文档内容
第三章 圆锥曲线的方程单元总结
要点一：圆锥曲线的标准方程和几何性质
1．椭圆：
（1）椭圆概念
平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数2 （大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 2c叫椭圆的焦距。若 为椭圆上任意一点，则有
。
y2 x2
+ =1
a2 b2
椭圆的标准方程为： （ ）（焦点在x轴上）或 （ ）
（焦点在y轴上）。
要点诠释：
①上方程中 的大小 ，其中 ；②在 和 两个方程中都有 的条件，要分清焦点的位置，只要看
和 的分母的大小。
例如椭圆 （ ， ， ）当 时表示焦点在 轴上的椭圆；当
时表示焦点在 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
①范围：由标准方程 知 ， ，说明椭圆位于直线 ， 所围成的
矩形里；
②对称性： 椭圆关于 轴、 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭
圆的对称中心叫椭圆的中心；
③顶点： ， ， ， 是椭圆的四个顶点。
同时，线段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 和 ， 和 分别叫做
椭圆的长半轴长和短半轴长。
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比 叫椭圆的离心率。
∵ ，∴ ，且 越接近 ， 就越接近 ，从而 就越小，对应的椭圆越扁；反之，
越接近于 ， 就越接近于 ，从而 越接近于 ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当 时， ，两
焦点重合，图形变为圆，方程为 。
2．双曲线
（1）双曲线的概念
平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于 且不等于零）的点的轨迹叫做双
曲线.
要点诠释：
①式中是差的绝对值，在 条件下； 时为双曲线的一支；
时为双曲线的另一支（含 的一支）；
②当 时， 表示两条射线；
③当 时， 不表示任何图形；④两定点 叫做双曲线的焦点，
叫做焦距。
（2）双曲线的性质
x2 y2
− =1
①范围：从标准方程
a2 b2
，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线x=±a的外侧。
即
x2 ≥a2
，
|x|≥a
即双曲线在两条直线x=±a的外侧。x2 y2
− =1
a2 b2
②对称性：双曲线 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，
x2 y2
− =1
a2 b2
原点是双曲线 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
x2 y2
− =1
a2 b2
③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 的方程里，对称轴是
轴，所以令 y=0 得x=±a，因此双曲线和 轴有两个交点 ，他们是双
x2 y2
− =1
a2 b2
曲线 的顶点。
令
x=0
，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴
的两个端点。
实轴：线段 叫做双曲线的实轴，它的长等于 叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：线段 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 叫做双曲线的虚半轴长。
b
y=± x
④渐近线： 渐近线方程： a .
x2 y2
− =1
a2 b2
这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线 的各支向外延伸时，与这两条
直线逐渐接近。
3．抛物线
（1）抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
y2 =2px¿(p>0)¿
方程 叫做抛物线的标准方程。
p p
x=−
2 2
注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（ ,0），它的准线方程是 ；
（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程
y2 =−2px x2 =2py x2 =−2py
还有其他几种形式： ， ， .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以
及准线方程如下表：
标准方程图形
焦点坐标
准线方程
范围
对称性 轴 轴 轴 轴
顶点
离心率
要点诠释：
（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；
（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没
有渐近线；
（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。
要点二：直线和圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线有三种位置关系：相交，相切，相离。
1．直线 与圆锥曲线C的位置关系
判断直线 与圆锥曲线C的位置关系时，将直线 的方程代入曲线C的方程，消去y（也可消去x）得
一个关于变量x（或y）的一元二次方程ax2+bx+c=0。
①当a≠0时，
若Δ＞0，则 与C相交；
若Δ=0，则 与C相切；
若Δ＜0，则有 与C相离。
②当a=0时，即得到一个一次方程，若方程有解，则直线 与C相交，此时只有一个公共点
若C为双曲线，则 平行于双曲线的渐近线；
若C为抛物线，则 平行于抛物线的对称轴。2．直线被圆锥曲线截得的弦长公式：
斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，设 ， ，则
弦长公式：
当 时, 弦长公式还可以写成：
要点诠释：
（1）当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线和双曲线、抛物线可能相切，也可能相交。
（2）利用弦长公式求弦长时，应注意应用韦达定理。
要点三： 有关圆锥曲线综合题类型
1.求圆锥曲线方程的方法
①定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或
特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置，如果位置不确定时，考虑是否多解。此时注意
数形结合，在图形上标出已知条件，检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确等。
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上
时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)
源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww学学新新 cc级级ww kktt新新ww @@..xx子子疆疆 11教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg小小 oo师师..cc mmoomm//屋屋wwxxcc//
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。此处注意 n
个未知数，列够n个独立的方程，并注意“点在线上”条件及韦达定理的使用。
②直接法
建系→设点→点满足的几何条件坐标化→整理化简成最简形式→证明（可省略，但必须删去增加的或
者补上丢失的解）
③代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P的坐标x,y来表示，再代入到其他动点要满
足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.
