的焦点为椭圆 ：
的右焦点F，点P为抛物线 与椭圆 在第一象限的交点，且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线l过点F，交抛物线 于A，C两点，交椭圆 于B，D两点（A，B，C，D依次排序），且
，求直线l的方程.
题型四：长度商问题
例9．（2023·重庆·校联考模拟预测）已知双曲线 的离心率是 ，点 是双曲线
的一个焦点，且点 到双曲线 的一条渐近线的距离是2.
(1)求双曲线 的标准方程.
(2)设点 在直线 上，过点 作两条直线 ，直线 与双曲线 交于 两点，直线 与双曲线
交于 两点.若直线 与直线 的倾斜角互补，证明： .
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ： ，圆 ： ，圆 与圆 、圆
外切，
(1)求圆心 的轨迹方程
(2)若过点 且斜率 的直线与 交与 两点，线段 的垂直平分线交 轴与点 ，证明 的值是
定值.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的右焦点为 ，过点F与
x轴垂直的直线 与双曲线C交于M，N两点，且 .
(1)求C的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于
G，H两点，若 ，求实数 的取值范围.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的渐近线方程为 ，右焦点 到渐近线的
距离为 .
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F作斜率为k的直线 交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证： 为定值.
变式9．（2023·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分
别为 ，且 .过右焦点 的直线 与 交于 两点， 的周长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过原点 作一条垂直于 的直线 交 于 两点，求 的取值范围.
变式10．（2023·陕西·统考一模）在椭圆C： ， ，过点 与 的直线的斜率为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线 上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于M，N两点，当
取最大值时，求直线MN的方程．
变式11．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在椭圆 ）中，
，过点 与 的直线的斜率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 为椭圆 的右焦点， 为直线 上任意一点，过 作 的垂线交椭圆 于 两点，求
的最大值.
变式12．（2023·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）平面直角坐标系 中， 为
动点， 与直线 垂直，垂足 位于第一象限， 与直线 垂直，垂足 位于第四象限，
且 ，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)已知点 ， ，设点 与点 关于原点 对称， 的角平分线为直线 ，过点 作 的
垂线，垂足为 ，交 于另一点 ，求 的最大值.
变式13．（2023·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知 ， 为椭圆的两个焦点．且 ，P为椭圆上一点， ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过右焦点 的直线 交椭圆于 两点，若 的中点为 为坐标原点，直线 交直线 于点 ．
求 的最大值．
变式14．（2023·海南海口·高三统考期中）设O为坐标原点，点M，N在抛物线 上，且
.
(1)证明：直线 过定点；
(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求 的取值范围.
变式15．（2023·四川绵阳·统考三模）过点 的直线 与拋物线 交于点 ， （
在第一象限），且当直线 的倾斜角为 时， .
(1)求抛物线的方程；
(2)若 ，延长 交抛物线 于点 ，延长 交 轴于点 ，求 的值.
变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C： 上的点 到其焦点F的距离为
2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点D在直线l： 上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与直线l交于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当|MN|最小时，求 的值．
变式17．（2023·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，点F关于直线
的对称点恰好在y轴上．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)直线 与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若
，求 的最大值．
变式18．（2023·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆与抛物线
有一个相同的焦点 ，椭圆的长轴长为2p．
(1)求椭圆与抛物线的方程；
(2)P为抛物线上一点， 为椭圆的左焦点，直线 交椭圆于A，B两点，直线 与抛物线交于P，Q两
点，求 的最大值．题型五：长度积问题
例12．（2023·山东·高三校联考阶段练习）已知抛物线 ， 为 的焦点，过点 的直线
与 交于 ， 两点，且在 ， 两点处的切线交于点 ，当 与 轴垂直时， ．
(1)求 的方程；
(2)证明： ．
例13．（2023·浙江·校考模拟预测）已知抛物线： ，过其焦点F的直线与抛物线交于A、B
两点，与椭圆 交于C、D两点，其中 ．
(1)求抛物线方程；
(2)是否存在直线 ，使得 是 与 的等比中项，若存在，请求出AB的方程及 ；若不存在，请
说明理由．
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，且直线
被椭圆 截得的弦长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)以椭圆 的长轴为直径作圆 ，过直线 上的动点 作圆 的两条切线，设切点为 ，若直
线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，求 的取值范围．变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为
上一点，且当 轴时， .
(1)求 的方程；
(2)设 在点 处的切线交 轴于点 ，证明： .
