曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
10.4 直线与圆锥曲线的位置关系
考点 直线与圆锥曲线的位置关系
1.(2016课标Ⅲ,理20,文20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l,l 分别交C于
1 2
A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
解析 由题设知F(1
,0
).设l
1
:y=a,l
2
:y=b,则ab≠0,
2
且A(a2 ),B(b2 ),P( 1 ),Q( 1 ),R( 1 a+b).
,a ,b − ,a − ,b − ,
2 2 2 2 2 2
记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)
(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.
记AR的斜率为k,FQ的斜率为k,则
1 2
a−b a−b 1 −ab
k= = = = =-b=k.
1 1+a2 a2−ab a a 2
所以AR∥FQ.(5分)
(2)设l与x轴的交点为D(x,0),则S =1|b-a||FD|=1|b-a|| 1|,S =|a−b|.
1 △ABF x − △PQF
2 2 1 2 2
由题设可得2×1|b-a|| 1|=|a−b|,
x −
2 1 2 2
所以x=0(舍去),或x=1.(8分)
1 1
设满足条件的AB的中点为E(x,y).
2 y
当AB与x轴不垂直时,由k =k 可得 = (x≠1).
AB DE a+b x−1
a+b
而 =y,所以y2=x-1(x≠1).
2
当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)
疑难突破 第(1)问求解关键是把AR∥FQ的证明转化为k =k 的证明;第(2)问需找到AB中点所满足的几
AR FQ
何条件,从而将其转化为等量关系.在利用斜率表示几何等量关系时应注意分类讨论思想的应用.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
评析 本题主要考查抛物线的性质,直线的斜率及其应用,轨迹方程的求法等知识,考查分类讨论思想的应用,
考查考生对基础知识和基本技能的应用能力.
2.(2014广东理,20,14分)已知椭圆C:x2 +y2 =1(a>b>0)的一个焦点为( ,0),离心率为√5.
√5
a2 b2 3
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x,y)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
0 0
c √5
解析 (1)由题意知c=√5,e= = ,
a 3
∴a=3,b2=a2-c2=4,
x2 y2
故椭圆C的标准方程为 + =1.
9 4
(2)设两切线为l,l,
1 2
①当l⊥x轴或l∥x轴时,l∥x轴或l⊥x轴,可知P(±3,±2).
1 1 2 2
1
②当l 与x轴不垂直且不平行时,x≠±3,设l 的斜率为k,且k≠0,则l 的斜率为- ,l 的方程为y-y=k(x-x),与
1 0 1 2 1 0 0
k
x2 y2
+ =1联立,
9 4
整理得(9k2+4)x2+18(y-kx)kx+9(y-kx)2-36=0,
0 0 0 0
∵直线l 与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y-kx)2k2-(9k2+4)·[(y-kx)2-4]=0,
1 0 0 0 0
∴(
x2
-9)k2-2x
0
y
0
k+
y2
-4=0,
0 0
∴k是方程(
x2
-9)x2-2x
0
y
0
x+
y2
-4=0的一个根,
0 0
1
同理,- 是方程(x2-9)x2-2xyx+y2-4=0的另一个根,
k 0 0 0 0
∴k·( − 1)= y2 0 −4 ,整理得 x2+ y2=13,其中x 0 ≠±3,
k x2−9 0 0
0
∴点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).
P(±3,±2)满足上式.
综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.
评析 本题考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系以及轨迹方程的求法.考查分类讨论思想以
及方程思想的应用.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
3.(2014湖北理,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的
轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k
的相应取值范围.
解析 (1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,
即 =|x|+1,
√(x−1) 2+ y2
化简整理得y2=2(|x|+x).
{4x,x≥0,
故点M的轨迹C的方程为y2=
0,x<0.
(2)在点M的轨迹C中,记C:y2=4x,C:y=0(x<0),
1 2
依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).
由方程组{y−1=k(x+2),
可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①
y2=4x,
1
(i)当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x= .
4
故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点(1 ).
,1
4
(ii)当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).②
设直线l与x轴的交点为(x,0),则
0
2k+1
由y-1=k(x+2),令y=0,得x=- .③
0
k
1°若{Δ<0, 由②③解得k<-1或k>1.
x <0, 2
0
即当k∈(-∞,-1)∪(1
,+∞
)时,直线l与C
1
没有公共点,与C
2
有一个公共点,
2
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
2°若{Δ=0, 或{Δ>0, 则由②③解得k∈{ 1}或-1≤k<0.
−1,
x <0 x ≥0, 2 2
0 0曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
即当k∈{ 1}时,直线l与C 只有一个公共点,与C 有一个公共点.
−1, 1 2
2
当k∈[
−
1
,0
)时,直线l与C
1
有两个公共点,与C
2
没有公共点.
2
故当k∈[ 1 )∪{ 1}时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.
− ,0 −1,
2 2
3°若{Δ>0, 则由②③解得-1<k<-1或0<k<1.
x <0, 2 2
0
即当k∈(
−1,−
1)∪(
0,
1)时,直线l与C
1
有两个公共点,与C
2
有一个公共点,
2 2
故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.
