曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
10.2 双曲线
五年高考
考点一 双曲线的定义和标准方程
1.(2020浙江,8,4分,综合性)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函
数y=3 图象上的点,则|OP|=( )
√4-x2
√22 4√10
A. B.
2 5
C.√7D.√10
答案 D
2.(2020天津,7,5分,综合性)设双曲线C的方程为x2 y2 =1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的
−
a2 b2
焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C
的方程为 ( )
x2 y2 y2
A. − =1B.x2− =1
4 4 4
x2
C. -y2=1 D.x2-y2=1
4
答案 D
x2 y2
3.(2019课标Ⅲ文,10,5分,综合性)已知F是双曲线C: − =1的一个焦点,点P在C
4 5
上,O为坐标原点.若|OP|=|OF|,则△OPF的面积为( )
3 5 7 9
A. B. C. D.
2 2 2 2
答案 B
4.(2015天津,6,5分,综合性)已知双曲线
x2 y2
− =1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,√3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4√7
a2 b2
x的准线上,则双曲线的方程为( )
x2 y2 x2 y2
A. − =1B. − =1
21 28 28 21
x2 y2 x2 y2
C. − =1D. − =1
3 4 4 3
答案 D
y2
5.(2020课标Ⅰ文,11,5分,综合性)设F ,F 是双曲线C:x2- =1的两个焦点,O为坐标原点,
1 2
3
点P在C上且|OP|=2,则△PF
1
F
2
的面积为( )
7 5
A. B.3C. D.2
2 2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
答案 B
6.(2021新高考Ⅰ,21,12分,综合性)在平面直角坐标系xOy中,已知点F (-
1
,0),点M满足|MF |-|MF |=2.记M的轨迹为C.
√17,0),F2(√17 1 2
(1)求C的方程;
1
(2)设点T在直线x= 上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|
2
TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
解析 (1)由题意知|F F |=2√17,因为|MF1|−|MF2|=2<|F1F2|=2√17,所以结
1 2
合双曲线定义知,点M的轨迹C是以F 、F 为焦点的双曲线的右支.
1 2
设其方程为x2 y2
=1(a>0,b>0,x≥a),
−
a2 b2
则2a=2,2c=2√17,解得a=1,c=√17,
则b2=c2-a2=(√17)2-12=16,
y2
所以M的轨迹C的方程为x2- =1(x≥1).
16
(2)如图,设T(1 ) ( 1),
,m ,直线AB的方程−为my=k1 x-
2 2
{ ( 1)
y=k x- +m,
1 2 1
由 得(16- k2)x2+(k2−2k1m)x− k2+k
1
m-m2-16=0,设
y2 1 1 4 1
x2- =1(x≥1),
16
A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
1
k2+m2-k m+16
则x 1 +x 2 = k2-2k m 4 1 1 ,
1 1 ,x1x2=
k2-16 k2-16
1 1
则|TA|= √1+k2(
x -
1) ,|TB|=√1+k2(
x -
1),
1 1 2 1 2 2
所以|TA|·|TB|=曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
(1+ k2)·( x - 1)( x - 1) =
(m2+12)(1+k
1
2)
.
1 1 2 2 2 k2-16
1
设直线PQ的方程为y-m=k 2(
x-
1),
2
(m2+12)(1+k2)
同理得|TP|·|TQ|= 2 ,
k2-16
2
因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,
(m2+12)(1+k2) (m2+12)(1+k2)
所以 1 = 2 ,
k2-16 k2-16
1 2
1+k2 1+k2
所以 1 = 2 ,即 k2= k2,由题意知k 1 ≠k 2 ,所以k 1 +k 2 =0,即直线AB的斜率与直线PQ
k2-16 k2-16 1 2
1 2
的斜率之和为0.
考点二 双曲线的几何性质
1.(2015安徽,4,5分,基础性)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是(
)
y2 x2
A.x2- =1 B. -y2=1
4 4
y2 x2
C. −x2=1D.y2− =1
4 4
答案 C
2.(2020课标Ⅲ理,11,5分,综合性)设双曲线C:
x2 y2 .P是C上一点,且
− =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为√5
a2 b2
F
1
P⊥F
2
P.若△PF
1
F
2
的面积为4,则a=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
答案 A
3.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分,综合性)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2 y2
−
a2 b2
=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值
为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 B
x2 y2
4.(2019课标Ⅲ理,10,5分,综合性)双曲线C: − =1的右焦点为F,点P在C的一条渐
4 2
近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为( )曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
3√2 3√2
A. B. C.2√2D.3√2
4 2
答案 A
x2
5.(2013浙江,9,5分,综合性)如图,F ,F 是椭圆C : +y2=1与双曲线C 的公共焦点,A,B分
1 2 1 2
4
别是C ,C 在第二、四象限的公共点.若四边形AF BF 为矩形,则C 的离心率是( )
1 2 1 2 2
3 √6
A.√2B.√3C. D.
2 2
答案 D
6.(2022全国甲文,15,5分,创新性)记双曲线C:x2 y2
=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足
−
a2 b2
条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值 .
答案 2(答案不唯一,在(1,√5]范围内取值均可)
7.(2022浙江,16,4分,综合性)已知双曲线
x2 y2 b 的直线交双曲线于点A(x ,y ),
− =1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为 1 1
a2 b2 4a
交双曲线的渐近线于点B(x ,y )且x <0<x .若|FB|=3|FA|,则双曲线的离心率是 .
2 2 1 2
3√6
答案
4
8.(2021新高考Ⅱ,13,5分,基础性)已知双曲线C:x2 y2
=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲
−
a2 b2
线C的渐近线方程为 .