④参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标x,y间建立起联系，然后再从所求
式子中消去参数，得到x,y间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
常见的参数法有：
（1）点参数
利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如
x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P。除设P（x,y ）外，也可直接设 P
1 1
（2y,-1,y ）
1
（2）斜率为参数
当直线过某一定点P(x ,y)时，常设此直线为y-y=k(x-x )，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解
0 0 0 0
等。（3）角参数
当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。
要点诠释：
（1求轨迹方程的一般思路：
①若曲线的类型已确定，一般用待定系数法；
②若曲线的类型未确定，但曲线上动点的运动在题目中有明确的表述，一般采用直接法；
③若动点的变化依赖于另一相关点的变化，一般采用相关点法（代入转移法）；
④若动点坐标之间的关系不易找出，一般可采用参数法。但应注意所列方程个数比参数个数要多一个，
才可以消去参数。
（2求轨迹方程应注意的问题：
①求轨迹方程后一定要注意轨迹的纯粹性和完备性；以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应的关
系, 尤其是题中涉及三角形、斜率、参数方程中参数的限制, 往往使方程产生增根。
②要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念。
2.直线与圆锥曲线相交 --- 弦的有关问题：
①韦达定理法：
因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问
题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是
弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
②设而不求法：
解析几何的运算中，常设一些量而并不解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为
“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的
两个端点A(x ,y),B(x ,y),弦AB中点为M(x ,y)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点
1 1 2 2 0 0
x2 y2
+ =1(a>b>0)
a2 b2
与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1） 与直线相交于
A、B，设弦AB中点为M(x ,y)，
0 0
x y
0 + 0 k=0
将两式
作差可得：a2 b2
。
x2 y2
− =1(a>0,b>0)
a2 b2
（2） 与直线 l 相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x ,y)，将两式
0 0
x y
0 − 0 k=0
作差可得：a2 b2（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x ,y),同样设点作差可得2yk=2p, 即
0 0 0
yk=p.
0
3．求取值范围或最值：
① 参数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数，注意求函数的定义域。
② 方程与不等式组----n个未知数，列够n个独立方程或不等式，注意归纳总结列不等式的
方法：
③ 利用几何性质求参数范围；
④ 利用不等式性质(结合几何性质)求参数范围．
专题一 与圆锥曲线有关的轨迹问题
一般地，求轨迹方程有直接求法和间接求法．直接求法有直接法和定义法；间接求法包括转移法、参
数法、交轨法、代换法等．
例1 如图， 是抛物线 上的一点，动弦 ， 分别交 轴于 ， 两点，且 ．
⑴若 为定点，证明：直线 的斜率为定值；⑵若 为动点，且 ，求 的重心
的轨迹方程．
⑴证明：设 ，直线 的斜率为 ，则方程为 ．因为
，所以 为等腰三角形，则直线 的斜率为 ，方程为 ．由
，消去 ，得 ．解得 （ 舍去），则．同理可得 ， ．所以
（定值）．故直线 的斜率为定值．
⑵解：当 时， ，所以 ，直线 的方程为 ．同⑴可得
， ， ， ． 设 重 心 ， 则
．消去参数 ，得 ．即 的重
心 的轨迹方程为 ．
解后反思：重心 的坐标与 的顶点坐标可用重心公式连接起来，而点 横坐标与纵坐标又满
足抛物线方程，故利用参数法消去其中的参数显得很简洁明了．
例2 一动圆过定点 ，且与定圆 内切，求动圆圆心 的轨迹方程．