综合(i)(ii)可知,当k∈(-∞,-1)∪(1 )∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈[ 1 )∪
,+∞ − ,0
2 2
{ 1}时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈( 1)∪( 1)时,直线l与轨迹C恰好有三
−1, −1,− 0,
2 2 2
个公共点.
评析 本题考查了直线和抛物线的位置关系,考查了数形结合的方法,灵活地利用判别式是求解的关键.盲目
利用抛物线的定义而漏掉射线y=0(x<0)就会造成错解而失分.
4.(2013课标Ⅰ,理20,文21,12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,
圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
解析 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r=3.设圆P的圆心为P(x,y),半
1 2
径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r)+(r-R)=r+r=4.
1 2 1 2
由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为√3的椭圆(左顶点除外),其方
x2 y2
程为 + =1(x≠-2).
4 3曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以
当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.
若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2√3.
|QP| R
若l的倾斜角不为90°,由r≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则 = ,可求得Q(-4,0),所以
1 |QM| r
1
可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切得 |3k| =1,解得k=±√2.
√1+k2 4
√2 √2 x2 y2 −4±6√2
当k= 时,将y= x+√2代入 + =1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x = .
1,2
4 4 4 3 7
18
所以|AB|=√1+k2|x
2
-x
1
|= .
7
√2 18
当k=- 时,由图形的对称性可知|AB|= .
4 7
18
综上,|AB|=2√3或|AB|= .
7
评析 本题考查了直线和圆的位置关系,考查了椭圆的定义和方程,考查了分类讨论的方法和运算求解能力.
利用数形结合的方法是解题的关键.在求曲线C的方程时容易忽视对左顶点和直线倾斜角为90°时的讨论而
造成失分.
5.(2013课标Ⅱ文,20,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2√2,在y轴上截得线
段长为2√3.
(1)求圆心P的轨迹方程;
√2
(2)若P点到直线y=x的距离为 ,求圆P的方程.
2
解析 (1)设P(x,y),圆P的半径为r.
由题设得y2+2=r2,x2+3=r2.从而y2+2=x2+3.
故P点的轨迹方程为y2-x2=1.
(2)设P(x,y),由已知得
0 0
|x −y | =√2.
0 0
√2 2
{|x −y |=1,
又P在双曲线y2-x2=1上,从而得 0 0
y2−x2=1.
0 0曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
{x −y =1, { x =0,
由 0 0 得 0 此时,圆P的半径r= √3 .
y2−x2=1 y =−1.
0 0 0
{x −y =−1, {x =0,
由 0 0 得 0 此时,圆P的半径r= √3 .
y2−x2=1 y =1.
0 0 0
故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.
x2 1
6.(2019课标Ⅲ理,21,12分)已知曲线C:y= ,D为直线y=- 上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为
2 2
A,B.
(1)证明:直线AB过定点;
(2)若以E( 5)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.
0,
2
解析 本题考查直线与抛物线相切,弦的中点,直线与圆相切等知识点,通过直线与抛物线的方程运算,考查了
学生在解析几何中的运算求解能力,以直线与抛物线相切为背景考查了数学运算的核心素养.
(1)设D(
t,−
1),A(x
1
,y
1
),则
x2
=2y
1
.
2 1
1
y +
由于y'=x,所以切线DA的斜率为x,故 1 2=x.
1 1
x −t
1
整理得2tx-2y+1=0.
1 1
设B(x,y),同理可得2tx-2y+1=0.
2 2 2 2
故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.
所以直线AB过定点( 1).
0,
2
1
(2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+ .
2
1
{y=tx+ ,
2
由 可得x2-2tx-1=0.
x2
y=
2
于是x+x=2t,xx=-1,y+y=t(x+x)+1=2t2+1,
1 2 1 2 1 2 1 2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
|AB|= |x-x|= × =2(t2+1).
√1+t2 1 2 √1+t2 √(x +x ) 2−4x x
1 2 1 2
2
设d,d 分别为点D,E到直线AB的距离,则d= ,d= .
1 2 1 √t2+1 2
√t2+1
1
因此,四边形ADBE的面积S= |AB|(d
1
+d
2
)=(t2+3)√t2+1.
2
设M为线段AB的中点,则M( t,t2+ 1).
2
由于⃗EM⊥⃗AB,而⃗EM=(t,t2-2),⃗AB与向量(1,t)平行,
所以t+(t2-2)t=0.
解得t=0或t=±1.
当t=0时,S=3;当t=±1时,S=4√2.
因此,四边形ADBE的面积为3或4√2.
解题关键 (1)设出A、B坐标,求导、列等式是解题的突破口.(2)由(1)得出AB的方程,用坐标表示出⃗EM⊥
⃗AB,求AB方程中的参数是关键.
7.(2018北京理,19,14分)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交
点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围;
1 1
(2)设O为原点,⃗QM=λ⃗QO,⃗QN=μ⃗QO,求证: + 为定值.
λ μ
解析 (1)因为抛物线y2=2px过点(1,2),
所以2p=4,即p=2.
故抛物线C的方程为y2=4x,
由题意知,直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).
由{y2=4x,得k2x2+(2k-4)x+1=0.
y=kx+1
依题意Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,解得k<0或0<k<1.
又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2).
从而k≠-3.
所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).