答案 y=±√3x
x2
9.(2021全国乙理,13,5分,基础性)已知双曲线C: −y2=1(m>0)的一条渐近线为√3
m
x+my=0,则C的焦距为 .
答案 4
10.(2020课标Ⅰ理,15,5分,综合性)已知F为双曲线C:x2 y2
=1(a>0,b>0)的右焦点,A为
−
a2 b2
C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为
.
答案 2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
x2 y2
11.(2020北京,12,5分,综合性)已知双曲线C: − =1,则C的右焦点的坐标为
6 3
;C的焦点到其渐近线的距离是 .
答案 (3,0);√3
三年模拟
A组 考点基础题组
考点一 双曲线的定义和标准方程
1.(2022长沙雅礼中学第七次月考,7)右图上半部分为一个油桃园,每年油桃成熟时,园主
都需要雇佣人工采摘,并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地C处销售.
路径1:先集中到A处,再沿公路AC运送;路径2:先集中到B处,再沿公路BC运送.园主在
果园中画定了一条界线,使得从该界线上的点出发,按这两种路径运送油桃至C处所走路
程一样远.已知AC=3 km,BC=4 km,若这条界线是曲线E的一部分,则曲线E为( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
答案 C
2.(2020山东百师联盟测试五,5)已知圆C :(x-4)2+y2=25,圆C :(x+4)2+y2=1,动圆M与C ,C
1 2 1 2
都外切,则动圆圆心M的轨迹方程为( )
x2 y2 x2 y2
A. − =1(x≤-2) B. − =1(x≥2)
4 12 4 12
x2 y2 x2 y2
C. − =1(x<0)D. − =1(x>0)
3 5 3 5
答案 A
3.(2022百师联盟二轮复习联考一(新高考河北卷),14)焦点在x轴上的双曲线C与双曲线
x2 y2
− =1有共同的渐近线,且C的焦点到一条渐近线的距离为3√2,则双曲线C的
4 9
方程为 .
x2 y2
答案 − =1
8 18
考点二 双曲线的几何性质
1.(2022山东临沂二模,4)已知双曲线C:y2 x2
,实轴长为
− =1(a>0,b>0)的焦距为4√5
a2 b2
4,则C的渐近线方程为( )
A.y=±2x B.y=±√5x曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
1 √5
C.y=± xD.y=± x
2 5
答案 C
2.(2022湖南三湘名校联盟联考,6)已知F ,F
是双曲线C:x2 y2
=1(a>0,b>0)的两个焦
1 2 −
a2 b2
点,C的离心率为5,点P(x ,y )在C上, · <0,则x 的取值范围是( )
0 0 ⃗PF ⃗PF 0
1 2
A.(-3a,3a)
B.(-3a,-a]∪(a,3a)
C.( 7 7 )
- a, a
5 5
D.( 7 ]∪[ 7 )
- a,-a a, a
5 5
答案 D
3.(2022江苏苏州常熟抽测二,7)已知圆x2+y2=r2(r>0)过双曲线x2 y2
=1(a>0,b>0)的右焦
−
a2 b2
点F,且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A、B,若四边形OAFB为菱
形,则双曲线的离心率为( )
A.√2B.2C.2√2 D.4
答案 B
4.(2020湖南长沙明德中学月考,10)已知双曲线x2 y2
=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为
−
a2 b2
1
F
1
,F
2
,M为双曲线上一点,若cos∠F
1
MF
2
= ,|MF
1
|=2|MF
2
|,则此双曲线的渐近线方程为(
4
)
√3
A.y=±√3xB.y=± x
3
C.y=±x D.y=±2x
答案 A
5.(2021河北二轮复习联考(一),6)已知双曲线C:x2 y2
=1(b>0)的离心率为e,若e∈(
−
2 b2
),则C的焦点到一条渐近线的距离的取值范围为( )
√5,√10
A.(1,3√2)B.(√2,+∞)
C.(2√2,3√2)D.(√2,3√2)
答案 C曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
B组 综合应用题组
时间:50分钟 分值60分
一、单项选择题(每小题5分,共20分)
1.(2022华大新高考联盟3月教学质量测评,8)已知双曲线C:x2 y2
=1(a>0,b>0)的左、
−
a2 b2
右焦点分别为F ,F ,点M,N均在双曲线C的右支上,其中点M在第一象限,M,N,F 三点共
1 2 2
1
线,且cos∠MF
2
F
1
=- ,若∠MF
1
N=∠MNF
1
,则双曲线C的渐近线方程为( )
4
A.y=±√5x B.y=±x
C.y=±√3xD.y=±√2x
答案 C
2.(2022重庆巴蜀中学3月适应性月考(八),8)已知点A(-
(x y)(x y)=0(a>0,b>0)上存在点P满足|PA|-|PB|=2,则下
√3,0),B(√3,0),若曲线 + -
a b a b
列选项一定正确的是( )
A.b<a+1 B.b>√2a
C.b>a+1 D.b<√2a
答案 D
3.(2022湖南衡阳八中开学考,7)已知F (-c,0)、F
(c,0)是双曲线C:x2 y2
=1(a>0,b>0)的
1 2 −
a2 b2
左、右焦点,F 关于双曲线的一条渐近线的对称点为P,且点P在抛物线y2=4cx上,则双曲
1
线的离心率为( )
A.√2+1 B.2
√5+1
C.√5D.
2
答案 D
4.(2021百校大联考(六),8)若双曲线x2 y2 √10,则该双曲线的渐近
− =1的离心率等于
a2 b2 3
线方程为( )
1
A.y=±3x B.y=± x
2
1
C.y=± x D.y=±2x
3
答案 C
二、多项选择题(每小题5分,共10分)
5.(2022福建龙岩一模,11)下图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯,杯
身曲线内收,巧夺天工,是唐代金银细作的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线