解析：将定圆的方程化为标准形式为 ，这时，已知定圆的圆心坐标为 ，半径为 ，
如图2-2，设动圆圆心 的坐标为 ，由于动圆与已知圆内切，设切点为 ．所以已知圆（大圆）半
径与动圆（小圆）半径之差等于两圆心的距离，即 ．而 ，则 ．
又因为 ，所以 ．根据椭圆的定义，知 的轨迹是以点 和点
为焦点，线段 的中点 为中心的椭圆．所以 ， ， ．故所求动圆圆心
的轨迹方程为 ．解后反思：解轨迹问题的策略和技巧
⑴解决轨迹问题，首先要明确圆锥曲线的性质，做好对图形变化可能性的总体分析，选好相应的解题
策略并拟定好具体的解题方法，注意将动点的几何特征用数学语言表达．
⑵要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，如在曲线上点的坐标的取值范围等．
⑶直线与圆锥曲线相交时的弦中点或弦中点的轨迹问题通常用根与系数的关系来解决，“设而不求”
是解析几何中最重要的解题方法之一．
专题二 圆锥曲线定义的应用
圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲
线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．
研究有关点间的距离的最值问题时，常把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定
义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再根据几何图形，利用几何定义去解决有关的
最值问题．
例3 椭圆 的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 ，当 的周长最大时，
的面积是___________．
解 析 ： 如 图 2-3 ， 当 直 线 不 过 右 焦 点 时 ， 的 周 长
，所以当直线 过右焦点时， 的周长最大，所以 ．
将 代入，解得 ．所以 ．
答案：解后反思：解答本题的关键在于联想到椭圆的定义，并能灵活运用数形结合思想．
例4 点 是抛物线 上的任意一点， 是抛物线的焦点，点 的坐标是 ，求 的
最小值，并求出此时点 的坐标．
解：抛物线 的准线方程是 ，那么点 到焦点 的距离等于它到准线 的距离，过
点 作 垂直于准线 ，垂足为 ，那么 ．如图2-4所示，根据平面几
何知识，当 ， 三点共线时， 的值最小，且最小值为 ，所以
的最小值是 ．此时点 的纵坐标为，所以其横坐标为 ，即点 的坐标是 ．
解后反思：解此题时若设点 的坐标，列出两个距离的和，再变形求解很困难．本题的解法就是用抛
物线的定义将 转化为点 到准线的距离，进而数形结合求得结果．
专题三 圆锥曲线中的最值问题与圆锥曲线有关的最值问题是一种常见的问题，一些简单的最值问题主要运用圆锥曲线的定义和几何
性质来解决．对于较为复杂的最值问题，则往往是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的
方法确定最值．
例5如图，点 是椭圆 ： 的一个顶点， 的长轴是圆 ： 的直
径． 是过点 且互相垂直的两条直线，其中 交圆 于点 ， 交椭圆 于另一点 ．⑴求
椭圆 的方程；⑵求 面积取最大值时直线 的方程．
解：⑴由已知，得 ，且 ，所以 ，所以椭圆的方程是 ．
⑵因为直线 ，且都过点 ，所以设直线 ： ，即 ，直线 ：
，即 ，所以圆心 到直线 ： 的距离为 ，所以直
线 被圆 所截的弦 ．由 ，得 ，
所以 ，所以所以
，当 ，即 时，等号成立，此时直线
： ．
解后反思：解决此类问题，通常有两种方法：
⑴几何法．若题目条件与结论有明显的几何特征、几何意义，常结合图形的性质寻求解题思路．
⑵代数法．若题设条件和结论中存在函数关系，可以建立起目标函数，转化为求函数最值的问题．常
用到二次函数在闭区间上最值的求法、判别式法、函数的单调性、基本不等式等．解题时，要注意自变量
的取值范围对最值的影响．
专题四 离心率及其范围问题
离心率问题是圆锥曲线的重点问题之一，它不仅与椭圆、双曲线有关联，而且与函数、方程、不等式
以及平面几何也有着密切的关系，所以一直是高考的考查热点．常见的题型主要有两种：一是求离心率的
值，二是求离心率的范围．
1．求离心率的值
例6设直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ．若点
满足 ，则该双曲线的离心率是_________．
解析：如图所示，设线段 的中点为 ，连接 ．双曲线 的渐近线方程为 ．
由 ，得 ，由 ，得 ，所以 的中点
的坐标为 ．设直线 ，因为 ，所以 ，所以，化简，得 ．在双曲线中， ，所以 ．
答案:
解后反思：本题由 构造了等腰三角形，利用等腰三角形的几何性质，得到垂直，从而建立
了 与 的关系，又结合双曲线中 三者之间的联系求得离心率．通过本题可以看出，求离心率的问题
往往以求出 的值或它们之间的关系为一般方法．
例7过点 作斜率为 的直线与椭圆 ： 相交于 两点，若 是线段
的中点，则椭圆 的离心率等于___________．
解析：设 ， ，则 ，所以 ，