变式20．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 ： 的离心率为 ，过点 作 轴的
垂线，与 交于 两点，且 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 交于 ， 两点，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 ， ， 交于点 ，求
的取值范围．
变式21．（2023·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知椭圆 经过点 ，左，
右焦点分别为 ， ， 为坐标原点，且 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设A为椭圆 的右顶点，直线 与椭圆 相交于 ， 两点，以 为直径的圆过点A，求
的最大值．
变式22．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的焦距为2，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为 的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的
定点T，使 恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
题型六：长度的范围与最值问题
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点 也是椭圆 的一
个焦点， 与 的公共弦长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过椭圆 的右焦点 作斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，线段 的中点为 ，过点
作垂直于 的直线交 轴于点 ，试求 的取值范围．
例16．（2023·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）已知椭圆 的两个焦点 ， ，
动点 在椭圆上，且使得 的点 恰有两个，动点 到焦点 的距离的最大值为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)如图，以椭圆 的长轴为直径作圆 ，过直线 上的动点 作圆 的两条切线，设切点分别为， ，若直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，求弦 长的取值范围．
例17．（2023·陕西咸阳·校考三模） 已知双曲线 的离心率为 ，过双曲线 的
右焦点 且垂直于 轴的直线 与双曲线交于 两点，且 .
(1)求双曲线 的标准方程;
(2)若直线 ： 与双曲线 的左、右两支分别交于 两点，与双曲线的渐近线分别交于 两
点，求 的取值范围.
变式23．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设椭圆 的左右焦点 ，
分别是双曲线 的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 ，且 ？若存在，
写出该圆的方程，并求 的取值范围，若不存在，说明理由.
变式24．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，离心率为 ，过左焦点 的直线 与椭圆 交于 两点（ 不在 轴上）， 的
周长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若点 在椭圆 上，且 为坐标原点），求 的取值范围.
变式25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，过
的左焦点 的直线 与 相交于 、 两点，与直线 相交于点 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)过点 作直线 的垂线 与 相交于 、 两点，与直线 相交于点 ．求
的最大值．
变式26．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆 的两个焦点为 ， ，且 ， 的
双曲线 的顶点，双曲线 的一条渐近线方程为 ，设P为该双曲线 上异于顶点的任意一点，直
线 ， 的斜率分别为 ， ，且直线 和 与椭圆 的交点分别为A，B和C，D．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)证明：直线 ， 的斜率之积 · 为定值；(3)求 的取值范围．
变式27．（2023·江苏南京·校考二模）在平面直角坐标系中，已知点 到点 的距离与到直线
的距离之比为 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)过点 且斜率为 的直线 与 交于A，B两点，与 轴交于点 ，线段AB的垂直平分线
与 轴交于点 ，求 的取值范围．
变式28．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知椭圆 的左、右顶点是双曲线
的顶点， 的焦点到 的渐近线的距离为 .直线 与 相交于
A，B两点， .
(1)求证：
(2)若直线l与 相交于P，Q两点，求 的取值范围.
变式29．（2023·广东深圳·高三校联考期中）已知点 在运动过程中，总满足关系式：
.
(1)点 的轨迹是什么曲线？写出它的方程；
(2)设圆 ，直线 与圆O相切且与点 的轨迹交于不同两点 ，当 且时，求弦长 的取值范围.
变式30．（2023·四川遂宁·统考三模）已知椭圆 的左、右顶点为 ，点 是椭
圆 的上顶点，直线 与圆 相切，且椭圆 的离心率为
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若点 在椭圆 上，过左焦点 的直线 与椭圆 交于 两点（ 不在 轴上）且 (O为
坐标原点)，求 的取值范围．
变式31．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知椭圆 : 过点 ，且离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 且互相垂直的直线 , 分别交椭圆 于 , 两点及 两点.求 的取值范围.
变式32．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，动点 到定
点 的距离与动点 到定直线 的距离的比值为 ，记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程.
(2)若动直线l与曲线C相交于A，B两点，且 （O为坐标原点），求弦长 的取值范围.变式33．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆 过点 .
(1)若椭圆E的离心率 ，求b的取值范围；
(2)已知椭圆E的离心率 ，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆 相切，
求线段 的最大值.