所以 ．因为 ， ， ，所以 ，所以
．又因为 ，所以 ，所以 ，所以 ．
答案：
解后反思：求离心率 时，若不能直接求 的值，则可将问题转化为求关于 的等式形式，再利用 求出即可．
2．求离心率的取值范围
例8 已知椭圆 的两个焦点分别为 ，若椭圆上存在一点 ，使得 ，
求椭圆离心率 的范围．
解 ： 在 中 ， ， 由 椭 圆 定 义 及 余 弦 定 理 ， 得
，即 ．
故 ，由此可得离心率 ．
解后反思：本题在解答中用到了基本不等式的变形公式 ，利用基本不等式及
其变形公式构建新的不等式是求离心率范围的一种常见策略．
例9 已知双曲线 的方程为 ，过右焦点 作双曲线在一、三象限的渐近线的垂线，
垂足为 ，与双曲线 的左、右支的交点分别为 ．求双曲线 的离心率 的取值范围．
解：双曲线在第一、三象限的渐近线为 ，则过点 与 垂直的直线方程为
， 即 ． 由 ， 消 去 并 整 理 ， 得
． 设 ， ， 所 以 ，
．因为 分别在两支上，所以 ，所以 ，即， ，所以 ．
解后反思：求椭圆或双曲线离心率的取值范围的关键在于能否成功构建关于 的不等式，常用的构
建的策略如利用判别式、基本不等式、数形结合、等价转化等．
专题五 圆锥曲线的定值与定点问题
解析几何的定值问题的证明可利用函数的思想方法来解决．其证明过程可总结为“变量 函数 定
值”，具体操作程序如下：
变量——选择适当的量作为变量；函数——把要证明为定值的量表示成上述变量的函数；定值——把
得到的函数解析式化简，消去变量，得到定值．
例10设椭圆 ： 的焦点在 轴上．⑴若椭圆 的焦距为，求椭圆 的方程；⑵设 分
别是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆 上的第一象限内的点，直线 交 轴于点 ，并且
．证明：当 变化时，点 在定直线上．
⑴解：因为 ， ， ，则 ，所以椭圆 的方程为 ．
⑵ 证 明 ： 设 ， ， ， ， 则 ， ．
， ． 由 ， ， 得 ， 所 以
， 即 ． 由 椭 圆 的 方 程 可 知 ， ， 所 以
，即 ．将上式代入椭圆 的方程，得 ，解得
又因为点 是第一象限内的点，所以 ， ，故点 在定直线 上．
解后反思：解答圆锥曲线中的定值（定点）问题时，首先要明确哪些量是固定的，而哪些量是变动的，
选择其中一个或几个关键作用的量作为参数，以参数来表示需要研究定值（定点）的量，看是否能消去参
数得到定值（定点）即可．例11 如图，椭圆 ： （ ， 为常数），动圆 ： ， ，点
分别为 的左、右顶点， 与 相交于 四点．⑴求直线 与直线 交点 的
轨迹方程；⑵设动圆 ： 与 相交于 四点，其中 ， ．若矩
形 与矩形 的面积相等，证明： 为定值．
⑴解：设 ， ，已知 ， ，则直线 的方程为 ，
①直线 的方程为 ．②由①②，得 ，③由点 在椭圆
上，得 ．从而 ，代入③，得 ．
⑵证明：设 ，由矩形 与矩形 的面积相等，得 ，故
． 因 为 点 均 在 椭 圆 上 ， 所 以 ， 整 理 得
． 由 ， 知 ， 所 以 ． 同 理 ． 因 此为定值．
解后反思：本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭
圆的关系和交轨法在求解轨迹方程时的运用．在求解点 的轨迹方程时，要注意首先写出直线 和直线
的方程，然后求解．
专题六 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系着重体现在两个方面：一是关系的判断，即利用公共点的个数来说明相交
或相切，一般采用联立成方程组的方式，考查交点个数；另一方面是已知直线与圆锥曲线的位置关系，考
查在此关系下的弦长、参数取值、最值等问题．在高考中，纯粹判断位置关系的题目一般比较简单，而利
用位置关系而产生的综合题在高考中属常考点，一般利用代数法，根与系数的关系“设而不求”，找出其
中等量（不等量）关系解题．
例12 斜率为1的直线经过抛物线 的焦点，与抛物线交于 两点，求线段 的长．
解：
由抛物线的标准方程可知，焦点为 ,准线方程为 ．
由题设可知，直线 的方程为 ．代入抛物线方程 并整理，得 ．
方法1：解方程 ，得 ， ．
分别代入直线方程，得 ， ，即 ，
所以 ．方法2：设 ， ，由根与系数的关系，得 ， ．
所以
方法3：设 ， ，由根与系数的关系，得 ．
由抛物线的定义可知， 等于点 到准线 的距离 ,即 ，
同理 ,所以 ．
解后反思：
（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法．
（2）直线与圆锥曲线由唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴
（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）．
（3）联立的方程组，消元后得到方程，不但要对判别式 进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行
讨论．
这些问题中涉及方程一般都含有参数，解决时需注意根与系数的关系及“设而不求”方法的应用．