变式34．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知椭圆 的左、右焦点
分别为 、 ，点P在椭圆E上， ，且 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线 与椭圆E相交于A，B两点，与圆 相交于C，D两点，求 的
取值范围．
变式35．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： （ ）的短轴长为4，离心率为
．点 为圆 ： 上任意一点， 为坐标原点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)记线段 与椭圆 交点为 ，求 的取值范围．
题型七：长度的定值问题
例18．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）如图，已知椭圆 ， 的左右焦点
是双曲线 的左右顶点， 的离心率为 ．点 在 上（异于 两点），过点 和 分别作直线交椭圆 于 和 点．
(1)求证： 为定值；
(2)求证： 为定值．
例19．（2023·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）椭圆 ．
(1)点 是椭圆 上任意一点，求点 与点 两点之间距离 的最大值和最小值；
(2) 和 分别为椭圆 的右顶点和上顶点． 为椭圆 上第三象限点．直线 与 轴交于点 ，直线
与 轴交于点 ．求 ．
例20．（2023·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知椭圆C的右焦点与抛物线E：
的焦点F重合，且椭圆C的离心率为 ．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点F的直线l交椭圆C于M，N两点，交抛物线E于P，Q两点，是否存在实数 ，使得
为定值？若存在，求出这个定值和λ的值；若不存在，说明理由．变式36．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线E： 的焦点关于其准线的对称点为
，椭圆C： 的左，右焦点分别是 ， ，且与E有一个共同的焦点，线段
的中点是C的左顶点．过点 的直线l交C于A，B两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．
(1)求C的方程；
(2)证明： ．
变式37．（2023·天津红桥·统考一模）设椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率
，长轴为4，且过椭圆右焦点 的直线 与椭圆 交于 两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 ，其中 为坐标原点，求直线 的斜率；
(3)若 是椭圆 经过原点 的弦，且 ，判断 是否为定值？若是定值，请求出，若不是定
值，请说明理由．
变式38．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 与椭圆
交于 两点（ 在 轴上方），且 ，设点 在 轴上的射影为点 ，
的面积为 ，抛物线 的焦点与椭圆 的焦点重合，斜率为 的直线 过抛物线
的焦点与椭圆 交于 两，点，与抛物线 交于 两点.(1)求椭圆 及抛物线 的标准方程；
(2)是否存在常数 ，使 为常数？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
变式39．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， .过
的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为 .
(1)求C的方程；
(2)证明： 为定值.
变式40．（2023·安徽淮北·统考二模）已知抛物线 的焦点和椭圆
的右焦点 重合，过点 任意作直线 分别交抛物线 于 ，交椭圆 于 .当 垂直于
轴时 ， .
(1)求 和 的方程；
(2)是否存在常数 ，使 为定值？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.变式41．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，
连接椭圆 的四个顶点所成的四边形的周长为 .
(1)求椭圆 的方程和离心率；
(2)已知过点 的直线 与椭圆交于 两点，过点 且与直线 垂直的直线 与椭圆交于 两点，求
的值.
变式42．（2023·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中）已知椭圆C： 的长
轴长为4，且离心率为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点 且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D.求证：
为定值.
变式43．（2023·天津河北·高三统考期末）已知椭圆 点 ，且离心率 ，F为椭
圆C的左焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点 ，过点F的直线l交椭圆C于P，Q两点， ，连接OT与PQ交于点H.
①若 ，求 ；
②求 的值.变式44．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆E： ．焦距为2c， ，左、右
焦点分别为 ， ．在椭圆E上任取一点 ， 的周长为 ．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点 关于原点的对称点为Q．过右焦点 作与直线PQ垂直的直线交椭圆E于A，B两点，求 的
取值范围；
(3)若过点 的直线 与椭圆E交于C，D两点，求 的值．
变式45．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的长轴是短轴的2倍，且右焦点为
，点B在椭圆上，且点C为点B关于x轴的对称点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点B在第一象限且 为等边三角形，求该等边三角形的边长；
(3)设P为椭圆E上异于B，C的任意一点，直线 与x轴分别交于点M，N，判断 是否为定
值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
变式46．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C以 为渐近线，其上焦点F坐标为 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于 两点， 的中垂线交y轴于点T，问 是否为定值，
若是，请求出定值，若不是，请说明理由.变式47．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 长轴的顶点与双曲线
实轴的顶点相同，且 的右焦点 到 的渐近线的距离为 ．
(1)求 与 的方程；
(2)若直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的 倍，且 经过点 ， 与 交于 、 两点，与 交
于 、 两点，求 ．
变式48．（2023·山东青岛·高三统考期末）已知椭圆 的左，右顶点分别为 ，
上，下顶点分别为 ，四边形 的内切圆的面积为 ，其离心率 ；抛物线
的焦点与椭圆 的右焦点重合.斜率为k的直线l过抛物线 的焦点且与椭圆 交于
A，B两点，与抛物线 交于C，D两点.
(1)求椭圆 及抛物线 的方程；
(2)是否存在常数 ，使得 为一个与k无关的常数？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由.
变式49．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）如图， ， ， ， 是抛物线 ： 上的
四个点（ ， 在 轴上方， ， 在 轴下方），已知直线 与 的斜率分别为 和2，且直线
与 相交于点 ．(1)若点 的横坐标为6，则当 的面积取得最大值时，求点 的坐标．
(2)试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
